Alineamiento Horizontal 1

APUNTES DE VIAS.

Prof. Ing. José Tomás López F. Página 1

ALINEAMIENTO HORIZONTAL

Luego de obtenida o precisada topográficamente la poligonal abierta, que servirá

para el trazado de la Carretera, se elaboran con estos datos planos de: Planta,

Perfil Longitudinal y de Secciones Transversales.

La Planta de una Carretera es la proyección de ésta sobre un Plano Horizontal.

El Plano de Planta u Horizontal, como también se le conoce, es un sistema de

coordenadas rectangulares, siendo uno de sus ejes la línea Norte (N) – Sur (S)

geográfica de uno de sus puntos, tomado como origen.

La carretera la definimos, generalmente, sobre el Plano Horizontal, por medio de

su Eje Central.

La proyección de este eje sobre el Plano Horizontal es lo que se conoce como

ALINEAMIENTO HORIZONTAL.

El Alineamiento Horizontal de una Carretera, consta de una poligonal abierta

(rectas), cuyas deflexiones o cambios de direcciones son suavizadas por curvas.

Ver Fig. 1

En este capítulo estudiaremos lo referente a los tramos rectos del Alineamiento

Horizontal.

V-3

Δ1

V-1

E

D

V-4

Δ2

N

D

Fig.1

V-0

Siendo:

V-0; V-1; V-2 y V-3: vértices o Puntos de Intersección de los Alineamientos.

∆1 y ∆2: Deflexiones del Alineamiento en cada vértice.

APUNTES DE VIAS.


COORDENADAS, RUMBOS Y

AZIMUT

Para representar una poligonal en el Plano Horizontal, es necesario conocer sus

Coordenadas, bien sea rectangulares o polares.

Veamos el siguiente grafico.

Según lo expresado en el gráfico anterior el punto A está representado por sus

Coordenadas Norte (NA) y Este (EA), de igual manera los demás puntos que representan

los vértices de la poligonal y que a su vez la definen, de esta manera los vértices

quedarían representados de la siguiente manera:

A: (NA, EA);

B: (NB, EB) y

C: (NC, Ec).

Por lo general en un Levantamiento Topográfico, se conocen las Coordenadas del punto

de partida, en nuestro ejemplo A, bien sea por Determinación Astronómica Directa, por

deducción a partir de las coordenadas conocidas de dos (2) postes de triangulación o por

el uso adecuado y exacto de GPS (en menor proporción).

Se necesita, por tanto el cálculo de las coordenadas de los otros puntos (vértices), que

componen la poligonal.

NA

NB

NC

EC EB

EA

C

A

B

N

E

C

APUNTES DE VIAS.


Ello lo realizaremos a través del uso de las coordenadas polares, que no son más que el

conocimiento de la distancia que une a dos puntos, el ángulo de referencia de la línea

que une esos dos puntos y de las coordenadas de uno de esos puntos.

Veamos:

Siendo:

Para la Semirecta AB

∆NAB = (NB - NA)

dAB = Distancia entre los puntos A y B

α1 = Angulo formado entre la línea Norte y la recta AB

Para la Semirecta BC

∆NABC = (NC - NB)

dBC = Distancia entre los puntos B y C

α2 = Angulo formado entre la línea Norte y la recta CB.

Los levantamientos topográficos nos dan los valores de los ángulos α1 y α2 , de las

distancias dAB, dBC y de las coordenadas del punto A (NA; EA).

Conocidos estos datos y con simples funciones trigonométricas podemos hallar los

Coordenadas de los demás vértices de la poligonal

NA

NB

NC

EC EB

EA

C

A

B

N

E

C

∆NAB

∆NBC

∆EAB ∆EBC

α1

α2

APUNTES DE VIAS.


CALCULO DE COORDENADAS DE UN PUNTO :

NB = NA + (dAB) * cos (α1) NC = NB + (dBC) * cos (α2)

EB = EA + (dAB) * cos (α1) EC = EB + (dBC) * cos (α2)

Los ángulos (α1 y α2) son conocidos como Rumbo o Azimut de la Línea o recta de

estudio, cuyos conceptos veremos a continuación.

AZIMUT

El Azimut de una dirección AB (AzAB), es el ángulo formado por la dirección Norte

(N), y la Semirecta AB.

Se mide desde la dirección Norte (N) hacia el Este (E), en sentido horario, siendo esta

dirección considerada positiva (+).

Su valor está comprendido entre 0° y 360°

y

E

N

E B

E

A

AB en I C

0° < AzAB ≤ 90°

AzAB

AzAB

AzAB

180° < AzAB ≤ 270°

E

N

E

B

E

A

AB en III C

AzAB

E

N

E B

E

A

AB en IV C

270° < AzAB ≤ 360°

AzAB

E

N

E

B

E

A

AB en II C

90° < AzAB ≤ 180°

AzAB

APUNTES DE VIAS.


RUMBO

El Rumbo de una dirección AB es el ángulo siempre agudo (< 90°), formado por la

Línea Norte (N) – Sur (S) que pasa por A y la Semirecta AB

Se mide siempre desde la línea Norte (N) o Sur (S) hacia el Este (E) u Oeste (W), hasta

la Semirecta AB

Se denota anteponiendo al valor del ángulo, la inicial de la línea de donde se sale, Norte

(N) o Sur (S) y por último la inicial de la línea hacia donde se dirige el ángulo, Este (E)

u Oeste (W), como se señala en las siguientes figuras.

E

N

E B

E

A

AB en IV C

RAB = N (α) W

α

E

N

E B

E

A

AB en I C

RAB = N (α) E

α

E

N

E

B

E

A

AB en III C

RAB = S (α) W

α

E

N

E

B

E

A

AB en II C

RAB = S (α) E

α

APUNTES DE VIAS.


CONTRA - RUMBO (CR):

En las figuras anteriores todos los rumbos se midieron desde el punto A. Cuando se

trata del rumbo de la misma línea, pero observado desde el extremo opuesto (B), se

habla de Rumbo Inverso o Contra-Rumbo. Convertir rumbos a contra-rumbos es muy

sencillo, pues los ángulos son ángulos alternos-internos (recordar el teorema de ángulos

congruentes en una secante que corta dos líneas paralelas), entonces el único trabajo que

resta es cambiar las letras que indican el cuadrante por las contrarias, es decir N por S (y

viceversa) y E por W (y viceversa). Igualmente el Contra - Rumbo es el Rumbo visto

desde el otro punto.

Veamos el siguiente ejemplo:

E

N

E

B

E

A

RAB = N (40°)

E

40

E

N

E

40

CRAB = S (40°) W

RBA = S (40°) W

APUNTES DE VIAS.


CONVERSIONES:

Al analizar los conceptos de Rumbo y Azimut, nos damos cuenta que una línea ubicada

en cualquier cuadrante posee indistintamente las dos direcciones, Rumbo y Azimut, por

lo que no es muy difícil deducir que debe existir entre ambas algo que las relacione, esta

relación la estaremos analizando a continuación:

Resumiendo:

Cuadrante

Dirección I II III IV

RAB AzAB 180° - AzAB AzAB – 180° 360° - AzAB

AzAB RAB 180° - RAB 180° + RAB 360° - RAB

E

N

E B

E

A

AB en I C

RAB = AzAB

AzAB = RAB

AzAB

RAB

E

N

E

A

AB en II C

AzAB

RAB

RAB = 180° - AzAB

AzAB = 180° - RAB

B

E

E

N

E

A

AB en III C

AzAB

RAB

RAB = AzAB - 180°

AzAB = 180° + RAB

B

E

B

E

A

RAB

E

N

E

AB en IV C

AzAB

RAB = AzAB - 180°

AzAB = 180° - RAB

APUNTES DE VIAS.


Supongamos, que de una Semirecta AB conocemos las coordenadas de sus

vértices

Si hacemos que siempre, α < 90°, éste se convierte en el Rumbo de la línea AB, no

importando el cuadrante en que la línea se encuentre, por lo que, haciendo uso del

Teorema de Pitágoras y la fórmula para el cálculo de la tangente de una recta tenemos:

Y

La fórmula del cálculo del Rumbo AB (RAB) nos da el valor del ángulo, no así, la

direccionalidad de la recta, es decir su nomenclatura, partiendo del hecho que:

Visto de otra manera

Cuad.

∆ I II III IV

∆NAB (+) (-) (-) (+)

∆EAB (+) (+) (-) (-)

NA

NB

EB EA

A

B

N

E

C

∆NAB

∆EAB

α dAB

dAB = √ (∆NAB)2 + ∆EAB)

2 RAB = arctg ∆EAB

∆NAB

E

N

E I C

∆NAB (+)

∆EAB (+)

II C

∆NAB (-)

∆EAB (+)

III C

∆NAB (-)

∆EAB (-)

IV C

∆NAB (+)

∆EAB (-)

APUNTES DE VIAS.


Podemos deducir que:

Revisemos nuevamente el gráfico que se muestra a continuación, y consigamos las

fórmulas para calcular las coordenadas de un punto (B), conocidas las Coordenadas de

un punto anterior (A), la distancia que une esos dos (2) puntos (dAB)y el Rumbo que

direcciona la línea AB (RAB), haciendo uso de funciones trigonométricas conocidas:

Sen (RAB) = (∆EAB) / (dAB) => (∆EAB) = (dAB) * Sen (RAB)

Sabiendo que: (∆EAB) = (EB - EA) Y que puede tener signos positivo (+) o negativo

(-), según el cuadrante donde esté ubicada la línea AB, nos queda:

Será (+) si (∆EAB) es Positivo y viceversa

Cos (RAB) = (∆NAB) / (dAB) => (∆NAB) = (dAB) * Cos (RAB)

Sabiendo que: (∆NB) = (NB - NA) Y que puede tener signos positivo (+) o negativo

(-), según el cuadrante donde esté ubicada la línea AB, nos queda:

Será (+) si (∆NAB) es Positivo y viceversa

∆

Direc. (+) (-)

RAB N S

RAB E W

NA

NB

EB EA

A

B

N

E

C

∆NAB

∆EAB

α dAB

EB = EA ± (dAB) * Sen (RAB)

NB = NA ± (dAB) * Cos (RAB)

APUNTES DE VIAS.


Ejemplos:

1.- Calcule la distancia y Rumbo en los siguientes casos, dibuje la línea AB:

a.) A (100,50); B (125, 100)

b.) A (100,50); B (75,75)

c.) A (100,50); B (50,25)

d.) A (100,50); B (150,15)

Solución:

Fórmulas a utilizar:

a.) A (100,50); B (125, 100)

A 100 50

B 125 100

DISTANCIA

(D)

RUMBO

(R)

55,90 E63° 26' 05,87"N

∆E

25 50

VERTICENORTE

(N)

ESTE

(E)∆N

dAB = √ (∆NAB)2 + ∆EAB)

2 RAB = arctg ∆EAB

∆NAB

E

N

E

B

E

A

RAB

(dAB)

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b.- A (100,50); B (75,75)

A 100 50

B 75 75

∆E

-25 25

VERTICENORTE

(N)

ESTE

(E)∆N

DISTANCIA

(D)

RUMBO

(R)

35,36 E45° 00' 00"S

c.) A (100,50); B (50,25)

A 100 50

B 50 25

∆E

-50 -25

VERTICENORTE

(N)

ESTE

(E)∆N

DISTANCIA

(D)

RUMBO

(R)

55,90 W26° 33' 54,18"S

E

N

E

A

RAB

B

E

(dAB)

E

N

E

A

RAB

B

A

(dAB)

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d.) A (100,50); B (150,15)

A 100 50

B 150 15

DISTANCIA

(D)

RUMBO

(R)

61,03 W34° 59' 31,27"N

∆E

50 -35

VERTICENORTE

(N)

ESTE

(E)∆N

2.) Calcule Las Coordenadas faltantes y el Rumbo, dado los siguientes datos:

A: (500, EA).

B: (NB, 100).

AzAB = 135°

dAB = 200m

Solución:

Se necesitan hallar las Coordenadas EA y NB, tenemos la distancia AB (dAB) y el Azimut

AB (AzAB), que debemos convertir en Rumbo para utilizar las fórmulas que conocemos,

a.) Cálculo del Rumbo AB (RAB).

Tenemos el AzAB = 135° lo que nos dice que está en el II Cuadrante por tanto:

RAB = 180° - 135°

RAB

E

N

E

(dAB )

A

B

RAB = 180° - AzAB

RAB = S 45° E

RAB

E

N

E

A

AzAB

B

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b.) Calculo de la Coordenada Norte de B (NB)

Para Calcular: NA: 500,00

“NB” Necesito dAB = 200m

RAB: S 45° E

Tenemos todos los datos que necesitamos, por lo que:

NB = 500 - (200) * Cos (45°) (es negativo al ser el Rumbo AB: Sur)

c.- Cálculo de la Coordenada Este de A (EA)

Para Calcular: EB: 100,00

“EA” Necesito dAB = 200m

RBA: ¿?

Para calcular la Coordenada Este de A (EA) debo pararme en B y visualizar A, por lo

que necesito es el Rumbo de B hacia A (RBA), que es igual al Contrarumbo AB (CRAB)

Quedando:

RBA = N 45° E

Usando la fórmula:

EA=100 + (200) * Sen (45°)

Será (+) al ser el Rumbo AB: Este

NB = NA ± (dAB) * Cos (RAB)

NB = 358,58

E

N

E

A

B

RAB

RBA

E

N

E

EA = EB ± (dAB) * Sen (RBA)

EA = 241, 42

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