Adonai Sant'Anna

Matemática e Sociedade

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sexta-feira, 24 de fevereiro de 2012Algumas Curiosidades Lógicas

Nesta postagem não há tema novo algum. Tudo aqui se refere a assuntos muitoconhecidos na literatura especializada. No entanto, como vejo inúmeros discursos etextos de matemática no Brasil que fazem consideráveis confusões de caráter lógico,acho interessante prestar alguns esclarecimentos. Então vou responder algumas dasquestões da página Você sabia que....

1. Todo axioma de qualquer teoria formal axiomática é demonstrável. Paraprovar isso precisamos qualificar os termos empregados. Uma teoria formalaxiomática consiste de dois ingredientes fundamentais: lógica e linguagem. Alinguagem é caracterizada por um vocabulário e fórmulas. Vocabulário é um conjuntode símbolos. Fórmulas são sequências (finitas ou não) de elementos do vocabulário.Existem "regras gramaticais", conhecidas como procedimentos efetivos, paradeterminar quais sequências de elementos do vocabulário são fórmulas. A lógica seestabelece a partir de axiomas e regras de inferência. Axiomas são certas fórmulas,escolhidas pelo próprio matemático, conforme a teoria que pretende desenvolver. E asregras de inferência são relações entre fórmulas que permitem inferir (ou deduzir) umaúnica fórmula a partir de outras. Por exemplo, no cálculo proposicional clássico, é usualse considerar como regra de inferência uma relação ternária entre fórmulas conhecidacomo Modus Ponens. Nesta regra, a partir das fórmulas "A implica B" e "A" pode-seinferir "B". Dizemos que "B" é consequência direta das fórmulas "A" e "A implica B". Ouseja, se temos A e sabemos que A implica em B, então podemos deduzir B. Já umademonstração em uma teoria formal axiomática é uma sequência finita de fórmulas tal

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que cada fórmula desta sequência é um axioma da teoria ou uma consequência diretade fórmulas anteriores via o emprego de uma regra de inferência. E teorema é a últimafórmula de uma demonstração. Isso significa que a primeira fórmula de qualquerdemonstração em uma teoria formal axiomática é necessariamente um axioma, poisnão há fórmulas anteriores à primeira. Logo, se uma demonstração tem apenas umafórmula, esta necessariamente é um axioma. Como nesta sequência de uma sófórmula a última é também a primeira, então o axioma ali presente é um teorema. Umavez que uma fórmula T é demonstrável se, e somente se, existir demonstração tal queT é teorema, podemos concluir que todo axioma é demonstrável.

2. Todo teorema em uma teoria formal axiomática admite infinitasdemonstrações. Usando as noções do parágrafo acima, considere que a sequênciaF1, F2, F3, ..., Fn é uma demonstração em uma teoria formal axiomática cujos axiomassão A1, A2, A3, .... Logo, F1 é um axioma e Fn é um teorema. Isso significa quepodemos inserir um axioma na demonstração, entre duas fórmulas quaisquer ou comoprimeiro elemento, e continuaremos tendo uma demonstração do teorema Fn. Porexemplo, a sequência A1, A2, A1, A2, F1, F2, A3, F3, ..., Fn é também umademonstração do teorema Fn.

3. Existem definições demonstráveis. Existem certos tipos de definições, emteorias formais axiomáticas, conhecidas como definições ampliativas. Elassimplesmente ampliam a linguagem da teoria, no sentido de incorporar novoselementos ao vocabulário. Acontece que toda definição em matemática deve ser não-criativa. Porém, a prática matemática exige que definições possam ser usadas noprocesso de demonstração de teoremas. Para que isso ocorra, levando em conta oconceito de demonstração do item 1, o status lógico que essas definições ampliativasassumem é o mesmo de axiomas, se elas forem escritas como fórmulas da teoria.Como provamos acima que todo axioma é demonstrável, logo essas definiçõesampliativas escritas como fórmulas são também demonstráveis. Afinal, tais definiçõesnão apenas incorporam novos elementos à linguagem, como também acrescentamnovos axiomas. No entanto, vale reforçar que tais novos axiomas não permitemdemonstrar teoremas que antes não poderiam ser demonstrados (que é a condição denão-criatividade).

4. É errado afirmar que o conjunto dos números naturais é subconjunto doconjunto dos números reais. E é igualmente errado afirmar que o conjunto dosnúmeros naturais não é subconjunto do conjunto dos números reais. Isso porqueexistem muitas definições para tais conjuntos na literatura. Alguns autores afirmam queo conjunto dos números naturais é um par ordenado (N,S), onde N é um conjunto nãovazio e S é uma operação entre conjuntos, conhecida como sucessor, de modo asatisfazer os conhecidos axiomas de Peano. Os elementos de N são chamados de

Adonai às 02:15

números naturais. Neste contexto, o sucessor, por exemplo, de 3 é 4 (S(3) = 4). Outrosautores afirmam que o corpo dos números reais é uma tripla ordenada (R,+,*), onde Ré um conjunto não vazio, + (adição) é uma operação binária entre elementos de R e *(multiplicação) é outra operação binária em R, satisfazendo a uma série de axiomas.Os elementos de R são chamados de números reais. Como o par ordenado (N,S) nãoé subconjunto da tripla ordenada (R,+,*), então, neste caso, o conjunto dos númerosnaturais não é subconjunto do corpo dos números reais. No entanto, é possível exibirum modelo A para (N,S) e um modelo B para (R,+,*) de modo que A é subconjunto deB. Se chamarmos A de conjunto dos números naturais e B de conjunto dos númerosreais, então podemos afirmar que o conjunto dos números naturais é subconjunto doconjunto dos números reais. Porém vale lembrar que tanto (N,S) quanto (R,+,*)admitem modelos tais que um não é subconjunto do outro. Ou seja, antes deafirmarmos que o conjunto dos números naturais é (ou não) subconjunto do conjuntodos números reais, precisamos qualificar o quê se entende por números naturais e oquê se entende por números reais. Mesmo no ensino médio essa qualificação semostra necessária. Com efeito, o número real 2 pode ser representado pela fração10/5. No entanto, o número natural 2 não pode ser representado por 10/5, poisusualmente não se define razão entre números naturais.

5. Um par ordenado pode ser igual a uma tripla ordenada. Em teorias deconjuntos existem muitas definições para os conceitos de par ordenado e triplaordenada. A definição de Kuratowski (aplicável a teorias intuitivas e formais usuais),por exemplo, estabelece que o par ordenado (A,B) é igual ao par não-ordenado {{A},{A,B}}. Vale lembrar que um par não-ordenado {A,B} é um conjunto cujos elementossão iguais a A ou B. Neste sentido, o conjunto {A,B} é igual ao conjunto {B,A}, pois aordem em que os elementos são explicitados na notação extensional é irrelevante. Oleitor não pode esquecer que um conjunto é definido única e exclusivamente pelosseus elementos, independentemente de quaisquer outras informações. Logo, todo parnão-ordenado {A,B} tem um ou dois elementos. Tem dois elementos se A for diferentede B, e apenas um elemento se A for igual a B. No caso em que A é diferente de B,podemos concluir que, apesar de {A,B} = {B,A}, (A,B) é necessariamente diferente de(B,A). Com efeito, {{A}, {A,B}} é diferente de {{B},{A,B}}. Seguindo as mesmas ideias deKuratowski, podemos definir a tripla ordenada (A,B,C) como o par ordenado ((A,B),C).Neste contexto, a tripla ordenada (A,B,C) é igual ao par ordenado (D,E) se, e somentese, D = (A,B) e E = C.

As demais questões serão respondidas em postagens futuras.

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17 comentários:

Leandro 24 de fevereiro de 2012 15:18Caramba, este texto já permitiu responder pelo menos umas 3 ou 4 dúvidas que eu perguntaria emtópicos e momentos mais oportunos, sendo que pelo menos uma das dúvidas envolveria umquestionamento sobre lógicas trivalentes, a existência de exceções nas lógicas bivalentes e a próprialógica paracompleta.

Show de bola!!!!!!!

Já é algum alívio (e prazer) sanar estas dúvidas que eu teria.

Passei a gostar ainda mais de Matemática e a me interessar mais ainda por ela!!!!!!!

:)Responder

Adonai 25 de fevereiro de 2012 01:44Leandro

Fico feliz que tenha apreciado o texto. Sobre lógica paracompleta jamais discutirei, pois nunca estudeisobre o tema. A respeito de lógicas polivalentes posso discutir, sem problema. Mas não entendi o quevocê quis dizer com exceções nas lógicas bivalentes. Poderia elaborar?Responder

Leandro 25 de fevereiro de 2012 15:56Adonai

Pelo que entendo sobre lógica bivalente, uma sentença seria classificada como "verdadeira" ou "nãoverdadeira", e por "não verdadeira" entenderia-se como sendo equivalente a "falsa".

Não haveria qualquer situação sequer que admitisse algo diferente de "verdadeiro" ou "falso"(equivalentemente, "verdadeiro" ou "não verdadeiro").

E em situações do cotidiano parece por vezes difícil encontrar alguma exceção convincente que sejacapaz de contrariar a bivalência da Lógica Clássica.

Mesmo na chamada Lógica Fuzzy, o princípio da bivalência parece ser inquestionável pois, digamos,ou algo "é" 45% de X e 55% de Y, ou "não é" 45% de X e 55% de Y, sendo que qualquer valor diferentedisso já representaria uma outra de situação para classificação em "é" ou "não é".

No entanto, se não me engano, existe algum sistema lógico trivalente que admitiria algum valor-verdadediferente de "verdadeiro" e "falso", mas também algo como "indeterminado".

Um exemplo disso seria uma situação na qual não podemos prever o que irá acontecer futuramente.Digamos, se um dado avião da empresa "Z" vai ou não cair amanhã. Então, usaria-se o valor-verdade"indeterminado", de modo que seria incorreto atribuir para a sentença os valores de "verdadeiro" ou"falso" por não se saber o que de fato irá acontecer.

Mas, mesmo assim, parece que isto não derroga o Princípio da Bivalência, pois se adotarmos umapostura determinista, independente de não sabermos o que acontecerá amanhã, o avião do exemplo oucairá ou não cairá, não havendo pois uma terceira possibilidade.

É neste sentido que eu disse algo sobre "exceções nas lógicas bivalentes".

Na verdade, creio que me expressei incorretamente, pois o certo seria algo como "exceções às lógicasbivalentes", já que, imagino eu, as lógicas polivalentes não se enquadram no contexto do Princípio daBivalência.Responder

Adonai 26 de fevereiro de 2012 00:39Leandro

Você tem que tomar muito cuidado com esse tipo de leitura sobre lógica-matemática. Tabelas-verdadesão ferramentas metamatemáticas. Traduzir para linguagens naturais como português frequentementeleva a equívocos. Pretendo postar algo a respeito disso em algum momento futuro.Responder

Leandro 26 de fevereiro de 2012 11:35Adonai

Entendo.

Aliás, quando comecei a estudar algo sobre Lógica, em um dos meus primeiros contatos com estafascinante área do conhecimento, o meu primeiro obstáculo foi o de tentar entender o chamado"Paradoxo da Implicação Material", justamente por causa da tentativa imediata em querer traduzir parauma linguagem natural como o português, bem como para situações cotidianas.

Deu muito trabalho para conseguir, pelo menos minimamente, separar a linguagem natural daferramenta lógica!!!!!

Mas, mesmo assim, parece que infelizmente ainda misturo as coisas.

:(Responder

Anônimo 27 de fevereiro de 2012 14:01Sobre a curiosidade 4: também é errado dizer que o conjunto dos naturais é subconjunto dos inteirosquando os inteiros são construídos como uma classe de equivalência de pares ordenados de númerosnaturais? (Neste caso um número inteiro será um par ordenado não será?)

AAnooniimooResponder

Respostas

Adonai 27 de fevereiro de 2012 17:58AAnooniimoo

Depende da maneira como definir o conjunto dos números naturais N. Se estabelecer N como oconjunto a partir do qual você definiu os inteiros como classes de equivalência de pares ordenados deelementos de N (da forma como usualmente se faz em teorias intuitivas de conjuntos), realmente N nãoé subconjunto do conjunto Z dos inteiros. Mas se definir o conjunto dos naturais como o dos inteirospositivos, aí o conjunto dos naturais é subconjunto dos inteiros.

Sua observação entre parênteses está incorreta. Neste tipo de construção, um par ordenado de naturaisé um representante de uma classe de equivalência. O inteiro é a classe de equivalência inteira.

Mas vale notar que esse tipo de construção se aplica em teorias de conjuntos que não contam comaxiomas como o esquema da separação. Ou seja, não é assim que se define o conjunto dos inteiros emteorias como a de Zermelo-Fraenkel.Responder

Anônimo 18 de março de 2012 15:38Recentemente eu li que todos os corpos ordenados completos que se pode construir sãoisomorfos entre si.

Não sei bem o que significa isso (nunca estudei álgebra significativamente). Pelo que entendiambos teriam exatamente as mesmas propriedades. A única coisa que teriam de diferente,um do outro, seria a representação de seus elementos.

O sr. saberia dizer se isso também ocorre com o conjunto dos naturais? Ou seja, se A e Bforem conjunto de números naturais construídos de maneiras distintas, será que A e B serãosempre isomorfos?

Se sim, será que não seria este o motivo para praticamente não haver menção sobre o fatode, às vezes, o conjunto dos Naturais não ser subconjuntos dos Reais? O seja, o motivo nãoseria que em qualquer construção destes conjuntos sempre existe um subconjuntos de R queé isomorfo ao conjunto N?

AAnooniimoo

Adonai 18 de março de 2012 18:58AAnooniimoo

De fato todos os modelos de corpos ordenados completos são isomorfos entre si (namatemática standard). Corpo ordenado completo é uma teoria formal axiomática. Se M e Nsão modelos dessa teoria (satisfazem a todos os axiomas) então é possível definir umafunção bijetora f:M->N de modo que a estrutura dada pelos axiomas se preserve. Ou seja,f(a+b) = f(a) + f(b), sendo que o primeiro sinal de + corresponde à interpretação da adição decorpo ordenado completo em M, enquanto o segundo sinal de + se refere à interpretação daadição de corpo ordenado completo em N. O mesmo vale para a multiplicação. Trocando emmiúdos, todos os modelos são essencialmente os mesmos. Diz-se, neste caso, que a teoria é

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categórica.

Com relação aos números naturais, a resposta à sua questão depende da maneira comodefini-los.

Aline Pêgas 1 de março de 2012 15:37Vou tentar contribuir:10100) existe um matemático policéfalo?Conheço dois. O ilustre Nicolas Bourbaki, pseudônimo de um grupo de matemáticos em sua maioriafranceses do século XX. E o menos famoso Jet Nestruev, grupo de autores formado por A.Astashov,A.Bocharov, S.Duzhin, A.Sosinsky, A.Vinogradov e M.Vinogradov, de Moscou. O grupo se destaca pelolivro "Smooth Manifolds and Observables" publicado em inglês pela Springer.Responder

Adonai 2 de março de 2012 22:17Grande Aline

Eu não conhecia o Jet Nestruev. Ótimo saber.Responder

Geraldo Ferreira Junior 13 de dezembro de 2013 17:08Prezado Professor, parabéns pelo blog. Gostaria de saber onde posso conseguir, o livro "o que édefinição", pois não consigo encontra, em livrarias, sebos e internet em geral. Antecipadamente,agradeço muito.Responder

Adonai 14 de dezembro de 2013 14:49Geraldo

Infelizmente o livro esgotou muito rapidamente e a editora não tem interesse em fazer novaimpressão. Lamento.

Henrique IMPA 7 de junho de 2014 12:56Você concluiu que todo axioma é demonstrável a partir de que em um momento terá que existir umaúnica fórmula e esta necessariamente é um axioma e também um teorema, pois é a ultima e primeira.E "Uma vez que uma fórmula T é demonstrável se, e somente se, existir demonstração tal que T éteorema, podemos concluir que todo axioma é demonstrável. "Logo, a demonstração de um axioma se resume na existência do axioma\teorema e não em uma prova

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na linguagem matemática.E eu acho que uma demonstração sem prova não é "digna" de ser chamada demonstração, portantonão deveríamos admitir que um axioma não admite demonstração ?Estou certo ou não entendi nada do que você falou ?Responder

Adonai 7 de junho de 2014 13:25Henrique

O que seria uma demonstração sem prova? O que seria uma demonstração digna de serchamada de demonstração? O que seria A linguagem matemática? Por que começar asentença com "E eu acho que..."?

Observe que nesta postagem não são colocadas opiniões, mas apenas fatos. Um bom livropara ajudá-lo a compreender os conceitos de axioma, demonstração, premissa, teorema,entre outros usuais na literatura matemática, é Introduction to Mathematical Logic, de E.Mendelson.

Henrique IMPA 7 de junho de 2014 21:52Eu sei que são apenas fatos, mas é que eu não tinha entendido os fatos.Eu gosto desseassunto de lógica ,mas, quanto mais estudo menos entendo.Quanto as suas perguntas eu disse "demonstração sem prova,querendo dizer um Teoremasem prova. Comecei dizendo "E eu acho que", pelo motivo de eu não saber se estou certo, e agora seique não estava.(já suspeitava!).Quanto ao livro, vai ser o primeiro que vou ler depois queaprender inglês.Obrigado por responder as minha perguntas idiotas.

Adonai 8 de junho de 2014 04:22Henrique

Se causei algum desconforto com as minhas respostas, peço desculpas. Não foi a minhaintenção.

De fato, lógica é o assunto mais complicado que já estudei até hoje, em matemática. É umaárea do conhecimento que demanda extraordinário senso crítico. Pior do que aquilo que nãosabemos é aquilo que usualmente julgamos saber.

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Adonai

Professor Associado do Departamento de Matemática da UFPR. Autor de dois livros sobre lógicapublicados no Brasil, e de dezenas de artigos publicados em periódicos especializados dematemática, física e filosofia, no Brasil e no exterior. Atualmente está trabalhando em dois projetos

cinematográficos, sendo que um deles visa uma crítica inédita às universidades federais brasileiras. Para maisdetalhes ver a página "Sobre o autor do blog".Visualizar meu perfil completo

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