Informe Ecuaciones Diferenciales

Flavio de la Roza1, Adrian Escarate1, Matıas Gongora1 and Giulano Tognarelli1

1Facultad de Ingenierıa , Departamento de Ingenierıa

Universidad Finis Terrae

25 de noviembre de 2014

Resumen

En la fabricacoon de fertilizantes uno de los productos principales es el acido

nıtrico. El equipo de trabajo busca encontrar el modelo que define el llenado de un

estanque con dicha solucion, para con ello calcular el tiempo en que la concentracion

de acido contenido en el sea del 10%. Para la solucion de dicha problematica se

planteara una ecuacion diferencial de primer orden, es decir la variacion de un factor

con respecto a el tiempo

@x

@t

. La herramienta a emplear sera el Sofware Matematico

Matlab, el cual facilitara los calculos asociados a el problema.

1. Introduccion

En el siguiente informe nos enfocaremos en el desarrollo de una Ecuacion Diferencialcon el fin de encontrar la concentracion de Acido nıtrico (HNO3) uno de los productos masimportantes en la fabricacion de fertilizantes. El acido nıtrico es un lıquido corrosivo quepuede ocasionar graves quemaduras en seres vivos. Este compuesto se utiliza comunmenteen la fabricacion de explosivos, y asi como fertilizante como el nitrato de amonio.

La aplicacion de este compuesto en el ambito de la agricultura cumple una funcionmuy especial ya que se utiliza para rebajar el ph en el momento vegetativo del cultivo,este evita que se provoquen desordenes nutricionales por su aplicacion en epocas en lasque las plantas no precisan nitrogeno.

Es por ello que en el siguiente informe el equipo de ingenieros buscara encontrar eltiempo en que el porcentaje de acido contenido en un cierto tanque, sera de 10%. Paraellos sera necesario utilizar herramientos de diferenciales ya que dicha problematica constacon una variacion de parametro respecto al tiempo.

2. Marco Teorico

Se llama ecuacion diferencial a una ecuacion que involucra una variable dependiente ysus derivadas, con respecto a una o mas variables independientes. Cuando en una ecuacionaparecen las derivadas de una funcion con respecto a una sola variable, se dice que es unaecuacion diferencial ordinaria (EDO). El orden de una EDO es igual a la derivada de masalto orden que aparece en la ecuacion. En una EDO de orden n tiene la forma:

1

F (x, y, y0, y00, ..., yn) = 0 (1)

Se llama solucion de (1) a toda funcion y= f(x) definida en algun intervalo I, talque F(x ,f’(x),f”(x),. . . ,fN(x))=0 para x perteneciente a I. Representan interes particularaquellas EDO que son solubles con respecto a la derivada de mas alto orden. Estas EDOtienen la forma:

yn = f(x, y, y0, y00, ..., yn�1) (2)

2.1. 1.1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.

Las EDO de primer orden del tipo (2) son de la forma:

y0 = f(x, y) (3)

Entonces Si en una ecuacion (3) f(x,y)=0 entonces cualquier funcion contante y=c essolucion de la ecuacion, asi que reviste e interes el caso que f(x,y) es distinto de 0. LasEDO de primer orden se clasifican en dos: lineales y no lineales. Una EDO (3) es linealsi ella se puede escribir en la forma y’ + f(x) y =g(x). Las delas se llamaran no lineales.Frecuentemente es conveniente escribir la ecuacion (3) en la forma:

M(x, y) +N(x, y)dx

dy= 0 (4)

Siempre es posible hacer esto poniendo M(x,y)=-f(x,y) y N(x,y)=1. En otras ocasionesse escribe la ecuacion (3) en la forma equivalente:

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (5)

2

3. Desarrollo

3.1. Planteamiento del Problema

En un estanque estan contenidos inicalmente 200 Litros de una solucion de AcidoNıtrico con una concentracion de 0,5%. Por lo tanto, en el estanque se tendra:

Vinicial

= 200 [Litros]

Cinicial

= 0, 005

Gramos

Litros

�HNO3

Por otro lado, existe un flujo de entrada que envıa al estanque una solucion de AcidoNıtrico a una razon de llenado de 6 Litros por minuto hacia el interior (velocidad dellenado), y la concentracion de esta solucion de entrada es de 20% de HNO3. Ademasexiste un flujo de salida que bombea la solucion a un razon de 8 Litros por minuto conuna concentracion presente de HNO3 desconcodida. teniendo lo siguiente:

Rentrada

= 6

Litros

minutos

�HNO3

Centrada

= 0, 2

V olumen Soluto

V olumen Disolucion

�HNO3

Rsalida

= 8

Litros

minutos

�HNO3

Csalida

= X

V olumen Soluto

V olumen Disolucion

�HNO3

Es por lo anterior, que el modelo diferencial que describe el problema en funcion deltiempo ¡¡t¿¿, queda expresado como:

dx

dt= F

entrada

� Fsalida

(6)

Donde el Flujo de entrada viene dado por el producto de la velocidad de entrada dela solucion por su concentracion correspondiente, y el Flujo de salida es el producto de lavelocidad de salida por su concentracion correspondiente. La ecuacion (6) queda expresacomo:

3

dx

dt= (R

entrada

⇥ Centrada

)�✓

Rsalida

⇥ Csalida

Vinicial

� (Rsalida

�Rentrada

) t

◆(7)

Llevando la expresion anterior a valores, usando los datos anteriormente expresados,se tiene que la ecuacion diferencial viene dada por:

dx

dt=

✓6

L

min

�⇥ 0, 2

◆�

8⇥

L

min

⇤⇥X

200 [L]� 2t⇥

L

min

⇤!

Simplificando queda:

dx

dt= 1,2� 4x

100� t(8)

La expresion representa una ecuacion diferencial de primer orden lineal, y su resolucionviene dada por la expresion:

x(t) = e�4´ dt

100�t

✓6

5

ˆ ⇣e4´ dt

(100�t)

⌘dt+ C

◆(9)

ˆdt

100� t= ln(100� t) + k

x(t) = eln(100�t)4✓6

5

ˆ ⇣eln(100�1)4

⌘dt+ C

◆

x(t) = (100� t)4✓c+

6

5

ˆ(100� t)�4dt

◆

x(t) = (100� t)4✓C +

2

5(100� t)�3

◆

) x(t) = C(100� t)4 +2

5(100� t) (10)

4

Ahora bien, una vez que la ecuacion diferencial es resuelta, se necesita encontar laforma final. Para ello, se ocupan las condiciones iniciales entregadas en el enunciado delproblema. Se sabe que en t = 0 hay 200 Litros de solucion al 0, 5% en el estanque, por lotanto:

200 [Litros]⇥ 0,005 [Concentracion] = 1 [Litro]

x(t = 0) = 1 [Litro]

Reemplazando en la ecuacion (5), se tiene:

1 = C(100)4 +2

5(100) ) C =

�39

1004

Reemplazando el valor de C, nuevamente en la ecuacion (10) se tiene:

x(t) = �39

✓100� t

100

◆4

+2

5(100� t)

Ya teniendo la solucion final de la Ecuacion Diferencial, es necesario buscar el tiempot en que la concentracion de HNO3 al canza el 10%, para ello se tiene lo siguiente:

100x(t)

200� 2t= 10 ) 5

2

5� 39

✓100� t

100

◆4 1

(100� t)

!= 1

Finalmente, la expresion resulta:

1 =195

1004(100� t)3 ) 1004

195= (100� t)3/()

13

) t = 9,597 [minutos]

5

3.2. Grafica de la Funcion

El grafico anterior indica que, tanto a los 9, 6 [minutos] como a los 74, 34 [minutos],la solucion alcanza una concentracion de 10% de Acido Nıtrico presentes en la solucionmisma. Ademas podemos notar, que en los primeros 10 segundos, la concentracion presenteen el estanque aumenta de forma significativa, esto dado que la razon de llenado envıa alsistema una disolucion de HNO3 al 20%, posterior al tiempo indicado, la concentracionalcanza su punto maximo o saturacion maxima. Esto sucede a los 19 minutos, llegando ala concentracion maxima de 36, 4 [gramos/Litro]. Finalmente, la solucion presente en eletanque, comienza a decantar en concentracion del acido, debido a que la razon de vaciadoes de 8 [Litros/minuto].

Figura 1: Concentracion de HNO3, en funcion del tiempo.

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4. Discusion

Los resultados arrojan que el tiempo que demora el sistema en alcanzar la concentra-cion del 10% de solucion de HNO3 es de alrededor de 9 minutos con 36 segundosy luegotranscurridos 1 hora y 14 minutos. Al observar la grafica de la figura, la concentracion desolucion presente en el estanque comienza a elevarse rapidamente en el primer intervalode tiempo alcanzando rapidamente la concetracion esperada en el tiempo ya estimado.Ademas es notorio ver que el estanque alcanza su concentracion maxima de Solucion deHNO3 pasados unos 35 minutos, en ese instante el estanque llega a el 20% de concen-tracion (saturacion maxima) y luego comienza a decaer puesto que la razon de salida esmayor que la de llenado o entrada.

5. Conclusion

Podemos concluir que la ecuacion diferencial de primer orden determinada por el mo-delo de concentracion, permitio generar la estimacion pertinente a los tiempos en que lasconcetraciones son optimas. Gracias a ello, podemos determinar el tiempo preciso en quela solucion de acido nıtrico es la optima para la fabricacion del fertilizante. Teniendo encuenta lo anterior, y habiendo modelado la funcion de la concentracion de acido, podemosregular la entrada y salida de disolucion al estanque, para ası mantener la concentracionoptima necesaria para fabricar un tipo de fertilizante. Por otro lado, la ecuacion dife-rencial que define el modelo, nos entrega la relacion directa entre la subida del nivel deacido en relacion al tiempo, con lo cual podemos generar un control del tiempo que debenmantenerse los flujos de llenado y vaciado, para llegar al nivel esperado. Si el estanqueaumenta su capacidad, entonces notaremos que el tiempo que alcanza la concentracionde 10% sera mayor, a menos que la razon de llenado sea mayor que la presentada por elproblema.

Agradecimientos Se agradece a la Facultad de Ingenierıa Civil de la Universidad FinisTerrae, por disponer de las herramientas y tiempo necesarios para resolver y desarrollarla problematica anteriormente planteada, en especial al Profesor del ramo de EcuacionesDiferenciales, Emilio Marti, quien instruyo al equipo hacia un optimo resultado.

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