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Analisi matematica I Sviluppi di Taylor
© 2006 Politecnico di Torino 1
Analisi matematica I
2
Sviluppi di Taylor e applicazioni
Sviluppi di Taylor
Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni
Analisi matematica I Sviluppi di Taylor
© 2006 Politecnico di Torino 2
Sviluppi di Taylor e applicazioni
4
Sviluppi di Taylor
Formule di Taylor con resto di Peano: caso e
Formule di Taylor con resto di Peano: caso generale
Dimostrazione caso
Formule di Taylor con resto di Lagrange
Proprietà del polinomio di Taylor
Primi esempi
Sviluppi di Taylor notevoli
n = 0 n = 1
n = 2
Analisi matematica I Sviluppi di Taylor
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Sviluppi di Taylor
6
Formule di Taylor con resto di Peano: ...
continua in
posto polinomio di grado
si ha
f x0
f(x) = f(x0) + o(1) ,⇒
Tf0,x0(x) = f(x0) 0
x→ x0f(x) = Tf0,x0(x) + o(1) ,
x→ x0
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7
Formule di Taylor con resto di Peano: ...
8
Formule di Taylor con resto di Peano: ...
derivabile in per
posto
polinomio di grado , si ha
f x0 ⇒
x→ x0
Tf1,x0(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0)
1
x→ x0
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0) + o(x− x0)
f(x) = Tf1,x0(x) + o(x− x0) ,
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9
Formule di Taylor con resto di Peano: ...
Sviluppi di Taylor
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11
Formule di Taylor con resto di Peano: ...
derivabile volte inf x0 ⇒n
f(x) = Tfn,x0(x) + o¡(x− x0)n
¢, x→ x0
12
Formule di Taylor con resto di Peano: ...
= polinomio di Taylor di in
di grado n
f x0
con
· · ·+ 1n!f
(n)(x0)(x− x0)nTfn,x0(x) = f(x0) + f
0(x0)(x− x0) + . . .
=nXk=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)k
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13
Formule di Taylor con resto di Peano: ...
Sviluppi di Taylor
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15
Dimostrazione caso n = 2
derivabile volte in
cerchiamo tale chef 2 x0;
a ∈ Rf(x) = Tf2,x0(x) + o
¡(x− x0)2
¢, x→ x0
con
= f(x0) + f0(x0)(x− x0) + a(x− x0)2Tf2,x0(x)
16
Dimostrazione caso n = 2
Pertanto deve valere
Applicando il Teorema di de l’Hôpital, la
condizione equivale a
limx→x0
f(x)− f(x0)− f 0(x0)(x− x0)− a(x− x0)2(x− x0)2
= 0
limx→x0
f 0(x) − f 0(x0) − 2a(x− x0)2 (x− x0)
= 0
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17
Dimostrazione caso n = 2
Ovvero
da cui
limx→x0
1
2
f 0(x)− f 0(x0)(x− x0)
− a = 0
a =1
2limx→x0
f 0(x)− f 0(x0)(x− x0)
=1
2f 00(x0)
18
Dimostrazione caso n = 2
In definitiva, abbiamo trovato tale che il
polinomio di secondo grado
soddisfa
a ∈ R
f(x) = Tf2,x0(x) + o¡(x− x0)2
¢, x→ x0
Tf2,x0(x) =
= f(x0) + f0(x0)(x− x0) + 1
2f00(x0)(x− x0)2
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Sviluppi di Taylor
20
derivabile in per la seconda formula
dell’incremento finito possiamo scrivere
Ricordando che si ha
I(x0),f
f(x) = f(x0) + f0(x)(x− x0) ,
con x ∈ (x, x0) x ∈ (x0, x)oppure
Tf0,x0(x) = f(x0) ,
Caso n = 1
f(x) = Tf0,x0(x) + f0(x)(x− x0)
,
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21
Caso generale
derivabile - volte in
con compreso tra e
Se lo sviluppo di Taylor si dice
sviluppo di Maclaurin
f (n+ 1) I(x0) ⇒
f(x) = Tfn,x0(x) +1
(n+ 1)!f (n+1)(x)(x− x0)n+1
x
x0 = 0
x0x
Sviluppi di Taylor
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23
Proprietà
funzione pari (dispari)
contiene solo potenze pari (dispari)
Dimostrazione caso funzione pari
f ⇒
f
Tfn,0(x)
24
Dimostrazione
Nota: una funzione dispari definita nell’origine è
necessariamente ivi nulla
Infatti, sia una funzione dispari
g(x) = −g(−x) 2g(0) = 0 g(0) = 0⇒ ⇒
g
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25
Dimostrazione
Sia ora una funzione pari e derivabile volte
in
sono funzioni dispari
Quindi
e il polinomio di Taylor contiene
soltanto termini con potenze pari
x0 = 0
nf
f 0, f 000, · · ·⇒
f 0(0) = f 000(0) = · · · = 0Tfn,0(x)
26
Unicità del polinomio di Taylor
derivabile volte in
se esiste un polinomio di grado
tale che
f : (a, b)→ R x0 ∈ (a, b)n
Pn(x) ≤ n
f(x) = Pn(x) + o¡(x− x0)n
¢, x→ x0
Pn(x) = Tfn,x0(x)⇒
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Sviluppi di Taylor
28
Esempio 1
Calcoliamo i polinomi di Maclaurin della funzione
Tf0,x0(x) = 5 f(x) = 5 + o(1) , x→ 0⇒
Tf1,x0(x) = 5− 2xf(x) = 5− 2x+ o(x) , x→ 0
⇒
f(x) = 5− 2x+ 3x2 + x4
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29
Esempio 1
Calcoliamo i polinomi di Maclaurin della funzione
= Tf3,x0(x)Tf2,x0(x) = 5− 2x+ 3x2
= 5− 2x+ 3x2 + o(x3) , x→ 0
⇒
= f(x) , ∀n ≥ 4= Tfn,x0(x)
f(x) = 5− 2x+ 3x2 + x4
x→ 0f(x) = 5− 2x+ 3x2 + o(x2) ,
T f4,x0(x) = 5− 2x+ 3x2 + x4
30
Esempio 2
∀n > 4
f(x) = 5− 2x+ 3x2 + x4
f 0(x) = −2 + 6x+ 4x3f 00(x) = 6 + 12x2
f 000(x) = 24x
f (4)(x) = 24
f (n)(x) = 0 ,
Calcoliamo i polinomi di Taylor centrati in di
Poiché
x0 = 1
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31
Esempio 2
f(1) = 7, f 0(1) = 8, f 00(1) = 18,
f 000(1) = 24, f (4)(1) = 24,
f (n)(1) = 0 , ∀n > 4
Si ha
32
Esempio
Tf0,x0(x) = 7
Tf1,x0(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0)
= 7 + 8(x− 1)= f(1) + f 0(1)(x− 1)
Risulta
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33
Esempio
Tf0,x0(x) = 7
= 7 + 8(x− 1)Tf1,x0(x)
Risulta
34
Esempio
= 7+ 8(x− 1)Tf1,x0(x)
= 7 + 8(x− 1) + 9(x− 1)2Tf2,x0(x)
Risulta
= Tf1,x0(x) +1
2f 00(1)(x − x0)2
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35
Esempio
Tf2,x0(x) = 7 + 8(x− 1) + 9(x− 1)2
= 7 + 8(x− 1) + 9(x− 1)2 + 4(x− 1)3Tf3,x0(x)
Risulta
= Tf2,x0(x) +f 000(x0)
3!(x− x0)3
36
Esempio
= 7 + 8(x− 1) + 9(x− 1)2 + 4(x− 1)3Tf3,x0(x)
Tf4,x0(x)
Risulta
= Tf3,x0(x) +f (4)(x0)
4!(x− x0)4
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37
Esempio
= 7 + 8(x− 1) + 9(x− 1)2 + 4(x− 1)3Tf3,x0(x)
∀n > 4= Tfn,x0(x) ,
+4(x− 1)3 + (x− 1)4Tf4,x0(x) = 7 + 8(x− 1) + 9(x− 1)2+
Risulta
Sviluppi di Taylor
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39
Funzione esponenziale
Consideriamo la funzione
Per ogni risulta
f (k)(x) = ex , f (k)(x0) = ex0 , f (k)(0) = 1
f(x) = ex
k ∈ N,
40
Funzione esponenziale
Lo sviluppo di Maclaurin con resto di Peano
di ordine è
=nXk=0
xk
k!+ o(xn) , x→ 0
ex = 1 + x+x2
2+ · · ·+ x
k
k!+ · · ·+ x
n
n!+ o(xn)
n
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41
compreso tra e
Funzione esponenziale
Lo sviluppo di Maclaurin con resto di Lagrange è
x 0 x
ex = 1 + x+x2
2+ · · ·+ xk
k!+ · · ·+ xn
n!+
ex
(n+ 1)!xn+1
=
nXk=0
xk
k!+
ex
(n+ 1)!xn+1 ,
42
Funzione esponenziale
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43
Funzione esponenziale
44
Funzione esponenziale
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45
Funzione esponenziale
46
Approssimazione numero e
Poniamo nello sviluppo di Maclaurin con
resto di Lagrange di abbiamo
x = 1
0 < x < 1e =nXk=0
1
k!+
ex
(n+ 1)!,
f(x) = ex;
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47
La quantità
è un’approssimazione per difetto del numero
L’errore è dato da
Approssimazione numero e
e− en =ex
(n+ 1)!
e
en =
nXk=0
1
k!
48
Approssimazione numero e
Poiché risulta
Quindi si ha stima
0 < x < 1 1 < ex < e < 3
1
(n+ 1)!< e− en <
3
(n+ 1)!
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49
Alcuni valori della successione en
50
Funzione esponenziale
Lo sviluppo di Taylor in con resto di Peano di
ordine ènx0
x→ x0=nXk=0
ex0(x− x0)k
k!+ o¡(x− x0)n
¢,
· · ·+ ex0 (x− x0)n
n!+ o¡(x− x0)n
¢ex = ex0 + ex0(x− x0) + . . .
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51
Funzione esponenziale
Lo sviluppo di Taylor in con resto di Lagrange èx0
ex = ex0 + ex0(x− x0) + . . .
x x0xcompreso tra e
=nXk=0
ex0(x− x0)k
k!
· · ·+ ex0 (x − x0)n
n!+
ex
(n + 1)!(x − x0)n+1
+ex
(n+ 1)!(x− x0)n+1
52
Funzione logaritmo
Consideriamo la funzione
Ne cerchiamo lo sviluppo di Taylor in di
ordine Si ha x0 = 1
n.
f 0(x) =1
x= x−1, f 00(x) = (−1)x−2,
f 000(x) = (−1)(−2)x−3
f(x) = log x
k
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k,f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
In generale, per ogni intero,
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53
Funzione logaritmo
Consideriamo la funzione
Dunque
x→ 1
log x = (x− 1)− (x− 1)2
2+ . . .
· · ·+ (−1)n−1 (x− 1)n
n+ o¡(x− 1)n
¢=
nXk=1
(−1)k−1 (x− 1)k
k+ o¡(x− 1)n
¢,
f(x) = log x
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
54
Funzione logaritmo
Consideriamo la funzione
Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine
Dallo sviluppo
f(x) = log(1 + x)
n
log y =
nXk=1
(−1)k−1 (y − 1)k
k+ o¡(y − 1)n
¢, y → 1
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55
Funzione logaritmo
=nXk=1
(−1)k−1 xk
k+ o(xn) , x→ 0
Ponendo si ha y = 1 + x,
log(1 + x)
= x− x2
2+ · · ·+ (−1)n−1 x
n
n+ o(xn)
log y =
nXk=1
(−1)k−1 (y − 1)k
k+ o¡(y − 1)n
¢, y → 1
56
Funzione logaritmo
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57
Funzione logaritmo
58
Funzione logaritmo
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59
Funzione logaritmo
60
Funzione seno
Consideriamo la funzione
Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine
La funzione è dispari e quindi contiene soltanto
potenze dispari. Si ha
f 0(x) = cosx, f 000(x) = − cosx
f(x) = sinx
n
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61
Funzione seno
Consideriamo la funzione
In generale, per ogni intero,k
f (2k+1)(x) = (−1)k cosx,
f (2k+1)(0) = (−1)k
f(x) = sinx
Funzione seno
Consideriamo la funzione
Dunque, se n = 2m+ 2,
sin x = x− x3
3!+x5
5!− . . .
· · ·+ (−1)m x2m+1
(2m + 1)!+ o(x2m+2)
=
mXk=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!+ o(x2m+2) , x→ 0
f(x) = sinx
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63
Funzione seno
64
Funzione seno
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65
Funzione seno
66
Funzione seno
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67
Funzione seno
68
Funzione coseno
Consideriamo la funzione
Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine
La funzione è pari e quindi contiene soltanto
potenze pari. Si ha
f 00(x) = − cosx , f (4)(x) = cosx
f(x) = cosx
n
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69
Funzione coseno
Consideriamo la funzione
In generale, per ogni interok
f (2k)(x) = (−1)k cosx , f (2k)(0) = (−1)k
f(x) = cosx
Funzione coseno
Consideriamo la funzione
Dunque, se n = 2m+ 1,
cosx = 1− x2
2+x4
4!− . . .
· · ·+ (−1)m x2m
(2m)!+ o(x2m+1)
=mXk=0
(−1)k x2k
(2k)!+ o(x2m+1) , x→ 0
f(x) = cosx
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71
Funzione coseno
72
Funzione coseno
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73
Funzione coseno
74
Funzione coseno
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75
Funzione coseno
76
Funzioni elevamento a potenza
Consideriamo le funzioni
con
Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine
Si ha
f(x) = (1 + x)α ,
f 0(x) = α(1 + x)α−1,
f 00(x) = α(α− 1)(1 + x)α−2,
f 000(x) = α(α− 1)(α− 2)(1 + x)α−3
n
α ∈ R
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77
Funzioni elevamento a potenza
Consideriamo le funzioni
con
E, in generale, per ogni intero
f(x) = (1 + x)α ,
f (k)(x) = α(α− 1) . . . (α− k + 1)(1 + x)α−k
α ∈ R
=
µα
k
¶f (k)(0)
k!=α(α− 1) · · · (α− k + 1)
k!
k,
78
Funzioni elevamento a potenza
Consideriamo le funzioni
con
Dunque
f(x) = (1 + x)α ,
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2x2 + . . .
· · ·+µα
n
¶xn + o(xn)
=nXk=0
µα
k
¶xk + o(xn) , x→ 0
α ∈ R
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79
Funzioni elevamento a potenza: caso α = −1
Consideriamo la funzione
f(x) = (1 + x)−1 =1
1 + x
80
Funzioni elevamento a potenza: caso α = −1
Calcoliamo i coefficienti binomiali
µ−1k
¶
µ−1k
¶=(−1)(−2) · · · (−k)
k!= (−1)k
µ−12
¶=(−1)(−2)
2= 1µ−1
3
¶=(−1)(−2)(−3)
3!= −1
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81
Funzioni elevamento a potenza: caso α = −1
1
1 + x= 1− x+ x2 − · · ·+ (−1)nxn + o(xn)
=nXk=0
(−1)kxk + o(xn) , x→ 0
Dunque
82
Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2
Consideriamo la funzione
f(x) = (1 + x)1/2 =√1 + x
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83
Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2
Calcoliamo i coefficienti binomialiµ1/2
k
¶µ12
2
¶=
12(12 − 1)2
= −18µ1
2
3
¶=
12 (12 − 1)( 12 − 2)
3!=1
16
84
Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2
E dunque lo sviluppo arrestato all’ordine della
funzione è3
f(x) =√1 + x
√1 + x = 1 +
1
2x− 1
8x2 +
1
16x3 + o(x3) , x→ 0
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85
Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2
86
Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2
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87
Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2
88
Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2
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89
Tabella sviluppi di Maclaurin notevoli
ex = 1 + x+x2
2+ · · ·+ xk
k!+ · · ·+ xn
n!+ o(xn)
log(1 + x) = x− x2
2+ · · ·+ (−1)n−1x
n
n+ o(xn)
+(−1)m x2m
(2m)!+ o(x2m+1)cos x = 1− x
2
2+x4
4!− · · ·
+(−1)m x2m+1
(2m + 1)!+ o(x2m+2)sin x = x− x
3
3!+x5
5!− · · ·
90
Tabella sviluppi di Maclaurin notevoli
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2x2 + · · ·+
µα
n
¶xn + o(xn)
1
1 + x= 1− x+ x2 − · · ·+ (−1)nxn + o(xn)
√1 + x = 1+
1
2x− 1
8x2 +
1
16x3 + o(x3)