j

.10.16. Prueba M de Box.

!La prueba M de Box se basa en los determinirntes de las matrices de varianzas-

co,rarianzÀ de tos grupos. La Figura 1?9 (véase p$' zasl presenta.los resultados de

i; ;;;;ü;- ieralãad'ate las maúi."s de varianzasfcovarianzas ut'ilizando la prueba

M de Box. Para conseguir este dato se incluye ut{ I* int n..iones STATISTICS ?'

Como puede obser'arsJel ràsultaalo es de 146'66/ E-ste-yalor se trar\sforma en una

F * 7,ü453, c'ya p = 0,0000 supone el rechazo/de la hipótesis nula. Es decir, las

malrices de varianzas-covarianzas no son eguivalentes"

sin embargo, hay que tener presente que con muestras grandes se puede encon-

trar significación estadística con mucha facilidad, aunque las matrices no sean muy

desigual*s. [ste test también es muy sensible a las desviaciones de la normalidad mul'

tivariable, ss decir, matrices equivalentes serán significativas si no hay normalidad

muitivaria'i:le. tt n .,.., ,{.tCV/.ry

"/'o (t tnr'1 t't' J 'rrilt"' L & ''' '- '

L \[ 7't1.u47'í' !' ""iï

'\ '""'[r' " 'Vl:a''bt 4t tls''i irrpt'

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11. ANÀLIS$\!

\' Íj,'}rl

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iJÌ.(Ì*$

11.1. Introducción',

S â or.t^

en la Figura 180 (véase pâ,g.288). Esta matriz se transforma en otra matriz, denomi-

nada matriz factorial, como la ile la Figura 181 (véase pág. 289) ' sien ao @y'-Y ' 1e

,uponu que se trata de variables cuantitativas medidas en escalas de intervalo o de

úvr'do _ o gr.r,o-.0' \'e"{v* r"í!r f_ç." r:-cf.!.rr\

Matemátìffi;; se dispone de una matriz de datos de la forma en que aparece

,uian. i ìo largo de este capítulo se exponen estos conceptos mediante ejemplos'

En el análisis factorial iori'anáìisis

factores

r.i^q 'ì1, - -:1nl'o:u, '*', .ltìr)'t' ?:,4 t'Ít ' t -,' 287-

, , .. lrrlr,y, ç&- ,

',...1

rmatorio

2Ító

ç.d' t 2.a. rü-. i2zir.y1:rr.).9.''.1.''i.

rt"tt ,

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Figura 130. Matriz de datos para un análìsis factorialItìr'a Ldllli[r'qcv r.Lr ,rr-r.rir."Lq& olu;afwwr, t'alo,tw ott.r rç[.+nxys.""s,.e. çn'-in. 'çr1,, l. "e. '", 'ïlït;,,i..'o',fu;;;L.^^.ro ra*r, ","_..'l,t::7'o-- '?rú

por habitante; 10) NIVELVID: índice del fomento de la mejora del nivel de vida;1f) VMENDÂ: porcentaje de viviendas construidas recieniemeite;12) MIGRACiO:índice de la actividad migratoria; 13) PARO: índice rle paro laboral; 14) MENTALEN:extensión de enfermedades mentaÌes. La palabra çlave en mayrísculas es la que se uti-lizará en el programa informático.

ciones, la cual se utiliza como 'input' en el programa de la Figura 183 (vóase pá.g.292).

Porciones del'output'se comentarán en los sucesivos apartados de este capítulo.

11.2. Antecedentes históricos'telg:-,.-.d@, s {_!o

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varlsblcs /

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ltülqÍ\íttt"tqìrt.ros I I . "' - r\ >

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,rúrriuro de éstas superior al de aquelÌos' y se somete a

x"^r"

X"t

Xr"

Xot

X"z

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o-.';;rll*.'r r,liginales, siendo el

coiüPr,bación el modelo'

5'ry

^"r$

288

'tuqL'ú,'t*j $qí-'c^ra

, pc:,.'t'3'"^l o c.v*'d-fuee- inej*[. Jç"'!':tu' u'+''ig'f's

trì1.-r-...,1"r ''t.- i.:'-o " * Â ;'oo.t *"; ' :''il* :'

.*È;4fi47 {}f-'-r'"(:Ì'. ')r'ri;'.1.1.r p,i^., p.!.u ,r,..r;t :,^-r;.úl

, --"1)&'--\'.".,st rt.\ -.) r.^-' t'9 rrJï/.'1l;.Lf.t 7)., ,,1 1.,,rr,1,., l, ,' %t

r;t)c.,ú"ü,,

Los antecedentes del análisis factorial se encuentran en las técnicas de regresiónlineal, iniciadas por Calton. Un continuador suyo fue K. Pearson (1901), que presentó

la primera propuesta d"t ,"letqa" a" "o*oo""r tignl q"fg p.!. 1

cálculo del análisis factorial.

Ì"'\l,g*MtoWtiúwtl)

Varl âblcs

1"hJd rlil , ,1)'"Ì

rÌ' (l' t)ui . ,n!

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1

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F"t

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F*t

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. ,J

)l nì',\, , í"

|,'

Figura 181. Matriz factorial

)'re análisis factorial es la de Har-

man (roso). Introductiori!' t"""*t"tr"' p*u u't"ãúes de Ciencias Sociales son las

de càmrey (1e85), K,* ; ü;il;"(r'ã'1 f {:}'H*-l ïf "#,lilit,trJ . ",il

H tlliltniiï#Íïi:ï:;*-ru:ry;:riiôïï'' no-is)' ìdorrison (1e67 :

zle-it$Ìi. t íulaik (19?2);;;;'' ïJg"iau-""t" t" "*po""n los aspectos principales

det análisis factorial "'"d;;;;;;;b ã" Norusis (1985: 126-150)'

Ejernl:lo ,3e descripción sociológica'- Se desean analizar algunos indicadores

sociológìccs con objero d:ï;";;;ï; características compartidas por distintas co-

munidadcs. S" 'ul"ttiot'J" ;;;';88 condados 'obre

lot coai"s te observan las 14

variables siguientes: rl'ï!ïeiOni' "rt+itiarã ã" tu poUtt.ión; 2) PERIODIC:

oeriódicos semanares n", ïlo^n.*, ã; nvrrr,norntu: porcentaje de mujeres mayores

iïr"çïoï,-*"" t,u,u'i*; õ-a'cnrôÚrt' *'::l':iïi".;:ïïï".ff1tï;Ëtïï:';:ïï:;

:i ir ili :i ï"'Íï1":ïi Ï:'f#:,:, i i

j\"*;;; ììail" d e ind ust riar iz ac ión ;

ò1 s.et,uu, índice de '"r'ïà'ï ifijDasNrt *"tãt tt avudas oficiaÌes a los tliios

;s*ÈÌ

êus.â

El obietivo oue se retende consiste en identificar un número de

rior al número de variablesyado de forma simplifiqa{a. En síntesis se trata de reducir la información

À partir de la matriz de datos originaÌ se ha calculado la matriz de correla-

b ásìcas:iru,:lria los

!'',r.j:! .if,€Jl+ffiffi

289

| ,,'!i.i,t;: gt ,r\ i"r- : tt f]{J *1'.'j

L': ('")';14')r';'í 't, t'

(i' í

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Figura 182.

àearâr^ê â?êz â

Za-:;*i;êZ+=iÊaaN.ËE:EB

ìvÍatriz de correlaciones del ejemplo sociológico

-)G)*\

290

It

,:' t1,.; fi t'. i i í : r. ( lnfA i:)lrl, ,t il.Ì lt / l

I

' 'rit'

", ''rinpte'nales '{"

.- , a. -:i- Ìt (.(,9''Mt )hò-:

Q dt{!'rti'?. . ," ':3":*!!{níâ *étodo -''

.

mle atemáta realizar rotaciones

El cálculo del análisis factorial, con un núrnero considerable de individuos y de

variables, es sumamerrte laborioso. Con la llegada de los ordenadores estos cálcuios

han dejado de tener importancia. Esto ha contribuido a que el análisis factorial se

haya convertido en una de las técnicas m;ís utilizadas en la investigación en ciencias

la' po, ejemplo, se han propuesto múltiples métodos para la extracción de fac-

tores, comprobiíndose q"" l"Ut distintas soiocio""s- a un mismo pt:bt;t*1'-:,"9úï ^"]

(Ì

método que se adoptas.. Con esto se plantea el ililema de qué metodo elegir' Las

iupo""t* han sido distintas según las diversas-tenduotit"' Pf+oit:9€"içB-gryrpqbg-gJ..1"

t"tst Tfo "ti ' Si bien hemos de adelantar que' como

íËã" que consideran el análisis de componentes

Ã;;;;; o'u ie.r,i.r distinta del análisis faciorial. Por eso, cuando realmente

lo que interesa realizar es una análisis factorial y no un análisis de componentes prin-

.ipul", se recomienda utilizar el método de miíxima verosimilitud o el de mínimos

cuadrados.

291

del aniílisis factorial suele atribuirse a Spearman

a las variables lican Ia

tr; método es cle los

del desarrollo históriço del

ffi;bì'losmétodosde

Ãe r i ú''u,- r fÀ ',7)'t.; - j, 714r t""ít :-'p/i ro.'7tn l-* ''jr

{

i'.t.ed'Ì1 Ji'"{úÍ.., ,.,t.

eh, :ar,''i

íitr,sà

f11.3. Pasos en el análisis factorial

11.4. Examen de la matriz de ccirrelaciones

()ÕJ

-,:--.-.. ] -----,/ i1?'

'..it"'1;gii_l

ÕN

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(f,dr()!oo<)do

oúì\o\oo()\o\oÔ6NNdtl

c,drd\+c)dúoNodrÔ\oí)dll

ÕÕcoooorO\Oíì-tn\+ô6ãÊra'ldt t

Para realizar un análisis factorial se suelen seguir los pasos siguientes:

calc"alar la matriz de correÌaciones entre todas las variables, a partir de lamatrìz de datos originales. Examen de esta matriz.

Extracción de los factores necesatios para representar los datos.

Roteción de íactores con objeto de faciìitar su interpretación. Representación

gráfica.

Calcular las puntuaciones factoriales para cada individuo. Estas puntuaciones

pueden utilizarse en cálculos posteriores-

como veremos, no todos estos pasos son indispensables para realizar un análisis

facílita la i

orNOÕ(Oô iOOt-ìO(O-frO€rNOoN ' "Srêt I I :,1

Õ6\tró\t66 ,"'., ,' .-ììloNcìr4oNNôoJt+oNO4o i .a

,,i, ;,,;! :o'' i,ï:r',íf'! i

t.].t'i

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1:1 !

'1-

õozHlf,o tÃzúÀú Ër'l(-t<< 4l-ì4útu F<'z?<^DHo ÊlÊtZN=.úá ÈEçrlotìC) (t Edúin< Zo vilsod <ÊjozÈi3lt e FrO

EEg Eõ e111Ì?"1? i' 'rç

r-l<< 4H i I trr ,..ei ìì4aL Ef,^ oiÕFrO(D+- ' È*_.-u^, ôdN66O\ONn ..-\ì\

Ê EãE EËËÈ = ;;il ïi Ë3 EEË gË'Ë 3rR3R3:3€e ì,;

Figura 131t. programa para un análisis factorial

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3 HEE e*"É 3rR3R3:3€e ;'' .'eOÉ<'r\Ë ggÁ ããÊb : t 'r " ;;

F ãEÊ EË#: EiHssì:aEEÍ qã EEË ÉïïÉ l,',',', ,'i ' 'ì--E sxnHSËEnï gìFniin$iË$ì ,

ì ìãcuEFã3H'3Hx ";'' "''''''''i'.:,;itì,\

E"Ë43FË5ee{t*g :qqqqì8iqi€üEÉ_ ; ï-ó r)H ZtYiur-"il g-,iiõ zo60Õrosoono\orrÊm .=' ì'

ãËE:E ãEF E:ÌiiÌïïÌïïÌÌireã ' t

=-'"..,ì x.

en el análisis factorial en muchos otros análisis multivariables,atriz de

"ô

En el ejemplo de descripción sociológica partimos ya de Ia matriz de correla-

ciones, la cual aparece en la Figura 182 (véase pág. 290). Un examen detenido de

esta matriz permite comprobar que la mayoría de las correlaciones son altas. En laparte inferior de la Figuia 184 (vease pá.e,.294) aparece el giado de significación de

cada una de estas correlaciones. 9glqq_p"id"l9Ëgrlq_g-tgY3ryg=g.glqf ggUE4e"=I!".'gAqluti*,.:lllg4g'l o pr<Ïi o;/

A continuación veremos algunos indicadores del grado de asociación entre las

variables. Todos ellos cumplen la misma función y suelen llegar a la misma conclusión.

Alúicaremos estos índices.a,los datos delejemplo de descripción sociológica.

,'' 1)',f': . r'iTt"-y', ^. ,-',,,".1:. 14itÊ..,1.r J' 2s3

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óo€ÔãtõÉÊ60sooNrs6co-âDâtoÓ

6tsOFN€O--Noéono-óNotsoÊotÈóÔdooo€ôNoooõO-

òóÕooo6€c(oôóooÓoáo-oruoó

Esto indica que los datos pueden ser adeçuados para realizar un análisis factorial.

variables son ceros. En la diagonal principal hay unos, puesto

de una matriz identidad en álgebra matricial es idéntica a la función del uno en

como lrtl. Para mi{s ínformación sotrre determinantes véase Tatsuoka {19?1: ?43-

252)" Consicerando que l.Rl : 1, si y sólo si R : I,la hipóíesis nula se puede

"] sl

formular indistintameate así:

tL.4.2. Test de esfericidad de BartletttJ*Jfu

,i- Et test de eËfertctd

hipótesis de que la matriz de correlaciones es uqg lnatJiz idenlid+d. .Recordemm que

ffiquetieneunosenlaãiagonalprincipalylosvalorcsróstantes son ceros. Una matriz idenlidad tieae, por tanto, la frrrma sigrriente:

'SqS,f€Ji

çã.

SF,

i

: ""'

[1 0 0 0ll0 I 0 0llo o 1 ol:rt......tlo o o rJ

a .l6dôàeõóóFOoJúãÈlõtutsflú (ó9ts6o69: lGdt-NoóNoêilo_ü r lr

I róú€6O6r6OO4JÈ. èÁô-6FóÉóooçtse< Ão;êêÈNq-n6.r-ob, üfr>

üza_Nqloãs ^

Í

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ii<

Jo>Fu<- -ô<o tõõó)46F 6>20 )aódo<{6Ô<JU< <<:r-tsFrrôa-Éctsúqiodu=<>---<q

El test de esfericidad de Barlett se fundamenta en que el determinante de,.---.-,.glp d" l. *,t*a. Utt dut"rmittuntu

\'r.nÌ{5 *'Ê q

Ì_L ïS \

aritmética cliísica.

de una transformación te de la matriz de correl

determinJnïã suãlõn-ïãpresentarse mediante una letra m a entre dos barras,

Si se confirma la f{

7q;t

ÈË*ffiqtsL Ê_' :ìi *)

la matriz de correlaciones

t*& {,, tV-í#., -( th"ch.ú :t} rï,i. ,l{t'i;*fu,:Etç, 2ss

'./ ' (t,':" :

.l , -'. -t)'.''.'-+'

-.i-:-*- '

. '*.' ir,'.-.:; 'Ít 'La , ^ r\,. !.çlt"'ft !.

.{ ,}, , ^!,'çS -' , \

que estos

La expresión matemática de la prueba de

Bartlett es:

aú*

_d

IQ^)

x' = *ln - t * tl6í2v + s)llnlÃl

Ilcndc a es el número de inclividuos de la muestra y v el número de variables

incluidas en la mãiriz de correlaciones. La expresión lnl.Rl se refiere al logaritmo

neperiano (véase págs. S7Z-573) del determinante de Ia matriz de correlaciones. Los

g.udos d" lìbertad vienen dados Pol l/ = llz(V'? -V)'I Si con el r,est de Bartlett se obtienen valores altos de 12 se rechaza la hipótesis

lí ,utu cç,: urr cierro grado de.significación. En caso de no rechazarse la hipótesis nulali .ignifi.uríu q.:e las

-uariable"'nã están intercorrelacionadas. En este supuesto debería

reconsitle:"il,ti i* aplicación de un análisis factorial'

Para aplicar esta prueba se requiere que los datos procedan de una población

que sigue li: i:.ciribucióll normal multivariable'

En ia iiigura 184 (véase pâg.294) aparece el vator del test de esfericidad de

Bartlett. Pu,rrìi'o que tenemos 88 individuos, 14 variables y el determinante de la

matriz dc ti.rri*iaciones es 0'0000091' tenemos:

" x2 = -[88 -l-116(2 * 14*'5)]ln0'0000091:946',153

La ji*cuadraiì':r igual a 946'153 suPone una p = 0'000' Es decir' se rgch-a3a la hipótesis

nula. Esto indica que la matriz de correlaciones no es una matriz identidad. Por

tanto existen intercàrrelaciones signiâcativas, probablemente altas' dado que el valor

lallado cn Ia prueba de esfericidad Bartlett es significativamente alto. Esto indica

que la matriz iÌ* ,t.to. es adecuada.para proceder al análisis factorial.

-

:.ttL -ft':

I :: i t,:': ;

/t'\' $lì' E

L1.4.3.,El índice KMO deKaiser-Mever-Olkin dp** ''glL Ifh{g'W,O ãt'|.ll

La rn.:,1i,ia'de adecuación de la muestra 4MO, de Kaiser-Meyer-Olkin' es un

ír,,ìi.* "s de correlución observtdos õt

1' las masnitudes de los coeficientes de correlaciqlr parcial.

zs6 K!/1Ú-

ç

ì

una o más rrariableq

DD*KMo= #fba

i*i i*i

Donde qi es el coeficiente de correlación entre las variables i y i, y o;i e6 elcoefrciente de correlación parcial entre, las variables i y j.

bles es

las correlaciones entrede var

Kaiser (1974) ofrece un baremo de evaluación del índice KÌuIO que reproduci-rnos en la Figura 185.

En la Figura 184(véase pâC.29q se puede ver un índice KMO :0'76968, quesegún Kaiser sería mediano, próximo a meritorio. Por lo tanto, la matriz es adecuadapara proceder a un análisis factorial. '?'.19

1t.4.4. correlación anti-imageu ir!*I. #f

fr*yl,El coefciente de correlación parcial es un indicador de la fuerza de las rela-

.cignes l"s

I > $lO > .90 muy bueno

.90 > Kl'lo > .80 neriro.ió,gO > Kl.{d t.7O mediano

.70 > Kl.tO > .60 mediocre

.60 > KHo > .50 bajo

Kl'lO < .50 i nâceptab le

Figura 185. Baremo para interpretar el índìce KMO

,i". fT#&r,tl',1

i

l"rl''

$"rï

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SpìÈ$

Õoôêo-ô€È-FF <õóèoooFos{oú Iqq?qq191qÍYqt;

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JoJtsU<- -ó<o Zõõ6-AÔÈ 6>ta JÃôúo<<do<Ju< <;dÉdzza)a>>oÉ2ú4ú<>>-4<z>tÀ:

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,s*l$ã:ëe,ìÌ :

=qw,;*ì rÀ H.,É

$$ .ï:(] q ::3s Éì ããç

"ül Íi'\X "! lãã

F; ìj *,:

'. ": ;'lo

\ -iii

oo6ôotÔÉ-oo600$rNoF

ôo-óôo4ÕO

11.4.1. El determinante de la matriz de correlaciones

lugar;i-aËlêtninante de-Ìãmatriz de correlaciones, que como püede verse es muy bajo.

Esto indica que los datos pueden ser adecuados para realizar un análisis factorial.

LL.4.2. Test de esfericidad de Bartlett

de una matriz identidad en álgetrra matricial es idéntica a la función del uno en

aritmética clásìca.

'rà s)

formular indistintamente asr:

tk El test de esfericidad de Barlett se utiliza para someter a comprobación lahipótesis de que la rnatriz de correlaciones es una lnatliz iÈenÍidqd. _Recordemc

que

""ã *"tli, lã""tidúìs aquella que tiene unoJãn ìa diagonal principal y los valores

réstantes son {:êros. Una mairiz ideniidad tiene, por tanto, la forma slguiente:

OJ<t

t<

ôiUIFO

=icú

<-lo

,-roO-<u

Èóu<<ú<uo' oÉ, n àô óô - 0 È +& 6Ô Jd tsd t O ! oóÔ <

ta-06è

264ú

Èz < F

El tgst de esfericiSgd de F?f!l-eg guttiste-en usa estiÍlaqi ado

r-peú *$9-* ta.gügsgj,o3glgeiones' Los

ããt".mi"ãiïã;üËïp*;onia.se mediante una letra mayúscula entre dos barras,

como lftl. Para más iniorrnación sobre determinantes véase Tatsuoka (fg?f: la:-252)' Considerando que j-Êl : 1, si y sólo si R = I,la hipólesis nula se puedets40ó@{65€OótOr6N-aosFÂéo6É

oooÊN-oútooFo

JO5ts!<- -ó<o zôôôtaóÈ a>ao rdouo<<oô<Jb< {<:r-FFrro!-ÉoÊouro4q=<>---<e

Vr'o -Nqloe

la matriz de correlaciones

E,: Ã-f iÂl :1

S i s e c o n fi r ma I a H" -Êis4&+-qqs&+v.41 ú ltq qe_es+ iqlel:eIïf lì&ltry as'

Por to t u of"ll (.":tut1.j!3dì. I

El test de esfericidad de Barlett t" fund@un* lizada de 14 41qma. Un determinante

EfìçÇ).

q:.

ard

n "fi1&r9uttt'aç-* .f" r'ri"" 5,, -( í!fisg.o,PÈ \.ìè çiì'ì

=-'ïqle__À('":i

.t,ril

.$'*"

lü:ü" t{r=ì 'r} - ' '

f

de correlaciones es un indicador del

intercorrelaciones mu 3ã la Figura 184 (véase pág. 294) aparece en primer

F'igura l8

*1

ïí.vt:':th,'yii:

q'.Í:'.t.' I

,;,,,,1.7' la +rillirción del análisis factorial '/I "rtr.:.i?r"4,*r"r,'+- l,ir Figura 184 (véase pág. 29a) muestra la matriz de correÌaciones dnti-llnagen.

Put.eì,: observarse que la mavoría de los valores están próximos a cèro. Tal comose iudira en le parte süperior, hay l8 elementos fuera de la diagonal con valoressuï,ìu';oÍcs a 0'09, lo cual supone un g'9 %, _ Se puede concluir, por tanto, que esta

miirri:r t":erde ser adeiuada para un análisis factorial.

La Figura 188 (véase pág. 806) muestra el .output' de un análisis factorialpor el método de rnáxima verosimilitud. En primer lujar aparecen los estadísticosiniciales (initial statistics), donde puede verse la cornunalidad de cada variable. Lacomunalidad inicial coincide con la correlación múltiple de cada variable con todas

11.5. Métodos de extracción de factores

-{l'. aeExisten diversos métodos

para extraer los factores, cada unoìãìilos conìuJGì[as e inconvenientes.

Los métodos m:ís usualeslpara extraer factores están consignados en la Figura186 (véase pág. 800). Para,c_ada métodd se indica la referencia bibliográfica dondepuede encontrarse desarrolíaaão. Recomendamos especialmente la obra de Harman(19s0), donde se analizan a fondo los métodos más importantes, Los métodos m:ísutilizados actualmente han sido incorporados a los paquetes de programas estadísticos.La Figura 186 {véase pág. 300) incluye la palabra clave de los métodos incluidos enlos paquetes BMDP v SPSS-X.

Thurstone {t947) desarrolló el m(todo centroide, como una aproxirnación sen-cilla al de *componentes principales". Este método se utilizó muiho mientras eradifícil accetler a los ordenadores, ya que permitía una reducción importante en el pro-ceso de cálculo. Actualmente, en que todos los cálculos se realizan Àediante paquetesde programas estadísticos, este método ha quedado en desuso.

uno de los métodos miís utilizados actualmente es el d-e_componentes.princi-

-t3lçg,*_ÇSq99!s tgp-1[.o_dS'.1ç--{]çg9!t-Lup-.J-qa-ll?el_nU9b9! çá199t,s arilmüti..g, fg.q^çú.,eËg

,Igg1llg19rlg*g jgír*g:nhlg-:qlli.a_+,çt di _qié"tqss_ p.;"rb;;ú, ã* tu ti*gadi à; tCIs

.!.trrrjjls4.14]gülii::eË:ij

11.4.6. Correlacióu rnúltiple

lineal entre las varia

q

lï.i.$. irítsdicì.:r de adecuación de la muestra (MSA)

Una medida de la adecuación de la muestra, abreviadamente MSA (measure ofsanrpling adequacy), puede calcularse para cada variable de forma similar al índice deI{il.{{?. Fln *s-ta prueba sólo se incluyen los coeficientes correspondicntes a la variablcque se desea cam.probar. La fórmula es:

Arr,Ír;- ^mn'-' Jot{*'yn^rgüol,

Si los

,lrl, iY *f'alf,s ,t,';fi

cr' :..-ientes.[{SÁ bajos se dan solarnente en unas pocas variables, se podría plantrla rrosibilidad de eliminarlas.

-

En ei paquete SPSS-X, en el programa FACTOR, el índice MS,A queda refle-jq:lg*g:]g-{gqgnal principal-de ta rnat'io.de corr"lrciones@a1S4 ivÉ*sc: pág. 394) puede verse como las medidas de adecuación de la rnuestra delejernpio son altas.

MSA=D,,;*j

\-,t + \- "?lJ rt lJ rt

i*i i*i

í/ /re tÁüul í üúr,t;), alh P+ f4jÉ6r,w" LMffivM, r#ú, ,Á ,ü,,t . ' P

rnúiti ggl4 una de las variables y todas

. El coeficiente de correlacir/.qqando el método de extracción de

:98299

í-ìï, .ïK:rÀccr0N DE rACTonEs

3ee:.,. , '.1tursto,le, 1947; Harmao' 1980). r .r:,', -.: ici ner noc J

Ccúi'üiÈ:::43 pri.o'cipales (Harman, 1980)(principaÌ coÍlpònetrts zÌnalysl.s J

Faclor :: j-nciPaÌ (ÌIarnan, - f 980)(pr. rcipal factor anarYsrs J

Factorizacíon de e.ies principales (Harman' 1976)

";.:rPal ax].s raccorr-ng.,l

Factcrizacioo alpha. (Kaiser, 1963; Harnan' l'980)f:l:na factori-ng)

F:..r:::-recióa de i,nageo (Kaiser y Caffry' 19ó3)( iroag,e fáctorisg)

PFA

IJIFFY

PC, PC1

PAF, PA2

!*ËLffiffi" iïili:ËÊ"s'?ãË#; 133?ì"'" rl*.{,r* q,*tv.':.,,t(Ê. wdi ti;//WYL' /cJ'Jf{,

lrüínioos ëuadrados ao poodera{os (}Iarman"*"(ii*.iãuÈãã least'squares)

wlMúty JoÍres,

ULi.A

*wrym196ó )

v

," t'Vd[t'r"{*1

Mí-nimos cuadrados geueralizados"*Ë;;";;ÏiãÃã- reãst squares )

Hi:.i'r* (Haroan' 198Q) -1..:.: :.úum RESiduaIs)

'"'ïft1ï" g:n:'3:à3iuuË"Í3i"";í.Í*ïiiiïa ]?i?ìr

300

1iì6. Métodos de extracción de factores

"f

30r

-'TÇÍI

I

ordenadores, prácüicamente no se utilizaba. Por su importancia actlal, y ila{o-q1_e

;i;";. autárus lo consideran como una técnìca diferente det ànálisi3 faciorial (vid.*Ànálisis faclarial y cômponentes principales' en la pág.332),'nos referiremos à él

en el apartado sigrie$+"e, Para una exposición s*bre los demâs métodos remitimos a

ta bibliografía inJicada en la Figura 186 (vease pág' 300)'

En rcsrrnen, a,cttalmente se <listingxen dol grqld-e1-!e3.d919ias: f) çompt>

nentes'princii;aiei; b) an,{flsif iactoliai. n{irc dôi.qriátls1= factor'ral existe&_ a Éu Yf'Z,

,ìisrintos rnóic,tos t1e extia.iion A-- ti{l-".:"ry. gg*-o-g}e-da -re[:jr4-" "l lr.ligi'llJiq{vease pág. 3ürri. Ânre esti uir'i.g-{3d

-d; mór.;dô,ìãIá_ièii1ià1 ut análisi!.laç!qr'+l

Kim y Mueiìcr (19?8 u, rá) t"coã-ú{41-u1iì!419!-4çf-téX!."q f":o-ci$i!i!,q! o--9-l {e*ini*or.ç11u-aIa!A-tUiçILr3:i-Cj9-!9lCg qna,!qgLf94sj9l-9-9gPle-!4 dq.l trlé-!eC-"*Sse.

se vaya a utilizar.

Un ejerc.icio interesante para mejorar la comprensión del anáìisis factorial y

ioda su proúlemática puetìe ser comparar los resultados obtenidos con métodos dife-

rentes.

11,.6. Análisis de componentes principales

417=441),çJ-pglg

La secuencia Puede continuar

Exposiciones desarrolladas sobre el análisis de componentes principales, como

método distinto del anáÌisis factorial, pueden encontrarse en Harris (1985: 235-297),

N.Íaxwell (19?7: 39-45), y Ìv{orrison {1s67: 22r-21)6), entre otros'

El-análisis de çoq?P es u1o dç lop mftodoq ploneros del

.:Étiri.

4t

3]lliçly t87 {véa'se pág' B0r) ee pueden ver los resurrados del anrílisis fac-:ï ï:ï:. :i::jt^l: *",:,Try:entes

priac ipiles der ejempr; ;bü;;. rËü#;

de cada variable

\,.rf{l (PCT OF

Cua&doestos de variabilidtad is

ÊnaÌ stadistics

upuesto

11.?. Matriz factorial

de una

?^

ca<ia una de ras corumnas de esta matriz es un factor. Er número de firas coin-cidr: con el número de variables. Los fundamentos teóricq-m.tu*atì.o, y "r

pro."rodrr' cáiculo de esta matriz pueden encontrarse en Harman (lgg0).

3:^"]:::li:".1g o"uÍ."1 inrerprerarse como índices de correlación entre ell:: f: 1 I ? :*1'b b

/. j". rear i d ad .o.-.o.r"lu. ior,ã" " * ã" r", r*;;;ïï'":rrcÌ;Lcinrartos entre sí.

302

tor.. l,os

,,1yrai, -J,:É. 4L.,A,,.i,&tV,r.', c t ^' ,i 1 ;C -:.,1.,Í :\ -il t t i. + ,V Udn {1.

ë:srcqt,,rv t .çtR á\ÀLïSlS r, piircteÁ'l-cofípcrEx-fs ÂNArysis ípf ì

l-1,;ii'J;,íí;;ï* ,,,- /i1 -r,:",\ot!"í,_i'.n..., '".' ' ,

/-vÀRÍÁ!LE corftLriÂLrry * FACToR ;:á# ' *.1 o, u* cur.Í pcr

*f.1 EsTa.poBLPËRIOD IC','/ EllPErldÌ],',ãl ËÈi$ffiq iiilii I i i:i39i! t3'3 "'"ig::

-;...1 iifuïüii ï 33333 I i '33ïâi ítt ir2".;"rì ür_üii.Lqâ iifliifl ï e ligtà i:á á;,s.l . INIUSIRI t:qqÕqÕ * 7 .íóooo 3.6 01,y' qê-ryD i.õõõõõ * it '.-2ióói i'ó Za.iêl]&$ryI I qqsqs t e '.ìi,Éíi i:ã Zi.á' NryËLvrD t.SelSQ I ró :ãõigi i:; ói..'^vrvlsN'a l:tmr9: ii :ïi*-: !.1 e..a

AvuDAsNÌ i'ÃãÃã; , 4'Y e3.2yiË!üïô i:ü3333 ï ii :Íá;èl l:3 ,tlylYMp4 1.rrr000 i :r 'jõiil t.a sl.aMlclÁcio t.0oooo È tz r6eãã i'.2 óô.í,rAÏu r . rronnô * l1 .,.\iói - .1 óó-.;üE!.IïâLEN Ì..rrì0,10 * t1 :di;;; .3 róó.óPC EXTNACTED 3 |ÁCTORS.

FÀCïCR iÍATRÌX:t:r). -. FACT0N I FACTOR 2 FÂCTOR 3À.L-

d\ " " EsrÁ.eoBL -.lg?'.t .od5c, _.j6;.ir I ... ;.o'5 lEllqqrc .611?s :ããótè .4siie1\r çIl!+9Jg .qciqi :oiiáì .06063cd-- abKlcul,f --68659 .2OOO2 -.40450

^\ . vENrÁsDE .qlt4t :ilië,í :õ;ãíï ,r I'y.E:v-{As_IÁ .jzioj : ãiiõd . iónõe ai\) (\ IrypusrRl .q++1ç .1ggít .iáii\ drì ^ sÀÌ.un 3a34i -.\ii1| -.ey,t+ :;s -, ë- AYIÍDÀSNI -'.67a30 -'ïtiâõ

_\- vÌNr À)uL . 65111 .24264 , 0935 1y.E:v-{As_IÁ .tzsoj .ãçiõ+ .ïóeseC" IryplârRr .qu?6 .1ggít .iáttsf' ì4!uu .34341 - -321t8 - . ey,lt,"r ë .êIP+'s.yI -.í'!!1e -:rti3õ .iãegorrvbLvLu .63205 _-155aC -.64:2Ì.t r.' YiYIEYDA .csas6 -.ilõaó .ìã;ooN. r.rÌqBÁcro .o7le4 -'.jíttí .âõ:ts\ o PêES _ -.tajtt+ -.ôsijì .ãõ'otÍEMrÁÍ.EN - . :ooãs '.ísitt '.íi n+

SIGËNVÁIIJE PCT OF VÁR C(,}í PC?

:.?gÉ59 40.8 40.8?.1rrt1 16.8 ij:6z.oa926 14.4 lt.g

Figura 187. Análisis de componentes principales

ible extraer tantas coa, 'Ârr

iniciales es igual aìnãTaraapn'ta<{os siguientes.

ta nuerra mÈÌrairÍr faciorial ífactor matrix) t3:,fl.n:: j,1*ii: llIigura rsz (,,iase pag. 303) está L matriz f,.t..r"lÌf*d;rrairix) del ejernplo sociológico,

les.

343

saturaciones altas

' Otra ir:i,.::r;rel.arión.es la siguiente. Las ponderaciones- factoriales son los co-

eficientes de rr:*.rt:siún estandarizados en la ecuación de regresión rrlúltiple, con la

variablc orì*,rrri.{irno vaÌiable dependiente o criterio y los factores como variables

independ ie:rt "

Cu;rr.,li, ir,v variables con oonderaciones altas en un factor v baias en todos ios

demás se rlice r:'ie están sarüradas en ese íactor. Un análisis facíorial cobra sentidoprecisamcntc'.jaIidotodasÌasvariablesgstánsa@,tiene4 ponde:";;.c;nncs olt .#

1.1.8. Valr,rËs Fropios (eigenvalues)'

;! i.::", ;. ai r:lradrado de la matriz factorial se les denomina valores propiosíeigenvai*i:sì. v ofrecen un índice de varianza de la variable explicada por cada factor-.

La suma <ie ios cuadrados de las 4 de cada columna (factor) es una medida de lavarianza de la ;nntriz ,B que viene explicada por ese factor. Con los datos del ejemplo

sociológico, y a pariir de la matriz factorial ile la Figura 187 (véase pág. 303), si

sumãmos toilr,: Lr* cuadrados de los valores de la columna del factor I tenemos:

- ,.-t''i\ü2472 +-0'672382 + 0',894612 + ... + (-0'30035) = 5',79653

-8.t"el factor ulo, Çi sumamos los,cJradradgs de las columnaspertenecientes a los otros

,factores en la mair los

otros factores. oue comolggUsMp 2'355 y 2'009.

Las ponderaciones factoriales de la matriz factorial pueden tener como máximo el

valor uno. Eir r':;ic caso, la variabilidad de la variable quedaría totalmente explicadapor el fac;a'. i:'ui tanto, el valor más alto que puede obtenerse en el valor propio(eigenvalue) de un factor es igual al número de variables.

Como consecuencia de lo atrterior, los valores propios se pueden transformaren un poÌcentaje de varianza explicada. La forma de estimar el porcentaje se hace

mediante r,ii; :':l;ia de tres. En el ejemplo sociológico tênernos 14 variables. Por

i..304 305

tanto el valor diáximo posible de loe valorca propios es 14. Si el primer factor tieneun valor propio de 5'?0658, esto significat (íZoess * 100)/1a = {d?6. Es decir, el

valor propio del primer factor {5'?o} explica el 40'8 d€ la variabilidad total. De igual

forma se pueden calcular los valores propios de los demás factores. El cálculo de los

porcentajes acumulados no ofrece ninguna dificultad'

Como conclusión ienemos que-lqs t{es factorea explic-an 9l ?l'9-% d.9 la valia-

*!ü_a-eri_!ol1!.'t!91got.mgld.ç" p--9:.-!eg!S'-4,ç-1a-91!$.l99 a.3-fartgres, !CI} lg! 199lcs*!9

l{ttt." -11á" d"! 19 Z'. &.h y'"je$ldg{*E!-t$-'{tlCe Fli,pe}-€- s11.4- Ie-4stç!és-çoqcide-

-çab,!e-4e-,-1a1!qble*..v-qqe-p,é-r4-id+-qÍq!I5$"ds*irb.r.*qeiel'

J

1) -

I1.P. Comunalirladet I 'iiai [,t

/' . Sg,Jgnomina 'comunaiiÉg1'.g-lqPlqgcr1qlpn dg y4lanzg-e)p&g1s !er-!g! fqq-

tores comunes.

'Las comunalidades iniciales en e! análisis de componentes principales son siem-

p!ejgga!98-?-g!g: Por tanto este dato no aporta ninguna información televante'

hemos visto en "Et@4.:n del@ (véase pág. 293).

En la Figura 188 (véase pág. 306) pueden verse las comunalidades iniciales del

ejemplo sociológico, cuando el método de extracción de factores ha sido el de miíxima

verosimilitud, Para conseguir este 'output' se ha utilizado el programa de la Figura

183 ì(véase pâg. z9i2), aíadiendo la instrucción '/EXTRACTION : ML'.

Sin embargo, es en los estadísticos finales donde cobra significación la comu-

nalidad. Al final del proceso no queda explicada la varianza total de cada una de las

variables, ya que sólo se han retenido un conjunto reducido de facüores de entre todos

los posibles. En el ejemplo sociológico se conservan tres factores al final del proceso'

poJ, !gto. .la-comüralidad ge cad3.var.iqlle çs la prSporción de varianza expìicada por

-el coniunto de los trcs factores resultantes.

La comunalidad (à,) de cada variable se calcula a partir de Ia matriz factorial,y.es igual a la suma de los cuadrados de las ponderaciones factoriales de cada variable'

-[vla t ernátic amente:

h? : F?, + F:i +...,* FÍ,

.l; *ì]

métodos de extracción de factores

Ios otros métodos,

{r;{i .

rNr lr&. s-rArr $'rìuu ; r' l*nilaUnWytml A, vA444Jqt&d.,O4? ru!'aRtarLE comrurste.r,rrr * r'rAcroR' ' groewg'ot Pcr oF vaR cull Pcr

MCTRâCTIOI.T 1 FOR ANATÏS II.ÍU!,I LIKELTIO,OD, (

'lb o,

Êsr,ÀpcBl. .62J85 * Ì s.7od58 í0.8 1 99 qii:r"il.iïi .Íiõõã " 2 ltillq ie9 Í :lÍ*;*.n. .714+t * r z.qq!?q \..1J Ii'Ì:i-,..;1i\1r; r,:<rô * i Àq)ai 6.4 ,Õ.i!-Íii!'flì:iff .77447 * J z'luvro r1''lr !:'a;*Ëii;t :74st9 * .i .8e7d! 6 4 'Õ'ivì:üÁ3DÈ '.is13g * i -129vt- s.4 ql IvËüi'ÃËúà .ióíai * ó .!ai?q 1.9 Pl.9IÀÍDUS'IRI .92914 * 7 .5{J6ó6 r' o

iffi;-iisxr '.óióái " ó '11s11 1.8 24'?:aiüïiìv'iô '.islíz * ró 2q5q5 r' s zt'tvìvíÈ.uà '.tziit * ii . is1i9 r '4 ?l Iitiüôïõ .iõ5sõ " íì .!!?-s? 1 2 ?1 s

ttuiü --- '.iisig " i5 .íozoz .1 .?:.Ì

,,, -6't lt - Con los datos dei cìemplo tenemos para la primera variable:

'' ' l'l:'i

â, : *0,3ü?{?2 +0'6859?? + (-0'36451)'z = 0'69491

lgualmentelopodríamoscalcularparalasotrasvariables.Deestaformaseobtcndrían los resultados .f" upur"..n en ia Figura 1 87 (véase pág' 303) , en el apartado

'final statistics'.

l=h2 +Ut

/:,-ìrí*

iï; I

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q

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)! t&l ^dÀÃ,&)

vü1iDIh,(Lhts!"

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úiaRnd:ii . 5õ560 " t2 . 1q?-8? 1.2 :Y gttuiü --- '.iisig

" i5 .íozoz .1 e-2'1ú-rììe-r,rN .zzazÉ " 14 .cleflt------- .3 100'0'-"úi-ïxrnecrso i-ÉÃcrons. 13 IrER-ATÌoNS R!qq.IBE'.p.curjíoüiirii*õiÃÍrstÍcìJ"-iôã.eea;, n.r.: -52, sICtI!'IC,$cE: r 0 i01ì0

L> ho.,af,{rtú, dg> e.dn,q*4 Wst*Oin Ce:'n j':::ì {àïR:X: 'l I I /

FAcroR I FAcroR 2 FAcmR 3 14 rO

ü{)

EÊiiË8?ã ':l1rlr, - 3:'132 ' niqï * ü'^, 'ffiPERIODÌC .7L934 -.04703 .41:2? -

lJ'.t 'ttEÌ,TPLEOMU .80703 .27934 -.t45trãètiõüi -.5s0ó2 -'.ïti"81 -:iqi!Q

- -.{ ::vEiirÃaoÈ .84267 .oos3s -.1É5SqvÊfuT';iaúÀ .8Àe4s -.27tb2 " c8063 l\ô ).vË$i,iãúÃ :õ8ti.i -'iii;i õÈõ3i

- Jt ,,ilínusriïr .e1l.':4 -. lo4s2 -qt9t2sé.Lijil .reelz :j;iíã -.19iti ,-"-a) < n/"

À'lïir,{"$}'t! -.5185ó -.17816 .ES4q1 Yt. 'ttJt :Vi'liïïl$! t.frzi"i :3el;3 '.i29:ri t,*:,v t:+'ï"!úÌenedÍõ -,õo3s3 .ter4r .?19!? li ,,i;ÀRo

--- -.623s4 -.zs2ï3 .5qt59 " ,'// /.úÈ-lìiEr,rN -.1t'1sa -.330s6 .16948 i'{ ú:':r"tf,

lIìiÀL STÀTISTICS:

vAR]ÀrLE,Com{JNAI,ITYí*

337ô5 ì23394

- .ü /,14573 " {rs13o 0

:,í: ,::á:;{";}"4'e'i.Número de ractores a conseryar

g5?A.PCBLÈ[R:Êü ÌCsi'ÍPi,[o|íua{ìÊlcuï;?ïãi"rÁs$eç'ENTÀ$üÀïf{0us1lRÌSÂLUDÁYÌ,DASNINIvsI,VIDVIVÌENUAI-TlGRÂ{:IOPAlìO}íINTÀI,ãN

.5280ó *

.57439 *

.75057 *

.56808 *

.720A9 *

.87128 *,96817 *.33383 *- 78341 t.62162 *-&'1445 *-350?4 *.70833 *.15977 *

CUM PCT

35 .551. 0ó3. 0

recmn /nrõffiI t+.964652 2.Lr8333 t.6l66|

"'J,r, 1r.,, '/ n,lu\tlÌ

-,.-. J,, {r,1,..:.'i

306r''!4*t t';1!üfÍçi't:t

:;,{ / ,t,t!i\

Ànálisis factorial por el método de máxima verosìr:rilitu<l

decir' mientras no se esPeci-de programas suelen segl

iìque nada eÍI contla. aoolt'" es un buerrcrilerio' algunos autores (Tucker' Koopman

f ïlorr, 1969) consi<leran que no siempre es el mejor'

:ltj!4

,

:.$

+Í'

.i'.!,

f-' { ,): Í],,'!; Ú

ras que

unó indica que la vaÌ

tr**rrre igualdad:

La matriz factorial ntar un número de faqlqlg:

rh ,siendg lizrla comunalidad y U el factor único'

9,9!ÉtËP##{rr'i; tu.to.irt aparecen solamente los factorcs comünes; el factor único

,ro lue incluy"'

^çrniP'rrfim

I :'ii;.t: : $r

ç.;;:l $

-11".uÃa,&^ S,r'J;" & ihEi

frriy#.;.í.J...{ip;.ffi'"Jn,*'"

$aíre atrw erïüerios utilizadoç eshín los de Cattell (fe00 a) ' Cattell y Jaspars,

Hor* 1. Hrtl{fuo* oi,r*o. Según Pedret {1986: SesO} fuAos ellos pueden agrupâËê €n

doe béfuds* generalw: a) regla basada en la restitución mínima; b) reglas basadas

en Ia iníorren*ión resiituida por cada factor. En el primer caso, el investigador fija apriori un nivel nínirno de larianza a enplicar. Dn el segundo ca-so se'trata de

empïrlcas, Unq Ée elìas ee la oscree plot' que presentemo3 a continuación IreslasfU

11,11" ã;a gráfica rscree plot'

I

La 'scree plotl consiste en una representación gráfica donde los factores estánen el eje de abcisx y los valores propios (eigenv'aluès) en el de ordenadas. En la Figura189 {vóese p,ríg.309) puede verse la grrífica del ejemplo sociológico. Obsérvese comolos trcn nalors superiores del eje de ordenadas corresponden a los valores propios(eigenv*lu*li de los tres factores de la Figura 187 (véase pág. 303) A partir del cuartoiacior el valor propio es inferior a uno.

' "'ìll:'

r 'ì'l-l;: ' :':Çattell {1966 b) denofina a esta gráffca'scree test' porque se pa,erafpefil

de la falda úe una monüaãa. l èsto se refiere precisamente la palabra inglesa'Bcree',de difícil *raducción al castillano. En los oidenadores aparece como uscree plott.Para cen*eguir esta gráfica con el SPSS-X hay que úadir la instrucción 'letOf =qlcp:l'ulelçc"T3 de la rilla 183 (véase pác,.2s2).

'' En esle ejeú1ilõ*sê õ"tiservõ clanmente*que h*y,el prirner facton4ueexplica 13

may"ór parte de la veïïabilidad. Despuéshay dos.factores que explican una peqqefraparte. Si se unef ïõs *iüeilscos mediante una línea quebrada se obserrrará co4ro-elpunto de iafiexión está en el factor cuatro. Por lo tanto convendrá conservar lós tresprimeros íaclçres. Todos los demás contribuyen muy poco y por esto no se tienen encuenta.

Õrtõ,Ar^- ÕUru)'g"ffiÃ'

{*r*'{ w\t*',w,

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^.t .t' -- ^ -T"erq.

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I++6III*+(oIII+FttI+roIII*nIII++ti]atÉ+ooitire,r<+Nk{ItdìI+Ht

rrosrôo6hooo€F rôa.lO

-'f

rdHor'1z><ilDlcúJ

Figura 189. Gráfica de log factores ('scree plot')

âHC'dHÍ4

È

Irl(r)

ôl

<hoo

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roh

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de los factores con varianzas

308

i,i-€,,rr1* -t

i.i

9- t

ÊxrRAcTroN 1 FOR ANÁTISIS r, !íÁIMÌ',í LrKELÌHO0D,(!{9

INITIA.L STATIST tr", f W

Ã,r, '7,t,-;l 1 t tt í-í,* t-'II

,1i

,'ïi

L']

.*u jd' -- ì con los datos dei rjrxnplo tenemos para la primera variable:. +l

.ry.:,t

N:/t'ül)

I

9.

r,?f';!,X-\"

fr,.Í)'

sÁ&rAgLE cor!4uüâr,'rrs ï í'rlíún"ltcaw*w Psr oF vaR cLoí Pcr

iiiSrrr:, i-r8. Análisis facioriai por el método dc máxìrna verosimilitrrd

1'(tt't?Irvç21

lgüalmenteiopodriamoscaicularparalasotra^svariables'Deestaformaseobte ndrían los resultados ;;;;;;t"" en ia Figura 18? (véase pdg' 303)

' en el apartado

'final statistics''

--cì'30247' + 0'685972 + (*0'36451)? = 0'69491

l:h2 +U"

uede

ãsrÀFcÌjl .6zias * 1 5.70ti38 co'g tr 9g'qi:ii;:lr :iizlí t i :,êail; ìi,l-t l;,!ïctl"; ii . i+5 t9 * 4 8e;;5VENïASDE .7s25s * i 'i5CiZ s'4 83'8lrÌ'nasr.ÍA . eoeE/ * ó >1llg 2'9 Ê7, tÀHf8o' 'ZZj'\Z i É :iïËõï i:õ 6ï.2iï'lilr,r:rr '.óil'ai " õ .ãiirt ls 2+2ìì^!ï.:.i1D .7s852 t ló :s5s5 1 s 2ç 1üìrliÈ:ruà .tzi16 o iì .l!!;l ' o e7 aüÌ'rüdïô iiit|t U 'i!?St

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yïr", tõgsi consideran que no siempre es eÌ mejor'

"onjpnnfinx

Taríanza que 4e-ggsglg

307

$'wl^*- Ú11.ã?. "{prcximación a la bondad de ajuste de} modelo

ì-ino *le h:s supuestos del análisis faciorial es que la correlación obserrtrda enl,re

las variables se debe al hecho de que comparten factores comunes. En base a esto,se pueden utilizar las correlaciones entre los factores y las variables para estimarla-q intercorrolaciones entre las variables. Cuando los factores son ortogonales lasini,:l,:orrelaciones entre las variables se pueden estirnar a partir de:

h

.ri : I r1;ry; : 11;11; * r2;r2i 'f ..' * rt,;rr,s

Donde & es el número de factores comunes y r/i es la correlación entre lav:, :n,bÌe i y el factor.t'. Recordemos que los factores son ortogonales cuando las

in ':orrelaciones entre ellos son iguales a cero. A partir de la matriz factorial de laFi. :'a 187 (véase pág. 303) podemos calcular una estimación de la correlación entrecai::r par iìe variables mediante(r;;). Por ejemplo, la correlación entre las variabÌes's;,lr'{' .v 'nivelvld' sería:

tíli""tfu 94r.41: l/r)j;, . 1.. -

r," = (0'383) + (0'631) + {-0'Jzz) * (-0'155)+

+(-0'635) * (-0'642) : 0.70

Ën Ia Figura 182 (véase pág. 290) puede verse que la correlación entre 'salud'y'nivelvid' en realidad es de 0'732. Por tanto existe unaiiÊerencia entre la correlaciónoDseu{adalla estlmada t O"rtr. n -

'jrrl flrr este ejenrpló, el residual es igual-a 0'732 - 0'700 : 0'032. De igual firrma se

calculir.ría Ìa maÌriz de los residuales entre cada par de variabÌes.

ï,a Figura 190 (véase pág. 311) contiene en el triángulo superior las interco-rrliacisrnes enire las variables estimadas a partir del modelo (reproduced correlationrl;rt,rix). El lriángulo inferior corresponde a los residuaÌes. En la diagonal principal;rpilr€cen inrlicadas con asteriscos las comunalidades. Obsérvese que coinciden con losdatos de la parte inferior de la Figura 187(véase pág.303). l,-"ggegltjgge!_q""]gl"csiduales indican lo bien que se ajusta el modelo a Ìos datos. Como ú indica ãí ìã,jfiãiii;r;i;tii.t.*G"*-,*;ffis-]ãüaIessuperioresa0.05,

;i: r,iirÌ suprrni: rln "46 %. La valoración de estos resultadm es difícil de interpretar,Friirrili: í{rÌr3 lo txisten indicaciones claras sobre cl porcentaje máxirno permitido deresidualcs superiores a 0,05 para consìderar que el modelo se ajusta a los datos.

liii

n +.---o-ã--o---a 60È6Èii6c6;ÊdiÊ 6OÈoRO{€+oôôÕ€< óNçOoo666o6i€ó@ oiooã;o66Àd4JS

* -o.-*o!.^-o----E 6N6O@6N€6{úNóóF O€6O€o6çôJó6dd4 66OÃNóhhFÓHôNh? OOOOôH@o{ÕNOúóZ tt t

< ----.30-^*----! {NF+ r+4ó jd.ôórõ4 hurÔóJÕtsNÈ6útsÁ6< J€€6.DclhNóoÀú.riE :9:1?ÌÌ:11:1,4?g"-''

H ÓOÀ6O6N6OF€ô66Ê úNÔ66JóÈÈóÈ+À64 ao69dÊÕÀ$oóê6ô< ooo6ôÔd66+N6úiE ?::eìÌ:1":Ì.':?91g "'

aF (O€ooo660Fi66óÈ oN6Õ*{ooÈN€oôóD 66È6666H{hóÈ6Èo NdoFÀadÈ*óóôõóH ÈôOÉ4iSONd6óóÊÊ ,..t

* L--*^---*--o.-É oódói66ed€ÈÈNÈo {dNd6isôdn9Níó* 6ô6ô{NóOÊ€:N€O

bil,

Xú!zo

ÍoÊ

o4E

Figura 190.

311

Norusis (I9S5: 138) expone una prueba de ajuste basada en ji-cuadrado, apli-

cabie cir;..n{a -.; radt"o,lo de extracción de factores haya sido el de ;:ráxirna verosimilitud

o el de mínin:rr cuadrados.

11.I-3. 11*i.aciones factoriales

La ma6ia factorial indica la relación entre los factores y las variabies. Sin

embargo, a partir de la matriz factorial, muchas veces es difícil la interpretación de

los factores. \rearnos esto con un ejemplo. supongamos que disponemos de la matriz

factorial sig'1|*tttu' variabre Factorl Factor2

vr 0'600 0'70,J

v2 0'500 0'500v3 0'200 *d500v 4 -0'300 0'600

fi:ra inatriz factorial se puede representar gráficamente tal como aparece en

la Figura 191 (véasepág.31"3), Esta gráfica contienen un factor en cada eje. La

situación de las variables en la gráfica viene dada por las ponderaciones factoriales.

Por ejemplo, la variable uno (Iz1) se halia en la intersección entre el valor 0'6 en eÌ

eje de abscìsas (factor 1) y el valor 0'7 en el eje de ordenadas (factor 2)'

F:1 t:r!e ejemplo, tanto los coeficientes como la gráfica son difíciles de interpre-

tal.. Palg l.r:iliï,ar esta labor suelen realizarse las denominadas rotaciones factoriales.

*-=ï..a r*i:r.ción factorial pretende seleccionar la solución miís senciÌla e inter-

pretabìr-'. ín síntesis coasiste en hacer girar los ejes de coordenadas, que representan

a los faclcres, hasta conseguir que sê aproximen al mriximo a las variables en que

están sairradas. La Figura 192'(véase pág. 31a) ilustra como se realiza esta rotación.

La rotación de factores en el espacio transforma la matriz factorial inicial en otra, de-

nominada matriz facüorial rotada {rotated factor matrix), de miís fácil interpretación.

La malri ,: l.:r l,::rlal roiada es una combinación lineal de la primera y explica la misma

cantidad dr: i* varianza inicial. Como resultado de la rotación factorial obtendríamos

la siguiei:,':'1;):rt.iiz factorial rotada':Variable Factor 1 Factor 2

La representación gráfica de esta matriz aparece en la Figura 193 (véase

pág.315). La interpretación de esta nueva matriz es mucho miís sencilla. Comopuede verse, las V1 y V2 están muy próximas al eje de abscisàs, con valores bastantealtos en este eje. Esto significa que estas dos raniables tienen saturaciones altas en elfactor uno y bajas en el dos. Las variables V3 y V 4 están próximas al eje del factôr2, si bien una (la I/3) tiene valores negativos.

ún este lncl características: 1)

a

no deben existirresentar distribuciones

VIV2V3V4

0'gr2 0'0260'702 -0'0180'226 -0'483ot2l6 0'639

Fâctor 2

II7

5

4

o

2

vlv4 x

v2

1i*-t-- --- Factor 1

98765432101

).u

4

6

7

o

I

123456789

V3x

Figura 191. Ejes factoriales

actores distintos

312

distribuciónestructura

FacÌor 2

9

I7

b

08765432 3 4 5 6 7I S1d,1

2

J

4

5

6

Io

!'igura 102. Rotaciones factoriales

4

3

2

i

J 1:|

dppende del método de rotación que se adopte.

315

FacÌoÍ 2

9

I7

b

5

4â

2

1

VTx - Factor 1

98765432101

1o

v34x

Ã

6

t

II

Figura 193. Ejes factoriales rotados

simple véase Thurstone (19a?) y llarman (1980). Estos tres requisitos generalmente

no se logran en la práctica. De lo que se trata es de optimizar una solucióí próxima

a la exigida por ese principio,

.Existen diversos métodos oarn "^r:-^-' '': Lfactoriales' Los princi-

pul"" " e pág. 316). En esta figura se incluye

la óalabra clave utilizada en el BMDP y SPSS;X, siempre que el método haya sido

enìCE" paq"9&, Iã mayoría de estos métodos se han inspirado en

"@ La rotación no afecta a la bondad de ajuste de la

solución factorial: aunque cambie la matriz factorial, las comunalidades permanecen

inalteradas. Este cambio

La Figura 195 {véase pág. 318) contiene la matriz factorial rotaila (rotated

factor matrix) por el método varimax del ejemplo sociológico. En Ia Fig-lrl1 f9ô(véase pág. :rio) *u incluye la representación gráfica de las variables respecto de los

ào, p.irn"i*, fu.ctor"s. En estas gráficas se denor*inan ejes factorialel a,los ejes de

coordenada";, puè$ro qüe cada eje representa un factor. La Figura 19? {véase pág.

320) contiene la representación gráfica de los factores I y 3; y la Figura 198 (véase

pág. 321) la de lús íac.iores ? Y 3.

En la parte inferior de cada gráfica se incluye una tabla con las siguientes

informaciones: a) ,symbol': símbolo numérico de la variable; b) variable: nombre

{e las variabiesl c) 'coordinates': coorderia,Jix de las variables en la gráfi.ca' Estas

coordenadas coinciden con las saturaciones de la matriz factorial rotada.

OBL ìH I Ì.,i

Figura Piincipales métodos de rotación factorial

ales icarse a factores ue no están correla-

a:lsío si

a"i;. i.t,:i,a *:slas

11.13.2. Pl mótodo de rotación Varimax

rnlmlzat et nutqt'!t449!- P1iu dt!3&t tobtu tl

aÌuorrliÍtr, - ;.cìo:t véase Ilarrnan {19bÜ).

316

Ìotâc in4es gttsP SPSS.X

ôrr*Eona I es6uã tt i maxfcuâmâxôrtonaxVarimax

obl icuascua rt im ínObl imaxoblimínortob I ícúa

QFË.{X quÂRÏIMAXEQI'IAX EQUAI'IÂX

vt{Âx vAR llttÂx

DOUÀF1

ORÍHOB

ìIirr:'::r;t {tüE0i expone detaììaJamente todos estos métodos' excepto el ecua-

max. l,:",r" ,i'iiinio es ,lna combinación deÌ varimax, que sirnplifica factores' y el cuar-

timax, qrre simplifica variables (Kim y Mueller, 1978 b; Norusis, 1985)'

l1';1.1,;l:irente se aplican rotacionçs ortogonales' siendo- el método varimax el

11.13.1. Rotaciones ortogonales

11.13.3. Matriz de transformación factorial

En el listado proporcionado por el orde;rador prrede aparecer 1u *"11i2 rle

tr.msformaçión factorial (factor transformation matrix), tal como se puede ver el laparte inferior de la Figura 195 (véase pág. 318)'

11.L3.4. Rotaciones oblÍcuas

En algunos casos no se consiguen hallar factores incorelacionados entre sí.

se

A título indicativo realizaremos el ejemplo sociológico aplicanclo una rotación

oblícua por el método oblimín. Para ello se úade a las instrucciones de Ia Figura

183 (véase pâg. 292) la especificación: '/ROTATION : OBLIMIN'. Los resultados

coinciden con los de la Figura 187 (véase pág. 303) hasta el momento de las rotaciones.

La Figura 199 (véase pág. 323) presenta los resultados de la rotación oblícua por el

método oblimín.

cornc

los Je convierte en dos matrices diferentes: lg-g,ratriz de ponderacionqs (factol patteln

matrix) y la matriz de correlaciones entre factores] variables (f119l .'I39!CI9.m,i-

trix). Además de e:ras dos matrices, es interesante analizar tam-6ï6n la matriz de

cqrrelacion,ls entrc Íattores {factor correiation malrix).

factores sean distintas de cero; es decir los fac coteso se llaman oblícuas.

ble v más

El métorlo de rotación varimax, propuesto por Kaiser (1958:187-200)., consistè€ rr.-1--:^Ì-^.^.}

"rr -*ffies, .uduisilm"a d" l" *uttizaltos

va.riables

317

zÕ.Fk${HFqdìdÉ,2útrIviH.gI

aHmÈ2

zH

"izxÕgHHÉ{ Ê{tJd<a4ÉHXHÍd \oú*

zÈHt(Hêú2tr2Hoe,

HúEFr t'r.6>ÉÍ1 ZoÒ()ts& <) (..)

XÍqd54=â<HI'l:dúE<H<d>Ê{,d(f

* -o-^-ooi€d(o\odo+dh rOÓ O O (O"t O O dr

d N6OôrÕri\tNNr06ô Nóô6Èidn\tüì+ÈdÈÉ cióorJoroddo€rooãrrtltq

* *-o^oa."r{'c.lrtHct.n<):úNÕn€rNooo€ú€u ooiôn.* or.ü\t r cÀ\o.s-t

F Êjãg*:sRPsNBsìrã l r r lrÍÌË)

l

io.úóooNn\O H\O+Oì@Ohõ_+ ó6 óNO 6€€dr c.ì

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Figura 195. Matriz factorial rotada por el método varimax

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g ËEËÊiô o9F2i dHDqA

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Figura 196. Ejes factoriales 1 Y 2

aoçÈa oi{ÈÉ diãÈF ..'.<rza o€doÉ NOO9o 9099Ô ts*60o 'liì9tl

d 5<HO!á

=ËzH€ ó400H ÉFÊÉ& tuz)o< EE>H> d>4EÉo:Éd

6

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4 QOÊ4OÉr'zo aççdo* 46NÓEo N{{6SÔ +ô6NFo idÈds

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rt I

HHHNHHHHHHHHHHHHH+ HHÈ

dr

I

Figura 198. Ejes factoriales 2 Y 3Ëjesfactorialesly3

ì

,*.r,nrr..llo demris son ceros. En este supuesto, las matrices de ponderaciorr*" (puti".rr) y .i"c*;r*l:i,ii:ne,l i:rlrircíurei coin.ciden en la mat,riz facioriai (factor rnatriìj.

La Fig,ra ã00 (véase pá,g. Bz4) presenta los ejes factoriales l y 2 rotados porel :r,i*dr *bii*ii*. Los ejes 1y 3 están en la Figura 201 (véasepag. ãzs) y los 2 y 3en ia liigura 20? {véase pág. 326).

i{a; q'le ir con mucho cuidado en la interpretación de las rotaciones oblícuas,ya que la su5'erposición de factores pued.e coníundir la significación de ios mismos:

-l ;.Í4, ï?.eprr:sentación gráfica

ï,;na'rr <Ìcierrriinado eì número de factores a conser r y realizadas las rota-cior:'cs facloriales, se pueden representar gráficamente ios resultados obtenirjos. Ltnic: ;ig;ir.r'i*rilro anieriores se han presentado ejemplos de representaciones gráficas.

La se hace tomando los factores dos a dos.A estos

orr coord vienen dadas porrepresen

los ìndividuos sobre los

la interpretación de resultados.si se realizara una representación tridimensional, se podrían tomar los factores

de lres en tres- No es posibÌe representar miís de tres factores simultáneamente,puesto que se necesitaría un espacio de F dimensiones, siendo .F el número de factoresrepresentados- En la práctica las gráficas son bidimensionares, y por tanto ponen enrelar:ión a dos factores. se puede hacer un número de gráficas biàimensionales iguara Ìas ro.rnhinaciones de factores d.os a dos que puedan e-ncont.arse. sir,

"*bu.go, lo.prì;'r:eras son los rnás importantes.

En lu de las variabl ueden re

sc:ia unCada factor

ir:::peclivos coeficientes entrer.".r:r': grá$cas sün muy ilustrativas de cara a

J22

['igura Rotacir:nes oblícuas por ei mótotio oblimín

üBi.il{rN R0ïÂTior{ 1 t0R

I IN AI;ÀIYSIS

OBTII-IIN CONVIRGED IN 8

EXTfiâCT1OH

1 - KÀISER NORI,ÍALIUÂïION.

1TERÀT1ONS.

PÁTTERN

FACTOR 1

- r1(7n.90594.74906

-.6596e

.843?5

.915i7-. 1ó689-.31128

.09940

.13426-.L3720-.50651

.10140

.82380

.069E7

.17274

.46636

.03760

. 15024nttat

.08909

.2227E

.027 70

.82258

.78724- Uõ)J I.34t+62

FACTOR 2

.82390- . LO235-.26822

.50798- .05222

.08423-.04717-.79032-.09623-. 10314-.85671-.77258

.03280

.40290

.06787

.26053

.27862

.06041, r97 82.01504. ü473 1.81993.73693.86775.t7246.03070<71R7

.47 495

rÀcToR 2 FÂCTOR 3

ESTÂPOBtPSRTODICEXPLEOMUÂçRICULTITNTASDEvïilTÁsì"1À1}:DUSïRÏSÀ'LDÀYUDASNINIYELViDVïVIENDAIíIGRACIOPÁROIfiNTAI,EN

Sl]]RUCTÜRE

ESTA}OBtPSRIODICL},íPIEOIÍUÀGRICULTWNTASDEVEIÍTASMÂI}TôUSTRISÀIUDÂYi,ÏiASNINIVEI,VIDVIVIf,NDAl.Ír6RÁcÌoPÁRO}íENTAI,EN

TÀCTORtÀOTORFÂCTOR

FACTOR I FACTOR 3

.07829

.02205

. 49 178

.L7096

.40031

.207t2

.27457

.790L6

.78468

.90901

.32064

.04400

.68993

.49721

.17101

.84545

.83232

.67979

.86963

.83566

.9?553

.04692

.4E053

.32149

.24Ai7

.a8527

.64496

.o4466

FÂCïOR CORR"EÍÁÏTON

1t3

FACTOR 1

r. 00000-.07580-.25253

FÂCTOR 2 FÂiToR 3

1. 00000

&okU

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Figura 201. Rotación oblícua (oblimín): ejes 1 y 3

324

;r..ri,:rlirffi

II

I

III

ff

11.15. Interpretación de factores.

Iïasla aquí se ha *xpueslo de forma conceptual el proc.eso de análisis factoriaì.A parr-ir de los resultados obtenidos hay que proceder a interpretar los factores. Enla fase de interpretación juega un papel preponderante Ia teoría sobre el tema.

información redundante. El investi

Si al programa de la Figura 183 (véase pág. 292) se aõade ia instrucción'FORMÂT = SORT BLÁNK (.25)' después de'ÀNALYSIS', Ia matriz factorial queaparece en la Figura 187 (véase pág. 303) se convierte en la matriz de la Figura203 (véase pá,g,.328). Esta matriz todavía no aclara la cuestión puesto que está sinrotar. La Figura 204 (véase pág. 328) contiene la matriz factorial rotada ordenada.Se han ordenado las variables en función de sus saturaciones facüoriales, Ademásse han eliminado ìas ponderaciones iuferiores a O'25. De esta forma se facilita lainterpretación de los resultados. La Figura 205 (véase pág. 3?9) ilustra el resultadodel análisis factorial.

Entrando ya en el plano de interpretación sustantiva, a título de ejemplopodríamos interpretar los tres factores obtenidos de la forma siguiente. Al primer fac-tor lo denominamos 'actividad económica', puesto que todas las variables saturadasen este factor (industri, periodic, ventasde, ventasma, empleomu, agricult) guardanrelación con la economía. Âl segundo factor lo denominamos 'bienestar social', ya quelas saturaciones m;ís altas corresponden a las variables nivelvid, salud, ayudasni, paroy mentalen. Al tercer factor lo denominamos 'estabilidad social', por ser las variablescon ponderaciones superiores la vivienda, estapobl y migracio. La interpretación delos factores constituye la culminación del análisis factorial.

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ï,'igur* ?iì'J. Rotación oblícua (oblimín): ejes 2 y 3

p(oË1

q*ts

E

Las representaciones gráÍicas de Ìos ejes factoriales son de gran utilidad en iainterpretación de los factores. En estas las variabies saturadas de un mismo

"factor aparecen asrupadas. Esto

Dos facilidades más '.idar a inter retar los factores: a) ordenarlos: bÌeÌiminar lix saturaciones matriz factorial rotada

e tal forma que las vaiiables concan juntas. La eiimblancos (BLANK) también ayuda a la interpretación de los resultados, al suprimir

3':6 3Lt

FACïoR l,l ïRlX:

'[i.lPLECfiUV[IITASOElxÍrusTRtPÀ*OvãttÍAst{AÀüRlflut-TAYUOAS{ IPER r 00r c

tllGRAClOvrvtENoAËSTAPOBLt'IEIITALÊN

NIVELVIDSÂLUD

FACTOR 1

.891161,85141.ô4436

-.78711r.72503

-. 686t9-. 6?430

.67238

.45886-. 30?lr7-.30025

.63205

.38347

FACTOR 2

-29956

.3939t+

,28096

-, ?437 1

-.73940.68597.45463

- .321 18

FACïOR 3

. .30110

-. 40450.52896,49779

-.36q5i.271 34

-.64221-. 63471r

Figura 203. Matriz factorial ordenada

VARll,,lAx . ROTATloll

VARI}IÁX CONVERçED. II{ 6 IÏERATIONS.

RO1ATED FACTOR ÍATRIX:

FACTOR 2 FACTOR 3

.29454

.37620-.tt9077

.88794

.794?4-.71492-. 62463-.47460 -.37979

.84208'.82247.71706

Figura 21J4. Matriz factorial rotada ordenada

328

Fq"rlç:-qïljq3tryF.wll'r ".1rÌ:: : r Ì''€ÍlTdilïtriìf'*.f

329

Figura 205, Resultados de un análisis factorial

.a

11.16, Puntuaciones factoriales

iln *hj*t"ivo 4gl_ÊgÊli artorial es

gr*p* de ,t factotes, siendo & <

El cálculo de la"s puntuaciones factoriaies se realiza a partir de la matriz facto-

rìal tolada y se Lrasa en el modeÌo de Ia regresión múltiple, de acuerdo con la fórmula:

F 5 = F;121 + It;222+ "' + F;"Z" =l F"Z'l= r

Siendo .{r la puntuación factorial deÌ individuo j en el factor i. Cada 'fl1 es

la y:cndr:ración factorial de la variable '1' en el lactor i, Las puntuaciones individuales

en ,-:ada variable, en puntuaciones estandarizadas, vienen expresadas por 21.

La puntuación factorial individual 4; es, por tanto, una nota Z que se reÍìere

a la puntuacióa que el individuo j hubiera obtenido en el factor i.

lasa es una

faciariaies puede ayudar a detectar casos atípicos.

Ìv{etliante el SPSS-X

u1 análisis de la regresión múltiple, las instrucciones específrcas para estos cálculos

serian las de la Figura 206 (véase pág.331). La instrucción SAVE REC (ALLsocïÀL) significa lo siguiente: a) sAVE: conselvar las puntuaciones factoriales; b)

till{i: i:lïcuiadas por el método de regresión; c) ALL: de todos los factores conservados;

d) SOCIAL: se cr€a una nueva variable para cada puntuación factorial correspondienteL r:srir,r ir.rior cr:lservado. Como hemos visto en los apartados anteriores, en el ejemplo

sociológìco se conservan tres factores. Por tanto se crearán tres nuevas variables

denominadas SOCIAL1, SOCIALZ y SOCIAL3.

330

Normalmente no interesa la visión del listado de las puntuaciones.factoriales.Las instrucción LIST se ha aãadido para que en el 'output'aparezcàn las puntuacionesf:Lctariales de xodos los individuos. cor*o acabamos tle ver, estas puntuaciones sehallan err trcs variables denomjna<ìas soclALl . soclAlz y soclALB. una porcióndel 'output'de este listado aparece en la Figura 20?.

Corrio queda reflejado en ia Figura 206 (véase pág.331), las printuacionesfactoriales se utilizan como prediclores en un análisis de la regresión,múltiple. Comovariable dependienle se ha seleccionado el índice de deiincuencia (DELINC). En otrocapÍtulo se expone todo lo referente a la regresión múltiple.

FACTOR .i'ÁftrÁBLËS = ESÌAPOBL fO l{Eil-tALaN/ÁNÁLYStS = E5ì-APOBL T0 M€NTALEN/FoRMAT = SoRÍ BIÁNK(.25)/pLoT = ÍtcÊN RoTÂTtoN(r ?) {r 3)/SÁVE REG (ALL SOCIAL)

LIST VAR|ÂBLES = SOCIAL1 ÌO SOCtAL3REGRESS I ON

/VARTABLES= SOCtALl Ì0 SOCtÂL3 DELlltc/STÂïlSTlCS = DEFAULTS TOLERÂilCE HìSToRy cHA/0EPENDENI=DELI t{C/MEÍHoD= SrEpWtSÊ

Figura 206. Puntuaciones factoriales y regresión múltiple (SPSS*X)

irirlividuos con sus puntt:aciones factoriales no ofrece demasiado interés. En todo

cãto1ãrepresentacióngr@factorialesparacadapardeejessoclALl soctA].2 soctAl3

-,'í331? -.#33 :l:33ï33

-,'13:,1i 'Hlã .'.i?ït"-.ó9086 -.??474 -.23171.03026 -.32649 -.31016.17ó68 -.32153 1.84719

-,:#;ï3 -,:í;i33 -.9i3;1-1.97926 -.54989 1.11318

'giïZg -:3ï3;3 l:l?331.56745 -.Ì.58306 -.194271.11782 _.5630.1 -.06708

------ :?3J3",".-i3lfÍ1","""1'iïlÍ3",",".de todos los individuos

Irigura 207. Funtuaciones íactoriaÌes

iit

ti{,i

'ii

iilll,

I

iB

Iii;

a*1i,":{lr ç:jlô pünpregüíìlã haY que

resaltar

conserYar

as en cálculos posteriorel'inoutt ha sido la matriz

uponlenoo que en plo soc se tuviera como 'inputi:r ri;:.tri; di: dilios, y que a partir de las puntuaciones factoriales se quisiera realizar

5J I

i::dlirli*r*-**";a**,.*ài&&&uu";**#!t&***aâ'tr'-ú;ì. i È'' ;-

sisniírca .

^

i *lÍÌcnte distintos.

11.1?. Análisis factorial y componentes principales

Ìl âr{lisis íactorial v el análisis.de conÌponentes principale.s,están muy rel4-

.ionu,l do como una etapa del primero' Otros

los i:Lr;:siie:iin como tócnicas diferentes.

de exíratión de f""tores ha stdo medlars€ estimacion€s por algún procedimiento

adecuadt. e,ada uno de ellos tiene propiedades diferentes y pueden ploporcionàI

estimacìsu.:sìígeramente distintas. Entre estos métodos destacar4os el de Ànderson-

Rubin. e! ti'; il regresión y el de Bartlett (Tucker, 1971; Harman' 1967)'

pales if H.lielling (1933). Esto

.1utid1 rie ilue las dos técnicas son

habitual de ambos métodos es una matriz dla obtención de factores en el

anáÌisis tartorial se denomina com

.]ú:l'*l* (BMDP, sPSs-X).

i.., propósito inicial de Hoteling (1933) al desarrollar el método de componentes

principalcs era dar un paso importante en el problema de la extracción de factores.

Pclerio::;ri:rte el mismo Hotelling lo vio como un Ên en sí mismo' Para algunos au-

tores, el a;rãlisis de componentes principales es sencillamente una técnica estadística,

eü€ se pr-1q1.,jg utilizar en distintas situaciones, siendo el análisis factorial una de el-

las. Otros contemplan el análisis de componentes principales como el primer paso del

anátisis faciorial, el cual se completa con las rotaciones. Sin embargo, hay autores

que cui:ir:rran que las rotaciones no formam parte propiamente del análisis factorial.

õomo p,r"d* u"rrn, "o

el anális'rs factorial hay probleme" de orden teórico que aquí

sólo podemos apuntar.

.' Tatsuoka. (107t) establece varias diferencias entre el análisis factorial y el

análisis de componentes principales. una de ellas es la siguiente. -En

ebnálisis=,Àg

2,2,',)

ffnal es

úálisis factorìal, el

I

indicando

En el

componentes Pr

y sus elementos se

son pondera-

se conservaran

te,con

componentes ortogonales. El objetivo del anãlisis factorial consiste en reproducir la

mat;iz ãì:"õÌJõiãciones con un número mínimo de factores. El análisis de compo-

nentes principales ofrece una salución matemática única. Mientras que no sucede así

con la mayoría de los métodos de extracción de factores en el análisis factorial' Puede

interpretarse qle el anáÌisis de componentes principales analiza la varianza, mientras

que el análisis factorjal analiza la covarianza (comunalidad)'

otra forma de expresar las principales diferencias entre ambas técnicas es como

sigue. El análisis de coÀponentes principales describe aspectos observables; el resul-

tado consiste en presentar los datos desde un punto de vista distinto, sin hacer ninguna

suposición sobre estructuras subyacentes inobservables' Mientras-que el.análisis fac-I', torial supone un modelo explícito por parte del investi "nãlisis

factorial

retende de un miís reduc

no iciales son

rmera.s

de los L. q"e t"t"t"* es descubrir cuáles son las dimensiones

8ffi"t.;;uiiliza, por ejemplo, en Marketing y Biología'

cada facìor). Âquí las combinaciones lineales van en otta direcciónj-lg@@ecombinan ìinealmente para expresar ca<la. variable; es decir, los elementos de lLmair-iz

el resu a las vari

como combinación de los co factori

inicialmente sólo se edelavauna comÌl-

te en extraer

mente en Psicología y Educación., Eg s!

illamente reducir la info:rnag!én

,' fú-lhuà 'v'\-Í.

ca!CI,Ja

.iJ{v,rrf,ii,

ï:i..

i: âir

tII

L,os paquetes de programas estadísticos nrás conocidos incluyen rl aaálisis decrrmponentes prinÀipales dentro del análisis factorial. Se le considera conìo uno de los,r,;liiqls n:llr,rrios '!e extracción de facírrres. Por eso, er: la ejccur:ión rie los paquetesr:rr;rdisricos *cPss*x y BÌr{DP deben tenerse presente las siguientes recomendaciones:

l. La ejceución del paquete por defecto (sin ninguna especificación) supone rea-lizar un análisis de componentes principales.

2, si se quiere realizar un análisis factorial se debe especiâcar el procedimientode *.xliracción de factores que se desea.

;Ì sìguiendo a Kim y Mueller {to7s a: 48), para un análisis facrorial recomen-damos los métodos de extracción de factores de máxirna ver*sirnilitud (ML.. rna:;irnum likelihood) o de mínimos cuadr*dos no ponderados {ULS : un_weighted least squares).

i1.18. Análisis factorial expioratorio y confilmâtorìo

En el análisis factorial se tiene un eral desconocimiento teóricorlel carr:

r:ari Thurstone (1947) y, en cierta forma, culmina con Harman (lggOj.En el análisis factorial confirmatorio se tiene información previa sobre las varia-

Ì:'ìcs y sus intcrrelaciones. Esto permite que se formulen hipótesìs ,a priori, que serán1Ì':''irlr.L!ìãdas empíricamente. Una de las diferencias fundamentales entre et análisisf:rcl61i31 expÌoratorio y el confirmatorio reside en que en éste riltimo se requiere unai:.içiil,r:sis plevìa sobre el número de factores coüìunês, así corno sobre las relacionesde dependencia entre cada variabÌe con cada uno de los r.actores.

lìntre los representantes del análisis factorial confirmatorio destacan Jõreskogv sôrLom {19s3, 1985), que han elaborado el paq'ete LISREL que se p,ede utilizar

134

La decisión entre el análisis de com rincip:rl+;s y el análisis factorial es

un rnodelo tcórico

ira; rï aflá3isis dc c

ff

para el análisis factorial confirmatorio y del cual se trata en un capítulo posteriorsobre análisis causal. En "Análisis factorial confirmatorio" (velíse pãg.551) se reálizaun ejemplo mediante el procedimiento FACTOR y mediante el LISREL, con objetode comparar el análìsis íactorial e.tploratorio con el confirmatorio.

El progreso de la ciencia se hace de forrna acumulativa, evolucicnando desde

etapas exploratorias a oiras r:onârmatoriar. Fs.ra miís detalles sobre el anílisis fnctÕ-

rial confirmatorio véase Cuadras {1981: 105-?13), Gómez (19e6), Jõreskog y $õrbom

{1985), b'ía-r.,r'cìl iril??r üü-69) y t*ng i1Ë8;J ;'i.

11.19. Tipos de análisis factçrial

Sigulendo a Comrey (1985: 251-262), Green (1978) y Pedret (1986: 65*67),se pueden distinguir varias clases de a.nálisis factorial. La Figura 208 (véase pág. 336)

resume la exposición siguiente.

Tipo R.- Consiste en buscar un nún*ro reducido de factores como combinación

ìineal de las variables iniciales. Es el tipo de análisis mais usual. Cattell (1952)

la denominó 'técnica R' para distiugul-ia tle otros diseios de análisis factorial-Tipo Q.- Es el proceso inverso. Consiste en buscar los factores en el espacio

de los individum. Aquí lo que interesa son las relaciones entre los individuosy no entre la.s variables. Para miís detalles véase Comrey (19S5: 251*259).

Si ademrís de variabìes e individuos se introduce un tercer aspecto, 'momentosen el tiempo", es decir la dimensión temporal, se pueden distinguir cuatro tipos

miís de análisis factorial.3. Tipo O.- Se miden un conjunto de variables en distintos momeÍrtos en el tiempo

sobre un mismo individuo. Se estudian las relaciones entre estos momentos en

el tiempo.4. Tipo P.- Es el proceso inverso al anterior. Se estudian las relaciones entre las

variables en función de las respuestas que un mismo individuo da en distintosmomentos a esas variables. Para detalles véase Comrey (1985: 259*261).

5. Tipo S.- Se estudian las relaciones entre individuos en función de las respuestas

que estos dan en dìstintos momentos a una misma variable.6. Tipo T.- Estudia ìas reiaciones entre momentos en el tiempo en base a los

patrones respuesta de unos individuos para una variable concreta'

Estos tipos de análisis factorial se pueden utilizar con variables cuantitativascontinuas, medidas con escalas de intervalo o de razón. Para otros tipos de variables

e1.ìsten alternativas al anáiisis factorial cl:ísic,.r. Para un anáiisis factorial de variablcs

1.

2.

335

i*,@

rItr

Variables

lndividuos

MAïRIZDE

DATOSTiempo

ïierc*c Tiempo

Tieiìlpo Tiempo

Figura

oÌdinales puede aplicarse la técnica de escalas multidimensionales. En nl caso de

variables cualitativas el r€curso a seguir es el análisis de correspondencias" Estas

dos iécnicas se exponen €n Ios capitulÕs siguientes. Si la"s varïables son dicotómicas

puede aiÌlìcersc r:l análisi:l la*l.ç..rìal br;oìeano, que se ptesenta en el aparlado si-

guicnte.

11.20. Análisis factorial booleano (dicotómico)

pl anílisis ,fipctorial booleâno, tambié3 denomina+o an4Jiiii t?clgriâl .di-.oti Las puntuaciones del indiliduo i en

ffii,;,ysolamentepuedentomarva1oresdicotómicos,como por ejemplo &.1 ó I-2. En todo lo demiís es muy similar al análisis factorial

cliisico. El objetivo es, por tanto, expresar un conjunto de p variables (arr12,....'o)por medio de m factores {Ír,f",....Í*), siendo rn < p' Expondremos el análisis

iactorial clicotómico mediante un ejemplo de Mickey, Ì{undle y Engelman (1985), al

cual remilinm para detalles de este ejemplo, así como para una breve exposición de

carácter matemático.

Ejemplo de análisis factorial booleano (dicotómico).- En un estudio sobre

las células linfocíticas de la sangre se han administrado 20 pruebas a una muestra de

50 individuos. Las pruebas eran anticuerpos reactivos- Se asume que la superficic

celular tiene antígenos que pueden ser Ìeconocidos por los anticuerpos reactivos' Un

anticuerpo reacciona si la célula sometida a prueba posee alguno de los antígenos

asociados con é1. Se asume que las célula.s de una persona dada tienen algunos de

esos antígenos. El resultado de cada prueba puede ser 'negativo' {codiflcado como

1=NONÈnSPONSE) o 'positivo' (codificado como 2=RESPONSE)' Cualquier otro

valor (por ejemplo el cero) se considera como una reacción desconocida.

Las instrucciones para un análisis factorial booleano mediante el BMDP, pro-

grama 8M, aparecen en la Figura 209 (véase pág. 339), donde se incluye la matriz de

datos. Porciones del 'outpat' se comentan a continuación'

En Ia Figura 210 (véase pág. 340) aparece el número de indiYiduos, el número

de rcspuestas positivas (responses) y negativas (nonresponses) y el total. La matriz de

entrada ticne Z0 x 50 : 10O0 datos, pero sólo se tienen en cuenta 986 para el análisis.

Se consideran como valores perdidos (missing values) los que tienen un código distinto

de 1-2.

En el paso cero {step 0) aparecen tres factores iniciales. El número de factores

itíìcial depenãe de los que puedan calcularse sin ninguna iteración; ei número preasig-

Var iab lesVariables

lnCividuos lndividuos

336

:ïipos de análisis factorial (Pedret, 1986: 66)

337

itre*W.rylryj'i]sêl;w@wr$Ërïlrìi.-r:liú;iii &+r &

' . i. ;;-r Cefrrlt-r suele sef tres. Para cada variable se indica el nombre, nÍrnrcro de

r,tr::c.sins angativas (nonresp) y positivas (resp) y cl porcentaje de respucstas posi-

i:v:i-. ipi:l t**pi. U" ia columna de ia derecha se indica en qr.r* factor está saturada

i:aila uariahle"

La Figura 212 (véase pág. 342) presenta eÌ resumen de las iteraciones en el paso

cinco, don,$e sÈ ti,:iÌ€n r:i:rco factores. En cada paso el ËIgêralnâ ejtrcuta ìlasta un

máximo de tres ciclos (cycle) en su búsqueda de factores. Para cada ciclo se calculan

las discrepancias. La discrepancia cs la diferenciã entre el valor observado y el que

ha nstimado el programa a partir de las puntuaciones factoriales y la matliz de datos'

{,a ciiscrt:pancia puede ser positiva (pos disc) o negativa (neg disc). También se incluye

;,1 .:iún:*ro toial de cliscrepancias (total disc) para cada ciclo' En la parte derecha de

ia ligr:ra r;* intiica quc el m:iximo de discrepancias positivas es 11 y corresponden a layariable j?. El máximo de discrepancias negativas es 3 y corresponden a la variable

$, .ïi*rçs *at,:s se dan para el ciclo üno y dÕs; sin embargo para los datos de este

tjeu:;rlo cr;,ittcitien en ambos ciclos.

En la Figura 211 (véase pág. 341) se exponen las saturaciones factoriales del

p;Eo cinco (step 5), que es el último. En esta figura aparecen los mismos datos de la

tr'igura 210 (véase pág. g40), y ademiis se aíade información sobre las discrepancias.

Àparecen las discrepancias positivas, negativas (discrep neg pos) y el porcentaje de

tiiscr*:pancias positivas (pct pos disc). A partir de esta tabla se pueden ver cuáles son

las variables similares. Por ejemplo, las variables 1, 2 y 18 están saturadas del factor

uno. El número total de discrepancias de estas tres variables es 4. Esto significa que

de las 150 ohserlraciones de estas tres v-ariables (50 individuos por 3), cometeríamos

cuatro erÌütes si realizáramos la estimación a partir de las saturaciones y la matrizde datos.

La Figura 213 (véasepágs.3434) contiene las puntuaciones factoriales de cada

iurlividrro, junto con otros datos ya comentados. Las puntuaciones factoriales pueden

uiilizarse en análisis posteriores'

La Figura 214 (véasepág. 345) presenta la matriz de discrepancias. Para cada

inrlìr,írluo se seãala en qué variable presenta discrepancias. El signo mrís (+) signifrca

respuesta observada y respüesta no predicha; el signo menos (-) significa respuesta-.;1:. çr]-,;.;q1yaj;1 y respuesia predicha; el cero (0) significa valor observado desconocido;

y ìos espacios en blanco significan coincidencia entre valor predicho y valor observado.

Algunas diferencias entre el análisis factorial clásico y el análisis factorial di-c4tómico son las siguientes. La primera consiste en que este último utiliza para el

cálcuio álgebra de Boole. Otra se refrere a las puntuaciones factoriales. Recordemos

iúe iln {'1 a,lálisis factorial cliísico la puntuación factorial es una com-binación de todas

l:ls variables con,las cargas factoriales. En el análisis factorial booleano, cada indi-

338

,1 PROBI,EI{ ïITÏ,E IS 'ÂNAI,TSIS FACTORIAT, BOOI,EANO'./ INPUT VARIASI,ES ARE 20.' FoRttÁT rs'(10F1, lX, 10F1)'.,/ riAlìia3lE RESPONSES ÂRX 2.

NONRT,S?ONSEs Á&E 1.scoRE. nïsc.r'?RINï

1 END1111121111111i 1 1 1 1 1ri^:.ii.:t-iìi2111112112124212LL1t2ltrILt1222202 120 1 10 1i t,1 111111 1L1rr1112222211111111)1)'ì211?r)110l" 1111 121111"111111i111111!2211111111122212tL2L111l111 11 11211111111121111111112111 111111111 12 1 121111111111221LL12IL222L1 11111111111.121r2t L2tt 11l1lr,11221 11111 111111 11i. 1101111111 11111111 11 1111 12 121r 11 1Lt-212111111 111111111L22rztttL222L1lllLLz11111111111L2t2tj.2221 11111r 11122LLILI1,L211111112221t1112111.2111111111111r.1r-11121lL'LLIL12222L2r2Llt22i t 1 1111111itLl.to722222272tt1LI22272LL17r1 1111t" 1 112

t2L2 !1")ÌÌL2I211111201111111011217111111111t- 11

111111l.11LL21r.1111111111L72r112tL11111111t

1111111112LI2tlLt21111112Ll111121112111ztL11111111t)112LL111

1011!l

12LtL212L0t21111111101í2LLL

111111211-

1112LL111.22L111L2LL2r111lll11r2121111111t1

121111111Lt22t2111111111T12zLLL2ILzrL2TLtz1112tr111LT22t2111

12011 11121111111ZLLL2t121 111t1 1l222La22L2t7L222L211112221111r 1121112111.1211 I111LT22T111111111112Ll12111111 1121Lt?22t121 12 1111 1112 111222L2tL21112ILL221Ll2111222t21 111111I22t2ttr

111111 11I j1')

21111 1122ttz1211r 1212L121101Jtlttt72r.11111r)

L2L212 1011121222tr22L2LT1 111211r21111111111211 111211111111 111 111tl11

1 1111111L7T2L2L2t2t 12L7?1111t- 11222L2L1I2111-121012122ZILL12722tL21111L2IILI12

t

Figura 209. Programa para un análisis factorial booleano (BlvíDP 8\{)

339

sltlP$$ - f:)SLgAr{ fAcTCR ANALYSIS

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1oo.21 10020 010I 00120 0106 000I 001

20 00027 00045 00026 00024 0008 000

47 00024 00020 00022 00027 1006 0008 000

L Á'. i/2 x(2)3 x(3)3 xas)i Á(o)7 X(7')8 x(8)e x(e)ro xí10)

: r x( r.r)

"?- x( i2)

i3 x( 13)Lú x( 14)15 X( ls):i x(16)- x(17)5 x( 1,8)l"r X( 19 )'t,J X( 20 )

NUMBER OFNONRESP RESP

7l tJ

38 1039 1046440 1045346 t+

40 1036 1327 225l !J38 L244426 2338 1239 l038 1136 13463

L

VÂRIABLE $I.]]"!}ER OFuo -'-'-'úËnr, Nül*Rr sP R-E SP

Figura 211. Análisis factorial booleano: saturaciones factoriaÌes

1 Í(1)2 X(2)3 x(3)4 X(4)s x(s)6 X(6)7 Xa7)s xa8)e x(e)10 x( 10)t1 x( 1r)12 X( 12)13 X( 13)14 X(14)ls x( ls)16 X(16)r7 x( 17)18 X( 16)1e x( 1e)20 x(20)

I00

100U

- 100100

00000

100400

100E

100100

111000040003043000000000040100100 1l0103o4

262L20

õ2A

68

20

452624

847242022a7

6I

.1 1?3E 1039 1046440 1045346440 1"036 13.1 11

) I tJ38 1244426 2338 t239 1038 1136 13463146 4

1000010000010000000001.000000000000000010000 100010000010000010000000100000010000 100000100000000000000

L

li--,l

2fi4) óL986

lz3

r-t .rAAAcccTTT000RRRL23

ì10. Resultados de un análisis factorial booleano (paso c'rro)

:' 'i,rt. -...1

sïEP 5 racïüR scüRss

(THf, SCOft,S ÀREIÍSTED Af TilE R,ICI{TBgÌ.01'I Tiú I.Â3ELS)

t{FOa " 1234s

T L TTFT.F0 Á ÁÀÂÀÀR B CCCCCE TTTTTL 00000

RRRRR12456

1 I \7 2 11 ü 2 1000000022t73150001000033128400001010t4 4 15 5 25 I 3 é0 0001{)551363200S111006 6 L4 6 30 0 I L7 00110'Ì 7 9 6 40 0 0 0110018 I 19 1 5 0 1 100000009 9 l5 5 25 0 0 000110

10 10 t6 2 t1 0 0 010000r-l r1 11 9 45 1 0 01111SL2 t2 16 3 16 0 1 33 0010013 13 2A 0 0 0 0 00000014 14 15 5 ?5 0 0 00011015 t5 15 5 25 0 0 0ça:.0116 Ió 11 I 42 0 2 Zt 100ürL7 Ìz 18 2 LA 0 0 0001Ô018 I8 L4 6 30 0 1 17 qQ101i9 it tt : is ü 1 33 oü1oo20 Z0 15 5 25 O 2 j+0 000012t 21 18 2 LO O 2 100 900001, it i6 4 2o o I 2s 'osolo23 ë3 L4 6 '30 0 3 50 0001024U4?O00000000001s ãi i5 5 z5 o 3 60 ooloo26 ?6 20 0 0 0 0 :0 0000027 27 t4 ó 30 0 0 01000128 t8 19 0 0 0 0 00000029 :9 20 0 0 0 0 0.0ü000ão 5õ rs 1 s o 1 looooooo

PCTC A 5 E NUMIUR OF FTT ÜÏg6TgP POSNO. tAgEt NOIüRTSF RESP RESP NEG POS DISC

Figura 213. Análisis factorial booleano: puntuaciones factoriales

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ï.ig*ra ?13. Ânálisis factorial booleano: discrepancias