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Unidade 3.1 – A Teoria dos Determinantes
Determinantes1. Introdução:A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.
2. Definição:A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.
3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordemO determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da matriz .
Ex.: 3
232
3. Cálculo dos Determinantes:
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária .
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem
Ex.:
5381)]( . 3)[( 4). (241
32
3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus)1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os elementos das outras duas filas à sua direita.
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Ex.:
531
420
321
31-
20
21
531
420
321
- -- + ++
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0
= -4
4. Cofator de uma matrizSeja A uma matriz quadrada de ordem n 2. Chama-se cofator de um elemento aij de A ao número real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij .
Ex.:
12A calcule ,
52-4
21-3
021
A Seja
54
23.)1(A 21
12 )815( . 1 A12 = -
7
5. Teorema de LaplaceO determinante de uma matriz A, de ordem n 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.Ex.:
5234
2003
3412
1121
3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34
=234
412
121
. 2
523
341
112
. 3
34
12
21
234
412
121
. 2
23
41
12
523
341
112
. 3
- -- + ++
3 . (-40 + 9 + 2 – 12 – 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 – 4 – 12 – 8) 3 . (-48) - 2 . (16)
= -144 - 32
= -176
- -- + ++
Propriedades dos Determinantes
P1. Fila NulaSe todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 .
Ex.:
6201
0000
4413
5421
0
P2. Filas Paralelas Iguais ou ProporcionaisSe duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0 .
Ex.:
0
808
545
232
0
504
426
213
e
2ª linha = 2 x 1ª linha
Se liguem, sempre que nos referimos a filas, estamos falando de linhas e também de
colunas!
1ª coluna = 3ª coluna
4262132213
P3. Matriz TranspostaO determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Ex.:
843
015
102
43
15
02
= 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1
801
410
352
01
10
52
= 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1
P4. Teorema de BinetSe A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:
det(A . B) = det A . det B
Ex.:
21
03B e
32
14A
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60
69
213
21
03 .
32
14det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60
P5. Matriz Triangular
P6. Troca de Filas Paralelas
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Ex.:
872
019
005
= 5 .1 .8 = 40
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma outra matriz M´, tal que:
det M´ = - det M
Ex.:
2228627
43 22628
43
27
P7. Produto de uma Fila por uma ConstanteSe todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado por k.
Ex.:
511
430
291
11
30
91
= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos:
531
490
2271
31
90
271
= -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33
Consequência:
Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos:
det (k . A) = kn . det A
P8. Determinante da Matria InversaSeja A uma matriz e A-1 sua inversa, então: A det
1A det 1-
52312
13A det
Ex.
:
51
255
252
253
53
52
51
51
A det 1-
P9. Adição de DeterminantesUm determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante.
Ex.:
623
130
022
603
130
012
643
110
052
623
110
042
+ + =
P10. Teorema de JacobiAdicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que:
det M´ = det M
Ex.:
614
724
531
-3
6114
7104
501
Regra de ChióA regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem n 2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a linha e a coluna retiradas.
Ex.:
512
302
131
)1.(253.21
)1.(233.20
75
56
2542
-17
Matriz de VandermondeChamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n 2, em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores.
Ex.:
343125278
492594
7532
1111
7 5 3 2(3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)
1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2
240
EXEMPLO 1
6) Calcule o determinante de
43
12.
15
EXEMPLO 2
7) Calcule o determinante de
63
24.
16
EXEMPLO 3
8) Calcule o determinante de
021
102
321
17
EXEMPLO 4
9) Calcule o determinante de:
201
770
003
18
EXEMPLO 5
10) (FUVEST) É dada a matriz
P =
10
11.
a)Calcule P2 e P3 b) Qual a expressão Pn?
19
EXEMPLO 6-ESAF
20
EXEMPLO 7
21
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