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Tema 19 Funciones analÄticas

Series de potenciasLos conceptos y propiedades de las sucesiones y series de funciones reales se trasladan al

campo complejo sin ninguna dificultad.Sea {fn} una sucesiÄn de funciones complejas definidas en un subconjunto H de y z0 un

punto de H. La sucesi�n {fn} converge en z0 si la sucesi�n de n�meros complejos {fn (z0)} es convergente. Al subconjunto M de H en el que {fn} converge le llamamos campo de convergencia puntual o sencillamente campo de convergencia de {fn}. Entonces, decimos que {fn} converge simplemente o puntualmente a la funci�n f de M en definida por

( ) lim ( )nnf z f z

A f la denominamos lÅmite simple o puntual de {fn}. De acuerdo con la definici�n de l�mite de una sucesi�n de n�meros complejos, observemos que fijado ε > 0, para cada ,z M existe un numero natural n0 tal que si n > n0 se tiene |fn(z) – f(z)| < ε. Es decir, en general, n0 depende de cada z de M. Si fijado ε > 0, n0 fuese el mismo para todos los puntos de M, tenemos el concepto de convergencia uniforme.

La sucesi�n {fn} converge uniformemente en M hacia una funci�n f de M en , si para todo ε > 0, existe 0n tal que

0 ( ) ( )nn n f z f z para todo z MComo en el caso real, la funci�n l�mite de una sucesi�n de funciones continuas

uniformemente convergente en M es continua en M.A una sucesi�n {fn} le podemos asociar la sucesi�n de sus sumas parciales {Sn}

1 1 2 1 2 1 2; ; ; ; n nS f S f f S f f f a la que denominamos serie y representamos por Σ fn.

La serie Σ fn converge puntualmente, o sencillamente converge, a una funci�n F en M si lo hace la sucesi�n {Sn}. En este caso F se llama suma de la serie y suele indicarse por

1( ) ( )n

nF z f z

Una condici�n necesaria para que Σ fn converja en M es que para todo z M se cumpla

lim ( ) 0.nnf z

La serie Σ fn converge absolutamente en M si la serie de n�meros positivos Σ| fn(z)| converge para cada z de M. Una serie convergente pero no absolutamente convergente se dice que es condicionalmente convergente. Una serie absolutamente convergente en un conjunto es convergente en �l.

Σ fn converge uniformemente a F en M si lo hace la sucesi�n {Sn}. De acuerdo con esta definici�n, el criterio de convergencia uniforme de Cauchy para las sucesiones se traslada a las series:

Σ fn converge uniformemente en M, si para todo ε > 0 existe 0n tal que

0,p q n y 1( ) ( ) ( )q q pp q f z f z f z para todo z M

Una serie de n�meros reales no negativos Σan es mayorante de la serie funcional Σ fn en Msi | fn(z)| ≤ an, para todo z M y para todo .n Del criterio de Cauchy se deduce el criterio de Weierstrass:

Una condiciÅn suficiente para que Σ fn converja uniformemente en M es que posea en M una serie mayorante que sea convergente.

Una serie de potencias tiene la forma2

0 1 0 2 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )n nn na a z z a z z a z z a z z

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en donde z0 es un punto fijo de y an son coeficientes constantes. Como las funciones 0( ) ( )n

n nf z a z z est�n definidas en todo , apliquemos el criterio de la ra�z para determinar el

campo de convergencia de la serie. Designamos por λ el l�mite superior de nna y por r al 1/λ.

Entonces, se tiene:0

0 0limsup nnn

n

z za z z z z

r

a) Si 0 < r < ∞, la serie converge para 0 ,z z r ya que

0 1z z r

r r

y diverge para 0 ,z z r ya que

0 1z z r

r r

b) Si r = 0, la serie, diverge para todo z ≠ z0, ya que

0limsup nnn

na z z

c) Si r = ∞, la serie converge para todo ,z ya que

0 0limsup nnn

na z z

A r se le denomina radio de convergencia y a 0z z r cÅrculo de convergencia de la serie. El estudio anterior proporciona informaci�n sobre la convergencia de la serie en el interior y en el exterior del c�rculo, pero no sobre la circunferencia 0 .z z r Ahora bien, si la serie converge absolutamente en un punto w de la circunferencia, podemos afirmar que converge en todos sus puntos, pues para todo 0z z r se cumple

0 0n n n

n n na z z a w z a r Adem�s la serie converge uniformemente en cualquier c�rculo cerrado de centro z0 y radio

,r y como consecuencia converge uniformemente en cualquier compacto contenido en su c�rculo de convergencia.

Teorema de la convergencia uniforme: Una serie de potencias converge uniformemente en cualquier cÇrculo cerrado contenido en su cÇrculo de convergencia y como consecuencia en cualquier subconjunto compacto contenido en Él.

Teorema de la derivaciÄn de una serie de potencias: La funciÅn f suma de nn 0a (z z )

en su cÇrculo de convergencia es holomorfa en dicho cÇrculo y su derivada viene dada porn 1

n 0n 1

f '(z) na (z z )

DefiniciÄn de la serie de Taylor: Sea A un abierto de , f una funciÅn compleja de clase

infinito en A y z0 un punto de A. Se llama serie de Taylor asociada a f en z0 a la serie de potencias)

00

0

( )( )!

n

n

f z z zn

Si f es la funci�n suma de una serie de potencias 0( )n

na z z terminamos de probar que es indefinidamente derivable en su c�rculo de convergencia. La serie de Taylor asociada a f en z0coincide con la serie dada, pues derivando sucesivamente en

00

( ) ( )nn

nf z a z z

para el punto z = z0, se obtiene

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)0 1 0 2 0'( ) ; ''( ) 2! ; ; ( ) ! ; n

nf z a f z a f z n a DefiniciÄn de funciÄn analÅtica: Una funciÅn f de un abierto A de en es analÇtica en

un punto 0z A si existen una bola abierta B(z0, δ) y una serie de potencias centrada en z0 que converge a f en la bola. f es analÇtica en A si lo es en cada uno de sus puntos.

Con otras palabras, decimos que f es anal�tica en A si es representable en serie de potencias en un entorno de cada punto de A. De acuerdo con el teorema de derivaci�n de una serie de potencias, una funci�n anal�tica en A es de clase infinito (en particular holomorfa) en A, y como los coeficientes de la serie de potencias en el entorno de z0 son los coeficientes de su serie de Taylor, resulta que

)0 0

1

1( ) ( )( )!

n n

nf z f z z z

n

en su c�rculo de convergencia.

El rec�proco tambi�n es cierto. Se trata del resultado esencial de la teor�a de funciones complejas: una funci�n holomorfa en un abierto es anal�tica en �l. Para probarlo estableceremos previamente una forma de representaci�n integral para funciones holomorfas, conocidas con el nombre de f�rmula integral de Cauchy.

La fÄrmula integral de CauchyConsideremos un abierto A de y un camino (arco de curva) regular a trozos y contenido

en A. Como γ es un conjunto compacto, se alcanza la distancia a γ desde cualquier punto .z A Teorema de representaciÄn en series de potencias: Sea g una funciÅn de A en continua

en γ. La funciÅn f de A – γ en definida por( )( ) g wf z dw

w z

[1]

es analÇtica en A – γ.El complementario en de un camino cerrado regular a trozos γ es una uni�n infinita de

subconjuntos abiertos, disjuntos dos a dos. Cada uno de ellos es una componente conexa de – γ. Recu�rdese que fijado un punto z de un conjunto, la componente conexa relativa a z es la uni�n de todas las partes conexas del conjunto que contienen a z. Por lo tanto, cada componente conexa es el mayor subconjunto conexo que contiene a un punto. Por ejemplo, si γ es simple, – γ consta de dos componentes conexas, una acotada y la otra no.

A cada punto z de – γ le asociamos un n�mero entero, denominado �ndice de z respecto a γ. El �ndice es el mismo en todos los puntos de cada componente conexa de – γ. Su significado es el n�mero de vueltas que γ da alrededor de z.

DefiniciÄn de Åndice de un punto respecto de un camino cerrado: Se llama Çndice dez γ respecto a γ, y se representa por Indγ(z), al valor de la integral

γ γ

1 dwInd (z)2πi w z

Propiedades del Åndice:a) Indγ(z) es un nÑmero entero para todo z – γ.b) El valor de Indγ es constante para todo z de la componente conexa no acotada de – γ.c) Indγ(z) = 0 para todo z de la componente conexa no acotada de – γ.FÄrmula integral de Cauchy en un conjunto estrellado: Sea A un subconjunto abierto

estrellado de y γ un camino cerrado regular a trozos contenido en A. Si z A – γ y f es unafunciÅn analÇtica en A, entonces

γ γ

1 f (w)f (z) Ind (z) dw2πi w z

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Propiedades de las funciones analÅticasA es un abierto de , f de A en una funci�n holomorfa en A. Para cualquier punto

arbitrario z0 de A y cualquier bola abierta B(z0, r) contenida en A, por la formula integral de Cauchy se tiene

γ

1 ( )( )2π

f wf z dwi w z

para todo z perteneciente al interior del c�rculo limitado por la circunferencia y de radio ρ < r, definida por

0( ) ρ itw t z e t [0, 2π]El teorema [1] asegura que f es anal�tica en la bola B(z0, r), y por lo tanto en todo A.

Obtenemos as� el resultado m�s importante de la teor�a.CaracterizaciÄn de las funciones analÅticas: Una funciÅn compleja es analÇtica en un

abierto A si y sÅlo si es holomorfa en A.Si en B(z0, r), la funci�n f viene definida por

00

( ) ( )nn

nf z a z z

en donde, de acuerdo con el teorema [1]

10

1 ( )2π ( )n n

f wa dwi w z

y como )0

1 ( )!

nna f z

n resulta la expresiÄn integral de las derivadas

)0 1

0

! ( )( )2π ( )

nn

n f wf z dwi w z

Desigualdades de Cauchy: Si la bola cerrada B*(z0, r) estÄ contenida en A y |f(z)| ≤ M

para todo z B*(z0, r), entonces

n nMar

para cada n = 1, 2, 3, ...

Teorema de Morera: Este teorema es el reciproco del teorema de Cauchy-Goursat. Si f es una funciÅn continua y verifica la propiedad triangular en el abierto A, entonces f es analÇtica enA.

Teorema de Liouville: Si f es una funciÅn holomorfa y acotada en todo , entonces f es constante.

Una funci�n holomorfa en todo se llama entera. De acuerdo con el teorema de Liouville una funci�n entera o bien es constante o bien no est� acotada.

Teorema fundamental del algebra: Todo polinomio complejo P(z) de grado mayor o igual que uno posee al menos una raÇz.

Si P(z) es un polinomio de grado n y z0 es una ra�z, entonces P(z) = (z – z0)Q(z), en donde Q(z) es un polinomio de grado n – 1, que a su vez posee una ra�z. Aplicando n veces el proceso, llegamos a que todo polinomio complejo de grado n posee exactamente n raÇces.

Propiedad de la medida: Si f es analÇtica en A y la bola cerrada B*(z0, r) estÄ contenida en A, se cumple

2

0 00

1( ) ( )2π

if z f z re d