Analisa Data Statistik

Analisa Data Statistik

Agoes Soehianie, Ph.D

Chap 3: Random Variabel dan Distribusi Probabilitas

Konsep Variabel Random

Variabel random/acak adalah sebuah fungsi yg mengaitkan sebuah bilangan real dengan setiap elemen di ruang sampel.

Notasi X: variabel randomnya (fungsi!!),- disebut var random krn nilai yang akan muncul bersifat random (tdk dapat diduga

sebelumnya) x: salah satu nilai X yang mungkin

Contoh:Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg mungkin: Baik (B) dan

Mati (M). Pemeriksaan dilakukan dengan mengambil secara acak 3 buah lampu hasil produksi. Maka ruang sampelnya adalah:S = {BBB,BBM, BMB,BMM, MBB,MBM, MMB,MMM}

Definisikan X adalah fungsi yang menyatakan banyaknya lampu yg rusak dalam pengambilan tsb, jadi X bisa mengambil nilai : 0,1,2,3.

X adalah contoh Variabel (fungsi) random.S = {BBB,BBM, BMB,BMM, MBB,MBM, MMB,MMM} – ruang sampleX = {0 ,1 , 1 ,2 , 1 ,2 ,2 ,3} - variabel random

Konsep Variabel Random

Terlihat X = 2 untuk kejadian E= {MMB,MBM,BMM} Jadi tiap nilai X berkenaan dengan sebuah himpunan

bagian dari S. Contoh.

2 bola diambil berturut-turut tanpa dikembalikan dari kotak yg berisi 4 bola merah (R) dan 3 bola biru (B). Buatlah semua kemungkinan nilai variabel random Y yang menggambarkan jumlah bola merah yang terambil.

Jawab:Ruang sampel y

RR 2

RB 1

BR 1

BB 0

Ruang Sampel Diskrit dan Kontinu

Ruang sampel yang berisi anggota yang seperti elemen bilangan bulat, maka disebut ruang sampel diskrit.

Ruang sampel yang berisi anggota yang seperti titik-titik di segmen bilangan real disebut ruang sampel kontinu

Variabel random diskrit jika nilai hasilnya berupa bilangan bulat

– Contoh: lihat contoh-contoh sebelumnya

Variabel random kontinu jika nilai hasilnya berupa bilangan real

– Contoh: hasil pengukuran tinggi badan, berat, diameter sekrup dll.

Distribusi Probabilitas Diskrit

Tiap nilai sebuah variabel random memiliki probabilitas tertentu untuk muncul.

Contoh:– Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar, Angka). Misal

didefinisikan variabel randomnya X : banyak G dalam pelemparab tsb. Maka ruang sampelnya:

S = {GGG,GGA,GAG,GAA, AGG,AGA,AAG,AAA}

x = 0 {AAA} P(X=0) = 0

x = 1 {GAA,AGA,AAG} P(X=1) = 3/8

x = 2 {GGA,GAG,AGG} P(X=2) = 3/8

x = 3 {GGG} P(X=3) = 1/8

Distribusi Probabilitas Diskrit

Distribusi Probabilitas

0

0.375 0.375

0.125

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3

X (banyak G)

Pro

bab

ilit

as

Distribusi Probabilitas atau Fungsi Probabilitas

Himpunan pasangan {x,f(x)} disebut fungsi probabilitas dari variabel random diskrit X jika untuk setiap nilai x:– f(x) > 0 , harus positif– ∑x f(x) = 1, total probabilitas seluruh kejadian = 1

– P(X=x) = f(x)

Contoh Mobil yg dijual sebuah dealer 50% dilengkapi

dengan air-bag. Tentukanlah distribusi probabilitas bahwa x dari dari 4 buah mobil yang akan terjual berikutnya akan memiliki air-bag.

Distribusi Probabilitas atau Fungsi Probabilitas

Jawab:– Probabilitas menjual sebuah mobil dg air-bag adalah ½ maka

untuk 4 penjualan berikutnya ada 24 =16 susunan yg mungkin. Banyaknya cara menjual 3 mobil dengan air-bag dari 4 penjualan tsb adalah banyak kombinasi dari 4 obyek diambil 3 tiap kali (sebab tiap mobil tidak dibedakan, hanya ber air bag atau tidak saja). Atau dipandang sebagai banyak cara mempartisi 4 obyek ke dalam 2 sel, sel pertama berisi 3 mobil dg air-bag dan 1 sel berisi mobil tanpa air-bag, yaitu C4

3 = 4!/(3!1!) = 4 cara.

– Jadi secara umum banyaknya cara untuk menjual x mobil dg air-bag dari 4 penjualan 4 mobil adalah : C4

x.

– Maka probabilitas menjual x mobil dg air bag dalam 4 penjualan adalah

16

4

)(

x

xf

Distribusi Probabilitas Kumulatif

Distribusi probabilitas kumulatif F(x) dari sebuah variabel random X dengan fungsi probabilitas f(x) adalah jumlahan dari f(x) dari nilai x=-∞ hingga x:

F(x) = P(X<x) = ∑t<x f(t) untuk -∞< x < ∞

Soal.

Carilah fungsi distribusi kumulatif dari contoh sebelumnya.

Jawab:

f(0) = C40/16 = 1/16 f(1) = C4

1/16 = 4/16 f(2) = C42/16 = 6/16

f(3) = C43/16 = 4/16 f(4) = C4

4/16 = 1/16

Sehingga fungsi distribusi kumulatifnya:

F(0) = f(0) = 1/16, 0 ≤ x < 1

F(1) = f(0)+f(1) = 5/16, 1 ≤ x < 2

F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 11/16, 2 ≤ x < 3

F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 15/16, 3 ≤ x < 4

F(4) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 1, x ≤ 4

Distribusi Probabilitas Kumulatif Diskrit

f(x)

1/16

1/4

3/8

1/4

1/16

0

1/20

1/10

3/20

1/5

1/4

3/10

7/20

2/5

0 1 2 3 4

Grafik Fungsi Distribusi Probabilitas (fx) dan Distribusi Probabilitas Kumulatif

F(x)

1/16

5/16

11/16

15/161

0

1/5

2/5

3/5

4/5

1

1 1/5

0 1 2 3 4

Distribusi Probabilitas Kontinu

Perbedaan dengan yang diskrit adalah pada fungsi distribusi probabilitas kontinu, nilai probabilitas untuk satu nilai tertentu saja tak bisa diberikan (0), jadi tak bisa ditabelkan!

Contoh:

Probabilitas menemukan orang dengan tingginya tepat 165.0 cm =0

Tapi probabilitas menemukan orang dengan tinggi antara 160.0cm s/d 165.0 cm tentunya ada!

Jadi yg dicari adalah probabilitas sebuah variabel random memiliki nilai dalam sebuah selang interval e.g. P(a<X<b)

Untuk fungsi distribusi probabilitas kontinu, f(x) disebut fungsi rapat probabilitas dari X. Sedangkan probabilitas menemukan nilai X dalam sebuah selang diberikan oleh luas di bawah kurva f(x) vs x.


x

f(x)

a b

Fungsi rapat probabilitas : f(x)

Luas di bawah f(x) antara x=a dan x=b memberikan probabilitas menemukan nilai X antara a dan b, atau P(a<X<b).

b

a

dxxfbXaP )()(

Ciri-ciri lain dari fungsi rapat probabilitas:1. f(x) ≥ 02.

1)(

dxxf


Contoh. Misal kesalahan dalam pencatatan temperature di sebuah percobaan adalah sebuah variabel random X yg memiliki fungsi rapat probabilitas sbb:

lainyya

xx

xf0

213)(

2

a. Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat probabilitas

b. Berapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan 1?

Jawab.a. b.

193

)(2

1

32

1

2

xdx

xdxxf

9

1

93)()10(

1

0

31

0

21

0

x

dxx

dxxfXP

Distribusi Probabilitas Kontinu Kumulatif

Analog dg kasus diskrit, maka fungsi distribusi probabilitas kontinu kumulatif F(x) dari fungsi rapat probabilitas f(x) didefinisikan sbg:

Tentu konsekuensi dari definisi tsb juga berlaku (asalkan exists!):1. f(x) = dF/dx2. P(a<X<b) = F(b)-F(a)

x

dttfxXPxF )()()(

Soal.Pakailah contoh sebelumnya untuk fungsi rapat probabilitas.• Tentukan fungsi distribusi kumulatif nya• Pakailah untuk menghitung P(0<x<1)• Buatlah sketsa F(x)

Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)

Dalam berbagai kasus eksperimen variabel random yg terlibat bisa lebih dari satu. Misalnya berat dan tinggi, volume dengan kecepatan penguapan dll. Sehingga ruang sampelnya berdimensi lebih dari 1. Dalam kasus seperti ini kita tertarik untuk mengetahui distribusi probabilitas terjadinya variable random X dan Y secara bersamaan, yang dikenal dengan nama Distribusi Probabilitas Bersama.

Jadi fungsi distribusi probabilitas bersama X=x dan Y=y diberikan oleh f(x,y) = P(X=x, Y=y).

SIfat-sifat fungsi distribusi probabilitas bersama adalah:1. f(x,y)≥0, all x,y2. Total jumlah = 1

3. Probabilitas terjadinya X=x dan Y=y secara bersamaan diberikan oleh f(x,y), atau P(X=x,Y=y) = f(x,y)

x y

yxf 1),(


Contoh.Dua buah isi ulang untuk sebuah ballpoint diambil secara acak dari

dalam kotak yg berisi 3 refill biru, 2 refill merah dan 3 refill hijau. Jika X adalah jumlah refill biru yg terpilih dan Y adalah jumlah refill merah yg terpilih, carilah:

a. Fungsi distribusi probabilitas bersama f(x,y)b. P[(X,Y)ε A] dimana A adalah daerah {(x,y)| x+y≤1}

Jawab:Pasangan (x,y) yang mungkin adalah: (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,2),(2,0)Jadi f(0,1) menggambarkan probabilitas terpilihnya 1 merah dan 0

biru (berarti 1 lagi hijau!). Banyaknya cara memilih 2 refill dari 8 buah yg ada di kotak =

kombinasi memilih 2 dari 8 obyek: C82 = 8!/{(8-2)!2!)}= 28

kombinasi yg mungkin.Banyak cara memilih 1 merah dari 2 merah yg tersedia C2

1

Banyak cara memilih 1 hijau dari 3 hijau yg tersedia C31


Jawab (lanjutan):

Jadi banyak cara memilih 1 merah dari 2 dan 1 hijau dari 3 hijau adalah: C2

1*C31 = 6.

Jadi probabilitas memilih 1 merah dan 1 hijau f(0,1) = 6/28Selengkapnya diberikan tabel berikut:

f(x,y)

x Total baris

0 1 2

y

0 3/28 9/28 3/28 15/28

1 3/14 3/14 0 3/7

2 1/28 0 0 1/28

Total col 5/14 15/28 3/28 1

b) Untuk x+y ≤1,P = f(0,0)+f(0,1)+f(1,0)P = 3/28 + 9/28 +

6/28=18/28


Untuk variabel random kontinu, analog dengan kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama f(x,y) didefinisikan sbg:

1. f(x,y) ≥0 untuk seluruh x dan y2. Total integral di seluruh area =1

3. Probabilitas nilai X=x dan Y=y di dalam area tertentu diberikan oleh hasil integral f(x,y) dengan (x,y) dalam area termaksud

1),( dxdyyxf

A

dxdyyxfAYXP ),(]),[(


Contoh.Sebuah perusahaan permen mendistribusikan kotak-kotak cokelat

yang berisi isian jenis: krim, tofi dan kacang. Terdapat dua tipe cokelatnya yaitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak 1 kotak, dan variabel random X dan Y menyatakan persentase dari coklat putih dan gelap yang berisi krim, dengan fungsi rapat probabilitas bersamanya:

lainnya

yxyxyxf,0

10,10)32(5

2),(

a. Periksalah apakah integral f(x,y) di seluruh daerah = 1b. Carilah probabilitas mendapati 0<x<1/2 dan ¼<y<1/2

Surface plot f(x,Y)

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2


Jawab.a. Integral di seluruh wilayan x,y:

1

0

1

0

1)32(5

2),( dxdyyxdxdyyxf

b. P(0<X<1/2,1/4<Y<1/2)

2/1

4/1

2/1

0

2/1

4/1

2/1

0

160/13)32(5

2),( dxdyyxdxdyyxf

Distribusi Probabilitas Bersyarat (Conditional)

Misal X,Y adalah variabel random (diskrit/kontinu), maka distribusi probabilitas bersyarat dari variabel Y asalkan X=x diberikan oleh:

0)(,)(

),()|( xg

xg

yxfxyf

Dengan g(x) adalah distribusi marginal untuk X saja, yaitu distribusi probabilitas f(x,y) yang dijumlahkan (integral) thd seluruh nilai y:

dyyxfxg ),()( y

yxfxg ),()(


Contoh.Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X dan Y,

dengan X adalah perubahan temperatur dan Y adalah persentase pergeseran spektrum dari suatu atom diberikan oleh:

lainnya

yxxyyxf

0

1010),(

2

a) Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g(x) dan h(y)b) Carilah fungsi rapat probabilitas bersyaratn f(y|x)c) Carilah probabilitasnya bahwa spektrum akan bergeser lebih dari

50% dari seluruh pengamatan, jikalau temperature dinaikkan 0.25 unit.


10),1(3

1010),()( 3

12

xxxdyxydyyxfxgx

Jawab.a. Fungsi rapat probabilitas marginal:

b. Fungsi rapat probabilitas bersyaratn f(y|x)

10,510),()( 4

0

2

yydxxydxyxfyhy

101

3

)1(3

1010

)(

),()|(

3

2

3

2

yxx

y

xx

xy

xg

yxfxyf


Jawab.c. Probabilitas mendapati spektrum tergeser > 50% (Y>0.5) jikalau

temperatur dinaikkan 0.25 unit (X=0.25), berarti:

P(y>0.5|x=0.25)

9

8

25.01

3)25.0|()25.0|5.0(

1

5.03

21

5.0

dyy

dyxyfxyP

Independensi Statistik (Tak saling bergantung)

Jika X dan Y adalah variabel random (diskrit/kontinu) dengan distribusi probabilitas bersama f(x,y) dan distribusi marginal g(x) dan h(y), maka variabel X dan Y tsb dikatakan tak saling bergantung secara statistik jika dan hanya jika:

f(x,y) = g(x)h(y)

Documents

Analisa Data Statistik