1 L'ANALISI DIMENSIONALE

1.1. L’ANALISI DIMENSIONALE ED I VANTAGGI DEL SUO USO NELLA SCELTA E NELLA GESTIONE DELLE TURBOMACCHINE

L’analisi dimensionale è un procedimento operativo che permette di raggruppare le variabili che compaiono in una relazione che descrive analiticamente un fenomeno fisico, in maniera da ottenere un numero minore di gruppi adimensionali, ciascuno contenente due o più variabili, caratterizzati dal presentare tutte le variabili almeno una volta e dall'essere legati da una relazione analitica atta a descrivere anch'essa, compiutamente, quel fenomeno fisico. In pratica, se la relazione:

f (x1, x2 , x3 ........., xn) = 0 (1) collega le n variabili che hanno influenza su di un fenomeno fisico, l'analisi dimensionale consente di ricavare una relazione del tipo:

g (π1 ,π2 ……..,πn-k) = 0 (2) tra (n-k) variabili adimensionali, cioè tali che ciascuna può essere espressa come:

dove a1, a2, ….an possono assumere il valore di un qualunque numero razionale non necessariamente diverso da zero; la relazione (2) ricavata descrive compiutamente il fenomeno fisico allo studio. La reale possibilità del procedimento descritto è offerta dal teorema del π o teorema di Buckingham, il quale parimenti fissa il valore di k, ovvero quello del minimo numero possibile di grandezze adimensionali (n-k) necessarie per la completa descrizione dello specifico problema in esame: k può al massimo eguagliare il numero delle dimensioni fondamentali che vale tre per i problemi che qui interessano. I vantaggi connessi all'uso dell'analisi dimensionale sono evidenti, particolarmente nello studio delle turbomacchine, in cui il numero delle variabili, geometriche, cinematiche e dinamiche e la variazione delle caratteristiche del fluido durante l'efflusso, può essere molto elevato. Dal punto di vista della rappresentazione dei risultati di un’indagine sperimentale essa permette di ridurre il numero dei grafici necessari, perché riduce il numero delle variabili. Dal punto di vista operativo, essa consente di isolare gli effetti sul fenomeno della variazione di una sola delle variabili fisiche. Infatti, una variazione dell’andamento del fenomeno dovuta alla variazione di uno solo dei parametri fisici da cui dipende può sempre essere simulata con la variazione di uno o più di uno degli altri parametri, il che permette un’agevole sperimentazione per lo studio dell'influenza, sul fenomeno, di parametri la cui grandezza non é facile far variare. Inoltre è sempre possibile compensare la variazione del valore di una variabile fisica in tutti i gruppi in cui essa compare, con la variazione del valore di altre variabili, in modo da mantenere costanti i valori dei gruppi adimensionali interessati e quindi inalterato l'andamento del fenomeno. Per l'applicazione dei concetti esposti ad un problema concreto resta da chiarire il modo con cui è possibile individuare le variabili fisiche che sul problema hanno influenza ed i gruppi adimensionali che con esse possono formarsi.

1.2. L’INDIVIDUAZIONE DELLE VARIABILI E LA DEDUZIONE DEI GRUPPI ADIMENSIONALI

Non é possibile fornire una metodologia generalmente valida per l’individuazione delle

variabili fisiche che influenzano l'andamento di un fenomeno; é possibile tutt'al più raggruppare, nell'analisi sperimentale, variabili fisiche di tipo diverso, come quelle geometriche, cinematiche e dinamiche, distinguendo in queste ultime quelle tipiche del fluido da quelle meccaniche.

000an

a2

a1i TMLx.......xx= n21 =⋅⋅⋅π

Nel seguito sarà mostrato come l'analisi dimensionale riesce a fornire un aiuto anche per questo problema. Gli (n-k) gruppi adimensionali indicati genericamente dal teorema del π non sono stati individualmente definiti ma possono essere comunque ricavati o scelti in un numero elevato di gruppi, potendo tra essi comparire anche le loro combinazioni. Si riporta qui di seguito un procedimento molto semplice con il quale è possibile agevolmente pervenire alla formulazione di un primo insieme essenziale di gruppi. Per un problema governato da un numero n di variabili fisiche, è possibile selezionarne arbitrariamente un numero pari a k ed accoppiare ad esse ciascuna delle (n-k) variabili restanti, costituendo così (n-k) gruppi. E' ben chiaro che, operando in tal modo, il numero totale di gruppi ricavabili vale quanto le combinazioni di n elementi a k+1 volte, cioè: (3) ovvero, per n = 5, 6, 7...i gruppi possibili diventano rispettivamente 5, 15, 35..... mentre quelli strettamente necessari sono a loro volta 2, 3, 4..... Se ne deduce che resta alla sensibilità ed all'intelligenza dello sperimentatore la selezione dei gruppi da adottare per lo specifico problema. A titolo esemplificativo si consideri il caso di un problema governato da sei variabili fisiche, per il quale la (1) diventa:

f ( x1 , x2 , x3 ........., x6 ) = 0

I gruppi adimensionali da ricavare sono quindi (n-k) = 6 – 3 = 3, tre essendo il valore di k, ovvero il numero delle dimensioni fondamentali L, M e T. Selezionando opportunamente tre delle variabili fisiche ed accoppiandole a turno con le tre restanti, è possibile ricavare i tre gruppi desiderati:

000c6

c3

c2

c13

000b5

b3

b2

b12

000a4

a3

a2

a11

TMLxxxx

TMLxxxx

TMLxxxx

4321

4321

4321

=⋅⋅⋅=π

=⋅⋅⋅=π

=⋅⋅⋅=π

Conviene a questo punto elevare ogni gruppo ad una potenza pari al reciproco dell'esponente di ciascuna delle tre variabili aggiunte (x4, x5 ed x6 nell’esempio), onde ridurre il numero delle incognite, costituite appunto dagli esponenti delle variabili. Per ogni gruppo è possibile scrivere tre equazioni in tre incognite e ricavare così gli esponenti cercati. Come pratica applicazione di quanto esposto può essere riesaminato il fenomeno dell'efflusso di un fluido attraverso una tubazione. Dall'osservazione del fenomeno è possibile, ad una prima analisi, individuare alcuni dei parametri fisici da cui il fenomeno dipende. Tra i parametri geometrici sono senz'altro da selezionare la lunghezza L ed il diametro D del tubo, la velocità c tra i parametri cinematici e, tra i parametri dinamici, la densità ρ e la viscosità µ del fluido e la differenza di pressione ∆p tra monte e valle del tubo. La relazione che governa il fenomeno dovrebbe essere pertanto:

f (D, L, c, ρ, µ, ∆p ) = 0 Per quanto si è detto, il fenomeno deve essere governato anche da una relazione del tipo:

ϕ ( π1, π2, π3 ) = 0 in cui le variabili sono dei gruppi adimensionali, costruiti in modo tale che in essi ciascun parametro fisico compaia almeno una volta. Per passare alla loro definizione, occorre selezionare tre parametri fisici tra i sei disponibili.

( ) ( )!1!1!

1 −−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ knkn

kn

E' bene, a questo punto, far notare che la procedura illustrata non è in grado di fornire indicazioni in merito a tale scelta e pertanto non resterebbe che ripetere il procedimento, che segue, fino ad individuare tutti i 15 gruppi ricavabili con esso, pur osservando che ancora altri gruppi adimensionali possono ricavarsi dalle loro combinazioni. Solo la sperimentazione consente di scegliere, tra tutti i gruppi possibili, i tre più adatti alla migliore utilizzazione. Dalla sperimentazione sul problema in esame, sul quale si dispone una gran mole di dati, l'esperienza consiglia di scegliere i parametri D, c e ρ, ed a questi accoppiare successivamente i tre restanti parametri. Si ottengono così i tre gruppi adimensionali:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ].TLMTMLMLLTL

TLMLMLLTL

TLMTMLMLLTL

00011c3b1a

000c3b1a

00021c3b1a

333

222

111

=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

−−−−

−−

−−−−

Con riferimento al primo di essi, è possibile scrivere le seguenti tre relazioni tra gli esponenti delle tre grandezze fondamentali:

c 1 0a b 3c 1 0

b 2 0.

1

1 1 1

1

+ =+ − − =

− − =

La soluzione del sistema delle tre equazioni, nelle tre incognite costituite dai tre esponenti da assegnare ai parametri per ottenere l'adimensionalità del gruppo, fornisce, per questo, l'espressione ∆p/ρc2. Per gli altri due gruppi il procedimento è analogo, ottenendo per essi le espressioni L/D e ρcD/µ. E' da notare che il gruppo adimensionale ∆p/ρc2 é un gruppo che compare molto spesso nei problemi di moto dei fluidi e rappresenta il rapporto tra l'energia di pressione per unità di massa ∆p/ρ e l'energia cinetica per unità di massa, proporzionale a c2; il gruppo L/D esprime una similitudine geometrica che dimostra come la forma, e non le reali singole dimensioni geometriche, é un fattore di controllo del fenomeno; esso avrebbe potuto immediatamente ricavarsi come rapporto tra due delle variabili fisiche influenti sul fenomeno che presentano le stesse dimensioni; il gruppo ρcD/µ rappresenta il ben noto numero di Reynolds ed esprime l'importanza delle forze di attrito, viscose, rispetto a quelle di inerzia. In definitiva, l'espressione cercata collega i tre gruppi trovati nella relazione:

ϕ ( ∆p/ρc2, L/D, ρcD/µ) = 0

Ancora una volta, giunti a questo punto, il supporto della procedura viene meno ed il legame reale tra i tre gruppi è da ricercarsi con la sperimentazione. Ora, un legame tra tutte le variabili fisiche influenti sul fenomeno è stato ricavato sperimentalmente ed è espresso dalla relazione:

2DLp

2cf ρ=∆

in cui f, il coefficiente di attrito, è esprimibile in funzione del numero di Reynolds. In termini adimensionali, la relazione esprime la proporzionalità tra i gruppi adimensionali ∆p/ρc2 e L/D, ma, poiché la costante f di proporzionalità varia a sua volta con il numero di Reynolds, sono state necessarie quelle ulteriori sperimentazioni che sono bene illustrate dal noto abaco di Moody, che si riporta in fig.1. In questo si può notare come ancora l'analisi dimensionale continua a fornire un valido aiuto: quando la sperimentazione porta a dei risultati non univoci è implicitamente segnalata l’inadeguatezza delle variabili scelte per la descrizione del fenomeno. Nel caso specifico, illustrato

dall'abaco, all’univocità dei valori del coefficiente di attrito in corrispondenza dei bassi valori del Reynolds (moto laminare) corrisponde uno sparpagliamento dei valori del coefficiente di attrito agli alti valori del numero di Reynolds. In tal modo il metodo segnala la carenza del numero dei parametri di controllo in tale zona, e quindi la necessità di un ulteriore gruppo adimensionale razionalizzante. E’ ben nota l'influenza della scabrezza delle pareti del condotto ε, così chiamata in causa, e come l'introduzione di un nuovo gruppo adimensionale, ε/D, la scabrezza relativa, ripristini, anche nel campo degli alti Reynolds, la corrispondenza univoca dei risultati. E' vero anche il contrario: l'ininfluenza di un parametro fisico e quindi di un gruppo adimensionale sovrabbondante è prontamente denunciata da una sperimentazione i cui risultati sono riportati inseriti nelle espressioni dei gruppi.

II-1

f

1.3. L'APPLICAZIONE ALLE MACCHINE DINAMICHE

E' possibile ora passare all'applicazione dei concetti dell'analisi dimensionale al campo delle turbomacchine, beninteso nell'ottica precisata in premessa, ovvero ai fini della loro corretta selezione e gestione, con lo studio delle loro caratteristiche operative. E' pertanto in tale luce che verrà effettuata la scelta delle variabili di funzionamento. Ci si riferirà particolarmente al caso delle turbomacchine operatrici, anche se il discorso comprende indifferentemente anche le turbomacchine motrici, e, tra queste, converrà distinguere il caso in cui il fluido evolvente è compressibile da quello in cui si tratta di un fluido incompressibile. 1.3.1. MACCHINE A FLUIDO INCOMPRESSIBILE Sarà opportuno selezionare una dimensione geometrica, d, una grandezza cinematica, n, alcuni parametri caratteristici del fluido evolvente, ad esempio la densità ρ e la viscosità µ, nonché alcune variabili operative quali la portata volumetrica Q e la prevalenza H. Per quanto detto in precedenza, la relazione tra le sei variabili fisiche selezionate:

f (d, n, ρ, µ, Q, H) = 0 può essere sostituita, nello studio del funzionamento di una turbooperatrice a fluido, da una relazione tra tre grandezze adimensionali. Secondo la procedura consigliata nel paragrafo precedente, è possibile isolare le variabili che più interessano nello studio che ci si propone, ottenendo, per i tre gruppi, le espressioni:

Π1 =Q

nd 3 ; Π 2 =H

n d2 2 ; Π 3 =µ

ρnd 2 .

Osservando con maggiore attenzione i gruppi, é possibile notare che tra essi non compare il gruppo relativo alla forma, rapporto tra due dimensioni geometriche, perché é stato selezionato un sol parametro dimensionale in relazione all'obiettivo che ci si è posto che é lo studio del comportamento di una sola macchina. Il primo gruppo, Q/nd3, rappresenta un’adimensionalizzazione della portata; se con u si indica la generica velocità di trascinamento della girante e se con c si indica una velocità del fluido, il gruppo esprime anche il valore del rapporto c/u. Tale gruppo, molto usato nei problemi di flusso attraverso turbomacchine, prende anche il nome di coefficiente di portata e viene indicato con il simbolo:

ϕ = = =Q

ndcdud

cu3

2

2 .

Il gruppo H/n2d2 adimensionalizza la prevalenza, che è un’energia per unità di massa, così come il prodotto n2d2 ; esso, ricordando che H = ∆p/ρ , può anche presentarsi nella forma ∆p/ρc2 , nella quale lo si è già incontrato. Anch'esso è molto utilizzato nello studio delle turbomacchine con il nome di coefficiente di pressione e viene indicato, raddoppiato, con il simbolo ψ:

ψρ

= =2H

n dp

12

c2 2

2

∆.

Anche la potenza P è un parametro di rilevante importanza nello studio del problema in esame, ma non si è ritenuto utile annoverarla tra i parametri selezionati perché facilmente deducibile da essi. Infatti, per una certa condizione:

P =QHρη

Il gruppo C/ρn4d5 esprime la coppia adimensionalizzata, così come P/ρn3d5 esprime la potenza adimensionalizzata, parametri entrambi molto importanti nell'esercizio di una macchina. 1.3.2. MACCHINE A FLUIDO COMPRESSIBILE Sempre nella stessa ottica, occorre ora ricercare una relazione che leghi tra loro i vari parametri determinanti nello studio del funzionamento di questo tipo di macchine. Occorre però tener presente che tale ricerca è fondamentale per l'esposizione delle caratteristiche di una macchina a causa della sensibilità di questa alle condizioni all'ingresso che comparendo nei gruppi, possono essere disattivate ed all’inconsistenza dell'uso della portata volumetrica in una macchina a fluido compressibile. Si selezionerà pertanto ancora una dimensione geometrica, d, perché anche ora interessa la sola grandezza della macchina e non la forma dei suoi organi interni, implicitamente estendendo i risultati ottenuti a tutte le macchine geometricamente simili; una grandezza cinematica, quale il numero di giri nell'unità di tempo n; alcune grandezze dinamiche relative al fluido evolvente, quali la densità ρ e la viscosità µ; ed infine delle grandezze operative, quali la portata massica, ed i valori della pressione all'aspirazione p1 ed alla mandata p2 della macchina. Del pari importanti sembrano essere la temperatura del fluido e la sua elasticità, ma si preferisce continuare prescindendone, dimostrando successivamente che i numeri adimensionali dedotti contengono implicitamente tali parametri. Ed allora, anche in questo caso, l'analisi dimensionale permette di affermare che la relazione:

f (d, n, ρ, µ, m.

, p1, p2) può essere vantaggiosamente sostituita da una relazione tra quattro gruppi adimensionali, il primo dei quali può subito dedursi con il rapporto dei due parametri delle stesse dimensioni:

Π1 = β =pp

2

1.

Il rapporto di compressione così ritrovato è agevolmente collegabile alla prevalenza della macchina, mentre nei gruppi successivi occorre rendere adimensionali gli altri due parametri operativi, cioè la portata massica e la velocità di rotazione. Senza applicare pedissequamente il procedimento illustrato per la ricerca dei quattro gruppi adimensionali, è possibile, selezionando i

parametri d, ρ, p ed m.

, scrivere:

[ ]d r p m M L Ta b c.

0 0 0⋅ ⋅ ⋅ = , da cui può ricavarsi il gruppo:

Π2 =m

d p21

12

.

ρ1

12

.

In esso può sostituirsi l'espressione della densità dedotta dall'equazione di stato:

ρ =p

RT

dove R, costante caratteristica dei gas, è data da :

( )R =ℜm

in cui ℜ è la costante universale ed (m) il peso molecolare del gas. Si introduce così il parametro temperatura e si perviene all'espressione del secondo gruppo adimensionale cercato:

Π2 =m RT

d p

.

12

1

.

Selezionando invece i parametri d, ρ, p ed n, è possibile scrivere:

[ ]d p n M L Ta1b

1c 0 0 0⋅ ⋅ ⋅ =ρ

da cui può ricavarsi il gruppo:

Π3 =dn

p

ρ12

12

.

Allo stesso modo del gruppo precedente, in esso può sostituirsi l'espressione della densità dedotta dall'equazione di stato, così pervenendo al terzo gruppo adimensionale cercato:

Π3 =dnRT1

.

Il quarto gruppo adimensionale non può che essere il numero di Reynolds, nella forma:

Π4 =md

.

µ

In definitiva, l'espressione cercata può scriversi nella forma:

ϕ βµ

, , ,.

m RTd p

dnRT

md

.

12

1 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = 0 .

I suoi termini però, nel caso essa venga utilizzata per lo studio delle caratteristiche di una data macchina elaborante sempre lo stesso fluido, possono essere ulteriormente semplificati perché in tal caso le grandezze d ed R si mantengono sempre costanti, ottenendosi, per la portata massica e per la velocità di rotazione adimensionalizzate, le espressioni:

m Tp

.

1

1,

nT1

che, a rigore, adimensionalizzate non sono, a meno di non tenere sempre presente che la semplificazione apportata fa riferimento a grandezze numeriche e non dimensionali. Non resta che osservare che il gruppo adimensionale riferito alla portata massica non è altro che il numero di Mach, confermando l'inutilità di considerare, tra i parametri iniziali, l'elasticità del fluido. Infatti, ricordando che:

m cd cdp

RT.

2 2= =ρ

sarà:

Π2 =m RT

d p

.

12

1

=cd

pRT

RT

d p

2 1

11

21

=c

RT1

=M

essendo: vs = RT1 ed: M =c / vs , con c velocità del suono. Per completezza, si ricorda che la potenza adimensionalizzata si esprime come prodotto della portata massica adimensionalizzata per il carico adimensionalizzato, cioè:

m RTd p

Hn d

m RTd p

HRT

Pd p RT

.

12

12 2

.

12

1 12

1 1

⋅ = ⋅ = ;

e la coppia adimensionalizzata come rapporto tra la potenza ed il numero di giri adimensionalizzati, cioè:

Pd p RT

RTnd

Cd p2

1 1

13

1

⋅ = .

1.4. LA SIMILITUDINE ED ALCUNE SUE APPLICAZIONI

1.4.1.LA SIMILITUDINE

Il concetto di similitudine è insito nello stesso enunciato del teorema del π. Infatti, per una data macchina, mantenere inalterati tutti i valori dei parametri fisici da cui dipende l'andamento di un fenomeno sotto osservazione significa semplicemente ritrovare quel punto di funzionamento, mentre mantenere inalterati i valori dei gruppi adimensionali significa operare in diversi punti di funzionamento, caratterizzati da diversi valori dei parametri fisici, ma in cui si mantiene inalterato l'andamento del flusso, ovvero simili i triangoli di velocità ed inalterato il valore del rendimento della trasformazione energetica. Se tutti i valori dei gruppi adimensionali restano inalterati, il fenomeno si ripete in perfetta similitudine. E' chiaro che la macchina deve essere descritta nei dettagli dal punto di vista geometrico, ma resta fondamentale lo scopo dello studio: se si desidera studiare il comportamento di una macchina ben individuata basta, come si è visto, selezionare una sola variabile geometrica o dimensione. Le caratteristiche Q, H di una turbooperatrice per diversi valori di n, fig. 2, si trasformano quando vengono riportate in termini adimensionali, ad esempio sul piano (Π1, Π2) esse si riducono alla curva della fig. 3, unica per qualunque velocità, in cui la dispersione dei risultati è collegabile all'aver trascurato gli altri gruppi adimensionali influenti sul fenomeno. E nei gruppi stessi è ancora possibile trascurare la dimensione geometrica perché, trattandosi di una stessa macchina, questa resta la stessa. Certamente la similitudine geometrica resta operante, proprio perché si tratta della stessa macchina. La compattazione delle curve caratteristiche dimensionali in una sola adimensionale è possibile perché nei gruppi considerati è presente una delle grandezze dimensionali n, le cui variazioni possono essere neutralizzate con la variazione opportuna degli altri parametri operativi Q, H e P, per mantenere inalterato il valore del gruppo. Ne consegue che a ciascun punto della curva, caratterizzato da una coppia di valori dei gruppi Π1 e Π2, corrispondono infiniti punti sulle curve dimensionali alle varie velocità, tutti caratterizzati da simili condizioni di flusso ed, in definitiva, dallo stesso valore del rendimento. Le curve di isorendimento riportate sulla fig. 2 descrivono situazioni di simili condizioni di flusso e quindi condizioni di similitudine. Esse sono delle parabole con il vertice nell’origine degli assi, la cui espressione analitica può ricavarsi eguagliando appunto i valori dei due primi gruppi adimensionali relativi a due punti qualunque appartenenti a due curve caratteristiche contraddistinte da due diversi valori della velocità di rotazione. Valgono pertanto le relazioni:

Nel caso occorra studiare il comportamento di una serie di macchine geometricamente simili, sarà sufficiente selezionare una sola dimensione lineare. Quando invece si desidera studiare il flusso all'interno di una turbomacchina, così come in ogni problema di flusso attorno ad un corpo immerso in esso, essendo la forma delle palette o dei canali o del corpo immerso un fattore determinante, se non lo scopo dello studio, occorrerà selezionare due o tre parametri geometrici: è il caso della progettazione fluidodinamica delle turbomacchine.

cost.2QH

22n2H

21n1H

2n2Q

1n1Q

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

Q

H

n

η = cost.η = cost.

Fig. 2

Π1

Π2

Fig. 3

1.4.2.LA TEORIA DEI MODELLI La principale applicazione della similitudine nel campo delle macchine a fluido é senz'altro

la teoria dei modelli, peraltro ben nota ed applicata in altri campi in cui occorre studiare il comportamento e le caratteristiche del moto di un corpo immerso, parzialmente o completamente, in un flusso; nel campo dell'ingegneria navale, ad esempio, ci si serve dei modelli per lo studio in vasca ed in quello dell'ingegneria aeronautica, dei modelli per le sperimentazioni nel tunnel del vento. Riferendosi per semplicità al caso di una macchina a fluido incompressibile, il problema é quello di costruire un modello di una turbomacchina su cui sperimentare in laboratorio, al fine di ricavarne utili informazioni sulle prestazioni, ed in particolare sul rendimento, da trasferire, con la maggiore attendibilità possibile, ad un prototipo, geometricamente simile, da realizzare in un secondo momento. E' questo, ad esempio, il caso di una grande macchina idraulica, motrice od operatrice, della quale, per ragioni commerciali, occorre conoscere preventivamente il rendimento: è ben noto, infatti, l'importanza della conoscenza di tale parametro fondamentale nella determinazione dei costi di esercizio di una macchina che, in uno con quelli di impianto, determinano la convenienza della sua scelta commerciale. Note le grandezze dei principali parametri operativi, è possibile passare al progetto della macchina per il suo proporzionamento in vera grandezza. In mancanza di dati certi sulle prestazioni del prototipo così progettato, desumibili da esperienze effettuate su manufatti analoghi, si pone il problema di sperimentare su di un modello in scala ridotta. Occorre determinare, in relazione alle proprie disponibilità sperimentali, ovvero dei campi di variabilità disponibili nel proprio laboratorio per le grandezze dei parametri operativi, il rapporto di scala geometrico in cui costruire il modello. Alla luce di quanto osservato a proposito della similitudine, notando che nel caso specifico ha interesse un solo parametro geometrico e che la scala è rappresentata proprio dal rapporto tra le dimensioni di tale parametro in relazione al modello ed al prototipo, è possibile ricavarla imponendo la condizione di uguaglianza di tutti i valori dei gruppi adimensionali essenziali ricavabili per lo specifico problema. La difficile pratica attuazione di tale obiettivo può essere scavalcata riducendo il discorso ai due gruppi più importanti: naturalmente il risultato non potrà essere quello corretto ed occorrerà apportare le opportune correzioni per tener conto dell'influenza su di esso dei parametri trascurati. Nel paragrafo successivo si tratterà di tale problema. Per ricavare allora la scala del modello, basta eguagliare le espressioni dei primi due gruppi adimensionali relativi al modello ed al prototipo:

Qn d

Qn d

m

m m3

p

p p3= ,

Hn d

Hn d

m

m2

m2

p

p2

p2= ;

sostituendo il valore del rapporto tra le velocità di rotazione ricavato dalla prima relazione nella seconda:

nn

dd

QQ

m

p

p3

m3

m

p= ,

HH

dd

nn

m

p

m2

p2

m2

p2= ;

si perviene alla espressione del rapporto geometrico di scala in funzione dei parametri operativi del modello e del prototipo:

dd

QQ

HH

m

p

m

p

p

m

12

14

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ed infine, con la sostituzione ai simboli delle effettive grandezze, al valore numerico del coefficiente di scala. E' opportuno ricordare ancora che il valore di dp è quello del prototipo progettato per il funzionamento definito dalla portata Qp e dalla prevalenza dell'impianto da

realizzare, mentre Qm ed Hm sono rispettivamente la portata e la prevalenza effettivamente disponibili nel laboratorio sperimentale per le prove sul modello; tutte le dimensioni di questo si dedurranno dalle omologhe dimensioni del prototipo nel rapporto di scala.

1.4.3 - L'EFFETTO SCALA Una volta determinata, con le ipotesi assunte, la scala del modello da costruire per ottenere informazioni su di un prototipo progettato, costruito il modello, le prove su questo non potranno essere semplicemente trasferite al funzionamento del prototipo in corrispondenza dei valori assunti a base del progetto per le reali grandezze delle variabili operative. In pratica il valore raggiunto per il rendimento del prototipo non coinciderebbe con quello misurato sperimentalmente sul modello. Tale discordanza è dovuta al fatto di non aver tenuto conto, nella determinazione del rapporto di scala, delle variazioni di tutti gli altri numeri adimensionali al di fuori dei due mantenuti fissi ed a tale discordanza si attribuisce il nome di effetto scala, impropriamente attribuendo gli effetti delle variazioni degli altri gruppi alle variazioni geometriche della scala. Il problema è ora quello di correlare la variazione dei valori del rendimento tra modello e prototipo alle variazioni dei parametri e dei gruppi non tenute in conto, misurate realmente sulle effettive realizzazioni o stimate per interpolazione o estrapolazione sui risultati delle analisi storicamente acquisiti. Per tenere in conto le variazioni degli altri gruppi e collegarle numericamente alle variazioni del rendimento va ricordato storicamente l'approccio del Moody, il quale, nelle ipotesi di perdite dovute al solo attrito, con esclusione quindi degli inevitabili urti tra la vena fluida e la palettatura, nonché di flusso stabilizzato nella regione del turbolento, ricavò un’espressione che, sia pure solo nella forma, è ancora oggi in uso. E' ben noto che, se si indica con Hp il valore di tutte le perdite energetiche specifiche che si verificano all'interno di una macchina a fluido incompressibile, il rendimento di questa può esprimersi come:

η =−

= −H H

H1

HH

p p

ovvero: HH

p= −1 η

La prima ipotesi assunta consente di valutare le perdite percentuali con l'espressione generale:

H fld

v2p

2

=

e pertanto: 1H

fld

v2

2

= −1 η .

La seconda ipotesi consente di esplicitare il coefficiente di attrito f che compare nell'espressione precedente, che in tal caso e come può facilmente notarsi nella zona dell'abaco di Moody in corrispondenza degli alti valori del numero di Reynolds è indipendente dal valore di questo, ma varia solo in funzione della rugosità relativa, che, per le costruzioni correnti, può a sua volta essere collegata all'inverso della dimensione lineare, con una legge che grossolanamente si esprime come: f ≅ 1/dn. In conclusione:

1H

1d

ld

v2n

2

= −1 η

Applicando la relazione trovata al modello ed al prototipo e rapportando le due espressioni:

11

−−

=ηη

m

p

1d

ld

v2H

1d

ld

v2H

mn

m

m

m2

m

pn

p

p

p2

p

,

osservando poi che lm /dm = lp /dp stante la similitudine geometrica tra modello e prototipo, e che v2

m /Hm = v2p /Hp per la vigente similitudine cinematica, si perverrà alla relazione di Moody:

11

−−

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ηη

m

p

dd

p

m

n

La relazione trovata presenta una certa validità nel campo delle turbine idrauliche, in cui possono ritenersi accettabili con buona approssimazione, le ipotesi poste a base della trattazione. Per le turbine Kaplan un ricercatore ha verificato una migliore applicabilità della relazione di Moody nella forma:

11

0 5 0 5−−

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

ηη

m

p, ,

ReRe

p

m

n

, con Red 2H

=ρ

µ ,

in cui solo il 50% delle perdite si ritengono dovute all'attrito, mentre la restante parte resta costante e dovuta presumibilmente agli urti che avvengono al bordo di attacco delle pale e che può essere utilizzata anche in un certo intervallo a cavallo del punto di massimo rendimento. Per pompe e compressori, macchine di dimensioni generalmente più contenute, laddove le dimensioni del modello e del prototipo sono più vicine ma la scabrezza superficiale può essere notevolmente diversa a causa dei diversi procedimenti tecnologici utilizzati per la loro lavorazione, l'introduzione del numero di Reynolds al posto di una dimensione lineare nella formula di Moody sembra, anche qui, più razionale. E così alcuni ricercatori hanno proposto per tali macchine espressioni del tipo:

11

−−

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ηη

m

p

ReRe

p

m

n

1.5. IL NUMERO DI GIRI SPECIFICO: LA SUA UTILITA' NELLA SELEZIONE DI UNA TURBOMACCHINA PER UN USO DETERMINATO E NELL'EVOLUZIONE DELLE FORME COSTRUTTIVE

La ricerca di un parametro unico, da utilizzare nella scelta di una turbomacchina per un uso specifico, probabilmente ha preso le mosse dall'osservazione di un diagramma del tipo di quello illustrato nella fig. 4 e riferito alle turbine idrauliche, le prime a svilupparsi industrialmente e quindi a permettere una sufficiente raccolta di dati storici. Sul diagramma sono riportate le prestazioni, in termini di portata e prevalenza e relative alle condizioni di miglior rendimento, di un gran numero di realizzazioni. Da esso si evince il raggrupparsi dei punti rappresentativi di ciascun tipo di macchina: le Pelton in corrispondenza di alti valori del salto utilizzato e bassi delle portate smaltite, le Kaplan in corrispondenza dei bassi salti e delle grandi portate e le Francis per i valori intermedi di tali parametri. E' da notare esplicitamente che l'osservazione effettuata prescinde dal considerare le dimensioni della macchina.

Q

H

Pelton

Francis

Kaplan

Fig. 4 Il Camerer giunse così a definire un raggruppamento di parametri operativi in base al quale si poteva giungere a giustificare il comportamento illustrato e che chiamò numero di giri caratteristico:

45

21

H

Pnn s = ,

ove P era misurata in hp, H in feet ed n in giri/min. Una definizione sintetica del numero di giri specifico di una data macchina, nella formulazione del Camerer può essere quella del numero di giri di una macchina, geometricamente simile alla macchina data, che, sotto il salto unitario, sviluppa la potenza unitaria. Una tale definizione non esprime alcun concetto, ma è soltanto la ovvia traduzione di una relazione matematica. Ben altro significato assume invece lo stesso raggruppamento di parametri operativi, quando lo si deduce dall'analisi dimensionale. Ciò sarà fatto per una macchina operatrice solo perché di queste macchine ci si sta occupando, ed in tal caso è più conveniente sostituire alla potenza la portata. Si tratta di formulare un gruppo adimensionale in cui compaiano soltanto parametri operativi, mentre in esso non intervenga alcuna dimensione lineare. Nell’ipotesi di validità della similitudine geometrica per tutte le macchine esaminate, tale ultima condizione assicura che il gruppo avrà significato per tutte le macchine geometricamente simili. Dalla combinazione dei primi due gruppi adimensionali ricavati e precisamente di quelli che esprimono la portata e la prevalenza adimensionalizzate, è possibile eliminare la dimensione lineare:

ΠΠ

Π6

1

12

2

34

= =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

Qnd

n dH

nQ

H3

12 2 2

34

12

34

.

Il numero trovato può comunque assumere, per ogni macchina ed alla stregua degli altri parametri adimensionali, un’infinità di valori in relazione alla variazione del valore dei parametri che esso contiene. Se si conviene di dedurre il suo valore in corrispondenza dei valori assunti dai parametri costituenti, in corrispondenza delle condizioni di massimo rendimento, si giunge a definire un parametro unico per ogni gruppo o famiglia di macchine geometricamente simili e vale a dire il numero di giri specifico di quella particolare famiglia di macchine simili. Può così intendersi l'effettiva importanza di questo fondamentale gruppo adimensionale, che può definirsi come quel particolare raggruppamento di parametri operativi che permette, in macchine geometricamente simili, l'instaurarsi di simili ed ottime condizioni di flusso. Tale numero prende il nome di numero di giri specifico ed è formalmente uguale al Π6, solo che ora i vari parametri che vi compaiono sono presi nella condizione di massimo rendimento della macchina. E’ facile collegare l’espressione del Camerer in unità del sistema tecnico (P in CV e H in m) al numero di giri specifico Π6 ottenuto con l’analisi dimensionale:

( )n nP

Hn

QH75

Hn

100075

Q

H13,3 n

Q

H3,65 n

Q

Hs

12

54

54

12

12

34

12

12

34

12

34

= =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = ⋅

γ

12

,

La sua funzione, nel determinare il tipo di macchina più idoneo al funzionamento in una data applicazione, discende poi dalla osservazione che conviene che la macchina da selezionare presenti il migliore valore possibile del rendimento. Determinati cioè, per ogni applicazione, i valori delle variabili operative richieste in relazione alla caratteristica esterna del circuito da servire, il valore del numero di giri specifico che ne consegue determinerà univocamente il tipo o la famiglia di macchine da utilizzare. La stessa espressione di ns permette sinteticamente di comprendere la scelta effettuata, in relazione alle prestazioni richiedibili: per piccoli valori del numero di giri specifico la macchina da adottare per conseguire il miglior rendimento è la macchina centrifuga, caratterizzata da piccole sezioni di attraversamento rispetto alle dimensioni della macchina e da notevoli deviazioni palari; per grandi portate e piccole prevalenze, la necessità di contenere le velocità del fluido e di imprimere ad esso deviazioni di limitata entità consigliano l'uso di macchine con grandi sezioni di attraversamento e con pale costituite da profili alari, ovvero di macchine assiali.