ANALISI DELL’INCERTEZZA

ARGOMENTI TRATTATI

- CONCETTI E DEFINIZIONI DI TERMINI

METROLOGICI.

- DEFINIZIONE DI QUALITA’

METROLOGICHE.

- PROPAGAZIONE DELL’INCERTEZZA.

- CALCOLO DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE

E INCERTEZZA IMPLICITA.

ARGOMENTI TRATTATI

- FASI DI ANALISI DELL’INCERTEZZA.

- ANALISI DELL’INCERTEZZA

SECONDO LA GUIDA ISO.

- ANALISI CRITICA DEI DIVERSI TIPI DI

APPROCCIO ALLA VALUTAZIONE

DELL’INCERTEZZA.

CONCETTI E DEFINIZIONI DI TERMINI METROLOGICI

Le normative metrologiche internazionali non sono del tutto coerenti tra di loro:

i concetti della misura sono affrontati con diversi approcci logici ed esistono diverse scelte terminologiche.

Anche a livello nazionale esiste una certa incoerenza.

La norma UNI 4546 segue un approccio operativo in termini di segnale e di risposta.

Il VIM (Vocabolario Internazionale di Metrologia) è più legato all’approccio tradizionale in termini di valore vero e di errore.

Le definizioni che seguono sono basate prevalentemente sulla UNI 4546, con alcune integrazioni da VIM (U37.00.001.0), da ISO, da ANSI-ASME PTC-19.1.1985.

MISURA: informazione costituita da un numero, un’incertezza, con un grado di confidenza ed un’unità di misura, assegnati a rappresentare un parametro in un determinato stato del sistema:

MISURA = N +i [u.m.] (p%)

VIMERRORE: differenza fra il valore

(convenzionalmente) vero del misurando ed il valore misurato.

VIMINCERTEZZA: stima dell’errore

probabile. Definisce un’intervallo di valori entro il quale ci si aspetta che cada il valore (convenzionalmente) vero. Il grado di confidenza indica la bontà della stima.

VIMVALORE VERO DI UNA GRANDEZZA

valore che caratterizza una grandezza perfettamente definita, nelle condizioni esistenti quando la grandezza viene considerata.

VALORE VERO DI UNA GRANDEZZA

E’ un concetto ideale, in generale non conoscibile con esattezza.

Esempio di valore vero è la somma degli angoli interni di un poligono.

Effetti quantistici possono precludere del tutto l’esistenza di un valore vero.

DEFINIZIONE DI QUALITA’ METROLOGICHE

ERRORE CASUALE o di ERRORE CASUALE o di RIPETIBILITA’:RIPETIBILITA’: componente dell’errore che componente dell’errore che durante più misurazioni dello durante più misurazioni dello stesso misurando varia in modo stesso misurando varia in modo non prevedibilenon prevedibile..

RIPETIBILITA’

grado di concordanza tra i risultati di successive misurazioni dello stesso misurando condotta in modo da rispettare le seguenti condizioni:

RIPETIBILITA’

- stesso procedimento di misura,

- stesso osservatore,

- stesso strumento per misurazione,

- stesso luogo,

- stesse condizioni di utilizzazione,

- ripetizione entro un breve periodo di

tempo.

La RIPETIBILITA’ può essere espressa quantitativamente in termini di dispersione dei risultati.

VALORE DEL PARAMETRO

95%dell’area

68% dell’area

frequenza

RIPRODUCIBILITA’

grado di concordanza di misure dello stesso misurando;

cambiando nelle singole misurazioni, condizioni quali tempo, luogo, osservatore, procedura di misura.

Nella definizione di riproducibilità è necessario specificare le condizioni che possono variare.

RIFERIBILITA’

proprietà del risultato di una misurazione consistente nel poterlo riferire a campioni appropriati, nazionali o internazionali,

attraverso una catena ininterrotta di confronti.

ERRORE SISTEMATICO

componente sistematica dell’errore che, nel corso di più misurazioni dello stesso misurando, rimane costante o varia in modo prevedibile.

Uno strumento, o più in generale un metodo di misurazione può essere affetto da diversi errori sistematici che non sono sempre di facile valutazione.

Se l’errore sistematico è identificato e quantificato, una misura può essere corretta a posteriori.

Ad esempio,

se è nota la forza di compressione delle forcelle di un calibro che misura la dimensione di un corpo deformabile con caratteristiche meccaniche note,

la misura dimensionale può essere depurata dell’effetto di carico.

Esempio:

errori di ripetibilita’

ed errori sistematici. Radiodatazione della SINDONE

al carbonio 14 (C14), (1988).

Sono stati prelevati 3 campioni della Sindone di Torino e sono stati radiodatati in 3 diversi laboratori (Arizona, Oxford, Zurigo):

- l’età della Sindone è risultata essere

1325 d.C. .

L’analisi statistica dei risultati dei 3 laboratori ha permesso di valutare L’ERRORE DI RIPETIBILITA’L’ERRORE DI RIPETIBILITA’

al grado di confidenza del 95%:

- età della Sindone:

1325 +65 d.C.

La misura dell’età della Sindone è stata eseguita in modo clamorosamente inesatto perchè non sono stati valutati vari ERRORI SISTEMATICI tra cui i seguenti quattro:

a) aumento della percentuale di C14 per innalzamento della temperatura (Kouznetsov 1995) a causa dell’incendio del 1532:

-600 anni +200 anni;

b) aumento di C14 per carbo-ossidazione della cellulosa, presente nel lino della Sindone, (Kouznetsov 1995)

-200 anni +100 anni;

c) biofrazionamento nella pianta di lino degli isotopi di carbonio (Kouznetsov 1995):

-200 anni +100 anni;

d) significatività dei campioni prelevati da un bordo del lenzuolo e probabilmente soggetti a rammendi eseguiti in età medioevale

(la massa per unità di area dei campioni è circa doppia della massa media del lenzuolo):

-300+100 anni.

La radiodatazione al carbonio fornisce quindi un risultato poco significativo per l’età della Sindone:

1325 (-1300 +300) d.C.

Mediante correzione degli effetti sistematici si ha l’età:

25 +300 d.C. .

PROPAGAZIONE DELL’INCERTEZZA

Siano date una variabile misurata x e una variabile dipendente:

y = f (x)

Si suppone di misurare x un certo numero di volte, per stabilirne il valore medio e la ripetibilità ( t ), che dipende dal grado di confidenza stabilito.

In generale si adotta il grado di confidenza pari al 95%, a cui corrisponde un fattore di copertura t=2.

Si suppone quindi che solo una misura su 20 esca dal campo prefissato.

Il valore convenzionalmente vero di x sarà compreso entro l’intervallo +t, e quello di y cadrà entro l’intervallo +y, da calcolare.

Sviluppando in serie di Taylor, si ottiene:

y = f(x + t

y

f x t

x x

12 dx

d y

x

x

2

2 t 2.. .

dydx

Facendo un’approssimazione lineare di y, si ottiene:

y y f xyx

t

( )

il primo fattore a secondo membro è

detto INDICE DI SENSIBILITA’ , ed è una misura della sensibilità di y alle variazioni di x.

quindi l’incertezza vale:

x

ydydx

tx

L’incertezza iy di y dipende dall’incertezza ix di x, pari

a (t), secondo la relazione:

xx

Punto operativo

Banda d’errore y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Y

iy dy

dx

xx0

ix

Se il parametro q dipende da più variabili xi indipendenti:

q q i Pq' %

q f x x xL 1 1 2, , . . . . . ,

q f x x xL 1 1 2, , . . . . ,

La migliore stima del valore misurato q’ sarà:

dove il valore medio è ricavato da:

l’incertezza iq è ottenuta da:

i f i i iq x x xL 2 1 2

, , . . . ,

L’indice di sensibilità è definito:

i

i x xi

q

x

i

La stima più probabile di iq è data dalla

formula di Kline-McClintock

i iq xi

i

L

2

1i

Determinazione delle

cifre significative

e incertezza implicita

Quando si deve scrivere il risultato di una misurazione, sorge spesso il problema del numero di cifre da utilizzare per esprimerlo correttamente.

Se si utilizza un calcolatore per elaborare le misure, questo fornisce il risultato con decine di cifre che ovviamente sono eccessive per esprimere una grandezza misurata per esempio con un'incertezza dell1%.

E' necessario quindi un arrotondamento che è strettamente correlato all'incertezza assegnata al risultato.

Si considerino le cifre significative (c.s.) di un risultato.

Una c.s. è un numero:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

lo 0 è una c.s. se non viene usato per fissare la posizione della virgola decimale o per riempire il posto di cifre non significative.

Ad esempio:

il numero 0,0000452 ha 3 c.s.,

il numero 1.300.000 ha 2 c.s.,

il numero 4,30 ha 3 c.s.

La notazione:

1.300.000

può essere ambigua, in quanto gli zeri potrebbero essere significativi;

conviene esprimere il numero mediante la notazione scientifica come:

1,3x106

oppure, se dotato di 3 c.s. come 1,30x106

Regola di arrotondamento:

"Per arrotondare un numero di n c.s., scartare tutte le cifre alla destra

dell'n-esimo posto.

Se la cifra scartata è più della metà dell'unità all'n-esima posizione, aumentare l'n-esima cifra di 1, altrimenti lasciarla immutata."

Esistono misure aventi incertezza epressa in forma implicita.

In tale caso l’incertezza corrisponda

a + 5 volte il valore del decimale successivo all’ultima la cifra significativa.

Per esempio il risultato 3,24 m può indicare implicitamente un’incertezza pari a + 0,005 m.

Fasi di analisi dell’incertezza

L’analisi dell’incertezza evolve in parallelo all’analisi del processo della misurazione.

Fasi di analisi dell’incertezza:

1) fase di modellizzazione del sistema.

2) fase di progetto: analisi degli strumenti prima della misurazione.

3) fase avanzata e di valutazione della misurazione singola.

4) fase di misurazioni multiple e di valutazione di misure indirette, ( su un campione statistico di dati dello stesso parametro).

1) fase di modellizzazione del sistema.

Si valutano le incertezze di modello del misurando dovute all’incompletezza e all’imprecisione del modello rappresentativo del sistema.

Esempio 1: ipotesi di comportamento lineare di un materiale che in realtà ha un comportamento elastoplastico.

Esempio 2: ipotesi di descrizione di sensori di temperatura con modelli a costanti concentrate.

Fase di modellizzazione

Esempio: modello di mensola a sezione variabile per la determi- nazione della prima frequenza naturale. Incertezza >5% con sezione costante e massa concentrata all’estremità.

EJ3

l3

A

A

2) fase di progetto

analisi degli strumenti compiuta prima della misurazione.

Si valutano le incertezze correlate alla taratura degli strumenti componenti la catena di misura.

Esempio : non linearità della risposta di un dinamometro, risultante dalla taratura.

Fase di progetto

Non si distinguono gli errori sistematici e di ripetibilità.

errore stru-mentale ic

errore dirisoluzione i0

incertezzanella faseprogetto ip

i p = i io2

c2

3) fase avanzata e di misurazione singola.

Si valutano le incertezze di acquisizione dati connesse con la procedura di misura.

Fase avanzata Ogni successiva indagine introduce un nuovo elemento di incertezza ii.

i i im c ii

N

2 2

0

1

errore stru-

mentale ic

errore di

risoluzione io

incertezza nella misura singola ip

errore n°1 nella fase operativa i

errore n° inella fase operativa i

errore stru-mentale ic

4a) fase di misurazione multipla

dopo che è stato ottenuto un campione statistico di dati dello stesso parametro.

Si valutano le incertezze relative alla riduzione dei dati quando si deve stimare il valore di un parametro ottenuto da un insieme di misurazioni in condizioni operative prefissate.

4a) fase di misura multipla

Esempio: assumendo che sia significativo solo l’errore di ripetibilità durante la misurazione di una forza, si eseguono 150 misure e si valuta l’incertezza di ripetibilità R mediante il calcolo della deviazione standard S dalla media degli N campioni:

RS

N

S

0 5 0 5150, ,

fase di misura multipla

Il procedimento consiste nell’identificazione delle componenti di errore appartenenti a ciascuno dei 3 gruppi:

1) taratura;

2) acquisizione dati;

3) riduzione dati;

e nella successiva stima degli errori sistematici e di ripetibilità .

fase di misura multipla

in ognuno dei 3 gruppi la misura è soggetta ad errori sistematici e di ripetibilità.

e2j = R

2j + A

2j

2) acquisizionedati: i21 i22 .....

3) riduzionedati: i31 i32 .....

e3j = R

3j +A

3j

1) taratura: i11 i12 ......

e1j = R1j

+A1j

fase di misura multipla

Si ottiene l’indice di ripetibilità di gruppo Ri e l’indice di ripetibilità R:

R R R R 1

2

2

2

3

2

R R R Ri i i ik 12

22 2. . .

Si ottiene l’indice sistematico di gruppo Ai e l’indice sistematico A:

L’incertezza di misura ix del parametro x è :

i A tRx 2 2

A A A Ai i i ik 12

22 2. . . A A A A 1

2

2

2

3

2

4b) fase di misura multipla:

valutazione di parametri mediante esecuzione di misure indirette.

L’incertezza del parametro misurato indirettamente dipende dalla combinazione delle incertezze relative ai singoli parametri diretti pesati tramite i coefficienti di sensibilità.

fase di misura multipla

ESEMPIO: valutazione della forza attraverso la misura della massa e dell’accelerazione:

F=MA

Misurato M+iM ,(P%) e A+iA, (P%), si ottiene:

A = M; M =A

quindi:

F = (MA) + [ (A iM )2 + (M iA )2 ]0,5 , [N], (P%)

4b) fase di misura multipla La misura indiretta q sia legata alle misure dirette xi tramite la relazione q=f(xi).

La formula della propagazione fornisce l’indice di ripetibilità Rq e l’indice sistematico Aq:

Si combinano infine gli indici per ottenere la stima dell’incertezza della misura q:

R R A Aq i xii

L

q i xii

L

2

1

2

1

i A tRq q q 22

INCERTEZZA SECONDO LA GUIDA ISO.

L’incertezza di misura è definita come il parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori attribuibili al misurando.

Il risultato di una misurazione, corretto per gli effetti sistematici identificati, è una stima del valore del misurando, a causa degli effetti aleatori e della non perfetta correzione del risultato per gli effetti sistematici.

Possibili fonti di incertezza sono:

- la definizione incompleta del misurando;

- la non rappresentatività del campione;

- l’inadeguata conoscenza degli effetti delle condizioni ambientali sulla misura;

- l’errore sistematico dell’operatore nella lettura di strumenti analogici;

- la risoluzione o la soglia di strumenti

- valori non esatti di costanti e parametri ottenuti da fonti esterne;

- approssimazioni ed ipotesi inerenti al metodo e al procedimento sperimentali;

- variazioni del misurando ripetute in condizioni apparentemente identiche.

Si raggruppano le componenti dell’incertezza in due categorie “A” e “B”, a seconda del metodo di valutazione; queste categorie non sostituiscono i termini “aleatorio” e “sistematico”.

Entrambi i tipi di valutazione sono basati su distribuzioni di probabilità quantificate mediante varianze o scarti tipo.

Un’incertezza tipo di categoria A (lo scarto tipo stimato u, è anche chiamato incertezza tipo) è ottenuta da una funzione densità di probabilità derivata da una distribuzione di frequenza osservata.

Un’incertezza tipo di categoria B è ottenuta da una funzione densità di probabilità ipotizzata sulla base del grado di fiducia nel verificarsi di un evento (probabilità soggettiva).

Incertezza tipo, categoria A:

la migliore stima di una grandezza aleatoria q è la media:

La varianza sperimentale delle

osservazioni é:

qn

qkk

n

1

1

s qn

q qk kk

n2 2

1

1

1

Incertezza tipo, categoria A.

La varianza della media è:

s q

s q

nk2

2

La migliore stima dello scarto tipo, radice quadrata positiva della varianza, può essere adottato come misura dell’incertezza della grandezza q.

Deve essere anche dichiarato il numero di gradi di libertà (pari a n-1 se n sono i campioni).

Incertezza tipo, categoria B.

La varianza stimata o l’incertezza tipo sono valutate per mezzo di “un giudizio scientifico” basato sulle informazioni disponibili quali:

- esperienza o conoscenza generale del sistema;

- specifiche tecniche del costruttore;

- dati forniti da certificati di taratura;

- incertezze di valori di riferimento ottenute da manuali.

ANALISI CRITICA DEI DIVERSI TIPI DI APPROCCIO DI

VALUTAZIONE DELL’INCERTEZZA.

La Guida ISO, ha l’ambizione di proporsi come pietra miliare nel dibattito sul tema dell’incertezza.

Il metodo per la valutazione dell’incertezza adottato dai paesi anglo-sassoni è attualmente più pratico e di più semplice applicazione nel trattamento dei dati.

Il metodo di valutazione dell’incertezza della Guida appare criticabile sotto qualche aspetto.

La Guida tratta l’incertezza dal punto di vista statistico, ma il valore di una costante nota in maniera imperfetta non è una variabile aleatoria e dunque non è possibile descrivere l’incertezza mediante uno scarto tipo senza tenere conto della componente sistematica.

La scelta dell’impostazione statistica deriva dal fatto tale impostazione permette di trattare più agevolmente gli insiemi confusi (che derivano dalla combinazione di parametri con incertezza).

L’impostazione anglo-sassone distingue in modo rigido gli errori di ripetibilità da quelli sistematici (bias), sostenendone la differente natura e la necessità di un diverso tipo di trattamento matematico-statistico.

Vengono poi suggerite ulteriori classificazioni che rendono più agevole la valutazione pratica dell’incertezza totale.

La Guida ISO nega l'esistenza di differenze nella natura delle incertezze (ritiene inutile la distinzione tra errori aleatori e sistematici) e sostiene una classificazione basata sui metodi usati per valutarla.

Matematicamente quindi gli errori aleatori e sistematici hanno la stessa rappresentazione (uno scarto tipo);

La Guida valuta direttamente l’incertezza tipo di ogni elemento di categoria A o B, in funzione del numero di elementi

Essa combina poi direttamente incertezze tipo derivanti da valutazioni effettuate su campioni caratterizzati da diversi gradi di libertà.

L’impostazione anglo-sassone invece mantiene distinte le caratteristiche statistiche dei diversi campioni;

essa combina soltanto alla fine le diverse componenti di errore, ciascuna caratterizzata dal proprio numero di gradi di libertà (attraverso la relazione di Welch-Satterwaite).

Lo sperimentatore spesso si trova in difficoltà a valutare le incertezze di categoria B.

Da un punto di vista applicativo l’impostazione anglo-sassone appare più dettagliata (procedimento tipo passo-a-passo) è più adatta per compiere una valutazione dell'incertezza a livello di laboratorio.

La Guida ISO utilizza un mezzo teoricamente più accurato, l’analisi statistica per qualsiasi tipo di incertezza, ma ancora poco maneggevole dal punto di vista pratico.

L’impostazione anglo-sassone fornisce uno strumento più rivolto alla pratica.

Incertezza tipo combinata

a) Grandezze non correlate.

L’incertezza tipo del risultato di una misurazione indiretta, è denominata incertezza tipo combinata, indicata con uc; essa è lo scarto tipo stimato secondo la relazione:

u yfx

u xc

i

ii

N

2

2

1

Incertezza tipo combinata

a) Grandezze non correlate.

i coefficienti di sensibilità possono essere determinati sperimentalmente misurando la variazione del risultato Y in seguito ad una determinata variazione di una variabile di

ingresso Xi .

Incertezza tipo combinata

b) Grandezze correlate.

L’incertezza tipo del risultato di una misurazione indiretta si ottiene dalla relazione:

u yf

x

f

xu x xc

ij

N

i

N

ji j

2

11

,

f

xu x

f

x

f

xu x u x r x x

ii

N

iij i

N

i

N

ji j i j

2

1

2

11

12 ,

Incertezza tipo combinata

b) Grandezze correlate.

La covarianza stimata u(xi ,yi) è legata alle incertezze di xi e yi tramite il coefficiente di correlazione r(xi ,yi):

r x xu x x

u x u xi j

i j

i j

,,

Incertezza estesa.

Si ricava un’incertezza estesa U, moltiplicando l’incertezza tipo combinata uc con un fattore di copertura k >1 (2-3).

U ku yc

Incertezza estesa.

La scelta di k, il cui valore è solitamente compreso tra 2 e 3, è determinata dal livello di confidenza richiesto dall’intervallo.

Si ha k=1 con grado di confidenza del 68,3%;

Si ha k=2 con grado di confidenza del 95,5%;

Si ha k=3 con grado di confidenza del 99,7%.

Nell’ipotesi che la distribuzione sia gaussiana.

- questo significa rinunciare a una concezione frequentistica della probabilità, in base alla quale si può associare una probabilità solo ad eventi che si possono ripetere numerose volte;

gli errori aleatori possono essere descritti da distribuzioni di probabilità, ma quelli sistematici dovrebbero essere caratterizzati diversamente (per esempio mediante l’errore massimo).