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Ali Cárdenas
Microeconomía I12.La Dualidad 1
La Dualidad
Septiembre 2014
Ali Cárdenas
Microeconomía I12.La Dualidad 2
La Dualidad
Cuando estudiamos el problema de optimización de las escogencias del consumidor, nos encontramos que existe dos formas alternativas de visualizar o plantear el problema y es lo que se conoce como “ La Dualidad”.
Es decir, el Problema de Optimización se divide en dos : El Problema Primario y el Problema Dual , veamos de que se trata
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Microeconomía I
La Dualidad Gráficamente
U1
U2
𝑦
𝑥
U3
( 𝐼𝑝 𝑦
)
( 𝐼𝑝𝑥)
𝑦
𝑥
𝒖
La Dualidad
Septiembre 201412.La Dualidad 3
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El Problema Primario
Este es el que hemos visto a lo largo del curso y es el
que plantea la Demanda Ordinaria o Marshaliana.
Consiste en maximizar la Utilidad que un consumidor
puede alcanzar dado el ingreso que posee. Dicho de
otra forma: ¿Cual es la máxima utilidad que puede
alcanzarse con un ingreso dado?Esto implica determinar cual es la Curva de
Indiferencia mas alta que se puede alcanzarse dada la
Restricción Presupuestaria. Funcionalmente:
Sujeto a:
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Maximización de Utilidad
Planteamos el LaGrange:
Condiciones de Primer
Orden
Condiciones de Primer
Orden
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Eliminando el Multiplicador de LaGrange () tenemos:
TMS = Razón de Precios
Pendiente de la CI=
Pendiente de la Línea de Presupuesto
𝑝𝑥 𝑥+𝑝 𝑦 𝑦=𝐼 Línea de Presupuesto
Maximización de la Utilidad
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Nótese que:
Maximización de Utilidad
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Función de Demanda de Marshall
Cuando las Curvas de Indiferencia son estrictamente convexas, la solución es única
𝑥∗=𝐷𝑥 (𝑝𝑥 ,𝑝 𝑦 , 𝐼 ) 𝑦∗=𝐷𝑦 (𝑝𝑥 ,𝑝𝑦 , 𝐼 )
Resultando en una Demanda que es función de los precios y el Ingreso.
Demanda Ordinaria o Marshaliana
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U1
A
U2
B
𝑥
𝑦
𝐼𝑝𝑥′
𝐼𝑝𝑥
𝐼𝑝𝑦
𝑝𝑥𝑥
Ruta de Expansión Precio
Curva de Demanda
Bien ‘Ordinario’
Bien Giffen
𝑝𝑥
𝑝𝑥′
Complementarios
Sustitutos
𝐷𝑥 (𝑝𝑥 ,𝑝 𝑦 , 𝐼 ) 𝐷𝑥 (𝑝𝑥′ ,𝑝 𝑦 , 𝐼 )
Bienes
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Bienes
Elasticidad Ingreso de la Demanda:
Gráficamente:Curva de Engel
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La Función de Utilidad Indirecta
A menudo es util considerar la utilidad que un consumidor obtiene indirectamente, en función del Ingreso y de los Precios en vez de a partir de las cantidades consumidasDejemos que:
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El Problema Dual
Otra forma de plantearse el Problema de Optimización es: ¿Cual es el presupuesto mínimo que se necesita para alcanzar un nivel de Utilidad dado?En este caso el problema se plantearía funcionalmente de la siguiente manera:
Sujeto a:
Esta da origen a la llamada Demanda Compensada o Demanda Hicksiana
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El Problema Dual
La solución del Problema Dual resulta en el gasto mínimo que el consumidor requiere para alcanzar un nivel de utilidad dado.
Planteando el LaGrange:
Condiciones dePrimer Orden
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El Problema DualEliminando el Multiplicador de LaGrange () tenemos:
TMS = Razón de Precios
Pendiente de la CI=
Pendiente de la Línea de Presupuesto
𝑈 (𝑥 , 𝑦 )=𝑢 Utilidad Constante
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El Problema Dual
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores obtenemos las demandas de que alcanzan el nivel deseado de utilidad al mínimo costo.Cuando las curvas de Indiferencia son estrictamente convexas, la solución es única, y podemos escribir las demandas como función de los precios de y y el nivel de utilidad deseado
Estas se conocen como Funciones de Demanda Compensadas o Funciones de Demanda
Hicksianas
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U1
B
𝑦
A
𝑥
Pendiente
Pendiente
𝑥
𝑝𝑥
𝑝𝑥′
𝐷𝑥
Curva de Demanda Compensada o Hicksiana
Curva de Demanda Compensada o Hicksiana
𝐷𝑥 (𝑝𝑥 ,𝑝 𝑦 ,𝑢)𝐷𝑥 (𝑝𝑥′ ,𝑝 𝑦 ,𝑢)
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La Función de Gasto
Ahora podemos determinar el gasto mínimo requerido para alcanzar un nivel de utilidad gasto dado los preciosDejemos que :
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Homogénea de Primer grado en los Precios.:
Si los precios cambian en la misma proporción, la razón
de precios no cambia y por lo tanto la solución optima
se mantiene igual, el gasto aumente en la misma
proporción que los precios
Cóncava en los Precios
Si el precio cambia el gasto aumentara linealmente si la
combinación de consumo se mantiene igual. Si la
combinación de consumo cambia la variación en el
gasto será no lineal,
Creciente en el precio si es una función creciente
(Monótona)
Propiedades de la Función de Gasto
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Ya que:
Y el Lagrange:
Podemos aplicar el Teorema de la Envolvente para obtener
Lema de Shephard
Lema de Shephard
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![[PDA-BQ] Q-Inspired Newsletter - 201412 Rev](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/55cf8cb25503462b138ef5c1/pda-bq-q-inspired-newsletter-201412-rev.jpg)
