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Combinat1
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ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Lic. Adolfo Hinojosa Mamani
PERMUTACIONES
Y
COMBINACIONES
ANALISIS
COMBINATORIO
Estudia los arreglos que se pueden formar con los
elementos de un conjunto.
PRINCIPIOS DE
ANALISIS
COMBINATORIO
I. PRINCIPIO DE ADICIN
Si un evento A ocurre de m maneras diferentes y un evento B de n maneras diferentes, entonces el evento A B (no
simultneamente) se podr realizar de m+n diferentes maneras.
EJEMPLO 1
Una persona desea viajar de Tacna a Lima y tiene a
su disposicin 3 lneas areas y 4 terrestres. De
cuntas maneras podr viajar?
SOLUCIN
TACNA LIMA
Ntese que al
utilizar una, deja
de utilizarse la
otra.
Puede viajar por va:
Total = #area + #terrestre
Total = 3 + 4
Total= 7 maneras.
EJEMPLO 2
Nancy desea comprar un libro de Estadstica Descriptiva que es vendido en 3 lugares: en Av. 2 de Mayo(frente a mercado) 5 tiendas, en avenida
Bolognesi 6 tiendas y en mercadillo Bolognesi 2.
De cuntas maneras puede adquirir dicho libro?
SOLUCIN
Puede comprar:
Total = av. 2 de mayo Bolognesi mercadillo Bolognesi
Total = 5 + 6 + 2
Total= 13 maneras.
II. PRINCIPIO DE MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que consta
de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo
de N1 maneras o formas, el segundo paso de
N2 maneras o formas y el r-simo paso de Nr
maneras o formas, entonces esta actividad
puede ser llevada a efecto de:.
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
EJEMPLO 3
De Tacna a Ica hay 6 caminos diferentes; de Ica a
Lima hay 5 caminos diferentes. De cuntas
maneras se podr viajar de Tacna a Lima pasando
por Ica?
SOLUCIN
Puede viajar:
Total = Tacna a Ica y Ica a Lima
Total = 6*5
Total= 30 maneras.
EJEMPLO 4
Una persona desea construir su casa, para lo cul
considera que puede construir los cimientos de su
casa de cualquiera de dos maneras (concreto o
block de cemento), mientras que las paredes las
puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo
puede ser de concreto o lmina galvanizada y por
ltimo los acabados los puede realizar de una sola
manera cuntas maneras tiene esta persona de
construir su casa?
SOLUCIN
Considerando que r es de 4 pasos: N1= maneras de hacer cimientos = 2 N2= maneras de construir paredes = 3 N3= maneras de hacer techos = 2 N4= maneras de hacer acabados = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
De cuntas maneras diferentes podr
vestirse un joven que tiene 3 camisas
diferentes, 4 pantalones y 2 pares de
calzado?
EJEMPLO 5
FACTORIAL DE UN
NMERO
FACTORIAL DE UN NMERO
El factorial de un nmero entero positivo n denotado por n! n, se define como el producto de
todos los enteros consecutivos desde 1 hasta n. As:
n!= 1x2x3x...x(n-1)n ; si n pertenece a Z+
EJEMPLOS:
0!= 1 1!= 1 2!= 1*2 = 2 8!= 1*2*3*4*5*6*7*8= 40 320
NOTA:
(-5)!= No definido -4!= -(1*2*3*4)= -24 (2/3)!= No definido. 3!/5!=
PROPIEDAD:
n!= n(n-1)!= n(n-1)(n-2)! 9!= 9*8! 9!= 9*8*7*6!
COFACTORIAL:
Notacin: n!!
n!! 1*3*5*..*n; si n es impar.
2*4*6*..*n; si n es par.
FACTORIAL DE
FACTORIAL:
(n!)!
(3!)!=(1*2*3)!=720
MTODOS DE
CONTEO
I. PERMUTACIONES
Son los diferentes arreglos o ordenamientos (importa
el orden) que se puede formar con parte o con todos
los elementos de un conjunto; interesando, el orden
de su ubicacin, y debido a esto una permutacin es
diferente de otra, cuando el orden de sus elementos
es distinto.
TIPOS:
1. PERMUTACION LINEAL
Se da cuando los elementos considerados son
todos distintos y se ordenan en lnea recta.
Pn = n!
A. De todos los elementos:
De cuntas maneras puede ubicarse
5 alumnos en una fila?
EJEMPLO 1
SOLUCIN
P5 = 5x4x3x2x1= 120
El nmero de permutaciones es de n elementos formados de k en k , est dado por:
B. De algunos elementos:
nkkn
nPnk
0;
)!(
!
Cuntos nmeros diferentes de 5
cifras se puede formar con los dgitos
de 1 a 9?
EJEMPLO 2
SOLUCIN
15120!5
!56789
)!59(
!995
xxxxP
De 15 120 maneras.
2. PERMUTACION CIRCULAR Es un arreglo u ordenamiento de elementos diferentes
alrededor de un objeto.
En estos ordenamientos no hay primero ni ltimo elemento,
por hallarse en un crculo cerrado. La idea es mantener un
elemento fijo y permutar los restantes, es decir de n elementos solo se mueve n-1 elementos; para diferenciar un arreglo circular de otro, a partir del elemento fijo
(referencia); leemos en sentido horario o antihorario, si
encontramos 2 lecturas iguales, entonces los arreglos sern
iguales.
Luego:
Pc (n) = (n-1)!
De cuntas maneras diferentes podrn
sentarse 5 nios alrededor de una mesa?
EJEMPLO 3
SOLUCIN
Pc (5) = (5-1)! = 4! =24
RESPUESTA: Los 5 nios podrn sentarse alrededor de una
mesa de 24 maneras.
3. PERMUTACION CON REPETICION Es un arreglo de elementos donde algunos de ellos se
repiten.
Luego:
!*...!*!*
!,...),,(
cba
nPn cba
Se tiene 3 camisas blancas, 2 azules, 1 roja y 1
verde. De cuntas formas diferentes se podrn
ordenar en un ropero segn color?
EJEMPLO 4
SOLUCIN
RESPUESTA:
Las camisas se pueden ordenar de 420 maneras.
n=7 camisas
BBB AA R V
4202!*3
!3*4*5*6*7
!2!*3
!77)2;3( P
II. COMBINACIONES
Es una coleccin o agrupacin que se puede tomar
con parte o todos los elementos de un conjunto, no
interesando el orden de sus elementos, y debido a
esto una combinacin es diferente de otra, si al
menos tiene un elemento distinto.
Est dado por:
nkknk
nC nk
0;
)!(!
!
PROPIEDADES:
12...
2...
1
1
321
210
1
0
nn
n
nnn
nn
n
nnn
n
kn
n
k
n
n
n
n
CCCC
CCCC
CC
C
nC
C
Cuntas comisiones de 4 personas se
puede formar de un total de 8
personas?
EJEMPLO 1
SOLUCIN
701*2*3*4!*4
!4*5*6*7*8
)!48(!4
!884
C
RESPUESTA:
Se puede formar comisiones de 70 maneras.
Un alumno tiene que responder 10 de
12 preguntas en un examen. De
cuntas maneras puede hacerlo?
EJEMPLO 2
SOLUCIN
662!*10
!10*11*12
)!1012(!10
!121210
C
RESPUESTA:
Puede responder de 66 maneras.
En una reunin se observ 36
apretones de manos. Cuntas
personas hay en dicha reunin?
EJEMPLO 3
SOLUCIN