Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladaspaginas.fe.up.pt/~ldinis/porticos.pdf · Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 2 Analise-se o seguinte exemplo [9]:

R. M. Natal Jorge

Análise Elasto-Plástica

de Estruturas Reticuladas

Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Faculdade de Engenharia Universidade do Porto

(2000/2001)

Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 1

Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas

1. Introdução

No ensino clássico da Engenharia de Estruturas assume-se que o campo de tensões instalado na estrutura provocado pelo sistema de forças exteriores não ultrapassa a tensão limite elástico do material, além disso, assume-se ainda o não aparecimento de deformações excessivas. No entanto, um outro tipo de abordagem do problema tem tido nas ultimas décadas um avanço significativo [2][5][8][9]. Trata-se do cálculo plástico de estruturas em que um dos principais objectivos é a determinação da carga para a qual uma estrutura entra em colapso devido ao aparecimento de deformações excessivas.

O cálculo plástico de estruturas requer o conhecimento do “estado de deformação da estrutura” no momento do colapso, bem como o comportamento da estrutura quando algum ponto material atinge a tensão limite elástico.

Por outro lado, Lord Baker mostrou em 1949 [1] que os projectos mais económicos de estruturas porticadas, ou mesmo de vigas contínuas se conseguem quando baseados em métodos relacionados com o cálculo plástico.

De facto no cálculo tradicional relacionado com a engenharia de estruturas à que impedir as deformações excessivas bem como limitar o estado de tensão abaixo de certo limite em peças e estruturas. Todavia, noutro tipo de componentes estruturais, como alguns elementos constituintes dos veículos automóveis um dos objectivos é o de aumentar a capacidade de absorção de energia de deformação, tentando-se deste modo minorar as consequências do impacto em caso de acidente, utilizando-se para o efeito, fundamentalmente a zona plástica de comportamento do material.


Analise-se o seguinte exemplo [9]: uma viga simplesmente apoiada de comprimento L=1,6 m de secção recta com perfil I e submetida à força W a meio vão (ver Fig. 1).

W[kN]

inicio de cedência130

δ [mm]

roturacolapso plástico150

0,80,8

W

Fig. 1-Experiência de Maier-Leibnitz.

Este exemplo é conhecido na literatura como a experiência de Maier-Leibnitz e foi

estabelecida em 1929 [7]. Na Fig. 1 encontra-se representado o gráfico carga-deslocamento, sendo este obtido a meio vão. A viga apresenta um comportamento elástico para valores da carga inferiores a 130 kN. Para esta carga a tensão instalada nas fibras mais solicitadas da secção crítica atinge a tensão de cedência. Para valores de W próximos de 150 kN, o deslocamento vertical a meio vão cresce de forma mais acentuada verificando-se o colapso da estrutura para W=166 kN, observando-se ainda antes do colapso deslocamentos excessivos na viga.

Pode-se assumir como modelo teórico para o comportamento da viga que à carga constante de 150 kN o deslocamento vertical a meio vão da viga pode crescer indefinidamente. A esta ocorrência corresponde o que se designa por colapso plástico da estrutura sendo a carga correspondente denominada carga de colapso Wr.

De facto, este comportamento da estrutura originado por Wr pode ser interpretado pelo desenvolvimento de uma rótula a meio vão da viga e que se designa por rótula plástica [5]. A característica da rótula plástica é que só sofre uma rotação quando o momento a meio vão atinge o seguinte valor:

kNm608,02/1508,02/Wr =×=× (1)

No entanto, quando o momento atinge este valor essa rotação pode crescer indefinidamente, designando-se o momento necessário ao aparecimento da rótula plástica por momento plástico Mp. O momento plástico é função da tensão de cedência do material, das características geométricas da secção recta da viga e do tipo de esforços instalados.

Relativamente ao comportamento do material, pode-se recorrer novamente ao gráfico obtido a partir do ensaio de tracção para um aço macio (Fig. 2) em que σY e σu correspondem aos valores da tensão de cedência (corresponde ao patamar de cedência) e


tensão limite superior da tensão de cedência, respectivamente. As extensões ε0 e εs correspondem às extensões totais no início do patamar de cedência e no início do encruamento, respectivamente.

σ

σu

σY

O ε0 εs ε

limite superior datensão de cedência

patamar de cedência

Fig. 2- Gráfico tensão-deformação de um aço de baixo teor em carbono.

Do ponto de vista de cálculo plástico interessa toda a zona elástica do gráfico, bem

como o patamar de cedência. Um dos parâmetros que provoca no aço diferentes valores para σY, σu, ε0 e εs é a

percentagem de carbono contido na liga metálica. No quadro I apresentam-se alguns destes valores para diferentes percentagens de carbono [9].

Quadro I-Algumas características do aço em função da % de carbono.

% carbono σY [MPa] σu/σY εs/ε0

0,28 340 1,33 9,2

0,49 386 1,28 3,7

0,74 448 1,19 1,9

0,89 525 1,04 1,5

Como se pode observar para o aço com mais baixa percentagem de carbono a extensão total no final do patamar de cedência (εs) é de cerca dez vezes o valor da extensão total no início do mesmo patamar (εs=10×ε0).


2. Flexão Elasto-plástica de Vigas

No cálculo elasto-plástico de vigas admite-se que o comportamento do material é elasto-perfeitamente plástico. Tal como na análise da flexão elástica de vigas também no cálculo plástico se recorre à teoria de flexão de vigas de Euler-Bernoulli, a qual assenta nos seguintes propostos [3]:

- as extensão envolvidas são consideradas reduzidas

- as relações constitutivas não distinguem esforços de tracção e de compressão

- secções planas antes da deformação permanecem planas após deformação

Recordando a teoria do cálculo elástico da flexão de vigas, considere-se uma viga sujeita numa dada secção a um momento M e que nessa mesma secção a viga apresenta uma dada curvatura k de raio R (k=1/R). A extensão longitudinal ε provocada numa dada fibra situada a uma distância ζ do eixo neutro (lugar geométrico dos pontos da secção da viga cuja componente normal do tensor das tensões na direcção longitudinal tem valor nulo σ=0) é dada por ε=k×ζ. Para valores da tensão normal inferiores a σY a tensão normal à secção vale:

xxIM ζ×=σ (2)

em que Ixx é o momento de inércia do eixo principal central de inércia e cuja direcção coincide com a do momento flector. Verifica-se portanto, ao longo da altura da secção uma distribuição linear do valor da tensão. Tomando como exemplo uma viga de secção rectangular (Fig. 3) de altura h e largura b, pelo que Ixx=bh3/12, o maior valor da tensão normal na secção verifica-se nas fibras mais afastadas do eixo neutro, isto é, para ζ=h/2.


y

h/2ζ

Mx σ σ

ζ h/2

b σY

( )ζ−××σ 2hbY

2bY ζ×σ

Fig. 3-Distribuição da tensão normal numa viga de secção rectangular.

A componente longitudinal da tensão nessas fibras mais afastadas do eixo neutro

vale:

xx233 W

M

6bhM

2h12bh

M

12bh

2hM±=±=±=

×±=σ (3)

em que Wxx designa-se por módulo de rigidez à flexão [10]. Quando a tensão normal longitudinal (única componente do tensor das tensões não nula) atingir a tensão de cedência do material, o que ocorrerá primeiramente nas fibras mais afastadas do eixo neutro, o momento correspondente será:

6bhWM

2

YxxYc ×σ=×σ= (4)

e que se denomina por momento de cedência (Mc) [5]. Tome-se agora para o momento flector um valor superior a Mc. Como se está a

admitir um material com comportamento elasto-perfeitamente plástico irá haver uma zona da secção cujas fibras se encontram no domínio plástico (Fig. 3) enquanto a restante se mantém no domínio linear elástico. O momento correspondente pode ser obtido pelo equilíbrio de momentos segundo a direcção x e que resulta da soma de dois binários correspondentes, por um lado à parte elástica:

232b

21

Y ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ζ××⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ζ×σ× (5)

e por outro lado à parte plástica:


22h

21

2hbY ×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ζ+××⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ζ−××σ (6)

resultando:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ−××σ=×ζ+××ζ−××σ+×ζ××ζ×σ×= 2

2

Y2h

21

2h

Y32

Y21

31

4hb2b2bM (7)

Atendendo à relação entre curvatura k e a extensão longitudinal ε a uma distância ζ do eixo neutro

ζε

=k (8)

pode-se obter a curvatura correspondente ao início da plastificação, isto é, quando o momento aplicado na secção atinge Mc

2h6bhM 0

Y

2

Ycε

=→×σ= k (9)

A combinação de (7) com (9) permite obter a seguinte relação entre o momento M (situação elasto-plástica) e o momento de cedência:

2Y

c

5,05,1MM

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−=k

k (10)

cuja representação gráfica se pode observar na Fig. 4.

1,5

1,0

O 1 k/kY

cMM

Fig. 4-Curva de Saint-Venant.

Para um crescimento da curvatura k corresponde uma diminuição do núcleo elástico.

No entanto, no limite, quando k tende para um valor infinito verifica-se que ζ→0 e toda a


secção plastificou. Atendendo a (10) pode-se calcular o momento (Mp) em que esta situação ocorre:

2cM5,1M ×= ( pM= ) (11)

denominado momento plástico (Mp). O aparecimento de uma curvatura de valor infinito corresponde deste modo à

plastificação de toda a secção verificando-se então uma variação finita da deformada entre duas secções infinitamente próximas. O problema torna-se então, a partir desse momento, análogo a outro, em que nessa secção existisse uma rótula, a qual se denomina de rótula plástica.

Na prática, a condição de plastificação total não é possível, pois tal situação corresponderia a uma curvatura infinita, que por sua vez corresponderia a uma extensão infinita o que não é admissível. A maior deformação admissível depende de certas características do material, nomeadamente da relação ε0/εs. Tomando o exemplo da secção representada na Fig. 3 e admitindo que se trata de um material com εs=10×ε0 tem-se para a curvatura correspondente ao limite da zona elástica: k=ε0/ζ. Impondo como limite para a extensão longitudinal εs=10×ε0 e que ocorrerá primeiramente nas fibras mais exteriores (ζ=h/2), obtém-se então uma curvatura kY=ε0/(h/2). Como a curvatura é constante para uma dada secção, isto é, não depende de ζ, vem

2h10 00 ε×

=ζε (12)

o que permite determinar a cota ζ correspondente ao limite da zona elástica

2h

101×=ζ (13)

a que corresponde o seguinte valor de curvatura:

2h

101

0

×

ε=k (14)

A partir de (14) tem-se então a seguinte relação de curvaturas:

Y0

0

Y

10

2h

2h

101

kkkk

×=⇒ε

×

ε

= (15)

Substituindo (15) na expressão de Saint-Venant (10) obtém-se o respectivo momento:


pp

c

2

Y

Y

c

M)6(996,05,1

M495,1M495,1M495,1

105,05,1

MM

×=×=×=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=

kk (16)

Conclui-se deste modo que o momento flector no início do encruamento é calculado com considerável aproximação pelo valor teórico de Mp.

2.1. Determinação do Momento Plástico

Considere-se uma viga sujeita a um estado de flexão pura e que uma dada secção recta dessa viga apresenta a geometria representada na Fig. 5 sendo sujeita a um momento flector M.

y

y1M

x σy2

a) b) c) d) e)

Y1A σ

YσA1

A2

Yσ Yσ

Yσ YσY2A σ

Fig. 5-Distribuição da tensão normal numa secção de geometria arbitrária.

Na Fig. 5 encontram-se representados vários diagramas correspondentes à

distribuição da tensão normal (σ) ao longo da secção com geometria arbitrária Fig. 5.a) em que se aumenta o momento aplicado na secção no sentido b)→e). A distribuição da tensão normal representada em b) corresponde a um momento flector inferior ao momento de cedência, isto é, um momento que não originou qualquer cedência do material. A distribuição de c) corresponde ao momento de cedência em que as fibras mais afastadas do eixo neutro (eixo x) atingiram a tensão de cedência (σY). Continuando a aumentar o momento aplicado na secção, verifica-se um aumento da zona da secção que vai plastificando até que também as fibras inferiores atingem a tensão de cedência d). Continuando ainda a incrementar o momento, as duas zonas plastificadas, superior e inferior, vão aumentando até que toda a secção se encontra fora do domínio linear elástico, e como se admite que o material tem um comportamento elasto-perfeitamente plástico toda a secção fica submetida ao mesmo valor absoluto da tensão normal e).


Realizando o equilíbrio de forças na direcção longitudinal (x) representadas em e) tem-se:

A21AAAA0F 212Y1Yx ==⇒×σ=×σ⇒=∑ (17)

Como consequência do equilíbrio de forças estabelecido verifica-se que o eixo neutro plástico coincide com o eixo que divide a área de modo igual, enquanto que o eixo neutro elástico se verifica sobre o eixo que regista uma igualdade nos momentos estáticos das áreas. Deste modo, o eixo neutro elástico e plástico podem não coincidir.

Estabelecendo o equilíbrio de momentos relativamente ao eixo x e provocados pelas forças resultantes A1σY e A2σY obtém-se então para o momento plástico:

( ) pY21Y22Y11Ypx WyyA21yAyAM0M ×σ=+××σ=×σ+××σ=⇒=∑ (18)

em que Wp é o módulo de resistência plástico [2][9]. A relação entre o momento plástico e o momento de cedência é conhecida como o

factor de forma (f):

WW

MM

f p

c

p == (19)

3. Métodos Rígidos Plásticos na Análise de Estruturas Simples 3.1. Princípios Fundamentais

Os métodos rígidos plásticos baseiam-se na aplicação do teorema estático, do teorema cinemático, do teorema da unicidade e do princípio dos trabalhos virtuais.

O teorema dos trabalhos virtuais para estruturas lineares pode-se enunciar de seguinte modo [11]:

Para um meio contínuo e em equilíbrio, o trabalho virtual realizado pelas forças exteriores para um qualquer deslocamento virtual compatível com as condições de contorno é igual ao trabalho efectuado pelas forças internas num mecanismo de deformações compatível com o deslocamento virtual.

Tome-se o exemplo de uma viga simplesmente apoiada com uma força concentrada a meio vão (ver Fig. 6.(a).


M

L/2L/2

P

PcL/4

θ

δc

θ×L/2

2θ

θθ×L/2

2θ

a)

b)

c)

d)

Fig. 6-Deformações numa viga simplesmente apoiada.

Em b) encontra-se representado o diagrama de momentos flectores correspondente à

carga de cedência (Pc). Em c) estão representadas as configurações deformadas do eixo axial da viga que passa pelo seu centro de massa. As configurações dizem respeito à carga de cedência, cuja flecha a meio vão é δc, bem como aos movimentos de corpo rígido verificados para valores da carga P>Pc. Para o tipo de problemas em análise o princípio dos trabalhos virtuais pode-se escrever do seguinte modo [9]:

∑∫∑ θ+=δ MdlMP k (20)

em que M representa a distribuição de momentos compatível com o equilíbrio do corpo e provocada pela força exterior P, sendo θ as rotações de corpo rígido e k a curvatura.

A equação (20) pode ser utilizada de dois modos distintos. Pode-se considerar que as configurações deformadas são virtuais, isto é, os deslocamentos (δ*), as curvaturas (k*), e as rotações (θ*) podem ser escolhidas de forma arbitrária, desde que respeitem os requerimentos de compatibilidade. Esta forma do princípio dos trabalhos virtuais é normalmente referida como o princípio dos deslocamentos virtuais, sendo utilizada no estabelecimento das equações de equilíbrio [4].


Outra hipótese, é a utilização de um sistema de forças virtuais (P*,M*), em que o sistema de forças é imposto arbitrariamente, desde que cumpram as requisições de equilíbrio. Este é o princípio das forças virtuais e que permite estabelecer as equações de compatibilidade [4].

Os deslocamentos e as rotações correspondentes ao comportamento elástico podem-se considerar irrelevantes quando comparados com os deslocamentos e as rotações de corpo rígido [9]. Assim, em (20) apenas se considera as rotações e os deslocamentos de corpo rígido, passando-se a designar por mecanismo, sendo neste caso um mecanismo tipo viga [2][8][9]. A equação (20) pode-se então rescrever:

∑∑ θ=δ ** MP (21)

ou, explicitando de acordo com a Fig. 6:

θ×=θ× 2M2LP p (22)

O teorema estático pode-se enunciar do seguinte modo [9]:

Se existir uma distribuição de momentos numa estrutura linear que seja simultaneamente segura e estaticamente admissível para um determinado conjunto de cargas λ, o valor de λ deve ser menor ou igual à carga de colapso λc.

Como corolário do teorema estático tem-se que não é possível ter alguma distribuição de momentos que seja simultaneamente seguro e estaticamente admissível e que seja originado por uma carga superior à carga de colapso.

O teorema cinemático pode-se enunciar do seguinte modo [9]:

Para uma determinada estrutura sujeita a um conjunto de cargas λ, se as cargas λ corresponderem a um mecanismo possível da estrutura então essas cargas λ são superiores ou iguais à carga de colapso λc.

Como corolário do teorema cinemático tem-se que de todos os mecanismos possíveis para uma dada estrutura o mecanismo de colapso é aquele a que corresponde a menor carga de colapso.

O teorema da unicidade pode-se enunciar do seguinte modo [9]:

Se para uma dada estrutura sujeita a um conjunto de cargas λ, se formarem rótulas plásticas em número suficiente para que seja constituído um mecanismo e o diagrama de momentos flectores daí resultante for admissível, então o factor de carga correspondente conduzirá à carga de colapso λc.


3.2. Exemplo Ilustrativo: Pórtico Rectangular

Considere-se o pórtico rectangular representado na Fig. 7 sujeito às cargas horizontal e vertical λ e de secção constante com o momento plástico Mp=100.

105

λ

λ

5

Mp=100A

B E C

D

Fig. 7-Pórtico rectangular bi-encastrado.

Na análise vai-se incrementando o valor da carga de modo a obter a formação de

mais uma rótula plástica. Nos sucessivos incrementos de carga vão surgindo alterações geométricas em consequência do aparecimento das rótulas plásticas. No quadro seguinte representa-se os vários incrementos de carga, bem como as respectivas distribuições dos momentos flectores. O processo termina quando se forma um mecanismo, o que acontece para uma valor de λ correspondente à carga de colapso.

Verifica-se que para λ=39,0 se forma a primeira rótula plástica na secção D, pois é nesta secção que o momento aplicado atinge o valor do momento plástico da secção. A partir deste momento a análise é feita como se a estrutura do ponto de vista estático tivesse nessa secção uma rótula. O incremento do valor da carga de Δλ=7 perfaz um valor total para a carga de λ=39+7=46. Com este incremento de carga forma-se outra rótula plástica, agora na secção E. Com esta rótula a estrutura continua a ser estaticamente admissível, passando o pórtico a conter agora duas rótulas (em D e em E). Com outro incremento de carga Δλ=0,7 forma-se outra rótula plástica, agora na secção C, o que acontece para uma carga total λ=46+0,7=46,7. Com a formação desta terceira rótula a estrutura torna-se isostática e portanto ainda estaticamente admissível. Finalmente, para uma carga total λ=50 forma-se uma outra rótula transformando-se a estrutura num mecanismo. Esta carga corresponde então à carga de colapso λc e foi obtida por sucessivas análises estáticas.


Quadro II-Análises sucessivas para o pórtico rectangular

3957,2

100==λ

→ 1ª rótula em D

λ

λ

A

B E C

D

0,78

1,14

2,12

2,08

2,57

30,4

44,4

82,7

80,9

100

47,27,82Mp ×λΔ+= 467 =λ∴=λΔ⇒

→ 2ª rótula em E

λ

λ

A

B E C

D

0,14

2,412,47

2,34 31,4

64,2

100

97,3

100

04,43,97Mp ×λΔ+= 7,467,0 =λ∴=λΔ⇒

→ 3ª rótula em C

λ

λ

A

B E C

D

2,98

3,94

4,04 33,4

66,8

100

100

100

108,66Mp ×λΔ+= 503,3 =λ∴=λΔ⇒

→ 4ª rótula em A

λ

λ

A

B E C

D

5,0

10,0

50

100

100

100

100

3.3. Viga bi-encastrada com Carga Descentrada

Este exemplo trata-se de uma viga bi-encastrada de secção constante sujeita a uma força concentrada descentrada (ver Fig. 8).


2LL

P

a)1 2 3

2LL

b)1Lθ

3-θ/2-θ

3/2θ

Fig. 8-Viga bi-encastrada e respectivo mecanismo de viga.

Pretende-se determinar a carga de cedência e a carga de colapso e respectivas

configurações deformadas.

3.3.1. Cálculo das Carga de Cedência e Colapso

Equação de equilíbrio:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ+θ−=θ×

2M

23MMLP 321 (23)

321 M21M

23MPL −+−= (24)

Considerando um sistema de forças virtuais P*=0 ao qual estão associados os momentos residuais m*, e atendendo à relação entre a curvatura k e o momento flector M, k=M/EI tem-se para (20):

∑∫ θ+= ** mdlmEIM0 (25)

Para o referido sistema de forças virtuais a equação de equilíbrio (24) vem

*3

*2

*1 m

21m

23m0 −+−= (26)

que pode ser satisfeita para os dois seguintes conjuntos de momentos:


1mmm *3

*2

*1 === (27.1)

1m,0m,m *3

*22

1*1 ==−= (27.2)

Genericamente, o integral da primeira parcela do segundo membro da equação (25) para uma viga delimitada pelas secções A e B resulta na seguinte expressão:

( ) ( )( )AB*BBA

*A

B

A

* MM2mMM2mEI6Ldlm

EIM

+++=∫ (28)

Aplicando a expressão (28) ao conjunto de momentos arbitrários estabelecidos em (27.1) obtém-se

∫ dlmEIM * = ( ) ( )( )++++ 12

*221

*1 MM2mMM2m

EI6L

( ) ( )( )23*332

*2 MM2mMM2m

EI6L2

+++

= ( ) ( )( )++×++× 1221 MM21MM21EI6L

( ) ( )( )2332 MM21MM21EI6L2

+×++×

= ( ) ( )( )3221 M3M32M3M3EI6L

+++

= ( )321 M6M9M3EI6L

++

(29)

o que substituindo em (25):

( ) 0111M6M9M3EI6Lmdlm

EIM

321321** =θ×+θ×+θ×+++=θ+ ∑∫ (30)

Resultando deste modo a equação de compatibilidade para o conjunto de momentos (27.1). Aplicando procedimento semelhante para o conjunto de momentos (27.2) obtém-se

∫ dlmEIM * = ( ) ( )( )2321 MM210

EI6L20MM2

21

EI6L

+×++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

= ( ) +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 2321 MM22M

21M

EI6L

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++− 321 M4M

23M

EI6L

(31)

vindo a equação de compatibilidade:


( ) 010M4M23M

EI6Lmdlm

EIM

3121

321** =θ×++θ×−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=θ+ ∑∫ (32)

A combinação das equações de compatibilidade (30) e (32) com a equação de equilíbrio (24) permite estabelecer o seguinte sistema de equações

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ+θ−+++−

=θ+θ+θ+++

=−+−

021

LEI6M4M

23M

0LEI6M6M9M3

PLM21M

23M

31321

321321

321

(33)

ou, separando as incógnitas «momentos» das incógnitas «rotações»

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

001

PL10111000

LEI6

MMM

41693

1

3

2

1

21

3

2

1

23

21

23

(34)

ou, sob a forma incremental:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧×Δ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θΔθΔθΔ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔΔΔ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

001

LP10111000

LEI6

MMM

41693

1

3

2

1

21

3

2

1

23

21

23

(35)

No sistema de equações estabelecido em (35) podem-se configurar duas situações:

→ Se se verificar |Mi|<Mp, para ∀i ∈ à estrutura, significa que se está no domínio elástico, observando-se:

0,0M ii =θΔ≠Δ (36)

→ Se em alguma secção se verificar |Mj|=Mp, significa que se formou alguma rótula plástica, observando-se:

0,0M jj ≠θΔ=Δ (37)

Após a formação de uma nova rótula, do ponto de vista estático a estrutura encontra-se alterada. Como consequência o sistema de equações definido em (35) também se altera, nomeadamente o vector de incógnitas, que pode ser o incremento de momento na secção –caso ainda não se tenha formado a rótula plástica nessa secção–, como pode ser o incremento de rotação –caso já se tenha formado a rótula, isto é:


0,?M ii =θ= → antes da formação da rótula plástica (38.1)

?,MM ipi =θ= → após a formação da rótula plástica (38.2)

Para um primeiro incremento admite-se que ainda não se formou qualquer rótula plástica, ou seja, Δθi=0, pelo que a resolução do sistema de equações (35) permite obter os seguinte incrementos para os momentos flectores nas três secções consideradas e em regime linear elástico:

LPMMM

92

27894

3

2

1

×Δ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔΔΔ

(39)

Sendo o incremento ΔM1 o maior dos três (em valor absoluto), conclui-se que a primeira rótula plástica formar-se-á justamente na secção 1, o que acontecerá quando o valor da carga aplicada for:

LM

49'PMLP

94 p

p =Δ⇒−=×Δ− (40)

Substituindo (40) em (39) obtém-se o incremento nos momentos flectores de cada uma das secções originado pelo incremento de carga ΔP’:

p

2132

3

2

1

M1

MMM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔΔΔ

(41)

Resumindo, no momento em que se forma a primeira rótula plástica, o que acontece na secção 1 e para uma carga com o valor de ΔP’, os momentos flectores e as rotações de corpo rígido nas três secções valem:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθθ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

000

,M1

MMM

3

2

1

p

2132

3

2

1

(42)

Agora, para a resolução do sistema de equações relativo ao incremento seguinte tem-se: ΔM1=0 e Δθ1≠0, resultando:

LP4444,0

5185,0MM

001

LPMM

4691

0 EIL

31

3

2

1

3

2

1LEI6

23

21

21

23

×Δ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔΔθΔ

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧×Δ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔΔ

θΔ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

− (43)

A segunda rótula plástica formar-se-á na secção 2 para o seguinte incremento de carga


LM

6429,0"PMM32LP5185,0 p

pp =Δ⇒=+×Δ (44)

ou, para uma carga total de:

LM

893,2L

M6429,0

LM

49"P ppp =+= (45)

Para este valor da carga concentrada os valores dos momentos flectores nas diferentes secções são os seguintes:

pp

21

32

3

2

1

M7857,011

M6429,04444,0

6429,05185,01

MMM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−×−+×

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ (46)

e as rotações de corpo rígido:

EILM

002143,0

p

3

2

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθθ

(47)

Para a resolução do sistema de equações relativo ao incremento seguinte tem-se: ΔM1=ΔM2=0, Δθ1≠0 e Δθ2≠0, resultando:

LP2

667,4667,2

M001

LPM40

61100

EIL

EIL

3

2

1

3

2LEI6

1LEI6

21

21

×Δ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔθΔθΔ

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧×Δ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔθΔθΔ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

− (48)

Por fim formar-se-á a terceira e última rótula plástica o que ocorrerá na secção 3 e para o seguinte incremento de carga:

LM

107,0'''PMM7857,0LP2 ppp =Δ⇒=−×Δ− (49)

obtendo-se então a carga de colapso da estrutura:

LM

3L

M107,0

LM

893,2P pppc ×=+= (50)

Para a carga de colapso os valores dos momentos flectores e das rotações de corpo rígido nas diferentes secções são os seguintes:

EILM

0,M

111

MMM

p2121

3

2

1

p

3

2

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθθ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ (51)


3.3.2. Cálculo da Flecha no Ponto de Aplicação da Carga

O cálculo de um vector deslocamento de um ponto de uma estrutura pode ser realizado por recorrência ao teorema da carga unitária [4]. Assim, aplicando na secção 2 uma carga unitária vertical, o deslocamento vertical dessa secção pode ser calculado a partir de (20) para uma carga virtual unitária:

∑∫ θ+=δ× ** mdlmEIM1 (52)

Também para uma carga unitária na secção 2 a equação de equilíbrio (24) vem

*3

*2

*1 m

21m

23mL1 −+−=× (53)

a qual é satisfeita para o seguinte conjunto de momentos arbitrados:

0mm,Lm *3

*2

*1 ==−= (54)

Para o primeiro incremento de carga ainda não existe qualquer rótula plástica (θi=0), pelo que o deslocamento pode ser calculado a partir da seguinte expressão genérica

( ) ( )( )AB*BBA

*A

B

A

* MM2mMM2mEI6Ldlm

EIM

+++==δ ∫ (55)

vindo para a viga em estudo e atendendo a (54):

( )( ) ( ) ( )21

2

21* MM2

EI6L00

EI6L20MM2L

EI6Ldlm

EIM

+−=++++−==δ ∫ (56)

Para o primeiro incremento de carga estabelecido em (40) corresponde o conjunto de momentos flectores calculados em (41), que substituídos em (56) permite determinar o deslocamento vertical da secção 2 correspondente ao primeiro incremento de carga que por sua vez corresponde à formação da primeira rótula plástica:

EILM

92 2

p=δ (57)

Para o segundo incremento de carga estabelecido em (44) e que origina os momentos totais calculados em (46) e as rotações de corpo rígido expressas em (47), o deslocamento vertical da secção 2 toma o seguinte valor:


( )( ) ( )EI

LM381,0

EILM

2143,0L0EI6L20MM2L

EI6L 2

pppp =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−+×+++−=δ (58)

Finalmente, para os momentos e rotações de corpo rígido finais estabelecidos em (51) e correspondentes à carga de colapso o deslocamento vertical da secção 2 toma o valor:

( )( ) ( )EI

LM32

EILM

21LMM2L

EI6L 2

ppppc =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−++−−=δ (59)

3.4. Método da Combinação de Mecanismos

O valor da carga de colapso do pórtico rectangular representado na Fig. 7 também pode ser calculado por sucessivas análises dos mecanismos possíveis de ruptura do pórtico. As equações de equilíbrio dos mecanismos são obtidas por aplicação do teorema dos trabalhos virtuais (21) a cada mecanismo, atendendo ao facto do trabalho realizado ser sempre positivo. O método da combinação de mecanismos permite sistematizar as sucessivas análises dos mecanismos de ruptura [2][5][8][9].

No método da combinação de mecanismos começa-se por estabelecer o número de mecanismos independentes possíveis, que de um modo geral pode ser obtido pela diferença entre o número de secções potenciais para a formação de rótulas plásticas e o grau de hiperestaticidade da estrutura. Seguidamente combina-se estes mecanismos independentes de forma a obter as combinações de mecanismos possíveis. Para todos os mecanismos, independentes e resultantes de combinações, calcula-se o respectivo factor de carga de colapso, o que pode ser conseguido por intermédio do princípio dos trabalhos virtuais. O mecanismo de ruptura será o que corresponde ao menor de todos os factores de carga de colapso e que corresponde igualmente a um diagrama de momentos estaticamente admissível.

Tome-se como exemplo novamente o pórtico representado na Fig. 7. O grau de hiperestaticidade é 3, enquanto que o número de secções potenciais para a formação de rótulas plásticas é 5, pois o momento plástico é igual para qualquer secção. Deste modo, o número de mecanismos independentes é 5-3=2. Um desses mecanismos é o mecanismo de viga anteriormente referido, enquanto o outro é o mecanismo de andar. No quadro seguinte mostra-se os dois mecanismos independentes e o mecanismo combinado, bem como as respectivas equações de equilíbrio estabelecidas com base no princípio dos deslocamentos virtuais.

Quadro III-Análises sucessivas para o pórtico rectangular


Mecanismo Equação de equilíbrio

λ

λ

A

B

E

C

D

5θ

3/2θ-θ/2-θ

mecanismo de viga

( ) ( ) ( )θ−+θ+θ−=θ×λ 21

C23

EB MMM5

PECB MMMM −=−==

pM35 =λ

para Mp=100 → 60=λ

λ

λ

A

B C

D

5θ -θ θ

-θ θ

mecanismo de andar

( ) ( ) ( ) ( )θ+θ−+θ+θ−=θ×λ DCBA MMMM5

PCBDA MMMMM −=−=−==

pM45 =λ

para Mp=100 → 80=λ λ

λ

A

BC

D

5θ-3/2θ

-θ θ

λ

E5θ

3/2θ

mecanismo combinado

=θ×λ+θ×λ 55

( ) ( ) ( ) ( )θ+θ−+θ+θ−= D23

C23

EA MMMM

PDECA MMMMM −=−=−==

pM510 =λ para Mp=100 → 50=λ

Os três mecanismos constantes no Quadro são os mecanismos possíveis para o pórtico em causa. Verifica-se que dos carregamentos correspondentes aos diferentes mecanismos o menor é o que corresponde ao mecanismo combinado, sendo este o mecanismo de colapso do pórtico confirmando deste modo o resultado obtido anteriormente.

Para o traçado do diagrama de momentos torna-se ainda necessário determinar para o mecanismo de colapso qual o momento flector na secção B onde não se formou qualquer rótula. Para o efeito pode-se utilizar uma outra equação de um outro mecanismo, como por exemplo a equação relativa ao mecanismo de viga

( ) ( ) ( )θ−+θ+θ−=θ× 21

C23

EB MMM550 (60)

em que

100M,MMM ppEC =−=−= (61)

permitindo deste modo determinar o momento na secção B

50M100100550M B21

23

B −=⇒×−×−×=− (62)

resultando num diagrama de momentos idêntico ao obtido anteriormente.


4. Exemplos Resolvidos 4.1. Cálculo de Factores de Forma

Pretende-se determinar os factores de forma (f) das secções com as configurações geométricas representadas na Fig. 9.

H

hh

h

B

b

B

H

v

h

hh

BH b

a) b) c)

Fig. 9-Secções para o cálculo do factor de forma.

O factor de forma duma secção define-se como a relação entre o momento plástico e

o momento de cedência dessa secção, o que é equivalente à relação entre o módulo plástico e módulo elástico (está-se a admitir um comportamento perfeitamente plástico):

WW

MM

f p

c

p == (63)

4.1.1. Secção em H

O momento de inércia relativamente ao eixo principal central de inércia horizontal de toda a secção toma o valor:


( )( )33 bh2HhB22B1I −+×−= (64)

Resultando a seguinte expressão para o módulo de rigidez à flexão:

( )( )( )( )33

33

bh2HhB2B6

12B

bh2HhB22B1

vIW −+×

×=

−+×−== (65)

O posicionamento do centro de massa da metade superior da secção relativamente ao eixo de simetria horizontal vale:

( )( )( )bh2HhB216

bh2HhB2v22

−+××−+×

=′ (66)

Vindo então a seguinte expressão referente ao momento plástico:

=′×σ××= v2A21M Yp

( )( ) ( )( )( ) ( ) Y

22Y

22

bh2H41hB

21

bh2HhB216bh2HhB2h2HbBh2 σ×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=σ×

−+××−+×

×−+×= (67)

Resultando finalmente para o módulo plástico da secção:

( ) 22p bh2H

41hB

21W −+= (68)

4.1.2. Secção em T

O posicionamento do centro de massa da secção relativamente ao topo da alma (cota v da Fig. 9.b)) vale:

( )( )( )hbBbH2

hbBbHv22

−+×−+

= (69)

O momento de inércia relativamente ao eixo principal central de inércia horizontal toma o valor:

( ) ( )( )( )( )hbBbH4

hbBbH3

hbBbHI22233

−+×−+

−−+

= (70)

Para o cálculo do momento de cedência torna-se necessário distinguir duas possibilidades para as relações geométricas, o que tem como consequência duas expressões distintas para o estabelecimento do módulo de rigidez à flexão:

1.elástico) v>H-v → W=I/v

2.elástico) v<H-v → W=I/(H-v)


Relativamente ao módulo plástico há também que considerar duas hipóteses, que correspondem ao facto do eixo horizontal que divide a área total da secção em duas partes iguais passar, ou não, sobre o banzo:

1.plástico) B×h > (H-h)×b

αh

σY

a1

αh/

2

1/2AσY

σY

Fig. 10-Possível distribuição da tensão longitudinal numa secção em T.

Neste caso o posicionamento do centro de massa da metade superior da área

relativamente ao eixo que divide a área total ao meio (a1 na Fig. 10) vale ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )h1bBhHb2h1bBhHbhHa

222

1 α−−+α−×α−−+α−

−α−= (71)

sendo a área total da secção ( ) BhbhHA +−= (72)

pelo que a igualdade de áreas (metade superior e metade inferior) permite determinar o valor do parâmetro geométrico (α):

( ) ( ) ( )hB2

hbbBhhBbhHBhh×

+−=α⇒α=−+α− (73)

Resulta assim a seguinte expressão para o momento plástico:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+σ=2haA

21M 1Yp

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−−+α−×α−−+α−

−α

−×σ×+−=h1bBhHb2

h1bBhHb2hHBhbhH

21 222

Y

(74)

Deste modo obtém-se para o módulo plástico:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−−+α−α−−+α−

−α−×+−=h1bBhHbh1bBhHbhH2BhbhH

41W

222

p (75)

2.plástico) B×h < (H-h)×b


βH

σY

βH

/2

a 2

1/2AσY

σY

Fig. 11- Possível distribuição da tensão longitudinal numa secção em T.

Neste caso o posicionamento do centro de massa da metade inferior da área

relativamente ao eixo que divide a área total ao meio (a2 na Fig. 11) vale: ( ) ( )

( ) ( )( )hbBH1b2hbBH1ba

222

2 −+β−×−+β−

= (76)

A igualdade de áreas (metade superior e metade inferior) permite determinar o valor do parâmetro geométrico (β):

( ) ( )Hb2

HbbBhHbbHhHhB×

+−=β⇒β=β−−+ (77)

Resulta assim a seguinte expressão para o momento plástico

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β

+σ=2HaA

21M 2Yp

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+β−×−+β−

+β

×σ×+−=hbBH1b2

hbBH1b2HBhbhH

21 222

Y

(78)

obtendo-se então para o módulo plástico:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+β−−+β−

+β×+−=hbBH1bhbBH1bHBhbhH

41W

222

p (79)

4.1.3. Secção em [

O momento de inércia relativamente ao eixo principal central de inércia horizontal de toda a secção toma o valor:


( )( )( )33 h2HbBBH121I −−−= (80)

Resultando a seguinte expressão para o módulo de rigidez à flexão: ( )( )( ) ( )( )( )33

33

h2HbBBHH6

12H

h2HbBBHvIW −−−

×=

−−−== (81)

O posicionamento do centro de massa da metade superior da secção relativamente ao eixo de simetria horizontal vale

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+×

−+−=′

hbB2Hb2

hbB4

Hb

2Hv

22

(82)

valendo a área total da secção: ( ) h2bBHbA ×−+= (83)

Vindo então a seguinte expressão para o cálculo do momento plástico:

v2A21M Yp ′×σ××= ( )( )

( )

( )Y

22

hbB2Hb2

hbB4

Hb

2Hh2bBHb σ×

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+×

−+−××−+=

( ) ( ) Y2

22

hbB4

bHhHbB2

bHσ×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−+=

( )( ) Y2

2

hHhbB4

bHσ×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

(84)

Resultando finalmente para o módulo plástico da secção:

( )( )22

p hHhbB4

bHW −−+= (85)

4.2. Método da Combinação de Mecanismos 4.2.1.Pórtico Rectangular

Estabelecer o mecanismo de colapso do pórtico representado na figura, bem como o cálculo do respectivo factor de carga de colapso. Considere-se os momentos plásticos Mp1 e Mp2 para as secções das colunas e da viga, respectivamente.


2

1000λ

1100λ

5Mp1=500A

B E C

DMp2=1000

1000λ

F

24

Fig. 12-Pórtico rectangular biencastrado.

Grau de hiperestaticidade: Gh=3 Nº de rótulas possíveis: 6 Nº de mecanismos independentes: 6-3=3 (2 de viga e 1 de andar)

(a) mecanismo de viga 1

1000λ

A

B

E

C

D

2θ3/2θ

-θ/2-θ

1000λ

Fθ

( ) ( ) ( )=−+θ+θ− θ2C2

3EB MMM

θ×λ+θ×λ= 100021000

θ<0→ Mi=-Mp1; θ>0→ Mi=Mp2

∴ ( ) ( ) ( ) θ×λ=−−θ+θ−− θ 3000MMM 21p23

2p1p

75,030002501500500 =λ⇒λ=++

(b) mecanismo de viga 2

1000λ

A

B

F

C

D

4θ3θ

-θ -2θ

1000λ

E2θ

( ) ( ) ( )=θ−+θ+θ− 2M3MM CFB θ×λ+θ×λ= 4100021000


∴ ( ) ( ) ( ) λθ=θ−−θ+θ−− 60002M3MM 1p2p1p

75,0600010003000500 =λ⇒λ=++


(c) mecanismo de andar

1100λ

A

B C

D

-θθ

-θ θ

5θ

( ) ( ) ( ) ( )=θ+θ−+θ+θ− DCBA MMMM θ×λ= 51100


∴

( ) ( ) ( ) ( ) λθ=θ+θ+θ+θ 5500MMMM 1p1p1p1p

364,05500500500500500 =λ⇒λ=+++

(d) combinação viga 1 & andar

1100λ

A D-θ θ

5θ

1000λ

E

C2θ3/2θ

1000λ

Fθ

B

-3/2θ

( ) ( ) ( ) ( )=θ+θ−+θ+θ− D23

C23

EA MMMM θ×λ+θ×λ+θ×λ= 10002100051100

θ<0→ Mi=-Mp; θ>0→ Mi=Mp

( ) ( ) ( ) ( ) λθ=θ+θ+θ+θ 9500MMMM 1p23

1p23

2p1p

382,095005007501500500 =λ⇒λ=+++

(e) combinação viga 2 & andar

1100λ

A D-θ θ

5θ

1000λ

B

F

C4θ3θ

-3θ

1000λ

E2θ

( ) ( ) ( ) ( )=θ+θ−+θ+θ− DCFA M3M3MM θ×λ+θ×λ+θ×λ= 410002100051100


( ) ( ) ( ) ( ) λθ=θ+θ+θ+θ 11500M3M3MM 1p1p2p1p

478,01150050015003000500 =λ⇒λ=+++

(f) combinação viga 1 & viga 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θ+θ×λ+θ+θ×λ=−θ−+θ+θ+θ−θ− θ 410002210002M3MMM 2CF23

EB


( ) ( ) ( ) ( ) λθ=θ+θ+θ+θ∴ 9000M3MM2M 25

1p2p23

2p1p

75,090001250300015001000 =λ⇒λ=+++


(g) combinação viga 1 & viga 2 & andar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=θ+θ−−θ−+θ+θ+θ+θ−θ−+θ− θD2CF2

3EBA M2M3MMMM

( ) ( ) ( )θ×λ+θ+θ×λ+θ+θ×λ= 5110041000221000


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λθ=θ+θ+θ+θ+θ+θ∴ 14500MM3MMMM 1p27

1p2p23

2p1p1p

534,014500500175030001500500500 =λ⇒λ=+++++

O menor dos factores de carga (λi) é 0,364 correspondente ao mecanismo de andar, pelo que será este o mecanismo de colapso.

4.2.2.Pórtico Tipo-Asna

Estabelecer o mecanismo de colapso do pórtico tipo asna representado na figura, bem como o cálculo do respectivo factor de carga de colapso em função do momento plástico Mp e da dimensão L.

L

λ

λ

L

MpA

BC

D

L

0,25

L

Fig. 13-Pórtico tipo-asna.

Grau de hiperestaticidade: Gh=2 Nº de rótulas plásticas possíveis: 4 Nº de mecanismos independentes: 4-2=2 (1 de viga e 1 tipo-asna)

(a) mecanismo de andar


λ

A

BC

D

Lθ

-θ

θ -θ

( ) ( ) ( ) θ×λ=θ−+θ+θ− LMMM DBA


∴ ( ) ( ) ( ) θ×λ=θ−−θ+θ−− LMMM ppp

LM3LM3 PP =λ⇒×λ=

(b) mecanismo tipo-asna

A

BC D

Δ-θ -θ-φ

θθ

φ

2 ×(0

,25L

)

Δ=2×(0,25L)θ=Lφ∴ φ=0,5θ

L/cosα×θ

θα

δ=L/cosα×θ×cosα

( ) ( ) ( )=θ−θ−+θ+θ− 5,0M2MM DCB Δ×λ+δ×λ=

( ) ( ) ( )=θ−+θ+θ− 5,1M2MM DCB ( )θ××λ+θ×λ= L25,02L


∴ ( ) ( ) ( ) θ×λ=θ−−θ+θ−− L5,15,1M2MM ppp

LM3L5,1M5,4 PP =λ⇒×λ=

(c) mecanismo combinado

3 Mp = λL → mecanismo de andar + 4,5 Mp = 1,5 λL → mecanismo tipo-asna

7,5 Mp = 2,5 λL - 2 Mp → ausência da rótula plástica em B

5,5 Mp = 2,5 λL ⇒ λ=2,2Mp/L

O menor dos factores de carga (λi) é 2,2Mp/L correspondente ao mecanismo combinado, pelo que, segundo o teorema cinemático, será este o mecanismo de colapso.

4.2.3.Pórtico Simples com Carga Uniformemente Distribuída

Estabelecer o mecanismo de colapso do pórtico representado na Fig. 14, bem como o cálculo do respectivo factor de carga de colapso.


4

48λ

8λ18λ

6

Mp=40

A

B C D

E

Fig. 14-Pórtico simples.

Grau de hiperestaticidade: Gh=3 Nº de rótulas plásticas possíveis: 5 Nº de mecanismos independentes: 5-3=2 (1 de viga e 1 de andar)

(a) mecanismo de andar

18λ 4θ

A

B -θD

E

θ

θ-θ

( ) ( ) ( ) ( ) θ×λ=θ+θ−+θ+θ− 418MMMM EDBA


∴ ( ) ( ) ( ) ( ) θ×λ=θ+θ+θ+θ 418MMMM pppp

222,2418M4 p =λ⇒×λ=×

(b) mecanismo de viga


48λ

3θ

A

B -θ D

E

-θ

2θ

( ) ( ) ( ) θ×λ=θ−+θ+θ− 348M2MM 21

DCB


∴ ( ) ( ) ( ) θ×λ=θ+θ+θ 348M2MM 21

ppp

222,2348M4 21

p =λ⇒×λ=×

(c) mecanismo combinado

4 Mp = 72λ → mecanismo de andar + 4 Mp = 72λ → mecanismo de viga 8 Mp = 144λ - 2 Mp → ausência da rótula plástica em B 6 Mp = 144λ ⇒ λ = 1,667

O menor dos factores de carga (λi) é 1,667 correspondente ao mecanismo

combinado, pelo que, segundo o teorema cinemático, será este o mecanismo de colapso. Sendo o mecanismo de colapso o mecanismo combinado, em que não se forma rótula

na secção B, importa determinar o valor do momento nessa secção. Para o efeito, o cálculo do referido momento pode ser realizado a partir de um outro qualquer mecanismo em que se forme uma rótula plástica em B. Considere-se assim novamente o mecanismo de viga com uma carga uniformemente distribuída de 8×λ=8×1,667. Como anteriormente estabelecido, a respectiva equação vem

( ) ( ) ( ) θ××=θ×λ=θ−+θ+θ− 3667,148348M2MM 21

21

DCB (86)

em que nas secções C e D existem rótulas plásticas, pelo que se conhece os respectivos momentos:

θ<0→ MD=-Mp=-40; θ>0→ MC=Mp=40 (87)

Substituindo (87) em (86) obtém-se o valor do momento em B:

3667,14840402M 21

B ××=+×+− ⇒ 0M B ≈ (88)

Assim, na viga BD conhece-se os momentos em três secções distintas (em B, C e D), mas não existe garantia de que o momento ao longo da viga não ultrapasse o valor do momento plástico. Para se saber o valor do momento em qualquer ponto da viga, basta desenhar o diagrama de momentos ao longo da referida viga. Para o efeito torna-se necessário calcular o valor do esforço normal numa das colunas, ou seja, é necessário determinar o valor da reacção vertical que um dos pilares exerce sobre a viga. Escrevendo


a equação de equilíbrio de momentos relativamente à secção D obtém-se a reacção vertical sobre a viga na secção B (ver Fig. 15)

036667,18406R0M Dto =×××−+×⇒=∑ ⇒ 333,33R = (89)

408×1,667

RB

x

D

Fig. 15-Forças sobre a viga BD.

A distribuição de momentos ao longo da viga (da extremidade esquerda para a

extremidade direita-Fig. 15) é então representada pela seguinte função:

( ) 2x2667,18x333,33xM ×

×−×= (90)

O valor máximo do momento ocorrerá a uma distância da extremidade esquerda (x), o que se verificará na secção em que a tangente à função (90) toma a posição horizontal

( ) 0x667,18333,33dx

xdM=××−= ⇒ x = 2,5 (91)

Substituindo (91) em (90) obtém-se o valor máximo do momento flector:

( ) 67,415,22667,185,2333,335,2xM 2 =×

×−×== (92)

Como se verifica, no mecanismo de colapso c) em que se supôs a ocorrência da rótula plástica a meio vão, o momento máximo ultrapassa o momento plástico conduzindo a um diagrama de momentos estaticamente inadmissível, violando-se deste modo o teorema estático.

Uma hipótese, aproximada, consiste em calcular um factor de carga de colapso inferior, impondo como valor máximo para o momento, o próprio valor do momento plástico:

6,167,41667,140

r =×

=λ (93)

Assim, o valor correcto para o factor de carga de colapso estará compreendido entre 1,6 e 1,667, o que corresponde a variação de


%2100

2667,16,12

667,16,16,1100

2667,16,1

2667,16,1667,1

±=×+

+−

=×+

+−

(94)

Alternativamente, e de modo a obter uma valor exacto, admite-se que no mecanismo de colapso (mecanismo combinado) o posicionamento da possível rótula plástica não é a meio vão, encontrando-se deslocada de uma distância y relativamente ao centro (ver Fig. 16).

48λ

(3+y)θ

A

B -(θ+φ)D

E

(θ+φ)

4θ18λ

θ-θ

3+y 3-y ( ) ( )θ+=φ− yy 33 (95)

Fig. 16-Mecanismo combinado.

Para este mecanismo combinado a respectiva equação de equilíbrio vem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ×λ+θ+×λ=θ+φ−θ−+φ+θ+θ− 418348MMMM 21

EDCA y (96)

em que nas secções A, C, D e E se conhece os respectivos momentos

θ<0→ MA=MD=-Mp=-40; θ>0→ MC=ME=Mp=40 (97)

que substituindo em (96) resulta: ( ) ( ) λθ+θ+×λ=θ+φ+θ 723248080 y (98)

Atendendo à relação entre ângulos estabelecida em (95) e substituindo em (98) obtém-se a seguinte função para o factor de carga:

( )( )θ++λ=θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+ 3324133180 y

yy ⇒ ( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−×=λ

yyyy36

93

10 (99)

O valor da variável y pode ser obtido pela determinação do ponto mínimo da função (99), ou seja,


( )( )

0318

451233

10d

d22

2

=−−

−−×=

λ

yy

yyyy ⇒ y = -0,487 (100)

determinando-se deste modo a posição exacta da rótula plástica e a que corresponde o seguinte factor de carga de colapso:

( ) ( )( )( ) ( )( ) 645,1

487,03487,06487,09

310487,0 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+

−−×=−=λ y (101)

Pode-se agora verificar, se com esta configuração o diagrama de momentos corresponde a um mecanismo estaticamente admissível. O momento na secção B pode ser estabelecido do mesmo modo que anteriormente, ou seja, por intermédio do mecanismo de viga temos a equação

( ) ( ) ( ) ( )487,03645,148MMM 21

DCB −×θ××=φ−+φ+θ+θ− (102)

em que a relação de ângulos vale:

θ=θ+−

=θ−+

=φ 721,0487,03487,03

33

yy (103)

Atendendo às relações estabelecidas em (87) e substituindo (103) em (102) obtém-se o momento na secção B

( ) ( ) ( ) ( )487,03645,124721,040721,040M B −×θ××=θ×+θ+θ×+θ− ⇒ 533,1M B −= (104)

O equilíbrio de momentos sobre a viga relativamente ao ponto D permite determinar a reacção vertical da coluna AB sobre a viga

0533,136645,18406R0M Dto =−×××−+×⇒=∑ ⇒ 069,33R = (105)

A distribuição de momentos ao longo da viga (da extremidade esquerda para a extremidade direita) é então representada pela seguinte função:

( ) 2x2645,18x069,33533,1xM ×

×−×+−= (106)

Do mesmo modo que se fez anteriormente, o valor máximo do momento ocorrerá a uma distância da extremidade esquerda

( ) 0x645,18069,33dx

xdM=××−= ⇒ x = 2,513 (107)

Substituindo (107) em (106) obtém-se o valor máximo do momento flector:

( ) 0,40513,22645,18513,2069,33533,1513,2xM 2 =×

×−×+−== (108)


Sendo o momento máximo instalado na viga igual ao momento plástico o diagrama de momentos é estaticamente admissível. O equilíbrio de forças actuantes na viga BD segundo a direcção vertical permite determinar a reacção vertical sobre a viga em D:

0069,336645,18R0F Dyy =+××−⇒=∑ ⇒ 891,45R D

y = (109)

O equilíbrio de momentos e de forças actuantes sobre o pilar AB permite calcular as acções sobre este tramo da estrutura

040533,14R0M AxB

to =−+×⇒=∑ ⇒ 617,9R Ax = (110.1)

0617,9R0F Bxx =−⇒=∑ ⇒ 617,9R B

x = (110.2)

Fazendo o mesmo procedimento para o pilar DE, obtém-se as restantes forças actuantes sobre o referido pilar

040404R0M ExD

to =−−×⇒=∑ ⇒ 20R Ex = (111.1)

020R0F Dxx =−⇒=∑ ⇒ 20R D

x = (111.2)

Assim, sobre os três tramos (isoladamente) actuam os sistemas de forças esquematizados na Fig. 17.

1,533 8×1,64520

40

40

9,617

33,069 45,89133,069

1,533

9,617

33,069

2045,891

40

40

20

20

45,891

Fig. 17-Forças actuantes sobre cada tramo.

Com base nestas forças é então possível desenhar o diagrama de momentos (Fig. 18).


-40-1,533

40-40

-40

Fig. 18-Diagrama de momentos.

4.2.4. Dimensionamento ao Peso Mínimo de Pórtico Duplo

Com base no método de dimensionamento ao peso mínimo, calcule os momentos plásticos (em função de PL) que permitam dimensionar o pórtico representado na Fig. 19.

L

M2

2P

P

2L

M1

A

B D G

H

M2

2P

2L

M1 M1

I L

M

C E F J

Fig. 19-Pórtico duplo.

Grau de hiperestaticidade: Gh=6 Nº de rótulas plásticas possíveis: 10 Nº de mecanismos independentes: 10-6=4 (2 de viga, 1 de andar e 1 de nó) No método da combinação de mecanismos, quando aplicado ao dimensionamento ao

peso mínimo, o número de mecanismos independentes é estabelecido do mesmo modo que


anteriormente. Por exemplo, na ligação do pilar esquerdo com a viga só se conta com uma única rótula plástica, embora se possa formar uma rótula em B e em C (ver Fig. 19).

(a) mecanismo de viga 1

M1<M2 M2<M1

4P

B

2θ

E-θ -θ

4PC

2θ

E

-θ -θ

( ) ( ) ( ) θ×=θ−+θ+θ− LP2M2MM EDB

θ<0→ Mi=-Mpi; θ>0→ Mi=Mpi ∴ 21 M3MPL2 +≤

( ) ( ) ( ) θ×=θ−+θ+θ− LP2M2MM EDC

θ<0→ Mi=-Mpi; θ>0→ Mi=Mpi ∴ 2M4PL2 ≤

(b) mecanismo de viga 2

M1<M2 M2<M1

F-θ

4P

2θ

L-θ

F-θ

4P

2θ

J

-θ

( ) ( ) ( ) θ×=θ−+θ+θ− LP2M2MM LIF

θ<0→ Mi=-Mpi; θ>0→ Mi=Mpi ∴ 21 M3MPL2 +≤

( ) ( ) ( ) θ×=θ−+θ+θ− LP2M2MM JIF

θ<0→ Mi=-Mpi; θ>0→ Mi=Mpi ∴ 2M4PL2 ≤

(c) mecanismo de andar

M1<M2 M2<M1


A -θ

Pθ L-θ

θ θ

-θLθB G

H M

A -θ

P

θ

J-θ

θ θ

-θLθ C E

H M

θ

F

( ) ( ) ( )+θ+θ+θ− HBA MMM

( ) ( ) ( ) θ×=θ−+θ+θ− LPMMM LMG

θ<0→ Mi=-Mpi; θ>0→ Mi=Mpi ∴ 1M6PL≤

( ) ( ) ( ) +θ+θ+θ− HCA MMM ( ) ( ) ( ) ( ) θ×=θ−+θ+θ+θ− LPMMMM JMFE

θ<0→ Mi=-Mpi; θ>0→ Mi=Mpi ∴ 21 M4M3PL +≤


(d) combinação viga 2 & andar

M1<M2 M2<M1

A -θ

θ L-2θ

θ θ

-θLθB G

H M

F-θ

2θ

A -θ

θ

J-2θ

θ θ

-θLθ C E

H M

2θ

2 PL = 21 M3M + PL = 6 1M

PL = 1M3 + 2M4 2 PL = 2M4

PL3 ≤ 21 M3M7 + 3 PL = 1M3 + 2M8 - 2M2

PL3 ≤ 21 M6M3 + (e) combinação viga 2 & andar & nó

M1<M2 M2<M1

A -θ

θ L-2θ

θ

LθB

M

2θ

θ

-θ

E

H

Não tem interesse por anular uma só rótula e gerar duas

3 PL = 21 M3M7 + 1M−

PL3 ≤ 21 M3M6 +


(f) combinação viga 1 & viga 2 & andar & nó

M1<M2 M2<M1

A -θ

L-2θ

θ

Lθ

M

2θ

θ

-θ

E

H

2θ

A -θ

Lθ

2θ

θ

-θ

E

H

2θ

J-2θ

θM

3 PL = 21 M3M6 + 2 PL = 21 M3M1 +

3 PL = 21 M6M3 + 2 PL = 2M4+

5 PL = 21 M6M7 + - 1M2

5 PL = 21 M10M3 + - 2M2

PL5 ≤ 21 M6M5 + PL5 ≤ 21 M8M3 +

Constituídos os mecanismos importa agora definir o domínio de segurança, o que pode ser feito por intermédio de um gráfico em que nos eixos ordenados intervenham os dois momentos plásticos a determinar (ver Fig. 20).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5M1/PL

M2/PLPL<6M1PL<3M1+4M23PL<7M1+3M23PL<6M1+3M25PL<5M1+6M23PL<3M1+6M25PL<3M1+8M22PL<M1+3M22PL<4M2

Domínio de segurança

A

Fig. 20-Domínio de segurança.

A função peso pode ser uma função objectivo do tipo


( ) ( )( )21 ML2L2MLLLPeso ++×++=k (112)

em que k será uma constante (por exemplo em que intervenha a densidade). Do gráfico pode-se concluir que o ponto pertencente ao domínio de segurança e cujo par de ordenadas corresponda à minoração da função peso (112) é o ponto A, em que

PLM 31

1 = (113.1)

PL556,0M 2 = (113.2)

a que corresponde a função peso ( ) ( )( ) 2

31 PL224,3PL556,0L2L2PLLLLPeso ×=++×++= kk (114)


Referências

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[3] Boresi, A.P., Schmidt, R.J. & Sidebottom, O.M., (1993), Advanced Mechanics of Materials, 5th ed., John Wiley & Sons, New York.

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[5] Horne, M.R., (1979), Plastic Theory of Structures, 2nd ed., Pergamon Press, UK.

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[11] Richards, T.H., (1977), Energy Methods in Stress Analysis, John Wiley & Sons, UK.

Documents

Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladaspaginas.fe.up.pt/~ldinis/porticos.pdf · Análise Elasto-Plástica de Estruturas Reticuladas 2 Analise-se o seguinte exemplo [9]: