Aljabar Linier Transformasi Linier

7/25/2019 Aljabar Linier Transformasi Linier

1/18

MODUL VIMATRIK TRANSFORMASILINIER

1


2/18

2

TRANSFORMASI LINIER Andaikan F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke ruangvektor W. F dikatakan transformasi linier, jika :(i). F( u +v) = F( u ) + F( v) untuk semua vektor u dan v di V(ii). F(k u ) = kF( u ) untuk semua vektor u di V dan sembarang skalar k.

ontoh :!isalkan, v="#,$%, dan &:' 2' 2 adalah fungsi $nag didefinisikan oleh :&(v) = "# $,#+$%. uktikanla & adalah transformasi linier.*a ab.

Ambil, u ="#1,$1%,v="#2,$2%, maka u +v="#1+#2,$1+$2%, ku ="k#1,k$ 1%. ehingga

&(u +v) =&"(#1+#2,$1+$2)% = "(#1+#2) ($ 1+$2),(# 1+# 2)+($ 1+$2)%

= "(#1 $ 1)+(# 2 $ 2),(# 1+$1)+(# 2+$2)%= "(#1 $ 1),(# 1+$1)% + "(#2 $ 2),(# 2+$2)% = &(u ) + &(v)

&(ku ) = &"k#1,k$ 1% = "(k#1 k$ 1),(k# 1+k$ 1)% = "k(# 1 $ 1),k(# 1+$1)% = k"(#1 $ 1),(# 1+$1)% = k&(u )


3/18

3

Menghitung Rumus &(x)!isalkan =- u 1,u 2, , u n / adalah sebuah basis untuk ruang vektor V, dan&:VW adalah transformasi linier. Andaikan 0ula, &( u 1), &(u 2), ,&( u n )adalah ba$angan dari vektor basis . 1arena setia0 vektor x di ruangvektor V da0at dituliskan menjadi,

x = k 1u 1 + k 2u 2 + + k n u nmaka rumus transformasi linier semarang vektor x diberikan oleh :

&(x) = k 1&(u 1) + k 2 &(u 2) + + k n &(u n )

*a ab!isalkan, x="#1,#2,#3% vektor di ' 3 bentuk x = k 1u 1 + k 2u 2 + k 3u 3, atau :

ontoh :!isalkan =- u 1,u 2,u 3 / basis untuk ' 3, dimana u 1="2,2,2%, u 2="2,3,2% danu 3="2,4,4%, dan &:' 3' 2 transformasi linier. Andaikan &( u 1)="2, 2%,

&(u 2)=" 2,4%, dan&( u 3)="4,2%. arilah rumus &( x) dan hitunglah &("4,2, 2%).

k1"2,2,2% + k2"2,3,2% + k3"2,4,4% = "#1,#2,#3%


4/18

4

5ari kesamaan vektor di0eroleh sistem 0ersamaan linier :

k1 + k 2 + k 3 = # 1k1 + 4k 3 = # 2

"#1,#2,#3% = (4#1+#2 4# 3)u 1 + ( # 2+#3)u 2 + ( # 1+#3)u 3

k1 + k 2 + 4k 3 = # 3 422432222

=6

4

2

kkk

6

4

2

###

=6

4

2

kkk

6

4

2

###

232223424

5engan demikian,

*adi, &("#1,#

2,#

3%) = (4#

1+#

2 4#

3)&(u

1) + ( #

2+#

3)&(u

2) + ( #

1+#

3)&(u

3)

&(x) = (4# 1+# 2 4# 3)"2, 2% + ( # 2+#3)" 2,4% + ( # 1+#3)"4,2%

= "(4# 2 # 3),( 6# 1 6# 2+ 7# 3)%

5allam bentuk 0erkalian matrik diberikan oleh :

&(x) = "&(u 1)&(u 2)&(u 3)%"x%S

232223424

=

242422

6

4

2

###

6

4

2

###

=766243


5/18

8eometri &ransformasi 9inier : &( x) = Ax

'otasi :

=

ossinsinos A

(#,$)

(#;,$;)

'efleksi terhada0

sumbu $=

2332

A= 2332

A

'efleksi terhada0

sumbu #

'efleksi terhada0

garis $ = #

=3223

A

=233k

A


6/18

!

oal 2 :!isalkan =- u 1,u 2,u 3 / basis ' 3, dimana u 1="a+2,a,b+4%,u 2="a,a>2,b+2% dan u 3="b+2,b+4,a+2%, dan &:' 3' 3 transformasi linier. Andaikan &( u 1)="2, 2,2%, &( u 2)=" 2,4,>2%,dan&( u 3)="4,2,4%. arilah rumus &( x) dan hitung &("4,2, 2%).

oal 4 :!isal =- u 1,u 2,u 3 "u1/ basis ' 4, dimana u 1="b+2,b,a+4,a+2%,u 2="b,b>2,a+2,a%,u 3="a+2,a+4,b+2,b+4%, u 4="a,a+2,b+4,b+4%,

dan &:' 4' 3 transformasi linier. Andaikan &( u 1)="2, 2,2,>2%,&(u 2)=" 2,4,>2,2%,&(u 3)="4,2,4,>2%, dan &(u 4)="2,4,2,4%. arilahrumus &( x) dan hitunglah &("3,4,2, 2%).


7/18


8/18

*

+(nt(h&:' 3' 2 trnsformasi linier $ang diberikan oleh :arilah matrik & dan "&( x)%) $ang berkaitandengan basis =- u 1"u2"u3/ dan =- v1"v2/.

++=

642

642

6

4

2

#4#4###4#4

###

&

u 1="2,2,2%,u 2="2,2,3% dan u 3="2,4,6%, dan v1="2, 2%, v2="2, 4%

*a ab!isalkan, x="#1,#2,#3% vektor di ' 3 bentuk x = k 1u 1 + k 2u 2 + k 3u 3, atau :

k1"2,2,2% + k2"2,2,3% + k3"2,4,6% = "#1,#2,#3%atauk1 + k 2 + k 3 = # 1

k1 + k 2 + 4k 3 = # 2

k1 + 6k 3 = # 3 632422222

=6

4

2

k

kk

6

4

2

#

##

=%"x

322

242266

6

4

2

#

##

!isalkan, , ="B1,B2% vektor di ' 2 bentuk , = k 1v1 + k 2v2, atau :

k1"2, 2% + k 2"2, 4% = "B1,B2% =%", 2224

4

2

BB


9/18

-

!enghitung "&% S")u 1="2,2,2%

u 3="2,4,6%

u 2="2,2,3%

=22

)(& 2u =

=

46

22

2224

)%(&" 2u

= 63

)(& 4u = 364 266%&" ,== 666322 24)%(&" 4u

== 32

22

2224

)%(&" 6u= 22

)(& 6u

!enghitung "&( x)%)

"&(x)%) = "&%S") "x%S = 364266

322242

266

6

4

2

###

6

4

2

###

=

236347

!isal, x.="6,2,4%, maka : &( x

.) = "C 4 + 4, 6 + 4 D% = "C,2%

"&(x . )%) = =

E26

426

236347 &(x . ) =

=2

C

= 2C

42

E2

226


10/18

1.

ontoh

&:' 3' 3 transformasi linier diberikan oleh :arilah matrik & dan "&( x)%) $ang berkaitandengan basis =- u 1"u2"u3/, dimana :

=

223322222

###

&

6

4

2

6

4

2

###

u 1="2, 2,2%, u 2="3,2,2% dan u 3="2,2,4%

*a ab!enghitung, " x%)/ !isalkan, x="#1,#2,#3% sembarang vektor di ' 3 bentukkombinasi linier : x = k 1u 1 + k 2u 2 + k 3u 3, atau :

k1"2, 2,2% + k 2"3,2,2% + k3"2,2,4% = "#1,#2,#3%

atauk1 + k 3 = # 1

k 1 + k 2 + k 3 = # 2

k1 + k 2 + 4k 3 = # 3

422

222232

=6

4

2

k

kk

6

4

2

#

##

=%"x

224

426222

6

4

2

#

##

!enghitung "&% )u 2="2, 2,2%

=

=

442

22

2

223322222

)(& 2u


11/18

11

!enghitung "&% )

=

=4

72

4

42

224

426222

)%(&" 2u

=

=2

22

223

223322222

224426222

)%(&" 4u

=

=2

42

422

223322222

224426222

)%(&" 6u

*adi

=

224426222

224427222

)%(&" x

= 224 427

222

%&"

=223

4u

=422

6u

6

4

2

###

=646

7DD424

6

4

2

###


12/18

12

oal 2&:' 3' 4 trnsformasi linier $ang diberikanoleh : arilah matrik & dan "&( x)%) $angberkaitan dengan basis =- u 1"u2"u3/ dan=- v1"v2"v3"v4/, dimana :

6

4

2

6

4

2

422

322222222

x

x

x

x

x

x

T

u 1="b+4,a+2,a%, u 2="b+2,a,a>2% dan u 3="a+2,b+2,b+4%,v1="b+2,b,a+2,a+4%, v2="b,b 2,a,a+2%, v3="a+2,a+4,b+4,b+2%,

v4="a,a+2,b+4,b+4%,

aol 4&:' 3' 3 trnsformasi linier $ang diberikanoleh : arilah matrik & dan "&( x)%) $angberkaitan dengan basis =- u 1"u2"u3/ dan=- v1"v2"v3/, dimana :

64

2

6

4

2

444244442

x

x

x

x

x

x

T

u 1="b+4,a,a+2%, u 2="b+2,a 2,a% dan u 3="a+2,b+4,b+2%,v1="b+2,b,a+2%, v2="b,b 2,a%, v3="a+2,a+4,b+4%,


13/18

13

Kese%u0$$n!isalkan &:V V transformasi linier 0ada ruang vektor V berdimensiberhingga. *ika, "&% S adalah matrik & untuk basis , dan "&% ) adalah matrik

& terhada0 basis , maka :

dimana adalah matrk transisi dari ke

%&"%&" 2=

5engan teorema diatas di0eroleh "&( x)%) = "&%) "#% sebagai berikut :

%"x%&"

)%(&" x

%"x )%(&" x%&"

9angkah>langkah menghitung "&( x)%) :

@itung matrik koordinat, " x%S @itung matrik transisi dan 1

@itung matrik koordinat " x%) dengan rumus

"x%) = 1 "x%S

@itung matrik & terhada0 basis , "&% S @itung matrik & terhada0 basis ,

"&%) = 1 "&%S @itung "&(x)%) = "&%) "x%)


14/18

14

ontoh

&:' 3' 3 transformasi linier diberikan oleh :=- v1,v2,v3/ dan =- u 1"u2"u3/, adalah basis>basis untuk ' 3 dimana :

=

223322222

###

&

6

4

2

u 1="2, 2,2%, u 2="3,2,2% dan u 3="2,2,4%

6

4

2

###

v1="4,4,2%,v2="2,2,2% dan v3="2,4,4%

@itunglah " x%S , dan matrik transformasi linier, "& x ) se ara tidak langsung

*a ab

!enghitung, " x%)/ !isalkan, x="#1,#2,#3% sembarang vektor di ' 3 bentukkombinasi linier : x = k 1v1 + k 2v2 + k 3v3, atau :

k1"4,4,2% + k2"2,2,2% + k3"2,4,4% = "#1,#2,#3%atau,

4k 1 + k 2 + k 3 = # 14k 1 + k 2 + 4k 3 = # 2

k1 + k 2 + 4k 3 = # 3 422424224

=6

4

2

kkk

6

4

2

###

=%"x

322464223

6

4

2

###


15/18

1

!enghitung dan 1

!atrik transisi, =" " u 1%S "u 2%S "u 3%S%

u 1="2, 2,2%

u 2="3,2,2%

u 3="2,2,4%

=2%"u

322464223

22

2

=

4E4

=4

%"u

322464223

322464223

422

223

=2

23

=6 %"u

=362

=

32462E234

1arena, det( ) = 2 , maka :

=44724C226

2


16/18

1!

!enghitung "&% S = " "&(v1)%S "&(v2)%S "&(v3)%S %

=2

44

2v

=

=

6

D2

2

44

223

322222

322

464223

)%(&" 2v

42674D232

=222

4v

=

=

243

222

223322222

322464223

)%(&" 4v

=442

6v

=

=

472

442

223322222

322464223

)%(&" 6v

5engan demikian,

=%&" =

422424224

223322222

322464223


17/18

1#

!enghitung matrik & terhada0 basis , "&% ) = 1 "&%S

!enghitung " x%) = 1 "x%S

"x%) = 1 "x%S =

447

24C226

322

464223

=6

4

2

#

##

6

4

2

#

##

224

426222

"&%) = 1 "&%

S =

44724C226

42674D232

32462E234

"&(x)%) = "&%) "x%) =

=

224427222

%&"

5engan demikian,

224426222

224427222

6

4

2

###

6

4

2

###

=646

7DD424


18/18

1*

ontoh&:' 3' 3 trnsformasi linier $ang diberikan oleh :

=- u 1"u2"u3/ dan =- v1"v2"v3/, adalah basis untuk ' 3 dimana :u 1="a+2,b+4,a%, u 2="a,b+2,a 2% 5 u3="b+2,a+2,b+4%,v1="b+2,a+2,b%, v2="b,a,b 2%, v3="a+2,b+4,a+4%,

(a) @itung "&( x)%S dan "&( x)%) se ara langsung

(b) @itung "&(x)%S se ara tidak langsung

( ) @itung "&( x)%) se ara tidak langsung

64

2

6

4

2

424244442

x

x

x

x

x

x

T

Documents

Aljabar Linier Transformasi Linier