Análise de Sinais e Sistemas

K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas

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Análise de Sinais e

Sistemas

Prof. Dr. K. Z. Nóbrega


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Programa Resumido• Definição de Sinais e Sistemas

• Tipos e Operações sobre Sinais

• Tipos e Propriedades dos Sistemas

• Definição de um SLIT

• Representação de um sistema por EDO e ED

• Convolução e suas aplicações

• Análise de Fourier: Série e Transformada

• Análise de Transformada de Laplace

• Análise de Transformada Z


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Bibliografia

3

• B. P. Lathi. "Sinais e Sistemas Lineares“. 2ª edição, Editora Bookman, 2004.

• Simon Haykin, Barry V. Veen, "Sinais e Sistemas“. Editora Bookman, 2002.

•Hsu, Hwei, "Sinais e Sistemas – Coleção Schaum“. 2ª Edição, Editora Bookman, 2000.

•Kamen, Edward W., Heck, Bonnie S. Fundamentals of Signals and Systems. Prentice_Hall.


4

Informações Adicionais

4

• Falta de base matemática

Procurar as inúmeras apostilas disponíveis na rede; Procurar o professor

• Pouco a vontade com Matlab

Fazer “revisões” de: polinômios, números complexos, EDO, etc.


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Introdução

• Definir sinais e sistemas, no contexto da engenharia;

•Apresentar noções básicas de análise de sistemas, especialmente os lineares e invariantes no tempo;

• Apresentar ao aluno ferramentas matemáticas básicas, que servem de análise para projetos, de modelagem a prototipagem;

• Estimular o aprender, especialmente nas relações tempo e freqüência .


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SinaisOs sinais são componentes básicos em nossas

vidas.

Ex: sinais de áudio ou voz (analógicos ou digitais) ; tensões e correntes em um circuito eletrônico; sinais de vídeo; temperatura; pressão arterial, flutuação diária das cotações em bolsas, etc.

Conforme notado, a natureza física, inerente a cada sinal, pode ser diversa, i.e., elétrica, mecânica, virtual, etc.

Desta forma, trabalhar com os sinais, muitas vezes, envolve conversão de sistemas (eletromecânicos, opto eletrônicos, mecânico-óptico, digital-óptico), daí cabe uma importante observação:

A teoria de estudo de sinais é única, e a linguagem matemática é a utilizada para uniformizar o estudo,

independente da área de aplicação.


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Definições• Sinal – Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula-se informações sobre a natureza de fenômenos físicos.

ATENÇÃO: Definido como uma função matemática, o tratamento e a manipulação de sinais seguem as mesmas regras da matemática de funções.

Na Engenharia Elétrica, os sinais podem ser classificados sob diferentes aspectos. Dentre eles, podem-se destacar:

Determinísticos x Aleatórios

Contínuos x Discretos

Analógicos x Digitais

Periódicos x Aperiódicos

Potência x Energia


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Definições• Sinal Determinístico– Sinal que não possui incerteza acerca do seu valor em qualquer instante.

• Sinal Aleatório– Sinal que existe incerteza acerca de seu valor em algum instante.

Nessa classe de sinais, é importante destacar o tipo de incerteza: probabilística ou nebulosa (fuzzy)

• Sinal Contínuo– Sinal na qual se pode medir seu valor em qualquer instante de tempo.

Em outra linguagem: o sinal contínuo é aquele na qual sua variável independente é contínua, i.e., t .

Ex: temperatura ambiente.


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Definições•Sinal Discreto– Sinal na qual se pode medir seu valor apenas em alguns instantes de tempo.

Em outra linguagem: o sinal discreto é aquele na qual sua variável independente é discreta, e é representado como x[n].

Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora

Em ambos os casos, sinal discreto e contínuo, os valores do sinal, x(), podem ser contínuos ou discretos, que seriam, respectivamente, sinais analógicos e digitais.

•Sinal Analógico– Sinal cujos possíveis valores assumidos

são um subconjunto de (se real) ou de ℭ (se

complexo), i.e., x(t) ou x(t) ℭ.

Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora


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Definições•Sinal Digital– Sinal cujos possíveis valores assumidos são contáveis, ou finitos valores.

Ex: uma sequencia de bits. A diferença entre contínuo x discreto diz respeito a valores reais ou discretos da variável independente, t, respectivamente. t ou n. Por outro lado, a diferença entre analógico x digital diz respeito a infinitos ou finitos valores assumidos pela função, x(t), respectivamente. x(t) ou x[n].


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Definições•Sinal Periódico– Sinal cujo seu comportamento se repete indefinidamente após um determinado período.

A definição de sinais periódicos é válida independente do sinal ser contínuo ou discreto, bem como dele ser analógico ou digital.

Matematicamente, um sinal é contínuo(discreto) se:

x(t+T)=x(t) (x[n+N]=x[n]), (1)

onde T (N) é o período do sinal, e sendo o menor número real (inteiro) positivo que satisfaça Eq. (1).

O recíproco do período fundamental é chamado de frequencia fundamental

f=1/T


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Definições Uma pergunta comum que surge ao se trabalhar com sinais periódicos é a seguinte: A soma de dois sinais periódicos é um novo sinal periódico?

De fato, isto somente acontecerá se

r

m

T

T

2

1 para o caso contínuo ou

para o caso discretor

m

N

N

2

1

onde T1 e T2 são os períodos dos sinais x1(t) e x2(t), respectivamente, N1 e N2 os períodos dos sinais x1[n] e x2[n], respectivamente, e m e r números inteiros.

Caso as equações acima sejam satisfeitas, o período do novo sinal será dado por:

1rTT ou 1rNN


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DefiniçõesEx: Prove as relações encontradas no slide anterior.

Ex: Indique se o sinal x(t) é periódico ou não. Em caso afirmativo, calcule o período.

)2cos()()( ttsintx )2cos(2)()( ttsintx

tjetx 25,0)(

)cos()(1

0tnAtxn

n


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Operações sobre sinais Conforme visto anteriormente, sinais são nada mais que funções e, como tal, podem ser manipulados seguindo três tipos principais de operações, e suas combinações:

• deslocamento temporal;

• escalonamento temporal;

• reflexão temporal.

Antes de estudar as operações acima citadas, cabe resgatar o significado em português de alguns termos matemáticos, que serão utilizados até o fim deste curso, devendo ficar claro desde já o significado dos mesmos. Vejamos a tabela contendo alguns:


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Operações sobre sinais Matemática Português

t instante de tempo qualquer ou instante atual *

t –2 dois segundos antes do instante atual

t +2 dois segundos depois do instante atual

-t Instante de tempo reverso

t para todo instante de tempo

(t) calculado em um instante de tempo qualquer

s(t) sinal s calculado em um instante qualquer de tempo

s()o valor do meu sinal s calculado em um instante .... ouo sinal s em ...

s(t)=5sinal s vale 5 ou sinal s para todo instante de tempo é 5 ou sinal é calculado como 5

x(t)

entrada de um sistema em um instante qualquer de tempo ouvalor do sinal de entrada em um instante de tempo qualquer.

y(t)saída de um sistema em um instante qualquer de tempovalor do sinal de saída em um instante de tempo qualquer.


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Operações sobre sinais

Deslocamento temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de deslocamento temporal está associada a adiantar ou atrasar tal sinal, sendo representada por x(t-a).

a>0 deslocamento à direita, ou atraso, do sinal.

a<0 deslocamento à esquerda, ou adiantamento, do sinal.

Sob o ponto de vista físico, observa-se que x(t) e x(t-a) possuem as mesmas características, entretanto os dois apresentam-se em instantes de tempo diferentes, um com relação ao outro.


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x(t) y(t)=x(t-2)

Entrada, x, em um instante

qualquer,(t)

Saída, y, em um instante qualquer, (t)

Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(t-2).

A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, dois segundos antes, (t-2).


18

Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t-2).

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, dois segundos antes, (t—2).

t

O que se deseja construir? A saída, y(t)!

Ou seja, para cada instante de tempo, (t), deve-se achar quanto vale a

saída, y

t=-3t=-2t=-1t=0 t=2 t=3 t=4t=1t=1,5t=2,5


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Operações sobre sinais Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está atrasada com relação à entrada, ou foi deslocada para a direita do sinal original, x(t). Lembrando que y(t)=x(t-2). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o que está escrito em y(t)=x(t-2), ou seja:

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, dois segundos antes, (t-2).

A entrada do sistema, x, em um instante qualquer, (t), corresponde à saída, y, calculada dois segundos depois (t+2).

, ou em outras palavras x(t)=y(t+2)


20


x(t) y(t)=x(t+2)


qualquer,(t)


Vejamos, agora, o que acontece com um sistema do tipo: y(t)=x(t+2).

A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, dois segundos depois, (t+2).


21

Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t+2).

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, dois segundos depois, (t+2).

t



saída, y

t=-3t=-2,5t=-2t=-1,5t=-1t=0 t=1 t=2 t=3


22

Operações sobre sinais Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está adiantada com relação à entrada, ou foi deslocada para a esquerda do sinal original, x(t). Lembrando que y(t)=x(t+2). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o que está escrito em y(t)=x(t+2), ou seja:

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, dois segundos depois, t+2.

A entrada do sistema, x, em um instante qualquer, (t), corresponde à saída, y, dois segundos antes (t-2).

, ou em outras palavras x(t)=y(t-2)


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Operações sobre sinais Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colocada como:

AtrasaAdianta


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Operações sobre sinaisEscalonamento temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de escalonamento temporal está associada a compressão ou expansão de tal sinal, sendo representada por x(at), sendo a>0.

a < 1 expansão do sinal.

a > 1 compactação do sinal. Para um sinal temporal, tal propriedade tem sua importância associada à velocidade com a qual o sinal se repete. Por exemplo, se considerar x(t) como a reprodução de uma fita cassete, x(2t) irá reproduzir o mesmo sinal na metade do tempo.

Por modificar a escala do tempo, t, o escalonamento temporal modifica também a distribuição do espectro de frequencia, f, deste mesmo sinal, podendo suprimir ou adicionar freqüências.


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x(t) y(t)=x(2t)


qualquer,(t)


Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(2t).

A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, no dobro daquele instante, (2t).


26

Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(2t).

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, no dobro daquele instante, (2t).



saída, y

t=-3t=-2t=-1t=-0,5 t=2t=0t=0,5t=1

t


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Operações sobre sinais Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está compactada de um fator de 2 com relação à entrada, x(t). Lembrando que y(t)=x(2t). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o que está escrito em y(t)=x(2t), ou seja:

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, no dobro deste instante, (2t).

A entrada do sistema, x, em um instante qualquer, (t), corresponde à saída, y, na metade desse tempo (t/2).

, ou em outras palavras x(t)=y(t/2)


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x(t) y(t)=x(t/2)


qualquer,(t)


Vejamos, agora, o que acontece com um sistema do tipo: y(t)=x(t/2).

A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, na metade daquele instante, (t/2).


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Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t/2).

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, na metade daquele instante, (t/2).



saída, y

t=-3t=-2t=-1 t=2

t=0

t=1

t


30

Operações sobre sinais Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está expandido de um fator de 2, com relação ao sinal original, x(t). Lembrando que y(t)=x(t/2). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o que está escrito em y(t)=x(t/2), ou seja:

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, na metade deste tempo, t/2.

A entrada do sistema, x, em um instante qualquer, (t), corresponde à saída, y, no dobro deste tempo (2t).

, ou em outras palavras x(t)=y(2t),


31

Operações sobre sinais Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colocada como:


32


Reflexão temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de reflexão temporal está associada ao reflexo do sinal com relação ao eixo da ordenada, gerando x(-t).

x(-t) reflexão do sinal x(t).


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x(t) y(t)=x(-t)


qualquer,(t)


Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(-t).

A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, no oposto daquele instante, (-t).


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Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(-t).

A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, no oposto daquele instante, (-t).

y(t)


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Operações sobre sinais Embora existam as três operações básicas vistas anteriormente, na prática, entretanto, é mais comum escrever combinações destas.

Para isso, pode-se seguir o seguinte esquema, para o caso genérico x(at – b):

1. Deslocar x(t) por b para obter x(t-b)= m(t);

2. Efetuar o escalonamento de a sobre m(at).

Ex: Mostre porque pode-se efetuar os passos 1 e 2 acima para generalizar o comportamento de um novo sinal, y(t)=x(at-b).


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Operações sobre sinaisEx: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operações: x(-t-2), x(-2t), x(-t+2), x(t/3 -2), x(-2t +3), x(2(t +1)), x(-2(t+1)).


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Alguns sinais úteis No estudo de sinais é fundamental o conhecimento de alguns sinais básicos, como degrau, impulso unitário e exponenciais. Em seguida, vejamos as definições matemáticas e suas representações gráficas.

• Degrau unitário, u(t)– Especialmente útil para descrever sinais com diferentes descrições matemáticas em diferentes segmentos de tempo. Além disso, uma outra aplicação está relacionada a situações em que um sistema, ou mesmo um sinal, muda de comportamento instantaneamente.

0 t,0

0 t,1)(tu


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Alguns sinais úteis• Impulso unitário, (t)– É uma das mais importantes funções no estudo de sinais e sistemas. Existem diversas formas de definí-lo, pois o importante não é a sua forma, mas a sua propriedade de que sua duração efetiva tende a zero enquanto que a sua área permanece unitária. Deste modo, o sinal impulso pode ser denominado como uma função generalizada, ou seja, o seu efeito é mais importante que os seus valores.

1)(

0 t,0)(

dtt

t


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Alguns sinais úteisNa prática, a função impulso pode ser definida de diversas maneiras. Abaixo, estão algumas ilustradas.

• Função exponencial, est Considerando s= j pode-se utilizar tal forma para descrever uma série de outros sinais especialmente úteis. São eles:

1. Constante (s=0)

2. Uma exponencial monotônica et ()

3. Senóides (s=±j


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Alguns sinais úteis Sinais reais denominados senoidais podem ser escritos da seguinte maneira:

e o recíproco do período fundamental T0 é chamado frequencia fundamental f0:

)cos()( 0 tAtx

onde A é a amplitude (real), 0 é a frequencia angular expressa em radianos por segundo, e é a fase expressa em radianos ou graus.

O sinal senoidal é periódico, com período fundamental:

00

2

T

(Hz) Hertz em medido ,1

00 Tf


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Alguns sinais úteis4. Senóides variando exponencialmente, et.cos(t)


42

Alguns sinais úteis• Degrau unitário discreto, u[n]– Seu uso e aplicações são semelhantes ao degrau unitário contínuo.

0n ,0

0n ,1][nu

• Impulso unitário discreto, [n]– Seu uso e aplicações são semelhantes ao impulso unitário contínuo.

0n ,0

0n ,1][n


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Alguns sinais úteis

)cos(][ 0 nAnx

onde A é a amplitude (real), 0 é a frequencia angular e é a fase.

O sinal senoidal é periódico, com período fundamental: inteiro um sendo ,

2

00 kkN

• Senóides discretas– Seu uso e aplicações são semelhantes à senóide contínua.

• Exponenciais complexas discretas– Seu uso e aplicações são semelhantes às exponenciais vistas anteriormente.

nCnx ][Baseado na afirmativa anterior, cabe ressaltar que é possível definir sequencias discretas semelhantes às da figura seguinte.


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Alguns sinais úteis

Ex: Dê exemplos de C e que possam representar os gráficos acima.


45

Alguns sinais úteisEx: Plote os sinais x(t) e x[n] abaixo.

)4()( tutx

0 com ),()( ktksintx

tjtj eetx 22 .5,0.5,0)(

)42()( tutx

)4()( ttx

tjttjt eeeetx 22 .2.2)( tetx )(tetx 5,0)(

2)( tetx|22|)( tetx

)4(][ nunx

0 com ),(][ knksinnx

njnj eenx 22 .5,0.5,0][

)42/(][ nunx

)4(][ nnx

nnx 2][nnx 5,0][

nnx 2][ nnx 2][ nnx )2(][ nnx )5,0(][ Ex: Quanto vale c + c*, onde

c ℭEx: Quanto vale x(t) + x(t) *, onde

x(t) ℭ


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Descrição analítica de sinais gráficos Nos exemplos anteriores foram dados vários sinais e pedido para expressá-los graficamente. Em outras ocasiões, na análise de sinais em geral, também é interessante o procedimento contrário, i.e., uma vez informada a apresentação gráfica conhecer a expressão analítica que o gerou. Vejamos em seguida como fazer isso.

Suponha

c.c. ,0

),(

),(

),(

)(33

322

211

tttx

ttttx

ttttx

tx

Logo:

)()(

)()()()()()()(

33

322211

ttutx

ttuttutxttuttutxtx


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Descrição analítica de sinais gráficosque também pode ser escrita como:

com

)()()()()()()( 332211 ttutfttutfttutftx

)()()()(

...)()()()(

...)()()( )(

3321

3221

211

ttutftftf

ttuttutftf

ttuttutftx

)()()(

)()()(

)()(

232

122

11

txtxtf

txtxtf

txtf

Por último, caso o sinal seja expresso desta última forma, pode-se reconstruí-lo como:

Agora eu já sei!! Dado o gráfico de x(t), basta

usar estas duas fórmulas para escrevê-lo

analiticamente!

E essa para gerar o gráfico em seu

respectivo intervalo!


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Descrição analítica de sinais gráficos Para não haver dúvidas, é possível facilmente definir um procedimento para o caso gráfico expressão analítica.

1. Determine os pontos críticos, onde há mudança de função;

2. Escreva os pontos em ordem crescente;

3. Escreva os respectivos degraus para cada ponto (já ordenados);

4. Escreva, de preferência no gráfico, quanto vale x(t) em cada intervalo acima;

5. Multiplique cada degrau pela diferença entre a função posterior e a anterior ao respectivo ponto crítico.


49

Descrição analítica de sinais gráficos Do mesmo, também é possível para o caso expressão analítica gráfico.

1. Determine os pontos críticos, a partir das funções degrau, e marque-os no gráfico;

2. Reescreva o sinal x(t) ordenando os degraus de forma crescente;

3. Escreva a expressão que multiplica cada função degrau;

4. Antes do primeiro ponto crítico, o gráfico é nulo;

5. No 1° intervalo, o gráfico será a 1ª expressão citada anteriormente;

6. No 2° intervalo, o gráfico será a soma da 1ª e 2ª expressões citadas anteriormente;

7. No 3° intervalo, o gráfico será a soma da 1ª, 2ª e 3ª expressões citadas anteriormente;

8. Continuar até acabarem todas as expressões.


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Descrição analítica de sinais gráficosEx: Dado o gráfico em seguida, encontre o sinal analítico x(t).

Determine os pontos críticos onde há mudança de função

1 0 -1

Escreva os pontos em ordem crescente

-1 0 1

Escreva os respectivos degraus já ordenados

u(t+1) u(t) u(t-1)

Escreva, de preferência no gráfico, quanto vale x(t) em cada intervalo acima;

0

1t

0

Multiplique cada degrau pela diferença entre a função posterior e a anterior ao respectivo ponto crítico.u(t+1).(1 - 0) u(t) .(t - 1) u(t-

1) .(0 – t)

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