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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
BARBARA YURI DE OLIVEIRA
ANÁLISE DE INCERTEZAS EM MALHAS DE CONTROLE DO PROCESSO
DE PRODUÇÃO DE POLIURETANAS
CURITIBA
2015
BARBARA YURI DE OLIVEIRA
ANÁLISE DE INCERTEZAS EM MALHAS DE CONTROLE DO PROCESSO
DE PRODUÇÃO DE POLIURETANAS
Dissertação apresentada como requisito
parcial à obtenção do grau de Mestre em
Engenharia Química, no curso de Mestrado
do Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Química, Setor de Tecnologia,
Universidade Federal do Paraná.
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Kaminski Lenzi
CURITIBA
2015
TERMO DE APROVAÇÃO
BARBARA YURI DE OLIVEIRA
ANÁLISE DE INCERTEZAS EM MALHAS DE CONTROLE DO PROCESSO
DE PRODUÇÃO DE POLIURETANAS
Dissertação aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre
no Curso de Pós-Graduação em Engenharia Química, Setor de Tecnologia,
Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:
__________________________________
Prof. Dr. Marcelo Kaminski Lenzi
Orientador – PPGEQ/UFPR
__________________________________
Prof. Dr. Rafael Bruno Vieira
Coorientador – PPGEQ/FPR
__________________________________
Prof. Dr. Fernando Augusto Pedersen Voll
PPGEQ/UFPR
__________________________________
Profa. Dra. Giane Goncalves Lenzi
DAEQ/UTFPR
Curitiba, 27 de Agosto de 2015.
Dedico este trabalho a minha família pelo imenso apoio, inspiração e
motivação.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço ao Prof. Dr. Marcelo Kaminski Lenzi pelo incentivo,
orientação e dedicação que foram imprescindíveis à concretização deste
trabalho.
À RADIX Engenharia e Software Ltda, por incentivar e viabilizar a educação
continuada de seus profissionais.
Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química (PPGEQ) pela
estrutura e a todos os professores pelo empenho na qualificação dos discentes.
O Mistério das Cousas
O mistério das cousas, onde está ele?
Onde está ele que não aparece
Pelo menos a mostrar-nos que é mistério?
Que sabe o rio disso e que sabe a árvore?
E eu, que não sou mais do que eles, que sei disso?
Sempre que olho para as cousas e penso no que os
homens pensam delas,
Rio como um regato que soa fresco numa pedra.
Porque o único sentido oculto das cousas
É elas não terem sentido oculto nenhum,
É mais estranho do que todas as estranhezas
E do que os sonhos de todos os poetas
E os pensamentos de todos os filósofos,
Que as cousas sejam realmente o que parecem ser
E não haja nada que compreender.
Sim, eis o que os meus sentidos aprenderam sozinhos:
As cousas não têm significação: têm existência.
As cousas são o único sentido oculto das cousas.
Alberto Caeiro, "O Guardador de Rebanhos - Poema XXXIX"
Heterônimo de Fernando Pessoa
RESUMO
Todo investimento a ser realizado traz consigo a necessidade de uma análise
criteriosa. Tão maior é a sua importância, quão maior for o capital que se
pretende empregar. Em termos industriais, cada passo deve ser
economicamente embasado, pois os impactos de cada decisão, sejam eles
positivos ou negativos, refletirão no futuro da empresa.
Quando se trata de uma planta industrial, inúmeros equipamentos são
empregados, porém trocadores de calor representam um ponto de extrema
importância. Através deles, fluidos a diferentes temperaturas trocam energia
térmica, e por isso, podem representar uma grande economia ou um grande
desperdício de recursos. O projeto adequado e a garantia da melhor condição
de operação são determinantes para assegurar o consumo ideal de matéria-
prima, energia e utilidades.
Neste trabalho realizou-se o estudo e a aplicação de técnicas de controle,
análise de incerteza e propagação de erros, bem como análise financeira a
malhas de controle. Para tal, avaliou-se o desempenho da malha de controle PI
frente a incertezas paramétricas propagadas, a partir do desvio padrão dos
parâmetros Kp, p e p do modelo do processo.
O estudo considerou a existência de uma transição positiva de set point sob a
forma de um degrau unitário. Foram calculadas as incertezas dos parâmetros
do controlador utilizando por base as incertezas dos parâmetros do processo, e
verificou-se a ordem de grandeza do custo que essas incertezas podem gerar.
Escolheu-se um trocador de calor como estudo de caso, em função da
importância econômica deste equipamento em processos industriais, em
particular na síntese de poliuretanas.
Palavras-chave: trocador de calor, análise de incertezas, controle de
processos, malha de controle PI.
ABSTRACT
All investment to be held brings with it the need for a careful review. So the
greater is its importance, much bigger is the capital that intended use. In
industrial terms, every step must be economically based, because the impacts
of each decision, whether positive or negative, will reflect on the future of the
company.
For an industrial plant, numerous equipments are employees, but heat
exchangers represent a point of the utmost importance. Through them, fluids at
various temperatures exchange thermal energy, and therefore, may represent a
large economy or a huge waste of resources. The proper design and the
guarantee of better operating condition are crucial to ensure the optimal
consumption of raw material, energy and utilities.
In this work it was studied and was applied control techniques, uncertainty
analysis and error propagation, as well as financial analysis to control loops.
Then it was evaluated the performance of the PI control loop against parametric
uncertainties propagated from the standard deviation of the parameters Kp, p
and p to the process model.
This study considerate that there is a positive transition of the set point in the
form of a unit step. It was calculated the uncertainties of controller parameters
based on the uncertainties of the process parameters, and it was verified the
order of magnitude that this uncertainties can generates on the costs.
It was chosen a heat exchanger as the case of study, due to the economic
importance of this equipment in industrial processes, particularly in the
synthesis of polyurethanes.
Key-words: heat exchanger, uncertainties analysis, process control, PI control
loop
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – DIAGRAMA DE BLOCOS SIMPLIFICADO PARA O CONTROLE
FEEDBACK........................................................................................................21
FIGURA 2 – DIAGRAMA DE BLOCOS SIMPLIFICADO DO CONTROLE
FEEDFORWARD...............................................................................................23
FIGURA 3 – DIAGRAMA DE BLOCOS DO SISTEMA DE CONTROLE
CASCATA..........................................................................................................26
FIGURA 4 – COMPORTAMENTO IDEAL DO CONTROLE
PROPORCIONAL..............................................................................................28
FIGURA 5 – COMPORTAMENTO REAL DO CONTROLE
PROPORCIONAL..............................................................................................28
FIGURA 6 – CURVA DE RESPOSTA TÍPICA DE UM CONTROLADOR
PROPORCIONAL PARA UMA MUDANÇA DE REFERÊNCIA.........................29
FIGURA 7 – RESPOSTA DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL
AO DEGRAU UNITÁRIO EM ( )e t ......................................................................31
FIGURA 8 – DIAGRAMA DE BLOCOS DO CONTROLE PID EM PARALELO
(SEM FILTRO DERIVATIVO)............................................................................34
FIGURA 9 – DIAGRAMA DE BLOCOS DO CONTROLE PID EM SÉRIE (SEM
FILTRO DERIVATIVO)......................................................................................34
FIGURA 10 – SISTEMA DE CONTROLE DO TROCADOR DE CALOR..........39
FIGURA 11 – COMPORTAMENTO DO POLO OBTIDO PELA EXPRESSÃO
POLO1 EM FUNÇÃO DE KC E I......................................................................44
FIGURA 12 – COMPORTAMENTO DO POLO OBTIDO PELA EXPRESSÃO
POLO2 EM FUNÇÃO DE KC E I......................................................................45
FIGURA 13 – COMPORTAMENTO DO POLO OBTIDO PELA EXPRESSÃO
POLO3 EM FUNÇÃO DE KC E I......................................................................45
FIGURA 14 – SOBREPOSIÇÃO DAS CURVAS...............................................46
FIGURA 15 – COMPORTAMENTO DA VARIÁVEL CONTROLADA y(t) EM
FUNÇÃO DO TEMPO........................................................................................51
FIGURA 16 – COMPORTAMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA M(T) EM
FUNÇÃO DO TEMPO........................................................................................55
FIGURA 17 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÂNCIA DA VARIÁVEL
CONTROLADA..................................................................................................61
FIGURA 18 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÁVEL CONTROLADA
CONSIDERANDO REGIÃO DE CONFIANÇA..................................................61
FIGURA 19 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÂNCIA DA VARIÁVEL
CONTROLADA..................................................................................................66
FIGURA 20 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÁVEL CONTROLADA
CONSIDERANDO REGIÃO DE CONFIANÇA..................................................66
FIGURA 21 – REGIÕES DE INCERTEZA DA VARIÁVEL MANIPULADA......68
FIGURA 22 – REGIÕES DE INCERTEZA DA VARIÁVEL MANIPULADA......70
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – PARÂMETROS DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA...........41
TABELA 2 – PARÂMETROS DE SINTONIA DO CONTROLADOR AS
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA....................................................................48
TABELA 3 – VARIÂNCIA PARAMÉTRICA RECALCULADA CONSIDERANDO
UMA MAIOR QUANTIDADE DE PONTOS EXPERIMENTAIS.........................69
LISTA DE SIGLAS E SÍMBOLOS
A, B, C, D coeficientes da expansão em frações parciais
E, F, H, M coeficientes da expansão em frações parciais
a, b, c, d variáveis auxiliares na solução da equação característica
da malha
h, j, k variáveis auxiliares na solução da equação característica
da malha
p, u, v variáveis auxiliares na solução da equação característica
da malha
q, w, x, z variáveis auxiliares na solução da equação característica
da malha
d(s) variável distúrbio
DOE Planejamento de Experimentos (Design of Experiments)
e(s) erro
Gc(s) função de transferência do controlador, ou seja, razão entre
variável manipulada/erro
Gd(s) função de transferência do processo referente à variável
distúrbio, ou seja, razão entre variável controlada/variável
distúrbio
Gp(s) função de transferência do processo, ou seja, razão entre
variável controlada/variável manipulada
i número complexo: i2= –1
Kc Ganho do controlador, função de transferência Gc(s)
Kd Ganho da função de transferência Gd(s)
Ki,i={1...4} Coeficientes da Transformada Inversa de Laplace
Kp Ganho da função de transferência Gp(s)
m(s) variável manipulada
n quantidade de variáveis da função genérica
Ni,i={1...4} Coeficientes da Transformada Inversa de Laplace
RTO Otimização em tempo real (Real-Time Optimization)
s variável independente no domínio de Laplace
t tempo
y(s) variável controlada
yd(s) parcelada da variável controlada referente à ação do
distúrbio
yp(s) parcelada da variável controlada referente à ação da
variável manipulada
ysp(s) set point
LISTA DE SÍMBOLOS GREGOS
variável independente genérica
derivada parcial
função genérica
2i variância da i-ésima variável
2i-j covariância da i-ésima e da j-ésima variável
d Constante de tempo da função de transferência Gd(s)
I Constante de tempo integral do controlador, função de transferência
Gc(s)
p Constante de tempo da função de transferência Gp(s)
p Tempo morto da função de transferência Gp(s)
d Tempo morto da função de transferência Gd(s)
Subscrito
d referente a distúrbio ou Gd(s)
i,j contador
p referente a processo ou Gp(s)
variável independente genérica
função genérica
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................... 16
2. REVISÃO DE LITERATURA ..................................................................... 18
2.1. REVISÃO DA TEORIA DE CONTROLE ............................................. 18
2.1.1. MALHAS DE CONTROLE ............................................................ 19
2.1.2. SISTEMAS DE CONTROLE ......................................................... 20
2.1.3. CONFIGURAÇÕES DE CONTROLE ........................................... 20
2.1.4. TIPOS BÁSICOS DE CONTROLE ............................................... 26
2.2. REVISÃO DE ANÁLISE DE INCERTEZAS E PROPAGAÇÃO DE
ERROS ......................................................................................................... 35
3. ANÁLISE DE RESULTADOS .................................................................... 39
3.1. INTRODUÇÃO .................................................................................... 39
3.2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA.................................................... 39
3.3. ESTABILIDADE DO PROCESSO ....................................................... 41
3.4. PROBLEMA SERVO – COMPORTAMENTO DINÂMICO .................. 46
3.4.1. CRITÉRIO DE SINTONIA 01: MINIMIZAÇÃO DE IAE ................. 47
3.5. PROBLEMA SERVO – FUNÇÃO CUSTO PARA TRANSIÇÃO DE SET
POINT ........................................................................................................... 67
4. CONCLUSÃO ........................................................................................... 71
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 73
16
1. INTRODUÇÃO
Todo investimento a ser realizado traz consigo a necessidade de uma
análise criteriosa. Tão maior é a sua importância, quão maior for o capital que
se pretende empregar. Em termos industriais, cada passo deve ser
economicamente embasado, pois os impactos de cada decisão, sejam eles
positivos ou negativos, refletirão no futuro da empresa.
Quando se trata de uma planta industrial, inúmeros equipamentos são
empregados, porém trocadores de calor representam um ponto de extrema
importância. Através deles, fluidos a diferentes temperaturas trocam energia
térmica, e por isso, podem representar uma grande economia ou um grande
desperdício de recursos. O projeto adequado e a garantia da melhor condição
de operação são determinantes para assegurar o consumo ideal de matéria-
prima, energia e utilidades.
O conhecimento do comportamento quantitativo de um processo passa
pelo desenvolvimento e análise de descrições matemáticas. Tais descrições,
chamadas de modelos matemáticos, são abstrações de processos reais que
permitem a sua caracterização em diversas situações operacionais (Bequette,
1998; Luyben, 1996). Assim, o modelo matemático de um processo é apenas
uma aproximação do sistema físico real. Consequentemente, o modelo obtido
pode apresentar diferentes tipos de incertezas, decorrentes de fenômenos não
modelados.
Este mesmo conceito pode ser aplicado ao controle de processos: as
técnicas tradicionais por retroalimentação (feedback) amplamente aplicadas
atualmente em controle de processos, tais como malha PI (proporcional e
integral) e PID (proporcional, integral e derivativo), possuem erros ou
incertezas em seus parâmetros inerentes ao projeto desses sistemas. As
incertezas dos parâmetros em sistemas de controle podem ser estimadas
através da teoria estatística de propagação de erros.
Para tanto, é de suma importância a análise das incertezas paramétricas
no projeto de controladores industriais e a verificação do impacto econômico
17
que tais incertezas possam acarretar ao processo. Neste trabalho, a proposta é
verificar o desempenho de malhas de controle PI frente às incertezas
paramétricas propagadas das dinâmicas da variável controlada e manipulada
para um trocador de calor.
18
2. REVISÃO DE LITERATURA
2.1. REVISÃO DA TEORIA DE CONTROLE
O controle de processos vem se tornando cada vez mais importante nos
processos industriais. Para atender a um mercado extremamente competitivo,
às exigências ambientais e de segurança, às restrições operacionais, além do
grau de complexidade devido a grande integração dos processos numa planta
industrial, o controle tem sido uma ferramenta de grande utilidade para garantir
uma operação estável, econômica e segura.
Como as condições operacionais são frequentemente modificadas com o
tempo, se não houver uma adaptação às mudanças, o sistema não trabalhará
de forma desejável. Portanto, sem o controle de processos não seria possível
operar plantas modernas de maneira robusta, segura e lucrativa.
Segundo Smith e Corripio (1985), o controle automático de processo
deve manter as variáveis do processo no valor de operação desejada (set
point), seguindo três operações básicas:
1. Medição: a medição da variável controlada é feita geralmente pela
combinação de sensores e transmissores (elementos primários e
secundários). Em alguns sistemas o sinal do sensor pode alimentar
diretamente o controlador não necessitando do transmissor. A
transmissão das medidas do processo pode ser realizada na forma de
sinais pneumáticos, sinais elétricos e, a mais recente tecnologia, via
ondas eletromagnéticas (wireless).
2. Decisão: com base na medição, o controlador decide o que fazer para
manter a variável controlada em seu valor desejado (set point); esta
decisão é realizada através de leis de controle ou algoritmos avançados
de controle através de uma unidade de processamento de dados.
3. Ação: conforme a decisão do controlador, o sistema deve tomar uma
ação, que geralmente é realizada com um elemento final de controle
(válvulas, bombas, motores, etc.). É através da manipulação no
19
elemento final de controle que são implementadas as mudanças no
processo para atingir o valor desejado da variável de controle.
2.1.1. MALHAS DE CONTROLE
As estruturas de controle podem ser em malha aberta ou em malha
fechada (Kilian, 1996). No caso de malha aberta, o valor de uma variável para
operação de um elemento é definido previamente, e espera-se que ela
mantenha-se em seu valor, por mais que ocorram variações naturais do
sistema. A forma mais simples do controle em malha aberta é a manual. No
controle manual, o atuador de controle é o operador, que age em um
dispositivo de controle na decorrência de um desvio na variável de entrada,
com objetivo de deixar o sistema estável. Dessa forma, o controle em malha
aberta funciona adequadamente quando as condições do processo são
estáveis. Por outro lado, quando as condições do processo apresenta a
ocorrência de muitos desvios, o sistema de controle em malha aberta não
manterá o parâmetro de saída regulado no valor desejado e o operador terá
que intervir a todo tempo na busca de um ajuste.
Caso o atuador humano seja substituído por um controlador automático,
o controle torna-se automático, ou seja, um sistema de controle em malha
fechada (Ogata, 1997). Neste processo, a saída do processo (variável
controlada) é monitorada constantemente por um sensor (dispositivo de
medição) e controlado ajustando a variável manipulada através de um
elemento final de controle, como uma válvula por exemplo.
No controle automático, a variável medida é comparada a um valor
desejado (set point). O erro ou desvio calculado alimenta um controlador que
envia um sinal para manipular um elemento final com o intuito de eliminar esse
desvio (Campos e Teixeira, 2006). Portanto, para que um processo possa ser
controlado é necessário observar e medir suas variáveis de saída para
determinar o sinal de controle que deve ser aplicado ao sistema em cada
instante de tempo determinado.
20
2.1.2. SISTEMAS DE CONTROLE
Um sistema de controle deve satisfazer requisitos servo e regulatórios,
ou seja, deve ser capaz de seguir referências ou rejeitar distúrbios. No controle
servo para qualquer mudança no set point o sistema de controle atuará para
que a variável controlada siga em direção ao novo valor de set point. Já o
sistema de controle regulatório de processos age a partir dos efeitos dos
distúrbios, buscando manter a saída no set point estabelecido.
2.1.3. CONFIGURAÇÕES DE CONTROLE
A configuração de controle é a estrutura de informação que é usada para
conectar as medições disponíveis com as variáveis manipuladas disponíveis.
2.1.3.1. Controle Feedback (Retroalimentação)
Tendemos a considerar que os dispositivos de controle automático são
um desenvolvimento moderno. Porém, um engenhoso sistema de controle
feedback para o controle do nível de água foi utilizado pelos gregos antes de
250 a.C. (Mayr, 1970).
Durante a década de 1930, três modos de controladores com ação de
controle feedback proporcional, integral e derivativo (PID) tornaram-se
comercialmente acessíveis (Ziegler, 1975). Os primeiros artigos teóricos sobre
controle de processos foram publicados durante o mesmo período. Os
controladores PID pneumáticos ganharam aceitação na indústria durante a
década de 1940, e sua contraparte eletrônica entraram no mercado na década
de 1950. A primeira aplicação computacional de controle em processos
industriais foi relatada no final da década de 1950 e início da década de 1960.
Desde a década de 1980 os hardwares digitais têm sido utilizados como uma
rotina básica e têm tido um tremendo impacto no controle de processos.
Os componentes básicos do controle feedback são (Seborg, 2004):
Processo que está sendo controlado;
21
Combinação sensor-transmissor;
Controlador Feedback;
Transdutor corrente/pressão;
Elemento final de controle (dispositivo utilizado para ajustar a variável
manipulada);
Linhas de transmissão entre os instrumentos (cabos elétricos e tubos
pneumáticos).
A ação de controle feedback pode ser descrita nos seguintes passos:
i. Medição da variável controlada (vazão, pressão, temperatura,
composição, etc) através de sensor apropriado de medição;
ii. Comparação do valor medido ao valor desejado (set point) da
variável controlada, estabelecendo-se assim o valor do erro:
diferença entre o set point e o valor medido;
iii. Ação do controlador na variável manipulada para diminuir o valor do
erro.
Temos então que a característica distintiva do controle feedback é que a
variável controlada é medida e a medição é utilizada para ajustar a variável
manipulada. No controle feedback, a variável de perturbação não é medida, o
que pode ser observado no diagrama de blocos apresentado na FIGURA 1
abaixo.
FIGURA 1 – DIAGRAMA DE BLOCOS SIMPLIFICADO PARA O CONTROLE FEEDBACK FONTE: SEBORG, 2004
É importante fazer a distinção entre o feedback negativo e o feedback
positivo. Na literatura da engenharia, o feedback negativo refere-se a situação
desejada onde a ação de correção do controlador força a variável controlada
22
em direção ao set point. Por outro lado, quando ocorre o feedback positivo, o
controlador piora a situação forçando a variável controlada além do set point.
Claramente, é de suma importância garantir que o sistema de controle
feedback incorpore feedback negativo preferencialmente ao feedback positivo.
Uma importante vantagem do controle feedback é que a ação de correção
ocorre independentemente da fonte de distúrbio. Assim, a capacidade de lidar
com distúrbios de origens desconhecidas é a maior razão pela qual o controle
feedback é a estratégia de controle de processo dominante. Outra vantagem
importante é que o controle feedback diminui a sensibilidade da variável
controlada à perturbações não medidas e mudanças no processo. Entretanto, o
controle feedback tem uma limitação fundamental: nenhuma ação corretiva é
tomada enquanto a perturbação tenha descontrolado o processo, ou seja,
antes que a variável controlada tenha desviado do set point.
Assim, podemos listas as principais vantagens do controle feedback:
A ação corretiva ocorre logo que a variável controlada desvia do set
point, independentemente da origem ou tipo da perturbação;
Requer um conhecimento mínimo do processo a ser controlado, em
particular o modelo matemático do processo não é requerido, apesar de
ser muito útil na modelagem do sistema de controle.
Em contrapartida, essa estratégia de controle apresenta as seguintes
desvantagens:
Nenhuma ação de controle é tomada antes que ocorra um desvio na
variável controlada. Portanto, o controle perfeito, onde a variável
controlada não desvia do set point durante perturbações ou mudanças
no set point, é teoricamente impossível;
Não provê ação de controle preditivo para contrabalancear os efeitos de
perturbações conhecidas ou medidas;
Não é satisfatório para processos com grandes constantes de tempo
e/ou grandes delays de tempo. Se uma perturbação persiste por longos
períodos de tempo, o processo irá operar continuamente no estado
transiente e nunca alcançará o estado estacionário desejado;
23
Em algumas situações, a variável controlada não pode ser medida
online, e, consequentemente o controle feedback não é possível.
2.1.3.2. Controle Feedforward (Antecipativo)
O conceito base do controle feedforward é medir importantes variações
de distúrbios e tomar ações corretivas antes que o processo seja alterado. O
diagrama de blocos simplificado do controle feedforward é apresentado na
FIGURA 2.
FIGURA 2 – DIAGRAMA DE BLOCOS SIMPLIFICADO DO CONTROLE FEEDFORWARD FONTE: SEBORG, 2004
O controle feedforward é uma poderosa estratégia para problemas de
controle em que importantes distúrbios podem ser medidas online. Medindo os
distúrbios e tomando a ação corretiva antes que a variável controlada seja
afetada, o controle feedforward provê importantes melhorias ao controle
regulatório. A grande desvantagem, porém é que a variável de perturbação tem
que ser medida (ou estimada) online, o que nem sempre é possível.
O projeto de um controlador feedforward requer o conhecimento de
como a variável controlada responde a mudanças na variável manipulada e na
perturbação, o que geralmente é representado por um modelo do processo.
A característica distintiva do controle feedforward é que a variável de
perturbação é medida, mas a variável controlada não é. Uma vantagem do
controle feedforward é que a ação de correção é tomada antes de a variável
controlada ter se desviado do set point. Idealmente, a ação corretiva irá
24
cancelar os efeitos do distúrbio, portanto a variável controlada não será afetada
pelo distúrbio. Apesar de que essa condição ideal geralmente não é possível, o
controle feedforward pode reduzir significativamente os efeitos das
perturbações medidas.
O controle feedforward possui três desvantagens: primeiramente a
variável de perturbação precisa ser medida (ou precisamente estimada), fato
que não é possível em muitas aplicações; segundo, nenhuma ação corretiva é
tomada para perturbações não medidas; e por fim é necessário um modelo do
processo, ou pelo menos que uma aproximação do modelo esteja disponível
sendo que a qualidade do controle feedforward depende da exatidão do
modelo do processo.
Sabe-se que controladores feedforward ideais que são teoricamente
capazes de alcançar um controle perfeito não podem ser fisicamente
realizáveis. Contudo, aproximações práticas frequentemente provêm controles
efetivos.
Uma abordagem prática é utilizar uma combinação de controle
feedforward-feedback, onde o controle feedback fornece uma ação corretiva
para perturbações não medidas, enquanto o controle feedforward reage para
eliminar as perturbações medidas antes que a variável controlada seja alterada
(Seborg, 2004).
2.1.3.3. Controle Cascata
Como os processos tornaram-se cada vez mais complexos a fim de
aumentar a eficiência e reduzir custos, há muitos incentivos no
desenvolvimento de estratégias especializadas de controle, que são
geralmente chamadas de controle avançado.
Temos como uma desvantagem do controle convencional feedback o
fato de que a ação de controle para perturbações ocorre somente após a
variável controlada ter desviado do set point. Em contrapartida, o controle
feedforward oferece melhorias em relação ao controle feedback em processos
que possuem grandes constantes de tempo ou delays. Porém, o controle
25
feedforward requer que a perturbação seja medida e que o modelo do processo
seja conhecido para então calcular a ação de controle.
Uma abordagem alternativa, que consegue melhorar a resposta
dinâmica a perturbações, emprega um ponto secundário de medição e um
controle feedback secundário. O ponto secundário de medição é situado para
que se reconheça a interferência antes que a variável controlada seja afetada,
mas a perturbação não é necessariamente medida. Essa abordagem,
denominada controle cascata, é largamente utilizada nos processos industriais
e é particularmente vantajosa quando as perturbações estão associadas com a
variável manipulada ou quando o elemento final de controle exibe
comportamento não-linear (Shinskey, 1996).
A estrutura do controle cascata possui duas características distintivas:
i. A saída do controlador mestre é o set point do controlador escravo;
ii. Os dois loops de controle feedback são unidos, com o loop secundário
de controle (para o controlador escravo) situado dentro do loop primário
de controle (para o controlador mestre).
Assim, há duas variáveis controladas, dois sensores, e uma variável
manipulada, enquanto que a estrutura do controle convencional possui uma
variável controlada, um sensor e uma variável manipulada.
O diagrama de blocos para um controle cascata usual é mostrado na
FIGURA 3, onde o subscrito 1 refere-se ao loop de controle primário, enquanto
que o subscrito dois refere-se ao loop de controle secundário.
26
FIGURA 3 - DIAGRAMA DE BLOCOS DO SISTEMA DE CONTROLE CASCATA FONTE: SEBORG, 2004
O controle cascata apresenta as seguintes vantagens:
a. As perturbações que afetam a variável secundária são corrigidas pelo
controlador secundário que possui ação de controle mais rápida, antes
que possam influenciar a medição primária;
b. A velocidade de resposta da malha primária é melhorada pela redução
no atraso de fase existente na parte secundária;
c. A malha secundária permite uma manipulação exata da variável
manipulada pelo controlador primário.
2.1.4. TIPOS BÁSICOS DE CONTROLE
2.1.4.1. Controle Proporcional (P)
No controle feedback o objetivo é reduzir o erro de controle a zero, onde
(SEBORG, 2004, p. 188):
( ) ( ) ( )sp me t y t y t (1)
e
( )e t = sinal de erro (diferença entre a referência e o valor da variável
medida);
( )spy t = set point;
27
( )my t = valor medido da variável controlada.
Embora a Equação (1) indique que o set point pode variar com o tempo,
em muitos problemas de controle de processo o set point é mantido constante
por um longo período de tempo.
No controle proporcional, a saída do controlador é proporcional ao erro
de controle (SEBORG, 2004, p. 188):,
( ) ( )cp t p K e t (2)
onde
( )p t = sinal de saída do controlador, no instante t;
p = sinal de saída do controlador no estado estacionário (erro nulo);
cK = ganho do controlador.
Portanto, no controle proporcional uma mudança na variável manipulada
é proporcional ao desvio no set point. Consequentemente, um maior desvio do
set point produz uma maior ação corretiva, enquanto que um menor desvio
resulta em uma menor ação corretiva.
Temos então as seguintes características para o controle proporcional: o
ganho do controlador pode ser ajustado para que a saída do controlador mude
conforme sensibilidade desejada aos desvios entre o set point e a variável
controlada, e o sinal do ganho cK pode ser escolhido para fazer com que a
saída do controlador aumente (ou diminua) com o aumento do erro de controle.
Nos controladores proporcionais, p pode ser ajustado (reset manual)
para que o erro seja zero quando a saída do controlador se igualar a p , assim
consequentemente a variável manipulada estará em seu valor nominal quando
o erro for zero.
A ação do controlador proporcional ideal é representada pela Equação
(2) e pode ser visualizado na FIGURA 4 abaixo.
28
FIGURA 4 - COMPORTAMENTO IDEAL DO CONTROLE PROPORCIONAL FONTE: SEBORG
Contudo, uma representação mais realística pode ser observada na
FIGURA 5, onde o controlador satura quando sua saída alcança um limite físico
( maxp ou minp ).
FIGURA 5 - COMPORTAMENTO REAL DO CONTROLE PROPORCIONAL FONTE: SEBORG
Neste tipo de controlador, quanto maior o erro maior será o valor inicial
da ação de controle. Vejamos o seguinte caso hipotético, onde temos um valor
de referência sendo alterado após determinado tempo para outro valor,
conforme FIGURA 6. Observa-se que o controlador proporcional acompanha a
variação do valor de referência, porém não anula totalmente o erro. O desvio
existente entre a variável controlada e o valor medido, no estado estacionário,
é chamado de offset (erro no estado estacionário), e é uma característica típica
de controladores proporcionais.
29
FIGURA 6 - CURVA DE RESPOSTA TÍPICA DE UM CONTROLADOR PROPORCIONAL PARA UMA MUDANÇA DE REFERÊNCIA
A fim de obter a função de transferência para um controlador
proporcional ideal (sem limites de saturação), a variável é definida como
(SEBORG, 2004, p. 189):
'( ) ( )p t p t p (3)
Assim, a Equação (2) pode ser escrita como (SEBORG, 2004, p. 189):
'( ) ( )cp t K e t (4)
Portanto, a função de transferência correspondente a este controlador é
(SEBORG, 2004, p. 190):
'( )
( )c
P sK
E s (5)
Uma desvantagem da ação proporcional sobre um processo é que a
correção da ação proporcional deixa sempre um offset, ou seja, o erro não é
eliminado totalmente. O ganho do controlador cK é ajustável e geralmente é
sintonizado após o controlador ser instalado. Porém, o offset ocorre para o
controle proporcional independentemente do ganho empregado, sendo
resultante de uma mudança no set point ou uma perturbação continuada.
Em princípio, o offset pode ser eliminado manualmente redefinindo o set
point ou o valor de saída para estado estacionário após ter ocorrido o offset.
Contudo, essa abordagem é inconveniente, pois é necessária uma intervenção
do operador e o novo valor para spy (ou p ) geralmente precisa ser encontrado
30
por tentativa e erro. Na prática, é mais conveniente utilizar um controlador que
possui uma ação integral, que fornece uma redefinição automática.
2.1.4.2. Controle Integral (I) e Controle Proporcional-Integral (PI)
Na ação de controle integral, a saída do controlador depende da integral
do sinal do erro com o tempo (SEBORG, 2004, p. 190),
* *
0
1( ) ( )
t
I
p t p e t dt
(6)
onde I , um parâmetro ajustável chamado tempo integral ou tempo de reset,
possui unidades de tempo.
A ação de controle integral é largamente utilizada, pois provê uma
vantagem prática muito importante, que é a eliminação do offset.
Embora a eliminação do offset seja um importante objetivo do controle, o
controle integral é raramente utilizado sozinho, pois somente uma pequena
ação de controle é tomada enquanto o sinal de erro persiste por um tempo. Em
contraste, a ação do controlador proporcional atua tão logo um erro é
detectado. Consequentemente, a ação de controle integral é geralmente
utilizada em conjunto com o controle proporcional, formando o controlador
proporcional-integral (PI) (SEBORG, 2004, p. 190):
* *
0
1( ) ( ) ( )
t
c
I
p t p K e t e t dt
(7)
A correspondente função de transferência para o controlador PI é
(SEBORG, 2004, p. 190):
1'( ) 11
( )
Ic c
I I
sP sK K
E s s s
(8)
A FIGURA 7 mostra a resposta do controlador PI a um degrau no erro.
No tempo zero, a saída do controlador muda instantaneamente devido a ação
proporcional. A ação integral causa a rampa em ( )p t para 0t . Quando It
o termo integral tem contribuído a mesma quantidade que o termo proporcional
à saída do controlador.
31
Uma desvantagem do uso da ação integral é que a mesma tende a gerar
respostas oscilatórias da variável controlada, reduzindo a estabilidade do
sistema de controle feedback. Tolera-se geralmente um valor limitado para a
oscilação, pois geralmente está associado a uma resposta mais rápida. O
efeito indesejado de muita ação integral pode ser evitado por uma sintonia
adequada do controlador ou incluindo ação derivativa, que tende a neutralizar o
caráter desestabilizador.
FIGURA 7 - RESPOSTA DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL AO DEGRAU
UNITÁRIO EM ( )e t .
FONTE: SEBORG
Uma desvantagem inerente da ação do controle integral é o fenômeno
conhecido como reset windup. Na ocorrência de um erro continuado o termo
integral torna-se muito grande e a saída do controlador eventualmente satura.
Assim, o acúmulo do termo integral enquanto o controlador está saturado é
chamado de reset windup.
2.1.4.3. Controle Derivativo
A função da ação de controle derivativa é antecipar o comportamento
futuro do sinal de erro considerando a taxa de mudança.
Uma estratégia antecipatória pode ser incorporada em controle
automático fazendo a saída do controlador proporcional a taxa de mudança no
sinal de erro ou na variável controlada. Deste modo, para ação derivativa ideal
(SEBORG, 2004, p. 192),
32
( )( ) D
de tp t p
dt (9)
Onde D , o tempo derivativo, tem unidade de tempo. Assim, a saída do
controlador será igual ao valor nominal p enquanto o erro for constante.
Consequentemente, a ação derivativa nunca é usada sozinha sendo sempre
empregada em conjunto com a ação proporcional ou proporcional-integral.
Assim, para o controlador ideal PD (proporcional-derivativo) temos a
seguinte função de transferência (SEBORG, 2004, p. 192):
'( )(1 )
( )c D
P sK s
E s (10)
Portanto, a ação derivativa tente a estabilizar o processo controlado,
provendo uma ação de controle antecipatória. Por conseguinte, é
frequentemente utilizada para neutralizar a tendência desestabilizadora do
modo integral.
Contudo, a equação apresentada para o controlador ideal PD (Equação
10) é fisicamente sem solução, pois não pode ser implementada usando
componentes analógicos ou digitais. Para controladores analógicos, a função
de transferência em (10) pode ser aproximada por (SEBORG, 2004, p. 192):
'( )1
( ) 1
Dc
D
sP sK
E s s
(11)
Onde a constante geralmente possui valores entre 0,05 e 0,1. Nessa
equação o termo derivativo inclui um filtro, chamado de filtro derivativo, que
reduz a sensibilidade dos cálculos de controle a medições com ruídos de alta
frequência.
A ação de controle derivativa tende a aperfeiçoar a resposta dinâmica da
variável controlada diminuindo o tempo de estabilização do processo, tempo
que leva para alcançar o estado estacionário. Contudo, se a medição do
processo possui muito ruído, a derivada da variável medida mudará
descontroladamente e a ação derivativa irá ampliar o ruído a menos que a
medição seja filtrada. Consequentemente, a ação derivativa é pouco usada no
controle de vazão, pois a mesma tende a ter muito ruído em sua medição.
33
2.1.4.4. Controle Proporcional-Integral-Derivativo (PID)
Os controladores PID (Proporcional-Integral-Derivativo) têm seu
surgimento datado na década de 30, sendo implementados por dispositivos
pneumáticos e mecânicos. Com o advento dos semicondutores, os
controladores PID passaram a ser implementados em hardwares analógicos e
logo na década de 60, com o surgimento dos circuitos integrados, foram
implementados em hardware digital. Já na década de 70, com a emersão
comercial dos computadores, possibilitou-se o desenvolvimento de
controladores PID digitais implementados por software. Assim, desde a década
de 80, com o barateamento dos microcomputadores, os controladores PID vem
sendo utilizados pelas indústrias, fazendo parte do cotidiano de engenheiros e
operadores e constituindo a grande maioria dos controladores encontrados em
todo tipo de instalação industrial.
O Controle Proporcional-Integral-Derivativo possui muitas variações,
porém as mais comuns são a forma paralela, em série e expandida.
Controle PID em Paralelo
Nessa forma as ações derivativas, integral e proporcional do controlador
são operadas em paralelo. O algoritmo do controle PID em paralelo (sem o
filtro derivativo) é (SEBORG, 2004, p. 193):
* *
0
1 ( )( ) ( ) ( )
t
c D
I
de tp t p K e t e t dt
dt
(12)
A função de transferência correspondente é (SEBORG, 2004, p. 193):
'( ) 11
( )c D
I
P sK s
E s s
(13)
Na FIGURA 8 podemos observar que esse controlador pode ser
visualizado como três elementos separados operando em paralelo em ( )E s .
34
FIGURA 8 - DIAGRAMA DE BLOCOS DO CONTROLE PID EM PARALELO (SEM FILTRO DERIVATIVO).
FONTE: SEBORG
Controle PID em Série
Historicamente, foi conveniente a construção de controladores
analógicos (pneumáticos e eletrônicos), portanto o elemento PI e PD operaram
em série. A forma do controlador PID (sem filtro derivativo) pode ser observada
na FIGURA 9.
FIGURA 9 - DIAGRAMA DE BLOCOS DO CONTROLE PID EM SÉRIE (SEM FILTRO DERIVATIVO).
FONTE: SEBORG
A função de transferência correspondente é (SEBORG, 2004, p. 193):
1'( )
1( )
Ic D
I
sP sK s
E s s
(14)
Forma Expandida do Controle PID
Adicionalmente aos modos paralelos e em série do controle PID, a forma
expandida do controle PID apresentada na Equação (15) é utilizada (SEBORG,
2004, p. 195):
35
* *
0
( )( ) ( ) ( )
t
c I D
de tp t p K e t K e t dt K
dt (15)
Nesta equação temos três ganhos, cK , IK e DK , fato que é adequado para a
sintonia do controlador, pois os ganhos podem ser usados para ajustar
independentemente a influência de cada modo de controle.
2.2. REVISÃO DE ANÁLISE DE INCERTEZAS E PROPAGAÇÃO DE ERROS
A tomada de decisão para novos investimentos e modernização dos
sistemas de automação em uma unidade industrial envolve muitas variáveis, as
quais apresentam incertezas em suas determinações e medições.
O conceito de análise de incertezas em malhas de controle pode ser
aplicado em muitos sistemas encontrados na Engenharia Química. Quando se
trata de uma planta industrial, inúmeros equipamentos são empregados, porém
trocadores de calor representam um ponto de extrema importância. Através
deles, fluidos a diferentes temperaturas trocam energia térmica, e por isso,
podem representar uma grande economia ou um grande desperdício de
recursos. O projeto adequado e a garantia da melhor condição de operação
são determinantes para assegurar o consumo ideal de matéria-prima, energia e
utilidades.
O modelo matemático de um processo é apenas uma aproximação do
sistema físico real. Dessa forma, o modelo obtido para representar determinado
processo pode apresentar diferentes tipos de incertezas. Este conceito pode
ser aplicado aos parâmetros calculados de um controlador, onde estes
possuem incertezas decorrentes dos modelos propostos, que na maioria das
vezes nãos são levados em consideração no projeto de sistemas de controle.
Em contrapartida, há alguns métodos que podem ser aplicados a fim de
reduzir o grau de incertezas nas variáveis envolvidas. Para este fim, avaliou-se
dois métodos: o método de análise de sensibilidade e o método de análise de
incertezas.
O primeiro apresenta-se como uma boa ferramenta para conseguir
visualizar como cada variável afeta o problema. Esta análise consiste
36
basicamente em aumentar e reduzir os valores das variáveis do problema e
verificar o impacto no resultado final. Os valores a serem aumentados e
reduzidos dependem do caso em estudo. Assim, pode-se identificar qual
variável é mais sensível para que tenhamos o valor mais correto possível para
a mesma.
Já o segundo é utilizado em situações mais complexas e de maior risco.
Para Vuolo (1995) a incerteza de uma grandeza física pode ser definida
como uma indicação do quanto o melhor valor dessa grandeza difere do valor
verdadeiro, em termos de probabilidade. Destaca ainda, que a teoria de erros
possui os seguintes objetivos básicos:
Obter o melhor valor para a grandeza física a partir do conjunto de
dados disponíveis;
Obter a incerteza do melhor valor encontrado, isto é, determinar o
quanto o melhor valor e diferente do valor verdadeiro.
Portanto, uma forma mais eficiente e exata para estudar o controle de
processos e a caracterização é estudo do erro, que é definido simplesmente
como um desvio entre um valor real e um valor efetivamente encontrado. Os
erros podem então ser classificados em dois grandes grupos, como segue
(Vuolo, 1995):
Erro estatístico ou aleatório: resulta de uma flutuação no resultado da
medição. Não podem ou não são controlados. A dimensão do erro
aleatório somente pode ser estabelecida por meio da analise estatística;
Erro sistemático ou determinístico: decorre de um desvio fixo entre a
grandeza lida e o valor verdadeiro. É um tipo de erro que é sempre
repetitivo, desde que as condições sejam idênticas. Pode ser eliminado
por meio de compensação.
Uma incerteza experimental é o valor possível que o erro pode assumir.
Define uma faixa onde se estima estar localizado o valor da grandeza
medida (dentro de um determinado nível de probabilidade). As fontes de
incertezas são as mesmas que as dos erros, apesar de representarem
indicadores e conceitos diferentes. A seguir será apresentada uma breve
37
revisão dos principais estudos aplicados à incerteza paramétrica em controle
de processos.
Doyle (1982) em um estudo pioneiro introduziu uma abordagem genérica
para análise de sistemas lineares com incertezas estruturadas através de um
método inovador para a época, baseado na teoria espectral de matrizes. O
autor ressalta que seus resultados são promissores para estudos futuros na
área de análise de erros em malhas de controle feedback.
Narayanan et al. (1997) desenvolveram um controlador adaptativo com
modelo interno para o controle do processo de neutralização de pH. Seus
resultados de simulação demonstram a grande robustez do controlador
proposto na rejeição de perturbações para controle servo, sendo capaz de
compensar as incertezas presente no modelo não-linear utilizado.
Pinto (1998) mostrou que um valor econômico pode ser atribuído às
incertezas dos parâmetros de modelos matemáticos, que pode ser utilizado
para a otimização de processos e para suportar a tomada de decisões durante
o planejamento de experimentos (DOE, Design of Experiments). O custo das
incertezas pode ser utilizado para otimizar o planejamento de experimentos.
Mostra que se a estimativa do parâmetro será utilizada para o planejamento,
um valor econômico pode ser atribuído para a incerteza do parâmetro, de modo
que os experimentos podem ser planejados a fim de reduzir o custo das
incertezas dos parâmetros.
Tenne e Singh (2004) projetaram um controlador que compensa as
incertezas paramétricas e suas distribuições. Para o cálculo das distribuições
dos parâmetros, uma aproximação é feita por um conjunto finito de pontos que
são calculados pela técnica de transformação unscented. Este conjunto de
pontos é então usado para projetar controladores robustos que minimizem o
pior desempenho da planta sobre o domínio de incertezas. O projeto dos
controladores aborda sistemas de controle estatisticamente robustos com
atraso de tempo. Um controle feedback de um helicóptero é usado para a
aplicação da técnica da proposta. A principal contribuição do trabalho é a
proposta de uma inovadora técnica para a modelagem das incertezas
paramétricas no projeto de controladores feedback robustos.
Doeswijk et al. (2008) aplicaram técnicas de redução, linearização e
discretização de um modelo não-linear para controle de um processo de
38
estocagem com ventilação forçada de ar. Devido às incertezas geradas pela
ventilação, uma análise de propagação de erros foi abordada para predizer a
incerteza do sistema analiticamente. Por fim, aplicaram o modelo de incertezas
em um sistema de controle ótimo com um intervalo de confiança de 95%.
Segundo Ventin (2010) a estratégia de controle robusto aplicado a um
processo requer a determinação de um modelo nominal caracterizado por uma
função de transferência média que possa ser aplicada para uma ampla faixa de
pontos operacionais, como também um modelo de incertezas para a dinâmica
do modelo. Relata que as incertezas no modelo provêm de diversas fontes e
podem ser classificadas em:
Incertezas paramétricas: o modelo possui estrutura e ordem conhecida,
no entanto, alguns parâmetros são incertos;
Incertezas negligenciadas e de dinâmica não modelada: o modelo é
incorreto devido à falta de dinâmica, tanto por negligência quanto por
incompreensão da modelagem física do sistema. Todo modelo de um
sistema real está sujeito a este tipo de incerteza;
Incertezas aglomeradas: neste caso a descrição da incerteza representa
uma ou várias fontes de incertezas combinadas.
A medida indireta de uma grandeza é efetuada através de uma série de
medidas diretas de grandezas que se relacionam através de fórmulas e
expressões com a grandeza em questão. O método de se calcular as
incertezas no resultado final do valor da grandeza medida indiretamente é
denominado de propagação de erros e pode ser analisado estatisticamente.
39
3. ANÁLISE DE RESULTADOS
3.1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo serão apresentados os resultados referentes à aplicação
de técnicas de controle, análise de incertezas e erros, bem como análise
financeira a malhas de controle. Em particular, foi escolhido um trocador de
calor como estudo de caso, em função da importância econômica destes
equipamentos em processos industriais, em particular na síntese de
poliuretanas (Schork et al., 1993).
3.2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA
Neste trabalho será analisado o sistema (malha) de controle de um
trocador de calor, focando o controle servo e o controle regulatório. O sistema
de controle a ser estudado é apresentado na FIGURA 10, sendo que foram
consideradas desprezíveis as dinâmicas do elemento primário (sensor) e do
elemento final (atuador).
FIGURA 10 – SISTEMA DE CONTROLE DO TROCADOR DE CALOR
Após lançar mão da álgebra de blocos, podem ser obtidas as seguintes
expressões referentes ao estudo do problema servo (perturbação no set point):
40
y s Gp s Gc s
ysp s 1 Gp s Gc s
(01)
m s Gc s
ysp s 1 Gp s Gc s
(02)
Em relação ao estudo do problema regulatório (perturbação na variável
distúrbio), podem ser obtidas as expressões:
y s Gd s
d s 1 Gp s Gc s
(03)
m s Gd s Gc s
d s 1 Gp s Gc s
(04)
As funções de transferência Gp(s) e Gd(s) foram consideradas de 1ª
ordem com tempo morto, conforme as expressões a seguir. Tal escolha se
reflete no fato de a maioria dos equipamentos de troca térmica não possuir
dinâmica complexa (Incropera e DeWitt, 2001).
p sKp eGp s
p s 1
(05)
d sKd eGd s
d s 1
(06)
Os parâmetros das funções de transferência acima foram obtidos a partir
de Seborg et al. (2003), sendo os valores apresentados na TABELA 1 e
referem-se à funções de transferência em termos de variáveis desvio em
relação a um dado estado estacionário. Os valores referentes às incertezas
foram arbitrados em no máximo 20% do valor do respectivo parâmetro, sendo
desprezadas as respectivas covariâncias paramétricas.
41
TABELA 1 - PARÂMETROS DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA
Parâmetro Kp p p Kd d d
Valor 0,9 2 5 2,5 1,0 10
Incerteza 0,15 0,3 0,9 0,3 0,1 1,8
Em função da dinâmica do trocador de calor, foi escolhido um
controlador tipo PI (Proporcional-Integral) para atuação no equipamento,
conforme a expressão a seguir:
1Gc s Kc 1
I s (07)
3.3. ESTABILIDADE DO PROCESSO
Inicialmente serão apresentados os referentes à estabilidade da malha.
Este estudo inicial visa verificar regiões de estabilidade da malha conforme a
escolha dos parâmetros Kc e I do controlador. Assim, observa-se que a
equação característica da malha de controle é dada pela expressão (Bequette,
2003):
1 Gp s Gc s 0
(08)
Substituindo as respectivas expressões de Gp(s) e Gc(s), obtém-se:
p sKp e 11 Kc 1 0
p s 1 I s
(09)
Após alguma manipulação algébrica, resulta:
p sI s 1 Kp Kc e I s p s 1 0
(10)
42
Observa-se a presença do termo e-p.s, o qual corresponde ao tempo
morto da função de transferência Gp(s). Para prosseguimento na análise, este
termo será substituído pela aproximação de Padé (Stephanopoulos, 1984):
p s
1 s2e
1 s2
(11)
Desta forma, a equação característica da malha de controle pode ser
reescrita:
3 2I p p s 2 I p I p 1 Kp Kc s
Kp Kc 2 I p 2 I s 2 Kp Kc 0 (12)
Os polos, isto é, soluções das duas equações anteriores, podem ser
obtidos analiticamente (Abramowitz e Stegun, 1965) em termos dos parâmetros
dos Kc e I do controlador e dos parâmetros Kp; p e p do processo. A partir da
ordem da equação característica da malha de controle, observa-se que
conforme a escolha dos parâmetros do controlador e dos parâmetros
identificados do processo, os polos podem ser:
3 polos reais negativos;
3 polos reais positivos;
2 polos reais positivos e 1 polo real negativo;
2 polos reais negativos e 1 polo real positivo;
1 polo real negativo e 1 par de polos complexos com parte real negativa;
1 polo real negativo e 1 par de polos complexos com parte real positiva;
1 polo real positivo e 1 par de polos complexos com parte real negativa;
1 polo real positivo e 1 par de polos complexos com parte real positiva.
43
2 22 3 3 33
2
2 22 3 3 33
polo1: p
136 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d
6 a
p 2 3 a c b b
3 a 3 a36 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d
(13)
2 22 3 3 33
2
2 22 3 3 33
polo2 : u v i
136 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d
12 a
u 1 3 a c b b
3 a 3 a36 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d
2 22 3 3 33
2
2 22 3 3
136 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d
6 a3
v 2 3 a c b23 a
36 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 33 4 b d
(14)
2 22 3 3 33
2
2 22 3 3 33
polo3: u v i
136 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d
12 a
u 1 3 a c b b
3 a 3 a36 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d
2 22 3 3 33
2
2 22 3 3
136 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d
6 a3
v 2 3 a c b23 a
36 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 33 4 b d
(15)
onde: 2 I p I p 1 Kp Kc Kp Kc 2 I p 2 I 2 Kp Kca 1; b ; c ; d
I p p I p p I p p
44
Substituindo os parâmetros da função Gp(s) apresentados na TABELA 1,
resulta o seguinte polinômio:
3 210 I s I 12 1,8 Kc s 1,8 Kc I 1 2 I s 1,8 0 (16)
Desta forma, os polos podem ser calculados a partir das Equações (13) a
(15). Para tanto, são obtidos os coeficiente da equação característica em termos dos
parâmetros do processo e do controlador. Sendo assim, observa-se que a = 10I;
b=I(12 – 1,8Kc); c=1,8Kc(I – 1)+ 2I; d=1,8.
É importante ressaltar que a presença de polos reais positivos ou polos
complexos com parte real positiva levam à instabilidade da malha de controle
(Bequette, 1998). Com isso, torna-se importante analisar o efeito dos valores dos
parâmetros Kc e I em cada uma das soluções da equação característica (16) cujas
expressões são dadas pelas Equações (13) a (16). Neste sentido, a FIGURA 11
apresenta o comportamento do polo obtido pela expressão polo1; a FIGURA 12,
pela expressão polo2 e a FIGURA 13, pela expressão polo3. Em todos os casos
foram analisados os valores dos polos para os intervalos 0 ≤ Kc ≤ 3 e 0 ≤ I ≤ 8. Para
qualquer valor dos parâmetros de Kc e I nestes intervalos, observa-se que se o polo
for real, este será negativo. No entanto, dependendo dos valores, os polos podem
ser complexos, podendo ou não possuir parte real positiva.
FIGURA 11 - COMPORTAMENTO DO POLO OBTIDO PELA EXPRESSÃO POLO1 EM FUNÇÃO DE
KC E I
45
FIGURA 12 - COMPORTAMENTO DO POLO OBTIDO PELA EXPRESSÃO POLO2 EM FUNÇÃO DE
KC E I
FIGURA 13 - COMPORTAMENTO DO POLO OBTIDO PELA EXPRESSÃO POLO3 EM FUNÇÃO DE
KC E I
A FIGURA 14 apresenta uma sobreposição das curvas, ressaltando uma
pequena região que apresenta possibilidade de que todos os polos venham a ser
reais. A importância reflete-se no fato de que quando todos os polos são reais não
há a presença de overshoot ou oscilação amortecida. Esta ausência pode ser
necessária em cenários envolvendo operações em temperaturas próximas ao ponto
de bolha de misturas e /ou substâncias puras; operações em temperaturas próximas
a limites de segurança e limites de estabilidade térmica de compostos. A FIGURA 14
permite concluir que se os valores escolhidos para os parâmetros estiverem na
46
região correspondente ao cenário 01, todos os polos da malha serão reais e
negativos, portanto a malha será estável e sem overshoot ou oscilação amortecida.
Caso os valores estejam na região correspondente ao cenário 02, o polo
obtido pela expressão polo1 será real negativo e os polos obtidos pelas expressões
polo2 e polo3 formarão um par complexo. No entanto, este gráfico não permite inferir
se a parte real será positiva ou negativa, consequentemente, se a malha será
estável ou não. Finalmente, caso os valores estejam na região correspondente ao
cenário 03, o polo obtido pela expressão polo2 será real negativo e os polos obtidos
pelas expressões polo1 e polo3 formarão um par complexo. De maneira semelhante,
não se pode de antemão ser inferido se a parte real será positiva ou negativa,
consequentemente, se a malha será estável ou não.
FIGURA 14 – SOBREPOSIÇÃO DAS CURVAS
3.4. PROBLEMA SERVO – COMPORTAMENTO DINÂMICO
O problema servo envolve o estudo e análise do comportamento dinâmico da
malha de controle considerando a inserção de distúrbios no set point. Como já
apresentado, o comportamento dinâmico da variável controlada, y, e da variável
manipulada, m, são dados, respectivamente por:
y s Gp s Gc s
ysp s 1 Gp s Gc s (17)
m s Gc s
ysp s 1 Gp s Gc s (18)
47
Assim, o primeiro passo consiste em escolher regras de sintonia adequadas
para definição dos parâmetros do controlador e a consequente simulação do
comportamento dinâmico tanto da variável controlada como da variável manipulada.
A literatura apresenta uma considerável diversidade de regras de sintonia (O'Dwyer,
2009), dentre as quais foram selecionadas algumas para utilização neste trabalho,
sendo que estas serão apresentadas nas próximas seções. Antes, porém, cabe
ressaltar que para os estudos do comportamento dinâmico da malha, foi
considerada uma perturbação do tipo degrau UNITÁRIO no set point. Desta forma,
como o problema em estudo é linear, caso a amplitude do degrau seja diferente de
1, a natureza intrínseca do comportamento dinâmico não será alterada, bastando
multiplicar os valores obtidos pela amplitude desejada para a devida correção dos
valores da variável controlada e da variável manipulada.
3.4.1. CRITÉRIO DE SINTONIA 01: MINIMIZAÇÃO DE IAE
Este critério foi definido para problemas servo e reportado originalmente por
Rovira (1981). Este critério visa determinar parâmetros do controlador PI que
minimizem a integral do erro absoluto, ou seja, que minimizem a expressão:
0
IAE e t dt (19)
Assim, os parâmetros do controlador são calculados pelas seguintes
expressões:
0,861
0,758 pKc
Kp p (20)
pI
p1,02 0,323
p
(21)
A escolha deste critério de sintonia está no fato de que o comportamento da
malha tende a apresentar uma maior velocidade, ou seja, o set point é rapidamente
atingido com um leve overshoot. Cabe salientar que para o problema regulatório, os
valores das constantes são diferentes (Lopez et al. 1967).
48
Portanto, considerando os valores dos parâmetros Kp; p; p do processo, os
quais foram apresentados na TABELA 1, resultam os parâmetros de sintonia do
controlador apresentados na TABELA 2.
TABELA 2 - PARÂMETROS DE SINTONIA DO CONTROLADOR AS FUNÇÕES DE
TRANSFERÊNCIA
Controlador – Gc(s) Processo – Gp(s)
Parâmetro Kc I Kp p p
Valor 1,85 5,61 0,9 2 5
É importante observar que para este conjunto de parâmetros, o sistema está
no cenário 02 apresentado pela FIGURA 14b. Isto significa que o sistema possui 1
polo real e um par complexo. Ainda, segundo esta FIGURA 14b, o polo real é dado
pela Equação (13) e o par complexo é dado pela Equação (14) e (15).
3.4.1.1. Comportamento da variável controlada
Neste estudo, o comportamento da variável controlada no problema servo,
será analisado frente à presença de uma perturbação tipo degrau unitário no set
point. Assim, a função de transferência da malha considerando o processo descrito
por uma função de transferência de 1ª. ordem com tempo morto, Equação (05) e um
controlador do tipo PI, Equação (07), é dada por:
p s
p s
Kp e 1Kc 1
p s 1 I s1y s
s Kp e 11 Kc 1
p s 1 I s
(22)
Substituindo o termo referente ao tempo morto existente no denominador da
função de transferência pela aproximação de Padé de 1ª. ordem, Equação (11),
resulta:
p sKp e 1Kc 1
p s 1 I s1y s
s1 s
Kp 121 Kc 1p s 1 I s
1 s2
(23)
49
Após manipulações algébricas, resulta a expressão:
2 p s
3 2
h s j s k e1y s
s a s b s c s d (24)
Onde
Kp Kc 2 I pI Kp Kc p 2 Kp Kch ; j ; k
I p p I p p I p p (25)
2 I p I p 1 Kp Kc Kp Kc 2 I p 2 I 2 Kp Kca 1; b ; c ; d
I p p I p p I p p (26)
A equação da função de transferência, Equação (24) pode ser reescrita na
forma de frações parciais:
2 p sh s j s k e1y s
s s p s u v i s u v i (27)
p sA B C Dy s e
s s p s u v i s u v i (28)
Sendo que os polos p, u+vi, u–vi são os polos da equação característica da malha
de controle, ou seja, dados pelas Equações (13), (14) e (15).
Portanto, a transformada de Laplace inversa da equação acima é dada por:
p t p
u t p
K1 K2 ey t Heaviside t p
e K3 sen v t p K4 cos v t p (29)
Sendo que os parâmetros Ki, i={1...4} apresentados a seguir dependem dos
parâmetros A, B, C, D da expansão em frações parciais e dos polos p, u+vi, u–vi,
Equações (13), (14) e (15). Desta forma, conclui-se que os parâmetros Ki são na
verdade dependentes dos parâmetros do processo Kp; p; p e do controlador Kc; I,
como pode ser visto.
50
2 2 2
2 2 2 2 2
v ( p v 2 p u u ) k
(u v ) (p v 2 p u u ) v pK1
2 2 2
2 2 2 2 2
v (u v ) (h p j p k)
(u v ) (p v 2 p u u ) v pK2
2 2 4 2 2 3 4
3 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 h u v k p u h v k u j p v h p u h up
j u k v h p v u u j v j p u
(u v ) (p v 2 p u u )K
v3
p
2 2 2 2
2 2 2 2 2
p v k p 2 k u h p u j u hK
p v j v
(u v ) (p v 2 p u u ) v p4
(30)
Assim, a serem substituídos os correspondentes valores dos parâmetros do
processo e do controlador, os quais são reportados na TABELA 2, observa-se que
os polos da malha, ou seja, as raízes da equação característica, Equação (16), são
dadas por polo1: – 0,1661; polo2: – 0,3501 + 0,4851i; polo3: – 0,3501 – 0,4851i.
Como as partes reais são negativas, a malha de controle será estável. Portanto, o
comportamento dinâmico da variável controlada, Equação (29) é dado pela
expressão:
0,1661 t 2
0,3501 t 2
1 0,07512 e
0,005394 sen 0,4851 t 2y t Heaviside t 2e
0,9249 cos 0,4851 t 2
(31)
Assim, a FIGURA 15 apresenta um gráfico do comportamento dinâmico da
variável controlada, y(t), em função do tempo. Uma análise deste gráfico ilustra
alguns aspectos a serem ressaltados. Inicialmente, observa-se, como esperado, o
efeito da presença do tempo morto no processo, tendo em vista que a variável
começa a alterar seu comportamento apenas após 2 unidades de tempo, valor de p.
Observa-se, também a estabilidade da malha e a ausência de offset, tendo em vista
que a variável y(t) atinge o novo set point, definido pelo degrau unitário. Observa-se
a presença de um overshoot (sobrevalor) em y(t). Este ocorreu em função da
presença de polos complexos, os quais introduzem a presença de funções
trigonométricas na expressão de y(t), mas cujo efeito é amortecido devido ao
produto pela função exponencial com argumento negativo.
51
Analisando-se a derivada da Equação (29), obtém-se que o valor máximo da
variável manipulada é de aproximadamente 1,09, o qual ocorre no tempo 7,3 em
relação à aplicação do distúrbio no set point.
FIGURA 15 - COMPORTAMENTO DA VARIÁVEL CONTROLADA y(t) EM FUNÇÃO DO TEMPO
Finalmente, é importante analisar o valor do IAE, critério usado para análise
do desempenho de malhas de controle e, neste caso em particular, usado para
definição dos parâmetros de sintonia do controlador. O valor do IAE é dado por 3,92,
o que é um valor baixo, sendo que para uma transição instantânea de set point este
valor seria 0. Observa-se que em 3 unidades de tempo após o tempo morto a malha
atinge o novo valor de set point pela primeira vez e em 15 unidades de tempo após o
tempo morto pode-se considerar que a malha atingiu o novo set point permanecendo
em estado estacionário.
0 0
IAE e t dt ysp t y t dt 3,92 (32)
52
3.4.1.2. Comportamento da variável manipulada
Deve-se ter em mente que apenas a análise do comportamento da variável
controlada não é suficiente para a sintonia adequada para o controle do processo.
Torna-se de suma importância a análise do comportamento da variável manipulada.
Tal importância reflete-se, por exemplo, na verificação prévia de saturação de
atuadores, tanto em topo quanto em fundo de escala. Neste caso em estudo, a
variável manipulada é a vazão de alimentação de fluído de troca térmica para o
trocador de calor. Assim, torna-se imprescindível para a operação do equipamento
que a válvula de controle não esteja com 0% de abertura (totalmente fechada) ou
com 100% de abertura (totalmente aberta).
Matematicamente, o comportamento da variável manipula em função de
distúrbios no set point é dada pela Equação (18) apresentada a seguir.
m s Gc s
ysp s 1 Gp s Gc s (33)
Ao serem substituídas as funções de transferência Gp(s) e Gc(s) utilizadas
para o estudo do comportamento dinâmico da variável controlada, resulta a seguinte
expressão, ao ser considerada a presença de um distúrbio tipo degrau no set point
da malha:
p s
1Kc 1
I s1m s
s Kp e 11 Kc 1
p s 1 I s
(34)
De forma similar, o termo e–ps deve ser substituído pela respectiva
aproximação de Padé de 1ª. ordem, resultando a seguinte expressão:
1Kc 1
I s1m s
s1 s
Kp 121 Kc 1p s 1 I s
1 s2
(35)
53
Após manipulações algébricas, resulta a expressão a seguir. Observa-se que
o denominador é igual ao da equação para a análise da variável controlada. Isto
ocorre pois o denominador envolve a equação característica da malha de controle.
3 2
3 2
q s w s x s z1m s
s a s b s c s d (36)
Onde
Kc p 2 I p I Kc 2 I p pI p Kc p 2 Kcq ; w ; x ; z
I p p I p p I p p I p p
(37)
2 I p I p 1 Kp Kc Kp Kc 2 I p 2 I 2 Kp Kca 1; b ; c ; d
I p p I p p I p p (38)
A equação da função de transferência, Equação (36) pode ser reescrita na
forma de frações parciais:
3 2q s w s x s z1m s
s s r s u v i s u v i (39)
E F H Mm s
s s p s u v i s u v i (40)
Sendo que os polos p, u+vi, u–vi são os polos da equação característica da malha
de controle, ou seja, dados pelas Equações (13), (14) e (15).
Portanto, a transformada de Laplace inversa da equação acima é dada por:
p t u tm t N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v t (41)
Sendo que os parâmetros Ni, i={1...4} apresentados a seguir dependem dos
parâmetros E, F, H, M da expansão em frações parciais e dos polos p, u+vi, u–vi,
Equações (13), (14) e (15). Desta forma, conclui-se que os parâmetros Ni são na
verdade dependentes dos parâmetros do processo Kp; p; p e do controlador Kc; I,
como também pode ser visto na análise do comportamento da variável controlada.
54
2 2 2
2 2 2 2 2
( p v 2 p u u ) z v
(u v ) (p v 2 p u u ) v pN1
2 2 3 2
2 2 2 2 2
v ((u v ) (q p w p x p z)
(u v ) (p v 2 p u ) v pN
u2
4 4 2 2 2 3 2 3 2
5 2 4 3 2 2 4 4 2
2 2 2 2 2
u q v q p u 2 w u v u x v x u x p v w p u w p v u
q u z v w u 2 q u v x p u q p v w v z u z p u
(u v ) (p v 2 p u u ) v
p
N3p
2 2 3 4 4 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 q u v 2 q p u q u q v 2 q p v uv p
z p 2 z u w p u x u w p v x v
(u v ) (p v 2 p u u ) v pN4
(42)
Assim, a serem substituídos os correspondentes valores dos parâmetros do
processo e do controlador, os quais são reportados na TABELA 2, observa-se que
os polos da malha, ou seja, as raízes da equação característica, Equação (16),
continuam dadas por polo1: – 0,1661; polo2: – 0,3501 + 0,4851i; polo3: – 0,3501 –
0,4851i. Como as partes reais são negativas, a malha de controle será estável.
Portanto, o comportamento dinâmico da variável manipulada, Equação (41) é dado
pela expressão:
0,1661p t
u t
m t 1,111 0,01415 e
1 e 2,947 sen 0,4851 t 0,7568 cos 0,4851 t (43)
Assim, a FIGURA 16 apresenta um gráfico do comportamento dinâmico da
variável manipulada, m(t), em função do tempo. Uma análise deste gráfico ilustra
alguns aspectos a serem ressaltados. Inicialmente, observa-se, que há um salto
inicial da variável manipulada, a qual salta instantaneamente de 0 para
aproximadamente 1,9. Esta salto ocorre em função do tipo de controlador utilizado,
PI, sendo uma função do ganho do controlador. Observa-se, que a variável
manipulada continua em uma trajetória de aumento até atingir o máximo no tempo
igual a 2. Isso ocorre em função do tempo morto do processo. Como até o tempo 2 o
processo ainda não começou a responder à mudança do set point, o erro
permanece constante, assim, há uma tendência de aumento no valor da ação de
controle em função, também, da existência do componente integral no controlador.
55
Após o tempo igual a 2, as ações de controle começam a diminuir pois o processo
começa a responder.
Como não há presença de resposta inversa, a variável controlada tende a ter
seu valor aumentando, reduzindo o erro. Observa-se o valor da ação de controle
atinge um novo valor de estado estacionário, no valor de 1,1, superior ao valor de
estado estacionário antes da aplicação do degrau no set point. Este valor maior é
esperado pois houve uma demanda por aumento na temperatura de saída do
trocador de calor estudado e para este sistema houve a necessidade de injeção de
maior quantidade de fluído de troca térmica.
FIGURA 16 - COMPORTAMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA M(T) EM FUNÇÃO DO TEMPO
3.4.1.3. Problema Servo – variância da variável controlada e da variável
manipulada
Os modelos matemáticos utilizados foram identificados a partir de dados
experimentais. Portanto, em função de erros experimentais de medição e de
procedimentos de estimação de parâmetros, os valores de Kp; p; p possuem
incertezas. Consequentemente, como os valores de Kc e I do controlador são
56
calculados a partir da função de transferência do processo, estes também possuem
incerteza. Assim, torna-se importante avaliar qual o efeito das incertezas
paramétricas no valor da variável controlada e no valor da variável manipulada, para
que possam ser obtidos intervalos de confiança adequados para uma melhor
representatividade comportamento da malha de controle.
Para uma função qualquer dada por =(1;...; n), a incerteza (variância)
total do valor de depende das variâncias individuais de cada variável , bem como
da covariância entre estas variáveis, podendo ser calculada pela expressão:
2n n 1 n2 2 2
i i j
i 1 i 1 j i 1
2i i j
(44)
Neste estudo, como apresentado anteriormente, os valores das incertezas
dos parâmetros das funções de transferência Gp(s) e Gc(s) foram arbitrados de
forma a serem inferiores a 20% do respectivo parâmetros, sendo listados na
TABELA 1. Desta forma, inicialmente deve ser calculada a incerteza dos parâmetros
dos controladores. Portanto, tem-se, a partir da Equação (20) e da Equação (21), as
quais definem a forma de cálculo de Kc e I, as seguintes expressões,
desconsiderando-se a covariância paramétrica entre Kp; p e p:
2 2 2
2 2 2 2
Kc Kp p p
22 2 2
Kc Kp p1,722 3,722 3,722
4 2 4 2
0,57
Kc Kc Kc
Kp p p
0,425936 p 0,425936
p p pKp Kp p Kp
p
5
p
64
p
4 2
p
2p
(45)
2 2 2
2 2 2 2
I Kp p p
2 2
I Kp 2
I I I
Kp p p
1 0,323 p0
p p1,02 0,323 p 1,02 0,323p p
2 2
p p4
0,104329
p1,02 0,323
p
(46)
Substituindo os valores correspondentes são obtidos os valores a seguir:
2
Kc Kc Kc
2
I I
0,235 0,485 0,50 Kc 1,9 0,5
0,761 0,872 0,90 I I 5,6 0,9
57
Assim sendo, a variância da variável controlada e da variável manipulada
podem ser calculadas pelo mesmo procedimento. Iniciando a análise pela variável
controlada, como obtido anteriormente, o valor de y(t) é dado pela Equação (47)
apresentada abaixo:
p t p
u t p
K1 K2 ey t Heaviside t p
e K3 sen v t p K4 cos v t p (47)
Mas como já oportunamente reportado, os parâmetros K1 à K4 são funções
dos parâmetros da função h, j, k da função de transferência da malha de controle, os
quais são dados pela Equação (48), reproduzidos abaixo. Além disso, são funções
dos polos p, u+vi, u–vi dados pelas Equações (13), (14) e (15), respectivamente, os
quais, também dependem dos parâmetros Kp; p; p; Kc; I. Portanto, inicialmente
devem ser definidas as respectivas dependências funcionais:
h I Kp Kc p ; j Kp Kc 2 I p ; k 2 Kp Kc (48)
h h I; p;Kp;Kc; p ; j j I; p;Kp;Kc; p ; k k I; p;Kp;Kc; p (49)
Ao serem analisadas as Equações (13), (14) e (15), resulta de forma genérica
as seguintes dependências funcionais:
a a I; p; p ; b b I; p; p;Kp;Kc ; c c Kp;Kc; I; p ; d d Kp;Kc (50)
p p a;b;c;d
p p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(51)
u u a;b;c;d
u u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(52)
v v a;b;c;d
v v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(53)
Em relação aos parâmetros da Equação (47), têm-se:
58
K1 K1 k;p;u;v
k Kp;Kc ;
p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;K1 K1
u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(54)
K2 K2 h; j;k;p;u;v
h I;Kp;Kc; p ;
j Kp;Kc; I; p ;
k Kp;Kc ;K2 K2
p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(55)
K3 K3 h; j;k;p;u;v
h I;Kp;Kc; p ;
j Kp;Kc; I; p ;
k Kp;Kc ;K3 K3
p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(56)
K4 K4 h; j;k;p;u;v
h I;Kp;Kc; p ;
j Kp;Kc; I; p ;
k Kp;Kc ;K4 K4
p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(57)
59
Desta forma, resulta que:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
Kp p p Kc Iy t
p t p
u t p
2
y t
y t y t y t y t y t
Kp p p Kc I
K1 K2 e
Kp e K3 sen v t p K4 cos v t p
2
2
Kp
2p t p
2
pu t p
p t p
u t
Heaviside t p
K1 K2 eHeaviside t p
p e K3 sen v t p K4 cos v t p
K1 K2 e
p e
2
2
pp
p t p
u t p
Heaviside t pK3 sen v t p K4 cos v t p
K1 K2 eHeaviside t p
Kc e K3 sen v t p K4 cos v t p
2
2
Kc
2p t p
2
Iu t p
K1 K2 eHeaviside t p
I e K3 sen v t p K4 cos v t p
(58)
A seguir, apresenta-se mais uma etapa do algebrismo da Equação (58),
correspondente à aplicação da derivada a cada um dos termos. Com o intuito de
apresentar a complexidade dos cálculos, a Equação (59) apresenta apenas um dos
termos da Equação (60). Mais especificamente é apresentada a sequência de
derivadas referentes ao termo K1
Kc. Assim, deve-se ressaltar que K1(k,p,u,v) é dado
pela Equação (30) e, por sua vez, as expressões de p, u, v são dados pelas
Equações (13), (14) e (15), respectivamente. A expressão a seguir apresenta este
termo.
K1 k
k Kc
K1 p b K1 p c K1 p d
K1 p b Kc p c Kc p d Kc
Kc K1 u b K1 u c K1 u d
u b Kc u c Kc u d Kc
K1 v b K1 v c K1 v d
v b Kc v c Kc v d Kc
(59)
60
p t pp t p
u t pu t p u t p
u t pu t p u t p
2
y t
K1 e K2K2 e
Kp Kp Kp
sen v t pe K3Heaviside t p K3 sen v t p e sen v t p e K3
Kp Kp Kp
cos v te K4K4 cos v t p e cos v t p e K4
Kp Kp
2
2
Kp
p t pp t p
u t pu t p
p
Kp
K1 e K2K2 e
p p p
e K3Heaviside t p K3 sen v t p e sen v t
p p
2
u t p
p
u t pu t p u t p
sen v t pp e K3
p
cos v t pe K4K4 cos v t p e cos v t p e K4
p p p
2
p t pp t p
u t pu t p u t p
u t pu t p u t p
K1 e K2K2 e
p p p
sen v t pe K3Heaviside t p K3 sen v t p e sen v t p e K3
p p p
cos v t pe K4K4 cos v t p e cos v t p e K4
p p p
2
2
p
p t p u t pHeaviside t pK1 K2 e e K3 sen v t p K4 cos v t p
p
K1
K
Heaviside t p
p t pp t p
u t pu t p u t p
u t pu t p u t p
e K2K2 e
c Kc Kc
sen v t pe K3K3 sen v t p e sen v t p e K3
Kc Kc Kc
cos v t pe K4K4 cos v t p e cos v t p e K4
Kc Kc Kc
2
2
Kc
p t pp t p
u t pu t p u t p
K1 e K2K2 e
I I I
sen v t pe K3Heaviside t p K3 sen v t p e sen v t p e K3
I I I
2
2
I
u t pu t p u t p
cos v t pe K4K4 cos v t p e cos v t p e K4
I I I
(60)
Desta forma, ao serem substituídos os valores, o comportamento dinâmico da
variância da variável controlada, Equação (60), é apresentado pela FIGURA 17.
Observa-se que no tempo igual a 2, há uma descontinuidade na expressão da
variância. Este fato ocorre, pois neste instante o processo começa a responder à
perturbação no set point. Mais especificamente, a principal contribuição desta
descontinuidade surge do termo relativo ao tempo morto P. Isso provavelmente
ocorre, pois como o tempo morto possui incerteza, não se sabe exatamente quando
o processo começa a transição para o novo set point. A FIGURA 18, por sua vez,
apresenta o comportamento da variável controlada considerando a região de
confiança formada pelo desvio padrão da variável controlada, isto é, pela raiz
quadrada da variância. Observa-se que a variância tende a um valor próximo a zero
61
quando o processo atinge o novo set point. Isso provavelmente, ocorre pois nesta
situação não há mais elemento de dinâmica com elevada influência na variável
controlada.
FIGURA 17 - COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÂNCIA DA VARIÁVEL CONTROLADA
FIGURA 18 - COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÁVEL CONTROLADA CONSIDERANDO REGIÃO DE CONFIANÇA
62
Em relação à variável manipulada, pode ser desenvolvido o mesmo
procedimento de análise. Assim sendo, a variável manipulada é dada pela
expressão apresentada abaixo:
p t u tm t N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v t (61)
Mas como já oportunamente reportado, os parâmetros N1 à N4 são funções
dos parâmetros da função q, w, x, z da função de transferência da malha de
controle, os quais são dados pela Equação (41), reproduzidos abaixo. Além disso,
são funções dos polos p, u+vi, u–vi dados pelas Equações (13), (14) e (15),
respectivamente, os quais, também dependem dos parâmetros Kp; p; p; Kc; I.
Portanto, inicialmente devem ser definidas as respectivas dependências funcionais:
Kc p 2 I p I Kc 2 I p pI p Kc p 2 Kcq ; w ; x ; z
I p p I p p I p p I p p
(62)
q q I; p;Kp;Kc; p ; w w I; p;Kp;Kc; p ;
x x I; p;Kp;Kc; p ;z z I; p;Kp;Kc; p (63)
Ao serem analisadas as Equações (13), (14) e (15), conclui-se que as formas
funcionais continuam as mesmas do caso anterior.
a a I; p; p ; b b I; p; p;Kp;Kc ; c c Kp;Kc; I; p ; d d Kp;Kc (64)
p p a;b;c;d
p p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(65)
u u a;b;c;d
u u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(66)
v v a;b;c;d
v v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(67)
Em relação aos parâmetros da Equação (61), têm-se:
63
N1 N1 z;p;u;v
z I; p;Kp;Kc; p ;
p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;N1 N1
u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(68)
N2 N2 q;w;x;z;zp;u;v
q I; p;Kp;Kc; p ;
w I; p;Kp;Kc; p ;
x I; p;Kp;Kc; p ;
N2 N2 z I; p;Kp;Kc; p ;
p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(69)
N3 N3 q;w;x;z;zp;u;v
q I; p;Kp;Kc; p ;
w I; p;Kp;Kc; p ;
x I; p;Kp;Kc; p ;
N3 N3 z I; p;Kp;Kc; p ;
p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(70)
N4 N4 q;w;x;z;zp;u;v
q I; p;Kp;Kc; p ;
w I; p;Kp;Kc; p ;
x I; p;Kp;Kc; p ;
N4 N4 z I; p;Kp;Kc; p ;
p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;
v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc
(71)
64
Desta forma, resulta que:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
Kp p p Kc Im t
2
p t u t 2
Kp
2
m t
m t m t m t m t m t
Kp p p Kc I
N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v tKp
N1p
2
p t u t 2
p
2
p t u t 2
p
2
p t u t 2
Kc
p t u t
N2 e e N3 sen v t N4 cos v t
N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v tp
N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v tKc
N1 N2 e e N3 sen v t N4 coI
2
2
Is v t
(72)
A seguir, apresenta-se mais uma etapa do algebrismo da Equação (58),
correspondente à aplicação da derivada a cada um dos termos. Com o intuito de
apresentar a complexidade dos cálculos, a Equação (73) apresenta apenas um dos
termos da Equação (74). Mais especificamente é apresentada a sequência de
derivadas referentes ao termo N1
Kc. Assim, deve-se ressaltar que N1(k,p,u,v) é
dado pela Equação (42) e, por sua vez, as expressões de p, u, v são dados pelas
Eq.(13), (14) e (15), respectivamente. A expressão a seguir apresenta este termo.
N1 z
z Kc
N1 p b N1 p c N1 p d
N1 p b Kc p c Kc p d Kc
Kc N1 u b N1 u c N1 u d
u b Kc u c Kc u d Kc
N1 v b N1 v c N1 v d
v b Kc v c Kc v d Kc
(73)
65
2p t
p t
u tu t pu t
u tu t pu t
2
m t
N1 e N2N2 e
Kp Kp Kp
sen v te N3N3 sen v t e sen v t e N3
Kp Kp Kp
cos v te N4N4 cos v t e cos v t e N4
Kp Kp Kp
2
Kp
2p t
p t
u tu t pu t
u tu t pu t
N1 e N2N2 e
p p p
sen v te N3N3 sen v t e sen v t e N3
p p p
cos v te N4N4 cos v t e cos v t e N4
p p p
2
p
2p t
p t
u tu t pu t
u tu t pu t
N1 e N2N2 e
p p p
sen v te N3N3 sen v t e sen v t e N3
p p p
cos v te N4N4 cos v t e cos v t e N4
p p p
2
p
2p t
p t
u tu t pu t 2
Kc
u tu t pu t
N1 e N2N2 e
Kc Kc Kc
sen v te N3N3 sen v t e sen v t e N3
Kc Kc Kc
cos v te N4N4 cos v t e cos v t e N4
Kc Kc Kc
2p t
p t
u tu t pu t 2
I
u tu t pu t
N1 e N2N2 e
I I I
sen v te N3N3 sen v t e sen v t e N3
I I I
cos v te N4N4 cos v t e cos v t e N4
I I I
(74)
Desta forma, ao serem substituídos os valores, o comportamento dinâmico da
variância da variável manipulada, Equação (74), é apresentado pela FIGURA 19.
Observa-se que não há descontinuidade, pois para a variável manipulada não existe
a influência direta do tempo morto, pois o controlador está em ação deste a
aplicação da perturbação no set point, independentemente do processo responder
ou não. A FIGURA 20, por sua vez, apresenta o comportamento da variável
manipulada considerando a região de confiança formada pelo desvio padrão da
variável manipulada, isto é, pela raiz quadrada da variância. Observa-se que a
variância tende a um valor próximo a zero quando o processo atinge o novo set
point. Isso provavelmente ocorre, pois nesta situação não há mais elemento de
dinâmica com elevada influência na variável controlada.
66
FIGURA 19 - COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÂNCIA DA VARIÁVEL CONTROLADA
FIGURA 20 - COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÁVEL CONTROLADA CONSIDERANDO REGIÃO DE CONFIANÇA
67
3.5. PROBLEMA SERVO – FUNÇÃO CUSTO PARA TRANSIÇÃO DE SET POINT
A malha de controle possui custos para o seu funcionamento. Neste estudo,
este custo foi representado pela quantidade de ação de controle que deve ser
adicionada para que o novo set point seja atingido. Desta forma, matematicamente,
esta quantidade pode ser representada pela expressão a seguir que representa a
integral de m(t) entre um instante inicial, quando a perturbação no set point foi
inserida e outro instante, quando o sistema atingiu o set point.
estadoestacionário
0
custo m t dt (75)
Assim sendo, para o sistema em análise, considerando os parâmetros e
incertezas dados pela Tabela 1 e pela Tabela 2 e considerando que no tempo igual
a 25 o sistema atingiu o novo set point, resulta, após integração da Equação (43),
um custo igual a 31,82.
25
0,1661p t u t
0
custo 1,111 0,01415 e 1 e 2,947 sen 0,4851 t 0,7568 cos 0,4851 t dt 31,82 (76)
No entanto, observa-se que este custo pode ser maior ou menor que este
valor. Por exemplo, considerando-se as integrais a baixo, obtém-se,
respectivamente valores considerando a variável manipulada somada à sua
incerteza e valores considerando a variável manipulada subtraída de sua incerteza.
25
2
m tEq.(39) Eq.(61)0
custo m t dt 39,02 (77)
25
2
m tEq.(39) Eq.(61)0
custo m t dt 24,62 (78)
Comumente, representa-se o intervalo de confiança de uma variável para um
nível de confiança de 95%, considerando duas vezes o desvio padrão (Pinto e
Schwaab, 2007). Nesta situação, as integrais são dadas por:
68
25
2
m tEq.(39) Eq.(61)0
custo m t 2 dt 46,22 (79)
25
2
m tEq.(39) Eq.(61)0
custo m t 2 dt 17,42 (80)
Com isso, conclui-se que o valor verdadeiro do custo desta malha de controle,
para uma transição unitária de set point, situa-se no intervalo ]46,22 ; 17,42[.
Observa-se que estes valores representam uma diferença de aproximadamente 50%
em relação ao valor calculado, ou seja, a amplitude do intervalo equivale a
aproximadamente 98% do valor da variável. A FIGURA 21 ilustra graficamente estas
regiões.
Observa-se que o intervalo é consideravelmente grande. Uma forma de
reduzir esta amplitude consiste em considerar mais pontos experimentais para a
identificação do processo, de forma que os valores 2 2 2
Kp p p; ; possam ser reduzidos.
FIGURA 21 - REGIÕES DE INCERTEZA DA VARIÁVEL MANIPULADA
69
Desta forma, torna-se importante realizar uma análise de sensibilidade para
estudo do intervalo de confiança do valor do custo da malha de controle. Assim,
considerando que foi adicionada uma quantidade de pontos experimentais de forma
a reduzir em 30% o valor da incerteza dos parâmetros do processo apresentados na
TABELA 1, sem alterar significativamente o valor do parâmetro. Desta forma
resultam os valores apresentados na TABELA 3. Como os valores dos parâmetros
do processo não foram alterados, os valores dos parâmetros do controlador, Kc e I
não se alteram, apenas a sua respectiva incerteza que deve ser recalculada
considerando as Equações (45) e (46).
TABELA 3 - VARIÂNCIA PARAMÉTRICA RECALCULADA CONSIDERANDO UMA MAIOR QUANTIDADE DE PONTOS EXPERIMENTAIS
Parâmetro Kp p p
Valor 0,9 2 5
Incerteza Original 0,15 0,3 0,9
Incerteza Reduzida em
30% 0,105 0,21 0,63
Substituindo os valores correspondentes são obtidos os novos valores a
seguir:
2
Kc Kc Kc
2
I I
0,115 0,339 0,34 Kc 1,85 0,34 1,9 0,3
0,373 0,611 0,61 I I 5,61 0,61 5,6 0,6
Considerando-se os novos valores das incertezas, resultam os seguintes
valores para a função custo:
25
0,1661p t u t
0
custo 1,111 0,01415 e 1 e 2,947 sen 0,4851 t 0,7568 cos 0,4851 t dt 31,82 (81)
25
2
m tEq.(39) Eq.(61)0
custo m t 2 dt 41,89 (82)
25
2
m tEq.(39) Eq.(61)0
custo m t dt 36,85 (83)
70
25
2
m tEq.(39) Eq.(61)0
custo m t dt 26,77 (84)
25
2
m tEq.(39) Eq.(61)0
custo m t 2 dt 21,73 (85)
A FIGURA 22 apresenta as regiões de incerteza da variável manipulada
recalculadas.
FIGURA 22 - REGIÕES DE INCERTEZA DA VARIÁVEL MANIPULADA
Assim, uma redução de 30% na incerteza dos parâmetros do processo,
resultou no intervalo ]41,89 ; 21,73[. Observa-se que a agora, a amplitude do
intervalo equivale a 63,3% do valor da variável. Assim, houve um considerável
aumento na certeza em relação ao valor da função custo. Por tanto, a quantidade de
pontos experimentais influência de maneira decisiva o valor da função custo.
71
4. CONCLUSÃO
Neste trabalho avaliou-se a influência paramétrica em um sistema de controle
de um trocador de calor que pode ser encontrado em processos de polimerização,
em particular em processos de polimerização para produção de poliuretanas.
Considerou-se que o processo é descrito por uma função de transferência de
1ª. ordem com tempo morto e o sistema é controlado por um controlador tipo PI
(Proporcional-Integral), sendo os parâmetros do processo obtidos na literatura. Foi
considerada uma regra de sintonia reportada por Lopez et al. (1967) que considera a
minimização do critério IAE.
O estudo considerou a existência de uma transição positiva de set point sob a
forma de um degrau unitário. Observou-se que o controlador conseguiu fazer com
que o sistema atingisse o novo set point desejado, apresentando um leve overshoot.
Foi determinado o comportamento dinâmico da variável manipulada. Observando-se
a existência de um salto inicial e de um pico em seu valor, ressaltando que em
função do novo set point o valor de estado estacionário da variável manipulada é
superior ao valor existente anterior à aplicação do degrau. Foram calculadas as
incertezas dos parâmetros do controlador utilizando por base as incertezas dos
parâmetros do processo. A partir destes valores foi possível calcular a variância da
variável controlada e da variável manipulada. Verificando-se que na região de
dinâmica mais acentuada, maior erro (diferença entre variável controlada e
manipulada), a incerteza é bastante significativa, algo em torno de 10% do valor da
variável, seja para a variável controlada como para variável manipulada.
A partir dos valores da variável manipulada bem como sua respectiva
incerteza, definiu-se uma função custo para a malha de controle, consistindo na
“quantidade de variável manipulada” utilizada para que seja feita a transição
adequada de set point. Calculou-se o intervalo de confiança para o custo da malha,
observando-se que a amplitude do intervalo para 95% de confiança equivale ao
próprio valor da variável. Isto indica que há muita incerteza, sendo, assim,
necessário que sejam considerados mais dados experimentais para a identificação
do processo, de forma a reduzir a incerteza dos parâmetros Kp, p e p.
Considerando-se que uma adição de pontos experimentais leve a uma redução
de 30% na incerteza paramétrica sem mudança significativa nos valores dos
72
parâmetros, houve uma redução de aproximadamente 38% na amplitude do intervalo
de confiança da função custo.
73
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