Revista de matematic alpha publicaie semestrial 13 Clasa a III-a
CLASA I Probleme de sintez P.S.I.1916. Completai csuele libere cu
numere care s fac posibile operaiile indicate: Ileana Buzatu,
inst.Craiova P.S.I.1917. Aflai suma a trei numere consecutive dac
al doilea este 3. Aurel Bluoiu, nv.Coofenii din Dos, Dolj
P.S.I.1918. Calculeaz a+2m+n dac a+m+10 i m+n=20. Mihai Crlogea,
inst. Craiova P.S.I.1919. Ce valori a, b verific ambele egaliti? =
= +10 b a30 b aa= , b= Floarea Bluoiu, nv.Scaieti, Dolj P.S.I.1920.
Se dau numerele 9 i 3.Gsii toate perechilede numere a cror sum s
fie egal cu diferenanumerelor date.Camelia Ionele, inst. Craiova
P.S.I.1921. Trei copii, Marius, Gabriel i Sorin particip la un
concurs de alergri. Care poate fi ordinea de sosire a celor
trei?Ionela Brnduoiu, inst. Craiova P.S.I.1922. Din ce numr se
scade 5 pentru a obine diferena numerelor 10 i 6? Ionela Ghimpu,
inv. Craiova P.S.I.1923. Descoperii regula i completai csuele ca n
exemplul dat. Sanda Crlogea, nv.Craiova P.S.I.1924. Completai irul
de numere de pe acoperiul fiecrei csue, apoi scriei cte un exerciiu
al crui rezultat s fie numrul completat. Simona Filip, inst.Craiova
P.S.I.1925. Ionel are cu 4 mainue maimultdect Andi icu 5 mainue mai
puin dect Radu. Cucte mainueare mai puin Andi dect Radu? Eugenia
Stanciu, inst Craiova
P.S.I.1926.Folosindosingurdatunuldintrenumereledela0la9,scrieitreiadunricutreitermenifiecare,astfel
nct sumele obinute s fie mai mari dect 13.Ion Clin, nv.Craiova
P.S.I.1927. Fiecare figur geometric rezprezint un anumit numr. Gsii
aceste numere. Maria Rogoveanu, nv. Craiova P.S.I.1928. Calculai
valorile literelor: O : 5+3=E: 8 6 =R : 4+3+3=L : 93+1.
Ordonaidescresctorrezultateleobinute,apoistabiliirelaianumr-liter.Completaienunulurmtor,folosind
cuvntul gsit: Ura! Am o pereche de .. noi!Vasilica Crciun, nv.
Craiova P.S.I.1929. Descoperii regula, apoi scriei semnul
corespunztor. tefan Ghimpu, nv. Craiva P.S.I.1930. Scriei numrul 9
ca sum de mai muli termeni. Cte cazuri gsii? Maria Popescu, inst.
Craiova Rubric realizat de Sanda Crlogea, nv. Craiova Nr.2/2009
14Clasa I Teste de evaluare Testul nr. 1 1. Numrai: 1 _ _ _ _ _ _
810 _ _ _ _ _ 4 21091 2. Ordonai: a) cresctor numerele 5, 0, 9, 2,
6, 7.b) descresctor numerele 1, 10, 8, 2, 4, 7. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3. Scriei
vecinii numerelor: 19644. Descompunei numerele: 5. DA sau NU?
Veronica Amzolini, inst. Craiova Testul nr. 2 1. Calculeaz:
2+3=97=76=108= 94=3+5=5+5=92= 2. Pune nsemnele ,,+ sau ,,. 92 = 733
=93 53 = 833 = 77 31 = 245 = 81 86 = 2104 =1 5 3. Afl suma
numerelor: 0, 3, 5, 1. 4. Afl numrul cu 6 mai mare dect 4. 5.La un
concurs particip 7 fete, iar biei cu 5 mai puini. Ci biei particip
la concurs? 6. Ia 8 din suma numerelor 5 i 4.Olga Clin, nv. Craiova
Testul nr. 3 1. Efectuai: a) 2+2=98=4+5=7+3= 3+4=55=106=86= b)
1+3+6=92+1=3+4+2= 1040=75+3=96+5= 2. Mrete cu 2 suma numerelor 3 i
4. 3. a+5=7n2=63=10a. 4. Scrie ca sum sau diferen numerele: 5=++
8=3=+ 2=5. Am consumat 5 caramele i mai am 4. Cte caramele am avut?
Mihai Crlogea, inst. Craiova Rubric realizat de Sanda Crlogea, nv.
Craiova Probleme propuse P.P.I.2208. Unete corespunztor: 1, 2, 3,
43, 2, 1, 0 1, 35, 6, 7 7, 6, 5, 45, 7 Dan Iordache, nv. Craiova
P.P.I.2209. Grupeaz diferit 8 bile pe numrtoare: Lavinia Neacu, nv.
Craiova P.P.I.2210. Compunei numerele:
- Se primesc soluii la probleme propuse pn la data de 1.03.
2010. Nu se primesc soluii la P.S. Revista de matematic alpha
publicaie semestrial 15 Clasa a III-a Lucia Ciucu, inst. Craiova
P.P.I.2211. Completai tabelul: Numrul anterior Numrul Numrul urmtor
5 2 7 10 4 0 6 Mirela Pop, inst. CraiovaP.P.I.2212. Afl suma
numerelor:6 i 2 _____7 i 2 _____4 i 2 _____ 3 i 4 _____3 i 6 _____5
i 3 _____ 9 i 1 _____2 i 8 _____6 i 0 _____Florentina Radu, nv.
Craiova Mona Chiu, nv. Craiova P.P.I.2213. ncercuiete rezultatul
corect. 320 94=75=50= 54 5 453 106=86=63= 325 P.P.I.2214. Compar i
ncercuiete suma sau diferena cea mai mic: 6+23+575831064+2
962+33+34+24097 8+2912+5863+364 Tudor Ghelbegean, inst. Craiova
P.P.I.2215. Ai valori, opereaz! a=4; m=2; n=3
a+m+n=______am+n=_____m+na=_____tefan Mitr, nv. Craiova P.P.I.2216.
Completai termenul necunoscut: +3=6+5=77=3+ 2+=74=28=+4 9=310=66=8
6=22+=95=4Manuela Moraru, nv. Craiova
P.P.I.2217.Afl termenul necunoscut: a+6=103+a=97a=3 a=a= a=a= a=
a=Camelia Mihai, nv. Craiova P.P.I.2218. Verificai dac sunt
adevrate egalitile: a) 12+234+5+16=12+2+34+10+6b)
10+43+6+21=1035+4+2+10+11 Mihaela Ciocionic, inst. Craiova
P.P.I.2219. Completai cu termenul necunoscut: P.P.I.2220. Pe un rnd
de bnci sunt 9 elevi. Cte fete i ci biei pot fi? (Scrie toate
posibilitil.) Anca Clin, inst. Dobreti, Dolj P.P.I.2221. Se dau
cifrele 1, 9, 0. Scrie toate numerele de dou cifre ce se pot scrie,
olosind o singur dat fiecare cifr. Narcisa Du, nv. Craiova P.P.
I.2222. Cu ct trebuie mrit numrul 6 pentru a obine cel mai mic numr
de dou cifre?Carmen Popa, nv. Craiova P.P.I.2223. Cu ce numere
trebuie nlocuite denumirile figurilor geometrice din urmtoarele
egaliti: ROMB+TRIUNGHICERC=5; TRIUNGHI+PTRAT=10; 8PTRAT=PTRAT;
DREPTUNGHITRIUNGHI=1; ROMBTRIUNGHICERC=1; CERC+CERC+CERC=9. Mihaela
Achim, nv. Iai P.P.I.2224. Scriei numrul 10 ca o sum de 3 termeni.
Cte posibiliti sunt? Elena Valentina Dorneanu, nv. Iai
Rubric realizat de Sanda Crlogea, nv. Craiova Nr.2/2009 16Clasa
a II-a CLASA a I I -a Probleme de sintez P.S.II.1932. Un ceas
electronic arat ora 10:53. Dup cte minute toate cifrele de pe
ecranul ceasului vor fi identice? Leontina Boghiu, nv. Bacu
P.S.II.1933. Diferena a dou numere este 56. tiind c desczutul este
cel mai mare numr par de dou cifre identice, aflai scztorul.
Leontina Boghiu, nv. Bacu P.S.II.1934. n grdina colii sunt 72 de
flori: trandafiri, crini i gladiole. Numrul trandafirilor este de 2
ori mai mare dect al crinilor i nc 3, iar gladiole sunt cu 9 mai
puine dect trandafiri. Cte flori de fiecare fel sunt?Leontina
Boghiu, nv. BacuP.S.II.1935. Manualulde matematic de clasa a II-a
conine 138de pagini. Calculaictecifreau fost necesarepentru
numerotarea acestuia. Leontina Boghiu, nv. Bacu P.S.II.1936.Suma a
3 numere consecutive este 48. Aflai numerele.Leontina Boghiu, nv.
BacuP.S.II.1937.Scrietoatenumereledetreicifrediferitecareaucifraunitilor3,cifrazecilor4,iarasutelormaimare
dect 7. Silvia Druu, inst. Drobeta Turnu Severin P.S.II.1938. Scrie
cel mai mic numr cuprins ntre 300 i 500 care are suma cifrelor
7.Rodica Mujescu, inst. Drobeta Turnu Severin P.S.II.1939. Se dau
numerele: 272, 284, 269, 274, 281, 279, 273, 276. Scrie numerele:
a) mai apropiate de 300 dect de 200;b) mai apropiate de 280 dect de
270. Andrei Mihail, inst. Drobeta Turnu SeverinP.S.II.1940. Ana are
n couleul ei un numr de mere. Dac ofer fratelui mai mare 8 mere,
iar celui mai mic 10, i mai rmn n co 15 mere. Cte mere a avut la
nceput n coule? Valeria Patrichi, inst. Drobeta Turnu Severin
P.S.II.1941.Din suma vecinilor numrului 45 scdei primul numr care
are cifra zecilor 5. Roza Pnescu, inst. Drobeta Turnu Severin
P.S.II.1942.Launmagazinsunt88detricouriroii,galbeneialbastre.Aflctetricourialbastresunt,tiindcroii
sunt 23, iar cele galbene sunt tot attea ct cele roii.Ioana
Ianculescu, nv. Drobeta Turnu Severin
P.S.II.1943.Laolibrries-auadus93decaietedelimbaromn,caietede
matematiceraucu26maipuinedect cele de limba romn, iar caiete de
desen cu 17 mai multe dect cele de matematic. Cte caiete sunt acum
n librrie? Aurelia Ghidel, inst. Drobeta Turnu Severin P.S.II.1944.
n pdurea de la marginea satului sunt 147 stejari, iar fagi cu 29
mai puini. Ci copaci are pdurea? MariaMihail, inst. Drobeta Turnu
Severin P.S.II.1945. Aflai numrul necunoscut:
a+255=695;a63=290;(300+400)a=200.Raluca Roca, inst. Drobeta Turnu
Severin P.S.II.1946. Dorel are ntr-o cutie 17 mainue mici i cu 9
mai multe maini mari. a) Cte maini mari are Dorel?b) Cte maini are
Dorel n cutie?Amalia Dinc, inst. Drobeta Turnu SeverinRubric
realizat de Maria Ungureanu, inst. Drobeta Turnu Severin i Niculina
Opria, nv. Drobeta Turnu Severin Teste de evaluare Testul nr. 1 1.
Scrie numerele: a) de la 19 la 27;b) de la 83 la 69;c) pare,
cuprinse ntre 37 la 56. 2. Se dau numerele: 25; 18; 41; 76; 32; 52;
19; 69; 77; 92. a) Aaz n ordine cresctoare doar numerele impare.b)
Aaz n ordine descresctoare doar numerele ipare. 3. Compar numerele
pare punnd semnul >, < sau =: 5665329747478880
4114705790391660 4. Care sunt numerele naturale formate din zeci i
uniti scrise cu cifre identice? 5. Care sunt numerele naturale de
dou cifre care au cifra unitilor 3? 6. Care sunt urmtoarele trei
numere? a) 52, 54, 56, 58; ..; ..; ..;b) 94, 93, 92; ..; ..; ..;c)
73, 76, 79, 82; ..; ..; ..; 7. Sunt cuprins ntre 60 i 70 i am cifra
unitilor mai mare cu 1 dect cifra zecilor. Cine sunt? Titina
Sibianu, inst. Craiova Testul nr. 2 1. Calculai:
19+30=7858=6+14=4826=13+85= 525= 7+12=2712=28+61= 2. Mrii cu 3
diferena numerelor 69 i 36. 3. Cu ct este mai mic numrul 15 dect
suma numerelor 23 i 66? 4. La numrul cu 6 mai mic dect 27 adugai
numrul cu 6 mai mare dect 50. 5. Suma a dou numere este 57. S se
afle diferena lor dac unul dintre numere este 23. 6. Marin are 46
cri. Miruna are cu 13 mai puine. Cte cri au cei doi mpreun?Anca
Rodica Buniau, inst. Craiova Testul nr. 3 1. Calculeaz: a)
48+34=7253=6054=36+22= b) 18+12+13=622419=945837=16+1415= 2. Afl
termenul necunoscut:a14=1724a=15a+5=7463+a=90 3. Micoreaz suma
vecinilor numrului 37 cu suma vecinilor numrului 19. 4. Din cel mai
mare numr impar de dou cifre diferite scade: a) diferena numerelor
84 i 16;b) suma numerelor 59, 7 i 18. 5. Ce numr am adugat la
diferena dintre 52 i 37, dac am obinut 80? 6. Maria a rezolvat un
numrde probleme: ntr-olun37, adoua cu 8 mai puine. Cte probleme a
rezolvat? Ctear mai trebui s rezolve pn la 80?Gheorghe Sibianu, nv.
Craiova Rubric realizat de Titina i Gheorghe Sibianu, nv. Craiova
Revista de matematic alpha publicaie semestrial 17 Clasa a III-a
Probleme propuse P.P.II.1293. Se dau numerele 32 i 12. Gsii
dounumere naturale egalea cror sum s fie ct diferenanumerelor date.
Claudia Blan, inst. Iai P.P.II.1294. Irina i Andreea au acelainumr
de bomboane. Irina i-a dat Andreei 4 bomboane. Cu cte bomboane are
mai multe acum Andreea? Claudia Blan, inst. Iai P.P.II.1295. Se
consider cifrele 2 i 8. Folosind numai acele cifre cel puin odat, s
se scrie: a) cel mai mare numr natural de 3 cifre;b) cel mai mic
numr natural de 3 cifre. Claudia Blan, inst. Iai P.P.II.1297. Aflai
numerele x i y tiind c suma lor este 53, iar diferena dintre x i
sfertul lui y este 8. Leontina Boghiu, nv.
BacuP.P.II.1298.Sumaatreinumereeste75.Dinprimulscdem5,dinaldoilea15idinaltreilea25,obinndnumere
egale. Care sunt cele trei numere? Leontina Boghiu, nv.
BacuP.P.II.1299. Aflai valorile lui a i b, tiind c cele dou numere
necunoscute sunt impare: 32+2948(a+b)(17+54)=27Angela Ciubotaru,
inst. Comneti P.P.II.1300. Gsii toate numerele cuprinse ntre 584 i
784 cu suma cifrelor mai mic dect 11. Mariana Olteanu, nv. Comneti
P.P.II.1301. ntr-o sal de spectacole, pefiecare rnd numrullocurilor
este cu 2 maimaredect pe rndul precedent. Pe ultimul rnd, al
zecelea, sunt 58 de locuri. Cte locuri are sala?Nela Orndaru, nv.
Bacu P.P.II.1302. Dac suma numerelorcba i abceste 686, calculai
a+b+c, pentru fiecare soluie: a) Ce ai observat?b) Cte soluii ai
gsit? Paraschiva Blju, nv. Bacu P.P.II.1303. O cantitate de 30 kg
mere a fost depozitat n 6 cutii de aceeai capacitate, iar o
cantitate de 28 kg pere a fost depozitat n 7 cutii. Care este
diferena dintre capacitatea unei cutii de mere i a uneia de
pere?Constantina Dinu, inst. Castranova P.P.II.1304. Se dau
numerele: 236, 118, 755, 983, 274, 915, 390, 792. a) ncercuiete
numerele impare. b) Scrie care dintre numerele date este: - cel mai
mic; - cel mai mare; - scris cu cifre consecutive; - scris cu cifre
identice. Rodica Mujescu, inst.Drobeta Turnu SeverinP.P.II.1305.
Scrie numerele naturale de trei cifre care ndeplinesc, simultan,
condiiile: a) cifra sutelor este 8;b) numerele sunt impare;c) suma
cifrelor este 15.Maria Ungureanu, inst. Drobeta Turnu
SeverinP.P.II.1306. nlocuiete pe ,,a astfel nct relaiile s fie
adevrate: 285795; 1000>a>994. Andrei Mihail, inst. Drobeta
Turnu SeverinP.P.II.1307. Folosind cifrele: 3, 0, 7 scriei: a)
toate numerele pare de dou cifre, apoi ordonai-le descresctor; b)
cel mai mic numr de trei cifre;c) cel mai mare numr de trei
cifre.Raluca Roca, inst. Drobeta Turnu SeverinP.P.II.1308. Jumtatea
sumei a dou numere este 36. Dac unul dintre numere este cel mai mic
numr natural scris cu dou cifre diferite, care este cellalt numr?
Valeria Patrichi, inst. Drobeta Turnu Severin P.P.II.1309. Maria,
Ica i Ioana au98 lei. Maria i Ica au launloc66 lei,iar Icai Ioana
aula unloc 57 lei. Cileiare fiecare feti? Roza Pnescu, inst.
Drobeta Turnu SeverinP.P.II.1310. La diferena numerelor 89 i 36
adugai cel mai mic numr de dou cifre identice. Ioana Ianculescu,
nv. Drobeta Turnu Severin P.P.II.1311. Dac a=30, b=10 i c=5 afl:
a+a+5=?a+b+c=?b+b+bc=?c+c+cb=?a+a+b+b+c=?Liliana Boei, inst.
Drobeta Turnu Severin P.P.II.1312. ncadrai numrul 72 ntr-un ir de
cinci numere consecutive. Mihaela Popescu, inst. Drobeta Turnu
Severin P.P.II.1313. ntr-un magazin de jucrii sunt 96 de ppuiaezate
pedou rafturi.Pe primul raft sunt cu 16ppuimai puine dect pe al
doilea raft. Cte ppui sunt pe fiecare raft?Aurelia Ghidel, inst.
Drobeta Turnu Severin P.P.II.1314. Ionel are cu 18 timbre mai mult
dect Aura. Cte timbre are Aura, dac Ionel are 107 timbre?Maria
Mihail , inst. Drobeta Turnu SeverinP.P.II.1315. Cu ct este mai
mare suma numerelor 450 i 70 fa de diferena numerelor 270 i 90?
Mihaela Popescu, inst. Drobeta Turnu Severin
P.P.II.1316.ntr-ocutiesunt209bilealbe,95bileroii,iargalbenectdiferenaceloralbeiroii.Ctebilesuntn
pung?Amalia Dinc , inst. Drobeta Turnu Severin P.P.II.1317. S se
determine un numr de dou cifre n care cifra zecilor este cu 1 mai
mare dect cifra unitilor, iar suma cifrelor numrului este 11.
Ileana Ddlu, nv. Mtsari, Gorj
P.P.II.1318.Dinsuccesorulsumeinumerelor9i5scadepredecesoruldifereneinumerelor13i6.Cenumrai
obinut? Viorica Ceauescu, nv. Motru, Gorj P.P.II.1319. Aflai
numerele a, b, c, care ndeplinesc condiiile: 12+15=a;a10=b;
b+c=6;c17=d.Elvira Berbecaru, nv. Iai P.P.II.1320. Fiecare din cei
6 prieteni au trimis cte un cadou celorlaltor. Cte cadouri s-au
trimis n total? Elvira Berbecaru, nv. IaiP.P.II.1321. ntr-o ncpere
sunt 6 elevi. Fiecare d mna cu fiecare din ceilali, o singur dat.
Cte strngeri de mn au loc? Mariana Constantin, nv. Iai P.P.II.1322.
Completeaz spaiile libere: 1, 2, 4, 7, 11, 12, .., .., .., 37,
Marian Dumitrescu, Borneti, Ialomia Rubric realizat de Maria
Ungureanu, inst. Drobeta Turnu Severin i Niculina Opria, nv.
Drobeta Turnu Severin
- Se primesc soluii la probleme propuse pn la data de 1.03.
2010. Nu se primesc soluii la P.S. Nr.2/2009 18Clasa a-IV-a CLASA a
I I I -a Probleme de sintez P.S.III.1957. Scrie cel mai mare numr
natural, apoi pe cel mai mic, care se poate forma cu cifrele 7, 0,
3, 6, 5, 1. Afl diferena apoi suma lor. Liliana Dima, inst. Puuri,
Dolj P.S.III.1958. Afl suma a 4 numere pare consecutive tiind c al
doilea este ct diferena dintre 402 i 216.Nua Enea, inst. Craiova
P.S.III.1959. Scrie predecesorii i succesorii numerelor: 13099 9009
10999 Luminia Guiu, inst. Craiova P.S.III.1960. Elena a citit ntr-o
zi 17 pagini dintr-o carte cu 128 pagini, a doua zi a citit tot att
ct n prima zi, iar a treia zi cu 28 mai multe dect i-au rmas
necitite. Cte pagini a citit n a treia zi? Gina Negoescu,
nv.Craiova P.S.III.1961. Maria deschide o carte la mijloc, iar suma
numerelor ce indic paginile este 113. Cte pagini are cartea?
Eugenia Petcu, inst.Craiova P.S.III.1962. La un concurs, Nelu
rezolv 8 subiecte din 10. Din cele 8 rezolvate, 6 au rspunsuri
corecte. Ce punctaj a primit dac pentru un rspuns corect a primit 4
puncte, iar pentru un rspuns greit i s-au sczut 2 puncte? Ioana
Baciu, nv. Craiova P.S.III.1963. nlocuii pe ,,a i ,,b cu cifre
potrivite, pentru a fi adevrate relaiile: a)a 3 a 8 a 2 8 a 3 = +
;b)b 9 a 1 b 35 ab 5 b 94 = + . Viorica Tia, nv. Craiova
P.S.III.1964.Aflsumanumerelornaturaleparede3cifrecareaulaordinulzecilor8iordinulsutelor3.Cttrebuie
adugat la suma gsit pentru a obine 2000? Mariana Voinea, nv.
Craiova P.S.III.1965. Aflai suma numerelor naturale de 3 cifre
cresctor consecutive cu cifra unitilor egal cu suma dintre cifra
sutelor i cifra zecilor. Dorina Balosache, nv. Craiova
P.S.III.1966. La un joc Ana a obinut nite puncte, iar Dana a obinut
dublu dect Ana. Adunnd cele dou punctaje s-au
obinutcu20maipuindectpunctajulmaxim,adic200.Ctepuncteletrebuiefiecreiapentruaatingepunctajul
maxim?Floarea tefan, nv. Craiova P.S.III.1967. Aflai suma numerelor
naturale care sczute din 263 dau rezultatul mai mare dect 258.
Luminia Hodin, nv. Puuri, Dolj P.S.III.1968. Aflai suma numerelor
naturale care adunate cu 312 dau rezultatul mai mic dect 216.tefan
Ungureanu, nv. Craiova P.S.III.1969. Numerele ,,m i ,,n sunt
naturale i mai mici dect 5. Gsii mulimea perechilor (m, n) pentru
care: a) m+(n3)=5;b) m+(m+6)=11;c) m+8=14p.Marcela Miaru, nv.
Craiova
P.S.III.1970.Sumaatreinumereparediferitecareaucifrazecilor8icifraunitiloraceeai,este846.Caresunt
numerele?Marcela Miaru, nv. Craiova P.S.III.1971. Punei cifre n
locul literelor astfel nct suma numerelor de pe vertical s fie egal
cu suma numerelor de pe orizontal. 73B ab4 27a Marcela Miaru, nv.
Craiova P.S.III.1972. Tatl are 34 ani, iar fiul 6 ani. Ci ani va
avea fiul cnd tatl va avea 53 de ani? Rubric realizat de Marcela
Miaru, nv. Craiova Teste de evaluare Testul nr. 1 1. Aflai termenul
necunoscut: a) (723+535)a=608;b) b(633125)=715;c)
(c+310)(216+308)=35. 2. Afl suma numerelor formate din 3 cifre care
are la sute cifra 8 iar la zeci cifra 5. 3. Doru i Carmen au 7 ani
i 10 ani. Peste ci ani vor avea mpreun 27 ani? 4. La un concurs au
participat 45 de elevi. Numrul copiilor care au terminat dup Nicu a
fost de 3 ori mai mare dect al celor care au terminat naintea lui.
Pe ce loc a terminat Nicu? Marioara Abagiu, nv. Amrti-Vlcea Testul
nr. 2 1. Gsii regula i continuai irurile: a) 423; 534; 645; ____;
____; ____; b) 124; 126; 128; ____; ____; ____; c) 493; 490; 484;
____; ____; ____. 2. Folosind cifrele 5, 7, 0, 9 o singur dat
formeaz cel mai mic i cel mai mare numr de 4 cifre, apoi afl
diferena lor. 3. n trei zile Ana a citit dintr-o carte astfel: n
prima zi de la pagina 16 la pagina 56 inclusiv, a doua zi de la
pagina 63 la pagina 80 inclusiv iar restul, de la 81 pn la sfrit
le-a citit a treia zi, adic 23 de pagini. Cte pagini are cartea? 4.
Mama i fiul au mpreun 74 de ani. Fiul i tatl au mpreun 76 de ani.
Ci ani are fiecare, dac prinii au mpreun 108 ani? Rubric realizat
de Marcela Miaru, nv. Craiova Revista de matematic alpha publicaie
semestrial 19 Clasa a III-a Probleme propuse P.P.III.1316.
Calculeaz, grupnd convenabil numerele: a)
723+564+1992+26+577+1008=b) 292+788+667+112+333+308= Maria Chiu,
nv. Craiova P.P.III.1317. ntr-o curte sunt dou gte, 10 pui, un porc
i doi purcei. Cte picioare sunt n curte? Lucica Marin, inst.
Craiova P.P.III.1318. Numrul albinelor dintr-un stup reprezint cel
mai mare numr de 3 cifre diferite. Numrul albinelor care pleac dup
polen reprezint cel mai mic numr format din cifre pare. Cte albine
au rmas n stup? Luminia Guiu, nv. Craiova P.P.III.1319.Ionel iGelu
au mpreun 140lei.Ionel a cheltuit jumtate din baniilui.Acesta a
avut cu 20leimai muli dect Gelu. Ci lei au rmas necheltuii de
Ionel? Ioana Baciu, nv. Craiova P.P.III.1320. Patru numere sunt
scrise pe plcue astfel:13360101 98. Care este cel mai mic numr care
se poate obine alturnd plcuele? Dar cel mai mic? Afl diferena
dintre numerele gsite.Mirela Jugnaru, nv. Craiova P.P.III.1321. Pe
o strad casele sunt numerotate pe partea dreapt de la 1 la 25 cu
numere impare, iar pe partea stng de la 2 la 26 cu numere pare. Cte
case sunt pe strad? Paul Nine, nv. CraiovaP.P.III.1322. ntr-o
familie sunt 5 membri. Suma vrstelor acestor membri este 163. Ct va
fi suma vrstelor peste 2 ani? Raluca Dinu Diaconu, inst. Craiova
P.P.III.1323. O veveriastrnsde 3 ori mai multeghinde n anul trecut
fa de anul acesta, adic ar fi avut cu 24 mai multe dect are acum.
Cte ghinde a strns anul trecut?Diana Asproiu, inst. Craiova
P.P.III.1324.Launmagazins-auadus316perechidepantofide3culori:
maro,negriibej.Numrulcelormaroeste egal cu numrul celor negri, iar
cei bej sunt 116. Cte perechi de pantofi sunt maro? Eugenia
Stanciu, inst. CraiovaP.P.III.1325. ntr-o clas toi elevii au 168
creioane colorate. 8 elevi au cte 3 creioane, 10 elevi au cte 10
creioane, iar restul au cte 4 creioane. Ci copii sunt n clas?Elena
Mihalcea, inst. CraiovaP.P.III.1326. De la un market, Elena a
cumprat dou cutii de bomboane cu 7 lei fiecare, un set de vase cu
83 lei i 3 perechi de ciorapi cu 12 lei fiecare. La cas a prezentat
o bancnot de 200 lei. Ct a primit rest?Elena Gavril, nv. Craiova
P.P.III.1327. ntr-ostaiune de munte sunt 34 de cabane. Preul era
150 lei pe zi. Jumtate din cabane au fost ocupate pentru 4 zile. Ci
lei s-au ncasat? Florentina Didu, inst. Craiova P.P.III.1328. La o
grdini s-au adus 163 jucrii, cu 23 mai mult figuri geometrice, iar
plane cu desene cu 34 mai puine dect jucrii. Cte obiecte au fost
aduse? Carmen Marinescu, nv. Craiova P.P.III.1329. Ce valoare
numeric pot avea literele: a) a+364+108=805;b) b316548=1368;c)
374c+109=512.P.P.III.1330. ntr-o livad sunt 75 pomi fructiferi: 5
gutui, meri de dou ori mai muli dect peri, iar pruni tot att ct
meri. Ci pruni sunt n livad? Constantina Ptrcoiu, nv. Craiova
P.P.III.1331.Maria a citit jumtatedintr-o povestei jumtate din
altpoveste, ntotl 44pagini. Cte pagini arecartea dac celelalte 3
poveti rmase necitite au mpreun 78 pagini? Cornelia Epureanu, nv.
Craiova P.P.III.1332.Ocartecostde3ori
maimultdectuncaiet.Robertaveabanis-icumpere5caietedaracumprat numai
cartea i i-au rmas 16 lei. Ct a costat cartea? Ci lei a avut Robert
asupra sa?M Constantina Dinu, inst. Castranova P.P.III.1333. Cte
numere se pot scrie cu trei cifre distincte?Marian Ciuperceanu,
inst. Craiova P.P.III.1334. Vlad are 132 de timbre. tiind c n
clasorul su intr 78 de timbre i c sunt deja puse n el 29 de timbre,
cte mai poate pune n continuare? Dar dac ar fi avut 117 timbre i
trei clasoare de aceeai mrime n care ar intra n fiecare cte 55 de
timbre i un clasor ar avea deja 18 timbre n el?Marian Ciuperceanu,
inst. Craiova P.P.III.1335. Afl termenul necunoscut: a)
200x+11=100;b) 60024+x=801;c) 2x+102=122; d) 3004a=280;e)
27:3+x=89;f) 2009x=101+18. Anica Vasilache, nv. Iai
P.P.III.1336.Scadedinsumanumerelor99i105diferenadintrecel mai
marenumrparscriscutreicifreicel mai mare numr scris cu trei cifre
distincte. Anica Vasilache, nv. Iai P.P.III.1337. Aflai: a) jumtate
din suma vecinilor numrului 345;b) a zecea parte din diferena
numerelor 367 i 27; c) sfertul jumtii numrului 100.Mlina Rjni,
inst. Craiova P.P.III.1338. Stabilete valoarea de adevr a
expresiilor, notnd cu A pe cele adevrate i cu F pe cele false:
|10(6+3)+5|10=1400;(333)(222)=35;(268) : 67=(214) : 4. Mihaela
Iordchi, inst. Craiova P.P.III.1339. Scztorul este cu 82 maimic
dect desczutul,iardiferena este cu 43 mai mare dect scztorul. Care
este desczutul?Viorica Ceauescu, nv. Motru, Gorj P.P.III.1340. Se
dau numerele: a=276, b este cu 268 mai mic dect a, iar c este de 7
ori mai mare dect b. Calculai: a+bc=; (a+b)(a+b)=
- Se primesc soluii la probleme propuse pn la data de 1.03.
2010. Nu se primesc soluii la P.S. Nr.2/2009 20Clasa a-IV-a
Domnica-Claudia Pamfiloiu, inst. Mtsari, Gorj P.P.III.1341. La o
florrie, n 3vase erau70 de crizanteme. Dup un timp s-au vndut 15
crizanteme din primul vas i 7 din al treilea vas i n fiecare vas a
rmas acelai numr de crizanteme. Cte crizanteme au rmas? Adriana
Ailiesei, inst Iai P.P.III.1342.n casa celor apte pitici a venit i
Alb ca Zpada. De ci pantofi au nevoie pentru a se ncla? Rezolv
problema printr-un singur exerciiu. Cte perechi reprezint
rezultatul? Nicoleta Claudia Galea, nv Timioara
P.P.III.1343.ncurteabunicii3vulpipndesc5pui,daripeAzorel,cinele.Ctepicioareseaflncurteabunicii?
Rezolvproblemandoumoduri,gndindu-tecetinclasaaII-a,apoinclasaaIII-a.(Foloseteoperaiidiferit).
Scrie i exerciiul problemei. Nicoleta Claudia Galea, nv Timioara
P.P.III.1344. Folosete paranteze pentru ca s avem egaliti: a)
64:24167=56;b) 7212:67=70;c) 13+41:54:6=6. Adriana Ailiesei, inst.
Iai Rubric realizat de Marcela Miaru, nv. Craiova Concursul
rezolvitorilor C.R.III.1. Suma temperaturilor de luni, mari i
miercuri de sptmna aceasta este un numr cuprins ntre 62 i 65. S
seaflecetemperaturis-aunregistrat,dactimcnfiecareziafostcuungradCelsiusmaicalddectnziua
precedent.(10 puncte) Corina Tecu, inst. Iai C.R.III.2. Dac tim c
ntr-o clas exist trei elevi care s-au nscut n aceeai lun, care este
numrul minim de elevi din acea clas?(9 puncte) Mihaly Bencze, prof.
Braov C.R.III.3. Costin trage cu arcul ctreun ,,mnunchi decinci
baloane. Elvede baloanealbei roii. Nimeretede dou oriinu
maivedebaloanelealbe.Mainimereteodatinumaivedenicibaloaneroii.Ctebaloanedinfiecarefel
erau?(8 puncte) Ion Scleanu, prof. Hrlu, Iai C.R.III.4. Un lift
poate duce o greutate de cel mult 200 kg. Dac Ion are 80 kg, Maria
55 kg, Vali 90 kg, Mihai 60 kg i tefan 75 kg, care din persoanele
amintite pot intra n lift fr s aib probleme?(7 puncte) Marian
Ciuperceanu, inst. Craiova C.R.III.5. Avem 7 kilograme de ciree i
dispunem pentru cntrire de o balan i o greutate de 1 kg. S se
separeu o cantitate de 3 kg de ciree printr-o singur cntrire.(5
puncte) Margareta Constandache, nv. Bacu Soluiile problemelor de
laConcursulRezolvitorilor din Alpha nr. 1/2009 C.R.III.1. Anca
citete o carte. Dac nu ar fi cititultimele5pagini ar fi maiavutde
citit trei sferturi dincarte. Dac mai citete 4 pagini ajunge la
jumtatea crii. Aflai: a) cte pagini avea carte;b) cte pagini a
citit Anca?(10 puncte) Georgeta Panfir, nv. Feteti Soluie: Se
observ c 5 cri+4 cri reprezint un sfert. Deci 94=36 pagini are
cartea; 9+5=14 (pagini a citit Anca) C.R.III.2. Cte numere de 3
cifre se pot scrie cu cifrele x, y, z, dac xyz=8?.(9 puncte) Marian
Ciuperceanu, inst. Craiova Soluie: 118=8118; 811=8811; 181=8181;
142=8142; 124=8124; 241=8241; 214=8214; 412=8 412; 421=8421;
222=8222. Deci se pot scrie 10 numere: 118, 224, 142, 181, 214,
222, 241, 412, 421, 811.
C.R.IV.3.Ancanirmrgelepentruppuaeiastfel:unaroie,unagalben,unaverde,unaalb,unaroie,una
galben .. nsumnd 28. Cte mrgele are de fiecare fel? Ce culoare va
avea a 17 mrgic?(8 puncte) Viorica Here, nv. Moineti
Soluie:Avemcte4mrgeledeculoridiferite.Deciavem28:4=7mrgeledefiecareculoare.17=44+1,deciavem
patrugrupecompletedepatruculoriiacincea-agrupareosingurbilcucarencepeogrupiestedeculoare
roie. C.R.IV.4. Comparai numerele naturale x, y i z tiind c zx=1986
i zy=2009.(7 puncte) Doina i Mircea Stoica, prof. Arad Soluie:
zx=1986z=x+1986z>x cu 1986; zy=2009z=y+2009z>y cu 2004.
Deciym(ACE)(1).DardacABm(CAM)(2).Adunnd relaiile (1) i (2)
obinemm(ABD)+m(BAM)>m(ACE)+ m(CAM) i
m(ABD)+m(BAM)+m(ADB)>m(ACE)+m(CAM)+m(CEM); 1800 >1800
contradicie, deci AB+++. D.M. Btineu-Giurgiu, prof. Bucureti
P.P.VII.1296. Aflai n, peN astfel nct p 200941288 n 2 n2=+ +.Sorana
i Rzvan Dinu, prof. Ialomia P.P.VII.1297. S se rezolve ecuaia:| | a
unde61x25 x 6+ =
reprezint partea ntreag a numrului real a. Cristian Dinu, prof.
dr.Craiova P.P.VII.1298. a) S se arate c:n n n2=
+ , oricare ar fi neN. b) Rezolvai n N ecuaia:| | | | | | ( ) |
| 231 1 n n ... 4 3 3 2 2 1 = + + + + + , unde| | areprezint partea
ntreag a numrului a. Aurelia Petric, prof. Craiova P.P.VII.1299. n
paralelogramulABCD, AB=4a,AD=a, a>0, bisectoarele unghiurilor
DABiABC seintersecteazn M, AMDC={E}, Ee(AM), BMDC={F}, Fe(BM). a)
Aflai lungimea segmentului EF. b) Dac P este mijlocul lui| |
ABartai c MEPF este dreptunghi. Nicolae Parschiv, prof. Urziceni
P.P.VII.1300. Aflai cifrele x, y, z n baza 10 tiind cxyz 3 5 +
eN.tefan Cruceru, prof. Craiova P.P.VII.1301. n triunghiul ABC
considerm (AD bisectoarea unghiului BAC, De(BC), DEAB, Ee(AB),
DFAC, Fe(AC). S se demonstreze c: ADEF=AEDF+AFDE. Petre Orza, prof.
Corabia P.P.VII.1302. Gsii numerele prime p i q astfel nct numrul
(p+1)2 s fie ptrat perfect. Dumitru Cotoi, prof. Craiova
P.P.VII.1303. Fie triunghiulABC dreptunghic (m(A)=900) . S se arate
c:ABC22 22 22 22 2A 2ab ab ac ab as+++++ unde a, b, c sunt
lungimile laturilor triunghiului i AABC este aria triunghiului ABC.
Mihaly Bencze, prof. Braov P.P.VII.1304. Artai c pentru orie neN*
are loc inegalitatea: 1 nn 221...41211n+> + + + + .Ramona Bloiu,
prof. Craiova P.P.VII.1305. Fie numerele reale a, b, c, d. tiind c
suma oricror dou numere este egal cu produsul celorlalte dou, s se
afle numerele. Ion Scleanu, prof. Hrlu, Iai P.P.VII.1306. Artai dac
se poate construi un poligon A1A2A3A10 care ndeplinete condiiile:
A2A3=21A1A2, A3A4=21A2A3, , A9A10=21A8A9, A10A1=21A9A10.Sorana i
Rzvan Dinu, prof. Ialomia
P.P.VII.1307.ntriunghiulABC,dreptunghicm(A)=900,m(B)=600,punctulDestesimetriculpunctuluiAfade
dreapta BC, M este mijlocul lui| | BC . Artai c: a) Triunghiurile
ACD i MBD sunt echilaterale.b) MC=2MI unde {I}=ADBC Nicoleta
Cruceru, prof. Craiova
P.P.VII.1308.FietriunghiurileABCiABCastfelcam(B)=m(B),AB=ABi ' C '
A ' B ' AAC AB' C ' BBC++= .Demonstraic AABCAABC. Cristinel
Mortici, prof. Trgovite
- Se primesc soluii la probleme propuse pn la data 1.03. 2010.
Nu se primesc soluii la P.S. Revista de matematic alpha publicaie
semestrial 35 Rubrica jocuri P.P.VII.1309. S se rezolve ecuaia:( )(
) ( )( )( )y xz x 4 x 3 x z 2 y 1 y y + + =118, undezeN, iarx, y
sunt bazeale unor sisteme de numeraie.Cristian Moant, prof. Craiova
P.P.VII.1310. nAABCavem Ne(AC),NE//BC,Ee(AB),Qe(BC)astfelca| | | |
QC BQ , NF//AQ,Fe(BC),AQEF={R}. Demonstrai relaia QRNCACAQ
=2Gheorghe F. Molea, prof. Curtea de Arge P.P.VII.1311. Se d
triunghiul ABC cu E, Fe| | ABastfel nct 21EBFEAFAE= = , iar G, He|
|31ACGHACAGcu AC = = . Dac | | | | { } | | | | { } T BH FC i S EH
FG = = artai c punctele A, S, T sunt coliniare. Mariana Mitea,
prof. Cugir P.P.VII.1312. Fie ABCD trapez dreptunghic, AB//CD,
AB>CD, m(A)=900, AB=AD. Considerm punctul E pe latura (AD)
astfelcaED=DC iDL//BC,LeAB, CLDB={K}.
SsedemonstrezecdrepteleAKiECsuntparaleleicareloc egalitatea:
CL=2EK.Marian Firicel, prof. Calafat P.P.VII.1313. Rezulvai n
numere naturale ecuaia: x+y+z9=4 8 z 8 1 y 10 45 x + + . Doina i
Mircea Mario Stoica, prof. Arad P.P.VII.1314. n triunghiul ABC,
oarecare, (AD este bisectoarea unghiului BAC i fie BEAD, Ee(AC).
Artai c: a) E este simetricul lui B fa de AD.b)1ACECDCDE= + .
Victor Sceanu, prof. Drobeta Tr.Severin Rubric realizat de Ion
Miaru, prof. Craiova Concursul rezolvitorilor
C.R.VII.1.FiexOyipuncteledistincteA,Be(OxiC1De(OyastfelnctOB=OCi
OCvOBtODvOAt+ = + , t,veRcu t2+v2=0. Demonstrai c AD, BC i una din
bisectoarelexOy sunt concurente dac i numai dacv t = .(10 puncte)
Ioan Scleanu, prof. Hrlu, Iai C.R.VII.2. Fie ABC un triunghi i
Me(BC) dac Pe(BM), PF//AC. Fie Fe(AB) i PFAM={D}, PE//AB, EeAM i
MD=ME, demonstrai c patrulaterul BECD este paralelogram. (9 puncte)
Ion Ptracu i Nicolae Ivchescu, prof. Craiova C.R.VII.3.
nparalelogramulABCD,fieMunpunctsituatpelaturaDC,iarSmijlocullaturiiBC.DacMOAD={E}i
MSDB={F}, artai c AB//EF.(8 puncte) Mariana Mitea, prof. Cugir
C.R.VII.4.FieMunpunctsituatpeprelungirealaturiiBCaparalelogramuluiABCD,MEbisectoareaunghiuluiAMC
(Ee|DC|). Artai c DMME dac i numai dac F este mijlocul lui MC:(7
puncte) Mariana Mitea, prof. Cugir C.R.VII.5. Fie E(x)= 2 x 6 11 x
2 x 4 6 x + + + + + + . S se arate c E(x)=1, pentru orice x>2.(6
puncte) Doina Firicel, prof. Calafat Rubric realizat de Ion Miaru,
prof. Craiova Probleme rezolvate din Alpha nr.1/2009 P.P.VII. 1271.
S se arate c dac z 3 yy 3 x++eQ, cu x, y, zeN* atunci y2=xz. Ion
Casiu, prof. Filiai Soluie: Din z 3 yy 3 x++eQbaz 3 yy 3 x=++ unde
a, beZ, b=0 3 (xbay)+ybaz=0, dar x, y, teN*, a, beZ,3 eRQ = = 0 az
yb0 ay xbb(xzy2)=0, dar b=0y2=xz. P.P.VII.1276. Dac a, b, ceR+ i
a+b+c=2010 atunci10051 acac1 bcbc1 ababs+++++.Mihaly Bencze, prof.
Braov Soluie: Din a, b, c>0, folosind inegalitatea mediilor4b
a2ab1 ababab21 abab+s s+ +s . Analog ( ) c b a211 caca1 bcbc1
ababsumnd4a c1 cacai4c b1 bcbc+ + s++++++s++s+=1005.
P.P.VII.1279.ntriunghiulABC,Aestemijlocullaturii(BC)iunpunctoarecarePe(AA).DacBPAC={E},CPAB={D},BC=kDE
i A|DPE|=1cm2, se cere: a) natura patrulaterului BCED;b) aria
acestui patrulater n funcie de k. Constantin Drghici, prof.
Urziceni
- Se primesc soluii la Concursul rezolvitorilor pn la data de
1.03. 2010. Nr.2/2009 36Clasa a IV-a Soluie: a) n AABC, AABECD={P}
(din ipotez) 1EACEC ' A' BADBADCeva . t= , dar A mijlocul lui (BC);
BA=AC BC DEECAEDBADThales . t . R = . Cum BDCF={A}BCED este trapez.
b) Din DE//BC (pct.a)a . f . t ABPC~AEPD 22EPDBPCkDEBCAA= |.|
\|=pentru c BC=kDE i ADPE=1cm2ABPC=k2(cm2). Din ABPC~AEPD = =
kDEBCPEBP 2h PE2h BPAAdar , kPEBPDPEBPD= = =kABPD=k(cm2), dar
ABDP=APEC (proprieti n trapez)ABCDE=ABPC+2ABPD+ADPE=
=k2+2k+1=(k+1)2.
P.P.VII.1284ntriunghiulisoscelABC(AB=AC)senoteazEiMpuncteledeinterseciealebisectoareiirespectiv
nlimii din vrful B, cu latura |AC|. S se arate c 2MCCE=AC
ABBC3+.Gheorghia i Iulian Stnic, prof. Apele Vii, Dolj Soluie:
Aplicnd t. Bisectoarei n triunghiul ABC obinem BC ABBC ACECECEC
AEBCBC ABECAEBCAB+= +=+ =(1). Fie MeAC astfel nct| | | | ' MM MC ,
dar BMMC (ipotez)ABCM este isoscelABCM isoscel cu| | | | BC ' BM
BMCBCM, dar ABC=ACB (AB=AC)AABC~ABMCMC 2BCC ' MBCACACBCBCC ' M2 2=
= = (2). Din (1) i (2) 2MCEC=BC ABBC3+. Rubric realizat de Ion
Miaru, prof. Craiova Soluiile problemelor de la Concursul
rezolvitorilor din Alpha nr. 1/2009 C.R.VII.1. Se dun paralelogram
ABCD. Construiicu ajutorulunei riglenegradate mijlocul Mallui |BC|.
Folosind apoi numai un echer, gsii un punct PeAM i un punct QeDM
astfel nct s avem CP=QB.(10 puncte) Nicolae Ivchescu, prof. Craiova
Soluie:PentruaconstruicuajutoruluneiriglenegradatemijloculMallui|BC|procedmastfel:lumGe(AD),
construim cu ajutorul rigleinegradate dreptele BG, BD, CG, notm
BGDC={H}, BDCG={O}, construim dreapta HO,
notmHOBC={M}careestemijlocullui(BC).Demonstraie:DinGD//BC(AD//BC,GeAD)DCHDGBHGThales
. t= (1), aplicndt.CevantriunghiulBCHobinem1DHDCMCBMGBHG=
(2).Din(1)i (2)BM=MCMmijlocullui(BC).
Pentruagsicuajutorulecherului(putemducenumai unghiuri dreptei
drepte) punctele PeAM iQeDM astfelnct CP=QB, procedmastfel:
construimdrepteleAMiDM,notmAMDC={E},DMAB={F},ducemdinDirespectivdinA(folosindecherul)
perpendicularelepeAM,respectivDM,notmcuPiQpicioareleacestorperpendiculareacesteasuntpunctele
cutate.Demonstraie:DinCM//AD CMEa . f . tA ~ADAE2DECE21ADCMDECE= =
= CestemijloculluiDE,dar triunghiulDPE
estedreptunghicnP(dinconstrucie)PC este
medianlaipotenuzPC=2DE=DC.AnalogQB=AB, dar AB=DCPC=QB. C.R.VII.2.
Aflai numrulabcdn baza 10 i neN* tiind c sunt ndeplinite simultan
condiiile: a)121 3 33abcd...3abcd3abcdabcdnn 2+|.|
\|= + + + + ;b) abcd eN. (9 puncte)Florin Benea, prof. Craiova
Soluie: Relaia dat la condiia a) este echivalent cu relaia += + + +
++22 3 331...313111 nn 2 abcd ||.|
\|= + + + ++21 331...313111 nn 2. Notm S= )`+ + + + =+ + + ++1 n
2n 231...31311 S3131...31311S =+1 n311 S31S=n1 n3 21 3 + Revista de
matematic alpha publicaie semestrial 37 Rubrica jocuri n1 nn1 n3
abcd21 33 21 3abcd = =|.|
\|++++1. innd cont de condiia b)abcdeste ptrat perfectn numr
natural par. Dnd valori lui nn=8. (Pentru n>9, 3n+1>10000)
C.R.VII.3. Artai c numrul a=2009222220091111+1 este divizibil cu
numrul b=200922008. (8 puncte) Ion Miaru, prof. Craiova Soluie:
Numrul a poate fi scris:
a=200922009222020092200920091110+2009+200922009+1a=20092(200922201)
2009(200911101)+200922009+1a=20092(200937401)2009(200933701)+200922009+1a=M(200931)
M(200931)+200922009+1a=M(200922009+1)a=M(200922008)a b . C.R.VII.4.
ntriunghiulABC bisectoarele unghiurilor ABC i ACBintersecteaz
mediana |AM|, (Me(BC)) n punctele D, respectiv E. tiind c BD=CE s
se demonstreze c AB=AC..(7 puncte) Gheorghe Paicu, prof. Motru,
Gorj Soluie: Fie D simetricul lui D fa de MABDMACDM (LUL)BDM=CDM i
BD=CD dar BD=CE (ipotez) CD=CECED=CDEBDMCEMADBAEC (1). Presupunem c
ACm(ACB), dar (BD (CE bisectoarele unghiurilor ABC, respectivACB
(dinipotez)m(ABD)>m(ACE (2). Dardac ABm(CAM (3). Din (2) i
(3)m(ABD)+m(BAM)>m(ACE)+m(CAM) ) 1 ( cu
m(ABD)+m(BAM)+m(ABD)>m(ACE)+m(CAM)+m(AEC)1800>1800
(contradicieAB+ ++ ++ +++ +. Anca Bnic, prof. Slobozia, Ialomia
P.P.VIII.1293. Rezolvai i discutai ecuaia: 4 x12 x12 x3 a2++= unde
a este un parametru real. Cristian Dinu, prof. dr. Craiova
P.P.VIII.1294. Enumerai elementele mulimii A=)`eeN N1 x1 x x2342
2012x . Cristian Moan, prof. Craiova P.P.VIII.1295. Triunghiul ABC
i paralelogramul ACDE sunt situate n plane diferite iar punctele M,
N i P sunt situate pe laturile| | | | | | AC respectiv BC ,
ABastfel nct{ } O BC AD .21ACCPBCBNABAM= = = = . a) Stabilii poziia
dreptei BE fa de (MNO). b) Artai c (NOP)//(ABE). c) Dac EDBE
determinai msura unghiului dintre NO i AC. Ion Bdoiu, prof. Turnu
Mgurele, Teleorman P.P.VIII.1296. Determinai intervalele n care se
afl numerele reale x, y, z dac: x2+y2+z2=5x3y+7z+417. Cameli Bdoiu,
prof. Turnu Mgurele,
TeleormanP.P.VIII.1297.FieABCDundreptunghiiMunpunctninteriorulsuastfelnctMA=5cm,MB=9cm,MC=15cm.
Aflai cosinusul unghiului dintre PD i (ABCD) unde P este un punct
pe perpendiculara n M pe (ABCD) i MP=20 cm.
- Se primesc soluii la probleme propuse pn la data de 1.03.
2010. Nu se primesc soluii la P.S. Revista de matematic alpha
publicaie semestrial 41 Rubrica jocuri Nicoleta Cruceru, prof.
Craiova P.P.VIII.1298. Dac a, b>0 atunci
4(a2010+b2010)=(a670+b670)3 dac i numai dac a=b. D. M.
Btineu-Giurgiu, prof. Bucureti P.P.VIII.1299. Artai c 1 n
nn...2734913212312 4+ ++ + + + + ++|.|
\| ++|.|
\| +;c) Egalitatea are loc? (10 puncte) Cristian Moan, prof.
Craiova C.R.VIII.2. Determinai intervalele crora aparin numerele
reale x i y dac verific ecuaia: | | | | | |2009 7 8 7x 1 y x= + +.
(9 puncte) D. M. Btineu- Giurgiu, prof. Bucureti
C.R.VIII.3.PeplanultriunghiuluiABCnAiBseridicdeoparteialtaluiperpendiculareleADiBEastfelnct
m(DCE)=900. Demonstrai c: ADBE=2AB BC AC2 2 2 +.(8 puncte) Gheorghe
F. Molea,prof. Curtea de Arge, Arge C.R.VIII.4. Fie a, b, ceR+.
Artai cac c a 3 bc c b 3 ab b a2 2 2 2 2 2 + > + + + . n ce caz
are loc egalitatea? (7 puncte) Florin Benea, prof. Craiova
C.R.VIII.5. Fie x1, x2, x3, , xn numere reale strict pozitive.
Artai c dac {y1, y2, y3, , yn}={x1, x2, x3, , xn} atunci | ) C =
)`++ +; 2y1 x...; ;y1 x;y1 xn2n222121.(6 puncte) Florin Benea, prof
Craiova Rubric realizat de Florin Benea, prof. Craiova Probleme
rezolvate din Alpha nr. 1/2009 P.P.VIII.1262. Rezolvai n R
ecuaia:
|||.|
\||.|
\|++ |.|
\|+= + |.|
\|++ |.|
\|+2 2 4 42009 x2009 x2009 x2009 x4 62009 x2009 x2009 x2009 x.
Felicia Ozunu, prof. Vulcan, Hunedoara Soluie: Notma2009 x2009 x=+.
Ecuaia devine ||.|
\|+ = + ||.|
\|+ ||.|
\|+ = + +222222244a1a 4 6 2a1aa1a 4 6a1a { } 1 ; 1 a 1 a 0 1 a
0a1 a 2 a0 2a1a 0 4a1a 4a1a22222 42222222 e = = |.|
\| =+ =||.|
\| + = +||.|
\|+ ||.|
\|+ . Nr.2/2009 42Clasa a IV-a Dac a=1 C e =+x 12009 x2009 x.
Dac a=1 12009 x2009 x =+x+2009=x+20092x=0x=0. P.P.VIII.1268. Fie x,
y, z, teN astfel nct1tztytx2 2 2= |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|. Artai c: t z y xxz yz xy+ + ++ +eN. Aurelia Petric, prof.
Craiova Soluie:1tztytx2 2 2= |.|
\|+ |.|
\|+ |.|
\|x2+y2+z2=t2; (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)xy+xz+yz=( )2z y x z
y x2 2 2 2|.|
\|+ + + += = ( ) ( )( )2t z y xt z y xyz xz xy2t z y x t z y x2t
z y x2 2 + +=+ + ++ + + + + + += + +. Dac
t=part2=x2+y2+z2=parx+y+z=par 2t z y x + +eN. Dac
t=impart2=x2+y2+z2=imparx+y+z=impar2t z y x + +eN. P.P.VIII.1272.
Rezolvai n R ecuaia:( ) ( )2z y x3 z 3 2 y 2 1 x+ += + + . Melania
Stoiculescu, prof. Craiova Soluie: Evident x>1, y>2, z>3.
Ecuaia este echivalent cu( ) ( ) z y x 3 z 3 2 2 y 2 2 1 x 2 + + =
+ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 z 2 2 y 1 1 x 0 3 3 z 3
2 3 z 2 2 y 2 2 2 y 1 1 x 2 1 x + + = + + + + + =0 ( ) 2 2 y i 1 1
x 0 3 3 z i 0 2 2 y i 0 1 1 x = = = = = i z3=3x=2, y=4, z=6.
P.P.VIII.1273. Artai c A= ( )( )( )( ) 16 7 n 5 n 3 n 1 n 5 + + + +
+ + este numr natural pentru neN. Nicolae Halmagiu, prof. Feteti
Soluie:
(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)+16=|(n+1)(n+7)||(n+3)(n+5)|+16=(n2+8n+7)(n2+8n+15)+16=(n2+8n+7)(n2+8n+7+8)+16=
= (n2+8n+7)2+8(n2+8n+7)+16=(n2+8n+7+4)2=(n2+8n+11)2A= = + + + =
|.|
\|+ + + 11 n 8 n 5 11 n 8 n 5222 = ( )2 24 n 16 n 8 n + = + +
=n+4eN.
P.P.VIII.1276.Determinainumerelerealeminpentrucareecuaiile2x(3m5)y+7n11=0i2(x+3)+y4=0sunt
echivalente.Ionica Fota, prof. Bacu
Soluie:2x(3m5)y+7n11=0i2(x+3)+y4=0suntechivalente.Douecuaiia1x+b1y+c1=0ia2x+b2y+c2=0sunt
echivalente dac 21 121cc2 bbaa= = . Deci 2(x+3)+y4=02x+y+2=0 iar
2x(3m5)y+7n11=02x+(53m)y+7n11=0 11 n 72m 3 5122== 53m=13m=4m=34,
7n11=27n=13n=713. Rubric realizat de Florin Benea, prof.Craiova
Soluiile problemelor de la Concursul rezolvitorilor din Alpha nr.
1/2009 C.R.VIII.1. Fie ABCDABCD este un paralelipiped dreptunghic
cu ABCD ptrat. AB=a i AA=b. a) Dac Ee|AC| astfel nct SDEB este
minim, aflai CE. b) Dac SDEB este minim i (DEB)//(ABD) artai c
paralelipipedul este cub. c) n ipoteza de la b) aflai distana
dintre planele (DEB) i (ABD).(10 puncte) Florin Benea, prof.
Craiova Soluie:ADECABECdeoarece|EC|=laturcomun,| | | | BC DC
iEDCEBC| | | | BE DE .EO-medianiar ADEB este isoscelEO=nlime.
SADEB=2BD EO=minim. Deoarece BD=a 2 =const.
EO=minim.O=fixiEOminimEOAC.AEOC~AAAC(suntdreptunghiceiCeste comun)
== =C ' AOC ACECC ' AOCACEC2 222 2b a 2ab a 2122 a2 a+=+ .b) ( )'
AA BD) C ' AA ( C ' AC ' AA BD' AA BDAC BD c dar
OEACAC(BDE).(ABD)//(BDE)AC(ABD).Din(ADCC)(ABD)=AOiACAO={F}ACAOdeciAFACdar
OEACOE=linie mijlocie n AACFOE=2AF. AAFO~ACFA (AO//AC)21AC' O '
AAF' FO= = AF=2FO= =2OEAO=3OE dar 2 2b a 2 22 abC ' AOC ' AAOEC '
AOC' AAOE+== = AO=2 2b a 2 22 ab 3+. Revista de matematic alpha
publicaie semestrial 43 Rubrica jocuri AAAOdreptunghicAO2=AA2+AO24a
2bb a 2 4b a 1822 abb a 2 22 ab 3222 22 22222 2+ =|.|
\|+||.|
\|+ =|||.|
\|+18a2b2=4b2(2a2+b2)
+2a2(2a2+b2)18a2b2=4b2+8a2b2+4a4+2a2b24a4+4b48a2b2=0a4+b42a2b2=0(a2b2)2a2=b2a=b
paralelipipedul este cub. c) 3C ' AF ' A21AC' O ' AFCF ' A= = = .
OE=linie mijlocie n AAFCE=mijl.|FC|EF=33 a3C ' A= .
C.R.VIII.2.OABCesteuntetraedru,OAOB,OAOCiOBOCiar4SAAOB=(AB+OC)(OCAB).Calculai
m(ZACO)+m(ZBCO)+m(ZACB) (9 puncte) Nicolae Tlu,prof. Craiova
Soluie: 4SAAOB=(OC+AB)(OCAB) 4 2OA OB=OC2AB2AB2+2AOOB=OC2
AO2+OB2+2AOOB=OC2(AO+OB)2=OC2AO+OB=OC.Notm
OA=a,OB=bOC=a+bm(ACO)=x,m(OCB)=yim(ACB)=z. Din datele problemei
considerm o ,,desfurare a tetraedrului ca n figura
urmtoarex+y+z=900. C.R.VIII.3. ABCDABCD este o prism patrulater
regulat cu baza ABCD, iar Me|CC|. a) Artai c AC= CM ' AA 2 dac i
numai dac (ABD)(MBD). b) n ipoteza de la a) i AB=a, m(Z(MBD),
(ABC))=150, aflai volumul prismei.(8 puncte) Aurel Pancu, prof.
Craiova Soluie: a)c c) ABC ( BDBD CO) ABC ( MC, BD O ' A) ABC (
BDBD AO) ABC ( ' AAMOBDAOM= plan corespunztor diedrului dintre
(ABD) i (MBD). (ABD)(MBD)m(AOM)=900m(AOA)+
+m(MOC)=900m(AOA)=900m(MOC)tgAOA= =tg(900m(MOC))tgAOA=ctgMOCMCOCAO'
AA= AAMC=AO2AAMC=22AC|.|
\|4AAMC=AC2AC= MC ' AA . b) Considerm AEFG dreptunghic n E,
m(F)=300, EG=1GF=2EF= 3 . Ducem FQ bisect.EFGm(EFQ)=150. Din
teorema bisectoarei 3 23QE3 23GEQE23QGQEGPEFQGQE+= += =
=m(FQE)=750tg750= 3 233 213QEEF+ =+ = . m(MOC)=150,
m(AOM)=900m(AOA)=750. n AAOA dreptunghic, tgAOA= ( ) 3 222 a' AA22
a' AA3 2AO' AA+ = = + .Vprismei= ( )( )23 2 2 a3 222 aa32+= + .
C.R.VIII.4. Artai c exist un singur numr natural n pentru care:N e
+ + n 14 2 16 43 3 5 3 2(7 puncte) *** Soluie:N e + + n 14 2 16 43
3 5 3 2 a=24316+52314+3n=ptrat perfecta=314(169+25)+3n=314169+3n.
Dac n14a=314(169+3n14)=pp169+3n14=k2
3n14=k21693n14=(k13)(k+13)k13=1p3 ,k+13=2p3 undep1+p2=n141p2p3 3
=26dar263p1=0 3n14=27n14=3n=17 C.R.VIII.5. ABCDABCD este o prism
triunghiular regulat cu baza ABC. Msura unghiului dintre AB i BC
este 600.
Aflaivolumulprismeitiindcsumadistanelordelaoricepunctsituatninteriorulprismeilafeelelateraleeste
6 3 cm.(6 puncte) Mariana Benea, prof. Craiova
Soluie:DacPesteunpunctsituatninteriorulprismeiiconsidermunplancareconineacestpuncticareeste
paralelcubazele,atuncisumadistanelordelaPlaFeelelateralereprezintsumadistanelordelaPlalaturile
triunghiului echilateral pe careacest planldetermin n prism. Artm
csuma distanelor delaun punct Psituat n interiorul unui triunghi
echilateral, la laturile triunghiului este egal cu 23 , unde l este
latura triunghiului. Fie Q, M, N proieciile punctului P pe laturile
MN, QN respectiv QM. SMNQ=SQMP+SMNP+SQPN2' PM2' PQ2' PN232++=
Nr.2/2009 44Clasa a IV-a PN+PM+PQ=23 .Daclaturabazeiprismeiestel23
=6 3 l=12.Ducem
BE//BCBCBE=paralelogram,iar(AB,BC)(AB,BE)m(ABE)=600.Deoarece | | |
| | | | | E ' B ' AB ' BC ' AB
AABEesteechilateralAB=AE.nAAEC,avemBE=BC=BCAB este median iar
AB=2CEAACE este dreptunghic n AAE2=EC2AC2=242122 AE=12 3 cmAB=12 3
, AB=12AB2=AB2AB2=1443144=1442BB=12 2 . Vprismei=AbI= 6 432 2 1243
144= cm3. Rubric realizat de Florin Benea, prof.Craiova Tez la
matematic Clasa a VIII-a, Semestrul I Propus de: Ion i Diana
Coteanu, prof. Dobreti, Dolj Toate subiectele sunt obligatorii
Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acord 10 puncte din oficiu
SUBIECTUL I (45 puncte) Pe foaia de tez se trec numai rezultatele.
3p 1. a) Numerele: 5,05; 5,(05); 5,(50) scrise n ordine cresctoare,
formeaz irul cresctor.. 3p b) Dac a=5,05 i b=5,0(5), iar m este
media aritmetic a numerelor a i b, atunci ncercuii propoziia
adevrat: A) mB; C) m=a;D) a
