Captulo

Amostragem deSinais Contnuos

Um sistema de processamento digital de sinais contnuos segue em geral o esquema da

Figura 5.1. O sinal contnuo amostrado, ou seja, convertido em um seqncia de pulsos que

contm a informao de sua amplitude em instantes especficos determinados pelo intervalo

de amostragem. A seqncia discreta resultante processada por um sistema de processamento

de sinais digitais, conforme dita a necessidade da aplicao. O resultado desse processamento

ento convertido, a partir de suas amostras, novmente em um sinal contnuo.

O processo de amostragem, quando realizado fisicamente, tambm chamado de con-

uers,o analgco-digital (ND). O processo inverso de reconstruo nesse caso chamado deconuerso digital-analgico (DIA). Devido s prprias caractersticas dos circuitos que imple-

mentam cada um desses passos de processamento, hageno de erros que podem compro-meter o resultado. Existe uma srie de tcnicas e condies, no entanto, para garantir que

as discrepncias ente o sinal contnuo e sua representao discreta sejam arbitrariamentepequenas. Para que essas tcnicas e condies sejam desenvolvidas, vamos considerar con-

versores ideais, ou seja, erros provenientes de rudos ou impreciso da implementao fsica

no sero levados em conta.l Adicionalmente, em vrias situaes lidaremos com sistemasque, embora tenham grande utilidade terica, no so fisicamente realizveis, como filtrosideais. A validade da teoria, no entanto, no fica comprometida por esse fato.

Neste captulo estudamos a amostragem e a reconstruo de um sinal contnuo. A Fi-gura 5.1 mostra que o sinal contnuo x"(t) convertido em um sinal amostrado rr(r). Aqui,xr(l) uma representao em tempo contnuo equivalente ao sinal discreto x[nl que obtidoe processado. O uso de uma representao no domnio do tempo contnuo til para evi-denciar vrias das propriedades do sinal amostrado. No entanto, h uma equivalncia direta

entre o sinal rr(f) e xfnf , como ficar mais claro frente.

)

II

I

I

I

at

x,() y"(t)

Figura 5.1Tpico sistema de processamenio digital de sinais contnuos.

lBaseadas nas teorias de nostasen. e cle sinais aleatrios, existem vrias modelagens para diferentestipos de rudos.

!*.Frr&::;..-! -1 jri:: jiilsgffi:)sryittr ;.:::-:,:;.#

5.1- Amostragem 93

5.1 AmostragemFunes discretas podem ser obtidas por meio da

operao de amostragem de um sinal contnuo. Do sinalcontnuo, em instantes especficos indicados pelo interualo

oa perodo de amostragem To, obtida a informao daamplitude do sinal, e cada uma dessas informaes uma

amostr da seqncia discreta resultante. O recproco dointervalo de amostragem, dado por fo = 1.lTo, a chamadafreqncia de amostragem.

Apesar de no parecer intuitivamente comprovvel,em geral possvel amostrar qualquer sinal com um in-tervalo d adequado que permite a reconstruo do sinalcom preciso arbitrariamente boa. De fato, existe um va-lor mnimo de que garante que um sinal limitado emfreqncia pode ser reconstrudo exatmente partir desuas amostras, pelo menos em teoria. Na prtica, a amos-trgem, a quantizao das amostras e a interferncia desuperposio do sinal impem uma limitao ao processo.Essa limitao, no entanto, pode ser reduzida com o uso de

tcnicas apropriadas.

A amostragem feita fisicamente atravs de um con-versor y'D. Matematicamente, o processo de obteno deamostras de um sinal contnuo dada pela Equao 5.1:

rfn]: r"(nT") (s.1)

onde r"() o sinal sendo amostrado, n avavel do tem-po discreto e To o intervalo de amostragem.

Graficamente, o processo de amostragem pode ser vis-to na Figura 5.2. A lnha tracejada mostra o sinal originalr"(). As amostras obtidas representam a seqncia discretaque ser processada.

Figura 5.2

Amostragem de um sinal contnuo com intervalo de amostragemlu: 0,5s.

5.1.1 Funo de Amostragem

Uma maneira equivalente de representar essa mesma

operao pela modulao de uma funo de amostragem,que consiste em uma seqncia de impulsos igualmentedistanciados no domnio do tempo. Matematicamente,

s(r) : I otr-rTo)representa o trem de impulsos. Uma vez que a operao de

amostragem tem profundas conseqncias na representa-

o em freqncia do sinal amostrado, interessante obter

a ffansformada de Fourier do trem de impulsos, que podeser obtida atravs da srie de Fourier. Definindo (lo = ZtrlTo,em que Q a freqncia da funo de tempo contnuo,como a freqncia angular de amostragem, a srie de Fou-

rier de tempo contnuo para esse sinal dada por

sll : : f"'' 6(t)e-ika"t dt (5.3)Lr ToJ_4p r/Pela propriedade da amostragem do impulso, temos

(5.4)

Em outras palavras, a srie de Fourier de um trem de im-pulsos um valor constante. Podemos obter o trem de im-pulsos novamente fazendo a sntese do sinal:

s(r) : i ,1r1"ron"'&:-co

r6

: t "i*n"r (5.5)T" u?*

Substituindo esse resultado na definio da transformada

de Fourier de tempo contnuo, temos

(5.2)

Exemplo 5.1

Seja a seqncia ,Inl :.or fn obtida a partir daamostrage da funo 4) :-.or 300n'. Podem-seobter, da Equao 5.1, o perodo e a reqncia deamostragem, pois

3zrcos -:-n: cos300nn?"4

e portanto, considerando apenas o valor principal,

3zr, +n =.300rrt'7.e encontra-sQ To:0,0025 s. Como a freqncia oinverso do perodo, a freqncia de amostragem ser

f o: 400 amostras/s. interessante notar que existemoutros valores de freqncia de amostragem que resul-

tariam na mesma seqncia discreta, devido ao alia-sing, o que ser visto com maiores detalhes adiante.

S.,l]_ +

s(0) : s!)e-tat dt

94 Captulo 5. Amostragem de Sinais Contnuos.

t

.m.6

= I t | "itn"t"-iotdtI 11 Z-J,__ ro k=__

=+ f "-itn-*atdt (5.6)'o ,1"=-- '--A integral representa a transformada de uma funo

constante deslocada na freqncia, que dada pela expres-so 2n(fl - k0o),z podendo-se concluir que

s(0):l_u,n-fro")

I,

0,

0,4

0.2

0.

1

(s.7) 0,

Portanto, um trem de impulsos com sepuao de Toentre cad impulso, no domnio do tempo, se converte emum trem de impulsos no domnio da freqncia, com se-parao de Qo radianos entre os impulsos. A Figura 5.3mostra o processo, em que o perodo de amostragem 0,5segundos e a freqncia de amostra gem 2 amostras/s.

5.1.2 Modulao da Funo deAmostragem

Uma vez definida a funo de amostragem como umtrem de impulsos e enconfrada sua representao em fre-qncia, a operao de amostragem e seu efeito no dominio da freqncia podem ser obtidos. A amostragem deum sinal contnuo pode ser definida como a modulaodesse trem de impulsos pelo sinal contnuo. A modulao obtida pelo produto das duas funes, e o resultado uma funo de tempo contnuo rr() que representa o sinalamostrado. Podemos escrever

r"() : r"()s() (5.8)

Sendo s(l) definida como na Equao 5.2, a expresso re-sultante da modulao dada pela Equao 5.9.

r,(t) : ""tr) 6Q-rr^)

oo t:--

,.=t_*".{"*)6(t - rT") (5-9)

O resultado da modulao uma seqncia de impul-sos, distanciados I segundos um do outro, em que cadaimpulso tem como amplirude o valor do sinal contnuor"(t) naquele ponto. Essencialmente, rr(f) uma funo detempo contnuo. No entanto, sendo diferente de zero ape-nas em valores definidos, mltiplos inteiros do perodo de

lEsse resultado pocle ser obtido oela avaliao apropriada da in-regrai de Cauchy:

0,4

0,2

Figura 5.3(aiTrem cle impulsos no domnio do tempo, com intervalo de

amostragem d. L : 0,5s. (b) O respectivo trem de impulsos nodomnio da freqncia.

-T

amostragem, uma representao adequada para x[n]' Se

considerarmos

rlnl: r"(nT") (s.10)

ento

@

rlnl :,0*r"rrr")6(nT" - rTo)

: r.(nTo), (5.11)

pois 6(nTo - y'To) sediferente de zeto apenas quando z =r. Isso demonstra que na converso de contnua para dis-

creta as duas funes so equivalentes. A funo x.() pode

ser vista como uma representao em tempo contnuo da

funo discreta xfn), porm definida como zero para valo-

res do domnio entre as amostras.

Pela propriedade da modulao em tempo contnuo, a

representao em reqncia do sinal amostrado ser

x,(^r) :**.rn xs(CI).A representao em freqncia do sinal amosado

4(O) vai depender do sinal, mas a transformada de Fourier

d funao de amostragem conhecida. A Equao 5'12

indica a convoluo do espectro da funo contnua amos-

trada com um treln de impulsos na freqncia. Lembrando

que o impulso o elemento neutro da convoluo, e utili-

zando a propriedade do deslocamento, ou seja,

X"(f)) * (A - rf,)o) : X"(Cl - r0') (5'13)

e realizan

5.2 Aliasing e Teorema da Amostragem 95

As freqncias representadas por valores de r + 0 soos termos em superposio causados pela mostragem.Adicionalmente, possvel mapear as freqncias reais nasfreqncias da transformada de rempo discreto. Se f afreqncia desejada e To o perodo de amostragem, ento,sendo C) = Zrf,

w :2trfTo (5.16)

Figura 5.4 (o)

Replicao do espectro devido amostragem.

x,(o) : #"",n, .'; ,_o(o - ro")

X.(O)* d(f2 - rCI")

X"(O - r0,). (5.14)

A Equao 5.14 mostra que o espectro do sinal amos-trado consiste na replicao do especto do sinal original acada intervalo de CIo na freqncia, efetivamente transfor-mando o espectro original em um espectro peridico comperodo Oo. A Figura 5.4 mostra o resultado. Em (a) vistoo espectro de um sinal arbitrrio. Em (b), vista a replica-

o devido amostragem por um fator . Nesse exemplo,supomos que o espectro original limitado entre -f)o e Oo,e dessa maneira a replicao no acarreta distores.

5.1.3 Relao enffe o Espectro do SinalAmostrado e o Espectro da SeqnciaDiscreta

O espectro do sinal amostrado x.(/) pode ser direta-mente relacionado com o espectro da seqncia de tempodiscreto xfn),umavez que so expresses equivalentes. Fa-zendo o - {To, obtemos a freqncia da transformada deFourier de tempo discreto, r,,', de tal maneira qtJe aa = QoToseja sempre igual a 2r. A representao em freqncia dexfn) ser dada por

X(r) :- X,

Exqmplo 5.2 i, , ,Seja um sinal amostrado a cada 1 x 10-3s. A freqn-cia de tempo discreto correspondente a 500 amos-tras/s ser

u : 221500x10-3:n,

Seguindo o mesmo raciocnio, as freqncias f = :50

100 e 250 amostras/s correspondem, respectivamen-le,aw=rf10,rl5exl2.

Cabe analisar um eeito importante. Segundo essa., : d .: f

,me5ma ioperao, :ia freqnia correspondente a:l000.4rlroStras/s ser dada po;a:,=,2:r-. No entanto,como:atransfotmada de Four,ier de um sinal discre-to, peridica, com perodo 2n'; iso significa que acomponente em-freqncia correspondente a 1000amostras/S ter a mesma,amplitude QUe a componen:te DC. Esse efeito chamado aliasing, e analisadocom,maioie:s,detalhes'na seo seguin-te. , ".' '

1rF /J

r: -co-mI

-11 /-rr=-co

(;)T1: .|'l& x^(v- ry" \'1" T" /

5.2 Aliasing e Teorema daAmostragem

Se o espectro do sinal que est sendo amostrado nofor limitado, ou seja, se o sinal contiver energia acima deuma freqncia determinada O6, o que uma ocorrnciabastante comum, existir uma superposio entre os es-pectros replicados. O resultado a distoro que recebeo nome de aliasing. Na Equao 5.L4, os termos com r * 0representam os espectros em superposio. A Figura 5.5mostra o efeito dos espectros em superposio.

As distores tpicas causadas pelo aliasing dependem

do tipo de sinal considerado. Em sinais de udio, nota-do como uma mudana desconfortvel no timbre do som;em imagens, pode ser notado como o serrilhado aparentenas bordas dos objetos; em sinais de vdeo, notado como"pulos" na animao. Em outros tipos de sinais, outrosefeitos esprios so notados.

(5.1s)

96 Captulo 5. Amostragem de Sinais Contnuos

3oo2Qol

0.

1,0

Tltrilli1il

illi

illli 1i]

:ljl

ili1,I]

it,ll'i.i, ,l

r

rl

/\

0,

0,

-3Qo ,1

_o

0

(a)

] : lo-rQo

Figura 5.6Resultado do aliuing do Exemplo 5.4.

0,2

0,0 10oa

Figura 5.5Aliasing na replicao dos espectros.

possvel ic{entificar as freqncias que esto se sobre-

pondo. O espectro resultante da amostragem a soma de

vrios espectros deslocados, como mostra a Equao 5.12.

Assim, uma freqncia determinada 0 conter no apenasa informao de X"(Cl) como tambm a informao da re-

plicao em cada uma das freqncias {l - r{2o, paru r . Z.

txemplO 5.J .., ',,. ',:: " .. ' :" ' , t . l' _: ri: : l, Seja r,(l) : cos(2i5Ott) urna funo contnua mos

trada com freqncia de amostragem 1t : 1gg0Hz.:O 'perodo cle amostragem ser 4 : 10-3s, e a freqn-cia angular, Qo: Zrf : 2000ri. Pode-se demonstrarque haver a!asng, a partir das equaes a seguir. O

sinal amostrado c{nj : r"(nT) ser dado por:.

rl,n] -' coslZZSOzrn tO-31: cos(2r2'rn) '

cos(2zrn, l0,25nn): ccs(trnl4)

O sinal, amostradolde maneira inadequada, resultarem uma seqncia dferente da esperada, e em umsinal dierente ao ser reconstrudo. Sendo o perodode amostra6em To: 10-3s, o sin al rr(J) obtido a partirda reconstruo das amostras ser dado por

' rr(t) - cos(2502r) 'i " 'l l

As reqrrcias sobrepostas podem ser encontradas fa-

zendo Qo = 2250ir

Exemplo 5.4 lSeja x.(t) = cos(Oot) uma funo contnua. X.(CI) con-s'rste em dois pulsos unitrios nas freqncias -CI. e

Qo- Se essa funo for amostrada com perodo Iu de

talforma que O" < 2Qo, ento haver o apar:ecimentode uma compoiente .stino - O")tl na representaoem freqncia do sinal,

A Figutu 5.6'mostra o iesultado. O intervalo de fre-

qncias entre :O, e O, resulta'no intervalo -lr < r r A replicao do espegtro sobre a freqncia deamostragem faz aparecer uma componente inexisten-

te na freqncia dada, indicada pela linha tracejada.

5.2.1, Teorema da Amostragem

Pode-se evitar completamente o aliasing se o sinal aser amostrado for limitado em freqncia. Suponhamorque o sinal xr(t) n.o contenha informao acima de umz

determinada freqncia, de tal forma que X(CI) = 0 paul-tl > Oo. Os termos em superposio na Equao 5.12so dados por{,(l - r{o),com r Z e r * 0; portanto, stgarantirmos que

I ""(n - rQo) : g, (s.17

rV"

garantimos que no haver aliasing. Como, por hiptese

4(0) : 0 para lo l CI0, basta garantirmos que

lf)-rfl,1 >0s (5.18

para todo r * 0, ento a condio ser satisfeita. O ponttcrtico dessa condio CI = Oo, pois para o intervalo drfreqncias menor que esse valor que 4(A) est definidoFazendo ) = fs, a Equao 5.18 indica duas condieslevando em considerao que f)o - rOn seja maior que )"teremos Q,, ) 0, o que uma condio bvia. No entantc

rl

i'::i' ,r.r'a:i:: ,iir. :1;..1Lrj;

2258r - r'2000n.(2250 - 2000r)r'

I(b)

5.2 Aliasing e Teorerna da Amostragem 97

levando em considerao que Qo- useja menor que -Q6,ento temos

O6-rQa(-Qo. (5.1e)

Uma vez que garantimos que a primeira replicao no sesobrepor ao espectro original, nenhuma das replicaes

subseqentes tambm o far. Fazendo t = 1, temos a con-dio de pior comportamento, portanto,

fl" ) 2c)6. (5.20)A condio mostrada pela Equao 5.20 conhecida

como taxa da amostragem de Nyquis, tambm conheci-do como Teorema da Amostragem, e indica que, se x"(t) um sinal limitado em freqncia, ento ele unicamentedeterminado por suas amostras, podendo ser reconstrudosem distoro se a freqncia de amostragem for o dobroda freqncia limitante do sinal. Se essa condio no forsatisfeita, ento os espectros replicados se sobreporo, ehaver distoro de aliasng. A freqncia

Qo : 2Oo (5.21)

-1 01234(a)

-202468(b)

a chamada freqncia de Nyquist, e diz-se que um sinalamostrado nessa exata freqncia criticamente amos-trado.

:

,,Emplos.s ' ir:':: rSeja a funo contnua %(t) : sinc 300n. Deseja-se saber qual o perodo mnimo de amostragem paraessa funo. No domnio da freqncia, o srnc re-presentado por um pulso retangular ideal:

, , ':

",: " -: t ,r:,,1 :t , ,

'f

""rnr: { , :: l3l :333Assim, esse sinal limitado'em freqncia por Qo =, 300n. Pelo teorema da amostragem, esse snal deveser amostrado a uma taxa f), > tno, portanto, -1, 600n. A Figura5.7 mostra o resultado da amostragemcom taxa abaixo da taxa de Nyquist, amostragemcrtca e amostragem superior amostragem crtica.Particularmente, o efeito do aliasing nesse sinal se vcomo o sinal representado apenas por um impulso naorigem, enquanto o sinal original contm informaoem vrios oytrgs pontos. O efeito do alasng foi deexatamente ncelar essas outras possvei5 amostras.

5.2.2 Efeitos do Aliasing em SinaisSenoidais

Para tornar mais clar:o o efeito cle distoro do alct-sizg, vamos investigar os efeitos do aliasing em um sinal

(c)

Figura 5.7Funo sinc amostrada subcriticamente, criticamente e sobrecri-ticamente.

senoidal. Esse tipo de sinal perfeito par o estudo do alia-sing, pois consiste em uma informao simples no domnioda freqncia. Seja um sinal x"(t) = cos(Ztrfot), amosrrado freqncia constante de 200 Hz. Essa freqncia ade-quada para sinais limitados at fo = 100 Hz.

A Figura 5.8 mostra o resultado da amostragem, f.a-zendo Oo assumir os valores f s = 70, 15,25 e 50 Hz. Visi-velmente, h um aumento na rapidez com que as amostrasvariam conforme a freqncia da funo cosseno aumen-tada.

No entanto, se aumentarmos ainda mais a freqncia,de tal maneira que a condio de Nyquist no mais sejasatisfeita, a amostragem ser feita de forma inadequada, everemos o efeito contrrio - conforme a freqncia au-mentada, a rapidez com que as amostras variam diminuir,como mostra a Figura 5.9. Nessa figura, respectivamen-te, fo = 150,175,185 e 190 Hz. Por conta dos efeitosdo aliasing, essas altas freqncias "ocupam o lugar" dasfreqncias mais baixas, de tal forma que, se o smbolo :significar que duas freqncias esto superpostas,

150 Hz : 50 HzI75Hz = 25Hz185 Hz = 15 HzI90Hz : 10 Hz

IJe r,ima maneira geral, o aliasing urn efeito devido periodi.:ic{ade da srie de Fourier, o que decorrente da

'. I'- t.'

E98 Captulo 5. Amostragem de Sinais Contnuos

.I I I I

25Hz

50Hz

Figura 5.8Amostragem de um sinal senoidal em freqncias adequadas.

periodicidade do seno e do cosseno. Um efeito semelhanteao apresentado aqui foi visto na Seo 1.3.4, e rever essseo pode ser interessante.

5.2.3 Filtragem Antialiasing

Para evitar o aliasing em sinais no-limitados, neces-srio realizar um processamento adicional anterior amos-tragem, para evitar a superposio. necessrio garantirque, para freqncias superiores a Qo, sendo eo: eJZ oespectro seja nulo. Para isso, o sinal filtrado por um fil-tro passa-baixas com freqncia de corte Oo que eliminaras componentes de alta freqncia que causam o aliasing.Essa operao recebe o nome de f.ltragem antialiasng.

Fisicamente, o pfocesso mostrado na Figura 5.10.O sinal a ser amostrado sofre a filtragem e depois pro-cessado pelo conversor A,/D. O filtro H(0) implementa,do, portanto, analogicamente, atravs de elementos ativoscomo amplificadores operacionais.

xo(t)

Figura 5.10

Figura 5.9Amostragem de um sinal senoidal sob reqncias inadequadas.

Idealmente, o filtro deve separar sem distoro as fre-qncias desejadas, isto , I O | < CI,, e rejeitar as indeseja-das. Um filtro ideal tem a seguinte definio matemtica:

a1o;: 1' se l0l ! o6 g.zz)\ o, se l0l > lse o sinal x"(t) a ser obtido pala a mostragem seria dadopor

x"(o) :(5.23)

O sinal 4(O) no contm componentes acima dafreqncia Oo e pode ser amostrado sem distores pela

freqncia de Nyquist. H uma desvantagem nesse proce-

dimento, no entanto: ao realizar a filtragem, informaes

do sinal r(l) so descartadas, acarretando outro tipo de dis-toro. Em geral, essas informaes, referentes s altas fre-

qncias, contm pouca energia, e Oo pode ser escolhido

cle tal maneira que as informaes descartadas no sejamrelevantes.

Um problema adicional consiste no fato de que um fil-

tro ideal no pode ser realizado, devido descontinuidadecontida. Existem vrias tcnicas diferentes para o proieto

de filtros realizveis que podem solucionar esse problema

de maneira satisfatria. Essas solues em geral exigem o

projeto de filrros usando polinmic-rs de Butterworth ou

-1-1

-505101s(c)

-s051015(d)

x,(f,)f(o)I x"(n), se lf)l < o6I o, se lCll > f)6

Pr-processamento para eviiar a/ia.sing.

4(r)

/

5.2 Aliasing e Teorema da Amostragem 99

Chebyshev, que podem ser convertidos diretamente em

circuitos ativos.

Exemplo 5.6

Seja a uno r"(t) : cosri' * 0,4cos12Trt. Seu grficol' e o seu espectro de magnitude so ilados na Figura.:

5.11- Essa funo pode ser amostrada seguramentesem perdas de informao se adotarmos um perodode amostragem menor que ou igual a 1/24 segundos.Para mostrarmos os efeitos da aliung e os benefciosda filtragem a,ntialiasing, no :entanto, vamos amostrar,,

essa funo com um perodo de To:0,1 segundos, oI que vai causar superposio dos espectros e portanto

distoro.

A seqncia %[n] : r"(nTo) obtida diretamenteda amostragem do slnal cont'rnuo, sem filtragem pr-via. Devido ao perodo de amostragem inadequado,a seqncia carrega distores. A Figura 5.12 mostraa seqncia obtida e o espectro resultante. interes-

sante notar que-, ainda que l amostragem siga perfei-tamente o trao da funo contnua, muita informa-

:o foi deixada de lado, o que causa uma distoro:apenas as informaes dos topos da senide de alta:freqncla foram obtidas, o que causa a mudana de. ,,

vrias estatsticas da seqncia.

, A seqncia a[.]' mostrada'na Figura'S3,com :seu espectro, btida da funo contnua originalaps a filtragem adequada. Essa figura tambm trazdistores, pois parte da informao da funo or-

' 'ginal precisou ser'descartada para que no houvessealiasing. No entanto, o sinal, quando reconstrudo,

, pf;6.vai contgr distoroes de atas fleqncias prove-,nientes do aliasing.

0(b)

{ -x/2 O rl2 (b)

Figura 5.11(a) Funo contnua do Exemplo 5.6. (b) Seu espectro de magni-tude-

Figura 5.12(a) Seqncia resultante da amostragem direta da funo contnuano Exemplo 5.6. (b) Seu espectro de magnitude. possvel notarclaramente o resultado da interferncia entre as replicaes doespectro, o que causa a distoro do sinal. (c) O sinal contnuoreconstrudo a partir de suas amostras. H uma srie de compo-nentes indesejadas devidas ao aliasng.

-1

Figura 5.13(a) Seqncia obtida com filtragem antialiasng no txemplo .5.6. fuamostras obtidas no correspondem exatanrente ao sinal original.(b) Seu espectro de magnitude. (c) O sinai rr:corrstrudo a partircle suas rnostras. Ainda que haja alguma clistoi-o, o sinal obtidoaps fiitragern mais representativo do oi-igin,rl.

1,5

0(b)

0(c)

:,ii:i,iii ti ii ii:t: ii. at ii

: ii tz ii,,ii,,iiiioii

I

!l

,,:|

::l

I

iIt

100 Captulo 5. Amostragem de Sinais Contnuos

5.3 Reconstruo de SinarsAmostrados

A operao de reconstruo de um sinal amostradoconsiste em obter, a partir das amostras de um sinal discre-to, o sinal analgico correspondente. De certo modo, podeser vista como a operao inversa da amostragem, desdeque o sinal a ser reconstrudo tenha sido amostrado de ma-

neira adequada e no tenha sofrido distores devido aoalasing ou filtragem antialiasing.

Em geral, a econstruo no pode ser realizada demaneira ideal, ou seja, recuperando perfeitamente o sinalamostrado, pois o processo de amostragem, como visto naSeo 5.2, sofre distores de aliasing ou tem parte de sua

informao descartada.3

No entanto, caso o sinal amostrado seja limitado emfreqncia e tenha sido amostrado com uma freqnciaigual ou superior freqncia de Nyquist, possvel re-construir o sinal de maneira satisfatria. Caso o sinal tenhasofrido filtragem antaliasing adequada, ele pode ser re-construdo de forma que a informao descartada no sejarelevante para a. aplicao em questo.

Inicialmente, a seqncia xlnf deve ser convertidaparaum trem de impulsos modulados xr{t), para que o sinal sejaobtido no domnio do tempo contnuo. Isso deve ser feitopois a seqncia xlnl no representa um sinal fsico (decorrente ou tenso), mas sim uma seqncia numrica ar-mazenada na memria do processador. Cada amostra deveser conyertida em um impulso unitrio de tempo contnuo,cada impulso deslocado um perodo de amostragemTo doimpulso anterior, de forma que

r,(t) :,I*rt"lA{t - nTo) (s.24)

A transformada de Fourier do sinal r,(/) pode ser ob-tida diretamente da transformada de Fourier da seqnciar[z], pois w = {lTo. O espectro resultante ser uma funode O que conter a replicao do espectro a ser reconstru-do, repetido com perodo ZtrlTo.Para obter a reconstruo,portanto, basta obter o lbulo central desse especto, atra-vs de filtragem. A Figura 5.14 mostra o processo de fil-tragem pa:a a obteno do lbulo cenrral do especrro, queser a representao em freqncia do sinal reconstrudo.

A Figura 5.1.5 mostra todo o processo de reconstruo.A seqncia convertida em um trem de impulsos modula-dos com o intervalo de amostragem equivalente ao da amos-

3A realizao fsica da amostragem, a converso analgico-digital,tambm realiza o processo de quantizao das amostras. O pro-cesso de quantizao irieversvei, e portanto o sinal no poderser reconstrudo com pereio. No entanto, o erro causado pelaquantizao pode ser feiro pequeno o suficiente para no se no-tado.

Figura 5.14Espectro do sinal a ser reconstrudo, filtrado em sua componentecentral.

tragem, e o sinal no domnio do tempo contnuo resultante

filtrado para a obteno do ibulo central da transformadade Fourier, que corresponde ao sinal desejado.

5.3.1 Reconstruo do Sinal Atravs daFiltragem Ideal em Freqncia

Uma vez que a filtragem seleciona o lbulo central dasreplicaes da transformada de Fourier da seqncia dis-creta, fcil ver que o sinal pode ser perfeitamente recu-perado se as condies de Nyquist foram satisfeitas. Mate-maticamente (veja Equao 5.15),

X"(O) : X(11"7.")13; ) , x,(a-roo) (5.25)to,!1*

Construindo um filtro ideal H(f)) tal que

o(CI) : { f' :: l8l {"12:O /9 ' (s.26)lembrando que o sinal limitado na freqncia Oo, e porhiptese Q0 < Q/2, temos a resposta do sistema de recons-truo dada por

Fieura 5.15'r:QUem de reconstruo de unr ::rirl rlrscreto

X'(Cl) : x"(fi)/J(^l)-I

-: ; ). X"(0-rA")H(CI)1A

( x-tnt. se l0l ( f)n: { '^tr'",/'

vv i-'r : !u (5.27) 0, selQl >fl6 ' \

Convertepara Trem x"(t)

5.3 Reconstruo de Sinais Amostrados 101

em que 4(O) a transformada de Fourier do sinal recons-trudo r,(t). Se o critrio de Nyquist foi respeitado, ento osinal x"(t) limitado em banda, de tal forma que {(Q) = 0para lC)l > 0o.Portanto,

X,(0) : X"(f)) (s.28)

r,(t) : r.(t) (s.2e)

5.3.2 Funo Seno Amortecido

No domnio do tempo, a resposta do sistema de re-construo ser dada por

r,(t):,*r",r,* )h(t - nT") (S.30)

em que h(t) a resposta ao impulso de um filtro passa-bai-xas ideal, dada por

Outras funes interpoladoras podem ser utilizadascom alguma vantagem, uma vez que um filtro ideal no realizvel, mas o filtro ideal permite a anlise terica dareconstruo. Interpoladores prticos so discutidos nosExerccios.

Se a freqncia de corte do filtro a freqncia mxi-ma do sinal, f)s, e se a seqncia foi amostrada taxa deNyquist, ento Oo = A/2 : trlTo, e portnto

Consideremos a funo sinc avaliada nos pontos de amos-

tragem, quando t : nTo. Substituindo esses pontos naEquao 5.33, temos

sinces : 't. (?r): 't" (#)

sincf2sn4 : ,t* ("34)\La/

: sinc zrn

(5.33)

(5.34)

Essa expresso corresponde senide amortecida da Fi-gura 5.16, uma funo de extrema importncia no estudode sinais. Entre as vrias propriedades importantes dessafuno est a capacidade de interpolar com preciso sinaiscom freqncias abaixo da freqncia de corte O" do filtroideal. Por esse motivo, chamada funao interpoladora.Uma funo interpoladora toda uno contnua que, aoser mostrada pela freqncia Qo, resulta em um impulsodiscreto. Essa propriedade escrita como

Quando fl = 0, pode-se demonstrar por tcnicas de limite,que o seno amortecido unitrio. Quando n * 0, o valorda funo ser igual a zeo, pois sen T n igaal a zero para

r inteiro. Nos pontos intermedirios, a senide amorte-cida interpolar uma curva que no possui componentesacima da freqncia de corte Oo. Essa funo, portanto, capaz de reconstruir perfeitamente um sinal limitado emfreqncia.

A operao na Equao 5.30 a convoluo do filtroideal por um trem de impulsos. Vai corresponder, portan-to, replicao da senide amortecida deslocada a cadaintervalo de amostragem, e modulada pela amplitude darespectiva amostra:

h,() * ( - nT") : h(t - nT"). (5.35)

Como a funo sinc nula nos mltiplos inteiros dointervalo de amostragem, nesses pontos a reconstruo dosinal corresponder exatamente amplitude da amostradaquele instante. Nos pontos intermedirios, a soma devrias senides ir interpolar o sinal no tempo. Se o sinaloriginal xr(t) limitado pela freqncia Q6, ento, efetiva-mente,

:x,(t):r"(), tlR (5.36)

A Figura 5.17 mostra o processo de reconstruo. Acada impulso, a funo sinc repetida, multiplicada pela

amostra correspondente quele instante da amostragem.Nos outros instantes, o valor da funo zero. Combinan-

do todas s respostas do filtro, deslocadas e moduladas, oresultado a seqncia original, mostrada em linha cheia,

sen h(t) : t

: sinc (5.31)

h(nT") :

(5.32)

v1T")

1, sn:00, senl0

(

{

7,2

1,0

0.8

4,2

-0,4-6 -5 -4 -3 -2 -1

Figura 5.16Senide amortecida, sinc nt, que resposta de um filtro ideal

toz Captulo 5. Amostragem de Sinais Contnuos

ExemploS.Tirirj i,,i.., i , ,:l:.: ,,::r:' ,,-,-'..' ',se''y[n] :,'rlhn),,a seqncia g[n] contel apenas asamostras paies' de {nl. Se, izlssemos . Anl' ;"' rlZnl,a cada 3 amostras descartaramos duas e reteramosapenas uma. A Figura 5.18 mostra o processo de sub-

amostragem,paia uma seqncia'r[rz]'qualquer, eM: 2;.Note a mudana nas cotas do domnio.

4,2

-0,4

Figura 5.17Reconstruo do sinal pela filtragem perfeita.

5.4 SubamostragemEm determinadas situaes, til ou necessrio mudar

o intervalo com que um sinal foi amostrado, posteriormen-

te operao de amostragem, por exemplo, para reduzir o

espao de armazenamento utilizado pela seqncia discre-

ta, ou para arealizao de certas operaes ponto a ponto

com seqncias de diferentes perodos de amostragem.

Uma soluo para esse procedimento seria realizar a

reconstruo do sinal contnuo e reamostr-lo com a taxa

adequada. Essa soluo tem uma srie de desvantagens:so necessrios dois estgios para efetuar as converses,

uma vez que impossvel armazenar o sinal analgico para

realiment-lo ao amostrador, e portanto a converso deve

ser feita em tempo real; os processos de converso intro-duzem erros que no podem ser corrigidos, e necessrio

reprojetar cada um dos filtros e estgios de amostragem e

reconstruo envolvidos na converso.

Realizar a amostragem diretamente no domnio dis-creto mais vantajoso, pois todas as operaes envolvidaspodem ser efefuadas pelo processador digital, sem a neces-

sidade de circuitos adicionais - apens a programao derotinas adequadas necessria.

Reamostrar consiste essencialmente em modificar operodo de amostragem d com que o sinal foi converticloem uma seqncia discreta. Para que o processo possa ser

realizado computacionalmente, a mudana deve ser feita

em mltiplos inteiros de , ou fraes inteiras desse valor.Se definimos o sinaly[n] tal que

Ylnl: r[Mn], (5.37)

sendo M um inteiro maior que 1, estamos realizando umaoperao de subamostragem, e M o fator de subamostra-gem. Consiste, de maneira gerai, em descartar amostras dc'

sinal, de tal orma que apenas uma em cada M mostsfaa parte da seqncia resultante.

i-po.t"ttte notar que a seqnciay[n] assim obtidaexiste para todos os valores de a, desde que Mn pertena

ao domnio da seqncia xlnl (ou seja, M deve ser um n-mero inteiro). A nova seqncia conter.menos amostraspor intervalo de tempo, e cada amostra representar umintervalo maior de amostragem. Portanto, a informaopertinente a um intervalo de tempo maior comprimidaem cada amostra. Por esse motivo, a subamostragem tam-

bm chamada de compressao (ver Seo 1.2.3).

5.4. Aliasing na Subamostragem

Uma vez que y{nl = xlMnl = x,(MnTo), a operao desubamostragem consiste em reamostrar o sinal contnuocom um perodo de amostragem maior (igual a MTo), ouseja, uma freqncia de amostragem menor (igaal a f JM).Se essa freqncia for abaixo da crtica, de se esperr que

a subamostragem cause o aparecimento de aliasing entrealgumas freqncias. Se a seqnciax[n] resultado da amos-

tragem crtica de um sinal x"(), ento )o = ZQo = ZtrlTo. Seo intervalo de amostragem ampliado, ento Qo reduzi-

do, sendo a nova freqncia de amostragemQj= ZtrfMTo,

4

J

2

1

0

-7

-2

4

3

2

1

0

-i

--4

Fieura 5.18Subamostragem de uma seqncia por um lah:'r de N'l = 2

-2024b(a)

5.4 Subamostragem 103

que ser menor que a taxa de Nyquist, fazendo com que a

superposio de espectros ocorra.

Para verificar esse fato, pode-se relacionar os espectros

da seqncia original e da sua verso reamostrada. O pro-

cesso de subamostragem vai ter duas conseqncias quepodem ser analisadas separadamente, embora no ocorram

assim. Uma delas a reduo do escopo de freqncias re-

presentadas no espectro. Isso acontece devido compres-

so no domnio do tempo, que resulta em uma expansono domnio da freqncia. A outra a distoro da infor-mao devida ao descarte de amostras. Combinados, esses

dois resultados provocam a superposio dos espectros.

Comeamos analisando a distoro devida ao descarte

de amostras. Podemos supor que a seqncia original a ser

subamostrad a xlnl est sendo multiplicada por uma s e q n -cia de subamostra,gern, de maneira bastante semelhante

funo de amostragem contnua. Essa seqncia tambm

um. trem de impulsos, mas agora definidos no domnio do

tempo discreto, com M amostras entre eles, ou seja,

s[n] :,"u, - rMl (s.38)A operao de descarte de amostras seria dada por

v,[n7: rln]sfnl (s.39)

A Figura 5.19 mostra essa seqnciaparaM = 2 e o resul-tado da multiplicao por uma seqncia qualquer.

Desejamos saber qual o efeito na freqncia da ope-rao rcalizada, portanto necessrio calcular a transfor-

s [n]

o[n]s[n]

Figura s.19 (c)

f)esc.rrtc de amostras: (a) seqncia original; (b) seqncia de sub-amostiaee com perodo 2; (c) a seqncia original subamostra-da.

mada de Fourier. Esta uma transformada que poderiaser calculada utilizando a propriedade da convoluo pe-ridica, j que um produto no domnio do tempo. Noentanto, a propriedade do deslocamento em freqncia mais adequada nesse caso. Do Caprulo 2, lembramos quea seguinte relao vlida:

ur" -rMl:nrr" r.l"Jo ur,0" a partir o".uio. Fourier de um pul-so peridico de perodo M. Aplicando a relao Equao5.39, obtemos

a"lnl : r[n]s[n]- M-r

.t"1# T. "ilz"ltw)r""nn ..ro=o

= +f x[n]eie"/u)nn (5.41)tt =o

Realizando a transformada de Fourier, e utilizando a pro-priedade do deslocamento em freqncia, obtemos

, M-lr\-M/' ui(2n

lM)kn (5.40)

# L f {rlnlei t2^ t rt'ttr'}

&=0

#n.Q-T)

Y,(,) :, {+T *ln1"i

H

1:O4 Captulo 5. Amostragem de Sinais Contnuos

-r -tl2 0 rl2 r&)

Figura 5.20(a) Espectro do sinal original. (b) Espectro da seqncia com amos-tras anuladas.

Ya(r) : ^t*,onn

"-''*oo

I rltutnle-i'* (5.43)

Fazendo a mudana * ;;;t adequada, rn = Mnt te-mos

Ya(') : *D*,"[rt"]e-i

ft'

: xrg)\M/A Equao 5.44 representa uma expanso do espectro,

de tal forma que, se X(r..r) tinha a limitao imposta ante-riormente, ento Ya(ru) ser definida para -rr 1 u 1rr, semmaiores distores. Se X(r,.r), no entnto, no limitada,ento haver a superposio de espectros.

Obviamente, esse efeito no aparecer desvincula-do do visto anteriormente, a replicao dos espectros. Acompresso no domnio do tempo sempre vai acarretar aperda de amostras, uma vez que no se podem representarinstantes fracionrios. Combinando a Equao 5.42 com aEquao 5.44, obtemos

,t uI -IY(w): nL *

c:0

O mesmo resultado pode ser obtido de uma formaum pouco mais rigorosa, considerando a representao deY(i;) em funo da represenrao em freqncia do sinalde tempo contnuo original. Uma vez que y[z] = x,(nMTo\,ento

l'.-,- 1 f' r-(-t--- 2r;r\ t

5.5 Superamostragem 105

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

L que no sejam inteiros. necessrio estender a definiodessa reamostragem paatatar das situaes em que n no um mltiplo inteiro de L:

( rfnlLl, se ??: rL, r Z- (5.52)ut"J : I o, caso contrrio

Uma definio equivalente a ess pode ser dada em termosda propriedade de amostragem do impulso unitrio:

alnl: I r[r)6ln-rL]Essa operao consiste em intercalat L - 1 zeros entre

cada uma das amostras de xln]. A Figura 5.22 mostra oresultado dessa opera,o pa:aL = 3. Utilizando a Equao5.53, e fazendo m = nfL,o resultado

o

I r[r][n - rL]e-i'"f :-co

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0-(a;+QJ -o;

0

(a)

-(a;-al 0(b)

o;-0, o; 0;+o"

(5.53)

6

\-/J

=-c

Y(r) :Figura 5.21

A subamostragem causa a expanso do espectro, o que acarreta a

superposio dos espectros, resultando em distores.

wo = xlM e ganho 1 pode realizar o processo, mas, damesma maneira que com um filtro ideal em tempo cont-nuo, permanece sendo inealizvel, pois tem comprimentoinfinito. Filtros de comprimento finito podem ser definidospatarealizar a mesma taref.a, ou a filtragem pode ser efetu-

ada de maneira satisfatria no domnio da freqncia.

5.5 SuperamostragemO processo de superamostragem consiste no aumento

da densidade de amostras de uma seqncia, ou, em ou-tras palavras, da diminuio do intervalo de amostragem,e pode ser definido de maneira bastante semelhante su-bamostragem. Novamente, exige-se que o fator de supera-mostragem seja um valor inteiro, para que amostras comvalores definidos possam ser encontradas na seqncia queest sendo reamostrada pa^ a efetivao da operao.

Devido ao fato de que, ao se adicionarem amostras seqncia, o perodo de amostragem reduzido, cadaamostra representar um intervalo de tempo menor, e por-tanto ocorrer o aumento da quantidade de amostras pararepresentar uma mesma poro do sinal. Por esse moti-vo, a superamostragem tambm chamada de expansao.Por encontrar amostras intermedirias entre as amostrasconhecidas, o procedimento tambm conhecido comonterpolao.

Definimos a superamostragem por meio cla operao

Ynl : rlnlLl (s.51)

em que L o fator de superamostragem, senc{o um inteiromaior que 1. O sinal xlnl no dernido para vaiores de z/

,D*rl"ltle-i'"oo

I rfmle-i'-r'-;*

,' rlmle-i@L)*

X(aL) (5.54)

O espectro resultante da operao de expanso con-siste na compresso do espectro da seqncia original x[n]entre as freqncias -,rlL e rlL.Por esse motivo, no have-r aliasing entre as freqncias, mas h uma distoro de-vida ao aparecimento de componentes de alta freqnciaparaxlL < lrl

106 Captulo 5. Amostragem de Sinais Contnuos

Figura 5.23Resu ltado da superamostragemL: 2.

(b)

no domnio da freqncia Para

(5.56)

Exemplo 5.8

Desejamos superamostrar a seqncia dada por r[n]:0,9ulnl por um fator de L:2, ou seja, encontraruma seqncia gln' que tenha o dobro de amostrassegundo as definies dadas anteriormente, obtida

a partir do intercalamento das amostras de r[n] comuma amostra de amplitude zero e depois fazendo afiltragem ideal. A Figura 5.24 mostra os espectros das

seqncias obtidas. Em (a) vem-se o espectro demagnitude da seqncia r[n] original e em (b) o es-pectro da seqncia com amostras intercaladas; em(c), o resultado da filtragem ideal com freqncia decorte uo = rl2.

A Figura 5.25 mostra a seqncia com as amostras

intercaladas e o resultado da filtragem. Nota-se queocorre um pequeno erro entre o resultado desejadoe o resultado obtido. lsso acontece porque a iltra-gem ideal feita para eliminar a distoro de alta re-

qncia retira do sinal qualquer informao de altasfreqncias - mesmo aquelas que aziam parte dosinal original e que se desejava que permanecessem.Dessa maneira, uma pequena oscilao em torno dos

valores desejados notada. O ltimo grfico mostra o

erro cometido.

(c)

Figura 5.24Espectros iias seqncias do Exemplo 5.8.

nulas intercaladas entre as amostras da seqncia original'

A Figura 5.23 mostra o espectro resultante paraL = 2'Para eliminar as distoroes, aplicamos um filtro ideal

com freqncia de corte corresponde nte a a0 = n[, sele-cionando dessa forma apenas o lbulo central do espectro-

O ganho do filtro deve ser igual a L, pata normalizar ascomponentes em freqncia. Matemaricamente, redefini-

mos a superamostragem, no domnio da freqncia, como

Y(ur): X(wL)H(u) (s.55)

No domnio do tempo discreto, a respost do filtroideal dada pela funo seno amortecido

hlnl: t'"in Y|

Em outras palavras, o procedimento de interpolao anlogo reconstruo de um sinal contnuo a partir de

suas amostras (ver Seo 5.3), porm realizado em tem-

po discreto (se considerarmos o processo de reconstruo

a introduo de infinitas amostras entre cada amostra da

seqncia discreta, a semelhana etre os processos fica

bastante evidente). Para n sendo um mitiplo inteiro deL, correspondendo s posies das amostras originais dexfnf, a funo sinc ser nula. Para valores intermedirios,

a funo corresponder interpolao das amostras' A re-

construo ser dada pela equao a seguir:

oo ir, \y[n] :,,:rfrJsini 'l;-') (5's7)

e, relacionando essa equao conl ;1 rcc{.rnstruo do sinal

arriilgico (Equao 5.30), pocle-se ,.irrrronsirar que

t !'! .','r',, 1",-l

\1,,u[rr] - (i.s8)

o primeiro correspondendo subamostragem de um sinalwfn] que obtido da superamostragem do sinal original*[n]. O processo de expanso deve ser feito antes do pro-

5.6 Reamostragem por um Fator Racional 1:O7

Figura 5.26Reamostragem por um fator racional vista como duas reamostragens consecutivas.

cesso de compresso para evitar o aliasing, como ser vist M,haverum acrscimo na densidade de amostras. Se a superamostragem feita antes da subamostragem, no existe o perigo de o processo resultar em aliasing

import"nte lembrar que o processo de expanso envolvtnecessariamente uma filtragem ideal com freqncia drcofte 4,0 = xlL e ganho igual a l. O resultado do primeirtpasso ter o espectro nulo para freqncias superiores ixlL, e portanto, como L > M, no haver superposio.

No entanto, se L < M,haver uma reduo na densidade de amostras, e ser necessrio processar o sinal wfnpara que a replicao dos espectros no cause distoroComo visto, o procedimento pra evitar o aliasing a adi

o de um filtro com freqncia de corte c*ro = r/M, qurf.ar com que o espectro seja nulo para freqncias acimidesse valor, dessa forma prevenindo a superposio.

Uma yez que a superamostragem exige um filtro qurrealize a interpolao das mostrs, e a subamostragenexige um filtro para evitar o aliasing, possvel combinao filtro interpolador com o frltro antialiasizg. Garantindrque o espectro seja nulo para freqncias maiores que