Upload
darma-wati-gpdg
View
240
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/19/2019 analisa numerik2
1/105
BAB I
PENDAHULUAN
Analisis numerik adalah studi algoritma untuk memecahkan masalah
dalam matematika kontinu (sebagaimana dibedakan dengan matematika
diskret)
Salah satu tulisan matematika terdini adalah tablet Babilonia YBC
7289, yang memberikan hampiran numerik seksagesimal dari ,
panang diagonal dari persegi satuan!
"emampuan untuk dapat menghitung sisi segitiga (dan berarti mampu
menghitung akar kuadrat) sangatlah penting, misalnya, dalam
pertukangan kayu dan konstruksi!
#nalisis numerik melanutkan tradisi panang perhitungan praktis
matematika ini! Seperti hampiran orang Babilonia terhadap ,
analisis numerik modern tidak mencari a$aban eksak, karena a$aban
eksak dalam praktiknya tidak mungkin diperoleh! Sebagai gantinya,
kebanyakan analisis numerik memperhatikan bagaimana memperoleh
pemecahan hampiran, dalam batas galat yang beralasan!
#nalisis numerik secara alami diterapkan di semua bidang rekayasa dan
ilmu%ilmu &isis, namun pada abad ke%2', ilmu%ilmu hayati dan senimulai mengadopsi unsur%unsur komputasi ilmiah! ersamaan di&erensial
biasa muncul dalam pergerakan benda langit ( planet, bintang dan
galaksi! ptimisasi muncul dalam pengelolaan porto&olio! #labar
https://id.wikipedia.org/wiki/Algoritmahttps://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskrethttps://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskrethttps://id.wikipedia.org/wiki/Seksagesimalhttps://id.wikipedia.org/wiki/Rekayasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Planethttps://id.wikipedia.org/wiki/Bintanghttps://id.wikipedia.org/wiki/Galaksihttps://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskrethttps://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskrethttps://id.wikipedia.org/wiki/Seksagesimalhttps://id.wikipedia.org/wiki/Rekayasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Planethttps://id.wikipedia.org/wiki/Bintanghttps://id.wikipedia.org/wiki/Galaksihttps://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/wiki/Algoritma
8/19/2019 analisa numerik2
2/105
linear numerik sangat penting dalam psikologi kuantitati&! ersamaan
di&erensial stokastik dan rantai *arko+ penting dalam mensimulasikan
sel hidup dalam kedokteran dan biologi
Sebelum munculnya komputer modern metode numerik kerap kali
tergantung pada interpolasi menggunakan pada tabel besar yang
dicetak! Seak pertengahan abad ke%2, sebagai gantinya, komputer
menghitung &ungsi yang diperlukan! -amun algoritma interpolasi
mungkin masih digunakan sebagai bagian dari peranti lunak untuk
memecahkan persamaan di&erensial!
BAB II
PEMBAHASAN
#! engertian #nalisa -umerik
*etode #nalisis -umerik adalah teknik%teknik yang digunakan
untuk mem&ormulasi kan masalah matematis agar dapat diselesaikan
dengan operasi perhitungan! "emampuan untuk dapat menghitung sisi
segitiga (dan berarti mampu menghitung akar kuadrat) sangatlah
penting, misalnya, dalam pertukangan kayu dan konstruksi!
https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rantai_Markov&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rantai_Markov&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/wiki/Kedokteranhttps://id.wikipedia.org/wiki/Biologihttps://id.wikipedia.org/wiki/Fungsihttps://id.wikipedia.org/wiki/Interpolasihttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensialhttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensialhttps://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rantai_Markov&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/wiki/Kedokteranhttps://id.wikipedia.org/wiki/Biologihttps://id.wikipedia.org/wiki/Fungsihttps://id.wikipedia.org/wiki/Interpolasihttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial
8/19/2019 analisa numerik2
3/105
Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan
dengan berbagai metode yang memiliki kendala%kendala! *etode yang
digunakan antara lain.
*etode #nalitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada
masalah sederhana! Sedangkan *asalah real yang komplek dan
non linier tidak dapat diselesaikan!
8/19/2019 analisa numerik2
4/105
*etode /ra&ik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan
penyelesaian yang kompleks! "endalanya bah$a metode ini 0idak
akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan $aktu!
"alkulator dan Slide 1ules, enyelesaian numerik secara
manual! Cara ini cukup lama dan mungkin bisa teradi kesalahan
pemasukan data!
Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai
kelemahan%kelemahan metode yang ada sebelumnya! apat dipahami
pula ba$a pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi
digambarkan dalam persamaan matematika! ersamaan ini sulit
diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian
pendekatan numerik! engan metode numerik, manusia terbebas dari
hitung menghitung manual yang membosankan ! Sehinggga $aktu
dapat lebih banyak digunakan untuk tuuan yang lebih kreati&, seperti
penekanan pada &ormulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak
terebak dalam rutinitas hitung menghitung!
#nalisis numerik secara alami diterapkan di semua bidang rekayasa dan
ilmu%ilmu &isis, namun pada abad ke%2', ilmu%ilmu hayati dan seni
mulai mengadopsi unsur%unsur komputasi ilmiah! ersamaan di&erensial
biasa muncul dalam pergerakan benda langit (planet, bintang dan
8/19/2019 analisa numerik2
5/105
galaksi! ptimisasi muncul dalam pengelolaan porto&olio! #labar linear
numerik sangat penting dalam psikologi kuantitati&! ersamaan
di&erensial stokastik dan rantai *arko+ penting dalam mensimulasikan
sel hidup dalam kedokteran dan biologi
Sebelum munculnya komputer modern metode numerik kerap kali
tergantung pada interpolasi menggunakan pada tabel besar yang
dicetak! Seak pertengahan abad ke%2, sebagai gantinya, komputer
menghitung &ungsi yang diperlukan! -amun algoritma interpolasi
mungkin masih digunakan sebagai bagian dari peranti lunak untuk
memecahkan persamaan di&erensial!
Manfaat Mempelajari Metode Numerik
*an&aat mempelaari metode numerik diharapkan mahasis$a mampu.
'! *ampu menangani sistem persamaan besar, "etaklinieran dan
geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak
mungkin dipecahkan secara analitis!
2! *engetahui secara singkat dan elas teori matematika yang
mendasari paket program!
3! *ampu merancang program sendiri sesuai permasalahan yang
dihadapi pada masalah rekayasa!
8/19/2019 analisa numerik2
6/105
4! *etode numerik cocok untuk menggambarkan ketang guhan
dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa
yang tidak dapat ditangani secara analitis!
5! *enangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi) dari
masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket program
yang bersekala besar!
6! *enyediakan sarana memperkuat pengertian matematika
mahasis$! "arena salah satu kegunaannya adalah
menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menadi operasi%
operasi matematika yang mendasar!
Metode analitik disebut juga metode seati karena memberikan solusi
seati (eact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang
memiliki galat (error) sama dengan nol Sayangnya, metode analitik
hanya unggul untuk seumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan
yang memiliki ta&siran geometri sederhana serta bermatra rendah!
adahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanar
serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit! #kibatnya nilai praktis
penyelesaian metode analitik menadi terbatas!
Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan
sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik!
*etode numerik adalah teknik yang digunakan untuk mem&ormulasikan
8/19/2019 analisa numerik2
7/105
persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi
perhitunganaritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi)! *etode
artinya cara, sedangkan numerik artinya angka! :adi metode numerik
secara hara&iah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka%
angka!
erbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik
terletak pada dua hal! ertama, solusi dengan menggunakan metode
numerik selalu berbentuk angka! Bandingkan dengan metode analitik
yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk &ungsi matematik
yang selanutnya &ungsi mateamtik tersebut dapat
die+aluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka!
"edua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang
menghampiri atau mendekati solusi seati sehingga solusi numerik
dinamakan uga solusi hampiran (approomation) atau solusi
pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita
inginkan! Solusi hampiran elas tidak tepat sama dengan solusi seati,
sehingga ada selisih antara keduanya!
8/19/2019 analisa numerik2
8/105
Pengenalan Metode Numerik
'29'' *ulai kembali akti+itas perkuliahan yang sebelumnya masih
dibingungkan dengan kon+ersi mata kuliah akibat dari perubahan
kurikulum di green campus! Semangat yang tak pernah pudar setiap
hari datang ke kampus untuk menimbah ilmu baru di semester 3 ini
dengan tanpa meninggalkan semangat bermain 0# yang masih
melekat meski sudah sebulan kami (teman sekelas) tidak bertemu .)
;ari pertama perkuliahan ini merupakan debut a$al kami di semester 3
ini, ;ari itu kami dikenalkan dengan *ata "uliah #pa itu *etode -umerik> e&inisi dan rinsip *etode
-umerik serta emakaian *etode -umerik!
http://bugspin.blogspot.co.id/2011/09/pengenalan-metode-numerik.htmlhttp://bugspin.blogspot.co.id/2011/09/pengenalan-metode-numerik.html
8/19/2019 analisa numerik2
9/105
8/19/2019 analisa numerik2
10/105
1 Definisi Metode Numerik
*etode -umerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan%
permasalahan yang di&ormulasikan secara matematik dengan cara
operasi hitungan (arithmetic)!
Mengapa Harus Metode Numerik ?
#lasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua
permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan
dengan mudah! Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan
matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu
memiliki penyelesaian atau tidak!
:adi, :ika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin
diselesaikan dengan metode matematis (analitik) maka kita dapat
menggunakan metode numerik sebagai elternati+e penyelesaian
persoalan tersebut!
! Prinsip"Prinsip Metode Numerik
• igunakan ika metode analitik tidak dapat digunakan lagi
8/19/2019 analisa numerik2
11/105
• *etode -umerik merupakan pendekatan untuk mendapatkan
pemecahan masalah yang dapat dipertanggung a$abkan secara
analitik
• endekatannya merupakan analisis matematis
• *etode -umerik terdiri atas algoritma%algoritma yang dapat
dihitung secara cepat dan mudah
• "arena berasal dari alogaritma pendekatan, maka *etode
-umerik ini akan memakai iterasi (pengulangan)• -ilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui
seberapa baik metode yang digunakan!
# Pemakaian Metode Numerik
emakaian *etode -umerik biasanya dilakukan untuk menyelesaikan
persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan denganmenggunakan metode analitik, yaitu .
'! *enyelesaikan persamaan non linier
2! *enyelesaikan persamaan simultan
3! *enyelesaikan di&&erensial dan integral
4! =nterpolasi dan 1egresi
5! *enyelesaikan persamaan di&&erensial
8/19/2019 analisa numerik2
12/105
6! *asalah multi +ariable untuk menentukan nilai optimal yang tak
bersyarat
Manfaat Mempelajari Metode Numerik
engan mempelaari metode numerik kita diharapkan bisa .
'! Bisa menangani sistem persamaan besar, "etaklinieran serta
geometri yang rumit, yang ada di masalah rekayasa tidak
mungkin dipecahkan dengan cara analitis!
2! *emahami secara singkat serta elas teori matematika yang
mendasari paket program!
3! Bisa merancang program sendiri disesuaikan dengan
permasalahan yang dihadapi dalam masalah rekayasa!
4! *etode numerik cocok buat melukiskan ketangguhan serta
keterbatasan komputer saat menangani masalah rekayasa yang
tak dapat ditangani secara analitis!
5! *enangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi) atas
masalah rekayasa yang menadi bagian atas paket program yang
bersekala besar!
8/19/2019 analisa numerik2
13/105
6! *enghadirkan sarana memperkuat pengertian matematika!
"arena salah satu kegunaannya yaitu menyederhanakan
matematika yang lebih tinggi sebagai operasi%operasi
matematika yang mendasar
Thanks to: bloggersragen | url:
http://www.bloggersragen.om/!"##/"$/pengantar%metode%numerik%
seara%umum.html
Pengertian Metode Numerik
*etode -umerik adalah teknik%teknik yang digunakan untuk
mem&ormulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan
operasi perhitungan!
$ujuan Metode Numerik
8/19/2019 analisa numerik2
14/105
Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan
dengan berbagai metode yang memiliki kendala%kendala! *etode yang
digunakan antara lain.
• Metode Analitik , Solusi ini sangat berguna namun terbatas
pada masalah sederhana! Sedangkan *asalah real yang komplek
dan non linier tidak dapat diselesaikan!
• Metode %rafik , metode ini digunakan Sebagai pendekatan
penyelesaian yang kompleks! "endalanya bah$a metode ini
0idak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan $aktu!
• &alkulator dan Slide 'ules, enyelesaian numerik secara
manual! Cara ini cukup lama dan mungkin bisa teradi kesalahan
pemasukan data!
enggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai
kelemahan%kelemahan metode yang ada sebelumnya! apat dipahami
pula ba$a pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi
digambarkan dalam persamaan matematika! ersamaan ini sulit
diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian
pendekatan numerik! engan metode numerik, manusia terbebas dari
hitung menghitung manual yang membosankan ! Sehinggga $aktu
dapat lebih banyak digunakan untuk tuuan yang lebih kreati&, seperti
8/19/2019 analisa numerik2
15/105
penekanan pada &ormulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak
terebak dalam rutinitas hitung menghitung
Manfaat Mempelajari Metode Numerik
engan mempelaari metode numerik diharapkan mahasis$a mampu.
• *ampu menangani sistem persamaan besar, "etaklinieran dan
geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak
mungkin dipecahkan secara analitis!
• *engetahui secara singkat dan elas teori matematika yang
mendasari paket program!
• *ampu merancang program sendiri sesuai permasalahan yang
dihadapi pada masalah rekayasa!
• *etode numerik cocok untuk menggambarkan ketang guhan
dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa
yang tidak dapat ditangani secara analitis!
• *enangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi) dari
masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket
program yang bersekala besar!
• *enyediakan sarana memperkuat pengertian matematika
mahasis$! "arena salah satu kegunaannya adalah
8/19/2019 analisa numerik2
16/105
menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menadi
operasi%operasi matematika yang mendasar
Metode Analitik (ersus Metode Numerik
*etode analitik disebut uga metode seati karena memberikan solusi
seati (eact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang
memiliki galat (error) sama dengan nol Sayangnya, metode analitik
hanya unggul untuk seumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan
yang memiliki ta&siran geometri sederhana serta bermatra rendah!
adahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanar
serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit! #kibatnya nilai praktis
penyelesaian metode analitik menadi terbatas!
Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan
sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik!
*etode numerik adalah teknik yang digunakan untuk mem&ormulasikan
persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi
perhitunganaritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi)! *etode
artinya cara, sedangkan numerik artinya angka! :adi metode numerik
secara hara&iah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka%angka!
8/19/2019 analisa numerik2
17/105
erbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik
terletak pada dua hal! ertama, solusi dengan menggunakan metode
numerik selalu berbentuk angka! Bandingkan dengan metode analitik
yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk &ungsi matematik
yang selanutnya &ungsi mateamtik tersebut dapat
die+aluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka!
"edua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang
menghampiri atau mendekati solusi seati sehingga solusi numerik
dinamakan uga solusi hampiran (approomation) atau solusi
pendekatan, namun solusi
hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan! Solusi hampiran elas
tidak tepat sama dengan solusi seati, sehingga ada selisih antara
keduanya! Selisih inilah yang disebut dengan galat (error)!
Pemodelan Matematik dan Peme)a*an Masala* 'eka+asa
emodelan matematik diperlukan untuk membantu menyelesaikan
permasalahan rekayasa (permasalahan riil)! /ambaran tahapan
pemrosesan masalah rekayasa yang secara analitis sulit diselesaikan
8/19/2019 analisa numerik2
18/105
selanutnya diba$a ke bentuk model matematik dan diselesaikan
secara matematis, alabar atau statistik dan komputasi!
#pabila telah diperoleh penyelesaian matematik proses selanutnya
mengimplementasikan hasil matematis ke masalah rekayasa sbb.
Dalam menangani masalah rekayasa(masalah riil) perlu
melakukan :
• *emba$a permasalahan rekayasa kedalam teori matematika
(model matematika)
• *odel matematika yang diperoleh diselesaikan dengan cara
matematika yaitu digunakan komputasi, statistika dan
matematika yang disebut dengan alat pemecah masalah!
8/19/2019 analisa numerik2
19/105
• ;asil dari pemecah masalah masih berupa nilai numeris
atau gra&ik
• ;asil numeris yang diperoleh diimplementasikan kembali ke
permasalah semula (masalah rekayasa) sehingga dapat
dipublikasikan sesuai dengan permasalahan yang dimaksud!
0ahap%0ahap *emecahkan ersoalan Secara -umerik yang dilakukan
dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik,
yaitu.
'! Pendefinisian masala* (apa yang diketahui dan apa yang
diminta)!
2! Pemodelan, ersoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam
persamaan matematika
3! Pen+eder*anaan model, *odel matematika yang dihasilkan
dari tahap sebelumnya mungkin saa terlalu kompleks, yaitu
memasukkan banyak peubah (+ariable) atau parameter! Semakin
kompleks model matematikanya, semakin rumit
penyelesaiannya! *ungkin beberapa andaian dibuat sehingga
beberapa parameter dapat diabaikan! *odel matematika yang
diperoleh dari penyederhanaan menadi lebih sederhana
sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh!
8/19/2019 analisa numerik2
20/105
4! ,ormulasi numerik , Setelah model matematika yang sederhana
diperoleh, tahap selanutnya
5! adalah mem&ormulasikannya secara numerik
6! Pemrograman, 0ahap selanutnya adalah meneremahkan
algoritma ke dalam program komputer
7! dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang
dikuasai!
8! -perasional, ada tahap ini, program komputer dialankan
dengan data ui coba sebelum data yang sesungguhnya!
9! E(aluasi, Bila program sudah selesai dialankan dengan data
yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi!
=nterpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya
dengan prinsip dasar dan hasil%hasil empirik untuk menaksir
kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menalankan
kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih
baik!
Desain Algoritma
#lgoritma adalah merupakan sederetan(se@uence) langkah logika yang
diperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu seperti
pemecahan masalah!
8/19/2019 analisa numerik2
21/105
&lgoritma yang baik mempunyai sejumlah kriteria berikut :
• Setiap langkah harus determinestik!
• roses harus berakir setelah seumlah berhingga langkah!
• ;asil akhir tidak boleh tergantung kepada siapa yang menalani
algoritma tersebut!
• Suatu algoritma tidak boleh berakhir terbuka!
• #lgoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan
apapun!
Bagan Alir . flo/)*art0
Bagan alir merupakan pernyataan +isual atau gra&is suatu algoritma!
Bagan alir menggunakan deretan blok dan anak panah, yang
masing%masing menyatakan operasi atau langkah tertentu dalam
algoritma! #nak panah menyatakan urutan bagaimana seharusnya
operasi dialankan!
Manfaat Bagan Alir
• ipakai untuk menyatakan dan mengkomunikasikan
algoritma!
• apat membantu dalam perencanaan, menyelesaikan keru$etan!
• *engkomunikasikan logika program!
8/19/2019 analisa numerik2
22/105
• *erupakan $ahana yang menarik untuk mem+isualisasikan
beberapa struktur yang mendasar yang diterapkan dalam
pemrograman "omputer!
Peranan &omputer dalam Metode Numerik
"omputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode
numerik! ;al ini mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode
numerik adalah berupaoperasi aritmetika seperti penumlahan,
perkalian, pembagian, plus membuat perbandingan! Sayangnya, umlah
operasi aritmetika ini umumnya sangat banyak
dan berulang, sehingga perhitungan secara manual sering menemukan!*anusia (yang melakukan perhitungan manual ini) dapat membuat
8/19/2019 analisa numerik2
23/105
kesalahan dalam melakukannya! alam hal ini, komputer berperanan
mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan!
enggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk
memprogram! ?angkah%langkah metode numerik di&ormulasikan
menadi program komputer! rogram ditulis dengan bahasa
pemrograman tertentu, seperti A101#-, #SC#?, C, C, B#S=C,
dan sebagainya!
Sebenarnya, menulis program numerik tidak selalu diperlukan! i
pasaran terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat
digunakan! Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah *ath?ab,
*athCad, *aple, *athematica, ureka, dan sebagainya! Selain itu,
terdapat uga library yang berisi rutin%rutin yang siap digabung dengan
program utama yang ditulis pengguna, misalnya =*S? (=nternational
*athematical and Statistical ?ibrary) *ath?ibrary yang berisi ratusan
rutin%rutin metode numerik! Selain mempercepat perhitungan numerik,
dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi
yang teradi akibat perubahan beberapa parameter! Solusi yang
diperoleh uga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubahubah
nilai parameter!
8/19/2019 analisa numerik2
24/105
"emauan komputer digital telah membuat bidang metode numerik
berkembang secara dramatis! 0idak ada bidang matematika lain yang
mengalami kemauan penting secepat metode numerik! 0entu saa
alasan utama penyebab kemauan ini adalah perkembangan komputer
itu sendiri, dari komputer mikro sampai
komputer Cray, dan kita melihat perkembangan teknologi komputer
tidak pernah berakhir! 0iap generasi baru komputer menghadirkan
keunggulan seperti $aktu, memori, ketelitian, dan kestabilan
perhitungan! ;al ini membuat ruang penelitian semakin terbuka luas!
0uuan utama penelitian itu adalah pengembangan algoritma
numerik yang lebih baik dengan meman&aatkan keunggulan komputer
semaksimal mungkin! Banyak algoritma baru lahir atau perbaikan
algoritma yang lama didukung oleh komputer!
Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini
adalah perhitungan D$aktu nyataE (real time computing), yaitu
perhitungan keluaran (hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara
simultan dengan e+ent pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang
dibutuhkan dalam mengendalikan proses kimia atau reaksi nuklir,
memandu pesa$at udara atau roket dan sebagainya! "arena itu,
8/19/2019 analisa numerik2
25/105
kecepatan perhitungan dan kebutuhan memori komputer adalah
pertimbangan yang sangat penting! :elaslah bah$a kecepatan tinggi,
keandalan, dan &leksibilitas komputer memberikan akses untuk
penyelesaian masalah praktek! Sebagai contoh, solusi sistem persamaan
lanar yang besar menadi lebih mudah dan lebih cepat diselesaikan
dengan komputer! erkembangan yang cepat dalam metode numerik
antara lain ialah penemuan metode baru, modi&ikasi metode yang sudah
ada agar lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untuk
proses perhitungan baku, pengkaian galat, dan penghilangan ebakan
yang ada pada metode!
Peredaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik
Fntuk persoalan tertentu tidaklah cukup kita hanya menggunakan
metode untuk memperoleh hasil yang diinginkanG kita uga perlu
mengetahui apakah metode tersebut memang memberikan solusi
hampiran, dan seberapa bagus hampiran itu ! ;al ini melahirkan kaian
baru, yaitu analisis numerik!
*etode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda!
*etode adalah algoritma, menyangkut langkah%langkah penyelesaian
persoalan secara numerik, sedangkan analisis numerik adalah terapan
8/19/2019 analisa numerik2
26/105
matematika untuk menganalisis metode! alam analisis numerik, hal
utama yang ditekankan adalah analisis galat dan kecepatan kon+ergensi
sebuah metode! 0eorema%teorema matematika banyak dipakai dalam
menganalisis suatu metode! i dalam perkuliahan ini, kita akan
memasukkan beberapa materi analisis numerik seperti galat metode dan
kekon+ergenan metode! 0ugas para analis numerik ialah
mengembangkan dan menganalisis metode numerik! 0ermasuk di
dalamnya pembuktian apakah suatu metode kon+ergen, dan
menganalisis batas%batas galat solusi numerik!0erdapat banyak sumber
galat, diantaranya tingkat ketelitian model matematika, sistem aritmetik
komputer, dan kondisi yang digunakan untuk menghentikan proses
pencarian solusi! Semua ini harus dipertimbangkan untuk menamin
ketelitian solusi akhir yang dihitung!
Materi Metode Numerik
endahuluan *etode -umerik
/alat
Solusi ersamaan -on%?inier
• ersamaan -on%?inier
• *etode Biseksi
• *etode 1egula Aalsi
8/19/2019 analisa numerik2
27/105
• *etode Sekan
• *etode =terasi 0itik 0etap
• *etode -e$ton H 1aphson
Solusi ersamaan ?inier Simultan
• Sistim ersamaan ?inier
• *etode liminasi /auss!
• *etode /auss%:ordan!
• =terasi /auss%Seidel!
=nterpolasi
• engertian =nterpolasi
• olinomial (linier dan kuadrat)
• ?agrange
• =nterpolasi -e$ton H Selisih hingga
• -e$ton H Selisih bagi
=ntegrasi -umerik
• engertian =ntegrasi
• *etode mpat ersegi anang!
• *etode 0itik 0engah
• 0rapesium
8/19/2019 analisa numerik2
28/105
• Simpson
• "$adratur /auss
Thank 'ou So Muh to: (airu) el Said
| https://*airu)elsaid.wordpress.om/!"#"/#"/#+/metode%numerik%"#%
pengantar%metode%numerik/,more%!-!+
#t least, saya uga sertakan do$nload materi *etode -umerik.
http.$$$!4shared!com&ile-n*pA'materiI*etodeI-umerik!htm
l
an buku yang recommended lah (tapi saya belum beli .
8/19/2019 analisa numerik2
29/105
11 Mengapa Menggunakan Analisa Numerik
0idak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat
diselesaikan dengan mudah atau dapat diselesaikan dengan
menggunakan perhitungan biasa! Contohnya dalam persoalan yang
melibatkan model matematika yang sering muncul dalam berbagai
disiplin ilmu pengetahuan, bidang &isika, kimia, ekonomi, atau pada
persoalan rekayasa! Seringkali model matematika tersebut muncul
dalam bentuk yang tidak idealis atau rumit! *odel matematika yang
rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode
analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusinya! Sebagai
contoh, perhatikan sekumpulan persoalan matematik berikut dan
bagaimana cara menyelesaikannya>
a! 0entukan akar H akar persamaan polinom
''2'5'225!'4!23 23467 =+−−++− . . . . . .
b! 0entukan harga yang memenuhi persamaan
65'7
)2'2(cos
'8!27
2'5
−+=− −
.
. .
.e .
c! ;itung integral
∫ '
sind.
.
.
Contoh H contoh diatas memperlihatkan bah$a kebanyakan
persoalanmatematik tidak dapat diselesaikan dengan metodeanalitik! *etode analitik disebut uga metode seati karena
8/19/2019 analisa numerik2
30/105
memberi solusi seati atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi
yang memiliki galat ( error ) sama dengan nol! *etode analitik
seringkali hanya unggul untuk seumlah persoalan yang memiliki
ta&siran geometri sederhana, padahal persoalan yang mincul dalam
dunia nyata sering melibatkan bentuk dan proses yang rumit!
#kibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menadi
terbatas!
Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi
persoalan sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk
mem&ormulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan
dengan operasi perhitungan aritmatik biasa ( tambah, kurang, kali
dan bagi )! Secara hara&iah metode numerik memiliki arti sebagai
cara berhitung dengan menggunakan angka H angka! *etode
numerik yang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung
merupakan alternati& yang baik dalam menyelesaikan persoalan H
persoalan perhitungan yang rumit, saat inipun telah banyak yang
mena$arkan program H program numerik sebagai alat bantu
perhitungan!
alam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan
H persoalan perhitungan dan analisis, terdapat beberapa keadaan
dan metode yang baik .
8/19/2019 analisa numerik2
31/105
Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau terdapat
theorem analisa matematika yang dapat digunakan untuk
menyelesaiakan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis
( metode analitik ) yang digunakan adalah ppenyelesaian ecat
yang harus digunakan! enyelesaian ini menadi acuan bagi
pemakaian metode pendekatan!
Bila persoalan sudah sangat sullit atau tidak mungkin
diselesaiakan secara matematis ( analitik ) karena tidak ada
theorema analisa matematika yang dapat digunakan , maka
dapat digunakan metode numerik!
Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai
kompleksitas tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat
menyaikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunkana
metode%metode simulasi!
1! Prinsip 2 prinsip Metode numerik
*etode numerik berangkat dari pemikiran bah$a permasalahan
dapat diselesaikan menggunakan pendekatan H pendekatan yang
dapat dipertanggunga$abkan secara analitik! *etode numerik ini
disaikan dalam bentuk algoritma % algoritma yang dapat dihitung
secara cepat dan mudah!
endekatan yang digunakan dalam metode numrik merupakan
pendekatan analisis matematis! Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saa pemakaian gra&is
8/19/2019 analisa numerik2
32/105
dan teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan
dalam pemakaian metode numerik! *engingat algoritma yang
dikembangkan dalam metode numrik merupakan algoritma
pendekatan, maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah
iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan! engan kata lain,
perhitungan dalam metode numerik adalah perhitungan yang
dilakukan berulang%ulang untuk terus H menerus memperoleh hasil
yang mendekati nilai penyelesaian eact!
engan menggunakan metode pendekatan semacam ini , tentukan
bah$a setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error
( nilai kesalahan )! alam analisa metode numerik, kesalahan ini
menadi penting artinya! "arena kesalahn dalam pemakaian
algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar
, dimana tentunya kesalahan ini tidak diharapkan! Sehingga
pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan
tingkat kecepatan proses yang akan teradi!
erbedaan utama antara metode numerik dan metode analitik
*etode -umerik *etode #nalitik
'! Solusi selalu berbentuk angka '! Solusi biasanya dalam bentuk
&ungsi matematik yang
selanutnya dapat die+aluasi
untuk menghasilkan nilai dalam
8/19/2019 analisa numerik2
33/105
bentuk angka
2! iperoleh solusi yang
menghampiri solusi seati
sehingga solusi numerik
dinamakan juga solusi
*ampiran3 solusi pendekatan
2! iperoleh solusi seati
ersoalan H persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik
adalah.
*enyelesaiakan persamaan non linier
*enyelesaiakan persamaan simultan dan multi +ariabel
*enyelesaiakan di&erensial dan integral
=nterpolasi dan regresi
*asalah multi +ariabel untuk menentukan nilai optimal yang
tidak bersyarat1# $a*ap 2 ta*ap meme)a*kan persoalan se)ara Numerik
#da enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia
nyata dengan metode numerik
'! emodelan 4! emrograman
2! enyederhanaan model 5! perasional
3! Aormulasi numerik 6! +aluasi
8/19/2019 analisa numerik2
34/105
BAB II
M-DEL MA$EMA$I&A
*odel matematika secara luas dapat dide&inisikan sebagai perumusanatau persamaan yang mengekspresikan &eature pokok dari sistem atau
proses &isis dalam istilah matematis! alam penalaran yang sangat
umum , model matematis dapat dinyatakan sebagai suatu hubungan
&ungsional yang berbentuk
eubah tak bebas J & ( peubah bebas, parameter, &ungsi
pemaksa ) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!( 2! ' )
peubah tak bebas . suatu karakteristik yang biasanya
mencerminkan keadaan atau perilaku sistem
peubah bebas . dimensi, seperti $aktu dan ruang, sepanang
mana perilaku sistem sedang ditentukan
parameter . pencerminan si&at H si&at atau komposisi sistem
&ungsi pemaksa . pengaruh eksternal yang bekera padanya
kspresi matematis yang sebenarnya dari persamaan 2! ' dapat berkisar
dari suatu hubungan alabar sederhana sampai himpunan persamaandi&erensial besar yang rumit! Sebagai contohnya perhatikan model
matematis dari hukum kedua -e$ton dalam persamaan
F = m.a
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!( 2! 2 )
ersamaan 2!2 mempunyai seumlah ciri yang khas dari model
matematis di dunia &isik
8/19/2019 analisa numerik2
35/105
'! persamaan tersebut menggambarkan suatu proses atau sistem
biasa dalam istilah H istilah matematis!
2! ersamaan tersebut menyatakan suatu idealisasi dan
penyedderhanaan dari keadaan yang sebenarnya! Yakni rincian
yang sederhana dari proses almiah diabaikan dan perhatian
dipusatkan pada mani&estasi yang penting!
3! ersamaan tersebut memberikan hasil yang dapat direproduksi,
sehingga dapat dipakai untuk tuuan peramalan!
Contoh 2!'
ernyataan masalah . seorang penerun payung dengan massa 68!'
gram melompat keluar dari pesa$at! /unakan persamaan
[ ]t me
gmt / )(')( −−=
untuk menghitung kecepatan ( +elocity ) sebelum
parasutnya terbuka! "oe&isien hambat c kira H kira sama dengan '2!5
gramdetenyelesaian . emasukan parameter H parameter ke dalam persamaan
[ ]t me
gmt / )(')( −−=
*enghasilkan .
K'L5!'2
)'!68(98)( )'!685!'2( t et / −=
det't cmdet'/
2
4
6
'
∞
,
'64,
2777,
3564,
4487,
5339,
8/19/2019 analisa numerik2
36/105
J
K'L,5339)( '8355, t et / −−=
*enurut model tersebut, penerun itu melau dengan cepat! "ecepatan
sebesar 4487, cm det dicapai setelah ' detik! Setelah $aktu yang
cukup lama, dicapai kecepatan konstanta ( dinamakan kecepatan akhir )
sebesar 5339, cm det! ersamaan
[ ]t me
gmt /
)(')(
−−=
disebut
penyelesaian analitis atau eksak! Sayang sekali terdapat banyak model
matematika yang tidak dapat diselesaikan secara eksak! alam
kebanyakan kasus H kasus seperti itulah alternati&nya adalah
mengembangkan suatu penyelesaian numerik yang menghampiri
( mengakprosimasi ) penyelesaian yang eksak!
enyelesaian -umerik
ernyataan masalah . lakukan komputasi yang sama seperti contoh di
atas namun gunakan persamaan
[ ]t me
gmt /
)(')(
−−=
untuk menghitung
kecepatan dengan pertambahan $aktu sama dengan 2 detik!
enyelesaian . pada saat memulai perhitungan (
' =t ), kecepatan
penerun payung sama dengan nol! engan memakai in&ormasi ini dan
8/19/2019 analisa numerik2
37/105
nilai H nilai parameter dari contoh maka persamaan
[ ]t me
gmt / )(')( −−=
dapat digunakan untuk menaksir kecepatan pada
detik 2' =+it
mdet6,'92)K(',68
5,'28,9L =−+=/
Fntuk selang (inter+al) berikutnya dari (tJ2 sampai 4 detik ), komputasi
diulang dengan hasil
mdet,322)K6,'9(',685,'28,9L6,'9 =−+=/
"omputasi dilanutkan dengan cara sama untuk memperoleh nilai H
nilai tambahan
det't mdet'/
2
4
6
'
∞
,
'9,6
32,
39,85
47,97
53,39
8/19/2019 analisa numerik2
38/105
;asil% hasilnya dilukiskan dalam /ambar 2!' bersamaan dengan
penyelesaian eksak! apat dilihat bah$a secara cermat metode numerik
mencakup segi H segi utama dari penyelesaian eksak! 0etapi karena
digunakan ruas H ruas garis lururs untuk mengaproksimasi suatu &ungsi
melengkung yang kontinu maka terdapat ketidakcocokan antara kedua
hasil tersebut! Satu cara untuk meminimumkan ketidakcocokan yang
demikian adalah dengan menggunakan selang komputasi yang lebih
kecil! *isalnya dengan menerapkan pada masalah penerun payung
diatas dengan selang ' detik akan menghasilkan galat yang lebih kecil,
karena lintasan ruas%ruas garis lurus lebih dekat ke penyelesaian
sebenarnya!
BAB III
AP'-&SIMASI DAN %ALA$
#1 &ekeliruan 4 &esala*an perumusan dan &etidakpastian
Data
Walau sumber kesalahan di bawah ini secara langsung
GAMBAR 2.1
8/19/2019 analisa numerik2
39/105
tak dihubungkan dalam metode numerik, dampak dari
kesalahan ini cukup besar.
Kekeliruan.
Kesalahan brutokekeliruan.
!ahun awal penggunaan komputer, komputer sering kali
gagal pakai "malfunction).
#ekarang kekeliruan ini dihubungkan dengan
ketidaksempurnaan manusian$a.
Kekeliruan dapat ter%adi pada sembaranglangkah proses pemodelan matematika dan dapat
mengambil bagian terhadap semua komponen kesalahan
lainn$a. &a han$a dapat dicegah oleh pengetahuan $ang
baik tentang prinsip dasar dan berhati'hatilah dalam
melakukan pendekatan dan mendesain solusi untuk
masalah anda.
Biasan$a tak dianggap dalam pembahasan metode
numerik. &ni ter%adi, karena kesalahan bruto sampai tara(
tertentu tak dapat dihindari. !api tentu sa%a pasti ada
cara untuk memperbaiki keadaan ini.
Misaln$a) kebiasaan pemrograman $ang baik, seperti
$ang dibahas dalam bab 2, sangat berguna untuk
mengurangi kekeliruan pemrograman. #ebagai tambahan,terdapat %uga cara'
8/19/2019 analisa numerik2
40/105
cara sederhana untuk memeriksa apakah suatu
metode numerik tertentu beker%a secara sempurna.
Kesalahan Perumusan.
Kesalahan perumusan model dihubungkan dengan
pen$impangan $ang dapat dianggap berasal dari model
matematika $ang tak sempurna.
*ontoh) (akta bahwa hukum +ewton kedua tak
menghitung e(ek relatiistik. &ni tak mengurangi
kela$akan solusi pada contoh sebelumn$a, karenakesalahan'kesalahan ini adalah minimal pada skala waktu
dan ruang dari seorang pener%un pa$ung.
Anggap bahwa tahanan udara bukan proporsi linier
terhadap kecepatan %atuh seperti dalam persamaan
tetapi merupakan sebuah (ungsi kuadrat kecepatan. Kalau
hal ini benar, baik
kedua solusi analitis maupun numerik $ang diperoleh
dalam bab 1 hasiln$a men%adi salah
karena kesalahan perumusan.
Ketidakastian !ata.
Kesalahan'kesalahan seringkali masuk ke dalam suatu
analisis karena ketidakpastian data -sika $ang mendasari
suatu model.Misaln$a kita ingin mengu%i model pener%un pa$ung
8/19/2019 analisa numerik2
41/105
dengan loncatan'loncatan berulang $ang dibuatn$a,
mengukur kecepatan orang tersebut setelah interal waktu
tertentu.
Ketidakpastian $ang men$ertai pengukuran'pengukuran
ini tak diragukan, karena pener%un akan %atuh lebih
cepat selama beberapa loncatan daripada loncatan
lainn$a. Kesalahan'
kesalahan ini dapat memunculkan ketidak akuratan dan
ketidak presisian. ika instrumen kita menaksir terlalu rendah atau
terlalu tinggi terhadap kecepatan, kita menghadapi
suatu alat $ang tak akurat atau men$impang.
/ada keadaan lainn$a, %ika pengukuran tinggi dan rendah
secara acak, kita akan berhadapan dengan sebuah
pertan$aan mengenai kepresisian.
Kesalahan'kesalahan pengukuran dapat dikuanti-kasikan
dengan meringkaskan data dengan
satu atau lebih statistik $ang dipilih $ang membawa
seban$ak mungkin in(ormasi mengenai si(at'si(at data
tertentu.
#tatistik $ang deskripti( ini keban$akan sering dipilih
untuk men$atakan "10 letak pusat distribusi data, dan
"20 tingkat pen$ebaran data. al demikian memberikan
8/19/2019 analisa numerik2
42/105
suatu ukuran pen$impangan dan ketidakpresisian.
#! Analisis %alat
Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan $ang
menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan
seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi se%atin$a.
#emakin kecil galatn$a, semakin teliti solusi numerik $ang
didapatkan.
+ilai se%ati " true alue 0 ampiran "aproksimasi0 3 Galat
Misalkan
∧
a adalah nilai hampiran terhadap nilai se%atin$a a ,
maka selisih
∧
−= aaε
ε
disebut Galat. ika tanda Galat " positi( atau negati( 0 tidak
dipertimbangkan , maka Galat mutlak
∧−= aaε
4kuran galatε
kurang bermakna karena tidak menceritakan
seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai se%atin$a.
4ntuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut , maka galat
8/19/2019 analisa numerik2
43/105
harus dinormalkan terhadap nilai se%atin$a. Gagasan ini
melahirkan apa $ang dinamakan galat relatif.
Galat Relati( dide-nisikan sebagai
a 0
ε ε =
Atau dalam persentase
M' .a
0
ε ε =
Karena galat dinormalkan terhadap nilai se%ati, maka galat
relati( tersebut dinamakan %uga relati( se%ati. 5alam praktek
ketika kita tidak mengetahui nilai se%ati a, karena itu galatε
sering dinormalkan terhadap solusi hampirann$a, sehingga
galat relati(n$a dinamakan galat relati( hampiran
∧=a
0&
ε ε
#alah satu tantangan metode numerik adalah menentukan
taksiran galat tanpa mengetahui nilai se%atin$a. Misaln$a,
metode numerik tertentu memakai pendekatan secara iterasi
untuk menhitung %awaban. 5alam pendekatan $ang demikian,
suatu aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan aproksimasi
8/19/2019 analisa numerik2
44/105
sebelumn$a. /roses ini dilakukan secara berulang , atau
secara iterasi dengan maksud secara beruntun menghitung
aproksimasi $ang lebih dan lebih baik. adi, persen galat
relati( )
M'sekarangiaproksimas
sebelumnyaiaproksimas%sekarangiaproksimas×=aε
Komputasi diulang sampai
sa ε ε <
+ilai sε
menentukan ketelitian solusi numerik. #emakin kecil
nilai sε
semakin teliti solusin$a.
#oal
1. Misalkan nilai se%ati 167 dan nilai hampiran 7.777.
hitunglah galat, galat mutlak, dan galat relati(
hampiran.
2. /rosedur iterasi sebagai berikut
6)3( 3' +−=+ r r . . r 6,
1, 2, 7, ...
5! =
dan sε
6.66661
#umber 4tama Galat +umerik
8/19/2019 analisa numerik2
45/105
#ecara umum terdapat dua sumber utama pen$ebab galat
dalam perhitungan numerik
1. Galat pembulatan " round'o8 error 0
2. Galat /emotongan " truncation error 0
#elain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain )
1. Galat eksperimental , galat $ang timbul dari data $ang
diberikan, misaln$a karena kesalahan pengukuran,
ketidaktelitian alat ukur dan sebagain$a.
2. Galat pemrograman. Galat $ang terdapat di dalamprogram sering dinamakan dengan bug. 5an proses
penghilangan galat dinamakan debugging.
## Algoritma
#lgoritma merupakan rentetan langkag H langkah logika yang
diperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu seperti pemecahan
masalah!Ciri H ciri suatu algoritma yang baik
'! #ksi yang dilaksanakan harus dirinci secara elas untuk tiap
kasus! ;asil akhir tidak boleh tergantung kepada yang
mengalami algoritma
2! roses algoritma harus selalu berakhir setelah seumlah
berhingga langkah tidak boleh berakhir terbuka ( oppen H
ended )
8/19/2019 analisa numerik2
46/105
3! #lgoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan yang
lebih banyak!
Cara pembuatan algoritma'! Alo$ chart ( diagram alir )
2! "ode psudo ( menggunakan kalimat H kalimat yang kata%
katanya sudah punya aturan H aturan tertentu )
#5 Hitungan Langsung dan $ak Langsung
a! ;itungan langsung
;itungan melalui serangkaian operasi hitung untuk memperoleh
hasil
b! ;itungan 0ak langsung ( hitungan iterasi )Solusi diperoleh dengan melakukan pengulangan pada suatu
perhitungan langsung dimulai dengan suatu tebakan a$al untuk
memperoleh suatu nilai hampiran sebagai perbaikan atas nilai
tebakan a$al sampai diperoleh nilai hampiran yang diinginkan!
Soal 3!2 . /unakan tebakan a$al
' = .untuk menghitung
2
)2(' ' ii
. . .
+=+
untuk
,!!!2,',=i
8/19/2019 analisa numerik2
47/105
BAB "
ME#$!E PEN%URUN% &BRA'KE#IN% ME#($!)
#alah satu masalah $ang sering ter%adi pada bidang ilmiah
adalah masalah untuk mencari akar'akar persamaan
berbentuk ("90 6 :::::::."10
;ungsi ( di sini adalah (ungsi atau persamaan tak linear. +ilai 9
96 $ang memenuhi "10 disebut akar persamaan (ungsi
tersebut. #ehingga 96 di sini menggambarkan (ungsi tersebut
memotong sumbu'9 di 9 96.
/ersamaan atau (ungsi ( dapat berbentuk sebagai berikut)
Persamaan ala*ar atau olinomial
("90 pn"90 an9n 3 an'19n'1 3 : 3 a19 3 a6
::::::::::::."20
8/19/2019 analisa numerik2
48/105
Persamaan transenden
8/19/2019 analisa numerik2
49/105
perkiraan sebelumn$a. 5engan melakukan se%umlah prosedur
iterasi $ang dianggap cukup, akhirn$a didapat hasil perkiraan
$ang mendekati hasil eksak "hasil $ang benar0 dengan
toleransi kesalahan $ang dii%inkan. Metode iterasi mempun$ai
keuntungan bahwa umumn$a tidak sangat terpengaruh oleh
merambatn$a error pembulatan.
".+ L$KALISASI AKAR
=okasi akar persamaan tak linear diselidiki untukmemperoleh tebakan awal, $aitu)
Metode %rafik.
4ntuk memperoleh taksiran akar persamaan ("90 6 ialah
dengan membuat gra-k (ungsi itu dan mengamati dimana
ia memotong sumbu 9. !itik ini, $ang men$atakan harga 9
untuk ("90 6, memberikan suatu pendekatan kasar dari
akar tersebut.
*ontoh >.1. /endekatan Gra(ik.
Gunakan pendekatan gra(ik untuk memperoleh suatu akar
persamaan dari ("90 e'9 ? 9.
#olusin$a adalah sebagai berikut)
8/19/2019 analisa numerik2
50/105
, f&-)
6,6
6,>
6,@
1,6666,@1
6,26
'6,6C1
Gambar >.1
Gambar >.1. &lustrasi pendekatan gra-k untuk
memecahkan persamaan al%abar dan transendental.
Gra-k ("90 e'9 ? 9 terhadap 9. Akar sesuai dengan
harga 9 dimana
("90 6, $aitu titik dimana (ungsi memotong sumbu 9.
8/19/2019 analisa numerik2
51/105
/emeriksaan secara isual mengenai plot memberikan
taksiran kasar 6,C. arga sebenarn$a adalah
6,C@1>72:
!eknik gra-k praktis digunakan, dan dapat memberikan
taksiran akar secara kasar, tapi tidak presisi.
&a dapat digunakan sebagai tebakan awal dalam
metode numerik.
&nterpretasi gra-k penting untuk memahami si(at'
si(at (ungsi dan dapat memperkirakan %ebakan padametode numerik, seperti terlihat pada gambar >.2 di
bawah ini.
Gambar >.2 memperlihatkan se%umlah cara dimana
akar bisa berada dalam interal $ang di%elaskan oleh
suatu batas bawah a dan batas atas b.
Gambar >.2b memperlihatkan kasus dmana sebuah
akar tunggal dikurung oleh harga'harga positi( dan
negati( dari ("90.
8/19/2019 analisa numerik2
52/105
Gambar >.2
Gambar >.2. &lustrasi se%umlah cara $ang umum bahwa
sebuah akar bisa ter%adi dalam sebuah interal $ang
di%elaskan oleh batas bawah a dan batas atas b. Bagian
"a0 dan "c0 menun%ukkan bahwa bila ("a0 dan ("b0
mempun$ai tanda $ang sama, tidak akan ada akar'akar
atau akar dalam %umlah genap pada interal. Bagian "b0
8/19/2019 analisa numerik2
53/105
dan "d0 menun%ukkan bahwa bila (ungsi mempun$ai
tanda $ang berbeda pada kedua titik u%ung, akan
terdapat akar dalam %umlah gan%il pada interal. !etapi
gambar >.2d, dimana ("a0 dan ("b0 berlawanan
tanda terhadap sumbu 9, memperlihatkan 7 akar
$ang berada di dalam interal. 4mumn$a %ika ("a0 dan
("b0 mempun$ai tanda $ang berbeda akan terdapat
akar $ang %umlahn$a gan%il dalam interal.
#eperti ditun%ukkan oleh gambar >.2 a dan c, %ika ("a0dan ("b0 mempun$ai tanda $ang sama, tidak terdapat
akar'akar atau akar $ang %umlahn$a genap berada
diantara harga'harga itu.
Meskipun generalisasi ini biasan$a benar, namun
terdapat kasus'kasus dimana hal itu tak dapat
dipegang.
Misaln$a akar ganda. .7b0 bisa men$alahi prinsip
ini.
8/19/2019 analisa numerik2
54/105
Gambar >.7. &lustrasi beberapa perkecualian terhadap
kasus'kasus umum $ang ditun%ukkan dalam gambar
>.2. "a0 Akar ganda $ang ter%adi sewaktu (ungsi
men$inggung sumbu 9. 5alam hal ini, walaupun titik'
titik u%ungn$a berlawanan tanda, terdapat akar'akar
dalam %umlah genap untuk interal tersebut. "b0 ;ungsi
diskontinu dimana titik'titik u%ung tanda $ang
berlawanan %uga mengurung akar'akar dalam %umlah
genap.
#trategi khusus dibutuhkan untuk penentuan akar'akar
8/19/2019 analisa numerik2
55/105
dalam kasus ini. #ebagai contoh (ungsi $ang
mempun$ai akar ganda adalah persamaan kubik
("90 "9 ? 20 "9? 20 "9 ? >0. /erhatikan bahwa 9 2
membuat kedua suku polinomial itu sama dengan 6.
adi 9 2 disebut sebuah akar ganda.
'ara #a*ulasi
+ilai'nilai (ungsi pada interal $ang diminati dihitung
dengan membagi interal tersebut men%adi sub interal
? sub interal, dan nilai'nilai tersebut ditulis dalambentuk tabulasi. ika pada suatu interal nilai (ungsi
berubah tanda, maka pada interal tersebut ada akar.
Lokasi Akar Untuk Persamaan Polinomial
/ersamaan polinomial mempun$ai bentuk umum sbb.
("90 pn"90 an9n 3 an'19n'1 3 : 3 a19 3 a6
::::::::."70
ika pn"90 6, maka persamaan tersebut mempun$ai
tepat n akar, antara lain akar bilangan real dan %uga
termasuk akar bilangan kompleks. Akar bilangan
kompleks selalu muncul berpasangan.
8/19/2019 analisa numerik2
56/105
4ntuk melokasikan akar'akar real, digunakan beberapa
aturan)
"a0 aturan tanda koe-sien
"i0 akar real positi(
u ban$akn$a pergantian tanda pada
koe-sien ai dari pn"90
np ban$akn$a akar real positi(
maka berlaku) np D u ">0
u ? np 6, 2, >, @, :"ii0 akar real negati(
ban$akn$a pergantian tanda pada koe-sien
ai dari pn"'90
ng ban$akn$a akar real negatie, maka
berlaku)
ng D
.........................................................................."C0
? ng 6, 2, >, @, :
"b0 batas interal akar
n
k
nk a
ar maks
'
'≤≤
+=
maka semua akar real pn"90 terletak pada interal E'
r, rF.
8/19/2019 analisa numerik2
57/105
#ebuah (ungsi berdasarkan %enisn$a akan berubah
tanda di sekitar suatu harga akar.
!eknik ini dinamakan metode akoladi "bracketing
method0, karena dibutuhkan 2 tebakan awal untuk
akar.
#esuai naman$a, tebakan tersebut harus dalam
kurungH atau berada pada kedua sisi nilai akar.
".. Metode Ba/idua &Biseksi)./ada teknik gra-k sebelumn$a, terlihat bahwa ("90
berganti tanda pada kedua sisi $ang berlawanan dari
kedudukan akar. /ada umumn$a, kalau ("90 n$ata "real0
dan kontinu dalam interal dari 9l hingga 9u, serta ("9l0
dan ("9u0 berlainan tanda, $akni)
("9l0 ("9u0 D 6
Maka terdapat sekurang'kurangn$a 1 akar n$ata
diantara 9l dan 9u.
dengan penempatan sebuah interal dimana (ungsi
tersebut bertukar tanda.
=alu penempatan perubahan tanda "tentun$a harga
akar0 ditandai lebih teliti dengan cara membagi
interal tersebut men%adi se%umlah subinteral.
#etiap subinteral itu dicari untuk menempatkan
8/19/2019 analisa numerik2
58/105
perubahan tanda. /roses tersebut diulangi dan
perkiraan akar diperhalus dengan membagi subinteral
men%adi lebih halus lagi.
Metode Bagidua "biseksi0, disebut %uga pemotongan
biner "binar$ chopping0, pembagian 2 "interal
haling0 atau metode BolIano.
=etak akarn$a kemudian ditentukan ada di tengah'
tengah subinteral dimana perubahan tanda ter%adi.
/roses ini diulangi untuk memperoleh taksiran $angdiperhalus.
#tep 1) /ilih taksiran terendah 9l dan tertinggi 9u
untuk akar agar (ungsi berubah tanda
sepan%ang interal. &ni dapat diperiksa dengan)
("9l0 ("9u0 D 6.
#tep 2 ) !aksiran pertama akar 9r ditentukan oleh)
2
ul . . .r +
=
#tep 7 ) Buat ealuasi $ang berikut untuk
menentukan subinteral, di dalam mana akar
terletak)
8/19/2019 analisa numerik2
59/105
a. ika ("9l0 ("9r0 D 6, akar terletak pada
subinteral pertama, maka 9u 9r, dan
lan%utkan ke step 2.
b. ika ("9l0 ("9r0 J 6, akar terletak pada
subinteral kedua, maka 9l 9r, dan
lan%utkan ke step 2.
c. ("9l0 ("9r0 6, akar 9r, komputasi selesai.
*ontoh Metode Bagidua.
Gunakan Bagidua untuk menentukan akar dari ("90 e'9 ' 9.
5ari gra-k (ungsi tersebut "gambar >.10 terlihat bahwa
harga akar terletak diantara 6 dan 1.
Karenan$a interal awal dapat dipilih dari 9l 6
hingga 9u 1. 5engan sendirin$a,
taksiran awal akar terletak di tengah interal tersebut)
5,2
' =+= .r
!aksiran ini menun%ukkan kesalahan dari "harga
sebenarn$a adalah 6,C@1>72:0)
t 6,C 6,6@1>72
8/19/2019 analisa numerik2
60/105
atau dalam bentuk relati()
8/19/2019 analisa numerik2
61/105
M8,''M'67'4329,
567'4329,== .t
dimana indeks t menun%ukkan
bahwa kesalahan diacu terhadap harga sebenarn$a.
=alu)
("60 ("6,C0 "10 "6,16@C70 6,16@C7
$ang lebih besar dari nol, dengan sendirin$a tak ada
perubahan tanda ter%adi antara 9l dan 9r.
Karena itu, akar terletak pada interal antara 9 6,C dan 1,6.
Batas bawah dide-nisikan lagi
75,2
'5, =+
= .r
!aksiran ini menun%ukkan kesalahan dari "harga sebenarn$a
adalah 6,C@1>72:0)
t 6,C 6,6@1>72
atau dalam bentuk relati()
("6,C0 ("6,C0 '6,676 D 6
Karenan$a akar terletak diantara 6,C dan 6,C)
9u 6,C
5an iterasi seterusn$a
".0. Metode Re/ula 1alsi &1alse Position).
8/19/2019 analisa numerik2
62/105
)()(
))((
'
'
. * . *
. . . * . .
u
uu
ur −−
−=
5isebut %uga metode interpolasi linier.
/en%elasan gra(ikn$a adalah sebagai berikut)
8/19/2019 analisa numerik2
63/105
/en%elasan gra-k dari metode Regula ;alsi. #egitiga serupa
$ang digunakan untuk menurunkan rumus buat metode
tersebut adalah $ang diarsir.
*ontoh Metode Regula ;alsi.
Gunakan Regula ;alsi untuk menentukan akar
dari ("90 e'9
' 9. Akar sesungguhn$a
6,C@1>72.
9l 6 dan 9u 1.
&terasi pertama)
9l 6 ("9l0 1
9u 1 ("9u0 '6,@7212
6'27,'632'2,
)')(632'2,(' =
−−−−
−=r .
M8M'567'4329,
6'27,567'4329,=
−= .t
&iterasi ke'2
("9l0 ("9r0 '6,66L
akar pada subinteral &. 9r di batas atas
berikutn$a
9l 6 ("9l0 1
63
8/19/2019 analisa numerik2
64/105
572'79,'632'2,
)6'27,)(78,(6'27, =
−−−−
−=r .
9u 6,@12
("9u0 '6,66L
M8,7M'572'79,
6'27,572'79,=
−= .t
Kesalahan untuk Regula ;alsi berkurang lebih cepat
daripada Bagidua disebabkan rancangan $ang lebih e-sien
untuk penempatan akar dalam Regula ;alsi.
/erbandingan t pada metode Bagidua dan Regula ;alsi untuk
64
8/19/2019 analisa numerik2
65/105
("90 e'9 ? 9
/ada Bagidua, interal antara 9l dan 9u muncul semakin
kecil selama komputasi. &nteral, 92 9u ? 9l 2,
merupakan ukuran error untuk pendekatan ini.
/ada Bagidua, hal di atas tak ter%adi, karena salah satu
tebakan awal kondisin$a tetap selama komputasi, sedangkan
tebakan lainn$a konergen terhadap akar.
/ada contoh metode regulasi (alsi di atas, 9l tetap pada 6,
sedangkan 9u konergen terhadap akar. 5idapat, interal
tak mengkerut, tapi agak mendekati suatu harga konstan.
".0.+.2e*akan ada Metode Re/ula 1alsi.
*ontoh >.C. Bagidua lebih baik dari Regula ;alsi.
Gunakan Bagidua dan Regula ;alsi untuk menempatkan akar
di antara 9 6 dan 1,7 untuk)
("90 916 ? 1.
5engan Bagidua, didapat)
Itera -l ,u ,r 3 t34 3 a341 6 1,7 6,@C 7C2 6,@C 1,7 6,C 2,C 77,77 6,C 1,7 1,17C 17,L 1>,7> 6,C 1,17C 1,6C@2C C,@ ,C 6,C 1,6C@2C 1,61C@2C 1,@ >,6
#etelah C iterasi, t D 2N.
Kemudian dengan Regula ;alsi, didapat)
65
8/19/2019 analisa numerik2
66/105
Iteras -l ,u ,r 3 t34 3 a341 6 1,7 6,6>76 6,@2 6,6>76 1,7 6,1L1@ L1,L >L,17 6,1L1@ 1,7 6,2@2L 7, 76,
> 6,2@2L 1,7 6,77L11 @@,2 22,7C 6,77L11 1,7 6,>6LL C,2 1,1#etelah C iterasi, t D @6N.
uga a D t
!ern$ata dengan Regula ;alsi, a tern$ata meleset. =ebih %elas
terlihat dalam gra(ik)
Gra-k dari ("90 916 ? 1, menun%ukkan konergensi metode
66
8/19/2019 analisa numerik2
67/105
Regula ;alsi $ang lambat
!erlihat, kura men$alahi per%an%ian $ang mendasar
Regula ;alsi, $akni %ika ("9l0 lebih mendekati 6 dibanding
("9u0, sehingga akan lebih dekat ke 9l daripada ke 9u
Karena bentuk (ungsi $ang sekarang, kebalikann$a tentu %uga
benar.
8/19/2019 analisa numerik2
68/105
menggunakan satu titik awal, dan mendekatin$a dengan
memperhatikan kemiringan pada titik tersebut. #ecara
geometri metode ini menggunakan garis lurus sebagai
hampiran (ungsi pada suatu selang, dengan menggunakan
suatu nilai 9i sebagai tebakan awal $ang diperoleh dengan
melokalisasi akar'akar dari ("90 terlebih dahulu, metode ini
paling ban$ak digunakan untuk menarik akar'akar dari
persamaan ("90 6 dengan asumsi ("90, (O"90, (OO"90 kontinu
dekat satu akar p. akar dari persamaan adalah titik potong
garis singgung pada titik "9i, ("9i00
( )
( )ii
ii . *
. * . .
N' −=
+
5imana i 6,1,2,7, :
#$arat (O"9i0 P 6
(O"9i0 6 maka garis singgung se%a%ar sumbu 9
Al/oritma Metode Ne5ton Rason
Masukan) ("90, (O"90, 96 "tebakan awal0, ε "criteria
penghentian0, M "maksimum iterasi
Keluaran ) akar
=angkah'langkah&terasi
68
8/19/2019 analisa numerik2
69/105
ika (O"960 6, proses gagal, stop
( )
( )N
. *
. * . .baru −=
1.
baru akar)stopdan (maka, =≤
−ε
baru
baru
.
. . jika
2.
7. 96 9baru
>. &terasi) & i 3 1
C. ika iterasi & Q M kembali ke langkah 2
@. /rosesn$a konegen atau diergen
".".+ Iterasi N6R untuk menentukan
n &
l
gani -1,#
genap -,
∈≠>
&
&
Ambil + 2
andaikan bahwa AJ6 suatu bil real dan misal 96 J 6
adalah tebakan awal untuk &
69
8/19/2019 analisa numerik2
70/105
barisan
{ } ∞=k k .
2
''
−− += k .
k
.
&
p .
dide(enisikan dengan rumus rekursi( sebagai
berikut)
k .
.lim∞→
akar barisan
{ } ∞=k k . konergen ke
&
$aitu ) &
Bukti ) AJ6
Missal 9
&
2 A
2 ? A 6, ("90 6 maka ("90 92 ' A
7
8/19/2019 analisa numerik2
71/105
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2)(
2
'
22
22
2
22
22
2
N
. & .
. g
.
&
. . g
.
& . . g
.
& . . . g
.
& . . . . g
.
& . . . g
. *
. * . . g
+=
+=
+=
+−=
+−−=
−−=
−=
;"90 92'A
;O"90 29
5e(enisi (ungsi iterasi +ewton Rapson
7'
8/19/2019 analisa numerik2
72/105
( )
,!!!3,2,',2
'
'
'
=
+
=
=
−
−
−
2 p
& p
p
. g .
k
k
k
k k
Atau
".7. Metode Secant.
Masalah $ang didapat dalam metode +ewton'Raphson
adalah terkadang sulit mendapatkan turunan pertama,
$akni (O"90. #ehingga dengan %alan pendekatan
( ) ( ) ( )
'
'N−
−
−−
≈nn
nn
. .
. * . * . *
)()(
)()('
'
'
−
−
−−−
−=+ii
iiiiii
. * . *
. . * . * y . .
Men%adi
/ersamaan di atas memang memerlukan 2 taksiran
awal 9, tetapi karena ("90 tidak membutuhkan
perubahan tanda diantara taksiran maka #ecant bukan
metode Alokade.
72
8/19/2019 analisa numerik2
73/105
Gambar C.7
!eknik ini serupa dengan teknik +ewton'Raphson dalam arti
bahwa suatu taksiran akar diramalkan oleh ekstrapolasi
sebuah garis singgung dari (ungsi terhadap sumbu 9. !etapi
metode #ecant lebih menggunakan di(erensi daripada
turunan untuk memperkirakan kemiringanslope
73
8/19/2019 analisa numerik2
74/105
".7.+ Per*edaan Metode Secant dan Re/ula 1alsi.
/ersamaan di metode #ecant maupun Regula ;alsi identik suku demi suku.
Keduan$a menggunakan 2 taksiran awal untuk menghitung
aproksimasi slope (ungsi $ang digunakan untuk berpro$ek terhadap
sumbu 9 untuk taksiran baru akar.
/erbedaann$a pada harga awal $ang digantikan oleh taksiran baru.
5alam Regula ;alsi, taksiran terakhir akar menggantikan harga
asli mana sa%a $ang mengandung suatu harga (ungsi dengan tanda
$ang sama seperti ("9r0. #ehingga 2 taksiran senantiasa mengurung
akar.
#ecant mengganti harga'harga dalam deretan $ang ketat, dengan
harga baru 9i31 menggantikan 9i, dan 9i menggantikan 9i'1.
#ehingga 2 harga terkadang dapat terletak pada ruas akar $ang sama.
/ada kasus tertentu ini bisa diergen.
/ada gambar gra-k di bawah ini disa%ikan penggunaan metode Regula
;alsi dan #ecant untuk
menaksir akar ("90 ln 9, dimulai dari harga 91 9i'1 6,C dan
9u 9i C,6)
Gambar C.7.1
/erbandingan metode Regula ;alsi dan #ecant. &terasi pertama "a0 dan "b0
8/19/2019 analisa numerik2
75/105
untuk iterasi kedua metode adalah identik. !etapi pada iterasi kedua "c0
dan "d0, titik $ang dipakai berbeda.
Gambar C.7.2
".8. Akar %anda.
#atu akar ganda berhubungan dengan suatu titik dimana sebuah (ungsimen$inggung sumbu 9.
Misal akar dobel dihasilkan dari)
("90 "9 ' 70"9 ' 10"9 ' 10
atau dengan pengalian suku'suku)
("90 97 ' C92 3 9 ' 7
/ersamaan diatas memiliki akar dobel, karena 1 akar 9 membuat kedua
suku dalam persamaan itu sama dengan nol. #ecara gra-k, ini sesuai
dengan kura $ang men$entuh sumbu 9 secara tangensial pada akar
dobel. &ni dapat dilihat pada gambar C.>a di bawah ini pada
9 1.
8/19/2019 analisa numerik2
76/105
Gambar C.>
Gambar C.> *ontoh akar ganda $ang men$inggung sumbu 9. /erhatikan
bahwa (ungsi tak memotong sumbu pada kedua sisi akar ganda genap "a0
dan "c0, sedangkan ia memotong sumbu untuk kasus gan%il "b0 "E*A1LF
hal. 1C0.
Akar tripel untuk kasus dimana satu harga 9 membuat 7 suku dalamsuatu persamaan men%adi nol, misal)
("90 "9 ? 70"9 ? 10"9 ? 10"9 ? 10
atau dengan pengalian suku'suku)
("90 9> ? @97 3 1292 ? 169 3 7
Kesulitan 9an/ ditim*ulkan oleh akar /anda:
asil dari metode Akolade berkurang keperca$aann$a dengan adan$aken$ataan bahwa (ungsi tak berubah tanda pada akar ganda genap.
/ada metode !erbuka, ini bisa men$ebabkan diergensi.
!ak han$a ("90 tapi %uga (O"90 menu%u nol pada akar.
/ada metode +ewton'Raphson dan #ecant, dimana keduan$a
mengandung turunan "atau taksiran0 di bagian pen$ebut pada
rumusn$a, ter%adi pembagian dengan nol %ika solusi konergen sangat
mendekati akar.
Menurut Ralston dan RabinowitI ERA=1LF, ("90 selalu mencapai nol
sebelum (O"90. #ehingga kalau pemeriksaan nol untuk ("90 disertakan dalam
8/19/2019 analisa numerik2
77/105
program, maka komputasi berhenti sebelum (O"90 mencapai nol.
Metode +ewton'Raphson dan #ecant konergen secara linier "bukan
kuadratik0, konergen untuk akar'akar ganda "Ralston dan RabinowitI
ERA=1LF0.
#oal A.
1. !entukan batas selang akar dari )
•
2)( 2 +−= . . . P
•
3)( 3 −+= . . . P
2. !entukan lokasi akar
•
.
. . P ε
+=)(
•
3452)( 234 −++−= . . . . . P
7. !entukan akar
25)( . . * . −= ε di dalam selang "6,10 dan
'!=ε dengan
metode Bagi 5ua dan Regula ;alsi
>. !ahun 122C =eonardo da /issa mencari akar persamaa
2'2)( 23 =−++= . . . . * dan menemukan 9 1.7@LL6L16 tidak
seorangpun tahu cara =eonardo menemukan niai ini. Gunakan metode
Bagidua dan metode Regula ;alsi untuk menemukan akar persamaa
=eonardo dalam selang " 1, 1.C 0 dan %uga metode +ewton Raphson,
' = .
dan metode #ecant
' = .,
5!'' = .. 4ntuk semua metode
6'−=ε
C. 5apatkah metode +ewton'Raphson digunakan memecahkan
•
)( = . * %ika
3')( * =
•
)( = . * %ika
( ) 2'3)( −= . . * dan tebakan awal
4 = .. MengapaS
@. Gunakan metode +ewton'Raphson untuk menghitung
4')47(
sampai enam
angka bena.
8/19/2019 analisa numerik2
78/105
. Misalkan
. . * cos)( = .
• !entukan prosedur iterasi +ewton Raphsonn$a.
• ika kita ingin menghitung akar
23π = ., dapatkah kita gunakan
tebakan awal
3 =
. Mengapa S
L. Masalah ) gunakan pendekatan gra-s untuk menentukan koe-sien
hambatan c $ang diperlukan oeh pener%un pa$ung dengan massa m
@L.1 kg agar mempun$ai kecepatan >6 m det setelah %atuh bebas untuk
waktu t 16 detik. *atatan ) percepatan $ang disebabkan graitasi ) ,L
m det
2
.Masalah ini dapat dipecahkan dengan cara menentukan akar persamaan
dengan memakai parameter t16, g.L, >6, dan [email protected]
4)'()'!68(8!9
)( ')'!68( −−= − e
*
. Gunakan metode bagi dua untuk memecahkan masalah pada no. L
16.!entukan akar ? akar real dari
32 7!!42!6!2)( . . . . * +−+−=
• #ecara gra-s
• 5engan memakai metode bagi dua untuk menemukan akar'akar
persamaan. Gunakan terkaan awal 6.> dan 6.@, serta iterasikan
sampai taksiran galataε
berada dibawah
M'= sε
11.!entukan akar ? akar riil dari
5432 66!7!8429824)( . . . . . . * +−+−+−=
secara gra-s dan dengan metode bagidua samapai
M'= sε
dengan
tebakan awal >.C dan C
12.!entukan akar ? akar riil dari
32 74!33!'697!2'34!9)( . . . . * −+−=secara
gra-s dan memakai metode regula (alsi dengan nilai
sε
$ang berpadanansamapi dengan dua angka bena.
8/19/2019 analisa numerik2
79/105
17.!entukan akar ? akar riil dari .
. . *
6'!')( −=
secara analitis, gra-s dan
memakai tiga iterasi dari metode Regua ;alsi, dengan tebakan awal 1.C
dan 2.
1>.!entukan akar ? akar persamaan .e . −−
dengan metode +ewton Raphson "
= .0 dan metode #ecant "
' =− .dan
,' = .0
1C.!entukan akar ? akar riil berikut dengan metode +ewton raphson
•
5!27!'9!)( 2 ++−= . . . * " tebakan awal 7.1 0
•
. . . * sin5'!)( −=" tebakan awal 2.6 0
1@.!entukan akar riil dari .
. . *
6'!')( −=
dengan menggunakan tiga iterasi
metode #ecant dan tebakan awal
5!'' =−i .dan
!2' = . hitung hampiran
galat setelah iterasi $ang kedua dan ketiga
1.!entukan akar riil dari
326''9!5)( . . . . * +−+−=
• #ecara gra-s
• Metode Bagi 5ua " tebakan awal 2.C dan 7.C 0
• Metode /osisi /alsu " tebakan awal 2.C dan 7.C 0
• Metode +ewton Raphson " tebakan awal 7.C 0
• Metode #ecant " tebakan awal
5!2' =−i
dan
5!3' = .0
1L.!entukan akar riil dari
98)( 3 −= . . * dengan metode #ecant sampai
M'= sε
1.Gunakan baik metode +ewton Rapson $ang baku maupun $ang
dimodi-kasi untuk menghitung akar ganda dari
32573)( . . . . * +−+−=
dengan tebakan awal 6
26.!entukan akar dari
32
775!35!'2)( . . . . * +−−=
8/19/2019 analisa numerik2
80/105
• #ecara gra-s
• 5engan menggunakan metode paling e-sien sampai
M'= sε
#oal.B
1. 5ari metode ? metode $ang telah ada , temukanlah metode mana $ang
lebih cepat atau e-sien dalam mendapatkan akar ? akar persamaan .
2. !emukanlah persamaan dan perbedaan ? perbedan dari metode ? metode
$ang telah dipela%ari.
7. !emukan kasus masalah dalam bidang ilmu tertentu $ang dapat
diselesaikan dengan metode ? metode dalam menentukan akar ? akar
persamaan diatas.
8/19/2019 analisa numerik2
81/105
BAB I;
SIS#EM PERSAMAAN LINIER
Bentuk 4mum )
mnmnmm
nn
nn
b .a .a .a
b .a .a .a
b .a .a .a
=+++
=+++
=+++
!!!
!
!
!!!
!!!
22''
22222'2'
''2'2'''
Bentuk Matriks
mnm
n
n
aa
aaa
aaa
!!
!!!!
!
!
'
2222'
''2''
m .
.
.
!
2
'
mb
b
b
!
2
'
Metode ? metode untuk mendapatkan #olusi #/= )
1. liminasi Gauss
2. liminasi Gauss ? ordan
7. 5ekomposisi =4
>. acobi
C. Gauss #eidel
A. !ekomosis LU
ika terdapat matriks A non singular maka dapat di(aktorkan diuraikan
dikomposisikan men%adi matriks #egitiga Bawah = " =ower 0 dan matriks #egitiga
atas 4 " 4pper 0.
A =4
mnm
n
n
aa
aaaaaa
!!
!!!!
!!
'
2222'
''2''
'!!
!!!!
!'!'
'
2'
ml
l
mn
n
n
u
uuuuu
!!
!!!!
!!
222
''2''
/en$elesaian #/= A9 b dengan metode =4
b y
3. yb .
b &.
===
=→=
?
misalnya ?F
?F#
8/19/2019 analisa numerik2
82/105
4ntuk mendapatkan nilain y y y y ,!!!!!!!!,, 32'" pen$ulihan ma%u 0
b y =?
'!!
!!!!
!'
!'
'
2'
ml
l
m y
y
y
!
2
'
mb
b
b
!
2
'
4ntuk mendapatkan nilain . . . . ,!!!!!!!!,, 32' " pen$ulihan mundur 0
y3. =
mn
n
n
u
uu
uuu
!!
!!!!
!
!
222
''2''
m .
.
.
!
2
'
m y
y
y
!
2
'
5ua Metode untuk men$atakan A dalam = dan 4 )
+. Metode LU %auss
=angkah ? langkah /embentukan = dan 4 dari Matriks Aa. +$atakan A &A
mnm
n
n
aa
aaa
aaa
!!
!!!!
!
!
'
2222'
''2''
'!!
!!!!
!'
!'
mnm
n
n
aa
aaa
aaa
!!
!!!!
!
!
'
2222'
''2''
b. liminasikan matriks A di ruas kanan men%adi matriks segitiga atas 4
c. #etelah proses liminasi gauss selesai pada matriks A " elemen'elemendibawah diagonal utama adalah nol 0. Matriks & men%adi matriks l dan
matriks A men%adi matriks 4
#oal .
!entukan solusi dari )
762
2542
234
32'
32'
32'
=++=+−−
−=−+
. . .
. . .
. . .
8/19/2019 analisa numerik2
83/105
. Metode Reduksi 'rout
Karena =4 A maka hasil perkalian =4 dapat ditulis
=
+++++
33323'
23222'
'3'2''
332332'33'2232'23''33'
23'32'22'22'''2'
'3'2''
aaa
aaa
aaa
uul ul ul ul ul
uul uul ul
uuu
!in%au untuk Matriks 797
5ari kesamaan diatas diperoleh
'''' au = '2'2 au = '3'3 au =
''
2'2'2'''2'
u
al aul =→=
5st.......
B. &terasi acobi dan #eidel
mnmnmm
nn
nn
b .a .a .a
b .a .a .a
b .a .a .a
=+++
=+++=+++
!!!
!
!
!!!
!!!
22''
22222'2'
''2'2'''
&terasi acobi
''
)(
'
)(
2'2''
'
!!!
a
.a .ab .
k
nn
k
k −−−=+
22
)(
2
)(
'2'2'
2
!!!
a
.a .ab .
k
nn
k
k −−−=+
mn
k
nmn
k
mmk
na
.a .ab .
)(
''
)(
''' !!! −−+ −−−=
&terasi #eidel
''
)(
'
)(
2'2''
'
!!!
a
.a .ab .
k
nn
k
k −−−=+
22
)(
'
)'(
'2'2'
2
!!!
a
.a .ab
.
k
nn
k k −−−
=
++
8/19/2019 analisa numerik2
84/105
mn
k
nmn
k
mmk
na
.a .ab .
)(
''
)'(
''' !!! −−+
+ −−−=
5engan k 6, 1, 2, ....
4ntuk menghitung kekonergenan atau berhentin$a iterasi digunakan galat
relatie
ε <−+
+
)'(
)()'(
k
i
k
i
k
i
.
. .
i 1, 2, 7, ....n
#$arat cukup iterasi konergen ) 5ominan secara diagonal.
∑≠=
>i j j
ijij aa,'
i 1, 2, 7, ... n
Agar iterasi konergen , cukup dipenuhi s$arat ini. ika dipenuhi pasti
konergen. Kekonergenan %uga ditentukan oleh pemilihan tebakan awal.
*ontoh )
−−−
5'2
'84
3'4
3'4 +−>
'48 +>−
'25 +−>
Kekonergenan iterasi #eidel lebih cepat karena langsung menggunakan nilai
baru.
#oal A.
1. #elesaikan #/= berikut dengan iterai acobi dan #eidel
8/19/2019 analisa numerik2
85/105
a.
),,(),,(
34
'5
'82
3
2
'
32'
32'
32'
=
=++−=+−
=−+
. . .
. . .
. . .
. . .
b.
)2,2,'(),,(
'552
2'84
74
==++−−=+−
=+−
) y .
) y .
) y .
) y .
2. ;aktorkan matriks A dan B dengan metode =4 lalu pecahkan sistem Bx = c
−−
−=
62'
542
'34
&
−
−=
''
'22
'''
B
=
'
5
'
7. #elesaikan sistem persamaan berikut dengan metode =4
'
522
'4
=++−=++
=−+
) y .
) y .
) y .
>. 5iberi sistem persamaan linier A9b dengan A dan b sebagai berikut
−−
−
=
2'46
'224
8452
'32'
&
−=
4
2
8
'
b
a. !entukan solusi dengan metode iterasi acobi
b. !entukan solusi dengan metode iterasi #eidel
c. !entukan solusi dengan metode =4
C. #elesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Reduksi *rout
346
223
'292
238
=+++
=−++=−−+=+++
w ) .
w ) y .
w ) y .
w ) y .
#oal B
5apatkah sistem persamaan inier berikut
a.
824
635
=−=+
y .
y .
b.
486
635
−=−−=+ y .
y .
c.
2637
'45
952
=−−=−−
=−+
) y .
) y .
) y .
5iselesaikan dengan metode iterasi acobi dan iterasi seidelS Mengapa S
8/19/2019 analisa numerik2
86/105
BAB ;
IN#ERP$LASI !AN EKS#RAP$LASI
7.+ Interolasi
&nterpolasi dapat digunakan untuk menghitung prakiraan nilai $ang terletak
dalam rentangan titik'titik data, "*hapra, 160. Bentuk interpolasi $ang
paling ban$ak digunakan adalah interpolasi polinom orde n.Bentuk umum persamaan polinom orde n adalah sebagai berikut)
,!!!!!)( 332
2' ≠+++++= nn
n a .a .a .a .aa . *
.................................."110
4ntuk n31 titik data han$a terdapat satu polinom orde n atau kurang $ang
melalui sebuah titik. Misal polinom orde "10 terdapat 2 titik data dengan
gra-k garis lurus, dan polinom orde 2 terdapat 7 titik data dengan gra-k
berbentuk parabol. 5i dalam operasi interpolasi ditentukan suatu
persamaan polinom orde n $ang melalui n31 titik data $ang kemudian
digunakan untuk menentukan suatu nilai di antara titik'titik data tersebut.
a. Interolasi Linier
&nterpolasi linier merupakan bentuk interpolasi $ang paling sederhana,
$ang han$a membutuhkan dua titik data.
("910
("90 *("960
A 5B
8/19/2019 analisa numerik2
87/105
6 1
Karena segitiga AB* sebangun dengan segitiga A5 maka
&4
45
&B
B6
=
sehingga
( )
( ) )'2!!!!!!!!!(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)()()()(
)()()()(
)()()()(
'
''
'
''
'
'
'
. . . . . * . * . * . *
. . . .
. * . * . * . *
. .
. * . *
. .
. * . *
−−−+=
−−−
=−
−−
=−−
rumus umum interpolasi linier polinom orde &
'
' )()(
. .
. * . *
−−
$aitu gradien garis melalui 2 titik.
#emakin kecil interal atau titik data maka hasil perkiraan semakin baik.
*. Interolasi kuadrat
&nterpolasi kuadrat membutuhkan 7 titik data, dan persamaan
polinomn$a ditulis sebagai berikut)
))(()()( '2'2 . . . .b . .bb . * −−+−+=........................................."170
)(2 . *
merupakan polinom orde dua sehingga (