1

TEMA:

Resolucin de ecuaciones diferenciales usando el software WXMAXIMA en funcin

de campos de direccin.

OBJETIVOS:

General:

Aplicar el concepto de campos de direccin para resolver ecuaciones

diferenciales usando el software matemtico WXMAXIMA.

Especficos:

Perfeccionar el uso del clculo diferencial e integral.

Emplear las diferentes herramientas del software WXMAXIMA.

Identificar isclinas y campos de direccin grficamente.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La resolucin analtica de ecuaciones diferenciales por los mtodos tradicionales como

variable separable, ecuaciones lineales, ecuaciones homogneas, ecuaciones exactas,

entre otras, puede llegar a ser muy complejo, por lo cual hay que buscar mtodos

alternativos para poder resolverlas.

El uso de software por computador posibilita la resolucin de ecuaciones diferenciales

de una forma ms sencilla, grficamente el mtodo de las isclinas y campos de

direccin son otras soluciones que facilitar la deduccin de una ecuacin diferencial.

2

MARCO TERICO

CAMPOS DE DIRECCION

Es un mtodo para resolver ecuaciones diferenciales de manera grfica mediante la

interpretacin geomtrica de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones

Sea una ecuacin diferencial de la forma:

= (, )

Cuya solucin es una funcin de la forma:

= ()

Geomtricamente, en la ecuacin se afirma que, en cualquier punto (, ) la pendiente

de la solucin evaluada en ese punto est dada por (, ), lo que se puede

evidenciar si se traza un pequeo segmento rectilneo que pase por el punto (, ) con

una pendiente (, ).

Ilustracin 1

Ntese que la solucin de la ecuacin diferencial

= (, ) cuyo grafico pasa por

(x, y) es tangente al segmento construido en (, ).

X

Y

y

x

tan = (, )

3

Ilustracin 2

La coleccin de todos esos segmentos rectilneos se llama campo de direccin de la

ecuacin diferencial, campo direccional, campo pendiente o campo de elementos

lineales. El campo direccin puede observarse si se trazan pequeos segmentos

rectilneos en algn conjunto representativo de puntos en el plano . Se elige una

rejilla rectangular de puntos. Una vez que se obtiene un esquema del campo de

direccin, a menudo es posible ver de inmediato el comportamiento cualitativo de las

soluciones, o quiz observar regiones que tienen alguna caracterstica en particular.

ISOCLINAS

Sea una ecuacin diferencial de la forma:

= (, )

Al trazar el campo de direccin hay que tener presente que la pendiente de la

solucin tiene un valor constante en todos los puntos de la curva (, ) = , estas

curvas se denominan curvas isclinas.

Para ecuaciones de estructura simple es posible trazar el campo de direccin dibujando

unas cuantas isoclinas y luego insertar segmentos rectilneos tangentes a la solucin

en varios puntos de cada una. Cuando se hace variar el parmetro C se obtiene un

conjunto de isclinas que son el campo de direccin de la ecuacin diferencial

=

Y

X

y

x

4

(, ) y el campo de direcciones representan las lneas de flujo de la familia de curvas

de solucin de la ecuacin diferencial, de la cual se obtienen soluciones particulares

de la forma (1, 1) , (2, 2) , etc.

CAMPOS DE DIRECCIONES Y CURVAS INTEGRALES EN WXMAXIMA

La funcin drawdf dibuja el campo de direcciones de una ecuacin diferencial

ordinaria de primer orden (EDO) o de un sistema de dos ecuaciones de primer orden.

Puesto que drawdf es un paquete adicional, es necesario cargarlo en memoria

ejecutando previamente la instruccin load(drawdf).

Para dibujar el campo de direcciones de una EDO, sta debe escribirse de la

forma

= (, ) y ser la funcin F la que se pase a drawdf como

argumento.

Para dibujar el campo de direcciones de un conjunto de dos EDOs, deben

escribirse de la forma

= (, ) y

= (, ) y ser una lista con las

dos funciones G y F la que se pase a drawdf como argumento. El orden de las

funciones es importante; la primera ser la derivada de la abscisa respecto del

tiempo y la segunda la derivada de la ordenada respecto del tiempo.

Si slo se trata de una EDO, drawdf admitir por defecto que = y (, ) =

1, transformanado la ecuacin no autnoma en un sistema de dos ecuaciones

autnomas.

Funciones y variables para drawdf

Funcin: drawdf (dydx, ...options and objects...)

Funcin: drawdf (dvdu, [u,v], ...opciones y objetos...)

Funcin: drawdf (dvdu, [u,umin,umax], [v,vmin,vmax], ...opciones y objetos...)

Funcin: drawdf ([dxdt,dydt], ...opciones y objetos...)

Funcin: drawdf ([dudt,dvdt], [u,v], ...opciones y objetos...)

Funcin: drawdf ([dudt,dvdt], [u,umin,umax], [v,vmin,vmax], ...opciones y

objetos...)

La funcin drawdf dibuja un campo de direcciones 2D, incluyendo opcionalmente

curvas asociadas a soluciones particulares, as como otros objeto grficos del paquete

draw.

El primer argumento especifica la(s) derivada(s), el cual debe estar formado por una

expresin o una lista de dos expresiones. dydx, dxdt y dydt son expresiones que

dependen de x y y. dvdu, dudt y dvdt son expresiones que dependen de u y v.

5

Si las variables independiente y dependiente no son x e y, sus nombres deben

especificarse a continuacin de las derivadas, bien como una lista de dos nombres,

[u,v], o como dos listas de la forma [u,umin,umax] y [v,vmin,vmax].

Ejemplo:

Se tiene la ecuacin diferencial:

= +

Para ver su campo de direccin su sintaxis sera de la siguiente manera:

Ilustracin 3

Obtenindose como resultado la siguiente ventana:

Ilustracin 4

6

Para dibujar soluciones particulares que pasen por puntos especificados se emplean los

comandos soln_at y solns_at.

Ejemplo:

Se tiene la ecuacin diferencial:

= 2 () 1 +

Con soluciones particulares que pasan por los puntos:

[0,0.1] [0, 0.1]

Para ver su campo de direccin su sintaxis sera de la siguiente manera:

Ilustracin 5

Obtenindose como resultado la siguiente ventana:

Ilustracin 6

7

Ejercicio:

Trazar un campo de pendientes para la ecuacin diferencial:

= 2 +

Usar un campo de pendientes para representar grficamente la solucin que pasa por

el punto (1,1).

Solucin Analtica

1. Hacer una tabla que demuestre las pendientes en varios puntos. Se deben calcular las pendientes de muchos puntos para el campo de pendientes

representativo.

Ilustracin 7

2. A continuacin, dibujar segmentos de rectas en los puntos con sus respectivas como se muestra en la figura.

Ilustracin 8

3. Despus de dibujar el campo de pendientes, se comienza en el punto inicial (1,1) y se mueve a la derecha en direccin del segmento.

4. A continuacin, dibujar la curva solucin de (1,1) Se puede notar que el

campo de pendientes muestra que mientras x aumenta, y lo hace hasta el infinito.

8

Ilustracin 9

Solucin usando WXMAXIMA

La ecuacin sera

= 2 + . El intervalo para la grfica del eje X sera de -2 a 2 y

el intervalo del eje Y sera -1 a 2 para que se visualice de mejor manera el resultado

identificado con color azul, usando el punto (1,1) por el cual pasa la solucin.

Sintaxis

Ilustracin 10

Grfica del resultado

Ilustracin 11

9

Ejercicio de aplicacin

Una pelota es soltada verticalmente en lnea recta a una altitud de 914,4 m. Estimar

la velocidad con que la pelota llegar al suelo.

Construir un campo de isoclinas de la ecuacin diferencial:

= 32 0.16

Solucin

Una vez que se llama a la instruccin drawdf con el comando load(drawdf)$ se

procede a ingresar la ecuacin diferencial 32 0.16 delimitando los valores para el

eje t de 0 a 25 y el eje v de 0 a 400 para una mejor visualizacin. Se emplea el comando

drawdf(32-0.16*v, [t,0,25], [v,0,400],

A continuacin se delimitan los puntos por los que pasan las soluciones con el

comando solns_at[(0,0),(0,100),(0,200),(0,300),(0,400)])$

Sintaxis

Ilustracin 12

Grfica del resultado

Ilustracin 13

10

El resultado del grfico muestra con varias curvas solucin de color azul los diferentes

valores de la velocidad inicial con las cuales se podra lanzar la pelota hacia abajo.

Ntese que todas estas curvas solucin tienden asintticamente a la lnea horizontal

= 200

.

BIBLIOGRAFIA:

Herrera Escudero, A. (s.f.). Web del Profesor Antonio Herrera Escudero Acadmico

de la Universidad Veracruzana. Recuperado el 16 de Mayo de 2015, de

http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/04/00a.-Isoclinas-y-Campo-

de-Direcciones.pdf

Jaime, A. C. (s.f.). UNIVERSIDAD DEL VALLE. Recuperado el 16 de Mayo de 2015,

de Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a la mecnica de medios

continuos.:

http://matematicas.univalle.edu.co/~jarango/Books/curso/cap01.pdf

Villate, J. (30 de Diciembre de 2014). Recuperado el 16 de Mayo de 2015, de Manual

de Maxima 5.35.1:

http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_48.html

ZILL, D. G. (1997). En D. G. ZILL, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de

modelado (sexta ed., pgs. 401-415). Mxico: International Thomson

Company. Recuperado el 16 de Mayo de 2015

portada.pdfcampos de direccion en wxmaxima.pdf