Alysson M. Costa – ICMC/USP Tópicos em otimização combinatória Revisão: formulação matemática e métodos de resolução

Alysson M. Costa – ICMC/USP

Tópicos em otimização combinatória

Revisão: formulação matemática e métodos de resolução


Modelos

Modelo: estrutura construída com o intuíto de exibir/demonstrar/reproduzir características de outros objetos.1

1(Model building in Mathematical Programming - Williams)

algumas


Utilidade de modelos em Programação Matemática

Permitem a obtenção de respostas (conjunto de valores para as variáveis que atendem os requisitos do modelo).

Estas respostas podem ser usadas diretamente na prática ou como um indicativo do que seria uma boa solução prática.

Criam insights.

4 mar 2009 . 11:37



O processo de criação (e resolução) do modelo também é útil por si só:

Exigem a obtenção de dados que (muitas vezes) estão escondidos nas empresas e situações práticas (conhecimento do processo)

Exigem um formalismo que elimina (ou ajuda a eliminar) ambiguidades sobre o que se deseja de uma solução.

4 mar 2009 . 11:37



Permitem experimentações que não seriam possíveis na prática:

Por questões de custo Por questões legais ...

4 mar 2009 . 11:37


Modelos de programação linear

Problema da dieta: Sabendo que cada alimento tem um certo custo e uma certa quantidade de nutrientes. Qual a dieta (de menor custo) que atende as restrições nutricionais ?

Grão Qtd Mínim

aNutriente 1 2 3

A 2 3 7 10

B 4 2 1 15

C 1 8 1 10

D 30 1 1 2

Custo/Kg 20 10 10


Formulando

Perguntas: O que precisamos decidir ?

Variáveis

Quais são as condições sobre estas decisões ? Restrições

O que queremos ? Objetivo

Grão Qtd MínimaNutriente 1 2 3

A 2 3 7 10

B 4 2 1 15

C 1 8 1 10

D 30 1 1 2

Custo/Kg 20 10 10


Formulando

Variáveis ?

Quanto do grão 1 vamos incluir na dieta: x1



Variáveis: x1, x2, x3

xi = qtd. do grão i.


A 2 3 7 10

B 4 2 1 15

C 1 8 1 10

D 30 1 1 2

Custo/Kg 20 10 10


Formulando

Restrições ?

Quantas unidades do nutriente A, no mínimo: 10 Quantas unidades do nutriente B, no mínimo: 15 Quantas unidades do nutriente C, no mínimo: 10 Quantas unidades do nutriente D, no mínimo: 2



Restrições: NA,Nc ¸ 10NB ¸ 15ND ¸ 2


A 2 3 7 10

B 4 2 1 15

C 1 8 1 10

D 30 1 1 2

Custo/Kg 20 10 10


Formulando

Pecisamos escrever NA...ND em função das variáveis (tudo precisa ser escrito em função das variáveis usadas) NA = 2x1 + 3x2 + 7x3

NB = 4x1 + 2x2 + x3

NC = x1 + 8x2 + x3

ND = 30x1 + x2 + x3





A 2 3 7 10

B 4 2 1 15

C 1 8 1 10

D 30 1 1 2

Custo/Kg 20 10 10


Formulando

Objetivo Min Custo:

20x1 + 10x2 + 10x3




Objetivo:Min 20x1 + 10x2 + 10x3


A 2 3 7 10

B 4 2 1 15

C 1 8 1 10

D 30 1 1 2

Custo/Kg 20 10 10


De maneira geral

De maneira geral, um problema de otimização modelado linearmente pode ser escrito na forma abaixo:

Min cx s.a.

Ax · bx ¸ 0

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Testando soluções

(Solver do Microsoft Excel – também presente em distribuições similares open-source, como o OpenOffice )

Obj 70

Limites Inf. Rest. ok ?10 ok14 ok10 ok2 ok

101020Custo/ Kg

21130D

10181C

15124B

10732A

321Nutriente

Qtd Mínima

Grão


O que está por trás do “solver” ?

Algoritmo Simplex (Dantzig, 1947)

4 mar 2009 . 11:37

Créditos da imagem: Wikimedia commons


O que está por trás do “solver” ?

Algoritmo Simplex: maneira matemática de expressar os pontos extremos de uma região formada por restrições lineares e estratégia para passar de um ponto a outro (de melhor função objetivo que o ponto inicial).

"If one would take statistics about which mathematical problem is using up most of the computer time in the world, then ... the answer would probably be linear programming. (Laszlo Lovasz)"

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Limitação importante do simplex

4 mar 2009 . 11:37


Exercício (Móveis I)

Uma indústria moveleira dispõe de dois tipos de peças de madeira, A e B, usadas para construir mesas e cadeiras.

A B

Mesas (Lucro $90): usa duas peças do tipo A e duas do tipo B

Cadeiras (Lucro $60): usa duas peças do tipo A e uma peça do tipo B

Total disponível: 14 peças A, 8 peças B.


Solução

x1 - quantidade produzida de mesas

x2 - quantidade produzida de cadeiras

Max 90x1 + 60x2

s.a.

2x1 + 2x2 · 14 (restrição nas peças do tipo A)

2x1 + x2 · 8 (restrição nas peças do tipo B)


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x_1 x_2Variáveis: 0,5 7 0 Obj 465

Restrições Limites Inf. Rest. ok ?A 1 14 15 15 okB 1 7 8 8 ok


Muitos problemas necessitam variáveis inteiras

Seja porque as variáveis... são inteiras por natureza.

Seja porque variáveis inteiras são necessárias para modelagem do problema

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Ex: Utilização de variáveis binárias

Decisão sobre uma atitude (fazer ou não fazer, comprar ou não comprar...).


Caso 1: implicações se-então

A) Custo fixo: A produção de um item (o envio de uma mercadoria, a

decisão de se tomar um taxi, etc) implica em um custo fixo, por exemplo, de preparação da máquina (de pagamento do custo mínimo de envio, da taxa inicial do taxi, etc).

Antigamente tínhamos:x = quantidade produzida do ítem


Custo de produção:

Como modelar de maneira linear ? Dica: precisamos do auxílio de uma variável binária.


Seja uma variável binária y, tal que y vale 1 se x>0 e y vale 0 caso contrário.

Como associar x e y ?

M é um valor suficientemente grande (produção máxima x)


O modelo geral fica

De maneira geral, um problema de otimização modelado linearmente pode ser escrito na forma abaixo:

Min cx s.a.

Ax + Dy · bx ¸ 0, y ¸ 0 e inteiro

4 mar 2009 . 11:37


O que acontece com o simplex ?

Região factível:


Uma solução (branch-and-bound)

factível!

¸ 2


No pior caso

teríamos que ramificar até as folhas da árvore...

...

...


Muito comum para problemas reais... Apesar dos avanços dos computadores e dos

métodos de resolução, ainda é muito comum encontrar problemas para os quais:

Dias de simulação transcorrem sem que se encontre sequer uma solução factível.

A memória (por maior que seja) se torna insuficiente.

(estes fatos são boas justificativas – entre outras – para a utilização de métodos como os que serão vistos neste curso)

4 mar 2009 . 11:37

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