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SISTEMI DI CONTROLLOIngegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo
http://www dii unimore it/~lbiagiotti/SistemiControllo htmlhttp://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/SistemiControllo.html
ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E FUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITA
Ing. Luigi Biagiottie mail: luigi biagiotti@unimore ite-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti
Schema di riferimento per il controllo in retroazioneSchema di riferimento per il controllo in retroazione
Come gi visto lo schema a blocchi reale di un sistema di controllo in retroazione pu essere rappresentato come
Disturbo sulluscitaDisturbo
sullattuatoresull attuatore
-
Disturbo di misura
Il segnale di riferimento viene filtrato da una replica della dinamica del sensore per ottenere un riferimento
Sensitivit -- 2Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
p``compatibile'' con la dinamica dell'uscita retroazionata
Dallo schema a blocchi reale a quello idealeDallo schema a blocchi reale a quello ideale
-
-
Sensitivit -- 3Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Dallo schema a blocchi reale a quello idealeDallo schema a blocchi reale a quello idealeDinamica equivalente del regolatore:
Dinamica equivalente dellimpianto:
-p
Disturbo sulluscitaDisturbo di misurae sullattuatore
Disturbo di misura
--
Sensitivit -- 4Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Ingressi e uscite di interesseIngressi e uscite di interesseUscite di interesse:
- Ingressi significativi:-
Nella maggior parte delle applicazioni ingegneristiche le bande spettrali del segnale di riferimento e del disturbo sull'uscita sono di i t d ll d l di t b di idisgiunte da quella del disturbo di misura
Segnali di riferimento e disturbi sull'uscita Disturbi di misura normalmente confinati a frequenze elevate (accoppiamenti con campi
Sensitivit -- 5Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
normalmente confinati a basse frequenze frequenze elevate (accoppiamenti con campi elettromagnetici)
Funzioni di sensitivitFunzioni di sensitivit
Le funzioni di sensitivit rappresentano le funzioni di trasferimento tra gli ingressi significativi e le uscite di interesse: Funzione di sensitivit
Funzione di sensitivit complementare
Funzione di sensitivit del controllo
Sensitivit -- 6Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzioni di sensitivitFunzioni di sensitivit
Schema di riferimento
dnR(s)
ysp e u+ G(s)
yd
++
+-n
- ++
Matrice delle funzioni di trasferimentoMatrice delle funzioni di trasferimentoMatrice delle funzioni di trasferimento Matrice delle funzioni di trasferimento tra le diverse tra le diverse uscite di interesse di interesse
e glie gli ingressie gli e gli ingressi
Sensitivit -- 7Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzioni di sensitivtFunzioni di sensitivt
Le funzioni S(s) e F(s) dipendono congiuntamente da R(s) e G(s)(funzione di anello) mentre nella funzione di sensitivit del controllo Q(s) la fdt del regolatore R(s) entra singolarmenteQ(s) la fdt del regolatore R(s) entra singolarmente
Il denominatore (e in particolare i poli) di tutte le funzioni di sensitivit lo stesso. La stabilit del sistema in retroazione indipendente dal
ti l iparticolare ingresso Strutturalmente si ha che S(s)+F(s)=1. In pratica questo significa che
non possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore,non possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore, specifiche arbitrarie.
Esempio 1. Cancellazione del disturbo d sull'uscita y S(s) = 0
C ll i d l di b ll' iNo!
Cancellazione del disturbo n sull'uscita y F(s) = 0 Esempio 2.
Inseguimento del riferimento y con y F(s) = 1 Inseguimento del riferimento ysp con y F(s) = 1
Cancellazione del disturbo sull'uscita F( ) 0No!
Sensitivit -- 8Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Cancellazione del disturbo n sull'uscita y F(s) = 0
Studio del sistema in retroazioneStudio del sistema in retroazione
Obiettivo: dedurre conclusioni sulle propriet statiche e dinamiche del sistema in retroazione dallo studio della funzione ad anello aperto L( ) R( )G( )L(s)=R(s)G(s)
Studio delle funzioni di sensitivit in relazione a L(s)Studio delle funzioni di sensitivit in relazione a L(s)
Metodo: Individuare propriet che la L(s) deve avere in modo che le funzioni di sensitivit del sistema chiuso in retroazione abbiano certe caratteristiche (sintesi del regolatore)
Approccio simile alluso dei criteri di Nyquist e Bode per lo t di d ll t bilit d i i t i hi i i t istudio della stabilit dei sistemi chiusi in retroazione
Sensitivit -- 9Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Stabilit e sistemi in retroazioneStabilit e sistemi in retroazione Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilit robusta del sistema in
retroazione dallo studio nel domino della frequenza della funzione ad anello apertop
Criterio di Bode(caso particolare del criterio di Nyquist)
Importanza del risultato:1. Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di L(s) si
deduce la stabilit o meno del sistema chiuso in retroazione F(s)deduce la stabilit o meno del sistema chiuso in retroazione F(s).
2. Possibilit di ottenere misure sulla robustezza della stabilit del sistema in retro a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli e delle fasi di L(s).
Sensitivit -- 10Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Margini di stabilitMargini di stabilit
Margine di ampiezzaMargine di ampiezza
0dBMMa
Margine di fase0
-90
Mf-180
Sensitivit -- 11Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Stabilit: Criterio di BodeStabilit: Criterio di Bode
Ipotesi L(s) non ha poli a parte reale positivaL(s) non ha poli a parte reale positiva
il criterio vale solo per sistemi stabili Il diagramma di Bode del modulo di L(j) attraversa Il diagramma di Bode del modulo di L(j) attraversa
una sola volta lasse a 0dB L( ) h d t ti 0 (L(0) 0) L(s) ha guadagno statico > 0 (L(0)>0)
Tesi condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica
stabilit del sistema in retroazione che il Margine di Fase di L(s) sia > 0
Sensitivit -- 12Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Stabilit e Diagrammi di BodeStabilit e Diagrammi di Bode Margine di fase e stabilit
margine di fasemargine di fase propriet del sistema in catena aperta
lo smorzamento della risposta del sistema chiuso in retroazione unitaria dipende dal margine di faseunitaria dipende dal margine di fase
se esiste almeno una frequenza se esiste almeno una frequenza 00 alla qualealla quale la fase -180 la fase -180 il guadagno maggiore di uno
il sistema chiuso in retroazione unitaria il sistema chiuso in retroazione unitaria instabile.
yG(s)R(s)
e u yysp
-
Sensitivit -- 13Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
= -180
Stabilit robustaStabilit robusta
Margine di ampiezza
0dB
Margine di ampiezzaMisura di robustezza della stabiliti etto d i e te e l d o Mrispetto ad incertezze sul guadagno
di anello.Rappresenta la massima variazione
MA
0
ppdel guadagno di anello che non pregiudica la stabilit
-90Margine di faseMi diMi di b t d ll t bilit
-180
Misura di Misura di robustezza della stabilitrispetto ad incertezze sulla fase della funzione d'anello.
MF
Rappresenta la massima variazioneRappresenta la massima variazionedi fase nell'anello che non di fase nell'anello che non
i di l t biliti di l t bilit vanno considerati entrambivanno considerati entrambi
Sensitivit -- 14Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
pregiudica la stabilitpregiudica la stabilit vanno considerati entrambivanno considerati entrambi
Relazioni tra rappresentazioni diverseRelazioni tra rappresentazioni diverse
Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione
margine di fasemargine di fase guadagno bassa frequenza guadagno bassa frequenza gg
basso adeguato
g g qg g q
bassoadeguato
1
alta banda passantebanda passantebassa
alte frequenzealte frequenze basse frequenzebasse frequenze t
alta pp
Sensitivit -- 15Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
qq qq
Funzione di sensitivit complementareFunzione di sensitivit complementare
Obiettivi contrastanti
Dinamica tra disturbo di misura ed errore di inseguimento/uscita
F(s) idealmente uguale a 0 per compensare in modo esatto ilg / compensare in modo esatto il disturbo di misura
Dinamica tra riferimento e uscita F(s) idealmente uguale a 1 per avere replica esatta del segnale
f
Sensitivit -- 16Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
di riferimento sulluscita
Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi poli/zerianalisi poli/zeri
Gli zeri di F(s) coincidono con gli zeri di L(s)Gli zeri di F(s) coincidono con gli zeri di L(s) I poli di F(s) dipendono in maniera complessa dai poli e dagli zeri di
L(s) (vedi luogo delle radici)( ) ( g )
Non si possono assegnare arbitrariamente gli zeri di p g gF(s) attraverso il progetto del regolatore. Infatti gli zeri della funzione di trasferimento tra riferimento e
it l' i di lli d l i t (fi ti)uscita sono l'unione di quelli del sistema (fissati) e quelli del regolatore (assegnabili)
Sensitivit -- 17Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Si assumer che la funzione di risposta armonica di anello L(j) abbiaSi assumer che la funzione di risposta armonica di anello L(j) abbia le caratteristiche di un passa basso: |L(j)| >> 1 a basse frequenze| (j )| q |L(j)|
Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Landamento approssimato di F(j) mette in evidenza chepp (j ) Il sistema in retroazione
approssima un filtro passa basso a guadagno unitario il suo comportamento si mantiene anche se il sistema in catena
aperta cambia le sue caratteristiche
possiede quindi poli dominanti nell'intorno di possiede quindi poli dominanti nell'intorno di c il numero dipende dalla pendenza della L(j) in = c
se la pendenza -1 avremo un solo polo dominante reale se la pendenza -1 avremo un solo polo dominante reale se la pendenza -2 avremo una coppia di poli dominanti
In questultimo caso lo smorzamento dipende dal margine di fase
Sensitivit -- 19Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
quest u t o caso o s o a e to d pe de da a g e d ase
Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi in frequenzaanalisi in frequenza
La relazione (approssimata) tra il margine di fase di L(j ) e lo smorzamento dei poli dominanti di F(j) pu essere ricavata con
li i i f tt d il f tt hsemplici passaggi sfruttando il fatto che
Dallipotesi che F(j) abbia una coppia di poli c.c. con pulsazione t l ffi i t di t hnaturale n=c e coefficiente di smorzamento segue che
Sensitivit -- 20Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Smorzamento del sistema in retroazione e margine di fase
Regola empirica:Se il margine di fase (sistema in catena aperta) < di 75 il
L' li i d ll f i di iti it l t i t di
sistema in retroazione avr poli complessi coniugati
L'analisi della funzione di sensitivit complementare ci consente di mettere in relazione propriet della funzione di trasferimento di anello (margine di fase e pulsazione di attraversamento) con la pulsazione naturale e lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione
Analisi in catena aperta Propriet del sistema in retroazione
Abbiamo stabilito un importantissimo legame tra
Sensitivit -- 21Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Analisi in catena aperta Propriet del sistema in retroazione
Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Esempio:
caratterizzata dai seguenti margini
50Bode Diagram
La funzione di sensitivit complementare risulta:
-50
0
nitu
de (d
B)
complementare risulta:
-150
-100Mag
n
0
caratterizzata da 3 poli con pulsazione naturale e
-90
0
ase
(deg
)
pulsazione naturale e coefficiente di smorzamento
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180Pha
Sensitivit -- 22Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Frequency (rad/sec)
Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Dallandamento approssimato di F(j) si ricava che Segnali di riferimento ysp (e disturbi n) a frequenze sotto la
pulsazione c (pulsazione di attraversamento di |L(j)| ) vengono fedelmente riprodotti in uscita a regime
Disturbi di misura n (e riferimenti y ) a frequenze sopra la Disturbi di misura n (e riferimenti ysp) a frequenze sopra la pulsazione c vengono fortemente attenuati in uscita
-
Sensitivit -- 23Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit del controllo Funzione di sensitivit del controllo analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Esempio
40Bode Diagram
0 8
1Linear Simulation Results
0
20
B)
0 2
0.4
0.6
0.8
-40
-20
Mag
nitu
de (d
B
-0.2
0
0.2
Am
plitu
de100
-80
-60
-0.8
-0.6
-0.4
10-1 100 101 102 103 104-100
Frequency (rad/sec)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-1
Time (sec)
Sensitivit -- 24Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit
La funzione di sensitivit rappresenta:La funzione di sensitivit rappresenta: La dinamica tra set-point e errore di inseguimento La dinamica tra disturbo sulluscita ed errore di inseguimento/uscitag
Obiettivo: tenere S(s) prossima a zero (errore di inseguimento basso)Problema:
Al fine di attenuare il disturbo di misura anche F(s) deve essere piccolaAl fine di attenuare il disturbo di misura anche F(s) deve essere piccola (disaccoppiamento frequenziale tra disturbi di misura e disturbi sulluscita)
Sensitivit -- 25Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Andamento approssimato di |S(j)|Andamento approssimato di |S(j)|
Filtro passa alto con pulsazione di taglio c
Sensitivit -- 26Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit analisi in frequenzaanalisi in frequenza
L'andamento approssimato di |S(j)| mette in evidenza che
Le componenti del riferimento e del disturbo sull'uscita a frequenze basse (sotto la pulsazione di attraversamento difrequenze basse (sotto la pulsazione di attraversamento c di L(j)) vengono attenuate sull'errore di una fattore pari a 1/|L(j)| (Adb = - |L(j)|db)
Le frequenze superiori a c non vengono invece alterate
Sensitivit -- 27Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Un segnale di riferimento conUn segnale di riferimento con una componente frequenziale viene inseguito con una precisione pari all'inverso del guadagno della funzione di risposta armonica dirisposta armonica dianello alla frequenza
-
Sensitivit -- 28Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Un disturbo sulluscita con unaUn disturbo sull uscita con una componente frequenziale viene attenuato in uscita di un ffattore pari all'inverso del guadagno della funzione di risposta armonica di anello allarisposta armonica di anello alla frequenza
-
Sensitivit -- 29Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Esempio
40Bode Diagram
0 8
1Linear Simulation Results
0
20
B) 0 2
0.4
0.6
0.8
60
-40
-20
Mag
nitu
de (d
-0 4
-0.2
0
0.2
Am
plitu
de
-100
-80
-60
-1
-0.8
-0.6
-0.4
10-1
100
101
102
103
104
100
Frequency (rad/sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101
Time (sec)
Sensitivit -- 30Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Altri esempi:
20
40Bode Diagram
80
100Bode Diagram
-20
0
(dB) 20
40
60
(dB)
80
-60
-40
Mag
nitu
de
-40
-20
0
Mag
nitu
de
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-120
-100
-80
10-2
10-1
100
101
102
-100
-80
-60
10 10 10 10 10 10Frequency (rad/sec)
10 10 10 10 10Frequency (rad/sec)
Sensitivit -- 31Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit e modello internoFunzione di sensitivit e modello interno
Le specifiche statiche sul sistema in retroazione possono essere imposte agendo sul modulo della L(j) a certe frequenze
Nel caso si volesse che un riferimento (disturbo sull'uscita) alla pulsazione venisse esattamente inseguito (compensato) a regime occorrerebbe che (ovvero che ooccorrerebbe che (ovvero che o equivalentemente ). Questo si ha se L(s) presenta una coppia di poli complessi coniugati a smorzamento nullo e pulsazione naturale
Coppia di poli puramente immaginari con
0
-
Sensitivit -- 32Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Modello internoModello interno
Principio del modello interno: Affinch un segnale di riferimento (disturbo sull'uscita) con una componente spettrale alla pulsazione i i it ( t li t ) i f tt t i it sia inseguito (neutralizzato) a regime perfettamente in uscita
necessario e sufficiente che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabileil sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile la funzione ad anello aperto L(s) abbia una coppia di poli
complessi coniugati sull'asse immaginario con pulsazione naturale p g g ppari a
Caso particolare:segnali di riferimento e disturbi sull'uscita costanti, i tt i ti d t tt l fcio caratterizzati da una componente spettrale a frequenza zero.
Condizione necessaria e sufficiente affinch un riferimento (disturboll' i ) i i i ( ) i isull'uscita) costante sia inseguito (compensato) esattamente a regime in
uscita che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile e che la funzione ad anello abbia almeno un polo nell'origineche la funzione ad anello abbia almeno un polo nell origine
Sensitivit -- 33Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit del controlloFunzione di sensitivit del controllo
La funzione di sensitivit del controllo rappresenta la relazione dinamica tra tutti gli ingressi di interesse e la variabile di controllo u(t)
Obiettivo progettuale: poich uno dei requisiti del sistema di controllo ll di t l f di t ll `` i l '' bb i bil quello di tenere lo sforzo di controllo ``piccolo'' sarebbe auspicabile che Q(s) fosse piccola
Seguendo un approccio frequenziale, sar auspicabile avere Q(j)piccola sia a frequenze basse (al fine di avere moderazione a fronte di p q (riferimenti e disturbi sull'uscita) che a frequenze elevate (al fine di avere moderazione del controllo a fronte di disturbi di misura)
Sensitivit -- 34Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit del controllo Funzione di sensitivit del controllo analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Andamento approssimato di |Q(j)|Andamento approssimato di |Q(j)|
Le componenti a frequenze basse, minori della pulsazione di attraversamento c di |L(j)| (frequenza alla quale |R(j)| interseca 1/|G(j)| ), sono filtrate dall'inversa di |G(j)|. Di conseguenza il fattore di attenuazione a frequenze basse non condizionabiledi attenuazione a frequenze basse non condizionabile attraverso il progetto del controllo.
Le componenti a frequenze elevate (maggiori della pulsazione di p q ( gg pattraversamento c di |L(j)|) sono filtrate da |R(j)|. Perci il fattore di attenuazione a frequenze elevate condizionabile attraverso il progetto del regolatore
Sensitivit -- 35Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
progetto del regolatore.
Funzione di sensitivit del controllo Funzione di sensitivit del controllo analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Andamento approssimato di |Q(j)|Andamento approssimato di |Q(j)|
Una buona regola da seguire, al fine di moderare lo sforzo di controllo evitare l'uso di regolatori chesforzo di controllo, evitare l uso di regolatori che amplificano a frequenze elevate, ovvero evitare di imporre frequenze di attraversamento c di |L(j)| molto pi alte rispetto a quella del sistema |G(j)|
Sensitivit -- 36Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
Funzione di sensitivit del controllo Funzione di sensitivit del controllo analisi in frequenzaanalisi in frequenza
Esempio
20
40Bode Diagram
20
40Bode Diagram
-40
-20
0
Mag
nitu
de (d
B)
-20
0
Mag
nitu
de (d
B)
-100
-80
-60
-80
-60
-40
M
10-1
100
101
102
103
104
-100
Frequency (rad/sec)10-1 100 101 102 103 104
80
Frequency (rad/sec)
35
40Step Response
10
12Step Response
15
20
25
30
Ampl
itude
4
6
8
mpl
itude
-5
0
5
10
A
-2
0
2
Am
Sensitivit -- 37Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-10
Time (sec)0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-4
Time (sec)
SISTEMI DI CONTROLLOIngegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo
http://www dii unimore it/~lbiagiotti/SistemiControllo htmlhttp://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/SistemiControllo.html
ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E FUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITA
FINEFINE
Ing. Luigi Biagiottie mail: luigi biagiotti@unimore ite-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti