Analise Real - Cassio Neri

Instituto de Matematica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

curso deanalise

real

Cassio Neri

Curso de Analise Real

Cassio Neri

Instituto de Matematica - UFRJRio de Janeiro - RJ - Brasil

2006

Sai che ti avverra`,praticando il disegnare di penna?

che ti fara` sperto, pratico,e capace di molto disegno entro la testa tua.

Sabe o que te acontecera, praticando o desenho a pena?tornar-te-as perito, pratico,

e capaz de muitos desenhos dentro de tua mente.

- Cennino Cennini da Colle di ValdelsaIl Libro dellarte (1437) - Cap. XIII.

Sumario

1 Nocoes de Teoria dos Conjuntos 1

1.1 Conjuntos e elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Operacoes com conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Simplificando a escrita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Teoria dos Conjuntos e facil? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Famlias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Numeros naturais, inteiros e racionais 13

2.1 Numeros naturais e inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Conjuntos finitos, enumeraveis e nao enumeraveis. . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Numeros racionais: operacoes e enumerabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Numeros racionais: ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Numeros racionais: propriedade arquimediana. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Numeros reais 27

3.1 A polemica descoberta dos incomensuraveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Cortes de Dedekind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Numeros reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

v

vi SUMARIO

4 Sequencias e series 45

4.1 Sequencias e subsequencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Sequencias convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Sequencias monotonas e sequencias limitadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Sequencias de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5 Limites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 Operacoes com limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.7 Limite superior e limite inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.8 Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.9 A serie dos inversos dos primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.10 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Topologia de R 65

5.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Pontos interiores e conjuntos abertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 Pontos de aderencia e conjuntos fechados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 Conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5 Conjuntos densos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Limite e continuidade 75

6.1 Limite de funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Os quinze tipos de limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3 Funcoes contnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.4 O Teorema do Valor Intermediario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.5 Funcoes contnuas definidas em compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.6 Pontos fixos para funcoes contnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 Derivada 91

7.1 Derivabilidade e derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

SUMARIO vii

7.2 Propriedades operatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.3 Extremos locais e o Teorema do Valor Medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.4 Derivadas de ordem superior e Formulas de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . 100

7.5 O Metodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.6 Regras de LHospital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8 Integral de Riemann 111

8.1 Somas superiores e inferiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2 Integral e funcoes integraveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.3 Os Teoremas Fundamentais do Calculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.4 Mudanca de variaveis e integracao por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.5 O Teorema de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9 Sequencias de funcoes 133

9.1 Convergencia simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.2 Convergencia uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.3 Continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.4 Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.5 Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.6 O espaco C(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.7 Equacoes diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.8 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Bibliografia 147

Indice 149

viii SUMARIO

Captulo 1

Nocoes de Teoria dos Conjuntos

1.1 Conjuntos e elementos.

A nocao intuitiva que se tem da palavra conjunto nos e satisfatoria e uma apresentacaorigorosa da Teoria dos Conjuntos e difcil e alem dos objetivos do curso.

DEFINICAO 1.1. Um conjunto e constitudo de objetos chamados elementos. Usamos anotacao x A (le-se x pertence a A) para dizer que x e um elemento do conjunto A. Se xnao e um elemento de A, entao escrevemos x / A (le-se x nao pertence a A).

Uma forma de caracterizar um conjunto e atraves da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vrgulas , no interior de duas chaves { e }.

EXEMPLO 1.2. Seja A o conjunto cujos elementos sao os numeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6.Escrevemos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temos 1 A, 2 A e 7 / A.

Outra maneira de caracterizar um conjunto e atraves de uma propriedade P possuida portodos os seus elementos e apenas por estes (mais adiante faremos algumas consideracoes sobreisto). Escrevemos neste caso {x ; P (x)}, {x | P (x)} ou {x : P (x)} (le-se o conjunto doselementos x tais que P (x) e verdadeira, ou ainda, dos elementos x que possuem a propriedadeP ). Salientamos que a letra x e arbitraria de modo que {x ; P (x)} = {y ; P (y)}.

EXEMPLO 1.3. Seja P a propriedade e um numero presente na face de um dado e sejaA =

{x ; P (x)

}. Entao A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, i.e.1, A e o mesmo conjunto do Exemplo 1.2.

DEFINICAO 1.4. Dizemos que A e um subconjunto de B ou que A e uma parte de B,ou ainda, que A esta contido em B e escrevemos A B se todo elemento de A pertence a

1i.e., abreviacao de id est que, em latim, significa isto e.

1

2 CAPITULO 1. NOCOES DE TEORIA DOS CONJUNTOS

B. Dizemos tambem que B contem A e escrevemos B A. Quando A B e B A, osconjuntos A e B sao ditos iguais e escrevemos A = B. Caso contrario eles sao diferentese escrevemos A 6= B. A notacao A ( B (ou B ) A) e uma abreviacao para A B comA 6= B, neste caso dizemos que A e um subconjunto proprio de B.

EXEMPLO 1.5. Sejam A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temos que A ( B.

EXEMPLO 1.6. Sejam A o conjunto dos numeros inteiros multiplos de 4 e B o conjuntodos numeros pares. E obvio que A B porem, vamos demonstrar esta afirmacao. O primeiropasso consiste em interpretar a definicao do conjunto A. Um numero inteiro n e multiplo de4 se n/4 e inteiro, ou equivalentemente, se existe um inteiro m tal que n = 4m. Logo,

A = {n ; existe um inteiro m tal que n = 4m}.

Analogamente,

B = {n ; existe um inteiro m tal que n = 2m}.Estamos preparados para a demonstracao. Seja n A. Entao existe um inteiro m tal quen = 4m = 2(2m). Como m e inteiro, 2m tambem e. Conclumos que n B.

Como n e um elemento arbitrario de A (alem de n A nao fizemos nenhuma hipotesesobre n) conclumos que qualquer que seja n A temos n B, i.e, que todo elemento de Apertence a B, ou seja, que A B. Isto termina a demonstracao.

EXEMPLO 1.7. Sejam A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. Pergunta: A B? Por que?Resposta: Nao, pois 0 A e 0 / B.

De maneira geral, se A nao e um subconjunto de B significa que existe pelo menos umelemento de A que nao pertence a B.

E