UNIVERSITATEA DIN BACUFACULTATEA DE TIINEMarcelina MocanuANALIZ MATEMATICCURS PENTRU STUDENIIFACULTII DE INGINERIEIntroducereAcest material cuprinde notele unui curs de Analiz Matematic predatstudenilor de la Facultatea de Inginerie n primul semestru al anului I.Scopul cursului Matematici aplicate 1 (Analiz Matematic) este de a-inva pe studeni s utilizeze puternicele instrumente ale Calculului diferenialsi integral, pentru funcii de una sau mai multe variabile reale. Stpnireamatematicii de liceu, la nivel mediu, este necesar studenilor pentru canoiunile i metodele Analizei matematice studiate n facultate s le fieaccesibile. Avnd n vedere aceast cerin, n cursul de fa cele mai multecunotine de Analiz matematic din liceu sunt recapitulate i reexplicate,dintr-un punct de vedere superior.Prin metodele i rezultatele sale, matematica a jucat i joac un rolfundamental n progresele tiinei i tehnicii. Numeroase domenii alematematicii, printre care i calculul diferenial i integral, au aprut dinnecesitatea rezolvrii unor probleme practice. Isaac Newton (1642-1727) aajuns s pun bazele calculului diferenial si integral pentru c avea nevoie deun instrument de rezolvare a problemelor de mecanic. n acelai timp,Gottfried Leibniz (1646-1716) a obinut rezultate asemntoare cu cele ale luiNewton pornind de la necesitatea rezolvrii unor probleme interne alematematicii, de exemplu, probleme cu coninut geometric. Calculul difereniali integral permite abordarea general, sistematic i unitar, a unor problemedin fizic, tehnic, economie, biologie, etc. El este indispensabil pentru diversedomenii ale matematicii ( teoria ecuaiilor difereniale, geometria diferenial,analiza numeric, calculul probabilitilor i statistic).Analiza matematic este un domeniu vast al matematicii, cu multe ramuri,dintre care abordm aici doar calculul diferenial i integral clasic, dintr-unpunct de vedere modern. Analiza matematic studiaz funciile pe bazanoiunii de limit. Noiunea matematic de limit este specific Analizei i stla baza definirii altor noiuni fundamentale cum sunt cele de derivat siintegral. Noiunea de limit intervine in legtur cu orice procedeu deaproximare n care eroarea aproximrii poate fi micorat orict de mult.n Calculul diferenial se studiaz derivatele (vitezele de variaie ale unormrimi). Cunoaterea valorilor unei funcii si derivatei sale ntr-un punctpermite aproximarea funciei respective, n apropierea acelui punct, printr-oanumit funcie de gradul I, printr-un procedeu numit liniarizare. Comportareaderivatei unei funcii de o variabil pe un interval ofer informaii privindcontinuitatea, monotonia, extremele funciei. n multe probleme de optimizarese face apel la derivate. Cteva mrimi care se exprim ca derivate sunt pantatangentei la graficul unei funcii, viteza si acceleraia unui mobil la un momentdat, intensitatea curentului electric, rata inflaiei. Calculul integral se ocupcu problema gsirii variaiei unei mrimi ca rezultat al cumulrii (nsumrii,ntr-un anume sens) a vitezelor sale de variaie. Cteva mrimi care se exprimca integrale sunt lungimea drumului parcurs de un mobil (pentru carecunoatem mrimea vectorului vitez ca funcie de timp), aria unei figuriplane, volumul unui corp n spaiu, coordonatele centrului de greutate imomentele de inerie ale unui corp material. Operaiile de derivare si integraresunt ntr-un anume sens inverse una celeilalte, ceea ce unete Calcululdiferenial si Calculul integral ntr-un ansamblu unitar .n liceu au fost studiate cu ajutorul metodelor Analizei matematice doarfuncii reale de o variabil real. n procesele studiate de tiinele naturii isocietii se consider sisteme cu multe grade de libertate, a cror stare estecaracterizat de un numr mare de parametri. Se impune astfel studiulfunciilor de mai multe variabile, cu valori n spaii multidimensionale.Pentru aceste tipuri de funcii este necesar introducerea unor noiuni noi, cumsunt: derivatele pariale, difereniala, integralele: curbilinii, duble, triple, desuprafa, etc.De ce, la nivelul liceului, Analiza matematic este considerat o disciplinde studiu mai dificil dect alte discipline matematice? Iat cteva rspunsuriposibile, utile pentru a scoate n eviden unele trsturi generale ale acestuidomeniu:- La Algebr i Trigonometrie au fost studiate anumite funcii, numitefuncii elementare. Definirea riguroas a unor funcii (exponenial, logaritm,puteri cu exponent real) nu este posibil fr contribuia Analizei matematice.n Analiz se trece de la particular la general n studiul funciilor, studiindu-seclase de funcii avnd proprieti cum sunt continuitatea, derivabilitatea,integrabilitatea;- n Analiz rolul inegalitilor este preponderent fa de cel al egalitilor;- Procedeele de aproximare, aflate in centrul ateniei in Analizamatematic, implica un numr nelimitat de etape;-Infinitul este un concept intrinsec, esenial al Analizei matematice;-Teoremele care exprim condiii necesare i suficiente sunt rare nAnaliz, mai frecvent sunt formulate fie condiii necesare, fie condiiisuficiente pentru ca o proprietate s aib loc.n cadrul acestui curs, am urmrit s introducem cele mai multe noiuni pebaza unor exemple care s motiveze utilitatea noiunilor respective. Teoriastudiat este sintetizat n definiii, enunuri i unele demonstraii, care suntilustrate cu exemple i contraexemple. Pe baza teoriei se formuleaz concluziipractice pentru rezolvarea exerciiilor si problemelor. Cnd este cazul, seenun algoritmi de rezolvare a unor probleme. Sunt prezentate modele derezolvare complet a unor exerciii i probleme tipice. Accesul la parteaaplicativ (exerciii, probleme, aplicaii in fizic i tehnic) este scopul final alparcurgerii teoriei. Experiena arat c unele chestiuni teoretice fundamentale,dei dificil de neles n profunzime, pot fi totui aplicate eficient de ctre celcare le-a utilizat frecvent i contient n rezolvarea de exerciii i probleme.Studiul existenei limitelor i calculul limitelor (de iruri sau de funcii) pot fiprobleme dificile, dar utilizarea unor reguli i formule de calcul permitdeterminarea derivatelor i integralelor fr a apela direct la limite.Materia expus n acest curs este restrns, n concordan cu timpul alocatcursurilor i seminariilor. n Bibliografie am indicat cteva cri de Analizmatematic utile pentru aprofundarea teoriei i a unor culegeri care pot fifolosite cu succes ca surse de de exerciii i probleme rezolvate, att denecesare n studiul individual.CuprinsCapitolul 1. Spaii euclidiene1.1. Mulimea numerelor reale....................................................................11.2. Spaiul euclidian RkCapitolul 2. iruri2.1. iruri de numere reale2.1.1. Noiuni introductive...................................................................92.1.2. iruri convergente....................................................................112.1.3. Dreapta real ncheiat. iruri care au limit...........................152.1.4. Operaii cu iruri care au limit................................................162.1.5. iruri fundamentale de numere reale........................................202.2. iruri n RkCapitolul 3. Serii de numere reale3.1. Suma unei serii. Serii convergente.....................................................253.2. Serii cu termeni pozitivi.....................................................................293.3. Criterii de convergen pentru serii de numere reale..........................313.4. Serii de puteri.....................................................................................34Capitolul 4. Limite i continuitate pentru funcii ntre spaii metrice4.1. Limita unei funcii ntr-un punct........................................................394.1.1. Condiii necesare i suficiente de existen a limitei unei funciintr-un punct4.1.2. Limite la i limite infinite ale funciilor reale de variabilreal.4.1.3. Operaii cu funcii reale care au limit ntr-un punct4.2. Funcii continue..................................................................................424.3. Proprieti globale ale funciilor continue..........................................434.4. Limita restriciei unei funcii la o submulime. Limite iterate............44Capitolul 5. Derivate i difereniale pentru funcii de o variabil real5.1. Derivata unei funcii de o variabil real ntr-un punct......................485.2. Proprieti ale funciilor derivabile pe intervale.................................515.3. Derivate de ordin superior..................................................................535.4. Difereniale. Funcii difereniabile.....................................................555.5. Formula lui Taylor pentru funcii de o variabil real.......................575.6. Extreme locale pentru funcii reale de o variabil real.....................605.7. Derivate ale funciilor vectoriale de o variabil real........................64Capitolul 6. Derivate i difereniale pentru funcii de mai multevariabile reale6.1. Derivate pariale.....................................................................................676.2. Aplicaii ale derivatelor pariale de ordinul I n teoria cmpurilor..........696.3. Derivata ntr-un punct dup un versor.....................................................736.4. Funcie difereniabil. Difereniala unei funcii scalare..........................746.5. Funcii vectoriale difereniabile...............................................................786.6. Difereniala i derivatele funciilor compuse...........................................806.7. Derivate pariale de ordin superior..........................................................83 6.8. Conditii suficiente de egalitate a derivatelor mixte..................................84 6.9. Difereniale de ordin superior.................................................................85 6.10. .Formula lui Taylor pentru funcii de mai multe variabile......................87 6.11. Extreme locale ale funciilor de mai multe variabile...........................89Capitolul 7. Integrarea funciilor de o variabil real. IntegralaRiemann7.1. Noiunea de integral Riemann.....................................................................967.2. Criteriul lui Darboux....................................................................................1007.3. Proprieti ale integralei Riemann i ale funciilor integrabile....................1017.4. Metode de integrare.....................................................................................1037.5. Aplicaii ale integralei Riemann..................................................................107Capitolul 8. Integrarea funciilor de o variabil real. Integraleimproprii8.1. Definiii ale integralelor improprii de prima spe i de a doua spe.........1128.2. Proprieti generale ale integralelor improprii.............................................1188.3. Criterii de convergen pentru integrale improprii......................................1198.4. Aplicaii. Transformata Laplace a unei funcii original...............................123Capitolul 9. Integrale curbilinii9.1. Noiunea de curb.........................................................................................1269.2. Integrale curbilinii de prima spe i de a doua spe. Definiii iformule de calcul.......................................................................................................1309.3. Aplicatii ale integralelor curbilinii...........................................................1349.4. Propriet i ale integralelor curbilinii de prima spe i de a doua spe.....1369.5. Problema independenei de drum a circulaiei unui cmp vectorial...........137Capitolul 10. Integrale duble10.1. Noiunea de arie a unei mulimi de puncte din plan...........14210.2. Definiia integralei duble....................................................14310.3. Proprieti ale integralei duble...........................................14410.4. Calculul integralei duble....................................................14510.5. Schimbare de variabile n integrala dubl..........................14810.6. Aplicaii ale integralei duble..............................................15010.7. Formula lui Green-Riemann...............................................151Capitolul 11. Integrale triple11.1. Noiunea de volum al unei mulimi de puncte din spaiu...15311.2. Definiia integralei triple....................................................15311.3. Proprieti ale integralei triple............................................15511.4. Calculul integralei triple.....................................................15611.5. Schimbare de variabile n integrala tripl...........................15911.6. Aplicaii ale integralei triple...............................................161 BIBLIOGRAFIE.........................................................................162 Capitolul 1. Spaii euclidiene1.1. Mulimea numerelor reale (R)Evoluia noiunii de numr poate fi sintetizat prin incluziunileN Z Q R C.Vom considera cunoscute noiunile de mulime, relaie i funcie, precum istructurile algebrice de grup i corp. Mulimea R a numerelor reale estesuficient pentru exprimarea rezultatului oricrei msurtori, spre deosebire desubmulimile sale N, Z i Q.Structura algebric i de ordineDefiniie. Se numete sistem de numere reale orice mulime R cuurmtoarele proprieti:(R1) exist dou operaii algebrice + (adunarea) i - (nmulirea) pemulimea R, astfel nct (R, +, -) este corp comutativ;(R2) exist o relaie de ordine total pe mulimea R, compatibil cuoperaiile algebrice;(R3) orice mulime majorat din R are un cel mai mic majorant.Faptul c relaia de ordine pe mulimea R este compatibil cuoperaiile algebrice nseamn c au loc implicaiile(1) x y i z Rx + z y + z (compatibilitatea cu +);(2) 0 x i 0 y 0 x - y (compatibilitatea cu -).Proprietatea (R3) se numete axioma marginii superioare sau axioma luiCantor-Dedekind.Pe scurt, R este un corp comutativ total ordonat, n care este valabilaxioma marginii superioare.Observaie. Mulimea numerelor raionale Q, cu operaiile uzuale deadunare i nmulire i cu relaia uzual de ordine , satisface de asemeneacondiiile (R1) i (R2), dar nu satisface condiia (R3) din definiia unui sistemde numere reale. Axioma marginii superioare este cea care face diferenadintre R i Q i st la baza obinerii rezultatelor specifice Analizei matematice.Cel mai mic majorant al unei mulimi A se numete margine superioar amulimii A i se noteaz cu supA . Cel mai mare minorant al unei mulimi senumete margine inferioar a mulimii A i se noteaz cu inf A.Fiind dat o mulime A R , notm cu (A) = a : a A). Se observc M R este un majorant pentru mulimea A R (M) este un minorantpentru mulimea (A). Mai mult, M = supA (M) = inf(A). Rezult cproprietatea (R3) este echivalent cu(R3) orice mulime minorat din R are un cel mai mare minorant.Fiind date numerele reale a, b, notm a > b dac i numai dac b < a, iara b DEF a > b sau a = b. Folosind relaiile de ordine definite pe R mai sus,se introduc intervalele mrginite (a, b), |a, b), (a, b] i |a, b], precum iintervalele nemrginite (a, +), |a, +), (, b), (, b], cu a, b R. n plus,(, +) = R. Intervalele care nu i conin nici o extremitate, de tipul (a, b),1(a, +) sau (, b) se numesc intervale deschise, iar intervalele care i coninextremitile finite, de tipul |a, b], |a, +) sau (, b] se numesc intervalenchise.Observaie. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente pentru o mulimeA R:(1) A este mrginit (adic A admite un minorant i un majorant n (R, ) );(2) exist un interval mrginit care include pe A (exist a, b R cu a < bastfel nct A |a, b] );(3) exist un interval mrginit simetric fa de origine care include pe A(exist M > 0 astfel nct A |M, M]).Reprezentarea numerelor reale ca fracii zecimaleO fracie zecimal este expresie de forma a0 + 0, a1a2an, undea0 Z i ak 0, 1, 9), k 1. Cifrele ak, k 1, se numesc zecimalelefraciei a0 + 0, a1a2an.Observaie. 0, (9) = 0, 999= 1, deoarece notnd x = 0, 999. . . obinem10x = 9 + x, de unde x = 1. Analog,0, 0(9) = 0, 1; 0, 00(9) = 0, 01, etc.Pentru a evita ambiguitile de scriere excludem fraciile zecimale care auperioada (9). O fracie zecimal are perioada (9) dac exist un numr naturalnenul n astfel nct ak = 9, k n.Dac x = a0 + 0, a1a2an, cu conveniile de mai sus, atunci numrulntreg a0 se numete partea ntreag a fraciei zecimale x i notm a0 = |x],iar 0, a1a2anNOT= x) este partea fracionar a lui x .Spunem c o fracie zecimal este periodic, cu perioada de lungimep N, dac exist n N astfel nct ak+p = ak pentru orice k n + 1(zecimalele se repet din p n p, de la (n + 1) a zecimal ncolo). Scriematunci 0, a1a2= 0, a1a2. . . an(an+1an+2. . . an+p). Dac n = 0 fracia zecimalperiodic se numete periodic simpl i se scrie sub forma 0, (a1a2. . . ap), iardac n > 0 fracia zecimal periodic se numete periodic mixtDac x = a0 + 0, a1a2ani ak = 0 pentru orice k n, unde n N,pentru n = 1 scriem x = a0, iar pentru n 2 avem x = a0, a1. . . ak1iidentificm x cu a0 +a110 +a2102 +. . . + ak110k1 Q.Mulimea numerelor raionale se identific cu mulimea fraciilor zecimaleperiodice. Fiind dat un numr raional x =mn (m, n N) obinemreprezentarea lui x ca fracie zecimal aplicnd algoritmul mpririi pentru aefectua m : n. Resturile obinute la mpririle succesive sunt din mulimeafinit 0, 1, . . . , n 1), deci dup cel mult n + 1 mpriri un rest se va repeta,ceea ce atrage periodicitatea fraciei zecimale ce corespunde numruluiraionalmn . Reciproc, o fracie zecimal periodic simpl se transform nfracie ordinar folosind formula 0, (a1a2. . . ap) =a1...app ori99...9 , iar o o fraciezecimal periodic mixt se transform n fracie ordinar folosind formula0, a1a2. . . an(an+1an+2. . . an+p) =a1a2...anan+1an+2...an+pa1a2...anp ori99...9n ori00...0. Se poate considerac prima fomul de transformare este un caz particular al celei de-a doua,obinut pentru n = 0. Am notata1a2. . . an = a1 - 10n1 + a2 - 10n2 +. . . +an1 - 10 + an (numrul format cucifrele a1, a2, . . . an).2Nu toate fraciile zecimale sunt periodice; cele neperiodice reprezintnumere iraionale. De exemplu, rdcinile ptrate ale numerelor naturale carenu sunt ptrate perfecte sunt numere iraionale. n particular, lungimeadiagonalei unui ptrat avnd lungimea laturilor egal cu un numr raional leste numrul iraional l2 .Se introduc pe mulimea fraciilor zecimale relaia de ordine, apoioperaiile interne de adunare i nmulire. Mulimea fraciilor zecimalenzestrat cu aceste operaii este un sistem de numere reale. Datorit faptuluic mulimea zecimalelor unei fracii zecimale este infinit i exist fraciizecimale neperiodice, definirea i studierea operaiilor interne pe mulimeafraciilor zecimale ridic probleme destul de dificile.Se definete nti relaia 0, respectiv M este situat pe semiaxa pozitiv dac x < 0. Reciproc,fiecrui punct M d i corespunde un numr real unic x astfel nct suntndeplinite condiiile de mai sus.Se stabilete astfel o coresponden bijectiv F : R d , F(x) DEF=Mx dela mulimea R a numerelor reale la dreapta d. Conform celor de mai sus,funcia F : R d definit prin F(x) = Mx este bijectiv. Fiind dat un punctM d, numrul real x = F1 (M) se numete abscisa punctului M (pe axanumerelor) i n acest caz scriem M(x). Astfel, numerele reale se identific cupuncte ale unei drepte, i reciproc.Modulul unui numr real. AplicaiiSe numete modul al numrului real x sau valoare absolut a numrului xnumrul definit prin x =x, dac x 0x, dac x < 0 . Observm c dac punctul Mare abscisa x , atunci x = OM (modulul unui numr real este distana de laorigine la imaginea acelui numr pe ax).Proprietile modulului1) Pozitivitate: x 0, x R i x = 0 x = 02) Omogenitate: zx = z - x , z, x R3) x + y x + y , x, y RDin 3) rezult inegalitile:4) x1 + x2 ++xn x1 + x2 ++ xn , n 1, x1, x2, xn R.5) x y x y , x, y R.Distana dintre dou numere realeSe definete ca fiind distana euclidian dintre imaginile numerelor pe axanumerelor. Notnd cu d(a, b) distana dintre numerele a, b R, avemd(a, b) DEF=AB, unde A(a), B(b). Se demonstreaz formula de calcul adistanei: d(a, b) = a b .Aproximri ale numerelor realeSpunem c x este aproximat prin a cu eroare mai mic dect c (undec > 0) dac x a < c.Cum |x a| este distana dintre x i a, se observ geometric (i sedemonstreaz algebric) c avem: |x a| = c x a c, a + c);|x a| < c x (a c, a + c); |x a| > c x (, a c) (a + c, +).1.2. Spaiul euclidian Rkn cele mai multe probleme de fizic, tehnic, economie etc. intervinmrimi care depind de dou sau mai multe variabile reale.Unul din obiectivele acestui curs este studiul funciilor de k variabile reale(k 2), cu valori reale sau cu valori vectoriale. Acestor funcii li se aplicoperaii de derivare i integrare specifice, care le extind pe cele cunoscute dinstudiul funciilor reale de o variabil real.Prezentm pe scurt pentru Rk: structura algebric (de spaiu vectorial);4norma i distana euclidian, produsul scalar; noiuni de topologie; iruri n Rk(studiul pe coordonate).Rk DEF=k oriR R R (produs cartezian), adicRk = (x1, x2, , xk) : xi R, i = 1, k (R este mulimea secvenelorordonate de k numere reale).Un element x = (x1, x2, , xk) R se numete vector, iar x1, x2, , xk senumesc componentele vectorului x.Exemple. R2 = R R = (x1,x2) : x1, x2 R). Mai notmR2 = (x, y) : x, y R).R3 = R R R = (x1, x2, x3) : xi R, i = 1, 3 . Mai notmR3 = (x, y, z) : x, y, z R)Considernd n plan (respectiv, n spaiu) un reper cartezian Oxy (respectiv,Oxyz), se stabilete o coresponden bijectiv ntre punctele planului i R2(respectiv, ntre punctele spaiului fizic i R3). Aceste reprezentri ale R2,respectiv R3, sunt similare reprezentrii numerelor reale pe o dreapt.Spaiul euclidian tridimensional R3Operaii algebriceUn punct M din spaiu are coordonatele (a, b, c) (abscisa a, ordonata b,cota c) dac i numai dac proieciile lui M pe Ox, Oy, respectiv Oz aucoordonatele a, b, respectiv c. Descompunem vectorul OM, numit vector depoziie al punctului M n raport cu originea O, dup direciile axelor decoordonate. Avem M(a, b, c) OM = a - i+ b - j+ c - k.Punem n eviden corespondena dintre operaiile cu vectoritridimensionali i operaiile respective cu triplete.1) Adunarea vectorilor:a1i+ b1j+ c1k+ a2i+ b2j+ c2k= (a1 + a2)i+ (b1 + b2)j+ (c1 + c2)k;Adunarea tripletelor:(a1, b1, c1) + (a2, b2, c2) DEF= (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2).2) nmulirea cu scalari reali a vectorilor:z - ai+ bj+ ck= za - i+ zb - j+ zc - k;nmulirea cu scalari reali a tripletelor: z(a, b, c) DEF= (za, zb, zc).Mulimea R3, nzestrat cu operaiile de adunare a tripletelor i denmulire cu scalari, este spaiu vectorial izomorf cu spaiul V3 al vectorilorliberi tridimensionali.Produs scalar. Norm. Distan1) Produsul scalar al vectorilor v1 i v2 este definit prinv1 - v2 DEF= v1 - v2 - cos(v1, v2)Se demonstreaz formula de calcul pentru produsul scalar al doi vectoriexprimai n baza i , j , k :a1i+ b1j+ c1k- a2i+ b2j+ c2k= a1a2 + b1b2 + c1c2.2) Norma (lungimea) unui vector se calculeaz ca fiind lungimeadiagonalei unui paralelipiped dreptunghic avnd lungimile muchiilor egale cu5lungimile proieciilor acelui vector pe axele de coordonate. Aplicnd Teoremalui Pitagora obinem:v = ai+ bj+ ck v = a2 + b2 + c2Observm legtura dintre norm i produs scalar: v- v = v2sauv = v- v.Analog , definim: produsul scalar a dou triplete:(a1, b1, c1) ; (a2, b2, c2) = a1a2 + b1b2 + c1c2 i norma unui triplet:(a, b, c) = a2 + b2 + c23) Fie M1(a1, b1, c1) i M2(a2, b2, c2) dou puncte n spaiu. Exprimmdistana euclidian dintre puncte ca lungime a unui vector deplasare:M1M2 = M2M1= OM1 OM2. DarOM1 OM2 = (a1 a2)i+ (b1 b2)j+ (c1 c2)k.Aplicnd formula normei v rezultM1M2 = (a1 a2)2+ (b1 b2)2+ (c1 c2)2.Distana dintre dou triplete este distana dintre punctele care le corespundn spaiu, ntr-un reper fixat:d (a1, b1, c1) ; (a2, b2, c2) = (a1 a2)2+ (b1 b2)2+ (c1 c2)2.Notm vi = (ai, bi, ci), i = 1, 2. Observm c: d(v1, v2) = v1 v2.4) Folosind legtura dintre distana n R3 i distana euclidian determinmmulimile din R3 care corespund unei sfere, respectiv unei bile (numite,respectiv, sfer i bil n R3).n spaiul tridimensional, sfera i respectiv bila de centru A i raz r > 0sunt definite prin S(A, r) = M : AM = r), respectivB(A, r) = M : AM < r).Notm A(x0, y0, z0) i M(x, y, z). AvemAM = (x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2. Observm cM S(A, r) (x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2= r2 (ecuaia sferei).M B(A, r) (x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2< r2 (inecuaia bilei).Spaiul RkOperaii algebriceAdunarea vectorilor i nmulirea cu scalari se efectueaz pe componente:(x1, x2, xk) + (y1, y2, yk) DEF= (x1 + y1, x2 + y2, xk + yk) iz(x1, x2, , xk) DEF= (zx1, zx2, , zxk), unde z R i(x1, x2, xk), (y1, y2, yk) Rk. mpreun cu cele dou operaii Rk estespaiu vectorial peste R.Observaie. Spaiul R2 se identific n aplicaii cu subspaiul(x, y, 0) : x, y R) al lui R3. Mai general, spaiul Rk se identific cusubspaiul (x1, . . . , xk, 0) : xi R, i = 1, . . . , k al lui Rk+1, cu care esteizomorf ca spaiu vectorial.Produs scalar. Norm. Distan1) Produs scalar n Rk: vectorii x = (x1, x2, , xk) i y = (y1, y2, , yk) auprodusul scalar x, y) DEF= i=1kxiyi62) Norma uzual n Rk (norma euclidian): (x1, x2, , xk) DEF= i=1kxi2Observaie x = (x1, x2, , xk) Rk x = x, x) .3) Distana uzual n Rk (distana euclidian): este dat de formulad x, y = i=1n(xi yi)2, unde am notat x = (x1, . . . , xk),y = (y1, . . . , yk) Rk.Observaie. d(x, y) = x y.Proprieti ale normei euclidiene(N1) Pozitivitate: x 0, x Rk i x = 0 x = 0 ;(N2) Omogenitate absolut: zx = |z| - x, z R, x Rk;(N3). Subaditivitate: x + y x + y, x, y Rk.. Amnotat cu 0 =(0, 0, . . . , 0) vectorul nul din Rk .Proprieti ale distanei euclidieneFolosind proprietile de mai sus ale normei euclidiene se demonstreazurmtoarele proprieti ale distanei euclidiene d(x, y) = x y.(D1) Pozitivitate: d(x, y) 0, x, y Rk i d(x, y) = 0;(D2) Simetrie: d(x, y) = d(y, x), x, y Rk;(D3) Inegalitatea triunghiului: d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z Rk.4) Sfer i bil n Rk (cu centrul a Rk i raza r > 0)S(a, r) DEF= x Rk : d(x, a) = r) = x Rk : x a = r)B(a, r) DEF= x Rk : d(x, a) < r) = x Rk : x a < r).Observaie. n cazul k = 1 avem x = x1 ix = x2 = |x|, d(x, y) = |x y|.S(a, r) = x R : |x a| = r) = a r, a + r)B(a, r) = x R : |x a| < r) = (a r, a + r)n cazul k = 2, notm uneori elementele din R2 cu (x, y), (a, b), etc., pentrua nu ncrca notaia cu indici.(x, y) = x2 + y2 ; d((x1, y1), (x2, y2)) = (x1 x2)2+ (y1 y2)2. nacest caz,S((a, b), r) = (x, y) R2 : (x a)2+ (y b)2= r2este cercul cucentrul de coordonate M(a, b), avnd raza r, notat C(M, r);B((a, b), r) = (x, y) R2 : (x a)2+ (y b)2< r2este interiorulcercului C(M, r) de mai sus, numit disc de centru M(a, b) i raz r.Definiie. Diametrul unei mulimi A Rk este cantitateadiam(A) := supd(x, y) : x, y A). Spunem c o mulime A Rk estemrginit dac diam(A) < +.O mulime A Rk este mrginit M > 0 astfel nct x M pentruorice x A.Noiuni de topologie n RkDefiniie. Se numete vecintate a unui punct a Rk o mulime V Rkcare conine o bil deschis centrat n acel punct (r > 0 a.. B(a, r) V).7Mulimea vecintilor unui punct a Rk se va nota cu V(a).Definiie. O mulime D Rk se numete mulime deschis dac fie estevid, fie este vecintate pentru fiecare punct al su.(O mulime nevid D Rk este deschis a D, r = r(a) > 0 a..B(a, r) D).Definiie. O mulime D Rk se numete mulime deschis dac arecomplementara deschis (F Rk este nchis Rk\F este deschis).Exemplu. Bilele deschise B(a, r) sunt mulimi deschise , sferele S(a, r)sunt mulimi nchise, bilele nchise B(a, r) S(a, r) sunt mulimi nchise.n definiiile de mai jos considerm un punct a Rk i o mulime M Rk.Definiie. Spunem c a este punct interior pentru mulimea M dac M esteo vecintate a punctului a.(a Rk este interior mulimii M Rk M V(a) r > 0 a..B(a, r) M).Dac a este punct interior pentru M, atunci a M.Definiie. Spunem c a este punct exterior pentru mulimea M dac a estepunct interior pentru complementara Rk M. Dac a nu este nici punctinterior, nici punct exterior pentru M, spunem c a este punct frontier pentruM.Definiie. Spunem c a este punct aderent pentru mulimea M dac oricevecintate a punctului a conine puncte din M (V V(a), V A ).Orice punct al unei mulimi este punct aderent pentru mulime, dar nu ireciproc.Definiie. Spunem c a este punct de acumulare pentru mulimea M dacorice vecintate a punctului a conine puncte din M diferite de a(V V(a), V (A\a)) ).Definiie. Spunem c un punct a M este punct izolat al mulimii M daca nu este punct de acumulare pentru M.a M este punct izolat al mulimii M r > 0 a. . B(a, r) M = a).Mulimea punctelor interioare pentru M se numete interiorul mulimii Mi se noteaz cu intM sauM. Mulimea punctelor aderente pentru M se numeteaderena sau nchiderea mulimii M i se noteaz cu clM sau M. Mulimeapunctelor frontier pentru M se numete frontiera mulimii M i se noteaz cuM. Mulimea punctelor de acumulare pentru M se numete mulimea derivata mulimii M i se noteaz cu M.8Capitolul 2. iruri2.1. iruri de numere reale2.1.1. Noiuni introductiveNoiunea de ir este fundamental pentru Analiza matematic i aplicaiileacesteia. Importana noiunii de ir rezult i din observaiile de mai jos.Procesele discrete cu o infinitate de etape sunt descrise cu ajutorul irurilor.Cnd studiem n practic procese continue, acestea sunt deseori discretizate,adic sunt aproximate cu procese discrete, mai uor de abordat. Una dincondiiile necesare i suficiente de existen a limitei unei funciif : D Rk Rp ntr-un punct se exprim cu ajutorul limitelor de iruri.Definiii, exempleIntuitiv, un ir cu termeni ntr-o mulime dat se reprezint ca o succesiuneinfinit de elemente ale acelei mulimi. Un ir nu este determinat dac seprecizeaz doar mulimea termenilor si.Definiie. Numim ir de numere reale orice funcie cu valori reale,definit pe o submulime a mulimii numerelor naturale de formaNk = n N : n k), unde k N.De obicei lum k = 1 (Nk = N) sau k = 0 (Nk = N).irul f : Nk R, f(n) NOT=an se noteaz mai simplu: (an)nk sau (an)nNk.Elementul an se numete termenul de rang n al irului.Intuitiv, un subir al unui ir se obine selectnd o infinitate de termeni aiirului, pe care-i vom renumerota pstrndu-le ordinea.Fiind dat un ir de numere reale (an)n1 i un ir strict cresctor de numerenaturale n1 < n2 0 a.. |an| M, n 1.(: Dac |an| M, atunci an |M, M]; : Dac an |a, b], atunci|an| max(|a|, |b|))Un ir de numere reale (an)n1se numete mrginit superior (majorat),respectiv mrginit inferior (minorat), dac mulimea termenilor si estemajorat: b R a.. an b, n 1, respectiv minorat : a R a..an a, n 1. Se observ c un ir este mrginit dac i numai dac el estemrginit inferior i mrginit superior.irurile care nu sunt mrginite se numesc nemrginite. Un ir care nu estemrginit superior, respectiv nu este mrginit inferior, se numete nemajorat,respectiv neminorat.Se observ c:1) (an)n1 este ir nemajorat b R, n 1 a.. an > b ;2) (an)n1 este ir neminorat a R, n 1 a.. an < a .Exemple.1) Orice ir cresctor sau descresctor este mrginit inferior, respectivmrginit superior, de primul termen.2) Un ir cresctor poate s nu fie mrginit superior (de exemplu,an = n, n 1).103) Un ir descresctor poate s nu fie mrginit inferior (de exemplu,an = n, n 1).2.1.2 iruri convergenteDefiniiePentru anumite iruri se constat c termenii irului se apropie orict demult de un un numr dat, numit limita irului, pe msur ce rangul termenilorcrete. Aceast apropiere de limita irului este sistematic, n sensul c de la unrang ncolo toi termenii irului se afl la distan mai mic dect c fa delimit, i aceasta pentru fiecare c > 0. Rangul minim ncepnd cu care termeniiirului se afl la distan mai mic dect c fa de limit crete pe msur ce cscade.De exemplu, termenii irului an =1n , n N se apropie tot mai mult dezero cnd n crete. Mai exact, distana de la termenii irului zero devine maimic dect un c > 0 dac i numai dac1n < c n >1c n | 1c ] + 1, nfiind numr natural (Notm cu |x] partea ntreag a numrului real x, definitprin condiiile: |x] Z i |x] x < |x] + 1).Exist i iruri nemonotone avnd comportarea descris mai sus. Deexemplu, termenii irului bn =1n (1)n, n N se apropie tot mai mult dezero cnd n crete, dar irul nu este monoton. De asemenea, este posibil cadistanele de la termenii irului la un numr s se apropie orict de mult dezero, dar fr a forma un ir descresctor (exemplu:12 , 1,14 ,13 ,...., 12n ,12n1 ,...).Definiie. Spunem c irul de numere reale (xn)n1 are limita a R dacorice interval deschis centrat n a conine toi termenii irului, de la un rangncolo, adic:c > 0, N(c) N astfel nct |xn a| < c, n N(c).Numim ir convergent orice ir care are limit n R (are limit finit). Unir care nu este convergent se numete divergent.Se mai spune c irul (xn)n1 are limita a R dac orice interval deschiscentrat n a conine toi termenii irului, cu excepia unui numr finit determeni. Dac irul (xn)n1 are limita a R, mai spunem c acest ir convergectre a sau tinde ctre a.Pentru a exprima pe scurt faptul c (xn)n1 are limita a R, folosim unadin notaiile : limnxn = a sau xn a.Propoziia N(c) N astfel nct |xn a| < c, n N(c) arat cdistanele de la termenii irului la limita irului sunt mai mici dect c, de larangul N(c) ncolo.Exemple. 1) Limita unui ir constant este constanta respectiv: xn = c,n 1 limnxn = c.Evident, n acest caz putem lua N(c) = 1 pentru orice c > 0.2)limn1n= 0;1n 0 < c n >1c n >1c2 n 1c2+ 1.Notnd N(c) =1c2+ 1 (pentru c > 0 arbitrar), avem ndeplinit condiian N(c), |xn a| < c, unde xn =1n i a = 0.11Vecinti. Topologia mulimii RVecintile unui punct din R sunt mulimile care includ intervale deschisei mrginite centrate n acel punct. Notnd familia vecintilor unui punctx0 R cu V(x0) , avemV V(x0) DEF c > 0 a.. (x0 c, x0 + c) V.Echivalent, vecintile unui punct din R sunt mulimile care includ intervaledeschise i mrginite ce conin acel punct, adicV V(x0) a, b R a.. a < x0 < b i (a, b) V.O mulime nevid D R se numete deschis dac D este vecintatepentru fiecare punct al su. Mulimea vid este prin definiie submulimedeschis a lui R. O mulime F R se numete nchis dac arecomplementara R\F deschis.Exemple. Orice reuniune de intervale deschise din R este mulimedeschis. Reciproc, orice mulime deschis D R se poate scrie ca reuniunede intervale deschise, mai exact ca reuniune a unei familii finite saunumrabile de intervale deschise disjuncte dou cte dou. Orice intervalnchis din R este mulime nchis, n particular orice submulime cu un singurelement a lui R este nchis.Definiia noiunii de ir convergent se reformuleaz cu ajutorul noiunii devecintate: un ir de numere reale (xn)n1 este convergent dac exist a Rastfel nct orice vecintate a punctului a conine toi termenii irului, de la unrang ncolo.Proprieti ale limitei unui ir convergent1) Limita unui ir convergent este unic determinat.2) Cnd aplicm una din operaiile urmtoare unui ir convergent, obinemtot un ir convergent, avnd aceeai limit ca irul iniial: extragem un subir;adugm sau eliminm un numr finit de termeni; schimbm ordineatermenilor.Consecin. Dac un ir are dou subiruri cu limite diferite, atunci iruleste divergent .De exemplu , irul an = (1)n, n N are subirurile constantea2n = 1, n N i a2n+1 = 1, n N , avnd limitele 1, respectiv 1, deci irul(an)nN nu este convergent.Faptul c un numr finit de termeni nu influeneaz limita irului explic dece uneori n locul notaiei (an)nk se poate folosi notaia simplificat (an).Limite i inegaliti1) Criteriul majorrii Dac |xn a| rn, n 1 i rn 0, atuncixn a.2) Trecerea la limit n inegaliti Dac (xn)n1 i (yn)n1 sunt iruriconvergente i xn yn, n 1, atunci limnxn limnyn.n particular, limita unui ir convergent de numere pozitive este pozitiv ilimita unui ir convergent de numere negative este negativ. Din faptul ctermenii unui ir convergent sunt strict pozitivi (respectiv, strict negativi) nurezult c limita irului este strict pozitiv (respectiv, strict negativ), dupcum se observ considernd irul ( 1n )n1 (respectiv, ( 1n )n1). Se spune c12prin trecere la limit n inegaliti, inegalitile stricte devin nestricte.3) Criteriul cletelui Dac (an)n1 i (bn)n1 sunt iruri convergente cuaceeai limit: limnan = limnbn = l i an xn bn, n 1, atuncilimnxn = l.Exemplu. S se arate c limn 2nn! = 0 (n general, limn ann! = 0 pentru oricea R).Soluie.Estimm2nn! =21 -22 -23 -24 -. . . - 2n 1 + n(q 1), n 1 (inegalitatea lui Bernoulli).Se va arta c limnqn = +, dac q > 1 . n plus:nu exist limnqn, dac q (, 1].2) Numrul e.an = (1 +1n )n, n 1 este un ir cresctor, cu termenii n intervalul |2, 3].Fiind monoton i mrginit, acest ir are limit. Limita sa este un numriraional din intervalul |2, 3], notat cu e. Numrul e = 2, 718282182845. . . estefolosit pe scar larg n matematic, ca baz a exponenialei ex (notat i cuexpx) i a logaritmului natural lny. De reinut :e DEF=limn 1 + 1nn.Se arat c (1 +1n )n< e < (1 +1n )n+1, n 1. Vom demonstra ce = limn 1 +11! +12! +. . . + 1n!. Cu ajutorul acestei relaii se calculeaz deobicei aproximrile prin lips ale numrului e, cu eroare orict de mic.Numerele 1 (unitatea real), i (unitatea imaginar) , m (raportul dintrelungimea i diametrul unui cerc oarecare) i numrul e sunt legate prinurmtoarea relaie14eim + 1 = 0.3) Limita raportului a dou polinoameFiind date dou polinoame de acelai grad, cu coeficieni reali,P(x) = apxp +. . . +a1x + a0 i Q(x) = bpxp +. . . +b1x + b0 (unde ap 0 ibp 0 ) se cere s calculm limn P(n)Q(n) .Scond factor forat puterea cea mai mare a lui n, scriemP(n) = np ap + ap1 1n +. . . +a11np1 + a01npiQ(n) = np bp + bp1 1n +. . . +b11np1 + b01np. AvemP(n)Q(n) = ap + ap1 1n +. . . +a11np1 + a01np- bp + bp1 1n +. . . +b11np1 + b01np1.Toate puterile naturale ale lui1n tind la 0 cnd n , de undelimn P(n)Q(n) = apbp .Limita la a raportului a dou polinoame de acelai grad este egal curaportul coeficienilor termenilor de grad maxim.2.1.3. Dreapta real ncheiat. iruri care au limit. iruri cu limit infinitPentru a studia n mod unitar mulimile mrginite i mulimile nemrginitede numere reale se ataeaz mulimii R dou elemente notate cu (+) i(). Reuniunea R , +) NOT=R se mai numete i dreapta realncheiat.Relaia de ordine se extinde la R convenind ca < x < , x R.n R orice mulime are margine inferioar i margine superioar. Dac omulime nevid A R nu este majorat, atunci supA = + n R. Dac omulime nevid A R nu este minorat, atunci inf A = n R. Pentru oricemulime A R avem inf A supA, cu egalitate doar n cazul cnd A are unsingur element.Definiie. Spunem c un ir (xn)n1 are limita (+) dac orice numr estemai mic dect toi termenii irului, cu excepia unui numr finit de termeni,adic M R, N(M) N astfel nct xn > M, n N(M). n acest cazscriem limnxn = +.Definiie. Spunem c un ir (xn)n1 are limita () dac orice numr estemai mare dect toi termenii irului, cu excepia unui numr finit de termeni,adic m R, N(m) N astfel nct xn < m, n N(m).n acest cazscriem limnxn = .Observaii.1) limnxn = + (xn)n1 este nemajorat. Reciproca este fals (Ex:1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, , 1, n este un ir nemajorat, dar nu are limit).2) limnxn = (xn)n1 este neminorat.3) limnxn = limn(xn) = +.Teorem (Limita unui ir monoton i nemrginit) Orice ir monoton inemrginit are limit infinit.Mai exact, dac un ir nemrginit (xn)n1 este cresctor (respectiv,15descresctor), atunci limnxn = + (respectiv, limnxn = ).Vom extinde operaiile algebrice de la R la R, folosind operaiile cu iruricare au limit.Se extinde structura topologic de la R la R, introducnd noiunea devecintate a lui (+), respectiv a lui (). O mulime de numere reale senumete vecintate a punctului (+) dac mulimea conine un interval deschisnemajorat (de forma (a, +)). O mulime de numere reale se numetevecintate a punctului () dac mulimea conine un interval deschisneminorat (de forma (, b)).Definiia unitar a limiteiFolosind vecintile din R ale punctelor din R se definesc n mod unitarlimitele de iruri, att cele finite, ct i cele infinite.Pe baza definiiilor anterioare ale limitelor i vecintilor, se verific uorurmtoareaPropoziie. irul de numere reale (xn)n1 are limita a R dac i numaidac pentru orice vecintate V V(a) exist un numr natural N(V) astfelnct xn V pentru orice n N(V).Condiia necesar i suficient pentru ca un ir s aib o limit dat,exprimat n Propoziia anterioar, este numit definiia cu vecinti a limiteiunui ir.Puncte de acumulare infinite. Reamintim c un punct din Rk se numetepunct de acumulare pentru o mulime dac orice vecintate a punctului, dincare scoatem acel punct, are elemente comune cu mulimea dat. AvndA R, se observ c + (respectiv, ) este punct de acumulare pentru A nR dac i numai dac A nu este majorat (respectiv, A nu este minorat).Un ir de numere reale poate fi n una din urmtoarele trei situaiidistincte: are limit finit (este convergent), are limit infinit sau nu arelimit (este oscilant). Aadar, irurile divergente sunt de dou tipuri: iruricare au limit infinit i iruri care nu au limit.Unele proprieti studiate pentru clasa irurilor convergente rmn valabilepentru iruri care au limit.1) Un ir poate avea cel mult o limit.2) Cnd aplicm una din operaiile urmtoare unui ir care are limit,obinem un ir care are aceeai limit ca irul iniial:extragem unui subir; adugm sau nlturm un numr finit de termeni;schimbm ordinea termenilor.Consecin. Dac un ir are dou subiruri cu limite diferite, atunci irulrespectiv nu are limit.3) Trecerea la limit n inegaliti Dac (xn)n1 i (yn)n1 sunt iruricare au limit i xn yn, n 1, atunci limnxn limnyn.4) Orice ir monoton de numere reale are limit. Limita unui ir cresctoreste marginea superioar a mulimii termenilor si. Limita unui ir descresctoreste marginea inferioar a mulimii termenilor si.2.1.4. Operaii cu iruri care au limitSuma a dou iruri care au limitAm demonstrat c pentru dou iruri cu limite finite limita sumei este egalcu suma limitelor. Se arat c161) limnxn = x Ri limnyn = + limn(xn + yn) = +.2) limnxn = x Ri limnyn = limn(xn + yn) = 3) limnxn = limnyn = limn(xn + yn) = . .Pe baza acestor reguli de calcul cu limite de iruri, pentru a putea afirma in aceste cazuri c limita sumei este egal cu suma limitelor, se enun regulicorespunztoare de adunare n R:(1) x + (+) = +; (2) x + () = (x R) i(3.1) (+) + (+) = +; (3.2) () + () = .Se spune c este caz de nedeterminare (caz exceptat la adunare) nsensul c din limnxn = limnyn = , nu putem trage o concluzie generalprivind existena i valoarea limitei limn(xn yn).n toate cazurile urmtoare avem limnxn = limnyn = +, dar limn(xn yn)poate lua orice valoare sau nu exist.a) xn = n + a, yn = n (n 1), unde a R (xn yn) a (limit finitoarecare );b) xn = 2n, yn = n (xn yn) +c) xn = 2n, yn = 3n (xn yn) d) xn = n + (1)n +, yn = n (xn yn) = (1)n nu are limit.n consecin, n R nu se definesc (nu au sens) (+) +(), (+) (+),() ().Produsul a dou iruri care au limitAm demonstrat c pentru dou iruri cu limite finite limita sumei este egalcu suma limitelor. Se arat c1) limnxn = x R 0) ilimnyn = limn(xn - yn) =, dac x > 0, dac x < 02) limnxn = limnyn = limn(xn - yn) = +3) limnxn = i limnyn = limn(xn - yn) = .Pe baza acestor reguli de calcul cu limite de iruri , pentru a putea afirma in aceste cazuri c limita produsului este egal cu produsul limitelor se enunreguli corespunztoare de nmulire n R:1) x - () =, dac x > 0, dac x < 0 ;2) () - () = +;3) () - () = .Spunem c 0 - este caz de nedeterminare (caz exceptat la nmulire) nsensul c din limnxn = 0 i limnyn = nu putem trage o concluzie generalprivind existena i valoarea limitei limn(xn - yn).n toate cazurile urmtoare avem limnxn = 0 i limnyn , +), darlimn(xn - yn) poate lua orice valoare sau nu exist.a) xn =1n , yn = a - n (unde a R\0)) (xn - yn) = a a (limit finitnenul oarecare )b) xn =1n2 , yn = n (xn - yn) =1n 017c) xn =1n , yn = n (xn - yn) d) xn =(1)nn, yn = n (xn - yn) = (1)n nu are limit.n consecin, n R nu se definesc (nu are sens) produsele 0 - (+),0 - ().Ctul a dou iruri care au limitAvem limn xnyn = limn(xn -1yn ), unde yn 0 pentru orice n. Deoarece amstudiat complet limitele produselor de iruri, e suficient s studiem limn1yn . Searat c1) limnyn = limn1yn = 0.2) limnyn = 0 i yn > 0 (de la un rang ncolo) limn1yn = +.3) limnyn = 0 i yn < 0 (de la un rang ncolo) limn1yn = .4) Dac irul (yn) cu limnyn = 0 are termeni strict pozitivi i termeni strictnegativi de rang orict de mare, atunci limn1yn nu exist.5) limnxn = i limnyn = c 0 limn xnyn = dac c > 0 dac c < 0 .Pe baza acestor regulilor de la 1) i 5), pentru a putea afirma i n acestecazuri c limita raportului este egal cu raportul limitelor, se enun regulilecorespunztoare de mprire n R:1 = 0, de undec = 0 , c R,respectivc= dac c > 0 dac c < 0 .Observaii. Nu putem asocia o regul de calcul algebric cazurilor 2) i3), totui, scriem convenional:1+0 = + i10 = .Afirmaia de la punctul 4) arat c raportul10 nu are sens n R, dup cumnu avea sens n R.Spunem c00isunt cazuri de nedeterminare (cazuri exceptate lamprire), n sensul c nu putem trage o concluzie general privind existena ivaloarea limitei limn xnyn n cazurile urmtoare:a) limnxn = limnyn = 0 ;b) Limitele limnxn, limnyn sunt ambele infinite.Pentru orice numr real a R exist irurile xn 0 i yn 0 astfel nctxnyn a, de exemplu xn =an , yn =1n , n 1. De asemenea, dac a = ,exist irurile xn 0 i yn 0 astfel nctxnyn a, de exemplu xn =1n ,yn = 1n2 , n 1.Calculul unei limite n cazul de nedeterminare se reduce cu uurin lacalculul unei alte limite n cazul00 . Dac limnxn, limnyn ), scriemlimn xnyn = limn 1/yn1/xn , iar ultima limit este de tip00.Dac limnxn R 0) i limnyn = 0, iar irul (yn) are termeni strictpozitivi i termeni strict negativi de rang orict de mare, atunci nu existlimn xnyn .Cele de mai sus justific de ce nu se definesc (nu au sens) n R rapoartelecu numitorul zero i rapoartele++ ,+ ,+ , .18PuteriPentru puteri de iruri convergente se demonstreaz c: dac limnxn = x ilimnyn = y i dac xy are sens (adic x > 0 pentru y 0 i x 0 pentru y > 0),atunci limn(xn)yn= limnxnlimnyn. n acest caz se spune c, pentru a calculalimita unei puteri, limita se distribuie bazei i exponentului.Presupunem c limnxn = x |0, +]\1).1) Dac x > 1 i limnyn = +, atunci limn(xn)yn = +.2) Dac x > 1 i limnyn = , atunci limn(xn)yn = 0.3) Dac x |0, 1) i limnyn = +, atunci limn(xn)yn = 0.4) Dac x (0, 1) i limnyn = , atunci limn(xn)yn = +.5) Dac x = + i limnyn = y 0, atuncilimn(xn)yn =+, dac y > 00, dac y < 0Observaie. 1) 2) i, analog, 3) 4).Fie x > 1 i limnyn = . Atunci (xn)yn =1(xn)yn i(xn) x > 1(yn) +. Aplicnd 1) (xn)(yn) + (xn)yn 0 (1+ ).Astfel, se definesc n R : x+ =+, dac x (1, +]0, dac x |0, 1)ix =0, dac x (1, +]+, dac x (0, 1) .Cazurile de nedeterminare (cazurile exceptate) la calcul limitei unei puterisunt 1 ,00 , 0 . Altfel spus, nu putem afirma nimic despre existena ivaloarea limitei limn(xn)yn dac are loc una din situaiile limnxn = 1 ilimnyn = , sau limnxn = limnyn = 0, respectiv limnxn = +, limnyn = 0.Cea mai simpl limit de tipul 1 este cea care definete numrul e:limn(1 +1n )n = e. Mai general, se demonstreaz c:limnxn = limn(1 +1xn )xn = e.Prin logaritmare, cazurile de nederminare 1, 00 i 0 se reduc la cazul denedeterminare mai uor de tratat0 - .Scriem (xn)yn = eln(xn)yn= eyn-lnxna) xn 1, yn limnyn - lnxn e de tip - 0b) xn 0, yn 0 limnyn - lnxn e de tip 0 - ()c) xn +, yn 0 limnyn - lnxn e de tip 0 - (+) .Nu se definesc (nu au sens) n R puterile 1, 00 i 0.Exemple. 1) Limita unui polinom. Fie P(x) = apxp +. . . +a1x + a0un19polinom cu coeficieni reali, de grad p 1. Se cere limnP(n).Dac toi coeficienii polinomului sunt strict pozitivi, respectiv strictnegativi, atunci limita cerut este +, respectiv , pe scurt este egal cuap - (+). Dac polinomul are cel puin un coeficient strict pozitiv i cel puinun coeficient strict negativ, atunci limita cerut este de tip . Scondfactor forat puterea lui n cu exponent maxim, scriemP(n) = np ap + ap1 1n +. . . +a11np1 + a01np. Cum limnnp = + ilimn ap + ap1 1n +. . . +a11np1 + a01np= ap, rezult c limnP(n) = ap - (+).2) Limita unei progresii geometrice.Revenim la problema calculrii limitei limnqn pentru q > 1 i q 1.3) Calculai limn(an bn), unde a, b > 1 sunt numere distincte.limnan = + i limnbn = +, deci limita este de tip . Puterea cu bazamai mare tinde mai rapid la infinit i va fi scoas factor forat.Dac a > b scriem an bn = an|1 ( ba )n] i cum limn( ba )n= 0,limn(an bn) = +. Dac b > a scriem an bn = bn abn 1 i cumlimnabn= 0, limn(an bn) = .4) Limita raportului a dou polinoameFiind date dou polinoame cu coeficieni reali, P(x) = apxp +. . . +a1x + a0i Q(x) = bqxq +. . . +b1x + b0 (unde ap 0 i bq 0 ) se cere s calculmlimn P(n)Q(n) .Q are un numr finit de rdcini reale, de unde rezult c exist un numrnatural N mai mare dect orice rdcin a lui Q. Atunci Q(x) 0,x |N, +), n particular are sens raportulP(n)Q(n) , n N.Observm c dac p, q 1, limita cerut este de tip . Scond factorforat puterea cea mai mare a lui n din fiecare polinom, scriemP(n) = np ap + ap1 1n +. . . +a11np1 + a01npiQ(n) = nq bq + bq1 1n +. . . +b11nq1 + b01nq.AtunciP(n)Q(n) = npq(ap + ap1 1n +. . . +a01np ) - (bq + bq1 1n +. . . +b01nq )1.Avem limn(ap + ap1 1n +. . . +a01np ) - (bq + bq1 1n +. . . +b01nq )1=apbq . Pe dealt parte, limnnpq =1, dac p = q0, dac p < q+, dac p > q . Rezult climn P(n)Q(n) =apbp , dac p = q0, dac p < qapbq - (+), dac p > q .Limita la a raportului a dou polinoame de acelai grad este egal curaportul coeficienilor dominani corespunztori.2.1.5. iruri fundamentale de numere realeDe regul, ntr-un proces de aproximare a unei mrimi x R printr-un ir20(xn)n1 nu cunoatem dinainte pe x, dar intuim c irul (xn)n1 este convergentobservnd c distanele mutuale dintre termeni devin orict de mici cndrangurile termenilor cresc.Pentru a caracteriza noiunea de ir convergent fr a face apel la elementeexterioare irului, cum este limita, Cauchy a introdus noiunea de irfundamental. Noiunea de ir fundamental este necesar i pentru a defininoiunea de numr real pornind de la iruri de numere raionale.Se va arta c n mulimea numerelor reale noiunile de ir convergent i irfundamental sunt echivalente.Definiie. Un ir de numere reale (xn)n1 se numete ir fundamental (sauir Cauchy) dac:c > 0, N(c) numr natural a. m, n N(c) avem |xm xn| < c.Reformulri ale definiiei Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:(F1) (xn)n1 este ir fundamental (n sensul definiiei de mai sus);(F2) c > 0, N(c) numr natural a.. n N(c), p N avem|xn+p xn| < c;(F3) Exist un ir de numere pozitive convergent la zero (an)n1 astfel nct|xn+p xn| an, p N, n N.Teorem. Orice ir convergent din R este ir fundamental.Lem. Orice ir fundamental din R este mrginit.Lem. (Lema lui Cesaro) Orice ir mrginit din R are un subirconvergent.Lem. Dac un ir fundamental din R are un subir convergent, atunciacel ir este convergent la limita subirului respectiv.Din cele trei leme de mai sus rezult urmtoareaTeorem. Orice ir fundamental din R este convergent (R este spaiumetric complet).Din ultimele dou teoreme urmeazCriteriul lui Cauchy. Un ir de numere reale este convergent dac inumai dac este ir fundamental.Exemple. Folosind criteriul lui Cauchy, stabilii dac irul dat este sau nuconvergent.1) xn = 1 +122 +132 ++ 1n2 ; xn+p xn =1(n+1)2 +1(n+2)2 ++1(n+p)2 .x > 1 1x2 0 dat , ncazul n cnd seria este convergent.Evident, rezolvarea problemei 2 asigur i rezolvarea problemelorproblemelor 1 i 3. Dac nu putem aborda direct 2, trecem la rezolvareaproblemei 1. n cazul unei serii convergente pentru care nu putem rezolvaproblema 2 abordm problema 3.Influena unui numr finit de termeni asupra serieiDac aplicm unei serii una din urmtoarele transformri: adugm unnumr finit de termeni sau eliminm un numr finit de termeni, natura serieinu se schimb.(De la un rang ncolo, termenii noului ir al sumelor pariale se obinadunnd o constant la termenii vechiului ir al sumelor pariale. Prin adunareacu un ir constant, natura unui ir dat convergent sau divergent nu seschimb.)Astfel, seriile n=0an, n=1an, n=2an, n=Nan, au aceeai natur.Exemple. 1) Seria geometric n=0qn (q R)26Sumele pariale sn = 1 + q + q2 ++qn (n 0) se pot calcula:q 1 sn =1qn+11q; q = 1 s1 =n+1 ori1 + 1 ++1= (n + 1)Suma seriei geometrice : s = limnsn =11q , dac|q| < 1+, dac q 1i nu exist,dac q 1. Vom scrie: n=0qn =11q , dac |q| < 1 .n=012n = 1 +12 +122 +123 += 2; n=013n =11 13=32 ; n=0(1)n nuare limit (irul sumelor pariale: 1,0,1,0,1,0... nu are limit).2) n=11n2+n ; sn = k=1n1k2+k = k=1n1k(k+1) = k=1n1k 1k+1Avem suma telescopic:sn = ( 11 12 ) +12 13+13 14++(1n1 1n ) + ( 1n 1n+1 )Dup reduceri obinem sn = 1 1n+1 . Suma seriei este s = limnsn = 1.3) n=11n ; sn = 1 +12 ++ 1n irul (sn)n1 este cresctor, deci arelimit, finit sau egal cu (+).Am artat (pe baza criteriului lui Cauchy) c irul (sn)n1 nu esteconvergent. Aadar, limnsn = +, deci (suma seriei) n=11n = +.4) n=11n2 ; sn = 1 +122 ++ 1n2 este ir cresctor.Din1k2 0, N(c) N a.. n N(c), p N,avem |an+1 + an+2 ++an+p| < c.Demonstraie. Aplicm criteriul lui Cauchy irului sumelor pariale (nvirtutea faptului c n=1an este convergent DEF (sn)n1 este convergentcrit.Cauchy(sn)n1 este fundamental). (sn)n1 ir fundamental DEF c > 0, N(c)a.. n N(c), p N, avem |sn+p sn| < c.Dar sn = a1 + a2 ++an i sn+p = a1 + a2 ++an + an+1 ++an+p, deci|sn+p sn| = |an+1 + an+2 ++an+p|. Pentru exemple de aplicare a Criteriului lui Cauchy pentru serii, veziparagraful iruri fundamentale de numere reale.Serii absolut convergente. Serii semiconvergenteDefiniie. O serie n=1an se numete absolut convergent dac serian=1|an| este convergent .Exemple. 1) Seria geometricn=0qn, cu q (1, 1) este absolutconvergent.2) Seria n=1(1)nneste convergent, dar nu este absolut convergent.Teorem. Orice serie absolut convergent de numere reale esteconvergent.Observaie. Exist serii convergente care nu sunt absolut convergentei ele se numesc serii semiconvergente.Operaii cu serii de numere realePentru sume obinuite reamintim urmtoarele reguli de calcul:a) Adunarea termen cu termen a sumelor cu aceiai indicik=1nak +k=1nbk = k=1n(ak + bk)b) nmulirea unei sume cu o constant (termen cu termen):z -k=1nak = k=1n(zak).Analog, suma a dou serii n=1an i n=1bn este seria n=1(an + bn), iarprodusul cu z R al unei serii n=1an este n=1(z - an).Teorem Fie n=1an i n=1bn serii convergente de numere reale. Atunci:a) Suma seriilor date este convergent i:28(suma seriei)n=1(an + bn) = (suma seriei)n=1an + (suma seriei)n=1bnb) z R, seria n=1(zan) este convergent i:(suma seriei) n=1(zan) = z - (suma seriei) n=1an.3.2. Serii cu termeni pozitiviStudiul seriilor cu termeni pozitivi este mai simplu dect cel al seriilor cutermeni reali oarecare, dar este relevant pentru cazul general , deoarece dinconvergena seriei cu termeni pozitivi n=1|an| rezult convergena seriei n=1an.Fie seria n=1an cu termeni pozitivi: an 0, n 1. Considerm irulsumelor pariale: sn = a1 + a2 ++an, n 1. Cumsn+1 sn = an+1 0, n 1, irul sumelor pariale ale unei serii cutermeni pozitivi este cresctor.Cunoatem c orice ir cresctor are limit i limita sa este finit (respectiv,este + ) dac irul este majorat (respectiv, nemajorat). De aici rezult c oriceserie cu termeni pozitivi are sum, iar suma seriei este finit (respectiv + )dac irul sumelor pariale este majorat (respectiv, nemajorat).Teorem. O serie cu termeni pozitivi este convergent dac i numai dacirul sumelor pariale este majorat. Suma oricrei serii cu termeni pozitivi estemarginea superioar a mulimii sumelor pariale ale seriei.n multe cazuri convergena sau divergena unei serii cu termeni pozitivi sestabilete comparnd seria dat cu o alt serie cu termeni pozitivi, a creinatur este cunoscut. De obicei comparm seria dat cu o serie geometricsau o serie armonic generalizat.Teorem (Primul criteriu al comparaiei cu inegaliti)Fie seriile cu termeni pozitivi n=1an i n=1bn a.. an bn, n n0 (pentruun numr natural n0 1).a) Dac seria n=1bn este convergent , atunci seria n=1an este convergent .b) Dac seria n=1an este divergent, , atunci seria n=1bn este divergent.Demonstraie. Eliminnd eventual civa termeni din fiecare serieputem presupune c n0 = 1, iar natura fiecrei serii rmne neschimbat.Fie sumele pariale ale celor dou serii, sn = a1 + a2 ++an ion = b1 + b2 ++bn. Din ipotez rezult0 sn on, n 1.a) Dac seria n=1bn este convergent, atunci M > 0 a.. on M, n 1.29Inegalitatea de mai sus arat c sn M, n 1, deci (sn) este mrginitsuperior i conform teoremei precedente, seria n=1an este convergent.b) Presupunem c seria n=1an este divergent. Dac seria n=1bn ar ficonvergent, rezult conform punctului precedent c seria n=1an esteconvergent, ceea ce contrazice ipoteza. Aadar, seria n=1bn este divergent. Teorema (Al doilea criteriu al comparaiei cu inegaliti)Fie seriile cu termeni pozitivi n=1an i n=1bn a..an+1anbn+1bn , n n0(pentru un numr natural n0 1).a) Dac seria n=1bn este convergent , atunci seria n=1an este convergent .b) Dac seria n=1an este divergent, , atunci seria n=1bn este divergent.Teorema ( Criteriul comparaiei cu limit)Fie seriile cu termeni pozitivi n=1an i n=1bn. Presupunem c bn > 0 de laun rang ncolo i c exist limn anbn = l. Atunci:a) n cazul l (0, +) seriile date au aceeai natur.b) l = 0 i n=1bn este convergent n=1an este convergent.c) l = + i n=1bn este divergent n=1an este divergent.Vom folosi mai jos abrevierile: CCI:=criteriul comparaiei cu inegaliti,CCL:= criteriul comparaiei cu limit.Exemple. Folosind criteriile de comparaie pentru serii cu termeni pozitivistabilii natura seriilor urmtoare:1) n=11no pentru o (, 1] |2, +) (serie armonic generalizat); 2)n=11n! ; 3) n=011+an (a 0 dat); 4) n=1sin on (o (0, m)dat).Soluie.1) n=11n este divergent i1no 1n , n 1, dac o (, 1] (CCI) n=11noeste divergent, o (, 1].n=11n2 este convergent i1no 1n2 , n 1, dac o |2, +) (CCI) n=11noeste convergent, o |2, +).2) Observm c ()1n! =11-2-(n2)-(n1)-n 1(n2)-(n1)-n , n 3.Considerm seria n=31(n2)-(n1)-n . Avemlimn1(n2)-(n1)-n1n3= limnn3(n2)-(n1)-n = 1 (CCL) seria precedent are aceeai natur ca30n=11n3 , deci este convergent()(CCI) seria dat este convergent.3) Calculm limita termenului general al seriei:limn11 + an =1, dac a |0, 1)12 , dac a = 10, dac a > 1Pentru ca seria s fie convergent, este necesar ca limita termenului generals fie zero. Deci a |0, 1] seria este divergent.Cazul a > 1 :11+an 1 atunci seria dat este divergent.Observaie. n cazul n care L := limn| an+1an | = 1 nu putem preciza naturaseriei pe baza criteriului raportului. Avem L = 1 att pentru unele seriiconvergente, de exemplu n=11n2 , ct i pentru unele serii divergente, deexemplu n=11n .Demonstraie (Criteriul raportului).I. Eliminnd, eventual, un numr finit de termeni ai seriei putem presupunec inegalitatea din enun are loc n 1.a) Din: | a2a1 | L < 1, | a3a2 | L, , |anan1 | L rezult (nmulindinegalitile) c | a2a1 -a3a2 -- an1an2 -anan1 | Ln1, adic|an| Ln1 - |a1| (n 1).Seria geometric n=1Ln1 este C (deoarece L (0, 1)) n=1Ln1 - |a1| esteC (CCI) n=1|an| este C n=1an este C.b) Din | an+1an | 1 pentru orice n 1 c irul cu termeni strict pozitivi(|an|)n1 este cresctor, deci exist limn |an| = sup|an| : n 1) > 0 . Cum nuavem limn an = 0, seria n=1an este divergent.II. a) limnDn = L < 1 de la un rang ncolo Dn L+12NOT=r < 1 Ia)seriaeste C.b) limnDn = L > 1 de la un rang ncolo Dn L+12NOT=r > 1 Ib)seria esteD.Teorem (Criteriul rdcinii)Fie seria n=1an. Considerm Cn =n |an| (n 1).I. (Criteriul rdcinii cu mrginire)a) Dac de la un rang ncolo avem Cn r < 1, unde r este o constant,atunci seria dat este absolut convergent, deci convergent.b)Dac pentru o infinitate de termeni avem Cn 1, atunci seria dat estedivergent.II. (Criteriul rdcinii cu limit)Presupunem c exist limn n |an| = L.a) Dac L < 1, seria dat este C.32b) Dac L > 1, seria dat este D.Observaie. n cazul n care L := limn n |an| = 1 nu putem preciza naturaseriei pe baza criteriului rdcinii. Avem L = 1 att pentru unele seriiconvergente, de exemplu n=11n2 , ct i pentru unele serii divergente, deexemplu n=11n .Indicaii.(1) Pentru a reine implicaiile din enunul criteriului raportului saucriteriului rdcinii aplicai criteriul respectiv seriei geometrice n=0qn.(2) Aplicarea criteriului rdcinii este recomandabil dac an este o puterecu exponent ntreg multiplu de n.(3) n majoritatea cazurilor, pentru nceput ncercm s aplicm criteriulraportului, iar dac acesta nu d rezultate trecem la aplicarea criteriuluirdcinii.(4) Dac seria are o infinitate de termeni nuli, criteriul raportului nu sepoate aplica, spre deosebire de criteriul rdcinii.Exemple. Stabilii natura seriilor urmtoare folosind criteriul raportului saurdcinii:1) n=1nxn1(discuie dup x R) ; Avem an = nxn1. Aplicm criteriulraportului.| an+1an | =(n+1)xnnxn1=n+1n- |x| limn| an+1an | = |x|.|x| < 1 seria este C , |x| > 1 seria este D.. Cazul |x| = 1 trebuie studiatseparat.|x| = 1 x = 1 sau x = 1. Pentru x = 1 : n=1nxn1 = n=1n = + seriaeste divergent. Pentrux = 1 : n=1nxn1 = n=1(1)n1n = 1 2 + 3 4 + 5 6 + irul sumelorpariale are dou subiruri cu limitele +, respectiv , deci seria nu are sum(n particular, este D).2) n=1xnn! ; Avem an =xnn! . Aplicm criteriul raportului, deoarece este greus lucrm cun n! . | an+1an | =|x|n+1(n+1)! -n!|x|n =|x|n+1 limn| an+1an | = 0 < 1 seriadat este C (x R). Se va demonstra c n=0xnn! = ex, x R.3) n=1n2 + 1 nn; an = n + 1 nn(> 0). Aplicm criteriulrdcinii.n |an| = n2 + 1 n =(n2+1)n2n2+1 +n limn n |an| = 0 < 1 seria dat esteC.Pentru serii cu termeni strict pozitivi (de la un rang ncolo) se mai poateaplica urmtorul criteriu, mai general dect criteriul raportului.33Teorem (Criteriul Raabe-Duhamel (R-D))Fie seria n=1an, cu an > 0 de la un rang ncolo. Considerm irulRn = n(anan1 1)I. (Criteriul R-D cu mrginire)a) Dac de la un rang ncolo avem Dn r > 1, unde r este o constant,atunci seria dat este absolut convergent, deci convergent.b) Dac de la un rang ncolo avem Dn r < 1, unde r este o constant,atunci seria dat este divergent.II. (Criteriul R-D cu limit)Presupunem c exist limnRn = L.a) Dac L > 1 atunci seria dat este convergent .b) Dac L < 1 atunci seria dat este divergent.Din criteriul Raabe-Duhamel cu limit putem deduce criteriul raportului culimit, n cazul seriilor cu termeni strict pozitivi.Definiie. O serie numere reale se numete serie alternat dac termenii sisunt nenuli i semnele lor alterneaz. O serie alternat se poate scrie sub forman=1(1)n+1an sau n=1(1)nan, unde an > 0 pentru n 1. Cele dou forme seobin una din cealalt prin nmulire cu (1), corespunznd cazului cndprimul termen este strict pozitiv, respectiv strict negativ.Teorem (Criteriul lui Leibniz). Dac irul (an)n1 este descresctor iconvergent la zero, atunci seria alternat n=1(1)n+1an este convergent.3.4. Serii de puteriSeriile de puteri sunt utilizate n aproximarea uniform cu polinoame afunciilor elementare.Numim serie de puteri (centrat n x0 R) o expresie de forman=0cn(x x0)n, unde cn R (n 0) sunt constante i x R este variabil.Numerele cn se numesc coeficienii seriei de puteri. (Notnd x x0 = y,studiul seriei de mai sus se reduce la studiul seriei de puteri n=0cnyn. De aceea,este suficient s analizm cazul x0 = 0).Mulimea de convergenNe intereseaz mulimea de convergen a seriei de puteri, adicM NOT= x R : seria numeric n=0cnxn este convergent .Mai scriem n=0cnxn = c0 + c1x + c2x2 ++cnxn +Observm c pentru x = 0 sumele pariale ale seriei sunt toate egale cuc0, deci suma seriei este c0. Rezult c centrul seriei aparine mulimii deconvergen.34Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri n=0cnxn exist ocantitate R |0, +] unic determinat (numit raza de convergen a serieide puteri) astfel nct:(1) dac |x| < R seria este absolut convergent.(2) dac |x| > R seria este divergent.Demonstraie. Notm cu M mulimea de convergen a seriei de puteri.Dac M = 0), lum R = 0 i teorema este demonstrat.I. Dac exist x0 M 0), se demonstreaz c (|x0|, |x0|) M. (Serianumeric n=0cnx0n este convergentnlim cnx0n = 0 irul (cnx0n)n1 estemrginit: exist M > 0 astfel nct |cnx0n| M, n 1. Dac |x| |x0|, atunci|cnxn| |cnx0n|, n 1. Conform Criteriului comparaiei cu inegaliti, serian=0cnxn este absolut convergent). Deducem c divergena seriei de puterintr-un punct x1 atrage divergena seriei pentru orice x cu |x| > |x1|.(Presupunem prin reducere la absurd c exist x1 M i x2 M cu |x2| > |x1|.Conform raionamentului de mai sus, (|x2|, |x2|) M. Dar x1 (|x2|, |x2|),de unde x1 M, contradicie).II. NotmR := supM.Atunci R |0, +]. Cazul R = 0 a fost discutat mai sus.a) Presupunem c R (0, +). Fiind dat x (R, R), |x| nu majoreaz M,deci exist x3 M astfel nct |x| < x3 < R. Atunci |x| (|x3|, |x3|) M,deci seria n=0cnxn este absolut convergent. Dac exist x M cu |x| > R, din(|x|, |x|) M deducem c supM |x|, adic R |x|, contradicie.b) Presupunem c R = +. Implicaia (2) este adevrat, ntruct falsulimplic orice. Mulimea M nu este majorat. Fiind dat x (, +), existx4 M astfel nct |x| < x4. Conform Criteriului de comparaie cu inegaliti,seria n=0cnxn este absolut convergent. Observaie Fie R raza de convergen a unei seriei de puteri. Avema) R = 0 seria de puteri converge numai pentru x = 0;b) R = + seria de puteri converge pentru orice x R.Mulimea M de convergen a seriei de puteri satisface condiiile(R, R) M |R, R], aadar M este un interval.Calculul razei de convergenNotm := limn| cn+1cn | sau := limn n |cn| , dac limita respectiv existReamintim c dac exist limita limn| cn+1cn |, atunci exist limita limn n |cn| i celedou limite sunt egale.Ca o consecin a teoremei Cauchy-Hadamard, rezult c seria de puterin=0cnxn are raza de convergen dat de :35R =1 , dac 0 < < +,0, dac = +,+, dac = 0.Mai putem scrie R = limn|cncn+1 | sau R = limn1n |cn | (dac cn 0 de la un rangncolo).Justificm n continuare formulele razei de convergen.a) Presupunem c exist limn| cn+1cn | NOT= . Aplicm seriei n=0cnxn criteriulraportului (pentru x 0). CalculmL := limnDn = limncn+1xn+1cnxn= limn| cn+1cn | - |x| = |x|. Pentru 0 < < +, seriaeste C |x| < 1, adic |x| 0. Notm cu s(x)suma seriei n punctul x. Atunci:1) Seria derivatelor n=0(cnxn)= n=0ncnxn1 are tot raza de convergen R.2) s(x) = n=1ncnxn1, x (R, R).3) Pentru orice numr natural k suma seriei de puteri este derivabil de k36ori pe (R, R) i s(k)(x) = n=0(anxn)(k), x (R, R).4) Pentru orice interval |a, b] (R, R) avemabs(x) dx = abn=0anxndx = n=0abanxn dx = n=0ann + 1 - (bn+1 an+1)Formulele de mai sus arat c seria de puteri se deriveaz termen cu termenpe (R, R), respectiv c seria de puteri se integreaz termen cu termen pe oriceinterval nchis i mrginit inclus n (R, R).Aplicaie (Aflarea coeficienilor seriei de puteri cunoscnd suma serieide puteri)Dac s(x) = n=0cn(x x0)n, x (R, R), se demonstreaz c cn =s(n)(x0)n!pentru orice n 0.Scriem s(x) = c0 + c1(x x0) + c2(x x0)2+. . . +cn(x x0)n+. . . ,x (R, R). Pentru x = x0 obinem s(x0) = c0. Derivm suma seriei de puteri:s(x) = c1 + 2c2(x x0) +. . . +ncn(x x0)n1+. . , x (R, R). Fcnd aicix = x0 rezult s(x0) = c1. Derivnd suma seriei precedente avems(x) = 2c2 + 3 - 2c3(x x0) +. . . +n(n 1)cn(x x0)n2+. . , x (R, R) i cunlocuirea x = x0 rezult s(x0) = 2c2.. Se demonstreaz prin inducie dup nc dup n derivri termenul liber al seriei de puteri este |cn(x x0)](n)= n!cn.Atunci s(n)(x0) = n!cn, q.e.d.Fiind dat o funcie f : I R indefinit derivabil pe intervalul I, pentruorice punct x0 I se consider seria de puterin=0f(n)(x0)n!(x x0)n,numit seria Taylor a funciei f relativ la punctul x0. Vom reveni asupra acesteinoiuni cnd vom studia formula lui Taylor. Am demonstrat mai sus c oriceserie de puteri centrat ntr-un punct x0, avnd raza de convergen nenul,este seria Taylor a sumei sale relativ la x0.Exemple.1) Avem n=0xn = 1 + x + x2 + x3 +=11x pentru |x| < 1. Pentru |x| > 1seria geometric cu raia x este divergent, deci raza de convergen a seriein=0xn este R = 1. deoarece Derivnd suma seriei obinem1(1x)2 = n=0nxn1 = 0 + 1 + 2x + 3x2 ++nxn1 +(pentru |x| < 1).2) Considerm serian=1xnn= x +x22 +x33 +.Calculm raza de convergen: R = limn|anan+1 | = limn| 1n - (n + 1)| = 1.Seria este: convergent pentru |x| < 1, divergent pentru |x| > 1. Fie s(x)suma seriei pentru |x| < 1.37s(x) = n=1( xnn )= n=1xn1 = 1 + x + x2 + s(x) =11x(pentru|x| < 1).s(x) este o primitiv a funciei11x pe intervalul (1, 1), de undes(x) = ln|x 1| + c = ln(1 x) + c, unde c este o constant. nlocuindx = 0 deducem c = 0. Avem ln(1 x) = n=1xnnpentru x (1, 1). Se aratc egalitatea precedent rmne adevrat pentru x = 1.3)11+x2 =11(x2) = n=0(x2)n= n=0(1)n- x2n = 1 x2 + x4 x6 +Raza de convergen: R = 1 (seria geometric de mai sus este C |x2| < 1 |x| < 1).Integrnd egalitatea11+x2 = 1 x2 + x4 x6 + rezult:arctg x = c + x x33 +x55 x77 ++(1)n-x2n+12n+1 +(pentru |x| < 1),unde c este o constant. nlocuind x = 0 rezult c = 0. Obinemarctg x = n=0(1)n-x2n+12n+1 , pentru x (1, 1).4) Fie seria n=0xnn! . Raza de convergen:R = limn|anan+1 | = limn1n! - (n + 1)! = +.Deoarece R = +, seria de puteri converge pentru orice x R. Fie s(x)suma seriei. Avem:s(x) = n=0xnn!= n=1nxn1n!= n=1xn1(n 1)! = s(x).Din s(x) = s(x), x R, rezult c exist k R a.. s(x) = kex.(ntr-adevr, s(x) s(x) = 0, x R ex(s(x) s(x)) = 0, x R 0 = exs(x) + (ex)s(x) = (exs(x)), x R exs(x) este funcieconstant pe R) .nlocuind x = 1 deducem k = 1 (cunoscnd c e = n=01n! ).Am artat c pentru orice x R avemex = n=0xnn! .38Capitolul 4. Limite i continuitateIntroducere. Noiunea de limit a unei funcii unui punct estefundamental pentru ntreaga analiz matematic, noiunile de limit a unui iri de derivat fiind cazuri particulare ale acesteia. Vom trata problema limiteiunei funcii definit pe o mulime dintr-un spaiu X, cu valori n alt spaiu Y, ncazul urmtor: X = Rk i Y = Rp, fiecare nzestrat cu distana euclidianrespectiv. Altfel spus, vom studia limitele funciilor de mai multe variabilereale, cu valori n spaii euclidiene finit dimensionale.Fiind dat o funcie f : A X Y se pune problema studierii comportriivalorilor funciei n vecintatea unui punct dat a X. Se cere s se cercetezece se ntmpl cu f(x) cnd x A se apropie din ce n ce mai mult de punctula. Pentru ca problema s aib obiect, este necesar s existe puncte din A orictde apropiate de a, adic a s fie punct de acumulare pentru domeniul dedefiniie al funciei. Nu este necesar ca a s aparin domeniului de definiie alfunciei; chiar dac a A, stabilirea comportrii funciei f n vecintatea (njurul) punctului a nu presupune luarea n considerare a valorii f(a). Se vaspune c funcia dat are limita l Y n punctul a dac se constat c oricumne-am apropia "suficient de mult" de a prin puncte din mulimea A valorilefunciei n aceste puncte se apropie "orict de mult" de l.4.1. Limita unei funcii ntr-un punctDefiniie. Fie funcia f : A Rk Rp i a Rk un punct de acumularepentru mulimea A Rk. Se spune c l Rp este limita funciei f n punctul a,i se noteaz limxa f(x) = l, dac este ndeplinit condiia:pentru orice vecintate V a lui l n Rp exist o vecintate U a lui a n Rkastfel nct f(U A a)) V (adic pentru orice x U A cu x a avemf(x) V).Teorem (de caracterizare a noiunii de limit )Fie funcia f : A Rk Rp , a Rk un punct de acumulare pentrumulimea A i l Rp. Atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente:(1) V V(l), U V(a) a.. f(U A a)) V (definiia cuvecinti);(2) c > 0, o(c) > 0 a.. x A cu0 < x a < o(c) avem f(x) l < c (definiia cu c i o);(3) (xn)n1 ir din A a) cu xn a, avem f(xn) l (definiia cuiruri).Subnelegem c n (2) folosim normele euclidiene corespunztoare, darproprietatea respectiv rmne valabil dac schimbm normele, datoritfaptului c orice dou norme pe un spaiu Rm au raportul mrginit peRm (0, 0, . . . , 0)).Din definiia cu iruri a limitei unei funcii ntr-un punct deducemurmtoarele proprieti.Propoziia (Unicitatea limitei). O funcie f : A Rk Rp nu poateavea dou limite distincte ntr-un punct dat.Demonstraie. Folosim unicitatea limitei unui ir din Rp.Propoziie. Dac exist (xn ), (xn) iruri din A a) pentru care39limnxn = limnxn = a i limnf(xn ) limnf(xn), atunci f nu are limit n punctul a.Pentru a demonstra c nu exist limxa f(x) = l, este suficient s gsim douiruri de elemente din A a), care tind la a i sunt transformate prin f ndou iruri cu limite diferite.Propoziia. Fie f : A Rk Rp, f = (f1, . . . , fp) i a Rk un punct deacumulare pentru mulimea A. Atuncilimxa(f1(x), , fp(x)) = (l1, , lp) Rp limxa fi(x) = li R, i 1, , p).Demonstraie. Aplicm definiia cu iruri a limitei unei funcii ntr-unpunct i Teorema de convergen pe componente pentru iruri din Rp. Practic, echivalena de mai sus arat c putem aplica regulalimxaf1(x), f2(x), , fp(x) = (limxa f1(x), limxa f2(x), . . . , limxa fp(x)), dac toatelimitele din membrul drept exist i sunt finite (echivalent, dac limita dinmembrul stng exist).Astfel,studiul limitei unei funcii vectoriale se reduce la studiullimitelor componentelor funciei .Exemplu.limx0sinxx , ex1x, ln(1+x)x1= limx0sinxx , limx0ex1x, limx0ln(1+x)x1= (1, e, 0).Rezultatul urmtor este o condiie necesar i suficient de existen alimitei unei funcii ntr-un punct, n care nu intervine valoarea limitei, i esteanaloga Criteriului lui Cauchy de la iruri.Teorem (Criteriul Cauchy-Bolzano)Fie funcia f : A Rk Rp, a Rk un punct de acumulare pentrumulimea A. Atunci existxalim f(x) Rp dac i numai dac c > 0,o = o(c) > 0 a.. x, x A cu 0 < d(x, a) < o i 0 < d(x, a) < o, avemd(f(x), f(x)) < c.4.2. Limite la i limite infinite ale funciilor reale de variabilrealFiind dat funcia f : A R R, a R un punct de acumulare pentrumulimea A (n R) i l R, se pune problema s precizm ce nseamn climxa f(x) = l dac cel puin una din cantitile a i l este infinit.Problema calculrii limitei limx+f(x) (respectiv, limxf(x)) se pune dac inumai dac domeniul de definiie al lui f este mulime nemajorat (respectiv,neminorat). Semnificaia intuitiv a faptului c limxa f(x) = + (respectiv, afaptului c limxa f(x) = ) este aceea c f(x) crete peste orice valoare dat(respectiv, f(x) scade sub orice valoare dat) cnd x se apropie suficient demult de a R.Definiie. Fie funcia f : A R R i a R un punct de acumularepentru mulimea A R. Se spune c l R este limita funciei f n punctul a,i se noteaz limxa f(x) = l, dac este ndeplinit condiia: pentru orice vecintateV a lui l n R exist o vecintate U a lui a n R astfel nctf(U A a)) V.Avem limxa f(x) = l (xn)n1 ir din A a) cu xn a, avem f(xn) l(Definiia cu iruri a limitei).40Exemplu. O funcie periodic neconstant f : R R nu are limit la+, nici la (Gsim a, b R a.. f(a) f(b) i construim irurilexn = a + nT, xn = b + nT, unde T > 0 este perioada lui f. Atunci (xn ), (xn) tindla +. Avem f(xn ) = f(a) i f(xn) = f(b). Dac ar exista limx+f(x) = l, arrezulta f(a) = l = f(b), de unde se ajunge la concluzia fals f(a) = f(b)).Astfel, funciile trigonometrice sin, cos, tg, ctg nu au limit la +, nici la .Observaie. Dac avem de calculatnlim f(n), unde f este o funcie realdefinit pe un interval de forma (a, +), studiemx+lim f(x). Dac existx+lim f(x) NOT=l R, atunci conform definiiei cu iruri a limitei avem inlim f(n) = l. Dac nu existx+lim f(x), nu putem afirma nimic desprenlim f(n).Exemplu.nlimn n =nlim e lnnn= enlim lnnn(dac existnlimlnnn ). Studiemlimita de funciex+limlnxx(aflat n cazul de nedeterminare ). Putem aplicaregula lui LHospital:x+limlnxx=x+lim(lnx)x=x+lim1x = 0. Rezult cnlimlnnn=x+limlnxx= 0, de undenlimn n = e0 = 1.Din definiia cu vecinti a limitei i caracterizrile vecintilor din Rrezult urmtoarele forme ale "definiiei cu c i o " :(1) Pentru a R, limxa f(x) = l R c > 0, o > 0 a.. x A cu0 < |x a| < o avem |f(x) l| < c(2) limx+f(x) = l R c > 0 , o > 0 a.. x A cu x > o avem|f(x) l| < c;(3) limxf(x) = l R c > 0, o > 0 a.. x A cu x < o avem|f(x) l| < c;(4)xalim f(x) = +c > 0, o > 0 a.. x A cu |x a| < o avemf(x) > c;(5)xalim f(x) = c > 0, o > 0 a.. x A cu |x a| < o avemf(x) < c;(6) limx+f(x) = + (respectiv, limx+f(x) = ) c > 0, o > 0 a..x A cu x > o avem f(x) > c (respectiv, f(x) < c);(7) limxf(x) = + (respectiv, limxf(x) = ) c > 0, o > 0 a..x A cu x < o avem f(x) > c (respectiv, f(x) < c).4.3. Operaii cu funcii reale care au limit ntr-un punctFolosind definiia cu iruri pentru limite de funcii i proprietile limitelorde iruri din spaii euclidiene se demonstreaz urmtoarele proprieti alelimitelor de funcii reale sau vectoriale definite pe spaii metrice.Teorem . Fie f, g : A Rk R i a Rk un punct de acumulare pentrumulimea A . Presupunem c funciile f i g au limite n punctul a. Atunci:(1) Dac suma limitelor are sens, funcia sum f + g are limit n a ilimxa|f(x) + g(x)]= limxa f(x) + limxa g(x).(2) Pentru orice z R funcia zf are limit n a i limxa zf(x) = zlimxa f(x).(3) Dac produsul limitelor are sens, funcia produs f - g are limit n a ilimxa|f(x) - g(x)]= limxa f(x) - limxa g(x).41(4) Dac are sens ctul limitelor, funcia ct f/g are limit n a ilimxaf(x)g(x) =limxaf(x)limxag(x) .(5) Dac f 0 i are sens limita lui f la puterea limita lui g, atunci funciaputere fg are limit n a i limxa f(x)g(x) = (limxa f(x))limxag(x).Teorem. Fie f, g : A Rk Rp i a Rk un punct de acumulare pentruA Presupunem c funciile f i g au limite n punctul a. Atunci:(1) Funcia sum f + g are limit n a ilimxa|f(x) + g(x)]= limxa f(x) + limxa g(x).(2) Pentru orice z R funcia zf are limit n a i limxa zf(x) = zlimxa f(x).Teorema (Limitele funciilor compuse ) Fie X, Y , Z spaii euclidiene finitdimensionale, A X, B Y, C Y i funciile f : A B, g : B C.Presupunem c a este punct de acumulare pentru A n X i b este punct deacumulare pentru B n Y. n aceste condiii, dac exist limxa f(x) = b, f(x) bpentru x b i exist limyb g(y) = l, atunci exist limxa g(f(x))= l.(Pe scurt: limxa g(f(x))= limyb g(y), dac limxa f(x) = b i f(x) b pentrux b)4.4. Funcii continueVom compara valorile unei funcii pe o vecintate a unui punct fixat cuvaloarea funciei n acel punct. Intuitiv, faptul c funcia f este continu npunctul a nseamn c f(x) se apropie orict de mult de f(a) cnd x se apropiesuficient de mult de a (ntr-o exprimare foarte simplificat,x a f(x) f(a)). Problema continuitii unei funcii ntr-un punct se punenumai dac funcia este definit n acel punct.Fie X = Rk i Y = Rp spaii euclidiene finit dimensionale.Definiie. Fie funcia f : A X Y i a A Se spune c f este continun punctul a dac pentru orice vecintate V a lui f(a) n Y exist o vecintate Ua lui a n X astfel nct pentru orice x U A avem f(x) V, pe scurtf(U A) V.Definiie. Spunem c funcia f : A X Y este continu pe mulimeaB A dac funcia dat este continu n fiecare punct a B.Dac f nu este continu ntr-un punct a al domeniului su de definiie,spunem c a este punct de discontinuitate pentru f.Observaie. O funcie f : A X Y este continu n orice punct izolatal domeniului su de definiie.Teorem. Fie funcia f : A X Y i a A punct de acumulare pentruA. Atunci f este continu n punctul a dac i numai dac limxa f(x) = f(a).Observaie. Din punct de vedere practic, limita unei funcii continuentr-un punct se calculeaz prin nlocuire, adic limxa f(x) se obine atribuindvaloarea a lui x n expresia f(x). Aceast observaie faciliteaz considerabilcalculul limitelor uzuale.Teorem (de caracterizare a continuitii ntr-un punct)Fie X = Rk i Y = Rp, funcia f : A X Y i a A. Atunciurmtoarele afirmaii sunt echivalente:(1) V V(f(a)), U V(a) a.. f(U A) V (definiia cu vecinti);(2) (xn)n1 ir din A cu xn a, avem f(xn) f(a) (definiia cu iruri);42(3) c > 0, o > 0 a.. x A cu x a < o avem f(x) f(a) < c(definiia cu c o).Observaie. O funcie vectorial este continu ntr-un punct (respectiv, peo mulime) dac i numai dac toate componentele sale scalare sunt continuen acel punct (respectiv, pe acea mulime).n urmtoarele teoreme, A, B, C sunt mulimi din spaii euclidiene finitdimensionale.Teorem (pstrarea semnului pe o vecintate) Dac f : A R estecontinu n punctul a A i f(a) 0, atunci f(x) are acelai semn cu f(a)ntr-o vecintate a lui a. (U V(a) a.. f(x) - f(a) > 0, x U A).Teorem (Operaii cu funcii continue). Fie f, g : A R p i a A .Dac funciile f i g sunt continue n punctul a (respectiv, pe o mulimeB A), atunci funciile f + g , zf (unde z R)sunt continue n a (respectiv, peB). n cazul p = 1, dac funciile f i g sunt continue n punctul a (respectiv,pe o mulime B A), atunci funciile f - g i f/g (dac g(a) 0) sunt continuen a (respectiv, pe B).Teorema (Continuitatea funciilor compuse) Fie funciile f : A B,g : B C i funcia compus g f : A C. Dac f este continu n punctula A i g este continu n punctul f(a), atunci g f este continu n punctul a.Calculul limitelor de funcii se simplific utiliznd continuitatea funciilorelementare i proprietile operaiilor cu limite.Exemple de funcii continue1) Funciile reale de o variabil real numite funcii elementare (funciipolinomiale, funcii raionale, funcii exponeniale, funcii logaritmice, funciiputere, funcii trigonometrice directe i inverse) sunt continue pe domeniile lormaxime de definiie. Pornind de la un numr finit de funcii elementare iaplicndu-le operaii algebrice dintre cele menionate n teoremele de mai sus ,se obin funcii continue pe domeniile lor maxime de definiie.2) Funciile proiecie x = (x1, x2, , xk)Pi xi(i = 1, 2, , k) suntcontinue pe Rk deoarece a = (a1, a2, , ak) Rk avem|Pi(x) Pi(a)| = |xi ai| x a, decix a < c |Pi(x) Pi(a)| < c. (Este verificat condiia din definiia cuc o a continuitii pentru o(c) = c)Propoziie. Dac f : A Rk Rp, f(x1, . . . , xk) = g(xi),(x1, . . . , xk) A i g : Pi(A) R Rp este funcie continu , atunci f estecontinu pe A.Cu alte cuvinte, dac o funcie f de mai multe variabile depinde efectivnumai de o variabil, iar aceast dependen se exprim printr-o funciecontinu g, atunci f este continu.3) Polinoamele de n nedeterminate definesc funcii continue pe Rn(conform observaiilor 1) i 2) de mai sus).4.5. Proprieti globale ale funciilor continuen ceea ce urmeaz, X i Y sunt spaii euclidiene finit dimensionale.Definiie. Spunem c o mulime A X este conex prin arce dac pentruorice dou puncte x1, x2 A exist un drum cu extremitile x1 i x2, avndimaginea inclus n A.Un arc din spaiul X este imaginea unui interval nchis i mrginit |a, b] dinR printr-o funcie continu f : |a, b] X.43Teorem . Imaginea printr-o funcie continu a unei mulimi conexe prinarce este o mulime conex prin arce.Corolar. (Teorema valorilor intermediare) Orice funcie real continupe un interval din R, f : I R, ia odat cu dou valori distincte oarecare f(a),f(b) i orice valoare dintre f(a) i f(b), cel puin ntr-un punct situat ntre a ib.Teorem. Imaginea printr-o funcie continu f : A Rk Rp a uneimulimi nchise i mrginite este o mulime nchis i mrginit.Corolar. (Teorema valorilor extreme) Orice funcie real continu pe omulime nchis i mrginit i mrginit din Rk este mrginit i i atingemarginile.Mai exact, dac funcia f : A Rk R este continu i mulimea A estenchis i mrginit, atunci exist punctele x1, x2 A a..f(x1) f(x) f(x2) pentru orice x A.Valorile extreme ale lui f (margini atinse) sunt f(x1), numit minim globalal lui f, i f(x2), numit maxim global al lui f. Punctul x1 ( respectiv, x2) senumete punct de minim global (respectiv, punct de maxim global) pentrufuncia f.Teorem. Orice funcie continu f : A Rk Rp pe o mulime nchis imrginit A este uniform continu, adic: .c > 0, o = o(c) > 0 a..x, y A cu x y < o, avem f(x) f(y) < c4.6. Limita restriciei unei funcii la o submulime. LimiteiterateCalculul unor limite conduce la cazuri de nedeterminare. n calculullimitelor pentru funcii de mai multe variabile, n cazurile de nedeterminare00i , nu dispunem de un instrument comod cum este regula lui LHospitalpentru funcii reale de o variabil real. S presupunem c nu putem calculadirect limita ntr-un punct a pentru o funcie f de mai multe variabile. Pentru aobine indicii privind existena/ inexistena limitei sau valoarea limitei, studiemlimitele n a pentru restricii ale funciei date la curbe ce trec prin a. Daclimitele n punctul a pentru dou restricii ale funciei f sunt diferite, atuncifuncia f nu are limit n a.Vom numi limita uzual limxa f(x) limita global a funciei f n punctul a,pentru a o deosebi de alte tipuri de limite discutate n continuare.Limite lateraleFie f : A R R i a R. Limita la stnga a funciei f n a este limitan a pentru restricia lui f la A (, a), iar limita la dreapta a funciei f n aeste limita n a pentru restricia lui f la A (a, +). Limita la stnga i limitala dreapta ale unei funcii ntr-un punct se numesc limitele laterale ale funciein acel punct i se noteaz cu limxaxa f(x). Studiul limitei lastnga, respectiv al limitei la dreapta, pentru funcia f : A R R n a aresens numai dac a este punct de acumulare pentru A (, a), respectivpentru A (a, +).Presupunnd c are sens studiul limitei la stnga i al limitei la dreapta,funcia f are limit n punctul a dac i numai dac limitele sale laterale n a44exist i sunt egale.Limita restriciei funciei la o submulime E (de-a lungul lui E)Fie (X, d1) i (Y, d2) spaii metrice i f : D X Y. Presupunem cE D i a X este punct de acumulare pentru E.Avem limxaxEf(x) = L DEF V V(L), U V(a) a..x U E\a) f(x) V.Se observ c limxa f(x) = l limxaxEf(x) = l pentru orice E D cu a E(ntruct f(U E\a)) f(U D\a))). n concluzie:Limita de-a lungul oricrei submulimi este egal cu limita global , dacaceasta din urm exist. De aici rezult c dac limitele de-a lungul a dousubmulimi sunt diferite, atunci limita global nu exist..Limita ntr-un punct dup o direcie pentru funcii de k variabileSe numete astfel limita n acel punct a restriciei funciei la o dreapt caretrece prin acel punct i are direcia considerat. Calculul limitei dup o direcierevine la calculul limitei unei funcii de o singur variabil, deoarece pe odreapt coordonatele punctului curent depind de un singur parametru.Cazul k = 2.Fie (a, b) R2 i d o dreapt care trece prin (a, b).Dac d Oy folosim ecuaia explicit a dreptei (d) : y b = m(x a) (m este panta dreptei d, adic m = tg o, unde o = (Ox, d)). Dac d Oy,avem (d) : x = a. Cele dou cazuri considerate pot fi tratate unitar folosindecuaiile (d) :xap=ybq, unde (p, q) R2 (0, 0)) este un vector directoral dreptei d. De aici, notnd cu t valoarea celor dou rapoarte egale obinemecuaiile parametrice(d)x = a + pty = b + qt , t R.Pentru a calcula limita dup o direcie a unei funcii de dou variabileaplicm formula:lim(x,y)(a,b)(x,y)df(x, y) = limt0 f(a + pt, b + qt)Avemlim(x,y)(a,b)(x,y)df(x, y) = limxa f(x, b + m(x a)), dac d Oy, respectivlim(x,y)(a,b)(x,y)df(x, y) =yblim f(a, y) dac d Oy.Exemple. 1) Studiai existena limitei lim(x,y)(0,0)f(x, y) undef(x, y) =ax+bycx+dy , a, b, c, d 0 i ad bc.Notm (dm) : y = mx. Avem Lm := lim(x,y)(0,0)(x,y)dmf(x, y) = limx0ax+bmxcx+dmx =a+bmc+dm45(depinde efectiv de m).Se arat c m1 m2 Lm1 Lm2 (calculma+bm1c+dm1 a+bm2c+dm2 =(adbc)(m2m1)(c+dm1)(c+dm2) ) . Rezult c limita cerut nu exist.Mai putem observa c lim(x,y)(0,0)(x,y)Oxf(x, y) = limx0 f(x, 0) = limx0axcx =ac ilim(x,y)(0,0)(x,y)Oyf(x, y) = limy0 f(0, y) =bd sunt diferite.2) Studiai existena limitei lim(x,y)(0,0)xy2x2 + y4 .Notm f(x, y) =xy2x2 + y4 , (dm) : y = mx. Avemlim(x,y)(0,0)(x,y)dmf(x, y) = limx0 f(x, mx) = limx0x - m2x2x2 + m4x4 = limx0m2x1 + m4x2 = 0, pentruorice m real. n plus, lim(x,y)(0,0)(x,y)Oyf(x, y) = limy0= 0f(0, y)= 0. Deci limita n originedup orice direcie este zero. Totui, nu exist lim(x,y)(0,0)f(x, y). Fie parabola(P) : x = y2. Avem:lim(x,y)(0,0)(x,y)Pf(x, y) = limy0 f(y2, y) = limy0y2 - y2y4 + y4 = 12 0 = lim(x,y)(0,0)(x,y)dmf(x, y),de unde rezult c nu exist lim(x,y)(0,0)f(x, y).Cazul k = 3.Fie (a, b, c) R3 i d o dreapt care trece prin (a, b, c), de ecuaii(d) : x ap= y bq= z cs. Ecuaiile parametrice ale drepteisunt (d) : x = a + pt, y = b + qt, z = c + st ( t R).Legea de coresponden pentru restricia unei funcii f = f(x, y, z) la dreaptad se obine nlocuind n f(x, y, z) expresiile date de ecuaiile parametrice pentrux, y i z . Pentru n , avem (a + ptn, b + qtn, c + stn) (a, b, c) dac inumai dac tn 0. Formula de calcul pentru limita dup o direcie n spaiueste:lim(x,y,z)(a,b,c)(x,y,z)df(x, y, z) = limt0 f(a + pt, b + qt, c + st)Observaie. Dac limitele dup dou direcii ale funciei ntr-un punct suntdiferite, atunci limita global a unei funcii n acel punct nu exist.Exemplu. Studiai dac exist limita considerat, iar n cazul unui rspunsafirmativ calculai limitaL := lim(x,y)(0,0)(x,y)d(x2 + y2) ln(x2 + y2)Soluie. Scriem ecuaiile parametrice ale unei drepte care trece prin origine(d) : x = pt, y = qt (t R ). Avem46lim(x,y)(0,0)(x,y)df(x, y) =t0lim f(pt, qt). lim(x,y)(0,0)(x,y)d(x2 + y2) ln(x2 + y2) =t0lim |(p2 + q2)t2] ln|(p2 +pentru pentru orice dreapt d care trece prin origine. Am aplicat regula decalcul pentru limita compunerii a dou funcii i regula lui LHospital n cazul00 .Dac limita global cerut exist, atunci ea are valoarea L = 0. Faptul cL = 0 nseamn, conform definiiei limitei cc > 0, o > 0 a. . 0 < x2 + y2 < o |(x2 + y2) ln(x2 + y2)| < c.Notnd r = x2 + y2 , aceast implicaie este echivalent cur0lim r2lnr2 = 0,ceea ce este adevrat. Deci limita global cerut exist i este zero.Limite iterate pentru funcii de k variabile realeCazul k = 2. Limitele iterate ale funciei f : D R2 R ntr-un punct(a, b), punct interior al mulimii D, se definesc prin: L1 = limxa limyb f(x, y) iL2 = limyb limxa f(x, y).Se observ c dac (a, b) este punct interior al lui D, exist c > 0 astfelnct (a c, a + c) (b c, b + c) D, adic x (a c, a + c) iy (b c, b + c) (x, y) D. Pentru a calcula L1: pentru fiecarex (a c, a + c) calculm limyb f(x, y) NOT=l1(x), apoi L1 = limxa l1(x). Analog,pentru a calcula L2: pentru fiecare y (b c, b + c) calculmlimxa f(x, y) NOT=l2(y), apoi L2 = limyb l2(y).Limitele iterate ale unei funcii ntr-un punct nu sunt n mod necesar egale.Dac exist limita global ntr-un punct , atunci limitele iterate n acelpunct interior exist i sunt egale cu limita global.(L = lim(x,y)(a,b)f(x, y) L1 = L i L2 = L). Este posibil ca limitele iteratentr-un punct s fie egale fr ca limita global s existe.Pentru o funcie de k variabile se pot considera k! limite iterate. Deexemplu, pentru k = 3 se pot scrie 3! = 6 limite iterate: limxa limyb limzc f(x, y, z),limxa limzc limyb f(x, y, z), limyb limxa limzc f(x, y, z), limyb limzc limxa f(x, y, z), limzclimxa limyb f(x, y, z) i limzc limyb li