Upload
ayutasari
View
242
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 1/22
INTEGRAL GARISDalam materi ini, didefinisikan integral yang serupa dengan integral tunggal, hanyasaja interval integrasinya bukan sebuah interval ],[ ba , tapi sebuah kurva C yang dinyatakan oleh sebuah persamaan. Integral yang demikian ini disebutsebagai integral garis.
Misalkan diketahui suatu kurva C yang dinyatakan oleh persamaan parametrik)(t x x = )(t y y = bt a ≤≤ .
Integral garis sepanjang kurva C , didefinisikan dengan
dt dt dy
dt dx
t yt x f ds y x f b
aC ∫ ∫
+
=
22
))(),((),(
Contoh
1. Tentukan ∫ +C
ds y x )2( 2 dengan C adalah setengah bagian atas lingkaran
122 =+ y x .
PenyelesaianIngat kembali, bahwa persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam persamaanparameter t x cos= t y sin= π ≤≤ t 0 . Sehingga
32
2)sincos2(),(0
2 +=+= ∫ ∫ π π
dt t t ds y x f C
2. Tentukan ∫ C xds2 dengan C terdiri dari 1C parabola2
x y = dari )0,0( ke
)1,1( dilanjutkan garis vertikal 2C dari )1,1( ke )2,1( .
Penyelesaian
26
1552222
2121
+−=+== ∫ ∫ ∫ ∫ + C C C C C
xds xds xds xds
3. Hitung ∫ +C
xdydx y 2
, dengan C adalah
a. Ruas garis dari (-5,-3) ke (0,2)
b. Busur parabola2
4 y x −= dari (-5,-3) ke (0,2).Penyeleaian diserahkan kepada Anda.
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 2/22
INTEGRAL GARIS DALAM RUANGAnalog dengan integral garis dalam bidang pada pembahasan di atas, integral garisdalam ruang didefinisikan dengan
dt dt dz
dt dy
dt dx
t z t yt x f ds z y x f b
aC ∫ ∫
+
+
=
222
))(),(),((),,(
Contoh
1. Hitung ∫ C
zds y sin , dimana C adalah heliks melingkar yang dinyatakan oleh
persamaan t x cos= t y sin= t z = ; π 20 ≤≤ t Penyelesaian
21cossinsinsin2
0
222 π π
=++= ∫ ∫ dt t t t ds z yC
2. Tentukan hasil dari ∫ ++C
dz xdy z dx y dimana C adalah ruas garis dari
)0,4,3()5,4,3()0,0,2( →→PenyelesaianPersamaan ruas garis )5,4,3()0,0,2( → adalah 105,84,:1 −=−== t z t yt xC
sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) 5,24482
2948295410584
3
2
23
2
3
2
=−=−=+−+− ∫ ∫ t t dt t dt t dt t dt t
Persamaan ruas garis ( )0,4,3)5,4,3( → adalah t z y xC 55,4,3:2 −===
sehingga ] 151515 10
1
0
−=−=−∫ t dt
Sehingga 5,921
=++=++ ∫ ∫ +C C C
dz xdy z dx ydz xdy z dx y
INTEGRAL GARIS DARI MEDAN VEKTORMisalkan Rk Qj Pi F ++= adalah medan vektor kontinu yang terdefinisi pada kurvamulus C yang dinyatakan oleh fungsi vektor k t z jt yit xt r )()()()( ++= , bt a ≤≤ ,maka integral garis dari F sepanjang C didefinisikan oleh:
∫ ∫ •=•b
aC
dt t r t r F dr F )('))((
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 3/22
ContohCarilah kerja yang dilakukan oleh medan gaya xyji x y x F −= 2),( untuk
mengerakkan partikel sepanjang seperempat lingkaran tjtit r sincos)( += ,2
0π ≤≤ t .
Penyelesaian
( )
31
sin32
sin
)(sinsin)(sinsin1
sincoscos
)sincos(cos
)cossin()sincos(cos
2
22
22
2
2
0
3
0
2
0
2
0
2
0
3
0
23
0
2
=−=
−−=
−=
−=
+−•−=•
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
π
π π
π π
π
π
t t
t d t t d t
dt t t dt t
dt t t t
dt jt it jt t it dr F C
Latihan1. Hitung integral garis berikut dengan C adalah kurva yang diberikan
a. ∫ +C dy x ydx y x 2 ; C adalah ruas garis dari )2,3()0,2()0,0( →→
b. ∫ C
ds xy 3
; C adalah kurva parametrik
20;3;cos4;sin4
π ≤≤=== t t z t yt x
c. ∫ C
yz ds xe ; C adalah ruas garis dari )3,2,1()0,0,0( →
2. Tentukan hasil ∫ •C
dr F , dengan C adalah kurva yang diberikan oleh fungsi
vektor )( t r
a. 10;)(;),( 3232 ≤≤−=−= t jt it t r j x yi y x y x F
b. 10;)(;cossin),,( 23 ≤≤+−=++= t tk jt it t r k xz yj xi z y x F
3. Tentukan kerja (usaha) yang dilakukan oleh medan gayaa. ;sin),( j yi y x y x F += pada suatu partikel yang bergerak sepanjang
parabola 2 x y = dari )4,2()1,1( →−
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 4/22
b. ;),,( k yz j yxi xz z y x F ++= pada suatu partikel yang bergeraksepanjang parabola kurva dari 10,)( 432 ≤≤+−= t k t jt it t r
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 5/22
TEOREMA DASAR INTEGRAL GARIS
Ingat kembali teorema dasar Kalkulus bahwa )()()(' a F b F dx x F b
a
−=∫ dengan
)(' x F kontinu pada ],[ ba . Demikian pula teorema dasar untuk integral garisdiberikan oleh Teorema berikut
TeoremaMisalkan C adalah kurva mulus yang diberikan oleh fungsi vector
bt at r ≤≤);( . Misalkan f adalah fungsi dua atau tiga variable yang vectorgradiennya f ∇ kontinu pada C. Maka
( ) ( ))()( ar f br f dr f C
−=•∇∫
Teorema ini mengatakan bahwa kita dapat menghitung integral garis dari medanvector konservatif (medan vector gradient dari fungsi potensial f ), cukup denganmengetahui nilai f di titik ujung C. Sehingga jika f adalah fungsi dua variabledan C adalah kurva bidang dengan titik awal ),( 11 y x A dan titik akhir ),( 22 y x B ,
maka Teorema dasar untuk integral menjadi ( ) ( )1122 ,, y x f y x f dr f C
−=•∇∫ .
Sedangkan jika f adalah fungsi tiga variable dan C adalah kurva ruang dengantitik awal ),,( 111 z y x A dan titik akhir ),,( 222 z y x B , maka Teorema dasar untuk
integral garis menjadi ( ) ( )111222 ,,,, z y x f z y x f dr f C
−=•∇∫
KEBEBASAN LINTASANUmumnya, jika F medan vektor kontinu dengan domain D , dikatakan bahwa
integral garis ∫ •C
dr F adalah bebas lintasan jika ∫ ∫ •=•21 C C
dr F dr F untuk sebarang
lintasan 1C dan 2C dalam D dengan titik awal dan titik akhir sama.Suatu kurva dikatakan tertutup, jika titik akhirnya berimpit dengan titik awalnya,yaitu )()( ar br =
Teorema
Integral garis ∫ •
C
dr F adalah bebas lintasan dalam D jika hanya jika
0=•∫ C
dr F
untuk setiap lintasan tertutup C dalam D .
Menurut Teorema Green (akan dibahas berikutnya), untuk setiap C lintasantertutup bila jt yit xt r jQi P F )()()(; +=+= , berlaku
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 6/22
dA y P
xQ
Qdy Pdxdr F DC C ∫ ∫ ∫ ∫
∂∂−∂
∂=+=• . Sehingga bila 0=•∫ C
dr F , hal ini
mengakibatkan dA y P
xQ
D∫∫
∂∂−∂
∂yaitu
y P
xQ
∂∂=∂
∂.
Dengan kata lain, Integral garis ∫ •C
dr F dikatakan bebas lintasan bila berlaku
y P
xQ
∂∂=∂
∂.
TeoremaAndaikan F adalah medan vector yang kontinu pada daerah terhubung
terbuka D . Jika 0=•∫ C
dr F adalah bebas lintasan dalam D , maka F
adalah medan vector konservatif pada D , yakni terdapat fungsi f
sedemikian sehingga F f =∇
Teorema Jika j y xQi y x P y x F ),(),(),( += adalah medan vector konservatif, dengan
P dan Q mempunyai turunan parsial yang kontinu pada D , makasepanjang D berlaku
xQ
y P
∂∂=∂
∂.
Untuk daerah D adalah terhubung sederhana, digunakan teorema berikut
TeoremaMisalkan j y xQi y x P y x F ),(),(),( += adalah medan vector pada daerahterhubung sederhana terbuka D . Andaikan P dan Q mempunyai turunan
orde satu yang kontinu dan xQ
y P
∂∂=∂
∂sepanjang D , maka F adalah
konservatif.
Contoh1. Apakah medan vector j y xi xy y x F )3()23(),( 22 −++= konservatif/tidak?
PenyelesaianKarena P dan Q adalah polinomial dalam ),( y x berarti domain dari F
adalah 2 R , dan turunan pertamanya juga kontinu di 2 R , yaitu xQ
x y P
∂∂==∂
∂2
. Jadi menurut Teorema j y xi xy y x F )3()23(),( 22 −++= konservatif.
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 7/22
2. Dari soal nomor 1, tentukan f sedemikian sehingga F f =∇ , kemudian
hitung ∫ •C
dr F , bila C adalah kurva parameter
π ≤≤+= t jt eit et r t t 0;cossin)(
Penyelesaian
Dari definisi turunan fungsi vector j f i f j f y
i f x
f y x +=∂∂+∂
∂=∇ .
Karena F f =∇ , berarti j y xi xy j f i f y x )3()23( 22 −++=+Dari kesamaan diperoleh )(3)23()23( 2 y g y x xdx xy f xy f x ++=+=⇔+= ∫ Dari f yang diperoleh, bila diturunkan terhadap y ,
)(')23( 2 y g x f xy f y x +=⇔+= Sementara 22 3 y x f y −= , sehingga
c ydy y y g y y g y g x y x +−=−=⇔−=⇔+=− ∫ 322222 3)(3)(')('3
Jadi c y y x x f +−+= 323
Kemudian menurut teorema dasar integral garis1)1,0(),0( 3 +=−−=•∇=• −−∫ ∫ π π e f e f dr f dr F
C C
3. Jika k ye je xyi y z y x F z z 332 3)2(),,( +++= , tentukan f sedemikian sehingga F f =∇ !
Penyelesaiannya diserahkan ke pembaca.
4. Hitung ( ) ( )∫ −+−)4,3(
)2,1(
2232 366 dy xy y xdx y xy
Perhitungan integral garis ini dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut.a. Misalkan lintasan dari titik (1,2) ke (3,4) dibagi dua lintasan yaitu lintasan
)2,3()2,1(:1 →C dilanjutkan lintasan )4,3()2,3(:2 →C .
b. Dengan lintasan langsung dari )4,3()2,1( →
c. Dengan mengecek, apakah xQ
y P
∂∂=∂
∂. Jika ya, berarti berlaku f F ∇=
sehingga berlaku rumus)4,3(
)2,1(
)4,3(
)2,1(
)4,3(
)2,1(
f df dr f dr F C
==•∇=• ∫ ∫ ∫
LATIHAN1. Tentukan apakah F berikut ini konservatif atau tidak. Bila konservatif,
tentukan f sedemikian sehingga F f =∇
a. j y xi y x F )45()56( +++=b. j x y xi x y y x F )sinsin()coscos2( 2 −−+−=
2. a.Tentukan f sedemikian sehingga F f =∇
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 8/22
b.Gunakan jawaban a. untuk menghitung ∫ •C
dr F sepanjang C yang
diberikan1. j y x yi y x F )2(),( ++= dengan C adalah setengah lingkaran bagian atasyang
berawal di )1,0( dan berakhir di )1,2(2. yk j z x yi z y x F +++= )(),,( , dengan C adalah ruas garis dari
)1,3,8()4,1,2( −→ 3. k x yj xi y xz z y x F 2cos)sin2(),,( +++= dengan C adalah
π 20;sincos)( ≤≤++= t k t jt it t r
3. Tunjukkan bahwa integral garis berikut bebas lintasan, kemudian hitungintegralnya!
a. ( )∫ −+C
dy y y xdx y x 22 3cossin2 dengan C sebarang lintasan dari (-1,0) ke
(5,1)
b. ( ) ( )∫ −+−C
dy y x xydx y x y 24332 94122 dengan C sebarang lintasan dari (1,1)
ke (3,2)4. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya F dalam menggerakkan
benda dari P ke Q, bila:a. j y xi y x y x F 2332),( += dengan P(0,0), Q(2,1)
b. j x y
i x y
y x F 2
),( 2
2
−= dengan P(1,1), Q(4,-2)
TEOREMA GREENTEOREMA GREENMisalkan C adalah kurva yang berorientasi positif, mulus sepotong-sepotong,tertutup sederhanan di bidang dan D adalah daerah yang dibatasi oleh C. JikaP dan Q mempunyai mempunyai turunan parsial yang kontinu pada daerahterbuka yang memuat D, maka:
dA y P
xQ
Qdy Pdx DC ∫∫ ∫
∂∂−∂
∂=+
Dengan kalimat lain, Teorema Green mengatakan bahwa integral tunggalsepanjang lintasan tertutup C sama dengan integral lipat dua dengan domainintegrasi bidang D yang batasnya adalah lintasan C
Contoh
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 9/22
1. Akan dihitung ∫ +C
dy xydx x 4
, dengan C adalah ruas garis dari (0,0) ke (1,0)
ke (0,1) kembali ke (0,0) dengan menggunakan teorema Green, yaitu
611
0
1
0
4 ==+ ∫ ∫ ∫ − x
C
dxdy ydy xydx x
2. Akan ditentukan hasil dari ∫ +C
dy xydx y 32
dengan C adalah bidang
perbatasan dari daerah setengah cincin D di setengah bidang atas di antaralingkaran-lingkaran 122 =+ y x dan 422 =+ y x .Penyelesaian perhitungan contoh 2. Lebih sulit bila menggunakan integralbiasa maupun integral garis. Dengan domain integrasi bidang setengahcincin bagian atas, akan lebih mudah menggunakan koordinat polar untukmenyelesaikannya.
Dengan y y P
y P 22 =∂∂
⇒= ; y xQ
xyQ 33 =∂∂
⇒= dan { }π θ θ ≤≤≤≤= 0;21/),( r r D
diperoleh
( )3
14sin233
0
2
1
2 ==−=
∂∂−
∂∂=+ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
π
θ θ d dr r r dA y ydA y P
xQ
dy xydx y D DC
LATIHAN1. Tentukan hasil dari
a. ∫ +C
dy xdx xy 32
dengan C adalah persegi panjang dengan titik sudut
(0,0), (2,0), (2,3), (0,3)
b. ∫ −C
dy xdx y dengan C adalah lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-
jari 1.2. Cari nilai dari
a. ( )∫ +++C
x dy y xdxe y 2cos2 dengan C adalah daerah antara parabola-
parabola 2 x y = dan 2 y x = .
b. ∫ −C
dy xdx y 33
dengan C adalah lingkaran 422 =+ y x
3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan vektorπ 20;sincos)( 3 ≤≤+= t jt it t r
CURL DAN DIVERGENSI1. CURL
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 10/22
Jika k RQji P F ++= adalah medan vector pada 3 R dan turunan parsial dari RQ P ,, semuanya ada, maka curl F adalah medan vector dari 3 R yang
didefinisikan dengan
( ) k y
P
x
Q
j x
R
z
P
i z
Q
y
R
k RQji P k z j yi x
F F curl
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
=++×
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
×∇=
Teorema Jika F adalah medan vector yang terdefinisi pada keseluruhan vector 3 R yang fungsi komponennya mempunyai turunan parsial kontinu dan
0= F curl , maka F adalah medan vector konservatif
ContohAkan ditunjukkan bahwa k z xy j xyz i z y F 22332 32 ++= adalah medan vector
konservatif.
0
32 22332
=∂∂
∂∂
∂∂=
z xy xyz z y z y x
k ji
F curl
Selanjutnya karena k z xy j xyz i z y F 22332 32 ++= adalah medan vectorkonservatif, akan dicari fungsi potensial f -nya, yaitu F f =∇
),(
32
3232
32
22332
z y g z xydx z y f
z y f
k z xy j xyz i z yk z
f j
y
f i
x
f
x
+==⇔=⇔
++=∂∂+∂
∂+∂∂
∫ Padahal 333 2),(22 xyz z y g xyz xyz f y y =+⇔=
k z y g
z y g y=⇔
=⇔
),(
0),(
Jadi k z xy f += 32
2. DIVERGENSI Jika k RQji P F ++= adalah medan vector pada 3 R dan turunan parsial dari
RQ P ,, semuanya ada, maka divergensi F
( F div ) adalah fungsi tigavariable yang didefinisikan oleh
( )
z P
yQ
x P
k RQji P k z
j y
i x
F F div
∂∂+
∂∂+
∂∂=
++•
∂∂+
∂∂+
∂∂=
•∇=
Contoh
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 11/22
Divergensi dari k y j xyz i xz F 2−+= adalah xz z z P
yQ
x P
F div +=∂∂+∂
∂+∂∂=
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 12/22
BENTUK VEKTOR DARI TEOREMA GREENMisalkan C adalah kurva tertutup sederhana, mulus pada bidang XY denganpersamaan parameter )( s x x = dan )( s y y = , maka vektor singgung satuan dari
kurva C adalah jdsdy
idsdx
T += dan vektor normal satuannya adalah jdsdx
idsdy
n −= .
Jika j y xQi y x P F ),(),( += adalah medan vektor, maka
1. ( ) ( )∫ ∫ ∫ −=
−•+=•
C C C
Qdxdy P ds jdsdx
idsdy
Qj Pidsn F
dA yQ
x P
dA yQ
x P
S S ∫ ∫ ∫ ∫
∂∂+∂
∂=
∂∂−−∂
∂=
Sementara ( ) yQ
x P
Qj Pi j y
i x
F F div∂∂+∂
∂=+•
∂∂+∂
∂=∇= . Sehingga
∫∫ ∫∫ ∫ •∇==•S S C
F F divdsn F
Yang disebut sebagai Teorema Divergensi Gauss pada Bidang atau Fluksyang melintasi C.
2. Terdapat pula bentuk vector yang lain untuk Teorma Green.
( ) ( )
dA y P
xQ
Qdydx P ds jdsdy
idsdx
Qj PidsT F
S
C C C
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∂∂−
∂∂=
+=
+•+=•
Sementara k y
P
x
Q
Q P z y x
k ji
F F curl
∂
∂−∂
∂=∂
∂
∂
∂
∂
∂=×∇=0
. Sehingga
∂∂−∂
∂=• y P
xQ
k F curl . Jadi
dAk F curl dsT F S C ∫ ∫ ∫ •=•
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 13/22
LUAS PERMUKAANDefinisi
Bila permukaan mulus S diberikan oleh persamaan;),(),(),(),( k vu z jvu yivu xvur ++= Dvu ∈),( , dan S dikelilingi hanya sekali
ketika ),( vu bergerak sepanjang daerah asal D, maka luas permukaan S adalah
∫∫ ×= D
vu dAr r S A )(
dengan k u z
ju y
iu x
r u ∂∂+
∂∂+
∂∂= dan k
v z
jv y
iv x
r v ∂∂+∂
∂+∂∂=
Secara khusus, jika permukaan S diberikan oleh persamaan ),( y x f z = , dengan),( y x terletak di D dan f mempunyai turunan parsial kontinu, dan diambil x dan y
sebagai parameter, dengan persamaan parameternya ),(,, y x f z y y x x ===
sehingga k x f
ir x ∂∂+= ; k
v f
jr y ∂∂+= dan
1
10
0122
+
∂∂+
∂∂=×⇒+∂
∂−∂∂−=
∂∂∂∂=×
y z
x z
r r k j y f
i x f
y f x f k ji
r r y x y x
Jadi, luas permukaan menjadi
∫ ∫ +
∂∂+
∂∂=
D
dA y z
x z
S A 1)(22
Pikirkan ke-analog-an rumus luas permukaan ini dengan rumus panjang busur padaKalkulus I
Contoh1. Tunjukkan bahwa luas permukaan bola adalah 24 r L π =
PenyelesaianIngat kembali transformasi koordinat kartesius ke koordinat polar padasystem koordinat bola, yaitu:
α β α β α cos;sinsin;cossin l z l yl x ===Dengan daerah asal parameter { }π β π α β α 20;0/),( ≤≤≤≤= D
Sehingga k jl il k z
j y
i x
r α β α β α α α α α sinsincoscoscos −+=∂∂
+∂∂
+∂∂
=
k jl il k z
j y
i x
r 0cossinsinsin ++−=∂∂+∂
∂+∂∂= β α β α
β β β β
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 14/22
l jl il
l l
l l
k ji
r r β α β α β α β α
α β α β α β α sinsinsincossin0cossinsinsin
sinsincoscoscos 22222 ++=−
−=×
α α α β α β α β α sincossinsinsincossin 2224244244 l l l l r r =++=×
Jadi 2
2
0 0
2 4sin)( l d d l dAr r S A D
vu π β α α π π
==×= ∫ ∫ ∫ ∫
2. Tentukan luas permukaan paraboloida 022 =−+ z y x yang dibatasi olehbidang 4= z .Penyelesaiana. Cara I
y z x z y x z y x 2;222 ==⇒+= , sehingga 2222 4411 y x z z dS y x ++=++=
( )
( )
( )
( )117176
41121
414181
41
41441)(
2
0
23
22
0
2
0
2
0
22
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2222
−=
+=
++=
+=
++=++==
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
π
α
α
α
α
π
π
π
π
d r
d r d r
rdrd r
rdrd y xdA y xdS S A D D
b. Cara II( )k y x yj xi zk yj xir 22 +++=++=
Sehingga xk jir x 20 ++= dan yk jir y 20 ++=
( ) ( )
144
12222
210
201
22
22
++=
+−+−=×⇒+−−==×
y x
y xr r k yj xi
y
x
k ji
r r y x y x
( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++=++=×=π
α 2
0
2
0
2222 41441)( rdrd y xdA y xdAr r S A D D
y x
Selanjutnya sama seperti cara sebelumnya.
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 15/22
LATIHAN Tentukan luas permukaan dari
1. Bola 2222 =++ z y x yang terletak di atas silinder 122 =+ y x .
2. Kerucut ( )222 3 y x z += yang dibatasi paraboloida 22 y x z += .
3. Bidang 1622 =++ z y x yang dibatasi oleha. 3,2,0,0 ==== y x y x
b. 64,0,0 22 =+== y x y x
INTEGRAL PERMUKAANDalam memahami integral permukaan, ingat kembali rumus tentang integral garis.Karena hubungan antara integral garis dan panjang busur, sangat menunjang untukmemahami hubungan antara integral permukaan dan luas permukaan. Artinyapanjang busur analog dengan luas permukaan, dan integral garis analog denganintegral permukaan.
Jika permukaan S adalah grafik dari fungsi dua variabel D y x y x g z ∈= ),(),,( , makaintegral permukaan dari S dirumuskan dengan
( )∫∫ ∫∫ +
∂+
∂=
DS
dAdy z
dx z
y x g y x f dS z y x f 1),(,,),,(22
Untuk permukaan S dengan persamaan parametrik;),(),(),(),( k vu z jvu yivu xvur ++= integral permukaan dirumuskan dengan
( )∫∫ ∫∫ ×= D
vu
S
dAr r y x g y x f dS z y x f ),(,,),,(
Contoh
Hitung1. ∫∫
S
dS y dengan S adalah permukaan 20;10;2 ≤≤≤≤+= y x y x z
2. ∫∫ S
dS x 2
dengan S adalah bola satuan 1222 =++ z y x
3. ∫∫ S
dS z dengan S adalah permukaan yang merupakan gabungan dari S1
silinder 122 =+ y x ; S2 cakram 122 ≤+ y x ; S3 bidang 1+= x z yang terletak diatas S2
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 16/22
Penyelesaian
1. 22222 4241112;1 y y z z y z z y x z y x y x+=++=++⇒==⇒+=
Sehingga ( )22
0
22
0
1
0
2 424281
42 yd ydydx y ydS yS
++=+= ∫ ∫∫ ∫ ∫
( ) 23
1342
32
81 2
0
23
2 =+= y
2. Koordinat bola dengan berpusat di (0,0,0) berjari-jari 1 adalahα β α β α cos;sinsin;cossin === z y x dan α β α sin=× r r
Sehingga
34
sincossincossin2
0 0
322
0 0
222 π α α β β β α α β α
π π π π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ === d d d d dS xS
3. ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ++=321 S S S S
dS z dS z dS z dS z
• Permukaan S1 silinder 122 =+ y x , sehingga z z y x === ;sin;cos α α
Sehingga k jik z
j y
i x
r 0cossin ++−=∂∂+∂
∂+∂∂= α α
α α α α
k jik z z
j z y
i z x
r z 100 ++=∂∂+∂
∂+∂∂=
Jadi 1sincos
100
0cossin =×⇒+=−=× z z r r ji
k ji
r r α α α α α α
23cos1
0
2
0
1
0
2
01
π α α
α π π
=== ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++dz d z z d d z dS z
x
S
• Permukaan S2 cakram 122 ≤+ y x , sehingga 0= z
Jadi 02
=∫∫ S
dS z
• Permukaan S3 bidang 1+= x z yang terletak di atas S2 sehingga
2101122
=++=+
∂∂+
∂∂
y z
x z
Jadi ( ) ( ) π α α
π
2cos1221
2
0
1
033=+=+= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ d dr r dA xdS z
S S
Sehingga π
+=++= ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 223
321 S S S S
dS z dS z dS z dS z
INTEGRAL PERMUKAAN DARI MEDAN VEKTORBagaimana bila soal yang dijumpai adalah sebagai berikut
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 17/22
1. Hitung integral permukaan, bila k z j xi y F ++= dengan permukaanS adalah daerah pejal yang dilingkupi oleh paraboloida 221 y x z −−= dan di bidang 0= z .Untuk menyelesaikan soal tersebut, perhatikan bahwa yang diketahui adalahmedan vector k z j xi y F ++= yang berarti soal tersebut adalah penentuanintegral permukaan dari suatu medan vector.Perhatikan y x r r × pada rumus luas permukaan, dengan k z j yi xr ++= .Ingat bahwa hasil dari cross product dua vektor adalah vektor yang tegaklurus terhadap dua vektor yang dicrossproductkan, dan yang hasilnya positif adalah yang arahnya keluar bidang.Pada soal tersebut ( )k y x j yi xr 221 −−++= , sehingga
k y jir k x jir y x 20;20 −+=−+= dan k j yi x
y
x
k ji
r r y x ++=−−=× 22
210201
(arahnya keluar permukaan), sehingga
∫∫ •S
dS z y x F ),,(
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
−−+=
++•−−++=
++•++=ו=
D
D
D D y x
dA y x xy
dAk yj xik y x xji y
dAk yj xi zk xji ydAr r y x g y x F
22
22
14
221
22),(,,
Sementara, karena irisan antara paraboloida 221 y x z −−= dan di bidang
0= z adalah lingkaran 221 y x += , maka penyelesaian akan lebih mudah
dengan menggunakan koordinat polar, sehingga
( ) ( )2
1sincos4142
0
1
0
2222 π θ θ θ
π
=−+=−−+ ∫ ∫ ∫ ∫ d dr r r r dA y x xy D
Cross productnya adalah y x r r × , bukan x y r r × karena bila x y r r × , maka hasilnyaadalah
vektor yang arahnya ke bawah paraboloida (bernilai negative)
Integral permukaan dari medan vektor di permukaan S disebut juga FLUKSyang melintasi S
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 18/22
2. Tentukan fluks dari medan vektor k xk yi z z y x F ++=),,( yang melintasibola satuan 1222 =++ z y x
PenyelesaianUntuk permukaan bola, maka penyelesaian akan lebih mudah menggunakanpenyajian secara parameter untuk persamaan bola. Jadi untuk
1: 222 =++ z y xS , dan orientasi dikatakan positif bila β α r r × denganπ β π α 20;0 ≤≤≤≤ , persaman parametrik untuk bola berjari-jari 1 da
berpusat di )0,0,0( adalahk jir z y x α β α β α α β α β α cossinsincossincos;sinsin;cossin ++=⇒===
k jir α β α β α α sinsincoscoscos −+=k jir 0cossinsinsin ++−= β α β α β
k ji
k ji
r r
α α β α β α
β α β α α β α β α β α
cossinsinsincossin
0cossinsinsin
sinsincoscoscos
22
++=
−−=×
Sehingga( )∫∫ ∫∫ ו=•
S S
dAr r z y x F dS z y x F β α ),,(),,(
( ) ( )
( )3
4coscossinsinsincossincos
cossinsinsincossincossinsinsincos
2
0 0
2232
2
0 0
22
π β α β α α β α β α α
β α α α β α β α β α β α α
π π
π π
=++=
++•++=
∫ ∫
∫ ∫
d d
d d k jik ji
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 19/22
LATIHAN
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 20/22
TEOREMA STOKESMisalkan S adalah permukaan mulus sepotong-sepotong terorientasikanyang dibatasi kurva perbatasan mulus sepotong-sepotong yang tertutupdan sederhana C dengan prientasi positif. Sedangkan F adalah medanvektor yang komponennya mempunyai turunan parsial kontinu pada
daerah terbuka 3 R yang mengandung S. Maka ∫ ∫ ∫ •=•S C
dS F curl dr F
Teorema Stokes menyatakan bahwa integral garis sekeliling kurva perbatasan Sdari komponen singgung F pada daerah terbuka 3 R sama dengan integralpermukaan dari komponen normal dari F curl .
ContohHitung
1. ∫ •
C
dr F dengan k z xji y F 22 ++−= dan C adalah kurva
perbatasan/perpotongan dari bidang 2=+ z y dan silinder 122 =+ y x
2. ∫∫ •S
dS F curl dengan k xy j xz i zy F ++= dan S adalah bagian bola
4222 =++ z y x yang terletak dalam silinder 122 =+ y x dan berada di atasbidang XY
Penyelesaian
1. Dari yang diketahui ( )k y
z x y z y x
k ji
F curl 21
22
+=
− ∂
∂
∂
∂
∂
∂= , sementara
k y yj xi xk yj xir )2( −++=++= sehingga k jir k jir y x −+=++= 0;00
k j
k ji
r r y x +=−
=×110
001
. Jadi ∫ ∫ ∫ •=•S C
dS F curl dr F
( ) ( )
( )
π
θ θ
θ
π
π
=
+=
+•+=
∫∫
∫∫ d dr r r
d dr r k jk y
2
0
1
0
2
0
1
0
sin21
21
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 21/22
2. ok ojoik z z j y yi x x
xy xz yz z y x
k ji
F curl ++=−+−−−=∂∂
∂∂
∂∂= )()()( . Sehingga
0=•
∫ ∫ S
dS F curl
Atau dapat juga dicari dengan ∫ •C
dr F , dengan C adalah kurva irisan antara
bola4222 =++ z y x dan silinder 122 =+ y x , yaitu 3;122 ==+ z y x . Sehingga
k jir 3sincos ++= α α dan k ji F α α α α cossincos3sin3 ++= dan
( ) ( )
( )( ) 02cos3coscos3
cos3sin3
cossincossincos3sin3
2
0
2
0
22
2
0
22
2
0
==−=
+−=
+−•++=•
∫ ∫ ∫
∫ ∫
π π
π
π
α α α α α
α α α
α α α α α α α
d d
d
d jik jidr F C
Bagaimana bila soal yang dijumpai adalah sebagai berikut.
Hitung ∫∫ •S
dS F , dengan k xy je yi xy F xz )(sin22 +++= dan S adalah permukaan
daerah pejal E yang meliputi silinder parabolic 21 x z −= dan bidang-bidang2;0 =+== z y y z
Tentunya sulit untuk menghitung ∫∫ •S
dS F
dengan empat permukaan yang ada. Artinya
∫∫ ∫∫ +++
•=•4321 S S S S S
dS F dS F , karena ada
empat permukaan seperti yang diketahui.Untuk itu solusinya akan lebih mudah bilamenggunakan Teorema Divergensi Gauss
Teorema Divergensi GaussMisalkan E adalah daerah pejal sederhana dan misalkan S adalahpermukaan perbatasan E, yang diberikan dengan orientasi positif.Misalkan F adalah medan vektor yang fungsi komponennya mempunyaiturunan parsial kontinu pada daerah terbuka yang mengandung E. Maka
∫∫∫ ∫∫ =• E S
dV F divdS F
8/8/2019 Aljabar Linear_INTEGRAL GARIS (Pak Robertus Heri)
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linearintegral-garis-pak-robertus-heri 22/22
Sehingga bila soal di atas diselesaikan dengan menggunakan teorema DivergensiGauss, diperoleh solusi
( )( )
35184
3
3
)(sin
1
1
1
0
2
0
2
2
2
==
=
+++•
∂∂+
∂∂+
∂∂==•
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
−
− − x x
E
E
xz
E S
dxdz dy y
dV y
dV k xy je yi xyk z
j y
i x
dV F divdS F
LATIHAN1. Buktikan teorema Divergensi Gauss, untuk k y x j yi z xy A )3()2( 2 +−++=
yang diambil pada daerah yang dibatasi oleh 0,622 ====++ z y x z y x
2. Hitung ∫ ∫ •S
dS F dimana k z j xyi x z F 3)( 2 +−−= dengan S adalah
permukaan daerah yang dibatasi oleh 3,0,4 2 ==−= x x y z dan bidang XY .
3. Hitung ∫∫ •S
dS A dimana k z y j y xz i z x A )2()()32( 2 +++−+= dengan S
adalah permukaan bola dengan pusat )2,1,3( − dan berjari-jari 3.