Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS BAYESIANO APLICADO A LA PROYECCION DE
SINIESTRALIDAD DEL SEGURO OBLIGATORIO DE
ACCIDENTES DE TRANSITO (SOAT).
JEISSON JAVIER BOHORQUEZ BOHORQUEZ
Trabajo de Grado para Optar el Titulo de Matemático
Asesor
Constanza Quintero Guzmán
FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
FACULTAD DE MATEMATICAS
BOGOTA D.C.
2007
CONTENIDO
Página
INTRODUCCION 5
1. ANALISIS BAYESIANO. UNA INTRODUCCION 6
1.1. Teorema de Bayes………………………………………………………6
1.2. Selección de la distribución a priori………………………….10
1.2.1. Determinación de la distribución a priori
subjetiva ..…….……………………………………………………10
1.2.2. Determinación de la distribución A priori no
informativa….…..….........................................11
2. EL ANALISIS BAYESIANO EN LA PROYECCION DE
SINIESTRALIDAD (CASO DISCRETO) 15
2.1. Metodología Bayesiana para variables discretas……..15
3. APLICACIÓN DEL ANALISIS BAYESIANO EN LA
PROYECCION DE SIESTRALIDAD 23
3.1. Aplicación con datos reales de una aseguradora……..24
3.1.1. Cálculo de proporciones……………………………………….26
3.1.2. Cálculo de proyección de reclamaciones…………….29
3.1.3. Cálculo del costo total de las reclamaciones……….37
CONCLUSIONES 38
BIBLIOGRAFIA 39
4
RESUMEN
Este trabajo atiende a una necesidad de las compañías aseguradoras
como es calcular la proyección de siniestralidad en cada uno de sus
ramos, es por esto que se eligió el análisis Bayesiano como modelo
matemático para brindar una solución a este problema ya que se
puede utilizar la información existente e ir actualizándose la
proyección a medida que se va obteniendo nueva información. Por lo
cual en este trabajo se hace una breve introducción al análisis
Bayesiano, se muestra una metodología Bayesiana para la proyección
de siniestralidad para casos discretos y se realiza una aplicación real
de un caso discreto de una compañía aseguradora como es la
proyección de siniestralidad para el seguro obligatorio de accidentes
de transito (SOAT).
This work takes care of a necessity of the insuring companies like is to
calculate the projection of sinisterness in each one of its branches, is
by which the Bayesiano analysis was chosen like mathematical model
to offer a solution to this problem since is possible to be used the
existing information and it are updated the information themselves as
it is obtained new data. Thus in this work a brief introduction to the
Bayesiano analysis is made, is a Bayesiana methodology for the
projection of sinisterness for discreet cases and a real application of a
discreet case of an insuring company is made as it is the projection of
sinisterness for the obligatory insurance of accidents of I journey
(SOAT).
5
INTRODUCCION
Existe una necesidad evidente en las compañías aseguradoras en
cuanto a conocer formas de calcular la proyección de siniestralidad en
cada uno de sus ramos, para así presupuestar las obligaciones
adquiridas por sus clientes.
La proyección de siniestralidad es uno de los problemas más comunes
e importantes en el negocio de los seguros, campo que cada vez toma
más fuerza en nuestro país donde cada día se adquiere más la cultura
del seguro, donde el conocimiento matemático correlacionado con
otras áreas tiene mucho valor y son el pilar principal del negocio;
pero a su vez un área poco trabajada en Colombia, por lo cual la
bibliografía sobre este tema es escasa. Motivo por el cual se hace
necesario aplicar un modelo matemático adecuado que nos brinde una
herramienta que se pueda utilizar en la solución de este tipo de
problemas. La inferencia por medio del análisis Bayesiano nos aporta
una herramienta muy importante como respuesta a esta necesidad.
6
CAPITULO UNO
ANALISIS BAYESIANO. UNA INTRODUCCION
1.1 TEOREMA DE BAYES
Teorema 1.1: Sea PA,, un espacio de probabilidad tal que
nBBB ,...,, 21 son una colección de eventos mutuamente disyuntos en A,
satisfaciendo 1
j
jB y 0jBP para j=1,2,…,n.
Entonces para cualquier AE para el cual EP > 0 tenemos que
n
jjj
KKk
BPBEP
BPBEPEBP
1
En particular si CPBP j entonces se tiene la relación:
7
CEP
BEP
ECP
EBP jj
Este teorema expresa un principio de actualización de jBP , una vez
se ha observado E .
Bayes probo una versión continua de este resultado, a saber: Dadas
dos variables aleatorias X y Y, con distribución condicional de Y dado
X es:
dyygyxf
ygyxfxyg
Mientras la estadística clásica hace inferencia sobre un parámetro
de una distribución, la estadística bayesiana la hace sobre una función
del parámetro, distribución a posteriori, a partir de la información de
la muestra y de una distribución de , llamada distribución a
priori.
Se tiene, entonces:
dxf
xfx ,
x Es proporcional a xf .
xf , vista como función de es la función de verosimilitud.
La función a posteriori se utiliza para hacer inferencia acerca de los
parámetros.
8
Ejemplo 1.1. Ver Gelman et.al (1994).
Este es un ejemplo simple de cálculo Bayesiano. No se trata de
estimar un parámetro sino se trata del estado de un individuo.
El hombre tiene un cromosoma X y un cromosoma Y, la mujer tiene
dos cromosomas X, cada cromosoma es heredado de uno de los
padres. La hemofilia es una enfermedad que presenta un cromosoma
X recesivo heredado, lo cual significa que si un hombre hereda el gen
que causa la enfermedad en el cromosoma X, esta enfermo, mientras
una mujer portadora del gen en solo uno de sus cromosomas X, no
esta enferma. La enfermedad es generalmente mortal para las
mujeres que heredan dos de tales genes, además es muy raro, puesto
que la frecuencia de ocurrencia del gen es baja en poblaciones
humanas.
Considere una mujer que tiene un hermano enfermo, o sea que su
madre debe ser portadora del gen hemofilia con un gen “bueno” y uno
“malo”, entonces la mujer tiene una probabilidad de 0.5 de tener el
gen. Sea el estado de la mujer, tiene dos valores: 1 , significa
que la mujer es portadora del gen, o 0 . Significa que la mujer no
es portadora del gen. Entonces distribución a priori para es
2101 PP .
Para actualizar esa información a priori, se usa la información del
estado de enfermedad de los hijos de la mujer. Suponiendo que tiene
dos hijos, ninguno de ellos enfermo.
Se nota 1iy para un hijo enfermo, yi =0, denota un hijo no enfermo.
La función de verosimilitud es:
9
25.05.05.010,0 21 yyP
11100,0 21 yyP
Si la mujer es portadora, cada uno de sus hijos tendrá 21 de
probabilidad de heredar el gen y estar enfermo, si no es portadora,
existe una probabilidad muy cercana a 1 de que un hijo de ella no
esté enfermo.
Aplicando el teorema de Bayes, se tiene:
000110
11001
PyPPyP
PyPyP
20.0
5.00.15.025.0
5.025.0
Supóngase ahora que la mujer tiene un tercer hijo que no está
enfermo, usando la distribución a posteriori anterior como la nueva a
priori, se obtiene:
111.0
8.00.12.05.0
2.05.001
yP
Si se supone que el tercer hijo esta enfermo, se tiene que la
probabilidad a posteriori de que la mujer sea portadora es 1.
10
1.2 SELECCIÓN DE LA DISTRIBUCION A PRIORI
En la práctica, en general, no se tiene información suficiente para
determinar una distribución a priori, este es el punto difícil de la
estadística bayesiana.
En algunos casos, se puede aplicar el concepto de frecuencia relativa,
pero no siempre es posible. Surge entonces la probabilidad subjetiva,
con una idea principal: que la probabilidad de un evento refleje la
credibilidad personal en la ocurrencia del evento.
1.2.1 Determinación de la distribución a priori subjetiva.
Si es discreto, se determina la probabilidad subjetiva de cada
elemento de . Si es un intervalo de o un subconjunto no
acotado de , el problema de construir es considerablemente
más difícil. Berger (1985) plantea varias formas de construir la a
priori, entre otras:
Método del Histograma.
Si es un intervalo de , se divide en subintervalos y se determina
la probabilidad subjetiva de cada subintervalo. De este histograma se
obtiene una densidad de .
11
Método de verosimilitud relativa.
Es de mayor uso cuando es un subconjunto de .
Consiste en comparar las verosimilitudes relativas de puntos de , y
a partir de ello describir la distribución a priori.
Ejemplo 1.2:
Si 1,0 . Se determinan las verosimilitudes relativas de los puntos
del parámetro “más probables” y “menos probables”. Se supone que
el punto 43 es el más probable, y 0 es el menos probable. Por
otra parte se estima que 43 es tres veces más probable que el valor
de 0. A partir de esta información se pueden tener los valores para
otros puntos como 41 , 2
1 y 1. Por simplicidad todos los puntos son
comparados con 0 . Se decidió que 21 , 1 es dos veces tan
probable como 0 . Se asigna al punto base 0 el valor 1. Se tiene
entonces: 1 si 0 , 2 si 21 , o 1 , y 3 si 4
3 .
La integral de esta a priori no es igual a 1, pero se puede encontrar
una constante c para que c se una densidad propia.
1.2.2. Determinación de la distribución a priori no informativa.
Es la a priori que no contiene información acerca del parámetro,
porque no se dispone de información.
12
Por ejemplo: en una prueba de hipótesis entre dos hipótesis simples,
la a priori que da la probabilidad 21 a cada una de las hipótesis, es
claramente no informativa.
Método de Jeffreys.
Para determinar una a priori no informativa, el método más usado es
el de Jeffreys.
Se seleccionar 21
I como la a priori no informativa donde:
2
2 log
XfEI
I Es la información de Fisher, es decir el elemento (i,j) dado por
XfEI
jiij log
2
Si es un vector de p componentes, Jeffreys sugiere el uso de
21
det I .
1.2.3. Familias conjugadas.
Si es una familia de funciones de densidad xf (indicada por ),
una clase de distribuciones a priori se dice familia conjugada para
si x está en la clase de todas las f en y en .
13
Interesan las familias a priori conjugadas naturales que surgen
tomando como conjunto de todas las densidades que tienen la
misma forma funcional como la de verosimilitud. Las distribuciones a
priori conjugadas tienen una ventaja práctica, además de una
conveniencia computacional.
Ejemplo 1.3
La clase de una a priori Normal es una familia conjugada para la clase
de densidades Normal, es decir, si X 2,N y se distribuye
Normal, entonces x también se distribuye Normal.
Se termina la introducción al análisis bayesiano mostrando un paralelo
entre los enfoques de la estadística clásica y Bayesiana:
Clásica:
Diseñada para procesar la información muestral.
No hace previsión para incorporar formalmente información
previa.
Puede ser puramente inferencial (estimación) o mezclar
conceptos de decisión (pruebas de hipótesis).
Los procedimientos se construyen y evalúan mediante la
distribución muestral que se basa en un concepto frecuentista
de probabilidad.
Las medidas de utilidad involucran consideraciones de largo
plazo.
No es posible evaluar la veracidad de una inferencia o decisión
particular.
14
Bayesiana:
La información muestral se combina con información previa.
Las inferencias tienen una interpretación probabilística.
Es posible evaluar inferencias particulares.
Es necesario expresar la información previa en términos de una
distribución de probabilidad.
Puede ser inferencial o con un enfoque de teoría de decisiones.
Se obtienen las distribuciones exactas para muestras pequeñas
de las cantidades utilizadas para llevar a cabo la inferencia.
Requiere conceptos de probabilidad más generales que el
puramente frecuentista.
15
CAPITULO DOS
EL ANALISIS BAYESIANO EN LA PROYECCION DE
SINIESTRALIDAD (CASO DISCRETO)
En este capitulo se presenta un procedimiento bayesiano para el caso
de variables de tipo discreto, independientemente del número de
observaciones, cuando la proporción del fenómeno que ocurre en cada
subperiodo es estable a través del tiempo.
2.1 METODOLOGIA BAYESIANA PARA VARIABLES DISCRETAS
Sea mtsiX it ,...,2,1;,...,2,1; una serie de tiempo discreta tal que:
1. t
s
iit NX
1.
2. La proporción ip que representa itX en relación con tN es
constante (estable) para toda t , si ,...,2,1 .
16
Dadas las observaciones hasta mt e si el problema consiste en
estimar mN en cuanto se conoce mX 1 . Al conocer mX 1 y mX 2 se deberá
actualizar la estimación de mN que se había obtenido solo con mX 1 ; y
así sucesivamente hasta 1 si . En el momento que se tenga imX
para si ,...,2,1 ya no será necesaria la estimación de mN y se
recomienza el ciclo para 1mt . Sin perdida de generalidad, y solo
para simplificar la exposición, se tomara 12s , como si las
observaciones fueran mensuales y lo que se desea estimar es la cifra
anual; con datos trimestrales se tendría 4s , etc.
También se supondrá 3m .
Podemos suponer que iit PoX , 12,...,2,1i , ya que esta
distribución mide el numero de eventos por unidad de tiempo.
Además se supondrán independientes. De aquí que, con
ttt XXX 121 ,..., , se tiene:
tN
ttNXttNX nf
nxfnxf
t
tt
tt
,
!
!12
112
1
12
1
t
n
ii
ii
it
iti
i
n
x
xe
t
i
12
1212
1
12
1
!
!
i
ii
i
it
t
x
n
17
Es decir,
iiitttt nMNnNX
1221 ,...,,,
Donde MN indica una multinomial con parámetros tn y ip , con
12
1ii
iip
,
O bien:
12211111 ,...,,, pppnMNnNX .
Esta es la distribución conjunta de las itX , dado el total de cuentas del
año t y las ip ’s que se suponen iguales para cada mes, año con año.
Por lo anterior sabemos que
12211111 ,...,,, pppnMNnNX
12212222 ,...,,, pppnMNnNX
Lo cual se puede simplificar si se define una nueva variable aleatoria
21* XXX , de donde
1221212211* ,...,,,, pppnnMNnNnNX .
18
Nuestro interés radica en ir estimando 3n conforme se vayan
conociendo las 3ix . Sabemos por las propiedades de la multinomial
que si tt NX tiene la distribución 12211111 ,...,,, pppnMNnNX ,
entonces
kt
k
itit ppnBinX
..., 11
Donde el parámetro desconocido es kk ppp ...1*
.
Como queremos predecir 3n , necesitamos obtener la función de
densidad marginal posterior para 3N , la cual se obtiene de la
siguiente manera.
*21
*3
1
0213 ,,,,,33 kijkNijN dpnnxpnfnnxnf
*21
**3
1
0,,*
3 kijkpkN dpnnxpfpnfk
Para obtener la densidad anterior, obtendremos *3 kpnf y
21* ,, nnxpf ijk .
Para obtener *3 kpnf , la distribución posterior de 3n dado
*kp ,
Utilizamos la distribución a priori no informativa.
3
3
13 n
nf N
19
Ahora, nuestra verosimilitud, dados los k meses conocidos de mt ,
es la binomial:
k
ii
k
ii xn
k
x
kk
ii
i ppx
nxnL 1
331
3 **
13
3
33 1 .
Por lo que
k
ii
k
ii xn
k
x
kk
ii
ik ppx
n
nxpnf 1
331
3 **
13
3
33
*3 1
1,
Una binomial negativa con parámetros *x y
*kp , donde
k
iixx
13
*;
significa “proporcional a”.
La expresión 21* ,, nnxpf ijk es la distribución posterior para
*kp dado que se conoce la información de los años pasados. Para
obtenerla proponemos nuevamente una distribución previa, una no
informativa, la de Jeffreys.
21
*21
** 1
kkk pppf
La verosimilitud esta dada por la binomial, que incorpora la
información de los años anteriores hasta el mes k,
20
2
1121
2
11**2
11
21* 1 j
ij
k
ijij
k
ixnn
k
x
k
jij
k
i
ijk ppx
nnxpL
Ahora se tiene la posterior:
21
*21
*2
11
21*
2
1121
2
11 1
jij
k
ijij
k
ixnn
k
x
k
jij
k
i
ijk ppx
nnxpf
En la que se puede observar que, dados los datos
2
1,
2
1 2
1121
2
11
*
jij
k
ijij
k
ik xnnxBep .
A partir de
21
*21
*2
11
21*
2
1121
2
11 1
jij
k
ijij
k
ixnn
k
x
k
jij
k
i
ijk ppx
nnxpf
y
2
1,
2
1 2
1121
2
11
*
jij
k
ijij
k
ik xnnxBep ,
21
La densidad marginal posterior de 3N esta dada por la Beta-Binomial
negativa
*21
**3
1
0213 ,,,, *33 kijkpkNijN dpnnxpfpnfnnxnf
k
Al llevar a cabo la integral se obtiene la función de densidad posterior,
para 3N , siguiente:
*3
3*
3*
213
1
;
,,,
3 xn
n
B
xnxBnnxnf ijN
Donde
2
12
11
j
ij
k
i
x , 2
12
1121
jij
k
i
xnn
Y
k
iixx
13
*.
El estimador Bayesiano será la media posterior de esta distribución,
para obtener este estimador es de gran importancia el uso de las
siguientes identidades,
YXEEXE Y
YXEVarYXVarEXVar YY
22
A partir de
k
ii
k
ii xn
k
x
kk
ii
ik ppx
n
nxpnf 1
331
3 **
13
3
33
*3 1
1,
Se obtiene
1
11**
kp p
Ek
Y
21
212
1**
kp p
Ek
Aplicando las siguientes expresiones YXEEXE Y y
YXEVarYXVarEXVar YY se obtiene
k
iiit xxnnNE
13213 1
1,,
Este es nuestro estimador, y sustituyendo las definiciones de y
queda
k
i
jij
k
i
iit
x
nnxxnnNE
12
11
213213
1
1,,
23
A partir de la ecuación
YXEVarYXVarEXVar YY , utilizando
1
11**
kp p
Ek
Y
21
212
1**
kp p
Ek
Obtenemos la varianza posterior para 3N
111
111
21
11,, ****
213
xxxxxnnNVar it
De manera que tenemos la media y varianza posteriores de la
distribución marginal de 3N , dados los totales 1n y 2n , así como las
observaciones mensuales de los años anteriores y los k primeros
meses del actual.
24
CAPITULO TRES
APLICACION DEL ANALISIS BAYESIANO EN LA
PROYECCION DE SINIESTRALIDAD
En este capitulo se va a utilizar el modelo Bayesiano para variables de
tipo discreto con el fin de brindar una solución eficiente al problema
de las compañías aseguradoras como es la proyección de la
siniestralidad del seguro obligatorio de accidentes de transito (SOAT).
3.1 APLICACION CON DATOS REALES DE UNA ASEGURADORA
Se conocen los datos reales de una compañía aseguradora (Tabla 1)
los cuales corresponden a las reclamaciones realizadas mensualmente
al seguro obligatorio de accidentes de transito de dicha aseguradora
durante los años 2005, 2006 y los tres primeros meses del año 2007.
Estas reclamaciones se dividen en cinco amparos diferentes los cuales
son: Reclamaciones por gastos médicos, reclamaciones por gastos de
transporte, reclamaciones por indemnización en caso incapacidad,
25
reclamaciones por gastos funerarios y reclamaciones por
indemnización en caso de muerte.
La compañía aseguradora necesita obtener la proyección del costo
total de las reclamaciones por amparo al final del año 2007.
MES AMPAROS 2005 2006 2007Med. 470 $ 195.012.417 583 $ 229.875.369 658 $ 259.859.375Tran. 37 $ 3.613.256 43 $ 4.594.089 52 $ 5.236.985Inc. 2 $ 4.536.235 2 $ 4.850.000 2 $ 4.969.058Fun. 5 $ 9.580.126 8 $ 8.677.978 11 $ 23.288.100
Ene.
Muer. 9 $ 57.817.213 10 $ 73.997.018 12 $ 86.062.857Med. 477 $ 199.703.717 518 $ 192.468.997 540 $ 211.357.891Tran. 43 $ 3.999.797 50 $ 4.892.163 47 $ 4.469.830Inc. 1 $ 3.775.046 2 $ 5.822.321 3 $ 6.400.000Fun. 3 $ 4.133.327 8 $ 11.334.836 8 $ 16.587.000
Feb.
Muer. 6 $ 43.000.158 7 $ 42.841.452 9 $ 69.325.860Med. 491 $ 194.422.560 553 $ 209.783.901 583 $ 227.747.081Tran. 30 $ 3.960.085 49 $ 3.772.646 54 $ 4.836.614Inc. 1 $ 2.163.459 1 $ 2.356.981 2 $ 4.896.000Fun. 7 $ 11.994.731 5 $ 10.091.516 5 $ 10.585.500
Mar.
Muer. 8 $ 59.368.159 10 $ 71.171.277 11 $ 79.160.000Med. 481 $ 183.847.622 555 $ 206.648.940Tran. 34 $ 3.490.568 50 $ 4.705.477Inc. 1 $ 1.985.637 4 $ 7.169.989Fun. 4 $ 7.539.872 7 $ 11.568.493
Abr.
Muer. 9 $ 69.549.835 5 $ 29.294.147Med. 510 $ 187.026.231 567 $ 204.138.884Tran. 42 $ 3.656.809 52 $ 3.931.142Inc. 1 $ 2.400.000 2 $ 4.689.741Fun. 4 $ 11.255.319 7 $ 9.985.478
May.
Muer. 6 $ 46.079.212 5 $ 38.791.909Med. 464 $ 194.792.923 566 $ 197.551.000Tran. 43 $ 3.629.387 49 $ 3.109.742Inc. 1 $ 2.400.000 4 $ 5.751.468Fun. 4 $ 6.319.441 10 $ 19.310.902
Jun.
Muer. 9 $ 57.675.167 8 $ 57.468.670Med. 455 $ 193.147.200 509 $ 201.841.654Tran. 43 $ 3.681.328 42 $ 3.025.187Inc. 1 $ 2.169.658 1 $ 2.217.091Fun. 3 $ 6.371.277 5 $ 14.335.262
Jul.
Muer. 4 $ 28.385.126 11 $ 83.188.366Med. 520 $ 196.927.902 513 $ 196.299.060Tran. 38 $ 3.280.331 40 $ 3.582.920Inc. 2 $ 4.358.900 1 $ 2.369.951Fun. 7 $ 8.868.773 9 $ 11.403.975
Ago.
Muer. 5 $ 40.664.589 11 $ 87.745.644
26
Med. 511 $ 180.252.132 502 $ 202.992.756Tran. 36 $ 3.539.470 54 $ 4.574.140Inc. 2 $ 3.827.007 3 $ 6.895.354Fun. 8 $ 12.056.000 9 $ 15.621.506
Sep.
Muer. 8 $ 48.994.065 12 $ 91.013.540Med. 466 $ 191.503.877 566 $ 205.335.403Tran. 45 $ 3.407.498 47 $ 3.348.045Inc. 2 $ 3.337.220 1 $ 2.400.000Fun. 5 $ 5.816.673 6 $ 9.495.181
Oct.
Muer. 5 $ 40.161.618 7 $ 43.437.881Med. 497 $ 180.203.020 547 $ 191.861.214Tran. 38 $ 3.293.968 40 $ 3.761.435Inc. 1 $ 1.950.000 2 $ 3.556.154Fun. 3 $ 5.943.832 10 $ 17.352.021
Nov.
Muer. 6 $ 66.325.685 5 $ 38.957.761Med. 508 $ 181.693.518 562 $ 197.811.471Tran. 34 $ 3.908.045 50 $ 3.491.463Inc. 1 $ 2.107.241 1 $ 2.542.921Fun. 3 $ 3.551.687 5 $ 9.223.543
Dic.
Muer. 7 $ 29.143.169 6 $ 47.590.387Tabla 1. Datos Generales
3.1.1 Cálculo de proporciones
Para cada amparo se calculan las proporciones de las reclamaciones
en cada mes de cada año. Dichas proporciones se encuentran en las
tablas 2, 3, 4, 5 y 6.
MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006
Ene. 470 583 0,080 0,089Feb. 477 518 0,082 0,079Mar. 491 553 0,084 0,085Abr. 481 555 0,082 0,085May. 510 567 0,087 0,087Jun. 464 566 0,079 0,087Jul. 455 509 0,078 0,078Ago. 520 513 0,089 0,078Sep. 511 502 0,087 0,077Oct. 466 566 0,080 0,087Nov. 497 547 0,085 0,084Dic. 508 562 0,087 0,086Total 5.850 6.541
Tabla 2. Proporciones de las reclamaciones por gastos médicos.
27
MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006
Ene. 37 43 0,080 0,076Feb. 43 50 0,093 0,088Mar. 30 49 0,065 0,087Abr. 34 50 0,073 0,088May. 42 52 0,091 0,092Jun. 43 49 0,093 0,087Jul. 43 42 0,093 0,074Ago. 38 40 0,082 0,071Sep. 36 54 0,078 0,095Oct. 45 47 0,097 0,083Nov. 38 40 0,082 0,071Dic. 34 50 0,073 0,088Total 463 566
Tabla 3. Proporciones de las reclamaciones por gastos de transporte.
MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006
Ene. 2 2 0,125 0,083Feb. 1 2 0,063 0,083Mar. 1 1 0,063 0,042Abr. 1 4 0,063 0,167May. 1 2 0,063 0,083Jun. 1 4 0,063 0,167Jul. 1 1 0,063 0,042Ago. 2 1 0,125 0,042Sep. 2 3 0,125 0,125Oct. 2 1 0,125 0,042Nov. 1 2 0,063 0,083Dic. 1 1 0,063 0,042
Total 16 24
Tabla 4. Proporciones de las reclamaciones de indemnización por incapacidad.
28
MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006
Ene. 5 8 0,089 0,101Feb. 3 8 0,054 0,101Mar. 7 5 0,125 0,063Abr. 4 7 0,071 0,089May. 4 7 0,071 0,089Jun. 4 6 0,071 0,076Jul. 3 5 0,054 0,063Ago. 7 9 0,125 0,114Sep. 8 9 0,143 0,114Oct. 5 6 0,089 0,076Nov. 3 4 0,054 0,051Dic. 3 5 0,054 0,063
Total 56 79
Tabla 5. Proporciones de las reclamaciones por gastos funerarios.
MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006
Ene. 9 10 0,110 0,103Feb. 6 7 0,073 0,072Mar. 8 10 0,098 0,103Abr. 9 5 0,110 0,052May. 6 5 0,073 0,052Jun. 9 8 0,110 0,082Jul. 4 11 0,049 0,113Ago. 5 11 0,061 0,113Sep. 8 12 0,098 0,124Oct. 5 7 0,061 0,072Nov. 6 5 0,073 0,052Dic. 7 6 0,085 0,062
Total 82 97Tabla 6. Proporciones de las reclamaciones de indemnización por muerte.
29
3.1.2 Cálculo de proyección de reclamaciones.
Se observa que las proporciones de las reclamaciones son muy
similares, entonces se debe continuar con los cálculos que hacen falta
para saber el total de reclamaciones por amparo del año 2007. Los
cálculos se encuentran de la tabla 7 a la 21.
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 470 583 658 12.391 658 1.052 7.750Feb. 477 518Mar. 491 553Abr. 481 555May. 510 567Jun. 464 566Jul. 455 509Ago. 520 513Sep. 511 502Oct. 466 566Nov. 497 547Dic. 508 562
Total 5.850 6.541 7.750
Tabla 7. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos médicos.
30
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 470 583 658 12.391 658 1.052 7.750Feb. 477 518 540 12.391 1.198 2.047 7.252Mar. 491 553Abr. 481 555May. 510 567Jun. 464 566Jul. 455 509Ago. 520 513Sep. 511 502Oct. 466 566Nov. 497 547Dic. 508 562
Total 5.850 6.541 7.252
Tabla 8. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos médicos.
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 470 583 658 12.391 658 1.052 7.750Feb. 477 518 540 12.391 1.198 2.047 7.252Mar. 491 553 583 12.391 1.781 3.091 7.140Abr. 481 555May. 510 567Jun. 464 566Jul. 455 509Ago. 520 513Sep. 511 502Oct. 466 566Nov. 497 547Dic. 508 562
Total 5.850 6.541 7.140Tabla 9. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos médicos.
31
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 37 43 52 1.029 52 79 677Feb. 43 50Mar. 30 49Abr. 34 50May. 42 52Jun. 43 49Jul. 43 42Ago. 38 40Sep. 36 54Oct. 45 47Nov. 38 40Dic. 34 50
Total 463 566 677
Tabla 10. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos de transporte.
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 37 43 52 1.029 52 79 677Feb. 43 50 47 1.029 99 172 592Mar. 30 49Abr. 34 50May. 42 52Jun. 43 49Jul. 43 42Ago. 38 40Sep. 36 54Oct. 45 47Nov. 38 40Dic. 34 50
Total 463 566 592Tabla 11. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos de transporte.
32
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 37 43 52 1.029 52 79 677Feb. 43 50 37 1.029 89 172 532Mar. 30 49 54 1.029 153 251 627Abr. 34 50May. 42 52Jun. 43 49Jul. 43 42Ago. 38 40Sep. 36 54Oct. 45 47Nov. 38 40Dic. 34 50
Total 463 566 627
Tabla 12. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos de transporte.
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 2 2 2 40 2 3 27Feb. 1 2Mar. 1 1Abr. 1 4May. 1 2Jun. 1 4Jul. 1 1Ago. 2 1Sep. 2 3Oct. 2 1Nov. 1 2Dic. 1 1
Total 16 24 27
Tabla 13. Cálculos de proyección de reclamaciones de indemnización por incapacidad.
33
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 2 2 2 40 2 3 27Feb. 1 2 3 40 5 6 33Mar. 1 1Abr. 1 4May. 1 2Jun. 1 4Jul. 1 1Ago. 2 1Sep. 2 3Oct. 2 1Nov. 1 2Dic. 1 1
Total 16 24 33
Tabla 14. Cálculos de proyección de reclamaciones de indemnización por incapacidad.
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 2 2 2 40 2 3 27Feb. 1 2 3 40 5 6 33Mar. 1 1 2 40 7 8 35Abr. 1 4May. 1 2Jun. 1 4Jul. 1 1Ago. 2 1Sep. 2 3Oct. 2 1Nov. 1 2Dic. 1 1
Total 16 24 35
Tabla 15. Cálculos de proyección de reclamaciones de indemnización por incapacidad.
34
MES2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 5 8 11 135 11 12 124Feb. 3 8Mar. 7 5Abr. 4 7May. 4 7Jun. 4 6Jul. 3 5Ago. 7 9Sep. 8 9Oct. 5 6Nov. 3 4Dic. 3 5
Total 56 79 124
Tabla 16. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos funerarios.
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 5 8 11 135 11 12 124Feb. 3 8 8 135 19 23 112Mar. 7 5Abr. 4 7May. 4 7Jun. 4 6Jul. 3 5Ago. 7 9Sep. 8 9Oct. 5 6Nov. 3 4Dic. 3 5
Total 56 79 112
Tabla 17. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos funerarios.
35
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 5 8 11 135 11 12 124Feb. 3 8 8 135 19 23 112Mar. 7 5 5 135 24 35 93Abr. 4 7May. 4 7Jun. 4 6Jul. 3 5Ago. 7 9Sep. 8 9Oct. 5 6Nov. 3 4Dic. 3 5
Total 56 79 93Tabla 18. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos funerarios.
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 9 10 12 179 12 18 119Feb. 6 7Mar. 8 10Abr. 9 5May. 6 5Jun. 9 8Jul. 4 11Ago. 5 11Sep. 8 12Oct. 5 7Nov. 6 5Dic. 7 6
Total 82 97 119
Tabla 19. Cálculos de proyección de reclamaciones de indemnización por muerte.
36
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 9 10 12 179 12 18 119Feb. 6 7 9 179 21 31 121Mar. 8 10Abr. 9 5May. 6 5Jun. 9 8Jul. 4 11Ago. 5 11Sep. 8 12Oct. 5 7Nov. 6 5Dic. 7 6
Total 82 97 121Tabla 20. Cálculos de proyección de reclamaciones de indemnización por muerte.
MES 2005 2006 2007
21 NN
12
13
iix 1
12
1
2
1
i j
ijx 112
1
2
1
2112
13
i jij
ii
x
NNx
Ene. 9 10 12 179 12 18 119Feb. 6 7 9 179 21 31 121Mar. 8 10 11 179 32 49 117Abr. 9 5May. 6 5Jun. 9 8Jul. 4 11Ago. 5 11Sep. 8 12Oct. 5 7Nov. 6 5Dic. 7 6
Total 82 97 117Tabla 21. Cálculos de proyección de reclamaciones de indemnización por muerte.
37
3.1.3 Cálculo del costo total de las reclamaciones
Ahora que se tiene la proyección del total de reclamaciones para el
año 2007, se debe calcular el valor total de las reclamaciones por
amparo, estos cálculos se realizan con base en el valor promedio de
cada reclamación por amparo de los años anteriores (Tabla 22).
Así queda resuelto para la compañía aseguradora el problema de la
proyección del costo de las reclamaciones del SOAT para el año 2007.
AmparoProyección
Reclamaciones 2007Valor Promedio Por Reclamación
Valor Total Reclamaciones 2007
Gasto Medico 7.140 $ 403.863 $ 2.883.581.820Gasto Transporte 627 $ 93.562 $ 58.663.374
Indemnización Incapacidad 35 $ 2.277.621 $ 79.716.735Gasto Funerarios 93 $ 1.879.858 $ 174.826.794
Indemnización Muerte 117 $ 7.649.868 $ 895.034.556Total 8.012 $ 4.091.823.279
Tabla 22. Cálculos del valor total de la proyección de las reclamaciones por amparo.
38
CONCLUSIONES
Este trabajo muestra que el análisis Bayesiano es una muy buena
herramienta de la matemática como solución a una de las muchas
necesidades que tienen las compañías de seguros, como es la
proyección de siniestralidad que normalmente tiene el agravante de la
falta de información, siendo la aplicación del análisis bayesiano un
recurso adecuado para este problema ya que uno de los fuertes de la
inferencia Bayesiana es que utiliza la poca información ya existente y
se actualiza cada vez que se obtiene nueva información, de esta
forma la proyección cada vez se ajusta más.
Por otro lado después del complejo soporte matemático que tiene el
análisis Bayesiano, se termina observando que en la aplicación se
deben hacer unos cálculos muy naturales teniendo así una
herramienta eficiente y sencilla para la solución al problema de la
proyección de siniestralidad.
39
BIBLIOGRAFIA
De Alba E. (1996), “Bayesian methods applied to time series data”.
Advances in econometrics, 1996. T.B. & R.C.Hill (eds). Jai Press.
Zellner A. (1971), Linear Statitical Inference and its applications,
Wiley.
Prieto, V.H. (1996) “ Introducción al análisis bayesiano”.
Gelman, AQ., Carlin, J.B. , Stern, H.S.,Rubin,D.B.,1994. Bayesian
data analysis. Draft
Rao, C.R. (1973), Linear Statistival inference and its applications,
Willey.
