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ANALISI DEI DATIPER IL MARKETING
2020
Marco [email protected]
http://www.riani.it
mailto:[email protected]://www.riani.it/
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Misura della relazione tra coppie di variabili
• Matrice di correlazione (variabili quantitative)
• Matrice di cograduazione (ranking)
Associazione (variabili qualitative, nominali o ordinali con
poche categorie) CAP. IV
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Indici di associazione per tabelle 2×2
La tabella 2×2 è generata da variabili dicotomiche (binarie) o
da variabili (qualitative o quantitative) ricondotte a due sole
modalità.
L’associazione tra le variabili è definita in funzione delle
frequenze riportate nella tabella (frequenze di cella o
casella).
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Tabella 2 × 2A e B ⇒ 2 prodotti (items) del «paniere»
A / B Acquistato Non acquistato
Tot.
Acquistato n11 n12 n1•Non
acquistaton21 n22 n2•
Tot. n•1 n•2 n
n11 = numero di transazioni in cui A e B sono acquistatiinsiemen
= numero totale di transazioni
A e B ⇒ 2 pagine web (visitate / non visitate)
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Tabella di contingenza 2×2
1 grado di libertà:se si mantengonocostanti le
distribuzionimarginali basta fissareuna sola frequenza inuna
qualunque cellaaffinché le altre tresiano determinate inmodo
univoco
y1 y2 Tot
x1 n11 n12 n1.
x2 n21 n22 n2.
Tot n.1 n.2 n
yx
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Definizione: Indipendenza• Teorema della probabilità composta
per eventi
indipendenti• Due variabili dicotomiche X ed Y si dicono
indipendenti, con riferimento alle n unità statistiche
analizzate, se e solo se:
===nn
nn
nn .1
2.
12
1.
11
= distribuzione
condizionata
y1 y2 Tot
x1 n11 n12 n1.
x2 n21 n22 n2.
Tot n.1 n.2 n
)()|()|( 12111 xXPyYxXPyYxXP =======
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Implicazioni dell’indipendenza
nn
nn
nn .1
2.
12
1.
11 ==
TEORICAFREQnnn
nnnnn jiij _
..*1..1*11 =
⋅=
⋅=
Cioè
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Interpretazione
In caso di indipendenza, la modalitàassunta da X è irrilevante
rispetto allamodalità assunta da Y.
In tale circostanza, la proporzione diunità statistiche che
presentano lacategoria x1 di X risulta la medesima inentrambe le
classi di Y.
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Esempio• X = ricordo della
pubblicità• Y = acquisto del
prodotto
• Tabella delle frequenze teoriche in caso di indipendenza:
• (275 ×129)/723 = 49.1
sì no Totsì 87 188 275no 42 406 448Tot 129 594 723
sì no Totsì 49,1 225,9 275no 79,9 368,1 448Tot 129 594 723
yx
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Associazione positivaConsideriamo le modalità di maggior
rilievo
per l’analisi: in questo caso sono date dalla presenza dei
fenomeni (modalità “sì”).
Se si verifica che:
*11
1..111 nn
nnn =⋅> (frequenza teorica)
si dice che le variabili mostrano associazione positiva (sono
associate positivamente). Nell’esempio si ha n11> n*11 per cui
vi è associazione positiva tra il ricordo della pubblicità e
l’acquisto del prodotto.
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Associazione negativa
Se si verifica che:
*11
1..111 nn
nnn =⋅<
si dice che le variabili mostrano associazione negativa (sono
associate negativamente)
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Osservazioni
• L’associazione si misura con riferimento alle frequenze
teoriche in caso di indipendenza
• Se i fenomeni dicotomici non sono del tipo presenza / assenza,
la scelta delle modalità di riferimento è arbitraria.
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Esercizio
• Implementare il calcolo delle frequenze teoriche in Excel e
MATLAB
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Definizione: statistica χ2(chi quadrato)
Si dice statistica di Pearson, e si indica con χ2
la seguente quantità:
χ2 ≥ 0 ed è funzione crescente dell’associazioneχ2 = 0 se i
fenomeni sono indipendenti
E’ una misura globale della “discrepanza” tra le frequenze
osservate e le frequenze teoriche nell’ipotesi di indipendenza.
( ) ( ) ( ) ( )*22
2*2222
*21
2*2121
*12
2*1212
*11
2*11112
nnn
nnn
nnn
nnn −
+−
+−
+−
=χ
-
Caratteristiche statistica χ2
• Dipende da n e tende a crescere al divergere di n
• Se tutte le frequenze della tabella vengono moltiplicate per k
anche l’indice χ2 (Chi2) viene moltiplicato k
-
Poiché χ2 dipende da n, ed in particolare tende a crescere al
divergere di n, si introduce una misura relativa, che assume valore
nell’intervallo [-1, +1]:
ove il simbolo ± significa che alla radice quadrata è attribuito
il segno della differenza (n11n22 – n21n12)
Definizione: statistica φ (phi)
2.1..2.1
211222112
)(nnnnnnnn
n−
=χ
±=φ
-
Proprietà di φ• E’ funzione anche delle frequenze
marginali• φ = -1 se e solo se n11 = n22 = 0• φ = +1 se e solo
se n12 = n21 = 0• Nel caso di variabili del tipo presenza-
assenza, si ha φ = +1 solo se tutte le unità statistiche che
possiedono X possiedono anche Y e, viceversa, tutte quelle che non
presentano X non presentano neanche Y. Si parla di associazione
assoluta
2.1..2.1
21122211
nnnnnnnn −
=φ
-
Associazione assolutasì no Tot
sì n11 0 n1.
no 0 n22 n2.
Tot n.1 n.2 n
sì no Tot
sì 0 n12 n1.
no n21 0 n2.
Tot n.1 n.2 n
φ = +1 φ = -1
2.1..2.1
211222112
)(nnnnnnnn
n−
=χ
±=φ
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Osservazione• L’indice phi si può interpretare
come il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y. Per
verificarlo applicare formule delle varianze e della covarianza
direttamente sulla tabella di contingenza in cui i valori che
assumono x e y sono 0 e 1 (r=c=2).
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑋𝑋,𝑌𝑌 = �𝑖𝑖=1
𝑟𝑟
�𝑗𝑗=1
𝑐𝑐𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑀𝑀𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑀𝑀𝑦𝑦 𝑛𝑛𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑛𝑛 = �𝑖𝑖=1
𝑟𝑟
�𝑗𝑗=1
𝑐𝑐𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑗𝑗𝑛𝑛𝑖𝑖𝑗𝑗𝑛𝑛 −𝑀𝑀𝑥𝑥𝑀𝑀𝑦𝑦 =
==)()(
),(YVARXVAR
YXCOVrxy
Ad esempio Mx=(1*275+0*448)/723
𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 =1𝑛𝑛�𝑖𝑖=1
𝑟𝑟
𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑀𝑀 𝑋𝑋2𝑛𝑛𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑌𝑌 =
1𝑛𝑛�𝑗𝑗=1
𝑐𝑐
𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑀𝑀 𝑌𝑌2𝑛𝑛𝑗𝑗
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Esempio
• X = ricordo pubblicità• Y = acquisto prodotto
sì no Totsì 87 188 275.no 42 406 448Tot 129 594 723
sì no Totsì 49,1 225,9 275no 79,9 368,1 448Tot 129 594 723
283,0
61,57...1,49
)1,4987( 22
+=φ
=+−
=χ
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Osservazioni
• Inconvenienti degli indici precedenti• X2 dipende da n• φ
dipende dalle distribuzioni marginali
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Misura alternativa di associazione in tabelle 2x2
Rapporto dei prodotti incrociati (cross product ratio)
L’indice θ dipende solo dalle frequenze di cella• θ= 0 se n11=0
o n22=0,• θ = +∞ se n12=0 o n21=0 (convenzione)• θ = 1 se le
variabili sono indipendenti
2221
1211
2112
2211
//
ffff
nnnn
==θ
-
θ = 1 se le variabili sono indipendenti
11..22..1
2..21..1
2112
2211 =××
==nnnnnnnn
nnnnθ
nnn
nn jiijij..*
⋅==y1 y2 Tot
x1 n11 n12 n1.
x2 n21 n22 n2.
Tot n.1 n.2 n
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Proprietà del Cross Product Ratio
1.E’ invariante se si inverte l’ordine delle righe e delle
colonne
2.E’ invariante se si moltiplicano per delle costanti le
frequenze di riga e di colonna
3.Se θ > 1 si ha associazione positiva o diretta
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EsempioX = ricordo pubblicitàY = acquisto prodotto
yX sì no Tot
sì 87 188 275.no 42 406 448Tot 129 594 723
48,4103,0462,0
562,0/058,0260,0/120,0
473,442188
40687
≈==
=⋅⋅
=
θ
θ
RAPPORTO DI RAPPORTI: Il rapporto tra acquirenti e non
acquirenti è 0,462 per coloro che ricordano la pubblicità e 0,103
per coloro che non la ricordano (è 4,48 volte più alto per coloro
che ricordano)
yX
sì no Tot
Sì 0.120 0.260 0.38no 0.058 0.562 0.62Tot 0.178 0.822 1.00
283,061,57;1.49 2*11
+===
φχn
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Indice normalizzato del rapporto dei prodotti incrociati
Assume valori nell’intervallo [-1, +1]
Risulta pari a 0 se le variabili sono indipendenti ed è
simmetrico rispetto allo 0
11
+−
=θθQ
-
Proprietà dell’indice Q
• Q = +1 se n12 = 0 oppure n21 = 0 • Q = -1 se n11 = 0 oppure
n22 = 0 In questi due casi l’associazione è
completa, cioè è la massima associazione che si può verificare
dati i totali marginali.
11
+−
=θθQ
2221
1211
2112
2211
//
ffff
nnnn
==θ
-
Indice U
• Altro indice normalizzato tra [-1 1]
• Nel file di Excel Theta_and_Q.xlsx si esplora la relazione tra
U, Q e θ
𝑈𝑈 =𝜃𝜃 − 1𝜃𝜃 + 1
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Esempio
X = ricordo pubblicitàY = acquisto prodotto
sì no Totsì 87 188 275.no 42 406 448Tot 129 594 723
635,0473,5473,3
473,442188
40687
==
=⋅⋅
=
Q
θ
11
+−
=θθQ
2112
2211
nnnn
=θ
-
Esempio
n*11 = ?χ2 = ?φ = ?θ = ?Q = ?
sì no TotM 35 37 72F 18 70 88
Tot 53 107 160
sì no TotM 53 19 72F 0 88 88
Tot 53 107 160
X = sesso, Y = iscrizione società sportiva
ASSOCIAZIONE COMPLETA
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Esempio
n*11 = 23,85χ2 = 14,17 φ = 0,298θ = 3,68Q = 0,57
sì no TotM 35 37 72F 18 70 88
Tot 53 107 160
sì no TotM 53 19 72F 0 88 88
Tot 53 107 160
X = sesso, Y = iscrizione società sportiva
ASSOCIAZIONE COMPLETA
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Tabella di contingenza r×c(pag. 109 e seg.)
gradi di libertà:(r-1) × (c-1)
Variabili indipendenti se:
y1 ... yc Tot
x1 n11 n1c n1.
...xr nr1 nrc nr.
Tot n.1 n.c n
yX
nn
nn
nn
nn
nn i
c
ic
j
ijii .
..2.
2
1.
1 ...... ======
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Tabella di contingenza r×c(pag. 109 e seg.)
gradi di libertà:(r-1) × (c-1)
Variabili indipendenti se:
y1 ... yc Tot
x1 n11 n1c n1.
...xr nr1 nrc nr.
Tot n.1 n.c n
yX
cjrinnn
n jiij ,...,1;,...,1.. ==∀=
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Definizione: IndipendenzaIn caso di indipendenza, la modalità
assunta daX non influenza le modalità assunte da Y.Due variabili
nominali X ed Y si dicono indipendenti, con riferimento alle n
unità statistiche analizzate, se e solo se, per ogni i e j:
nnn
nn jiijij..*
⋅==
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Tabella
• Occorre generalizzare la statistica di Pearson per tabelle 2 x
2 al caso di tabella r x c
( ) ( ) ( ) ( )*22
2*2222
*21
2*2121
*12
2*1212
*11
2*11112
nnn
nnn
nnn
nnn −
+−
+−
+−
=χ
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Indice X2 (CHI QUADRATO) di Pearson
( )
( )
n
nn
nnn
ijij
r
i
c
j ij
ijij
2
*
1 1*
2*2
χφ
χ
=
−
−=∑∑
= =
Contingenze
Φ compreso tra -1 e +1 in tabella 2x2 (attribuzione
convenzionale del segno in base a: n11 n22 – n12 n21)
• non normalizzato in tabella rxc (può risultare >1)
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Indice di Cramer
V = 1 nell’ipotesi di massima dipendenza tra i caratteri
(per qualsiasi valore di r e c)V = Φ se r =2 e/o c =2
[ ]
−−φ
=10
)1(),1(min crV
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Esercizio• Il file SONDAGGIOUSA è una parte di
un’indagine multiscopo • Per ciascun intervistato sono
riportate
informazioni anagrafiche, sulle tendenze politiche e il pensiero
a riguardo di alcune tematiche di stretta attualità. Gli studiosi
sono interessati ad indagare su relazioni intercorrenti tra le
variabili
• Obiettivo 1 È sostenibile la tesi secondo la quale la tendenza
politica (var. partito) influenzi in qualche modo il parere
riguardo alla pena capitale (var. penacap)?
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Esercizio
• Costruire la tabella di contingenza tra le variabili partito e
penacap
• Mostrare tramite un grafico a barre sovrapposto (in pila al
100% l’andamento dei favorevoli e contrari al progredire della
tendenza politica)
• Calcolare il X2 e l’indice di Cramer per misurare
l’associazione tra le due variabili
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Output Excel: tabella pivot
Conteggio di id penacappartito CONTRARIO FAVOREVOLE Totale
complessivoDEMOCRATICO ATTIVISTA 37.31% 62.69% 100.00%DEMOCRATICO
27.24% 72.76% 100.00%DEMOCRATICO SIMPATIZZANTE 23.67% 76.33%
100.00%INDIPENDENTE 22.36% 77.64% 100.00%REPUBBLICANO SIMPATIZZANTE
17.91% 82.09% 100.00%REPUBBLICANO 15.59% 84.41% 100.00%REPUBBLICANO
ATTIVISTA 11.88% 88.13% 100.00%Totale complessivo 22.75% 77.25%
100.00%
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Grafico associato alla tabella pivot
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Concetto di dipendenza e interdipendenza
• Dipendenza:• Esiste un antecedente (logico o
temporale) ed un conseguente
• Interdipendenza:• Le due variabili sono sullo stesso piano
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Massima interdipendenza e dipendenza (p. 116)
y1 y2 Tot
x1 n11 0 n1.
x2 0 n22 n2.
x3 0 n32 n3.Tot n.1 n.2 n
y1 y2 y3 Totx1 0 n12 0 n1.x2 n21. 0 0 n2.
x3 0 0 n33 n3.
Tot n.1 n.2 n.3 n
Max dipendenza di Y da X Max interdipendenzaLa dipendenza di Y
da X (r ≥ c) si definisce massima quando vi è una sola
frequenza non nulla per ogni riga
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Dipendenza ed InterdipendenzaLa dipendenza di Y da X (r ≥ c) si
definisce
massima quando vi è una sola frequenza non nulla per ogni
riga
La dipendenza di X da Y (c ≥ r) si definisce massima quando vi è
una sola frequenza non nulla per ogni colonna
Si ha massima interdipendenza quando nij = ni. = n.j (c = r)
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INFERENZA SULLA ASSOCIAZIONE(pag. 148 e seg.)
Obiettivo dell’inferenza:Estendere la conoscenza da un campione
diosservazioni ad una popolazione (universo) piùampia⇒ è un
processo che ha a che fare con
l’estrazione della conoscenza (in una faseconfermativa, non
esplorativa)
ASSUNZIONE: le n osservazioni bivariatepresentate nella tabella
di contingenzacostituiscono un campione casuale
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• Chi quadrato:
X2 > 0 come si interpreta?Test di significatività
dell’associazione (calcolop-value)
Se X2 è significativo:Misura dell’entità della relazione:• ⇒
indici di associazione (simmetrici)ottenuti da X2
•Il più utile è V di Cramer ⇒varia in [0, 1]
( )∑∑= =
−=χ
r
i
c
j ij
ijij
nnn
1 1*
2*2
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Distribuzione di χ2 sotto H0
IPOTESI DI INDIPENDENZA STOCASTICA
Stima di nij :
( )∑∑= =
−=χ
r
i
c
j ij
ijij
nnn
1 1*
2*2 = variabile aleatoria
∞→−−χ→χ ncr ))1)(1((22Se H0 è vera
nnn
n jiij..* =
-
Variabile aleatoria χ2
Y = (Z1)2 + (Z2)2 + ... + (Zg)2
ove Zi ~ N(0,1) i = 1, ..., g
Y ~ χ2(g)
1. E (χ2 (g)) = g2.VAR (χ2 (g)) = 2g3. f (χ2 (g)) è asimmetrica,
ma se g → ∞ la
χ2(g) standardizzata →NORMALE
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Verifica di ipotesi sulla χ2TAVOLA SUL TESTO (Ultima)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 5 10 15 20
g = 4
χ2
f(χ2)
χα2
α
Chart1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.3
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.7
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.8
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.9
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.1
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.2
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.3
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.4
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.5
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.6
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.7
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.8
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.9
1.91
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
2
2.01
2.02
2.03
2.04
2.05
2.06
2.07
2.08
2.09
2.1
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.2
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.3
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
2.4
2.41
2.42
2.43
2.44
2.45
2.46
2.47
2.48
2.49
2.5
2.51
2.52
2.53
2.54
2.55
2.56
2.57
2.58
2.59
2.6
2.61
2.62
2.63
2.64
2.65
2.66
2.67
2.68
2.69
2.7
2.71
2.72
2.73
2.74
2.75
2.76
2.77
2.78
2.79
2.8
2.81
2.82
2.83
2.84
2.85
2.86
2.87
2.88
2.89
2.9
2.91
2.92
2.93
2.94
2.95
2.96
2.97
2.98
2.99
3
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
3.1
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
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