AM3 Murmis TP1 - Ej. 18

7/25/2019 AM3 Murmis TP1 - Ej. 18

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Análisis Matemático III - Guía de Trabajos Prácticos - T.P. N o 1Variable Compleja - Álgebra y Topología en Complejos

T. P. No 1 - EJERCICIOS RESUELTOS

Enunciado

18. Dados los conjuntos:{ } A z z i= ≤ − ≤:1 3

{ } B z z i= − ≥: 2 2

C z n N zi

n= ∀ ∈ =

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

:

( ){ } D z z= ≥:Im 0

indicar: a) ( ) INT A BI

b) ( )EXT B DU

c) si ( ) z ACUM C = ∈0 U D

d) si( )

( )

z i AISL C B

z i AISL C B

= ∈

= ∈

⎧⎨ ⎩

U

U2

e) si ( ) ( ) z = ∈i EXT A D o AISL A D∈I I

Resolución

Resuelto por: Miguel GoldsteinRevisado por: Gustavo M. Murmis - Eduardo G. Murmis

Antes que nada, grafiquemos los conjuntos A,B,C y D para poder visualizarmejor lo que siga:

{ A z z i= ≤ − ≤:1 3} es un disco, centrado en +i,

cuyo radio interior es 1 y cuyo radio exterior es 3. Ambos círculos (los que limitan al disco) seencuentran incluidos en el conjunto A ya que en el

enunciado se utiliza el signo ≤ .

{ B z z i= − ≥: 2 2} es la parte exterior a un círculo, de

radio 2, centrado en 2i. Nuevamente, el círculo quelimita este conjunto se encuentra incluido en elconjunto en cuestión.

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C z n N zi

n= ∀ ∈ =

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

: es un conjunto de puntos,

distribuidos sobre el semieje positivo de los

números imaginarios, y la distancia entre dospuntos consecutivos es menor cuanto más seacerca a infinito el valor de n, lo cual esequivalente a decir cuanto más se acerca a ceroel valor de z.

( ){ D z z= :Im 0}≥ es el conjunto tal que abarca

todo el semiplano superior del plano complejo,incluyendo al eje real.

a) ( ) INT A B∩

Busquemos en primer lugar la intersección entrelos conjuntos A y B, y luego el conjunto interior dedicha intersección.

Recordemos que ambos círculos límites delconjunto A B∩ pertenecen a ambos conjuntos, conlo cual están incluidos a su vez en la intersecciónde ambos.

Tengamos en cuenta que la definición de punto interior es tal que “existe almenos un entorno del punto tal que todo el entorno está incluido en elconjunto”.

Con esta idea, resulta intuitivo que el conjunto interior a A B∩ es

( ) { }: 3 2 INT A B z z i z i∩ = − < ∧ − > 2 , lo cual es equivalente a pensar la

intersección en sí misma, salvo los puntos frontera, que son los quecomponen los círculos que delimitan el área en naranja.

b) :( )EXT B DU

A partir de los gráficos correspondientes, vemos que abarca todoel plano complejo, por lo tanto no hay puntos tales que pertenezcan al

complemento de este conjunto, es decir

B DU

( )EXT B D∪ = ∅ . Recordemos

que un punto pertenece al conjunto exterior de un conjunto, cuando existeal menos un entorno del punto tal que éste esté incluido en elcomplemento del conjunto original.

c) si z A :( )CUM C D= ∈0 U

Dado que C está completamente incluido en D, la unión de ambos esnuevamente D. Así que la consigna se reduce a determinar si

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( )0 z ACUM D= ∈ . Recordemos la definición de punto de acumulación: es

aquel punto tal que para todo vecinal del mismo (con lo cual no importa elpunto en sí) hay puntos que pertenecen al mismo tiempo al vecinal y alconjunto en cuestión. En nuestro caso particular, para todo vecinal de z=0,podemos encontrar puntos que pertenecen al conjunto D, pues por máschico que sea el vecinal, siempre va a contener puntos que tengan, porejemplo, parte real 0 y parte imaginaria menor que el radio del vecinal (lospuntos elegidos son arbitrarios, por supuesto, también se podría acercar al

z=0 por cualquier curva incluida en el semiplano ( )Im 0 z ≥ ).

Por otra parte, cuando pensamos en parte imaginaria tan chica comoquerramos, y parte real igual a cero, observamos que el conjunto Ctambién cumple con que z=0 es punto de acumulación. De hecho, estepunto es el único punto de acumulación que tiene el conjunto C.

d) si ( )( )

z i AISL C B z i AISL C B

= ∈= ∈

⎧⎨⎩

U

U2

z=i es evidentemente un punto aislado, pues existe un vecinal tal queninguno de sus puntos está incluido en , por ejemplo un círculo,

centrado en z=i de radio 0.001; Además z=i pertenece al conjunto ,pues n=1 produce como imagen z=i/1, y es por lo tanto un punto de C.Esto último puede parecer redundante, pero es una condición para que elpunto sea aislado.

C BU

C BU

z=2i no pertenece al conjunto C ni al B, por lo tanto no está en la uniónde ambos. Teniendo en cuenta que es necesario que el punto pertenezca

al conjunto para poder ser un punto aislado del mismo, z=2i no es puntoaislado de C . BU

e) si ( ) ( ) z i EXT A D o AISL A D= ∈ ∈I I

El conjunto que está a la derecha es la intersecciónde A y D, y podemos observar claramente que i nopertenece al conjunto , con lo cual quedadescartado que sea un punto aislado del mismo.Para ser un punto exterior a , debe haber al

menos un entorno tal que esté completamente

incluido en el complemento de . Se ve a simplevista, que para cualquier círculo, centrado en z=i, yde radio menor que uno, se verifica que el entornopertenece al complemento de . Por lo expuesto, podemos afirmar

que

A I D

A DI

A DI

A DI

( ) z i EXT A D= ∈ I

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