APROKSIMASI EIGENVALUE DOMINAN

Definisi 1:

Sebuah eigenvalue dari sebuah matriks A disebut eigenvalue dominant dari A jika

nilai mutlaknya lebih besar dari mutlak eigenvalue – eigenvalue yang lainnya.

Sebuah eigenvalue yang bersesuaian dengan eigenvektor dominan dari A.

Contoh 1 :

Jika matriks A4x4 mempunyai eigenvalue – eigenvalue λ=−4. λ=−2 , λ=−2 , λ=2maka

λ=−4 adalah eigenvalue dominant sebab |−4|>|3|;|−4|>|−2|dan|−4|>|2|

Contoh 2.

Matriks A3x3 dengan eigenvalue λ=7 , λ=−7 , λ=−2 , λ=2 tidak mempunyai eigenvalue

dominant.

Misalkan A adalah sebuah matriks n x n yang diagonalazble dengan sebuah eigenvektor

dominan. Akan ditunjukkan bahwa jika x0 adalah sebuah vektor sebarang yang tidak nol

dalam Rn maka vektor Apx0 ....(*) umumnya adalah sebuah aproksimal yang baik untuk

sebuah eigenvektor dominan A dimana eksponen padalah besar.

Contoh:

Matriks:

A = [ 3 2−1 0 ] mempunyai eigenvalue λ = 2, λ=1

Ruang eigen yang berkaitan dengan eigenvalue dominan λ=2. Adalah ruang penyelesaian

dari sistem:

(2 I−A ) x=0

(2[1 00 1]−[ 3 2

−1 0])[ x1

x2]=[00 ]

[−1 −21 2 ] [x1

x2]=¿ [00]

Penyelesaian dari sistem ini menghasilkan x1=−2 t dan x2=t

Jadi eigenvektor yang berkaitan dengan λ=2 , adalah vektor tidak nol dari bentuk

x=[−2tt ]………….¿

Sekarang kita melukiskan prosedur dengan menggunakan (**) untuk mengaproksimasi

eigenvektor dominan dari A. Kita mulai dengan mengambil sebarang vektor.

x0=[11]Perhatikan berulang x0 dengan A menghasilkan:

A x0=¿ [ 3 2−1 0] [11]=[ 5

−1]A2 x0=A ( A x0 )=[ 3 2

−1 0] [ 5−1]=[ 13

−5]=5 [2,6−1]

A3 x0=A (A2 x0 )=[ 3 2−1 0][ 13

−5]=[ 29−13]=13[2,23

−1 ]A4 x0=A (A3 x0)=[ 3 2

−1 0] [ 29−13 ]=[ 61

−29]≈29[2,10−1 ]

A5 x0=A (A4 x0)=[ 3 2−1 0] [ 61

−29]=[ 125−61]≈61[2,05

−1 ]A6 x0=A (A5 x0 )=[ 3 2

−1 0][ 125−61]=[ 235

−125]≈125 [2,02−1 ]

A7 x0=A (A6 x0 )=[ 3 2−1 0][ 235

−125]=[ 509−253 ]≈253 [2,01

−1 ]

Pada akhir tiap – tiap perhitungan dapat dilihat bahwa itu adalah perkalian suatu skalar

dengan suatu vektor.Perhatikan vektor – vektor dari perkalian skalar diatas dibandingkan

dengan bentuk x = [ 2 t−1] dengan mengambil t = 1 atau x=[ 2

−1] maka perhitungan –

perhitungan dengan langkah – langkah di atas tadi adalah menghasilkan aproksimasi untuk

eigenvektor dominan dari A.

Perhatikan:

x=[ 2−1] adalah sebuah eigenvektor dominan dari A, dan perkalian skalar dari eigenvektor

dominan adalah eigenvektor dominan juga. Sekarang akan kita tunjukkan bagaimana

mengaprosimasi eigenvalue dominan jika suatu aproksimasi eigenvektor dominan diketahui.

Misalkan λ adalah eigenvalue dari matriks A dan x eigenvektor yang berkaitan

dengan eigenvalue tersebut. Jika ⟨ ⟩ menyatakan euclidean innerproduct maka berdasarkan

sifat – sifat yang dituliskan:

⟨ x , Ax ⟩⟨ x , x ⟩

=⟨ x , λx ⟩⟨ x , x ⟩

=λ ⟨ x , x ⟩⟨ x , x ⟩

= λ

Jadi jika x adalah eigenvektor hasil aproksimasi, maka eigenvalue dominan λ1 dapat

ditentukan dengan aproksimasi.

λ≈⟨ x , Ax ⟩⟨ x , x ⟩

Perbandingan ini disebut Rayleigh Ouotient

Contoh:

Pada contoh 3 sebelumnya didapat x = [ 509−253] sebuah eigenvektor dominan. Hasil

aproksimasi,

A x=[ 3 2−1 0] [ 509

−253 ]=[ 1021−509]

Substitusikan pada (***) didapat:

λ≈⟨ x , Ax ⟩⟨ x , x ⟩

=509 (1021 )+(−253 )−509509 (509 )+ (−253 ) (−253 )

=2,007

Iniadalah aproksimal yang baik untuk dominan λ1=2.

Teknik pengujian dalam contoh diatas tadi untuk aproksimasi eigenvalue dan

eigenvektor dominan sering disebut metode power atau metode pengulangan .

Dalam contoh di atas metode power itu seringkali menghasilkan vektor – vektor yang

mempunyai komponen – komponen besar dan kurang baik. Untuk memperbaiki masalah ini

biasanya digunakan aproksimasi eigenvektor dengan “scaledown”. Dimana pada setiap

langkah dikerjakan sedemikian sehingga komponen terletak antara +1 dan -1. Ini dapat

dicapai denganmengalikan eigenvektor hasil aproksimasi dengan kebalikan dari

komponennya yang mempunyai nilai mutlak besar.

Sebagai gambaran pada langkah pertama dari contoh tadi, aproksimasi dari eigenvektor

adalah:

[ 5−1]

Komponen dapat nilai mutlak terbesar adalah 5, jadi “scaledown” eigenvektor adalah:

15 [ 5

−1]=[ 1−0,2]

Sekarang kita ringkasan langkah – langkah dalam metode power dengan “scaling”.

Langkah 0: Ambil vektor tidak nol x0

Langkah 1: Hitunglah A x0 dan scaledown menghasilkan aproksimasi pertama untuk

eigenvektor dominan. Sebuah ini nilai x1

Langkah 2: hitunglah A x1 dan scaledown menghasilkan aproksimasi kedua x2

https://www.academia.edu/6524370/Aplikasi_Graf_Dalam_Permainan_Catur

http://sinjai-220456.blogspot.com/2014_03_01_archive.html