Análisis 2 Mauldhart Parte 1

8/17/2019 Análisis 2 Mauldhart Parte 1

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Análisis

Matemático 2

UNA CUIDADOSA SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS

MARTÍN MAULHARDT


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CAPÍTULO 1

Geometría

del Plano.

El plano y el espacio constituyen el lugargeométrico sobre el cual vamos a trabajar

en casi todo este libro y donde se aplicanlos teoremas integrales en los cualesculmina esta materia. La descripción delplano en coordenadas polares constituyeuna herramienta fundamental pararesolver muchos problemas.


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CONTENIDOS

1. Conjuntos de puntos en R2.

2. Inecuaciones.

3. Representación geométrica.

SECCIÓN I

Coordenadas Cartesianas. Esta sección es extremadamente sencilla y nodebería representar mayor dificultad para el lector.Trabajaremos sólo aquellos problemas en los cuales ellector pueda tener alguna dificultad. Si el lectorconsidera obvio su contenido puede pasar

directamente a la siguiente sección.

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Problemas.

1. Describir mediante un gráfico las regiones planasdescriptas por :

(a) A = {( x, y) ∈ R 2 : x 2 − 2 x + y2

4− y ≤ 16}

(b) B = {( x, y) ∈ R 2 : 5 sinh( x)


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(b) Este ejercicio es muy sencillo una vez que unorecuerda las definiciones de las funciones hiperbólicas.Recordamos que

sinh( x) = e x

− e− x

2 cosh( x) = e

x

+ e− x

2

De esta definición observamos que la ordenada dela función sinh( x) está siempre debajo de la ordenadade la función cosh( x) para cada abscisa. Pero a nosotros

nos interesa averiguar, ¿para que abscisas

5 sinh( x) < 3 cosh( x)?

Esto es, luego de simplificar los “2” de los

denominadores,

5e x − 5e− x < 3e x + 3e− x

e2 x < 4

x < ln(2).

El gráfico del conjunto B resulta entonces :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-10

-5

5

10

El área comprendida entre estasdos funciones hasta x = ln(2) esel gráfico del conjunto B

(c) Este ítem es un poco más interesante que los dosanteriores. Es preciso hallar los ( x, y) ∈ R 2 tales que

sen( x) <1

2.

Supongamos primero que x ∈ [0,2π ]. Entonces,

salvo queπ

6≤ x ≤

5

6π se ver i f icará nuestra

desigualdad. Es decir nuestra desigualdad se verifica

en [0,π

6) ∪ (

5

6π ,2π ] y entonces puede parecer errónea-

mente que nuestra solución es una unión de intervalos.

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Nuestra solución es el conjunto de los ( x, y) que lasatisfacen, no los x que la satisfacen. Por lo cualnuestra solución será un subconjunto del plano, no dela recta. Dicho conjunto se describe analíticamente así :

C = {( x, y) : x ∈ . . . (−7

6π ,

π

6) ∪ (

5

6π ,

13

6π ) ∪ (

17

6π ,

25

6π ) ∪ . . . } .

Su gráfico es el siguiente.

-2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5

-3

-2

-1

1

2

3

5


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CONTENIDOS

1. Curvas en coordenadas polares.

2. Descripción de conjuntos en coordenadaspolares.

SECCIÓN 2

Coordenadas Polares Esta sección es la primera del libro que no debesubestimarse. El motivo de la dificultad es quedebemos pensar el plano de otra manera a comoestamos acostumbrados. Debemos identificar un puntodel plano no por sus proyecciones sobre los ejes, sino

por su distancia al origen, lo cual nos sitúa en unacircunferencia, y luego por el ángulo que se formaentre el eje x y el rayo que sale desde el origen hacia elpunto. Los ejercicios seleccionados tienen por objetivofamiliarizarnos con estas ideas.

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Problemas.

1. Trazar aproximadamente las curvas en coordenadas

polares dadas por :

(a) r = 2 0 < θ < π

(b) θ =π

6

(c) r = 2 cos(θ ), 0 ≤ θ ≤π

2.

Solución.

(a)Recordamos que las coordenadas cartesianas seobtienen de las polares por las fórmulas

x = r cos(θ )

y = r sen(θ )

de lo cual se obtiene elevando al cuadrado ambosmiembros de cada ecuación y sumando miembro amiembro que

x2 + y2 = r 2.

En nuestro caso r = 2, así que se obtiene laecuación de una circunferencia de radio 2.

x2 + y2 = 4.

La solución anterior no es la mejor paradesarrollar el pensamiento en coordenadas polares.Incidentalmente hay una pérdida de la variación de θ que no se está teniendo en cuenta. Lo que hicimos fuepasar la ecuación que nos dieron en coordenadaspolares a las coordenadas cartesianas. Veamos comollegar al mismo resultado pensando en coordenadas

polares.

Una ecuación de la forma r = f (θ ) define al radioen función del ángulo de la misma manera que unaecuación de la forma y = f ( x) define la ordenada paracada abscisa. Entonces r = 2 nos dice que el radio es 2 para cada 0 < θ < π . El gráfico resulta el siguiente, don-

de el lector debe dirigir su atención a que el plano estásiendo pensado en coordenadas polares y nocartesianas.

A lo largo del curso utilizaremos el color amarilloen los gráficos cuando el plano tenga las coordenadas

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polares y conservaremos el clásico blanco para lascoordenadas cartesianas.

-3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2

-1.6

-0.8

0.8

1.6

0.5!

!

1.5!

(b) De las ecuaciones

x = r cos(θ )

y = r sen(θ )

deducimos que, excepto que algún denominador seanule

tg(θ ) = y

x.

Luego introduciendo el valor de θ que nos han dadoobtenemos

tg(π

6) =

1

3=

y

x

o lo que es lo mismo

y = x

3.

Pero si procedemos así estamos nuevamentepensando el plano el coordenadas cartesianas ypodríamos nuevamente agregar puntos que en la curva

polar (en coordenadas polares) no estaban. Volviendo ameditar en coordenadas polares θ =

π

6 representa el

ángulo igual a una constante. Es decir, representa unasemirrecta. Dicha semirrecta la vemos en el siguientegráfico.

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-4.8 -4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8

-2.4

-1.6

-0.8

0.8

1.6

2.4

0.5!

!

1.5!

(c) Este ítem es el más interesante del ejercicio, porque verdaderamente el radio depende del ángulo comoindica la fórmula r = 2 cos(θ ). Si pasamos de estaecuación a la correspondiente en cartesianasteniendo en cuenta que x = r cos(θ ) encontramos

x2 + y2 = 2 x x2 + y2

o lo que es lo mismo

x2 + y2 = 2 x

que luego de un completamiento de cuadrados

( x − 1)2 + y2 = 1.

Esto representa una circunferencia de radio 1 concentro en el punto P = (1,0).

Pero ya discutimos los inconvenientes del paso a laligera de las coordenadas cartesianas a las polares sintener en cuenta el dominio de variación de las variablesen cuestión. Si calculamos para distintos valores de θ el valor de r obtendremos, por ejemplo, que si

θ = 0, r = 2. Si θ =π

6 , r = 3. Si θ =π

4 , r = 2.

El grá f i co que res ult a es en ton ce s lasemicircunferencia siguiente donde volvemos agraficar en amarillo puesto que el plano está siendopensado en coordenadas polares.

Podés ver una solución on-line clickeando en el

siguiente aquí.

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http://youtu.be/fLiLuWA4AqEhttp://youtu.be/fLiLuWA4AqEhttp://youtu.be/fLiLuWA4AqE


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-2.4 -2 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4

-1.2

-0.8

-0.4

0.4

0.8

1.2

0.25!

0.5!

0.75!

!

1.25!

1.5!

1.75!

2. Describir mediante inecuaciones en coordenadascartesianas las regiones planas descriptas, encoordenadas polares, por

(a) 1


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y al ser tg(θ ) = y

x obtenemos

tg(π

6) ≤ tg(θ ) ∣ x ∣ }.

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Solución.

El gráfico resulta sencillamente

-3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2

-1.6

-0.8

0.8

1.6

La primera inecuación re-escrita

x2

+ y2

≤ 2 y

se describe en coordenadas polares

r 2 ≤ 2 r sen(θ )

o simplificando

r ≤ 2 sen(θ ).

Y la segunda define trivialmente la variación delángulo

π

4< θ <

3π

4.

La respuesta final es entonces el sistema deinecuaciones

{0

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