Upload
others
View
11
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Diagonalisasi
Definisi : Suatu matriks bujursangkar 𝐴𝑛×𝑛 dikatakan dapat
didiagonalkan (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang
mempunyai invers sehingga P–1AP merupakan matriks
diagonal.
• Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan
(pendiagonal) dari A.
• Vektor-vektor kolom dari matriks P adalah vektor-vektor
eigen dari A.
Misal 𝐴𝑛×𝑛, cara menentukan matriks P yang mendiagonalkan A :
a. Tentukan nilai eigen
b. Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen yang diperoleh
c. Bentuk matriks P dengan vektor-vektor kolomnya berupa basis ruang
eigen 𝑣𝑖 , 𝑖 = 1,2,…𝑛.
d. Matriks 𝑃−1𝐴𝑃 merupakan matriks diagonal dengan 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1,2,…𝑛
sebagai entri-entri diagonalnya secara berurutan.
Jika 𝐴𝑛×𝑛, maka kedua pernyataan berikut adalah ekuivalen.
a. Matriks 𝐴 dapat didiagonalisasi
b. Matriks 𝐴memiliki 𝑛 vektor eigen yang bebeas linear
Contoh :
Tentukan matriks 𝑃 yang mendiagonalkan
1 0 0
0 1 1
0 1 1
A
=
. 0I A − =
0 0 1 0 0
det 0 0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
− =
Jawab :
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :
atau
( )
( )
( )
1 0 0
det 0 1 1 0
0 1 1
−
− − = − −
11 11 12 12 13 13det .I A a c a c a c − = + +
( ) ( )2
1 1 1 0 0 = − − − + +
( ) ( ) ( )1 2 = − −
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor :
Pilih Baris 1
Sehingga diperoleh nilai eigen
0 ; 1 ; 2 = = =
0 =
( ). ~I A −1 0 0
0 1 1
0 1 1
−
− − − −
1 0 0
~ 0 1 1
0 1 1
− −
1 0 0
~ 0 1 1
0 0 0
Untuk
Dengan OBE maka
0 =
1
2
3
0
1
1
x
x t
x
= −
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
1
0
1
1
P
= −
adalah
1 =
( ). ~I A −0 0 0
0 0 1
0 1 0
− −
0 0 0
~ 0 0 1
0 1 0
0 1 0
~ 0 0 1
0 0 0
Untuk
Dengan OBE maka
1 =
1
2
3
1
0
0
x
x t
x
=
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
2
1
0
0
P
=
adalah
Untuk
Dengan OBE maka
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
adalah
2 =
( )
1 0 0
. ~ 0 1 1
0 1 1
I A
− − −
1 0 0
~ 0 1 1
0 0 0
−
1
2
3
0
1
1
x
x t
x
=
3
0
1
1
P
=
2 =
1 1 2 2 3 3 0k P k P k P+ + =
1
2
3
0 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
k
k
k
= −
0 1 0 1 0 1
1 0 1 ~ 0 1 0
1 0 1 1 0 1
− −
1 0 1
~ 0 1 0
0 0 2
1 0 1
~ 0 1 0
0 0 1
1 0 0
~ 0 1 0
0 0 1
1 2 3, ,P P P
Perhatikan
Jadi
merupakan himpunan yang bebas linear
Dengan OBE
Jadi, Matriks yang mendiagonalkan A adalah :
Matriks diagonal yang dihasilkan adalah :
Hal yang perlu diperhatikan, matriks
Juga mendiagonalkan A.
Tapi matriks diagonal yang terbentuk adalah :
0 1 0
1 0 1
1 0 1
P
= −
1
0 0 0
0 1 0
0 0 2
D P AP−
= =
1 0 0
0 1 1
0 1 1
P
= −
1
1 0 0
0 0 0
0 0 2
D P AP−
= =
1
0 1 1 1 0 0 0 1 01
2 0 0 0 1 1 1 0 12
0 1 1 0 1 1 1 0 1
P AP−−
=
−
0 0 0 0 1 01
2 0 0 1 0 12
0 2 2 1 0 1
= −
0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 1
= −
0 0 0
0 1 0
0 0 2
=
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
−
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
−
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 2 0 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 102 2
1 101 0 0 2 2
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 102 2
−
Terimakasih