PROF.NILSON FILHO

ANLISE COMBINATRIA

A anlise combinatria a parte da matemtica que estuda o nmero de possibilidades de ocorrncia de um determinado acontecimento.

COMBINAO SIMPLESCombinao simples o tipo de agrupamento sem repetio em que um grupo diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

Exemplo: Quantas comisses de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe?1 aluno2 alunon de comisses( 5 possibilidades)( 4 possibilidades)(10 comisses)

ABABCACDADEAE

BABA = ABCBCDBDEBE

CACA = ACBCB = BCDCDECE

DADA = ADBDB = BDCDC = CDEDE

EAEA = AEBEB = BECEC = CEDED = DE

FRMULA DA COMBINAO SIMPLES:

No exemplo anterior, para descobrirmos o nmero de combinaes, basta calcular o nmero de arranjos e dividir o resultado por 2 ( 20 : 2 = 10 ), que o fatorial do nmero de elementos que compe cada comisso ( 2).

O nmero de combinaes de n elementos de grupos de p elementos igual ao nmero de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto :

C n, p = n ! p! ( n p)!

C 5, 2 = 5 ! = 5. 4. 3. 2. 12! ( 5 2) ! 2! 3!

C 5, 2 = 120 = 120 = 10 2.1.3.2.1 12

n= elementos distintos, quantidades de coisas ex: 5 alunos (A, B, C, D e E)

p= agrupamentos possveis ex: duplas ou tomados dois a dois.

PERMUTAO SIMPLESPermutaes simples de n elementos distintos so os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Pn = n!

Ex.:Quantos so os anagramas da palavra AMOR?

AMORAMROAAORMAOMRARMOAROM

MORAMOARMROAMMRAOMAORMARO

OAMROARMOOMAROMRAORMAORAM

R O M AR O A MR A O MRR A M OR M A OR M O A

P 4 = 4!P = 4. 3. 2. 1 = 24Temos 24 possibilidades de escrever a palavra amor.Com a 1 letra da palavra amor, (A) , consigo obter 6 possibilidades

Ex 2 - Quantos so os anagramas da palavra OSSO?

OSSOOSOS SOSO OOSS SSOO SOOS

P 4 2, 2 = 6 permutaes ou anagramas

ARRANJOS SIMPLESArranjos simples o tipo de agrupamento em que um grupo diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.

1) Quatro clubes Juventude, Palmeiras e Esperana e Fluminense disputam as finais de um torneio de futebol. Ao final do certame as classificaes possveis desses clubes so os arranjos simples dos quatro elementos Juventude, Palmeiras, Esperana e Fluminense tomados quatro a quatro.

a) Quais so as possibilidades que podemos encontrar?

1 lugar 2 lugar3 lugar4 lugar

PalmeirasEsperanaFluminense JuventudePalmeirasFluminenseEsperanaFluminensePalmeirasEsperana FluminenseEsperanaPalmeirasEsperanaPalmeirasFluminenseEsperanaFluminensePalmeiras

JuventudeEsperanaFluminense JuventudeFluminenseEsperanaFluminenseJuventudeEsperana FluminenseEsperanaJuventudeEsperanaJuventudeFluminenseEsperanaFluminenseJuventude

Juventude PalmeirasFluminense JuventudeFluminensePalmeirasFluminenseJuventudePalmeirasFluminensePalmeirasJuventudePalmeirasJuventudeFluminensePalmeirasFluminensePalmeiras

JuventudePalmeirasEsperana JuventudeEsperanaPalmeirasEsperanaJuventudePalmeirasEsperanaPalmeirasJuventudePalmeirasJuventudeEsperanaPalmeirasEsperanaJuventude

PalmeirasEsperanaFluminense

b) Quantas possibilidades existem?Existem 24 possibilidades.

O nmero de arranjos simples tomados quatro a quatro ( A 4, 4 ) tambm pode ser calculado pelo princpio fundamental da contagem:

A 4, 4 = 4. 3. 2. 1 = 24

c) Quantas possibilidades h do Flamengo ficar em 1 lugar?

Existem 6 possibilidades do Flamengo ficar em primeiro lugar, assim como os demais times tambm possuem 6 possibilidades de ficar em primeiro lugar.

2) Quantos nmeros de dois algarismos (elementos) distintos podem ser formados, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5?

1 algarismo 2 algarismo nmeros formados(4 possibilidades)(3 possibitidades)( 12 nmeros)

32324245252323434535242434354525253534 54

Pode-se observar que os grupos (nmeros ou elementos) obtidos diferem entre si: * pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo)Os grupos assim obtidos so denominados arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e so indicados A 4, 2 = 4. 3 = 12