Pokok Bahasan : RUANG VEKTORTIU : Agar mahasiswa dapat memahami tentang:

1. Pengertian dari suatu field beserta sifat-sifatnya2. Ruang vektor di atas suatu field3. vektor bebas linier, 4. vector bergantung linier5. vektor Kombinasi linier

1. Sub Pokok Bahasan : 1 Field2. Ruang vektor di atas suatu field3. Ruang vektor bagian4. Vektor yang bebas dan bergantung linier5. Latihan dan tugas6. Kombinasi Linier7. Dimensi dan Basis

TIK : Agar mahasiswa mampu dan bisa:1. Menjelaskan pengertian dari suatu field2. Mengerti sifat-sifat dari field3. Menjelaskan pengertian dari ruang vektor di atas suatu

field4. Menjawab pertanyaan yang berhubungan dengan materi

di dalam latihan5. Mengerti tentang Penentuan ruang vektor bagian dari

ruang vektor6. Memahami pengertian dan sifat-sifat bebas linier dan

bergantung linier,7. Membedakan vektor-vektor bebas linier dengan

bergantung linier8. Memahami Pengertian dari kombinasi linier9. Memahami Pengertian bahwa vektor merupakan

kombinasi linier dari himpunan vektor lainnya.10. Mengetahui Besarnya dimensi dari suatu ruang vektor11. Mengatahui Basis suatu ruang vector

PEMBAHASAN

1. Menjelaskan pengertian dari suatu field

Field adalah sebuah system aljabar yang dibentuk oleh suatu himpunan tak kosong F

dan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (*)

2. Mengerti sifat-sifat dari field

Misal { K, + , * }, K adalah himpunan , didefinisikan 2 operasi + ( penjumlahan )

dan * (perkalian). Akan dikatakan Field jika dipenuhi :

2.1 untuk setiap , K maka + K dan * K, dikatakan K tertutup

terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

2.2 untuk setiap ,, K maka (+ ) + =+ ( + )

2.3 Terdapat 0 K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + = + 0 = ,

untuk setiap K

2.4 Untuk masing-masing K , terdapat - K disebut negatip dari

sedemikian sehingga (- ) + = +(- )=0

2.5 untuk setiap , K maka + = +

2.6 untuk setiap ,, K maka (*)* =* ( * )

2.7 untuk setiap ,, K

(i) *( + )=* + *

(ii) ( + )* = * + *

2.8 untuk setiap , K maka * = *

2.9 Terdapat 1 K disebut elemen satuan , sedemikian sehingga 1* = *1 = ,

untuk setiap K

2.10 Untuk masing-masing 0 K , terdapat -1 K disebut negatip dari

sedemikian sehingga -1 * = *-1=1

Anggota dari Field disebut Skalar.

Perhatikan : Sistem Bilangan berikut

Bilangan Kompleks Bilangan Imajiner

Bilangan Riil B. Irrasional

B. Rasional

B. Bulat B. Pecahan

Dijelaskan 10 Syarat di atas diterapkan pada Masing-masing bilangan tersebut.

Sehingga dapat disimpulkan Contoh Field adalah Bilangan Kompleks, Riil, dan Rasional.

3. Menjelaskan pengertian dari ruang vektor di atas suatu field

Misal { V , + , * } , V adalah himpunan dan didefinisikan operasi + (penjumlahan)

dan * (perkalian). Maka V disebut Ruang Vektor di atas suatu Field K jika

dipenuhi syarat berikut :

3.1 untuk setiap u,v V dan K maka u + v V, u V dikatakan K

tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

3.2 untuk setiap u,v ,w V maka (u + v) + w = u + (v + w )

3.3 untuk setiap u,v V dan K maka *(u + v)=*u + *v

3.4 Terdapat 0 V disebut vektor nol, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0

= u , untuk setiap u V

3.5 Untuk masing-masing u V , terdapat - u V disebut sedemikian sehingga (-

u) + u = u +(- u) = 0

3.6 untuk setiap u,v V maka u + v = v + u

3.7 untuk setiap u V ,, K berlaku ( + ) *u = * u +* u

3.8 dan ( ) *u = (* u)

3.9 untuk setiap u V berlaku 1* u = u , dimana 1 adalah elemen satuan dari K

Anggota dari Ruang Vektor disebut vektor.

Contoh :

Himpunan Vektor di ruang dimensi 3

Dengan operasi pejumlahan vektor dan perkalian skalar.

4. Mengerti tentang Penentuan ruang vektor bagian dari ruang vektor

Definisi

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika W

itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang

didefinisikan pada V.

Contoh

Pandang R3 dengan susunan koordinat Cartesian dimana X,Y,Z adalah sumbu-

sumbu koordinatnya. Himpunan vektor-vektor pada bidang XOY merupakan ruang

vektor bagian dari R3. Dapat mudah dipahami bahwa komponen ketiga dari setiap

vektor pada XOY adalah = 0. Atau; XOY = {(x,y,0)|x R, yR}

Contoh anggota XOY adalah a = [1,1,0], b= [0,1,0], c = [2,3,0], 0=[0,0,0] dan lain-

lain. Jelas bahwa tidak semua vektor R3 merupakan anggota XOY. Kemudian

mudah ditunjukkan bahwa XOY memenuhi semua aksioma ruang vektor.

Untuk menentukan apakah W merupakan ruang bagian, cukup diperiksa berikut :

4.1 W ≠ Ø (W bukan himpunan kosong). Untuk itu kita tunjukkan bahwa vektor

0 W.

4.2 Untuk setiap a,b W maka a + b W

4.3 Untuk setiap a W dan α K (skalar) maka α a W. maka W adalah ruang

vektor bagian dari V

Ketiga syarat 4.1 , 4.2 , dan 4.3 itu cukup. Karena bila W ⊂ V, aksioma ruang

vektor kecuali 3.1, 3.4, dan 3.5 terpenuhi. Syarat 4.2 dan 4.3 dapat menggantikan

3.1. Sedang 4.1 yaitu W tidak kosong, berarti terdapat u W dan karena 4.3

terpenuhi 0u = 0 W, (-1)u = -(1u) = -u W, berarti 3.4 dan 3.5 terpenuhi.

Dengan menggunakan syarat 4.1 , 4.2 dan 4.3 akan kita tunjukkan bahwa XOY

merupakan ruang vektor bagian dari R3, sebagai berikut :

4.1 XOY ≠ Ø karena [0,0,0] XOY

4.2 Misalkan a = [a1, a2, 0] XOY, b = [b1, b2, 0] XOY maka a + b = [a1+b1,

a2+b2, 0] juga XOY (karena komponen ketiga dari a + b adalah =0)

4.3 Untuk sebarang scalar α dan a = [a1, a2, 0] XOY maka αa = [αa1, α a2, 0]

juga XOY

Jadi terbukti XOY ruang vektor bagian dari R3

5. Memahami pengertian dan sifat-sifat bebas linier dan bergantung linier,

Definisi

Himpunan m buah vektor (u1, u2, … um) disebut tak bebas linier (linearly dependent)

bila terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m yang tidak semuanya nol sedemikian hingga

1 u1 + 2 u2 + …+ m um = 0

Sebaliknya himpunan (u1, u2, … um) disebut bebas linier (linearly independent) jika 1

u1 + 2 u2 + …+ m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = …= m = 0.

Catatan :

1. Jika m=1, maka :

a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena u = 0

0 = 0 terpenuhi juga untuk 0

b. Bila u 0, akan bebas linier karena u=0 hanya dipenuhi oleh =0

2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,…,0, … um) maka

himpunan itu tak bebas linier,

1 u1 + 2 u2 + … + i 0+ … + m um = 0 dipenuhi juga oleh I 0

3. JIka u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = v, maka mereka tak bebas

linier. Sebab u = v 1u - v = 0, artinya terdapat 0 pada 1 v + 2 u = 0

Contoh Soal :

Selidiki dan tentukan apakah himpunan vektor – vektor dibawah ini bebas linier

atau bergantung linier ?

a. A = {2,2,3} dan B = {3,1,2}

b. B = {2,3,4} dan C = {4,6,8}

c. U = {3,-1,4,5} dan V = {1,2,1,6}

d. U = {1,2,3} V = {2,3,7} dan W = {0,0,0}

e. U = {5,2,3} V = {1,7,2} dan W= {10,4,6}

Jawab :

a. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier karena semua anggota himpunannya

tidak berkelipatan.

b. Himpunan vektor ini disebut bergantung linier karena semua anggota

himpunannya berkelipatan satu sama lain yaitu C=2B.

c. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier karena semua anggota himpunannya

tidak berkelipatan.

d. Jika ada himpunan yang mengandung nol berarti disebut bergantung linier

walaupun himpunan lain bebas linier tetapi jika ada himpunan yang mengandung

nol tetap disebut bergantung linier.

e. Jika kita menemukan soal seperti ini yang terdiri dari tiga himpunan bahkan ada

yang lebih.Dan kondisinya dimana dari tiga himpunan vektor tersebut,hanya ada

dua yang berkelipatan yaitu (U dan W) dan yang selain itu himpunannya yaitu (V)

bersifat bebas linier.Disini,jawabannya yaitu bergantung linier karena sebagian

bergantung linier atau dengan kata lin,lebih dominan bergantung linier maka

seluruhnya ikut bergantung linier.

6. Memahami Pengertian dari kombinasi linier

7. Memahami Pengertian bahwa vektor merupakan kombinasi linier dari

himpunan vektor lainnya

Definisi

Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u1, u2, … um) bila

terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m sedemikian hingga v = 1 u1 + 2 u2 + …+ m

um.

Contoh 2.1

a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]

Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c

Kita hitung 1, dan 2 yang memenuhi [2, 1, 2] = 1 [1, 0, 3] + 2 [3, 1, 5]

2 = 1 + 3 2

1 = 2

2 = 3 1 + 5 2

Dengan substitusi, diperoleh 1 = -1 dan 2 = 1

Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c

Contoh 2:

Tinjaulah vektor-vektor u = [1,2,-1] dan v = [6,4,2]di R3. Perlihatkan bahwa w =

[9,2,7] adalah kombinasi linear u dan v

Jawab :

Agar w merupakan kombinasi linear u dan v, harus ada skalar k1 dan k2 sehingga w

=k1u+k2v;yakni :

[9,2,7] = k1[1,2,-1] +k2[6,4,2]

k1 + 6 k2 = 9

2k1 + 4k2 = 2

-k1 + 2k2 = 7

Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan k1 = -3, k2 = 2 sehingga

w = - 3u +2v

Contoh 3 :

Dari contoh 2 di atas perlihatkan bahwa y= [4,-1,8] bukanlah kombinasi linear u dan

v

Jawab :

Agar w merupakan kombinasi linear u dan v, harus ada skalar k1 dan k2 sehingga

y=k1u+k2v ;yakni:

[4,-1,8] = k1[1,2,-1] +k2[6,4,2]

k1 + 6 k2 = 4

2k1 + 4k2 = -1

-k1 + 2k2 = 8

Sistem persamaan ini tidak konsisten . sehingga tidak ada skalar-skalar seperti.

Sebagai konsekuensinya, maka y bukanlah kombinasi linier u dan v.

Arti Kombinasi Linear Secara Ilmu Ukur

1. Kalau v kombinasi linear dari suatu vektor u, yaitu v = ku, yang mana v adalah

kelipatan dari u dengan garis pembawanya sama atau sejajar, v dan u disebut

koliner (segaris)

2. v kombinasi linear dari 2 vektor u1 dan u2 yaitu v = ku1 + ku2, maka v adalah

diagonal jajaran genjang yang sisi-sisinya ku1 dan ku2 . v, u1, u2 disebut koplanar

(sebidang). Kalau u1, u2 segaris maka jelas v, u1, u2 adalah segaris pula.

3. v kombinasikan linier dari 3 vektor u1, u2, u3 yang tidak sebidang, yaitu v = ku1

+ ku2 + ku3, maka v adalah diagonal ruang kubus yang sisi-sisinya ku1, ku2, ku2.

Untuk lebih dari 3 vektor kita tak dapat menggambarkan secara ilmu ukur.

8. Mengetahui Besarnya dimensi dari suatu ruang vektor

9. Mengatahui Basis suatu ruang vector

Sebelum mempelajari basis dan dimensi, harus mengetahui merentang (spanning).

Merentang (Spanning) jika v1, v2, ...,vr adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor

V maka umumnya beberapa vektor pada V mungkin merupakan kombinasi linear dari

v1, v2, ...,vr dan vektor lainnya mungkin tidak. Jika v1, v2, ...,vr adalah vektor-vektor

pada suatu ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear v1, v2, ...,vr maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini

merentang V

Contoh

Tentukan apakah v1= (1,1,2), v2 = (1,0,1) dan v3= (2,1,3) merentang R3

Jawab :

Kita harus menentukan apakah sebarang vektor b = (b1, b2, b3) pada R 3 dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear

b = k1v1 + k2v2 + k3v3

dari vektor-vektor v1, v2, dan v3 . dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-

komponen maka akan memberikan

(b1, b2, b3)= k1(1,1,2) + k2(1,0,1) + k3(2,1,3)

Dapat juga

k1 + k2 + 2k3 = b1

k1 + k3 = b2

2k1+ k2+3k3 = b3

Jadi soal tersebut direduksi untuk menentukan apakah sistem ini konsisten atau tidak

bagi semua nilai b1, b2, b3. Sistem ini konsisten untuk semua nilai b1, b2, b3 jika dan

hanya jika matriks koefisien

A=[1 1 21 0 12 1 3]

Memiliki invers. Karena matriks diatas det(A) = 0 maka A tidak memiliki invers dan

konsekuensinya v1, v2, dan v3 tidak merentang R3.

Basis

Definisi Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1,v2,...,vr} merupakan

himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S kita namakan basis untuk V

jika :

(i) S bebas linear

(ii) S merentang V

Contoh :

Misalkan v1= (1,2,1), v2= (2,9,0) dan v3 = (3,3,4). Perlihatkan bahwa himpunan

S={v1,v2,v3) adalah basis untuk R3.

Jawab :

Untuk memperlihatkan bahwa S merentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa

sebarang vektor b = (b1, b2, b3) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear.

b = k1v1 + k2v2 + k3v3 (1)

dari vektor-vektor pada S. Dengan menyatakan persamaan ini ke dalam komponen-

komponennya maka akan memberikan

k1 + 2k2 + 3 k3 = b1

2k1+9k2 + 3k3 = b2 (2)

k1 + 4k3 = b3

Untuk membuktikan bhawa S bebas linear, kita harus pperlihatkan bahwa satu-satunya

pemecahan dari 0 = k1v1 + k2v2 + k3v3 (3)

Adalah k1 = k2 = k3 = 0. Jika persamaan (3) dinyatakan dalam komponen-

komponennya, maka pembuktian bebas linear akan direduksi menjadi pembuktian

bahwa sistem tersebut homogen (semua suku konstan sama dengan nol)

k1 + 2k2 + 3 k3 = 0

2k1+9k2 + 3k3 = 0 (4)

k1 + 4k3 = 0

hanya mempunyai pemecahan trivial (semua pemecahannya sama dengan nol). Karena

persamaan (2) dan (4) memiliki matriks koefisien yang sama maka kita dapat

membuktikan S bebas linear dan merentang R3 secara serempak dengan

memperlihatkan bahwa matrik koefisien

A=[1 2 32 9 31 0 4]

memiliki invers. Karena

det ( A )=[1 1 21 0 12 1 3]=−1

Maka jelas A mempunyai invers. Jadi S adalah sebuah basis untuk R3.

Dimensi

Definisi Sebuah ruang vektor tak nol V dinamakan berdimensi berhingga jika ruang

vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor

{v1,v2,v3,...,vn} yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu

maka V dinamakan berdimensi tak berhingga.

Definisi Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan

sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Kita definisikan ruang vektor nol

mempunyai dimensi nol.

CONTOH SOAL :

Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :

a. A={1,2,3} B={2,2,3} C={2,1,2}

b. A={1,2,3} B={2,4,6} C={2,3,5}

c. A={2,3,4} B={4,6,8} C={6,9,12}

JAWAB :

a. Ketiga himpunan diatas termasuk vektor yang bersifat bebas linier.Oleh karena itu

dimensinya adalah 3 dan basis adalah {A,B,C}.Ketiganya termasuk basis karena

bebas linier.

b. Dari himpunan – himpunan di atas,dua vektor yaitu {A,B} bergantung linier karena

berkelipatan.Karena lebih dominan bergantung linier sehingga {A,B,C} bergantung

linier.Tetapi karena yang dapat dikatakan sebagai basis harus bersifat bebas linier

sehingga kita dapat mengambil dua vektor yang bebas linier yaitu {A,C}.Berarti

dimensi adlah 2 karena vektor yang termasuk basis ada 2.Jadi basisnya adalah {A,C}.

c. Ketiga vektor – vektor diatas berkelipatan sehingga bergantung linier.Karena dari

itu,kita hanya dapat mengambil satu vektor yang bebas linier yaitu {C}.Jadi dimensi

adalah 1 dan basisnya adalah {C}.

BAB VTRANSFORMASI LINIER

5.1 Pengantar

DefinisiJika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F

disebut transformasi linier, jika :

(i). F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semua vektor u dan v di V

(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k

Contoh 5.1

Misal F:R2 R3 adalah sebuah fungsi yang didefinisikan oleh :

F(v) = (x, x+y, x-y)

Jika u=(x1, y1) dan v=(x2, y2) maka u + v = (x1 + x2 , y1 + y2)

Sehingga ,

F(u + v) = (x1 + x2, [x1 + x2]+[ y1 + y2], [x1 + x2]-[ y1 + y2])

= (x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 – y2)

= F(u) + F(v)

Demikian juga jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1) sehingga

F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 - ky1)

= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)

= k F(u)

Jadi F adalah sebuah transformasi linier

Latihan :

Tentukan apakah F linier untuk masing – masing latihan berikut :

1. F(x,y) = (2x, y)

2. F(x,y) = (2x+y, x-y)

3. F(x, y, z) = (2x+y, 3y-4z)

4. F(x,y,z) = (1, 1)

5.2 Transformasi Linier dari Rn Rm

Misalkan e1, e2, . . . , en adalah basis baku untuk Rn dan misalkan A adalah sebuah

matrik m x n yang mempunyai T(e1), T(e2), . . . , T(en) sebagai vektor – vektor

kolomnya.

Misal jika T:R2 R2 diberikan oleh :

T([x1

x2 ]) = [ x1+2x2

x1 − x2]

Maka

T(e1) = T([10 ])

= [11 ]

dan T(e2) = T([01 ])

= [ 2−1]

Jadi A = [1 21 −1 ]

adalah matrik baku untuk T di atas.

5.3 Jenis – jenis Transformasi Linier bidang

1. Rotasi (Perputaran)

Matrik baku untuk T adalah : [cos θ −sin θsin θ cos θ ]

2. Refleksi

Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan masing –

masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l

Matrik baku untuk :

a. refleksi terhadap sumbu y ( yang mengubah [ x

y ] menjadi

[−xy ]

) adalah :

[−1 00 1 ]

b. refleksi terhadap sumbu x ( yang mengubah [ xy ]

menjadi [ x− y ]

) adalah :

[1 00 −1 ]

c. refleksi terhadap garis y = x ( yang mengubah [ x

y ] menjadi

[ yx ]

) adalah :

[0 11 0 ]

3. Ekspansi dan kompresi

Jika koordinat x dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan

konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar

bidang dalam arah x. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar

bidang dalam arah x. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah x

dengan faktor k

Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [k 00 1 ]

Demikian juga , jika koordinat y dari masing – masing titik pada bidang dikalikan

dengan konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas

gambar bidang dalam arah y. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi

gambar bidang dalam arah y. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam

arah y dengan faktor k

Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 00 k ]

4. Geseran

Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang

menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu x sebanyak ky

menuju kedudukan yang baru (x + ky, y)

Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 k0 1 ]

Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang

menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu y sebanyak kx

menuju kedudukan yang baru (x , y + kx)

Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 0k 1 ]

Jika dilakukan banyak sekali transformasi matrik dari Rn ke Rm secara berturutan, maka

hasil yang sama dapat dicapai dengan transformasi matrik tunggal.

Jika transformasi - transformasi matrik

T1(x) = A1x, T2(x) = A2x, , .... , Tn(x) = Anx,

Dari Rn ke Rm dilakukan berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan

transformasi matrik tunggal T(x) = Ax, dimana

A = Ak . . . A2 A1

Contoh 5.2a. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula menggeser dengan

faktor sebesar 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap y = xb. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula merefleksikannya

terhadap y = x dan kemudian menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x

Jawab :

a). Matrik baku untuk geseran adalah A1 = [1 20 1 ]

Dan untuk refleksi terhadap y = x adalah A2 = [0 11 0 ]

Jadi matrik baku untuk geseran yang diikuti dengan refleksi adalah

A2. A1 = [0 11 0 ][1 2

0 1 ] =

[0 11 2 ]

b). Matrik baku untuk refleksi yang diikuti dengan geseran adalah

A1. A2 = [1 20 1 ][0 1

1 0 ] =

[2 11 0 ]

Dari contoh di atas, perhatikan bahwa A2. A1 A1. A2

Jika T:R2 R2 adalah perkalian oleh sebuah matrik A yang punya invers, dan misalkan T

memetakan titik (x,y) ke titik (x’, y’), maka

[ x 'y ' ] = A

[ xy ]

Dan

[ xy ]

= A-1 [ x '

y ' ]Contoh 5.3

Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 1 yang dipetakan oleh matrik A =

[3 12 1 ]

Jawab :

[ x 'y ' ] =

[3 12 1 ]

[ xy ]

Dan

[ xy ]

= [3 12 1 ]−1

[ x 'y ' ] =

[ 1 −1−2 3 ][ x '

y ' ]Sehingga

x = x’ – y’

y = -2x’ + 3y’

Substitusikan ke y = 2x + 1 maka dihasilkan :

-2x’ + 3y’ = 2(x’ – y’) + 1

-2x’ + 3y’ = 2x’ – 2y’ + 1

5y’ = 4x’ + 1

y’ = 4

5 x’ + 1

5

Latihan

1. Carilah matrik bakunya

a. T([x1

x2 ])=

[ x2

−x1

x1+3 x2

x1−x2]

b. T

([x1

x2

x3

x4])

= [7 x1+2x2−x3+x4

x2+x3

−x1]

2. Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2 R2 yang

memetakan titik (x,y) ke dalam :

(a). Refleksi terhadap garis y = -x

(b). Refleksi melalui titk pusat

(c). Proyeksi ortogonal pada sumbu x

(d). Proyeksi ortogonal pada sumbu y

3. Gambarkan bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0), (1,0), (0,1),

dan (1,1) di bawah perkalian oleh A = [−3 0

0 1 ]4. Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah perkalian oleh A =

[4 −33 −2 ]

BAB VINILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

DefinisiJika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen

dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,

Ax = x

untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen

yang bersesuaian dengan .

Contoh 6.1

Vektor x = [12]

adalah vektor eigen dari A = [3 08 −1 ]

Yang bersesuaian dengan nilai = 3 karena

Ax = [3 08 −1 ][12]

= [36 ]

= 3[12]

Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya

kembali Ax = x sebagai Ax = Ix

(I – A)x = 0

Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika

det(I – A)=0 ...................................................(6.1)

Persamaan (6.1) disebut persamaan karakteristik A.

Contoh 6.2

Carilah nilai – nilai eigen dari A = [ 3 2−1 0 ]

Jawab :

Karena

I – A = [1 00 1 ]

- [ 3 2−1 0 ]

= [ λ−3 −2

1 λ ]Det(I – A) = (-3) - (-2) = 0

= 2 - 3 + 2 = 0

1 = 2, 2 = 1

Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1

Latihan :

1. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A = [10 −9

4 −2 ]

2. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A = [ 4 0 1−2 1 0−2 0 1 ]

Pokok Bahasan : SISTEM PERSAMAAN LINEAR

TIU : Agar mahasiswa dapat mencari solusi dari sistem persamaan linier dengan

aturan cramer

Sub Pokok Bahasan : 1. Persamaan Linier dan Sistem Persamaan Linier2. Susunan Sistem Persamaan Linier3. Sistem Persamaan Linier Homogen4. Sistem Persamaan Linier Non Homogen5. Penyelesaian sistem Persamaan Linier

TIK : Agar mahasiswa mampu dan bisa:1. Memahami Pengertian dari persamaan linier2. Memahami Pengertian Sistem Persamaan Linier3. Memahami Susunan (jenis) dari sistem persamaan linier4. Memahami Sistem persamaan linier Homogen

5. Memahami Perbedaan sistem persamaan linier homogen trivial atau tidak

6. Memahami Syarat suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai solusi ( selain solusi trivial)

7. Memahami Pengertian sistem persamaan linier non homogen

1. Memahami Pengertian dari persamaan linier

2. Memahami Pengertian Sistem Persamaan Linier

Definisi :

Bentuk umum a1 x1+a2 x2+…+an xr=b adalah persamaan linear dengan a sebagai koefisien, x

variabel, dan b konstanta dan sekumpulan harga yang memenuhi nilai variabel x disebut

solusi (jawab) persamaan. Variabel di dalam persamaan linear bukan sebagai argumen fungsi

trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial.

Definisi Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1,

x2, ..., xn dinamakan sistem persamaan linear

Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, … , sn dinamakan sebuah pemecahan dari

sistem tersebut jika x1 = s1, x2 = s2 ,… , xn = sn adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap

persamaan di dalam system tersebut. Tidak semua sistem persamaan linier mempunyai pemecahan. Persamaan linier yang

memiliki setidak- tidaknya satu pemecahan disebut konsisten (Consistent). Persamaan linier

yang tidak mempunyai pemecahan disebut takkonsisten (inconsistent).

Ada 3 kemungkinan penyelesaaian persamaan linier :

1. Tidak mempunyai pemecahan

2. Mempunyai persis satu pemecahan.

3. Mempunyai tak hingga banyaknya pemecahan

Definisi :

Sebuah Sistem Persamaan Linier yang terdiri dari m buah persamaan linier dengan n buah

bilangan yang tidak diketahui dapat dinyatakan dengan :

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

dimana x1, x2, … , xn adalah bilangan-bilangan yang tidak diketahui (variable), a

menyatakan koefisien dan b menyatakan kontanta-konstanta

Dan sistem persamaan linear di atas jika dinyatakan dalam matriks adalah :

AX = B

[ a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 … amn

][ x1

x2

⋮xn

]=[ b1

b2

⋮bm

]Apabila matriks A digabung dengan matriks B maka disebut augmented matriks (matriks

yang diperbesar), yaitu

[ a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 … amn

b1

b2

⋮bm

]dan memiliki rank lengkap (r(A,B)).

Teorema Suatu system persamaan linear konsisten jika rank matriks koefisien (r(A)) = rank

matriks lengkap (r(A,B)

3. Memahami Susunan (jenis) dari sistem persamaan linier

4. Memahami Sistem persamaan linier Homogen

Sistem Persamaan Linear Homogen adalah system persamaan linear yang memiliki konstanta

sama dengan nol, AX = 0.

SUSUNAN PERSAMAAN LINEAR

HomogenAX = 0

Non HomogenAX = B, B≠0

Selalu ada solusi Tidak Punya Solusir(A) ≠ r(A,B)

Punya Solusi

Hanya punya solusi trivial

(nol)

Selain trivial, juga nontrivial

Solusi Unik dg aturan cramer

Solusi Banyak

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0

Sistem persamaan linear homogen selalu memiliki solusi, karena r(A) = r(A,0), paling sedikit

memiliki solusi nol atau solusi trivial.

5. Memahami Perbedaan sistem persamaan linier homogen trivial atau tidak

Suatu persamaan linear homogen memiliki solusi trivial jika r = n (banyaknya rank matriks

koefisien = banyaknya variable).

Suatu persamaan linear homogen selain memiliki solusi trivial juga memiliki solusi non

trivial jika r < n (rank matriks koefisien lebih sedikit dari banyaknya variable)

6. Memahami Syarat suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai solusi

( selain solusi trivial)

Misalkan banyaknya persamaan linear adalah m buah, jika m < n (banyaknya persamaan

lebih sedikit dari banyaknya variable) maka pasti ada solusi non trivial.

7. Memahami Pengertian sistem persamaan linier non homogen

Sistem Persamaan Linear Non Homogen adalah system persamaan linear yang memiliki

konstanta sama dengan b, AX = b.

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

ATURAN CRAMERTheoremaJika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui

sehingga det(A) ¿ 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik. Pemecahan ini

adalah :

x1 =

det ( A1 )det ( A ) , x2 =

det ( A2 )det ( A ) , … , xn =

det ( An )det ( A )

dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen- elemen dalam kolom

ke j dari A dengan elemen matrik B =

[ bb2

.bn

]Contoh 4.8:

Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan

x1 + + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

Jawab :

A= [ 1 0 2−3 4 6−1 −2 3 ]

,

A1= [ 6 0 230 4 68 −2 3 ]

, A2= [ 1 6 2−3 30 6−1 8 3 ]

, A3= [ 1 0 6−3 4 30−1 −2 3 ]

Maka

x1 =

det ( A1 )det ( A ) =

−4044 =

−1011 ,

x2=

det ( A2 )det ( A ) =

7244 =

1811 ,

x3 =

det ( A3 )det ( A ) =

15244 =

3811