10
· ©

An Upper Bound on the Number of Edges in an Almost Planar Bipartite Graph

  • Upload
    d-v

  • View
    213

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

������� �� ��� ����� ��������� ���� ���� �� �� �� �� �� ����

�� ����� ���� �� �� ������ � ���� �� �� ����� ������

������� �����

� �� ������∗ ��� ��������

��� � �� � ���� ���� � ��� ������� ����� ��� �������� ����� �� � ≥ � �� �� ��� ��� � �� �� � ��� �� � ����� �� �� �

� ��� ���� ��� ���� ���� �� �� �� ���� ��� ���� ����� !� �� � ���� ���� �� � � � ��� ��� �� ���� �� − � ����� "�

���� � �� � ��� �� ���� ��− � ����� "� ��� � ��� "� � � �� � ��� � ≥ �� �#������ ������� ���� ����� ������ � �

����� � � ���� � ���� $� ��� ��� �" ��� ���� � �� �� ��� ����� � %������� ����� � ������ �" ������� ���� ���� � ����

�� � ����� �� � ���� ��� ���� ���� �� �� �� ���� ��� ���� ����� &������ ����' � �������

�� �����������

� � ������ ������ ���� �� � �� ��� �������� ����� ��� ��� �������� � ���� �� � ��� �� ��� ������ ��� � � ����� � � � !�" ��� ��� ���� ��� � �!�"� � ��� ��� � ���� � �!�" ��� �!�" � � ��� ������ � ����������� ����� � � ����� �# ����������� �

� ��� �� � ��!�" ��� ������ � � ������ � �� ��� ����� �� $�� ������� ��� ������� ������ ������ � ������ � ��� ��� ��� � Æ!�" ��� %!�"# ����������� �

&� ��� ������ !� � �������# ��� '�("# � ���� � ��� �� ����� ������ � ����� �������� � ������ ��� ����������� ���� � � ������ ����� ������� ����� )�� ����� �� ��� ��� � � ������� ��� ���� � ����� *����� � �� �� ������������� � � ����� ���� ���� �� ���� ���������� � � ����� ������ � ���� ������

�������� �� !�" ��� � �� � ��������� ������� � ��� ���� � ����� � �������� � � ��� �� ����� �� � �����

� ���� � ��� ���� ��� ���� ��������� �� ���� � ����� ������

��� � + � �� ���� ���� � ����� ������ �������

!" ��� ��!�" ������ ��� ����� ������ �� ���� �� ������� ����� � � ����� ������ �� ��

������ # � ,-������ ����� �� � ������ ������ .� �����# �� ����/��� �� �� � ����� ������� � � �����# �� ���������� ��� �������� � ���� ����� ��� � ���� ��� ��� ����� ��� 0� �1 � ������������� ������� .� ���� ����� � ��� � � ����� �������� ��2����� �� � ��� ���� � ��� � ����� ����� ����� 3 ����� ������ ���� � � �� � ������ ���# ����# ���� � ��� � ���������� � ��� ��� � ������ �� ������

. ����-/� �� ��������� ���� ����� �� ���� � ������ ����� � � �������� � ������ �� � �� 4� − 5 ������ $���� ��� �� ����� � � �� � ≥ 4� &� �� �� ��� �� '�( ���� �!�" ≤ !� 6 4"!�!�" − " � � � �-������ �����# ������ ≤ � ≤ 7� &� �� �� �� �� '�( ���� � � � + � ��� � ��� �� �������� � � ��� � ≥ �� 8 � � + # ��� � ��� �� ��������� � ��Æ������ ����� � ≡ !� � 4"� &� �� ��� �� �� �� '�( ���� � � �� �-������ ����� � !����� � ,"# ���

���*����� �!�" ≤ 7�,9√� · �!�" � ����

$���� ��� ���� � �/� ���������� ������� *����� ��# ��� ����� ���� �� � ������ � �� � ��������� ������� �������� 8 � �������# ������������ ������ !������ ���� ��� �� ����� � � ����� �� ���� � �� ���� ������������� � ����� � ���� ������� � �� � � � ����� � ���*�� � ��:� �; ��� '<7("� =����� � ���� ����� ���� ������ � �� � ���� �-������ ������# ��� ��� ���� � � �� � ��������� ���������� � ��� ����� � ������� ��������� ��� � *����� �� � ������� ������ ���� � ��������� � � �� ����� � �>������ ��? !��� '�# 5( ��� �����"�

@�� �� ������ � � ������ ������ ����� � ������ < ��� �� ������ ������� 8 � ����� ������# �� ���� ������*����� �!�" ≤ 7�!�"− 9� . ����-/� �� ��������� ���� ����� �� ���� � ��������� ������ ����� � � �������� �� ���� � � �� ���� � − 7 �����# ��� ���� � ��� �� ����� � � �� � ≥ 4� &� �� �����# �� ���� ��������� ��� �������� ������� � ����� >�� � ������� ����� � ��� � ��� ������ � ����� � � ��������� ��� �� ������ ������ � �� ������ � �������� � ≥ 7�

����! �� ��� �!�" ������ ��� ������ ������ �� ����� � � ������� ������ ������ ����� �� � ������ ���

��� � ≥ 7� ���� �!�" + 4� − 9 ��� ��� � �+ 5 ��� �!�" + 4� − � ��� ��� � ��� ��� � + 5�

∗����������� ��� ������ �� ��� ������� � ���� ��� � ��������� ������������ ���� � ��� ��� ����������� �

���� �� ���� (����)� �� ���)� *����� �� +,-!� ���� ���� ����� ��� ������ ������ � ���� �� �� �� !�� �� ���� �����

��"�#��"�$��$����#�"�" ©���� !������ !�����%&������ '��� (�) *��+ "�"

� ���� �� � ����

.� ��� �� ������ ����� ��� �� ����� � � ����� �� ��2����� �� �� $ �� �� � ����� �# �� ��� �� � ������� � � ����� � �� �� ���� � ��? G� � ������ ���� � ������� ���>�� � �� ��*���������� @�� �� ����� ���� � ��� ����� ���

�◦� ��� ���� ��������� �� ���� ��� ����� �����◦� �� ���� ��������� ������4◦� ��� ���������� ����� �� ��� ��� � ������ ����7◦� ��� ��� ���������� ����� �������� ���� ����� �� ������� ��� �����

��!!� �� ��� ��� ������ ������ ����� � ����� ����� � ����� ������ G ���� ����!�� �������� �◦"7◦�

#����� � ������ ��� �������� � ��� ����� � ���� ������ � ����� � �◦ !������ # ���� �������� �����"� � �� ���� �� ���� � ������� G ���� ������� ������ � � ���� � ���������� � � ������

� �� �� ���� G �����>�� � ����� � ◦� .����� ��� � ����� # ��� � ������ �� ���� � + � # ����� ����������������� @�� ���� ���� ���� ��� ��� � � ��� � � �� ���� ���� $��� �� ��� ������ ��� ���� � ��� ������� � �������� ��� >��� ��� ��� ���� ����� � ��� � ��� � !�� ������� � �� � � � "� .� � ������# �� ����� � ����������� ������ ������ � ���������� ��# ����� � ��������� �� �������� ��

@�� �� �� �� ���� G �����>�� � ����� �� 4◦ ��� 7◦� .����� ��� � ����� ; ��� G � � � ������ �� � ������ ����� ��� $��� ����� ����� �� ����� ���� ��� ���� ������ �� ����� �� � ���� � ���������� �� ������ # ���������� ���� � ��������� ���� ������ @�� �� � �� �� ��� ���� ���� ��� >� ��� >��� ��� ��� ���� � ���� � ���������� � � ��� ����� ���� ��� ���� !��� ���� �� � ��� � # ����������� # ��� 8��� ��"� &� ��� ����� ���� ��� ���� ���� �� �� � ���# ���� ��� ���� �� �� � �� � ���� &� ���� ����# ��� � �� ��� � �� � ��� � ����� ������

� ���/ � ��� ���� ��� � ��� ���� ���� � � ��� �′ ��� �� �� � � ��� ������� ���� ′� -���� � ��� ���� ����

� �� � ′� -���� � �� �� ��� ���� ���� !��� ��� � ���� ���� �� 8��� ��"� $��� ���� � �� � � ��������� �� ����!������ � � ��� �������� ���� � ��� ���� ����# ��� ���� � �� � � ������"� $��� �� ��� ��� � ��� ���������� � ����� � ��� � ��� ������ ��� ������ � � ���� � ���������� � � ����� � �� ����� �# ����� � ��������� ��� �� ��� � ��� ������� G� ��� ���� ����� � � ����� �� ���� ���� � ��� ����� ��������� �◦�7◦�

�������� "� � ������� ������ ������ ����� � � ������ ������ � ���� ����� ��� ���� � ������� ���

������� �� ��� ������ �������

8��� �� &����������� ������

� ������ � ������� G � � ��������� ��� �� ������ ����� � ��� ��� �� ��� ������ � � ���� ���� � � �� � ��� ������� # ��� ������������ ����� ��� �� ������� ��� ����� � ����� ���� ��������� ���� ���� ��� � � � ��������� ���� ������

� ������ � ���� � ������������ ����� ���� ��� ����; ��� ��� �������� �� ��� �� ���� � � � � ��� ��� ���������� ��� �� ���� � � � # ��� ��� � �� ��� � ��� � ���������� � � ����� ������ ��� �� � �� � ��������� �� �� ������ ���� ��� ����� ��� ����� �� ���� � �� ���� ����� ����� ���# ���# ���# ��� ��� ��� �������� �� �/����!��� 8��� ��"� @�� �� � � � ����� ����� ���� � � �� � ����� ����? ��� ��� ��� ���� � � � �# ��� ��� ��� ����� � � �

� ������ ��� ���� ���� $�� ���� ��� � ��� ���� � � � �� � ��� ����� � ���# ��� ��� ���� ��� � ��� ����� � � �� � ��� ����� A������� � � ���? ��� ���� � ��� ���� � � � �� � ��� ����� ��� ��� ���� � ��� ���� � � ��� � ��� ����� 8 � ��� ����� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� � ������? ��� ���� � ��� ���� � � � �� � ��� ���� ������� ��� ���� � ��� ���� � � � �� � ��� ����� ����� $��� ��� �� �� � ����������� ���� �� � �����

"��

�������� #� � ���� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ���� ���� ����� � �� ��� ���� ��� ��� ��� �� ����������

������

�� ���� �� � ������ G � ������ ����� � � ���� ��� �������� ����� ������ ��� �� ������ �� �!G" ��� ������

�� ����� ����� �� � ������ G ��� �� �!G" ��� ������ �� ���� �� ���������� ����� �� � ������ G�

$��� ��� ��� � ����� � � ������� G �� ������� ��� ����� �������? ������# �����# ��� ���� ������ $�� �������

� ���� ��� ����� ����� ��� �*��� � �!G" + ����−��G�� �

@�� �� ������ � ��� ���� � ������������ ����� ���� ��� ����# ��������� �� ��# ��� ����� �� � �� � ����� ���◦ ��� ���� ��� ���� �� � ��� �� ���������� ����� ���� ���� ��� ������ �� ��� �� ��� ����� � ��� ���

������ �� ��� �� ��� ����� � ���� ��� ����� ���� ��� ���� ������ �� �!�"� $������ ����� ����� ��� �����

� ��� ������ G�� �� �� ���� � ����� � �◦ � ��� � � � ������� G ���� ������� ������ � ���������� �� � � ������� ����� ��

)�� ��� ���� ��� ���� ���� ��� �� �� �� ��� ���� �����# ��� ��� ���� ���� ��� �� �� �� ��� ���� ����� !���8��� ��"� A���� ��� ����� � �� �������# ����� ���� ∈ �!�"� &� �� � ����� ����� �� � � ������ �� G# ���� ������� ���� �� �� ��� ������� �� �� ��� �������� ��� ������ � ���������� ��� � ����� � � ��������� �� $���#� ����� � �◦ � ����

�������� $� � ������ �� � ������ ������ ������ ������� ����� � ������ ������� � � ����!�� ������

��� �◦"�◦�

�� ���� ����� � � � ������ ���� ���� ���� ���� � ��� ��� G � �� ���� � ������4� ����� �� ��� �����

� �� �� ��� � ��� �� � $�� ��� � � ������� � � ��� ������ � ��������� $�� ��������� � ��� ��� ���� � � ����� � 7 �������� �� �������� &� �� ��� ���� � ������� ���� ���� ����� �� ���� ���� ��� � ��� � ������� �� � ���� � �� ����� ��� ��� ����� � � ���� �� ��� � ���

���� �� ����� �� �� �����

#��� ��%�& ��' �& ��( )�!�*� �('�)� � ���� ������� ������ � �������� �� ������� � ���������

��!!� "� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ���� �� ���������� ����� � � ������ G ���� ���� ��� ��� ������ ���� ����� � ���� ���� ��� ��� ������ � ��� � ��� �%����� ������� ���� �!�" ≤ 4�!�"− ���

#����� @�� � �� ��� � ��� � ���������� � � ��� ����� ��� ��� ���# ��� ��� � �� ��� � ��� � ���������� � ���� ����� ��� ��� ��� !��� 8��� �"� @�� �� ����� ����� � �� ����� �� � �� ��? � → � → � → � → � ��� ����� �� ������� � ��� � ���� ������� ��� ����� ��� �� ������ )�� ��� �� � �� �� ���� �� � ����� ������ ������ �� ��� ��# ��� ��� ���� � ������ �� ��� ��� ������ # ��� �������� �# ��# ��� �� ���� ��� ���� � � �#��� ��� �������� �# ��# ��� �� ���� ��� ���� � � �� @�� �� � �� ��� ��� � ��� � !�� ��� ������� � ����� ����� ��"� $�� �������� �� ��� �� ���� �� � ��� ������ !A���� ��� �� � ����� ���� ��� ��� �������� � ��� �� ������� ���� � � �# ��� ���� ��� �� � ��� ����� � ��� ���� ���" A������� # ����� ��� �� � ���� ����# ��� �������� ����� �� ���� �� � ��� ���� � ��� � ��� � !��� 8��� �"�

8��� � $�� ������ �# ��# ��� ���

@�� �� ��� ��� ����� � ��� � ��� � ��� ��� ����� � !����� � ������ ��# ��" ��� � !����� � ������ ��# ��"�� ������ ���� ��� �������� � ��� � ��� �� � � �� ������ @�� �� �� ��� ������� �������� � � � ��� ������

"��

��� � !��� 8��� �"# ��� ��� �� �� ��� ������� �������� � � � ��� ������ ��� � !��� 8��� �"� 3 �� ���� � ���� � ��� ����� � ��� ��������� ��� � ��� �# ������# �!�" + �!��" ∪ �!��"� B �� ���#

� !��" ∩ � !��" + {�� �}� �!��" ∩ �!��" + {��}!� � ����� � �◦# ��� �������� � ��� � ��� ��C�����"� ������ #

7 ≤ �!��" � �!�" ��� 7 ≤ �!��" � �!�"

$�� � ��� �� � $�� ��� � ��� ���� �� ��� � � ������ ������ �� ��� ��# ������#

�!�" + �!��" 6 �!��"− � ≤ !4�!��"− 9" 6 !4�!��"− 9"− � + 4!�!��" 6 �!��"− "− �� + 4�!�"− �� ���!��+ �� &� ��� �������� � ��� � �� ��� � ����� � � @���� ���� � ��� ���� � � �# �� � ��� �������� �� �� ���� �!�" ≤ 4�!�"− �,� $�� �� ��2������ �� ���� �� ���� ����# ��� ������ �� ��� �� � � � � ����� ������� ��� D �����# �� � � � ���� ���� ����������

��!!� #� ��� �!�" ≥ 4�!�" − �, ��� ��� G �� �� ������� ������� ���� ��� ��� ����� � ∈ � !�" ����

������� �� ���� ��� ���� ����� ������ �� � �� ��� ������ ��� ������ �� ����� ����� ������ �� ��

#����� ������ # �� �� �� ��� � �� �� ��� ��������� � � ����� ������ @�� ���� � ��� �� ��� ����� ����� � G�������� � �� @�� ��� ���� ��� ��������� �� ��� ������� G � ���� ���� ����# ��� ��� ��� �������� �� ��� �� �� � ������� � � �� E � ����� � 7◦# ��� �� � ������ ���� � G� &� � � � �� � ��� � ��� �������� �� ��� �� � ������# ����#� @���� # �� ���� �!�" ≤ 4�!�" − ��� $��� � ��������� ��� � ����� � � ��� ������ D����# ���� � ������ ��2����� ������ ����� ��� ����� ������ �� �� ����� ��� ������ � ����� ����� �������� � �� �

� ������ � ����� ����� �′ ������� �� � ��� ������� G �� � �������� ��� ���� ������ ������ # �′ �� � ��������������#

�!�′" + �!�" ��� �!�′" + �!�"− �!G"&� � �� �� �� � ��� ��������� � ��� � � ��������� ������ ������ ����

�!�′" ≤ �!�′"− 7 + �!�"− 7 !�"

��!!� $� ��� Æ!�" ≥ 7 ��� �!�" ≥ 4�!�"− �,� ���� ��� �������� ���������� ����&

!�" ��� ��� ����� � ∈ � !�′" ����� ��� �� ����� ��� ����� ����� ������ �� �� '���� Æ!�′" ≥ �

!" ��� ����� �′ � ���������� ��� �������� �� ��� ���� �� ��� ����� ����� �′ ������� � �����

����� ��� �� ����� 7 ������

#����� �" E @���� 4# ����� ��� �� ����� ����� � ≥ ������ ����� �������� � ��

" &� �� ��� � ��� �� 8��� �� ���� �� ���� ���� � � ������� ������� ��� �� �������� � � ���� � �� ����������� ��� �� ����� ����� D����# ��� ����� �′ �� � �������� A���� Æ!�′" ≥ # ����� �� � � ��� �� �′� D����# ���� ����� � �� ���� � �′ � ������ � ������ � ���� A���� �′ �� � ��������� �����# �� � ��� � �′ � ������ ������� � �� ������ �#�"� ����% �% � � ,�-�( 4�!�"− 9

��!!� .� ��� � �� � ������� ����� ��� �!�" ≥ 7� ���� �!�" ≤ 4�!�"− 9�

#����� �� (� ����� � � ����� �� ������ �� ���� 4 � ��� ����� �# ���� �� ������ �� � � ���� ������ ��� ��� ������������� � ��� � ����� � ��������� ����� �� ���� �!��" + �!�" − �# ����� �� ������ ��� �� ������� E ���������� � �������� �# �� ����

�!��" ≤ 4�!��"− 9 + 4�!�"− 9− 4�

����� ������� ��� ��������� � � ��� ����� � �� ���� � �� ���

� ��� �� ������� ��� ���� Æ!�" ≥ 7�

&� �� �� ��� � �� �� ��� ��������� � � � ������� ��� �� ������ ��������� ����� � ���� �!�" ≥ 4�!�" − �,�� ������ ��� ������� ������� G ��� ��� ����� ����� �′ � ��������� �� ��� &� � �� �� �� � @���� 7 ���� � � �� ������ � ∈ � !�"# ����� ��� �� ����� �� ������ ����� �������� � �� D���� �� � �� �� ���� �!G" ≥ �!�"�

E ���*����� !�"# �� �����!�"− 7 ≥ �!�′" + �!G" 6 �!G"� !"

��� �����!G" ≤ �!�"− 7 ��� �!�" + �!G" 6 �!�′" ≤ 4�!�"− 9� !4"

�� ��� ��*������ �

"��

#�#� ���-/�-�� �% '��� ) 0�� �!�" + 4�!�"− 9@�� � �� � ��������� ��� �� ������ ����� ���� ���� �!�" + 4�!�"− 9�

#�#��� 1�)� �% � � !���!�* (�'��� �� *��)� 7� @�� �!�" ≥ 9 ��� Æ!�" ≥ 7� � ������ � ������� ������� G��� ��� ����� ����� �′ ���� � ������ � ������ ��� ����� ����� � ��� ������� G� ������ # ��� ���������� �@����� 4 ��� 7 � �� � � ��� ������ � ��� �′�

1���**��2 �� ��� � �� � ������� ������ ������ ����� ��� �!�" ≥ 7 Æ!�" ≥ 7 ��� �!�" + 4�!�" − 9� ����

��� �������� ���������� ����&

!�" ��� ����� � � ������� ��� ����� �� � � ������ �� �������� ��� ����� ����� �� �� ������� ������ G�

!" %!�′" ≤ 7�

#����� �" &� � �� �� �� � @���� � ���� ��� ����� � �� �������� @�� �� ������ � ��� �� � � @���� ��A���� Æ!�" ≥ 7# �� ���� ���� � ��� �� �; �����# �� ������ �� �������� � �� ����� �� ������ ������ &�� �� ������ �� �������� � � �� ���� �� ������ �����# ���� �!G" �!�"; ���*�������� !" ��� !4" ���� �����!�" � 4�!�"− 9# � � ��������� ��

" @�� � ∈ � !�"� E @���� 4# �� ��� ����� � ��� ������ � ������ ����� �������� � ��� ������ � �� �� �������� ������ � ����� ����� �������� � �� D���� �� ��′!�" ≥ �# ���� � �� �������� � �� ����� ����� ������ �����#����� � ��������� ���� �� �

�� ����� �� ��� ����� �′ ��� ���� ������

&� � �� �� �� � �!�" + 4�!�" − 9 ���� �*����� ���� �� �������� �� ���*����� !�"� D����# ��� � ����� � �� ���� � � ��� ����� �′ � ������ �������� 7 ������ E @���� 7# ���� � ����� � ������ � � ��� ���� �� ����� 7������ $���# ��� � ����� � � �� � ������ � ��� � ������ 7� $��� ������� ���� ��� ����� �′ �� ��� ����������� �� ��� ���� ��� ����������� ���� � ��� �′� ��� ���� �� �′ � � ���� ���� ��� %!�′" ≤ 7�� ������ ��� ���� ����� � ��� ����� �# ���� �� ���� �������� .� ���� ���� ���������� ������ �� �����

����# ����� ������� ��� �� ����������� $���� ����-����� ��� �� �� ������ ���� ����� � �′ ��� ��� � �� ����� � ����� � �������� � ������ ��� ����� ���� ���� ���������� �

8��� 4� @��� ����� � �����-*���������� � ��� ����� �′�

@�� � + ���� � � �� � ���� � ��� ����� �′# ��� �������� �� ��� � ���� � � � �# ��� ��� �������� �� ��� ����� � � � � .����� ���� ���� ���� � ������ � ����-���� � !���� � � ���� ���� " ���� ��� ��� ���

$�� ���� ��� � ��� ����-���� � ���� � �� ���� � � ��� ���� �� A���� ��� ����� � ��� � � � ���� �� �� � ��� ��� �� � ���� ����# �� �� ��� � ��� ���� � + �� � !��� 8��� 4"�

$��� �� ���� �� ��� ���� �� �� � ���� ��� �������� ���� �� � ��� �� �������� �� � �� ��� �� ��� ���� ��

� ���� � ��� ���� ��� �� ��� �������� ��� �� �� � � ���� ���� ����� ����� . ����-���� �������� � �� �������� ��� ���� ��� � ��� ���� �� �# � ����-���� �������� � �� ���� ���� ��� ���� ��� � ��� ���� � �# �����-���� �������� � � ���� ���� ��� ���� ��� � ��� ���� ���# ��� � ����-���� �������� � � ���� ���� ��� ���� ��� � ��� ���� �����

@�� �� ������ � ��� ����-���� � � ��� �� �# ����� �� �������� � �� ��� ��� �� ��� � ��� ���� �� �� A���� �� ��2����� ����-�����# � ��� �� �# ���� � ��������� ���� ����# �� �� ���� ����-���� ��� ��� �� � < � ����-������������ � � ���� ��� ���� ��� � ��� ���� �� � !��� 8��� 4"�

��!��+ "� � ���� �� ��� ���� ��� � ����� � �� ���� � ��� ����� �′ � ������ �� � �� �� ����� ������ &��� � ������ �� ����� �����# ���� ��� ��� �� ���� ����� � ���� � ����� �

"��

"� )���� ��� �����

@�� �� ����� �� �������� ����� ! ��� �������� � ����� ��� ����� � ��� ����� �′ ��� �� �������� ��� ��C������� ��� �� �� ��� � �������� � ��� � ����� ����� ����� ���� � � �� � ����� ����� E F����/ # ��� ������ ��� ������ �� ��� ����� ! �� �� � �� �� # ����# ���� ����� �� � ��� � � ������� ������ � ���� ��� ������ ������������ # �!! " �� �*��� � ��� ������ � ����� ����� � G# ����# � �!G" + �!�"− 7� $�� ������ � �������� � ! ���*��� � ��� ������ � ����� � �′# ����� �� �*��� � �!�" − # � G����H� � ������ $���# ��� ����� ! � ������ � �� ����� ���# � ����� # ������� � �����

@�� �� ��� ��� ����� � �������� � ��� ������ ����� � �′ !�� �� ����� �����"� �� � ������ �� ������ ���

����� � ���� ��� ������ ����� ��� ���� ����� ���� � ���� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ���� < �� ��������� ����� ������!� ������ ��� ���� �� ��� ���� ���� � ��"� ��� ���� ���� �� ��� ��� ��� � ���� ���� ����� �� ���

��� �� � �� ��� ����#

. ���� � ����� � �′ ��� � � �� � ���� � � ����� ����� ������� �� ��� �� �� ����� ����� ��� � � �� ������ ���� ��� �� �������� $���# ��� �� � �� ��� ���� �� ��� ���� ������� ����� �� � ���� �� ��� ��� ������������������ �� ��� � ��� ! �

�������� .� #���� �� ��� ����� ������������ �� ��� ���������������� �� ��� ����� ! ��� ������ ������ #����

�� ��� ����� ������������ �� ��� ����������������� �� ��� ����� ! ��� ������ �����

� �������� ���� �� � ���� �� � ��� � ��� ���� �� � ����� ���� ���� ������� �� ��� ���� �� ����

� �������� �� � ���� �� � ��� � ��� ��������� ��������� �� ��� �������� �������� �� ��� �������� �����

�� ��� ���� �� ����

��� ���� � � ����� ����� �������� �� � ��������� ��� ��� � ���� ��� ����� �× �� ���� ������ �� ���

���� ������������ �� ��� ������ �� ��� ��������� ��� ������ ��� ������� �� ��� ����� ��� ����� �� ��� ���� ����

������ �� ������� ��� ��� �� �� ������� ������

��� ����� ��� ���� ������� ���� ��� ����� �′ ����� ������ ��� ������ ����� �� ��� ����� �′�

��!��+ #� �" &� � �� �� �� � ���� �� ���� �� ��� �� �� ���� ����� ��� �������� �� ������ �� �� ��� ����� � ��� ����� �′�

" )�������� �� ��� ������� ����# �� ��� ���� ��� ����� �′ �� � ��� ����� !������ ��� �����"�4" . ����� ���� " ����� ��� �� � ����� # ����� �� � � ��� � ������ " 6 � . ���� ���� " ����� ��� ��

� ��������# ��� ���� � ����� � �������� �� � � ��� � ������ "�

@�� # �� � ����� � ��� ������ ��� � !�" ��� ����� � ����� ��� ������ ����� � �′� E � � ���� �# �� � ������� � �� ���� � ��� ����� # �� � ������ � ����

&� �� ��� � ��� ���� ��� ����� ��� ������ � ����� � �� � �� � ����� � ��� ����� � �� � ������� � �� ���� � ��� ����� # # ����# ����� � � ������ � ���� � ��� �� ���� � ��� � �!�"� A���� �!�" �� � ������ � ���# ��������� � � ������ ������� ��� ���� �� ��� �����

@�� ��� � �� �� ��� � �������� � ��� ����� � �′� &� � �� �� �� � ��� �� ��-���� ���� ��� � ����������� � �� ��� �� ������� ��� ����� ��# �� � � ����� �!��" + �!��"� A��� � �������� ��� ���� � �� ����������

@�� �� � ������� �� �������� ����� $ ��� �������� � ����� ��� ����� � ��� ����� �′ !����# ������ ��� �����"#��� �� �������� ��� ��C����� �� ��� �� �� ��� � ����� ����� ����� ���� � ������� � ��������� ������ # �������� $ �� � �������� &� � �� �� �� � ��� �� �� ���� �� ����� ���� � �� � � ����� ���� ���� � �������� ��������� D���� ��� ������ � �� ���� �� ��� ����� $ �� �� � �� # ��� ��� ������ � �� ����� �� �� � �� ��� ���*����� # ��� ����� $ �� � ����� �� �� ������ ��� �� ������ � ��� ����� �′# ��� ��� ���� �������� !�� ������������ �����" ��� ������

������ # �� � �������� � � ���� ���� �*��� ������� � ��������# �� ���� �� �� � ������� � ��������� D����#��� � �������� ���� �*��� ������� � ��������� @�� �� � ��� ������ ���� � ������ $��� ��� ������ � ��� � ����� �� �*��� � � 6 # �� ���� �� ��� ������ � ��� ���� � ��������� A���� �� ������ � �′ ��� ��� � ������ �� � ��������# �� � ������ ���� ��� ������ � �������� � ��� ����� �′ �� �*��� � !�6" · �!$"# ����# ���� �������� �����

��� �� ���� � ���� ���� �� ��� ��� ��� � �!�" + 4�!�" − 9 ��� Æ!�" ≥ 7� ��� ����� �� �� ���� �� ���� ��� � � �����

#�#�"� 1�)� �% � � !���!�* (�'��� �� !�)� 4� @�� % �� � ��������� ��� �� ������ ����� ����

�!%" ≥ �� �!%" + 4�!%"− 9� Æ!%" ≤ 4

"��

E @���� �# ��� ����� % �� �������; � ������ ��� ������� �������H� A������� ���� ��� ����� % # �� ������ �� ���� ����� ���� �� ���� � ������ � ������ �� � �� ����� �� � �� �� �� ����� � ��������� ��� �� ������ ����� �

������ ���� �!�" + 7 � ���� Æ!�" ≥ 7� &� � �� �����# �� ���� �!�" ≤ 4�!�" − 9� A���� �!%" + 4�!%" − 9#���� ���� �� ���� ������� � ������ � ������ 4 ��� �!�" + 4�!�"− 9� &� ������� � �� �� ���� �� ���� � ��� ������� � ������ 4 � ��� ����� � �� ���� � �� ���� ��� ��������� ����� ������� ��������� ��� ��� �� �������

&� ��� ���� �!�" + 7# ��� ����� � �� � � ��� ���� 7 ��������# � � ����� ��� ��������� ���� �� �� �� �� ��� ��� @�� �!�" 7� ������ # ��� ����� � �� �������� @�� �� ������ �� � ��� ������� ������� H ��� �������� � � !%" \ � !�"� � ����� � ������� ������� G � ��� ����� � !�� �� ��� � ��� ���� � ����� �� �◦<�◦ ��� � ��� ����� �� � �������� ��� ��������"�

� ���� �� ��� ���� �!�" �� ���� ��� ������� ��� ��������� � ���� ������� � ������ ��� �������� �′ ���������� ��� ����� ����� � �� .�� ����� � �′ ��� *����������� @�� ��� ������ � ���� �� ���� � ��� ���� � ����� �� � ���� � C �� ��� ������ � � ����� �������� � � � ��� ���� � � �� � ������ ����� ������

�� � � ��� �� ������� ���� �� � �����

$��� ���� �� � �� � ��������� �� �� ������ ���� �� ���� ����� ��� �������� � �������� � � � � � �������� ��� ��������� �� �� ���� ����� � ��� � ����� � �� $���� ���� ����� ������ � ��� ����� ������ &� ��� �������� �� �� � ��� �� �����-��������� !��� 8��� 7�# ��� �� �� ��� ����� ��������"# ���� ��� ������ � ��� ����C����� �� � ��� �������� � ��� ���� �′ ������ ���� � �� !&� ���� ����# ��� ����� �������� � � ��� ��������� �� ��� � �� � ���� � � ��� �′# �������� ��� ����� �� � � ��� �� �������" E�� ����� ��� � ����� �������� � ��� ���� � � � �� �′�

&� � ���� �� ��� ������� ���� � ��� ���� � !��� 8��� 7�"# ���� � ��� �� C ���� � �� �� ��������? ��� �������� � � � � � ��� ���� ��

8��� 7� ���� ���� � � ��� ������ ��

,� � � �� ������� ���� �� � ���� �������� �� ���� ���� ��� �����

� ���� ��� � �� ���� ������ ������

��!!� 3� � ����� � ∈ � !�′" � � ������ �� � ���� �������� 7− ��′!�" �����

#����� � ������ � ���� & ��� � ����� � ����� � ������ ��� ������ �� ������ # � �� ����� � & �������� � �

��� ������ �� ��� �� �� & �� �� ������� ���� � � ����� ��� � �� � � ���� � ���� ������ &� �� ���� ����# �� ������ �� ����� �� ������ ��� ��� ���� �� ������

E � � ���� �# ��� ������ � �� �������� � ������ �� ������ �����# ����� ���������� ������� ��� ������������� �� �� �� � � ��� ����� ����� ��′!�" + � ��′!�" + 4� &� ��′!�" + 7# ���� � �� �������� � �� ������ ����� ����� �����# ���# ������ # ����� ����� ��������� �� ��� ����� �������� D���� � ������ � ������ 7 ���� � �� �� ���� � � ������ �

@�� ��� ���� � ���� � ����� � ��� �� ������ # �������� �� ���� ���� � ��� ����� � ���������� ��� ���� � !���8��� 7�"� $��� ���� ���� �� �������� � �� � ��� �� � ����� � � !��� �� �� ��� � ���� � � � � � "� � �� �����# �� ���� ����# ��� ��� �� � ���� � ��� ������ ��′!�" + 4�

&� � �� �� �� � @���� 5 ���� ≤ ��′!�" ≤ 4� @�� ��′!�" + � $��� �� ��� ����� � ��� ������ � �� ��������� �� ������ ����� ��� �� ���� �����# �� ��� �� ��� �� @���� 4� D����# ���� � ��� �� ����� � �′# ���� ����� � ����� � ������ �# ���� �� ����������� � � ����-���� �������� � �� E�� ����� �� � ���� ����-������ ��� ���� �# � � ��������� ��

"��

$���# ��′!�" + 4� � ������ �� ��2����� �� � � ����� ���� � ����� �? ��� �� �� �′ !����� � ������ �" ��� �∗

!��� 8��� 7�"� E @���� 5# ��� � �� � ���� � �′ ��� �∗ �� � ����� ���� ��� �� ����������� � � ���� �����$���� �� ��� �� � �������� � ���� ���� ���� ����? �� ���� C �� ��� ������ � � ��� ���� �′ � � ������ � � � � � � ��� ���� �∗ !������ # ���� �� ��� ������ � �∗# �� ���� � �; ��� 8��� 7�"�

$�� ���� ����� ��� ������ � �� ���� ��� �� � ����-�������� � ��� ���� � �� ������� � ��� ���� � �������� �� ���@�� � ��� �� ��� ���� � � ���� � ������ ��� � ����� � ��� �� A���� ����� �������� � � ���� � ��������� � �������� ���� ���� �� ��� ����� �′ ��� �∗# �� �� ��� � ��� ���� ��� ������ � ���� � �� C ���� � ����� �������� � ������� � � ��

/� � � ��� ���� ���� �� � �����

&� ���� ����# ��� ����� �′ � ������ � �� ������ !���� � ���� � ������ � �� ����# ����# ��� � �� ��������" ���#� ����� # ������� ������ A���� �!�" 7# �� �� ��� ����� � �′ ����� �� �� ����� �� ����� ������ # ��� ����� � �′

��� 7 ����� ��� ���� ����� �� ����� � ������ ���� � ���� !��� 8��� 7�"� $��� �� �� ��� � ��� ���� ��� ������ �

�������� � ��� ���� � ���� � �� ��C����� � � �� ���� �� �������� � ��� ���� � � ��

��� �� ���� � ���� ���� �� ���� ���� � ��� % ���� �!%" + 4�!%"− 9� �!%" 7� ��� Æ!�" ≤ 4 ��� ��������

#�$� � ��( �% � � ����% �% � � ,�-�(� &� � �� �� �� � ��� � ������ �� � �� ����� �� ����� �� ���� ����� ���� ���� ���� � ��� � ���� �!�" + 4�!�"− 9 �� ���� ����� �� �� ����� !&� �� �� ��� �� A��� 4�4� ����Æ!�" ≥ 7� 8 � ���� ������ �� �� �� ��� �� A��� 4�4�� ���� �!�" �� �����"

3 �� ���� � � ���� � ≥ 7# �� ��� �� � �!�" ��� ������� ������ � ����� �� � ��������� ��� �� ������ ����� � � ��������� � ���� �� ��� ���� �!�" ≤ 4� − 9 � � ��� � ≥ 7 ��� �!�" ≤ 4� − � � � �� ��

&� ������� � � �� ���� �!5" ≤ � + 4 · 5 − �# ����� ��� ������� ������ � ����� �� � ��������� ����� � 5�������� �� �������� � � ��� � ������ ��������� ����� '��� ��� �� �*��� � ��

$�� �� � � ��� � ��� �� � �������

7� �������� ��������

� ������ � �������������� �×�×� � ��� � ������� ����� .�� � ��� � ��� ���� � ��� ������ ���� ����������������� � ��� � ����� ��� �������� � ��� ����� �′

� # ��� ��� ���� �������� ������� ����� � ��� ��� ����� � �′��

������ # ��� ����� �′� ��� �� ����� �� � �� ������ !����� ��� � ��� ���������� �× �" ��� �� ���� � ��������

��� ��������� � 6 ����� � ��� ����� �′� � &� �� ��� � ���� ���� ����� �� ��� ������ ��� �� ��� ����� ������ #

�� ����� �� ��� �� ������ ��������� ����� �� ���� �!��" + 7�67# �!��" + 4 · �!��"− 9 ��� ���� �� ������������� �� � ������� $���# �� ���� �� �� ���� �!�" + 4� − 9 � � � + 7( ≥ 9�

8��� �� ���� �× �× � ��� ��� ��� �� ������ ����� '����

3 �� ���� � �������������� �× �× � ��� �� ����� �� � �� ������� .� ������� � � ��� ���� �× �× � �� �� ���� 8��� �? � ��� ���� �� ��� ��� �������� ��� ���� ��� �� ������# ��� � ��� �����# ����� �� ��� ��������� ��� �������� ��������� ������ 3 �� ���� ���� ����� �� ��� � ������ ��������� ����� '����

B �� ���# �� ��� ���� � �������������� �× � × " �� � �� ������ �× � ��� " ������ )� ���� ����# �� ���� ������� � ��������� ��� �� ������ ����� ���� ���� �!����" + !� 6 �"!" 6 �" ��� �!����" + 4�!����" − 9�D �����# ���� ������� � ��� � �� �# ����� � �� �����# ���� � �� ����������� �� !�6�"!"6�"� $��� �� ����� � ������� � �� � ��������� ���������

� � ������� �� ��� �� ������ ����� % ′� � 7� 6 5 �������� !����� � ≥ �" �� � �� ������ �× !� 6 4"� .�

������� � � � + � �� �� �� �� 8��� 5�� &� ��� ����� % ′� �� �� �� ���� �������# ����� ��� �� �������� � ������

"��

!��� ���� ��2����� � � ��; ��� ���� �� � � � � � ��� � � � � � �" ��� � �� �������� � ������ 4 !�� �������� ����� � � �"; ��� ���� �������� ���� ������ 7� A����� ����� � ��� ����� % ′

� ��� �� �� �� � ��� �����# ����� �������� �� �� �� � ���� ������ &� �� �� �� � � � ���� ���� ����� �� � �� ������ �× 7� &� �� � � ��Æ���� � ��� ����� ����� � � ����� % ′

� � 7� 6 5 �������� !� ������ � − � ��� �*�����"�

8��� 5� =����� � �� ��� �� ������ ����� �� � �� �������

&� �� �� �� �� 8��� 5� � � � ���� ���� ����� �� ���� ������ &� �� ��� ����� ���� �� � �� ������ < ����� � % ′�

< � ��� � ��� �� � �����# �������� � ���� ������ &� �� ��� � ����� ���� � � � ≥ �# ��� ��������� ����� ��� � �������� ������

� ���� ���� ����� �� ��� ����� % ′� �� ��� �� �� ��� ����� �� ��� �� ������ ��������� ����� %� ����

�!%�" + 7� 6 5 ��� �!%�" + 4�!%�"− 9� $���# �� ���� �� ��� ���� �!�" + 4� − 9 � � � + 7� 6 5# ����� � �� �� ������ ��������

��!��+ $� �" 3 �� ���� �� �� �� � � ������� ���� � ����� � � � + ,# ���� ��� ���� �� � ��� �� ����� ��� �� ������# ��� ���� ��� ����� � ��� ���� �������� ������

" &� �� �� ����� �� ���� ����� ����� ������� � ���� ����� !����# ��� ���� ���� ���� � ���������� � × "#���� �������� ����� ������� )�� � ���� �� ��� ���� C ����� ��� � ���� � ���� �����# ����� ��� ������ 4 �� �������� % ′

�# � ��� � ����� ����� ������# ��� ��� ���� �� � ���� � ��� ����� � � ��� �*�����4" 3 �� ��� ���� ����� �� � � � � ���� ��� �� ������ ��������� ������# ����� ��� �� � ��������� �� � ��

������ � ��� ���� �������

� ������ ����� ������ � �� 8 � � + 7 ��� � + �# �������� �������� ��� ��� � ������ ��������� ������ '���

��� '���# ����������� � $���� ������ ��� ������# ���# ����# ��� ��� ��� �� ������ ������ �� ����� 3 �� �����!'���" + 7 + 4 · 7− 9 ��� �!'���" + 5 + 4 · �− �� $��� �� ���� �� ��� ���� �!7" + 7 ��� �!�" + 5�

8 � � + 5 ��� � + �# �������� �������� ��� ��� � ������ ��������� ������ '��� ��� '���# ����������� � $���������� ��� ��� �� ������# ����� ��� �����'���# �� �� �� 8��� �# �� ��� �� ������� 3 �� ���� �!'���" + � + 4·5−���� �!'���" + � + 4 · �− �� $��� �� ���� �� ��� ���� �!5" + � ��� �!�" + ��

&� ������� � �� � ���� �!�" + 4� − � � � �� � ≥ �� $ ���� ��� �� �� �� ��� � ��� �� ������ ��� �� ����� � ��� ��� �� ������ ��������� ����� ���� � − � �������� ��� 4!� − �" − 9 ����� !� �� ���� � − � ≥ 9 ������# ����� ������� �� � � ������� ���� � ����� ��� ��"� )�� ��� ��� � ������ � � ���� ����� ��� C �� �� � �� �������� � ��� ���� � � � �� �� �� �� �� 8��� 7��

$�� �� � � ��� ��� ��� �� � �������

�� �� �������� ������� �����

.� ��� ��� � �� �����# �� ���� �� ������� � � � ������ ��������� ������ ��� >�� �� ��� ��� �� ������������ �� �� ����� $�� ������'��� ���'��� ��� ������ ���# � ���*����� # ��� �� ������� � ���� ��������������� '���# '���# ��� '��� ��� ��� �� ������ �������

&� �� ����� �� � 8��� � ���� ��� ����� '��� �� ��� �� ������� D���� ��� �������� '��� �� ��� �� ������ �� �����A���� �!'���" + , 4 · �− �# ��� ����� '��� �� � � ��� �� �������

@�� �� �� � ���� ��� ����� '�� �� � � ��� �� ������# ����# ���� ����� ���� � �� ����� � ��� ����� �� ���� ��� ���� ���� ���� ���������� �� � �� �� ���� �����

8���� �� � �� ���� ��!'���" ≥ �� @�� �� ���� ��� ����� '��� � ��� ������ &� � ������ �, ����������� � ����� � '���# ��� ��� ������� � ���� � ����� ��������� � ������ �� ����� �� �� ����� � ������ &� �� ���

"�,

� ��� ���� ���� ���� � �� ����� ����� ��� ��� � �������� ��� + 4 ��������� '���� D����# ��!'���" ≥ �

� ���#� ���*����� # ��!'���" ≥ 7�

8��� �� $�� ����� '����

3 � ��� �� ������ ���� '�� �� �� ��� �� ������ ������ ������ # ���� ����� �� ������� !����� �� �� � � ��������������� �����"� � ������ ��� ������� �������� A���� �!'��" + � 4�!'��" − �,# � @���� 4# ���� � �������� �������� � ������ � �� �������� � �� ����� � �� + 4 ������ ������ D����# �� ������� ��� �� ����� � ������

����� ��� ��!'��" ≤ ��−�� + 5�

D �����# ����� ��� �� ����� 7 �� ������ �� ��� ������� � ���� �������� �� � ����� � '���� $���� ��� �� + �

���� ���������# ��� ���� �� ����� ��� ��� � ��� + �, ��������� � ��� � �� '���� D���� �� � �� �� ����

��!'��" ≥ ��!'���" · ��,

+97

�, 5

$�� � ��������� � ������� �� �� �� ���� '�� �� � � �� ��� �� ������ ������$���# '���# '���# '���# '���# '���# '���# ��� '��� ��� ��� ��� �� ������ ������ �� �� � ������ ���������

�������

$��� �������� ��� ���� ���� � ��� F������ 8 ������ � � � E���� F������� !F8EF" ����� ��-,�-,,�5,-� ���=���� 3A�-4��,����

$��������� � �� I� J��� ��

�� ����1��

�� K� L��� ��� =� $M ��# 0=����� ����� ���� ��� �� ����� ��� ����#1 *����������# �4# 7�<74� !����"�� L� J� .������# E� .� � �# K� L���# F� L ����/# ��� B� A�����# 0N����-������ ������ ���� � ������ ������ �

�����#1 *����������# �4# �<� !����"�4� G� .�/����� ��� =� $��� �# 0)� ��� ������� ������ � ����� �� *����-������ ������#1 +� *���� ������

)��� �# ��$# �54<��� !,,�"�7� G� .�/�����# 0)� ��� ������� ������ � ����� �� � � � ����� ������ ���� � � �� �������� �� ����� �����#1

,������ *������ -����# $�# 45�<4�� !,,�"��� =� $��� � ��� =� $M ��# 0�� ����� ����� �� � � � ����� ������#1 )(�$ +� ,������ $����# "�# �4�<�7� !,,�"�5� K� L���# F� L�������# =� $��� �# ��� =� $M ��# 0=� ������ ������ ���� � ����-������������ ���� � ������

�����#1 !G������ ������ " .������� +� *�����# ".# ��4<9�� !,,7"�

"��