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Analise Real - Cassio Neri

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Text of Analise Real - Cassio Neri

  • Instituto de Matematica

    Universidade Federal do Rio de Janeiro

    curso deanalise

    real

    Cassio Neri

  • Curso de Analise Real

    Cassio Neri

    Instituto de Matematica - UFRJRio de Janeiro - RJ - Brasil

    2006

  • Sai che ti avverra`,praticando il disegnare di penna?

    che ti fara` sperto, pratico,e capace di molto disegno entro la testa tua.

    Sabe o que te acontecera, praticando o desenho a pena?tornar-te-as perito, pratico,

    e capaz de muitos desenhos dentro de tua mente.

    - Cennino Cennini da Colle di ValdelsaIl Libro dellarte (1437) - Cap. XIII.

  • Sumario

    1 Nocoes de Teoria dos Conjuntos 1

    1.1 Conjuntos e elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Operacoes com conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 Simplificando a escrita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.4 Teoria dos Conjuntos e facil? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.5 Funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.6 Famlias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Numeros naturais, inteiros e racionais 13

    2.1 Numeros naturais e inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.2 Conjuntos finitos, enumeraveis e nao enumeraveis. . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.3 Numeros racionais: operacoes e enumerabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.4 Numeros racionais: ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.5 Numeros racionais: propriedade arquimediana. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3 Numeros reais 27

    3.1 A polemica descoberta dos incomensuraveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.2 Cortes de Dedekind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.3 Numeros reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.4 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    v

  • vi SUMARIO

    4 Sequencias e series 45

    4.1 Sequencias e subsequencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    4.2 Sequencias convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    4.3 Sequencias monotonas e sequencias limitadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.4 Sequencias de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.5 Limites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.6 Operacoes com limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4.7 Limite superior e limite inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4.8 Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4.9 A serie dos inversos dos primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4.10 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5 Topologia de R 65

    5.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5.2 Pontos interiores e conjuntos abertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.3 Pontos de aderencia e conjuntos fechados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.4 Conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    5.5 Conjuntos densos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    6 Limite e continuidade 75

    6.1 Limite de funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    6.2 Os quinze tipos de limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    6.3 Funcoes contnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    6.4 O Teorema do Valor Intermediario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    6.5 Funcoes contnuas definidas em compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    6.6 Pontos fixos para funcoes contnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    6.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    7 Derivada 91

    7.1 Derivabilidade e derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

  • SUMARIO vii

    7.2 Propriedades operatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    7.3 Extremos locais e o Teorema do Valor Medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    7.4 Derivadas de ordem superior e Formulas de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . 100

    7.5 O Metodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    7.6 Regras de LHospital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    7.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    8 Integral de Riemann 111

    8.1 Somas superiores e inferiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    8.2 Integral e funcoes integraveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    8.3 Os Teoremas Fundamentais do Calculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    8.4 Mudanca de variaveis e integracao por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    8.5 O Teorema de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    8.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    9 Sequencias de funcoes 133

    9.1 Convergencia simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    9.2 Convergencia uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    9.3 Continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    9.4 Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    9.5 Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    9.6 O espaco C(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    9.7 Equacoes diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    9.8 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    Bibliografia 147

    Indice 149

  • viii SUMARIO

  • Captulo 1

    Nocoes de Teoria dos Conjuntos

    1.1 Conjuntos e elementos.

    A nocao intuitiva que se tem da palavra conjunto nos e satisfatoria e uma apresentacaorigorosa da Teoria dos Conjuntos e difcil e alem dos objetivos do curso.

    DEFINICAO 1.1. Um conjunto e constitudo de objetos chamados elementos. Usamos anotacao x A (le-se x pertence a A) para dizer que x e um elemento do conjunto A. Se xnao e um elemento de A, entao escrevemos x / A (le-se x nao pertence a A).

    Uma forma de caracterizar um conjunto e atraves da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vrgulas , no interior de duas chaves { e }.

    EXEMPLO 1.2. Seja A o conjunto cujos elementos sao os numeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6.Escrevemos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temos 1 A, 2 A e 7 / A.

    Outra maneira de caracterizar um conjunto e atraves de uma propriedade P possuida portodos os seus elementos e apenas por estes (mais adiante faremos algumas consideracoes sobreisto). Escrevemos neste caso {x ; P (x)}, {x | P (x)} ou {x : P (x)} (le-se o conjunto doselementos x tais que P (x) e verdadeira, ou ainda, dos elementos x que possuem a propriedadeP ). Salientamos que a letra x e arbitraria de modo que {x ; P (x)} = {y ; P (y)}.

    EXEMPLO 1.3. Seja P a propriedade e um numero presente na face de um dado e sejaA =

    {x ; P (x)

    }. Entao A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, i.e.1, A e o mesmo conjunto do Exemplo 1.2.

    DEFINICAO 1.4. Dizemos que A e um subconjunto de B ou que A e uma parte de B,ou ainda, que A esta contido em B e escrevemos A B se todo elemento de A pertence a

    1i.e., abreviacao de id est que, em latim, significa isto e.

    1

  • 2 CAPITULO 1. NOCOES DE TEORIA DOS CONJUNTOS

    B. Dizemos tambem que B contem A e escrevemos B A. Quando A B e B A, osconjuntos A e B sao ditos iguais e escrevemos A = B. Caso contrario eles sao diferentese escrevemos A 6= B. A notacao A ( B (ou B ) A) e uma abreviacao para A B comA 6= B, neste caso dizemos que A e um subconjunto proprio de B.

    EXEMPLO 1.5. Sejam A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temos que A ( B.

    EXEMPLO 1.6. Sejam A o conjunto dos numeros inteiros multiplos de 4 e B o conjuntodos numeros pares. E obvio que A B porem, vamos demonstrar esta afirmacao. O primeiropasso consiste em interpretar a definicao do conjunto A. Um numero inteiro n e multiplo de4 se n/4 e inteiro, ou equivalentemente, se existe um inteiro m tal que n = 4m. Logo,

    A = {n ; existe um inteiro m tal que n = 4m}.

    Analogamente,

    B = {n ; existe um inteiro m tal que n = 2m}.Estamos preparados para a demonstracao. Seja n A. Entao existe um inteiro m tal quen = 4m = 2(2m). Como m e inteiro, 2m tambem e. Conclumos que n B.

    Como n e um elemento arbitrario de A (alem de n A nao fizemos nenhuma hipotesesobre n) conclumos que qualquer que seja n A temos n B, i.e, que todo elemento de Apertence a B, ou seja, que A B. Isto termina a demonstracao.

    EXEMPLO 1.7. Sejam A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. Pergunta: A B? Por que?Resposta: Nao, pois 0 A e 0 / B.

    De maneira geral, se A nao e um subconjunto de B significa que existe pelo menos umelemento de A que nao pertence a B.

    E

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