Upload
dyrmay-anthy
View
85
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
1Pengantar GrupMisalkanGrup dihedral order 8Tabel operasi atau tabel CayleyTertutupIdentitasInversKomutatif, abelianAsosiatifGrup DihedralDn disebut grup dihedral order 2n, juga disebut grup simetri n-gon biasa.Plane symmetrySymmetronGrup simetriRefleksi melalui garis LGrup rotasi siklik order n2GrupDefinisi dan Contoh GrupDefinisi Operasi Biner Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi biner pada himpunan G adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut unsur-unsur di G ke unsur di G. Definisi Grup Misalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan setiap pasangan terurut (a, b) unsur-unsur dari G ke unsur dari G dinotasikan dengan ab. G disebut grup dengan operasi tersebut jika tiga sifat berikut dipenuhi. Asosiatif Operasi bersifat asosiatif, yaitu (ab) c = a (bc) untuk setiap a, b, c anggota G. Identitas Ada elemen e (disebut identitas) dalam G, sehingga ae = ea = a untuk setiap a anggota G. Invers Untuk setiap a anggota G, terdapat elemen b anggota G (disebut invers dari a) sedemikian rupa sehingga ab = ba = e. Suatu himpunan yang memenuhi ketiga sifat di atas, di mana setiap pasangan elemen yang dikombinasikan menghasilkan elemen yang tetap berada dalam himpunan tersebut disebut memenuhi kondisi tertutup (closure). Pastikan untuk memeriksa sifat tertutup ketika menguji suatu himpunan termasuk grup atau bukan. Sebagai catatan tambahan, jika a adalah invers dari b maka b adalah juga invers dari a.Jika suatu grup memenuhi sifat ab = ba untuk setiap pasangan unsur a dan b, maka grup tersebut Abelian. Jika sebaliknya disebut non-Abelian.Contoh 1 Himpunan bilangan bulat Z (berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), himpunan bilangan rasional Q (quotient), dan himpunan bilangan real R semuanya merupakan grup dengan operasi penjumlahan biasa. Identitas dari masing-masing grup tersebut adalah 0 dan invers dari a adalah –a.Contoh 2 Himpunan bilangan bulat dengan operasi perkalian biasa bukanlah grup. 1 adalah identitas, namun sifat ke-3 suatu Grup tidak terpenuhi. Misalnya, tidak ada bilangan b sehingga 5b = 1 Contoh 3 Himpunan bagian {1, - 1, i, -i} dari bilangan kompleks adalah grup terhadap perkalian kompleks. -1 adalah invers bagi dirinya sendiri, sedangkan invers i adalah -i begitupun sebaliknya. Contoh 4 Himpunan bilangan rasional positif Q+ adalah grup terhadap perkalian biasa. Invers dari a adalah 1/a = a-1 Contoh 5 S adalah himpunan bilangan irasional positif dan bilangan 1 dengan operasi perkalian yang memenuhi tiga sifat yang diberikan dalam definisi suatu grup tetapi bukan grup. √2 . √2=2, jadi S tidak tertutup terhadap operasi perkalian.Contoh 6 Diketahui matriks 2 x 2 [■(a&b@c&d)]. Himpunan semua matriks 2 x 2 dengan unsur bilangan riil adalah grup dengan operasi penjumlahan componentwise.[■(a_1&b_1@c_1&d_1 )]+[■(a_2&b_2@c_2&d_2 )]=[■(a_1+a_2&b_1+b_2@c_1+c_2&d_1+d_2 )]Identitas matrix adalah [■(0&0@0&0)] dan invers dari [■(a&b@c&d)] adalah [■(-a&-b@-c&-d)]Contoh 7 Himpunan Zn = {0, 1, …., n – 1} untuk n ≥ 1 adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo n. Untuk setiap j > 0 dalam Zn, invers dari j adalah n – j. Grup ini disebut grup bilangan bulat modulo n.Contoh 8 R* himpunan bilangan riil bukan nol adalah grup terhadap perkalian biasa. Identitasnya adalah 1. Invers a adalah 1 / a.Contoh 9Determinan martiks 2x2 [■(a&b@c&d)] adalah ad - bc. Jika A adalah matriks 2x2, det A berarti determinan A.Himpunan GL (2, R) = ├ ├ {[■(a&b@c&d)]┤┤|a,b,c,d∈R,ad-bc≠0}Matriks 2x2 dengan anggota nyata dan determinan bukan nol adalah kelompok non-Abelian metode operasi [■(a_1&b_1@c_1&d_1 )][■(a_2&b_2@c_2&d_2 )]=[■(a_1 a_2+b_1 c_2&a_1 b_2+b_1 d_2@c_1 a_2+d_1 c_2&c_1 b_2+d_1 d_2 )] Contoh 10 Himpunan matriks 2x2 dengan anggota bilangan real bukanlah kelompok metode operasi yang didefinisikan pada contoh 9. invers tidak ada saat
Citation preview
1
Pengantar Grup
Misalkan
Grup dihedral order 8
Tabel operasi atau tabel Cayley
Tertutup
Identitas
Invers
Komutatif, abelian
Asosiatif
Grup Dihedral
Dn disebut grup dihedral order 2n, juga disebut grup simetri n-gon biasa.
Plane symmetry
1
Symmetron
Grup simetri
Refleksi melalui garis L
Grup rotasi siklik order n
2
2
Grup
Definisi dan Contoh Grup
Definisi Operasi Biner
Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi biner pada himpunan G adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut unsur-unsur di G ke unsur di G.
Definisi Grup
Misalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan setiap pasangan terurut (a, b) unsur-unsur dari G ke unsur dari G dinotasikan dengan ab. G disebut grup dengan operasi tersebut jika tiga sifat berikut dipenuhi.
1. Asosiatif
3
Operasi bersifat asosiatif, yaitu (ab) c = a (bc) untuk setiap a, b, c anggota G.
2. Identitas
Ada elemen e (disebut identitas) dalam G, sehingga ae = ea = a untuk setiap a anggota G.
3. Invers
Untuk setiap a anggota G, terdapat elemen b anggota G (disebut invers dari a) sedemikian rupa sehingga ab = ba = e.
Suatu himpunan yang memenuhi ketiga sifat di atas, di mana setiap pasangan elemen yang dikombinasikan menghasilkan elemen yang tetap berada dalam himpunan tersebut disebut memenuhi kondisi tertutup (closure). Pastikan untuk memeriksa sifat tertutup ketika menguji suatu himpunan termasuk grup atau bukan. Sebagai catatan tambahan, jika a adalah invers dari b maka b adalah juga invers dari a.
Jika suatu grup memenuhi sifat ab = ba untuk setiap pasangan unsur a dan b, maka grup tersebut Abelian. Jika sebaliknya disebut non-Abelian.
Contoh 1
4
Himpunan bilangan bulat Z (berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), himpunan bilangan rasional Q (quotient), dan himpunan bilangan real R semuanya merupakan grup dengan operasi penjumlahan biasa. Identitas dari masing-masing grup tersebut adalah 0 dan invers dari a adalah –a.
Contoh 2
Himpunan bilangan bulat dengan operasi perkalian biasa bukanlah grup. 1 adalah identitas, namun sifat ke-3 suatu Grup tidak terpenuhi. Misalnya, tidak ada bilangan b sehingga 5b = 1
Contoh 3
Himpunan bagian {1, - 1, i, -i} dari bilangan kompleks adalah grup terhadap perkalian kompleks. -1 adalah invers bagi dirinya sendiri, sedangkan invers i adalah -i begitupun sebaliknya.
Contoh 4
Himpunan bilangan rasional positif Q+ adalah grup terhadap perkalian biasa. Invers dari a adalah 1/a = a-1
Contoh 5
5
S adalah himpunan bilangan irasional positif dan bilangan 1 dengan operasi perkalian yang memenuhi tiga sifat yang diberikan dalam definisi suatu grup tetapi bukan grup. √2 . √2=2, jadi S tidak tertutup terhadap operasi perkalian.
Contoh 6
Diketahui matriks 2 x 2 [a bc d ]. Himpunan
semua matriks 2 x 2 dengan unsur bilangan riil adalah grup dengan operasi penjumlahan componentwise.
[a1 b1
c1 d1]+[a2 b2
c2 d2]=[a1+a2 b1+b2
c1+c2 d1+d2]
Identitas matrix adalah[0 00 0] dan invers dari
[a bc d ] adalah [−a −b
−c −d ]Contoh 7
Himpunan Zn = {0, 1, …., n – 1} untuk n ≥ 1 adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo n. Untuk setiap j > 0 dalam Zn, invers dari j adalah n – j. Grup ini disebut grup bilangan bulat modulo n.
6
Contoh 8
R* himpunan bilangan riil bukan nol adalah grup terhadap perkalian biasa. Identitasnya adalah 1. Invers a adalah 1 / a.
Contoh 9
Determinan martiks 2x2 [a bc d ] adalah ad -
bc. Jika A adalah matriks 2x2, det A berarti determinan A.Himpunan
GL (2, R) = {[a bc d ]|a , b , c , d∈R , ad−bc≠ 0}
Matriks 2x2 dengan anggota nyata dan determinan bukan nol adalah kelompok non-Abelian metode operasi
[a1 b1
c1 d1] [a2 b2
c2 d2]=[a1a2+b1 c2 a1 b2+b1d2
c1 a2+d1 c2 c1b2+d1d2]
Contoh 10
Himpunan matriks 2x2 dengan anggota bilangan real bukanlah kelompok metode operasi yang didefinisikan pada contoh 9. invers tidak ada saat determinannya 0.
Sekarang kita telah menunjukkan bagaimana membuat subset dari bilangan real dan subset dari himpunan matriks 2x2 dalam
7
kelompok multiplikatif, kita selanjutnya mempertimbangkan perkalian bilangan bulat dalam modulo n.
Contoh 11
Untuk setiap n > 1, kita mendefinisikan U(n) untuk menjadi himpunan semua bilangan bulat positif kurang dari n dan relatif prima dengan n. maka U(n) adalah grup bawah perkalian modulo n. (kita tinggalkan sebagai latihan bukti bahwa set ini tertutup terhadap operasi ini.)
Untuk n = 10, kita memiliki U(10) = {1, 3, 7, 9}. tabel Cayley untuk U(10) adalah
mod 10
1 3 7 9
1 1 3 7 93 3 9 1 77 7 1 9 39 9 7 3 1
(ingat bahwa ab mod n adalah biangan bulat r unik dengan properti ab = nq + r, dimana 0 ≤ r <n dan ab adalah perkalian biasa.) dalam hal ini bahwa n adalah prima U(n)={1, 2, …., n-1}.
Dalam buku aljabar klasiknya der Lehrbuch, yang diterbitkan pada tahun 1899, Heinrich Weber memberikan perlakuan yang luas dari
8
kelompok U (n) dan dideskripsikan mereka sebagai contoh yang paling imporant dari grous Abelian terbatas.
Contoh 12
Himpunan {0,1,2,3} adalah bukan kelompok metode perkalian modulo 4. Meskipun 1 dan 3 memiliki invers, unsur-unsur 0 dan 2 tidak.
{0,1,2,3} bukan grup
Pembuktiannya:
1. AsosiatifMisal: 1 ( 2 . 3 ) = (1 . 2) 3 6 = 6 benar asosiatifSyarat 1 terpenuhi
2. Identitas{0, 1, 2, 3} memiliki identitas yaitu 1Syarat 2 terpenuhi
3. Invers{0,1,2,3} Invers 0Misal: 0 x 0 = 0
0 x 1 = 00 x 2 = 00 x 3 = 0
Maka 0 tidak memiliki invers Invers 11 x 1 = 1 maka invers 1 adalah 1 Invers 2
9
2 x 0 = 02 x 1 = 22 x 2 = 42 x 3 = 6Maka 2 tidak memiliki invers Invers 33 x 1 = 3 = 1 mod 4 → maka invers 3 adalah 1Syarat 3 tidak terpenuhiContoh 13
Himpunan bilangan bulat operasi pengurangan bukan grup, karena operasi tidak asosiatif.
Dengan contoh yang diberikan jauh sebagai panduan, adalah kebijakan bagi pembaca untuk berhenti sejenak di sini dan memikirkan contoh sendiri. belajar aktif! tidak hanya membaca bersama dan disuapi oleh buku.
Misalkan :
{0,1,2,3,4}
Asosiatif
(1 – 2) – 3 = 1 – (2 – 3)
-1 – 3 = 1 – (-1)
-4 ≠ 2
10
Berarti terbukti bahwa bilangan bulat dengan operasi pengurangan adalah bukan group
Contoh 17:
SL (2, Z5)
Z5 = {0 ,1 ,2 ,3,4 }
Carilah invers matrik A = [344 4]
Determinan A = ad – bc
= 12 – 16 = -4 = 1 mod 5
Invers A = [4−4−4 3] = [41
13]Cek = [34
4 4] [4113] = [16 15
20 16] = [1001]
Contoh 18
GL (2, Z7)
Z7 = {0 , 1 ,2 ,3 , 4 , 5 ,6 }
Carilah invers matrik A = [4563 ]
Determinan A = ad – bc
= 12 – 30 = -18 = 3 mod 7
11
Invers 3 mod 7 adalah 5 mod 7 karena 3.5 = 15 = 1 mod 7
Invers A
[3 .5−5 .5−6 .54 .5] = [3 .5 2.5
1.5 4 .5] = [1510520 ] = [13
56]Cek = [45
63 ] [1356] = [29 42
2136 ] = [1001]
Soal dan Pembahasannya
1. Tunjukkan apakah Z15 grup!
2. Buatlah tabel Cayley untuk U(15) dan buktikan apakah U(15) grup?
3. Tentukan invers dari [ 324 4] pada GL(2, Z5)!
4. Tentukan invers dari [3243 ] pada SL(2, Z5)!
5. Tunjukkan bahwa {1, 2, 3} dengan operasi perkalian modulo 4 bukanlah grup sedangkan {1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5 adalah grup!
Pembahasan
12
{1, 2, 3} mod 4 dengan operasi perkalian adalah bukan grup.Syarat Grup:1. Asosiatif, sebab → 1 (2 . 3) = (1 . 2) 32. Identitas, yaitu 13. Tidak memiliki invers, karena:
1 . 1 = 1 maka invers 1 adalah 12 . ≠ 13 . 3 = 9 = 1 mod 4 maka invers 3 adalah 3
Karena 2 tdak mempunyai invers, maka {1, 2, 3} adalah bukan grup
{1, 2, 3, 4} mod 5 perkalian adalah
grup
Syarat grup:
1. Assosiatif, karena(2 . 3) . 4 = 2 . (3 . 4)
1 . 4 = 2 . 2
4 = 4
2. IdentitasYaitu 1 merupakan identitas
3. Invers1 . 1 = 1 → invers 1 adalah 12 . 3 = 6 → 1 mod 5, maka invers 2 adalah 3
13
3 . 2 = 6 → 1 mod 5, maka invers 3 adalah 34 . 4 = 16 → 1 mod 5, maka invers 4 adalah 4
No. 5, hal 52
GL (2, Z11)
Z11 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Invers matrik A = [2 63 5 ]
Det. A = ad – bc
= 10 – 18 = -8 = 3 mod 11
Invers determinan 3 mod 11 adalah 4, karena 3 . 4 = 12 = 1 mod 11
InversA
[ 5 −6−3 2 ]=[5 .4 5.4
8 .4 2.4 ]=[20 2032 8 ]=[ 9 9
10 8 ] Cek [2 6
3 5 ][ 9 910 8]=[78 66
77 67 ]=[1 00 1]
No. 25, hal. 53
+ E a B c dE E a B c dA A b C d eB B c D e a
14
C C d E a bD D e A b c
+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
Penyelesaiannya dengan menggunakan operasi penjumlahan.
SIFAT-SIFAT DASAR DARI GROUP
Sekarang kita dapat melihat banyak macam contoh dari sebuah group. Kami ingin memberi kesimpulan beberapa sifat yang mereka berikan. Definisi itu sendiri memunculkan pertanyaan yang fundamental. Setiap group memiliki satu identitas. Pertanyaannya apakah group memiliki identitas lebih dari satu? Setiap group memiliki satu invers. Pertanyaannya apakah group memiliki invers lebih dari satu? Sekarang tidak bisa membuktikan bahwa setiap group memiliki identitas tunggal hanya dilihat dari contohnya, karena setiap contoh tidak dapat dipisahkan dari sifat yang tidak bisa diberikan oleh setiap group.
Teorema 2.1 Ketunggalan Dari Suatu Identitas
“Di dalam sebuah group, hanya ada 1 element identitas”
15
Bukti. Andaikan kedua ini e dan e’ adalah identitas dari G. Lalu,
1. ae = a semua bagian a dalam G, dan2. e’a = a semua bagian a dalam G.
Pilihan dari a = e’ adalah yang nomor satu (1) dan a = e adalah yang nomor dua (2) hasilnya adalah e’e = e’ dan e’e = e. Dengan demikian e dan e’ adalah sama dengan e’e dan begitu juga sama pada setiap lainnya.
Jadi pada intinya, bahwa dalam satu group itu hanya ada satu (1) identitas, penyimbolan identitas, penyimbolan identitas dalam group adalah e (karena berasal dari bahasa Jerman, Einheit yang berarti identitas).
Teorema 2.2 Pembatalan
“Didalam group G dari kanan ke kiri dengan menggunakan hukum didalam pembatalan yang saling berkaitan dengan ba = ca yang mengakibatkan b = c, dan ab = ac mengakibatkan b =c.”
Bukti. Dengan menggangap bahwa ba = ca. Maka a’
adalah invers dari a. Kemudian, dikalikan dari kanan untuk a’ menghasilkan (ba)a’ =(ca)a’. Maka akan menghasilkan sifat asosiatif b(aa’) = c(aa’). Kemudian, be = ce dan maka dari itu, b = c. Lalu, kita membuktikan bahwa ab = ac implikasi dari b = c. Perkalian a’ dari kiri.
Pemecahan masalah yang ada didalam sifat cancellation yang ada didalam tabel Cayle yang telah dibahas dengan menggunakan tabel dan kolom. (lihat latihan no. 24).
16
Pemecahan sifat cancellation akan lebih diperdalam didalam materi Ketunggalan dari Invers.
Teorema 2.3 Ketunggalan Dari Invers
“Untuk setiap elemen a dalam group G, ada sebuah b elemen tunggal dalam G sehingga ab = ba = e”
Bukti. Jika b dan c keduanya invers dari a. maka ab = e dan ac = e, sehingga ab = ac itu. Sekarang abaykan a.
Seperti yang terjadi dengan elemen identitas, itu adalah biasa, dalam pandangan Teorema 2.3, untuk berbicara tentang "invers" dari elemen group g; dan, pada kenyataannya, kita jelas dapat menunjukkan itu dengan g-1. Notasi ini disarankan dengan yang digunakan untuk bilangan real biasa terhadap perkalian. Sama, ketika n adalah bilangan bulat positif, gn digunakan untuk menunjukkan hasil.
gg..............g (n faktor)
Kita mendefinisikan g0 = e. Bila n negatif, kita mendefinisikan gn = (g-1)-n [misalnya, g-3 = (g-1)3] dengan notasi, hukum akrab eksponen pegangan untuk group; berlaku untuk semua bilangan bulat m dan n dan semua elemen group g, kami telah gmgn = gm+n dan (gm)n = gmn. Walaupun salah satu cara memanipulasi ekspresi group yang melibatkan dua elemen group. Sehingga untuk group umum, (ab)n ≠ anbn (lihat latihan no. 15).
Kita juga harus berhati-hati dengan notasi ini ketika berhadapan dengan group tertentu yang pasangan operasinya adalah penambahan dan menyatakan dengan
17
"+". Dalam hal ini, definisi dan properti group dinyatakan dalam notasi perkalian harus diartikan ke notasi penjumlahan. Misalnya, invers g ditulis sebagai -g, demikian juga misalnya g3di tulis g + g + g dan biasanya di tulis seperti 3g, sedangkan g-3 di tulis (-g) + (-g)+(-g) dan ditulis seperti -3g. Notasi penjumlahan.
Tabel 2.2
Group Perkalian Group Pembagiana . b atau ab
Perkalian
a + b Pembagian
e atau 1
Identitas atau satu
0 Nol
a-1 Perkalian invers dari a
-a Penjumlahan invers dari a
an Power dari a
na Perkalian dari a
ab-1 Hasil bagi
a - b Pengurangan
yang digunakan, jangan "ng" sebagai menggabungkan n dan g di dalam operasi group; n bahkan mungkin tidak menjadi unsur group! tidak seperti kasus untuk bilangan real dalam group abstrak, kami tidak mengizinkan eksponen bukan bilangan bulat seperti g½. Pada Tabel 2.2 menunjukkan notasi umum dan terminologi yang sesuai dengan group dalam perkalian dan penjumlahan dalam group. Seperti dalam kasus untuk bilangan real,
18
kita menggunakan a-b sebagai singkatan untuk a+(-b). Karena mempunyai sifat asosiatif, kita jelas dapat menulis tanda abc, untuk hal ini dapat diartikan sebagai hanya cukup (ab)c atau a(bc), yang sama. Pada kenyataannya, dengan induksi menggunakan dan penerapan berulang dari sifat asosiatif, seseorang dapat membuktikan sebuah sifat asosiatif umum bahwa pada dasarnya berarti kurung dapat dimasukkan atau dihapus tanpa akan mempengaruhi nilai suatu hasil yang melibatkan jumlah elemen group. Demikian
a2 (bcdb2 )=a2b ( cd )b2=(a2b ) (cd )b2=a ( abcdb ) b ,
dan sebagainya.
CATATAN SEJARAH
Kami menutup bab ini dengan sedikit sejarah mengenai sifat tidak komutatif dari matrik perkalian. Pada tahun 1925, Teori Kuantum merupakan teori yang penuh dengan mengubah dan menyusun ambiguitas. Dia Werner Heisenberg yang berpengaruh pada hal tersebut. Dia mengamati hasil dari teori analogi yang tidak perlu merubah seri klasik Fourier. Atas semua kegigihannya yang mengguncangkan Heisenberg. Seperti dalam suratnya [Bab 2, hal 94]:
Dalam penelitian, saya sangat tidak setuju tentang fakta xy yang tidak sama dengan yx. Saya rasa itu hanya sebuah kesukaran dalam keseluruhan rencana, sebaliknya saya sangat bahagia. Namun kesukaran ini membuat saya sangat khawatir dan saya tidak dapat memecahkan masalah itu.
19
Heisenberg berbicara kepada gurunya Max Born, jika ide-idenya dipublikasikan akan sangat berharga. Dengan munculnya pendekatan baru milik Heisenberg sangat mengagumkan dan sangat mendalam. Seperti dalam tulisannya [Bab 1, hal 217]:
Setelah pengiriman karya ilmiah atau hasil penelitian Heisenberg untuk Zeitschrift fur Physik agar dipublikasikan. Saya memulainya dengan mempertimbangkan simbol perkalian dan akan segera berbelit-belit mengenai gagasan saya tentang keseluruhan jumlah dari tidur yang nyenyak pada malam hari. Saya rasa akhir dari sesuatu hal yang pokok akan mengalami penyempurnaan dalam beberapa tahun. Suatu hari, pada tanggal 10 Juli 1925, saya tiba-tiba melihat cahaya, tidak hanya simbol perkalian Heisenberg, namun kalkulus matrik. Sejak itu saya mengenalkan kepada murid saya dari dosen Rosanes di Breslau.
Born dan muridnya, Pascual Jordan, memformulakan kembali ide Heidenberg di dalam teorema Matrik, tapi Heisenberg yang mengkreditkan formulanya. Di buku autobiografinya, Born Lament [Bab 1, hal 219]:
Sekarang, semua Buku berbicara tentang Matrix Heisenberg, Hukum Commutation Heisenberg, dan Direc Filed Quantization. Kenyataanya, Heisenberg tahu waktu sangat sedikit untuk mempelajari matrik.
Pada tahun 1933, ia menerima hadiah Nobel untuk karyanya selama ini. Lalu ia mengirim surat kepada Max Born [Bab 1, hal 220]:
20
Jika saya selama ini belum menuliskan sesuatu kepada anda, dan saya belum berterima kasih atas ucapan selamat anda. Itu karena sebagian dalam diri saya buruk, yang tidak menghormati anda. Dan kenyataanya saya mendapatkan hadiah Nobel Prize sendiri, untuk pekerjaan yang saya, kamu dan Jordan lakukan di Gottingen, dan ini membuat saya berat dalam menuliskan surat ini kepada anda. Saya senang upaya yang kita lakukan bersama di beri apresiasi atau penghargaan, dan saya selalu senang tentang ingatan-ingatan kebersamaan dan kerja sama kita. Saya sangat percaya, para fisikawan-fisikawan tahu betapa hebatnya anda dan Jordan dalam kontribusi kalian dalam menyusun teori Kuantum, walaupun tidak merubah keputusan. Mungkin saya perlu berterima kasih lagi atas kerjasama yang telah kita lakukan selama ini.
Certia pun berakhir indah, bagaimanapun Max Born tetap mendapatkan hadiah dari Nobel di tahun 1945 untuk Landasan Kuantum yang ia kemukakan.
Latihan (Hal. 52 dan 53)
5. Carilah unsur invers dari 2 6 elemen di GL (2, Z11). 3 5
Jawaban:
2 6 elemen di GL (2, Z11). 3 5
Det = (2 . 5) – (3 . 6)
21
= 10 -18
= -8
= 3 mod 11
GL (2, Z11)
Invers: a b d -bc d -c a
2 6 = 5 -6 3 5 -3 2
= 5.4 5.48.4 2.4
= 9 910 8
Bukti: 2 6 9 9 = 1 03 5 10 8 0 1
17. Buktikan bahwa group G adalah abelian jika dan hanya jika (ab)-1 = a-1 b-1 untuk semua a dan b di G.
Jawaban:
(ab)-1 = a-1b-1 untuk semua a dan b di G
Bukti: a group G = abelian
(ab)a-1 b -1 = a(b.b-1).a-1
22
= a.e.a-1
= e
(ab)(a-1b-1) = abelian
18. Di dalam group, buktikan bahwa (a-1)-1 = a untuk semua a.
Jawaban:
(a-1)-1 = a
G = {a}
Dengan menggunakan identitas: (am)n = amxn
Maka: (a-1)-1 = (1a)
= 11a
= a
23
3FINITE GROUPS; Subgroup
Definisi Order Sebuah Grup
Bilangan yang termasuk dari sebuah grup (terhingga/tak terhingga) disebut order. Kita akan menggunakan ǀGǀ untuk melambangkan orde dari G .
Jadi, grup Z dari bilangan bulat dengan operasi penjumlahan mempunyai order yang tak terhingga. Sedangkan grup U(10) ={1, 3, 7, 9} dengan operasi perkalian modulo 10 mempunyai 4 order.
Definisi Order Sebuah Elemen
Order dari sebuah elemen/unsur g dalam grup G merupakan bilangan bulat positif terkecil n seperti gn = e (dalam notasi penjumlahan, ini akan menjadi ng = 0). Jika tidak ada bilangan bulat, kita katakan g mempunyai order yang tak terhingga. Order dari sebuah elemen g dilambangkan dengan ǀgǀ.
24
Jadi, untuk menemukan order dari sebuah elemen grup g, yang kamu butuhkan hanya menghitung urutan dari hasil g1,g2 ,g3 , ..... Sampai kamu mendapatkan identitas untuk pertama kali. Eksponen dari hasil ini (atau koefisien jika operasinya penjumlahan) adalah order dari g. Jika identitas tidak pernah muncul dalam urutan, maka g mempunyai order yang tidak terbatas.
Contoh 1
Anggap U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} dengan operasi perkalian modulo modulo 15. untuk mencari orde 7, katakan kita menghitung urutan 71 = 7, 72 = 4, 73 = 13, 74 = 1. maka ǀ7ǀ = 4. untuk mencari order 11, kita menghitung 111 = 11, 112 = 1, maka ǀ11ǀ = 2. perhitungan yang sama menunjukkan bahwa ǀ1ǀ = 1, ǀ2ǀ = 4, ǀ4ǀ = 2, ǀ8ǀ = 4, ǀ13ǀ = 4, ǀ14ǀ = 2. [disini ada sebuah trik yang membuat perhitungan jadi lebih mudah. Lebih suka menghitung urutan 131 , 132 , 133 ,134 , kita boleh memeriksa dengan 3 = -2 modulo 15 (sebab 13 +2 = 0 mod 15) maka dari itu 13 = (-2) = 4, 13 = -2.4 = -8, 13 = (-2)(-8) = 1] .
Penjabaran:
U (15)={1,2,4,7,8,11,13,14 }
|U (15)|=8
order of an elemen
|1|=1 karena 11=1=1mod 15
21=2 2=2
25
22=4 2 ×2=4
23=8 2 ×2 ×2=8
24=16=1mod 15 ,2 ×2 ×2 ×2=16=1
25=2
26=4
27=8
28=1
29=2
|2|=4
|14|=2
Contoh 2
Z10 dengan operasi penjumlahan modulo 10. sebab 1 . 2 = 2, 2 . 2 = 4, 3 . 2 = 6, 4 . 2 = 8, 5 . 2 = 0, kita tahu bahwa ǀ2ǀ = 5. perhitungan yang sama menunjukkan ǀ0ǀ = 1, ǀ7ǀ = 10, ǀ5ǀ = 2, ǀ6ǀ = 5.
Contoh 3
Z dengan penjumlahan biasa. Disini setiap elemen yang bukan nol mempunyai order yang tak terbatas, karena urutan a, 2a, 3a, ... Tidak pernah sama dengan 0 ketika a ≠ 0.
26
Perseptif pembaca mungkin telah memperhatikan di antara kelompok sampel kami dalam bab 2 bahwa beberapa adalah himpunan bagian dari orang lain dengan operasi biner yang sama. kelompok dalam sampel 17 dengan entri nyata, misalnya, adalah bagian dari kelompok dalam contoh 9. Demikian pula, kelompok bilangan kompleks {, 1 -1, i,-i} adalah himpunan bagian dari kelompok yang dijelaskan dalam Contoh 14 untuk n sama dengan kelipatan dari 4. Situasi ini muncul begitu sering bahwa kami memperkenalkan istilah khusus untuk menggambarkan hal itu.
Definisi Subgrup
Jika subset H kelompok G sendiri operasi Inder kelompok G, H kita katakan adalah subkelompok G.
Kami menggunakan notasi H ≤ G berarti H adalah subgrup G. Jika kita ingin menunjukkan bahwa H adalah subgrup dari G, tetapi tidak sama dengan g sendiri, kita menulis H < G. Subgrup seperti ini disebut sub-grup sejati. Subgrup {e} disebut subgrup trivial G. Subgrup yang tidak {e} adalah disebut subgrup trivial dari G.
Perhatikan bahwa Z_n dalam modulo n adalah subgrup dari Z dengan operasi penjumlahan, karena penjumlahan modulo n adalah bukan operasi dari Z.
SUBGROUP TESTS
Ketika menentukan apakah atau tidak H subset dari sebuah kelompok G merupakan subgrup dari G, orang tidak perlu langsung memverifikasi aksioma grup. Tiga berikutnya memberikan hasil tes sederhana yang cukup
27
untuk menunjukkan bahwa himpunan bagian dari kelompok adalah sebuah subgroup.
Theorema 3.1 Satu Langkah Uji Subgroup
Misalkan G menjadi kelompok dan H tidak kosong subset dari G.then, H adalah subgroup dari G adalah H kapanpun a dan b berada dalam H (dalam notasi aditif, H adalah subgrup jika a - b di H setiap kali dan b berada dalam H).
Bukti. Sejak pengoperasian H adalah sama dengan G, jelas bahwa operasi ini adalah associative. next, kita menunjukkan e yang ada di H. sejak H tidak kosong, kita dapat memilih beberapa x di H. kemudian membiarkan a= x dan b = x dalam hipotesis, kita memiliki e = xx−1 = ab−1 adalah H. untuk memverifikasi bahwa x adalah di H ketika x adalah di H, semua yang perlu kita lakukan adalah memilih e = dan b = x dalam pernyataan dari teorema. Akhirnya, bukti tersebut akan lengkap bila kita menunjukkan bahwa H ditutup, yaitu jika x, y milik H, kita harus menunjukkan xy yang ada di H juga. Baik, kita telah menunjukkan bahwa y adalah y−1 adalah H kapan y, maka a = x dan b = y−1, kita telah xy = x (y−1 ¿−1= ab−1 ada di H.
Meskipun kami telah dijuluki teorema 3.1 "satu langkah uji subgroup," sebenarnya ada empat langkah yang terlibat dalam menerapkan teorema. (Setelah Anda mendapatkan beberapa pengalaman, tiga langkah
28
pertama adalah rutin)Perhatikan kesamaan antara tiga langkah terakhir yang terdaftar di bawah dan tiga langkah yang terlibat dalam prinsip induksi matematika.
1. Mengidentifikasi properti P yang membedakan unsur-unsur H, yaitu, mengidentifikasi kondisi yang menentukan.
2. Buktikan bahwa identitas memiliki aset P. (ini membuktikan bahwa H tidak kosong)
3. Asumsikan bahwa dua elemen a dan b memiliki properti P.
4. Gunakan asumsi tentang a dan b untuk menunjukkan bahwa ab−1 memiliki aset P
Prosedur ini diilustrasikan dalam contoh 4 dan 5Contoh 4Misalkan G menjadi kelompok belian A dengan identitas e. maka H= { X € G І X2 = е } adalah subgroup G. disini, mendefinisikan properti H adalah kondisi X2 = e. jadi, pertama kita perhatikan bahwa e2 = e sehingga H adalah nonempy. Sekarang kita asumsikan bahwa a dan b milik H. ini berarti a2 = e dan b2 = e. akhirnya, kita harus menunjukkan bahwa (ab−1¿² = e.. karena G adalah abelian, (ab−1 )² = ab−1 ab−1 = a2 (b−1) = ee−1 = e. Oleh karena itu, ab−1milik H dan, dengan uji sub kelompok satu langkah, H adalah subgroup G.
Dalam banyak kasus, sub-grup akan terdiri dari semua elemen yang memiliki bentuk khusus. Di sini, properti P adalah bentuk khusus.
29
Contoh 5
Misalkan G menjadi kelompok abelian terhadap perkalian dengan identitas e. maka H ={ x2| x ϵ G}adalah subgroup G. (dalam kata-kata, H adalah himpunan semua "kotak.") sejak e2=e , identitas memiliki bentuk yang benar. Selanjutnya kita menulis dua elemen dari H dalam bentuk yang benar, katakanlah ,a2 dan b2. Kita harus menunjukkan bahwa a2 (b2 )−1juga memiliki bentuk
yang benar, yaitu sebuah a2 (b2 )−1 adalah kuadrat dari beberapa elemen. Karena G adalah Abelian, kita dapat menulis a2 (b2 )−1 sebagai (ab¿¿−1)2 ¿ yang merupakan bentuk yang benar. demikian, H adalah subgroup G.
Bagaimana Anda membuktikan bahwa subset dari kelompok bukanlah sebuah subgroup? Berikut adalah tiga cara yang mungkin, salah satu yang menjamin bahwa subset bukan merupakan sub kelompok:
1. Tunjukkan bahwa identitas tidak di set.2. Menunjukkan sebuah elemen dari set yang
terbalik tidak di set.3. Menunjukkan dua elemen dari himpunan yang
produk tidak di set.
Contoh 6Misalkan G adalah grup bilangan real nol dalam perkalian, H = {x ϵ G ¿x = 1 or irrational} dan K = { x ϵ G | x ≥ 1 }kemudian H. Tidak subgroup G sejak √ (2) ∈ H tetapi √2. √2 = 2 ∉ H.also, K bukan subgroup sejak 2 ∈ K tetapi 2−1 ∉ K.
30
Awal mahasiswa biasanya lebih memilih untuk menggunakan teorema berikutnya bukan Teorema 3.1
Teorema 3.2 Dua Langkah Uji Subgroup
Misalkan G menjadi kelompok dan H tidak kosong
subset G. Kemudian, H adalah subgrup dari G jika ab ∈ H jika a, b ∈ H (tertutup terhadap perkalian) dan a−1 ∈
H setiap kali a ∈ H (tertutup di bawah invers mengambil)
BUKTI. Dengan Teorema 3.1, itu sudah cukup untuk
menunjukkan bahwa a, b ∈ H menyiratkan ab−1 ∈ H.
Jadi, kami menganggap bahwa a, b ∈ H. Karena H ditutup melakukan invers, kami juga memiliki b−1 ∈ H.
ab−1 ϵ Hdengan penutupan terhadap perkalian.
Ketika berhadapan dengan kelompok terbatas, lebih mudah untuk menggunakan tes subgroup berikut.
Teorema 3.3 Uji Hingga Subgroup
H subset terbatas tidak kosong dari suatu kelompok G. kemudian, H adalah subgrup dari G jika H ditutup di bawah pengoperasian G
BUKTI. Mengingat Teorema 3.2, kita hanya perlu membuktikan bahwa a−1 H setiap kali. jika a∈ ϵ H maka a = ϵ ,kemudian a−1 kita sudah selesai. Jika e ≠ ϵ ,
31
pertimbangkan urutan sebuah, 〖sebuah〗𝒂 ,a2, a3.. Sejak H adalah terbatas dan penutupan mengimplikasikan bahwa semua kekuatan positif dari dalam H, tidak semua elemen ini berbeda. Katakanlah, a i
= a j dan i > j. Kemudian a i− j = e, dan sincen a ≠ е ,Jadi, i – j > 1,demikian a i− j = a .ai− j−1 = e dan, karena itu, . a i− j−1 = a−1 . Tapi, i – j- 1 ≥ 1 menyiratkan a i− j−1 H ∈dan kita selesai.
Teorema 3.4 ⟨ a ⟩adalah Subgroup
Misalkan G adalah grup, dan misalkan a adalah beberapa elemen G. Kemudian, ⟨ a ⟩ adalah a subgroup G.
BUKTI. Ketika a Є ⟨ a ⟩, ⟨ a ⟩ adalah tidak kosong. Misalkan, an , am Є ⟨ a ⟩. Kemudian, an. (am) -1 = a n-m Є ⟨ a ⟩; maka, dengan teorema 3.1, ⟨ a ⟩ adalah a subgroup G.Subgroup ⟨ a ⟩ disebut subgroup siklik dari G yang dihasilkan oleh a. Dalam hal itu G = ⟨ a ⟩ kita katakan G adalah siklik dan a adalah sebuah generator (penghasil) dari G. (sebuah group siklik boleh memiliki banyak generator/penghasil) meskipun bahwa daftar. . . , a-2, a-1, a0, a1, a2,. . . tak terbatas banyak entrie, himpunan {a n │n Є Z} mungkin hanya memiliki banyak bilangan element yang terbatas. Juga perhatikan ini, ketika ai. aj = ai + j = aj +i = aj. ai, setiap group siklik adalah Abelian (komutatif).
CONTOH 7 Di U (10), ⟨ 3 ⟩ = {3,9,7,1} = U (10), untuk 31 = 3, 32, = 9 33 = 7, 34 = 1, 35 = 34. 3 = 1. 3, 36 = 34. 32 =
32
9,. . .; 3-1 = 7 ( karena 3 . 7 = 1), 3-2 = 9, 3-3 = 3, 3-4 = 1, 3-
5 = 3- 4. 3-1 = 1. 7, 3-6 = 3-4. 3-2 = 1. 9 = 9,. . . .u(10)= {1,3,7,9 }
⟨ 3 ⟩={3,9,7,1 }=u (10 ) dan ⟨ 3 ⟩ adalah generator dalam
u(10)
31=3
32=9
33=7 mod 10
34=1 mod 10
3−1=7karena 3× 7=1mod 10 karenainvers
3−2=9
3−3=3
CONTOH 8 Di Z10 ⟨ 2 ⟩ = {2,4,6,8,0}. Ingat, an berarti na ketika operasi adalah penjumlahan.z10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }⟨ 2 ⟩= {2,4,6,8,0}Keterangan:⟨ 2 ⟩ →21=222=2.2=423=3.2=624=4.2=825=5.2=10→ 0mod 10
CONTOH 9 Dalam Z, ⟨−1 ⟩ = Z. Di sini setiap entri
33
dalam daftar. . . , -2 (-1), -1 (-1), 0 (-1), 1 (-1), 2 (-1),. . . merupakan sebuah elemen group yang berbeda/jelas.z , ⟨−1 ⟩=zKeterangan : z =bilangan bulat…,−2 ,−1,0,1,2 , …Karena dala bilangan bulat yang berlaku operasi penjumlahan, maka−1−1=−2−1−1=−2−1=−3Dan−1− (−1 )=0−1−1=0−1=1−1− (−1 )=0−(−1 )=1− (−1 )=2
Contoh 10 Di Dn, group dihedral dari oeder 2n , misalkan R menunjukkan suatu rotasi 360 / n derajat. Kemudian,Rn ¿R360° = e, Rn + 1 = R, Rn +2 = R2,. . . .Demikian pula, R-1 = Rn-1, R-2 = Rn-2, . . sehingga ⟨ R ⟩ = {e, R,. . . , Rn-1}. Kita melihat, maka pangkat dari R "siklus kembali" secara berkala dengan periode n. Dapat dilihat, meningkatkan R untuk pangkat positif yang berurutan adalah sama seperti arah jarum jam yang berlawanan sekitar perputaran satu node pada satu waktu, sedangkan peningkatan R untuk pangkat negatif yang berturut-turut adalah sama dengan seperti searah jarum jam pada suatu waktu.
34
R-1 = Rn-1
Rn = e
R-2 = Rn-2Rn+2 = R2
Rn+1 = R
Dalam bab 4 ini kita akan memperlihatkan │⟨ a ⟩│ = │a│, yaitu oeder subgroup yang dihasilkan oleh a adalah order a itu sendiri (Sebenarnya, definisi │a │ untuk memastikan validitas dari persamaan ini)kita selanjutnya mempertimbangkan salah satu subgroup yang paling penting.
Definisi Pusat dari sebuah Grup
Pusat, Z (G), sebuah group G adalah himpunan bagian dari elemen-elemen di G dengan merubah setiap elemen di G. dengan simbol,Z (G) = {a € G|ax=xauntuk semua xdi G } {Notasi Z (G) kata pusat berasal dari jerman yaitu Zentrum. Istilah ini diciptakan oleh J. A. de Segulerin 1904.]Center : z (G )={a∈G|ax=xa ,∀ x∈G }Kalau ada (=) generator, kalau (,) = subgroup.
Teorema 3.5 Pusat Adalah sebuah Subgroup
BUKTI. Untuk variasi, kita akan menggunakan Teorema 3.2 untuk membuktikan hasil ini. Jelas, e ∈ Z (G), maka Z (G) adalah tidak kosong. Sekarang, misalkan a, b ∈ Z (G). Kemudian (ab) x = a (bx) = a (xb) = (ax) b = (xa) b
35
Pusat sebuah group G adalah sebuah subgroup di G
= x (ab) untuk semua x di G, dan oleh karena itu, ab ∈ Z (G).
Berikutnya, asumsikan bahwa Z ∈ (G). kemudian, kami mempunyai ax = xa untuk semua x di G. yang kita inginkan adalah a-1 x = xa -1 untuk semua x di G. informal, semua yang perlu kita lakukan untuk mendapatkan persamaan kedua dari Yang pertama adalah secara bersamaan untuk membawa satu di seberang tanda sama dengan:
ax = xa
Menjadix a−1=a−1 x (hati-hati di sini; group tidak komutatif. a di sebelah kiri dikalikan dengan a−1 dan a di sebelah kanan dikalikan dengana−1. Secara resmi, yang persamaan yang diinginkan dapat diperoleh dari yang asli dengan mengalikan itu di kiri dan kanan oleh a−1
seperti:a−1 ( ax )a−1=a−1 ( xa )a−1 ,
(a−1 a ) xa−1=a−1 x (a a−1 ) ,
ex a−1=a−1 xe ,
x a−1=a−1 x .
Hal ini menunjukkan bahwa a-1∈Z(G) setiap kali a adalah.
36
Untuk Latihan, mari kita menentukan pusat group dihedral.Contoh 11 Untuk n ≥ 3,Z (Dn) = {R0, R180} bila n genap
{R0} ketika n adalah ganjil
Kita mulai dengan menunjukkan bahwa Z (Dn) tidak dapat mengandung sebuah pencerminan. Jika F adalah sebuah pencerminan, ada dua kasus yang mungkin untuk sumbu pencerminan untuk F. Entah sumbu ini melewati simpul dari n-gon, atau bergabung dengan titik tengah dua sisi berlawanan dari n-gon. Mari kita asumsikan pertama yang poros melewati simpul. Label n-gon seperti yang ditunjukkan di bawah ini.
1
n 2
poros pencerminan untuk F
sekarang, R360/n F
37
R360 / n
n –1 1
n1 1
n2
F
2n
Sedangkan, FR 360/n
Sekarang, R360/n memberikan puncak/simpul 1 untuk
puncak/simpul n, sedangkan FR360/ n simpul 1ke impul 2.
Ketika n ≥ 3, kita mempunyai R360n
F ≠ F R360n
, sedangkan
F adalah tidak di tengah di Dn. Argumen serupa pada
aturan diagram berikut keluar refleksi yang
bergabung dengan titik-titik tengah sisi yang berlawanan
(kasus ini muncul ketika n bahkan).
1• •2
n• •3
poros/sumbu pencerminan
38
FR360/n
22
1
13312n
Kami telah membuktikan, bahwa tidak ada refleksi/pencerminan di tengah Dn.Selanjutnya, mempertimbangkan rotasi R = Rk.360 / n (1 ≤ k <n) di Dn, mari kita asumsikan bahwa 0 0 < K.360°/ n <180 °. label n-gon seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut, dan membiarkan F menunjukkan refleksi di sumbu/poros yang melewati vertex/puncak 1
1
Sekarang, FR mengirim simpul 1 ke simpul di sisi kanan dari sumbu refleksi, sedangkan RF mengirim simpul 1 ke simpul di sisi kiri sumbu seleksi. Dengan demikian, RF ≠ FR. Argumen yang sama menunjukkan bahwa FR ≠ RF ketika 180 ° <k • 360°/n <360 °. Membuktikan bahwa R0 dan R180 adalah unsur hanya mungkin di pusat Dn. Bila n adalah bilangan ganjil, Dn tidak memiliki rotasi 180°, dan kita menyerahkan kepada pembaca untuk menunjukkan bahwa ketika n bahkan, R180 memang bolak-balik dengan setiap anggota Dn.
Meskipun elemen dari kelompok non-Abelian tidak perlu bolak-balik dengan setiap elemen kelompok, selalu ada beberapa unsur dengan yang akan bepergian. Untuk Misalnya, setiap elemen sebuah kemacetan dengan semua kekuatan a. penelitian ini mendorong definisi berikutnya dan teorema.
DEFINISI Pemusat a di G
39
n 2
Misalkan a menjadi elemen tetap sebuah grup G. Pemusat dari a di G. C (a), adalah himpunan semua elemen dalam G yang pulang pergi dengan a. simbol, C (a) = {g ∈ G | ga = ag}.CONTOH 12 Di D4, kita memiliki centralizers (Pemusat) berikut:C(R0) = D4 = C(R180),Didalam D4, contoh: R180 D=D'
D R180=D' karena berlaku sifat komutatif/abelian dimana R180sebagai centralizer.C(R90) = {R0, R90, R180, R270} = C(R270),
Dalam D4, R90 R180=R270 , R180 R90=R270.
berlaku sifat komutatif/abelian dimana R270sebagai centralizer.C(H) = {R0, H, R180,V} = C(V),contoh :R180 H=V , H R180=V berlaku sifat komutatif/abelian dimana V sebagai centralizer.C(D) = {R0, D, R180, D '} = C(D').contoh :R180 D=D' , D R180=D' berlaku sifat komutatif/abelian dimana D’ sebagai centralizer.
Perhatikan bahwa setiap Centralizers dalam Contoh 12 sebenarnya merupakan subkelompok dari D4. Teorema berikutnya menunjukkan bahwa ini bukan sebuah kebetulanTeorema 3.6 C(a) adalah suatu Subgroup
40
Untuk setiap a di sebuah group G, berpusat pada a adalah sebuah subgroup G
BUKTI. Sebuah bukti yang sama dengan Teorema 3.5 diserahkan kepada pembaca untuk pasokan.Perhatikan bahwa untuk setiap elemen dari grup G, Z (G) ⊆ C (a). Juga, obseve bahwa G adalah Abelian jika dan hanya jika C (a) = G untuk semua di G.
Latihan halaman 65:9. Tunjukan u (20 ) ≠ ⟨k ⟩ untuk bebrapa k di u (20 ), [ketika, u (20 ) adalahbukan siklik.Penyelesain :
u (20 )= {1,3,7,9,11,13,17,19 }
⟨1 ⟩= {1 }
⟨ 3 ⟩={3,9,7,1 }
31=3
32=9
33=7 mod 20
34=1 mod 20
⟨7 ⟩={7,9,3,1 }
71=7
72=9 mod 20
73=3 mod 20
74=1 mod 20
⟨ 9 ⟩={9,1 }
91=9
92=1mod 20
⟨11 ⟩={11,1}
111=11
112=1mod 20
⟨13 ⟩={13,9,17,1 }
131=13
132=9 mod 20
133=17 mod 20
134=1 mod 20
41
⟨17 ⟩={17,9,13,1 }
171=17
172=9 mod 20
173=13 mod 20
174=1 mod 20
⟨19 ⟩= {19,1 }
191=19
192=1mod 20
12. untuk setiap k di n, misalkan uk (n )={x∈u (n )|x=1 mod k }. (untuk contoh, u3 (21 )= {1,4,10,13,16,19 } dan u7 (21 )= {1,8 }.) daftar element-element u4 (20 ) , u5 (20 ) ,u5 (30 ) , u10 (30 ) .buktikan uk (n ) adalah sebuah subgroup u(n ). Penyelesian:u (21 )= {1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20 }u3 (21 )= {1,4,7,10,13,16,19 } karena 7 tidak termasuk u(21 ) maka u3 (21 )= {1,4,10,13,16,19 }.Dimana (0×3 )+1=1(1×3 )+1=4(2×3 )+1=7 dan seterusnya.u7 (21 )= {1,8,15 } karena 15 tidak termasuk u (21 ) makau7 (21 )= {1,8 }Dimana (0×7 )+1=1(1×7 )+1=8 dan seterusnya.u (20 ) {1,3,7,9,11,13,17,19 }u4 (20 )={1,5,9,14 } karena 5 tidak termasuk u (20 ) makau4 (20 )={1,9,14 }Dimana (0× 4 )+1=1(1×4 )+1=5(2× 4 )+1=9 dan seterusnya.
42
u5 (20 )= {1,6,11 }Dimana (0×5 )+1=1(1×5 )+1=6 karena 6 tidak termasuk u (20 )(2×5 )+1=11(3×5 )+1=16 karena 16 tidak termasuk u(20) dan seterusnyau5 (20 )= {1,11 }u (30 )= {1,7,11,13,19,23,29 }u5 (30 )= {1,11 }u10 (30 )= {1,11 }Dimana: (0×10 )+1=1(1×10 )+1=11 dan seterusnyaMaka buktikan uk (n ) adalah sebuah subgroup u(n ). Karena element-element uk (n ) merupakan sebuah subgroup u(n) yang element-elemntnya sama.
7. Tunjukan bahwa U(14) = <3> = <5>. [ Dimana, U(14) adalah siklik ]. Apakah U(14) = <11> ?
Jawab:
U(14) = { 1, 3, 5, 9, 11, 13 }
<3> = 3¹ = 3
3² = 9
3³ = 13 mod 14
34 = 11 mod 14
35 = 5 mod 14
36 = 1 mod 14
<3> = { 3, 9, 13, 11, 5, 1 }
<5> = 5¹ = 5
5² = 11
43
5³ = 13 mod 14
54 = 9 mod 14
55 = 3 mod 14
56 = 1 mod 14
<5> = { 5, 11, 13, 9, 3, 1 }
<11> = 11¹ = 11
11² = 9 mod 14
11³ = 1 mod 14
<11> = { 11, 9, 1 }
U(14) ≠ <11> dan bukan siklik melainkan subgroup karena <11> terdapat elemen yang sama pada U(14).
Terbukti Bahwa U(14) <3> = <5> dan merupakan siklik karena terdapat generator.
8. Tunjukan bahwa Z10 = <3> = <7> = <9>. Apakah Z10 = <2> ?
Jawab:
Z10 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
<3> = 3¹ = 3
3² = 6
3³ = 9 mod 10
34 = 2 mod 10
35 = 5 mod 10
36 = 8 mod 10
37 = 1 mod 10
44
38 = 4 mod 10
39 = 7 mod 10
310= 0 mod 10
<3> = { 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0 }
<7> = 7¹ = 7
7² = 4
7³ = 1 mod 10
74 = 8 mod 10
75 = 5 mod 10
76 = 2 mod 10
77 = 9 mod 10
78 = 6 mod 10
79 = 3 mod 10
710 = 0 mod 10
<7> = { 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0 }
<9> = 9¹ = 9
9² = 8
9³ = 7 mod 10
94 = 6 mod 10
95 = 5 mod 10
96 = 4 mod 10
97 = 3 mod 10
98 = 2 mod 10
99 = 1 mod 10
45
910 = 0 mod 10
<9> = { 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 }
<2> = 2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8 mod 10
24 = 6 mod 10
25 = 2 mod 10
26 = 4 mod 10
< 2 > = { 2, 4, 8, 6 }
U(10) ≠ < 2 > dan bukan siklik melainkan subgroup karena < 2 > terdapat elemen yang sama pada U(14).
Terbukti : Z10 = <3> =<7> = <9>.
Dan merupakan generator karena terdapat generator
1. Untuk setiap group pada daftar berikut, tentukan order group dan order setiap elemant di group. Bagaiman hubungan antara order element group dengan order group?
Z12= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
|Z12|=12
|2|=6
1.2=2
2.2=4 ,
3.2=6 ,
4.2=8 ,
46
5.2=10 mod 12
6.2=2 mod 12
u (10 )= {1,3,7,9 }↔|u (10 )|=4
⟨1 ⟩= {1 }
⟨ 3 ⟩={3,9,7,1 }↔|3|=4
⟨7 ⟩={7,9,3,1 }↔|7|=4
⟨ 9 ⟩={9,1 }↔|9|=2
u (12 )= {1,5,7,11 }↔|u (12 )|=4
|1|=1 ,|5|=2 ,|11|=2 ,|7|=0 ,
51=5
52=1 mod 12
111=11
112=1mod 12
71=7
47
72=1mod33. D4 mempunyai 7 subgrup siklik (selain <R0>).
34. U(15) mempunyai 7 subgrup siklik
37. H = {1,3,17,19} adalah subgrup dari U(20)
38. |U(3)| = 2, |U(5)| = 4, |U(15)| = 8
39. |U(r)| |U(s)| = |U(rs)|
51. a. C ([1 11 0]) =
b. C ([1 11 0]) =
c. Z(G) =
4CYCLIC GROUPS
SIFAT CYCLIC GROUPS
Mengulang dari Bab 3 bahwa group 6 dikatakan cyclic jika element a di 6 sedemikian hingga 6 = an/nZ. Sehingga element disebut generator dari 6.
Mengingat notasi yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, kita dapat menunjukan bahwa 6 adalah cyclic group yang dihasilkan oleh a dan ditulis 6 = a.
48
Dibab ini, kita memeriksa cyclic group secara lengkap dan mencari karakteristik penting. Kita mulai dengan beberapa contoh.
Contoh 1
Himpunan bilangan bulat Z dalam operasi penjumlahan adalah cyclic. 1 dan -1 adalah generator. Mengingat kembali bahwa ketika dalam operasi penjumlahan, 1n diartikan sebagai
1+1+…+1 ketika n positive
n terms
(-1)+(-1)+…+(-1) ketika n negative n terms
Contoh 2
Himpunan Zn = (0,1,…,n-1) untuk n 1 adalah cyclic group dalam operasi penjumlahan modulo n. 1 dan -1 = n-1 adalah generator.
Tidak seperti Z, yang banyak memiliki 2 generator, Zn mungkin memiliki banyak generator (tergantung pada n yang kita beri).
Contoh 3
Z8 = 1 = 3 = 5 = 7. Untuk mengetahiunya misalnya pada Z8 = 3, kita perhatikan bahwa 3 = 3, (3+3) mod 8, 3+3+3) mod 8... himpunannya adalah 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 = Z8 dengan demikian, 3 adalah generator dari Z8 disisi lain, 2 bukanlah generator saat Z = 0, 2, 4, 6 Z8.
49
Contoh 4
U(10) = 1, 3, 7, 9 = 30, 31, 33, 32 = 3 dan juga 1, 3, 7, 9 = 70, 73, 71, 72 = 7. Jadi 3 dan 7 adalah generator untuk U(10).
Seiring dalam matematika, “nonexample” membantu untuk memahami konsep. Sebagai contoh
Mengenai cyclic groups, U(8) menjadi tujuan, yaitu U(8) tidak cyclic group. Dapatkah kita menjelaskannya? Baik perhatikan U(8) = 1, 3, 5, 7, tapi 1={ 1 }
3= { 3,1 }
5= { 5,1 }
7= { 7,1 }
Jadi U(8) a untuk semua a di U(8).
Dengan contoh ini, sekarang kita harus siap untuk mengatasi cyclic group dengan cara yang abstrak dan sifat utamanya.
Teorema 4.1
Criteria untuk a i=a j
50
G adalah sebuah grup, dan a termasuk elemen G. jika a adalah order terhingga , lalu pangkat berbeda a dari elemen grup yang berbeda.
Jikaa adalah order terhingga , sebut n lalu
dan jika dan hanya jika membagi
a i=a j dimana a1− j=e
i− j=o jadi a0=e=1untuk identitas perkalian .
Contoh 1
u( 10)={1,3,7,9 } termasuk grup siklik atau tidak?
Jawab
⟨1 ⟩= {1 }
⟨ 3 ⟩={3,9,7,1 }→ 34=1 ,i− j=4 , 35=31 , 310=36 dst
⟨7 ⟩={7,9,3,1 }
⟨ 9 ⟩={9,1 , }
Jadi generator dari u(10) adalah 3 dan 7. Karena U ( 10)
memiliki generator maka U (10)adalah grup siklik.
Contoh 2
Apakah U ( 8)=¿ {1,3,5,7 }¿ merupakan grup siklik?
Jawab
⟨1 ⟩= {1 }
⟨ 3 ⟩={3,1 }
⟨5 ⟩= {5,1 }
⟨7 ⟩={7,1 }
51
Karena U ( 8)tidak memiliki generator maka U ( 8)bukan grup siklik.
ak=e menyatakanbahwa|a|dibagi k
Buktikan. Selama ak=e=a0. Kita tahu melalui teorema 4.1 bahwa n dibagi k-0.
Teorema 4.1 dan akibatnya untuk Himpunan |a|=6 diilustrasikan dalam teorema 4.1.
Apa – apa yang penting tentang teorema 4.1 dalam Himpunan berhingga yang ia katakana bahwa perkalian dalam ⟨ a ⟩ bekerja dengan operasi penjumlahan modulo n. Yaitu, jika (i+ j mod n=k , lalu ai . a j=ak ). Disini, tidak ada masalah dengan apa grup G itu, atau bagaimana elemen a dipilih, perkalian dalam ⟨ a ⟩ bekerja sama seperti penjumlahan dalam Zn dengan |a|=n. Sama halnya, jika a adalah order takhingga, dengan perkalian dalam ⟨ a ⟩ bekerja sama seperti penjumlahan dalam Z, selama a i . a j=a i+ j dan tidak ada modul aritmatika yang bekerja.
52 …a−1=a5=a11……a−5=a1=a5 …
…a−6=a0=a6 .. .
Untuk alasan, grup siklik Zndan Z sebagai prototype untuk semua grup siklik, dan ahli aljabar mengatakan bahwa hanya ada satu grup siklik yang esensial pada tiap order. Apa makna dari ini, walaupun mungkin ada banyak Himpunan yang berbeda pada bentuk {an|n∈Z }, pada dasarnya hanya satu cara untuk mengoperasikan Himpunan ini tergantung pada order a. Ahli aljabar tidak terlalu memperdulikan apa elemen himpunan tersebut, mereka hanya peduli tentang sifat aljabar pada sebuah Himpunan ----cara elemen sebuah Himpunan bisa digabungkan. Kita akan mendalaminya dalam bab Isomorphisms.
Dalam contoh 3, kita menyebutkan 3 adalah generator pada Z8 dimana 2 bukan. Samahalnya, 3 dan 7 adlah generator untuk U (10) dimana 9 bukan. Ini bisa ditunjukkan secara cermat oleh “eyeball” atau seperti bolamata generator untuk Zn dan untuk
53
grup siklik secara umum. Teorema 4.2 dan akibatnya memberi kita sebuah metode aritmatika sederhana untuk mengidentifikasi generator.
Contoh soal:
Teorema 4.2 Generator dari group siklik
G=<a>adalah group siklik dengan order n, maka G=<ak>jika dan hanya jika FPB (k,n) =1
Akibat Generator dari Zn
Dengan bilangan bulat k dalam Zn, adalah generator dari Zn jika dan hanya jika FPB (k,n) = 1
Menilai teorema 4. 2, bahwa salah satu generator dari group siklik dapat ditemukan semua generator dari group siklik dapat dengan mudah ditemukan. Sebagai contoh, mempertimbangkan subgroup dari semua rotasi dalam D6. Jelas satu generatornya adalah R60. Dan R60 = 6 , kita lihat teorema 4.2, itu generator yang lain adalah (R60)5 = R300. Tentu saja kita dapat menarik kesimpulan dari informasi ini tanpa bantuan teorema 4.2 dengan perhitungan langsung.. Jadi untuk mengilustrasikan pangkat dari teorema 4.2, gunakanlah itu untuk mencari seluruh generator dari group siklik U(50). Pertama, tuliskan menghitung langsung untuk menunjukkan U(50) = 2 dan tiga adalah salah satu dari generatornya. Demikianlah, dalam melihat teorema 4.2, daftar pelengkap dari generator-generator untuk U(50) adalah
54
31 mod 50 = 3 311 mod 50 = 47
33 mod 50 = 27 313 mod 50 = 23
37 mod 50 = 37 317 mod 50 = 13
39 mod 50 = 33 319 mod 50 = 17320 mod 50 = 1
Dengan begitu kita dapat melakukan perhitungan aritmatika disini, tapi tentu saja menjadikan terlalu banyak pekerjaan, dibandingkan mencari seluruh generator dengan penentuan yang sederhana order dari element U(50) satu persatu.
PENGKLASIFIKASIAN SUBGRUP PADA GRUP SIKLIKPada Teorema selanjutnya, menjelaskan berapa banyak subgrup yang dimiliki sebuah grup siklik terhingga dan bagaimana menemukannya.Teorema 4.3 Teorema Dasar Grup Siklik
Sebelum kita membuktikan teorema ini, mari kita lihat apa artinya. Memahami apa arti dari sebuah teorema adalah sebuah prasyarat
55
Setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah
grup siklik itu pula. Lebih-lebih jika |⟨a ⟩|=n, lalu
order pada subgrup ⟨ a ⟩ adalah sebuah pembagi n
dan atau setiap k pembagi positif pada n, grup ⟨ a ⟩ memiliki tepat satu subgrup berorder k, yaitu ⟨an / k ⟩
untuk memahami buktinya. Andaikan G= ⟨a ⟩ (dibaca a adal ah generatorG) dan G mempunyai order 30. Bagian pertama torema mengatakan bahwa jika H adalah
beberapa subgrup pada G, lalu H mempunyai bentuk ⟨ak ⟩ untuk beberapa k. 2) Bagian kedua dari teorema mengatakan bahwa G mempunyai satu subgrup yang masing-masing ordernya 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 dan tidak ada yang lain. Pembuktian juga akan menunjukkan bagaimana menemukan subgrup berikut.
BUKTI. Jika G = ⟨ a ⟩ (a ad alah generator G) dan andaikan bahwa H adalah sebuah subgrup G. kita harus tunjukkan bahwa H adalah siklik. Jika ini terdiri dari idenditas ini sendiri, maka dengan jelas H adalah siklik. Jadi kita boleh mengasumsikan bahwa H ≠ {e }. Kita sekarang menyatakan bahwa H mengandung sebuah unsur dengan bentuk a t, dimana t adalah positif. Sejak G= ⟨a ⟩, setiap unsur H mempunyai bentuk a t; Ketika a t merupakan H dengan t<0, lalu a−t merupakan H dan juga –t adalah positif. Maka, pernyataan kita diterima. Sekarang jika m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga am ϵ H . Secara tertutup, ⟨am ⟩≤ H . Selanjutnya kita menyatakan bahwa
H= ⟨am ⟩. Untuk membuktikan pernyataan ini, cukup jika b sebuah
anggota H, dan menunjukkan bahwa b ada pada ⟨am ⟩. Selama b∈G=⟨ A ⟩, kita punya b=ak untuk beberapa k. Sekarang, menerapkan algoritma dalam pembagian untuk k dan m, untuk mendapatkan bilangan bulat q dan r sedemikian hingga : k=mq+r dimana 0 ≤ r<m. Maka,
ak=amq+r=amq ∙ ar, jadi
ar=a−mq ∙ ak. Selama
56
ak=b∈H dan
a−mq=(am )−q juga pada
H, ar∈H .
Tapi m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga am∈H , dan 0 ≤ r<m, maka r harus nol. a−mq ∙ak=e, maka dari itu
b=ak=amq=(am )q∈ ⟨am ⟩. Ini membutuhkan pernyataan pada teorema bahwa setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah siklik.
Untuk membuktikan bagian pada Teorema selanjutnya, andaikan |⟨a ⟩|=n dan H adalah subgrup ⟨ a ⟩. Kita sudah menunjukkan bahwa H= ⟨am ⟩ untuk m. selama
(am )n=(an )m=em=e, kita mengetahui kesimpulan untuk Teorema
4.1 bahwa |am| adalah sebuah persegi n. |H|=|am| adalah sebuah pembagi n
Pada akhirnya, jika k pembagi n. Jelas bahwa (an/ k )k=an=e dan
(an/ k )t ≠ e untuk t positif ¿k , jadi ⟨an / k ⟩ memiliki order k. Selanjutnya
kita menunjukkan bahwa ⟨an / k ⟩ adalah hanya subgrup dari order k. Untuk mengakhiri ini, jika H menjadi subgrup dari order k. Sebelumnya kita sudah menunjukkan bahwa H= ⟨am ⟩, dimana m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga am pada H. Sekarang dituliskan n=mq+r, dimana 0 ≤ r<m, kita punya e=an=amq+r=amq ∙ ar, maka
57
ar=a−mq= (am )−q∈H .
Dengan, r=0 dan n=mq. Jadi, k=|H|=|⟨am ⟩|=n/m. Ini mengikuti
m=n/k dan H= ⟨am ⟩=⟨an / k ⟩.
Kembali pada pembahasan mengenai grup siklik ⟨ a ⟩, dimana a mempunyai order 30, kita boleh menyimpulkan dari Teorema 4.3 bahwa subgrup ⟨ a ⟩ sesuai bentuk ⟨am ⟩ dimana m adalah sebuah pembagi 30. Lebih dari itu, jika k adalah pembagi dari 30, subgrup order k adalah ⟨a30 /k ⟩. Jadi daftar subgrup dari ⟨ a ⟩ adalah :
⟨ a ⟩={e ,a , a2 ,…,a29 } order 30,
⟨a2 ⟩= {e , a2 , a4 ,…, a28 } order 15,
⟨a3 ⟩= {e , a3 , a6 , …, a27 } order 10,
⟨a5 ⟩= {e , a5 , a10 , a15 , a20 , a25 } order 6,
⟨a6 ⟩= {e , a6 , a12 , a18 , a24 } order 5,
⟨a10 ⟩= {e , a10 , a20 } order 3,
⟨a15 ⟩= {e , a15 } order 2,
⟨a30 ⟩= {e } order 1.
Pada umumnya, jika ⟨ a ⟩ memiliki order n dan k pembagi n, lalu ⟨an / k ⟩ adalah subgrup tunggal pada order k.
Ambil grup dalam Teorema 4.3 menjadi Zn dan a menjadi 1, kita memperoleh kasus penting berikut.Akibat Subgrup Zn
58
Untuk setiap pembagi positif k pada n, himpunan ⟨ n/k ⟩ adalah subgrup tunggal Zn pada order k, lebih dari itu, hanya ada
subgrup dalam Zn.
Contoh 5 Daftar subgrup pada Z30 adalah
⟨1 ⟩= {0 ,1 ,2 ,… ,29 } order 30,
⟨ 2 ⟩= {0 ,2 ,4 , …,28 } order 15,
⟨ 3 ⟩={0 ,3 ,6 , …, 27 } order 10,
⟨5 ⟩= {0 ,5 ,10 ,15 ,20 , 25 } order 6,
⟨ 6 ⟩={0 ,6 , 12,18 ,24 } order 5,
⟨10 ⟩={0 ,10 ,20 } order 3,
⟨15 ⟩={0 ,15 } order 2,
⟨ 30 ⟩={0 } order 1.
Dengan mengkombinasikan Teorema 4.2 dan 4.3, kita dapat dengan mudah menghitung angka dari unsur pada setiap order dalam sebuah grup siklik terhingga. Untuk memudahkan, kita mengenal sebuah fungsi teori angka penting yang disebut Euler phi function. Jika ∅ (1 )=1, dan untuk bilangan bulat n>1, jika ∅ (n ) dinotasikan angka bilangan bulat positif kurang dari n dan relative prima ke-n. Nyatakan bahwa |U (n )|=∅ (n ).
Teorema 4.4 Jumlah pada Unsur Setiap Order dalam Grup
Siklik.
59Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n, angka pada unsur dalam order d dalam sebuah grup siklik pada order n adalah ∅ (d ).
BUKTI. Pada Teorema 4.3, ada tepat satu subgrup pada order d disebut ⟨ a ⟩. Setiap unsur pada order d juga menghasilkan subgrup ⟨ a ⟩ dan, dengan Teorema 4.2, setiap unsur ak menghasilkan ⟨ a ⟩ jika dan hanya jika FPB(k , d )=1.
Hubungan antara macam-macam subgroup dari sebuah group dapat diilustrasikan dengan sebuah pola subgroup. Diagram ini memuat semua subgroup dari sebuah group dan menghubungkan sebuah subgroup H pada level pertama terhadap sebuah subgroup K pada level tertinggi dengan sebuah garis penghubung segmen jika dan hanya H adalah sebuah subgroup sejati dari K. Walaupun terdapat banyak cara untuk menyamakan seperti sebuah diagram, hubungan antara sebuah subgroup harus sama. Secara khas satu cara untuk mempresentasikan diagram dengan cara yang menyenangkan. Pola diagram untuk Z30 ditunjukkan pada gambar 4.2. perhatikan bahwa ⟨10 ⟩ adalah sebuah subgroup dari ⟨ 2 ⟩ dan ⟨5 ⟩ tetapi ⟨ 6 ⟩ bukan sebuah subgroup dari ⟨10 ⟩.
Ketepatan dari Teorema 4.3 dapat dihargai dengan membandingkan yang mudah dengan yang dapat kita identifikasi subgroup dari Z30 dengan yang kita katakana, lakukan hal yang sama untuk U30 atau D30. Dan group-group itu memiliki kerelativan struktur sederhana antara group non siklik.Kita akan membuktikan pada bab 7 bahwa sebuah bagian pasti dari Teorema 4.3 meluas dan dapat berubah untuk group terhingga; yaitu, order dari sebuah subgroup dibagi oleh order dari group itu sendiri. Kita akan melihat juga, bagaimanapun , bahwa sebuah
60
group terhingga tidak perlu persis satu subgroup sesuai untuk setiap pembagi terhadap order dari group. Untuk beberapa pembagi, mungkin tidak ada sama sekali. Sedangkan untuk pembagi yang lain, mungkin ada banyak.
< 1 >
< 2 > < 5 >
< 3 >
< 10 >
< 6 > < 15 >
< 0 >
Satu kata terakhir tentang pentingnya dari group siklik adalah sesuai. Walaupun group siklik merupakan sebuah kelas yang sangat sempit dari group terhingga, kita akan melihat pada bab 11 bahwa mereka bermain peran bangunan block untuk semua group abelian terhingga pada banyak cara yang sama bahwa bilangan
61
prima bangunan block untuk bilangan bulat dan elemen kimiawi adalah bangunan block untuk gabungan kimiawi.
GRUP-GRUP PERMUTASI DEFINISI DAN NOTASI
Pada bab ini, kita mempelajari fungsi dari grup-grup tertentu yang disebut grup permutasi, dari himpunan A itu sendiri. Pada awal dan pertengahan abad ke-19, grup-grup dari permutasi hanya grup-grup yang diselidiki oleh ahli matematika. Tidak sampai sekitar tahun 1850 bahwa dugaan dari sebuah grup abstrak telah diperkenalkan oleh Cayley, dan telah membawa yang lainnya seperempat abad sebelum ide tersebut telah mempengaruhi secara tetap.
DEFINISI Permutasi A, Grup Permutasi A
Permutasi dari sebuah himpunan adalah fungsi dari A ke A yang berkorespondensi satu-satu dan onto. Permutasi grup dari himpunan A adalah himpunan permutasi-permutasi dari A yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi.
Meskipun grup-grup permutasi terdiri dari beberapa himpunan A tidak kosong dari objek-objek yang nyata, kita akan focus pada masalah dimana A adalah berhingga. Lagi pula, hal ini biasa, sebagai hal yang menyenangkan, untuk mengambil A menjadi sebuah himpunan berbentuk {1,2,3,…,𝑛} untuk beberapa bilangan bulat n positif. Tidak seperti di Kalkulus, dimana banyak fungsi yang digambarkan dalam himpunan-himpunan tak terhingga dan diberikan rumus-rumus, dalam aljabar, permutasi-permutasi dari himpunan-himpunan tak terhingga biasanya diberikan sebuah daftar eksplisit dari setiap anggota domain yang bersesuaian dengan fungsi nilainya. Sebagai contoh, kita daftarkan sebuah permutasi 𝛼 dari himpunan {1,2,3,4} dengan menetapkan
62
𝛼 (1)= 2 𝛼 (2)=3 𝛼 (3)=1 𝛼 (4)=4Sebuah cara yang lebih menyenangkan untuk menunjukkan korespondensi ini adalah menuliskan 𝛼 dengan membentuk barisan sebagai berikut.
=[123 4231 4 ]
Di sini (j) diganti secara langsung di bawah j untuk setiap j. Begitu pun, permutasi dariβ dari himpunan {1,2,3,4,5 , 6 } ditetapkan β(1) = 5 β(2) = 3 β(3) = 1
β(4) = 6 β(5) = 2 β(6) = 4
Ditentukan dalam barisan dengan bentuk sebagai berikut
β = [123 4 67531 6 24 ]
Permutasi komposisi ditunjukkan dalam notasi barisan yang diangkat dari kanan ke kiri dengan membawa dari atas ke bawah lagi. Sebagai contoh,misalkan
σ = [123 4 524 3 51] dan γ = [123 4 5
54 1 23 ] maka
63
γ σ = [123 4 554 1 23 ] [123 4 5
24 3 51]
= [123 4 542 1 35 ]
Dari kanan kita mempunyai 4 dibawah 1 jika (γ σ ) (1 )=γ ¿jadi γ σmengirimkan 1 ke 4.sisa dari baris bawah γ σ diperoleh dengan model yang sama.
Sekarang kita siap untuk memberikan beberapa contoh dari grup-grup permutasi.
Contoh 1 Grup Simetri Segitiga sama sisi( S3)
Misalkan S3 menyatakan semua himpunan fungsi satu-satu dari{1 , 2 , 3 } untuk himpunan itu sendiri. Kemudian S3dalam komposisi fungsi adalah grup dengan elemen ke-6 elemennya adalah.
ε=[1 231 23 ] α = [123
231] α 2 = [123312]
β = [123132] αβ = [123
213] α 2 β= [123321]
Catatan bahwa βα= [123321] ≠ αβsehingga S3 adalah
tidak Abelian.
64
CONTOH 2 Grup Simetri Berderajat n (𝑆𝑛) Misalkan A = {1, 2, ..., n}. Semua himpunan permutasi dari A disebut grup simetri berderajat n dan dituliskan 𝑆𝑛. Elemen 𝑆𝑛 memiliki bentuk :
α = [ 12 3α (1)α (2)α (n)]
Hal ini untuk mudah dalam menghitung order dari 𝑆𝑛.
Terdapat n pilihan dari α (1 ) . walaupun α(1) sudah ditetapkan, ada n – 1 kemungkinan untuk α(2) karena αberkorespondensi satu – satu, kita harus mempunyai α(1) ≠ α(2). Setelah memilih α (2), terdapat tepat n-2 kemungkinan untuk α(3). Terus sepanjang model ini, kita melihat bahwa 𝑆𝑛 harus memiliki n(n-1......3.2.1 ¿ elemen n! . Kami menyerahkan kepada pembaca untuk membuktikan bahwa 𝑆𝑛 adalah tidak Abelian ketika n ≥3.
Group simetri kaya akan subgroup. Group 𝑆𝑛 mempunyai 30 subgroup dan 𝑆𝑛 mempunyai lebih dari 100 subgrup.
CONTOH 3 Simetri Dari Persegi (𝑆4)Pada contoh ke-3, kita menghubungkan setiap pergerakan dalam D4 dengan permutasi dari penempatan-penempatan tiap empat sudut persegi. Sebagai contoh, jika kita tandai empat posisi sudut seperti dalam gambar di bawah dan terap menandai ini
65
yang ditetapkan sebagai acuan. Kita dapat menggambarkan sebuah rotasi 90 hasil prmutasi.ρ=[1234
23 4 1] Sedangkan refleksi dengan garis mendatar sumbu horizontal menghasilkan
∅=[12 3 421 4 3 ]
Dua elemen ini secara umum menghasilkan group (bahwa, setiap elemen adalah kombinasi beberapa ρ dan ∅). Jika D4 ditampilkan dengan cara ini, kita katakan bahwa D4 adalah sebuah subgroup dari S4.
NOTASI CYCLEDisini ada notasi umum lainnya yang bisa digunakan untuk menyatakan permutasi. Ini disebut notasi cycle dan pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan besar asal Perancis yang bernama Cauchy pada tahun 1815. Notasi cycle memiliki teori yang bermanfaat pada sifat-sifat yang penting dari sebuah permutasi yang digambarkan ketika notasi cycle digunakan. Sebagai ilustrasi dari notasi cycle, mari lihat permutasi di bawah ini :
α=[12 3 45 621 4 65 3]
Nilai permutasi di atas dapat ditampilkan secara skematis seperti dibawah ini :
66
Meskipun memuaskan secara matematis, seperti gambar diagram-diagram yang susah. Daripada, kita meninggalkan tanda panah dan dengan mudah dituliskan (1,2)(3,4,6)(5). Contoh kedua,menghasilkan
β=[12 3 45 653 1 62 4]
Dalam notasi cycleβ dapat dituliskan (2, 3, 1, 5)(6, 4) atau (4, 6)(3, 1, 5, 2), karena keduanya menggambarkan fungsi dariβ .Sebuah gambaran dari barisan (a1, a2 …. , am) disebut panjang cycle m atau perputaran m cycle.
Suatu perkalian cycle-cycle dapat diperkenalkan dengan memikirkan cycle sebagai permutasi yang menunjukkan setiap simbol tidak muncul didalam cycle. Dengan demikian, cycle (4, 6) dapat dianggap sebagai perwakilan dari permutasi
[123 4 56123 6 54 ].
67
Dengan cara ini, kita dapat mengalikan cycle-cycle dengan memikirkan perkalian ini sebagai permutasi-permutasi yang diberikan dalam pola barisan. Coba lihat contoh dari S8. Misalkan α = (13)(27)(456)(8) dan β = (1237)(648)(5). (jika domain terdiri dari bilangan bulat satu digit, itu adalah praktek yang umum untuk menghilangkan koma antara digit-digit). Apakah α β merupakan bentuk cycle? Tentu saja,orang bisa mengatakan bahwa α β = (13)(27)(456)(8)(1237)(648)(5),tetapi pada umumnya yang lebih diinginkan untuk menyatakan permutasi dalam bentuk disjoint cycle.(yaitu, berbagai cycle-cycle yang tidak memiliki nomor yang sama ). Perlu diingat bahwa komposisi fungsi dilakukan dari kanan ke kiri dan bahwa setiap cycle yang tidak mengandung simbol menentukan simbol, kita amati bahwa : (5) menentukan 1; (648) menentukan 1; (1237) mengirimkan 1 ke 2; (8) menentukan 2; (456) menentukan 2; (27) mengirimkan 2 ke 7; dan (13) menentukan 7. Sehingga efek jaring dari αβ adalah dengan mengirimkan 1 ke 7. Dengan demikian kita mulai αβ = (17 ...) … . Sekarang, untuk mengulangi seluruh proses dimulai dengan 7, kita mempunyai, cycle dengan cycle (pemutaran), dari kanan ke kiri, 7 → 7 → 7 → 1 → 1 → 1 → 3, sehingga αβ = (173 ...) … . Akhirnya, kita mempunyai αβ = (1732)(48)(56). Hal yang penting untuk diingat ketika mengalikan cycle-cycle adalah 'terus bergerak' dari satu cycle dan selanjutnya dari kanan ke kiri. (Peringatan: beberapa penulis menuliskan cycle dari kiri ke kanan. Ketika membaca teks lain, pastikan untuk menentukan konvensi yang digunakan.)Untuk memastikan bahwa Anda memahami bagaimana untuk beralih dari satu notasi ke notasi lain dan bagaimana untuk mengalikan permutasi, kita akan melakukan satu contoh lagi untuk masing-masing.
68
Jika urutan notasi untuk α dan β, masing-masing adalah
[123 4 5213 5 4 ] dan [123 4 5
54 1 23 ]Kemudian, dalam notasi cycle, α = (12)(3)(45), β = (153)(24), dan αβ = (12)(3)(45)(153)(24).
Untuk menempatkan αβ dalam bentuk disjoint cycle amati bahwa (24) menentukan 1; (153) mengirimkan 1 ke 4.kemudian dengan cara ini. Kemudian dengan cara ini kita mendapatkan αβ = (14)(253).
Seseorang dapat mengkonversi αβ kembali kebentuk susunan tanpa mengubah setiap cycle dari αβ sampai ke bentuk susunan yang hanya mengamati (14) berarti 1 untuk 4 dan 4 untuk 1; (253) yang berarti 2→5,5→3,3→2.
Yang terakhir komentar tentang notasi cycle : matematikawan memilih untuk tidak menulis cycle-cycle yang hanya memiliki satu entry . Dalam kasus ini, dapat dipahami bahwa setiap elemen yang hilang dipetakan ke dirinya sendiri. Dengan ketentuan ini, permutasi 𝛼 di atas dapat ditulis sebagai (12)(45). Yang sama dengan
α¿ [1 2 34 53 2 41 5]
Dapat ditulis α = (134). Tentunya identitas permutasi hanya terdiri dari cycle-cycle dengan satu entry, jadi kita tidak bisa menghilangkan semua! Dalam hal ini seseorang biasanya menulis hanya satu cycle. Sebagai contoh,
ε=[1 23 451 23 45]
69
Dapat ditulis ε = (5) atau ε = (1). Perlu diingat bahwaelemen yang hilang dipetakan ke dalam elemen itu sendiri
70
SIFAT PERMUTASI
Kita sekarang siap untuk menyatakan beberapa theorma tentang permutasi dan siklik. Bukti dari teorema pertama adalah tersirat dalam pembahasan kita tentang permutasi di bagian siklik.
Teorema 5.1 Produk Disjoint Siklik
Setiap Permutasi dari himpunan terbatas dapat ditulis sebagai siklik atau sebagai produk dari siklik menguraikan.
BUKTI. α menjadi permutation = {1,2,3 ,……,n }. Untuk menulis siklik disjoint, kita memulai dengan memilih anggota A, katakan a1, dan biarkan
a2 = α ¿ , (a3=α ¿
dan seterusnya, sampai kita dapatkan α 1= α m(a1) untuk beberapa m. Kita tahu ada beberapa karena deretan a1, α ¿), α
2 (a1 ) , … harus tidak berhingga, jadi pada akhirnya terjadi penglangan, katakan, α i (a1 )=α j (a1 ), untuk i dan j dengan i < j. Kemudian a1= α m(a1), dimana m = j – i. Dan kita sebut hubungan diantara a1 , a2 , a3 , … .. am seperti
α=(a¿¿1 , a2 , a3 , … ..am)…¿
71
Tiga titik pada akhir barisan menunjukan kemungkinan tidak sampai habis, dalam kasus seperti ini, hanya memilih element dari b1=α k (b1) untuk beberapa k. Siklik baru tidak akan memiliki unsur yang sama dengan siklik sebelumnya yang dibangun. Kalau begitu, lalu α i (a1 )=α j (a1 ) untuk di i dan
j. Tapi kemudian α i− j (a1 )=b1dan sampai b1=α t untuk t. Yang bertentangan dengan cara b1 dipilih. Sampai kita mendapatkan semua elemen A, permutasi akan terlihat seperti
a=¿
Dengan cara ini, kita melihat untuk setiap permutasi dapat ditulis sebagai produk siklik disjoint.
Teorema 5.2 Menguraikan Siklus
Jika dua buah siklik α=¿ dan b=(b1 , b2 , b3 , … ..bn ) tidak memiliki isi yang sama, kemudian αβ=βα.
BUKTI. Untuk pasti, kami memisalkan kira-kira agar α dan β dari permutasi
S = {a1 , a2, a3 ,… ..am, (b1 , b2 ,b3 ,… ..bn ) , c1 , c2 , c3 ,… ..ck }
72
Dimana c’s anggota S yang tersisa dari α dan β. Untuk membuktikan αβ=βα, kita harus tunjukan (αβ ) ( x )=( βα ) (x ) untuk semua x di S. Jika x adalah satu a elemen, katakan a i, kemudian
(αβ ) (ai )=α (β (ai ))=α (ai )=ai+1
Kami tafsirkan a i+1 sebagai ai jika i=m
¿
Karenanya, fungsi dari αβ dan βα sepakati di dalam eleman. Argumen yang mirip menunjukan bahwa αβ dan βα sedang itu b elemen sama baiknya. Akhirnya, katakan x adalah elemen dari c, atau c1. Kemudian di dapatkan
(αβ ) (ci )=α ( β (c i ))=α (c i)=c i
( βα ) (ci )=β (α (c i ))=β (c i)=a i
Dalam contoh perkalian siklik, kita menunjukan produk (1 3) (2 7) (4 5 6) (8) (1 2 3 4) (6 4 8) (5) dapat ditulis dengan (1 7 3 2) (4 8) (5 6). Apakah ekonomi dalam rumus keuntungan hanya untuk menulis permutasi dalam bentuk menguraikan siklus? Tidak. Yang nantinya akan ditunjukan dalam theorema selanjutnya, order dari permutasi.
73
Teorema 5.3 Order Suatu Permutasi (Ruffini-1799)
Order suatu permutasi suatu yang ditulis dalam di set terbatas memisah format siklik adalah yang umum yang terakhir berbagai panjang siklik.
BUKTI. Pertama, mengamati suatu siklus panjangnya n yang mempunyai order n. (memverifikasi sendiri). Kemudian, memisalkan α dan β dengan memisahkan siklus panjangnya m dan n, dan membiarkan k, maka jadilah yang umum yang mengalikan berbagai m dan n. Itu mengikuti dari Teorema 4.1 yang kedua-duanya α k dan βk adalah permutasi identitas ε dan, karena m dan n berubah, (αβ )k= α k βk adalah juga identitas. kemudian, kita mengetahui dengan kesimpulan ke Teorema 4.1 (α k=e menyiratkan bahwa suatu membagi k) bahwa order αβ-membiarkan kita menyebutkannya t-harus membagi k. Akan tetapi (αβ )t=α t β t=ε, sedemikian sehingga α t
=β−t. Bagaimanapun, itu harus jelas bahwa jika α danβ tidak punya simbol, umum yang sama adalah benar untuk α t danβ−t, karena peningkatan suatu siklus bagi suatu kuasa tidak memperkenalkan lambang baru. Tetapi, jika α t dan β−t adalah sama dan tidak punya simbol, mereka umum
74
harus kedua-duanya jadi akan menjadi identitas, sebab tiap-tiap lambang didalam α t ditetapkan, perbaiki oleh β−t dan sebaliknya (tidak ingat bahwa suatu lambang muncul adalah suatu permutasi ditetapkan dan diperbaiki oleh permutasi). Mengikuti itu, kemudian, itu kedua-duanya m dan n harus membagi t. Ini berarti k, paling sedikit itu yang umum berbagai m dan n, dibagi t juga. menunjukkan ini bahwa k= t.
Dengan begitu jauh, kita sudah membuktikan bahwa teorema adalah benar kasus di mana permutasi adalah siklik tunggal atau suatu produk dua memisah siklik. Kasus yang umum yang menyertakan lebih dari dua siklik dapat ditangani dengan suatu cara yang sepadan.
Ketika kita akan segera melihat, yang terutama sekali macam penting permutasi adalah suatu siklik panjangnya 2-itu adalah, suatu permutasi tentang format (ab). Banyak orang pengarang menyebutkan permutasi ini perubahan, karena efek ab) adalah untuk mempertukarkan atau mengubah urutan suatu a dan b.
Teorema 5.4 Produk 2 Siklus
75
Tiap-tiap permutasi di (dalam) n>1,adalah suatu produk 2-siklus.
BUKTI. Pertama, catat bahwa identitas itu dapat dinyatakan ketika (1 2)(1 2), dan ini merupakan suatu produk 2-siklus. Dengan Teorema 5.1, kita mengetahui bahwa tiap-tiap permutasi dapat ditulis dalam format
(a1a2...ak)(b1b2...bt)...(c1c2...cs).suatu perhitungan langsung menunjukkan bahwa ini adalah sama sebagai
(a1ak)(a1ak-1)...(a1a2)(b1bt)(b1bt-1)...(b1b2)(c1cs)(c1cs-1)...(c1c2)
Ini tanda bukti.
Penghapusan yang pertama di dalam contoh yang berikut mempertunjukkan teknik ini. Produk lain di dalam contoh 4 pertunjukan bahwa penghapusan suatu permutasi ke dalam suatu produk 2-siklus tidaklah unik.
CONTOH 4
(1 2 3 4 5) = (1 5) (1 4) (1 3) (1 2)= (4 5) (5 3) (2 5) (1 5)= (2 1) (2 5) (2 4) (2 3)= (5 4) (5 2) (2 1) (2 5) (2 3) (1
3)
Contoh 4 genap pertunjukan bahwa banyaknya 2-siklus boleh bertukar-tukar
76
dari satu penghapusan kepada yang berikutnya. Teorema 5.5 (dalam kaitan dengan Cauchy) mengatakan bagaimapun itu ada satu aspek suatu penghilangan yang tidak pernah bervariasi. Kita mengisolasikan suatu spesial kasus Teorema 5.5 sebagai lemma.
LEMMA
Jika ε =β1 β2...βr, dimana β ’s adalah 2-siklik, kemudian r adalah
BUKTI. Dengan jelas, r ≠ 1, karena suatu 2-siklus bukanlah identitas. Jika r = 2,kita adalah yang dilaksanakan.jadi,kita mengira bahwa r > 2 dan kita berproses dengan induksi. Karena (i j) = (j i),hasil β1 β2 dapat dinyatakan salah satu dari format yang berikut menunjukkan pada sisi kiri:
(a b)(a b) = ε(a b)(a c) = (b c)(a b)(a b)(c d) = (c d)(a b)(a b)(b c) = (b c)(a c).
Jika kasus yang pertama terjadi, kita boleh menghapus β1 β2 dari produksi untuk memperoleh ε = β3...βr dan oleh karena itu, dengan prinsip Induksi Matematika, r-2 yang kedua menjadi genap. Di dalam lain tiga kasus, kita menggantikan format β1 β2 pada sisi kiri oleh counterpantnya pada sisi
77
kanan untuk memperoleh suatu produksi baru r 2-siklik itu masih identitas, hanyalah dimana kejadian pertama bilangan bulat adalah di dalam yang kedua 2-siklik produk sebagai ganti yang dulu. Kita sekarang mengulangi prosedur itu hanya uraikan dengan β2 β3, dan, sama seperti sebelunnya,kita memperoleh suatu produk (r-2) 2-siklus sepadan dengan identitas itu atau suatu produksi baru r 2-siklik, di mana kejadian yang pertama suatu adalah di (dalam) yang ketiga 2-siklik. Melanjutkan proses, kita ini harus memperoleh suatu produk (r-2) 2-beredar sama kepada identitas, sebab jika tidak kita mempunyai suatu produk sepadan dengan identitas dimana kejadian yang pertama bilangan bulat adalah didalam 2-siklik yang terakhir, dan produk seperti itu tidak menentukan suatu sedangkan mengerjakan identitas. Karenanya, dengan induksi, r-2 bahkan dan r bahkan juga.
Teorema 5.5 Selalu Genap atau Selalu Ganjil
Jika pada permutasi α dapaat dinyatakan sebagai perkalian yang berjumlah 2 siklik, maka setiap penguraian α akan menjadi perkalian dari 2 siklik yang bahkan harus memiliki jumlah 2 siklik. Seperti yang ada di bawah; jika
78
α=β1 β2 …βr dan α=γ1 γ 2 …γ s
dimana β dan γ adalah 2 siklik, maka r dan s keduanya genap atau ganjil.
BUKTI. Amati bahwa
β1 β2 … βr = γ 1 γ 2 … γ s menyiratkan
ε=γ 1 γ 2 … γ s βr-1 ... β2
-1 β1-1
= γ 1 γ 2 … γ s βr … β2 β1,
karena 2 siklik adalah inversnya sendiri. Demikian, seperti yang di atas menjamin bahwa s + r adalah genap. Sehingga terjadi r dan s keduanya adalah genap dan ganjil.
DEFINISI: Permutasi Genap dan Ganjil
Sebuah permutasi yang dapat dinyatakan sebagai perkalian, maka jumlah 2 siklik disebut permutasi genap. Sebuah permutasi yang dapat dinyatakan sebagai perkalian dari 2 siklik yang ganjil, maka disebut permutasi ganjil.
Teorema 5.4 dan 5.5 menunjukkan bahwa setiap permutasi dapat jelas diklasifikasikan sebagai genap atau ganjil, tetapi tidak untuk keduanya. Pada saat ini adalah wajar untuk menanyakan apa
79
signifikasi pengamatan ini. Jawabannya terdapat pada Teorema 5.6.
Teorema 5.6 Permutasi Genap Membentuk Group
Himpunan permutasi genap di Sn membentuk subgroup Sn.
BUKTI. Bukti ini diserahkan kepada pembaca.
Pada permutasi genap subgroup dalam Sn akan jadi sering muncul yang kita berikan nama khusus dan notasi.
DEFINISI: Group Bertukar dari Tingkat n
Group permutasi genap n adalah simbol yang dilambangkan oleh An dan disebut group bertukar dari tingkat n.
Hasil berikutnya menunjukkan bahwa tepat setengah dari unsure-unsur Sn (n > 1) menjadi permutasi genap.
Teorema 5.7
Untuk n > 1, An adalah order yang
mempunyai n !2
BUKTI.
80
Untuk setiap permutasi ganjil σ , permutasi (12)σ adalah permutasi genap. Demikian, setidaknya ada sebagai permutasi ganjil yang banyak karena ada yang aneh. Di sisi lain, untuk setiap permutasi genap ∅ , permutasi (12)∅ permutasi ganjil. Jadi, setidaknya ada banyak maupun sedikit pada permutasi ganjil sebagai permutasi genap. Itu terjadi karena sebuah angka sama dari permutasi genap dan ganjil. Karena │Sn│= n!, sedangkan yang kita
miliki │An│= n !2
.
Tabel 5.1 Group A4 bertukar dengan permutasi Genap dari {1, 2, 3, 4}
(Dari tabel ini, permutasi A4 ditujukan sebagai α1, α2, …, α12 dan entri k di dalam table mewakili αk. Misalnya, α3 α8 = α6.)
α1
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8
α9
α10
α11
α12
α1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
α2
2 1 4 3 6 5 8 7 10
9 12
11
α3
3 4 1 2 7 8 5 6 11
12
9 10
α4
4 3 2 1 8 7 6 5 12
11
10
9
α 5 8 6 7 9 1 1 1 1 4 2 3
81
5 2 0α6
6 7 5 8 10
11
9 12
2 3 1 4
α7
7 6 8 5 11
10
12
9 3 2 4 1
α8
8 5 7 6 12
9 11
10
4 1 3 2
α9
9 11
12
10
1 3 4 2 5 7 8 6
α10
10
12
11
9 2 4 3 1 6 8 7 5
α11
11
9 10
12
3 1 2 4 7 5 6 8
α12
12
10
9 11
4 2 1 3 8 6 5 7
Ket:
α1 = (1) α2 = (1 2) (3 4)
α3 = (1 3) (2 4) α4 = (1 4) (2 3)
α5 = (1 2 3) α6 = (2 4 3)
α7 = (1 4 2) α8 = (1 3 4)
α9 = (1 3 2) α10 = (1 4 3)
α11 = (2 3 4) α12 = (1 2 4)
Group bertukar merupakan contoh yang paling penting dari group. Group A4 dan A5
82
akan muncul beberapa kali di bab berikutnya. Khususnya A5 yang memiliki signifikansi historis yang besar.
Interpretasi geometris A4 diberikan dalam contoh 5, dan tabel perkalian A4 diberikan pada tabel 5.1.
CONTOH 5. Rotasi Bidang Empat
12 rotasi dari sebuah bidang empat yang biasa dapat dengan mudah digambarkan dengan unsur A4. Baris atas Gambar 5.1 menggambarkan identitas dan tiga 1800 "ujung" tentang sumbu rotasi yang bergabung dengan titik tengah dari dua sisi. Baris kedua terdiri dari 1200 putaran "wajah" tentang sumbu bergabung simpul ke pusat wajah yang berlawanan. Baris ketiga terdiri dari 1200 (atau 2400) rotasi "wajah". Pemberitahuan bahwa empat rotasi pada baris kedua dapat diperoleh dari mereka yang di baris pertama oleh perkalian dari kiri empat di baris pertama oleh rotasi (1 2 3), sedangkan mereka di baris tiga puluh dapat diperoleh dari orang-orang di baris ketiga dari kiri-mengalikan yang ada di baris pertama oleh (1 2 3).
Molekul dengan rumus kimia dari AB4, seperti metana (CH 4) dan karbon
83
tetraklorida (CCl4), telah A4 sebagai kelompok simetri mereka. Gambar 5.2 menunjukkan dari satu molekul tersebut.
Banyak permainan dan puzzle dapat di analisis menggunakan permutasi.
84
CONTOH 6 (Loren Larson) Sebuah Puzzle Piringan yang Bergeser
Mempertimbangkan puzzle yang ditunjukkan di bawah (ruang di tengah adalah kosong)
Dengan menggeser piringan sepanjang garis ditunjukkan dari satu posisi ke posisi lain tanpa mengangkat atau melompat, bisa kita memdapatkan dan mengemukakan tata susunannya?
85
Untuk menjawab pertanyaan ini kita melihat posisi seperti nomor pada gambar pertama di atas dan mempertimbangkan dua langkah dasar: (i) memutar semua piringan pada satu posisi searah dengan jarum jam (ditunjukan dengan r), dan (ii) piringan di posisi 1 pindah ke posisi 3, piringan pada posisi 2 bergerak ke posisi 1, dan posisi piringan 3 bergerak ke posisi 2 (ditunjukan dengan s). Dalam permutasi, kami memiliki r = (1 2 3 4 5 6) dan s = (1 3 2). Jelas, himpunan semua kemungkinan bergerak dalam subgroup dari S6 dihasilkan oleh r dan s (yaitu, semua rangkaian r dan s's). Kita diminta untuk mengekspresikan (2 3 4) dalam hal r dan s. Sebuah judul percobaan mengungkapkan bahwa (234) = rs2r-1. Di sisi lain, tidak mungkin untuk cepat (12) dalam hal r dan s.
Hal memukau tentang masalah permutasi adalah bahwa ada software
86
perpaket yang bisa menjawab banyak pertanyaan langsung. Dalam kasus ini, kami akan meminta komputer untuk menentukan jika (2 3 4) adalah yang dapat dinyatakan dalam jangka waktu r dan s, dan jika demikian, bagaimana. Misalnya, dengan software GAP (lihat perangkat lunak yang disarankan pada akhir bab ini) kita menggunakan perintah:
gap ¿ G : = group simetri (6)
gap ¿ r : = (1, 2, 3, 4, 5, 6); s : - (1, 3, 2)
gap ¿ K : = subgrup (G[r,s¿);
gap ¿ faktorisasi (K(2, 3, 4));
Tiga baris pertama menginformasikan komputer bahwa kelompok kita adalah subkelompok S6 dihasilkan oleh r = (1 2 3 4 5 6) dan s = (1 3 2) sedangkan permintaan baris keempat yang (2 3 4) diungkapkan dalam r dan s.
GAP dapat menghitung 43, 252, 003, 274, 489, 856, 000 (43+triliun) permutasi kubus rubik's label wajah para kubus seperti yang ditunjukkan di sini.
87
permutasi kelompok kubus dihasilkannya rotasi berikut dari enam lapisan.
Atas = (1, 3, 8, 6) (2, 5, 7, 4) (9, 33, 25, 17) (10, 34, 26, 18) (11, 35, 27, 19)
Kiri = (9, 11, 16, 14) (10, 13, 15, 12) (1, 17, 41, 40) (4, 20, 44, 37) (6, 22, 46, 35)
Depan = (17, 19, 24, 22) (18, 21, 23, 20) (6, 25, 43, 16) (7, 28, 42, 13) (8, 30, 41, 11)
Kanan = (25, 27, 32, 30) (26, 29, 31, 28) (3, 38, 43, 19) (5, 36, 45, 21) (8, 33, 48, 24)
88
Samping = (33, 35, 40, 38) (34, 37, 39, 36) (3, 9, 46, 32) (2, 12, 47, 29) (1, 14, 48, 27)
Bawah = (41, 43, 48, 46) (42, 45, 47, 44) (14, 22, 30, 38) (15, 23, 31, 39) (16, 24, 32, 40)
A CHECK-DIGIT SCHE BASED ON D5
Pada tahun 1969 J. verhoeff membagi metode pemanfaatan grup dihedral beroeder 10 untuk mendeteksi semua digit unggal eror dan transposisi eror digit-digit yang berdekatan tanpa menghindari beberapa bilangan atau mengajukan karakter baru. Untuk menggambarkan metode permutasi ini
= (0 1 5 8 9 4 2 7) (3 6)
Dan grup dihedral berorder 10 yang digambarkan oleh table di bawah ini (disini kita menggunakan 0 sampai 4 untuk rotasi dan 5 sampai 9 untuk refleksi)
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 1 2 3 4 0 6 7 8 9 52 2 3 4 0 1 7 8 9 5 63 3 4 0 1 2 8 9 5 6 74 4 0 1 2 3 9 5 6 7 85 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1
89
6 6 5 9 8 7 1 0 4 3 27 7 6 5 9 8 2 1 0 4 38 8 7 6 5 9 3 2 1 0 49 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
IdeVerhoeff melihat digit 0 sampai 9 sebagai element dari grup D5 ,faktanya beberapa rangkaian digit a1 , a2… a(n−1) kami melampirkan cek digit an maka (a1) * ❑2(a2
) * ❑3(a3) * … * ❑n−1(an−1) * ❑n(an) = 0 (disini ❑2(x) = ((x)); ❑3(x) = (❑2(x)) dan sebagainya)
Karena memiliki sifat
❑i(a) ≠ ❑i(b) jika a ≠ b
Pada tahun 1990 pemerintah jerman mulai menggunakan modifikasi dari skema cek digit Verhoeff untuk membubuhkan cek digit kedalam serial nomor pada bank jerman (mata uang dutces mark)
Table selanjutnya memberikan nilai fungsi ❑i(j), baris disimbolkan oleh ❑i dan kolom disimbolkan oleh j
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5 7 6 2 8 3 0 9 4
90
❑2 5 8 0 3 7 9 6 1 4 2❑3 8 9 1 6 0 4 3 5 2 7❑4 9 4 5 3 1 2 6 8 7 0❑5 4 2 8 6 5 7 3 9 0 1❑6 2 7 9 3 8 0 6 4 1 5❑7 7 0 4 6 9 1 3 2 5 8❑8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9❑9 1 5 7 6 2 8 3 0 9 4❑10 5 8 0 3 7 9 6 1 4 2
Contoh
Mata uang yang memiliki nomer serial AG8536827U dengan menggunakan table di bawah ini
A D G K L N S U Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(0) * ❑2(2) * ❑2(2) *❑3(8) * ❑4(5) * ❑5(3) * ❑6(6) * ❑7(8) * ❑8(2) * ❑9(7) * ❑10(7) * 7 = 1 * 0 * 2 * 2 * 6 * 6 * 5 * 2 * 0 * 1 * 7 = 0
Ilustrasikan bagaimana menggunakan table perkalian dihedral 5
1 * 0 * 2 * 2 = (1 * 0) * 2 * 2 = 1 * 2 * 2 = (1 * 2) * 2 = 3 * 2 = 0
SOAL LATIHAN (Hal. 107-110)
91
1.Find the order of each of the following permutations.
a .(14 )=(4 1)b .(14 7 )=(17 )(1 4)
c .(14 7 62 )=(12 ) (1 6 ) (17 )(1 4)
3.What is the order of each of the following permutations.
a .(12 4 ) (3 57 )
[1 2 32 4 5
4 5 61 7 6
73]
b .(12 4 )(35 6)
[1 2 32 4 5
4 5 61 6 3]
c .(12 4 ) (3 5 )
[1 2 32 4 5
4 51 1]
d. (1 2 4)(3 5 7 8)
[1 2 32 4 5
4 5 61 7 6
7 88 3]
4 .What is the order of each of the following permutations?
a .[1 2 32 1 5
4 5 64 6 3]
92
= (12 ) (3 56 )(4)
b .[1 2 37 6 1
4 5 62 3 4
75]
=(17 53 )(2 64)
8. What is the maximum order of any element in A10 ?
10!2=5 .9!
40. Prove that Sn is non-abelian for all n ≥3.
S3 = 3! = 6
6 fungsi (α ,β , ε , α2 , αβ , βα)
αβ ≠ βα
[a1 a2 a3
b1 b2 b3] [b1 b2 b3
a1 a2 a3] ≠ [b1 b2 b3
a1 a2 a3]
[a1 a2 a3
b1 b2 b3]
(b1 b2 b3 )≠ (a1 a2 a3 ) non-abelian
93