ANÁLISE DA MAGNETOHIDRODINÂMICA COM … · transversais, para Ha = 20 e perfil de velocidade uniforme na entrada do canal. 91 Figura 6.8 Comparação com os resultados de Shohet

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

MARIA DAS GRAÇAS OLIVEIRA RÊGO

ANÁLISE DA MAGNETOHIDRODINÂMICA COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CANAIS DE PLACAS PARALELAS VIA TRANSFORMAÇÃO INT EGRAL

Natal - RN 12 de Novembro de 2010

MARIA DAS GRAÇAS OLIVEIRA RÊGO

ANÁLISE DA MAGNETOHIDRODINÂMICA COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CANAIS DE PLACAS PARALELAS VIA TRANSFORMAÇÃO INT EGRAL

Dissertação submetida à Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientador: Prof. Dr. João Alves de Lima

Área de Concentração: Mecânica Computacional

Natal - RN 12 de Novembro de 2010

Rêgo, Maria das Graças Oliveira. Análise da magnetohidrodinâmica com transferência de calor em canais de placas paralelas via transformação integral.

Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Rêgo, Maria das Graças Oliveira. Análise da magnetohidrodinâmica com transferência de calor em canais de

placas paralelas via transformação integral / Maria das Graças Oliveira Rêgo. – Natal, RN, 2010.

108 f. Orientador: João Alves de Lima. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. 1. Magnetohidrodinâmica – Dissertação. 2. Escoamento laminar –

Dissertação. 3. Calor – Convecção forçada – Dissertação. 4. Transformada integral – Dissertação. I. Lima, João Alves de. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 537.84(043.2)

Dedico este trabalho aos meus pais: Francisco Gomes de Oliveira e

Ana Dantas de Oliveira (in memorian); às minhas duas amadas filhas:

Lara Oliveira Rêgo e Camila Oliveira Rêgo;

ao meu amado e companheiro, Sérgio Rêgo dos Santos.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por tudo que sou e tenho.

Aos Meus Pais, por todo amor dedicado na construção do meu ser.

Ao meu esposo Sérgio, pelo incentivo, apoio e companheirismo.

Ao professor João Alves de Lima, meu orientador, por sua dedicação e seus ensinamentos.

À UFRN, pela a oportunidade de realização desse mestrado.

Às minhas filhas, Camila e Lara por me compreender e apoiar.

Aos meus irmãos Clóvis, pela ajuda nas apresentações, Míriam, Pedro e Luis.

Ao meu tio Patrocínio Oliveira e Joana Dar´c, obrigado pelo apoio no momento difícil.

Os problemas significativos que enfrentamos não podem ser resolvidos no mesmo nível de pensamento em que estávamos quando os criamos.

Albert Einstein


RESUMO

O propósito do estudo desenvolvido nesse trabalho está relacionado com a dinâmica do

escoamento incompressível, laminar, em regime permanente, com transferência de calor,

de um fluido newtoniano condutor elétrico, no interior de um canal de placas planas

paralelas, submetido a um campo magnético externo uniforme. Para a solução das

equações de governo, modeladas através da formulação parabólica de camada limite em

função corrente, foi empregado o método híbrido, numérico-analítico, conhecido como

Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT). O escoamento analisado é

sustentando por um gradiente de pressão e assume-se que o campo magnético externo,

aplicado na direção normal ao escoamento, permanece uniforme, muito maior do que

quaisquer outros campos gerados em outras direções, não sendo, dessa forma, influenciado

por nenhum efeito magnético interno. Para avaliar a influência do campo magnético sobre

o desenvolvimento térmico e hidrodinâmico desse problema de convecção forçada, e

também para fins de validação da metodologia de solução adotada, foram empregados dois

tipos de condições de contorno para o campo de velocidade na entrada no canal: perfil

uniforme e perfil parabólico do escoamento sem campo magnético completamente

desenvolvido. Para o problema térmico, por outro lado, empregou-se apenas o perfil

uniforme de temperatura na entrada do canal e considerou-se que as placas se mantém à

temperatura constante, iguais ou diferentes uma da outra. Resultados para os campos de

velocidade, temperatura e potenciais correlatos são produzidos e comparados aos da

literatura em função dos principais parâmetros de governo, a saber, número de Reynolds,

número de Hartmann e parâmetro elétrico, para algumas situações típicas. Com o objetivo

de ilustrar a consistência da técnica da transformada integral generalizada, análises de

convergência são também efetuadas e apresentadas.

Palavras-chave: Convecção Forçada. Magnetohidrodinâmica (MHD). Transformação Integral (GITT). Placas Paralelas


ABSTRACT

The main goal of the present work is related to the dynamics of the steady state,

incompressible, laminar flow with heat transfer, of an electrically conducting and

Newtonian fluid inside a flat parallel-plate channel under the action of an external and

uniform magnetic field. For solution of the governing equations, written in the parabolic

boundary layer and stream-function formulation, it was employed the hybrid, numerical-

analytical, approach known as Generalized Integral Transform Technique (GITT). The

flow is sustained by a pressure gradient and the magnetic field is applied in the direction

normal to the flow and is assumed that normal magnetic field is kept uniform, remaining

larger than any other fields generated in other directions. In order to evaluate the influence

of the applied magnetic field on both entrance regions, thermal and hydrodynamic, for this

forced convection problem, as well as for validating purposes of the adopted solution

methodology, two kinds of channel entry conditions for the velocity field were used: an

uniform and an non-MHD parabolic profile. On the other hand, for the thermal problem

only an uniform temperature profile at the channel inlet was employed as boundary

condition. Along the channel wall, plates are maintained at constant temperature, either

equal to or different from each other. Results for the velocity and temperature fields as well

as for the main related potentials are produced and compared, for validation purposes, to

results reported on literature as function of the main dimensionless governing parameters

as Reynolds and Hartman numbers, for typical situations. Finally, in order to illustrate the

consistency of the integral transform method, convergence analyses are also effectuated

and presented.

Keywords: Forced Convection. Magnetohydrodynamics (MHD). Integral Transforms

(GITT). Parallel-Plate Channels.


LISTA DE FIGURAS

CAPÍTULO 2

Figura 2.1

Esquema (a) de uma bomba eletromagnética (adaptado de Shercliff, 1965) e (b) do confinamento magnético de plasma (adaptado de Davidson, 2001).

25

Figura 2.2 Esquema (a) de agitação magnética de um lingote, (b) do amortecimento magnético de movimento durante fundição e (c) de uma válvula eletromagnética. Adaptado de Davidson (2001).

26

Figura 2.3 Instabilidade em uma célula de redução de alumínio. 27

Figura 2.4 Interação entre um campo magnético e um fio circular em movimento.

29

Figura 2.5 Lei de Ohm em um condutor (a) estacionário e (b) em movimento. 33

Figura 2.6 Lei de Ampère aplicada a um fio. Adaptado de Davidson (2001). 34

Figura 2.7

Lei de Faraday (a) fem gerada pelo movimento de um condutor, (b) fem gerada por um campo magnético dependente do tempo. Adaptado de Davidson (2001).

35

CAPÍTULO 4

Figura 4.1

Esquema de possibilidades tecnológicas magnetohidrodinâmicas: (a) bomba eletromagnética, (b) gerador eletromagnético e (c) medidor de vazão eletromagnético. Adaptado de Davidson (2001).

53

Figura 4.2

Esquema da geometria e das características elétricas e magnéticas do canal. Adaptado de Setayesh e Sahai (1990) e Sutton e Sherman (2006).

55

Figura 4.3 Representação esquemática do problema analisado (plano central do duto).

55


CAPÍTULO 6

Figura 6.1

Comparação com os resultados de Hwang et al. (1966) da componente axial de velocidade ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para Ha = 8 e perfil de velocidade parabólico na entrada do canal.

87

Figura 6.2

Comparação com os resultados de Hwang et al. (1966) da componente axial de velocidade ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para Ha = 20 e perfil de velocidade parabólico na entrada do canal.

87

Figura 6.3 Influência do campo magnético sobre o desenvolvimento do perfil da componente axial de velocidade e comparação com os resultados de Hwang et al. (1966).

88

Figura 6.4

Comparação com os resultados de Manohar (1966) da componente axial de velocidade ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para Ha = 0 e perfil de velocidade uniforme na entrada do canal.

89

Figura 6.5

Comparação com os resultados de Shohet et al. (1962) e Manohar (1966) da componente axial de velocidade ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para Ha = 8 e perfil de velocidade uniforme na entrada do canal.

90

Figura 6.6


90

Figura 6.7


91

Figura 6.8

Comparação com os resultados de Shohet et al. (1962) do campo de temperatura ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para Ha = 8, Pr = 0,1, Ec = -1,0 e Ez = 0,0. Perfis de temperatura e velocidade uniformes na entrada.

92

Figura 6.9

Comportamento do campo de temperatura ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para Ha = 8, Pr = 0,1, Ec = -1,0 e Ez = 0,0. Perfil de temperatura uniforme e de velocidade parabólico na entrada do canal.

93


Figura 6.10

Influência do tipo de perfil de velocidade na entrada do canal sobre o desenvolvimento da temperatura média de mistura, para Ha = 8, Pr = 1, Ec = 0 e Ez = 0. Perfil de temperatura uniforme na entrada do canal.

94

Figura 6.11

Influência do tipo de perfil de velocidade na entrada do canal sobre o desenvolvimento do número de Nusselt médio local, para Ha = 8, Pr = 1, Ec = 0 e Ez = 0. Perfil de temperatura uniforme na entrada do canal.

94

Figura 6.12

Comparação com os resultados de Setayesh e Sahai (1990) da temperatura média de mistura e do número de Nusselt médio local ao longo do canal, para Ha = 20, Pr = 0,75, Ec = 0,1 e Ez = -0,5. Perfis de temperatura e velocidade uniformes na entrada.

95

Figura 6.13

Comparação com os resultados de Hwang (1962) e Setayesh e Sahai (1990) do número de Nusselt médio local ao longo do canal, para Ha = 20, Pr = 1, Ec = (1,0 e 0,1) e Ez = (0,0 e -1.0). Perfis de temperatura e velocidade uniformes na entrada.

95

Figura 6.14

Influência dos números de Hartmann e de Eckert sobre o desenvolvimento da temperatura média de mistura, para Pr = 0,75 e Ez = -0,5.

96

Figura 6.15

Influência dos números de Hartmann e de Eckert sobre o desenvolvimento do número de Nusselt médio local, para Pr = 0,75 e Ez = -0,5.

97


LISTA DE TABELAS

CAPÍTULO 6

Tabela 6.1 Análise de convergência dos principais campos, em diferentes posições axiais. (Ha = 8, Pr = 1,0, Ec = 0,0, Ez = 0,0 e perfil de velocidade parabólico na entrada).

84

Tabela 6.2 Análise de convergência dos principais campos, em diferentes posições axiais. (Ha = 20, Pr = 0,75, Ec = 0,1, Ez = - 0,5 e perfil de velocidade uniforme na entrada).

85


LISTA DE SÍMBOLOS

A Área total das placas

0B

Vetor campo magnético externo

( )iC yɶ Autofunção relacionada ao campo de temperatura

pc Calor específico à pressão constante

dℓ Elemento diferencial de comprimento

dS

Elemento diferencial de área/superfície

E

Vetor campo elétrico

cE Número de Eckert

iE Campo elétrico induzido

0E Campo elétrico externo

rE Campo eletrostático

zE Parâmetro elétrico adimensional

F

Vetor força eletromagnética

( )mf x Coeficiente de atrito médio local

zG Número de Graetz

Ha Número de Hartmann

efHa Número de Hartmann efetivo

( )mh x Coeficiente médio local de transferência de calor por convecção

( )totI x Corrente total por unidade de comprimento

J

Vetor densidade de corrente elétrica

k Condutividade térmica

ek Condutividade térmica na entrada do canal

( )mk x Condutividade térmica média local

,1,2( )mk x Condutividade térmica média nas paredes 1 e 2 do canal

ℓ Escala característica de comprimento


iM Norma da autofunção associada ao campo de função corrente

N Parâmetro de interação magnética

iN Norma da autofunção associada ao campo de temperatura

( )mNu x Número de Nusselt médio local

Nφ Número de termos empregado nas expansões do campo de função corrente

Nθ Número de termos empregado nas expansões do campo de temperatura

P Campo de pressão

rP Número de Prandtl

jouleq Taxa de geração de energia por efeito Joule

viscq Taxa de geração de energia por efeitos de dissipação viscosa

( )Q x Taxa de transferência de calor local

q Carga do elétron

Re Número de Reynolds

mRe Número de Reynolds magnético

( ),T x y Campo escalar de temperatura do fluido

( )bT x Temperatura média de mistura local

eT Temperatura na entrada do canal

1wT Temperatura na parede inferior do canal

2wT Temperatura na parede superior do canal

u

Campo vetorial de velocidade

( ),u x y Componente longitudinal de velocidade do fluido

eU Velocidade média do fluido na entrada do canal

( ),v x y Componente transversal de velocidade do fluido

( )iY yɶ Autofunção relacionada ao campo de função corrente


LETRAS GREGAS

α Expoente da expressão da viscosidade

β Expoente da expressão da condutividade elétrica

iβ Autovalores relacionados à autofunção do campo de temperatura

γ Expoente da expressão da condutividade térmica

0ε Permissividade do espaço livre

ewθ Parâmetro relacionado à razão entre as temperaturas na entrada e na placa

inferior do canal

( , )x yθ Campo escalar filtrado de temperatura

( )i xθ

Campo filtrado e transformado de temperatura

µ Viscosidade dinâmica/absoluta do fluido

iµ Autovalor relacionado ao campo de função corrente

mµ Permeabilidade magnética

1,2wµ Viscosidade absoluta do fluido avaliada à temperatura das placas inferior e

superior do canal

ρ Massa específica do fluido

eρ Densidade de carga elétrica

σ Condutividade elétrica do fluido

1,2wσ Condutividade elétrica do fluido avaliada à temperatura das placas inferior e

superior do canal

( ),x yφ Campo filtrado de função corrente

( )i xφ

Campo filtrado e transformado de função corrente

( )F yψ Filtro relacionado ao campo de função corrente

( , )x yψ Campo escalar de função corrente


SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 20

2 MAGNETOHIDRODINÂMICA : FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................... 24

2.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 24

2.2 CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................................ 28

2.3 EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA ......................................................................... 31

2.3.1 CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ ................................................... 31

2.3.2 LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA ................................... 32

2.3.3 LEI DE AMPÈRE .......................................................................................... 33

2.3.4 LEI DE FARADAY ....................................................................................... 34

2.3.5 CONSERVAÇÃO DE CARGA - DIVERGÊNCIA: 0J∇⋅ =

e 0B∇⋅ =

............. 36

2.3.6 EQUAÇÃO DE TRANSPORTE DO CAMPO MAGNÉTICO ................................. 40

2.4 EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E A FORÇA DE LORENTZ ..................................... 40

2.4.1 TENSÕES DE MAXWELL .............................................................................. 42

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................... 44

3.1 MAGNETOHIDRODINÂNICA EM CANAIS ................................................................ 44

3.2 TÉCNICA DA TRASNFORMADA INTEGRAL ............................................................. 48

4 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA .................................................................................... 53

4.1 MODELAGEM MATEMÁTICA ................................................................................. 53

4.2 ADIMENSIONALIZAÇÃO E GRUPOS ADIMENSIONAIS ............................................. 58

4.3 PRINCIPAIS PARÂMETOS DE COMPARAÇÃO .......................................................... 60


5 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO ..................................................................................... 67

5.1 FORMULAÇÃO EM FUNÇÃO CORRENTE ................................................................ 67

5.2 FILTRAGEM DOS CAMPOS DE FUNÇÃO CORRENTE E TEMPERATURA .................... 68

5.2.1 EXPRESSÃO DO FILTRO PARA O CAMPO DE FUNÇÃO CORRENTE ................. 70

5.2.2 EXPRESSÃO DO FILTRO PARA O CAMPO DE TEMPERATURA ........................ 71

5.3 PROBLEMAS DE AUTOVALOR AUXILIARES ........................................................... 72

5.3.1 PROBLEMA DE AUTOVALOR PARA O CAMPO DE FUNÇÃO CORRENTE ......... 72

5.3.2 PROBLEMA DE AUTOVALOR PARA O CAMPO DE TEMPERATURA ................. 74

5.4 TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DAS EQUAÇÕES ...................................................... 76

5.5 RECUPERAÇÃO DOS PRINCIPAIS CAMPOS ............................................................. 79

6 RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................................................... 83

6.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA ............................................................................... 83

6.2 RESULTADOS OBTIDOS E VALIDAÇÃO ................................................................... 86

7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES ......................................................................................... 99

7.1 CONCLUSÕES ......................................................................................................... 99

7.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................................... 100

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 102

ANEXOS ......................................................................................................................... 107

__________________________

CAPÍTULO I

Introdução

Rêgo, Maria das Graças Oliveira. Análise da magnetohidrodinâmica com transferência de calor em canais de 20 placas paralelas via transformação integral.

1 INTRODUÇÃO

O escoamento, laminar ou turbulento, e a transferência de calor envolvendo fluidos

condutores elétricos (não magnéticos) submetidos a campos magnéticos externos

(Magnetohidrodinâmica - MHD) tem se apresentado em importantes aplicações industriais

atuais sob as mais variadas formas e situações, como por exemplo, no desenvolvimento de

bombas e geradores magnetohidrodinâmicos, no resfriamento de reatores nucleares, e mais

fortemente nas indústrias de alumínio (células de redução de alumínio) e siderúrgicas.

Iniciando-se no começo do século vinte, estudos sobre a magnetohidrodinâmica aplicada à

engenharia reapareceram nos anos sessenta, tendo ganhado, atualmente, forte atenção

devido principalmente às necessidades energéticas e ambientais, tornando-se,

consequentemente, o objeto de muitas investigações científicas (Shercliff, 1965; Davidson,

2001 e Sutton e Sherman, 2006).

Paralelamente, o desenvolvimento de métodos numéricos, empregados na solução

das equações que governam o escoamento e a transferência de calor dos mais diversos

campos das ciências, tem ganhado cada vez mais espaço na comunidade científica e

tecnológica, principalmente no que diz respeito ao seu uso e aplicação. Atualmente, os

métodos conhecidos como volumes finitos e elementos finitos formam a base das

metodologias numéricas empregadas nos núcleos de cálculo dos “softwares” atuais

encontrados nos campos de dinâmica dos fluidos computacional e de análise estrutural

computacional (ANSYS, 2009).

Por outro lado, o apelo pelo desenvolvimento e aplicação de metodologias

matemáticas que mantenham um caráter analítico na obtenção da solução das equações de

governo dos mais variados campos da ciência se mantém como meta científica. Dentre as

metodologias que satisfazem tal requerimento, pelo menos parcialmente, está o método

conhecido como Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT). A GITT é uma

técnica híbrida, numérico-analítica, que vem sendo desenvolvida de forma paralela aos

métodos puramente numéricos, e que mantém, na sua aplicação, todas as características de

uma solução analítica, como o método de separação de variáveis, associada, por outro lado,

à robustez dos métodos puramente numéricos para soluções de sistemas de equações

diferenciais ordinárias.


Em função de tal panorama, o principal objetivo do presente trabalho consiste no

desenvolvimento de soluções híbridas, através da aplicação da Técnica da Transformada

Integral Generalizada (GITT), para o problema do desenvolvimento simultâneo do

escoamento e da transferência de calor de fluidos newtonianos condutores elétricos

submetidos a campos magnéticos constantes, em um canal de placas planas e paralelas. Tal

geometria se apresenta como boa simplificação para muitos escoamentos encontrados na

prática e facilita extremamente o procedimento de análise e validação da técnica.

O escoamento, modelado através das equações parabólicas e na formulação de

função corrente, é mantido por um gradiente de pressão e o campo magnético é aplicado na

direção normal ao escoamento. Assume-se que tal campo magnético não é afetado pelo

escoamento, permanecendo muito maior do que qualquer campo gerado em outras direções

coordenadas. Analisa-se, assim, a interação de uma via apenas entre o escoamento de um

fluido condutor elétrico e um campo magnético, uma vez que o campo magnético afeta o

campo de escoamento, mas o campo de escoamento não afeta o campo magnético imposto.

Esta simplificação implica que não há necessidade da resolução das equações de Maxwell,

uma vez que o campo magnético aplicado não é alterado pelo escoamento.

Para avaliar mais efetivamente a influência do campo magnético aplicado sobre as

regiões de entrada hidrodinâmica e de entrada térmica, dois tipos de condições de entrada

para o campo de velocidade na entrada do canal são empregadas: perfil uniforme e perfil

parabólico do escoamento completamente desenvolvido sem aplicação de campo

magnético. Para o campo de temperatura, considera-se um perfil de entrada uniforme.

Resultados para os campos de velocidade, temperatura e outras variáveis correlatas são

mostrados em função dos principais parâmetros governantes, como número de Reynolds,

número de Hartmann e parâmetro elétrico, entre outros, para situações típicas encontradas

na prática. Para fins de validação, os resultados obtidos com a presente metodologia são

ainda confrontados com outros resultados numéricos e experimentais previamente

reportados na literatura.

À luz de sua natureza híbrida, numérico-analítica, e de sua garantia de controle de

erro local e global, espera-se que a metodologia empregada se reafirme, em função dos

resultados apresentados, como uma ferramenta apropriada para fins de validação numérica

(“benchmarking”) neste campo de pesquisa.


A seguir, no Capítulo 2, é realizada uma breve descrição, baseada em Shercliff

(1965) e Davidson (2001), dos fundamentos do escoamento de fluidos condutores elétricos

(não magnéticos) submetidos a campos magnéticos. Nesse capítulo, são mostradas as

equações básicas da eletrodinâmica, os seus parâmetros característicos e a forma de

interação entre os campos magnéticos e do escoamento.

No Capítulo 3, é realizada uma revisão bibliográfica acerca dos trabalhos

numéricos e experimentais desenvolvidos anteriormente sobre o estudo da

magnetohidrodinâmica com e sem transferência de calor em dutos. No final do capítulo, é

mostrado ainda o estado da arte de aplicação da técnica da transformada integral

generalizada a problemas de mecânica dos fluidos e transferência de calor.

No Capítulo 4, é desenvolvida a formulação matemática do problema, ilustrando-se

a geometria estudada e as condições de contorno associadas ao fenômeno físico analisado.

O problema é mostrado nas suas formas dimensional e adimensional, e os grupos

adimensionais empregados são, nesse momento, definidos. As definições dos principais

parâmetros correlatos aos campos de velocidade e magnético são também estabelecidas no

final desse capítulo.

O Capítulo 5 descreve completamente a metodologia de solução empregada nas

equações de governo do problema. O uso da formulação em função corrente, o emprego do

processo de “filtragem” numérica dos campos de função corrente e temperatura, o

estabelecimento dos problemas de autovalores associados, o desenvolvimento do processo

analítico de transformação integral das equações de governo e a recuperação dos potenciais

(campos) originais são detalhadamente descritos nesse capítulo.

No Capítulo 6 são mostrados, na forma gráfica e em tabelas, os resultados obtidos

no presente trabalho com aplicação da técnica da transformada integral generalizada.

Validação numérica, análises de convergências dos principais campos do escoamento e

uma completa discussão de tais resultados são nesse momento efetuadas.

Finalmente, no Capítulo 7, são traçadas as conclusões obtidas com o

desenvolvimento do presente trabalho e as principais sugestões de continuidade para

trabalhos futuros são apresentadas.

As referências bibliográficas empregadas como base e para comparação dos

resultados alcançados com o presente trabalho são listadas no final da dissertação.

______________________________

CAPÍTULO II

MHD: Fundamentação Teórica


2 MAGNETOHIDRODINÂMICA: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 INTRODUÇÃO

Campos magnéticos influenciam muitos escoamentos naturais e artificiais. Na

indústria, eles são rotineiramente usados para aquecer, bombear, agitar e levitar metais

líquidos. Por outro lado, tem-se conhecimento da existência do campo magnético terrestre,

o qual é mantido pelo movimento do fluido no núcleo da terra, do campo magnético solar,

o qual gera manchas e chamas solares e do campo magnético galáctico, o qual se atribui à

formação de estrelas a partir de nuvens solares. O estudo desses escoamentos é

denominado magnetohidrodinâmica (MHD). Formalmente, a magnetohidrodinâmica está

voltada para a interação mútua entre o escoamento de fluidos e campos magnéticos. Os

fluidos em questão devem ser eletricamente condutores e não-magnéticos, os quais se

limitam a metais líquidos, gases quentes ionizados (plasmas) e eletrólitos fortes.

As leis do magnetismo e do escoamento de fluidos foram desenvolvidas por volta

do século XIX, no entanto, a magnetohidrodinâmica tornou-se um assunto completamente

desenvolvido apenas no final da década de 1930 e início da década de 1940. A razão era,

provavelmente, que existia pouco incentivo para as possibilidades oferecidas pela

magnetohidrodinâmica. Assim, enquanto poucos experimentos isolados eram realizados

por físicos, como Faraday, o assunto permaneceu inexplorado até a virada daquele século.

O panorama começou a mudar quando os astrofísicos perceberam o quão onipresentes são

campos magnéticos e plasmas por todo o universo. Isto culminou em 1942 com a

descoberta das ondas de Alfvén, um fenômeno peculiar à magnetohidrodinâmica e

importante em astrofísica (uma linha de campo magnético pode transmitir ondas inerciais

transversais). Ao mesmo tempo, geofísicos começaram a suspeitar que o campo magnético

da terra era gerado pela ação de dínamo do metal líquido de seu núcleo, uma hipótese

inicialmente fomentada por Larmor em 1919 no contexto do campo magnético do sol.

Os físicos de plasma, por outro lado, despertaram interesse em MHD na década de

1950 com a busca pela fusão termonuclear controlada. Estavam particularmente

interessados na estabilidade (perda de estabilidade) de plasmas confinados por campos

magnéticos. Como resultado, grandes avanços na teoria da estabilidade foram obtidos.


Apesar de alguns trabalhos pioneiros terem sido realizados pelo engenheiro

Hartmann que, em 1918, inventou a bomba eletromagnética (ilustrada na Figura 2.1a) e

também, em 1937, empreendeu uma sistemática investigação teórica e experimental do

escoamento de mercúrio sob um campo magnético homogêneo (Hartmann é considerado o

pai da magnetohidrodinâmica de metal líquido, sendo o termo “escoamento de Hartmann”

usado para descrever escoamentos em dutos na presença de um campo magnético), o

desenvolvimento da magnetohidrodinâmica na engenharia só aconteceu efetivamente a

partir da década de 1960. Esse lento progresso deveu-se especialmente à baixa

condutividade elétrica dos fluidos comumente empregados na engenharia, a saber, o

mercúrio e alguns eletrólitos.

O ímpeto à mudança veio, principalmente, a partir de três inovações tecnológicas:

a) reatores de alimentação/produção rápida, que usam sódio líquido como fluido

refrigerante e necessita ser bombeado (bomba eletromagnética – Figura 2.1a);

b) fusão termonuclear controlada, que requer que um plasma quente seja mantido

distante das superfícies do reator por forças eletromagnéticas (Figura 2.1b),

c) geração de potência magnetohidrodinâmica, na qual um gás ionizado é

propelido através de um campo magnético. Tal inovação mostrou-se,

posteriormente, tecnicamente inviável.

(a) (b)

Figura 2.1 – Esquema (a) de uma bomba eletromagnética (adaptado de Shercliff, 1965) e

(b) do confinamento magnético de plasma (adaptado de Davidson, 2001).


Enquanto a pesquisa por geração de potência declinava, a indústria metalúrgica

demonstrava interesse por MHD. Duas décadas mais tarde, campos magnéticos eram

rotineiramente empregados para aquecer, bombear, agitar (Figura 2.2a), amortecer o

movimento (Figura 2.2b) e levitar (Figura 2.2c) metais líquidos em indústrias metalúrgicas

de todo o mundo.

(a) (b)

(c)

Figura 2.2 – Esquema (a) de agitação magnética de um lingote, (b) do amortecimento

magnético de movimento durante fundição e (c) de uma válvula eletromagnética.

Adaptado de Davidson (2001).

O ponto chave destas aplicações é que a força de Lorentz fornece um meio não

intrusivo de se controlar o escoamento de metais. Assim, com a constante pressão

comercial em se produzir materiais mais baratos, melhores e mais consistentes, a

magnetohidrodinâmica aparece como uma ferramenta única de exercício de maior controle

na fundição e nos processos de refinamento de metais.


A magnetohidrodinâmica também é importante no processo de eletrólise,

particularmente em células de eletrólise usadas para reduzir óxido de alumínio em

alumínio. Essas células consistem de camadas largas, mas rasas, de eletrólito/criolita e

alumínio líquido, com o eletrólito permanecendo no topo. Uma corrente elétrica extrema

(aproximadamente 200 kA) passa verticalmente para baixo através das duas camadas,

reduzindo continuamente o óxido de metal. Esse processo é energeticamente intensivo,

principalmente por causa da elevada resistência elétrica do eletrólito. Sabe-se que campos

magnéticos dispersos podem desestabilizar a interface entre o eletrólito e o alumínio,

através de ondas de gravidade interfaciais, as quais absorvem energia do campo magnético

convertendo-a em energia cinética (Figura 2.3). De maneira a evitar estas instabilidades, a

camada de criolita deve ser mantida em uma espessura acima de algum valor crítico, às

custas de uma severa penalidade energética.

Figura 2.3 – Instabilidade em uma célula de redução de alumínio.


Entre outras aplicações da magnetohidrodinâmica na engenharia e na metalurgia

podem-se citar ainda a fundição eletromagnética de alumínio, a reformulação de super

ligas baseadas em titânio e níquel, a remoção eletromagnética de inclusões não-metálicas

de metal fundido, propelidores/lançadores eletromagnéticos e o chamado processo de

fundição à frio por indução em cadinhos (vitrificação de lixo nuclear altamente ativo).

Como se pode perceber, a magnetohidrodinâmica tem encontrado um lugar

permanente e substancial na engenharia, mais especificamente na vasta área de

processamento de materiais.


2.2 CONCEITOS BÁSICOS

A interação mútua de um campo magnético, B

, e um campo de velocidade, V

,

surge parcialmente como resultado das leis de Faraday e Ampère, e parcialmente por causa

da força de Lorentz experimentada por um corpo condutor de corrente elétrica. De maneira

conveniente, embora artificial, divide-se essa interação em três ações:

i) O movimento relativo de um fluido condutor e um campo magnético gera uma

força eletromotriz, fem (da ordem de u B×

), de acordo com a lei de Faraday

da indução. Em geral, correntes elétricas são geradas/induzidas, a densidade de

corrente, J

, sendo da ordem de ( )u Bσ ×

, e σ sendo a condutividade elétrica.

ii) As correntes induzidas devem também, de acordo com a lei de Ampère,

gerar/induzir um segundo campo magnético. Esse campo magnético se “soma”

ao campo magnético original e a mudança é geralmente tal que o fluido parece

“arrastar” as linhas de campo magnéticas.

iii) O campo magnético combinado interage com a densidade de corrente induzida,

J

, gerando/induzindo uma força por unidade de volume, a força de Lorentz,

J B×

. Essa força age sobre o condutor e, geralmente, é dirigida de maneira a

inibir o movimento relativo entre o campo magnético e o fluido.

As duas últimas ações têm conseqüências similares. Em ambos os casos, o

movimento relativo entre o fluido e o campo magnético tende a ser reduzido. Fluidos

podem “arrastar” linhas de campo magnético (efeito ii) e campos magnéticos podem

“segurar” fluidos condutores (efeito iii). É este “congelamento” parcial do meio e do

campo magnético que é o ponto principal da magnetohidrodinâmica.

Esses efeitos são, talvez, mais familiares no contexto da eletrodinâmica

convencional. Considere um fio circular o qual é puxado através de um campo magnético

(Figura 2.4). Logo que o fio é deslocado para a direita, uma força eletromotriz, fem, da

ordem de u B×

é gerada, fazendo com que uma corrente elétrica circule no fio como

mostrado (efeito i).


Figura 2.4 – Interação entre um campo magnético e um fio circular em movimento.


O campo magnético associado com a corrente induzida perturba o campo

magnético original, e o resultado líquido é que as linhas de campo magnéticas parecem ser

“arrastadas” pelo fio (efeito ii). A corrente induzida também faz surgir a força de Lorentz,

J B×

, a qual age no fio na direção oposta ao do movimento (efeito iii). Assim, é

necessário fornecer uma força para movimentar o fio.

Para um melhor entendimento do efeito (ii), inicia-se pela percepção de que o

campo magnético imposto deverá ser influenciado (a) pela velocidade típica do fluido, (b)

pela condutividade elétrica do fluido e, de maneira não tão explícita, (c) por uma escala

característica de comprimento, ℓ , do movimento. Se o fluido não é condutor ou a sua

velocidade é desprezível, não existirá campo magnético induzido significante. Por outro

lado, se σ ou u

são grandes, então o campo magnético induzido pode alterar o campo

magnético imposto (ver Figura 2.4). Conforme citado, a fem gerada pelo movimento

relativo entre o campo magnético imposto e o meio é da ordem de u B×

, de maneira que,

pela lei de Ohm, a densidade de corrente induzida é da ordem de ( )u Bσ ×

. No entanto,

uma densidade de corrente modesta espalhada sobre uma área grande pode produzir um

campo magnético elevado, enquanto que a mesma densidade de corrente espalhada sobre

uma área pequena induz apenas um campo magnético fraco.

Logo, é o produto uσ ℓ que determina a razão do campo magnético induzido para o

campo magnético aplicado. No limite em que uσ → ∞ℓ (típico dos condutores ideais), os

campos magnéticos, induzido e imposto, são de mesma ordem de grandeza. Em tais

circunstâncias, o campo magnético combinado se comporta como se estivesse “preso” ao

fluido. Por outro lado, quando 0uσ →ℓ , o campo magnético imposto permanece

relativamente inalterado.


A astrofísica se situa mais próxima do primeiro caso, não apenas pela alta

condutividade dos plasmas, mas devido à grande escala de comprimento envolvida. A

MHD de metal líquido, por outro lado, se situa no segundo limite, de maneira que o campo

de velocidade não perturba significativamente o campo magnético imposto. Apesar desse

fato, o efeito (iii) ainda é forte em metais líquidos, de maneira que um campo magnético

imposto altera substancialmente o campo de velocidade (interação de uma via).

Considerando-se a permeabilidade do espaço livre, mµ , a condutividade elétrica,

σ , a massa específica do meio, ρ , e uma escala de comprimento característica,

ℓ , pode-se construir os três seguintes parâmetros chaves da magnetohidrodinâmica.

Rem m uµ σ= ℓ Número de Reynolds Magnético (2.1)

a

m

Bv

ρµ= Velocidade de Alfvèn (2.2)

12Bστ

ρ

−

=

Tempo de Amortecimento Magnético (2.3)

O número de Reynolds magnético é uma medida adimensional da condutividade

elétrica, de maneira que é Rem , e não apenas σ , o fator importante em MHD.

Quando Rem é grande, as linhas de campo magnéticas agem como cordas elásticas

“agarradas” ao meio, implicando em duas conseqüências. Primeiro, o fluxo magnético

através de uma curva material fechada tende a ser conservado durante o movimento do

fluido (as linhas de fluxo tendem a acompanhar a curva, Figura 2.4). Segundo, pequenos

distúrbios no meio resultam em oscilações quasi-elásticas, o campo magnético fornecendo

a força de restauração para as oscilações. Isso resulta nas ondas de Alfvèn, de freqüência

/avω ≈ ℓ . Quando Rem é pequeno, u

tem pouca influência sobre B

, pois o campo

induzido é desprezível comparado ao imposto. O campo magnético comporta-se de

maneira dissipativa, não elástica, amortecendo o movimento pela conversão de energia

cinética em calor, via efeito Joule. A escala de tempo relevante é agora o tempo de

amortecimento, τ , e não / avℓ .


2.3 EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA

As leis básicas do eletromagnetismo são denominadas de leis de Lorentz, de Ohm,

de Faraday e de Ampère, e serão discutidas em maiores detalhes nesta seção.

2.3.1 CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ

Uma partícula se movendo com velocidade u

e transportando uma carga q está, em

geral, submetida a três forças eletromagnéticas:

s if qE qE qu B= + + ×

(2.4)

- O primeiro termo é a força eletrostática, ou força de Coulomb, a qual surge da

repulsão ou atração mútua de cargas elétricas (sE

é o campo eletrostático),

- O segundo termo é a força que a carga experimenta na presença de um campo

magnético dependente do tempo (iE

é o campo elétrico induzido pelo campo),

- O terceiro termo é a força de Lorentz, a qual surge com o movimento da carga em

um campo magnético.

A lei de Coulomb afirma que sE

é irrotacional, e a lei de Gauss estabelece a sua

divergência (Eq.2.8). Assim:

0

esE

ρε

∇⋅ =

; 0sE∇× =

(2.5.a-b)

onde eρ é a densidade de carga total (cargas livres e de ligação) e 0ε é a permissividade do

espaço livre. Em função da Eq. (2.5.b), pode-se introduzir o potencial eletrostático V ,

definido por sE V= −∇

, de maneira que da Eq. (2.5a) tem-se 20/eV ρ ε∇ = − .

Por outro lado, o campo elétrico induzido tem divergência nula, enquanto o seu

rotacional é finito e governado pela lei de Faraday (ver Eq. 2.7):

0iE∇⋅ =

; i

BE

t

∂∇× = −∂

(2.6, 2.7)


Assim, é conveniente definir o campo elétrico total como s iE E E= +

, de tal

maneira que se pode escrever de maneira generalizada:

0

eE

Lei de Gauss

ρε

∇ ⋅ =

;

BE

tLei de Faraday

∂∇× = −∂

(2.8, 2.9)

( )f q E u B= + ×

Força Eletrostática + Força de Lorentz (2.10)

Se, diferentemente de u

, E

e B

, for medido um campo elétrico em um sistema de

coordenadas fixo na carga em movimento, define-se o campo elétrico relativo/efetivo:

rf qE=

; rE E u B= + ×

(2.11, 2.12)

2.3.2 LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA

Em MHD, o interesse é na força global agindo sobre o meio, não nas forças sobre

partículas individuais. Assim, um somatório sobre um volume unitário do condutor produz:

eq

Densidade de Carga

ρ=∑

qu J

Densidade de Corrente

=∑

(2.13,2. 14)

Logo, a versão volumétrica da Eq. (2.10), isto é, da força de Lorentz é:

eF E J Bρ= + ×

Força p/ Unidade de Volume (2.15)

Por outro lado, as velocidades comumente encontradas em aplicações de

engenharia são muito menores do que a velocidade da luz e a densidade de carga é muito

pequena, de maneira que o primeiro termo da Eq. (2.15) pode ser desprezado. Assim, na

magnetohidrodinâmica de metais líquidos, a força de Lorentz é escrita na forma:

F J B= ×

Força de Lorentz volumétrica (MHD) (2.16)


Sabe-se por outro lado que à densidade de corrente, J

, em um condutor

estacionário é proporcional à força gerada pelas cargas livres, qE

, sendo descrita pela lei

de Ohm convencional como J Eσ=

(Figura 2.5a).

Figura 2.5 – Lei de Ohm em um condutor (a) estacionário e (b) em movimento.


Se, em adição, o condutor se move com velocidade u

sob um campo magnético, as

cargas livres experimentarão uma força adicional qu B×

, e a lei de Ohm é agora escrita de

maneira generalizada como (Figura 2.5b):

( )rJ E E u Bσ σ= = + ×

Lei de Ohm (MHD/Não-MHD) (2.17)

Se o condutor é um meio fluido, o campo de velocidade u

variará, em geral, com a

posição. Esta característica torna a interação entre u

e B

mais sutil e mais difícil de

quantificar.

2.3.3 LEI DE AMPÈRE

Simplificadamente, a lei de Ampère trata do campo magnético gerado por uma

distribuição de corrente (Figura 2.6). Se C é uma curva fechada, composta de elementos de

linha dℓ , e S é qualquer superfície limitada por essa curva, a lei de Ampère estabelece:

mC S

B d J dSµ⋅ = ⋅∫ ∫

ℓ Lei de Ampère (2.18)


Figura 2.6 – Lei de Ampère aplicada a um fio. Adaptado de Davidson (2001).

Essa lei pode ser entendida como a circulação do campo magnético em torno da

curva C é igual ao fluxo (densidade) de corrente através da superfície (área, S) delimitada

pela curva sobre a qual a circulação está sendo calculada. Na forma diferencial, aplicando

o teorema de Gauss, a lei de Ampère é descrita como:

mB Jµ∇× =

Lei de Ampère (2.19)

Posteriormente, Maxwell verificou que a lei necessitaria levar em conta a antes

desconhecida corrente de deslocamento (a qual se fazia necessária para satisfazer o

princípio de conservação da carga, ver Eq.2.23), de maneira que a lei passou a ser

denominada lei de Ampère-Maxwell. Na forma diferencial ela é escrita como:

0m

EB J

tµ ε

∂∇× = + ∂

Lei de Ampère-Maxwell (2.20)

Entretanto, a correção de Maxwell não é necessária em MHD de metal líquido, de

maneira que é empregada na sua forma pré-Maxwelliana dada pela Eq. (2.19).

2.3.4 LEI DE FARADAY

A lei de Faraday trata da força eletromotriz (fem) a qual é gerada em um condutor

como resultado de (i) um campo magnético variável (dependente do tempo), ou (b) do

movimento de um condutor no interior de um campo magnético (Figura 2.7).


Figura 2.7 – Lei de Faraday (a) fem gerada pelo movimento de um condutor, (b) fem

gerada por um campo magnético dependente do tempo. Adaptado de Davidson (2001).

Em um ou outro caso, a lei de Faraday pode ser escrita como:

rC S

dfem E d B dS

dt= ⋅ = − ⋅∫ ∫

ℓ Lei de Faraday/Lenz (2.21)

Onde C é uma curva fechada, composta de elementos de linha dℓ e S é qualquer

superfície limitada por essa curva. Novamente, como na Eq. (2.12), rE

é o campo elétrico

efetivo, medido em uma referência fixa na carga/elemento dℓ em movimento.

Similarmente à lei de Ampère, a lei de Faraday pode ser entendida como a circulação do

campo elétrico em torno da curva C (fem gerada) é igual ao decréscimo da taxa de variação

como tempo do fluxo (densidade) magnético através da superfície (área, S) delimitada pela

curva sobre a qual a circulação está sendo calculada.

Na forma diferencial, aplicando o teorema de Gauss e supondo que a curva é rígida

e está em repouso (e logo a carga de cada elemento dℓ ), a lei de Faraday é descrita como:

BE

t

∂∇× = −∂

Lei de Faraday(MHD/Não-MHD) (2.22)

A Eq. (2.22) é um caso especial da Eq. (2.21), sendo uma definição menos geral do

que a sua versão original. Na Eq. (2.22), a fem pode ser gerada pela variação do fluxo de

B

com o tempo, pelo movimento uniforme da curva em um campo não-homogêneo, ou

pela mudança da forma da curva. Por outro lado, a Eq. (2.22) estabelece apenas o campo

elétrico induzido por um campo magnético variante com o tempo.


2.3.5 CONSERVAÇÃO DE CARGA - DIVERGÊNCIA: 0J∇⋅ =

e 0B∇⋅ =

Conforme já citado, o requerimento de conservação da carga requer que a taxa na

qual a carga decresce em um volume de controle deve ser igual ao fluxo de carga para fora

através de sua superfície (densidade de corrente, Eq.2. 14):

eJt

ρ∂∇ ⋅ = −∂

Eq. Conservação da Carga (2.23)

Tomando o divergente em ambos os lados da equação anterior, e usando a lei de

Gauss, obtém-se:

( ) 0e e

e

u Bt

ρ ρ στ

∂ + + ∇ ⋅ × =∂

; 0

e

ετσ

= (2.24.a,b)

A quantidade eτ é o tempo de relaxação da carga, e para um condutor típico é

aproximadamente 10-18 s, um valor extremamente pequeno. Para apreciar a origem do seu

nome, considere a situação onde 0u = . Nesse caso a Eq. (2.24.a), e sua solução, são:

0e e

et

ρ ρτ

∂ + =∂

; ( ) (0) expe ee

ttρ ρ

τ

= −

(2.25a,b)

Qualquer densidade de carga líquida que, no tempo t = 0, estiver no interior de um

condutor se moverá rapidamente para a superfície sob a ação de forças de repulsão

eletrostáticas. Assim, eρ é sempre zero em condutores estacionários, exceto durante

algum minúsculo período, como, por exemplo, quando uma bateria é ligada.

Agora, considere a situação em que 0u ≠ . Desde que se está interessado em

eventos que ocorrem em uma escala de tempo muito maior do que eτ , pode-se desprezar

e

t

ρ∂∂

em comparação com /e eρ τ , de maneira que a Eq. (2.24) é escrita como:

( )0e u Bρ ε= − ∇ ⋅ ×

(2.26)


Logo, quando existe movimento, pode-se sustentar uma densidade de carga finita

no interior de um condutor. Entretanto, como se verá, eρ é muito pequena, incapaz de

produzir qualquer força elétrica significante, eEρ

, de maneira que se justifica a Eq.

(2.16).

Em termos de escalas características a equação anterior pode ser aproximada

por 0 /e uBρ ε∼ ℓ , enquanto da lei de Ohm por /E J σ ∼ , de maneira que

( ) ( )0 / / ee

uE uB J J B

τρ ε σ∼ ℓ ∼ℓ

. Por argumentos dimensionais, 18/ 10euτ −ℓ ∼ , assim, a

força de Lorentz domina completamente a Eq. (2.15), a qual passa a ser escrita como:

F J B= ×

Força de Lorentz volumétrica (MHD) (2.27)

Observa-se também que para 0u ≠ , uma hipótese básica foi desprezar et

ρ∂∂

de

maneira que a equação da conservação da carga, Eq. (2.23), passa a ser escrita como:

0J∇⋅ =

Eq. Conservação da Carga (MHD) (2.28)

Com relação à lei de Ampère-Maxwell, explicitando a densidade de corrente J

,

aplicando o divergente sobre a equação obtida e fazendo uso da lei de Gauss, obtém-se:

( )0eJ E

t t

ρε ∂∂∇ ⋅ = − ∇ ⋅ = −∂ ∂

(2.29)

Esta é exatamente a equação da conservação da carga, a qual demonstra que se a lei

de Ampère for empregada sem a corrente de deslocamento (correção de Maxwell), a

conservação da carga seria violada. Entretanto, como já citado, em condutores, o termo

e

t

ρ∂∂

é desprezível, ou, por argumentos dimensionais, a corrente de deslocamento é muito

menor do que J

. Assim a Eq. (2.19) é suficiente para análises de MHD.

mB Jµ∇× =

Lei de Ampère (MHD) (2.30)


Em adição, essa equação é consistente com a Eq. (2.28), a equação da conservação

da carga simplificada, uma vez que, tomando-se o divergente da Eq. (2.19), obtém-se a Eq.

(2.31).

Finalmente, com relação à lei de Faraday, Eq. (2.23), tomando-se o divergente em

ambos os lados, obtém-se:

( ) 0B

Et

∂∇⋅ ∇× = −∇⋅ =∂

(2.31)

Tal resultado mostra que B

t

∂∂

é solenoidal. Na realidade, o próprio B

é solenoidal:

0B∇⋅ =

(MHD/Não-MHD) (2.32)

Isto permite a introdução de um outro campo, A

, denominado vetor potencial, o

qual é definido tal que:

A B∇× =

; 0A∇⋅ =

(2.33, 2.34)

Essa definição assegura, automaticamente, que B

é solenoidal, uma vez que

( ) 0A∇ ⋅ ∇ × =

. Agora a substituição de A

na lei de Faraday, Eq. (2.23),

( ) AE A E

t t

∂ ∂∇× = − ∇× = −∇×∂ ∂

A

E Vt

∂⇒ ∇× = − − ∇

∂

(2.35)

onde V é uma função escalar arbitrária (potencial eletrostático), necessária no resultado,

tendo em vista que s iE E E= +

e as restrições impostas pelas Eqs. (2.6), 0sE∇× =

, e (7),

0iE∇ ⋅ =

.

sE V= −∇

i

AE

t

∂= −∂

(2.36a,b)


Para concluir a presente seção, é mostrado um resumo das equações que descrevem

todos os fenômenos da eletrodinâmica: as Equações de Maxwell e as equações adicionais

da força eletromagnética e da conservação da carga (materiais não magnéticos nem

dielétricos).

0

eEρε

∇⋅ =

Lei de Gauss (2.37)

BE

t

∂∇× = −∂

Lei de Faraday diferencial (2.38)

( )f q E u B= + ×

Força eletromagnética (2.39)

0m

EB J

tµ ε

∂∇× = + ∂

Lei de Ampère-Maxwell (2.40)

eJt

ρ∂∇ ⋅ = −∂

Conservação da carga (2.41)

0B∇ ⋅ =

Natureza solenoidal de B

(2.42)

Por outro lado, quando são consideradas as simplificações de MHD, as equações

da eletrodinâmica se reduzem à forma pré-maxwelliana:

B

Et

∂∇× = −∂

Lei de Faraday diferencial (2.43)

( )F J B= ×

Força eletromagnética (2.44)

( )J E u Bσ= + ×

Lei de Ohm (2.45)

mB Jµ∇× =

Lei de Ampère (2.46)

0J∇⋅ =

Conservação da carga (2.47)

0B∇ ⋅ =

Natureza solenoidal de B

(2.48)


2.3.6 EQUAÇÃO DE TRANSPORTE DO CAMPO MAGNÉTICO

Conforme já comentado, em situações em que o número de Reynolds magnético é

de moderado a elevado, o campo magnético é influenciado pelo campo de escoamento.

Para se obter a equação de transporte (advecção/difusão) do campo magnético, algumas

vezes denominada de equação da indução, para esta situação, basta combinar as leis de

Ohm, Faraday e Ampère:

( ) ( )/ / m

BE J u B u B B

tσ µ σ∂ = −∇× = −∇× − × = ∇× × − ∇×

∂

(2.49)

Notando que 2B B∇×∇× = −∇

, uma vez que B

é solenoidal, a equação da

advecção/difusão do campo magnético é:

( ) 2m

Bu B B

tλ∂ = ∇× × + ∇

∂

(2.50)

onde ( ) 1

m mλ µ σ −= é denominada de difusividade magnética. Observe-se o forte

acoplamento entre o campo do escoamento e o campo magnético, caracterizando a

interação de duas vias entre os dois campos. Condições de contorno e condições iniciais

devem ser especificadas para o campo magnético, de maneira a se estabelecer a solução de

cada problema (Shercliff, 1965).

Quando essa equação é escrita na forma adimensional, aparece um parâmetro

(adimensional) o qual indica a intensidade relativa entre a advecção e a difusão do campo

magnético. Por sua analogia com a equação de transporte de quantidade de movimento, tal

parâmetro recebeu o nome de número de Reynolds magnético, já introduzido na Eq. (2.1):

Rem mm

uuµ σ

λ= = ℓ

ℓ Número de Reynolds Magnético (2.51)

Assim, quando Rem é alto, a difusão do campo magnético é baixa, e o campo

magnético é “arrastado/advectado” pelo escoamento. Caso contrário, o campo magnético é

difundido no campo de escoamento.


2.4 EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E A FORÇA DE LORENTZ

Campos magnéticos, como qualquer outra força de campo/corpo, atuam em todo

ponto do escoamento, de maneira que seu efeito é diretamente incluído através de um

termo adicional de força por unidade de volume, a força de Lorentz por unidade de

volume. Assim, levando em conta tal força de corpo, as equações de Navier-Stokes para

um fluido incompressível com propriedades físicas constantes são escritas como:

21Du Fp u

Dtν

ρ ρ= − ∇ + ∇ +

⇒

( )21 J BDup u

Dtν

ρ ρ×

= − ∇ + ∇ +

(2.52)

Três grupos adimensionais aparecem quando a equação é escrita na forma

adimensional. O primeiro é o número de Reynolds, Reu

ν= ℓ

, o qual, como na mecânica

dos fluidos convencional, indica a razão das forças inerciais, ( )u u⋅∇ , pelas forças

viscosas, 2uν ∇ . O segundo grupo é o denominado parâmetro de interação magnética,

2BN

u u

σρ τ

= =ℓ ℓ (2.53)

onde τ é o tempo de amortecimento magnético, Eq. (2.3). O parâmetro de interação

magnética é importante em situações onde a densidade de corrente J

se deve

principalmente à u B×

na lei de Ohm. Em tal situação, N representa a razão das forças de

Lorentz, ( ) /J B ρ×

, pelas forças de inércia, ( )u u⋅∇ . Finalmente, o terceiro parâmetro

adimensional, denominado de número de Hartmann, é um híbrido de Re e N ,

representando (a sua potência quadrática) a razão das forças de Lorentz, ( ) /J B ρ×

, pelas

forças viscosas, 2uν ∇ :

( )1/2

1/2ReHa N B

σρν

= = ℓ (2.54)


2.4.1 TENSÕES DE MAXWELL

A força de Lorentz pode ser escrita em termos do campo magnético, B

, apenas.

Tendo em vista a identidade vetorial:

( )2

2

BB B B B

∇ = ⋅∇ + ×∇×

(2.55)

e a lei de Ampère, mB Jµ∇× =

, a força de Lorentz é então:

( )2

2m m

B BJ B B

µ µ

× = ⋅∇ − ∇

(2.56)

O segundo termo do lado direito da equação age sobre o fluido da mesma maneira

que a força de pressão p−∇ . Tal termo é irrotacional, de maneira que não influencia o

campo de escoamento. Em escoamentos internos, sua função é simplesmente aumentar a

pressão do fluido. Por essa razão, ( )2 / 2 mB µ

é comumente denominada de pressão

magnética. Por outro lado, o primeiro termo do lado direito pode ser escrito em notação

indicial como:

( ) i ji

j m

B BBB

xµ µ ∂⋅∇ = ∂

(2.57)

Pode-se entender, assim, que o efeito dessa parte da força de corpo é equivalente a

uma ação fictícia de tensões, ( ) /i j mB B µ , agindo na superfície de elementos fluidos.

Em suma, pode-se substituir a força de corpo de Lorentz, J B×

, por um efeito

equivalente de tensões superficiais imaginárias, denominadas tensões de Maxwell:

2

2i j

ij ijm m

B B Bτ δµ µ

= −

(2.58)

______________________________

CAPÍTULO III

Revisão Bibliográfica


3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

3.1 MAGNETOHIDRODINÂMICA EM CANAIS

A pesquisa efetuada no presente trabalho é voltada à determinação dos campos de

velocidade e de temperatura na região de entrada de um canal de placas planas e paralelas

(desenvolvimento térmico e hidrodinâmico), considerando o escoamento laminar, não-

isotérmico, de um fluido condutor elétrico sob a influência de um campo magnético. O

fluido troca calor com as placas do canal, as quais estão a temperaturas diferentes do

fluido. Conforme já citado, tal problema de convecção forçada de um fluido viscoso e

eletricamente condutor (magnetoconvecção) tem sua aplicação voltada para a indústria do

petróleo, em reatores nucleares e nos campos da engenharia metalúrgica, em particular na

produção de alumínio por eletrólise em células de redução, e no desenvolvimento de

geradores magnetohidrodinâmicos. Os interesses estão direcionados, principalmente, nos

processos da conversão de energia associados ao aumento da eficiência térmica e

energética.

Os estudos iniciais sobre essa geometria se mostraram focados apenas na dinâmica

do escoamento (Chang e Lundgren,1959; Tao, 1960, Manohar, 1966, Hwang et al. 1966).

Ao mesmo tempo, os efeitos térmicos começaram também a ser levados em conta

principalmente no estudo do problema da entrada térmica (desenvolvimento térmico sob

condições de escoamento completamente desenvolvido sob um campo magnético, o

denominado escoamento de Hartmann). Nesses estudos, as propriedades termofísicas dos

fluidos foram consideradas uniformes (Nigam e Singh, 1960; Alpher, 1961; Shohet et al.,

1962; Eraslan e Eraslan, 1969).

Posteriormente, desde que outros dispositivos magnetohidrodinâmicos (tais como

em reatores nucleares) geralmente operam a temperaturas elevadas, a atenção foi voltada

para o problema da entrada térmica magnetohidrodinâmica sob condições de propriedades

de transporte dependentes da temperatura (Heywood, 1965; Rosa, 1971; Setayesh e Sahai,

1990; Attia and Kob, 1996; Attia, 1999; Lima et al., 2007).


Embora uma melhora substancial sobre o entendimento da física governante do

escoamento magnetohidrodinâmico com transferência de calor em um canal tenha sido

realizada através desses trabalhos, é bem sabido que o escoamento no interior de tais

dispositivos dificilmente é completamente desenvolvido sobre toda a sua extensão, e que

grandes fluxos de calor podem ocorrer nas suas regiões de entrada, independente da

influência da variação das propriedades termofísicas com a temperatura.

Consequentemente, estudos sobre o desenvolvimento hidrodinâmico e sobre o

desenvolvimento simultâneo de escoamentos MHD com transferência de calor tornou-se o

objeto de muitas investigações científicas por muitos anos. Assim, a seguir são revisados,

em função do discutido nos parágrafos anteriores, alguns dos trabalhos considerados os

mais importantes para o desenvolvimento do presente trabalho.

Shercliff (1953, 1965) desenvolveu métodos aproximados para resolver o problema

da entrada magnetohidrodinâmica em medidores de vazão de seção circular, mas não

chegaram a determinar, explicitamente, perfis de velocidades.

Roidt e Cess (1962) aplicaram o método aproximado desenvolvido por Schilichting

para resolver o problema do escoamento magnetohidrodinâmico na região de entrada de

um duto plano. As equações governantes foram inicialmente linearizadas e as equações

resultantes foram resolvidas analítica ou numericamente. O perfil de velocidade na entrada

do duto foi considerado uniforme.

Manohar (1966) estudou o mesmo problema, aplicando um procedimento numérico

semelhante ao de Hartree (1949), onde os termos das equações de governo envolvendo

derivadas na direção x eram substituídos por diferenças finitas, enquanto as outras

quantidades eram substituídas por suas médias. De acordo com o autor, o método

empregado é mais acurado do que o anterior, uma vez que o mesmo corresponde apenas à

primeira iteração do esquema desenvolvido por ele.

Hwang e Fan (1963) também estudaram o mesmo problema de entrada

magnetohidrodinâmica com perfil de entrada uniforme na entrada do canal, mas

desenvolveram um esquema mais adequado de diferenças finitas para o tipo de solução das

equações não lineares que governam o problema, obtendo melhores resultados.


Maciulaitis e Loeffler (1964) empregaram o método integral de Karman-

Pohlhausen para tratar o escoamento magnetohidrodinâmico na região de entrada de um

canal, considerando um perfil de velocidade parabólico na entrada.

Posteriormente, Hwang et al. (1966), empregando um esquema de diferenças finitas

semelhante ao desenvolvido por Hwang e Fan (1963), resolveram o mesmo problema de

entrada magnetohidrodinâmica, considerando agora um perfil parabólico na entrada do

canal. Por empregarem um método mais robusto, chegaram a resultados mais confiáveis do

que os de Maciulaitis e Loeffler (1964).

Hwang (1972) analisou a região de entrada hidrodinâmica de um canal sob a

presença de um campo magnético constante através de um procedimento de linearização

das equações. Os seus resultados, considerando um perfil de velocidade parabólico na

entrada do canal, foram comparados com os produzidos por Hwang et al. (1966).

Chen e Chen (1972) adaptaram o método desenvolvido por Sparrow et al. (1964)

para o estudo de escoamentos em dutos, e analisaram a região de entrada do escoamento

magnetohidrodinâmico induzido por uma distribuição de velocidade arbitrária na entrada

do canal. Resolveram uma forma linearizada das equações de camada limite que

descrevem o escoamento.

Dentre os trabalhos pesquisados, o único trabalho que relatava a solução do

problema da entrada hidrodinâmica na presença de um campo magnético, considerando as

equações de Navier-Stokes, foi o reportado por Brandt e Gillis (1966). Empregando a

formulação de função corrente, empregaram um esquema de diferenças finitas para

resolver as equações sem recorrer a nenhum recurso simplificador.

O problema do desenvolvimento simultâneo começou a ser tratado por Shohet et al.

(1962). Considerando ambos os perfis, de velocidade e de temperatura, uniformes na

entrada do canal, resolveram o problema da entrada simultânea, discretizando as equações

na formulação de camada limite, baseando-se no método de diferenças finitas de Bodoia e

Osterle (1961). Consideraram ainda duas condições de operação do canal: como gerador,

na qual energia elétrica pode ser removida do fluido, e como bomba ou motor, na qual

energia elétrica é adicionada ao fluido, introduzindo-se uma força de corpo aceleradora no

escoamento.


Até esse ponto, todos os trabalhos citados consideram as propriedades termofísicas

e de transporte constantes. Por outro lado, como já comentado, em função das condições de

operação de determinados dispositivos, a atenção foi voltada para o estudo do problema do

escoamento sob condições de propriedades de transporte dependentes da temperatura.

Em um trabalho pioneiro, Rosa (1971) discutiu, experimental e teoricamente, o

efeito de propriedades de transporte variáveis em escoamentos sob campos magnéticos.

Lohrasbi (1987) considerou a variação das propriedades de transporte com a

temperatura em um escoamento bifásico uni-dimensional submetido a campos magnéticos.

Mittal et al. (1987) estudaram o desenvolvimento do escoamento e da transferência

de calor de dois gases compressíveis com propriedades de transporte variáveis no interior

de um canal. Assumindo que as placas estavam à mesma temperatura, resolveram

numericamente as equações parabólicas, mas limitaram o domínio de cálculo na própria

região de camada limite e não em todo domínio do canal.

Setayeshpour e Sahai (1985) também discutiram o efeito de propriedades de

transporte dependentes da temperatura na região de entrada de um canal, considerando um

tipo de condição de contorno generalizada, na qual o fluxo de calor é função linear da

temperatura local.

Finalmente, baseados nos trabalhos anteriormente citados, Setayesh e Sahai (1990)

realizaram um estudo, baseado na discretização em diferenças finitas das equações de

camada limite que governam o problema do desenvolvimento simultâneo em um canal de

placas paralelas, considerando propriedades de transporte dependentes da temperatura.

Eles consideraram um escoamento uniforme na entrada do canal, assumindo que as placas

se mantinham a temperatura constante.

O presente trabalho, galgado nos esforços desenvolvidos pelos trabalhos supra-

citados, também analisa o problema do desenvolvimento simultâneo do escoamento em um

canal de placas paralelas submetido a um campo magnético, sob um ponto de vista de uma

técnica híbrida. As placas do canal são mantidas à temperatura constante, iguais ou

diferentes, e o escoamento pode entrar no canal sob um padrão uniforme ou parabólico

sem campo magnético. Por outro lado, as propriedades termofísicas e de transporte são

consideradas constantes, embora toda a formulação matemática seja elaborada para uma

situação mais geral de propriedades de transporte dependentes da temperatura.


3.2 TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL

Nos últimos anos, devido ao avanço tecnológico, têm surgido problemas cada vez

mais complexos na área de engenharia, os quais necessitam de soluções mais acuradas e

em tempos de processamento mais reduzidos, visando o maior aproveitamento dos

recursos empregados. Esses problemas, que na sua maioria não apresentam soluções

analíticas, podem ser tratados por técnicas de aproximação numéricas, graças ao

desenvolvimento de computadores de alta velocidade de processamento e de grande

capacidade de armazenamento de dados.

Os métodos híbridos consistem de uma combinação de técnicas analíticas

associadas a aproximações numéricas e surgiram como alternativa aos métodos puramente

numéricos para a solução de problemas complexos de engenharia, antes tratados apenas

numericamente.

Com a restrição do método de separação de variáveis em resolver certas equações

diferenciais parciais lineares, como as equações de condução de calor envolvendo não

homogeneidade nas condições de contorno e/ou termos de geração na equação diferencial,

procurou-se desenvolver métodos mais gerais para o tratamento destes problemas. A

primeira tentativa nessa direção se concretizou com o estabelecimento da técnica da

transformada integral clássica (Mikhailov e Özisik, 1984), conhecida como um método

ideal para a solução analítica de certas classes de problemas difusivos lineares. Tendo

como base o método de separação de variáveis, um par transformada/inversa necessário à

solução de um dado problema é proposto considerando-se a representação de uma função

arbitrária, definida no mesmo domínio, em termos de autofunções inerentes à parte

homogênea do problema original.

A idéia básica na técnica da transformada clássica consiste em se transformar o

sistema original de equações diferenciais parciais em um sistema infinito e desacoplado de

equações diferenciais ordinárias, que possa ser facilmente resolvido. No entanto, apesar da

extensa gama de problemas passíveis de solução exata ter sido ampliada com o uso do

método da transformada integral clássica, o método é limitado à classe de problemas

lineares transformáveis, isto é, problemas que possam ser transformados em sistemas

desacoplados.


A partir do trabalho de Özisik e Murray (1974) sobre a solução de problemas

difusivos com coeficientes variáveis nas condições de contorno, e com o crescente

desenvolvimento de técnicas matemáticas e computacionais que permitiram o cálculo, cada

vez mais preciso, de sistemas de equações diferenciais não-lineares, o método foi

vislumbrado como capaz de fornecer soluções analíticas aproximadas a uma faixa muito

maior de problemas “a priori” não transformáveis, quer lineares ou não-lineares. O

progressivo desenvolvimento a partir daquele trabalho levou ao estabelecimento de um

método, denominado como Técnica da Transformada Integral Generalizada – GITT. A

idéia principal na nova metodologia generalizada é relaxar-se a necessidade de se encontrar

uma transformação integral exata que resulte em um sistema diferencial ordinário

desacoplado.

Essa nova técnica proporciona soluções de natureza híbridas numérico-analíticas

para problemas de convecção-difusão cuja transformação integral resulta em sistemas de

equações diferenciais ordinárias acopladas, ou cujos problemas auxiliares são complexos

do ponto de vista computacional. Além de ser um método computacional alternativo, a

abordagem proporcionada pela GITT é particularmente adequada na obtenção de soluções

para validação (benchmarking) de códigos numéricos, devido à sua característica de

controle automático de erro (garantia de convergência das soluções para ordens crescentes

de truncamento nas séries), mantendo ainda suas características originais de uma solução

analítica pura (soluções com um número de algarismos significativos "exatos"

(convergidos) para um determinado número de termos nas expansões).

Outro aspecto destacável do método é a extensão direta a situações

multidimensionais com um aumento não muito grande no esforço computacional,

comparativamente ao caso unidimensional. A característica híbrida é a responsável por

esse comportamento, uma vez que a solução analítica é empregada em todas as variáveis

independentes, com exceção de uma, fazendo com que a tarefa numérica seja sempre

reduzida à integração de um sistema diferencial ordinário em apenas uma direção.

Dentro desta nova filosofia, a generalização pretendida é alcançada pela definição

dos seguintes passos:


1) Escolha de um problema auxiliar que contenha tanta informação quanto possível dos

operadores do problema original. A escolha do problema auxiliar se baseia no

compromisso entre a dificuldade de sua solução e a minimização do esforço

computacional para a resolução do sistema diferencial ordinário acoplado resultante

da transformação. Alguns problemas auxiliares possuem solução analítica explícita

em termo de funções transcendentais, outros requerem solução numérica através do

método de contagem de sinal (Mikhailov e Vulchanov, 1983; Mikhailov e Özisik,

1984), ou da própria técnica da transformada integral (Cotta, 1993; Mikhailov e

Cotta, 1994).

2) Desenvolvimento do par transformada integral/inversa associado. Este é um

procedimento direto, consequência das propriedades de ortogonalidade das

autofunções advindas do problema de autovalor auxiliar.

3) Transformação integral do sistema de equações parciais. A transformação, definida

pela aplicação nas equações originais de um operador integral contendo a autofunção

do problema auxiliar, leva a um sistema diferencial ordinário infinito acoplado.

4) Resolução numérica, após truncamento em ordem suficientemente grande para uma

precisão prescrita, do sistema diferencial ordinário por meio de rotinas bem

estabelecidas. Excelentes subrotinas são encontradas em pacotes comerciais de

bibliotecas científicas, tais como a IVPAG para problemas de valor inicial

(parabólicos) e a BVPFD para problemas de valor de contorno (elípticos), ambas da

biblioteca IMSL (1991). Dependendo ainda do tipo de problema analisado, outras

subrotinas são facilmente encontradas nesta biblioteca.

5) Recuperação dos potenciais originais e correlatos, através das fórmulas analíticas de

inversão.

Segundo Cotta (1993) os problemas tratados pela técnica da transformada integral até

aquele momento podiam ser divididos nas seguintes categorias:


1) Problemas com coeficientes variáveis nas equações. Quando os coeficientes presentes

na equação diferencial parcial variam com a posição e com o tempo. Aplicações típicas

são a análise transiente de aletas com dissipação dependente do tempo e o

desenvolvimento simultâneo de escoamento em canais.

2) Problemas com coeficientes variáveis nas condições de contorno. Quando os

coeficientes presentes nas condições de contorno também variam com a posição e com

o tempo. As aplicações incluem condução de calor com número de Biot dependente do

tempo e a convecção forçada em dutos externamente aletados.

3) Problemas com contornos variáveis. Quando a posição do contorno for dependente do

tempo, tal como problema de fronteira móvel, ou quando o domínio é irregular com

respeito ao sistema de coordenadas considerado. Problemas de mudança de fase e

oxidação são exemplos práticos típicos, bem como o caso do escoamento e da

transferência de calor em dutos de geometria irregular como trocadores de calor.

4) Problemas de autovalor difíceis. Problemas comumente não tratados devido à sua

dificuldade numérica inerente. Várias aplicações se incluem nesta situação: convecção

interna transiente periódica, transferência de calor em canais com condução axial,

secagem de meios porosos.

5) Problemas não-lineares. Problemas governados principalmente pelas equações de

camada limite ou Navier-Stokes. As aplicações destas equações são as mais diversas

possíveis (Perez Guerrero e Cotta, 1995; Lima, 1995; Lima, 2000).

Posteriormente, devido aos grandes avanços alcançados pela GITT, os problemas

foram divididos em cinco grandes classes (Cotta, 1993; Cotta, 1998; Santos et al. 2001):

1) Problemas de difusão

2) Problemas de convecção-difusão

3) Problemas de autovalor

4) Equações de camada limite

5) Equações de Navier-Stokes

______________________________

CAPÍTULO IV

Formulação Matemática


4 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

4.1 MODELAGEM MATEMÁTICA

Uma bomba, gerador ou medidor de vazão magnetohidrodinâmicos podem ser

simplificadamente representados por um duto retangular horizontal, plano, semi-infinito,

em cujo interior escoa um fluido condutor elétrico, submetido a um campo magnético

transversal constante, B

. Duas das quatro placas são isoladas e as outras duas são

eletrodos, de maneira que, através delas, uma corrente elétrica pode ser imposta (bomba),

captada (gerador) ou, simplesmente elas podem ser isoladas (medidor de vazão). As placas

podem estar ou não à mesma temperatura do fluido, de maneira que transferência de calor

por convecção pode ocorrer nesses dispositivos.

A Figura 4.1 ilustra as possibilidades tecnológicas anteriormente citadas.

(a) (b) (c)

Figura 4.1 – Esquema de possibilidades tecnológicas magnetohidrodinâmicas: (a) bomba

eletromagnética, (b) gerador eletromagnético e (c) medidor de vazão eletromagnético.


Conforme já mostrado no Capítulo 3, o termo adicional que deve ser incluído nas

equações de Navier-Stokes é a força de Lorentz (Eq. 3.17), F J B= ×

. A descrição das

componentes dessa força irá depender das hipóteses adotadas para se definir os campos de

velocidade, elétrico e magnético.


No presente trabalho, são assumidas as seguintes hipóteses simplificadoras:

a) Efeitos secundários de borda desprezíveis (h << d, as placas verticais não

interferem no escoamento na porção central do canal ).

b) Escoamento bidimensional, incompressível, laminar e permanente (o vetor

velocidade é descrito por duas componentes ( , ) ( , ) ( , )x yu u x y u x y i u x y j= = +

),

c) Campo magnético externo uniforme e constante, apontando para a direção

positiva de y (o vetor campo magnético é escrito como 0B B j=

),

d) Qualquer campo elétrico externamente imposto é uniforme e constante,

apontando para a direção positiva de z (o vetor campo elétrico é escrito como 0E E k=

),

e) Campos magnéticos induzidos são desprezíveis (número de Reynolds magnético

baixo, apenas as equações da mecânica dos fluidos e da energia necessitam ser resolvidas),

f) Efeito Hall não é considerado na lei de Ohm (correntes axiais devido ao efeito da

curvatura de trajetórias de elétrons em um campo magnético e uso de eletrodos contínuos)

(Sutton e Sherman, 2006),

g) Deslizamento de íons não é considerado na lei de Ohm (correntes adicionais,

importantes apenas em gases parcialmente ionizados em um campo magnético elevado, em

gases completamente ionizados são nulas) (Sutton e Sherman, 2006),

h) Fluido eletricamente condutor e não-magnético,

i) Propriedades físicas massa específica e calor específico do fluido são constantes,

mas as propriedades de transporte e a condutividade elétrica podem variar com a

temperatura,

j) Geração de energia por dissipação viscosa é importante ( viscq µ= Φɺ ),

k) Geração de energia por efeito Joule é levada em consideração (21

jouleq Jσ

=

ɺ ),


Uma representação de uma possível configuração experimental e das características

elétricas e magnéticas empregados no presente trabalho é disponibilizada na Figura 4.2,

enquanto que a região ou plano central do canal, a qual que se caracteriza como a

verdadeira geometria analisada no trabalho (onde o escoamento e a transferência de calor

se desenvolvem), é ilustrada na Figura 4.3.

Figura 4.2 – Esquema da geometria e das características elétricas e magnéticas do canal.

Adaptado de Setayesh e Sahai (1990) e Sutton e Sherman (2006).

Figura 4.3 – Representação esquemática do problema analisado (plano central do duto).


Fazendo a substituição das equações e considerando as hipóteses (b), (c) e (d) na lei

de Ohm (Eq.2.46), a densidade de corrente é escrita como:

( ) ( )0 0 0 0x y xJ E k u i u j B j E k B u kσ σ = + + × = +

[ ]0 0 xJ E B u kσ= +

(4.1)

Tal equação demonstra que, para a configuração do problema estudado, a corrente

induzida, e a corrente devido ao campo eletrostático (quando aplicado), se dá apenas na

direção z (dos eletrodos), com intensidade [ ]0 0 xJ E B uσ= + .

Agora, substituindo a Eq. (4.1) na expressão da força de Lorentz (Eq. 3.17):

[ ]( ) ( )0 0 0xF J B E B u k B jσ= × = + ×

( )0 0 0 xF B E B u iσ= − +

(4.2)

Logo, a força de Lorentz, F J B= ×

, atua apenas na equação da quantidade do

movimento na direção x, com intensidade ( )0 0 0 xF B E B uσ= − + .

Em relação à equação da energia, a dissipação por efeito Joule é facilmente

mensurável, tendo em vista da hipótese (k):

[ ]( )2 2

2 0 0

1 1xq J E B uσ

σ σ= = +

ɺ (4.3)

( )2

0 0Joule xq E B uσ= +ɺ (4.4)

Com o interesse de se estudar a influência da condição de entrada sob o

desenvolvimento do escoamento e da transferência de calor, considera-se que o

escoamento pode entrar no canal de duas maneiras: sob perfil uniforme de velocidade ou

sob perfil parabólico do escoamento completamente desenvolvido sem campo magnético.

O perfil de temperatura na entrada é uniforme, podendo ser maior ou menor do que as

temperaturas das placas.


Em função das hipóteses simplificadoras e assumindo ainda que a formulação

parabólica de camada limite representa adequadamente o escoamento, o problema é

modelado em variáveis primitivas (adotando como * ( , )xu u x y= e * ( , )yv u x y= ) por:

* *

* *0

u v

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

(4.5)

( ) ( ) ( )* ** * * *

0* * * * * *0 0* * * * *

1 1 T Bu u P uu v T E B u

x y x y y

σµ

ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(4.6)

*

*

10

P

yρ∂= −∂

(4.7)

( ) ( ) ( ) ( )2* * * * * * ** * *

2* * * *0 0* * * * *

p p p

k T T T TT T uu v E B u

x y y c y c y c

µ σρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(4.8)

Em função do uso da formulação de camada limite, o termo de geração de energia

por dissipação viscosa é descrito por ( )2*

* **visc

uq T

yµ ∂= ∂

ɺ .

As equações acima são submetidas às condições de entrada e de contorno:

* 0 :x = ( )* * *0, ( )eu y u y=

* 0 :x = ( )* *0, 0v y =

( )* *0, eT y T=

(4.9)

* 0 :y = ( )* * ,0 0u x = * :y h= ( )* * , 0u x h =

( )* * ,0 0v x = ( )* * , 0v x h =

( )* * *1,0 wT x T= ( )* * *

2, wT x h T=

(4.10a-f)


Onde, µ∗, ρ∗, cp

∗, k∗ e σ∗, denotam, respectivamente, a viscosidade dinâmica, a

massa específica, o calor específico, a condutividade térmica e a condutividade elétrica do

fluido. Os subescritos e e w denotam, respectivamente, condições na entrada e nas paredes

do canal (1 - parede inferior, 2 - parede superior). O asterisco indica variável dimensional.

Com relação à dependência das propriedades de transporte com a temperatura,

conforme sugerido por Heywood (1965), Thompson e Bopp (1970), Rosa (1971) e Doss et

al. (1981), na faixa de temperatura em que geradores magnéticos operam, a viscosidade e

as condutividades elétrica e térmica podem ser descritas pelas relações exponenciais:

( ) ( )* * *

* * *1 *

1

,w

w

T x yT

T

α

µ µ =

(4.11)

( ) ( )* * *

* * *1 *

1

,w

w

T x yT

T

β

σ σ =

; 0β ≥ (4.12)

( ) ( )* * *

* * *1 *

1

,w

w

T x yk T k

T

γ =

; 0γ ≥ (4.13)

4.2 .ADIMENSIONALIZAÇÃO E GRUPOS ADMENSIONAIS

Com o objetivo de simplificar o processo de solução das equações governantes,

definem-se os seguintes grupos adimensionais.

*12

w

e

x xh U

µρ

= *y

yh

=

*

e

uu

U=

*

1w

h vv

ρµ

=

(4.14)

*

2e

e

p pp

Uρ−=

*

1w

µµµ

=

*

1w

σσσ

=

*

1w

kk

k=

*1

1

w

e w

T TT

T T

−=−

1

1

w pr

w

cP

k

µ=

( )2

1

e

c

p e w

UE

c T T=

−

*0

0

z

e

EE

U B=

1/2*1

0 *1

wa

w

H B hσµ

=


Nesses grupos, eU , eT e pe denotam, respectivamente, a velocidade média, a

temperatura média e a pressão na entrada do canal. O sobrescrito w1, indica propriedade

física avaliada nas condições da parede inferior do canal. Para a física estudada, rP é o

número de Prandtl, cE é o número de Eckert, Ha é o número de Hartmann e Ez é o

potencial elétrico imposto nos eletrodos do canal.

Empregando-se os grupos adimensionais anteriores, as equações de governo são

escritas adimensionalmente:

0u v

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

(4.15)

( ) ( ) ( )2a z

u u P uu v T T H E u

x y x y yµ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(4.16)

0P

y

∂= −∂

(4.17)

( ) ( ) ( )2

2 21( )c c a z

r

T T T uu v k T E T E T H E u

x y P y y yµ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(4.18)

Submetidas às respectivas condições de entrada e de contorno adimensionais:

0 :x = ( )0, ( )eu y u y=

( )0, 0v y =

( )0, 1T y =

(4.19a-c)

0 :y = ( ),0 0u x = 1:y = ( ),1 0u x =

( ),0 0v x = ( ),1 0v x =

( ),0 0T x = ( ) 2 1

211

,1 w ww

e w

T TT x T

T T

−= ≡−

(4.19d-i)


A dependência funcional das propriedades passa a ser descrita por:

( ) ( )1 ewT Tαµ θ= + (4.20)

( ) ( )1 ewT Tβσ θ= + ; 0β ≥ (4.21)

( ) ( )1 ewk T Tγθ= + ; 0γ ≥ (4.22)

Os coeficientes exponenciais α , β e γ caracterizam o comportamento do tipo de

fluido analisado. Por exemplo, 0α < caracteriza os líquidos, 0α > caracteriza um gás.

O parâmetro de entrada ewθ representa a relação entre a temperatura de entrada do

fluido e da placa inferior:

1

1eew

w

T

Tθ = − (4.23)

4.3 PRINCIPAIS PARÂMETROS DE COMPARAÇÃO

Além dos próprios campos de velocidade e temperatura, outros parâmetros

relacionados a esses campos se fazem necessários para a avaliação e validação do trabalho.

É de especial interesse a avaliação do gradiente de velocidade na parede, o qual está

associado com o fator de atrito (potência de bombeamento), a temperatura média de

mistura, o número de Nusselt médio local (coeficiente de transferência de calor convectivo

médio local) e a corrente total que atua no sistema.

a) Coeficiente de atrito médio local, ( )*mf x – É função da tensão de cisalhamento

média nas paredes do canal (gradiente de velocidade médio). É associado aos

requisitos de potência para bombeamento do fluido, sendo definido por:

*

*

2( )

12

wmm

e

f xUρ

τ= (4.24)


onde,

( ) ( )* * *

* * * * * *** * *

0 * 0 *

1x

wm

y y h

u uT T wdx

A y yµ µτ

= =

∂ ∂ = − ∂ ∂ ∫ (4.25)

A* é a área total da superfície onde ocorre o cisalhamento (placas superior e

inferior), dada por A* = 2.w.x* (Figura 4.2).

Na forma adimensional, o coeficiente de atrito e a tensão na parede, médios locais,

são escritos como:

( ) wmmf x

x

τ= (4.26)

( ) ( )0 0 1

x

wm

y y

u uT T dx

y yµ µτ

= =

∂ ∂ = − ∂ ∂ ∫ (4.27)

b) Número de Nusselt médio local, ( )*mNu x – É função do fluxo de calor nas

paredes do canal, sendo definido por:

( ) ( )( )

* *

*

* *=

m h

m

m

h x DNu x

k x (4.28)

Sendo *mh o coeficiente médio local de transferência de calor por convecção, para

um comprimento x* de canal no qual há transferência de calor em ambas as placas:

( ) ( )( ) ( )

* *

* *

* * * * m

ml

Q xh x

A x T x=

∆ (4.29)

Q*(x*) é o taxa total de calor desde a entrada do canal até uma posição x*:

( ) ( ) ( )* *

* *

* ** * * * ** * * **

* *0 00

+ x x

y y h

T TQ x k T wdx k T wdx

y y= =

∂ ∂= − − ∂ ∂ ∫ ∫ (4.30)


Conforme feito para o coeficiente de atrito, A* é a área total da superfície onde

ocorre a transferência de calor (placas superior e inferior), A* = 2.w.x* (Figura 4.2).

Dh é o diâmetro hidráulico, que para a presente geometria é dado por Dh = 4b = 2h.

A diferença de temperatura média logarítmica é definida:

( ) ( ) ( )*

*

* * * *1 1,* *

* *1

* *1,

ln

e w wb x

ml

e w

wb x

T T T TT x

T T

T T

− − −∆ =

− −

(4.31)

Finalmente, a condutividade térmica média local do fluido, ( )* *mk x , é escrita como

a média aritmética entre a condutividade na entrada no canal e a condutividade à

temperatura média local em uma posição x*:

( )* *

, ** * 2

e b xm

k kk x

+= (4.32)

( )* * * *, * , *b x b xk k T T= = (4.33)

Na forma adimensional, esses parâmetros são escritos como:

( ) ( )( ) m

mm

h xNu x

k x= (4.34)

( )

( )mml

Q xh x

x T=

∆ (4.35)

( ) ( ) ( )0 0 1

x

y y

T TQ x k T k T dx

y y= =

∂ ∂ = − + − ∂ ∂ ∫ (4.36)

( ) ( )( ),

,

1

lnb x

ml

b x

TT x

T

−∆ = (4.37)

( ) ,

2e b x

m

k kk x

+= (4.38)

( ), ,b x b xk k T T= = (4.39)


c) Temperatura média de mistura, , *b xT – Por definição, a temperatura média de

mistura é dada por:

( )( ) ( )

( )

* * * * * * *

* 0, *

* * * *

0

, ,

=

,

h

b x b h

u x y T x y wdy

T T x

u x y wdy

≡∫∫

(4.40)

Empregando-se os grupos adimensionais, a temperatura média é reescrita como:

( ) ( ) ( )1* *

, * 1, * *

1 0

, ,b x wb x b

e w

T TT T x u x y T x y dy

T T

−≡ = =

− ∫ (4.41)

d) Número de Graetz, Gz – Variável relacionada ao inverso da posição

longitudinal e diretamente proporcional ao número de Peclet ( Re PrDHPe= ):

*

Re Pr 4Pr

2

DHGzx x

h

= = (4.42)

e) Número de Hartmann Efetivo, efHa – Quando as propriedades

termofísicas/transporte são dependentes da temperatura, o número de Hartmann

real, em cada posição no duto, pode ser diferente do valor na referência,

definida como a parede inferior do canal, Eq. (4.14). Assim, define-se o número

de Hartmann efetivo, dependente da temperatura em cada posição, nas formas

dimensional e adimensional como:

( )( ) ( )( )

1/2* *

* * *0 * *

,ef

THa T x y B h

T

σµ

=

(4.43)

( )( ) ( )( )

1/2

,ef

THa T x y Ha

T

σµ

=

(4.44)


f) Corrente Total, * *( )totI x – A corrente total por unidade de comprimento do

canal, em cada posição x ao longo dos eletrodos, induzida pelo ou imposta

sobre o escoamento, pode ser escrita como:

* * * *

0

( )h

totI x J dy= ∫

(4.45)

Onde * *zJ J=

é a densidade de corrente elétrica, dada pela lei de Ohm, Eq. (4.1),

( ) ( )* * * * * *0 0 ,zJ T E B u x yσ = + .

Logo, definindo-se uma corrente elétrica adimensional, a corrente total pode ser

escrita na forma:

( ) ( )1*

*0 1 0

( ) tottot z

e w

II x T E u dy

U B hσ

σ≡ = +∫ (4.46)

Se um potencial eletrostático externamente aplicado é negativo e de módulo maior

do que campo induzido (0 0 00, xE E E u< > ), o sinal da corrente no circuito será invertido

(lei de Ohm, [ ]0 0 xJ E B u kσ= +

), mudando também o sinal da força de Lorentz (J B×

).

Para essa situação, o sentido da corrente é o sentido negativo de z, e o sentido da força de

Lorentz é o mesmo do escoamento (x positivo). Tal dispositivo é denominado de bomba

magnetohidrodinâmica (Figura 4.1a).

Por outro lado, quando o potencial elétrico é nulo (E0 = 0, ou pequeno e positivo), é

induzida uma densidade de corrente na direção positiva de z, ( ) ( )* * * * * *0 ,zJ B T u x yσ= ,

em cada posição (x, y) ao longo dos eletrodos. Assim, a corrente total é escrita para essas

condições como:

( ) ( )1

0

( ) ,totI x T u x y dyσ= ∫ (4.47)


Em adição, a força de Lorenz, como descrita pela Eq. (4.2) é semelhante a um

gradiente de pressão contrário ao escoamento, ( ) ( )20 ,F T B u x y iσ= −

. Logo, para essa

condição, parte da energia mecânica do escoamento é convertida em energia elétrica e

calor. Tal dispositivo é denominado de gerador magnetohidrodinâmico (Figura 4.1b).

Finalmente, quando as placas-eletrodo verticais não são condutoras elétricas, ou

estão isoladas, diz-se de um circuito aberto e 0totI ≡ . O potencial elétrico nos eletrodos é

então calculado por:

( )

( )

1

01

0

( )z

T u dy

E x

T dy

σ

σ= −∫∫

(4.48)

Note que, para o caso de condutividade elétrica constante, o potencial elétrico é igual

ao negativo da velocidade média do escoamento no canal e a força de Lorentz é nula sobre

o escoamento ( 0J =

), de maneira que, para essa situação, o canal pode se empregado

como um medidor magnetohidrodinâmico de vazão (Figura 4.1c).

( ) ( )1

0

( ) ,zE x u x y dy u x= − ≡∫ (4.49)

______________________________

CAPÍTULO V

Metodologia de Solução


5 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO

5.1 FORMULAÇÃO EM FUNÇÃO CORRENTE

A função corrente descreve os escoamentos bidimensionais e incompressíveis,

satisfazendo automaticamente a lei de conservação da massa para tais escoamentos. A

vantagem do uso da formulação em função corrente é a fácil visualização das linhas de

corrente do escoamento. Sob um ponto de vista de modelagem, além da redução do

número de equações a serem resolvidas, o seu uso elimina a necessidade do cálculo da

pressão, ou gradiente de pressão, para determinação do campo de velocidade.

No caso particular de trabalhos anteriores que empregaram a técnica da

transformada integral generalizada (Pimentel, 1993 e Santos et al., 2001), o uso da

formulação em função corrente também apresentou taxas numéricas de convergência mais

acentuadas do aquelas que empregavam a formulação em variáveis primitivas.

A transformação para essa nova variável é efetuada pela aplicação do operador

rotacional nas equações de quantidade de movimento (Eqs. 4.16 e 4.18), e uso da definição

da função corrente:

( ) ( ),,

x yu x y

y

ψ∂=

∂ ; ( ) ( ),

,x y

v x yx

ψ∂= −

∂ (5.1)

Nessa nova variável, a formulação matemática do problema é escrita como:

( ) ( )3 3 2

22 3 2 zT Ha T E

y x y x y y y y y y

ψ ψ ψ ψ ψ ψµ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(5.2)

( ) ( ) ( )2 22

22

1

Pr c c z

T T Tk T E T E Ha T E

y x x y y y y y

ψ ψ ψ ψµ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.3)


As condições de entrada e de contorno são também convertidas para essa

formulação, após alguma manipulação matemática:

Condições de Entrada:

0 :x = ( ) 2 3

; Perfil uniforme0, ( )

3 2 ; Perfil parabólicoe

yy y

y yψ ψ

= = −

( )0, 0yx

ψ∂ =∂

( ) ( )0, 1 ; Perfil uniformeeT y T y= =

(5.4.a-c)

Condições de Contorno:

0 :y = ( ),0 0xψ = 1:y = ( ),1 1xψ =

( ),0 0xy

ψ∂ =∂

( ),1 0xy

ψ∂ =∂

( ),0 0T x = ( )

* *2 1

21 * *1

,1 w ww

e w

T TT x T

T T

−= ≡−

(5.5.a-f)

5.2 FILTRAGEM DOS CAMPOS DE FUNÇÃO CORRENTE E TEMPERATURA

Apesar de sua vantagem, o uso dessa formulação introduz uma não-homogeneidade

na condição de contorno relativa à parede superior, Eq. (5.5.d). Adicionalmente, caso as

temperaturas das placas sejam diferentes, a condição de contorno de temperatura para a

placa superior também será não homogênea, Eq. (5.5.f).

Para que essa característica, indesejada ao uso da técnica da transformada integral,

seja eliminado, trabalhos anteriores (Machado, 1995; Figueira da Silva, 1994; Pimentel,

1993 e Santos et al., 2001) propuseram a aplicação de um procedimento denominado de

filtragem dos campos, o qual consiste na separação dos campos originais em duas partes:

um campo filtrado, que possuirá condições de contorno homogêneas, e um filtro que

carrega a não homogeneidade original.


A eficiência desse procedimento é ditada pelo filtro que se apresentar como uma

solução analítica, a mais representativa possível porém simples, do comportamento

característico da solução do campo original. Uma vantagem adicional verificada nos

trabalhos anteriormente citados é o enfraquecimento dos termos fontes das equações,

responsáveis pelo atraso no processo de convergência dos métodos numéricos, e em

particular, das expansões empregadas na técnica da transformada integral.

Sob esta perspectiva é proposto um processo de filtragem para o campo de função

corrente e para o campo de temperatura na forma:

( ) ( ) ( ), , Fx y x y yψ φ ψ= +

( ) ( ) ( ), , FT x y x y T yθ= +

(5.6)

(5.7)

As equações de governo são reescritas como:

( ) ( )

33 3

2 3 3

222

2 2

F F

F Fz

d d

y dy x y x y dy

d dT Ha T E

y y y dy y y dy

ψ ψφ φ φ φ

ψ ψφ φµ σ

∂ ∂ ∂ ∂+ − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(5.8)

( )

( ) ( )2222

22 2

1

Pr

F F F

F Fc c a z

d dT dTk T

y dy x x y dy y y dy

d dE T E H T E

y dy y dy

ψφ θ φ θ θ

ψ ψφ φµ σ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ + + + + ∂ ∂

(5.9)

Com condições de entrada:

0 :x = ( )0, ( ) ( )e Fy y yφ ψ ψ= −

( )0, 0yx

φ∂ =∂

( ) ( )0, ( ) 1 ( )e F Fy T y T y T yθ = − = −

(5.10.a-c)


E condições de contorno:

0 :y = ( ),0 0xφ = 1:y = ( ),1 0xφ =

( ),0 0xy

φ∂ =∂

( ),1 0xy

φ∂ =∂

( ),0 0xθ = ( ),1 0xθ =

(5.11.a-f)

5.2.1 EXPRESSÃO DO FILTRO PARA O CAMPO DA FUNÇÃO CORRENTE

O filtro empregado neste trabalho para o campo de função corrente é a solução do

próprio escoamento na região completamente desenvolvida, considerando-se propriedades

de transporte constantes. Assim, o modelo matemático desse filtro é dado por,

( ) ( )4 22

4 20 F Fd y d y

Hady dy

ψ ψ= − (5.12)

0 :y = ( )0 0Fψ = 1:y = ( )1 1Fψ =

( )0 0Fd

dy

ψ = ( )1 0Fd

dy

ψ = (5.13.a-d)

A solução dessa equação diferencial submetida às respectivas condições de

contorno é facilmente obtida através do “software” de manipulação algébrica/simbólica

Mathematica (Wolfram, 2009):

( )

( )

2 3

1 1 1cosh sinh sinh 1 2

2 2 2 , 0

1 1cosh 2sinh

2 2

3y 2y , 0

a a a a

a

a a a

F

a

H H y H H yH

H H Hy

H

ψ

− + − ≠

− = − =

(5.14)


As expressões para as suas derivadas são também facilmente obtidas:

( ) ( )

( )

( )2

1 1cosh cosh 1 2

2 2 , 0

1 1cosh 2sinh

2 2

6 , 0

a a a

a

a a aF

F

a

H H H y

HH H Hd y

u ydy

y y H

ψ

− − ≠

− = = − =

(5.15)

( ) ( )

( )2

2

2

1sinh 1 2

2 , 0

1 1cosh 2sinh

2 2

6 12 , 0

a a

a

a a aF F

a

H H yH

H H Hd y du y

dy dy

y H

ψ

− ≠

− = =

− =

(5.16)

( ) ( )

( )3

3 2

3 2

1cosh 1 2

2 , 0

1 1cosh 2sinh

2 2

12 , 0

a a

a

a a aF F

a

H H yH

H H Hd y d u y

dy dy

H

ψ

− − ≠

− = =

− =

(5.17)

5.2.2 EXPRESSÃO DO FILTRO PARA O CAMPO DE TEMPERATURA

Expressões analíticas gerais, que levassem em consideração o efeito dos números

de Hartmann e Eckert sobre o campo de temperatura, poderiam ser buscadas (como

realizado para o filtro da função corrente, o qual leva em conta o efeito do número de

Hartmann no desenvolvimento do escoamento). No entanto, por simplicidade, considerou-

se um filtro o qual corresponde à solução da equação da energia com apenas um termo na

equação, o termo de condução pura, considerando-se propriedades termofísicas constantes.


Logo, o modelo matemático do filtro para a equação da energia é dado por,

( )2

20Fd T y

dy= (5.18)

0 :y = ( )0 0FT = ; 1:y = ( )* *2 1

21 * *1

1 w wF w

e w

T TT T

T T

−= ≡−

(5.19a,b)

A solução dessa equação diferencial de segunda ordem (e sua derivada) é

facilmente obtida como:

( ) 21F wT y T y= ; ( ) 21F

w

dTy T

dy= (5.20a,b)

5.3 PROBLEMAS DE AUTOVALOR AUXILIARES

Conforme comentado na revisão bibliográfica, o primeiro passo na aplicação da

técnica da transformada integral é a escolha de funções auxiliares que servirão de base para

as expansões dos campos originais (os campos de função corrente e temperatura). No

método dos elementos finitos, por exemplo, estas funções são denominadas de funções de

ponderação. A diferença básica é que, na técnica da transformada integral, as soluções são

normalmente associadas a problemas de autovalor cujas soluções são expressas em termos

de funções transcendentais das variáveis espaciais no domínio de cálculo, enquanto que

nos outros métodos numéricos as funções são, normalmente, polinomiais de primeiro e/ou

segundo graus.

5.3.1 PROBLEMA DE AUTOVALOR PARA O CAMPO DE FUNÇÃO CORRENTE Para a formulação da função corrente, o problema de autovalor auxiliar é obtido a

partir da versão linear homogênea das equações de Navier-Stokes para escoamento laminar

(parte difusiva), resultando em uma equação diferencial ordinária de quarta ordem, que

deve satisfazer os critérios estabelecidos por Chandrasekhar e Reid (1957).


De acordo com Perez Guerrero e Cotta (1995, 1996), o problema de autovalor é

governado pela equação diferencial:

( ) ( )4

44

ii i

d Y yY y

dyµ=

ɶɶ (5.21)

Submetida às condições de contorno homogêneas, associadas ao problema original:

0 :y = ( )0 0iY =ɶ 1:y = ( )1 0iY =ɶ

( )0 0idY

dy=

ɶ ( )1 0idY

dy=

ɶ

(5.22a-d)

A solução (autofunções) desse problema auxiliar é dada por:

( )

1 1cos cosh

2 2 ; i = 1,3,5, ...

cos cosh2 2

1 1sin sinh

2 2 ; i = 2,4,6, ...

sin sinh2 2

i i

i i

i

i i

i i

y y

Y y

y y

µ µ

µ µ

µ µ

µ µ

− − −

=

− − −

ɶ

(5.23)

Em função das condições de contorno, Eqs. (5.22.a-d), os autovalores são as

soluções da equação transcendental:

cosh .cos 1i iµ µ = (5.24)

As autofunções apresentam a seguinte propriedade de ortogonalidade:

( ) ( )1

0

;

0 ; i

i j

N i jY y Y y dy

i j

== ≠∫ ɶ ɶ (5.25)


A norma associada a estas autofunções é dada por:

( )1

2

0

1i iN Y y dy= =∫ ɶ (autofunção autonormalizada) (5.26)

Uma vez definidas as autofunções, os autovalores e a norma, o par transformada

integral/inversa é definido como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

0

1

, dy transformada integral

, inversa

i i

ii

i

x Y y x y

x y Y y x

φ φ

φ φ∞

=

= =

∫

∑

ɶ

ɶ

(5.27

(5.28)

Finalmente, o operador integral a ser aplicado na equação do problema original e

respectiva condição de entrada (multiplicação da Eq. (5.8) e das Eqs. (5.10.a-b) pela

autofunção, seguida de integração no domínio) é escrito como:

( ) 1

0

Eqs. (5.8,5.10.a-b) dyiY y∫ ɶ (5.29)

5.3.2 PROBLEMA DE AUTOVALOR PARA O CAMPO DE TEMPERATURA Da maneira similar ao realizado para o campo de função corrente, o problema de

autovalor auxiliar para o campo de temperatura é obtido a partir da versão linear

homogênea da equação da energia (parte difusiva, condução pura), resultando em uma

equação diferencial ordinária de segunda ordem, satisfazendo as condições de contorno

associadas ao problema original. Assim, o problema de autovalor auxiliar é governado pela

equação diferencial:

( ) ( )2

22

ii i

d C yC y

dyβ= − (5.30)


Submetido às condições de contorno homogêneas:

0 :y = ( )0 0iC = 1:y = ( )1 0iC = (5.31a,b)

A solução (autofunções) desse problema auxiliar é dada por:

( ) ( )sini iC y yβ= (5.32)

Em função das condições de contorno, Eqs. (54, 55), os seguintes autovalores são

obtidos:

, 1,2,3,...i i iβ π= = (5.33)

As autofunções apresentam a seguinte propriedade de ortogonalidade:

( ) ( )1

0

;

0 ; i

i j

M i jC y C y dy

i j

== ≠∫ (5.34)

A norma associada a estas autofunções é avaliada por:

( )1

2

0

1

2i iM C y dy= =∫ (5.35)

Por questões de simplicidade, é empregada uma autofunção autonormalizada,

definida como:

( ) ( ) ( )1/22 sini

i ii

C yC y y

Mβ= =ɶ Autofunção autonormalizada (5.36)

( ) ( )1

0

1 ;

0 ; i j

i jC y C y dy

i j

== ≠∫ ɶ ɶ (5.37)


Uma vez definidas as autofunções, os autovalores e a norma, o par transformada

integral/inversa é definido como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

0

1

, dy transformada integral

, inversa

i i

ii

i

x C y x y

x y C y x

θ θ

θ θ∞

=

= =

∫

∑

ɶ

ɶ

(5.38)

(5.39)

Finalmente, o operador integral a ser aplicado na equação do problema original e

respectiva condição de entrada (multiplicação da Eq. (5.9) e das Eqs. (5.20.a-c) pela

autofunção, seguida de integração no domínio) é escrito como:

( ) 1

0

Eqs. (5.9,5,10.a-c) dyiC y∫ ɶ (5.40)

5.4 TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DAS EQUAÇÕES

Uma vez estabelecidos os problemas de autovalor auxiliares, o passo seguinte na

metodologia integral consiste na denominada transformação integral do sistema de

equações.

A transformação integral é entendida como a aplicação dos operadores integrais,

definidos nas Eqs. (5.45 a 5.48), nas respectivas equações de governo:

( ) ( )

1 33 3

2 3 30

1 222

2 20

( )

( )

F Fi

F Fi z

d dY y dy

y dy x y x y dy

d dY y T Ha T E dy

y y y dy y y dy

ψ ψφ φ φ φ

ψ ψφ φµ σ

∂ ∂ ∂ ∂ + − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫

∫

ɶ

ɶ

(5.41)


( ) ( )

( )

1

0

21 1 22

2 20 0

2

( )

1( ) ( )

Pr

( )

F Fi

F Fi i

Fa i z

d dTC y dy

y dy x x y dy

dT dC y k T dy Ec C y T dy

y y dy y dy

dEc H C y T E

y dy

ψφ θ φ θ

ψθ φµ

ψφσ

∂ ∂ ∂ ∂+ − + = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂

∂+ + + ∂

∫

∫ ∫

ɶ

ɶ ɶ

ɶ

21

0

dy

∫

(5.42)

E nas condições de entrada:

0 :x = ( ) 1 1

0 0

( ) 0, ( ) ( ) ( )i i e FY y y dy Y y y y dyφ ψ ψ= −∫ ∫ɶ ɶ (5.43)

( ) 1 1

0 0

( ) 0, ( ) 1 ( )i i FC y y dy C y T y dyθ = −∫ ∫ɶ ɶ (5.44)

Finalmente, após uso das fórmulas de inversão, das propriedades de ortogonalidade

das autofunções e das condições de contorno, o seguinte sistema infinito de equações

diferenciais ordinárias acopladas, para os campos transformados na direção x, é obtido:

1

( )( ) ( ) , 1,...,k

ik i

k

d xA x B x i

dx φφ

∞

=

= = ∞∑ (5.45)

1 1

( )( )( ) ( ) ( ) , 1,...,jk

ik ij

k j

d xd xG x H x Bi x i

dx dx θφθ

∞ ∞

= =

− = = ∞∑ ∑ (5.46)

Com condições de entrada transformadas:

0 :x = 1

0

(0) ( ) ( ) ( ) , 1,...,i i e FY y y y dy iφ ψ ψ= − = ∞∫ ɶ (5.47)

1

0

(0) ( ) 1 ( ) , 1,...,i i FC y T y dy iθ = − = ∞∫ ɶ (5.48)


Os coeficientes que aparecem no sistema transformado de equações, resultantes do

processo de transformação integral, levam em conta todos os termos lineares e não-lineares

das equações originais, sendo definidos como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3

'' ' '''i k 3

0

, ,Y ( ) Y ( ) Y ( )ik F k F

x y x yA x y y y y y dy

y y

φ φψ ψ

∂ ∂ = + − + ∂ ∂ ∫ ɶ ɶ ɶ (5.49)

( ) ( )

( )

1 22''

2 20

12 '

0

( )

( )

Fi i

Fi z

dB x Y y T dy

y dy

dHa Y y T E dy

y dy

φψφµ

ψφσ

∂ = + + ∂

∂ − + + ∂

∫

∫

ɶ

ɶ

(5.50)

1'

i k0

( , )( ) C ( )C ( ) ( )ik F

x yG x y y y dy

y

φ ψ ∂= + ∂ ∫ ɶ ɶ (5.51)

1'

i j0

( , )( ) C ( )Y ( ) ( )ij F

x yH x y y T y dy

y

θ ∂= + ∂ ∫ ɶ ɶ (5.52)

( )

( )

( )

1' '

0

21 2''

i 20

212 '

i0

1 ( , )( ) C ( ) ( )

Pr y

( , ) C ( ) ( )

( , ) C ( ) ( )

iT i F

c F

c z F

x yB x y k T T y dy

x yE y T y dy

y

x yE Ha y T E y dy

y

θ

φµ ψ

φσ ψ

∂= − + + ∂

∂ + + ∂

∂ + + + ∂

∫

∫

∫

ɶ

ɶ

ɶ

(5.53)

Nos integrandos, o apostrofe (') denota diferenciação em relação à coordenada

transversal y.


Vislumbrando uma metodologia com características totalmente numéricas, todos os

coeficientes são obtidos numericamente através de regras de quadratura de integração (no

caso de propriedades constantes, todos os coeficientes podem ser obtidos analiticamente).

A subrotina DFQRUL do pacote de bibliotecas científicas IMSL (1991) adota as

quadraturas de Fejer para integração numérica, sendo empregada no presente trabalho na

sua versão de dupla precisão. De acordo com a precisão requerida para a integração, são

utilizados tantos pontos de quadratura quantos necessários (NQR).

Para a efetivação da solução computacional, o sistema infinito de equações

diferenciais ordinárias acopladas, Eqs. (5.45) a (5.48), deve ser truncado em um número

finito e suficiente de termos, N (função corrente: Nφ, temperatura: Nθ) de acordo com a

precisão pré-estabelecida para avaliação dos campos transformados (quanto maior o

número de termos nas expansões/séries, maior a precisão dos resultados). O sistema

truncado é resolvido através da subrotina para problema de valor inicial DIVPAG, do

pacote IMSL (1991), na sua versão em dupla precisão.

5.5 RECUPERAÇÃO DOS PRINCIPAIS CAMPOS

Os campos originais e alguns parâmetros correlatos podem agora ser avaliados a

partir de suas definições e do uso das fórmulas de inversão.

a) Campo de Função Corrente:

1

( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

N

iF i F

i

x y x y y Y y x y

φ

ψ φ ψ φ ψ=

= + = +∑ ɶ (5.54)

b) Campo de Velocidade:

( ) ' ' '

1

( , ) ( , ), ( ) ( ) ( ) ( )

N

iF i F

i

x y x yu x y y Y y x y

y y

φψ φ ψ φ ψ

=

∂ ∂≡ = + = +∂ ∂ ∑ ɶ (5.55)

( )1

( , ) ( , ) ( ), ( )

N

ii

i

x y x y d xv x y Y y

x x dx

φψ φ φ

=

∂ ∂≡ − = − = −∂ ∂ ∑ ɶ (5.56)


c) Coeficiente de Atrito:

( ) wmmf x

x

τ= ; ( ) ( )0 0 1

x

wm

y y

u uT T dx

y yµ µτ

= =

∂ ∂ = − ∂ ∂ ∫ (5.57, 5.58)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 20 0 1

2 2'' ''

2 20 0 1

x

wm

y y

x

F F

y y

T T dxy y

T y T y dxy y

ψ ψµ µ

ψ ψµ ψ µ ψ

τ= =

= =

∂ ∂ = − ∂ ∂

∂ ∂ = + − + ∂ ∂

∫

∫ (5.59)

( ) ( )

( ) ( )

'' ''

0 1 0

'' ''

0 1 1

( ) ( )

( ) ( )

Nx

iwm i F

i y

Nx

ii F

i y

T Y y x y dx

T Y y x y dx

φ

φ

µ φ ψ

µ φ ψ

τ= =

= =

= +

− +

∑∫

∑∫

ɶ

ɶ

(5.60)

d) Campo de Temperatura:

1

( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

N

iF i F

i

T x y x y T y C y x T y

φ

θ θ=

= + = +∑ ɶ (5.61)

e) Taxa de transferência de calor no canal (em ambas as paredes):

( ) ( )

( )

'

0 0

'

0 1

( , )( )

( , ) ( )

x

F

y

x

F

y

x yQ x k T T y dx

y

x yk T T y dx

y

θ

θ=

=

∂= − + ∂

∂− + ∂

∫

∫ (5.62)

( ) ( )

( )

' '

0 1 0

' '

0 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Nx

ii F

i y

Nx

ii F

i y

Q x k T C y x T y dx

k T C y x T y dx

θ

θ

θ

θ

= =

= =

= − +

− +

∑∫

∑∫ (5.63)


f) Temperatura média de mistura:

( )

( )

1 1

0 0

1

'

0

( , )T ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( , ) ( )

b

F F

x yx u x y T x y dy T x y dy

y

x yy x y T y dy

y

ψ

φ ψ θ

∂= =∂

∂= + + ∂

∫ ∫

∫ (5.64)

( )1

' '

0 1 1

T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N N

ib i F j Fj

i j

x Y y x y C y x T y dy

φ θ

φ ψ θ= =

= + +

∑ ∑∫ ɶɶ (5.65)

g) Corrente elétrica total através das placas-eletrodo:

( )( ) ( )

( ) ( )

1 1

0 0

1

'

0

( )

tot z z

z F

I x T E u dy T E dyy

T E y dyy

ψσ σ

φσ ψ

∂= + = + ∂

∂= + + ∂

∫ ∫

∫ (5.66)

( )1

' '

0 1

( ) ( ) ( ) ( )

N

itot z i F

i

I x T E Y y x y dy

φ

σ φ ψ=

= + +

∑∫ ɶ (5.67)

A Eq. (5.67) é utilizada para a avaliação da corrente total nas situações de bomba

magnetohidrodinâmica ( 0zE ≠ ), e gerador magnetohidrodinâmico ( 0zE = ).

h) Para a situação de circuito aberto, 0totI ≡ , e o potencial elétrico nos eletrodos é

então calculado por:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

11 1'

00 01 1 1

0 0 0

( )F

z

T y dyT u dy T dyyy

E x

T dy T dy T dy

φψ σ ψσ σ

σ σ σ

∂∂ + ∂∂ = − = − = −∫∫ ∫

∫ ∫ ∫ (5.68)

( )

( )

1

' '

0 1

1

0

( ) ( ) ( )

( )

N

ii F

iz

T Y y x y dy

E x

T dy

φ

σ φ ψ

σ

=

+ = −∑∫

∫

ɶ

(5.69)

______________________________

CAPÍTULO VI

Resultados e Discussão


6 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Para resolver o sistema infinito acoplado de equações diferenciais, Eqs. (5.45) a

(5.48), um programa computacional na linguagem Fortran 90 foi escrito e implementado

em um computador Intel Xeon 3 GHz. De maneira a se obter resultados numéricos, as

expansões foram truncadas em uma ordem finita de termos N = Nφ = NT e um critério

relativo de erro de 10-8 foi imposto para a subrotina DIVPAG, do pacote de subrotinas

científicas IMSL (1991). Essa subrotina é especialmente apropriada para resolver sistemas

rígidos (“stiffs”) de equações diferenciais ordinárias, como as que no presente trabalho se

apresentam. Quando não explicitado no texto, os resultados mostrados foram obtidos

fazendo-se N=Nφ=NT=300, ordem suficientemente elevada para garantia da convergência

de todos os campos, para as várias situações analisadas. Também, para garantir o cálculo

dos coeficientes integrais dentro de uma precisão mínima requerida, foram empregados

1000 pontos de quadratura (NQR = 1000) em todas as integrações numéricas.

Todos os resultados foram obtidos considerando-se propriedades termofísicas e de

transporte constantes (os coeficientes α, β e γ das Eqs. (4.20) a (4.22) são todos nulos),

sendo ilustrados e tabulados os principais campos do escoamento (velocidade, gradiente de

velocidade (fator de atrito), temperatura média de mistura, número de Nusselt, número de

Hartmann efetivo, corrente total e potencial elétrico), para diferentes condições de entrada

no canal e diferentes valores dos parâmetros de governo (número de Hartmann, número de

Prandtl, número de Eckert e potencial elétrico (quando imposto e negativo: bomba MHD).

6.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA

No método de transformação integral, entende-se convergência como o processo de

incremento gradual da ordem de truncamento das séries/expansões, até que um

determinado critério de erro numérico nos valores dos campos analisados seja atingido.

Assim, para demonstração da natureza híbrida da metodologia empregada, é ilustrado um

estudo do comportamento de convergência dos campos anteriormente citados, em

diferentes posições longitudinais ao longo do canal.


A Tabela 6.1 ilustra uma análise de convergência para a situação de entrada

hidrodinâmica parabólica, considerando Ha = 8, Pr = 1,0, Ec = 0,0 e Ez = 0,0 (sem

dissipação viscosa nem aquecimento Joule, o dispositivo é um gerador MHD).

A Tabela 6.2 ilustra a mesma análise de convergência anterior, considerando-se

agora um perfil hidrodinâmico uniforme e paralelo na entrada do canal e Ha = 20, Pr =

0,75, Ec = 0,1 e Ez = - 0,5 (com dissipação viscosa e aquecimento Joule, bomba MHD).

Tabela 6.1. Análise de convergência dos principais campos, em diferentes posições axiais.

(Ha = 8, Pr = 1,0, Ec = 0,0, Ez = 0,0 e perfil de velocidade parabólico na entrada)

N 10 200 250 300 10 200 250 300

x DHx ( )cu x ( )

0

,

y

u x yy

=

∂∂

0,001 0,0375 1,4648 1,4649 1,4649 1,4649 8,09824 8,12506 8,12497 8,12492

0,010 0,3750 1,3368 1,3368 1,3368 1,3368 10,2582 10,2530 10,2530 10,2530

0,020 0,7500 1,2977 1,2977 1,2977 1,2977 10,5696 10,5684 10,5684 10,5684

0,025 0,9375 1,2910 1,2910 1,2910 1,2910 10,6144 10,6138 10,6138 10,6138

0,050 1,8750 1,2844 1,2844 1,2844 1,2844 10,6558 10,6558 10,6558 10,6558

0,075 2,8125 1,2842 1,2842 1,2842 1,2842 10,6571 10,6571 10,6571 10,6571

0,100 3,7500 1,2842 1,2842 1,2842 1,2842 10,6571 10,6571 10,6571 10,6571

2,000 75,000 1,2842a 1,2842 1,2842 1,2842 10,6571a 10,6571 10,6571 10,6571

x DHx ( )bT x ( )mNu x

0,001 0,0375 0,97241 0,96977 0,96977 0,96977 31,349 33,246 34,006 34,766

0,010 0,3750 0,85745 0,85685 0,85685 0,85685 16,064 15,721 15,802 15,882

0,020 0,7500 0,77484 0,77437 0,77437 0,77437 13,134 12,929 12,971 13,014

0,025 0,9375 0,73990 0,73948 0,73948 0,73948 12,363 12,190 12,224 12,259

0,050 1,8750 0,59727 0,59695 0,59695 0,59695 10,488 10,384 10,403 10,423

0,075 2,8125 0,48614 0,48589 0,48589 0,48589 9,7515 9,6724 9,6864 9,7004

0,100 3,7500 0,39619 0,39598 0,39598 0,39598 9,3714 9,3046 9,3160 9,3275

2,000 75,000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 8,2998 8,5035 8,1654 8,3541

a Valores exatos, Eqs. (5.15) e (5.16): (0) 1,2842Fu = , 0

( )10,6571F

y

du ydy =

=

Hwang et al. (1966), ( ),0 1,2862u x → ∞ = , 0

( , )2*5,2563 10,5126

y

u x yy =

∂ → ∞ = =∂


Tabela 6.2 Análise de convergência dos principais campos, em diferentes posições axiais.

(Ha = 20, Pr = 0,75, Ec = 0,1, Ez = - 0,5 e perfil de velocidade uniforme na entrada)

N 10 200 250 300 10 200 250 300

x DHx ( )cu x ( )

0

,

y

u x yy

=

∂∂

0,001 0,0375 1,0568 1,0789 1,0790 1,0790 27,4783 24,0224 24,0163 24,0127

0,010 0,3750 1,1103 1,1106 1,1106 1,1106 22,2267 22,2251 22,2251 22,2251

0,020 0,7500 1,1110 1,1110 1,1110 1,1110 22,2223 22,2222 22,2222 22,2222

0,025 0,9375 1,1110 1,1110 1,1110 1,1110 22,2222 22,2222 22,2222 22,2222

0,050 1,8750 1,1110 1,1110 1,1110 1,1110 22,2222 22,2222 22,2222 22,2222

0,075 2,8125 1,1110 1,1110 1,1110 1,1110 22,2222 22,2222 22,2222 22,2222

0,100 3,7500 1,1110 1,1110 1,1110 1,1110 22,2222 22,2222 22,2222 22,2222

2,000 75,000 1,1110a 1,1110 1,1110 1,1110 22,2222a 22,2222 22,2222 22,2222

x DHx ( )bT x ( )mNu x

0,001 0,0375 0,95430 0,95600 0,95604 0,95606 32,207 47,011 47,757 48,481

0,010 0,3750 0,90047 0,90224 0,90226 0,90227 16,985 19,260 19,355 19,442

0,020 0,7500 0,89358 0,89522 0,89524 0,89525 13,947 15,620 15,678 15,728

0,025 0,9375 0,89458 0,89615 0,89617 0,89617 13,174 14,729 14,778 14,821

0,050 1,8750 0,90822 0,90941 0,90942 0,90943 11,421 12,734 12,769 12,796

0,075 2,8125 0,92105 0,92195 0,92195 0,92196 10,801 12,031 12,060 12,082

0,100 3,7500 0,93073 0,93140 0,93141 0,93141 10,501 11,687 11,713 11,732

2,000 75,000 0,95857 0,95862 0,95862 0,95862 9,9333 10,989 11,007 11,020

a Valores exatos, Eqs. (5.15) e (5.16): (0) 1,1110Fu = , 0

( )22,2222F

y

du ydy =

=

Hwang et al. (1966), ( ,0) 1,1123u x → ∞ = , 0

( , )2*10,3810 20,7620

y

u x yy =

∂ → ∞ = =∂

Da observação dessas tabelas, percebe-se que as taxas de convergência para os

campos de velocidade e gradiente de velocidade são bem elevadas, uma vez que, com

poucos termos nas séries, tais campos já estão praticamente convergidos para os dígitos

mostrados, mesmo para regiões do escoamento muito próximas à entrada do canal. Por

outro lado, as taxas de convergência são bem menores para a temperatura média de mistura

e mais lenta ainda para o número de Nusselt. Para esses campos, mais de trezentos termos

são ainda necessários para a convergência dos dígitos mostrados.


Entende-se que tal comportamento deve-se ao fato de que a convergência das

variáveis relacionadas ao campo térmico é dependente de alguma convergência prévia das

variáveis hidrodinâmicas. Essa restrição é ainda mais acentuada quando os campos térmico

e hidrodinâmico são fortemente acoplados (como é o caso da Tabela 6.2, onde o parâmetro

de acoplamento na situação de propriedades constantes é diferente de zero, Ec 0≠ ).

6.2 RESULTADOS OBTIDOS E VALIDAÇÃO

No final das Tabelas 6.1 e 6.2, é realizada ainda uma rápida comparação inicial entre

os resultados obtidos com os dados de Hwang et al. (1966) e os valores obtidos pelas Eqs.

(5.15) e (5.16). Essa comparação revela que a técnica da transformada integral pode se

apresentar como uma excelente ferramenta para fins de “benchmarking”. Os valores

obtidos com as expressões analíticas para a velocidade no centro do canal e para o

gradiente de velocidade na parede, na região de escoamento completamente desenvolvido,

são reproduzidos, não ocorrendo o mesmo com a metodologia puramente numérica

empregada por Hwang et al. (1966).

Resultados para a região de desenvolvimento do escoamento são a seguir

graficamente comparados para fins de uma completa validação do código computacional

desenvolvido.

As Figuras 6.1 e 6.2 ilustram uma comparação entre os resultados obtidos com a

presente metodologia e os dados de Hwang et al. (1966) para o desenvolvimento da

componente longitudinal de velocidade ao longo da posição axial do canal, em várias

posições transversais e para Ha = 8 e Ha = 20, respectivamente. Em ambos os casos

analisados, utilizou-se um perfil parabólico de velocidade na entrada do canal.

O objetivo principal a ser buscado com essas figuras é verificar a influência direta

do campo magnético sobre o desenvolvimento do escoamento. Como se pode perceber a

partir de uma rápida visualização, números de Hartmann elevados fazem com que o

escoamento se desenvolva mais rapidamente (Fig. 6.2, xFD em torno de 0,04), do que para

números de Hartmann menores (Fig. 6.1, xFD em torno de 0,1).


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

u(x

,y)

Hwang et al. (1966)- MDF

Presente trabalho- GITT

Ha = 8

y = 0.95

y = 0.9

y = 0.85

y = 0.8

y = 0.75

y = 0.7

y = 0.6

y= 0.5

Figura 6.1 – Comparação com os resultados de Hwang et al. (1966) da componente axial de velocidade ao longo do canal, em diferentes posições transversais,

para Ha = 8 e perfil de velocidade parabólico na entrada do canal.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

u(x

,y)

Hwang et al. (1966)- MDF


Ha = 20

y = 0.95

y = 0.9

y = 0.85

y = 0.8

y = 0.75

y = 0.7

y = 0.5

Figura 6.2 – Comparação com os resultados de Hwang et al. (1966) da componente axial de velocidade ao longo do canal, em diferentes posições transversais,

para Ha = 20 e perfil de velocidade parabólico na entrada do canal.


Além da influência sobre o comprimento da entrada hidrodinâmica, as figuras

indicam ainda que para Ha elevados o perfil de velocidade se torna mais plano sobre a

seção transversal do canal. Para uma melhor verificação desse efeito, a Figura 6.3 ilustra o

desenvolvimento do perfil da componente longitudinal de velocidade, em seis posições

axiais ao longo do canal, para números de Hartmann crescentes (Ha = 0, Ha = 8, Ha = 20,

Ha = 100), fazendo ainda uma comparação com os dados de Hwang et al. (1966).

0.0 0.4 0.8 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

0.0 0.4 0.8 1.2

u(x,y)

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

x = 0.0025 x = 0.00625 x = 0.0125

0.0 0.4 0.8 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

0.0 0.4 0.8 1.2

u(x,y)

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Hwang et al. (1966) - FDM: Ha = 0, 8, 20, 100Presente trabalho - GITT: Ha = 0

Presente trabalho - GITT: Ha = 8



x = 0.01875 x = 0.025 x = 0.5 (∞)

Figura 6.3 – Influência do campo magnético sobre o desenvolvimento do perfil da componente axial de velocidade e comparação com os resultados de Hwang et al. (1966).


A Figura 6.3 mostra claramente os fortes gradientes de velocidades associados a

escoamentos com números de Hartmann elevados. Devido aos elevados coeficientes de

atrito, as necessidades de potência de bombeamento (considerando gerador MHD) são,

certamente, muito maiores do que a situação sem atuação de campos magnéticos. Para

números de Hartmann menores, o escoamento ainda mantém o caráter parabólico do perfil

de velocidade ao longo do canal e os gradientes de velocidades são apenas ligeiramente

aumentados.

Resultados para o campo hidrodinâmico considerando-se perfil uniforme de

velocidade na entrada do canal são agora ilustrados e comparados com os dados de

Manohar (1966) e para o desenvolvimento simultâneo com os obtidos por Shohet et al.

(1962), os quais adotaram perfis uniformes de velocidade e temperatura na entrada do

canal. Nesse sentido, as Figuras 6.4, 6.5, 6.6 e 6.7 mostram comparações semelhantes às

efetuadas nas Figuras 6.1 e 6.2 para a componente de velocidade axial, em diferentes

posições transversais do canais e Ha = 0, 8, 12 e 20, respectivamente. O objetivo, ainda, é

verificar a influência da intensidade do campo magnético externo sobre o desenvolvimento

do escoamento, agora sob a condição de entrada uniforme.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16x

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

u(x

,y)

Manohar (1966) - MDF Hartree


y = 0.5

y = 0.75

y = 0.7

y = 0.8

y = 0.85

y = 0.9

y = 0.95

Ha = 0y = 0.6

Figura 6.4 – Comparação com os resultados de Manohar (1966) da componente axial de velocidade ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para

Ha = 0 e perfil de velocidade uniforme na entrada do canal.


0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16x

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

u(x

,y)

Manohar (1966)- MDF Hartree

Shohetet al .(1962)- MDF


y = 0.5

y = 0.75

y = 0.7

y = 0.8

y = 0.85

y = 0.9

y = 0.95

Ha = 8

Figura 6.5 – Comparação com os resultados de Shohet et al. (1962) e Manohar (1966) da componente axial de velocidade ao longo do canal, em diferentes posições transversais,

para Ha = 8 e perfil de velocidade uniforme na entrada do canal.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08x

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

u(x

,y)

Manohar (1966)- MDF Hartree


y = 0.5

y = 0.75

y = 0.8

y = 0.85

y = 0.9

y = 0.95

Ha = 12




0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06x

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40u

(x,y

)

Manohar (1966) - MDF Hartree


y = 0.5

y = 0.8

y = 0.85

y = 0.9

y = 0.95

Ha = 20



As conclusões gerais que podem ser retiradas pela observação das Figs. 6.4 a 6.7,

para um escoamento com perfil de velocidade uniforme na entrada, são as mesmas que as

obtidas para um escoamento com perfil de velocidade parabólica na entrada (Figs.6. 1 a

6.3). O efeito global do número de Hartmann é tornar mais plano o perfil de velocidade ao

longo do canal, o qual se traduz em elevação dos gradientes de velocidades (e logo, fator

de atrito, pressão e gradiente de pressão).

Adicionalmente, pode-se considerar ainda que, para números de Hartmann elevados

e desprezando-se a região muito próxima à entrada do canal, a transferência de calor por

convecção deve ocorrer praticamente sob uma condição de escoamento completamente

desenvolvido, isto é, pode-se tratar o problema como um problema de entrada térmica, e

não de desenvolvimento simultâneo, uma vez que o comprimento de entrada

hidrodinâmico é muito pequeno. Essas considerações sobre o comportamento térmico com

a intensidade do campo magnético são a seguir analisadas.


A Figura 6.8 mostra uma comparação com os resultados de Shohet et al. (1962) da

distribuição de temperatura ao longo do canal, em algumas posições transversais, para a

situação em que Ha = 8, Pr = 0,1, Ec = -1,0 e Ez = 0,0. Uma vez que os parâmetros

adimensionais definidos por aqueles autores são diferentes dos parâmetros do presente

trabalho (a temperatura na entrada do canal é inferior à temperatura das placas), algumas

definições das variáveis de comparação tiveram que ser modificadas para a comparação.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16x

0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

2.40

T(x

,y)

Shohetet al. (1962)- MDF


y = 0.5

y = 0.75

y = 0.85

y = 0.95

Ha = 8Pr = 0.1Ec = -1.0

Ez= 0

Figura 6.8 – Comparação com os resultados de Shohet et al. (1962) do campo de temperatura ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para Ha = 8,

Pr = 0,1, Ec = -1,0 e Ez = 0,0. Perfis de temperatura e velocidade uniformes na entrada.

A Figura 6.9 ilustra o comportamento do campo de temperatura, sob as mesmas

condições dos parâmetros adimensionais da figura anterior, mas considerando-se uma

situação de entrada parabólica para o perfil de velocidade. O objetivo é analisar a

influência do perfil de velocidade na entrada sobre o desenvolvimento do campo térmico.

Como se pode observar, o perfil de velocidade na entrada exerce pouca influência sobre o

desenvolvimento do campo térmico, como era de se esperar, uma vez que a transferência

de calor ocorre quase que totalmente sob a condição de um campo hidrodinâmico

completamente desenvolvido (a não ser em uma região muito próxima à entrada do canal).


0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16x

0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

2.40

T(x

,y)

Velocidade na Entrada

Perfil Parabólico

Perfil Uniforme

y = 0.5

y = 0.75

y = 0.85

y = 0.95

Ha = 8Pr = 0.1Ec = -1.0Ez = 0

Figura 6.9 – Comportamento do campo de temperatura ao longo do canal, em diferentes posições transversais, para Ha = 8, Pr = 0,1, Ec = -1,0 e Ez = 0,0.

Perfil de temperatura uniforme e de velocidade parabólico na entrada do canal.

Essas conclusões são corroboradas pelo exame das Figuras 6.10 e 6.11, as quais

ilustram o comportamento da temperatura média de mistura e do número de Nusselt médio

local, respectivamente, para as condições de perfil de velocidade uniforme e parabólico na

entrada do canal. A escala logarítmica nos eixos das abscissas dos gráficos é empregada

para descrever o comportamento em uma região extremamente próxima à entrada do canal.

Com a finalidade de validação para estas variáveis, o comportamento de

desenvolvimento da temperatura média de mistura e do número de Nusselt médio local ao

longo do canal é comparado com outros trabalhos na Figura 6.12. O escoamento entra no

canal sob uma condição de perfil uniforme de velocidade e os resultados são comparados

aos de Setayesh e Sahai (1990), que empregaram o método das diferenças finitas na

resolução do sistema de equações, para uma configuração de escoamento em que Ha = 20,

Pr = 0,75, Ec = 0,1 e Ez = -0,5. A Figura 6.13 traz mais informações sobre o

desenvolvimento do número de Nusselt médio local, comparando os resultados obtidos

com a presente metodologia com os resultados de diferenças finitas de Hwang (1962) e de

Setayesh e Sahai (1990). As situações analisadas são caracterizadas pelos parâmetros

adimensionais Ha = 20, Pr = 1, Ec = (1,0 e 0,1) e Ez = (0,0 e -1.0).


-5 -4 -3 -2 -1 0log(x)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tb(

x)


Perfil Parabólico

Perfil Uniforme

Ha = 8Pr = 1Ek = 0Ez= 0

Figura 6.10 – Influência do tipo de perfil de velocidade na entrada do canal sobre o desenvolvimento da temperatura média de mistura, para Ha = 8,

Pr = 1, Ec = 0 e Ez = 0. Perfil de temperatura uniforme na entrada do canal.

-5 -4 -3 -2 -1 0log(x)

0

200

400

600

Nu m

(x)


Perfil Parabólico

Perfil Uniforme

Ha = 8Pr = 1Ek = 0Ez = 0

Figura 6.11 – Influência do tipo de perfil de velocidade na entrada do canal sobre o desenvolvimento do número de Nusselt médio local, para Ha = 8,

Pr = 1, Ec = 0 e Ez = 0. Perfil de temperatura uniforme na entrada do canal.


-4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0log(x)

0.8

0.9

1

1.1T

b(x)

Setayesh e Sahai (1990) - MDF

Presente trabalho - GITT: Tb(x)Presente trabalho - GITT: Num(x)

5.0

15.0

25.0

35.0

45.0

Nu m

(x)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4log(Gz)

Ha = 20Pr = 0.75Ec = 0.1Ez = - 0.5

Figura 6.12 – Comparação com os resultados de Setayesh e Sahai (1990) da temperatura média de mistura e do número de Nusselt médio local ao longo do canal, para Ha = 20, Pr = 0,75, Ec = 0,1 e Ez = -0,5. Perfis de temperatura e velocidade uniformes na entrada.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4log(Gz)

5.0

15.0

25.0

35.0

45.0

Nu m

(x)

Ha = 20,Pr = 1

Hwang (1962) - MDF

Setayesh e Sahai (1990) - MDFPresente trabalho - GITT

Ez = 0.0, Ec = 1.0

Ez = - 1.0, Ec = 0.1

Figura 6.13 – Comparação com os resultados de Hwang (1962) e Setayesh e Sahai (1990) do número de Nusselt médio local ao longo do canal, para Ha = 20, Pr = 1, Ec = (1,0 e 0,1)

e Ez = (0,0 e -1.0). Perfis de temperatura e velocidade uniformes na entrada.


Além da boa representação dos resultados numéricos, as figuras revelam ainda um

comportamento não-assintótico da temperatura média de mistura (Fig. 6.12) e do número

de Nusselt médio local (Fig. 6.13) ao longo do canal, nas escalas empregadas. Esse

comportamento não-assintótico pode ser atribuído aos parâmetros de governo dos

fenômenos físicos que tem alguma relação com o campo magnético como a sua

intensidade (associada ao número de Hartmann, Ha), número de Eckert (Ec, associada à

dissipação viscosa e aquecimento Joule). Assim, um estudo mais detalhado acerca da

influência desses grupos adimensionais sobre a transferência de calor é efetuado e ilustrado

nas figuras que se seguem. Em todas as figuras, foram considerados perfis uniformes de

velocidade e temperatura na entrada do canal e o fluido era tal que Pr = 0,75. Também,

conforme já conhecido, o único efeito do parâmetro de campo elétrico (Ez) está associado à

mudança do campo de pressão, de maneira que o mesmo não é incluído nesse estudo como

uma variável, sendo adotado o valor Ez = -0,5 em todos os casos.

A Figura 6.14 ilustra os efeitos cruzados dos números de Hartmann e de Eckert

sobre o desenvolvimento da temperatura média de mistura, ao se analisar as situações em

que Ha = (0 e 20) e Ec = (0, 0,1 e 0.2).

-4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0log(x)

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

Tb(

x)


Presente trabalho - GITT: Ha= 20

Presente trabalho - GITT: Ha= 0

Pr = 0.75Ez = -0.5

Ec = 0.0

Ec = 0.1

Ec = 0.05

Ec = 0.2

Ec = 0.2

Figura 6.14 – Influência dos números de Hartmann e de Eckert sobre o desenvolvimento da temperatura média de mistura, para Pr = 0,75 e Ez = -0,5.


Pode-se perceber da figura anterior que a geração de energia no interior do

escoamento por efeito Joule (Ha 0≠ , 0Ec ≠ ) é muito mais intensa do que a geração

por dissipação viscosa apenas (Ha = 0, 0Ec ≠ ). Esse comportamento é facilmente

explicado pelo termo quadrado do número de Hartmann que é incluído na equação da

energia quando um campo magnético atua sobre o escoamento.

A Figura 6.15 ilustra a mesma análise realizada na figura anterior, agora para o

desenvolvimento do número de Nusselt médio local.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4log(Gz)

5

15

25

35

45

Nu m

(x)




Pr = 0.75Ez = -0.5

Ec = 0.0

Ec = 0.1

Ec= 0.2

Figura 6.15 – Influência dos números de Hartmann e de Eckert sobre o

desenvolvimento do número de Nusselt médio local, para Pr = 0,75 e Ez = -0,5.

Da figura anterior conclui-se que apesar do aquecimento por efeito Joule

( Ha 0≠ ,Ec 0≠ ) ser muito elevado, o efeito do aquecimento é global, isto é, o termo de

geração na equação da energia é volumétrico, de maneira que o aumento de temperatura se

dá em todo o volume do escoamento. Logo, isso explica o porquê da influência do número

de Eckert ser mais forte na temperatura média de mistura. O número de Nusselt médio

local parece ser mais afetado para valores muito grande do número de Eckert.

______________________________

CAPÍTULO VII

Conclusões e Sugestões


7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES

7.1 CONCLUSÕES

No presente trabalho, foi estudado o problema do desenvolvimento simultâneo de

um fluido condutor elétrico, newtoniano, incompressível, submetido a um campo

magnético externo de intensidade constante em um canal de placas planas e paralelas. O

escoamento, considerado laminar, entra no canal sob condições de perfil de velocidade

uniforme ou parabólico com perfil uniforme de temperatura. A formulação parabólica de

camada limite das equações de quantidade de movimento e energia, escrita em termos de

função corrente, foi empregada como modelo matemático, sendo resolvida através da

denominada Técnica da Transformada Integral Generalizada - GITT.

Análises de convergência das expansões/séries que representam os campos de

velocidade e temperatura e de outros parâmetros correlatos foram efetuadas,

demonstrando, através de sua natureza híbrida, o quão eficaz e apropriada para finalidades

de “benchmarking” é a técnica empregada. Por exemplo, o procedimento de filtragem

aplicado às equações originais é considerado uma ferramenta versátil no processo de

aceleração de convergência, tendo em vista que, dependendo do quanto de informação se

queira transferir para o filtro, as soluções dos campos na região completamente

desenvolvida são automaticamente recuperadas pelos mesmos, caracterizando-se assim

como uma vantagem adicional associada ao tipo de metodologia empregada.

Adicionalmente, de acordo com as figuras mostradas, todos os resultados são

validados com resultados numéricos de outros autores, de maneira que o código

computacional desenvolvido pode ser empregado para investigação mais aprofundada dos

casos aqui considerados e de mais efeitos e condições sobre o escoamento e a transferência

de calor no canal. Mais ainda, o código pode ser extendido para outras formulações ou

modelos matemáticos, além de outras geometrias de interesse.


7.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Em função do exposto na seção anterior, e pelo trabalho desenvolvido no presente

trabalho, deixa-se como sugestão para trabalhos futuros:

a) Realizar as mesmas análises desenvolvidas no presente trabalho,

considerado, no entanto, as propriedades de transporte dependentes da

temperatura, conforme formulado no presente trabalho.

b) Resolver a formulação completa das equações de Navier-Stokes e da energia

para levantar comparações entre ambas as formulações e identificar as

principais diferenças entre elas na condição de campo magnético atuando no

escoamento.

c) Resolver a situação de interação de duas vias entre o campo do escoamento

e o campo magnético (números de Reynolds magnéticos elevados). Nesse

caso, as equações de Maxwell deverão ser apropriadamente resolvidas de

maneira acoplada às equações do escoamento e da transferência de calor.

____________________________________________

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

&

ANEXOS


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ANEXOS

Para fins de comparação de grandeza e facilidade de consulta, a Tabela A.1

disponibiliza propriedades físicas de alguns metais líquidos relacionados com MHD e a

Tabela A.2 ilustra as principais grandezas, símbolos/variáveis, e suas unidades, associadas

à área do eletromagnetismo.

Tabela A.1 – Propriedades físicas de metais líquidos (adaptada de Davidson, 2001).

Metal

Ponto de Fusão

(oC)

Temp. de Referência

(oC)

Massa Específica

(103 kg/m3)

Visc. Cinemática

(10-6 m2/s)

Cond. Elétrica

(106 Ω-1m-1)

Cond. Térmica

(Wm-1C-1)

Titânio 1685 1700 4,1 1,3 0,58 - Aço1 1495 1600 7,0 0,88 0,71 26 Ferro 1535 1600 7,0 0,80 0,72 41 Níquel 1454 1500 7,9 0,62 1,2 - Cobre 1083 1100 7,9 0,51 4,8 160 Alumínio 660 700 2,4 0,60 4,1 95 Magnésio 650 700 1,6 0,80 3,6 81 Estanho 232 280 6,9 0,28 2,1 31 Lítio 181 200 0,51 1,2 4,0 47 Sódio 98 100 0,92 0,68 10 89 Wood’s metal2 70 100 9,7 0,29 0,98 8,0 Potássio 64 70 0,82 0,58 7,0 52 Gálio 30 70 6,1 0,31 3,8 30 Na-K3 - 12 40 0,87 0,86 2,6 22 Mercúrio - 38 30 13,5 0,12 1,0 8,0

Notas: 1 – Valores aproximados para aço com 0,2% de carbono 2 – Liga não ferrosa fusível a baixas temperaturas 3 – Liga eutética de Sódio-Potássio


Tabela A.2 – Símbolos/variáveis, grandezas e unidades encontradas em eletromagnetismo.

Símbolo Nome da grandeza Nome da unidade Unidade Unidades base

I Corrente elétrica ampère A A = W/V = C/s

Q Carga elétrica coulomb C A·s

V Diferença de potencial ou

Potencial elétrico Volt V J/C = kg·m2·s−3·A−1

R, Z, X Resistência elétrica,

Impedância, Reatância Ohm Ω V/A = kg·m2·s−3·A−2

Ρ Resistividade ohm metro Ω·m kg·m3·s−3·A−2

P Potência elétrica Watt W V·A = kg·m2·s−3

C Capacitância farad F C/V = kg−1·m−2·A2·s4

Elastância inverso de

farad F−1 V/C = kg·m2·A−2·s−4

Ε Permissividade farad por

metro F/m kg−1·m−3·A2·s4

χe Susceptibilidade elétrica Adimensional - -

G, Y, B Condutância, Admitância,

Susceptância siemens S Ω

−1 = kg−1·m−2·s3·A2

σ Condutividade siemens por

metro S/m kg−1·m−3·s3·A2

B Campo magnético, densidade de fluxo magnético, Indução

magnética tesla T

Wb/m2 = kg·s−2·A−1 = N·A−1·m−1

Φm Fluxo magnético weber Wb V·s = kg·m2·s−2·A−1

H Intensidade magnética ampère por

metro A/m A·m−1

Relutância ampère por

weber A/Wb kg−1·m−2·s2·A2

L Indutância Henry H Wb/A = V·s/A =

kg·m2·s−2·A−2

µm Permeabilidade henry por

metro H/m kg·m·s−2·A−2

χm Susceptibilidade magnética Adimensional

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ANÁLISE DA MAGNETOHIDRODINÂMICA COM … · transversais, para Ha = 20 e perfil de velocidade uniforme na entrada do canal. 91 Figura 6.8 Comparação com os resultados de Shohet