Análisis combinatorio

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K. RIBNIKOV

Análisis combinatorio

Editorial Mír Moscú

ISBN S-03-00061~9

Traducido del ruso por K .M<dk-0v

Impreso en la URSS

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© l1l11&TCJ11>CTBO Mocxoac•oro yirnaepc11-rera, 1985 © traducido al español, editorial Mir, 1988

ÍNDICE

Prólogo 6 Capítulo l. Fundamenlos teóricos del ammsis combinatorio 7

1.1. Qué se estudia e11 el análisis combinatorio y qué clase de problemas se resuelven 1

1.2. Conocimlentos indispensables de la t<Orla de los conjuntos y del álgebra 9

1.3. Muestras y ordenaciones 17 1.4. Distribuciones y llenados 23 1.S. Sistemas de conjuntos 32

Capitulo 2. Funciones generatrices 37 2.1. Fundamentos del método de (unciones seneratnces 3J 2.2. Tipos de funciones generatrices y de numeradores 40 2.3. Aparato operacional del método de funciones generatrices S2 2.4. Sobre las apllcaclones del m~odo de funciones generatrices 62 2.S. Tcorla de Redfield-l'olya 66

Capítulo 3. Métodos lógicos 74 ).l. Método de inctusiones y exclusiones 74 3.2. Sistemas de represenranres de los conjuntos 78 ).). Priucrpios de l<> teoría do Ramscy 83

Capítulo 4. Apar.ilo htbular de matriz del análl~is eombíeatorío 87 4.1. Siscc111:1s de 111C"1<.knda y inatrice.'( especiales 87 4.2. Rc<tán¡¡ufus y i:uadra<lus latino> 93 4.3. Bloquo -e squemas 101 4.4. Permanemes lfl

Capítulo S. Medios geométricos y gráficos 130 .5.1. Evidencia en las interpretaciones de los sistemas di$CICIOS 130 S.2. Ideas gecmétricas ílJ1jrns 132 S.3. Sobre los grafos 144

Capítulo 6. Métodos de resolución de los problemas extremales 159 6.1. Planteamiento de los problemas combinatorios t""Xtremalc.s y accesos a

su resolución 1 S9 6.2. Método de ramificadones y rcstriccioucs0 l6S 6.J. Métodos hcurísucos 179 6.4. Opunuzacréu en los grafos 189 6.S. l~uJOS en las redes 192

Capitulo 7. Métodos probabilísticos en el análisis comblnstorle 206 7.1 (;jcmplos de aplicadón de lo• métodos probabillstioos 206 7 .2. 1•robkmn) Je planilícadón del experimento 210 7.J. Método de enuopía 214 7.4. Método de balance aleatorio 220 7.S. Sistemas scpArodoro lle subccnjuntos 224

Capítulo 8. Análisis comblnatorlo en los conjuntos parcialmente ordenados 232

l:U. Coruuruos parcsatmenre ordenados 2)2 8.2. Retículos 263 8.3. l'uncior.cs 11< 1nc1denciá e mversión de Moebius 248 8.4. Matroitlcs 324

Bibliografla J61 Índice alfabético de materias 367

PRÓLOGO

En el presente libro se examinan los métodos matemáticos de investiga­ ción de los sistemas discretos. Esta clase de sistemas ocupan un notable lugar en la actividad de la gente y existe una diversidad de tipos difícil de examinar (circuitos eléctricos, flujos de transporte e información, siste­ mas de organización de la producción, tablas, grafos, razonamientos lógi­ cos, etc.).

Pese a que el carácter específico y heterogéneo de los sistemas discretos aparenta ser insuperable, éstos tienen en sus fundamentos mucho de co­ mún. Esto se manifiesta con toda evidencia en la semejanza e, incluso, en la coincidencia de los modelos matemáticos que se introducen al resolver problemas de carácter discreto,

Las amplias clases de los sistemas discretos se analizan en nuestro libro como panes de una teoría única. Dentro de los márgenes de dicha teoría (que históricamente conserva su nombre de análisis combinatorio) las clases citadas ocupan su lugar en dependencia de cómo se interpretan sus entes, qué problemas se estudian y cuáles son los métodos que se eligen para resol­ verlos. Tal exposición, como muestra la experiencia, facilita el estudio del análisis combinatorio y atribuye a esta parte de las matemáticas los rasgos necesarios de universalidad, tanto teórica como práctica.

Para que el lector obtenga una mejor orientación en la moderna teoría combinatoria general, el capítulo ocho del libro, escrito en colaboración con A.M.Reviakin, contiene material referente a la aplicación de problemas y métodos del análisls combinatorio a los conjuntos <le naturaleza lo más amplia posible.

Resta por añadir que el autor expresa su más profundo agradecimiento a sus disclpulos y colegas que prestaron una valiosa cooperación, y muy especialmente a A.M.Rcviakin, quien ayudó activamente al autor en el pro­ ceso de preparación de la versión española del libro.

El autor quedará agradecido por las observaciones de los lectores.

CAPÍTULO l FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL ANÁLISIS COMDINATOIHO

En este capítulo se dan explicaciones que tienen por ffo permitir al lec­ tor la formación de nociones elementales sobre el análisis -combinatorto (combinatoria). Se trata de los objetos que se estudian en el anállsis combi­ natorio (considerado como una asignatura) y de Jos problemas que en este caso se plantean y se resuelven. Además, si; introducen los conceptos princi­ pales, operaciones y simbolismo. Por fin, se explican los procedimieruos aplicados en la resolución de los problemas combinatorios no complejos que se plantean tanto en la teoría co1110 en la práctica.

l. t. QUI;; SE ESTUJ)IA EN fü, ANÁLISIS COMllINATOJHO Y QUÉ CLASE DE PROBLEMAS SI~ RESUELVEN

Enunciemos, para iniciar, unos cuantos problemas. Harémoslo para que el lector perciba intuidvamcnte el carácter combinatorio <le dichos proble­ mas y esté mejor preparado para poder ashuilar las formulaciones generales.

a) Uno que ha terminado In enseñanza media y aspira a ingresar en la Universidad tiene que aprobar cuatro exámenes, siendo el sistema de cali­ ñcaciéu de cinco puntos. Para ingresar es suficiente obtener 17 puntos. ¿Cuántas son las combinaciones que le permiten aprobar los exámenes (por supuesto, sin sacar ni un solo mal?

b) ¿Cómo se debe buscar el itinerario más corto para Ull cartero o un operador cinematográfico que atienden un número dado de poblados? La distancia entre cada par Je poblados se conoce.

e) ¿Que número de reinas o de otras piezas de ajedrez es suficiente para que 'ellns mantengan bajo amenaza todas las casillas del tablero de ajedrez y.no se puedan comer una a la otra? ¿Cuántas son las combinaciones ele su colocación?

d) ¿ En cuántas parres dividen un espacio 11 planos, si de cuatro cual­ quiera de ellos ninguno pasa por un mismo punto, de tres, ninguno pasa por una misma recta y de dos, ninguno es paralelo, mientras que cuales­ quiera tres planos tienen un punto común'!

Los problemas de esta índole son semejantes por el hecho de que, en primer lugar, en ellos se estudian los conjuntos discretos (compuestos de elementos separados, aislados). En Ja mayoría de los casos los conjuntos mencionados son finitos. Tampoco se excluyen del análisis combinatorio los conjuntos infinitos, compuestos por un 11(1111cro infinlíarncntc grande

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<le elementos, sicmpi e que haya una información su ficicntc sobre las pecu­ liaridades estructurales de estos últimos conjuntos. La estructura ele los conjuntos discretos puede ser muy compleja en función de las relaciones y razones existentes entre ellos. La primera principal tarea del análisis com­ binatorio consiste en estudiar tales estructuras discretas y expresar sus pro· piedades empleando los métodos adoptados en las matemáticas (analíticos, gráficos, tabulares y geométricos).

Sobre los conjuntos discretos se rca líz an operaciones, t\lg11n:1s de ellas originan el cambio de la estructura de los conjuntos, otras modifican la composición de éstos. Como operaciones más simples del primer tipo inter­ vienen las permutaciones habituales de elementos, y del segundo upo, la separación de los subconjuntos de elementos, o, como suele decirse, sus muestras. Como regla, al resolver los problemas, las operaciones se aplican más de una vez (reiteradamente) y, además. en las combinaciones más diver­ sas, cuando vienen impuestas diferentes condiciones. Esto es una razón por la que se prestan posibilidades prácticamente inagotables de crear construc­ ciones discretas, las cuales se denominan frecuentemente configuraciones (a veces, configuraciones combinatorias).

Según sean el carácter del objeto de Invcsrigación y las operaciones n introducir. se dcrcrmina la totalidad específica de los problemas que se re­ suelven mediante el análisis combinatorio. Los mó~ antiguos son problemas sobre el número de construcciones discretas que satisfacen las condiciones planteadas. Los métodos de su resolución han recibido el nombre de proble­ mas enumerativos. Además de los problemas de tipo enumerativo, en el análisis combinatorio se estudian cuestiones de existencia o no existencia de una configuración que satisfaga las condiciones prefijadas, se buscan algoritmos de construcción de las configuraciones, como también las cues­ tiones de selección en una totalidad dada ele tales configuraciones o algorit­ mos que posean, e11 un mayor o menor grado. las propiedades elegidas (problemas y métodos de oprimización).

El nuálisis combinatorio está asociado con muchos apartados de lus matemáticas e incluso tiene parles comunes correlacionadas. Efectivamen­ te, los elementos de los razonamientos combinatorios surgieron en tiempos remotos, antiguamente. en la aurora de la formación de las ciencias mate­ máticas. No obstante, en el transcurso de la historia estos elementos se de­ sarrollaban junto con otras partes de 1'1S matemáticas, integrando en diver­ sos casos la composición de éstas, No es diflcíl ver que en una serie de ramas de las matemáticas modernas (teoría de los números, álgebra, geo­ metría, lógica matemática y otras) muchos conceptos y métodos fundamen­ tales tienen naturaleza discreta y poseen conexiones estables. Esto permite estudiar los problemas del análisis combinatorio en diferentes interpreta­ ciones, investigar problemas, que a primera vista parecen tener diferente naturaleza, desde un punto de vista único que corresponda del modo más conveniente a la esencia del problema.

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Hoy dla las posibilidades de los métodos discretos ele ínvcstignción aumentaron muy bruscamente. Ha crecido también la importancia de estos métodos. A la par con la teoría combinatoria general formada histórica­ mente (análisis combinatorio) existen en las matemáticas modernas: la reo­ da de los grafos Y de los hipcrgrafos, geometría de los números, análisi~ . discreto y análisis finito, invcsrigación de opernctoncs, etc. en los Iibros. y artículos se consideran ciertas clases de problemas, lo que es tcstimonlo de amplia ramificación y riqueza de las invcstigacioucs combinatorias.

La tarea de este libro consiste en exponer el auátisls combinatorio como una teorla matemática de investigaciones de Jos conjuntos discretos en sus diferentes interpretaciones, teniendo presente que dicha teoría está basn<la en principios únicos, es suficientemente rica en lo que se refiere a los méto­ dos que se emplean y puede servir de base teórica general para los métodos. discretos de investigación en las rnarcmátlcas.

1.2. CONOCIMIENTOS lNDISPF.NSAHl.F,S DE LA TIWRÍA DE LOS CON.JUNTOS Y DEL ÁLGEURA

La información que se incluye en este pñrrafo del libro $C dcsriua para describir las propiedades de los objetos que se estudian en el nnillisis combi­ natorio, las operaciones que se realizan sobre ellos y para uuroducir un simbolismo uniforme. Las definiciones, los términos y los símbolos se eli­ gen, por regla, de los que son de uso general en las matcmñncus. La intro­ ducción de ellos será paulatina.

El concepto principal es el de co11j1111to. No damos definición de este concepto debido a una tautología inevitable, Tudos los conjuntos que se analizan en el libro (si no hay referencias a una precisión especial) son discretos y Finitos. Los conjuntos sedesignarán mediante letras mayúsculas latinas A, B, ... , y los elementos de los conjuntos, mediante tetras 111/111ísc11- /as a, /J, .••. Escribiremos aE/I, si el elemento a pertenece al conjunto A, y a~A. si a 110 pertenece al conjunto A. Se denomina s11bccmj11111110 A del conjunto S(A SS) cualquier conjunto cuyos elementos pertenecen todos a S. En airas palabras, A s s, si de aEA se deduce que aES. Los conjuntos A y B coinciden o son iguales (A = 8), si están compuestos por unos mis­ mos elementos. Dicho de otro modo, A = 8, cuando y sólo cuando AS /J y BSA. Si A <;;B, pero A ~ B, suele decirse que A es un subconjunto pro­ pio del conjunto B, y se escribe: A e D.

Los conjuntos, al igual que los subconjuntos, pueden introducirse y de­ signarse mediante diferentes métodos. Por ejemplo, un subconjunto A del conjunto S se define frecuentemente como conjunto de lodos los elementos aES que poseen cierta propiedad bien determinada. Si designamos esta pro­ piedad mediante P(a), la definición de A puede escribirse simbólicamente así: A = (a ES 1 P(a)), o bien (simplemente) A = la l P(a)). Estas inscrip­ ciones se leen del modo siguiente:''A es un conjunto de todos los elementos

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a del conjunto S, para los cuales resulta válida la condición P(a)". Por ejemplo, la inscripción A = (a 1 aEN y a = 21> para cierto bEN J, donde N es un conjunto de números naturales, describe el conjunto de todos los números positivos pares.

Introduzcamos el s(mbolo 0 para designar con él un conjunto vado, es decir, conjunto sin elementos. Es evidente que cualquier conjunto con· tiene en calidad de subconjunto un conjunto vacío. Por P(S) designaremos un conjunto de todos los subconjuntos del conjunto S, el cual contiene, en calidad de elementos, todos los subconjuntos propios A que satisfacen la condición 0 CA CS, como también el conjunto vacío 0 y el mismo conjunto S. Por ejemplo, si S = 1 a, b, e}. entonces P(S) contiene, además de 0 y S, seis subconjuntos propios la l. lb), (e), lo, b), (o, e l. 1 b, e). En general, si S se compone de 11 diferentes elementos, entonces P(S) contiene 2" diferentes subconjuntos. Por eso, en la literatura matemática P(S) se denota también con 2'.

Diremos que está dada la aplicación VJ del conjunto A en el conjunto JJ, si a todo elemento del conjunto A se le ha puesto en correspondencia cieno elemento del conjunto D. Para designar Ja aplicación "'de A en B, haremos uso del símbolo "': A-• B. Si o EA, entonces el elemento de 8, que se le ha puesto en correspondencia al elemento a, se designa mediante 'f'{a) y se denomina imagen del elemento o en la aplicación '{). Si bEB. en­ ronces cualquier elemento a de A, para el cual se verifica la igualdad b = \O(a), se llama preimagcn (imagen reciproca) del elemento b. El conjun­ to A lleva el nombre de origen de la aplicación "'' y el conjunto B es el fin de la aplicación citada. Por supuesto, cada elemento del origen de la aplicación y> tiene exactamente una sola imagen. No obstante, no todo ele­ mento del fin de dicha aplicación tiene necesariamente una preimagen. Por otra parte, el fin de una aplicación puede contener elementos que cuentan con varins prcimágcncs. Un subconjunto del fin de la aplicación "' com­ puesto por todos los elementos suyos que tienen preimagen, o bien, lo que es lo mismo, que se representan en la forma op{a) para cierto aEA, se deno­ mina imagen (le la oplicac~ón.,. y se.designa Im op. Para un conjunto finito A = l '!1, a1, .... , a,. l se emplea con frecuencia la inscripción de la aplicación .,.,: A-. 8 en íorm;i de dos filas, n saber

Y' = ( a1 a2 ª•) 'f'('11) op(a1) op(t1,.) ·

Dos -aplicaciones 1"1 : A1-B1; ip2 : A2-B2 se consideran iguales, si A1 = A1, 81 ... 82, y <p1(a) = '1'2{0) para cualesquiera aEA1. La aplicación ip' : A•-. lJ es una contraccián sobre A• de la aplicación 'f' : A-. B, siempre que A'¡;A y ip'(a)"" ip(a) para todo aEA'.

La aplicación "' : A ... D lleva el nombre de encaje (inmersión), si cada elemento de D tiene no más de una preirnagen, es decir, '{)(a) = v>(b) lleva

JO

consigo a = b, Si cada elemento de B tiene al menos una prcimagen, o bien, con otras palabras, lm\O = B, la aplicación "' se denomina superposi­ ción. Una superposición \O : A-. B se llama también aplicación de A sobre B. Una aplicación que representa a la vez un encaje y una superposición se denomina biuntvoca (biyectiva),

Si A "' B, la aplicación biunívoca \O : A ..... A se llama sustitución. Los conjuntos pueden ser finitos (es decir, compuestos por un número

ñnito de elementos) e infinitos. El número de elementos en un conjunto A recibe el nombre de potencia del conjunto A y se designa con 1 A 1 . Se dice que los conjuntos A y B son equipotentes, si existe una aplicación biunívoca "' : A-+B. Evidentemente, dos conjuntos finitos son equipoten­ tes, cuando y sólo cuando contienen ambos un número igual de elementos. Denominaremos n-conjunto a todo conjunto finito A tal que 1 A 1 = n, Los conjuntos infinitos pueden ser equipolentes a alguno de sus subconjun­ tos; por ejemplo, el conjunto de los números naturales es equipotente al conjunto de los números positivos pares y al conjunto de sus cuadrados. Entre los conjuntos infinitos se destinguen los conjuntos numerables e in­ numerables. Se llama numerable todo conjunto infinito que sea equipotentc con el conjunto de números naturales. En adelante, cuando se trate de con­ juntos infinitos, éstos se considerarán numerables.

Definamos ciertas operaciones que se realizan en el conjunto P(S). Se llama unión (reunión o suma) AUB de los conjuntos A y Bel conjun­

to de todos los elementos pertenecientes o bien a A, o bien a 8 (o bien a A y 8 simultáneamente):

AU B = { aES 1 aEA, o bien aEB J.

Se llama intersección ( o producto) AllB de los conluntos.zt y B el conjunto de todos los elementos pertenecientes tanto a A, como a B:

AllB - (aES j aEA y aEB).

De un modo análogo se definen las uniones e intersecciones de un siste­ ma arbitrario (incluido el infinito) de conjuntos.

Se llama complemento del conjunto A el conjunto A=(aeSla~AJ.

Se llama diferencia de los conjuntos A y 8 el conjE_nto A'\. B = (a E S 1 a E A y a~ BJ. Es evidente que A '\.B = An B. Se llama diferencia simétrica de los conjuntos A y B el conjunto

A.6..8"" (AU B)'\.(An B) =(A '\.8) V (8'\.A).

El conjunto P(S) con las operaciones de unión, intersección y de complemento definidas sobre él recibe el nombre de booleano. Quedan váli· das en este caso las siguientes leyes algebraicas:

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l. An A =A; AV A =A (idempotencia); 2. An B = B ()A; A U B =BU A (conmutatividad); 3. A n (B () C)"' (A n B) n C; A U (BU C) = (A) U C(asociatividad); 4. A () (A U B) = A U (A íl B) "' A (absorción); 5. Si A ~C. se tiene A U (8 n C) =(A U 8) n C (modularidad); 6. A (\ (B u C) = (A n B) u (A n C);

A U (8 () C) = (A U B) n (A U C) (distributividad); 7. A n 0 = 0; A U 0 =A; (fronteras universales);

A n S = A; A U S "" S 8. A n A = 0; A u A= s (complementariedad); 9. A:A 10. A n B "' A u B; A u B = A n B (leyes de De Morgan). Si A n B = 0, entonces A y B se llaman conjuntos disjuntos. La repre-

sentación del conjunto Sen forma de una unión de los subconjuntos disjun­ tos dos a dos recibe el nombre de particián del conjunto S. En otras pa­ • labras, A1, Az, .... , A• es una partición del conjunto S, si S = U Ai. y

l•I

A1 n A; = 0 para cualesquiera í ;o! j. U na totalidad de todos los pares orde­ nados (a, b) tales que u E A, b E B, se denomina producto directo (carte­ siano) de los conjuntos A y B y se designa por A x B, es decir,

A X B = \(a, b) 1 a E A, b e B}.

Si A "' 8, el producto directo A ><A se denota con A2• Análogamente se determina el producto directo de k conjuntos: Ai X A2 X .... X Ak =[(a¡, 0:2, ····, ak) 101 E Ai. Oi. E A2, .... ,a;. E A1d,

y, al coincidir los conjuntos, tenemos: Ak .. A x A x ···· x A. Enunciemos las reglas evidentes que yacen en la base de muchos cálcu­

los y estimaciones combinatorios. k

Regla de hl sumu. Si S es un conjunto finito y S = U A1, donde /al

A; E P(S), i = 1, 2, .... , k, entonces

1s1 = 1j~IA11 ~ /~I 1A11 • con la particularidad de que la igualdad tiene lugar cuando Ai. A2, ... , Ak forman una partición del conjunto S.

Regla del producto. Para los conjuntos finitos A1, A2, ... , Ak tenemos k

1A1 X A2 X .•. X A1; 1 = TI 1 Ad . ;-1

Llamemos correspondencia binaria entre los conjuntos A y B cualquier subconjunto A s;A x B. Si (a, b)Ecx, suele decirse que a se encuentra en 12

G.

f'ig.l.l

relación ex respecto a b, y esto se expresa en la forma aab, La noción de correspondencia binaria entre A y 8 sirve de generalización del concepto de la aplicación 'I' : A-> B. En efecto, cada aplicación "' : A-+ B define- la correspondencia binaria ex,. entre A y 8: la expresión aa,,b significa que b = tp(O). Viceversa, sea dada una correspondencia binaria a entre los con­ juntos A y B. Analicemos para todo aEA el conjunto de todos los bEB que se caracteriza por la propiedad aob. Dicha correspondencia define la aplicación "' : A .... B, cuando y sólo cuando para todo aEA existe exacta­ mente un solo elemento bEB que se caracteriza por las propiedades aab, Así pues, la noción de correspondencia binaria incluye el concepto de aplí­ cación como un caso particular (muy importante).

Cuando A = B, la correspondencia binaria ¡¡<;;A x A lleva el nombre de relacion binaria en el conjunto A. Son ejemplos de relación binaria la relación de igualdad A "" 1 (o, a) 1 a E A 1. llamada diagonal del conjunto A. y la relación que coincide con todo el conjunto A x A, denominada relación unidad.

A una relación binaria Q sobre el conjunto finito A se le puede poner en correspondencia un ente geométrico llamado grafo orientado o diagra­ ma. A todo elemento o E A se le pone en correspondencia un punto en el plano que lleva el nombre de vértice. Si para o y b tenemos aob, los puntos marcados con o y b se unen por una flecha que parle de a y llega a b y que se denomina arco. La totalidad de vértices y arcos construidos del modo mencionado representan el diagrama r(A, Q) de la relación '1· En la fig. 1.1 se exponen los diagramas r(A, .o.) y I'(A, 1), respectivamente, donde A =(a, b; e), I =Ax A.

Sea A' un subconjunto no vacío del conjunto A, sobre el cual viene dada la relación binaria e: de la relación e' en A', definida mediante la condición

OQ 'b = aeb para cualesquiera a, b E A',

se dice que ella está inducida mediante la relación e. Formulemos las propiedades que pueden tener las relaciones binarias.

Una relación Q se denomina reflexivo, si OQO para todo a E A. Dicho de otro modo, una relación es reflexiva, siempre que A~ '1· Si la expresión aob lleva consigo boa, Ja relación Q se llama simétrica. En cambio. si OQb y b¡¡l1 tienen por resultado a = b, la relación '1 se llama antisimétrica. Una relación Q se llama transitiva, si ac¿b y bec conducen a OQC. No es difícil

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convencer-se de que la diagonal posee todas las cuatro propiedades citadas: mientras que la relación unidad tiene todas estas propiedades, a excepción de la antisimetría. Pero, si A se compone sólo de un elemento, la relación unidad coincide con la diagonal.

Se denomina clase contiguo de la relación binaria Q, definida por un elemento a E A, el conjunto de todos los elementos b E A tales que b oa,

La relación binaria Q en el conjunto A se llama relación de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. Las relaciones de equivalencia son de gran importancia en el análisis combinatorio, puesto que están estrechamente ligadas con las particiones de los conjuntos. Efectivamente, puede demostrarse con facilidad que una totalidad de clases contiguas de relaciones de equivalencia sobre un conjunto S representa la partición de este último y que a toda partición del conjunto S le corresponde la relación de equivalencia Q. cuyas clases coinciden con los bloques de la partición indicada (la afirmación aob tiene lugar, si y sólo si a y b pertenecen a un mismo subconjunto de la partición del conjunto S).

Una relación binaria Q sobre el conjunto A se denomina relación de orden parcial, si es reñexiva, antisimétrica y transitiva. La relación de orden parcial se denotará con el símbolo ,.; . La notación a ;;: b significa que b ,¡;; a. A veces diremos que A (o bien (A, .::; )) es un conjunto parcialmente ordenado, suponiendo que Ja relación de orden parcial ya es conocida (esta afirmación, sin embargo, no es bien correcta, por cuanto en un solo couiun- 10 pueden fijarse órdenes diferentes).

Un conjunto parcialmente ordenado se denomina trivial, siempre que a ~ b, cuando y sólo cuando a = b. Un conjunto parcialmente ordenado (A, ~).que posee la propiedad de que para cualesquiera a, b E A se verifica o bien a.~ b, o bien b ~ a, lleva el nombre de cadena (lo llaman también conjunto lineatmente ordenado).

Recordemos, además, algunos conceptos algebraicos que nos harán fal­ ta ulteriormente. Se denomina operacián bmaria sobre el conjunto A la aplicación f: A x A ..... A. Si /(a, b) = e, donde· a, b, e E A, se escribe a "b = c. Una operación binaria se llama asociativo, si para cualesquiera o, b, e E A:

(o•b) •e= a,.(boe).

Si una operación binaria satisface la condición a=b = b-«

para cualesquiera a, b E A, se denomina conmutativa, El elemento eEA se denomina elemento unidad (elemento neutro) respecto de la operación •, si para todo a E A:

Si tal elemento existe, es único. Supongamos que un conjunto A con opera· cién prefijada posee un elemento unidad e. En este caso el elemento a - 1

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se denomina inverso (o simétrico) del elemento oEA con relación a dicha operación, siempre que 0•0-1 = o- 1•a = e. El conjunto A conoperación binaria », en el cual las ecuaciones a-x = b, e y•a = b son resolubles unívo­ camente respecto de x e y para cualesquiera o, bEA se llama casi grupo. Un conjunto no vaclo A, sobre el cual viene definida Ja operación. binaria asociativa, recibe el nombre de semigrupo. Si la operación es conmutativa, el semigrupo se llama abetiano. Un scmigrupo, en el que existe un elemento unidad y para cada elemento existe uno inverso, se denomina grupo. El número de elementos en el grupo se llama orden del grupo. Un grupo cuyos elementos son todos Ja potencia de un elemento a (es decir, pueden obtener­ se por la aplicación sucesiva de la operación, empleando un mismo elemen­ to a distinto del elemento neutro) se llama ctciico. Los grupos cíclicos son siempre abelianos.

Sean A y B los grupos finitos de órdenes arbitrarios con las operaciones binarias • y•, respectivamente, y supongamos que op: A--+ B es una aplica­ ción, con Ja cual para cualesquiera a, a' E A se verifica la igualdad

'f'(O •O') = 'f'(O)•tp(a'),

Tul aplicación "' se llama homomorfismo del grupo A en el grupo D. Si "' es una aplicación biunívoca, el homomorfismo recibe el nombre de isomorfismo.

Ejemplo. Un conjunto de sustituciones 'I' : X--+ X forma un grupo, si la operación • se define corno resultado de la actuación sucesiva de dos sustituciones, es decir tp•Y, = ..-, donde vx E X: ir(x) = .J¡(.p(x)). Dicho gru­ po lleva el nombre de grupo simétrico de potencia 11 = 1X1 . Es fácil mostrar que todos los grupos simétricos de un mismo orden son isomorfos. Observemos que los grupos simétricos no son abelianos cuando n ~ 3.

Si en un subconjunto B~A el resultado de una operación de dos cuales­ quiera elementos de B pertenece también a B, suele decirse que B está cerra­ do respecto de la operación dada. Se llama subgrupo a un subconjunto no vacío del grupo que está cerrado respecto de la operación binaria y que para cada elemento contiene un-elemento inverso.

Un conjunto A con dos operaciones binarias +v- se denomina anillo. siempre que forma un grupo abeliano respecto de la opcración-s , un se­ migrupo respecto de Ja operación-, y si· es distributiva respecto de la operación+; es decir, si para cualesquiera a, b, cEA se tiene

(a + b)•c = a•c + b+c, c•(o + b) = c•a + c-b,

En un anillo Jos elementos neutros respecto de las operaciones + y • se denominan nulo y unidad, respectivamente. Un elemento del aniUo se llama invertible, si para dicho elemento existe un elemento inverso respecto de la operación •.

Si un conjunto de elementos de un anillo, distintos de cero, forma res-

1$

pecio de la operacióu • un grupo abeliano, entonces el anillo se llama en este caso campo. U11 campo en el que se contienen un número finito de elementos se llama finito. Un campo finito de n elementos existe, cuando y sólo cuando 11 ,., p", donde pes un número primo y a, un número natu­ ral. Tal campo es único con exactitud hasta un isomorfismo en el que se conservan ambas operaciones binarias. Este campo se denomina de Galois y se designa, de ordinario, con la expresión GF(p"). Si ex "" 1, GF(p) es isomorfo al campo de residuos respecto al módulo primo (o irreducible) p.

Como ejemplos de un anillo infinito y de un campo infinito sirven el anillo de números enteros Z y el campo de números reales R. Las opera­ ciones binarias son aquí operaciones corrientes de adición y multiplicación.

Se denomina espacio lineal L sobre el campo P el conjunto dotado de la operación binaria cp: L x L-+L, Ja cual se designa habitualmente como ndición cp{a, b) = o + b para a. b E L. y de la operación binaria externa f:P x L->L, la cual se designa habitualmente como multiplicación /(p, a) = pa, con la particularidad de que dichas operaciones satisfacen los si­ guientes .axiomas:

a) con respecto a la operación de adición el espacio L es un grupo abe­ liM10. El elemento neutro de este grupo se denota con O; el elemento inverso de Q se designa corrientemente con - u:

b) la multiplicación de los vectores por los elementos del campo P, o por los escalares, es unitaria, es decir, l ·a= 11 para todos los a, y asociativa, es decir, µ(qa) = (pq)a para cualesquiera p. q E P; a E L:

e) la adición y la multiplicación están unidas mediante las leyes de distri­ butividad, es decir,

p(a + b) = pa + pb,

(p + q)a = pa + qa

para cualesquiera p, q E P; a. b E L. La expresión del tipo P•ª• + ···· + Pnª" lleva el nombre de combinacion

tineat de los vectores a1, ai, ····• a.; Jos escalares p1 se llaman coeficientes de dicha combinación lineal.

Se denomina álgebra sobre el campo P el anillo asociativo con la unidad A que coni iene el campo P y es tal que f> yace en el centro de A, es decir, que conmuta con lodos los elementos de A. En particular, A es un espacio lineal sobre el campo P.

Los conceptos nuevos se introducirán más adelante a medida que surja la necesidad. Pasemos, ahora, a la explicación del sentido de las opera­ ciones combinatorias más simples. Nos limitaremos, para empezar. al análi­ sis de los conjuntos linealmente ordenados. Sin embargo, estudiaremos también, en forma paulatina. los conjuntos de estructura más compleja.

16

1.3. MUESTRAS Y ORDENACIONES

Con el concepto de muestra se asocian tanto la propia operación de selección de un subconjunto del conjunto dado, como también el resultado de la operación citada, es decir, el subconjunto elegido. En lo sucesivo se tendrá en cuenta precisamente la segunda interpretación, siempre que no se diga lo contrario.

Supongamos que de un 11-conjunto An se ha obtenido una r-rnuestra: (ai, ai, ... , a,), donde a1EA.; i = 1, 2, ... , r; r ~ n.

El número r se llama volumen de la muestra. Según sean las condiciones del problema, en las muestras puede tomarse

en consideración el orden de sucesión de los elementos en ellas (y en este caso las z-ruuestras se llaman r-permutacionesy; o bien dicho orden no se ' toma en consideración (en este último caso se denominan r-com­ binaciones). Por ejemplo, dos 5-mucstras del conjunto An(n ;;,, 5):

(a1. ai, a1, a.. ll$) y (as, <4, as, ai, a,)

representan en si 5-combinacioncs iguales y al mismo tiempo 5-permutaciones diferentes. En general, dos r-pennutaciones 11 = (a,, 01, ...• a,) y b = (b1. bi •... , b,) son iguales: a = b únicamente si o, = b1; i"' 1, 2, ... , r. En las muestras es posible la aparición reiterada de los elementos, y en tal caso ellas se: denominan r-combinaciones con repetición y r-per­ mutaciones con repetición, respecuvameme, Una r-perrnutación {con repe­ tición) de elementos del conjunto A se llama también palabra de longitud r sobre <!I atfabeto A.

Es evidente que los conceptos de z-pcnnutaciones y r-cornblnacloucs, al igual que sus combinaciones, abarcan todos los tipos posibles de muestras. Por eso no hay necesidad de dar el concepto de arreglo (va­ riación), aunque dicho concepto aparece todavía en In literatura, principal­ mente en los manualcs.

La multifonnidad de la solución de los problemas combinatorios obser­ vada en las etapas iniciales del desarrollo de las matemáticas condujo a una cuestión natural; ¿cuántos son los procedimientos, por medio de los cuales puede realizarse la requerida disposición combinatoria? En particu­ lar, el cálculo del número de r-muestras de un 11-coujunto fue históricarnen­ te uno de los primeros problemas de la combinatoria.

Hallemos el numero de todas las r-permutacioues posibles (sin repetí­ ción) de un n-conjunto. Denotemos el número que se busca mediante /'(11, r). El problema se reduce a una aplicación sucesiva de la regla del producto. En efecto, en el fl·COnjunto se tienen 11 posibilidades para elegir el primer elemento de la z-permutación. Una vez realizada tal elección, quedan 11 - 1 posibilidades para ln elección del segundo elemento, luego quedan n - 2 posibilidades para elegir el tercer elemento, etc.: para la elección del r-ésirno 2 -MI.~

17

l'is: 1 2.

elemento tendremos 11 - r + 1 posibilidades. De acuerdo con la regla del producto,

/'(n, r) = 11(11 - 1) ... (n - r ·1- 1),

de donde se deduce P(n, n) = n!

Para que el resultado sea más completo, admiramos P(11, O) = O! = l.

Calculemos ahora el número de r-permutacioncs posibles con repeti­ ción. En este caso, después de elegir cualquier elemento de lar-permutación quedan las mismas 11 posibilidades para elegir el elemento siguiente. Por consiguiente, según la regla del producto, el número de r-permutaciones con repetición del n-conjunto es igual a n',

Los razonamientos aducidos aquí se ilustran fácilmente con un ejemplo del esquema de urna, cuyos diferentes tipos se empican en la teorla de las probabilidades: se tiene una urna dentro de la cual se encuentran colocadas n bolas iguales y de la cual se sacan por turno r bolas. En tal caso resultan posibles dos casos: la bola sacada o bien se retorna a la urna (elección con retorno) o bien no se retorna (elección sin retorno).

Un ejemplo más. ¿Cuántos subconjuntos tiene un n-coniunto S, es de­ cir, a qué es igual 1 P(S) l 7 La respuesta será 1 P(S) 1 = 2". Efectivamente, cualquier r-rnuestra R = (s;1, s;2, ... , s1,), donde r = l, 2, ... , n, figura en P(S). A estar-muestra. se le puede poner en correspondencia unan-muestra, compuesta' por elementos de dos tipos: ceros, si el elemento no integra la r-muestra R, y unidades, si el elemento figura en R. De este modo, las uni­ dades deben disponerse en los lugares correspondientes a Is, ii, .... , i., mientras que los ceros, en los demás lugares. Pero, el número de tales n­ muestras (es decir, de n-permutaciones con repetición) de z-conjunro (O, 1 ) es igual a 2", lo que constituye precisamente el resultado buscado. Este mis­ mo problema puede interpretarse como el problema sobre el número de vér­ tices de un hipercubo en el espacio de n dimensiones (el caso de n = 3, S = {x, y, z l se muestra en la flg, 1.2, donde todos los subconjuntos P(S) son vértices del cubo).

18

Ejercido. ¿Cuál es el número de matrices de dímensíón k x I, compuestas por ceros y unidades?

Calculemos ahora el 111í111cro de r-combinaciones, designándolo con

(;) o con e:;. Comencemos por el caso en que todos Jos elementos en las r­

combinaciones son diferentes. Es fácil ver que el número de r-combinacio­ nes del n-conjunco es r! veces inferior al número de z-permutacicnes de los elementos del mismo conjunto. Por consiguiente,

(n\ = P(n, rJ_ = ~~) ... (11 - r + I)_ = ni r) r! r! r!(n - r)J

de aquí se deduce que (~) = (" ; r); en particular,

G:) (~) = l.

Observemos que las r-combinaciones del rH:onjunco son sus r­ subconjuntos. Con este motivo estudiemos el problema sobre el número de (r,, ri, ... , rk)-panicioni:s del 11-conjunto S, es decir, de particiones ordena­ das del 1ipo S = T1U7iU ... UT1.:, en las cuales rnr, = 0 para i ~ i: i, J ~ 1, 2, .... k , con la p;1r1io:ularid.1d de que 7; es un n-sulx:onjunto del con·

k

junto S, i = 1, 2, ... , k. Obviamente, 2.,;r1 =JI. kazonemos igual que lo '~ 1

hemos hecho al buscar el número Pin, r). Para elegir el r1-subconjunto T1

de S se tienen (~J posibilidades: entonces el rz-suhcon.iunto Ti puede ele­

girse sólo den - r, elementos restantes (ya que T1nT2 = 0). y, por lo tan-

10, se tienen (n ~ '') métodos para la elección de Ti. etc.; el rk-subcon­

junto Tk puede ser elegido sólo después de haber vlcgido tos r,-conjumos k-1

T;, i = l, 2, ... , k - 1, por consiguiente de 11 - L; r1 elementos restantes

(/1-lttlr;) i•I

puede elegirse, sirviéndose de ;*· 1 métodos. Aplicando ahora

la regla del producto, obtendremos que el numero buscado de (ri, r2, ... , '*)­ parüciones del 11-.:onjunto S es igual a

(comando en consideración la expresión para C)). La z-combinación

?.• 19

del n-conjunto puede ser interpretada como una (r. n - r)-partición, y la (1, 1, ...• !)-partición representa simplemente una pcrmuración. Calculemos, por fin, el número de r-combinaciones con repetición del n-conjun10 S. Da­ remos a conocer tres métodos distintos de obtención de este número con el objeto de mostrar los rasgos especificas de los razonamientos combinatorios.

1 .. método. Admitamos que los elementos del conj unto S están numera­ dos por medio de los números 1, 2, ...• 11 (es decir, S se encuentra en una correspondencia biunívoca con el conjunto Je los primero.~ 1111í1mcros natu­ rales). 1 .ntonces, en lugar de las z-rnucst ras del conjunto S podemos anali­ zar las z-muestras (biunívocas) del conjunto S' = 11, 2, ...• n l que corres­ ponden a tas primeras. Toda r-mucstru del conjunto S' puede ser escrita en la forma A = (ai. as, ... , o,), donde a1 ~ (1z ~ ... .,;;; u, (la igualdad de los números responde al caso de elementos iguales en la r-rnuestra correspon­ diente de S). A la z-muestra A (los elementos en esta muestra no son forzo­ samente diferentes) le ponemos en correspondencia el r-conjunto A' = f 111 + O, a2 + 1 •••• , a, + r - t 1. en el cual todos los elementos son, evidentemente, diferentes.

Como es fácil de ver, dicha correspondencia es biunívoca, con la parti­ cularidad de que los r-conjuntos A' son r-cornbinacioncs sin repetición del (n + r - ))-conjunto 11, 2, ... , n, n + l ....• " ·I· r - 11. cuyo 11ú111ero es

igual (como quedó demostrado) a (" + ; - 1) . Esta es precisamente la

respuesta que buscábamos. El 2" método consiste en la obtención de una fórmula recurrente'!' Denotemos mediante/(11, r) el número de r-combinaciones con repeti­

ciones del n-conjunto S. Está claro que

f(n, 1) = " y /(!, r)"' l.

(para cualquier n > O cillero ele " elementos pueden elegirse n ctlfcrentcs l-combinaciones, es decir, n diferentes elementos; mientras tanto para cual­ quier r > O entero de un elemento se puede obtener solamente una r­ combinación: una r-muestra compuesta por r elementos iguales). Fijemos en.S cierto elemento, entonces cada z-combinación o biencoruiene este ele­ mento o no lo contiene. Sí tiene Jugar el primer caso, los demás r - 1 ele­ mentos de esta r-combínación (y. por tanto, las z-combinaciones que con­ tienen el elemento fijado) pueden ser elegidos empicando los f(n, r - 1) métodos. Si tiene lugar el segundo caso, la r-combinación se elige de 11 - J elementos, y entonces, el número de tales z-combirraciones es igual a /(n - l, r). Empleando la regla de la suma, obtendremos

•>Se denominan fórmulas (relaciones) recurremes aquellas que pumilen calcular tos valo­ res de una magnitud buscada paso a paso, partiendo de tos valores «iniciales» conocidos Y de los calculados de antemano.

20

f(n. r) = f(n, r - 1) + /(11 - 1, r).

En particular, al conocer /(11, 1) y /(1, r), tenemos f(n, O) = f(n, 1) - f(n - 1, 1) = 1,

(J)

lo que concuerda con el resultado obtenido anteriormente. Ahora obtene­ mos sucesivamente f(n, 2) = /(n, 1) + f(n - l, 2) = f(n, 1) + /(n - 1, 1) + f(n - 2, 2) = ...

n(n + 1) (" + 1) ... = n + (n - !) + (n - 2) + ... + 1 = --- 2-- = 2

;

f(n, 3) = /(11, 2) + f(n - 1, 2) + ... + /(1, 3) =

= (ll; 1) + (~) + .. + 1 = ("; 2) etc. Es fácil convencerse de que

/(11, r) = (" + ~- 1)

satisface la correlación (1) y las condiciones iniciales: /(11, 1) - 11; f(J, r) = l.

3 .. método. /\ una z-combinacíóu con repetición del n-conjunto S (por ejemplo, a bcb de S = ( a, b, e, d, e J) agreguemos iodos Jos n elementos del conjunto S, y escribamos por orden los 11 + r elementos obtenidos, dispo­ niendo juntos los elementos iguales: (abbbcc(/e). /\ continuación, divida· mos los subconjuntos de elementos iguales mediante 11 - 1 rayas: (a 1 bb­ b 1ce1d1 e). Por fin, sustituyamos por puntos todos los elementos dispues­ tos entre lns rayas: (. 1 ... 1 .. 1 . 1 .). De este modo, a la r-combinacién se le asigna (equipara) la colocación de 11 - 1 rayas en 11 + r - 1 intervalos entre 11 + r puntos. l nvcrsameurc ,·11 cadn colocación <k esta índole se restaura mivocarucntc la z-cornbinación que le corresponde. Por ejemplo,

( .. ¡ .1 .. 1. l.)-•(aaj bjccldl<'i'}-•(mrhc,·dee)~¡a, t', ej.

"' · 1 (" + r - 1) (" ·I r - 1) 1ox1stcn en tora 1111.:1o<los de colocar 11 - 11 - 1 r

rayas en 11 + r - 1 lugares. Por consecuencia, existe exactamente la misma cantidad de r-cornbinacioncs con repetición del 11-conjunto.

Como conclusión <le este párrafo. analicemos 1111 concepto relacionado con la operación de ordenación, es decir, la permutación. Esta última puede ser examinada desde dos puntos de visea: a) como una totalidad ordenada de elementos del conjunto dado, o bien b) como una perturbación del orden estándar llamado, habitualmente, natural {por ejemplo, alfabético, numéri­ co). El caso a) conduce a las z-perrnutaciones, r ~ 11, ya descritas anterior­ mente. El caso b) conduce a las n-permurnciones (en relación con la defini-

21

ción de la r-permutación) denominadas simplemente permutaciones (o sus­ tituciones), que se estudian en la teorla de los grupos.

Sea, por ejemplo una permutación p = (4, 3, 7, 5, 6, 9, 2, 8, 1, 12, 11, 10),

que representa una perturbación del orden natural de los primeros 12 núme­ ros de la serie natural. Puede ser escrita en forma de una sustitución (en la primera fila se pone el orden natural y en la segunda, el perturbado).

p = (\ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12) 4 3 7 5 6 9 2 8 1 12 JI 10 '

Esta notación muestra que, al realizarse la permutación P, el elemento l se convierte en 4, el elemento 2 en 3, el 3 en 7, etc. La permutación P puede escribirse también de otro modo:

p = (1, 4, 5, 6, 9)(2, 3, 7)(10, 12)(8)(ll), (2)

donde cada paréntesis es una permutación que actúa sólo contra los ele­ mentos encerrados dentro del paréntesis dado y no toca los elementos no encerrados en él (por ejemplo, la sustitución (2, 3, 7) convierte 2 en 3, 3 en 7, y 7, de nuevo en 2). La representación de una permutación en Ja forma (2) lleva el nombre de descomposición en ciclos. Cualquier permutación puede ser descompuesta en ciclos. Esta descomposición es única, con una exactitud de hasta las permutaciones cíclicas de los elementos dentro de los ciclos. Por ejemplo. (2, 3, 7), (3, 7, 2) (7, 2., 3) son notaciones diferentes de un mismo ciclo.

Supongamos que una permutación contiene k¡ ciclos compuestos por un solo elemento, es decir, l-ciclos, luego k2 2-ciclos, k3 3-ciclos; etc. En este caso se denomina (k1, k2, ... k.)-permutación, o bien permutación de la forma

(3)

donde, evidentemente, n L;iki = n.

,_ 1

Teorema. El número de permutaciones del tipo (3) es igual a n!

P(k1 • k2, ... , kn) .,, ~l 'k: 1 -2Ki-k ,--t~k 1 . 1· 2 .•.. n n

(4)

Demostración. Examinemos la notación de una descomposición en ciclos para la permutación del tipo (3), a saber: primero k, paréntesis para la notación de los ciclos de longitud l, luego k2 paréntesis para la notación de los ciclos de longitud 2, etc. ·En n posiciones dispuestas dentro de todos los paréntesis podemos poner 11 elementos, sirviéndonos de ni métodos, y cada vez obtendremos la notación de la permutación del tipo (3). Sin ern-

22

bargo, entre dichas n! notaciones se encuentran diferentes notaciones de una misma permutación. Aclaremos cuántas notaciones diferentes tiene una permutación. En primer lugar como hemos observado anteriormente, cada ciclo de longitud i puede escribirse dentro de los márgenes del parénte­ sis dado mediante i métodos. En segundo lugar, sirviéndose de k1 métodos se pueden reordenar los paréntesis donde están escritos los ciclos de longi­ tud i. Según la regla del producto obtenemos, que una familia de ciclos de longitud i puede ser representada por l'1· ·k;! métodos. Al hacer i recorrer los valores de 1 a n , y al aplicar otra ve« la regla del producto, concluimos que existen ·

N = 1 k'ktl 21.-'k2l...nk~k,,!

métodos para escribir cada permutación del tipo (3). Por consiguiente, se tienen en total n!IN de tales permutaciones, lo que era necesario demostrar,

La representación de las permutaciones en forma de un producto de ciclos sirve de fuente para muchos problemas combinatorlos, por ejemplo: hallar el número de permutaciones del n-conjuntc• que tengan un número prefijado de ciclos (sin lomar en consideración la longitud de los ciclos): que dejen los elementos dados inmóviles; que tengan un número dado de ciclos de longitud p1 efijuda, etc,

1.4. l)(S'flUlHJCJONES Y 1.1.ENAl>OS

En muchos problemas cierta totalidad de elementos (por ejemplo de granos, pernos, tuercas, etc.) se disrribuye por cierto conjunto de células (cajas, cajones, cte.) que, como consecuencia, se llenan. Ambos conceptos principales, esto es, distribución (su sinónimo es J;1 partición) y llenado, se emplean tanto para designar las operaciones, como para expresar el resulta­ do de ellas, es decir, la situación obtenida.

Los problemas de esta clase existen desde hace mucho tiempo y cuentan con un procedimiento de resolución elaborado. El interés hacia estos problemas no se extingue, pues tienen gran importancia práctica. Ellos se manifiestan en los mas diversos planteamientos: particiones ele conjuntos, corles de grafos y de redes, ugrupuciones de tornos y de mecanismos auto­ máticos y robores, de.

En el aspecto teórico dichos 11whlcmas pueden mterpretarse como apli­ caciones de un conjunto (de elementos) sobre otro conjunto (de células). Pueden ser tratados también corno elección de muestras.

Los medios adoptados de resolución de esta clase de problemas depen­ den de las condiciones impuestas sobre los tipos de elementos a distribuir, métodos de distribución y capacidad de las células. Es evidente, que la ri­ queza de las condiciones posibles determina la diversidad de los procedi­ mientos aplicados para la resolución de los problemas. Más abajo se da cierta información que introduce al lector en esta esfera de problemas.

Para el cálculo del número de distribuciones hace falta precisar si los ele-

23

ncntos del conjunto dado y las células son distinguibles (por ejemplo, nu­ ncrados) o no. Oc acuerdo con ello los problemas se dividen en las siguicn­ es cuatro clases.

(A) los elementos del conjunto son distinguibles. como también lo son as células;

(/J) los elemento' del conjunto no son distinguibles, las células, son Jisringuibles:

(C) los elemento' del conjunto son d1~linguihlcs. las células no son Jisringuiblcs;

(D) 1111110 los elementos del conjunto, como la~ células no se distinguen nurc sí.

Dcnt ro de cada una de estas clases los problemas se diferencian, a s11 /ez, por la forma de las aplicaciones prefijadas por las condiciones concre­ as. Convengamos en que a continuación N siempre servirá de designación aara un 11-conjunto lle elementos, y R será un z-conjuuto de células. Por .uanro en este párrafo hablamos sólo de los fundamentos teóricos de la operación <le distribución y llenado, estudiemos estas clases de problemas :n rasgos generales, xin tratar de exponer completa y detalladamente todos os accesos a la resolución de los problemas correspondientes.

(A) Según lo dicho anteriormente, todos los elementos del conjunto N f rodas las células dct conjunto R son distinguibles. Aqu! no tiene impor­ .aucia si se diferencian por la forma, el color, volumen o, incluso, por el 11ú­ mero. Tiene importancia sólo el hecho de distinción. He aquí algunas for­ mas equivalentes de este problema: a) formación de las palabras de longitud ··, a partir del alfabeto compuesto por n letras; b) extracción sucesiva de r bolas de una urna que contienen bolas, con su retorno inmediato; e) forma­ :ión de las r-pcrmutacioncs con repetición ele 11 símbolos.

El carácter de la aplicación que por ahora está libre de limitaciones algu­ nas, permite indicar en seguida el numero de distribuciones posibles:

p = n',

por cuanto para cada una de r células se tiene la posibilidad de colocar en ella cualquiera de 11 elementos. La forma particular de las aplicaciones '.biunlvocas) corresponde a una limitación adicional: en cada célula cabe uno, y sólo un elemento. En este caso

P = 11(11 - 1) ... (11 - r + 1) = - "~·­ (11 - r)!

A la clase (A) pct rencccn, en particular, los siguientes casos de distin­ ción de los elementos y de las células.

(Ai) El conjunto N tiene la (ki. k2, ... , k,,.)-especiíicación, si cuenta con lc1 elementos del primer tipo (por ejemplo, de color), k2 elementos del se­ gundo tipo, ... , km elementos <le! m-ésimo tipo (además, k1 + k2 + ... + + k.,, = 11).

24

" elomentos

o o

Fig.1.3. r ctl1ul0>s

(A2) El r-coníumo R tiene 1:1 (111, 11¡, •.• , 11,)-espccifícación, si en In í­ ésima célula se disponen n¡ elementos, i = 1, 2, ... , r.

(A1) Los elementos dentro de las células están ordenados, es 'decir, dos células se consideran llenas de una manera diferente, si es distinta la ordena­ ción de los elementos (incluso de los mismos) alojados en ellas; no hay limi­ taciones para el volumen de las células.

Sin pretender dar una descripción completa de todas las situacioncspo­ síbles, aduzcamos un solo ejemplo. Supongamos, por ejemplo, que el con­ junto N tiene una (p, q)-especificac.ión, es decir, contiene p elementos del primer tipo y q elementos del segundo tipo; p + q = n. Se necesita determi­ nar cuántas son las distribuciones de los elementos del conjunto Nen r cé­ lulas diferentes sin limitaciones para el número de elementos en cada una de las células. Los elementos del primer tipo pueden distribuirse en r células por

métodos, y los elementos del segundo tipo, por

métodos. El número total de distribuciones es igual, en virtud de la reglu del producto, a

Si tiene lugar la (k1, k2, ... , k,.)-cspecificación del conjunto N, el mi mero de distribuciones de n elementos suyos en r células diferentes será

Pasemos a los problemas de la clase (B). Como se ha dicho, en los problemas de este tipo los elementos del conjunto N no son distinguibles y Jos del conjunto R, distinguibles. Examinemos diferentes casos:

l. Los elementos del conjunto N están distribuidos en las células del conjunto R de una manera tal que ninguna célula está vacía (en la fig. 1.3. se muestra la distribución de n = 10 elementos en r = 4 células).

25

Según se ve, el problema se reduce a la determinación del número de mé­ todos mediante los cuales se pueda trazar r - 1 líneas en n - l intervalos

1 1 . . 1 (n - 1) A . . entre os e cmeruos: este numero es 1g11a n r _ 1 . este nusmo tipo

de problemas se refieren los siguientes: hallar el número de métodos para pi mar, usando r colores, 11 objetos iguales (por ejemplo, bolas); hallar el nú­ mero <le r-combinaciones con repetición, en las cuales se emplea cada elemento.

2. Los elementos del conjunto N de distribuyen en las células de R de tal modo, que pueden haber células vacías. El método de resolución de los problemas de este tipo es, en lo principal, el mismo. Al conjunto de elemen­ tos N se le agregan r "elementos vacíos" simbólicos. En este caso el proble­ ma se reduce a la determinación del número de métodos de trazar r - 1 lí­ neas en n + r - 1 intervalos entre los elementos. Este número será

(" ; ~ 7 1) = (11 + ~¡ 1) . Entre los problemas de este tipo hay, por ejemplo, el siguiente: hallar

el número de soluciones de la ecuación X1 ~ Xi + ... 1 \", = 11

en x,: i -= t. 2, ····. r enteros no negativos. 3. En fin, a esta clase se refieren los problemas relacionados con el cál­

culo del número de muestras de un n-conjunto. Los dos tipos restantes de problemas, (C) y (D), donde resultan no dls­

l iuguibles las celo las para el llenado. representan, al tratar de resolverlos, dificul!adcs mucho más considerables. Se llaman, habitualmente, por el 11011\brc colectivo de particiones 110 ordenadas. Los problemas del tipo e, donde: son indistinguibles sólo las células, mientras que los elementos a distribuir son distinguibles, permiten, por otra parle. su resolución. lndi­ quemes ulgu11;1s r.:irmulas.

l. En aquellos casos cu que no se admire, al realizar el llenado, células vacías y cuando se toma en consideración et orden en que los elementos caen en las células, el número buscase de distribuciones es igual a

A' - n! ,. - r! (/1 - 1). r-1

{!)

2. Si la par nción antecedente se modrfrca de tal modo que se admiten I, 2, ... , r células vacías, entonces el número buscado de distribuciones es

(A')~, = A~ + A,;- 1 + ... + A!. (2)

3. Si no hay células vacías, mientras que el orden de disposición de los elementos c11 las células 110 se toma en consideración, el número de distribu­ ciones será

26

B'.=-'­ r! ni

----1 = S(n, r). S1 !sil...s,. (3)

,, + ... + ,,.,. ,,:t: 1

El número S(n, r) se llama nürnero de Stirling de 2º género (véase más aba­ jo § 2.3).

4. Cuando en el caso 3 se admiten l. 2, ... , r células vacíes, el número de distribuciones es igual n

(B')~.., IJ~ + B'.-1 + ... + B~. (4)

Aduzcamos un esbozo de la demostración de las afirmaciones citadas. Efectivamente, supongamos que en el caso 1 se distribuyen elementos de un conjunto N = ( a1, a1, ... , crft t. Las distribuciones L tienen la forma L 0 (0:1, a2, ·•·ta;, f a11+-J, 0'11+21 ••• , c:r11 l ... a1,._,.,, ···"'-lr-1+1, ... ,a,.). El número 1 L l de estas distribuciones se puede calcular mediante dos procedimientos:

a) 1 L 1 = n! (~ = :) , es decir, el número de permutaciones en el

conjunto N se multiplica por el número de distribuciones de r - 1 lineas en n - 1 intervalos;

b) 1L1 = A~·r!, es decir, el número buscado se multiplica por el núme­ ro de rcnumeraciones posibles de las células.

Al igualar entre sí a) y b), obtenemos la fórmula (1). Apliquemos en el caso 3, al igual que en el caso !, dos métodos para calcular el número de distribuciones en diferentes células:

B'.·rl = ~ (;,) (n ~Si) ... (" - S1 - S2 - ·;, - s,_ 1) .. 1a+ .•. -+sr•11

''~º

de donde se deduce (3). Las fórmulas (2) y (4) se desprenden, evidentemente, de las (1) y (3),

respectivamente. Estudiemos, por fin, el caso (D), es decir, la clase de problemas sobre

las distribuciones, cuando los conjuntos N y R se componen ambos de ele­ mentos indistinguibles. Dichos problemns resultaron ser más dirlciles y la teoría de su resolución aún no está elaborada completamente. La interprera­ ción más conocida del caso dado la representa el problema teórico­ numérico sobre la partición de los números naturales en sumandos naturales.

27

Notemos, ante todo, que los problemas de la clase (D) no pueden equipararse con los problemas de las clases anteriores, como se ha hecho más arriba: las conexiones resultan ser mucho más complejas y no se logra hallar una expresión analítica conveniente para obtener el número buscado.

Para calcular el número de particiones rcfcrenres a los problemas de tipo (/)), sirve por ahora de medio principal el siguiente método recurrente.

Supongamos que un 11-conjunto S se divide en k partes no vacías u, 1 a¡, .... a«, con la particularidad de que 1a;1 ~ t, i = 1, 2, .... k . Denotemos con f>k(11) el número de tales particiones. Es obvio, que P1(11) = I; Pk(k) : I, Pk(11) = O para 11 < k.

k :¿; 11, = 11. /y l

(5)

Admitamos que 1 a, 1 ~ I a2 1 ~ ... ~ 1 ai. 1 (renumerernos, si es necesario, las partes de la partición). Está claro que

k }:; (a1 - I) = 11 - k.

;. 1 (6)

Si: ha obtenido la partición del (n - k)-conjunto en partes cuyo número es ~k (la igualdud tiene lugar, si cualquier a, contiene no menos de 2 elemen­ tos). Se¡;LÍn la regla de la suma, el número de tales particiones es igual a

k ¿; P,(11 - k), y, en virtud de la igualdad (6), dicho número es igual al

;. 1

número de part íciones del rr-conjuuto en k partes, es decir, a k ¿; P;(11 - k) ; l-'4(11).

i al (7)

Teniendo c11 cuenta los valores (5), esta fórmula recurrente permite obtener sucesivamente los valores para Pk(11), reuniéndolos, si es necesario, en la 1abl:1 1.1.

Para los valores pequeños de k podemos obtener fórmulas de Petn), por ejemplo

P1(11) = I; P2(2) = 1; P2(I) = O; P2(11) "' />2(11 - 2) + P1 (11 - 2) = P2(11 - 2) + 1;

de donde

P2(r1) = ~- • si n es par;

/"() 11-I .. 1 11 = --2- , s1 11 es impar.

Pero, ya para k = 3 las fórmulas se hacen bastante engorrosas. La investiga- " ción del comportamiento de las magnitudes Pk(ll) y P(n) = }:; Pk(n) (el

k. l

2R

To/Jlir 1.1

,,

lO , ------·---------·- ---- 2

1 1 2 ) 2 .1

2

1 ,1 4 4 s 4 s 7 8 J ) ,, 9 2 J s 7

2 s )

4 s 6 7 R 9

10

P(11) ~ L; l'dn) 1 t

JI IS 22 10 ~2

número de toda clase de pnrt icioncs del número 11) para grandes valores de k está ligada con dificultades considerables. Se ha hallado el valor aproximado

1 (/1- 1) Pt(n) ·- -- k! k - 1 •

el cual en la práctica resulta suficiente. Para P(n) queda determinada una relación recurrente

P(n) = P(n - 1) + P(11 - 2) - P(n - 5) - P(n - 7) + ... • k - 1 ( 3k2 :1: k ) ... +(-1) p 11---2 + ...

y están calculados los primeros valores sucesivos de esta magnitud. Todas estas cuestiones y otras scmejanrcs se analizan en la teoría de las

particiones (véase [16)). Aproximadamente desde la mitad del siglo anterior, merced a los esfuer­

zos de Darfi, Fcrrers, Sylvester, y más tarde, de MacMahon, en Ja teoría de las particiones entró la interpretación de las mismas con ayuda de los grafos pumualcs. Por ejemplo, la partición 29 == 7 + 7 + 5 + 3 + 3 + 2 + 2 está expuesta en la fig. 1.4.

Las partes de las particiones se disponen, como regla, de arriba abajo en el orden de decrecimiento, Del análisis de los correspondientes grafos 11- puntuales (llamados también grafos de Ferrers) pueden directamente obte­ nerse los resultados siguientes.

l. El número de particiones de un 11-conjunto en las que la mayor parte

29

o o o o o o o

o o () o o o

o o o .. o

o o o

o o o

o o

o o Ht: t.~.

" o o o o o o o

' -, ' () ~ o o o o ' -,

o o -,

' o o ' ' ' o '

o o o o o o o o o

o o o o o

" o o

o

o o Fíg.1.6.

~-~--o·--o--~--o 1 ',

~ ):--<>--·O 1 1 ',

? ? ~--<)

1 1 1'

~ b b ' O... ' ' ? 1 b Fig.1.7

o o o /. o o o o o E o o o o

o o o

<>----0 0 T·1¡;.l.S S 1'1g.l ~

1 icnc k elementos, es igual al número de partes, es decir, a Pk(11). Este teore­ ma se demuestra por transposición del grafo ele Ferrers respecto de la diago­ nal principal: tales grafos se denominan conjugados. Así, por ejemplo, en la fig. 1.5 el conjunto de 10 elementos está partido en 5 partes: 10 = -= 3 + 3 + 2 + 1 + 1; al efectuar l<i transposición, obtenemos: 10"" 5 + .¡. 3 ·t- 2, es decir, la partición del lü-conjunto en la cual la parte mayor contiene 5 elementos (una situación análoga se muestra en la fig. 1.6: 10 = 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 antes de la transposición, y 10 = 6 + 3 + 1, después de la transposición).

2. El número de particiones auroconjugadas de un rr-conjunto (una par­ ticíón se llama aumconjugada, si el grafo de Fcrrers que Je corresponde es simétrico respecto de la diagonal principal) es igual al número de parti­ ciones del mismo conjunto en subconjuntos desiguales que se componen de un número impar de elementos. El teorema recíproco es también lícito.

Así, por ejemplo, a la partición autoconjugada del 20-conjunto 20 = = 6 + 4 + 4 + 4 + 1 + 1 (fig. 1.7) le corresponde biunívocamente la par­ tición 20 = 11 + 5 + 3 + 1, si los puntos de la primera columna dispuestos debajo de la diagonal los trasladamos a la primera fila, de la segunda co­ lumna, a la segunda fila, etc.

30

3. El número de particiones de un n-conjunto en parles diferentes es igual al número de particiones del mismo conjunto en parles, compuestas (le un número impar de elementos.

Sea dada una partición del 11-conjunlo (por ejemplo, n = 34) en compo­ nentes impares (34 = 5 + 5 + 5 + 5 + 3 + 3 + 3 + J + 1 + 1 + 1 + 1). Todas las componentes impares iguales se reúnen en grupos (4 de cinco, 3 de tres y 5 unidades) y se escriben los números de sus repeticiones (4, J y 5) en el sistema binario (4 = 22; 5 = 22 .¡. 2º; 3 = 21 + 2°). Escribamos la nueva partición, teniendo en cuerna la rcprcscnración binaria obtenida (34 = 5-4 + 3.3 + 1·5 = 5·22 + 3·21 + 3·2º + 1·21 + 1·22· + 1·2º = ·= 20 + 6 + 3 + 4 + 1). Este procedimiento es siempre factible, pues cual­ quier número se escribe de un modo único en el sistema binario. Siempre se puede razonar tembién del modo inverso.

4. Si Q,, y Q,: son los números de paniciones del n-conjunto en un núme­ ro par e impar, respectivamente, de las panes desiguales entre si, entonces

[

Q,;, si 11~1 (Jk :t: 1);

Q,, ~ Qi + ( - 1 >', si 11 = I (3k :t: I);

donde k "' 1, 2, Supongamos que el grafo de fcrrers de la partición del »-conjumo en

partes desiguales tiene la forma mostrada en la fig. 1 .8. Ses In parle menor de la partición y E. un conjunto de puntos (línea) dispuestos, a parrir de la parte mayor, bajo un ángulo de 45º. Si 1S1 ~ 1E1. entonces S se trasla­ da al conjunto E; en cambio, si 1 S 1 > ) E 1 • viceversa, E se traslada a la parte menor S. Como resultado de tales traslaciones, tendremos el cambio de la paridad del número de partes desiguales de la parrición. A toda parri­ ción par se le pone en correspondencia una impar y, además, biunívoca­ mente: Q u "" Q,;. Recomendamos que el lector mismo realice dicha opera­ ción con el siguiente ejemplo: 7 + 6 + 5 + 3 + 2 .... 8 + 7 + 5 + 3.

Sin embargo, la operación no será posible, si las líneas S y E se intcrse­ can y

1 S 1 = 1 E 1 • o bien 1 S 1 = 1 E 1 + l. Sea 1 E 1 = k . Entonces, en el primero de los casos exclusivos tendremos

k n = k + (k + _I) + ... + (2k - l) = i (3k - J);

y en el segundo: k n = (k + 1) -t- (k -1· ~) + ... + 2k = 2 (3k + l);

lo que demuestra nuestra afirmación.

JI

1.5. SISTEMAS UE CONJUNTOS

M:\s arriba definimos la asignatura del análisis combinatorio, dimos una dcterminnda información referente u la teoría de los conjuntos discre­ tos finitos, indicamos las operaciones pnncipules en las investigaciones combinatorius, cxpticumos los métodos de cálculo del número de entes combinatorios Iundamcntalcs, es decir. de muestras y ordenaciones, distr i­ buciones y llenados. Todo lo dicho se realizó sólo para los conjuntos liucat­ mente ordenados, y no para lodos los casos posibles. Estas limitaciones fueron determinadas por el carácter introductor del capítulo.

No seria justo, sin embargo, concluir que los problemas tratados en el capíl ulo presente también son de importancia Iimitada y que el papel de los mismos es puramente pedagógico. La teoría general de los conjuntos discre­ tos finitos es una asignatura matemática en desarrollo con sus propios problemas específicos. Además ocurre Irecuentarnente que a las investiga­ dones teóricas de los conjuntos finito~ se reducen los problemas altamenrc prácticos.

Tomemos, µ01 ejemplo, uno de los problemas sobre las particiones de un »-ccniumc finito Sen subconjuntos disjuntos. Analicemos las paru­ croues ... , y '11'2. Desiguemos, para un elementos E S por /.(s) el número de elementos en el bloque de partición..-,, el cual contiene el elemento l(i = l, 2). Llamemos conjugadas las particiones 11"1 y ..-1• si los pares ordenados de números if,(s), fz(s)) son distintos para todo SES.

Ejemplo. Sea S = ( l, 2, ), 4, .5, 6}. Definamos dos particiones: "IÍI: s"' (1, 2, 31U14, SIU16); 11"2 : S = 11, 4, 6 )UI 2, .5 )U( 3).

Obtendremos para ellas i

/,(i)~lz<•> Por cuanto todos los pares ordenados 1/i (i), /2(i) 1 son distintos, T1 y

w2 serán particiones conjugadas del conjunto S. Con relación a estas parti­ ciones conjugadas se ha demostrado [35) que un par de estas particiones existe, si y sólo si 11 ?! 2, 5, 9. Este resultado se ha obtenído al resolver el siguiente problema sobre la identificación de los cables telefónicos mulrifiíarcs.

Sea dado un cable de 11 conductores indistinguibles. Se pide fijar en S\tS extremos A y 8 los bornes A1, 81: i .. 1, 2, .... , n, que correspondan a cada conductor. El método de resolución consiste en unir los grupos de extremos <le Jos conductores por un lado del cable y en probar el paso de Ja corriente que se mide por otro lado del cable. Expliquemos esto más detalladamente con un ejemplo de un cable de seis conductores.

Tomemos el extremo A con bornes A1, A1, ... ,A,, y unamos sus bornes de acuerdo con la partición 1r1 (posición 1 en la líe. 1.9). Supongamos que 32

A¡~ .. s,

A2 84

A3 B;¡

A4~ " 83 A~ L 86

A5 y 85 f'i¡¡.1 C) 11 //1 IV

como resultado de la comprobación por el lado del extremo B (con bornes 81, 82, ... , 86) se ha obtenido la situación que se indica en la fig. 1.9 median­ te Ja posición Il. Los bornes indistinguibles B1. 82, s, se denotan con x, Jos bornes 84 y Bs con y, y el B& con z: unamos Jos bornes en el extremo B de acuerdo con la partición ·n (posición Ill). A continuación, al desco­ nectar Jos bornes en el extremo A. comprobamos cuántos y cuáles conduc­ tores por el lado A quedan conectados en el extremo B. Admitamos, por ejemplo, que el conductor A181 resultó conectado con un solo borne en el extremo 8. Por cuanto sabemos que el borne A 1 pertenece al conjunto 1A1, 112, Ai). mientras que el borne en el extremo B integra el conjunto de dos bornes unidos (a saber, /J2 y tts), y por cuanto el pa1 IJí(i},/2(1)) = (3, 21 corresponde solamente a i = 2, concluimos que A, esta conectado con lli. Análogamente, si el borne A.s esrá conectado con dos otros bornes por el lado 8 (es decir, el conductor AsBs pertenece al conjunto de tres conducto· res que quedaban conectados), entonces A, debe ser conectado con B. (da­ do que al par (2, 3) corresponde i = 4), ere.

Este algorurno fue extendido también al caso general. Sea / un 11-

conjunto de mi meros enteros I = ( ! . 2, ...• 11 I. Supongamos que para l exis­ ten dos parrielones conjugudas:

.. , . f = fJ,UP¡U UP~; 1'! : I =- PJ.Jf>~ UPJ,.

En el extremo A unamos primeramente Jos conductores de acuerdo con Ja partición iri. es decir, conductores en los males los números de los bornes pertenecen a cierto P1Eir1; t e, l, 2 .... , k . en el extremo 8 elegimos por comprobación los subconjuntos S,, S2, ...• s, de bornes de aquellos conduc­ rores que fueron conectados en el cx1rc1110 A, y enumeremos los bornes en el extremo 8 de un modo 1.11 Que, cualquiera que sea S,, el conjunto de indi­ ces de los bornes B, que se encuentrau en S, sea exactamente un subconjun­ to de "X"1. Ahora unamos los conductores en el extremo Ben grupos T1, T2, ..• , Te, donde 7j consta de iodos aquellos conductores con bornes B., para los cuales iE Pj. Separando rodas las conexiones en el extremo A, escogemos los conductores por el lado de .11 que están conectados en el extremo B.

Realizada esta operación. podernos encontrar los bornes "izquierdo" y "derecho" para un mismo conductor. En efecto, sea A. algún conductor

33

que hemos cogido, y supongamos que en el l'.1<lrc1110 lJ dicho conductor in­ tegra el grupo 7j, el cual tiene, digamos, p elementos (ele donde hallamos este número p). Por cuanto se sabe el número de elementos en el subconjun­ to Si, en el que esuí contenido Au (admitamos que es igual a q), entonces, basándonos en el procedimiento de construir S; y T,, y en que todos los pa­ res (p, q) = 1/1(11), h(11) l son diferentes. podemos encontrar el único 81. tnl que ,-1., y /J¡,, sean extremos lle un mismo conductor.

En muchas rama' de las 111:11cm(11 leas y en sus aplicaciunc» se plantcau y se resuelven problemas que 11\) sólo M: reducen al :111:ilisis de los conjuntos discretos y de sus sivrcmas, sino que, además se enuncian en términos de los mismos. As], poi ejemplo, sucede en la tcorta de los autómatas Iinitos, en la técnica de cómputo discreta, problemas aplicados del álgebra, etc. Describamos unos cuantos problemas tipo que se encuentran muy a menudo.

Familias de Sperncr. Se dice que los subconjuntos S,, Si .... , S,,, de un conjunto finito S forman una familia de Speruer, siempre que ninguno de ellos está contenido en el otro. Sea 1S1 = n, ;,Cuál será el número máximo posible 111 de términos en la familia de Sperncr? La respuesta a esta prcgun-

( n '\> la lleva el nombre del teorema de Sperner (véase cap. 8): 111 = [n/21) .

Sistcums separadores, Este concepto fue iut roducido por A. Rcnyi (36) al analizar los problemas ele la teoría de información. Un sistema de sub­ conjuntos ( S1, S2 •... , S,.,) de un conjunto finito S se denomina separador, si en el mismo, para cualesquiera dos elementos distintos del conjunto S, existe un subco11j111110 Sr que contiene sólo un elemento de todos los men­ cionados. A. Rcnyi planteó el problema de hallar 1111 sistema separador mí­ nimo bajo la condición de que cada subconjunto de este sistema consta exactamente de un número dado de elementos, Este problema fue analizado en [37].

Problemas sobre los subconjuntos 1111c se i1111.·rscc:111. Existen varios problemas en los que se introducen limitaciones en la potencia de los pro­ pios subconjuntos S1, S2, ... , S,,. <;;;. S y de sus mterseccíones, Se requiere de­ terminar el número máximo (m) de subconjuntos que satisfagan dichas condicíoncs para n ~· 1S1 fijo. Con este motivo recomendarnos la obra (38). Demos a conocer el resultado clásico de 12rdüs, Chao Ko, l~a<lo 1)9J. Supongamos que

1) cada uno de Jos subconjuntos S1, S2, .. , S,,. conricnc no más de k ele­ mentes, donde k ~ 1112;

2) ninguno de Jos subconjuntos está contenido en el otro; 3) cualesquiera dos subconjuntos se intersecan. En este caso el número

O C9n [xJ ~e denota t..•1 número máximo entero <)UC no sobrepasa .'\. con (x), CÍ número entero mini.no. superior Cl i~ual 4t .r,

34

máximo posible de subconjuntos será (~ = :) . Precisamente este número de términos tiene el sistema de todos los k-subconjuntos del n-conjuu10 S en los que está contenido cierro elemento fijo s E S.

Recubrtmlentos y empaques, El problema de construcción de los mejo­ res códigos conduce al siguiente problema combinatorio: hallar el número máximo 1i1, para el cual existe un sistema de subconjuntos { S1, S2, ••• , S111)

de r elementos del n·conj unto S, donde 1 S,f\S; 1 < t para cualesquiera i ~i<j~m. Dicho de otro modo, se requiere que cada z-subconjunro del conjunto S se contenga a lo sumo en uno de los subconjuntos del sistema. Este problema se denomina problema de empaques. También se analiza con frecuencia el problema inverso. Exijamos que cada r-subconjunto se conten­ ga no menos que en uno de los subconjuntos del sistema; se. pregunta qué cantidad mínima de r-subconjuutos del n-conjunto Ses necesaria para que se pueda formar tal sistema. Este problema se denomina problema de re­ cubrimientos. Al igual que el problema de empaques, él está resuelto por ahora sólo en algunos casos particulares (por ejemplo, para r = 3, t = 2; r = 4, r = 2). Si en lugar de Jos subconjuntos S,, S2, ... , S.,, estudiamos complementos de los mismos Sí. Sí •.... s,;,. donde S/= S'->S,, y ponernos k = 11. - t, I "' 11 - r, obtendremos 01 ra [or rua <ld problema de recubrr­ mientes: ¿que! número minimo de hubconju111os del n-conjuntn Ses nece­ sario para que en cualquier k-subconjunto de conjunto S se contenga por lo menos uno de los /-subconju111os elegidos. Este número lleva el nombre de numero de 1i1m11 T(n, k, /). En el año 1941 Turan J40) demostró que

. mtn, + 1) ll 7(11. k , 2) = 11111 - -

2 (k - 1) para 111~ F=T ~ 111 + l.

Pese a que la formulación es sencilla. el problema de hallar los números de Turan resulta ser, en el caso general. exclusivamente difíci]. Para /~ 3 se han obtenido pocos resultados. Se conoce (véase (-llJ) que

T(n k /) "' 11 - (k -- l ) para t ~ - _n ~ _ _!_ . • ~k-1 - /-1

T(11, k. /) =

13: r ~ - - ----. i-;{_ r - 2

La propiedad .·:fJ. Suele decirse que un sistema de subconjuntos S,, S2,

35

... , S,.. <;;. S posee Ja propiedad .<;6, si existe cal partición del conjunto S = = S' us~ (S' ns• = 0), que S, tf,S', S;is· (i = 1, 2, ... , 111). Se impo­ nen las restricciones 1S1 = n, y 1 S1 1 = 1 Si I = ... = 1 S,.. 1 1 = k, Y se busca el número mínimo m "' m(n, k) de subconjuntos en un sistema que no posee la propiedad a. Este problema se analiza en el cap. 7.

Una clase importante más de problemas sobre los sistemas de conjuntos e~tá relacionada con el teorema de Ramscy al que se dedica un párrafo apar­ te del capítulo ).

El estudio de los sistemas de conjuntos <'S el problema principal en el análisis combinatorio. De los éxitos de dicho estudio depende tanto el enri­ quecimiento de la teoría de la combinatoria, como también la ampliación de los campos de aplicación.

CAPÍTULO 2 ]'UNCIONES GENEUATRICES

Durante mucho tiempo el contenido <le! análisis combinatorio Jo consti­ tuía el cálculo del número de configuraciones de determinados tipos. Una parte de la teoría combinatoria que estudia estos problemas sigue jugando hoy día un papel importante en las aplicaciones.

En §§ 1.3 y 1.4 hemos considerado los métodos directos ("elementales") de cálculo. El presente capítulo se dedica a los métodos indirectos, con ayu­ da de los cuales se calcula la cantidad de configuraciones combinatorias.

2.1. FUNOAMENTOS l>EL MÉTODO DE FUNCIONES GENEllATIUCES

El método de las funciones gcnernrrices (generadoras) es uno de los más desarrollados en el au.ilixis combiuarorio. L;1s ideas fundamentales de este uiérodo fueron cuunciadas poi pr imera VC/. al final del siglo X Vil l cu las obras de Laplacc referentes a la rcoría de las probubifidades. Expliquemos las mismas con el siguiente ejemplo sencillo. Veamos el producto del núme­ ro finito de binomios lineales

1T (1 + x.t¡ = 't l 11,1', 1 'Si. 1 1 -0

(1)

donde

11,(.\"1, ... , x,.) .,.

no son nada mris <111c funciones si1111!1rk¡1s elementales de las variables xi, ... , x,.. Observemos que a !os sumandos del coeficiente u, se les puede asig­ nar la~ z-comhinucinucs de 11 elementos ,.,, ... , x,.. l .a expresión (1) se llama· ni 1111111c•n11/ur de la.~ r-co111bi11ac101u:~ tlt.: 11 etcmcruos. Si ponemos en (1) X1 00 1 para i = 1, .... 11, obtendremos

" ~(;)1' = (1 e 1)", 1'- U

(2)

puesto que a,(I, ... , l) es el número de r-cornbinaciones ele 11 elementos. De­ sarrollemos la función (1 + 1)" en potencias de I según la fórmula de Taylor:

" (1 + 1)" = L;

,_., 11! , ... --- (

r!(11 - r) · (3)

37

(Este mismo resultado puede ser demostrado también por inducción respec­ to dc n.)

De (2) y (3) se deduce . ¿ 11! r. r!(1i _-·,1'!' ,r-0

(4)

/\l igualar entre xi los coeficientes ch: igu;ilcs potencias de ten (4), obre­ ncrnos de nuevo (esta vez, aualñicamcntc) el resultado del cupítulo 1: el nú-

mero de r-cornbinacioucs de 11 elementos es igual a • -~'---),- . Al aplicar r!(11 - r . este resultado del capitulo 1 a la fórmula (2), obtendremos una demostra­ ción más de la identidad (3). Semejante método de determinar los cocficien­ tes del desarrollo de las funciones era generalmente aceptado en la primera mitad del siglo XIX y se llamaba análisis combinatorio, a diferencia del análisis matemático al cual se referían los métodos analfticos de obtención de los desarrollos.

En la expresión (2) la función f(t) = (t + 1¡n está biunívocamente reta­ donada con una sucesión de los números

[(~)J.r=0, 1,2, ... ,11.

Tal relación resulta muy útil: atribuyendo en la fórmula (2) diferentes valores particulares a la variable t, se pueden obtener muchas identidades importantes. Asi, por ejemplo, para t = 1 y t = - l tenemos

~ 2" = I; (:') = 1 + 11 + (~) + (~) + ... + (~:).

,.()

º = tc-1rC) = 1 - n + (~) (~) ~ + (-1)"(;:); r•O

respectivamente. La adición y sustracción de estas expresiones término a término nos da

I"; 'I " ( 11 ) == 2" - •• L._¡ 2r+I r-o

mientras que la simple división de los factores (1 + t)" = (1 + 1)'"(1 + 1)"-"'

38

conduce a l:i identidad

que se conoce corno convolución de Vandcrmondc, Por fin, al sustituir en. (2) t = a/b, y al multiplicar por b" los miembros primero y segundo, obte­ nemos seguidamente el teorema binomial (1:1 fórmula binomial): .

(a+ b)" = 2:; (;'.) «e:'. r= O

debido a lo cual Jos números (;) se llaman coeficientes binomiales.

Ejtrdcio. oc,nu,~1rt:!\(, fl(,I( '111Ju'--.:ió11 respecto a"'· el {(HIC:.JIHI bmomlal

doudé la stuu•t $e .. :ak11l;1 rcspt'ctu •• 1t>tl:t~ fa" $4,_)(11d .. )ncx ti..: In ecuación "• ·• 111 + ... + •· 11,,. : IJ en 111'cn11:1n~ \.'111t.•ros ,.,, lhl~·•h~'s.: los ~Ol'lit1cot1.··" ''", l .sC'.::undt> miembro $C llJornu pof111oinh'k~ ~·y;, ;1pan,;\.·1t01t\O en t-l "~1pitull• I ...-c~•1h• ,,11111crO$ tk la~ (111, 111 •.. , 11,,.)·f'\arlkion\.'s dcJ »-ccnnnuo.

La fun.::ión/(t) ~ (1 + 1)" si: dcnomi11aji111nó11 generatriz lle una suce-

sión de números (;'], o bien, 111:i~ brcvcmcnre, fu11.::ión generadora del 11(1·

mero de z-ccmbiuacioncs de 11 elcmcuros, r =O, 1, 2, ... , 11. Exruniucmos al111ra una sucesión numérica a "' (ao, 111, ai, ... ), o bien,

de otro modo, la función lln de un arg11mc1110 de número entero 11. A esta luución le corresponde biunívocamente la serie

"-, J .. v1 ·- L ... i1,.1". (5) • o

la c11:1l e~ 111:·1~ r1º11nn<la y ,imple <:11 las operaciones, particulauucute cuando ella converge a 1111a Iuncio» que posee 1111<1 torma analítica conveniente, La 'cric f.,(1) se 11:1111<1 j1111áó11 ¡Je11N11t1 i; de !a sucesrón a. /\si pues, las fun­ ciones generatrices permiten pasa: del anatisis de magnitudes aisladas (por ejemplo, de lus /-courbiuuvicuc» para 1111 valor purticutar r) ;11 análisis ele sos sucesiones c. incluso, de las clases de sucesiones.

Para la mayoría de los problemas combiuaroriox la serie (5) es finita. Si esta serie es, sin embargo, intiuun y el radio lle su círculo de convergencia es 1gu:1J a cero, las operacrnncs con ella ~011 posible- sólo dentro del álgebra de las series de ¡w1cnria5 íonu;1k~. el cual se aualizará en el pármfo que \:ÍCtU..'.

39

2.2. TIPOS DE EUNCIONES GENEl~ATlUCES Y DE NUM ERADOR(IB

Sea R cierto anillo con la unidad. El anillo S(R) de sucesiones sobre R y el anillo R [[ti], isomorfo a S(R), de series de pocencias formales sobre R se definen del modo siguiente. Los elementos del anillo S(R) son las sucesiones

1 a) = ( (ao, a,, 112, •.. )l. y los elementos correspondientes del anillo R((tlJ son las series

(l)

{P.(t)}, F0(t) = ,~a,t'.

Se llama suma de las sucesiones a = (ao, t11, ... ) y b = (bo, bi, ... ) a la sucesión

(2)

e = a + b = (ao + bo, a, + tn , ... ) = (Co, e,, ... ), y se llama suma de las series Fa(t) y 11,(t), pertenecientes a la clase (2). a la serie r-~cn = F.(t) + Fi,(1):

~ Fc(t) = ¿c,t', , _.,

donde .1·, = a, + b.. Se denomina producto (o convolución) tic las sucesiones a y b de la clase

(J) a ta sucesión ax b = d =(do. di. ... ). en la cual d, = aobr + a1br-1 + ... + a.b«. r =O, l, ... , (3)

y producto (convolución) de las series F.(t) y Fb(I) de Ja clase (2), a la serie ~

Fa(t) = J:_(t) X /"'¡,(/) ~ ¿ d.t", r•O

donde¡/,. se determina según la fórmula (3). Definamos ahora: el cero en la clase (1) como una sucesión (nula)

O= (O, O, ... ), entonces el cero en la clase (2) es la serie correspondiente a O

Fo(/) = O;

la unidad en la clase (1) como una sucesión (unitaria) e = (1, O, O, ... ),

entonces la unidad en la clase (2) será una serie correspondiente a e:

F,(t) = ).

Por fin, un elemento inverso para aES(R) respecto de la adición en la clase (1) es -a = (-a0, -a., .... ). y el elemento correspondiente inverso pa-

40

ca F.(I) en la clase (2) será .. -F,,(I) = F- g(f) = L; ( - a,)t'.

r•O

Es fácil ver que todos los axiomas del anillo para S(R) >' R([J)l tienen lugar.

Sea ao un elemento invertible del anillo R; buscamos a - ' = a', particn­ do de la condición a X a' = e, es decir,

aoaó = 1, a1aó + aoaí = O,

de donde encontramos al. (k ~ O, 1, ... )de las primeras k + ecuaciones, empicando el cálculo sucesivo por el método de Gauss (o bien por el de Cra­ mer). Por consiguiente, sólo para las sucesiones a, tales que a0 es invertible, existen a - 1 y F."a- 1 (1) en Jos Millos S(R) y Rf¡t)J.

En los anillos S(R) y R[[f]) puede introducirse la diferenciación D: para a= (ao, a1, ••• ),Da= (a1, 2a1, ... ,na ••... ),

y la integración J: ) a = (o. ªº' ~ ,

" - 1

a; ) ····n+T. JF.(t) = t n'~ 1 r .. 1. ..o Ej~rdcio l. Demuéstrense las siguientes propiedades de los aplicaciones D y ''' J en S{R): J) D(a + b) • Da+ os. 2) f (u + b) = fo + f b; 3) Df a = "; 4) J Do = a;

5) D(a X b) = (Da) X b + o X Db;

y las propicdodcs correspondientes en el anillo RíltJI

Si el anillo Res un álgebra sobre el campo z>, entonces, al introducir en S(R) y en R[[tl) las operaciones de multiplicación por uE/>:

cxa = (aao, CY01, .•• ), (rl:;, (t) = 2:: (cra,)t', t•O

convertimos S(R) y R([(}] en álgebras isomórfas. Volvamos ahora a las sucesiones que aparecen en los problemas combi­

natorios, es decir, al álgebra S(R) de sucesiones sobre el campo R de núrne­ ros reales. Para la sucesión aES(R), la serie F.(!)ER[[rjJ lleva el nombre de funcion generatriz ordinario, mientras que la propia álgebra R[ft]) se deno-

41

mina álgebra de Cauchy. Las funciones generatrices ordinarias se usan al analizar las familias de sucesiones cuyos elementos están constituidos por las funciones de las r-muestras no ordenadas (z-combinacioncs).

Para la construcción de los mismos objetos combinatorios (de las r­ combinaciones) emplearemos el álgebra R(x; /) = R(x1, xi, ... Jlltll de series de potencias formales sobre el álgebra R[x., Xi, ... ) de polinomios de las va­ riables x = lx1, x2, ... J sobre el campo de números reales. El álgebra R(x; t) se llamará numeradora, y las series, cuyos coeficientes serán polinomios que enumeran los objetos combinatorios construidos par nosotros, nume­ tudores de dichos objetos.

Recordemos que la aplicación M; A,-. Az, realizada del álgebra A1 sobre el campo P en el álgebra A2 sobre P, se denomina operador lineal. si M(a + b) = Ma + Mb y M(<Xa) = cxMa para cualesquiera a, bEA,, ex E P. La aplicación M se denomina operador muttiplicativo; si M(ab) "' (Ma) (Mb) para cualesquiera o, bEA 1• Usaremos con frecuencia la aplicación T: H(x; t)-Hl(tl) que conviene todos los x, en l.

t:jcrclrao l. Demuéstrese que la aphcaclón T <> un operador mul1iphcativo lin<>I. t;i.rclcio 3. Demuestrese que l>r aplicac1oncs D y J sobre el :llgcbra R(x; t) son operadores

lm..:ttks. 1 11:.Ml'l.O 1. Hállense el numerador y In función generatriz para las r­

n>mhinaduncs tic 11 elementos. Este problema ya lo hemos resucito en el § 2.1: el numerador de las r­

combinaciones de 11 elementos está dado por la serie (1) en el álgebra nume­ radora R(x; 1), y la función generatriz, por la serie (4) en la subálgcbra Rl{1)) de la misma.

1 Jl:.Ml'LO 2 Hállense el numerador y la función generatriz para las r­ combinaciones con repci icioncs del upo (A,, ... , A~) de 11 elementos, donde 111 es un subconjunto del conjunto No de números enteros no negativos; el elemento a, puede estar presente en las r-combinaciones ).. veces, siempre que >-EA,.

Al elemento "•lid 11-1.:1)11j1111to S poug;ímosk en correspoudencm 111w va­ riable x, cu lttx; 1), cntouces. a la aparición del elemento o, en la r­ combinació» corresponderá, o bien >-., veces, ... , u bien >-.2 veces, In serie .f;•l• + .,} tA' t- •••• l'or eso, el numerador buscado tendrá la expresión

.. L; a,t' = .11

, - o ; ... 1 (4)

1..1 función genenuriz tiene en este caso la forma

F(f) = Il L; ,~ j D 1 ~~ ...

t5)

(a los miembros primero y segundo de (4) se ha aplicado el operador lineal T. que convierte todos los x1 en 1). Al desarrollar (5) en potencias de r, llega­ mos a que el número <le z-combiuuciones del tipo ()..1, .... >.,,)den elementos

42

es igual al número de soluciones de la ecuación y, + ... + y,. = r con las in­ cógnitas y,EA1. i = 1, ... , 11.

EJEMPLO l. Hállense el numerador y la función generatriz. para las r­ combinaciones con repiticiones ilimitadas de n elementos.

Reduciremos nuestro problema al aruerior; si ponemos A, .. No. i = 1, ... , n. El numerador (4) adopta la forma:

" . ~11,1' = TI (1 f Y,t -1 .v,2t2 + ... ) = '-' -1 L.J - X¡/

•• 1

De aquí (ó de (.5)) encentramos ta función r,cncratri7..: /(1) "" (1 + I -1 /2 + ... )" : (1 - !)- "=

'ªº ... = .6 (" + ~ - 1) r = .6 ( - ~) ( -1}'.

r•O r•O

donde se hn puesto por definición

( - ~) = ( - 1 )' (" ~ - 1) . O · ·ó b b (" + r - ') e aqui tenemos Ja sucesi n = (bo. ,, ... ), donde b, = r es

el número de z-combinaciones con repetición den elementos. Este resultado concuerda con el obtenido antes (véase § 1.3).

EJEMPLO •· Hállense el numerador y la función generatriz de las r­ combinaciones con repetición, en las cuales figura por lo menos un elcmcn- to de cada tipo. ·

Pongamos, en las condiciones del ejemplo 2, A1 = N .. ( l, 2, ... J. i = 1, .... n. Entonces, de (4) obtenemos el numerador buscado:

I;a,t' = IT (x,t 1 xft2 + ... ) "' r"IT - x.t '"º ,_, ·- · De aquí tenemos la función generatriz:

2 - '"1 (" + r - 1) , ./(/) = (t + r + ... I" = t"( 1 - () " ~ t" L.J r I · r•O

Al realizar la sustitución 11 + r "' k , obtenemos .. f(t) = '"1(k - l)rk,,. '"1(k - 1)1t.

L; k-11 L; 11-1 k•" k ... ,,

43

Por consiguiente, el número de r-combinaciones buscadas es igual a O para

r c:n, y a G, =:),para r¡,.11. EJEMPLO s . Hállense el numerador y la función generatriz para las r­

combinaciones den elementos, donde se admite sólo un número par de apa­ riciones para cada uno de los elementos.

Suponiendo en las condiciones del ejemplo 2, A1 = 1 O, 2, 4, ... J. i = I, .... 11, tenemos de (4) el numerador buscado:

,. n

~u,t' =TI (1 + x,2,2 + x:1• ~ ... ) = TI 1 _ \¡7 . ; .. 1 • • 1

De aquí obtenemos la función generatriz

f(t) = ( 1 + 12 + ,. + ... )" .. ( 1 - t2) - " =

Ahora podemos obtener una identidad interesante: por cuanto (1 - 12) - n ... ( 1 - /) - "(! + /) - n. la comparación de tos coeñctenres de las potencias de t en los miembros prlrucro y segundo nos da:

~)- 1)1 ('/ + r - k - 1) (" + k - 1) =(ºe·,~:: ':_i~l)par,. = r - k k s , para r h. •-u .

l:;juddo 4. li~llcnsc el numerador y la fu11c1011 gcncratnt para las r-combinacíoncs de n elementos, dou(k se admiren o lo sumo j rC'pcU~1on\:.s de cada elemento.

Pasemos ahora a la construcción de la tccría analítica para la enumeración de las r-muest ras ordenadas o de las r-pcrmutaciones.

En los márgenes del álgebra R(x1. x2, ... lflt]l de series de potencias for­ males con los coeficientes del álgebra de polinomios R(x1, x2, ... ] sobre un campo R de variables x,, .\), ... , que no conmutan entre sí, examinemos la expresión

11!

~ " "' II ""1 . r L..J (1 + x.c.11) "' L..JU,(X1, xi, ... ) 1 , r. ({1

11(.\',. i• l ,. .. u en La que la suma en el primer miembro se torna por todas las sustituciones de grupo simétrico S~ de susriruciones de un 11-conjunto. No es difícil ver que en el coeficiente de 1' del desarrollo en potencias de t de la expreslóu

" ¿; n (1 + X,(i)/) •ESn i e 1

el numero <le apariciones del monomio x1, ... x1, es igunl al número de susti­ tuciones <le irESH tales, que ir- 1(i1) <ir - 1(íi) < ... < x " 1(i,). Las sustitu­ ciones de esta índole pueden construirse del modo siguiente: elegimos r tu-

gnres para las pre imágenes de los elementos Ít •... , i, empleando (;!-) rnéto­ -14

dos, Y los demás n - r elementos pueden permutarse mediante (11 - 1 )' mé­

todos. Por eso, el monomio que se examina aparece sólo (~) (11 - r)! = = 11!/rl veces. Por consiguiente, el polinomio a:<x1. x1 .... )en (6) se compo­

ne de monomios, correspondientes a rodas las r-pcrrnutncioncs de elemen­ tos x,, ... , x •. La serie (6) se denominará numerador exponencial de tas r­ permutaciones de 11 elementos.

Ahora. suponiendo en (6) X1 "' t , t"' t, ... , 11 (aplicamos a los términos primero y segundo el operador mulriplicauvo T que convierte todos los X1 en 1). obtenemos

~ t' (1 + t)" ~ L._JP(11, r) -1 , r. (7)

donde Ptn, r) es el número de r-pcrrnutaciones de n elementos. La función /{!) ~ (1 + t)" se: llamará función generatriz exponencial para el número de r­ pcrmutaciones den elementos. Observemos que la fórmula (7) podía ser de­ ducida inmediatamente de la fórmula (2) § 2.1, puesto que P(n, r) = a,(l, ... )r! Al desarrollar (1 + t)• en potencias de t, obtenemos .

b t' b 11• t' f>(11, r) - = - -· - - , r! 111 - r)! r! ,..o r•O

y de aquí hallarnos otra vez el número de r-permutacioncs de 11 elementos: P(n, r) "' nll(n - r)J.

Sea R un anillo con la unidad. El anillo S0(R) de sucesiones exponen­ ciales sobre R y el anillo R0((1Jl (isomorfo a S0(R)) de series de potencias formales sobre R se construyen del modo siguiente. El anillo s·(R), siendo un grupo aditivo, coincide con el grupo aditivo del anillo S(R). La opera­ ción de mulrlplicación en s: (R) será la convolución liinomial de las suce­ siones: ab = d = (do, d., ... ), donde a ~ (an, 01, ... ). b "' (/Jo, ln , ... ), ,

d, = I; (;) 01b, - ,. 1 ~o

La unidad y el cero en s: (R) son los mismos que en el anillo S(R). El ele­ mento inverso respecto de la multiplicación para la sucesión a 90 (Oo, ª'· ... ) existe sólo en el caso de in\'Cnibilidad del elemento ao, y se calcula a partir del sistema de ecuaciones, análogo al sistema, ya analizado, de ecuaciones en d anillo S(R).

Ejordcio S. Demuéstrese que en S"(R) es1~11 cumplidos rodos tos :uiomas del anillo, y to aplicación a•¡...,, 01 .... a .... .)-o' • (oo, ª'• .... a,./11!) es un l.tomorris1no de los anillos S{R) y s: (R).

Como elementos del anillo R"l[rl) intervienen las series de potencias exponenciales

(8)

45

., "' t' (Ea(t)), Eo(I) = L.Jª' rf, fu O

correspondientes a las sucesiones a = (a0, a1, ... ). Las operaciones de adi­ ción y muttinlicación se dcicnuiuan del modo siguiente:

~ t' E.(t) + l!{,(f) = E<(t) = e, --- r! '

b = (bo, bi, ... ), <; = a, + b,;

,.o donde d, se baila por la fórmula (8). El cero y la unidad en R·(l1)] son los mismos que en el anillo R([t]J; el elemento inverso respecto de la adición se determina análogamente; el elemento inverso respecto de la multiplica­ ción se calcula igual que en el anillos· (R). Si Res el álgebra sobre el campo P. entonces (lo mismo que en el caso de S(R)) el anillos· (R) se transforma cu el álgebra sobre P, Una construcción análoga se realiza también para el amllo R·[lr]l sobre el álgebra R.

Ejcrcioi<> 6. Rcaltccnse para el uuillo R'l[I)) tas construecienes y demosrraciones omuidas en el ICXIO.

De la definición del anillo R'l[i]] se ve que en el caso de las series con- vergentes el producto formal coincide con el ordinario. La serie E,,(t) recibe el nombre defu11ció11 generatriz exponenciat para la sucesión oES' (R), y la propia álgebra R·(l1)] se denomina álgebra de funciones generatrices exponenciales.

t:jerdciu 7. Mutsirese que las :!l~cbr-.i~ if111JJ y R'([tll son isomorfas. De nuevo con el fin de realizur la construcción átgebráica de las r-

muestras ordenadas, examinemos el álgebra R'(x; f) = (R(x,, xi, ... ])• [(ti( de series de potencias exponenciales sobre el álgebra R{x1, xi, ... ) de polino- 1111os con vuriablcs 110 cu11111111ablcs, la cual llamnremos álgebra numeradora exponencial, y el álgebra ll"(x; f) ., (R[x1, x2, ))• lltll de series de poten·

-cias exponenciales sobre el álgebra R[x1, x2, ] de polinomios habituales que llamaremos álgebra numeradora exponencial reducida. Denotemos con r la aplicación de R'(x; /) en R'[[t)l que reemplaza todos los X; por l.

l:':jtrcicio 8. Demuéstrese que T es un operador lineal muhiplicativo. _ Designemos con U Ja aplicación que traslada una serie de R'(x; t) en

la misma serie de n·(x; t), es decir, que permite que las variables x, conmu­ ten entre sí.

Ejercicio 9. Demuéstrese que U es un operador muhiplicativo lineal. Designemos con 1" la aplicación lf{x; t) en lf [(/})que reemplaza todos

los x, por l.

46

E;Jercido 10. l.Xmuéstrc>c que r: es un <>fl(rador multiplicall\'O lineal. Veamos la aplicación V: lt0(x; f)-fi'(x; t), la cual todo 111011oniio

X1,X1, ... x1, con la especificación ()q, ... , >-.) (esto quiere decir que x1 se en­ cuentra X1 veces, x2, X2 veces, etc.) en el coeficiente de ¡k/k! lo transforma en el polinomio

donde la suma se toma respecto ele rodns las ncnuutacioncs (i,, .... j,) de los elementos ;,, ...• ;,.

l'Jcrclclo 1 f. Dcmuts1rc•c c¡11c Ves un upct'...Jorlmc:il, mos lo propiedad lle 111ulclplk"'"''­ d3d !)ara ti no 1 lene lugar.

EJnciciD fl. Demuéstrese QIOC UV <"S uu o¡>cl~dor idé11i~o &otirc el óC¡:d>ra R0(\; 1). A toda z-pcrmuración iti2. i, de elementos l, ... , 11 con rcpiticiones pon·

gamos en correspondencia en el álgebra numeradora exponencial un mono­ mio x,, .. x1,t' Ir!. la serie correspondiente p(x1. x2 •... ; t) para la clase dada de permutaciones se llamará 1111111eradnr exponencial de dicha clase. La imagen Up(Xi. x:i, ... ; t), al actuar el operador U, la llamaremos 1111111erador exponencial reducido de la clase dada de permutaciones, y la serie i''p(x,, x2 .... ; t), función generatriz exponencial.

EJloMPLO 6. Hállense el numerador exponencial, el 1111111cmdo1 exponen­ cial reducido y la función generar ri·, exponencial para una z-pcruuunclón tic n elementos.

El numerador exponencial ya lo hemos encontrado en la Iormn (lí); el numerador exponencial reducido es el polinomio

n c1 ... ~.,> . • D 1

y la función generatriz exponencial para el número de r-pcrmutacioncs de 11 elementos la hemos hallado en la forma de (7).

GJl:MlºLO 1. J lállensc el numerador exponencial, el numerador exponen­ cial reducido y la función generatriz exponencial para las r-pcrmutaciones con repeticiones del tipo (X1 ..... X.) de 11 elementos.

Por O.i. ... , Xn)·permanente (véase {421) de una (r X 11)-ma11'i.l

11 = (~'.'. .: ~'.'.') a,.1 n,,.

con los elementos del anillo R se entenderá un elemento Per1~ ...... ~.>A = 'í:;aio,au, ... a,,,,

donde la suma se toma respecto de todas las r-perrnutacioncs (i, ... , i,) de elementos 1, ... , n con la repetición del tipo (;\1, ... , An). o bien, dicho de otro modo, en el producto pueden figurar A elementos de la columna i sólo en el caso en que /\EA¡¡ si la suma tiene un conjunto vado de sumandos,

47

entonces pongümosla igual a cero. Ahora podemos escribir el numerador exponencial buscado en la forma ..

"' t' p(x1, xi, ... ; r) = L..J Per(A1, ... , A,,)Xr.• r¡-, ,. o

donde X,,,, es una (r X 11)-matriz con r filas iguales (Xi. .•. , x,,). El numera­ dor cxponcucial reducido Uptx«, x2, ... ; t) puede representarse ahora del modo siguiente:

Up(X¡, X2, (}= ~ rJ x¡ .... ,,., t' -,--,- 1 x. 1' r, .... r,,. r. ( 9)

't.; o '• + ... t ,,. .. , r1Eh1, .•. ,r11EA,. -

de donde

Uptx«, X2, ••. , () = TI ( 2}f ~~) · /lti 1 AE.Ai

Por l'in, 1;1 tunción generatriz, exponencial tiene la forma

(10)

n

T;.(x1, .o, ... ; t) = T'Up(x., xz, .. : ()=TI (~ t), ;.,. l ~EA,

por lo cual

"º· l, ... , t) = ~ '"º ,, .... +r,,~1

De aquí llegamos a que el número de r-pcrmm aclones den elementos con rcpcricioncs del tipo (A1, ... , i\,,) es igual a

r! ¡:~!~.'.1~ 1

11 •·. • r,, i... r TtE.A ••. ,l'1tEA ..

Podemos hallar también el numerador exponencial partiendo del numera­ dor exponencial reducido (10), al representarlo en la forma canónica (9) y al aplicar el operador Iineal V.

l!JcMl'lO s. Hállense el numerador exponencial, el numerador exponen­ cial reducido y la función generatriz exponencial para las r-permutaciones con repcriclcnes ilimitadas de n elementos.

En este caso, en las condiciones del ejemplo antecedente A; = No para / = 1, ... , 11, y

Peru•o ..... rMXr.n =(xi + ... + x,,)'. 48

Por eso el numerador exponencial tiene la forma de un exponente

'"' 1' ptx«, x2, ••• ; 1) = L./x1 + ... + x,,)' 1 = exp((x1 + ... + x,,)I). r.

l u misma lonna licue en este caso el 11u111cr.1do1 exponencial reducido, mientras que la función gl!neralri1 exponencial se obtiene en lu siguiente forma

p(I, 1, ... ; f) = exp(nr) = .2:n' t' rr Así pues. el número de r-pernuuaciones con repericroncs Ilimitadus de 11 ele­ mentos es igual a 11', lo que concuerda con el resultudo del§ 1.3. La forma de In función generatriz de este ejemplo predetermina precisamente el tér­ mino "exponencial" que se usa c11 la tcorín an:ilí1k.1 de cuurncrucioncs de la~ r-pcn11111.1.:iu11c~.

1·JJ·M1'l.ll ,. 1 [;ille11'C el n11111c1ado1 exponencial, d numerador exponen­ cíul reducido y la función gc11c1·;i1ti/ exponencial p.uu las r-pcnuutucioues de 11 ctcmcuros con rcpc1icu)11l''· donde cada dc111l·1110 J1a de ap.1rc1:cr por lo mcuox uun VI.'./.

l'ar.i ¡;,,,. cuvo, cu l.i. ,·,1tlll11.:io11.:~ del cjc111¡1lo 7 1,·11.:11ws A, . N, 1 = 1, .•.• 11, por c<'1b1¡;11i.:n1l·. d 1111111l·rado1 exponencial reducido 1c11d1.1 l,1 forrnn

• • 1 ( .¿.., (,~/!)~ ) -- n L.J ,.. (cxp(,\,/) - 1 ) •

A,... 1 r - 1

µ'(:<1, .r~ .... ; /) = rr Ahora podemos escribir la función exponencial gc11cr.11ri"I:

p'(I, 1, .. ; 1) (1•1 - I)" ~ ~( • l)tC:)e'1'' kJ 4-o

~ ~ :; ¿(-1)'(;)<11- iv, 1 11 4' H

los números currcspoudicmcv, por lo 1111110, son ii,:11ale~ a H

p(ll, r) "'.Z::::c- I)' G~) (11 - sv, 1: •O

(ll)

Por fin, el numerador exponencial puede ser dc1c1 mi nudo con ayuda del opcrndor lineal V:

( ) ., ·e 1) v[J (1·''' - 1). /1 Xi, Xi, ... ; I ., ~P \"1, \'"¿, •• ; = 1 1 49

EJ•rcldo IJ. Hállense el numerador exponcucral, el numerador exponencial reducido y la función generatriz exponencial para las r-permuraciones con repeticiones de n elementos, donde cada elemento puede aparecer sólo un número par de veces.

La función generatriz de Dirichtet para una sucesión de números a"' (a,, a2, .•. ) es una serie formal

o.o¡ = ~ -ª~ L-.J r' ,~1

Determinemos, igual que lo hicimos antcriormeutc, las operaciones de adición y multiplicación para estas series. Se llamará suma de D0(1) con Di.(t) a la serie

D4(1) + !)¡,(/) ., D,(t) =· b ~ , b = (b1, bi •... ), ,_, donde e, = a, + b., y producto de las series mencionadas, a la serie siguiente:

~ d, D,.(t) x Db(t) = D,,(t) = --- , r'

r • 1

donde

<1, = 2: "ib; = 'Ll11b,11 lj- r ,1,

(la adición se realiza según los divisores enteros r). De aquí se ve con facili­ dad que O = (O, O, ... } define el cero con relación a ta adición; e = (1, O. O, ... ) define la unidad con relación a la multiplicación: D,(t) = l; el ele­ mento inverso respecto de la multiplicación D.- 1(1) se busca a partir de la igualdad

o bien, que es lo mismo, del sistema de ecuaciones: 010{ ~ 1, a2a{ + aaai = O, a3aí + aia; = O, aca] + 01aí + a.a; = O,

de donde tenemos, en particular: at "" -1- , aí = - ~ , 2 O¡ 01

al = 4 - 4 , etc., es decir, es necesaria y suficiente la O¡ a,

del elemento a1• No es dificil comprobar que la totalidad de funciones gene­ ratrices de Dirichlet es también un anillo. Si definimos la multiplicación na­ tural de la serie D.(I) por un número real, dicho anillo· será el álgebra R 1 t l

OJ a;= --r • ª' invert ibilidad

so

sobre el campo R. El álgebra de Dirichlet D(ll) de sucesiones, isomorfa a Ja primera, se determina de un modo aoálogo.

La noción de función generatriz de Dirichlet surgió en la teoría de los numeres, donde es de amplio uso la zera función de Ricmann:

~J W) = L; J • I

rw j

Las tres formas de las funciones generatrices introducidas más arriba son fund amcmales para el análisis combinatorio, pero están lejos de ser únicas. La diversidad de las formas que tienen funciones generatrices. se de­ be a los diversos planteamientos <le los problemas. Veamos, como ejemplo, un problema sobre la construcción de las Iunciones generatrices para aloja­ mientos y llenados, a saber, el problema del tipo (A2) (véase § 1.4).

Se tienen un n-couiunto de diferentes elementos y un »r-conjumo de di­ fercnrcs células de especificación (111. 111 ••..• n,,.). Se requiere construir la función generatriz. para el número de alojamientos de 11 elementos en 111 cé­ lulas. Supongamos que el símbolo

.~ignifica que en l<i i-ésima célulu se alejan 111 elementos, i ::: 1, ... , m, Si 11 = I, es decir, si se tiene sólo un elemento, entonces el correspon­

diente símbolo de alojamiento es x., siempre que el elemento está colocado en la i-ésima célula, 1 = I, ...• m, De conformidad con la regla de Ja suma, la posibilidad de alojar un elemento en cualquiera de 111 células se describe por el polinimio

.\1 + .\'2 + ... + x .... Si se ucnen 11 elementos, de los cuales cnda 11110 puede ser colocado e11

cualquiera de 111 células, entonces t-1 polinomio corrcspondienrc será {.\t 1 \.i t ••• ·4 Xu1)",

nticn1ra.~ que l:l cnrrcspoudicnt« función generatriz '..: rcprcscnturá por una funció11 exponencial

E(I) = 2:(x1 + X2 ~ ... + x .. ,)" ::;- = exp 0 u) n •O 1•'

= cxp(2::1x) ""TI cxp(t.\;). f• 1 1 =: t

Si se Hala sólo del número de aloiamicmos posibles, suponemos X; "' J, i"" 1, 2, ...• 111, y, en este! caso, la función generatriz adopta la forma.

E(I) "" cxp(1111).

51

De acuerdo con el teorema polinomial tenemos:

(~ )" _ ~ IJ! n1 n1 •.. nm L.JXi - L.J -··T ··¡- -,- X¡ X2 X111 , n, .112 .... 11,,,. 1-1

de donde obtenemos que el número de alojamientos den diferentes elemen­ tos en m diferentes células con una (ni. 112, ... , n,,,)-espccificación será igual a

11!

2.3. APARATO OPERACIONAL DF.l. MÉTODO DE FUNCIONES GENEltATIUCES

El uso de las funciones general rices, permite enfocar con un grado sufi­ ciente de generalidad problemas combinatorios del tipo enumerativo, Sin embargo, las funciones generatrices, construidas para diferentes tipos de muestras resultaron ser, en la mayor parte bastante engorrosas. Por esta ra­ zón, para una notación más cómoda de las funciones generatrices se c111· pican operadores especiales, cálculos simbólicos y números y funciones especiales.

Sea una sucesión "= (ao, as, ... ), la que se escribirá de otro modo; a = a(n), es decir, como función de un argumento de número entero n(n = O, 1, 2, ... ). Para el conjunto de sucesiones ( u(11)] se empican con mayor frecuencia los siguientes operadores especiales:

a) el operador de desplazamiento E: Ea(n) = 0(11 + 1), 11 = O, 1, 2, ... ,

E-1a(n) = 0(11-1),11 = 1, 2, ... , E-'a(O) =O;

b) el operador de diferencia t.: ll.a(n) = a(n + I) - u(11J;

e) el operador mediador 6:

fJa(n) = a(n - 1) + a(n + IL, o{I) 2 n = 1, 2, ... , 6a{O) ~ --- i - .

Estos operadores están unidos por medio de ciertas relaciones, por ejemplo: ila(n) = (E - l)a(n ),

óa(n) =~(E+ E- 1)a(n),

donde I es un operador idéntico. Las reiteradas aplicaciones de los operadores a los elementos de la suce­

sión pueden conducir a ciertas fórmulas útiles y cómodas. Por ejemplo, de· notemos con n' una sucesión con término general a(n) = n'. La notación

52

Ln', en la que Les un operador lineal en el conjunto de sucesiones se enten­ derá como (La)(11), donde a(n) = 11'. Entonces,

E"(O) = 11; E"(O') = 11'; .o.O'= I' - O' = !'; 0.20' = 2' - 2; 6.30' = 3' - 3·2' + 3,

cte. Los 111i111c-ro.1· Ll."O' llevan el 110111brc de De Morgan, Como un ejemplo de empico de los operadores en las fórmulas combi­

natorias aduzcamos el problema sobre el número de r-perrnutaciones con repeticiones de un n-conjunto a condición de que cada elemento aparezca no menos de una vez,

Reduzcamos el número p(11, r), obtenido en el § 2.2, a la forma (11) del modo siguiente: ·

,. fl

p(11, r) = ¿ (~') ( - 1 )1(11 - i)' = ¿ C') ( - ()1/!''-10' =: o: - l)"O' = i•O 1~11

= Ll."0'.

Deniostrcmos que .ó."O'' 1

~ 11ó."O' + nfl." - 1tl'.

En erecto, . . t.."O"' = ¿Ü')c-1>'<11 - ¡y••= "¿Ü')c-1>'<11- i)'-

1~ o " '""'º - :¿:: (;1) ( - !)'(11 - i)'i. ' :a ~)

El nrimcr sumando no es otra cosa que 11t1"0', lo que se deduce con toda evidencia de lo expuesto :1111t:rior111c111c. J::.11 lo que se refiere al segundo su­ mando, csl•\ claro que al rciil11;11 la sus! it ucióu i ~ j -l- 1, obtenemos

11 n- 1

~C')(-1)'(11-i}'i= -~('~ ,)c-11¡(11-j- •>'u+'> /all n - f J-U

"" 11(11 - l)!U I· )) ,¡ L.; 'u+ ll/!(11 - t --j)! (- lr(n - j - !)' = i•O

"-1 ""(" -1) - ti L.; j ( - 1 )'(11 - J•U

1 - j)' = - 116"- 10'.

l"~j\•r(ldu (. Demuéstrese que el número de r-pcrmuH1cio1h.:s den clemcurcs con repeu­ cienes pares (in~hiith> O) itimuadus es igual a h"o,-.

Las repeticiones frecuentes de las mismas expresiones condujeron a la uparicióu de uúmeros y funciones especiales. Los números especiales, por

53

ejemplo, se descubren y vuelven a descubrir en los diferentes apartados de las matemáticas: en el cálculo de las diferencias finitas, en la teoría de los números, en la teoría de las probabilidades y en la estadística matemática, He aquí algunos datos sobre dichos números.

Analicemos la factorial inferior(/),, = t(r - 1) ... (1 - n + 1) como una función generatriz:

n (/). = ¿; stn, k)1', 11 >O.

Jt,:.O

Los coeficientes s(n, k) en este desarrollo se denominan 111í111eros de Stirting de primer género. Por cuanto (t)1. es un polinomio de grado k , entonces, podemos desarrollar 1" según el sistema ele polinomios (l)o, (1)1, ... , (1).: .

r "' L; S(11, k)(l)k, n >O. k•O

(1)

Los coeficientes S(n, J..) se denominan 111í111cro.~ ttc S11'rling de segundo géne­ ro. Realicemos una definición adrcioual para ambos géneros de números:

(1)0 '"' 1° = s(O. 0) '"' S(O, O) = l.

Los números-de St irling se encuentran en muchos problemas. Volvamos, por ejemplo, al problema examinado más arriba sobre el número de 11- permutaciones con repeticiones de k elementos u condición de que cada ele­ mento figure en las muestras mencionadas por lo menos una vez (véase el ejemplo 9 del§ 2.2). Resulta que la funcrón generatriz en este caso tiene la forma

k ~ k

(e' - l}k = ¿G)c- n'e<k-111 = ¿ :,·; ¿(:)c-1)1(k - i)" = i•O «» n=O 1-.u

,... "1 t..'O" .!.~ .. LJ 11!

Recordemos que este problema admite su interpretación como un problema sobre el número de alojamientos de 11 diferentes elementos en k células dis­ tinguibles tales que no queden células vacías. Para cualesquiera t;;," natura­ les tenemos

1 1

r ~ E'O" = (t + Á)'O" = ~ G ) t..ko• = I;u)k t..;~· = k cO ka O

puesto que Áko• =O para k>n (o!o• es el número de 11-permutaciones de k elementos con repeticiones, donde cada elemento figura no menos de 1 vez). Por cuanto el polinomio de grado n cuenta con n raíces, entonces la 54

1guahlad

~c11 válida pnru todo" los valores reales lle t. Al tener presente el desarrollo (I}, obtenernos

6"0n = kl S(n, k).

Esto quiere decir que el número de alojamientos den elementos diferentes en k células distinguibles, cuando ninguna célula queda vacía (problema del tipo (A)), es igual a k! S(11, k), y el correspondiente número para las células mdisringuiblcs (problema del tipo (C)) (o lo que es lo mismo, el número de purticiones de un n-conjunto en k parces no vacías) es igual a S(n, k).

Los números de Slirling se encuentran a menudo en los razonamientos combinaror ios, por lo cual daremos a conocer algunas observaciones más.

Se pueden obtener rccurrcn<:ia~ ü1ilc~ para dichos 111i111cros, por ejemplo:

a) de (() .. , 1 "' (1 - 11)(1) .. \C deduce .\(1/ 1 I, J.,) - .\(11. k - 1) - 11.\(11. k);

,. • 1 h

1.>¡ , .. • ' .. ,L:scn -1 1, 1. )(1), = 1 ,L:sc11. kJ(l)A - ••O k~o

= ,L:scn. k)((I)~ • , + k(l)A J, k -o

de donde obtenemos S(11 + 1, A)= S(11. k - 1) + kS(11, k).

,, ,. ((). ¿; ,(11, J.. )I', 1• ~ ¿ S(11, J. )(1),

' o • 11

s11s1i1uyan10\ la otru: ff A ff

r" .. L.; S(11. k) L; .1 (k, 111 )1"1 = ¿: 4 .. u ,,1 .. n A .. U

k

L.; SC11, k)s(k. 111)1"'. ,,, .. o

Al igualar los cocficicutcs de las nusmas potencias de t, obtenemos . ~ S' [

1, si 11 = 111, • {11. k)s(k. 111) = s ..... = 0 . , SJ 11 ~ 111.

4 m 111

f;I número 6 •.•• se l.lc11u111in;i d'1111 de Kronecker: l lc aqul uua i11ío1111ac11~11 ,1cc1la <le lo~ orros uumcros cspcciulcs.

5.S

Se llaman de Fibonacci los 111í111eros /(11), donde /(0) = /(!) = 1, !(11) = !(11 - l) + !(11 - 2), 11~2.

Su función general ri1. t icne la forma: F(I) = 1 + f + 212 + 313 + 5¡• + 81' + 1316 + ....

Si se torna en cousidcrnción l\I relación recurrente. llegamos a la siguiente expresión anotüica p:ira la función gc11crntri:.r:

F(t) -e 1 + t + (/(1) + /{O))t2 + ... -1 (/'(11 - 1) + Rn - 2))t" + ... = = 1 + (f + ll)F(f),

de donde

Esta fuucióu puede ser representada también en la forma F(t) = ((1 - at)(I - bt)) - 1, (2)

donde a y b se hal1:011 de las correlaciones a+ f¡ = 1, at, = - I,

de donde 1 ·I· VS a= - i. /J = 1 -: ,,/5

2

J\I desarrollar (2) en fracciones simples, obtenemos

F(I) = ~ + - {J_ . u= _I _:_~;j_5 /3 = - _ I 2-.'5{__5_ 1 - ti/ ) - In ' 2v 5 ' V

(o¡ y f3 se hallan por el método de coef'icicntcs indeterminados), De aquí ob­ tenemos la fórmula de 13inet

( , -~ ,¡5· r .. - ( , - '15} ... f(11) = aa" -1 {3b" = - -· :- ~ · ~----- ,/5

Los números de Fibonacei forman una sucesión especifica que se en­ cuentra a menudo en los problemas combiuatorios. Por ejemplo, el número de Fibonacci /(n), n ~ 1, es el número de (11 - 1 )-permutaciones de ceros y unidades que no contienen dos ceros seguidos.

Oc perfeccionamiento ulterior del aparato de funciones generatrices sir­ ve el empleo del cálculo simbólico de Blissar, Demos a conocer la versión rígida del mismo que se basa en las ideas de Mullin y Rota [43) referentes a la utilización del aparato de operadores lineales con el objeto de funda­ mentar el cálculo de Blissar.

Recordemos que un operador lineal que actúa de un espacio vectorial en el campo sobre el cual está construido dicho espacio se denomina ft111- cional lineal. S6

La idea fundamental del cálculo de Blissar consiste en la operación "de alzamiento de los subíndices": Ja función generatriz exponencial

~ r E,,(r) = LJª" -· r 11.

11•0

de una sucesién a= {ou. ni: ... ) se ~u~tiruyc por la serie .. ~ t"

cxp(11I) = L.Jª" lí! .... o

y después de realizar las rransforrnncioncs indispensables con la purticipa­ ción de esta serie, las potencias se susr ituyen de nuevo por los subíndices (en lugar de a" escribimos a,,). Con el fin de fundamentar estas transforma­ ciones introduzcamos el álgebra R'(a; f) = (R[aJ)'[[f)j de series exponencia­ les formales con los coeficientes en el álgebra de polinomios ll(a] de la va­ riable a, y la funcional lineal L.: U[11]-+ R tal que Lsa" = a¿ prolongada, naturalmente, hasta el operador lineal L.,: ll'(a; 1)-+ l{'lltJJ. de suerte que l"exp(at) '"' Ea(r).

lJJEMPto 1. Veamos una sucesión de los números de llcrnoulli ll = (80,

Bi, .•. ), definida por su función exponencial

"°' 8,, -'-~- = - ~-- . L.J 11! e' - 1 ••O

Entonces, para la funcional lineal Ln: R[BJ-+ R tal que LoB" = Bn. tenemos

lu exp(lJr) = ·-,-'-·· . e - l

De aquí tenemos

f = L¡¡(Cxp{(B + l)(} - c,,p(/)r)) = t.; (°""' ((lJ + I)" - /Jn) t'~) = L.J 11! n•O

y obtenemos, de este modo, la fórmula recurrente n- 1 "'('i\ /) - r1 para 11 = 1 LJ r) r - l O para n = O, 2, 3, 4, r~o

Sustituyendo en (3) r por -/, obtenemos

-r te' L11 exp(-Bt) = -_-,-·-1 = ··--- = L11 cxp((B + 1)1). e - e' - 1

57

Igualando los coeficientes de las potencias de x, tenemos la(IJ + I)" = L11(-D)",

es decir, "

~ (~) //, ~ { - 1)"11,,. r-u

(4)

De (J) y (4) obtenemos. ahora, que B. = (- lt.8. para 11 ;t!. 1, y B1 = - 8, - l. Por consiguiente, lJ1 = - 1/2, 81 = Bs = 81 = ... = O.

i:jcn:icio 2. Demuesrrcse que en el ~ltcbrn lt '(u; 1) tienen lugar las propiedades de permu- rabilidad de los operadores lineales V, j y L.:

l. DL. a L.D; 2. jL. • L.j. Analicemos ahora el caso cuando en las expresiones que se consideran

participan dos sucesiones a= (110, a1, ... ) y b = (bu, bi, ... ). Enlences, para cada una de ellas construimos su funcional lineal: l.: a"-a,,, y Lb : b"-. b; (trabajamos ya en el álgebra R•(u, /J; I} = (lt(11, bJ)•l(tJI con polino­ mios de dos variables que actúan en calidad de coeficientes), veamos. por ejemplo, la sucesión e = (<¡,, c1, ••• ) que representa su convolución bino­ mial. Suponiendo que l.,,(p(b)(I") = p(IJ)L.,a" para cualquier polinomio p(b) (y, análogamente, para Li,), tenemos

n "

e,,= 2=(~)akbu-k = L.L1.2=(~)11*b11-k = t,.Lb(11; b)". k•O keO

Introduciendo la funclcnal lineal L.: c"-•c,,, obtenemos de aquí L,c" ~ L.,L¡,(11 + b)".

Paru el producto de funciones generatrices exponenciales correspondientes tenemos

l., cxp(C'/) = r:,.(t} ::... r,,(1)F.1.(/) ~ l,,L¡, cxp(111) exp (/JI}= /..,/,¡, cx.p {(u + b)t).

La dit'icultad principal del cálculo clásico de Blissar cousisría en que, al con· sidcrar la convolución

después de alzar los subíndices:

" "' (ti) k 11 - k L.J k (/(1

k - <I

58

era necesario prohibir la n111h iplicación o" a"_,, = o", puesto que dicha operación conduciría a un resulrado absurdo:

• ~(~)º•""-A'"' r», . ... o

Siguiendo las ideas de Ci111n;111d (441. esta posibilidnd In eliminamos aqu! exigiendo que, al alzar lo~ subíndices de las convoluciones de las suce­ siones iguales, se introduzcan paro ella~ diferentes variables. En el caso da­ do lomamos 1 •• : o"->a,, y Ln. : (a')"-a,,. Entonces

,, ~(~)"k"•-1: = L.L..(n + a'r. "~o

EJEMPLO 2 Demostremos la identidad de Eulcr para la suma de los pro­ duetos de los números ele Bcrnoulli BH:

n-1

L: G ~) 82r8¡,.. lr• - (211 + J)J)z,,. ,_ 1

EMa identidad puede reescribirse en la forma m

2:< - 1 )' (;) a.u; - 1 = (1 - m)Bm ••O

(5)

(cuando 111 es impar, los miembros primero y segundo son nulos). Introduci­ mos las funcionales lineales L11: 8"-0,,, y L,.. : n"'-0,., entonces (5) puede escribirse en la siguiente forma:

LnL8·(8 - B')"' = (1 - 111)L11B"'. (6}

Analicemos la función generar riz exponencial para el primer miembro de (6):

LoLo. L:cn - B')"' ~ = l.11L11. cxp((B - svi» m. m•O

• I -1 ¡2¡/ loLn. cxp(BI) cxp (- JJ 1) = - -- ---- = -- ~ .. e' - 1 «:' - 1 (e' - 1)

- ,2 .s: (L" cxp (Bt) ) = Ln(l - lJf) exp (Bt) ~ di I .. ... ..

Lo("""' B"' .r: - """'B'"' 1 -~) = L11 ("""' (l - m)Dm .I::....). L...J 111 ! L...J m l L...J 111 !

m•O m•O ,,. •O

De aquí obtenemos la identidad (6), lo que se trataba de demostrar.

59

Eje:rdc:io 3. Demuéstrese l0i siguiente rdentidad naru los "'~1mcros de Bernoulli;

~ ·(2"). L.i<-1> k 211.11,,., ~o - 211)/li- • ...

El desarrollo de la reorlu y del apunuo lle las funciones generatrices con­ <lujo a la introducción no sólo <le la~ series de potencias, sino también de los análogos del teorema de 'Iaylor: en otras palabras, a la expresión de las funciones generatrices en términos de sus derivadas. Sea dada una función compuesta A(t) = /{J:(t)), g(t) = u. Introduzcamos las designaciones para las derivadas de esta función:

d (Íl = D,, D:'A (t) = A,.,

-~~- = D.,, D~g(t) = g.,, [D¡'/(11)),. •6¡r¡ =]«, ull

entonces tenemos en estas designaciones: /11 = r.e:

/12 = /1¡;2 + }ig~. 111 = Jig1 + 3/2/;.Jj2 +})g~

ti

A.,= '2:,/kAn, k(g¡, gz, ... , g,,), k•I

donde A,,. t sólo dependen de g¡ (i = 1, 2, ... , 11) y no dependen de/,¡-. Eli­ jamos para la función/una forma que sea próxima a las funciones genera­ trices exponenciales; hallemos, además, una expresión cómoda para An, k·

Sen /(¡;) ., c-xp(ag), a = coust .

Entonces

2_;11,,. A (}:11 82' . ' ., g,J)cl' ~ (! - 'ji( v:~'IJ' = A,,(u; g1g2, ... , g,,), ~

donde ~I segundo miembro es una notación abreviada del primer miembro ele la igualdad. La expresión para A,. se escribirá del modo siguiente:

A,. = LfA,,(j; g1, gz, .•. , g.,), L¡/' =J), k =O, I, ...

Oc acuerdo con In definición de A (f), agreguemos: Ao =fo= A(t).

Los polinomios A,.((I; g,, ¡;2, .•. , gn) (o bien, a veces, su forma particular para a = 1) llevan el nombre <le polinomios de Bell; en las designaciones de

60

Bcll An = (1; Yi, )'2, •.•• y,.) =Y(y1, Y2, ... , Yn) =e-Yo; e", y= y(x).

Dichos polinomios resultaron ser un medio operacional importante en la matemática estadística, y luego en la teoría combinatoria.

Hallemos una relación recurrente para los polinomios de Bell. Introduz­ camos la designación abreviada

An(a) = A,.(a; g,, ... , 1/n)•

Entonces A,..,_1(a) = e-"•on(deº~) = e-"'aD"(g,e"').

De aquí, con arreglo a la fórmula <le Leibniz sobre la diferenciación <le un producto, tenemos

n

A,,+1(a) =a .L; (;)ce-ºKD"-ke•x)D:1 =.a .L; (~)An-k(a)gA-+1 = kcO k•O

"'LA(o)L1ag(A(a) + g]", (7) LA(#)[A(a)lk = Ak(a), Lggk = gko k =O, 1, 2, ....

Veamos ahora la serie

O(x) = _¿g,, X: 11.

11 et

y la función gcnerau-iz exponencial para los polinomios de

" x" F(x) = .LJA11(u) -¡"jf •• o

De (7) obtenemos DF(x) = ttO(x)F(x},

de aquí, integrando esta ecuación, obtenemos F(x) = cxp(aG(x)).

Ahora, según el teorema polinomial. cenemos

_ ""1 a*n! ( g, )k' A.,(a) - L;~ k.,! IT ...

donde k = k1 + ... + k,., y la suma se toma por todas las soluciones en números enteros de la ecuación k, + 2.k2 + ... + nk; = 11. Y, por fin, ob­ tenemos la expresión

""1 11!.{k ( s. ) k, ( gn) k• A., ,,. A,,(/) = L;k k 1 -,-, • • • -¡- ' 1 •• ' h• • 11.

que se conoce como fórmula <le F. d"• Bruno

61

2.4. SOBRE LAS APLICACIONES OEL MÉTODO DE J<.UNCIONES GENEltATIUCES

Según lo dicho más arriba, el método ele funciones generatrices se aplica para resolver problemas de caracrcr enumerativo. es decir, cuando se dctcr- 111ina el 11ú111cru de objetos en cierta clase. Los razonamientos combinuto­ nos imnediutos análogos a aquellos que ya se usaron cu el cap. 1 jugaban y siguen jugando gran papel en calidad de métodos principales, mas las fun­ ciones generatrices introdujeron consigo una mayor generalidad de juicios y ampliaron el dominio de las aplicaciones posibles del análisis combinatorio.

Históricamente las circunstancias tomaron un cariz. tal que los métodos combinatorios se aplicaron, ante todo, en la reoría de las probabilidades y en la estadística matemática. Y esto es bien explicable. En la moderna teoría axiomática de las probabilidades estas mismas se interpretan sólo en rela­ ción con los espacios de los sucesos elementales. Los últimos son conceptos originarios no definibles y se interpretan como conjuntos puntuales. Si un espacio de sucesos elementales se compone de 11n conjunto finito o nume­ rable de puntos, dicho espacio se denomina discreto.

Todo el aparato de investigación de los espacios discretos de sucesos ele­ mentales es, c11 esencia, combinatorio. Más aún, podemos hablar sobre las intcrpreraciones teórico-probabilísticas de una parte determinada del auált­ sís combinatorio.

Efectivamente, las r-rnuesrras pueden ser interpretadas con ayuda de di­ ferentes esquemas de urna. Los casos en que se admiten repeticiones de los elementos en las muestras, corresponden a los esquemas de urna con retor­ no. Las funciones generatrices de la forma

s ¿:; p;r'• '~ 1

do udc L.; fJ1 - 1, p, ~O, (i 1. . , v) intervienen en Ja teoría de las •• 1

probubilidudcs. cuando 1111;1 11rng111111t.1 ateatoriu X (uuu función sobre el cu11j111110 de sucesos elementales) puede asumir los valores X;, i = l, 2 .... , s, con las probubilidades p¡, i = l, 2, ... , s, respectivamente. Una de las Iuucioues gcneratr ices más simples en la teoría de las probabilidades está asociada con el lanzamiento de una moneda y con otros sucesos que pueden tener dos resultados:

P(f) = q ~·pi, p + q = 1, p. q~O

(la magnitud aleatoria toma el valor O con la probabilidad q, y el valor 1 con la probabilidad p). La función generarriz de lanzamiento de un dado hexaedro con las caídas equiprobables de puntos tiene la forma

61 (t + (2 + ... + ¡6¡ = _!S.1~1.

6(1 - () 62

Sea X, una magnitud aleatoria que toma los valores O. 1, 2, ... , s con las probabilidades Po. Pi, Pi· ... , p,, respectivamente; supongamos que Xz es otra magnitud aleatoria que toma los valores O, 1, 2, ... , r con tas proba­ bilidades pó, p], pí, ... , p/, respectivamente. Sus funciones generatrices serán

s ¿; p.:' y

1-0

Si dos sucesos son independientes, entonces la probabibdad de su aparición simultánea es igual al producto de sus probabilidades. La corrcspondicnrc función generatriz de la magnitud aleatoria bidimensional (Xi. X2) tiene por expresión:

PoPÓ + {p¡pó)L .+ (/.Jo¡J.í)f' + (p¡pj)ff' + ... + (p,p,11' 1" = = ( ±; p/\ ( ±; pi(f')k).

l•O ) k-0

Si analizamos la distribución de la suma X, + X2, entonces t = t', y el pro­ ducto tiene por expresión

( ~ p;1) ( ~ PÍlk) 'F PoPÓ + (/]opí + PoJJó)t + + (p,p¡ + PoPí + />J.Pó)t2 + ....

Esta construcción se extiende con facilidad a las distribuciones den magni­ ludes aleatorias independientes. En particular, para 11 pruebas independien­ tes (con 2 resultados) la función gcneratr iz del número de resultados de una forma determinada será

P(I) = (q + pt)", p + q = 1, p; q;:,O.

En la teoría de las probabilidades pueden emplearse también funciones generatrices de tipo algo diferente. Por ejemplo, supongamos que cuatro partículas entran volando en una cámara, donde se encuentran centros de atracción con fuerzas proporcionales a 8:9:11:12. Diremos que la función ge­ neratriz de las probabilidades de distribución de una partícula por los centros es

8 9 1( 12 40 f¡ + 4Q 12 + 40 IJ + 4(} 1 ••

En tal caso, si se asegura la independencia de las partículas, la función gene­ ratriz de las probabilidades de caída de las cuatro partículas tendrá por expresión: • n (_!._ fti) + .z, 11•> + -1-1 1!1> + _g_ rl;>) . 40 40 40 40

;-1

Si nos interesa sólo cuántas partículas caen en los centros dados, la función 6)

generadora correspondiente será

( 8 9 JI 12 )• 40 11+4012 + 4o IJ + 4Q 14 • (1)

Por ejemplo, lll probabilidad de que las partículas caigan en los centros di­ lcrcntcx será igual al cucficicntc de t1t¿l¡t~ en (1).

Los problemas combinatorios de alojamiento e11 su interpretación rcórico-probabilisticu conducen a la introducción de las nociones de mo­ menros. Sea dada una distribución de las probabilidades, es decir, una sucesión

p«. pi. Jh, ... ; O(;p;~ 1; í =O, r, 2, Í:: Pt = l. ;~o

Para la distribución citada pueden introducirse momentos de diferentes tipos:

:1) 1110111e111os ordinarios

11/k = ¿; j* f);, t ... o

k = O, 1, 2 .... , en particulur

11/u = /lo I· /!1 t· /h + ... , //11 = /Ji + 2pi ~ 3pJ + ...•

/llk = p, + 2kp2 + 3kP1 + .... Los momentos ordinarios se identifican con las esperanzas matemáticas: si está dada 1111,, magnitud aleatoria X con distribución (f(x1)} y si Ja esperan­ za matemática ele la magnitud X' (r> 0) existe, ésta se llamará momento de z-ésirno orden para X:

b) momentos factoriales:

(111<) '- ¿; (j),,p,, J-0

dundc {Í)k = j(j- J) ... U-k ., .. 1), k =O, 1, 2, ... ; tu designación (J11)1c M: debe :i que (111 )k = 1,,.,111(111 - 1) ... (111 - k 1- 1 ), donde L,11(111') = 111,, con la particularidad de que 111, es un momento ordinario de /-ésimo orden;

e) momentos binomiales: ..,

8" = ¿~)p,. k =O, 1, .... r= b

Entre los momentos (111). y Bk existe una relación evidente: (111 )k

B« = ..... (!' ..

64

Es obvio que la expresión de los momentos factoriales a través de los ordi­ narios genera los números de Stirling de primer género, y la expresión inver­ sa, los números de Stirling de segundo género;

d) momentos centrales: M¿ = L,,,(m - m1)k, L,,,(1111) ee 1111, i = O, 1, 2, ... ,

o bien, de otro modo, k

M1t= 2;0,mk-1'-miY. k=O, J,2, ... , )=0

El mas simple es el segundo momento central llamado de otro modo varian­ za: M2 = mi - mf. La idea principal que condujo al análisis de los rnorrien­ los centrales consiste en que en lugar de la misma rnngnitid aleatoria seexa­ minan sus desviaciones dC!I valor medio.

He aquí algunos t ipos de las funciones generatrices que se usan con ma­ yor rrccuenclu en la teoría ele las probabilidades:

a) para Ja distribución de las probabilidades: !'(/) = LJlkl.;

A

b) para los momentos ordinarios;

~' 1< m(t) = L,..exp(mt) = L_¡fnk 1:1; k

L,,.(rn") = lllk, k = O, 1, . , ,

e) para los momentos factoriales:

(111)(1) = ¿(111)k .;~- • lt

d) para los momentos binonriulcs /J(t) ::: l_:,/JklA

k

e) para los momentos centrales:

M(t) = LMCXp(Mt) = .L;Mk :~ '

" Las operaciones de carácter formal sobre diferentes funciones generatri-

ces conducen al descubrimiento de varias relaciones útiles, por ejemplo: 1) m(I) = P(e1). En efecto,

/(() ~ 1" __ ""1 tk ~ ·k ""1 ~ (tj)k __ ""1,,1,,11 __ f>(e')·, 11 "'L_¡nlJ. k! LJ k! L....;J f'J = L_¡P1 LJ k: LJ"•<

" j k

$. h(d .\ 65

2) (m)(t) = P(I -1 t), lo que se ve de las siguientes igualdades:

= ~¡11~({)1• = 2.:111{1 1 t)' = P(l + /). f ~· .t

2.5. TEOHiA OE ltEDFIEl.D-POLVA

El tipo de funciones generatrices depende de las condiciones concretas en que se plantean los problemas y su construcción es, en cierto grado, un arle. Durante mucho tiempo no existía un enfoque regular respecto a la construcción de las funciones generatrices. En este sentido han hecho pasos considerables Redfield y Polya, que elaboraron el método de construcción de las funciones generatrices para objetos combinatorios no equivalentes de tipo bastante general. A los objetos enumerados se les atribuían pesos, mientras que la noción de equivalencia se introducía por medio de un grupo de sustituciones. Aclaremos esta cuestión detalladamente,

Veamos un grupo G de sustituciones de los elementos de un n-conjunto, es decir, un subgrupo de un grupo simétrico s •. Cada sustitución engendra la partición del n-coujunlo en ciclos, es decir, en subconjuntos cuyos ele­ mentos son cíclicamente permutables: la cantidad de elementos en un sub­ conjunto se denomina longitud del ciclo. Supongamos, por ejemplo, que la sustitución g tiene k, ciclos de longitud 1, k2 ciclos de longitud 2, etc. Enton­ ces suele decirse que la sustitución posee estructura cíclica (ka, kz, . _ .) y se Je pone en correspondencia un monomio p(g) = 1}0, t~i .... Se llama Indice ctclico del grupo G la media de tales monomios tomada de todas las gEG:

Pau«, 12, ... ) = l G 1 - 1 ): lf •t~' .... ltf:; EJEMPLO. Basándonos en la fórmula (4) del § 1.3 para el número de sus­

tituciones que poseen estructura cíclica dada, encontramos el índice cíclico del grupo simétrico S,, para todas las sustituciones del 11-conjunto:

1 "" 11! " k P~.,(11, ti, - .. , 1.,) = --- L._¡ ---- ·----.-····- 111 •• - t.• = n! Jk•k1! ... llk"kn!

~ l ( 'ª )k' ( 1. )"" = ki! ... k.1 -r · · · n- · donde la sumación se realiza respecto de todas las soluciones en números enteros no negativos de la ecuación l ·k1 + 2-k1 + ... + nk; = n, o bien, hablando de otro modo, respecto de todas las particiones del número n.

A codo grupo de sustituciones se le puede asignar su indice cíclico de

66

un modo único, Una afirmación contraria no será, sin embargo, cierta. En 1937 Polya construyó dos grupos no isomorfos de sustituciones de orden pi (p> 2, primo) con iguales índices cíclicos.

Sean dados un conjunto finito D y un grupo finito G con su aplicación homomorfa 11" en un grupo simétrico de susritucioncs del conjunto D, es de­ cir, a todo gEG le corresponde una sustitución r1 del conjunto D, y 11'u' = -x-11rz' (para cualesquiera g, s' EG). No se requiere que· la aplicación ;r sea un encaje.

La equivalencia de los elementos del conjunto D se introduce por medio del grupo O:

d1-d2 (d1, d2ED),

si existe un elemento gEG tal que 1frd1 =di. Thdos los requerimientos de equivalencia se cumplen en esta definición. En efecto:

a) d-e d para todos los dED, puesto que r,, donde e es un elemento uni­ dad de O, es una sustitución idéntica¡

b) de d, - di se deduce (/i-d1, por cuanto de la vondición de homomor­ fismo se desprende que si s' = g - 1• entonces 1rx. "" (?r,)- 1;

e) de d, -di y <'2-d1 se deduce que <11 -th, puesto que si 11,d, ""'di y 7r1'di = dv, entonces w,,,d, = 1rg'(7rxd1) = 7r1•d2;: ds-

En virtud de la definición de equivalencia, d conjunto D resulta ser par­ tido, con ayuda del grupo G, en clases de equivalencia (conjuntos transiti­ vos). Los elementos son equivalentes, si y sólo si integran una misma clase de equivalencia.

Lema de Bernsaid. El número de clases de equivalencia definidas por el grupo finito O que actúa sobre el conjunto finito Des igual a

-r br _6..¡,(g) • .. (; donde 1 G 1 es el iuuucro de elementos en G; ..¡,{g), el número de elementos en D, que son invaria111es respecto de ir •• es decir, tales que 1r1<1 = d, mientras que la sumacrón se hace de todos los elementos gEG.

Esta afirmación se anunció por primera vez en las obras de Cauchy, Fro­ benius y Bcrnsaid.

Demostracion. Veamos lodos Jos pares (¡:, d), para los cuales 1ízd = d ú:EG, dED} entonces:

a) podemos fijar g y contar cuántos ti existen, para los cuales ,,.., d= d; b) para cada d fijo calculemos todos los s. para los cuales 1r1d"' d; de­

signemos los números obtenidos con 11(d). Está claro que )'. •¡(d} ee ¿:; \?(g).

d'd> ''º Los elementos gEG que fijan d forman un subgrupo Od del grupo O:

1 G,, 1 = •1(d).

67

Si tomamos otro elemento de la misma clase de equivalencia d, - d, en­ tonces el número de elementos g, para los cuales .,,.,d = di. será también igual a 1Gd1 . Efectivamente, se tiene un elemento hEG, para et cual 1í~d, = d, y, por tanto, de que 7r1d =di se deduce que hgEGd. Así pues, el grupo G puede ser partido en subconjuntos disjuntos en cada uno de los cuales habrá 1 Gd 1 elementos (un subgrupo O« en cada clase contigua iz­ quierda del grupo G): cada subcon~1mto corresponde exactamente a un solo elemento de la clase de equivalencia, en la que figura el elemento d. De aquí, para hallar 71(d), se debe dividir 1 O 1 por el número de elementos de la clase de equivalencia a la que pertenece d. Sumamos: a) ~IJ(d) = 1 G 1 , si la suma se toma de todos los d que integran una misma clase de equiva­ lencia; b) la suma J.i 71(d) es igual al producto de 1 O j por el

número ele clases de equivalencia, de donde se desprende el resultado que tratábamos de demostrar.

Hemos introducido, pues, et concepto de equivalencia para los elemen­ tos a través de un grupo de sustituciones y hemos deducido la fórmula para el número de clases de equivalencia.

Introduzcamos la relación de equivalencia para las aplicaciones. Sean dados los conjuntos finitos D y R. Designemos el conjunto de todas las aplicaciones de D en R con R0. El número de estas aplicaciones es igual a 1 R 1 l "1, puesto que para cada dED existe 1 R 1 posibilidades indepen­ dientes para la imagen. Supongamos que se dispone de un grupo O de susti­ tuciones del conjunto D. Las aplicaciones /1 y /z son equivalentes (11 - h), si existe una sustitución gEO tal que f.(gd) = /2(d) para todos los dED, o bien f1g = /2. Las condiciones de equivalencia son: a)/-/; b) si /1 - h. en­ tonces /2 - /1; e) si/, -/2 y h-h. entonces Ji +I» se cumplen todas. La pri­ mera condición se deduce de la existencia en O de una sustitución idéntica; la segunda, de que junto con g figura en O también g - 1; la tercera, de que si g1EG y g2EO, entonces g1gzEG.

La equivalencia de las aplicaciones introducida de este modo parte el conjunto Rº en clases de equivalencia (modelos).

Introduzcamos ahora los pesos. Estos darán la posibilidad de enumerar las clases especiales de los objetos combinatorios. Al principio, a todo ele­ mento rER se le asigna un peso w(r), donde w(r) es un elemento de anillo conmutativo sobre el campo de números racionales. El peso de la aplicación W(/), donde feRº, se define como un producto

W(/) = TI w(f(d)), Jtb

donde /(d) es la imagen del elemento dED al realizarse la aplicación /, y w<fl.d)), su peso. Las aplicaciones equivalentes tienen pesos iguales. En efec­ to, si f¡g ""fi(gEG), entonces

TI w(/1(d)) = TI w(f,(gd)) "' TI w{f2(d)). íh'b !t"o !l'/1

68

La igualdad es obvia, puesto que: tanto el primer producto, como el segun­ do, difieren sólo en el orden de los factores. Por cuanto todas las aplica­ ciones/ de la clase de equivalencia Fposeen un mismo peso, asignemos este peso a roda In clase F, ctc.~iguándolo con W(¡:), La suma de pesos

2: w{r) rfll

de los elementos del conjunto R se llamará (siguiendo a de Bruijn) inventa­ rio (ínventory) del conjunto R y se denotará con inv D.

Ahora podemos calcular el inventario del conjunto Rº de aplicaciones

lnv R0 = ~W(/) = (,~ w(r)YDI = (inv R)l"I.

Mostremos que esta afirmación es cierta. En el segundo miembro tenemos 1 R l 1 °1 términos. Se puede establecer una correspondencia entre 1 v· ¡ factores y los elementos del conjunto D. La elección de un término de cada factor y Ja formación de un término del desarrollo se interpretan como Ja aplicación/:D-R. Pero, para cada/tenemos W(/) = !] w(f(d)). Todo el

Jm producto es igual a la suma <fo iodos los W(f), lo que se requería demostrar,

Si consideramos el conjunto S de aplicaciones, constantes sobre los sub­ conjuntos Dr, ... , Dic. que forman la partición de! conjunto JJ, entonces

k

inv S = 11 l:;(w(r))Iº.!, I= J r{R

(1)

lo que se demuestra mediante un razonamiento análogo ni aducido más arriba.

Ahora, introducidos codos los conceptos indispensables, podemos enunciar el teorema basteo. Se 1 rara en él sobre el paso de los pesos de las funciones a Jos de los modelos (de las clases <le equivalencia).

Teurema de l'olya .. 'lean[) y N los conjuntos finitos dados, y G, un gru­ po ti<: s11'1il111.:ioocs •k lr », cícrucntov d1,: [): supo11¡;;111u>~. udcmás, que a los elementos rEI< csrdn it~ignado) los pesos w(r); a Ja~ apticacioncs /E R" y a lus modelos (clases) /·', sc les asignan los pesos W(/) y W(I·), respccrivamcn­ te, Entonces

¿W(F) = Pr; ( I; w(r), 2; (w(r))2, L; (w(r))3, ••• ) , F n « 1f:R r(R

donde Pe; es el índice cíclico del grupo G. En un caso particular, cuando todos los pesos son iguale~ a uno, el número de clases de equivalencia será

h( 1 NI. IR 1 ••.. ).

Demostrucitin. Elijamos de R1>, es decir, del co11ju1110 de tocias las apli­ caciones f:D-+ R, un conjunto S tic aquellas aplicaciones, cuyos pesos son iguales, digamos, a w. Pura /€S tenemos: W(J) = w, y el número <le clases

ú9

de equivalencia para el conjunto S es igual a

donde l/'w(g) denota el número de aplicacióncs f, para las cuales W(I) = w, f ~ .fg(o bien fg - 1 ~ f>-

En efecto, se ha demostrado que si gEG y /1 = f2g, entonces /1 y /2 son de peso igual. Quiere decir, que si /1 ES, 1a111bién f,x - 1ES. De este modo, a ca­ da gEO corresponde una aplicación 1fx del conjunto S sobre si mismo que se determina por Ja correlación

=J> /x- •- Si dos elementos /1 y Ji del conjunto S son equivalentes, esta afirmación es equivalente a Ia siguiente: la existencia del elemento gEO, para el cual ?rr.h = /1, es equivalente a la existencia del elemento gEG, para el cual /2 =- fig. Ahora resta por alegar el lema de Bcrnsald para convencerse de que el número de clases de equlvatencia está determinado correctamente.

Todas las clases de equivalencia que integran S t icnen un peso igual a w. Por consiguiente. si multiplicamos

por w y sumamos respecto de codos los w, obtendremos

I;w(I') = ·¡ b 1 I;I;it- .. (g}w. t- ~ &fC

Pero, es evidente que (X)

L,..¡,w(g)w = l,;W(I), r

donde la sumación se realiza por todas las/ER" que satisfacen la igualdad f = fg: quiere decir

(.e)

_ b W(F) <= +ai b ¿; W(I). ~- .ce I

(X)

Calculemos ahora L.:W(I). La susritución g divide Den ciclos. La condi­ r

ción f = fg significa que f(d) - f(gd) = f(g2<Í) =

(2)

es decir, f = const para cada ciclo. Es cierta también la afirmación contra-

70

ria: toda aplicación J, constante c11 cada ciclo, sal isface la igualdad fg = f, puesto que g(d) y d pertenecen siempre a un mis1110 ciclo. De modo que si D,, Di •... , D* son los ciclos de g, entonces, según (J), lenCIT\OS

(x) ~

L;W(I) =11 L;(w(r))ll>,I. f ¡ .... ,,.~"

Supongamos que la susritución 8 es de estructura cíclica (b«, /Ji, ... ), en­ tonces

f:wu) = (I:w(r))1''(í::(w(r))2)1'' •.• / nN nN

/\1 sustituir esta expresión en (2), obtenemos

, .. ,6w<n =

lo que se trataba de demostrar, Este teorema fue cuuuciudo por Poi ya c11 l 937. Más tarde 'e notó que

el mismo teorema, pero en una forma algo diferente, fue publicado en 1927 por J. Rcdficld (véase en (121). Sin embargo, debido a una costumbre yu arraigada el teorema conserva el nombre tic Poi ya.

Posteriormente dicho teorema fue demostrado basándose en suposi­ ciones generales. Según lo observado anreriormentc. para las aplicaciones fiD>- R Ja equivalencia se introducía por intermedio del grupo G de sustitu­ ciones de los elementos dED. Si añadirnos el segundo grupo U de sustitu­ ciones de los elementos rER, la introducción de la equivalencia con ayuda de ambos grupos G y H se realiza del modo siguiente: dos funciones (dos aplicaciones) !1 ER" y /2E l?v son equivalentes: /1 - Ji, si existen elementos gEG y hEH tates que /1R = h/2. es decir.

/1(;.:d) ~ lif,(d) para todos de o.

1!111re otra~ ge11cnili1.a.:io11~-' del 1<:01c111:1 de Pol ya indiquemos aquella que está li¡;ada con el enlace de los grupos. Sean los grupos de sustituciones G y 11 para los .:011j111110, S y T, respectivamente, En el producto directo de los conjuntos S X 7 formemos las sustituciones de un tipo especial. A saber, elegimos gEG; para calla seS elegimos un ctcmcnt o h.E!I. Estos ele­ memos definen la sustitución:

(s. 1)-•(;:.1~ h,1), sES, tET.

En total hay 1 G 1 • 1 H 1 P 1 de tales sustu ucioucs; ellas forman preci­ sarnenre un grupo denominado por Polya como enlace de los grupos (Gruppenkranz).

La explicación acertada tic los teoremas de Poly« provista de ejemplos se da en [JOJ. El desarrollo ulterior ha enriquecido poco Ja teoría de Red­ Iietd - Polya y 110 la caruluó cu principio.

71

Como conclusión, aduzcamos un ejemplo no complejo que explica la aplicación del teorema de Polya. Se trata de la enumeración de los isómeros de las moléculas orgánicas de una estructura dada. Se consideran las molé­ culas del tipa:

X 1

X -C-x 1 X

donde C es un átomo de carbono, y en los lugares marcados con cruces pueden encontrarse: CH1 (metilo), C2Hs (etilo), H (hidrógeno) y CI (doro). Por ejemplo,

CH1 1

Cl - C - C2Hs 1

Cl (díclorobutano). De modelo matemático de estas moléculas sirve un tetraedro en "Cuyo

centro se dispone el átomo de carbono. El problema de enumeración de las moléculas se interpretará como problema sobre el número de clases de equivalencia D (para cuatro vértices):

r. D->R = (CH1, C2Hs, H, CIJ.

El grupo G será un grupo de rotaciones del tetraedro compuesto por: una permutación idéntica de los vértices; ocho rotaciones en 120° alrededor de los vértices; tres rotaciones en 180º alrededor de los ejes que pasan por Jos centros

de las aristas que no se intersccan. Entonces

Pa(x,, X1, x,) = -/2 (x1 + 8x1XJ + 3x}).

Supongamos que todos los pesos son iguales a la unidad y obtendremos el número. total de moléculas:

Po(4, 4, 4) = 36. Sustituyamos los tipos particulares de las moléculas de la estructura da­

da: supongamos, por ejemplo, que se debe calcular el número de tules molé­ culas, en las que no interviene el átomo de hidrógeno. En este caso para CH3, C2Hs y CI los pesos serán iguales a la unidad, y para H, a cero:

Pa(3, 3, 3) = -fi- (3' + 8·3·3 + 3·31) "" 15 moléculas buscadas.

Para poder clasificar las demás 21 moléculas atribuyamos, como lo hici­ mos anees, los pesos unidad a CHh C2H~ y CI, y el peso H al átomo de hidrógeno:

72

Pa(H + 3, H2 + 3, H3 + 3) = ~ ((H + 3)4 + 8(H + 3)(H3 + 3) +

+ 3(H2 + 3)2) = H• + 3H3 + 6H2 + llH + 15.

Por consiguiente, existen: 1 molécula de CH, (metano); 3 moléculas con 3 átomos de H; 6 moléculas con 2 átomos de H; JI moléculas con J átomo de H; 15 moléculas que no tienen átomos de H.

La teoría de las funciones generatrices es la parte del análisis cornbinato­ río que mayor avance tiene en Jos aspectos teórico y práctic9 para la resolu­ ción de los problemas prácticos. La composición y las posibilidades de esta teoría ya están bien determinadas.

73

Capftulo J Métodos lógicos

En este cnpüuío describiremos procedimientos lógicos caractcristicos que constituyen la base de muchas demostraciones combinatorias.

J. t. MÍffOOO DE INCtUSlONl:!:S V EXCLUSIONJ~s1>

Sean dados un 11-conjunto S ele ciertos elementos y un N-conjunto etc propicdndcs pi. pi, ... , p», con la parricularidad de que los elementos del conjunto pueden poseer dichas propiedades y pueden no tenerlas. Se re­ quiere hallar el número de elementos que no poseen ninguna de las pro­ piedades mencionadas.

Elijamos 1111a r-111ucs1 ra de propiedades (p,,. p;,, ... , p1,). Designemos ~·011 n(p,,, µ,,, ... , '"·)el número de elementos del conjunto S. cada uno de los cuales posee todas las propiedades elegidas. Denotemos con µ, la auscnciu en los elementos de la pronicdad p,. Así pues, el número de ele­ mcnros que, digumos, poseen las propiedades p1. ps, ps, y· no poseen las propiedades P!, P•. P6 se escribirá en la forma n(p,, Pi. PJ, P•, ps, pi;).

Examinemos al principio dos casos sencillos: 'a) se t icnc sólo una propiedad p; entonces, evidentemente,

n(P) = 11 - n(p);

b) se ricnc un número Jiniro de propiedades pi. pi, ... , PN que no son compariblcs: tenemos, evidentemente ,..,

"(jj., Jh., ...• p,..,) = n - ¿:; 11(.p,). 1~ 1

Pasemos a un plruucnmicuro más general del problema, cuando los ele­ mentos del conjunto pueden poseer combinncicucs ele las propiedades ..:0111- putibles. En este caso tiene lugar el

Tcorcmn l. Si están dados un n-conjunto de elementos y un N-conj1rnto de propiedades p,; i = 1, 2, ... , N. entonces

N n(j¡1, p¿, ... , pw) = n - L: 11 (J),) + L: ntp., p¡) -

l• 1 tsi<j:s.N

L; nt»; p¡, Pk) -t· ... + ( ·• 1 )N11(p1, />i., •.. , PN). (1) l~l<J<.*.:s;;N

u S(; \:4't1<>Ct: •;.unbiéo bajo l:t dt0(1nun,1r1(m de méiouo tic criba, método ló&it.:O, m~todo !.i1111Jóli{'O y pnncipio d"· ctnsiíicadc\n cru1.1da.

74

Demostracián, Con el fin de obtener elementos que no posean ninguna de las propiedades mencionadas, ·hace falta excluir del 11-conjunto los ele­ mentes que tienen la propiedad p«, luego, los el erncutos poseedores de la propiedad pi. etc., es decir, L;n(p;) elementos. En este caso, sin embargo,

¡

los elementos que poseen dos propiedades, digamos p, y Pi resultaron excluidos dos veces (al principio, como poseedores de la propiedad p,, y a conunuacíóu. como poseedores de l:i propiedad f)2). Quiere decir, que es ne­ cesarlo devolver todos los conjuntos, cuyos elementos poseen dos propieda­ des, o sea hay que añadir ¿; n(p,, p;) elementos. Mas, en ial caso los

1 :si<J.s/\· elementos que poseen tres propiedades, digamos tn, pi y p, quedan incluidos, por lo cual se debe sustraer L: n(p;, J)j. Pk), elementos.

1 :tl<j<ksN Siguiendo razonando de un modo análogo, obtendremos un algoritmo para catcu lar n(ft1. Pi •. · ·· P/./) el cual consiste en rechazar y devolver alrcrnarivn­ mente los subconjuntos. A esto se debe prccisarncmc una de las denomina­ ciones del método: el de inclusiones y exclusiones. Vamos a seguir este mé­ todo en adelante.

A parte de los razonauucuros sencillos ad ucidos más ru r ibu, podemos realizar la demostración por inducción respecto de N. El teorema es válido para N = J:

1/(J)) = ti - 11(p).

De acuerdo con la Iormulación del teorema, podemos escribir también: JI(¡)¡, Pi •...• PN) = Jl(j)¡, Pi •...• ¡;N-1) - ll(jjt. íi1 •...• ¡},..,_'•¡)¡o;).

Supongamos que el teorema es válido para N - 1 propiedades, es decir,

11(P,, Pi •... ,¡:,,.,_,,)= 11 -l:,11(µ1) + L,n(p;, p¡) ; t «¡

... +(--J)'°"- lll(pt. tn, ... , J}N- 1).

Pasemos al caso en que se t icncn N propiedades. Apliquemos la correla­ ción obtenida para el número n(¡i,, pz, .. , /J,v-1, /),.,):

11(jji. Pz •... , P.v- 1, JJN) = 11(p,v) - L;n(p;, J).v) + ;

... +(-J)N- 111(J)1, Jh, . · ., J)N).

Al sustraer esta igualdad de la anterior, llegamos a In afirmación del teorema.

El carácter de la demostración es tal que puede ser utilizadn para cual­ quier combinación de las propiedades. En el primer miembro di.' la igualdad demostrada puede figurar no sólo 11 (j},, 1>1 •••• , /l.v). sino también, por ejemplo, 11(pi, Pi. ps, p4). En este caso el teorema se enuncia respecto "una totalidad de las propiedades {J1 y P•. con el cuuiplimicnro obligatorio de las

15

propiedades P1 y Pl, dd modo siguiente: 11(p., P1, -¡)¡, P•) = n(pi. p1) - n(p1, P1. Pl} -

- n(pi. PJ, p4) + 11(p1, p¡, J)i, p4).

El método se hace má~ complicado cuando se introducen los pesos <le los elementos. Al igual que en el cap. 2, no habrá limitaciones o precisiones algunas para el concepto de peso. Para nosotros los pesos son características numéricas de los elementos de los conjuntos definidas por las condiciones del problema.

Así pues, sea dado un n-conjunio S y supongamos que a cada elemento s1€S, i = 1, 2, ... , 11, se le atribuye el peso V(s;). Del N-conjunto de pro­ piedades P1, J)2, ••• , PN elijamos una z-muestra p1,. ... , p;, y designemos con V(p;,, p;,, ... , p;,) la suma de pesos de los elementos que poseen todas las r propiedades elegidas. La suma de los pesos extendida a todas las r­ muestras posibles de propiedades la denotaremos con

l:; V(p;,, p«, .... p;,) = V(r).

Para el caso de r = O el símbolo correspondiente V(O) designará Ja suma de pesos de todos los elementos del conjunto S.

El teorema antecedente se enuncia e11 este caso del modo siguiente. Teorema 2. Si están dados el rr-conjunto S, cada elemento del cual tiene

un peso, y el N-conjun10 de propiedades, entonces la suma VN(O) de pesos de los elementos que no poseen ninguna de las propiedades dadas se deter­ mina por la fórmula

VN(O) = V(O) - V(l) + V(2) - ... + (- l)NV(N).

Ha de notarse que el teorema 2 generaliza el teorema l. Si iodos los ele­ mentes s,ES son de peso unitario, entonces Ja suma de los pesos sera igual a la suma de los sumandos en la suma. En este caso V(O) = N y VN(Ú) es igual al número de elementos del conjunto S que no tienen ninguna de las N propiedades; 1:1 fórmula que se obtiene en 1al cuso es precisamente la f'ór­ muta (1).

El teorema 2 puede ser, a su vez, generalizado. 'Icoremu 3. La suma de pesos <le los elementos que poseen exactamente

r propiedades de las p1, f>2, ... , PN se determina por la fórmula

V..,(r) = V(r) - r: 1) V(r + 1) + ('; 2)

V(r + 2) - .

. . . + (-l)"·'(N IV_,) V(N).

o bien, lo que es lo mismo,

(r + 1) (r + 2) VN(r) = V(r) - r V(r + 1) + r V(r + 2) -

76

... + (- l)N-r (~ V(N).

Los teoremas 2 y 3 se demuestran igual que el teorema l. Se propone que el lector mismo realice estas demostraciones o se dirija al § 8.3, donde se aducen generalizaciones ulteriores del método de inclusiones y exclusiones.

Estudiemos, a título de ejemplo, un problema sobre desórdenes, llama­ do también problema de encuentros. Sea un conjunto ordenado finito de números 1, 2, 3, ... , 11. Para estos números pueden formarse las permuta­ ciones 01, 02, •.. , a«. El número de todas las permutaciones es s = n! Entre las permutaciones citadas hay tales, donde ninguno de los elementos con­ serva su lugar original: o; ~ i, i = I, 2, ... , 11. Las permutaciones de esta índole se llaman desórdenes. ¿Cuántos desórdenes existen?

Un conjunto de 11 elementos se examina con relación al conjunto de pro­ piedades de los elementos de quedarse en su lugar: p1- (o1 = ( 1 i = 1, 2, ...• ~1}. Es evidente que sis elementos quedan fijados en sus lugares, el 01.i­ mero N(s) de las respectivas permutaciones es igual a (n - s)!. El número de desórdenes en tal caso se determina con ayuda del método de inclusiones y exclusiones:

N(O) = 11! -(7)(11 - I)! + (~)(11 - 2) - +(-1)' x

x CJcn - s)! + ... = n! (1 - J + -2~- - * + + _( ::)•),

lo que representa un número entero, el más próximo a n!e-•. Si se trata no de los desórdenes, sino de un número de permutaciones,

en las que quedan en sus Jugares s elementos, entonces

N(s) = ..!.'!.. f1 - 1 + --1. - ...!__ + ... + ( - 1 )" - ' I ) . s! \ 2! 3! (11 - s)!

Es fácil observar el desarrollo de los razonamientos durante la resolución: entre n elementos se eligen s elementos inmóviles, sirviéndose para ello de

(;) métodos; a continuación, se realiza Ja multiplicación (según la regla

del producto) por el número de desórdenes que se encuentran entre los (n - s) elementos restantes.

Demos a conocer la interpretación teórico-probabilística del método de inclusiones y exlusiones. El conjunto de elementos se interpreta en estas cir­ cunstancias como un espacio discreto de sucesos elementales, simultáneos o incompatibles (excluyentes), ai. a2, ... , on, y los pesos de los elementos, como probabilidades. La probabilidad de la aparición simultánea de los su­ cesos 01,. 01,, ••• , ai, se designará con P(a;,. ... , a;,). Para el caso en que los sucesos no aparecen se emplea la llamada ecuación de Poincaré:

P(ii,, 02, ... , a,,) = [I - P(a1))(1 - P(a2)J ... (1 - P(fln)],

77

en la cual podemos abrir paréntesis. rigiéndouos por la regla: P(a;)f>(a¡) = = />(a1, a,). Esta ecuación es una generalización de la fórmula para las pro­ bubiliduucs de los sucesos indcpcndieurcs aplicada ul caso de los sucesos de­ pendientes y simultáneos, La fórmula general para el método de inclusiones y c.:.xl'lu.,io11l·~ t icnc por expresión:

11(¡1,. ps, ...• p.,) = 11 - 2_;11(¡1,) + L,11(p¡, f}j) - 1., ... + (-l)"11(p,, pz, ... , p,,),

con la pau icularidad de que la fórmula se modifica: ambos miembros se dividen por 11, para obtener magnitudes no absolutas, sino relativas, es de­ cir, probabilidades

11 - 111(jJ,, /~ •••• , /; .. ) = 1 - n - 1 '2:,n(p,) + 11 - 1 L;n(p¡, p¡) - i,J

... + (-1)'111- 1n(p,, fJz, ... , p.,).

M;\s abajo scñnluremos como se aplica el método de Inclusiones y exclu­ sroucs al cálculo de los permanentes (§ 4.4) y al cálculo de los valores de lax Iuneionc-, especiales que lig11ra11 en la teoría de tos números (§ K.J).

J.2. SISTEMAS DI~ Hl!:PRESENTANTt!:S DE LOS CONJUNTOS Se examina aquí uno de los accesos combinatorios a la característica de

la estructura de los conjuntos fíni1os. Ya por denominación se puede conce­ bi1 que la idea principal consiste en sustituir el sistema de conjuntos por la rcunion de sus representantes.

El plnntcamicnto de los problemas de este tipo y los métodos de su reso­ luciún dependen de los requerimientos que dichos representantes deben satisfacer.

Sislcmas de rcprcscutautcs distinlos (s.r.d.), Sean un 11-conjunto S y el co11ju1110 P(S) de iodos los subconjuntos suyos. Supongamos que M = (S,, Sz, , .. , S.,,) es 1111:1 111-111uc.~1ra de: />(S), y" "" (u1, (t~ •.•• , u,..), cierta 111- muestra de S. Si a la muestra /li/ se le puede poner en correspondencia (no forzosamcnrc de 1111:1 manera univoca) 1111:1 muestra a tal que los elementos a., í = 1, 2, •.. , m, sean distintos dos a dos y, además, a,ES;, i = 1, 2, ... , 111, suele decirse que el elemento a, representa el conjunto S;, y toda la muestra (a1, as, ...• o,..) se denomina sistema de representantes disttnros (en forma abreviada, s.r.d.) para M. Observemos a la vez que sí i ;o! j, entonces o, re 01• incluso si S, = S¡. Si un conjunto aparece varias veces, debe tener cada vez un representante que sea distinto de los demás.

Resulta seguidamente que el s.r.d. puede existir no para todas las colec­ ciones de conjuntos, Si en un sistema finito los conjuntos no son vacíos y no se irucrsecan, el s.r.d., obviamente, existe. Turnemos un caso más comple­ jo. Por ejemplo, si S = (a. b, L·. d. e), y Mes una colección de cuatro conjun-

7!1

tos S1 = (a, b, e, d), Si = (a, b, e), SJ = S4 = (b, e), entonces existen dos s.r.d.: (e, a, b, e) y (b, a, c. d). Pero, apenas cambiamos uno de los subcon­ juntos, por ejemplo, tomamos Si = tb, e) en lugar de S2 y ya no podremos obtener ningún s.r.d. La respuesta a la pregunta de si existe o no un s.r.d. para una familia dada de conjuntos la da el teorema de P. Hall enunciado por éste no más tarde de 1935. El teorema formula las condiciones necesa­ rias y suficientes para la existencia del s.r.d.

Teorema de P. Hall. Los subconjuntos Si. Si, _ .. , Sm tienen un s.r.d., cuando y sólo cuando la reunión de cualesquiera k de estos conjuntos con­ tiene no menos de k elementos, Dicho de otro modo, el s.r.d. para S1, Si. ... , Sm existe, si y sólo si S1,US1,U S,, consta por lo menos de k elemen- tos, siendo en este caso k = J. 2, , 111, y (i1, ii .... , im), cualquier k- muestra de I, 2, ... , m,

Demostración. La necesidad es casi evidente, puesto que la existencia del s.r.d. asegura la presencia de un número necesario de elementos en calidad de representantes distintos. En lo que se refiere a la suficiencia, aduzcamos una formulación perfeccionada que nos da, además.la cota inferior para el número de los propios s.r.d.

Teorema. Supongamos que una familia M = (S1, S2, ... , S,,,) satisface la condición necesaria para la existencia de un s.r.d. y que cada uno de los conjuntos S,, S2, ••• , S,.. consta por lo menos de t elementos, Entonces; a} si t !;, m, M tiene no menos de t ! s.r.d.; b) si t > m, la familia M tiene no me­ nos de i!l(I - m)! s.r.d ,

La demostración la realizaremos por inducción respecto de m. Para 111 = 1 (e, incluso, para m "" 2) el teorema es evidente. Demostremos que es licito para cualquier m finito, partiendo de su validez para m ' < 111.

Veamos una (reunión) de cierta k-mucstra de los conjuntos: S1,US11U ... US;,;

se deben examinar dos casos: uno cuando el numero de elementos en la unión es igual a k, y otro cuando el número de elementos es superior a k. Empecemos por el segundo caso, cuando la unión en consideración posee no menos de k+l elementos. cualesquiera que sean k: k"" I, 2, ...• rn, y el juego t., ii, ...• ik de numeres l. 2, ... , m. Elijamos algún elemento a1ES1 y eliminémoslo en S2, S1, ... , S,,,, si él se encuentra en dichos conjun­ tos. Llegamos de este modo a M" = (S.i , s;, .... s;;,). Esta (m - !}­ muestra satisface Ja condición necesaria para la existencia de un s.r.d., pues- 10 que s;,usi,U ... os; contiene no menos de k elementos y, además, M' tiene o bien no menos de (t - 1) s.r.d., si l!;,m (y, por tanto, t - J !;,111 - J), o bien (t - l)!/(f - m) ! s.r.d., si t > m (y, por tanto t - 1 > m - 1). El resul­ tado buscado se logra, si tomamos en consideración que en S1 hay por lo menos t posibilidades de fijar el elemento a1 y que este elemento constituye, junto con el s.r.d. para M", el s.r.d. para M.

Volvamos al primer caso en que la demostración realizada no puede

79

considerarse válida, pues existe una /\-muestra S,,, S1,, ...• S1, tal que S,,US,,U ... U.S';, contiene exactamente k elementos (1 ,.:;,k~m - 1). Recnu­ meremos los coujuntos S1. S2, ...• S.,. de un modo tal que S1, se haga S1. S;, se hug;i S2 •..•• y S;, se haga Sk; escribamos estos conjuntos en el si­ g11i1:nte ur den nuevo:

· S,, S2, ...• Sk, Se ; 1, ••• , S,,,.

Por cuanto s,us~u ... USk contiene exactamente k elementos, entonces r ~ k. Por consiguiente, por hipótesis de inducción, (Si. S2, ••• , Sk) tiene no menos de t! s.r.d. Tornemos uno de estos s.r.d.: (a,, 02, ...• ak). donde (l;ES., i = 1, 2, ... , k. Eliminemos los elementos ai. a2, ... , ak de S1c+ 1, ... , S.,,, siempre que se encuentren allí. La (m - k)-muestra obtenida M. =(Si+,, ... , S~,) satisface la condición necesaria para que existe un s.r.d, Efectivamente, si esto no es así y si la unión de cierta k• -muestra st • ,u ... us¡ + l • tiene menos ele k• elementos, entonces la unión

S1US2U ... usku· .. us ... .,. 1e11drin menos <le k: + k• elementos, lo que contradice la hipótesis del tcorc- 111a. Asi ¡>11<.:s, M" tiene por lo menos 1111 s.r.d., y, por consiguiente. M tiene no menos de t! s.r.d,

Algoritmo lle elección de un s.r.d, Prácticamente es muy dif'ícll compro­ bar si en este caso concreto se cumple o no la hipótesis del teorema de P. Hall. La demostración que acabamos de ofrecer, basada en Ja inducción nuucruárica completa, no proporciona ninguna indicación que ayude a hallar el s.r.d. Es10 110 es sorprendente. Los teoremas de existencia aparecen, las más de lus veces, cuando resulta difícil o imposible hallar un algoritmo que conduce a la determinación de la solución. El algoritmo que permite elegir un s.r.d. para un número finito de conjuntos; o mostrar que para el juego dado de conjuntos tal sistema no existe, lo dió M. Hall como de­ llloM ración del teorema de r. Hall sobre los distintos represcniumes.

Sean <lados 11. conjuntos S,, !h, ... , S,,. Se requiere hallar para ellos el v.r.rl., u rnostn1r que t:ol sislc111a 110 existe. fl.lijumos .,¡ ur.ar· un clemcnt o tld pr 1111..:r cuujuuto <11 ESr en calidad de representante de este último. Elcgirc­ lllO.\ por turno los representantes de otros conjuntos: a2ES2; ttJES,; ... , pre­ ocupándonos sólo de que todos estos representantes sean distintos. Si lleva­ mos este proceso hasta aNES., inclusive, obtendremos el s.r.d. buscado.

Puede ocurrir que en un z-ésimo paso llegaremos a conseguir cierto t­ conjunto S,, iodos Jos elementos del cual be, lñ •... , b, ya habían sido elegi­ dos e11 calidad de representantes de otros conjuntos. Esto, syi embargo, no significa todavía que el s.r.d. no existe. Vamos a tomar, uno.tras otro, todos aquellos conjuruos, cuyos representantes son los elementos b1(i "' J, 2, ... ), y eliminar de dios todos los elementos de la sucesión bs, bz, ... , b,, agre­ gilndo los eternenros restantes al final de la sucesión citada. Procedamos de csrc modo hasta que ocurra una cosa de dos: o bien 1) llegaremos al elcmen-

80

10 b1, el cual no puede servir de representante, o bien 2) Ja sucesión se agora­ rá con los elementos 11,, bi, . , /J, como representantes de Jos conjuntos.

En el caso 2) podemos estar convencidos de que el s.r.d. no existe. En efecto. los elementos In, l>i, ... , b .• son representantes des conjuntos y, por coustrucciou. c.ula elemento de estos s conjuntos si: conriene en la sucesión dada. Pero, i.:11 tal caso, los s conjuntos mencionados, y también el conjunto S,, forman s + 1 conjuntos que sólo contienen s elcmentcs distintos, Jo que contradice la hi¡>ótcsis del teorema.

En cambio, si tiene lugar el caso 1), entonces encontramos, en cierta eta­ pa, el elemento b1"' bi,ES1, (i, > t) que no ha sido hasta ahora un represen- 1a111c. Esto es testimonio de que como representante de s1, ya fue elegido otro elemento tn, (h<i¡). Si 1i.>t, entonces el elemento b1, pertenece al conjunto Sh cuyo representante es tu, fo< i?). etc. Surge, pues, una sucesión b1,. h1,, ...• tn: cuyos indices decrecen (i.,, ~(). con la particularidad de que cada elemento de esta sucesión integra un conjunto, cuyo representante es el lt:nni 110 sucesivo. S11s1il11y:i111os los rcprcscur.mtes, eligiendo los ele­ mentos del modo siguienh:: b., para Sh. h., para s,,, ... , b;~ , para S¡0, ,.

Corno resultado de esta sustitución, el elemento tu; se libera pata poder ser elegido en .:alidad de rcprcscuruute de S,. A~í pues. S1, ••• , S, tienen rcpre­ scruanrcs clisrintos y podernos seguir la misma senda, teniendo en cuenta o bien la-posibilidad de llegar a S., y obtener el s.r.d, completo, o bien en­ contrarse con el caso 2) y establecer que el s.r.d. no existe.

La conclusión sobre el número de s.r.d. se obtiene del algoritmo men­ cionado como una consecuencia. Efectivamen<e, si el s.r.d. existe, esto signi­ fica que existe también un conjunto. cada elemento del cual puede ser elegi­ do en calidad de su representante en el s.r.d. Esto quiere decir, que si los con­ juntos de una familia dada de 11 elementos tienen 1 o más elementos, cnton­ ces existen por Jo mcnos r: s.r.d., si t < 11, o bien r(t - 1) ... (t - 11 + l) ele­ mcntos, si 1;;;. 11 (por cuanto la elección del primer representante puede reali­ zarse cmplcauclo por k1 menos 1 métodos; al tachar este representante clegi­ do por "º·'º'ros en todo~ los dc111:h conjuntos, licgarcmos al sistema de conjuntos si .... , s: .. donde el conJ111110 menor tiene no menos de r - 1 elementos, Co111in11a1Hlo .is], pa~<> a puso, obtendremos el resultado mencionado).

La condición de que el sistema sen finito es nqui de mucha importancia. Si retiramos esta condicióu, entonces, para, por ejemplo, un sistema infinito de conjuntos

So= 11, 2, J, ... , k, ... 1; s.= l 11:

no existe un s.r.d., au11411c sí existe para cualquier parte de él.

()-C.hl' 81

Otros sistemas de representantes de los conjuntos. Los problemas <le partición de los conjuntos condujeron ni concepto <le sistemas de represen­ tantes comunes. Sean dadas dos particiones diferentes de un mismo conjun­ to S en k componentes no vacías:

S = A1 U Ai U ... U A;; S = LJ, U 82 U ... U Bk.

Si existe un subconjunto O del conjunto S, compuesto de k elementos, y si, además, dicho subconjunto es 1.11 que s11 intersección C\111 cuulquicru de las componentes no es vacía:

onA,~0; on8;?'0; ¡ .. 1.2, ... ,k, éste se denominará sistema de represenuuues cu1111i11<•s (s.r,c.) de las partí· ciones dadas. En este caso cada una de las iutcrseccioncs resulta estar com­ puesta por un solo elemento. Los conjuntos de las particiones primera y se· gunda, lomados dos a dos y elegidos, ~i es necesario, <le un ruedo corres­ pondiente, tienen uno y sólo un elemenro común, el cual es precisamente su representante común.

No es Iorzosamenre obligatorio, por supuesto, que se cumpla el requeri­ miento de existencia de un solo elemento común. Pueden plantearse y to­ marse en consideración condiciones diferentes: existencia de un número da­ do de elementos comúnes, de un conjunto dado, ele. Por ejemplo, si exigi­ mos que cada elemcuto s1eS figure no menos de k«, y no más de k2, veces (k2;~k11 ~ 1) en el sistema de representantes co1111111cs, este último se llurnará sistema de un número limitado de representantes (28). ~stá claro que el problema de s.r.<l es un caso particular de tal problema para k11 = O, k21 = l.

El otro caso pare icular cu que k (1 para i = 1, 2, ... , l;

o;= O para i = I + J, / + 2, ... , m;

ku = 1 para i = l, 2, ... , 111,.

lleva el nombre de problema sobre la existencia del s.r.d, que contiene el con­ junto dado de elementos marginales s,, s2, ... , sr.

El criterio de existencia o no existencia del s.r,c, es próximo al criterio que se aplica al s.r.d.

Teorema. Dos particiones de un conjunto S = A1 U A2 U ... U Ak = 81 U 82 U ... U fJk

tienen un s.r.d., cuando y sólo cuando la unión de cualesquiera m del con­ junto A1 se intersecan no menos que con 111 del conjunto 8¡, donde m = = 1, ...• k.

Demostración. La necesidad es obvia, igual que en el caso del s.r.d. La suficiencia se demuestra por reducción a los teoremas sobre el s.r.d.

En efecto, elijamos para cada B;, i = t, 2, ... , k, un conjunto S1 de to· dos Jos índicesjEK = ( I, , k) tales que A1f181 ~ 0. Obtendremos una »r-rnuestra M = (Si. S2, , S.,) de subconjuntos del conjunto K. Para M 82

existe el s.r.d (el criterio enunciado ele existencia de un s.r.d. es el criterio de existencia del s.r.d. para M). La elección de Jos distintos representantes da para cada 8; su Aj, con la particularidad de que su intersección es no vacía, En esta intersección puede elegirse por lo menos un elemento que sea co­ mún para Aj y 8,, es decir, su representante común.

El concepto de representantes de los conjuntos y de sistemas de repre­ sentarúes tiene en las matemáticas numerosas y variadas aplicaciones, como son, por ejemplo, los representantes de las clases de equivalencia. El método de sistemas de representantes se usa también en la teoría de las redes, al in­ vestigar la admisibilidad de los flujos, y en la teoría de ampliación de los cuadrados latinos.

J.3. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA I>E l{AMSEY

La operación de narticíón de los conjuntos es el fundamento de una canudud infinira de pruhk111:1s prúcticos, En este p:it rafo se dcscr ibc et pro­ ccdimicnto que permite obtener los datos sobre el carácter de tus propias particiones y solnc l;i pu~1b1lilf;ill de reulizar una par tición del tipo prefija­ do de a11lc111a110.

Sea un 11-co11ju1110 S, cuyos elementos han de drstríbuirsc en dos cajo­ ncs. ¿Cuál debe ser el número 11, para asegurar que (]1 elementos caigan en el primer cajón, o que <¡2 elementos caigan en el segundo? La respuesta es casi evidente: 11 ;.q, + (Ji - l.

o 000000100 o o o' q,

Así pues, el número mínimo de elementos que aseguran la resolución del problema es igual a

N(q1, t¡z; 1) = q, -t- l/1 - l.

Si se plantea 1111 problema de distribución no entre dos, sino entre el ma­ yor número (lli¡;a11ws, t) de cajones, siendo 1¡1, os, ... , q, los números correspondientes que caracterizan el llenado requerido de los cajones, en- ronces ,

N(q1. t¡i, ...• q,; l) = L; q, - (/ - 1). 1: 1

Ramsey [451 demostró en 1930 un teorema en el que generalizó estos re­ sollados particulares. En lugar de la distribución de los elementos unidad del 11-conjunto el teorema analiza lá distribución de los z-subconjuntos del conjunto citado. Designemos con S., el conjunto de n elementos y con P,(S .. ), la colección de sus z-subconjuntos.

Teorema de Rumscy, Supongamos que r~ 1, q;';J;r (i = 1, •.. , /).Existe un número natural mínimo N = N(q1, q.; r) tal que para cualquier

83 t•'

n ";J:, N Y para toda r-partición ordenada P,(S.) = A, U ... U A, se encontra­ rá (para cierto i<;;; ( l, ... , 1)) un (q;, A,)-subconjunto, es decir, un qr­ subconjunto del conjunto Sn, cuyos r-subconjuntos están contenidos todos en A;.

Hagamos previamente tres observaciones con el fin de Iacilitar la comprensión del teorema en su planteamiento y demostración.

l. Los ejemplos aducidos más arriba y referentes a las particiones de Jos conjuntos representan casos particulares del teorema de Ramscy parar= J. P,(S) = S, y el {q;, A,)-conjunto es simplemente un q;-subconjunto del con­ junto A;.

2. Para un caso particular en que t = 1, tenemos N(q1• r) = q1, lo que es trivial.

3. Si demostramos el teorema de Ramsey para t = 2, quedará válido también para t = 3. En efecto. sea

P,(S) ee A1 U A2 U As = A1 U (A2 U AJ).

Denotemos A2 U AJ = A~. Pongamos qi "" N(q2, qs: r). Si n ;;i: N(q,, q;; r), entonces, o bien S contiene el (q,, A 1 )-subconjunto; o bien S contiene el (qi; A2 U A1)-subconjunto. El primer caso corresponde a la afirmación del te­ orema. En cambio. sí tiene lugar el segundo caso, entonces el qi·subconjunto del conjunto S contendrá, por hipótesis, o bien el (Q2, A2)­ conjunto o bien el (t¡J, A¡)-subconjunto. Por lo tanto, nuestra afirmación es lícita. De aquí se deduce que resulta suficiente demostrar el teorema de Ramsey para I = 2, y, a continuación concluir por inducción, que es valido también para todo t>2 entero.

La demostración del teorema para el caso de t = 2 empieza escribiendo las siguientes igualdades, considerándolas como iniciales: N(q,, qz; 1) = q, + ({2 - I; Niq«, r; r) = ai; N(r, qz; r) = qi. (1)

La primera de estas igualdades ya la conocemos. En la segunda cual­ quier partición A 1UA2 lleva o bien al (r, Ai)-subconjunto, si A1 es no vacío, o bien al (q1; P,(S))-subconjunto. En este caso q, no es inferior a r. Cual­ quiera de estos casos corresponde exactamente a la formulación del teore­ ma. Unos razonamientos no complejos mostrarán la validez también de la tercera igualdad. Además,

(2) Así pues, ya podemos afirmar que existen los números N(2, 2, 2), N(3,

2, 2), N(4, 2, 2) etc., como también N(2, 3, 2), N(2, 4, 2), etc. Las igualdades (1) y las desigualdades (2) sirven de datos iniciales para la demostración del teorema de Ramsey por inducción. El primer paso, pues, lo hicimos. El se· gundo paso, que da por terminada la demostración, consiste en demostrar la existencia de N(qi. q1; r) a condición de que existen

p, = N(q1 - 1, qi: r); ¡>i"" Ntq«, Q2 - l; r); N{p,, pi; r - l],

84

Por cuanto hasta el momento no se logra calcular exactamente N(q1, qi: r), el sentido de la demostración consiste en estimar este número superiormen­ te, demostrando la desigualdad

N(q1. oi; r)~N(p1, p2; r - 1) + l.

En efecto, Lomemos un conjunto Sn, donde 11 ~ N(p1, Pi; r - l) + I, y fijemos en él un elemento a0; entonces, Sn' (aol = s •. 1. Pasemos de la partición P,(S,.) = A1UA2 a Ja P,.1(Sn-1) = B1UB2 del modo siguiente: en el conjunto Sn-1 tomamos por turno los (r - l)-s11bconjuntos; si la unión de tal subconjunto, digamos, de B', y del elemento fijo a. integra A1, en-. ronces este (r - 1)-subconjunto B' lo atribuiremos a la clase 81, y si la unión está contenida en A2, entonces 8' lo atribulremos a la clase 82.

rn conjunto S,,., tiene no menos de N(JJ1. pz; r - 1) elementos y para este conjunto el teorema es válido por hipótesis de inducción. Por consi­ guiente. en él se cout icne o h1c11 a) el (p,. 11, )-s11bcw1j11n10, o bien b) el (¡>z. /J2)-,ubco11j111110. S11pongt11110~ que ticuc lugar el caso a). esto significa que en S,, _,se contiene el r11-conj111110 T, cuyos (r - 1)-Mcbconjunlos cstün con­ tenidos lodos en /J,. f'cro, n, -= N(q, - 1, q2; r); T~ s., y en este conjunto Tcxiste o bien u11 (111 - l j-subconjuutu . cuvos z-subconjuuros integran 10- dos A'• o bien un (J2-subconJun10, cuyos r-subconjuutos integran todos Ai. Sí tiene lugar el ultimo caso. entonces obtendremos el q~-conjunto que satis­ face las condiciones del teorema. Sí en cambio, tiene lugar el primer caso, es decir, existe el (l/1 - 1)-subconjuuto, cuyos r-subconjuntos integran todos A 1, entonces rcunamoslo con el elemento fijo a«. Obtendremos el q1-conjunto integrado en S. Veamos sus z-subconjunlos. Si alguno de ellos no contiene za, será el r-coujunro que está contenido en A1• Si él contiene "º· entonces está compuesto por este elemento y el (r - !)-subconjunto que integra lJ1. Es10 quiere dccu que cstñ Integrado en 111. Hemos obtenido el q1-subconju11lo del co11ju1110 S. ... iodos los r-subconjuntos del cual están contcn idos cu /11.

Se ha examinado el cuso en que el (¡1,, IJ1)-conJUlllO está contenido c11 S., - 1· f:( caso b) S<• dClllllCS!l'<I tic tilla manera ;111;\l(>ga. El teorema de ]{;1111· scy queda demost nulo,

/\ Jo que parece para toda r-parución y para cualesquiera (q,, qi, ...• q.; r) convenientes, se puede determinar 111ín 11 = N(q1, qi, ...• q.; r), cuya existencia está asegurada en vi1111d del teorema de Rarnscy, Mas. este traba­ jo resultó ser cxtremudumcnrc dificil, pues por :dwra no se conoce ningúu método para calcular estos números. Para t "' r = 2, codos los números co­ nocidos N(q., <12; 2) se aducen en la Tabla 3.1 {si no se conocen los valores exactos, se dun las trontcrus dentro de las cuales éstos están encerrados):

Los casos en que t > 2 csinu poco estudiados por ahora. Se sabe, por ejemplo, que

N(J. 3. 3; 2) ~ 17; N(4, 4. 4: 2) ~ 128

N(5, 5, 5; 2) ~ 251; N((í, 6, 6; 2) ~ 906.

SS

7ób1" J./

3 4 s 6 7 8 9

3 6 9 14 18 23 28 ••. 29 36 4 9 18 25 •. 28 )4 . . 44 s 14 2~ ••• 28 42 . SS 57 . . ')4 (o 18 ).1 ••• 44 q, • 1)4 llJ2 lú') 7 23 R 2.'! .•. 29 9 36

Aún menos sabemos sobre Jos valores de los u úmcros <le Ramscy p;ua r> 2. Merece la atención el siguiente resultado impouuutc:

IJ~N(4, 4: 3)~15. Pese a las excepcionales dificultades y al avance lento, no cesan los es­

fuerzos que tienen por objeto dctcrrrunar los números de Rarnsey o de sus estimaciones (superiores e inferiores). Esto se explica por la peculiaridad del problema que admite numerosas interpretaciones y aplicaciones diversas. En Ja teoría de los grafos, por ejemplo, este problema se mterprctn como 11n problema de coloración de las aristas ele los grafos, El propio problema de buscar los números de Rrunsey se considera, a 111C'1111<1n. para li1s da'c~ aisladas de grafos.

Otra dirección, c11 la que se desarrolla la rcorta de Ramsey, representa el estudio de las condiciones de existencia, es decir, de rules rcstr iccioncs, bajo las cuales los planteamientos geucrutizndos del problema resulten fun­ damentados, y las demostraciones, factibles.

Los problemns de la reoría de Ramscy se cst udian ahora con un elevado grado de generalidad. Supongamos 411e el simboloZ""{/1, ... , /,) significa lo siguiente: si los k-conjuntos de un 11-conjunro S., están partidos en r clases, entonces para cierto i existe un /,.subconju1110 L;<;;S,, tal que todos los k· subconjuruos ele L1 integran la i-é~im<l clase. En este caso el teorema de Rarnsey se enuncia del modo siguiente:

Teorema. Para cualesquiera k, r, l., , (, naruralcs existe un N = N(k. r, l s, /,) t::1 que sí n?:N, entonces 1-v1, , /,).

En general, los teoremas de tipo Ramscy tienen la tonna de las afirma­ clones 1\C1, ... , C), donde los símbolos A, 8, e,, ... , (',designan ob­ jetos (del conjunto) de estructura determinada. Los úlrirnos pueden ser con­ juntos con relaciones de orden sobre ellos, gra rus e hipcrgrafos, espacios vectoriales finitos, conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales, álgebras de Bool y particiones de los conjuntos finitos. Las generalizaciones relacionadas con el caso de los conjuntos finitos conducen al análisis de las operaciones con números cardinales. Los resultados con­ seguidos en este camino por ahora no son grandes.

86

CAPÍTUW 4 APARA'IO TABULAR DE MATRIZ' DEL ANÁLISIS COMBINATORIO

En este capítulo se analizan los conceptos y métodos combinatorios que están relacionados con la representación de los sistemas de conjuntos finitos en forma de tablas. Sirve de base para tales representaciones tabulares el concepto general de sistemas de incidencia.

4.1. SISTEMAS DE INCIDENCIA Y MA"fl<ICF..S ESPECIALES

Se denomina sistema de incidencia una terna ordenada (M, S, <p), donde <p es una corrcspoudcucia biunrla entre los conjuntos M y S (véase § 1.2). Por ejemplo, un pl;1110 puede ser representado corno sistema de incidencia, si tomamos cu calidad de S el conjunto de puntos del plano, en calidad de M, el conjunto de rectas y en calidad de <p, el conjunto de pares (a, b) E M X S que satisfacen la condición ·el punto b se dispone en la recta ar . La corrcspondeucia binaria <p en el sistema de incidencia recibe el nom­ bre de relación de incidencia. En la mayoría de los casos los elementos del conjunto M se interpretan como ciertos subconjuntos del conjunto S, mien­ tras que <p es simplemente una relación que caracteriza Ja pertenencia de los elementos del conjunto S a los subconjuntos de la familia M. Si M = (S1, .•• , S,.), S = (s1, ... , s.}. entonces a la relación "' le CO· rresponderá biunívocamente la marriz A = lu1A de orden m X 11, donde au (elemento de la i-.!sima íila y de la j-ésirna columna) es igual a la unidad, siempre que (S1, s;) E <p, y a cero, en el caso contrario. En particular, cuando M = ( S1 •••• , S,,,) se interpreta como un sistema tic subconjuntos del con· junto S, entonces '

fl. si s¡ES1; "'' "' to. si s, 1. S1.

Esta matriz se llama matriz de incidencia para la familia de subconjuntos M = ( S1, ... , s., J respecto del conjunto S. Las unidades dispuestas en la r-ésirna fila expresan elementos del subconjunto S1, y las unidades dispuestas en la J·ésima columna señalan los subconjuntos que contienen s;. La matriz A da una descripción completa del sistema de incidencia (M, S, 'P). Es binaria, esto es, se compone de símbolos de Jos tipos. Para que los cálculos sean más cómodos, se ha elegido aquí, a titulo <le elementos de la matriz, O y 1 (en adelante las matrices de esta índole se llamarán (O, 1)-matrices), aunque se eligen, a veces, otros pares de magnitudes, por ejemplo, + 1 y - l.

87

El dominio de aplicación de las matrices de incidencia es rnuy amplio. Kirchhoff, por ejemplo, las introdujo para investigar los circuitos eléctricos; A. Poincaré, en la topología, etc.

Los teoremas del análisis combinatorio se interpretan frecuentemente e, incluso, se demuestran con ayuda de las matrices de incidencia. Por ejemplo, en el § 3.2 se ha enunciado el teorema de P. Hall sobre el sistema de representantes distintos. Oc su análogo matricial sirve el

Teorema de Konig [46). En una matriz rectangular el número mínimo m de lineas (de filas y de columnas) que contienen todos los elementos no nulos, es igual al número máximo M de dichos elementos elegidos de un modo tal que de ellos cualesquiera dos no están dispuestos en una linea.

Demostración. Basta estudiar el caso en que viene dada una (0,1)-matriz rectangular A "' faul. i = J, 2, ... , 11; j = 1, 2, ... , t. La demostración de que m = M consta de dos etapas¡ al principio se demuestra que m ~ M, luego que M ~ m. La primera desigualdad es obvia, pues ninguna linea contiene más de un elemento de los M elegidos. Demostremos la segunda desigualdad.

Supongamos que m lfneas están compuestas por r filas y s columnas: m = r + s. Permutemos estas filas y columnas de un modo tal que ellas ocupen los primeros lugares. A cada j-ésima fila (i = 1, ... , r) pongámoslc en correspondencia un conjunto de números de las columnas j, para las cuales a,1"" 1, j >s. Los conjuntos obtenidos satisfacen las condiciones del teorema de P. Hall. Efectivamente, si esto no fuera así, es decir, si k de los conjuntos citados contienen u < k elementos, dichas k filas pueden ser sustituidas por v columnas y todas las unidades figurarán en el número menor de líneas, lo que contradice la condición de que m es el número mínimo. Por cuanto la condición del teorema de P. Hall se cumple, se pueden elegir r representantes distintos de r filas, es decir, r unidades de manera tal que haya dos unidades en una fila y ninguna, en las primeras s columnas. Razonando análogamente, se pueden obtener s representantes des primeras columnas de un modo tal que estén ausentes en las primeras r ñlas, Este conjunto de r + s = m unidades está elegido de una manera tal que no hay dos de ellas que se dispongan en una línea. Esto quiere decir, que m E; M, lo que se trataba de demostrar.

La demostración aludida aquí se apoya en el teorema de P. Hall. Este último puede demostrarse también apoyándose en el teorema de Kénig. Sean un conjunto S y un sistema de sus n subconjuntos. Construyamos Ja (O, 1)-matriz de incidencia. Supongamos que todas las unidades de ésta se disponen en r filas y s columnas. Sir + s = n, entonces, según el teorema de Kooig, existen n unidades, de las cuales cualesquiera dos no están en una misma línea, y ellas forman el s.r.d para n conjuntos. Si, en cambio, r + s < n, entonces la validez del teorema de P. Hall se perturba, puesto que para k = n - r filas las unidades figurarán sólo en s < n - r = k columnas.

88

Las matrices binarias se utilizan en el análisis combinatorio al investigar las estructuras de los conjuntos discretos. La teoría de las matrices binarias experimentó en los últimos años un desarrollo considerable precisamente merced al papel creciente (práctico y teórico) del análisis combinatorio.

Según sea el tipo de problemas combinatorios, en el proceso de -su resolución aparecen diferentes tipos de matrices. Las operaciones sobre ellas se realizan, por supuesto, de acuerdo con fas reglas generales de la tcorla de matrices. Asl, por ejemplo, a la par con las sumas y los productos or­ dinarios, están determinadas para ellas las sumas y los productos directos (de Kronccker). Recordemos que la suma directa de la matriz .A = laol de zr-ésirno orden con la matriz 8 de orden m se representa por una matriz de orden n + m que tiene la forma

G ~). y el producto directo de estas matrices es una matriz de órden nm que tiene la forma

Más abajo estudiaremos ciertos tipos especiales de las nuuriccs que con mayor frecuencia se usan en el análisis combinatorio.

Matrices conmutables. Son matrices de incidencia para el caso en que S "" M = ( l, ...• n}. y la relación de incidencia i'Pj significa que el elemen­ to i se dispone en el j-ésimo lugar de cierta permutación fija de números 1, ... , n. Sea, por ejemplo, una permutación (5, J, 4, J, 2). La matriz. correspondiente será

Sus filas corresponden a los numeras de los elementos de Ja permutación, y las columnas, a los números ordinales de los lugares.

Así pues, una matriz conmutable es la (O, 1)-matriz cuadrada, en la cual cada línea (fila o columna) contiene exactamente una unidad. La matriz conmutable posee la propiedad de que

ppT"' l,

donde pres una matriz transpuesta, e I, una matriz unidad. Esta propiedad se emplea con frecuencia a titulo de definición de la matriz conmutable.

Las matrices conmutables, siendo las más simples, son de interés en primer lugar por el hecho de que a través de ellas pueden expresarse otras matrices más complejas (véase más abajo el teorema de Birkhoff).

89

Matrices de congruencia de dos en dos. Estas son matrices de incidencia para el caso en que M = S, y la relación de incidencia v> es antisimétrica y satisface las condiciones:

a) para cualquier s ES: {s. .r) ~ ¡p (irreflcxividad); b) para cualesquiera diferentes s,, SJ ES (i ;1! j): o bien (s1, s1) E""' o bien

(S¡, S¡) E .p. Thl relación puede interpelarse como resultado de un torneo circular

con participación de ISI jugadores. La matriz de incidencia es la tabla de este torneo, en la que la diagonal está ocupada por ceros (0;1 = O). El premio del i-ésimo jugador y del j-ésimo se nota como ª'1 = l, a1; = O.

Asi pues, las matrices de congruencia de dos en dos son binarias, cuadradas, con ceros en Ja diagonal principal. Ellas satisfacen la ecuación matricial

A+ AT = J- '· donde A es una matriz de congruencia de dos en dos, AT es la matriz transpuesta A, les una matr iz unidad y J, una matriz compuesta por ceros.

Matrices de H11d:111utrd. Así se llaman las matrices cuadradas binarias H (nbrcviadamcntc de Hadamard), compuestas de unidades positivas y negativas, que satisfacen la ecuación matricial

H·HT =ni,

donde 11 es el orden de la matriz H; J es la matriz unidad de n-ésimo orden: H", fa matriz H transpuesta. De la definición proviene que cada dos filas de la matriz H son ortogonales, y, además, que [det Hl = n"12 y H" 1 = 11 - 1 H", de donde

11 · HT = HT · H = ni. Si en una matriz de Hadamard multiplicamos cualquier linea (sea fila o columna) por - J, la matriz conserva sus cualidades de Hadamanl. Las matrices obtenidas del modo citado se consideran equivalentes. Si H1 y f/i. son equivalentes, entonces

H2 = PH1Q,

donde P y Q son matrices conmutables, en las cuales, sin embargo, el único elemento no nulo de la línea es igual a + 1, o bien a - l. Multiplicando las filas o columnas por - I, podemos normalizar las matrices de Hadamard, es decir, reducirlas a una forma en que la primera fila y la primera columna están compuestas sólo por las unidades positivas. Las matrices de Hadamard normalizadas de órdenes l y 2 son

(1) y e - ~). En lo que atañe a las matrices de orden n ;;:¡: 3, resulta que si existen, en­ tonces ns. O (mod 4). Efcctivnrncnte, conmutemos en la matriz de

90

Hadamard las columnas de un modo tal que en la segunda fila la primera mitad de términos conste sólo <le unidades positivas, y Ja segunda mitad, de unidades negativas. Examinemos la tercera fila. Supongamos que en los primeros n/2 lugares encontramos t unidades positivas y en los segundos t • unidades positivas. Entonces, por definición,

2f + 21' = n; 2( - 2/' = º·

de donde n "" 4t. No obstante, In dcmostrnción de la existencia de las matrices en el sentido de su construcción eficaz es un proceso que avanza con lentitud, pese a Ja diversidad de los métodos inventados.

Observemos que los productos directos de las matrices de Hadarnard son también matrices de Hadamard. Se sabe que estas matrices de orden n existen, en particular, en los siguientes casos (vénsc (471):· L n = 2'; 2. n = p' + 1 "" O (mod 4), donde p es un número primo; 3. n = (h - 1)3 + 1, donde hes un producto de los números del tipo l y 2; 4. n = h(h + 3), donde h y h + 4 son productos de los números del tipo

1 y 2; 5. n "' h(/1 - 1), donde h es 1111 producto de los números del tipo J y 2; 6. n = n. 116, 156. 112; 7. n = q(q + 2) + 1, donde q y q + 2 son potencias de los mi meros

primos; 8. n es igual al producto de cualesquiera números mencionados más arriba.

Para el caso incierto mínimo de existencia de fas matrices de l-Iadarnard tenemos: n = 268.

Matrices estocásticas. Este tipo de matrices surgió para ser aplicado en el aparato combinatorio de la teoría de probabilidades. Una matriz se llama estocástica por filas (columnas), si sus elementos son no negativos y la suma de ellos en cada fila (columna) es igual a J. Una matriz se llama dos veces estocástica, si es estocástica tanto por filas, corno por columnas. No es difícil mostrar que una matriz dos veces estocástica es cuadrada. Un producto de las matrices dos veces estocásticas de igual orden será matriz. dos veces estocástica. Efectivamente, si C = lc1A7. A = laul7. B = lbul'I, C = A · D, entonces

• e;¡ = L; aubu ~ O,

,_ 1

" " ~ 2.: cu = ¿:; ª" ¿:; b,j = !, 1- 1 ,_, 1~ 1

y, por analogía, L; cu = l. t .. t

En una matriz cuadrada de n-ésimo orden, se llamará transversal a un juego den elementos, en el que ningún par de ellos está dispuesto en una misma línea (fila o columna).

91

Lema. Una matriz dos veces estocástica tiene la transversal compuesta de Jos elementos no nulos.

Demostración. Sea A = Javl una matriz dos veces estocástica. In­ cluyamos todos los elementos no nulos de Ja matriz en p columnas y q filas de un modo tal que Ja suma p + q asuma el valor mínimo posible. Con arreglo al teorema de Komg, el número máximo de elementos no nulos de A, de los cuales ningún par se dispone en una misma línea, es igual a p + q, Por cuonto todos los elementos no nulos de A pueden encerrarse dentro de n filas, entonces p + q t;;; n. Por otra parte,

" 11 = ¿: au ~ p + q. Por consiguiente, p + q = n, y en la matriz se en- '·i = 1

centrará una transversal compuesta por elementos no nulos. Tcore11111 de Birkhoff. Para toda matriz. dos veces estocástica de orden

k 11 es válido el desarrollo: A =- ¿ 'A,?,, donde Pt son matrices conmutables,

1~ 1 k t;;; 114 - ti + l.

k

'A,> O, ~ 'A1 ~ 1, i ; 1

Demostracián. De acuerdo con el lema, en la matriz A existe una transversal compuesta por elementos no nulos. Supongamos que el mínimo de dichos elementos es igual a >-.1 > O (A1 ~ 1, pues, de lo contrario, la matriz A será conmutable y la afirmacióu del teorema se hará trivial): P1 es una matriz conmutable correspondiente a la transversal. Por cuanto la matriz. (l - 'A1)-1(A - 'A1P1) es dos veces estocástica, entonces en la matriz A - 'A1P1 existe una transversal compuesta de los elementos no nulos. De-

l signemos con 'J..2 el mínimo de ellos, etc. La matriz A - ~ 'A;P; contiene

1~ 1

no menos de j elementos nulos, razón por In cual el proceso citado es finito y se dará por terminado no más tarde que el (n2 - n + 1)-ésimo paso. Esto se debe a que dcxpuóx tic rculizarzc el (112 - n + 1)-ésimo paso, la matriz.

,.,_" 1 l

A - ~ 'A1P;, en la que las sumas de elementos en las filas y en las eoh11111><1s son iguales, conteudria no más de (11 - 1) elementos no nulos, por lo cual todos los elementos de esta matriz serian nulos.

Observemos que la estimación del número k en el teorema de Birkhoff puede ser precisada: k :¡;;: 112 - 2n + 2, con la particularidad de que existen matrices de orden 11, dos veces estocásticas, las cuales no son representables en forma de una combinación lineal <le menos que n2 - 2n + 2 matrices conmutables.

Al resolver problemas de carácter combinatorio surge la necesidad de emplear, además, otros tipos de matrices especiales. No será nuestra aspira· ción enumerarlas y describirlas. Nos limitaremos sólo al análisis de algunos. accesos generales que pueden ser aplicados a la investigación de tales matrices.

Ya hace tiempo que en las matemáticas se acostumbra a comenzar el '.12

estudio de las propiedades de las clases de objetos por la búsqueda de las invariantes y el análisis de los mismos. Una de las invariantes más impor­ tantes de cualquier matriz es el permanente de ésta. Al permanente le dedicamos un párrafo especial de este capítulo (4.4).

Estudiemos otras direcciones notables en este sentido. Ultimamcntc en las investigaciones teóricas de las matrices hinarias se pasa, con una fre­ cucncia cada vez mayor, del análisis de los tipos pnrticulnrcs de las mal rices al estudio de sus clases. Se uuhzan en dicho estudio las nociones de rango de frontera, de a-anchura y otras. Se denomina traza de una matriz a la suma de los elementos que constituyen su diagonal principal; el valor máxi­ mo para la traza, obtenido para toda clase de permutaciones de las filas y columnas de una matriz, recibe precisamente el nombre de rango de frontera (rango límite). Se llama a-anchura de la matriz a un número mínimo de columnas que pueden elegirse en ella de una manera tal que la suma de sus valores en cada fila sea no inferior a a.

He aquí uno de los procedimientos que se usa para elegir las clases de las matrices. Sea A una (0, 1)-matn~ de dimensión 111 x 11. Las sumas de sus elementos por filas la denotamos con n: i = l, 2, ... , 111 y por columnas, con s¡: j = 1, 2, .. , 11. Es evidente que

" L.: r, = ¿ .~¡ = T. ;-a 1 J. l

Haciendo uso de las totalidudes de las sumas de las filas y de las sumas de las columnas de la matriz A. formamos los vectores correspondientes:

R = (r1, r¡_, ... , r,,,); S = (si, S1, •.. , Sn),

Al contrario, fijando los vectores R y S, cuyas componentes están represen· tadas por los números no negativos, hallamos que ellos definen la clase de (m X 11)-matrices A, la cual se denotará con .0/(R, S). Para las clases .<V(R, S) están determinadas las condiciones necesarias y suficientes del estado no vacío. Sin embargo, en esta parte del analisis combinatorio las investigaciones sólo acaban etc iniciarse. Ni siquiera existe un método regular para calcular los números de rodas las matrices de esta clase o, por lo menos, de las matrices normalizadas, es decir, tales en las que las líneas que constan solamente de ceros están tachadas y las líneas restan res están permutadas de un modo tal que

r, ~ rz ;;i: •.• ;;i: r,,, > O; S1 ~ ~'l ;;i: ..• ~ So > O.

Para las clases de matrices se estudian los valores máximos y mínimos de los permanentes, de los rangos de frontera, de la a-anchura, etc.

4.2. RECTÁNGULOS Y CUADRADOS LATINOS

Así se denominan las disposiciones de los elementos por Iiías y por columnas, cuando los elementos en las líneas (tanto en las filas, como en columnas) no se repiten. La denominación "latinos" se debe, pro-

93

bablcmente, a Euler quien usó, al estudiar la disposición de este tipo, las letras del alfabeto latino a titulo de sus elementos.

Sea dado un n-conjunto S. El problema de construcción sobre él (a base de sus elementos) de un (r x sj-rcctángulo latino se reduce a la cons­ trucción de una tabla (r x sj-rectangular en la cual las líneas serán representadas, respectivamente, por las r- y s-permutaciones sin repetición de Jos elementos del conjunto S (evidentemente, t; s:;;;; n). Por ejemplo,' la disposición

2 1 5 7 3 1 3 2 4 5 7 4 8 2 5 2 3 6

representará un (4 x 5)-rect:ingulo latino para S = 11. 2, ... , 8). En los (r x 11)-rectángulos latinos las filas son permutaciones, elegidas de un modo ral que los elementos en las columnas no se repitan. Por ejemplo,

1 2 3 2 4 5 3

J 4 5 2 6 4 6 5 3 4 1 6

6 5

1 2

t•s un (4 X 6)-rcctángulo latino para S = { 1, 2, ... , 6]. Si la primera fila de un rectángulo larino es tal que sus elementos quedan dispuestos en un orden fijado de antemano (con mayor frecuencia como I, 2, ... , n), en­ tonces el rectángulo se llama normatizado. El ejemplo que acabamos de aducir puede considerarse como ejemplo de rectángulo latino normalizado. Se analizan, a veces, rectángulos latinos que están normalizados no sólo por la primera fila, sino también por In primera columna.

Los rectángulos latinos que pueden obtenerse uno del otro mediante las permutaciones de las líneas y la rccnumcración de los elementos se denominan equivalentes. Es f;\cil ver que para cada rectángulo latino existe 1111 1cc(;\n¡.¡11l11 equivalente norm aliznclo por la primera fila y por la pdmcrn columna.

Resulta natural preguntar ¿cuántos rectángulos latinos del tipo dado pueden existir? Sea L(r, n) el número de todos los (r X 11)-rectángulos latinos y N(r, n), el número de (r x 11)-rectángulos latinos normalizados. Es obvio que

L(r. n} = n!N(r. 11);

con la particularidad de que L(I, n) = 11!; N(I, 11) = l.

Por cuanto los rectángulos latinos normalizados de dos filas son, en esencia, desórdenes, su número será igual al número de desórdenes:

( l 1 l (- l)n) N(2, n) = n! 01 - -¡ f + If - ... + --,;y- == D.,

94

y, respectivamente, L(2, n) = n! N(2, 11) = n!D •.

Sin embargo, ya para el cálculo del número de rectángulos latinos de tres filas se necesitó superar dificultades mucho más grandes. Examinemos primeramente un tipo particular de tales rectángulos:

1 2

2 3

3 4 4

n­ n

/1

1 a, a¡ OJ

y tratemos de determinar su número. El problema planteado de este modo es equivalente, en particular, al problema sobre el número de conmutadores, cuyos 2n jacks se disponen por un circulo, están unidos dos a dos y, además. ninguno de dos jacks vecinos están unidos entre.sí, Este problema se conoce en otra interpretación, a saber, como problema sobre el número de coloca­ ciones de 11 cónyuges en una mesa redonda bajo la condición de que ningún par conyugal se siente juntos. La preocupación inicial es, naturalmente, sobre las damas; ellas se acomodan de 2n ! maneras, quedándose vacan res las sillas a la derecha y a la izquierda de cada dama. Las sillas desocupadas se numeran 1, 2, ... , n. Ahora está claro que el primer cónyuge no puede sentarse en las sillas primera y segunda; el segundo, en las sillas 2• y 3'", etc. hasta el n-ésimo cónyuge, para el cual están "prohibidas" las sillas I"' y n-ésima. El problema se resuelve por la fórmula del método de inclusiones y exclusiones con las propiedades p;: a; = i, o bien i + 1 {i "" 1, 2, ... , n - l), a. = n ó a l. El número buscado es:

U.= n! - 2n(n - I)! + ... + (-1)' ---3!!_(2n - r)(n - r)! + ... 211-r r

. + (-Jt·2.

En el caso general. el número de todos los rectángulos latinos de tres filas compuestos de 11 elementos se determina por la fórmula (véase (481):

[-i-] N(3, n) = ~ (:) D11-kDkUn-2k·

.1--0

Los números de (3 x nj-rectángulos latinos resultaron ser muy grandes. Los rectángulos latinos están por ahora débilmente estudiados, Jo que se debe, probablemente, a la complejidad de las demostraciones y los enormes valores de sus números. En lo que se refiere a los rectángulos latinos con un número mayor de filas, podemos decir que en este dominio, en general, es poco lo que se conoce (véase [49)). En relación con esto no disminuye la importancia de las fórmulas asintóticas. Partiendo de los resultados conocidos:

95

se ha supuesto que

Ltk, 11) - (11!)"(' - m. Esta hipótesis para k < n llJ fue demostrada por Yamamoto (50].

/\ pc.:~a1 lle que la~ tcnuuivas de estimar superiormente el número de (k x 11)-1cet;\n¡;ulos latinos posibles no han llevado todavía a resukados exactos, ya podemos ver que este número es muy grande y crece rápidamen­ te con el Jumento de k, Esto se confirma con el hecho de que puede obte­ ucrsc la estimación in fcrior empleando la idea de ampliación de los rectángulos latinos.

Ampliar el rectángulo launo significa agregarle filas y columnas de tal modo que el rcctánguio siga siendo latino. Esto sólo será posible, si el número de filas y columnas no sobrepasa el numero de elementos n. La demos! ración de la posibilidad de ampliar un rectángulo se realiza por una simple repitición de los razonamientos que conducen a la adición de una íila por debajo y una columna. a la derecha. Como limite de ampliación interviene el cuadrudo latino de orden 11.

Sea dado 1111 rectángulo latino ../'(r, 11) de 11 elementos, los cuales se designarán con 1, 2, ... , 11. Planteemos el problema de ampliar . ./'(r. 11) h;ist:i que se obtenga _/'(r + 1, 11). Veamos las columnas j = I, 2, ... , n, y a cada j-esimn columna pongárnosle en correspondencia un conjunto S¡ compuesto de 11 - r elementos que no han integrado la columna dada. Obtendremos una colección M = (Sa. Si •... , S.). donde cada conjunto S1 consta de 11 - r elementos.

El problema de ampliación deJ'(r; n) hasta/.(r + !, n) se reduce ahora a la construcción de un s.r.d. para la colección M. Demostremos que tal s.r.d. existe. Efectivamente, tomemos ....t'(r, n). Todo elemento i den elcmen­ ros se encuentra en él r veces. En los conjuntos Sr, S2 •... , S« el citado elemento se encuentra (11 - r) veces Elijamos cualesquiera k conjuntos de So, Si, - - ., S,,. En ellos habrá k(n - r) elementos, contando también los que se repiten. Pero. cada cícmcnto se encuentra no más den - r veces. Es!o quiere decir que k conjuntos elegidos tienen no menos de k elementos dblinws. La condición de existencia del s.r.d, está cumplida, Jo qué demuestra precisamente la posibilidad de la ampliación requerida.

La resolución del problema de ampliación de los rectángulos latinos permite dar una estimación inferior para el número de ellos. A saber, existen 11! rectangulares latinos . .../"(!, 11), cada uno de los cuales puede ser ampliado por lo menos hasta (n - 1) rectángulos latinos _/'(2, n). Por con· siguiente, existen al menos 11!(11 - 1)! rectángulos J(2, n). Razonando de esta manera, llegaremos a la conclusión de que existe por Jo menos

n!(n - J)! ... (11 - r + I)!

rectángulos latinos ./(r; 11). Los cuadrados latinos en los que ahora concentraremos nuestra ateo

ción representan un caso parucular ch: los rccráugulos latinos / (r, s) para r = s = 11. 13n otra~ p:1lnhrc1~. los cuadrados latinos son nada más que (11 x 11)-arrc¡:Jo, <le 11 clcmcutos, donde los rilas y columnas so11 permuta­ ciones de dichos clcmeuros. Por ejemplo, todos los 4 cuadrados latinos pmihk' do., veces 111•nnall1.1dos de cuarto orden son:

l 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 J

l 2 3 4 2 1 4 3 \ 4 1 2 4 3 2 1

l 2 3 4 2 1 4 3 3 4 2 1 4 3 1 2

1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 1 2 1

La cxistcnvia de los cuadrados latinos de cualquier orden se asegura no sólo por los r;v.011J111ic111os combinatorios generales, sino 1a111bié11 por el hecho de qui: tndo cuudi.ulu latino puede Íllll"I prctarsc como lo rubla de Cuylcy, es decir, la t;thla de 11111ll rplicación en vierto casi l:l111po Fiuito. Con d íi11 de ,.1k11lar el 11i"i111c10 de c11.11li;1do' la1il1<1'> y estimar t·,lc número ~11pcri011lll"lll•· hc111m de ,11p.:r;1r, puictic.uucutc, l,1, mi,111:1s thíicultadc' que tuvnuos c11 el ···""do:'º' 1cd.111¡:11ln., h11im1s, ,.,, pa11ic11la1, Ju~ c~1i111a­ c1011c' 111fc1 ioic~ 1ii;n,·11 11•11 vvprcviúu (r - 11):

11!(11 - I)! ... 211!.

Los cálculos del 111111wm de cuadrados íarincs han mostrado que esta estimación es muy aproxunnda. Dcs1g11cmos c1•11 /.,(11) el 111º1111cm de cuadrados latinos dos veces uorruutizados y con L(n), el numero de cuadrados latinos no equivalentes de ordeu ». Entonces, el número de todos los cuadrados 1:11 ino• de 11-c\11110 orden es igual '' 11 ! (n - 1)!/ (11). 'Iodos los números conocidos I (11) y 1:{11) se exponen cu la ~i¡:uicnlc 1;1hln (véase 1201):

"'"'" 4.1 ,,.,. I fn)

1 1 1

"' ,, ., IOX 22 1 "' ')l~ Cll!(I }(•)

~ }l~ 2NI clUI xs1. 1 (11(t 2~7 9 )77 5\17 ~70 'JM 2~~ Rlli

En la 1co1ia de lo~ c11a\11,1d<" J.1l11hh lo~ prohkmas que 111;1yor interés provocan son lo., n:l.1o:ionad,,~ n111 el concepto de ortogonalidad. Dos c11a<h.1do~ lurinos ~e llaman "''"K<>twlcs. ~i nl superponer uno de ellos sobre ,., 0110 ve 11h1icm:11 l<Ht." I(" par1·, de elementos uutcuados sin rcpcticióu.

<)1

Dicho ele otro modo, dos cuadrados lalinos de orden n :

A1 = [aiJ>J; Ai = [a1VJ; i, j = 1, 2, __ ., 11,

se llaman ortogonales, si todos los ni pares (aW, ·u<?]) son distintos. El estudio de la ortogonalidad de los cuadrados latinos tiene por origen

el problema ampliamente conocido de Eulcr sobre _16 oficiales que llegaron de 6 regimientos. Cada regimiento asignaba 6 nficialcs <le rangos militares distintos. Se necesitaba incluir dichos oficiales en 1111:1 form.1dón de cuadro de un modo tal, que en ninguna linea hubiera repeticiones ni de rangos ni de nombres de regimientos. Dicho de utro 111m)o, se planteaba el pro­ blema de construir dos cuadrados latinos orrogouules de sexto. orden,

El problema sobre la construcción de un par de cuadrados latinos or­ togonales de sexto orden no admitía resolución y Euler llegó a la corclusión de que tal par no existía. En una obra relacionada con este tema y publicada en 1782 Euler emitió la hipótesis de que la imposibilidad de hallar la solu­ ción se extendía también a los casos de 11 ; 10, 11 "' 14, y, en general. de n • 2(mod 4), es decir, 11 = 2, 6, 1(), 14, 18, ....

Solamente pasados 118 años se dio la primera respuesta a la hipótesis de Euler, G. Turry (51) confirmó Ja hipótesis a principios del siglo XX para n = 6, construyendo y arreglando una y otra vé». todos tos cuadrados larinos de sexto orden. La comprobación uhcrior de la hipó!t·sis se demoró de nuevo. Sólo para el año 19<10 se demostró que lm pares de cuadrados latinos ortogonales existían para cualquier orden, a excepción de 11 = 2 y 11 = 6, que resultaron ser la única excepción (véase 153 J).

Como generalización natural del concepto de par de cuadrados latinos ortogonales interviene el conjunto compuesto por más de dos cuadrados latinos ortogonales dos a dos. Tal conjunto también se llama ortogonal. Reenumcrcrnos los elementos de los cuadrados de una manera cal que quede normalizada la primera fila de cada cuadrado (al rcenumcrar los elementos de un cuadrado, la propiedad de ortogonalidad queda intacta). Entonces, los primeros elementos de las segundas filas deben ser diferentes y no igua­ les a 1. Por consiguiente, el número de cuadrados latinos ortogonales dos a dos de orden n no puede ser superior a n - J. Un conjunto ortogonal se denomina completo, si en él están contenidos exactamente n - 1 cuadrados.

En Ja teoría de los cuadrados latinos ortogonales se distinguen dos grandes problemas: el problema de existencia de los pares y de las familias de cuadrados latinos ortogonales y el de su construcción. Estos dos pro­ blemas están estrechamente ligados, puesto que la demostración de la existencia con frecuencia también resulta ser construcción. El problema de existencia de los conjuntos de cuadrados latinos ortogonales resultó ser bastante dificil, y las demostraciones de los teoremas correspondientes, complejas y engorrosas. Damos a conocer aquí sólo algunos resultados.

1. No para todo cuadrado latino existe otro cuadrado latino que sea ortogonal al primero. 98

Este hecho, al igual que las condiciones de existencia, fue establecido en (~2(.

2. Si n ""¡l', donde f) es un número primo y «, un número natural, entonces para n ;;<: 3 existe 1111 eo11j11n10 completo de n - l cuadrados latinos ortogonales.

Demostracián. Para cualquier n -= p" existe el campo de Galois. Supongamos queª"= O y a, = 1, t12, av, ... , as : 1 son elementos del campo de Galois. Construyamos 11 - 1 matrices de orden 11 del modo siguiente:

A = la1/'>I; l, j = l. 2 .... , 11 - 1; I = l, 2, ... , n - f donde

a!JI = ata, + a1.

Esta familia de mal rices 111 será precisamente el conjunto completo de cuad rudos lat i 11os nrtogonctcs. En electo:

a) cada una de las matrices construidns es 1111 cuadrado Iarino, pues si cualquiera de ellas, digamos 111, tiene dos elementos i¡:11alcs en una misma rila, existen j y l' tules que

0¡(1, + {lj = ll¡U¡ ~· a¡• .

de donde a¡= Oj'·

En cambio, si admitirnos que dos elementos iguales figuran en una misma columna, entonces han de existir distintos i e i' tales que

y, por cna1110 111 ;it. O, 1c11c11ws u, = a¡«, y, por lo tanto i ~ i ·. b) cada par de dichas mantees es ortogonal. Sea t ~ I < f ~ n ·- 1,

y supougamos q11c A1 110 c.\ 0110~.<111al respecto de• Áf,ClllOnc~·s existen 1 ', ). i' tales que

es decir, 0111¡ ·I a) = 0¡(1¡ • + a1 • • . aj«, + "j = u10;1 + CIJ'

De aquí

a1(a1 - 11¡) = a•(a1 - 1!(),

y, por cuanto (11 ~ or, tenernos 11, =u,•, de donde i"" i ", y por lo tanto j = r. El conjunto buscado está, de este modo, construido.

3. Enunciemos ahora una afirmación más general. Sean ciados un número natural uruiu.u io 11 y su desarrollo c11 potencias natur alcs de los

7' 99

distintos números primos: 11 = pf•. pf•, ... p;:,. Sea t = míri(p~· - I); 1 = 1, 2, •.. , N.

Si t ;;;¡, 2, existe una familia de I cuadrados latinos ortogonales de orden 11. Efectivamente, se ha demostrado anteriormente que para cada 11, = p'f1,

i = I, 2, ... , N existe una familia 111 - 1 (y por tanto, también de /) de cuadrados buscados. Para pasar al producto de ta.~ magnitudes se debe demostrar un teorema inrcrmcdio (la validez de la afirm aciún general se demuestra por la aplicación sucesiva de este teorema),

Teorema. Si se tienen dos familias, cada una de las cuales está com­ puesta por t cuadrados latinos ortogonales de órdenes 11 y 11' respec­ tivamenre, existe una familia de I cuadrados lariuos ortogonales de orden nn ",

Demostración. A toda familia de t cuadrados latinos ortogonales ele orden 11 (t ~ 2, n ~ 3) se Je puede poner en correspondencia una (111 x (t + 2)) - tabla construida de los mismos 11 elementos (designados 1, 2, ... , n) de un modo tal que cualquier par <le columnas contenga todas las n1 2-muestras de elementos (tal tabla se llamará tabla <le potencia 2). Permutemos en esta tabla sus filas de tal modo que en las primeras dos columnas (leyendo desde arriba) los pares se contengan en el siguiente orden: (1, l), (1, 2), ... , (I, 11) •.•• , (11, 1), (n, 2), ... , (n, 11). Es ~~t_c caso, las siguientes I columnas reescritas por turno desde arriba (11 columnas en una fila) forman t cuadrados latinos de orden 11. De hecho. la primera co­ lumna de la tabla está construida de una manera tal que en ninguno de los t cuadrados latinos figuren en una fila dos elementos iguales. La segun­ da columna de la tabla está construida de tal manera que tampoco figuren dos elementos iguales en las columnas de los cuadrados. Por ejemplo, la (9 x 4)-tabla tiene la forma

1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 J 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1

corresponde a dos cuadrados latinos ortogonales:

l 2 3 2 3 1 3 2

y 1 2 3 3 1 2 2 3 l

Construyamos dos tablas correspondientes a dos t-familias de cuadrados latinos ortogonales de órdenes n y 11'. Las dimensiones de estas tablas serán n1 X (t + 2) y (11 ')2 X (1 + 2), respectivamente. Elijamos en estas tablas la i-~sima y j-ésima filas:

01,1

a/,1 a1,2 oj,2 ...

100

y construyamos, usando d1d1ax íilns, una fila compuesta por los pares de elementos:

t11.1<r/.1. fl/.'l.ní,1·, ... ~ u;,,..,2a/,.2. De este modo, se ohl 1em·11 en lnlal (1111 ')2 filas que torman una [(n11 '}2 x (t + 2))·l<tbla en la que cada dos columnas forman todos los pares de los siguientes nn ' elementos:

(l. !), (1, 2), ... , (1, 11'), ... , (n, l), (11, 2), _ .. , (11, ní }.

A esta tabla le corresponden t cuadrados latinos ortogonales de .orden nn ". La monografia (20) contiene una información abundante sobre las cues­

tienes examinadas en este párrafo,

El t ipo de ..:c.>ml ruccíoncs combuuuoriu» del cuul se trata en este párrafo, s11r¡.:i1\ en l:o li(cn1111ra 111n1cn1:\f1ca uproximudamcutc a mediados del siglo pasado. J S1ci11cr puhlin) c11 1853 1111 pequeño arlkulo 1541 en el que se 11a1ah<1 sobre el p1uhlcnli1 .~1guio.:111c: ¿q11é 11ú1111·ro de sünbolos pueden dividirse en ternas ele; un modo tal que cuulquicr par resulte ubicado en una y sólo una terna?

Se ha hallndo sin dif'icultud alguna que sólo los números 11 = 6k + 1 y 11 ~ 6k + 3, es decir. 11 s 1, 3(mod 6) son Ja solución de este problema. F,11 efecto, por cuanto cadn elemento integra la terna junto con los otros dos, 11 - 1 debe ser 1111 número par, y, por consiguiente, 11, un número im­ par, es decir, 11 .. 1 (rnod 2). Además, en cada terna hay tres pares. Cada par aparece una sola vez, Un total hay n(n ::- I) pares. Este

2 número ha de; ser nníllirlo de tres. Oc aquí, 11 "' 1, 3(mod <>), es decir, 11 = J, 7, '), 13, 15, l'), . . . IJ.stas cond icionc-, son necesarias, Stcincr pl;111lcó 1111:1 cucvi ió»: ;,,011di;"1,11nbi<·11 s11f1cicn11·s'! Rc1ss {55) dio en 1859 l111•t ll..'\fllll.'!\l~l arit l\htt1v;1.

Ni Stcurer ni l{c1'' 'abo,111 que 1111 problema coruhiuutorio análogo fue planteado y resucito u11 poco ames, en 1847, poi Kirkman [56]. Pasados tres años, Kir~111a11 propuso otro problema combinatorio (57J: una pro­ fesora saca cada diu a pascar a 1111 grupo de 15 ruñas: las Iorma en 5 filas de a J 11i1ias en cada 1111a: se requiere organizar las ternas ele 1111 modo tal que en el transcur so tic 7 díiss cada alumna s, encuentre con todas las demás una sola vez.

El sistema ele ternas descrito en este problema lleva el nombre de Kir k man. En corupuraclóu con el sistema ele ternas de Sreincr, en éste está presente una condición adicional (la llamada condición de solubilidad): el conjunto de ternas ha de ser partido en 11

; 1 componentes (en el pro­

blcrna tic Kirk mnu ha)' 7 co11111<111cnlcs y cada 1111n corresponde a un día

101

de la semana) <le tal modo que cada uno de 11 elementos aparece exac­ tamente una vez. en las ternas de cada componente,

Surge la pregunta: ¿cu;\ntos sistemas del tipo daúo existen? Para las ternas de Steiner se sabe Jo siguiente. Si n = 3, 7, 9, entonces existe solamente un tipo de tal sistema. a saber:

a) para n = 3, solamente el sistema de una terna l 2 3

b) para n = 7, solamente de xictc teruav

2 3 4 5 2 " 6 3 ,, 7 (í 7 2 5 7 :i 5 (í

e) pru a n = 9, solamente el sistema de 12 temas 2 )

4 5 2 4 9 3 4 8 6 8 2 5 ó 3 5 7 4 6 7 7 » 2 7 8 .'.\ 6 9 5 8 9

Resultó que para 11 = 13 cxivrcn Llo~ si~lcni;is de soluciones 110 isouior­ fas, es decir tales que no pueden ser olucnidos 11110 dd otro por su,t1t11c1611 de los d..:111c111os o por pcrmutuc ión de las ternas. Estos sistemas constan tic 22 remas iguales

2 3 4 5 2 " 6 6 7 2 5 7 4 3 8 7 3 11 8 5 11 8 9 2 s 10 4 7 9 7 8 13 8 6 12

JO JI 2 9 12 4 10 13 7 10 12 6 9 11 12 13 2 11 13 4 11 12 3 5 12

y cuatro no equivalentes: para el pruncr sistema 3 (, 10 5 6 13 3 9 13 s 9 JO

y para el segundo, 3 6 13 5 6 10 3 9 JO s 9 13.

Para el año 1925 fueron terminados los cátculos tic Jos sistemas de ternas de Steincr para n = IS: tales sistemas diferentes resultaron ser 80. Por lo que sabe, no se volvieron a calcular las ternas de Steiner paran> 15. En lo que atañe al número de sistemas no isomorfos de ternas de Steiner, éste crece indefinidamente con el aumento de n (véase (581).

La solución del problema de Kirkm:m (conocida desde el año 1921) es

102

1 2 5 l 3 9 1 4 15 1 6 11 3 14 15 2 8 15 2 9 l1 2 7 12 4 6 12 4 ll 13 3 JO 12 3 8 13 7 8 11 5 12 14 5 7 13 4 9 14 9 10 13 (Í 7 10 6 8 14 5 10 15

1 8 IO 1 7 14 12 13 2 13 14 2 4 10 2 3 6 3 4 7 3 5 JI 4 5 8 5 6 9 6 13 15 7 9 15

11 12 15 8 9 12 JO 11 14

Los métodos de construcción de los sistemas de ternas son, en lo principal, recursivos, es decir, se construyen sistemas "iniciales" de ternas para los valores pequeños de los parámetros, y después se empican los métodos que se apoyan en esta reserva que ya se tiene. He aqul algunos de estos métodos.

Si existen dos sistemas de temas de Stcincr, A y B, de órdenes 111 y Vi., respectivamente, puede construirse un sistema de Steiner más, el C, de orden v = v, · Vz, que contiene subsistemas isomorfos a los dados.

Sea (011 ai, ak) una terna del sistema A y sea (b,, b., bu) una terna del sistema B. Construyamos el sistema de ternas C a base de los elementos en (i = 1, 2, ' ... , v1; j = 1, 2, . - ., Vi) que forman las ternas (e,,, e¡,, CAcu), sí está cumplida alguna ele las condiciones siguientes: 1) r = s = 11, (a1, a¡, ak) E A: 2) i = j = k ; (b,.. b,, bv) E B; '.!) (01, a¡, Ok) E A, (b,, b,, bu) E B. Un sistema isomorfo al sistema A será el primero de ellos a condición ele que: ,. = s = 11 = l, y de sistema isomorfo a 8 servirá el segundo con la condi­ ción ele que i = j = k = l.

En 1893 Moore (59) propuso el método de construcción ele las ternas ele Steincr basado en las ideas expuestas más arriba.

Sean dados los sistemas de Steiner: Si de orden vz, que está integrado por S1 de orden Vi. y Si ele orden l'1 > I; entonces, se puede construir un sistema de Steincr S de orden v "" v1 + v1(112 - vi) que tenga subsistemas isomorfos a S1, s; Si.

'Iomernos un conjunto de v :-o vi + V1(v2 - v1) elementos y reprcscntémoslo en la forma siguiente

Mo: a, M1:b11 Mz: l>ii

Q¿ ••• ª4~; b12 ... br.. ,. ;

·- J bn ... bi. .• , _ ., :

Formemos las temas rigiéudonos por las siguientes reglas. l. Pongamos los elementos de M« en una correspondencia biunívoca

con los elementos <le SJ y elijamos todas las ternas (a;, a¡. at), si ellas co­ rresponden a las ternas del sístc.na SJ.

LO)

2. Pongamos los elementos del par de conjuntos M« y M., i = I, 2, ... , v, en una correspondencia biunívoca con el sistema S2 de un modo tal que Mo corresponda a su subsistema S3. Las ternas compuestas por los elemen­ tos de Moya se han encontrado segun 1~1 regla nutccedentc, Las demás ternas han de contener no más de un elemento de M0, y, por consiguiente, tienen Ja forma: (am. b;¡, b;k) ó (b;¡, bt«, b;,). Por supuesto, ellas deben co­ rresponder a las ternas restantes del sistema S2.

3. Definamos el sistema S1 sobre los números 1, 2, ... , v1• Si U. ; r) es una terna de este sistema, formemos todas las ternas de la forrua (b1x, b•Y• b,..), donde x + y + z "' O (rnod l'2 - VJ).

Las reglas citadas clan todas las ternas del sistema S de orden v = V1 + v1(vz - v.1).

En lo que se refiere a las ternas de Kírkmau, podemos decir que se han encontrado métodos, con ayuda de los cuales ellas se construyen para los órdenes (véase (60])

V= 15, 15·3", 3", 22n - l.

Pueden considerarse también ternas de otros tipos, diferentes de las de Stcincr y Kirkman. Asf, por ejemplo, un cuadrado latino genera el conjunto <le n2 lemas ordenadas, donde cada terna (i, l. k) corresponde a que en la i-ésima fila y la y-ésima columna se dispone un elemento k; i, 1: k = 1, 2, , n. La condición de que una totalidad de ternas (i, l. k) (i, i: k = l. 2, , 11) forma un cuadrado latino consiste en que cualquier par de com- ponentes de la 'tcr nn ha de encontrarse una y sólo una vez.

Introducidos los sistemas de ternas de Steiner y Kirkman, los problemas en el dominio de las muestras combinatorias, a lo que parece, deberían concentrarse en las siguientes direcciones:

a) en la elaboración de los métodos de construcción eficaz de los diver­ sos sistemas, en primer lugar, de las ternas de Steiner y Kirkman;

b) en las generalizaciones de los problemas de ternas para los sistemas de 4-, 5-, 6-, etc. conjuntos. Aunque dichos problemas siguen siendo ac­ tuales hoy <lía (véase (611), tal camino de desarrollo paulatino fue pertur­ bado. Tuvo lugar un sallo lógico, cosa no tan rara en las matemáticas. La superación ele las dificultades se empezó a buscar en la vía de construcción de una teoría más general.

Actualmente entre los sistemas de incidencia los que mayor interés presentan son los bloque-esquemas (esquemas en bloque). El estudio de estos se efectúa con gran actividad, lo que se explica tanto por las necesidades. de la práctica, como por los intereses científicos puros.

En forma simplificada el origen de los bloque-esquemas puede ser descrito del modo siguiente. Los resultados del experimento realizado a un mismo tiempo en condiciones determinadas se escriben en forma de colum­ na (bloque). Los resultados reiterativos, obtenidos en otras condiciones (cambiadas), proporcionan bloques nuevos. La colección de los bloques <la

104

una tabla bidimensional llamada bloque-esquema (en forma abreviada BD, que proviene de la expresión inglesa "block-dcsign").

De la elaboración estática de los resultados nace un enfoque al problema de planificación del experimento, es decir, de formación de su esquema (plan) con el fin de obtener resultados óptimos con un número mlnimo de pruebas.

Para el análisis combinatorio, entre un gran número de problemas con­ cernientes a los bloque-esquemas los que mayor interés representan son los problemas de existencia y clasificación, los que estudian las propiedades de los diferentes tipos de bloque-esquemas, los métodos de construcción de los mismos. la correlación, la elaboración de las cuestiones contiguas de la matemática discreta, de las geometrías finitas, de los grupos finitos, etc. Estos problemas teóricos se analizan intensamente desde el ñn de los años 30 y el principio de Jos 40.

Sea un v-conjunto <le elementos 1111, m2, ••• , 11111• Los elementos de dicho conjunto están distribuidos entre b bloque-subconjuntos Mi. M1,

... , M11, la intersección de los cuales no es obligatoriamente un vacío. El número de elementos en el bloque M¡ lleva el nombre de volumen del bloque y se denota con k¡. Los elementos pueden aparecer en varios bloques. Sea r1 el número de apariciones del elemento m, (es decir, el número de bloques que contienen m1). i"" J, 2, ... , v; por fin, introduzcamos et número de repiticioncs (pares no ordenados) de los elementosr x; (p = 1, 2, ... , (u/2)). En tal caso suele decirse que el conjunto de bloques M1, ... , Mi. íorma un bloque-esquema con los parámetros v. b. r1, k¡, >." (si en lugar de los pares se ~maliznn las ternas o /-muestras de elementos, entonces la disposi­ ción correspondiente se denomina configuracián táctica). Así pues, un bloque-esquema se caracteriza por los parámetros v, b, n, k1, Ap.

Pueden haber varios tipos diferentes de bloque-esquemas. Por eso in­ troduzcamos et principio de la clasificnción de los bloque-esquemas tal como se formó hasta el presente. Ante todo, un bloque-esquema se llama completo, si en cada bloque están contenidos lodos los elementos del con­ junto, es decir, k1 = u, j = 1, 2, ... , b, e tncompteto, si k1 < u, j = I, 2, ... , b, Los cuadrados lauuos pueden servir de ejemplo de los bloque­ esquemas completos.

Los bloque-esquemas incompletos se dividen, a su vez, en dos grandes clases: la clase de bloque-esquemas incompletos equilibrados (en la forma abreviada BH3-esquemas, lo que viene del inglés "balanceó incompleto block dcsign") y la clase de bloque-esquemas incompletos parcialmente equilibrados (PDID, del inglés "partially balanccd incornplctc block design").

Un bloque-esquema se llama DlB-csqucmn, si k1 = ki = ... = = k" = k < 11; r1 = ... = '• = r, y Ap = >. para cualquier p; dicho <le otro modo, en un Bf Bvcsqucma todos los elementos tienen un mismo número de repeticiones, todos los bloques son de igual volumen y cada

l05

par de elementos aparece en un mismo número }.. = const de bloques. Los Pñlü-esquemas se diferencian en que en ellos }.. ?! const. Debido a esta circunstancia se genera un gran número de diferentes tipos de PDIIl­ esquemas, lo que crea dificultades considerables en la investigación de ellos.

Se denomina bloque-esquema incompleto parcialmente equilibrado con 111 clases, o, en forma más breve, PBlB(m)-esqucma a un bloque-esquema,

en el que el conjunto de todos los (~) pares de sus elementos puede ser

partido en 111 clases disjuntas (un par de elementos referente a la i-ésima clase se denominará i-concxa), de un modo tal que

a) cualquier par de elementos i-conexos esté contenido exactamente en }..¡ bloques (i = l, 2, ... , m);

b) para cualquier elemento exista exactamente n¡ elementos que sean i-concxos con el primero (i = 1, 2, ... , 111 );

e) para lodo par de elementos i-conexos, }.. y (3, el número de elementos, j-concxos con a, y, al mismo tiempo, /-conexos con (3, es igual a pJ1, con la particularidad de que P51 = PÍJ (í, j, l = 1, 2, ... , m).

Por consiguiente, los parámetros de un PBIB(m)-esqucma son los números

u, b, k, r, >.1, 11;, pJ1 (i, l. l = 1, 2, ... , 111).

Con el objeto de contribuir a concebir un gran número de construc­ ciones combinatorias nuevas y, a veces, complejas, proponemos al lector el esquema de la clasificación primaria de los bloque-esquemas señalando las continuaciones posibles (Iig. 4.1).

La teoría moderna de Jos bloque-esquemas es enorme en cuanto al número y volumen de las investigaciones reales, a menudo dispersadas y débilmente organizadas. Más abajo se expondrán los fundamentos de esta teorla sin pretender interpretar los hechos plenamente.

Al principio de este capitulo ya se ha considerado en forma general el método de representación matricial de la estructura de un conjunto. Apli­ quémoslo a los bloque-esquemas. Sea un bloque-esquema con los parámetros v, b, k, r11• Pongamos

[I, si el i-ésimo elemento se encuentra en el j-esimo bloque

n;¡ "" O, en el caso contrario,

í = 1, 2, ... , v; j = 1, 2, ... , b, La (u x b)-rnatriz. N = lttul se llama matriz de incidencia del bloque­ esquema dado; en este caso cada fila de Ja matriz N contiene r unidades y cada columna contiene k unidades (}..v es igual al producto escalar de

" No vamos a escribir el p.ir~n1c1ro ~. si no se indica de qué. precisamente, bloque­ esquema (equilibrado o parclatmenre cquilibrndo) se uata en el caso a considerar.

106

>. I const

' 1 1 1 1 1

' 'Cl ... u1fi<:ación según etl número y tlf>O dr. i- concxionet>

l'igA.I.

Planos PIOye<:CiV'cl\

finitcu

dos lilas). Por ejemplo, un BIB-csq11c:111a c.:on los par;\metro~ u .... 6, b = 'º· k = 3, r = 5, >. = 2 nene la ~ig11iente representación marricial {rnarriz de incidencia): Bloque-esquema Matriz 1 1 1 1 J 2 3 2 3 2 1 1 1 1 o o o o o 2 3 4 5 2 3 4 4 5 ,¡ 1 o o o 1 o 1 o 1 3 4 5 6 6 5 6 5 6 (¡ 1 o o o 1 o 1 o

o 1 1 o o (l 1 1 o 1 o o 1 o 1 o 1 o o o o l o 1 o l

He aquí un ejemplo mas: supongamos que para un 9-conjumo se exa­ mina el siguiente sistema de subconjuntos:

n, = (1, 2. 3); Bs = (2, 5, 8);

. B? = (3, 4, 8);

e, = (4, 5, 6); lh = {'.l, 6, 9); ll.10 = (1, 6, 8);

DJ = (7, 8, 9) JJ1 ... (1, 5, 9); 1111 = {2, 4, 9)

lJ4 = {1, 4, 7); n, = (2, 6, 7); /112 = (3, 5, 7).

No es dificil ver que este sistema es un ntn-esquema con los parámetros u = 9, b = 12, k = 3, r = 4, >. = l. Escribamos el bloque-esquema, como antes, en forma de una (k x /J)-labla rectangular:

1 4 7 1 2 5 8 4 3 6 9 7

2 ·3 s 6 5 8 9 9

2 3 1 2 3 6 4 6 4 5 7 8 8 9 7

107

l .. a llli\1111. Oc i11c1tlc11c1~1 de este bloque-esquema es o o () o 1 o o o o o o () o o 1 o o 1 o

1 o o o () 1 o o 1 o o 1 o 1 o l o o () o 1 o 1 o o l o o 1 o l () o o o 1 o 1 o o o 1 o 1 o 1 o o o o 1 o o o J o o o l o o o 1 o o o 1 1 o o o o o o o o o o

Pese a que la matriz parece ser engorrosa, las matrices binarias de in­ cidcncia son en la práe11c:i muy simples para las operaciones, Del anúli.~is de sus est ruct uras, podemos obtener directamente una serie de propiedades, incluidas la.~ rclncmncs entre los pJ1:\111c110<. Por ejemplo. para los bloque- esquemas tenernos Cll ~c11c1.1l

,. " L; r, ., l.; k1.

•·· 1 1 l

k1 que c.' obvio. En particular, pm:1 los ll!B-csquema~ tenernos bk • ur;

1 (Á - l) • >-(v - 1). (1) (2)

La pruncrn de tas relaciones expresa un simple cálculo del número de elcuieutos en el oloque-cvcucrua (es decir, el número <le todas las unidades en la matriz de incidencia). En la segunda relación los razonarnícntos son lo~ siguicn 11:s: cada elemento se encuentra r veces y c,<;(;í siempre contiguo <le k - 1 elementos. 13~te 111is1110 etcmcmo se encuentra >- veces haciendo 1111 par con cado uno <le las 11 - 1 elementos.

Veamos las relaciones entre los par.uuctros del PUlll(m)-csq11c111a. Es evidente que \1tbsi•lc, ,·c1111C1 .1111c,, la 1¡¡11.1ltlad (1) r.\lilhlczc,1111<1~ :1l¡;u11:1s otra., ii;uahla<lc~:

ni m l.: 11, "' V - I; L; )-,11, -= r(k - 1 );

I• f I• 1

"' ¡ [llJ, 5i I ~); L, JJ,i = 1" 1 11J - 1, ~¡ 1 = j; i, j = I, 2. . , m;

11, f>~ = 11111:1 "' 111p~1; 1, J. I = 1, 2, ... , m.

La primera de las rctacioucs es obvia. La segunda es una modificación de (2) y se demuestra por razonamientos análogos. 1311 la siguiente igualdad •. L, µ~ significa el número <le elementos J·conc.'(o~ con cualquiera de los

1~ ¡

dos elementos i-conexos. Es igual, por cousiguientc, a 111 (si i ;>1. .i). o bien a 11, - I, (si i ?! }). nn lo q11~ se refiere a la últ imu relación, esta se

(3)

IOR

demuestra del modo siguiente: tomemos un elemento fijo a. Por definición, existen 11; elementos (3,, {h, ... , (3.1, i·coocxos con a, y, además, n¡ elemen­ tos 1'1• 1'2· ... , 't•i• j-conexos con a. Construyamos una tabla binaria

en la cual b~'.i = [!, si (J, y 1'• son /-conexos;

O. en el caso contrario.

Calculemos el número de unidades en cada columna de la matriz: ~[, 81 . ¿,, 11,.,, = pj_,;

, - l

y en cada columna: n~ JI¡ ¿; b.,,,, = JJl.1;

'º' De los dos métodos de cálculo ele rodas las unidades en Ja matriz obtenemos

11;¡1~.1 .. llJfl!, t-

Las relaciones (1), (2) y (I), (J) son condiciones necesarias para que exista los BIB- y Pl3113(m)-csquemas, respectivamente.

Sea N = ln1f una (v x b) matriz de incidencia de un bloque-esquema incompleto equlibrado con los pñrámerros v. b, r, k, }... En este caso N satisface la siguiente ecuación matricial

NNT = (r - }..)/' + 'AJ, donde NT es la matriz transpuesta ele N; /es la matriz unidad de orden v; J es una matriz integrada plcuamcntc por unidades, también de orden v.

Efectivamente, calculemos el producto N·NT = D = lbiJJ; i, j = 1, 2, ... v.

El elemento b;¡ es igual al producto escalar de 13 i-ésima fila de N por la j-ésima columna de Nr, por consiguiente,

1' [r, si i = j b1¡ = ¿; 11,111¡1 =

1-1 >..,si i =l: i, ) = 1, 2, ... , u.

De aquí

B=(' ~·· · .. ~) =rl+>..(J-J)=(r-}..)l+>..1

J()<J

l'ara la mntriz lJ puede hallurse el valor de su determinante: del /J = (r - >-)''- 1(u>- - >. + r).

Para obtener este resultado basta sustraer la primera columna de todas las demás c<•h111111as, y a continuución, agregar la suma de todas las fih1s, par­ tiendo de la segunda, hacia la primera fila. En este caso, por arriba de la diagonal principal se dispondrán sólo los ceros: a;1 = r +(u - 1)>-: ah= ... g a;.:: r - >-. lo que nos da el resultado buscado. Por cuanto

de que k < u se deduce que ), = r .!:_:;_ti < r, entonces del 8 ;.! O. Hncien- 1.1 -

do uso de (2), tenernos

dct B = (r - )..)•-1rk ;.! O.

De este: modo, el rango de In matriz B es igual a u. Por otra parte, el ra11cu de N (y el de N1) 110 sobrepasa /J. Según se sabe por la lcoría de las nuunccs, el rango de 1111 producto no es superior a los rangos de los factores. De nqul se deduce una desi¡:ualdad uupormnrc

{J ;;;;:: 11,

ll:nn:11l:1 desigualdad de Fishcr, la cual sirve también de condición necesaria para la existcnciu ele un Bl B-csqucma.

Del :uullisis de Ja matriz de incidencia N y de la matriz B - N·NT pueden deducirse una serie de teoremas referentes a los tipos particulares ele los bloque-esquemas (véase (621).

Las murriccs de incidencia no son el único método de describir los bloque-esquemas; otro método análogo es el de aplicación de las formas cuadráticas. Este último método es singulurmcntc interesante, porque Ja teoría de las formas cuudréricas está suficientemente elaborada. 1311 erecto, la corrclacióu N·N7• = (r - ')..)/ + >,J se rccuuncia en las formas cuadráticns. Introduzcumos la~ variable~ lndctcrurluadus: x1, -\'l, • - ., x •• corrcspuudicutcs a los clcmcuto« tic los bloquc-cxqucmus, y asignamos a cada bloque u1 la forma

L, = i; nvx1, j = I, 2, ... , u, I• 1

donde 1111 es 1:1 multiplicidad del elemento i en el bloque b1. Entonces, a la ecuación mau icial N· Nr = (r - >-)l + )..J se le pondrá en corresponden­ era la forma cuadrática;

b • ( • )2 L L~ = (r - >..) b X~ + ).. L X¡ • 1. 1 '. J i- 1

En la recria del auálisis combinatorio y en las aplicaciones del mismo los bloque-esquemas desempeñan un papel de importancia. Varías de las estructuras combinatonas conocidas representan tipos particulares de los

110

bloque-esquemas o son equivalentes a los últimos. Aclaremos esto con un ejemplo.

Según lo dicho con anteroridad, los cuadrados latinos resultan ser bolque-esquemas completos. Las ternas de Steiner son, en esencia, 0113- esquemas. para los cuales k"' 3, >. = l. Para ellos fas correlaciones (f) y (2) entre parámetros adquieren la forma

]b = or ; 2r = 11 - 1:

de donde r(2r + 1)

V = 2r + 1; /J = • · - 3.

- -

y, por consiguiente, r"' O, J (rnod J); 11,,. I, 3 (mod 6).

Las matrices de Hadarnard /íson equivalentes a los tipos particulares de los bloque-esquemas. Efectivamente, tomemos fa matr iz H de orden 11 ~ 3. Se conoce (véase § 4.1) que 11 • O (mod 4}. Normalicemos H, es decir, multiplicando las filas y las columnas correspondientes por - 1, rcduzcamosla a una forma, en la cual la primera fila y la primera columna estarán compuestas ele unidades positivas. 1111 111:11 riz 11 ele orden 11 = 4( ~ 8 resulta ser cquivalcrnc al llJB-csquc111a siméu i<.:,, con los parámetros

11 = b = 41 - I; k = r = 21 - I; >.. = 1 - l.

En efecto, a toda mal rlz normalizada H se le puede poner cu corresponden­ cia una (O, 1)-matriz A de orden v = 41 - l, en cada linea de la cual se tienen k = 2t - 1 unidades. El método de esta operación consiste en Que en la matriz normalizada H se tachan la primera fila y la primera columna, y en la matriz restante todos los menos uno se sustituyen por ceros. La matriz A satisface la relación

A ·A 7 "' t! + (f - 1 )J

y representa, pues, una matriz de incidencia de un bloque-esquema in­ completo equilibrado en e! que r - >. = t , y>. = 1 - l. Los razonamientos son fácilmente invertidos, lo que precisamente demostrará nuestra afirmación.

En el § 4.2, al demostrar el teorema de existencia de la familia de cuadrados latinos ortogonales, se ha mostrado que la construcción de tal familia es equivalente a la conformación de una tabla ortogonal de fuerzas, Resulta, no obstante, que la existencia de la última origina Ja existencia de un bloque-esquema de determinado tipo. Expliquemos este hecho más detalladamente, pero, antes demos a conocer la definición general de la tabla ortogonal.

Sea dada una (m x N)-matri7. A con elementos del conjunto S"' {O.

111

l. 2, ... , s - 1 ) . Existen en total s' diferentes columnas de longitud t con !os clcrncntos del conjunto mencionado. Si en cada submatriz de I filas de la matriz A la columna (x1, Xi •••• , x,)r aparece >..(x1, xi, ... , x,) veces, donde el número )l. es positivo y no varía al realizarse las permutaciones de x,, xi, ... , :<1, entonces l;1 matri1. 11 se llama tabla parcialment« equtlibrudo de fuerza r con N columnas, m filas, s simbo los y los parárnct ros A(x1, xi, ... , x,), o, en una forma más breve, tabla {N, m, s, r) con los parámetros >.(x1, x2, ... , x,). Si>. = const para todas las columnas (x1, xi, ... , x,), entonces la tabla (N. m, s, t) se denomina tabla ortogonal de índice >..

Aduzcamos, a título de ejemplo, una tabla ortogonal {18, 7, 3, 2) de índice :>.. = 2 con los símbolos O, 1, 2:

Si separarnos de csm tabla las tres primeras columnas y la última fila, obtendremos una tnhla parcialmente equilibrada (15, 6, 3, 2) con los narámcl ros '( . ) _ [2, ,¡ x, ~ x~:

1\ ""''' .>.1 - . l. SI X1 =Xi.

La existencia de k cuadrados latinos biunívocamente ortogonales de orden s es equivalente a la existencia de una tabla ortogonal (s\ k + 2 . . ~. 2) lle índice >. ,,. 1.

Efectivamente, sea que tenemos una tabla ortogonal (s2, k + 2, s, ~) y supongamos que los elementos en esta tabla están designados con IÓs números 1, 2, ... , s. Permutemos las columnas en la tabla de una mancí~ tal que los elementos de las columnas en las primeras dos filas se encuentren en orden

(1, 1), (1,2), , (l. v), .... (s, 1), (s, 2), ... , (s, s).

Para cada / = 3, 4, , k + 2 construyamos la tabla A1 = (s2, s. s. 2) del

l 12

modo siguiente: la 111 imcra cotumnu A1 consta de los primeros s elementos de la fila I de la tabla inicial; la segunda columna, de los siguientes s elemen­ tos, cte. hasta la últinra compuesta poi' los últimos s elementos de la misma fila. Las tablas A1, A4, ... , AA, 2, conformadas del modo indicado, forman un conjunto compuesto por k cuadrados latinos biunívocamente or­ togonales de orden s. El hecho de que la tabla At no contiene dos elementos iguales en la columna lo muestra el examen de la primera fila de la tabla inicial. Una propiedad análoga de las filas se ve del examen de la segunda fila. Si I ?! f, entonces, A1 y A¡ son ortogonales, lo que se desprende del método de construcción de las rilas correspondientes. La demostración como es fácil comprobar es convertible.

Las investigaciones científicas en el dominio de los bloque-esquemas se agrupan actualmente alrededor del problema de existencia (o no existen­ cia) de los tipos aislados de los bloque-esquemas, del estudio de sus pro­ piedades y de la búsqueda de los métodos de su construcción. La teoría combinatoria se encuentra en este respecto sólo al principio de su desa­ rrollo. Para el estudio ulterior de este terna podemos recomendar al lector las capüulos 10-16 del libre (41.

Las investigaciones modernas en el dominio de las disposiciones com­ binatorias y de los bloque-esquemas requieren, en particular, la utilización de la teorla de los números, la teoría de las matrices, la teoría de los cuerpos convexos, ele.

4.4. PF.J(MANENTl•:S

Este concepto ha adquirido en el auálisis combinatorio moderno una imporiancia teórica y práctica tan grande que consideramos necesario dedicarle un párrafo especial apnrtc.

Sean dados un conj111110 S ~ l s1, ... , s. J y cicrtu familia de sus subcon­ juntos M -= 1 S1, S2, _ •. , s,.). El 1core111:1 de P. l lall da las condiciones ncccsai ias y suficientes p.1r;i que la familia M rosca sistemas de represen­ tnnres d1i.111110:. y 11u;1 f1rntllºnl inferior puru el número de tales sistemas. Sin embargo, en 11111chos problemas del análisis combinatorio surge la necesidad de obtener estimaciones más exactas de este número. Este ob­ jetivo se consigue por introducción de una nueva noción, permanente de la matriz, y estudiando las propiedades del mismo.

Sea una matriz. A "" la¡,I. i = 1, 2, ... , m; J = 1, 2, ... , n, cuyos elementos están representados por números reales. Se denomina per­ manente de la matriz citada la expresión {el número)

m per A a 2: Il O,.(tt.

d t ,;;r 1

en la que la suuracióu se realiza respecto de todos los encajes o de ( 1, 2, ••• , 111) en ( J, 2, ... , 11). En este caso se supone, naturalmente, que 111 ~ 11.

113

Sea A 1111a matriz de incidencia para M respecto de S, entonces pcr A será el número de ststemas de representantes distintos, de los cuales dispone la familia de subconjuntos M.

Los permanentes fueron introducidos en 1812, casi simulráneamcnte, en las memorias de Binct [631 y Cauchy (641 en relación con el desarrollo de la teoría de determinantes como tipo especial ele las funciones simétricas lle signo variable. El término "permanente" nparcció por primera vez en la obra tic Muir ((1'\J, donde están cnuucrada» al¡.\1111as propiedades del permanente.

Es evidente que el permanente es invariante respecto a las permutaciones de las filas y columnas en la mai riz A; la multiplicación de los elementos de cualquier fila de la marriz' A por un escalar a sustituye per A por a per A; el desarrollo de Laplacc en menores respecto a las rilas es válido también para los permanentes.

Una lista (a1a<•>· a2,t2), ... , a.,,.(!.,¡) ele elementos de la matriz A, en la cual ningún par se cncueru raen una línea (fila o columna) se denominará transversal. El permanente de la matriz A representa, de este modo, una suma de todas las n!(n - m) transversales de los productos de los elementos de la matriz A, dispuestos en una misma transversal.

La determinación de permanente y de sus nropicdadcs señalan que la noción de pcrrnancutc c.~ próxima a la de dct•·r111i11:1111c. Sin embargo, si la técnica de cálculo de los determinantes c~1(1 a..:111al111c111c bien elaborada, el cálculo de los pc1111:111cn<cs es 1111 prohlc111a técnicamente dlficil, cuya resolución requiere nuevos avances. Hoy dfa sabemos sólo un método que consiste en la aplicación de la Iór mula tic inclusiones y exclusiones.

Denotemos con A, una matriz que se obtiene lk la marriz A reemplazan­ do r de sus columnas por columnas compuestas de ceros. Sea S(A,) el pro· dueto de las sumas <le las fílas A,, y l:S(A,), las sumas S(A,) respecto de todas las selecciones para A,. En este caso es válida la siguiente fórmula de Ryser:

m-1

perA = ~ (-1)' (n - 1;1 + ') 2: S(An-m+1). 1-0

En efecto, designemos con M el conjunto de todas las m-permutacioncs· (ji, ...• j.n) con repeticiones de los números nat1tr<)1\cs 1, 2, ...• n, Suponga- mos que el peso de tal permutación es igual a 11 a;J¡, y la propiedad p,

i. l

significa que dicha permutación no contiene el número entero i (i = I, 2, ... , n). Supongamos ahora que A, se obtuvo de A por sustitución de las columnas con los números ir, ii •... , i, por las compuestas de ceros. En­ tonces, la suma de los pesos de las permutaciones de M que poseen cada una de las propiedades p;., p;,, ... , pi, es igual a

V(p;1, p;2, ••• , p;,) = S(A,).

114

Por consiguiente,

V(r) = L; V(p,., p;2, ••. , p;,) = L;S(A,). l <fJ <n« ,. i,<n

La función pcr A es igual a la suma de los pesos de los elementos de l'lf que satisfacen las n - m propiedades p; (i = l, ... , 11). Al hacer uso de la fórmula del método de inclusiones y exclusiones, llegamos a la fórmula de Ryser aducida más arriba. Para una matriz cuadrada A de orden 11 esta fórmula adopta la forma

11- I

pcr A = 2..: ( - l);L;S(A1). i=-0

Si J es una matriz de orden 11, compuesta Intcgramcntc por unidades, entonces per J = 11!, y a titulo de corolario, obtenemos la identidad

n - t

11! = ~ (-1)' (:') (n - i)". i=O

Si consideramos la matriz J - I, donde / es la matriz unidad, tenemos

per(J - /) = n! ~ (-Ji.,~-= D., l.

i:'1J0

donde D,, es el número de desórdenes. Valiéndonos de la fórmula de Ryscr, podemos obtener otra fó: mula para el número de desórdenes:

ll- J

D,, = ~ (-J)1(';)<11 - 1)1(11 - i- l)"-1. 1~n

Existe una conexión interesante entre el permanente de una matriz cuadrada A = Jnul (i, j = l, 2, ... , 11) de orden 11 y los permanentes y dcrcr­ minantcs tic sus submatriccs prim.;ipalcs. Designemos con Q«.« el conjunto de rodas las sucesiones crecientes /e Ui. , j*) de longitud k de los números naturales 1, 2, ... , 11: ! ~ i. <ji < < j¡, ~ 11. Sea /Eº"·"; con A l/1 denotemos una submatriz la;,J.I (r. s = 1, 2, ... , k) de In matriz A, y con A(}), una subrnatriz de la matriz A de orden (n - k), complemen­ taria a A UI.

Resulta válida la siguiente relación (véase (661): n

perA = L: (-J)k-t L: pcrA(¡)detA(.Jl. k e- 1 jEQk.n

(l)

Efectivamente, no es difícil notar que la expresión en el segundo miembro de esta fórmula representa una suma de los productos de los elementos de la matriz A dispuestos en una misma transversal con ciertos coeficientes enteros. Por consiguiente,

• n L; (-1}*-1 ~ pcrA(¡)delAl/1 = L; d. 11 ª•a(1¡,

k JQ l jEQk.n <'~11,. i• l

s• llS

donde la surnación se realiza respecto de todas las sustituciones 11 del grupo simétrico @;,. de grado n. Demostremos que d. = J para cualquier sustitu­ ción <I E 0n- Con ello quedará demostrada la fórmula (1). Desarrollemos o en producto de ciclos: u = (c.) ... (e,,.), y notemos que la expresión a1.(1> ... a,,.1n) figura en aquellos y sólo aquellos productos per A (Jl dct A [J1 del segundo miembro de la fórmula (1), para los cuales existen los números naturales /1, ... , l, (l ~ 11 ~ ••. < l, ~ m, 1 ~ i ~ m) tales que IJ1, ... ,

111

l« l = U {'i,. donde c1, es el conjunto de números naturales que forman psi

la notación del /1,-ésimo ciclo. Por consiguiente .. d.= ~ ~ (-J)l/1,. ,/¡'>-:·<- 1)>/1 .. .,l,;.-1.

donde l/1, ... , l;I es la longitud sumaria de los ciclos e,,, .. ci; La afir- mación está demostrada.

Observemos que la identidad {I) puede ser escrita en la siguiente forma n

det A = ¿; ( - l)k - 1 2:; det A (;1 pcr Afj). k = 1 jt!J~ .•

He aquí dos identidades de MacMahon 172] que pueden obtenerse como simples consecuencias de la fórmula (J):

• k per A = 2,; (-1)"-kk! 2:; 11 del A(N.J, (3)

Je= 1 Nlfo/o, . , N, is 1

La suma se toma aquí respecto de todas las particiones del conjunto N "° ( 1, 2, •.. , n} en k partes N1, ••• , N¡,. En efecto, sustituyendo per A (J1 en el segundo miembro de Ja fórmula (1) por la expresión correspon­ diente según la misma fórmula y haciendo asi un número finito de veces, llegarnos, tras algunas transformaciones sencillas, a (3). La identidad (4) se demuestra de un modo análogo empleando Ja fórmula (2). Las dificultades que existen con los cálculos de los permanentes condujeron a la aparición de desigualdades, las cuales desempeñaron un papel fun­ damental en la investigación de toda una serie de problemas del análisis combinatorio: problemas de Van der Waerden sobre el mínimo del per­ manente de una matriz dos veces estocástica, problemas de estimación del número de ternas de Steincr no isomorfas y de rectángulos latinos, pro­ blemas sobre el número de recubrimientos de un grafo dimensional reticular por dímeros, etc.

116

Cronológicamente la p1 imcra desigualdad 110 trivial para los per­ manentes fue obtenida en 1961 por Marcus y Newman (18). Sea A una (m x rr)-maLriz, y sea lJ 111111 (11 x 111)-matriz. Entonces

[pcr (A ·IJ)ll ~ pcr (11 ·ll ')·pcr(U· D '),

con la particularidad de que la igualdad se consigue, si y sólo si existe una fila nula en A, o bien una columna nula en B, o bien A = DPBT para cierta matriz. diagonal D y la matriz conmutadora P. El signo T denota la operación de transposición de la matriz. Para una matriz. cuadrada de orden n de aquí se deduce (si ponemos 8 = 1):

[pcr Al1 ~ per(A·AT).

la igualdad se verifica, si y sólo si A tiene una fila nula o bien A = DP. En 1980 Egórychcv (67), haciendo uso de la representación del pcr­

ma11c111e en l'or111;1 de un discriminante 111ix10, inlrodujo en la teoría de permanentes las desigualdades clásicas de Alcxáudrov y Urunn-Mlnkowslci que se emplean en la geometría. Debido a ello él tuvo éxito en demostrar la validez: de la conocida hipótesi~ de Van dcr Wacrdcn11•

Aducimos estas desigualdades para los permanentes, dejando ni lado su fuente originaria, es decir, la tcorla geométrica de los discriminantes mixtos de A. D. Alcxándrov, desarrollada por él en los años 30 y utilizada para estudiar los volúmenes de los cuerpos convexos en el espacio euclidiano.

Nos harán falta algunos hechos del álgebra lineal. Sea L un espacio lineal de dimensión finita sobre H, y sea rp una forma bilincal simétrica en L. Suele decirse que (/.,, rp) es un espacio con métrica. Se denomina signatura tic rp a la terna (k1, ki, ks), donde k, es el número de valores propios positivos de una 111:ttri1. de la fonun e en cierta base, k2, el número de valores propios ncgatlvos, y kJ, el número de valores propios nulos de 1<1 matriz meucionnda. C::I teorema de Sy(vc.~ter (la ley de inercia) afirma que dicha terna no depende de la hase. Se dice que el espacio con métrica (l, y>) es el es/J11Ci11 de Mi111..ow.1ki, si In si¡:natura de V' es igual a (1, 11 - I,' O).

Lema 1. Un espacio con métrica (L, ~) es el de Minkowski, si y sólo si se cumple la condición <l>: existe un vector a E L tal que rp(a, a) > O, y para cualquier b EL de op{a, b) = O, b ;id O, se deduce que ll'(b, b) < O.

Demostrocián. Recordemos que el vector a EL se denomina regular, si existe tal b € L que rp(a, b) ;>! O. Un subespacio M S L es regular, si lo es cualquier vector no nulo suyo. Supongamos ahora que (L, \O) es un espacio con métrica, para el cual se cumple la condición <I>. Por cuanto el vector a es regular, podernos descomponer L -= la 1 (±) L., donde 1 a) es la cáp­ sula lineal de a, y L,, el complemento ortogonal de a (véase (691). Cons-

'> O l. l':\likmnn {Ml nl)lul'O ind<rcnJieo1ciner11c I• sol11d6n del problema de Vnn der \Vnl~rc.Jcn (sin dcruostrar la unlch.ll"ld de la rnntríz. rniuimiz.ad:orn).

117

truyarnos en La una base: ortogonal tn. , ... 11,,. Bnionces a, bi, •... .o; será la base ortogonal en L, donde 'fJ(t1, a) > O, y '{J(b;, b,) < O, cualquiera que sea i E { 2, ... , 11), es decir, (L. <P} es el espacio de Minkowski. Lo reciproco, evidentemente, también tiene lugar (partimos del hecho de que en un espacio con métrica existe una base ortogonal). El lema está demostrado.

Sea (L, 'fJ) un espacio con métrica. Un vector a EL se llama positivo (negativo), si '()(U, a) > O (\O(a, a) < O), e isotropo, si ip(t1, a) = O.

Teorema. (Desigualdad de Cauchy-lluniakovski pnrn el espacio de Minkowski). Sea (L, .p) un espacio de Minkowski; a, un vector positivo y b, un vector arbitrario. Entonces

(5)

y la igualdad tiene lugar, cuando y sólo cuando IJ = >.u para cierto }. E R. Demostracián. Si /1 = }..t1 para cieno >.E R, entonces en (5) tiene lugar

la igualdad. Si .p(b, b) ~O, entonces, evidentemente, (5) se verifica. Supongamos que b ~ 1 a), .,,(11. b) > O; en este caso examinemos un plano P = (a, b J. Demostraremos que en P hay un vector negativo. Si para cierto y E P, y ;"O, se verifica ¡0(y. y) "' O, entonces, según el lema 1, tenemos .p(a, y) ~ O. De aquí resulta que la expresión ¡0(11 + >.y. o + >.y) = .p(a, o) + 2}..<¡:>(11, y) será inferior a cero con >- correspondiente. es decir, se ha encontrado un vector negativo en P. Supongamos ahora Que para todo x E /~ x ~ O, tiene lugar l{l(X, X) > O. En este caso I' es un subcspacio regular. I'or eso se construye una descomposición en la suma directa: L = P (i) P1, donde P, es un complemento ortogonal de P. Tumemos las bases ortogonales; ( e1, lh) en P y (e,, ... , e; 1 en P1. La unión de ellas es una base orotogonal para L. En esta base \0(111, 111) >O, '()(e2, e~)> O, por consiguiente, la signatura de Les (k1, ki, kll con k1 ;;:. 2, lo que con­ tradice la afirmación de que (/, ip) es un espacio de Minkowski. Así pues, la suposición de partida no es cierta y en P siempre existe un vector negativo. Examinemos ahora la expresión v,>(a + >.b, a + >.b) ee ip(t1, a) 4 2>.'{J(a, b) + >.2ip(/), b); para cierto >. ella es negativa, por lo cual el trinomio cuadrado de >. cuenta con raíces reales. Por consiguiente, su discriminante no es negativo:

'fJ2(a, b) - <¡:>(n, ah>(b, b} ~ O,

lo que demuestra (S). El caso de igualdad se analiza con ayuda de los razonamientos análogos y se sugiere que el lector lo haga como un ejercicio. El teorema queda demostrado.

Teorema· (desigualdad de Alcxandrov-Egórychev para permanentes). Sea av ';;!:O para l, j = 1, •.. , n. Entonces se verifica la desigualdad

2[ 01,1 a1,n-201,n-1a1.• J per ';;l: On,J •.. 01t,n-2011.11-tOn,1t

J 18

>- [ al,1 • • • C1t,n-2<ll.n··l(/1.n-l ., [ Ql,1 • • • at,n-¡CJl,AQl,n] ,. · pcr . (6) Qn,I •' • (111,n•l(/11.'1 Jlln.H-1 011,t • •• lln,tt-111n,n0n,n

Las r11a11 ices que c~l~11 en el segundo micmhro difieren sólo por las dos últimas columnas: en una matriz la última columna repite la penúltima, en la otra, viceversa. Si a1¡ > O para t = 1, ... , 11; j = I, ...• n - 2, en­ tonces la igualdad se consigue, cuando y sólo cuando para todo i = 1, 2, ... , n tiene lugar a;.n- 1 "'>.a;., donde>. E R. Para demostrar el teorema se requieren dos lemas de D. 1. Falikrnan [68).

Lema 2. Sea .p(x, y) una función bilineal simétrica en el espacio vectorial V tal, que existe un vector no nulo a E V. el cual posee la propiedad de que <p(a, u) = O, y para todo x E V, x ;é >. a (A E R) se afirma que de la igualdad <p(X, u) = O se deduce que <p(x, x) < O. Entonces, si b, e E V. B, e ?! O, y <p{/J. e) = O, '{'(I>, (J) > O, entonces ip(c, e) < ü.

Dcmostracián. Si pn ra cierto .r E V se cumple l;1 condición l(l(X, a) = O, entonces v>(.Y, x) ,¡:;; O. De la desigualdad .p(h, b) > O se deduce .p(/J, u) ?! O. J'o11gan10$ 11 s-: - V' 1 (h. a)·l(l(c, u). Iintcnccs \"(e+ 1¡b, a)= O, y, por cousiguicute,

O ~ .p(c ~ •1b. e ~ 11b) = <p(C, e) + 112q:(b, b).

Si 'I ;é O, entonces .p(<~ e)~ - •12·'1'{/J, b) <O. En c.unbio, si 11 =O, tenemos 'f'(C, a) = O. Los vectores e y u 110 son colincares, puesto que de lo contrario de la condición 'f'(h e) = o se desprendería que ip(b, a) = O, lo que no es cierto. Por eso, V'{c, e) <: O rumbién en este caso.

l. U1,1 ••• a1.11-2X1Y1 l d I O . Lema 3. Sea 'f'(X, y) "- pcr .. .. .. .• . . .. . .. . .. . .. . .. . , once a,, > para 1, a,,, 1 • • • ª''·" - 2X11Y1i

j tales que l ~ i .¡:; 11, 1 •:; j •;, 11 - 2, 11 ~ 2. Entonces, sí b, e E R", b, <' ;.: O, '{'(b. e) = O, <((b, b) > O, se tiene que

.p(c, rl < o. · J .a dcmostrucián del lt'11H1 la rcalizurcmos pnr inducción respecto de

11 :;;. 2. Cuando 11 :.:. 2, <p(x, y) == pcr l "1>'1 ¡ e- X1Y2 + X2}'1. Tenemos: )(¿}'2

O"" .p(b, e) = /J1<:2 +bic, • .p(.b, b) = 2b1bi >O. Por consiguiente, b, ;é O, bi,;.: O y c1 ;>(O, ci ?".O. Al multiplicar ambos miembros de la igualdad -b1<'i = 1.>ic1 por h1c:2, obtenernos -Md = b1bzC1t'1.. Por consiguiente,

C1l'2 < 0, y <p(C¡, C2) = 2c¡ <'2 < 0. Supongamos ahora que 11 > 2, y que para todos los k naturales:

2 :;:; k ~ 11 - 1 y la afi11nadú11 del lema es válida, Pongamos u = (O, ... , O, 1). G111onccs

- .. ~':'. :.:.- ''.'.:·:~~ º ~ l = o .p(ll, ar= pcr 11., 1,1 . .. (1,.. l,•-2 o o .

Un 1 G,..1t - 2 1 119

Elijamos un vector arbiuurio x"' (.\1, ••• x,,) E lt" tal que <P{x. 11) =O, y los vectores x y a no son colincnrcs, es decir, x • .. ~ ...... x; _ 1) ~ O. Entonces 'P(X. x) < O. En efecto,

op(x,a) = pcr ¡.~'.:'. .. .': ... ~'.·.~-~~ .... ~· ... ~ ] = ª"·' ... a,.,,,_1 x. 1

[ '''·' .. . na -? x, l =- pcr ~O

tt,, 1 .1 . . . "" - '·" . 2 .\'11 - l

Por cousiguicure

[

111,1 • • • 01,n-l .\"1 X1 cp(x, Y) = pcr .

iln, I • • • (l/l0U -1. X11 .'(H .1~ " - l

~ a.;cp¡(X' , X'), ,. , donde <p¡(X', x ") =

""per ¡ ~1.'.1 .' • •• ••••• ~'.:'.~.'. ••••••• ~'.''..~.' .".:.: •••• ':': •••••• ."~.' --~~ J ª"-'·' ... u,, 1.1-a 1111-•.••• •.. ª"-'·"-l: x,.., x,._,

E.~I¡\ claro que <r.t y'. u/) - op{x, 11) - O, y, :uk111:·1~. op,(a,', a;» O (puesto que au "> O para i =- 1, ... , 11, j = I, .... 11 - 2). donde a;~ (a,,,, ... , u,,-1,1). Por consiguiente, de acuerdo i:on la hipútc.<is lle iuducciún, op,(x'. x' < O, de donde op{x, x) < O. La aplicación del lema anterior finaliza la demostración del lema 3.

Demostremos ahora (6). Supongamos al principio que todos los elemen­ tos de la matriz A ~ laul son positivos. Para la función op, construida en el lema .'.\,existe un vector positivo a ~ (l, ... , 1). Oe acuerdo con el lema 3, de que op{a, b) ~ O, b ?! O, se desprende .p(b, b) < O. Por eso, según el lema 1, el par (R", ;n) es un espacio de Minkowski, y la desigualdad (6) es la desigualdad de Cauchy-e-Buniakovski (5) para dicho espacio.

El caso en que entre los elementos au pueden encontrarse elementos nulos se desprende del examinado más arriba con ayuda de un paso límite. Sin embargo, en estas circunstancias no es obligatorio que el signo ele igualdad tenga lugar soto cuando los vectores b y e son colincares. m caso general en que (6) se convierte en una igualdad h11 sido analizado por A. A. Panov {70).

I3n 1926 Van der Wacrden (71) planteé una cuestión: ¿cuál será el valor mlnimo de la función del permanente sobre el conjunto O,. de todas las matrices dos veces estocásticas de orden n? La respuesta positiva a esta pregunta era conocida como hipótesis de Van der Wncrdcn. Se suponía que si A era una matriz dos veces estocástica de orden n, entonces per

120

A ~ n - n. n l, con la particularldad de que la igualdad se consigue, cuando y sólo cuando A es la matriz J«, todos los elementos de la cual son iguales a n - 1• La demostración de In validez de la hipótesis ha sido obtenida en 1980. Comencemos su exposición por una serie de lemas auxiliares (véase [181). Introduzcamos algunas nociones preliminares.

Una matriz no negativa de orden 11 la llamaremos parcialmente descom­ ponible si contiene una submatriz nula de dimensión k x (11 - k). En otras palabras, la matriz A es parcialmente dcscomponíbtc, si existen matrices conmutables f> y Q de tnl índole que

PAQ = [ g Z]. donde B y D son matrices cuadradas. Si la matriz no contiene subrnatriz nula de dimensión k x (11 - k) para ningún k = 1, ...• 11 - 1, se denominará bien indescomponible.

Observemos que s1 A es una matriz dos veces estocástica parcialmente dcscomponiblc, se encontrarán matrices conmutables P y Q tales que PAQ se descomponga en una suma directa de las matrices dos veces estocástica.

En efecto, supongamos que >Q-[ªc] 11'1 - O O '

donde n y D son matrices cuadradas, y el orden /)c.~ igm\l a k. Denotemos con s(X) la suma de los elementos en la matriz X. Puesto que PllQ es una matriz dos veces cstocasrica, la suma ele los elementos dispucslos cu sus primeras n - k columnas, es igual a 11 - k ; es decir, s(R) = 11 - k. Análogamente, s(D) == k. Por cousiguicntc, s(C) = s(PAQ) - s(/1) - s(D) - = n - (n - k) - k = ·O. Por cuanto Ces no negativa, tenemos C .. O. Es obvio que 135 matrices IJ y D son dos veces estocásticas.

Lema 4. Sea A una matriz de orden n. Para que cada transversal suya contenga cero, es necesario y suficiente que en A exista una suurnnrriz nula de dimensión r x t, donde r + f = 11 + l.

La validez de la afirmación se deduce del teorema de Konig (véase§ 4.1). Denotemos con A,1 una submatriz de la matriz A obtenida por supresión

de la i-ésima fila y de la j-ésima columna. Lema S. Una matriz no negativa A ele orden 11 ~ 2 es bici) indcsco.u­

poniblc, cuando y sólo cuando para iodos los i, i= I, ... , 11 se verifica la desigualdad: per Ai¡ > O.

Demostración. Según el lema 4 pcr A1; = O, cuando y solo cuando la subrnatriz Au. y, por tanto, la matriz A contienen una subrnatriz nula de dimensión r x t, donde r + f = (n - 1) + l. Dicho de otro modo, pcr Au = O, si y sólo sí A es parcialmente dcscomponible,

La matriz dos veces estocástica A de orden n se llamar:\ mirumizadora, siempre que per A ee mín per B.

DEO.

121

r-------.. : 8 : o 1 1 1 1 1 .,, • t • •,., L------~-----,

•,;, • : • •p(¡ : 1 1 1 l

o 1 o 1 l J fig 4.2.

Lema <>. La matriz mlnizadora es bien indescomponible, Demostructán. Sea A En. una matriz minimizadora y supongamos que

A es parcialmente dcscomponiolc, En este caso existirán matrices con­ mutables P y Q cales que PAQ será una suma directa de las matrices D E íl,, - t y D E O*. Denotemos A ' .. PAQ. Está claro que A ' E O., A ' es una nwl riz miuinuzadorn. Elijnmos en la transversal de la matriz A', com­ puesta por los elementos no nulos, los elementos a~ y a(,,, que pertenecen a las iuau iccs IJ y V, rcspccuvamente, Tenemos: aú ?! O, a/,.¡ ?! O, u:,, = n;.1"" O, per A,j > O y pcr A;q > O. Del lema 4 se deduce que per A;., = pcr A;., = O. Veamos la matriz A· (e): a:,(c) = oú - e, a/,q(c) = = a;,., - e, o,'q (c)a/.i{e) "' e, a~ (e) = o;,, sir?! i; p, o bien t ?! j, Q. Está claro que A '(e) E o •. cuando los valores de e > O son suficientemente pe· qucños. Nos convencemcs inrnediatamente de que -Je per A· (t}l,.0 = = - pcr AÍ¡ + perA!q - per A~ + per Ai¡ = - per Aú - per A;.., < O. Por consiguiente, pcr A' (e) < per A', cuando los valores de e > O son sufí­ cicnremeutc pequeños. Esto contradice el hecho de que la matriz. A' es minimizadora.

Lemu 7. Si una matrlz A E n .. es miuimizadora y sí Opq > o. entonces pcr A,.., = pcr A.

Demostrocion. Estu<lic1110~ el siguiente conjunto de las matrices ele dimensién n X 11; C(A) = 1 X = lx1Jllxu $1 O para cualesquiera i, j - l .... , 11; X/j a o para (i, j) E l . donde z = ( (1, j)lau = o 1. Consideramos C(A) como un conjunto de puntos en un espacio euclidiano de dimensión 112 - IZI; en este caso A será un punto interior de dicho conjunto. En C(A) tenemos un problema suave (véase (111)):

pcr X- inf

con restriccroucs

L x,, = 1. 1 = 1 •...• 11: J• I

(7) L X\/ "' 1, ¡ = 1, ... , 11 -

' • 1

122

·(observemos que la co1idición ¿; x;. = 1 es una consecuencia de las condi­ ciones (7)). La matriz A es la solución de este problema, por eso existen Jos multiplicadores de Lagrange >-o, >-i. •.. , >- •• µ1, ••• , Jl•- 1, que no son nulos simultáneamente, tales que la función <le Lagraugc

F(X, >-o, )q, .•. , >.., µ,, ... , J•n-1)=>.operX-

satisface en el punto X = A las condiciones de carácter estacionario respec­ to de x (véase (111, p. 47-481):

éJ :;- F(X, >-o. >..1, ••• , >-.., 1<1, ••• , I'• - 1 )l.v.,. = O para cualesquiera (i. oxi¡

j) cz. es decir, tenemos:

[

>.operAu = >,; + ¡1¡ para 1 = 1, ...• 11; j = 1, ...• 11 - J; (i, n ~ Z,

Ni per A;.= >..1 para i = 1, .•. , 11; (i, 11) q Z. (8}

Supongamos que >-o = O. Entonces (8) se reduce a f'>..1~1'~~~: i= 1, .. ,n;j= l. .... 11- I; (i,j)tZ, (9) l>-1 - O, 1 - I, ...• 11, (1. 11) ~ Z.

De Ja existencia (i, n) tales que 11;. ;.e O, se desprende que se tienen i, para los cuales >-1 = O. Sen >..1 = ... = >.k = O. Si k = n, Cl\\011(.:cs, de acuerdo con (9), de la existencia de (i.j) ~ Z, para cndaj = J, ... , 11 - 1 obtenemos: µ1 "' ••• µ._, = O, que contradice la añrrnnclón de que no todos los multiplicadores de Lagrnnge son nulos. Supongamos que k < 11 y >..* + 1 ;.e O, •.. , )... '?! O (esto puede conseguirse por permutación de ñlas en A). Si existe un elemento no nulo ª'í• donde i E 11, .•. , k I, j < n, cnron­ ces de (9) obtenernos: J'J = O. Cambiemos de lugar las columnas de A de un modo tal que se cumplan las condiciones: µ1 = ... =- µ. - 1 -1 = O. y /li ~ O, cualesquiera que sean 11 - ! - I < j < 11. Si I = 0, entonces µ1 = ... µ. _ 1 = O, y, por consiguiente, Ak • 1 = O, puesto que existe (k + 1, 'j) 9 Z, donde j < 11 (otra vez aplicarnos (9)). Esto contradice la suposición de que >-x • 1 ~O. Sea I >O, entonces una subruutriz de la matriz A, for­ mada por sus primeras filas y columnas con los números 11 - /,: •• , n - 1 es nula y tiene las dimensiones k x l. Por cuanto A es bien indcscomponi­ ble, entonces, según el lema 5, pcr An.n > O, y de aquí obtenernos con arreglo al lema 4:

k ·I I < 11. (JO)

Demostremos ahora que la submatriz A ', formada por las filas k + 1, ... , n y las columnas 1, ... , n - I - 1 C$ nula. En efecto, si en dicha subrnatriz existe un elemento no nulo au, entonces, debido a que /<i = O, y cu virtud de la igualdad >.1 + µ¡ = O (de (9)) obtenemos 'A1 = O, pero esto no es posible

123

por construcción. Esta submntriz tiene las dimensiones (11 - k) x (11 - - f - 1). Oc aquí y de la desigualdad (10): n - k + n - l - 1 = 11 + (n - - k - I - J) ;;¡, 11, puesto que 11 - k: - I - 1 ~ O. Lo último contradice la pkua <kM;o111po11ilJilitla1I tic la 111atrí; A. fi•lo quiere decir que la igualdad >-u -= O e~ imposible. /\I divu.hr las 1ch11:1011c$ (8) por >-o. obtenemos

pcr A;¡ = >:1 + 1•1 para cualesquiera (í, j) ~ Z l, j E \ t, ... , 11}

(aquí tomamos ¡i. = O). Permutando, si es necesario, las filas y columnas ele la matriz A,

logremos que se cumplan las tiesigualdades: >:, ~ 'X2 :I;; ••• >:., ¡11 ~ ih :I;; •.• ~ ji,,. Descomponiendo pcr A respecto de la primera fila y la últirnn columna, y cmplcnndo el hecho de que la suma de Jos elementos en cualquier ñla (columna) ele la matriz A es igual " la unidad, ob­ tendremos . .

>-1 + ¡i. ~ .E 011 pcr A 11 = }.; a11 pcr 111¡ pcr A 11 = pcr A J• 1 )» 1

(1 j)l7.

" ¿; n;. pcr A1. = ¿; t11. per A1. ~ >:1 + ¡1 n- l•I /,1

(<.•)IZ

Por consiguiente, >-.1 + ¡¡. • pcr A = l'cr A1¡ = pcr A1. para todos los i, j tales que (1, j) f z, (i, 11) 1 z.

Supongamos que para todos los t. ; tales que j ~ }1. i ~ i1. (i, j) 'Z ya se ha demostrado que pcr Au = pcr 11. Veamos Ja (i1 + íj-éshna fila de la matriz A. Si existe j "';t ¡, tal que (11 + 1, J1 ~ Z, entonces para todo j '1: J lal que (i1 + 1, j) ~ Z, tenemos: per A1, • oj = pcr A (por suposición) y para todo j < :S 11 tal que (i, + 1, l) ~ Z tenernos: pcr A1, + 1 J = i:1, , 1 + + ¡¡1 ~ i:1,, 1 + ¡i; = pcr A1, -t= pcr A. Por consiguiente, pcr A = . "' ¿;o,. 1J pcr A;,, 1J ~ pcr A, y p:u.1 tollos los j tales que (io + 1,

1- 1

j) f z. se verifica la igualdad per A1, + 1J = per A.

Los razonamientos análogos son lícitos también para la U1 - !}~sima columna de la matriz A. en cambio, si para cualesquiera j ?t }1 y i ~ ;, se verifica:

(i1+1, })E Z y (i, }1 - n s z. es decir, o;,.v = 0 y a;,¡1-1m0,

entonces i, - l

>:11+1 +fi;,-1 $!! L;a1,+1JJXrA;,+1j= pcrA = 1- • .

.E f11,;, - 1 pcr A1.;,- 1 ~ >:,, + 1 + j;;1 - 1, '• ,, .. 1

124

y, por consiguiente, para cualesquiera l, j tales que (i, j¡ - J) ~ Z, (i1 + I, j) ~ Z, tenemos: per A1,j,- 1 = per A1, + iJ ... per A.

Así pues, si (i, j) ~ Z, entonces per Au = per A, lo que se trataba de demostrar.

Lema 8 (desigualdad de Loudon). Si A es una matriz minimizadora en iln, para cualesquiera i, j = l, ... , n se verifica la desigualdad per Alj ~ per A.

Demostración. Para toda matriz conmutadora P = !Pul y el número O E [O; l] pongamos /p(O) = per((l - O)A + OP). Por cuanto A es la matriz minimizadora, entonces f P(O) ~ O para cualquier matriz conmutadora P. Sea u una permutación correspondiente a P. Tunemos

" n f Í>(O) = I; ( - an + p") pcr A,, = I; p,, per A,, - 11 per A =

r.t• 1 r,t • l n :E per Aro<r> - n per A ~ O.

/= 1

Por consiguiente, n L; per Aro(r) ~ n per A 'ª 1

(ll)

para toda permutación o. Según el lema 6, la matriz A es bien indescom­ poniblc, por lo cual, de conformidad con el lema 5, cualquier elemento de A se dispone en cierta transversal, cuyos elementos restantes son todos positivos. Dicho de otro modo, para cualquier par (i, j) existe tal permuta­ ción u que j = o(i), y ª'•<rl >O, cuando r = I, ... , i - 1, i + l, ... , 11.

Pero, en virtud del lema 7, esto significa que per A,,c,) :: per A para r = J, ... , i - l, i + 1, ... , n. Por cuanto j = o(i), obtenemos de (11): per A¡¡~ per A, lo que se trataba de demostrar.

Ahora, siguiendo los razonamientos de Egórychev, señalemos cómo se puede dcuiostrar, al hacer uso de la desigualdad (6), la validez de la suposi­ ción <le Van der Wacrdcn.

Sea A una matriz minimizadora. Probemos que per A1¡ = per A para cualesquiera i. j = I, ... , 11, Supongamos lo contrario: existe al menos un solo par t: s E ( 1, , .. , n) tal que pcr A,, > pcr A. Por cuanto la matriz A es dos veces estocástica, existe I E [ I, ... , n 1 tal que a,,> O. Entonces, en virtud de la desigualdad (6) y del lema 8, tenemos

per2 A '.;';!: ( ± as, per Ak1) ( ± as« pcr A1cs) > kGl kwl

> ( ± aA, per A) kgl ( ± ª"' pcr A) = per2 A

k • I

(el carácter estricto de la desigualdad en este caso se desprende de que are> O y per A., > per A > O).

Demostremos ahora que si A es una matriz mininuzadora, entonces a1¡ = n - 1 (i, j = 1, ... , 11). Supongamos que la columna de la matriz A

125

de número 11 se diferencia ele (n-1, ... , 11- iyr. Por cuanto A no se descom­ pone en una suma directa de matrices no nulas, cada elemento de la n-ésima columna de A es inferior a la unidad. Por consiguiente, entre los primeros. n - 1 elementos de cada fila de la matriz A hay por lo menos un elemento no nulo. Pasando de A a una matriz que se obtiene a partir de A sustituyen­ do Ja i-ésima y }-ésio1a columnas de su semisuma (i ;é }, i, j = l, ... , n - I), obtendremos, al hacer un número finito de pasos, la matriz A en la que todos los elementos de las primeras n - 1 columnas son positivos. mientras que la n-ésima columna coincide con la n-ésíma columna de la matriz zt , con la particularidad de que per A' = per A, puesto que, hecho cualquier paso, el permanente no varía (lo que se desprende de la fórmula de descomposición del permanente de una matriz respecto de las columnas y de la igualdad de todos los permanentes de las submatrices de (11 - l)·. ésimo orden).

Designemos con A1~b) una matriz obtenida de A' como resultado de la sustitución de la j-ésima columna por la columna b. Ya hemos aclarado que en la desigualdad

pcr2 A' ;;: pcr A;(a,') per A ;tan)

se realiza la igualdad. El carácter posítívo de las componentes aí •... , a~-1 da el derecho de afirmar que an = 'Naí (i = 1, ... .n - 1). Por cuanto las sumas de componentes de los vectores son tocias iguales a 1, entonces On =a[ (i "' 1, ... , 11 - 1). Como Ja matriz 11' es dos veces estocástica llegamos a que oí= ... = a~-1 = On = (11-1, .•. , 11-1)T, lo que es unó contradicción. Por consiguiente, todas las columnas de In matriz A son iguales a (11-1, ... , n - 1)T y esto demuestra nuestra afirmación.

Veamos el problema sobre las estimaciones superiores para los per­ manentes. En 1960 Ryscr supuso que en la clase de (O, !)-matrices de orden mk, cada linea de las cuales contiene k unidades, el valor máximo del pe­ mancntc se logra en la suma directa de matrices de orden k, compuesta por unidades. J. Mine enunció en 1963 una suposición más general de q_u_c si A era una (O, l)·matríz de orden 11 que tiene r,, .... '•sumas respeci«

n 1 de las filas, entonces per A ~ I1 rr;l)r;, De esta desigualdad se deduce

hl

inmediatamente la hipótesis de Ryser, La desigualdad de Mine la demostró por primera vez (en 1973) Bregman

[73). Más abajo aducimos una demostración más sencilla de esta desigualdad que se debe a Schrijvcr (74].

Lema 9. Para los números reales no negativos xi. .... x, es válida ta desigualdad

( r )Éx1 r-'bXi i•I ~

1~ l

fórmula se supone que oº = 1).

r TI xli l• l

(en esta

126

Demostración. Al hacer uso de la convexidad de la función y = x logz x. obtenemos

de donde se deduce inmediatamente el resultado del lema. Sea A e: (a¡¡I una {O, !)-matriz cuadrada de orden 11, y sea S un conjunto

de todas las permutaciones .,.. de los números 1, ... , 11 tales que " TI a;.1,¡ .. 1 entonces

'.' TI pcr(AJJ)P"A• = 11 LJ ftS

•11 .. l

" Il per A;,<1), ,_ 1

n n rr«A = lI l• 1 •<V

• n n. ,_ 1

La validez de estas identidades se confirma con facilidad mediante una comprobación directa. Aprovcchérnoslas para demostrar In desigualdad de Mine. Apliquemos el método de inducción matemática completa respecto de n. Del lema 9 tenemos

• n (per A)"p<rA = TI (per A)"''A -= n

' ... 1 i - 1 (

• ) ~ U.¡1'CU1~ rr G¡¡pcrA;¡ 1•1 ~ ,J-1

~ ,1], (rr",. ,}~ 1

(per A11)r""• = I.1~ [ (.lJ, n) (.1)1 pcrA.,<1•) J. Apliquemos ahora la hipótesis de inducción a cada una de las matrices

l• 1

• 1

per A;~•>~ rr ( rr (r,1)1,) ( rr [ .;¡ t J~f }7'1

o . .-(•)•O 111•11,• l

II

TI (TI (r1ni;) (TI (r1 - l)! ~~ ~TI [r;! •-;~''(r, - I)!]. J•I 11'} l~J J•I

tlJot'>•O •JHJ•·• La última igualdad se ha obtenido por cálculo de los factores (r1!)11'' y (r¡ - 1)111<•,-1>_ Siendo fijos ,.. y j, el número de Indices i, para los cuales i ;t. j, es igual a n - r¡. si ªi•<'> .. O, y a a r¡ - t, si ªJ•<I) = J. Así pues,

ttr'• ] r¡! ' (r¡ - 1)!

1 l )nprrA r¡. r¡ •

to que se trataba de demostrar. 127

Volvamos a las aplicaciones ele las desigualdades a los permanentes: Denotemos con Ltr; 11) el número de (r x nj-rectánguios latinos com­

puestos por los elementos de un conjunto S = 11, 2, ... , n). Analicemos algún rectángulo latino de dimensión t x 11, 1 ~ t < r. De cuántas maneras puede ser extendido husta que se obtenga un (r + t) x n-rectángulo latino? Está claro que el numero de tales métodos es igual a per A, donde A cS la matriz de incidencia del sistema de subconjuntos (Si. ... , Sn), donde S, es un subconjunto de aquellos elementos de S que no se encuentran en la i-ésima columna del rectángulo a extender (i = I, ... , n).

En cada fila de la matriz A están contenidas n - t unidades; la matriz (11 - t)- 1 A será dos veces estocástica. Aplicando las desigualdades de Mine y de Van dcr Waer<lcn, obtendremos

,,, -·- -:-. (n - t)" ·~ per/l ~ (11 - n1•-•. 11

Cuando f = l, pcr A=- 11! Í; (- l)i ... 1,- = D,., lo que constituye el número /.() l.

de desórdenes sobre 11 elementos. Por consiguiente. ( I)'- l r » I r- l •

-'~;~-;-:.·21- D .. J1 (11 - t)" ,.;; l(r; 11) ::;; n!D, TJ. (n - t)!n=t. n l•2 tal

Si ponemos r = 11, obtendremos L(11, 11) ~ (n !)1" 11- •' > (e -2 n)"1• Se ha aprovechado aquí la conocida desigualdad: n! > e- "n", Wilson [58) utilizó la desigualdad reducida L(11, n) > (e- 211)"' para determinar la frontera in­ ferior del número N(u) de ternas 110 isomorfas de Steiner de orden u y obtuvo la siguiente estimación:

N(u) ;.>. (e - s u)vl/~.

Examinemos en conclusión las apllcucioncs de los permanentes a los pro­ ulemas de dímeros que surgieron en la física y química. Llamemos n; latlrillo a un paralclcpipcdo k-dimc11sion:1l (k ~ 2) de volumen 11, en el cual l;1s llmgiludcs de lax aristas ~011 de número» cuterosr c., ... , a»: Sea 11 par. Se plantea una cuestión: ¿cuántos son los métodos para componer un n­ ladrillo, sirviéndose de 2-ladrillos (dímeros)? Denotemos este número con N. Dividamos el 11-ladrillo en cubos unitarios y numeremos los: l, 2 .•.. ·.'.• 11. Supongamos que A = laul es una matriz. de incidencia que caracteriza la disposlcíón mutua de los cubos: av = 1 6 a O, lo que depende de si tienen o no aristas comunes los cubos marcados con los números i y j (a11 = au = ... =a,,,,= 0).

Se afirma que N2 = per A. Efectivamente, a todo par ordenado de par, ticiones del 11-ladrillo en <limeros le corresponde una transversal biunívoca de la matriz A compuesta por unidades. Por ejemplo, sea n = 6, k = i, a¡ = 2, a2 = 3. La matriz de incidencia tendrá la forma siguiente:

121!

J.í¡:4.J.

1 3 " 5 6

o o 0 o o

1 0 o o o

3 a a o o o 4 o o o 0 o

5 o 0 o o

6 o e 0 o o

...... 1..1.

Al par ordenado J.: purf icrones del lad1illo c11 l.r lig. 4 ·l. Je couesuonde b.uruvocnmcute la perunuacrón

2 3 6 ~) 4

5 5 2

y la transversal de la matriz A compuesta por uiudadcs coutorncadas en I~. fil!.. 4.3.

Observemos que todas la~ s11111as respecto ele la.~ fih1s y coluumas de k. tnalri1. de incidencia A son Iguale~ a 2k, a cxvcpcióu de ac¡m:llas que corresponden a los c11b<1~ en la superficie, Vc11111os, .:11 lugar del 11-ladrillo u n ladrilln toroidal correspondiente, el cual se obtknc por pcgadum de las ar i~tas op11.:i.ras tkl ladrillo 01 ih\ill<d. 1 a m.u riz de i11cidc1h:ia /1' del ladrillo h•roi1lal 1 icue 1k 1111idad,·~ c11 .;;ula lila y cu cada .:olu11111a. V.1li.!11tlor>oS de la d..-~iic:ualdad 11<: Mine, obtcndremo«: per 11 · p1·1 .1' <(!J.)"''ª. y, pur consiguiente, N.;; (2k)!"'••.

Hanunersley 17.51 mostró que si ai r+ eo piira codo i = 1, ...• k , la magnitud 11 - 1 ln N t icndc a cierro limilc ),..., . De este modo,

),., ~ ~ In [(2k)!]1/U < ~ In J.;.

La aplicacióu de la desigualdad de Van der waerdcu a la tuatriz A· 1 2k nos conduce a la estimación p~>r debajo: AA ;;:. 'z 111- <!. (véase (17.5]). Por

couxiguicntc,

•1 ft(1IJ

),.~ - ~ In 2:·

(1 ¡. a(I)) para J.. ·• eo ,

129

CAPÍTUW S MEOIOS GEOMÉTRICOS Y GRÁFICOS

S.l. EVIOENCIA EN LAS INTlWl'ltETACIONES DE LOS SISTEMAS OISCRlrfOS

Los sistemas dicrctos, a cuy1>s 111e1nd1•~ tic c~111<lin se dedica este libro, existen en unu diversidad cxclusiv.uncnu- g1arnk. 1 a nprcciacróu del carácter discreto de 1al o cual sistema se forma o hien debido a la compren­ sión de la existencia separada y discreta e.le los elementos del sistema dado, o bien se predetermina por el carácter discreto de la información recibida (por ejemplo, lecturas de los instrumentos). Corrcspcndientcmentc, los métodos matemáticos de invcsrigucióu de los ~i.~1c11u1s semejantes se caracterizan por Ja misma diversidad.

Los modelos matemáticos de los sictcmas discretos ~011, con mayor frc­ cuencia, conjuntos de símbolos dispuestos en la íorma -discrera, habitualmente de puntos, unidos con líneos, si esto está determinado por los condiciones del problema.

A 1<1~ modelos cornbinatorios se le~ ru ribuyc una evidencia m~xima posible no sólo para fr11:ilit;ir la cornprcnvión de 1al n cual problema. Los medios ilustrativos o did:k1km; del an:ilisis ,·,1111hi11.11t1rh1 .-1111til111)·c11 trc­ cuentcmcnte a creas las nosibilidadcs oara resolver los problemas. De ejemplo puede servir el teorema de R:1111scy (véase § 3.3).

Recordemos que el teorema de lt;1111sey ¡;c11crali1.<1 la idea de partición de los conjuntos. Sea P, (S) =A, VA1 V ... UA, u1111 partición del conjun­ lo de todos los r-subconjunros del conjunto S. Supongamos, luego, que vienen dados números enteros q¡ tales que 1 ~ r ~ q; i = I, 2, ... , t. Si existe un q1-subconjunto de S, cuyos r-subconjuntos se contienen todos en A1, entonces se le llama (q¡, A,)-subconjunto del conjunto S. El teorema de Ramsey afirma que existe un número mínimo natural Ntq«, rJ1, ••. , qr, r), a partir del cual (es decir, para n ;;i. N) el conjunto S contiene un (q,, Ai-subconjunto para cierto i "' 1 t, 2, ... , tJ.

Veamos un caso particular del teorema de Ramscy en que r = 2. La interpretación geométrica en este caso se expresa asl: 11 elementos co­ rresponden a n puntos en un plano; a 1111 par <le p11111os corresponde un segmento que une dichos puntos: la inclusión úcl sc¡;111c1110 en el subcon­ junto A1 se marca pintándolo de i-ésimo color (í = 1, 2, ... , /). El teorema de Ramscy garantiza la existencia, para " ~ R {JI, q; 2), de p puntos unidos entre s{ sólo con segmentos del primer color, o bien ue q puntos unidos sólo con segmentos del segundo color.

La misma idea sirve de base para la aplicación del teorema de Rarnsey a los polígonos convexos. Se analizan los n-conjuntos de puntos en un plano sales que ninguna combinación de tres puntos se dispone en una

130

<:-> b Fig.5.1. b

misma recta. Resulta que empleando los puntos de dicho conjunto cómo vértices, podemos construir cualquier p.olígono convexo de 111 lados, siem­ pre que 11 sea suficientemente grande.

Teorema. Para un número entero dudo m existe un número entero mínimo N,., tal que cualesquiera N,« puntos en el plano, de los cuales ninguna combinación de tres se dispone! en una misma recia, condenen 111 puntos que forman u11 polígono convexo de 111 lados.

Demostración. Observemos, para iniciar, que entre cualesquiera S pun­ tos se pueden elegir 4 que representen los vértices de 1111 cuadritárcro con­ vexo. La demostración se observa fácilmente en l.1 fig. 5.1. Según se ve, incluso el caso "d egeucrad o" (fig. S.t, 1·) da un cuadrilát cro convexo (en el interior de un triñnguto),

Ahora, es lícita la afirmación de que si entre m puntos en consideración cualesquiera 4 son vértices de 1111 cuadrilátero convexo, entonces dichos m puntos forman 1111 políi;ono convexo de q lados. l \n efecto, supongamos que existe, a lo sumo, un polígono convexo de q lados (q < m). Sirvién­ donos de las diagonales trazados a plHlil' de un mi-nno vértice, dividamos este ¡mlígono en tri;i 111;11los y en este caso (111 -- q) puntos caerán en el in­ rcrior <le los t ri;\ng1il<•s, lo que cout radice la coud-ción de convexidad de todos los cuadriláteros. 1..!sw quiere decir que q . 111, el poligono de m lados scni convexo

Analicemos ahora la ufirmación general. Sea 111;:;, 4; 11;;:.. A' (111, .5; 4),

Partiremos los 4-conjuntos (1wy en 101ul (;) de tales conjnnlos) en

convexos y no convexos. Entonces, según el teorema de Ramsey, o bien; a) existe un pentágono con todos Jos cuadriláteros no convexos, lo que con­ tradice lo demostrado arucriorrncntc: o bien b) existe un polígono de m lados cuyos cuadriláteros son todos convexos, y, por consiguiente, de con­ formidad con lo demostrado anteriormente, este polígono de 111 lados es convexo.

Las iuterprcracioncx geométricas existen para casi todos los objetos combinatorios. Por ejemplo, para los cuadrados latinos la imcpretación geométrica se construye del 1110<10 siguiente. Cada 11110 de los 112 elementos de un cuadrado latino se considera corno un punto sobre la diversidad de 2-coordenada. Por el conjunto de puntos que forman el cuadrado latino tracemos tres 11-fnmilias de lineas que pasan: 1) nor las filas, 2) por las columnas, 3) por los elementos iguales. Esras familias forman una 3-rcd

<)• lJl

con n2 nodos. Inversamente, cada 3-rcd de esta índole puede interpretarse como cuadrado latino.

La condición de equivalencia <le los cuadrados latiuos en la interpreta­ ción que se considera aparece como conservación de las 3-rcdes al reenumerar las líneas de cada familia. A veces se admite la sustitución reciproca de las familias, con lo cual se amplía el concepto de equivalencia. Diremos, por fin, que la interpretación geométrica fue, evidentemente, la causa por la cual surgió el concepto <le ortogonalidad en aplicación a los cuadrados latinos.

Una aplicación sucesiva y rcitcradu de las interpretaciones ilustrativas condujo a que se hayan separado clases de modelos matemáticos que po­ seen sus propios medios de investigación claramente disringuibles a saber, la axiomática, la tcrminologia, los símbolos y los medios lógicos de demostración. En nuestro caso dichos medios se representan, con preferen­ cia, por las geometrías y los grafos finitos. La torca del capitulo presente consiste en introducir al lector en estas ramas extensas de las matemáticas, en interés del objetivo fundamental del libro.

5.2. IDEAS GEOMÉTIUCAS FINITAS

Para los sistemas que se estudian en el nnálisis combinatorio se empican gcomctrtas finitas. Este término se usa para cle.~ignar sistemas compuestos por un número finito de elementos, entre los cuales están establecidas las relaciones de incidencia, A los elementos, no definibles en general, se les asignan nombres geométricos: "puntos" P y "líneas" / .. La relación de incidencia I se Ice así: "un punto P se dispone en la línea L ", o bien "la linea L contiene el punto P". Para dichas relaciones se introducen, además, axiomas del tipo que tienen los axiomas geométricos.

Las precisiones y explicaciones adicionales o bien las modificaciones de las enunciaciones iniciales conducen a diferentes tipos de geometrías finitas y a las partes de la geometrla contiguas y próximas a las citadas geometrías. Así, por ejemplo, surgen las relaciones con los problemas de ia topología combinatoria, la geometría discreta, la geometría proyectiva, la teoría ·geométrica de los números. la teoría de los grafos. la geometría combinatoria, etc.

Sobre los espacios proyectivos. Se conoce, por ejemplo, que la totalidad de todos los espacios· de una estructura incidente ( /! L, J 1. que acabamos de mencionar, donde los elementos P se llaman puntos, los elementos L, lineas, y J, relaciones de incidencia, es un espacio proyectivo.

Existen diferentes métodos. de construcción axiomática de un espacio proyectivo. El más empleado es Ja modificación del sistema de axiomas propuesta eo 1899 por D. Hilbert con el fin de fundamentar la geometría elemental. Todo espacio proyectivo se considera como una colección de elementos -de tres géneros: puntos, rectas y planos, entre los cuales se

132

establece la relación de incidencia, fundamental para la geometría proyec­ tiva, que se caracteriza por axiomas adecuados. F.stos axiomas se diferen­ cian del grupo correspondiente de axiomas de la geometría elemental en que en los primeros se requiere que cada dos recias dispuestas en un mismo plano tengan un punto común, y en cada recta se tengan al menos tres puntos distintos. Para obtener una geometría más sustancial, la totalidad citada de axiomas se completa con axiomas de orden y continuidad (para un espacio proyectivo real), con el axioma de Pappus (para la geometría proyectiva sobre un cuerpo conmutativo), con el postulado de Fano, etc.

Examinemos a continuación más detalladamente dos métodos de cons­ truir espacios proyectivos. En primer lugar puede 1 rutarse de la realización de 1111 espacio proyectivo corno un conjunto de recias en un espacio lineal. Sea l. u11 espado lineal sobre 1111 campo K, y denotemos con dhn L la dimensión de L. El co11j111llO /'(!,) de rectas (es decir, de subcspacios. lineales unidimensionales) en l lleva el nombre de espacio proyectivo: asociado con L, y las propias rectas en t. se llauran puntos de P(L). El número dim L - 1 es la dimensión de J>(L) y se denota di111 P(L). Los espacios proyectivos y bidimensionales se denominan recta proyectiva y plano proyectivo, respectivamente.

Un conjunto de la forma P(A), donde A ~ L se llama subespacio pro­ yectivo en P(l). Es evidente que P(A1 nA2) = P(.11,)()P(A2), es decir, una familia de espacios proycci ívos está cerrada respecto de las intersecciones. Por eso, en el conjunto de subcspacios proyectivos P(A) que contienen el conjunto ciado S <;;;; P(L) hay 1111 subcspacio menor, que se representa por la intersección ele todos los subcspacios de este upo. Este último lleva el 110111hre de cápsukr ¡1myecriw1 de S, se denota cou .f: y coincide con P(A ), donde A es la dpsula liucal de todas las recias correspondientes a los 1)1111· ros s ES en L. Se puede mostrar; que si Pi y Pi son dos subcspacios proyec- 1 ivos finitos en el espacio proyectivo P, entonces

dim(P, n P1 + dim(P;·n-?z) = dim !', ~ dim P1.

En adelante nos harán falta dos espacios proyectivos concretos que se denominan configuraciones de Desargucs y de Pappus.

Configuración de Dcsargucs. Sea A una familia de puntos en un espacio proyectivo. El símbolo ~I designará su cápsula proyectiva, En un espacio proyectivo tridimensional examinemos el seis ordenado de puntos (01, as, a,. 11,, b1, b.i). Se supone que los puntos son distintos de dos en dos y qué u1a2cil y bil>ib1 son, en escuda, unos planos. Luego, supongamos que las recias <11'11, t12b2 >' a1/J• se intcrsccan en un solo puntoµ, distinto de a., c12. c11, o., bz, Ir, (fíg. 5.2). V.n este caso diremos que hh triángulos (u1t12<IJ) y (bd>zlh) sun perspectivos respecto del punto p y cada uno de ellos es una proyección del otro realizada desde ..:1 centro p, si ellos se disponen en diferentes planos. Entonces, para iodo par de indices ¡ t, il <;;;; ¡ 1, 2, 3) las recias a;a¡ y /J,b1 no coinciden, pues en el caso contrario

133

p

tendríamos a, = b;, puesto que u1 y bi son puntos de intersección de estas rectas con la recta ptub). Además, las rectas E!.ªi y 0.0. se disponen en el plano común pa1a1. Por eso, ellas se intcrsccan en un punto que se designará con c1¡. Los puntos c12. cu, CiJ son puntos de imcrsccción de las prolonga­ ciones de los pares de los lados correspondientes de los triángulos (01oioJ) y (b1 lhú¡).

Diremos que los triángulos (a1a1a.s) y (ú1ú2b1) son perspectivos respecto de la recta /, siempre que los puntos c12, c1 r. Cii se disponen en la recta f.

Teorema de Desargues. Si dos triángulos son perspectivos respecto de cierto punto, son perspectivos respecto de una recta.

Conñgurscíéu de Pappus. Ex<1111inc111os en un plano prnyccuvo dos rec­ tas diferentes f1, /2 y dos ternas de puntos di,ti11h>s "'• Uz, ,,, y h., tn, ú1 (fig. S.3) dispuestos en las rectas de dos c11 dos. Para cualquier par de in­ dices (i, jJ E ( 1, 2, 31 tales que i < j designemos con C;j el punto ele i11- tersccción de las rectas O;Vj y uiJ1.

Teorema de Pappus, Los puntos c12, ,.1), ClJ se disponen en una misma recta.

El lector puede encontrar la demostración de los teoremas de Desargucs y de Pappus, como también otros pormenores, en el libro [69].

En segundo lugar, los espacios proyectivos pueden construirse por adi­ ción· a un espacio afln .de los "puntos infinitos alejados". Merced a este· procedimiento se logra la uniformidad en las enunciaciones y dcrnostra­ ciones de todauna serie de teoremas de la geometría analítica y de algunos

'· •, ;::,::::::::_.---

l'ig.S.3.

134

otros resultados geométricos. Este método condujo a la creación de la geometría proyectiva clásica. A medida que se desarrollaba el método axio-

. mático fueron creadas diferentes descripciones 'axiomáticas de los espacios proyectivos. Las investigaciones ulteriores han mostrado que los sistemas geométricos que obedecen a dichos axiomas tienen su propio significado y la teoría de ellos resulta ser muy profunda (véanse (4, 21, 76 y 77)). Desde entonces por espacio proyectivo ddsico se entiende, por lo común precisamente tal sistema geométrico. l'or ejemplo, un espacio tridimensional se define como un conjunto, cuyos elementos.se llaman pun­ tos, provisto de dos sistemas de subconjuntos cuyos .elcmcntos se llaman rectas y ptanos, respectivamente, En este caso han de cumplirse los siguientes axiomas de incidencia:

l. Dos puntos dislinto.~ pertenecen a una re..:ta única. 2. Tres puntos distintos, no üispucsto« en 1111a recta, pertenecen u un

plano único, J. Una recta y un pl<1110 tienen un punto común. 4. La intersección de dos planos contiene una recta. S. Existen cuatro puntos que no se disponen en un plano y que son

tales que cualesquiera tres tic ellos no se disponen en una recta. 6. Cada recia consta 110 1111:11os que de tres punlos. En lo que sigue examinaremos sólo las geumct 1 ias proyectivas clásicas,

denominándolas, para slmph tkar, ¡:t•<1111c•1ríus pt oyectivas. (}11 ¡1fa110 proyc·1·tivo cldsic« se define .:<11110 1111 conjunto, cuyos ciernen·

tos se llumun ¡11111/os, pr.·1vi,rn de un •htcma de xubcoujutos cuyos elcmen­ tos se llarnuu rectas. E11 este caso lwn tic cumplir»: los siguientes axiomas;

1. l)ois p11nh1>: dikH•1111:s l'<'rlt'n•·n·n :1 una n·.·1a única. 2. La intersección tk dos rectas es 110 vacía, 3. Existtll tres p11111os 411c no se dispoueu c11 una recta. 4. Ca tia recta consta por lo menos de 1 res puntos. El conjunto /.'(/.), donde /,es un espacio Iincal sobre el campo K tic

dimensión 4 ó 3. junto con lns sistemas de planos proyectivos y recias en. ellos. tal como fueron definidos más arriba, sat isfaccn los .ixiomas del espacio proyectivo d:i<irn 1ridi1111:nsional y del plano proyectivo clásico, respecrivmncutc. No obstante, 110 todo espacio 111.,yeclivo clásico o plano es isomorfo a uno de nuestros espacios P(L). Más aún, resulta que existen planos proyectivos clásicos 11(1 isumur lus incluso a niugún plano del tipo !'(!.), donde I, es 1111 cxpacio pruycctivo t ridimcusionnl sobre al¡;ún cuerpo. IA'I razón de ello radica eu que en los nlnnos provcctivos del tipo l'(L) el teorema de Dcsargucs sigue siemto válido, 111ic111m, que existen planos que no son de Desargucs. dunde d lcoot·ma no se rumple, Enuuciemos sin demostración el resulmuo sii;nicntc:

Teorema l. Tres propiedades tlcl plano proyectivo clásico son equivalentes:

:1) en dicho pl;1110 se cumple el teorema plaml de Desargucs:

135

b) dicho plano puede encajarse en un espacio proyectivo clásico; c) existe un espacio lineal tridimensional L sobre cierto campo K,

definido de un modo unívoco, exactamente hasta un isomorfismo tal, que nuestro plano es isomorfo a P(l).

El teorema de Pappus puede fallar incluso en los planos ele Desargucs. Al denominar una afirmación correspondiente axioma ele Pappus, podemos formular el siguiente teorema que también se da sin demostración.

'Ieorema 2. Si en un plano proyectivo clásico se cumple el axioma de Pappus, el plano es de Desargucs. El plano clásico de Desurgues satisface el axioma de Pappus, cuando y sólo cuando el cuerpo asociado con el plano es conmutativo, es decir, el plano citado es isomorfo a P(L), donde L es un espacio lineal tridimensional sobre el campo.

En todo espacio proyectivo clásico de dimensión superior a dos queda válido el teorema de Desargues .. El teorema de Desargnes permite In coordenatización de un espacio proyectivo clásico con ayuda de cierto cuer­ po asociativo K. De este modo, el estudio de los espacios proyectivos clásicos, cuya dimensión es superior a dos, se reduce a un problema algebraico, a saber, a la teoría de los cuerpos asociativos. En los planos proyectivos el teorema de Desargues puede no tener lugar y la reducción al álgebra mencionada no se consigue en el caso general. Con este motivo el estudio de los planos proyectivos clásicos es de interés especial y la teoría ele ellos se desarrolla exitosamente desde el principio de nuestro siglo.

Planos proyeclivos finillls. Es fácil comprobar que la dclinicióu de plano proyectivo clásico propuesta más arriba es equivalente a la siguiente.

Se denomina pl:1110 proyectivo a un conjunto de puntos y rectas, entre los cuales queda establecida una relación de incidencia que obedece a los sigulcnres requisitos.

l. Dos puntos distintos son incidentes, con una y sólo una recta. 2. Dos rectas distintas son incidentes ni menos con un punto. 3. Existen cuatro puntos en una posición general, es decir, tales que

cualesquiera tres de ellos no son incidentes con una recta. Efeétivamente, para convencerse de esta afirmación, basta demostrar

el siguiente teorema. Teorema 3. Cada recta contiene no menos de tres puntos. Demostraclán. Del axioma 3 se deduce que existen cuatro puntos a.,

ai, as, ·a., de los cuales nlnguna combinación ele tres se dispone en una misma recta. A estos puntos les corresponden seis rectas distintas que los unen de dos en dos a saber, /1: 0102b1; (z: a,a¡lli; li: 011ttb3; 4: a2aJbJ; Is: 021ttbi; /4: OJILtb1. Aquí, b., bi y bi son puntos de intersección de estas rectas. Partiendo de que todas las seis rectas ~011 distintas se obtiene con facilidad que todos los puntos b1, bi, b, son distintos y todos ellos se diferencian de los puntos a;; i = 1, 2, 3, 4. Cada una de las rectas /1 (i = I, 2, ... , 6) contiene por lo menos tres puntos. Si una recta arbitraria / no

136

3

Fig.l.4,

contiene ª" se interscca con las recias li. h, 13 en eres puntos diferentes. Si I no contiene 01, cona las rectas /1, /4, 15 en tres puntos distintos. En cambio, si la recta I contiene canto a., como as, entonces / "" lv, mas In recta /1 contiene en iodo caso tres puntos diferentes a., o2 y b1• El teorema queda demostrado.

Observemos que del axioma 1 se desprende que dos rectas diferentes son incidentes no más que con un punto. En la fig. 5.4 se expone un plano proyectivo finito que contiene siete puntos y el mismo número de rectas, con la particularidad de que además de los lados y las medianas del triánguto equilátero tenemos que considerar como "recta" la circunferencia inscrita. Este plano proyectivo concreto se denomina, a menudo, configura­ ción de Fano. Otro ejemplo de plano proyectivo ya ha sido examinado, precisamente el P(L), cuando L es un espacio lineal sobre el campo de dimensión 3.

El axioma 3 en la definición de plano proyectivo sirve, principalmente, para desechar los planos "degenerados" tales, por ejemplo, como un plano vacío, una serie rectilínea de puntos (en particular, una recta), un haz de recias (en particular, un punto), una serie rectangular de puntos por uno de los cuales están trazadas varias rectas y un haz de rectas, cortado por una recta.

Introduzcamos unas definiciones más. Un subconjunto 7r' de puntos y de rectas del plano proyectivo ?r se llama subplano, si, junto con cada dos puntos (recias), 7í' contiene una recta (1111 punto) incidente con ellos. Dos planos se denominan isomorfos, si entre sus puntos y sus rectas puede establecerse una correspondencia biunívoca que conserva la incidencia. Específico para los planos proyectivos resulta ser el concepto de dualidad. Dos planos se llaman duales, si entre Jos puntos (rectas) de un plano y las rectas (puntos) del otro puede establecerse una correspondencia biunívoca que conserva la incidencia. Un plano dual al plano dado puede obtenerse al declarar "puntos" las rectas del plano dado, y "rectas", los puntos de él, conservando las incidencias existentes. No es difícil con­ vencerse de que un plano isomorfo a un plano que es dual del plano ?r,

137

será dual con relación a 1r. Un plano, dual respecto del dual, es isomorfo :'ti plano de partida. La aplicación isomorfa de un plano sobre sí mismo lleva el nombre de colineacion. La aplicación unívoca (no forzosamente biunlvoca) tic los puntos y de las n .. -ctas del plano ir sobre los puntos y las rectas del plano 7r' con la conservación de la incidencia recibe el nombre de homomorfismo.

Teorema 4. Sea 11 ~ 2 un número entero arbitrario. Entonces son equivalentes las siguientes propiedades del plano proyectivo:

a) cierta recta contiene exactamente 11 + 1 puntos; b) cierto punto pertenece exactamente a 11 + 1 rectas; e) cada recia contiene exactamente n + 1 puntos; d) cada punto se dispone exactamente en 11 + 1 rectas; e) cu .::1 plano 7r hay exactamente 11l + 11 + 1 puntos; 11 en el plano 1f hay exactamente 11~ + 11 + 1 rectas. Demostracián. Sean av, ai, ";· a .• cuatro puntos, de los cuales ninguna

combinacióu de tres se dispone en una misma recta. /\ estos puntos les corresponden seis di fcrentcs rectas que los unen dos a dos (véase la demostración del teorema 3). Supongamos ahora que se cumple la pro­ piedad a}. es decir, cn « existe una recia I que contiene exactamente 11 + 1 puntos, digamos. para concretar, e,, e!, ... , e-+•· Si bes un punto que no está dispuesto en l, entonces las rectas bci, i"" 1, 2, ... , n + 1, son distintas, pues. si be;= bey para cienos i ~ j, entonces b está situado en t. 1() que contradice la hipótesis. Luego, cada recta. que ~sa por b, corta f, y, por consiguiente, ha de ser 1111;1 de las 11 + 1 recias be¿ i = 1, 2, ... , 11 ~ l. Por lo menos dos puntos tic los cuatro a1, </:, 11), a4 no se disponen en la 1c<;la /, y, por eso, tal puutu /1 existe. Sea, ahora. ¡, un punto que yace cxactarucntc en 11 + 1 rectas: 1111• mi, ...• mh, 1• Si t• es una recta que no pas:i por b, entonces 1• corta 111,, .•• , m-•·, en Jos puntos d«, ... , d,. .• ,, que son todos diferentes, por cuanto bes el único punto que yace 111:is que cu una tic las rectas 1111, •••• 111,. + r , Si en /• existiera un punto 111;\s el". i, entonces existiría una recta bd,.. 2 que no coincide con ninguna recta m), j = 1, 2, ... , 11 + 1, puesto que de lo contrario la recta bd.+2 coruendría cierto punto d1: j ~ 11 + 2, y, entonces, lid:;;; = bii;;: 1d1 = = d; ,. id¡ = t•, lo que contradice la suposición de que b no está situado cu la recta /•.

Nuestra recta inicial f contenía cxactamcmc 11 + 1 puntos; por con· siguiente, cada punto que no yace en /, está situado exactamente en 11 + 1 rectas: a los puntos de c~1;1 índole se relacionan por lo menos dos puntos de cuatro: 01, ai, 111, a~. por ejemplo, a, y a2• Por eso, cada recta que no pa.~:i por "1 6 "1 contiene exactamente n + 1 puntos, es decir, cada recta, salvo, quiz:is, la recta /1: a1a2b1 contiene exactamente 11 + 1 puntos. En­ tonces, '1: a,a)bi. contiene exactamente n + 1 puntos, y el punto bs que no yace en /2, está sítuudo exactamente en n + 1 rectas; por consiguiente,

138

11, que no contiene bJ. también debe contener 11 + 1 puntos. Asl pues, la propiedad a) lleva consigo la propiedad e).

Pero, para cualquier punto b puede encontrarse una recta que no pasa por este punto, y por esta razón existen (igual que anteriormente) cxac­ tamente 11 + 1 rectas que pasan por b, con lo que quedan demostradas las propiedades b) y d).

Demostremos ahora la propiedad e), partiendo de a). Sea b« un cierto punto del plano x , y supongamos que li. h •. , ., In• , rcprcscnrnn n + 1 rectas que pasan por bn. Estas rectas contienen todos los puntos del ptano 1r, con la particularidad de que cada una de ellas contiene otros /Jo y n puntos. El punto bo es el único, perteneciente a cualesquiera dos de las rectas 11, h, •.. , 1,. .. • · Por consiguiente, el plano x conricnc 1 + (n + 1)11 = n2 + 11 + 1 puntos. Confirmemos ahora la propiedad (). Sea /o una recta del plano ir, y supongamos que ln, ... , b,.. 1 son 11 + 1 puntos de la recta t«. Cada uno de estos puntos yace en /o y en otras n rectas. De este modo, obtenemos todas las rectas del plano 7f; en 101al tenernos, por consiguiente, 1 + (11 + 1)11 .. 112 + 11 + 1 puntos. Así pues, de la propiedad a) se deducen todas las demás propiedades mencionadas en el teorema.

En virtud de la dualidad, de b) también se deducen rodas las pro­ piedades restantes. Es evidente que de e) se deduce n), y de d) se deduce b). Si es Hcita In propiedad e) y cierta rectn consta lle 111 + 1 puurov, donde 111 es un número uauual, .:111011ccs el plano ?r se compone tic mi + 111 + 1 "' 112 + 11 + 1 puntos, de donde 111 " 11, es decir, de e) se desprende u). /\11álo¡;a1m:n1c, lle 1) se deduce la propiedad b). El teorema está demostrado.

Convengamos en llamar orden <le un plano proyectivo finito al número n, si cada recta de este plano comlenc 11 + l puntos. Observemos que el plano es de orden 11, si posee cualquiera de las seis propiedades cimdas en el teorema 4. C:I orden mínimo <le los planos proyectivos finitos es igual a 2. El plano finito "más pequeño" es la configuración de Fano, cada recia de la cual contiene exactamcnrc 3 puntos. La configuración se expone en la fig. 5.4. En total dicho plano contiene 7 (= 22 + 2 + 1) puntos y el mismo número de rectas. Las rectas en este plano son: 11: l. 2, 6; /z: J, 3, S; IJ: 2, 3, 7; /4; 1, 4, 7; 1,: 3, 4, tí; /~: 2, 4, S; 1,: 5, 6, 7.

Ya en este ejemplo más sencillo se revelan Jos posibilidades de intcrprcmr los planos proyectivos finitos. A saber, 11n plano proyectivo finito de orden 2 resulta ser un sistema de ternas de Stcincr de orden 7. Hemos de notar que este sistema es 1111 bloque-esquema con los parámetros u= b = 7, k = r = 3, ). = l. En el caso general los planos de orden n representan bloque-esquemas, cuyos parámetros tienen la forma: u = b = n2 + 11 + 1, k = r = n + J, >i. = 1, es decir, bloque-esquemas incompletos equilibrados simétricos. Viceversa, los bloque-esquemas con tales parámetros son planos

139

proyectivos simétricos finitos, puesto que, evidentemente, se cumplen lodos los axiomas. Establezcamos una conexión útil más entre los planos proyec­ tivos finitos y las familias completas de cuadrados latinos ortogonales.

Teorema S. Sean~ 3 un número entero arbitrario. Un plano proyectivo de orden n existe, cuando y sólo cuando puede construirse una familia com­ pleta de n - l cuadrados latinos ortogonales de orden n.

Demostracián. Sea dacio un plano proyectivo finito 11' de orden n. Veamos en él una recta l. En esta recia se tienen, corno sabemos, 11 + 1 puntos:"" az, ... , an+ ,. Supongamos que bi, bz •... , b •• son los demás 112 puntos del plano 11' que no csrán situados en /. Cada punto a¡ U = 1, 2, ... , n + 1) yace en 11 rectas, sin tener en cuenta ta recta l. Numeremos arbitrariamente con números naturales de 1 hasta 11 todas las n rectas que pasan por el punto a1. Procedamos de este modo para todo j = 1, 2, ... , 11 + l. Supongamos que la recta ii;<tj está numerada con un número natural "'l· Eutouccs. A = Juul. donde i = 1, 2, , 112; j = I, 2 .... , n + l , es una 112 x (n + !)-tabla de elementos l , 2, , n.

Las filas de cualquier (112 x 2)-subtabla elegida de A representan n2 pares de los elementos t, 2 •... , n.~ supo'!emo.~ __ gue au ~ Or¡ y an: = 01.,, donde ir! j; j ?! k, entonces b.a¡ = b,.a¡. y b,a* = b,.a1<. Mas, en este caso la recta lnb; contiene tanto el punto aj, como el a«, es decir, la recta

0b;b,. coincide con la recia t, lo Que contradice nuestra suposición.

Esto quiere decir que In mrurlz A ee la111 es una 112 x (11 + 1)-tabla or­ togonal de fuerza 2, la cual, según Jo demostrado en el capítulo 4, es equivalente al conjunto completo de 11 - 1 cuadrados latinos ortonogales de orden /1,

Demostremos la afirmación inversa. Sea dado un conjunto completo de 11 - l cuadrados latinos ortogonales de orden 11. Pasemos de éste, como to hicimos en el cap. 4, a una labia

A ~ laijl; i = 1, 2, ... , 111; j = 1, 2, .... 11 + l.

A cada una de 112 filas de la tabla A pongamos en correspondencia los puntos .br. b2, ...• b"•, y a las columnas, los puntos a,, ai, , ª". t , Deñnumos la recta /1 como compuesta por los puntos a,, as, , ant 1.

Por todo punto ªi tracemos 11 rectas fu que contienen aquellos puntos b;, donde en laj-ésima columna figura el número i. Se obtiene un plano pro' yectivo finito de orden n, en el cual se tienen n2 + n + J rectas y el mismo número de puntos, con la particularidad de que cada recta contiene exac­ tarncnre n + 1 puntos y cuela punto yace en n + l rectas. Efectivamente. scun fu y l,.1 dos rectas, y, además i ~ i ·. Estas recias son incidentes con 11110 y sólo con un punto u;. Las rectas !;.; y l también son incidentes con 11110 y sólo con un punto. Esto demuestra el requisito 3 en la definición de plano proyectivo, Los cuatro puntos: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2. 2) satisfacen el requisito 3 de la definición de plano proyectivo, lo que quiere decir que·

140

A fm/ o B

º'"·"' J'ig.5.5.

o Fis.S.6.

el plano construido 'lr es realmente un plano proyectivo de orden n. El teorema queda completamente demostrado.

Introducción de las coordenadas. Elijamos en un plano proyectivo 7r

cuatro puntos A, B, O, E en la posición general {véase fig. 5:5). Llamemos haz A a un conjunto de rectas que pasan por el punto a. Pongamos a cada recta del haz A en correspondencia aquella recta del haz B con la que ella se encuentra en la recta OE. Atribuyamos a cada una de las rectas del haz A (a excepción de A B) un símbolo especial (1 y asignemos el mismo símbolo a la recta correspondiente del haz 8. Agreguemos a la recta AO símbolo O y a la recia AE, el símbolo 1 Las rectas 110 y IJC recibirán los mismos símbolos. Oc este modo se define cierto conjunto de símbolos M = 1 O. l, (al).

Supongamos que el punto P no pertenece a la recta AB (fig. 5.5). Por dicho punto pasa una recta de carta haz A y 11, n saber, las rectas AP y BP. Supongamos que a h1 recia AP se le asigna el símbolo a, y a /JI', el símbolo b. Entonces, al punto P le ponemos en correspondencia un par ordenado de símbolos (a, b) de M, que se denominarán coordenadas de este punto. Es fácil ver que la correspondencia entre Jos puntos que no están situados en AB y los pares (a, b) será biunívoca. Además, los puntos dispuestos en OE tendrán iguales ambas coordenadas. Asignemos ahora las coordenadas a los puntos de la recta AB distintos de A. Con este fin unamos el punto Q (véase fig. 5.5) con O y veamos donde la recta QO se cortará con AE. l.a segunda coordenada del punto de intersección se tomará por la coordenada del punto Q.

Observemos que mediante la misma construcción pueden obtenerse coordenadas cartesianas en un plano real habitual. El punto A debe con­ siderarse como punto impropio del eje y. el punto B. como punto impropio del eje x, O se toma por origen de coordenadas y E, como el punto (1, 1).

Definamos sobre el conjunto M, obtenido como resultado de la coordenatización, una operacion ternaria, es decir, a cada terna ordenada de elementos x, m, b de M le ponemos en correspondencia un cierto elemento

141

dispuesto en M. Eslc d.·1111:111<1 y ~o: define a base de los elementos x, 11i; b, como s<:gunc.la coordenada del punto de intersección de la recta x del haz A con la recta (111), (0, b) (fig. 5.6). Es evidente que por medio de este procedimiento y se define de un modo univoco.

Teorema 6. Cualquier forma de prefijar cuatro puntos A, 8, O, E en 1111a posición general determina u na operación ternaria con las siguientes propiedades: ·

l. 0-moc = Cl·Ooc""' O. 2. l-11100=m·i{'0=m. 3. a· 111 o z = C resoluble univocamunre respecto de z , 4. x- 1111 o b, = x- mi o />i resoluble unívocamente respecto de x. 5. El ~1slema

define unívocamente 11u par (m, b). Oemostracián. J\1 elegir cuatro puntos A, B, O. E, de los cuales ninguna

combinación de tres yace en una recta del plano .,.., formamos un anillo ternario con la operación x-rn o b, al igual que Jo hicimos más arriba. Las propiedades 1 y 2 se deducen inmediatamente de la definición. La pro· piedad J significa que una recta que liga los puntos (m) y (o, e) corta OB en un punto bien detenninado (O, z}. m significado de la exigencia 4 consis-: te en que dos rectas: y = x-1111 o bi e y = x·m2 o /Ji con diferentes dircc­ dones 1t11 y 1112 se intcrsccan en el único punto finito. La exigencia 5 dice que si (ai. e,) y (oi, cz) son dos puntos finitos para u, r' a2, entonces existe· una recia ti nica y ~ X· nt o b, que pasa por estos dos puntos.

El conjunto M con la operación ternaria que posee las propiedades 1 ... .'i del teorema 6 lleva el nombre de tema. Si 111111 terna dada está cons­ truida sobre el plano ir según la regla descrita anteriormente, se llamará terna del plano .,.._

Aduzcamos el resultado siguiente sin demostrarlo. Teorema 7. Dada una lema M, puede determinarse con su ayuda un·

plano proyectivo con los puntos (a, e), (m), A, y con las rectas y = x-m o Ji, x =:a, l .. , donde a, b. e, m representan toda clase de elementos de M, micn­ tras que A y l .. son ciertos símbolos auxiliares; la incidencia se define dd modo siguiente: (a, e) es incidente con y = x- m o b, cuando y sólo cuando e = a· 111 o b; (o, e) es incidente con x = a para. todo e; (m) es incidente con y. = x·111 o b para todo b; (m) es incidente con l .. , cualquiera que sel m; A es incidente con x = a para cualesquiera a, y, además, con fw.

Introduzcamos, para el plano dado 1r, las operaciones naturales: adición y multiplicación, que se definen partiendo de una de las ternas de este plano, xcgún las rcgl:is siguiente»:

n 1 b "' a- J o b; nb = O·bOO.

142

El conjunto M con la adición y multiplicación definidas del modo citado recibe el nombre de cuerpo natural del plano 11".

Ha de notarse que un cuerpo natural no define, hablando en general, la terna que lo engendra, y el teorema, análogo al teorema 7, no tiene lugar en este caso.

Así pues, los planos proyectivos finitos admiten diferentes interpreta­ cienes: mediante ternas, bloque-esquemas y familias completas de cuadrados latinos ortogonales. Sin embargo, Ja (corla de los planos finiws todavía está lejos de ser elaborada. Ni siquiera existe la respuesta completa a la pregunta sobre el volumen de los objetos combinatorios de esta clase, como también sobre las condiciones, bajo las cuales Jos planos finitos pueden existir y no existir.

Se conoce que un plano proyectivo finito existe, si su orden n tiene la forma p", donde pes un número primo, y a, un número natural. En efecto. se ha demostrado (véase cap. 4) que sí n = p", n ~ 3, entonces existe una familia completa de n - 1 cuadrados latinos ortogonales. Mientras tanto, la existencia de tal conjunto-es equivalente a la existencia del plano proyec­ tivo finito que se busca.

De los demás resultados señalaremos los siguientes: a) el plano finito no existe, sin"" l, 2 (mod 4) y si la parte de 11, libre del cuadrado, tiene por lo menos un factor p si 3 (111od 4); b) la condición necesaria de existen­ cía de un plano proycctlvo finiw cuyo orden tiene 1;1 forma 11"' 1, 2(nwd 4) consiste en la existencia de los números enteros x y y tales, que n = >.J. + y1 (teorema de Bruck=-Ryscr). No damos aqul las dcmosrra­ clones por ser éstas demasiado complejas. De los resultados citados se desprende, en particular, que los planos paran = 6, 12, 14 están ausentes. La cuestión referente a 11 = 10, 18 y 20, queda por ahora abierta. Para que el lector perciba lo úiffcil del problema, indiquemos, como ejemplo, que la construcción de un plano de orden 10 requiere la construcción de una familia de 9 cuadrados latinos ortogonales dos a dos del mismo orden.

Una dirección importante en el desarrollo de la teoría de los planos proyectivos finitos la representan el cálculo del número de planos de un orden dado y el estudio de sus tipos diferentes. Para el año 1956 quedó demostrado que cuando n < 9 (n = 2, 3, 4, 5, 7, 8) existe el único plano proyectivo de orden n, a Saber. el de Dcsargucs. Tres planos construidos por Vcblen y Wcdderbarn en 1907, junio con el plano de Dcsnrgucs cons­ truido un año antes por Vcbtcn y Bassi son los únicos que hoy día se cono­ cen para el orden 9. No se han obtenido planos nuevos, como tampoco se ha demostrado que ellos no existen en general. En esta dirección se cm· prenden varias investigaciones. Parece que estamos a punto ele terminar la resolución de la cuestión sobre la existencia de los planos proyectivos de orden JO.

143

S.3. SOJIRE LOS GltAFOS

En el lenguaje de la tcuría de los i:rafos se describen con éxito muchos t11>0s de los problemas .. ombin.uorios. 1-,~ representaciones gráficas son cu este 'ª'º no ~i111pk111cn1e ihl\lracimil·~. sino que también permiten obtener nuevos resultados. En este párrafo daremos una información in­ dispensable de la teoría de los grafos que se empica en la obra dada.

Se denomina grafo orientado una terna G = (X. A, .,.,) compuesta de un conjunto no vacío X, cuyos dementas llevan el nombre de vértices de un conjunto A de arcos (llamados también), a veces, flechas y de una fun­ ción rp: A - X x X, la cual a todo arco a E A se le hace corresponder un par ordenado (p, q) de vértices denominadosjinafes de dicho arco. Un arco, cuyos finales (p, p) se encuentran en 1111 mismo vértice, lleva el nombre de lazo. Un grafo privado de tales lazos se llama grafo sin tozo.

En In íig. 5.7. están expuestos cuatro ¡¡rafos orientados: cada uno con cuatro vértices. Todos C}IOS grafos no tienen lazos. Además, son J'1111pl<!S: lo ültuno si¡;11ifica por dclinicióu que cualquier par de vértices p, q se une mediante un arco a lo sumo. f.!11 los grarl), orientados si11~1c.:~ el unico urco (si existe) ~011 las finales. p, q se dcsignurá mcdianrc pq,

Describamos dos familias importantes de los grafo~ orientados simples, cada uno e.le los cuales depende del parámetro 11. Un camino simple de longitud 11 consta den+ 1 vértices: x1, ... , xn .. 1 y 11 arcos que unen los vértices vednos: xex» .• ,. El con forno simple de longiturt n consta de 11 diferentes vértices: xi, .•. , x; y n arcos del tipo x*xk + 1 para k < 11, y, además, x.,.r, (en parucular, un contorno simple de longitud 1 es un lazo con vértice x1). Todos los caminos de longitud 11 son isomorfos, como !o son también iodos los contornos simples de longitud 11 (véase la dctinicióu 111;\~ abajo). IZn la fig. 5.7,11 está expuesto un trayecto simple de longitud J, y en la fig. 5.1,b, un ciclo simple de longitud 4.

Se denomina isomorfismo de los grnfos orienrados G = (X. 11, .,o} y G• =(X'. 11 ~ ~·) a 1111 Jl;1r de luyeccioucs ¡3: X-• X." y j: 11 -• 1\ • tal 1111e en e; ..:1 arco a va llcl ventee p al vénicc 1¡, cuaudo y sólo 1:u.l1ldo en G• el arco j(u) va del vértice {J(p) al vértice {3(1¡). En otras palabras, .p(a) = (p, q) en O es equivalente a la condición 'l'•Uq(o)) = ({J(p), (J(q)) en G". Dos grafos oricnrados se llaman isomorfos, si entre ellos existe un isomorfismo. Es natural identificar los grafos orientados isomorfos.

Todo grafo orientado G ., (X, A, .,.,¡define en el conjunto de sus vértices una relación binaria de sucesiones 11. Por definición, p11q significa que .,o(a) = (p, r¡) para cieno a E A. Viceversa, toda relación binaria a en el conjunto X define un grafo oricnrado sim~ G(Q) = (X. A(Q), Y,), en d que A (a) = ( (p, <J)lp E X, q E X. puq 1 y ,¡,{pq) = (p, q). De aquí se deduce imncdiutameutc que la clase de conjuntes con una relación binaria (.x-, e) se encuentra en 1111:1 coi respoudcucia h1ycctiva na111n1I con la clase ele grafos orientados sunplcs.

1~4

4 3

D 2 J 4

# , 2 /J

2 3 4 J u .. ·v D 4 1 2 ,, ••

Hs.5.7 Fig.5.8.

Se llama ¡;ruj(J 110 uri('11/111/o (o, simplemente, f'rufo) la tcruu e~ (x, E. H) compuesta de 1111 conjunto no vacío X (cuyos elementos llevan el nombre de vértices), el conjunto E de aristas y la función O que a cada arista a E 1:: le pone cu correspondencia un par 1h> ordenado de vért ices (p, q) = (q, p) que se denominan extremos de dicha arista. La arista (p,q) se llama lazo.

Los conceptos, introducidos para los grafos orientados, pueden ser ex­ tendidos a los grafos 110 orientados, si consideramos que una arista no oríenrada (p, q) corresponde a 1111 par de arcos '"' y (iiJ.

Una cadena simple de longitud 11 consta de 11 t- 1 diferentes véruccs x1, ... , x,,+, y de" aristas que unen los vértices vecinos. Un ciclo simple de logirud 11 consta de 11 diferentes vértices: ..\1, ••. , ..\,.y 11 aristas del tipo (Xk, x» .¡)para k < 11, y, adciu;\s, <le 1111a arista(,,,, x,).

UI -grafo orientado (i puede 1<1111bié11 ~011sidc1aJM' como u11 p:u· (; - (X, 1'), formado por el conjunto X y la aplicación rnulrifonne del conjunto X en sí mismo (es decir, por la aplicación de X cu el conjunto P(X) de todos los subconjuntos del conjunto X). Para el grato expuesto en la Iig. 5.8 tenemos: l'(x1) = (x2, x.~ 1; r(x2) = 0. Con 1' - 1 ('")se designará el con­ junto de vértices x» del grato, para los cuales en G existe 1111 ano (Xk, .1¡). Sea x. -= lx1, ... , x,11. Entonces. por l'(X,,) M! cnucnde la uniun l'(x1) U

.. Ur(x,1). La aplicación f(r(x1)) se escribe COIJIO 1'2(x;). Análogamente, una aplicación "t ripie" J '( l '(l'(x1))) se escribe como I' 1 (x1), cte. Por ejemplo, para nuestro grafo uricntudo tenemos

1'2(..\·i) = l'(l'(x1)) = l'((x,, Xz, x1. l) = (.1,, Xz, Xs, x. J. fl(Xo) = )'(fx,, .\i, X~, .1'1,)) = ( \'1, .\"1, ,,, X.1, .1¡¡j,

Un grafo (X', A') se ll;1111a subgrafo del grnf'" (X, A), si ,\'' y .1t' están contenidos en X y A, rcspccrivameutc, Se denomina s11bt;111/o tic es­ q11de10 (grafo parcial) G,, del grafo G = (X, A) al grafo (X, A1,), para el cual AP i;;; A. De este modo, el subgrafo de esqueleto tiene 1;1mhié11 el mismo conjunto de véniccs que. el grafo G, pero el coniunto de arcos del

10 h(tl t 145

sub grafo Gp es un subconjunto del conjunto de .u cos del iirafo inicial. Sea un grafo O = (X, J'). Se llama subgrafo generado <J., at gra fo (X,, !\}, para el cual X, i; X y r, (x;) = r(.\'1) n X, para cada vértice x¡ €X,. Así pues, un subgrafo generado consta de un .5ubc<)11i111110 de vértices X,, de un conjunto de vértices del grafo inicial y de todos aquellos arcos del grafo G, cuyas vértices extrernalcs y originales pertenecen al subconjunto X,. En la fig. 5.9,a,b se exponen un subgrafo generado, 11n subgrafo de esqueleto y un subgrafo, respectivamente, con In par1 icularidnd de que este ,·111 imo no es ni generado ni suhi,\r:tfo de cM111ch:1n del r.1al'u U, c:xprc~:lllo en la fig. 5.8.

Sea G =(X. A) 1111 grafo orientado con un cunjuuro de vértices X y un conjunto de arcos A. Si queremos mcnnsprcviur el carácter orientado de los arcos del conjunto 11, entonces un gra fn 110 orientudo, correspon­ diente a G, se denotará con O = (X. it) y se llamarü sosia (doble) no orien­ tado del grafo G. Un grafo no orientado C se denomina conexo, si cada par de sus vértices puede ser unido con una cadena, Un grafo finito, que no es conexo, puede partirse en un número finito etc subgrafos finitos llamados componen/es. Un grafo no orientado e; se llama completo, si para cada par de sus vértices existe una arisro que los une. Un grafo com­ pleto sobre n vértices suele designarse con K,,. Un grafo no orientado se denomina bipartido. si el conjunto de sus vért Íl'.<'S puede ser partido en tales dos subconjuntos X1 y x~ que cada :irista tcn~a uno de sus extremos en X,, y el otro en X2; aquí X, n X1 ""' ti. 1Jn111111'0 hipartido o = (Xi R X2, A) se llama completo, si para cualesquiera dos vértices \'1 f X, y x; E X2 existe una arista (x1, x1) E A. Si IXd = n, y IX2I = 111, el grafo completo no oricn­ tado G .,, .(X1 U X2, 11) se denota con Kn,m· Un !_!r:tf11 orientado G'sc ll_!ima conexo (bipartido, respectivamente), si lo es su sosia no orientada G.

Se llama grado del vértice en un grafo no orientado al número ele aquellas aristas de cuyo extremo sirve el vértice.

Examinemos un grafo no orientado G =(X, A) sin lazos. Elijamos una arista o= (x. y) E A. Sustituyamos el vértice y en todas las aristas b E .(A -, (al) por el vértice x y denotemos con A ' el conjunto obtenido de aristas. Diremos que el grafo G' = (X' IY 1, A ·) se ha obtenido del grafo o como resultado de contraer Ja arista a a) vértice x, Un grafo G se denomio.a planario, si puede ser dibujado en un plano de un modo tal que dos aristas arbit r arias del grafo no se intcrscqucn. En la rig. 5.10 están expuestos el grafo completo K, y el grafo completo bipartido KJ.l. los cuales, como se sabe, no son planarios. Estos dos grafos tienen gran impar· tancia en la teoría de los grafos planarios y se conocen como grafos de Kuratovski, por cuanto fue él el primero en establecer que un grafo no orientado G no es planario, si y sólo si contiene un subgrafo contraído al grafo K, ó al KJ,J.

Matriz de adyacencia. Sea dado un grafo orientado simple G con los vértices x1, x1, ••• , x •. Se llama matriz de adyacencia de dicho grafo a

146

"·

una 111a11·i1. cuadradn /J ~ l/1,1] de orden 11, donde

f 1, Sl en G existe el arco ( \'1, .9): {O, s1 t'11 G no hay arco (.\1, x,).

A~í pues, la matr iz de udyaccncia <Id grafo cxp11,•510 cu la fi¡:. 5.1!. ricnc la forma siguiente

-\1 .\'z .\\ .\:4 X> X~ .\'1 1 1 o .X~ o o o o o ()

11 - ·'' o o () 1 u l.1 o o 1 o () 1, o o o 1 o ()

xi. o l) o o ()

l.<1 111a11i1 de adya.:cn.:1<1 dell11.: .- .. 111pkla111Cllk la nlr111.:lllra del grafo. Por ejemplo, la suma de iodos los elementos de la fil.1 x, de la matrit /J da el número de arcos que 1ic111:11 el vértice x¡ co1110 -u vértice nr1¡;i11:il, y la suma de elementos de la columna .v, d;1 el número de arcos en los que .\i [rguru corno ven ice final. U conjunto de coh111111<" que tienen 1 en la filn x, es un conjunto l'(x,), y el l'o11j111110 de filas que 111:11cn 1 en la cult111111a x; coincide con el co11Jun11> I' 1(.1·,).

Elevemos al cuadrado la malri1 de adyacencia. •:,•a b!i' un elemento de " la marnz IJ2, entonces. !ll}' "' ¿; /J,1/11,. El s11111;111do l>,jb1k ~~ igual a J,

1~• cuando y sólo cuando .unbo-, números b11 y i>;k son igpaks a 1: de lo con­ rrario, es igual it O. De 1:1 ig11al<lad /1¡, '"" IJ14 se de-prende la cxi,1cnci:i del

1 i~ .. 1 hl

147

camino de longitud 2 del vértice X; al vért ice x1.. pasando por el vértice X¡. Por consiguiente. bll1 en la matri~ ll1 es igual al número de caminos de longitud 2 que van de xi a x •.

Análogamente, el elemento IJ!¡;> de la matriz IJ1' es igual al número de caminos (no forzosamcnre simples) de longitud p que van de X; a x».

La matriz. de adyacencia de un grafo no orientado se construye de un modo anülogo.

Mlllriz de incldeucius. Sen dado 1111 g1 a to 1111<:nlad11 U con tos vértices x1, .\'¿, ..• , .r,, y los arcos 111. oi, . . am. Se ll:11n:i 111;111 ;, de incidencias del iraf11 G a una J11alri1. A :: lo.;I <le d11ncn.,1ú11 11 x 111, cuyas lila~ ni­ rrcspomlcn l\ Jos vértices, y las columnas. :1 los arcos. y

{

1 ~i el vérucc x, ex el 01 igcn dd arco "'; - 1, si el vértice x, es el cxt remo cid arco a,;

"" = O, si el vértice x. no <'S incidente con el arco a;, o si el aren rr¡ no es 1111 1:110.

Por ejemplo, para el grafo que se expone l'fl la l'ig. 5 8 la 111;11ri1 de mcidcncias es de la forma

ll1 02 0.1 (l1 u-; "(· ,,, "• a« ª'" ª'' x, o 1 o 1 o 1 o (l o u 1 \}. o -1 -1 () o t) o () o o x. o () 1 - 1 11 () 1 () o () o

¡\ , ... o o o o 1 ·- 1 () -1 () o o .\'~ o o o o o o -1 o -1 (}

.\() o o o o o o o o () -(

Por cuanto cada arco es incidente con dos diferentes vértices, a excep­ ción del caso en que un arco forma un lazo, cada columna contiene o bien: un solo elemento igual a 1, y un elemento igual a -1, o bien tocios los elementos iguales a O.

Si Ges un grafo no orientado, su matriz de incidencias se dcJennin~· igual que antes, salvo que todos los elementos iguales a - 1 se sustituyen por +l.

Matriz de ciclos (de contornos). Sea G un grafo 110 orientado. Demos a sus aristas los números 111, 112, ... , ª"''y a los ciclos simples, los números c1, '-'i, ... , Cp. Se llama matriz de ciclos del grafo G a una matriz C = lc;JI de dimensión p x 111, donde

[I, si el ciclo simple e, del grafo G contiene la arista a1;

cu "" O, en el caso contrario.

148

D X Pi¡¡,5.11.

Así pues, las filas de una matriz de ciclos corresponden a los ciclos simples, y las columnas, a las aristas.

Si Ges un grafo orientado, numeremos sus arcos con o1 .• a2, ... , o.;,, y los contornos simples, con c1, c2, ... , c1,; la matriz de contornos C = l.cul se determina de un 1110<10 nnálog«:

l. si el contorno ,·, contiene un arco '{t y los mismos cs1:\11 igual­ mente t)I icntados:

·- 1, si el contorno n contiene 1111 arco inverso de a.1; O, en todos los demás casos.

Observucián. La elección de símbolos iguales parn denotar las matrices de los grafos oricuuulo y no oricntudo se debe 11 que tanto los grafos orlen­ tndos, como los no orícurados, poseen iguales propiedades en lo que se refiere a la estructura de estas matrices. Por eso, no hay confusión ninguna al introducir tales símbolos. Además, las propiedades de las mal rices de los grafo.~ oricntndos y los métodos de su dc1110~1radó11 son los mismos que para las matrices de los grafos 110 orientados.

J•:jc·rddn1. C\'.f\:Ít\rc~\· <h.· uue -;011 v-llnJ:u bs li~iicnlt.'S .-fumacic.ulcs. l. 1:11 IUtln j.1,rafo th\ cu 1\'.111,uh1 111uto d numero de vi'rlh:cs de g,l':h.lu '"'f"-'' es par. 2. ~•.:n ,11111.11n.1f1111h.· 111l'itk11n.1N ,11.,. un y.1:1f1J '"' 1lJh..'IU:t1lu ximpk sin bto~. f:o1uu~c~.

l:t 111atriz de ;hlyt•4.'t•1l-t.:t;1 ll st· ohlic11~ di.!,,., 1 r (tlondc Ar es 1111a 111a1ri7. oh1cnid;1 11or 1r;in~nus1· cióJl de: l:i m:uri1 .11) ftor s11~t11111.:¡"n ue todos los elementos: en la. diagonal po1 ceros.

), Un gr"ro G es bip:'1 titlo1 t:u.111<!0 y sóhl cuundo p;1rn rodo nt'1mtro ittl¡>:u 11 lodos los d!.!11tt:11UM tlh1gonaks de l,1 1ua1r1.z lt" son nulos.

-4. ~' lus .:rnfos e;, y G, vou is•.U11t'rtos. los vvlores pnt11io> ,1c l:u 111';aCriccs de ~Jyo.ctnci;} Je estos srnfo$ son i~uaks.

Observacuin. La afirmnclón recfprocn no c s v:\litl;l co el 1·:1so gc1u:r:1I. Por ejemplo, dos grafos cxp11cslo• en 1:. fi¡:. S.11 tienen i¡;.,ales valores propios {~ • ± 2, ll, O, O), sin embargo. evidcmcmenre, ellos 1H1 son i~<HHorfo.s

S. C\.1alqmcr menor de la 111;1111, de l•1cill<ntl.is del ¡;rnfo U es igual " ~ l. - 1, 6 a O. (1, l':.1 1.i111,!o de 1111.t 111.11ri1 ''l' Ílh .. h.kotin.~ ;J di: un gr.'.1(u 1,.·uJtcxo (l;uuo uricnt~u.lo, como

oo uricnta<lo) G con 11 véniC"~S es 11.ual :1 11 - L 7. El rnni~o de: ,ma tHi1fri1 de fi..:his C <IC' un ~r.1f<l conexo G con rn a1i5t,1~ y n vértices

es ig11:1I ;1 "' - 11 -t l. K. Unn lll;lUi'I t.k i11dd~111,·i~' ,1 c.~ f\llogo1MI í'-'"'fl4.!~1o (!,• ta mautz. '-"'~ lran~rucsm a

1:1 1nacri:I tk t.:idos c:» t~htl'llhb \'.CH1 el 111iSllhl nrdi.·u tic 11\llHl.'f:ll'h\n rle l\lS .1rista' que cu la naalrÍI' de 11u:iJ~:nd.1~ A, t:~ decir, ,Ht,:lm de olro modo. 1tc ·1 .. O(olod 2)

Se H<1111a grafo eulcriano a un grafo no orientado que posee la siguiente propiedad: existe un ciclo que pasa exactamente 1111a vez por cada una de las aristas del grafo. El ciclo en la definición de grafo culcriano se denomina culeriano.

149

Teorema 8. Un grafo no orientado finito Ge~ culcrinno cuando )' sólo cuando es conexo y todos los vértice> suyos son de grado par,

Dcmostracián. Es evidente que nuestras condiciones son necesarias, puesto que cada vez que el ciclo culeriano pasa por algún vértice, ha de entrar en él por una arista y salir por la otra.

/\ la inversa, supongamos ahora que G es conexo y 10Jos los vértices suyos son de orden par. Convengamos en considerar un punto arbitrado x del grafo G como origen de la cadena P y prolouguémo sla, cuanto sea posible, todo el tiempo a través de nuevas nrisws. Por cuanto en cada vértice el número de aristas es par, el proceso puede terminar sólo en .r. Si ¡>con tiene no todas las mistas del grafo G, eliminemos de G una parte de P compuesta por las aristas de este ciclo.

Los grafos P y G tienen vértices de grado par; lo mismo ha de ser válido también para el grafo restante />. Por cuanto el gr:ifo O es conexo, en P debe encontrarse un vértice y que sea incidente con las aristas de f>. !\ partir ele y puede construirse una cadena nueva P' que contenga sólo aristas de P. De nuevo tal cadena quedará terminada sólo cuando vuelva a y. Pero en este caso de P y P' podemos hacer un ciclo nuevo

P1 = P(x, Y) U P' U l'(y. _q,

el cual vuelve a x y contiene más aristns que P. Si J', no es 1111 ciclo­ eulcriano, la coust rucción se repite. Finnli·1~1d•.l este proceso, el ciclo culeriano será construido.

Se denomina ciclo lw111i(to11ia110 [contorno tunniltoniuno} a un ciclo simple (contorno simple) que pasa por todos los vértices del grafo. Un grafo­ se llama hamtltoniono, si cont ienc un ciclo h:11nil1011ia110.

En las aplicaciones de los grafos a los juegos los vértices corresponden a posiciones diferentes. /\sí pues, la existencia del ciclo hamiltoniano es equivalente a la de una sucesión cíclica de jugadas que contiene cada posi­ ción una sola vez. De ejemplo sirve el conocido problema del caballo aiedrcctstico: ¿se podrá realizar una jugada con el caballo, comenzando con un escaque arbitrario en el tablero de ajedrez, en una sucesión tal que permita pasar por cada uno de los (>4 escaques y regresar ni escaque de partida. En la fig. 5.12 se muestra una de las soluciones posibles.

56 41 58 35 50 39 60 33 47 44 55 40 59 34 51 38 42 57 46 49 36 53 32 61 45 48 43 54 31 62 37 52 20 5 30 63 22 ti 16 13 29 64 21 4 17 14 25 10 6 19 2 27 8 23 12 15 1 28 7 18 3 26 9 24

En la fig.5.13 se aduce el ejemplo de un grafo eulcriano que no es

150

l'ig S.13.

harniltoniano, y en la fig, 5.14, de un grafo harniltouiano, mas 110 culcriano. Pese a la similitud de las definiciones para los ciclos culcrluno y hamilto­

niano, las teorías correspondientes para estos conceptos tienen poco de común. El criterio de existencia de Jos ciclos euleriunos es simple (véase el teorema 8); para In$ delo~ ha111 i ltonianos 110 se conoce una rl·gla general. Más aún, incluso paru los grafos concretos resulta, a veces, dificil decidir si es posible hallar lal ciclo Algunas condiciones, bajo las cuales en un grafo existe el ciclo ha111il1011i;1110, sin embargo, han sido cncorn radas, y se dan en ciertas obrns referentes a l.i lcrn í¡¡ ele 1.1s grafos. Paru aquctlos que desean Iauuliurizurse cou estos rcsulrudos les i ccorucndamos los libros (Z<I], 125).

Se denomina arbo! 1111 ¡;1.1fo conexo no \ll icutado sin ciclos. Se denomina bosqs«: 1111 ¡;1alu 110 01 ic111:1do cu el que cada componente representa un árbol.

'Icurcmn '), L:i~ siguicnn« nfinuacioucs se cousidcrnu equivalentes: a) 1111 gr.ilo 110 n1 icurado (i es el .i1 h\11; b) cualesquiera dn> vértices en G <''lán 1111iúo~ por una en.lena única: e). un grafo G es conexo. 111.h la s11p1 csióu de , ualquicra <le s11~ aristas

lo hace 111) conexo. d) la a.lic1ón de, 11alq11i.;1 :111\l;i 11111:v.1 ;1l ¡¡ralo 1: cuuducc a que :1pa1c1.·

ca cx.1~1a111c1111; llll udn. La <lc11H.>sli:11;i1\11 tic este l<'111c111a M! 0111i1c poi ser trivial. El siguicute rcsuttuuu sobre los árboles pertenece <1 los 1 rnbajos de

Caylcy que iuvcst igú ,·~111< J!l.IÍ<h en 1daci1'111 con la< í6rm11l;is cs rrucnu atcs quimicav,

T~oH·ma JO. El núuicru de d1lc1cntt:' úr liolcs que pueden ser c ousrruidos sobre 11 vértices dados es igual a 11" ~.

Demostracidn. Numeremos lodos los ver rice- de un arbol T con números naturales de 1 a 11. üc~ig11c111ns con b, 1111 vértice pcudicutc (es decir, 1111 vértice de ¡;1~1d11 I) ~011 un 11l1111c1<1 mlnnno, y con l, = (b, a1),

la corrcspondicnr« :lll'W pendiente. Al suprimir en T'la arlsm /1 y el vértice /J¡, obtendremos \111 11\ICVO árbol T,. 1 lallcmos para T, un vértice pendiente con 1111 número 111i11i11m; de\i¡p1é111l"l11 c1111 bs, y la arista corrcxpondicutc, vou 11 = (/Jz, 11i}. Es1;1 reducción ~e repite husta que 110 quede, tras la climiuacióu de In arista/,, . 2 = (/J,, - 2, a,,. 2), la ú1io~a arista/,,_, ee, (ú,, _ 1, a., : il que une los dos vértices rcsuuucs, Entonces. la siguiente colección entre pnréutcsis

'"" 111, •.•• a,, - ~)

151

llammla código de Prufer, 'e del 111c u nivuc.uucutc por el inbl>I I', y a do\ ürbolc~ distintos T y T' les cor responden, cvidcutctncntc, diferentes códigos de. Prufer,

Adcnuis, los códrgos de Prufcr dc Imen lo.; :01 ll\lkS T con ayuda de 11n:1 construcción inversa. Si cstú dado el código, cutonccs se hall:i el primer vértice b1 no contenido en él. Esto dcl'iuc la ;11 ¡,ta t, = (IJ,. "' ). Luego, ehmiunmos los vértices ll1 del có1ligt> y !>,, tic la sucesión 1, 2, ... , 11, y continuamos la construcción para lo~ muncro s H:,tantcs. El ¡;r.1fo, obtenido como resultado de esta couxuuccióu scr;'1 1111 :'11h<>l, 111 que 1111t•r.lc <1.:1 csrahlnido, por ejemplo, cou :1y11da i lc la i111l11tl'iú11. l)c.,pués de ct1111i11ar (11, l'I código contendrá 11 - '.I ní1111e1<•'· Si é'I<" ,.,,, rcspoudcn :ol .irblll 'F«, entonces el grafo T. obtenido de T1 por adici\ln de l;i arisra /1 = (/>o. ao), es también un árbol. puesto que el véu ice ,,, 111> pertenece :1 7',. Así pues, se ha establecido que entre los córhgos de 1'1111\:r y los arboles hay una correspondencia biunívocn. Mas, en el cóclig1' de Pru fcr cada elemento puede asumir cualquiera <le 11 valores posibles. 'Iodos ellos corresponden a difcrcmcs arboles. En total pueden haber 11" ~ códigos de Prufcr, de lo que precisamente se deduce uucstru teorema.

!:;i Ges un grnfo no orientado con 1111 co11j1111to de véruccs X, IXI = 11, entonces, se llamara árbo! de esqurtcto (o, vunplcmcute. esqueleto) del grafo G a todo suburafo de esqueleto del 11.r:1rn D que sea un árbol. L~~ .u istns 1lcl grafo, peo rcnccicmes al evquclcr». lkv:111 d 11t1111hrc de rauuts y !oda~ l:i~ demás <lriq¡1~. se dcuouuu.ut cuenla«.

1 lay situaciones cuandn "Hl(C la 11t•..:c,id;1d de confcccronnr 1111.1 ll\la 1.ornplc1a de los esqueleto~ del g1;tlo U (prn cicmplo, en el caso cuando hay uuc elegir el "111C'jor" :i1 bol, 1111c11t1:i:. que el,., itcrio que permite rcaliznr tal clcccióu es muy nm1plcJo, :"i que la rcsoluclón inmediata del problema de opr iuiización resulta ser ejecutable). l~n ot ras ,;t uncionce, por ejemplo <11 hallar las funciones de trnnvfcrcncin de un si,1t•111:1 o al calcular los deu-r- 111ina1111·s de cier ras urru rict'' en la teoría uracrocconómica, podernos, con ayuda de todos los esqueletos del grafo corrcvpondicutc, conseguir la simplificación de los proccdimicutos de cálculo.

El 11ú111cro de diferentes esqueletos de un grafo marcado conexo 110 orientado completo sobre 11 vértices nos da el teorema 10. Las fórmulas para el número de esqueletos en los grafos müs generales pueden encon­ trarse en el libro (l<l].

He aquí uno de los rcsuluulos. 'Ieorema 11. Sen G 1111 grato no unc111<1do son lazos sobre 11 vér rices,

y sea 11u su mat riz de incidencias con una fila climi nndn (es decir, una matriz con n - 1 filas independientes). S11po11g¡111w~ que A;', es una matriz transpuesta respecto de In matriz Ao. Entouccs, el dctcrruinuutc del produc­ to A0A/, es igual al número de diferentes esqueletos del grafo G, un doble (sosia) no orientado de O.

La demostración de este teorema se aduce en el libro [78). Los algorit-

152

mos que generan lodos los árboles de esqueleto del grafo están deralladarucnrc analizados en [24).

Todos los árboles ele esqueleto del grafo expuesto en la fig. 5.15 (hay en total 21 árboles) se aducen en la fig. 5.16. La matriz de inciden­ cias del grafo tiene en este caso por exprc - sión.

,, ( "; a: "' ª' a«

o o o ·:'°l -1 o 1 1

A= XJ 0 -1 -l o o X. o () o -1 o Xs 0 o o o -l

);¡~ ~ 1 \,

a« "~) o o () o .

-1 1 o -1

Aquf considerarnos que cada arista está orientada de su vértice final de índice mínimo al vértice de indice máxuuo.

Eliminando, por ejemplo, la fila .\'1, obtenemos la matriz. Ao. El produc­ to de las matrices AoAT. tiene en este caso la forma

( - ~ o ()

-1 o J -- 1

-1 3 (1 -l -D·

Dl determinante del producto es igual a 21. Por consiguiente, en la fíg. 5.1 li se da la lisia completa ele los esqueletos del grafo G, expuesto en l:i fig. 5.15.

Muchos esqueletos obtenidos son, evidcntcmciuc, isomorfos y surge Ja cuestión sobre el número que (J¡¡y c111 re ellos 110 isumorfos. E~!c es un pro­ blema m:\s complejo. sin embargo es muy importnurc para 11111chns aplica-

~~(1C~~~S né~N:SJú~ S:rlCjN~LJ

írg$1(,

153

cioucs. Es por eso que existe una lltcrnuua espaciosa también para las cucs­ tienes análogas relacionadas con In enumeración de tocios los grafos de 1 ipo~ parcíalcs. La mayoría de estas obras se apoya en la teoría de Hc<.lri<:ld-l'(ilya (véase § 25).

Se llama árbol orientado con rnÍL xo a 1111 grafo orientado conexo, en el que cid vértice xo a cada otro vértice conduce un camino y, aciemas, único.

Sea O un grafo no orientado con 11 vértices. m aristas y p componentes C<lllCX<IS. El uúmero Q(G) :: 11 - J) se denomina coctclomático: El numero 1·(G) = m - (!{Ci) ~ 111 - 11 ·I p se denomina ciclonuitico.

En la rcoria tic los circuitos cléctrlcos los números Q(G) y 1•(0) 11cnc11 1111 significado Iisico directo. i\.~i. por ejemplo, el número ciclornático e' iguotl al número máxuno de contornos independientes en el ¡;rafo del cir­ cuito cléctr ico. es decir, al número máximo tic corrientes circulares indcpcn­ dientes que pueden fluir en el circuuo. l~l número cociclomático es igual :il número máximo ríe difercncras de porcucial independientes entre los nllltm del clrcuito eléctrico.

Fjnc1no~ C), l>c11~"· i.:jtiuplvs de: .11'l>oh:~ l>ri .. :111.1dv~ ton r:1í1.;cs. Hl. l)~uw.::..tn.:r.c lJUC 1.·I núnu.:o.> d ... hm1;'111to tk 111' ;ht1ul es, itual u O. l 1. lh:111m.•sc•cs1.· •tu\.' \:mi~• ;lrh1.ll e:-. 1111 ~'·"º hip;ulltk,.

Sc.1 T 1111 esqueleto del grafo G, 1211 el caso general, v(C) ciclos que ~C obrieucn por adidón de cualquie: cuerda de 0 a las ramas tic 7', llevan d nombre de cictos Jí111cla111e11tC1le.~.

Cabe 1101;1r que aunque el número ele ciclos Iundamcruaícs es igual t1 1•(Gl, C\lO~ propios delos cstún definidos 111~1ltifor1111:111c111c y dependen de) e't\uelcto Tclcgido originalmcmc. Dicho de otro modo, el ciclo Iundamcn­ tal {11:,pcclv del esqueleto '/)e• 11111.ido obtenido por adicióu de una cuerda :ti cxquclctu T. Por ejemplo, p.uu 1111 ¡,:1;lfo G y pa·ra su esqueleto T, 1cprcse111ado~ en la l'ig. 5.1?, los crclo- fundamentales scran:

•)•, "' (a,, C11ol; •1•2 ~ la2. 011., a,.,); •h = (u¡, 011, 01), 012, awl; •!•., = ( 11.,, «.«, 1111 1: •l•, = 1 lll, 1111 l: •I•¡; "' (u., 01), flu, a1• l:

•h :: la,, r11·•, a,,j; •!•,-~to~. 1111. c/1sl: •l•·1 = (11°1. u,1\.

Si una familia de todos los ciclos fundamentales la designamos con •l• (en nuestro ejemplo <!> = [ •1•,, ...• •1•, 1 ), entonces cualquier otro ciclo del grafo que no pertenece a •1• puede ser expresado en forma ele una combina­ c:ic'111 lineal de ciclos pcrtcnccicutcs :1 •\•, <icmprc que convenimos en lo "iguicntc.

Supongamos que cada ciclo Iundumcntal •!•;: 1 = 1, 2 .... , 1·(0), cst;i representado por 1111 vector m-dimcn,ion~I c11 el que laj-c~inrn compoucmc es igual u 1 o :i O, lo que depende de si pertenece o no la j-é~ima nrisra nt ciclo dado. f:.nl(lll~C~, iodo ciclo e del grafo G puede representarse cOl110 'l11m1 respecto del módulo 2 ele los ciclos Iundamcutalcs. /\sí por ejemplo, el cicto e, = 1 "J· 1111, u,.,, a6. ai. "1 J Je nuestro grafo puede ser represen- 1atlo en la forma

l~4

x,

} ... ~k· ." ., .to

<' .. ,,(

x, ., '· x,

..------·.·

Cabe notar que la inversión de la af1r111adón mencionada no es válida, a saber, cierta suma respecto del módulo 2 de los ciclos Iundamcnmlcs 110 da obligatoriamente el único-clclo, pero puede representar du.s y m:h ciclo'. Por ejemplo, la suma •!>). .¡ •h + •Jo,, + •1•1 (rnod 2) currcspondc a dos ciclo' simples ( 11i, flJ, <11 r, <t1 i l y {u •. 111. "'d. Así pues, parn generar todos 'º' ciclos Simples del grafo G no C~ menester tomar todas las 2•·(c;¡ - 1 com­ binaciones de los ciclos Iuudarncntale« y .~11111ari;1s respecto del módulo 2: algunas de estas sumas U<> scráu, de hecho, ciclns. Más :i\111, si la suma dada no genera un ciclo, no se pueden rcchaznr 01 ras s111n<1.s q uc la con­ tienen, puesto que, sumando respecto del módulo 2 con otra w111;1, podemos obtener un ciclo simple.

Subrayemos también que en el grafo e podernos cucoutrar 1111 conjunto de v(G) ciclos simples independientes, que no pueden obtenerse por aclil:ión de las aristas al árbol, como lo hacíamos antes. De tal conjunto no se debe decir que es fundamental. En la fig. 5.18 se muestra el conjunto de ,,(G) = 4 ciclos simples independientes del grafo G, que no puede obtenerse por adi­ ción de las aristas a ningún esqueleto del grafo G y el c'll<li, por esta ru/ón. no es un conjunto Jundamcnral.

Se denomina corte del grnfo 1111 conjunto mínimo de aristas cuya eliminación aumenta el número de componentes del grafo,

El corte fundamental (respecto del csqnclc­ lo 7) es aquél que contiene exactamente una arista del esqueleto T. De este modo, en 1111 gia­ fo conexo pueden distinguirse ,, - 1 corles fundamentales.

C = •1•1 +<!>¡+•h.+ •h(mod 2) =

Í1ooouoouo100000J- 001000000111 /(JO -~ l 000001000000111 (mod 2). 000000010001001

:fo10·010Too1ooio

.... :~~ r 't' .~ 11.

1)5

121 teorema que xiguc nnh abujo establece 1111<1 relación entre los eones r undruucnt alcs y tos ciclos fuudnmcrualcs. proporclonaudo et método de con~I ruccion ele los cortcv í1111damc111alcs.

'li:orc111:1 12. Si Tes el esqueleto di: \111 gr.110 no orientado G, el corle Iuudamema! definido por la r ama a, ele T csrá formado por a, y aquellas cuerdas de G, las cuales, siendo adicionndas a 7', proporcionan ciclos fun­ damctu alcs que couticncn a,

Demostración. Si ctimiuamos ta .ir istu (1, del esqueleto T. este último se descompone en dos suh:i1 boles: T, y fi. Cualquier arista, uno tic cuyos vértices extremos yace en Ti. y el otro, en Ti, debe pertenecer al corte Iun­ d.uncntal, puesto que la adición de cualquiera de tales aristas a las aristas de T1 y T: co11d111:c a la tormacio» del otro esqueleto del grafo (1, y, por consiguiente. cualquier c;o11j1111to privauo de tale\ arht:1s 110 ~cr;\ 1111 cune. L'I conjunto de estas urisras junto con la ar istu a¡ es un corte, puesto que su ctimiuaclúu divide el gnifo en dos subgrafos. uno de los cuales tiene como conjunto tic sus vcrt iccs T1, y el otro, T¡, Esto quiere decir que este corte es [uud arucru ul. Mi\s aún, por cuanto la arista u, es la única poi la que pasan las cndcnas del esqueleto T. que tienen por origen Jos vértices de To y rcr miua en los vértices de T2 t.is únicas nrisrus que cierran los ciclos Iuudumcntalcs con la arista a¡ iucluida, scrnn aquellas, uno ele cuyos v._>r­ tices extremos yace en Ti. y el otro en 1;. Oc esta forma queda demostrado el teorema.

Sea T 1111 esqueleto del grafo 110 orientado G. Se denomina 11111triz e/(' /u.< cictos f1111clu111<'11111les •I• a una ~ub111a1111. de la rnatr iz de los ciclos C. cuyas filas corresponden a los ciclos sunplcs, definidos por las cuerdas que cvtúu unidas con el esqueleto dudo T. Dicloo de otro modo, si 7' es uu cxqucleto, entonces se llamar:º1 11i;uri·1 de IC1s delo; tunduurcutulcs cid gralu U a la 111;11ri1 •I• ~- ¡.,.,,,¡, o.:01111H11:~ta dl' ••(G) l'ilns y 111 columnas, en la c11;1I

[ 1, si la ar isru a, pertenece ni ciclo fundarncnml •I•,;

.P•J = O, en el cuso couu arlo.

Si numeramos las cuerdas del gr;ifo Gen una forma sucesiva desde 1 hasta µ(G), y las rumas, de (v(G) + 1) a m, entonces In matriz de los ciclos f1111- damcutalcs tendrá por expresión

•l• = IEl•l•11!. donde Ces una mut r iz unidad de· orden 1•(G), y •1•11, una mat riz ele dlmcn. ,¡ó11 1• x (m - 1•). Esto se explica por el hecho ele que cada delo •h co111 ienc una y SL .. -lo una cuerda y los ciclos sicnuuc pueden ser numerados según el número de cuerdas, a convccucnciu de lo cual todas hu unidades en la primera ("X v}-s11b1n:urb: de la nuu riz •I• se hall;in en la diagonal.

La matriz: de los cortes fundtunenmhss K = lk.¡j se define como 111atrÍ7. con 11 - .¡ filas y 111 columnas, donde

/.. f 1, si la aristn a, pertenece al corte fundamental k,; 11 = to. en el caso conrr.mo.

15<>

P:1r:I la flll<lll:I numeración dl' l." :lrl,l,I\ que en l.r 111:1lfl/ <fe lno; t idi\\ Iun­ d:tlllClll:lfc~ ·I•, la 111;i1ri1 1\ 1t ndrá por t'l\l\l'<'St.'111

J.:~JK .. !ll.

l'llC.:~to que en este caso rndn ,011c í1111<1.1111c111al ricuc 1111:1 )'<,-.f., 1111:1 rama de T

Admuruuos que el gr:ilo G ~· 'º c<quclcro T c<1,111 rcp1c<l'nt:1clo~ cu 1.1 rrg. 5.19. Entonces 1;, man rz Je lo.' ..:1.-fo, Iuudamcurnlcs <'~ 1g11.tl .1

"' el) ,,, a, '" . .,,, (/• 11. 11•1 (/10 "'' ,,, .. "'' <t•, o o o ¡) o " o o o ()

'l'z o 1 u o ¡l o u (1 o n ,.\, () 1) 11 11 f) (1 (l o (1 (1 .. ,. () 1) (1 1 " 1 1 1 () 1 n 11 tl•\ () () o () 1 1 (l o (l 11 o

V l.1 111 ll (1/ ck los corre-, l1111d.1111c111.1k< A n igu.ll ,1

,,, 11: (J' ,,, a« ,,,, a» "• ,,., llio "'' t11: (11 1

J.1 () 11 11 1 1 () (1 () (l o o o ki () () o 1 o o o o () o ()

"' 1 (1 o 1 1 o (1 1 () () o () o k; 1 1 o (1 o o o (1 1 o () () o }., o 1 11 1 o l) () o o 1 () o o kA (.) o o o o o () () o 1 o o k, o o o o o o () o (J (J o k. () o (1 n (l 1) o (] o IJ

clundc 'º' t:CH (CS /.;¡, <.'lll tC\)1<'11<licnll'\ •• l;t\ ,\fl\la~ del l'\llllCkto, l ICllCll ''"

números p({i) 'l 1 " 5 ~ I; 1 • 1, 1, , .. , !!.

Existen varias correlaciones uucrcsarucs entre las mar rices de lo< ..:iclu< fundarncntnlcs y ele 1<>5 cortcv f1111d.1111c111,ilc\ y las incidcncius <le I•>~ ¡;r;1ro, 110 ortcnrados sin lazos.

Tcorc111:1 13. La maui> de 111c1clc11~i.1\ Ao (con un.i f'íla supnnudrü )' la marriz u anspucsta de los ciclos funclamcntalcs •1•1 son orrogooalcs, e\ decir, AocJ•T •O (mod 2).

157

lt·on•Jtta 1-1. 1 « ma1111 de l•)'i e .. .:1,,~ f1111clnmcntulc5 <l• v la mamz 11:111,pl1i:,r:i de lo~ torce~ t1111d:11n,·11tall·t K' s<111 ortogonales. es decir, •I• A."' "" O (11llld 2).

1 os tt'<"·,·111a.~ D y 1·1 ~\lll consecuencia de dos hechos cvide11tcs· IJ c.ul.r vórtice c11 un ciclo es ux idcutc .1111Íl111cro par ele aristas de este

viclo. y en el caso de 11n .:1dc> 'l:nplc, a <los aristas; :!'l cada <:011c· dé un ciclo. rnducrdo por cierto corte. nene un 11i'1111cro

p.1r de ari~ta~. c,1m1111c, ..:i.>11 d1dl<J ,·0r11:. U teorema IJ "e deduce dd hcchu 1), y el J4, del hecho .2.), si recordamos

(J11<: tnd.1' las op.:r;u;i,1111:, si: cvt udian ,·,111 relación al 1110Julo 2. ~n ¡,, uuc se ict icrv al t~n1 t'111.1 1'1, pudc111os c>.~rihi1

<l•·A'' ·-- IL!·l·,~1r/'ll - A[,~ <J•u ,_o (111(><12).

Pnr eso. A' f, ~ - <I• 11 = •I• 12 (1110.t 2). l~n ''' 1:1s palabras, In matriz de los nirtt·•, lundumcut.rlcs puede '><:• 0))1c111da 1:11 cuanto se ,·01101.ca f¡1 matnz dt' lú\ l'lcl<)' J'1111d.1111<.:llf,1(c,, )' viceversa.

Fj11.'f<"ld0.'1. t'c:r~im\.'SC tk 1;, l',111\kt .te las .\lflll(lllL'S ¡\fiOll<llh.lflt' 1"!. Uu:1 ~11lunaer11. i;u:11..tr.1da de ilu11~'U\l\)11 ,,, n X ltj - I) de '·' 111a1r11 ,Je tll('ldL·0<.1;u

1 tl1 ''" ~r..1f1~ \'l•H\'~•· v ~ f\:fl•l.o, '' L1" (•'•h•11111." 1k l 1 s11h111:ur11 11.11.Hl.1 l'Ot1C1.p<Huk·u ,l l.1~ 1-tlll,•l\ 1h,: t.11,'.I 111 ;id'•\•J

l.l \11(t•'H!'-:tOh•~ ,plL' f,t ut.1U'I/ th: Lldt~:O. (' d\.' 1111 J:l.tÍO conexo nene el f:ll\ .. ~1\ 11 •• ltl l l. !'1u \lll•11i.i111.r. t.,11,1\lt.itl,, 11tic111·11, 11 11 m 1 1 t,,":, rc,.~ul.1r ~11and,1 y s1.,lo '-'••at1do 1.,:- '°<i1,1l11m1Ms .i e l:J :.11h11'ª'"' \'.11:-01 .• ~Pfl\'ll')lllh,11 1f \llllJUlll(I •k '-11Chk" 11.:\flL'l,'.(\l de \.ltrh .. 'l 111ht'I ·k rx­ q11,·l\h• "" ~:1:1(11 d;u.111,

1 J Un,1 \ttl•111atrn• 1c¡;ul;tr de ,11111\0 .... «ru ,,, - n X (n ' 1) tk l;i HWflt~ tk uu;uh:•h.1.1'.li '''''1.:'Jl•Uhll.' l11u111..,·11,·;1111,·11l1i.' ,, "'·"" C'\•111._•ldn,, d\l r•.tÍt\

t~. lh1.1 111.Hf'll 1q;ul.11 tll l1111t\ll"''"º l" tn 1 n >- (n - m 1 11 \h la 111.1lt1.1 ''"t..·''""':\ ( · l(tr11.~p1J11•.h: h111nh\1,,:,1nu.•nh: ti '"' \'•llfll'h:lll\'llh•:\ •k lt1s \'S\111cl1.:l<l\ lid t;.nh.\

1t• ":--l 1,1., ,·vltuun~H de la~ 111;1\l'u:•: .... 1111, '" }' A 1., .. t~M:1ib111h,H v;1ho:m.to11ns. de un n11s11m 1•nko 11..,• ,1n .. 1.t\ ...:oh rd.u:1011 ,, t..u:rlo ,,,,,,.,1 'll' cvquclcto. rcs¡X'1.:U• dd ._tJ.tl c:,;1an lvrt\F,•.loc. '''-' \,•\l1t.'' )' f 1111(' fllll\l¡111tCltl.ltL,, ), +I '-''flllllll,1-.H.•fl, ~~ ... rt:pn.:Sllll,Hlltl\ l'TI Í(Ull'-t ele ..t,, ~ 1.,l,•11 l. lhu.tk ~·In es lltM 11tJC111 ltl.td1.1t1' h.'S,t1l.H' d\! ur1.kn 11 ~~ l. •J• - lll•h1i) /\ ; IJ. 1111'), CllfOllt'C.\

Con esto hemos de ;1,·abar con la introducción a la tcor iu de los grafos. E\l:l IC{'' rn ha ac11mul;ido 1111 cr11¡1111c matcrral tic hechos reales, /\ la expost­ cíón de c~1a teoría están dcdic.1do~ roda una serie de hbros. Alguno~ de ellos y,1 il•111 sid<> mcm:1onailo\ en el 1e.xto. Sin embargo, dcbcmo~ mracr !,1 ,11cn.:11l11 di:! lector•• la obr;r [79J (prob.1hlcmc111<: la 1ínk:i de su ¡;enero) -">l>rc el ungen y tlc~.11 rollo d,· la lc'\Jl'i,1 de los !;\1'1 fos.

CAPÍTULO 6 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LOS fi~ORLEMAS EXTREMALES

6.1. PLANTEAMIENTO DE 1..0S PltOBl.EMAS COMBINATORIOS F.XTnF.MAl.ES Y /\CCF.SOS A SU HESOLUCIÓN

Según lo dicho en el cnpÍlulo 1, existen (res tipm de problemas •·0111- bi11:11orio~: en unos se resuelve la cucvnón de cxistcuciu •> 11<1 clli~ccrn.:ia de las soluciones; en otros se c.ilculn el número de soluciones del problcmn; por l'in, en los terceros de una coleccrou de rodas las soluciones si elige aquella que posee cierto propiedad cu 1111 grado máximo o mínimo. Los problemas de este último lipo se denominan prccisumcntc cxtrcmnlcv,

Demos a conocer unos cuantos ejemplos de problemas combinruonr», extrcrnales.

1. Prublcma de nombruuucuros. Se 1 icncn 11 plai.as vacam es y el mismo número de candidatos para ocuparlas. El nombramicruo del i-C:simo can­ didato a la j-~sima plnn lleva consigo el pago del salarlo e,,: 1, j .. 1, 2, ••• , 11. Para cada candidato puede ser astgnadn sólo una piafa, y cada plaza puede ser ocupada sólo por un candidato. 1!11 orrns palabrux. no 'c.: admiren el ejercer un cargo ~111111lr;í11c.1111c111c con nll<> y el fraccicuumicuru de los cargos. El problcm» cousisrc en ltcvar a cab« lo~ nombraruicuto« de un modo lal que la economía de los fondos de sala1 io \CH múxiuiu, e~ decir. en encontrar

• - 1

donde¡, es el cargo que obucnc el r-ésinro candidato, y ()1, Ji •... , ¡,.)es una sustitución correspondiente a los uombramicruos: i _, j,. Si i111t·1- prctarnos cu como rendimiento, el problema consistirá c11 la búsqueda del máximo y no del mínimo. Los problemas de nombramientos tienen muchas formas diferentes en función de las condiciones. Por ejemplo, para ejecutar 11 operaciones independientes están elegidos m obreros; se da una mulri7 !tul. donde ru es el tiempo que gasta el i-ésimo obrero para realiznr la )·ésima operación. La magnitud, cuyo mínimo se busca. es el tiempo de realización de lodo el trabajo:

F e nuix ~1; F, =- L.; fu. ¡ j0<1

donde R1 es el coojunro de operaciones ejecutadas por el i-ésimo obrero. En un caso particular, puede prefijarse el número de opcracioucs n, para

el 1-ésimo obrero: ~ n, • n. Cuando n, e 1 (i = 1, 2, ... , 11; 11 = m), ob- 1

tenemos el problema de nombramientos con el criterio de míni-rnáx. Por ultimo, demos a conocer tal formulación del problema de nombramientos

159

cuando se torna en consideración el tiempo que gasta un obrero para pasar de una operación a la otra. Sean dadas 11 operaciones y m obreros. Se hacen las matrices: T = jr;;(, donde 11¡ es el tiempo durante el cual el i-ésim9· obrero cumple la J-ésirna operación, y L "' llljl. donde {¡¡ es el tiempo que gasta cualquier obrero para pasar de la i-ésima operación a la j-ésirna. Se requiere distribuir las operaciones entre los obreros y de tal manera con­ siderar el tiempo de paso. que el tiempo de ejecución de todo el complejo de operaciones sea mínimo.

2. Problema de 1111 viajante ue comercio. Un viajante de comercio nene que visitar varias ciudades. Ha de elegir la rula mas corta para que empezando a viajar desde su ciudad, pueda visitar otras ciudades una sola vez y regresar, Las distancias entre las ciudades calculadas de dos en dos vienen dadas en l'nrma de una m;ll 1Ü. C "" lcul. i. j = J, 2, ... , n, donde 11 es el número de ciudades.

J. l'robkma de una 111od1ila. Se tienen 11 objetos cuyos pesos son <11, az .... , a,., y el valor S1, si, . , s,., respectivamente. Se pide llenar la mochila, capaz. de contener 1111 peso no superior a R, con un surtido de objetos que posea 1111 valor máximo.

Construyamos 1111 vector X= (x,; x2, ... , x.,), donde x¡ = 1, si el r-ésimo objeto debe colocarse en la mochila, y X; = O; en el caso contrario: i =- I, 2 •... , n, El problema se formulará como problema de búsqueda de

" máx ~ ,\,X, ja 1

(del wh)1 máximo <k lo' objeto- colocados) a condición de que

" L.; r,a, ~~ u. _ t•'

4. Miuimizadún del tiempo ele ejecución de un juego de operaciones. Supongamos que se pide ejecutar 11 operaciones. A cada operación se le hace corresponder un vértice del grafo O, donde está trazado un arco desde el vértice 1 hacia el j, si la opcrucróu i precede, según las condiciones rec­ notógícus, a la operación ). Todas las operaciones están divididas en 111 clases, con la particularidad de que en un momento dado puede ejecutarse sólo una operación· de cada clase. Se conoce el tiempo de ejecución de las operaciones (I¡ para la j-ésin1a operación). Se requiere determinar el ordea <k cjccucióu de todns lns upcracioncs que asegure la realización del trabajo en el tiempo mínimo T. Por cjcmpln, sea una red (esquema) de 6 opera­ cienes: A1, A1, Ah A, ~011 upcracroncs de primera clase y 81, /Ji, de segun· da; el 1 iempo de ejecución de cada operación viene indicado dentro de los cuadrados en la f'ig. 6.1. Sca11 u, y lh sucesiones de ejecución de las opera­ ciones para cada clase, respectivamente. Por ejemplo, para R1 = (2, l , 3, 4); u; = (2, 1) obtendremos: T = 36. Es evidente que el número de com­ binaciones admisibles depende considerablemente <le la estructura de Ja red.

160

11 J\

:~-=[J 1 1

' ' '1

A n

,,,.,.,

S. Mi11i111i~ació11 ch·I tic111p11 medro de mccani~:ul•• lle un lote 1'1c piezas. Se: analiza un grafo or icmado G con los v.:·r1i1·,·, l. 2 •... , n, donde el vcrucc 1 correvpondc ,,J 1-~'""º upo clc la' p1••/,1' .1 11t'dquim11. Pac"d cada arco (1. j) viene dada "' longu ud !,_1, la cu.rl xc 1111,·1 prcta como período entre el 111ec<111WHl0 de 1:1\ p1c1 .• 1~ del 1-é.~11110 t ipu y el mecanizado tic las pic7A1\ ctcl ¡-ésimo t ipo 1 ·,1 sucesión di: vé11 ices i,. 1:. . . , h, t, , 1, donde '' , 1 ~ " dcf111c: l·I ctdo dd 111.:-c.1111¿.1cfl1 Se puíc min1111i1ar el ticmno medio de este proceso

r: 1 ... - k ' b'·'·'"" J 1

C' 1k111, h.111:11 l•11 el ¡t1.il11 011cntatl11(icl•·1111w1nn1111c tcuga 1111:. longitud 111c:d1:1 1111111111:1.

6. Mini111i1.:1d•ín ele la 11:1ra1l:1 1h· 111111 linea de 11tcnll:1jc. Sup11ngan1os que 11 opcrncinucs se ck•llH111 ,·11 11n 11,111sportaclor ti.: 111 twmo,, l'ar~I que el 1ran•p111 iad111 ve 11111..:,.,, •e1n111111,1rnc:11tc, el 1k111¡w 1k trabajo del operario 110 debe sobrepasar la duracion <lcl ciclo. /ul111it:1111os que en el r-ésuno 1ra1110 se rcutizan un co111n111n ck ••1w1m:iu11c~ te.. En1<•11tc~. el ricmpo ucrivo cu el 1-c~in10 Iranio es t , ~ ~~ 11,) la parada (iutcrr upcióu) en el es rgual a

¡lll.

d, = C ¿; r,, el onde <·e~ l,1 d111 a non 101¡11 del l'll 11> ele operac1m11·s. 1.a 1<,,,

maguitu« '11n1a1 ia de 1.1 p.11ad.1 d ~ L; d, dd1c hacvrvc rnruima J cuenta .. ' ele !;1 divu 1hu~ió11 de la' 111"-·1.11:1111117, por trnmov, l\dcn1:h. pueden pla111c:rr"• la" t uc\lÍ<•m v: .1) ~,1hrc d 111í1111110 ,¡. duración di:I ciclo ( · - 111;1i.. I; p:ua 1111 1111111'"-' d.1d11 111 di: lta111os: h) "'hre el 111í11i1110 del número 111 para una lo11g1111d dada ckl ciclo. E11 1., fig. 6.2 vienen in­ rroducidav 9 operacrouc-, (cn11c 1>.11.:·11rc~is 'e mdica el 11l1111cro de 11111dad<'s de t 1c111po que se requieren par.1 la ejecución de la 111ll'r:1ció11 coi rr,pon-

11 '"'' t' 161

diente) y 3 tramos:

R = (/~,. R2, /?,)=(J. 2, J; 4, 5. <1; 7, 8. 9).

tenemos F', = 21; Fz = 16, !~, ~ 1,1,

C = m:ix F; = 21, r"" ¿:; 1, = 51. ;

El tiempo toral de pamd:i e' <1 .,. 2..: d, = me - r ~ l 21 12.

7. Pruhlemu de rccubrhnicruu. l ({lllc;,c, p;tr:t u11 g1:ilü 110 orientado ciado O, el recubrimiento 111i11imo, es decir, 1111 surt rclo 111ini1110 de ;1ri~tu' tal que cualquier vértice resulte ser iuciclcutc a cierta ari,1a pcrtcnccreurc :il surtido mencionado. Formalicemos el plnntcamicnro de este problema. Numeremos los vértices del grafo con los número» 1, 2, ... , m, y las a1 istus, con los números l , 2, ... , 11. Sea la¡¡I la matrrz ele incidencias del grafo G. Unamos con las aristas las variables XJ U = l, 2, . . , n) ralcs que x, = 1, si la arista j integra el recubrimiento; x; = O, e11 el caso contrario. Lll problcm~ de hallar el recubrimiento mínimo es equivalente a In búsqueda del min 2.; x,

j ~.

con rcqucrimtcnros ndicionalc-: .. L:;av·'i~ I; 1- 1, 2, .. , 111.

Jo l

La forma general de u11 pr oblcm.r coiubtuatono ex l remal e~ la ~i¡:uienrc. Si llene un zr-conjunto de elementos, 1:11 el que se da un C<)nj111110 (finito, por regla general) ele combinaciones

J> = ('1f1, K2, , .• , .-,).

Por combinaciones 'lt'1, 11"2, ••• , "''pueden entenderse las perrnutacroncs, combinaciones, diferentes sucesiones, ere. En el conjunto />se define una función F. Se necesita hallar el extremo de F (el máximo o el mínimo), o bien los elementos del conjunto P que aseguran dicho extremo.

La propia formulación de los problemas combinatorios extremalcs predetermina la elección de las operaciones que se aplican parn su resolu­ ción. En primer lugar, hay que disponer de un conjunto, de valores de la función F y saber sclcccionarlns de un modo adecuado. Fn segundo lugar es necesario desarrollar el método de comparar c~1<1s valores y distinguir entre ellos el valor máximo o mínimo.

La primera operación de la selección raras veces, prácticamente, resulta ser realizable, puesto que el número de roda clase de combinaciones posibles puede ser demasiado grande. Efectivamente, en el primer ejemplo el número de todas las combinaciones es igual a 11!, en el segundo a

162

(11 - l)!, en el tercer ejemplo a 2", en el cuarto a (11 l)'", en el quinto a • b (;) (k - l), cte.

k 11:1

No es más fácil la operación de comparación. en el caso general es difícil juzgar, sin realizar cálculos inmcdinros, si licue lugar F(?r,) > F(?r¡). o, viceversa, F(1n) ~ F( irJ), Además, la propia determinación del valor de In (uncióu F{7f;) representa . corno regla, un problema que no es nada fácil.

Las dificultades relacionadas con la elección de las variantes y la com­ paracrón de los valores son considerables. Precisamente ellas constituían un obstáculo para el progreso de esta parre del nnrilisis combinatorio, a pesar tic ~11 act ualulact evidente. Solamente con la introducción (hace 30 años) en la práctica matemáricn de los ordenadores se hizo posible la resolu­ ción de toda una serie de problemas extrcmales.

El esquema general que caructei il'.a In conexión de los problemas com­ binatorjos cxtrcmalcs con lo' snctodos de prognun.rción l111c:1I puede ser representado aproximadamcutc as]: los elementos 11'; se Interpretan como puntos de un espacio euclídeo para que la función de "especial" F se haga una forma lineal. Se examina el problema de cncont rar el extremo de esta función en la cápsula convexo de l(>' puntos dados (e~ decir, en 1111 poliedro convexo). En erecto, el extremo de una forma lineal en 1111 poliedro se con· sigue en uno de los vértices ()11~' integran el conjunto de los elementos en consideración. Micntra« tauro, el problema de hallar el extremo de una for­ ma lineal es prccisamcruc un problema de programación lineal. ta peculiaridad de los problemas combinnrorios, al realizarse tnl esquema, cousrsrc .:.11 que en cí pr1>n:~o de büsqucdn de la sohu i6n hcmo« de limitar­ nos a lo~ puntos c11y:1~ coordenadas son números enteros.

Movucmos con ejemplos cómo se plantean los problcmns ele programa­ ción para los problemas combinatorios extrernalcs. La solución del pro­ blema de nombramicruos (ejemplo 1) representa una pcrrnutación (p1, p2,

... , p,,) de los números 1, 2, .... 11, obtenida como resultado de los nom­ brarnicutos tlel tipo i ~ 111: 1 = l. 2 .... , 11. El objetivo consiste en

" encontrar ruin L.:; e,,., en el conjunto finito de las pcrrnutacioncs men- '' 1 cionada s. Cada pcruuuacióu puede interpretarse como 1111 punto c11 despacio

euclídeo n1 -dimensional; t·11 este caso ésta puede rcprcvcuiarsc con mayor co­ modidad en forma de 1111:1 (11 x 11)-111a11iLX =- l\·;_¡f.dondc:;x!f ~ l,sidi-é,\imo candidato c~t.i designado p¡u-ci ocupar el 1-ésin111 cargo, y XiJ = O, en el caso contrario. Su.,1ir11ya111os esta condición por la otra: x,J ;;~ O, para que no se impida la aplicación de la programación Los requerimientos referentes a la inadmisltuhdact de ejercer un cargo simultáneamente con otro y al fraccionamiento tic los cargos se escribirán como conrlicroucs:

l6J ti•

. ¿_: XJ1 = l ; 1 - \. 2, .... 11~

i » 1 . ~ \,1 = I; J - l. 2, . . 11;

1~ 1

Los gastos sumarios, cuyo mínimo se busca, ve cscribuun asl, . . 2; ~ (º,,.\,,.

1 1 1 1

En el problcm.. de un 'i.1j.111h: (l'Jemplo 2> "' huvc», uHtlll ,,1be111u,, . 111i11 ¿; ¿; e,,,.,

'-O I (1

bajo l:o~ condiciones de que

L: ,1.11 "" 1; J - 1, :?, ., 11; ' - 1

(de cada ciudad el viaj~nll: se v.1 solo una vez).

¿;,.,,,,J,t-=1.2. 11; ,., (en cada ciudad el viajnurc llcgn una sola v1:1) y

11¡ - 111 1 11\,1 1; 11 - l. 1. / - l. 2. • 11: 1 ,i! J.

La últ i111,1 condiclún cst1\ inl mdm.1d,1 cun el l 111 de ;"c1~111 ;H la 11n11:1d:td del ciclo en el camino del viaj.mre, liftctivan1<'1llc.:, ~¡ ci.i,11cra 11n:1 solucióu que contenga dos o m:\s ciclos, se cucoutrari« 1111 subciclo 'con J.. evtaboncs c:I cual 110 pase por el punto tic parl 111<1. La '"m.11:1011 de I;" illlm111~ condi­ clones para r llevar ia 11 1111a contradicción:

11k • (11 - l)I..

En la ultima conthcrón no se han dctcrminndo 111 y 111• Pueden hntlarse para cualquier ciclo que t icnc por orlgcu el p1111do de partida. Si el punto i se vivira en la p-ésima etapa del recorrido (JJ = I, 2, ...• 11). entonces pongamos 11; a p. Para todos lo~ 1 )' J de nqul se deduce que 11; - 111 ~ 11 - l. la última condición se cumple para cuulesqurcrn x(, = O. En cambio, si xu = 1, las citadas condiciones se escriben .:<11110 igualdades:

11¡ - 11) + 11· \'¡¡ = I! - t» -t 1) 1 11 -r " - l.

El problema <le rccubnuucuto (<:Jt:mplo 7) ya cst.\ lm muludu di: 1nl modo que permite nlanrcar el problema correspondiente de la programa· ción lineal. Su planteamiento más general cousistc en hallar, para un con· junto l mito dado S = tsi. Si, ... , ~n) y cierta totalidad [mita de $US sub· conjuntos S; U .. l. 2, ...• m). un recubrimiento mínimo del conjunto S, es decir, un juego mínimo de subconjuntos s,. en el cual todo elemento s ES pertenezca por lo menos a uno de los subconjuntos.

164

Para este problema general se aplica un acceso análogo: se hace una marnz de incidencias iuvf. en la cual a,1 = 1, sis, E SJ. y "U= O, en el caso contrario, Hallemos X;J que son iguales a uno, si S1 integra el recubrimiento, y a O, si no Jo integra. Por consiguiente, resulta aplicable al problema I~ programación lineal.

Para Ja resolución de los problemas combinatonus extrcmalcs han sido elaborados diferentes métodos de cálculo. Los m~\ perspectivos de ellos han formado una rama aparte <lr la programación combinatoria (véase [801). La idea general de dichos métodos consiste en la sustitución de la selección completa de todas la~ variantes por las selecciones parciales de menor volumen. Para poder rcali/ur tal idea se hallan ciertos subconjuntos que a crcncia cict ta 11u cuut icncu el extremo buscado, estrechando el dominio de las vanantcs posibles. En esta ocasión los métodos resultan ser los más diversos y se definen por la estructura de los conjuntos finitos corrcspoudicrues. fvl;i~ abajo se describen varios métodos ampliamcutc 11s11do~ hoy día.

6.2. MJi:TOL>O OE HAMIFICACIONES Y IU.:~TJUCCIONESl>

De acuerdo con <'SI<' método, el CO!IJ11nto de luda~ las combinavioncs admisibles Q se parle en ~11b.:011j1111tos Q,, Q¿, .... Q.,. Cada 11110 de los últimos se parre, a continuación, en subconjuntos Q11. Q.2. .. Q; .• 2 (i"" 1, 2, ... , s1), etc, h;i-t:i ouc sc obtengan combinaciones separadas. Este proceso de ran1ifica.-ió11 1<.•\ttl1:1 cómodo expresarlo en forma de u11 árbol. ~n 1.:.1d.1 ~uh1:011j1111w (!,, .•. , , t, ~e define una 1'1111dón de 1•rcfcrc11cia ~(Q,.,,,, .. , ,.). Comenzando por el vcrticc Q. el proceso se rcalizu una etapa a otra, eligiéndose cada vez un subconjuuro que tenga el valor mínnno <le la errada función (o el valor máximo, si lo exigen las condiciones del problema). El ú1 bol obtenido ser;\ uu árbol de soluciones.

El problema consiste en la elección acertada de h1 función de preferencia para que se pueda obteuci 1111.t buena solución. J\ veces, la elección de un subconjunto se realiza al axar: en este caso 1:1 probabilidad de que se elija un conjunto dado es tanto mayor cuánto menor es el valor de 'u función de preferencia (Iuncioncs randomizadus ele prcfcrcnciu).

El problema principal en este método consiste en elegir el procedimiento de determinación de l.1 frontera inferior (o superior). No es siempre f¡kil obtener el valor l)a,1;1ntl' exacto de ella, pero, conseguido este valor. el 11t'1111c:ro de ramas que s,· ex.uninun en el árbol de solucioucs se reduce en el caso gcueral. r.:~10 se elche a que, si el valor de b frontera interior para tal o cual subconjunto es xupcr ioi o igual (c11 el caso <le muunuzacróu;

u Se conoce 1amh1C11 Lt'lllt> 1néhl•lu de p:uuciot1!.'S f'Hl)f:H'"''ª~ y estimacíoues, método de r.on;u. )' f1onh:1.\c;

165

inferior o igual, cu el caso conunno] al valor de la función minimizada de una de las soluciones ya obtenidas, cnrouccs, la rama correspondiente del árbol de soluciones se excluye del amilisi,.

S.:<1 Q un conjunto de rodas las soluciones admisibles de cierto pro­ blema: Q = 1 q1, tn. ... , q.,); en el conjunto tic dichas soluciones está dada una función/. Se pide hallar un suhco11Ju1110 Q. e Q, en el cual la función f alcance su mínimo (o su máximo),

Supongamos que conocemos cicrtu rrn111cra inlcr ior h., para l:i fuuclón f en el conjunto Q. Ad111f1;1~c 411..: por tuvdro de un proccdinucuto se ha logrado partir Q en un coniunro /l y nn l"<>lllpkmt·nw de c'(c A, y udcuuis, precisar, después, las fronteras inferiores de f en los conjuntos A y ~¡-, las cuales son iguales :1 b, y bí. respectivamente, con la panicularidad ele que 111 ~ /J1;; bí ~ b0• Supongamos ahora que con ayuda etc 011os procedurucn­ tos logramos partir Q en dos parles: 8 y 8; C y e; .... Examinemos los conjuntos A() IJ; A() o: A n IJ; ii n D y las fronteras inferiores prccísadas de f en dichos conjuntos /J>., bi. hí' y /Ji. rcspcctivarncurc. En este caso, además,

l>i 3 /J, ~ bu; /Ji~ ltí ;::. l>o; bí ~ b, ~ bu; /J['",?. JJ: ) l)u.

Así pues, podemos construu 1111 arbol oricm:«to con la 1:1í1. (.) (h1s6rbol) [Iig. 6. 1), con la 11:irticularidad ck que 1H1 hay ncccsidud tic hacerlo hns1:1 el fin. Supong:11110' que hemos construido 1111.1 p.mc del árbol pauicndo el conjunto Q en crcrtos ~uhc·o11J111110., y c11t·o111ramo~ la• tronicras 111· fcriores para (OS vértices Ctll'ICW()lldic1llcs a lo' subconjuntos citados. EkgiuHl' de iodos los vértices peudivmcs aquel que 1i.:11e una Iroutcrn 111í111111a, y, a continuación, partiendo l1J>'I subconjuntos correspondientes, obtenemos dos vértices nuevos, t·11 los cuales precisamos las froutcras in· fcrlorcs de la función f.

Enunciemos Ja siguiente afirmacrón scnctlla: en cualquier etapa Ja unión de los subconjuntos, correspondientes a los vértices pendientes, da todo el Q. Por eso, si obtcueuros, como resultado del proceso dacio, un vértice compuesto por un solo conjunto ( (11 J, y si In frontera inferior de la función f en el citado vértice es menor que en los restantes vértices pendientes en­ tonces f toma en q, su valor mínimo. El proceso se da por terminado.

Con auycla de le>' razonnmicutos am\logo• se puede describir el algor ir­ mo para hallar la solución máxima, si ésta existe,

Desgraciadamente, el método en consideración no da una respuesta constructiva al problema planteado. En cada problema concreto hny que idear algoritmos de partición del conjunto Q y los mejores procedimientos para precisar las fronteras inferiores b en los vértices pendientes,

Veamos cómo se aplica el método al problema del viajante. En el lenguaje de la teoría de los grafos en este problema se trata de la búsqueda de Jos contornos harniltonianos óptimos.

166

l 1~ ,, 1

Sin embargo, no codos lov grafos conticneu el contorno de Humilton. Por consiguieute, antes de proceder a buscar el contorno hnrniuonlano óp­ rimo. hemos de tratar, por lo menos, de establecer si tal contorno existe en el grafo dado. Por otra parte, existen grafos que disponen do: una gran cantidad de contornos hnmrltoníanos, lo que hace imposible la selección completa incluso en los ordenadores. Por ejemplo, para un grafo completo en 11 vérriccs existen (11 - I)! diferentes contor nos hamiltonianos. 13n 1963 Uule encontré un método cstr icto de oprlmizaclón pura los problemas del tipo dado con gran 11111111.:ro de co1110111os harniltcmianos.

Sea dado un grnfo oricnrndo G = (X. U). donde JXJ = n, y a iodo arco (.\·;, s,) f U le C$IÜ a~ignado d valor Cu "' c(.\i, .\,). Vamos a sunouer que cuatcsquicru ,.,, ;;¡. O S1 e~ q11<' el arco (X;, x,) ~U. entonces <·,, = eo ,

El ulgorluuo p;ira c11co111 nu el c11111cir110 ha1111Uoniu110 mínimo con­ vist ii¡í en lu "º"'' ruccióu \le 1111 hi~;i1 lH>I \\cscrilo cu .:1 método de rnmi rica­ cíoncs y resrriccíoucs.

A) Q (la raíl. del bisñrbol) es el co11ju1110 de todos los contornos harnilto­ nianos. La frontera inferior tic E, es, obviamente, un cero, pero cncon­ tratemos la rromcra mayor en el proceso de búsqueda de los conjuntos

167

A y Á del bisárbol. Procedamos de la manera siguiente. En cada fila de la matriz lcvl enconi ramos el elemento 111ini11w y lo restamos de todos los elementos de dicha fila. Si en l;i ma1ri1. obtenida hay columnas que no tienen elementos nulos, cnconrrnmos en cada t11H1 de ellas el elemento mínimo y lo restamos ele lodos los dc111r111os de 1:1 columna. De resultas, tendremos una mal 1 iz nueva lc/,I en la <¡11e en cndu fila y en cada columna se contiene por lo menos nn solo cero.

B) Sumemos todns los ctcmcnto-, que hl'lll•>' su-rrnldo e11 A). l.n suma de ellos /J será prcvisamcrue la Irontcrn interior para Q. Efccuvarucnte, tomemos un contm no arbitrario t., en el cual la suma de los vnlurcx de los arcos es igual « t. En el p1111tn A), :1l transformar la matri¿ l<'ul en lcijl. hemos xustraido ciertos números de lodo~ lu~ elementos de las filas co­ rrespondientes y ele ciertas columnas. Con ello. cada ver de la magnitud I estos números se restaban también y, al fin y al cabo, la longitud del contorno L en la matriz l(·(;I es 1a111bic11 no ucguriva. Por consiguiente, I ';!: b.

C) Pasemos a la construcción <le los vértices del bisárbol del siguiente· nivel. Sea "~ = O. Definamos vu corno suma del demento mínimo de la i-ésinrn fila y del elemento mínimo lle la ;-i.'si111ii cohunna (excluyendo q1 que es igual a cero) y hallemos

O ~ )·A1 - m:í ~ .,,,, . .. ,.·,, .. Vc:1111os ln propiedad ¡1,,: "1·1 <.:·0111<H111> "" cout u-uc el 111n1 (\'i, 1·,)" que

se aplicará a los arcos con e], = O. Si 1111 contorno hamiltouiano no i.:011t lene el arto ( r,. x;}. entonces

obligatorinrucntc empleará ciertos dos arcos (.1¡, .v.): x rt I- y (x;, x1}, r ~ i. D} Demostremos que bí = b + "Y•I es la frontera interior parad conjun­

to de contornos que sal isfuccn la propiedad /lkl· En efecto, anuliccruos un contorno harniltoniuno arbitrario L1 privado del arco (Xk, X1). Entonces, realizada Ja transformación A), la longitud de este contorno en la matriz renovada será no inferior a cero. Con eso queda construido el vértice del bisárbol E1<1 con la frontera inferior b ' "" /J + O.

E) Construimos el vértice Ek1 que se define por la propiedad P1<1: "el contorno emplea el arco (Xk, .o)", Suprimimos de la matriz la k·ésima fila y Ja /.é.~ima columna, sustituyéndolas por eo :

A) o bien el valor lle ct«, si el contorno no cmplcuba hasta este momento los arcos que entran en el vértice Xk y salen del vért ice x,, puesto que In conc­ xión del arco (x1, X.t) con los arcos del contorno ya elegidos conduce a la aparición de un contorno no hamiltoniano: b) o bien el valor de cl,«, si el contorno contiene, además del arco (Xk, x1), todos los arcos de cierto camino simple del vértice x,,, al vértice Xk, puesto que la adición úel arco (x1, Xm) a los arcos del contorno ya elegidos también conduce a la aparición de un contorno no hamiltoniano: e) o bien el valor de e/,~. si el contorno contiene, además del arco (xk. x1), todos los arcos 'del camino simple que

168

¡·,~ (.,.1.

llevan del vértice x, al vértice s», puesto que la conexión del arco (x11, .rk) con los arcos del contorno ya clcgido« conduce a In aparición de un contor­ no no hamihoniano,

F} Actuamos igual que c11 1\) con la matriz obtenida como resultado de·E).

G) Actuamos igual que en B) con la matriz obtenida como resultado de: F). Al agregar la suma obtenida :1 Ja frontera para el vértice antecedente (en el primer caso, para Q). obtenemos l:i frontera para rl vért ice de E!).

11} Si, como resultado de I'), se obtiene una 111a1ri:r de orden 1, el pro­ l'CSO se da por rcrruiuado. S1 no, l"'·'•1111os " 1).

I) Entre loclui; los vé1 L Íc't'' ncudicntcs del his:\rh!ll y:r c<•Lt~I ruido elegimos un vértice <le frontl'1<l minimn.

J) Si el vértice elegido en 1) t'(HTC.~po11<1í;1 c11 el proceso de construcción a la propiedad ¡>;¡, pasamos a C'}. Si no. pasamos a I<).

K} Supongamos que el vértice elegido correspondía en la coustrucción a la propiedad p;¡. Sustituimos el valor en la célula (i, j) de la mat riz CO· rrespondiente por eo, En Ja i-ési111a fi1:11 igual que en la j-ésima columna, encontramos un elemento minimo y lo restamos de iodos los elementos de dicha fila (columna). Pasamos luego a C).

Examinemos ahora un ejemplo numérico que muestra cómo se aplica el algoritmo ele Liulc a la búsqueda del contorno hamiltoniano mínimo de un grafo. Sea G un grafo con 5 vérüccs x,, .\'2, x1, X1. X$, y a cada arco de este grafo (x1, x¡) se le asigna 1111 número e;¡: i, j ... 1, 2, ... , 5. Estos valores están escritos en forma de una matriz de valores en la fig. 6.4.

Construyamos un bis:\rhol, dcscr ito por el 111é111do de nuuificncioncs y restricciones, para este ejemplo nnméríco.

A) De los elementos contenidos en las filas x1, x2, xi. X4, xs sustraemos respectivamente sus elementos mínimos 2, 3, 1, 2, 4; además, de la columna xs sustraemos 1 (véase fig. 6.6 a).

B) Calculamos la suma 2 + J + 1 ·I· 2 + 4 + 1 = 13. De este modo, para el vértice Q (el conjunto ele tocios los contornos ham iltonianos) obtenemos una frontera: b = n.

·'·

v •

] :1 2 l

;¡ OC• / a I

7 ,.... I

-- --· --· - 7

I 1; ,, ,,

16!1

16

C), Pasamos al examen de todos los elementos nulos de la matriz: "((X1, X2) = 2; "{(Xi. X.) = 2; )'(X2, X¡) "' 3; "{(XJ, X1) = 2;

")'(X4, x,) = O; "((1~. X$) "" J; ")'(.Ys, ~'J) = 2.

Por consiguiente, O = -y(.n. x,) .. 3. O) Expresarnos el vértice (??1 del bisúrbcl con la írontcra inferior igual

a 13 + 3 = 16. C) E~prcsamus d vértice Q¡¡ dcfiuido por la propiedad "el contorno

contiene el arco (X¡, x1)". Suprimimos la segunda fila y la primera columna. En la célula (1, 2) colocamos eo (véase fig. 6.6 b).

F) Al principio sustraemos 2 de todos los elementos de la fila XJ. y después, de la primera columna sust raemos 2 (véase fig. 6.6 e).

170

>, ., .. .<, ., ~ •, 1) Q ,, ., (1 4 :J 3

«, o li eo 2 !)

-- -- --- -- -- .. , J (1

x, •, .. 00 ' o 4

7 00 o J

3 o 00 ()

< o o 7 .., ~.

2 o 2 00

., A' ~. B .. 6

()

r--...---.,--·-' " ...

n

o

o 4

(J

U) 1 a suma de los clcrncnros •11~tr;1ido~ de las fil:1< y col1111111a~ c11 I'). es igual a 4. Por consiguiente, pani 1:1 vértice Q1, 1e11.:111os una fn>nlcra 17 (:;JJ + 4).

H) Se ha o bien ido aquí la nuu ri/ de orden ·l. 1'.1<:01110.~ :1 la siguínllt· operación 1).

1) El vértice pendiente con el v.1101 111ini1110 igu;1f '' lú e' Q!o. 1) El vértice Qi, se ha obrcuido con ayuda de Ja pmpocd:id ¡Í!,. !'asarnos

a K). K) En la célula (.>.:, x,) ele la mut r iz expuesta en la fig. 6.6 11 dicponemos

eo , Obtenemos una matriz que 'e muestra en la fii;. 6.7 o. /\ continuación sustraemos 3 de todos los elementos de 1;, íil:i xi. vénnsc en In Iig. 6 7 b los resultados.

C) Para la marriz expuesta en la fig. (>.7 Ir calcutamos: y(X¡, X2) == 2, )'(X1 • .\:;) = 0, )'(.r¿, ;r..,) = 0, -y(.\'¿, X~)= 0, )'(Xl, x1) = 5, y(.1:1, .tl) ·"· O, 1·(x,,, X~) = O, )(\',, .r1) ~ 2.

Obtenemos t) = f'(.\'°J, x1) "' 5.

O) Construimos el vér: ice Cb, n (?,,, al que corresponde la frontera 16 + 5 = 21;

E) Construirnos el vértice (?~, () Ql•· Suprimimos l.:1 fila .\'J y la columna x,. En Ja célula (x1, XJ) de la 1n:uri1 expuesta en Ja fig. (>. 7 b colocamos eo , Véase el resultado en la l'ig. 6.7 e.

17 J

e. .. - e , eo ,. (/ n ,,

' 0 J .1 ,

e ¡, e l

---· -- - '• :J 1) ,, ,,

,1 o } ., L--- -- -

•. . , . . x,

"" o 1 ¡) • "" .,, 1 o o

o 6 .... 7 5

J 5 o eo o

3 l o '} OC)

., .. .,

o .. o 4

'" ' o o

s I] ,., o

J ,, '} .., ...._

•,

F) Tc>d,l\ las filas y todas 111\ u1lu11111a~ de Ja matriz en la frg. G.7 e llllllJC!ICll ~Clll~.

( i) Pt•I ~011~1s11k111c, p.11a el "'111.:c º" n º" 1:1 l10111c1a es 1¡;11:11 .1 1(1. 11) S.: ha obtenido lu 111,111 i/ de onteu 4 l\1sa111m a 1). IJ El vértlce pcndicnre de valor mínimo igual a 16 es 01nQJ1 . .1) El vcrj icc QL1 n Q11 se l1;i obtenido con ayuda de la propiedad fJ11.

l':t\'11110, .1 <.:¡. C') Calculamos -r para rodos los elementos nulos de la matriz. expuesta

en l.1 ti~. (> 7 e: y(.\1, A'2) = 2; y(1·1, \:1) •O; -,(.\'z, X.1) =O;

1(\:, .(<)·=O: 1\ \:1, '1) =O; ')'(X.i. X5) = O; ')'(Xs, XJ) = 2: IJ = -, ( \ 1 •• \2) = 2.

U) Construimos el ven ice Q:r () Q11 n Q11 cuya frontera es IS (=16 + 2)

I~) Co11'1rni11H>~ el v.:111..:..: (h,nQ,.nQ12. Suprimimos la fila"' y In coluruua .\:de la 1na1ri1 1.:\p11c.,1.1 en la li¡;. 6.7 c. Obtenemos 1111u nw1r11 que se 11111c~1ra en la fii;. lí X 11. En la c<'lula (2, 3) colocamos el signo eo ,

F) l!n cada fila y en cada columna de In matriz expuesta en la rig. 6.8 ti se coiu icnen Cl'TOS.

G) La Irontcra inferior para el vérrice Q21 n Q" n Q11 es igual a 26. 11) Se ha obtenido 1111.1 matriJ de (11·<1c11 3. Pasamos a 1).

172

s , x , lt . . ' •..

rn~ ·-8 •. o n '·tIJ ~.. co t) ,... o .. 'O

.,~~ ~ /¡

F1¡;.f>.R.

1) r~1 vértice pcudrcnt e de ""'"' uuuim« l(i e~ (_!,,nQ.,nQ,¡,. J) El vértice Qio n {111 n QOJ 'C ltil obtcnulo con ayuda de Ja propit·dad

pn. Por eso, pasamo» ;1 C'). C) Calculamos y para ll).(,,\ lm elementos nulo-; ele la mall'it cu Ia

í1g. 6.8 a: -y(X2, -"•) = 2: "((.\"2, .vc) "' O; )'(X,, .\'•) = O;

·r(X2, .\s.l ... O; y(X< • .\',1) "' 2; {·l ~ ')'(.\"~, x.) = 2.

D) Construimos el vértice Qz, n ()¡, Íl Q12 () Q2.1, cuya frontera .~crú 1irn:ol a J8 (~16 + 2).

E) Construimos el vórtice Q?1 n Q11 n Qo2 Qi.1. S11pri1111111os 1:1 i'ila .Y: y la columna x; de la mntri> en la fi¡~. 6.ll a; en l:i célula (4, 3) colocamos oo . Obtenemos una m:uri1. que xc 111m~lra en la fi¡;. 6.8 /J.

F) En Ja 111:11 riz de la fil!. 6.li uda l 1 l;1 y 1·;1da c•>lu11111a l'1H1I íenc <'<'1tl< G) La frontera ''ª"'' el vcrt icc º" ílQ,, nQ02nQ11 \Cr;\ í~~loal a 1(, 11) 'Icncmos una 111<11nz tic n1ckn 2, por eso pasamos a 1). 1) El vértice pendiente de valor 111íui1110 1(, es Qi1nQ11nQ,,nQ;.1 . .J) Este vértice se ha obrcu«lo con ayuda de la propiedad ¡1~,. l':isamo\

a C). C') Calcularnos 1' p;1ra tus elementos 111110~ ele (,1 111.111i1 en la l1g. (,.s lr:

¡.(X;,.\'\)= co; ')'(\'1, X•)·~ o:.; () ""- ')'\X;, .\1) = CO,

D) Construirnos el vórtice Q~, n Q11 n Q12 n Qu. l.a frontera para el t''­ igual a oo ,

E) Construimos el vértice Q21 nQ.1,nQ12ÍlQ¡.,()Q". Supruuuuos l,1 nta x4 y la columun X<. Ohlc11c:1111l\ una 111a1ri1 qnc; 'e 111ucs1ra ,·11 l.1 ri¡:. 6.8 c.

F) Es obvio q111.: en li1 nuur iz obtenida no se requiere 11i111:.u11:1 sustracción.

G) La frontera inferior para el vérucc en E) es igual a 16 +O~ 16. H) Tenemos la matriz de orden 1 con frrnucra míuunu entre todos lo-,

vértices pendientes. Al agregar el arco (.\'s, XJ), obtenemos el contorno hamiltoniano buscado de valor 16: (xi. x1, x2, ,1:,, .\'<). La solución hallada se representa en las figs. 6.9 (1 y 6.9 /J.

171

«, '· x,

s , -- -·-

"" 0 J ; 7

3 ., 7 0 / ,_ 8 1 8 3 7

'-----

~ 7 2 eo 0 t' - 6 0 a .:C•

--

x,

ú

Et algorit mo obreuuto pernnt u) hutlar la sotucion del µrof1/(!111<1

plontcarto: Sin rmbargo, 1111edl!11 en~11r otros contornos de Homitton con el 111is1110 valor. Es10 resulta de que la cleccián de los vértices en algunos cosos no era 1111(11oca.

lle aqu: wr crempto 111(f~ que ilustra la aplicacuin del algoritmo de Ltttle par« la lnisqucdo <'11 1111 grafo de 5 vcrticcs det c·o111or110 homiltoniana 111{11i1110, si la matrir de valores estd representada en la ns. 6.10 a. Cons­ ' 1 uyamos el bisárbot.

1\) De los elementos co111c111do.~ en las filas x,, x2, .XJ, x_., xs sustraemos respectivamente sus elementos mínimos: 3, O, 5, 3, 16, y, ;1 continuación, de In mau i1; 01.>1c11ida (vense fig. 6 IO b) restarnos de las columnas \°1, x2. \¡ l. 2, 1, rcspccuv.uncnrc (véase f1g. 6.10 e').

13) Calculumo-, la suma 3 + O+ 5 ·I· 3 ·t 16 + 1 + 2 1- 1 "' JJ. Por consiguiente, para el vértice Q obtenemos la frontera inferior: b = 31.

C) Pas:1mo~ al examen de todos los elementos nulos de Ja matriz: )'(Xi. Xs) = 17; ..,{x2. X5) = 1; 1(X;, .\'1) = I)¡ )'{X.t, Xs) = 16; -y(.\º\, .\'1) = 7; )'{X~. x:) = IJ; -y(Xs, XJ) = 16; 'Y(Xs, X.) = l.

Asi pues, E) = -y(Xt, xs) = 17.

,, ---~- t

ee 26 43 IJ o 7 ee 16 1 o

20 13 "" 35 o -- 21 15 25 00 o o o o o "'

r ,

<O ,11 47 20 J 8 "' 17 1 o

26 20 00 40 5 .....__ ,__ - - - 25 21 29 ce J 17 18 17 16 00

X

., ~----··- ~-- . eo 28 44 17 o

8 <O 17 1 o . 21 '·'> "' 35 o 22 111 26 "" o

1 ? , o "'

..

., x , .. «,

,., ¡;

1·;¡¡.r •. 1n

174

1)) E~prcsa111os el vért icc Q,< del lm.írbnl cuyn l'ro111cr.1 itlfcrior c.~ i¡;u;il .. 31 + 17 = 48.

E) Expresamos el vértice (?,. que se define por 1;1 propiedad ''" "el contorno hamilroniauo contiene el arco (Xr, x~)". Supruuunos en la 111:itr11. expuesta en la Iig. 6. 10 e- la pr ituct a fila y la quiuta columna, y en la cclulu (5, 1) ponemos eo (véase fig. (> 12 11).

F) Sustraigamos de tocio~ los elementos de las t'ilas xi. x,, x.1 <le l.t millri7 obtenida, 1, 3. 16, respccnvamcnrc. y Juego, <le la primera columna sustraigamos además 5 (véase fig. 6.12 b).

G) La suma de los elementos sustraídos de las filas y columnas de la matriz en el punto antecedente es igual a 35. Por consiguiente, para el vér­ rice Q1s la frontera inferior es igual a JI + 35 = 66.

H) En la úlum« etapa se ha obtenido una matriz de cuarto orden. Por eso pasarnos a la operación sig11icnte.

., -·-· 7 ,.., 16 1

20 1.J "' 35 21 16 25 ro

8 o o o

., x,

~ - - - 1 00 15 o 2 o co 22

o o g 00

co o o o x, ..

Fig.6.12.

17~

'· , x, x., - ~T;~ .\, ~ o 7 '.:..L'..'.:. 1 o ~. zo 13 'LJ 35 o

<, 21 u: 2."> "" {)

~-.. o ¡1 (l o 1)

•. ., .,

:[ilif~~ X, o Ü :n <O '• ~~6J ~·o- .1

1) El vértice pendiente ele honrcra 111í11ima ·18 es Q,5 . . 1) l.!I vcr ucc se ha ob1,•111tk' cun ay11da d.: la propiedad />n. P.1~<lntos

:1 "). K) En la c.:1111.1 {l • .5) d.: la 111;1111/. cxpucvt a en la fig (>.10 e colocamos

«'. Obtcucrnox 1111:1 nw1ri:r que 'l C\J'<'llC en la fig. ó.13 a./\. conunuacióu ,;11\11 acmo-, 17 de totlov lo~ dc111cnt1•~ ele Ja rila x,. El resultado c,t;i representado en lu fig. 6.1 J }J.

C) J>;na la m;nri¿ c><put.:'la vn la fig. lJ b calculamos: ¡(X1 .. l.1) ~ 9; "'¡(1:, -'°<) · I; 1(.11, .v.) - 11; -,(.\.¡,X<)-' 16; ·r(.1, .. 11) - 7; 1(-", .1~) - '); )t 1,, .1.J -· I(>; 1(.1,, .1:.)-' O,

p1)I lo cual tcucruo«, p1tr •.'.[l'lllpl1•, 11 -- ;!.\<, x.) = 16.

::. ~: :- ~~- ~ ~~ «. ~ 13 ec 35 o ., 21 16 2t) ·"' o ., o o'""'º .. ,

•. ') 1(1 o .,, ... 7

•• }ii /;) "" 35 o x., 21 "' 9 o

(1 () o '"

:·. f.~J~F': V , 1 1;' I O "'

>, /) () •->

o o

l·i~.1 •. 1.1

D) Construimos el vértice QH () QsJ, al cual corresponde la frontera in­ ferior 48 + 16 "" 64.

E) Construimos el vértice Q..1 n QSJ. Suprimimos la quinta fila y la tercera columna en la rnarriz expuesta en la fig. 6. t 3 b, y en la célula (3, 5) colocamos oo. El resultado se muestra en la fi¡;. 6.13 o).

F) De todos los elementos de la fila x.1 sustraernos primero 13, y Juego de la primera columna sustraemos 7 (véase fig. 6.13 d)

G) La suma de los elementos sustraídos de las Filas y columnas en F) es igual a 13 + 7 = 20. Por consiguiente, para el vértice Q1s n Q.1¡ tenemos la frontera igual a 48 + 20 ee 68.

H) Pasamos a 1). 1) El vértice pendiente Q15 n Qs¡ tiene el valor mínimo de la frontera

inferior. J) El vértice elegido correspondía, al construir el bisárbol. a la pro­

piedad p51. El valor dentro de la célula (S, 3) en Ja matriz. expuesta en la fig. 6.13 b se sustituye por oo, y de lodos los elementos de la columna X¡ se resta el número 16. El resultado se muestra en la fig. 6.14 b). Pasamos a C).

C) Para todos los elementos nulos de Ja matriz en la fig. 6.14 b calcu l:1111os:

-y(Xt, .\4) = 9; "((Xi, Á)) ~ 9; )'(X2, Xs) = 0~ )'(X¡, X.1) = 13; 'Y(X.., Xs) "' 9; ')'(.\'~, .vi) = 7; -y(xs, x2) = 9; -y(xs, xi) = O.

De aquí, () = -y(x,, xs) = 1 :i. D) Construimos el vértice Q1.1 n Q11 n QJS, al cual corresponde la

froutcra inferior 64 t 13 "" 77. E) Para construir el vértice Q"nQ53nQ.•.1 supr imimos la Iila x, y Ja

columna xs. Observemos que ac.¡ui no hay necesidad de coloca: oo en la célula (.5, 3). puesto que ella ya se encuentra allí. El resultado se muestra en la fig. 6.14 c.

F) De todos los elementos de la fila x.. sustraemos el número 9 y obten­ drernos una matriz ex~tcMa cu l~. fig. 6.14 d.

G) Para el vértice Q1,nQ)1nQ.1.1 tenemos una rrontcra inferior igual a 64 + 9 = 73.

H) Se ha obtenido la matriz de orden 4. Por eso pasamos a 1). 1) Entre los vértices pendientes del bisárbol ya construido el Qu tiene

frontera inferior mínima. J) Por cuanto el vértice elegido Qu correspondia durante la construc­

ción a la propiedad p, h pasamos a C). C) Para la marri> expuesta cn la l'íg. 6.12 b calculamos:

')'(Xs, X1) = O; "((Xz, .\:i) = I; -y(XJ, x2) = 2; 'Y(X.., xo) = 1: ')'(.\"~, JÜ = O; -y(xs. X2) = O: 1·(xs, XJ) :o 9. De aquí, 0 = -y(Xs, X¡) = 9.

D) Construimos el vértice Q1s n Qs.1, al cual corresponde la frontera in­ ferior 66 + 9 = 75.

177

1 00 o "i] o 22 o o 00 (>

E) Construimos el vértice (Jo,n (J". < ·011 c·,lc l'in s11pl"i111in1os la íil;t x, y la columna x, c·11 la matri1. expuesta cu la ÍI!\. 6.12 b, y colocamos oo en la célula (J, 1). puesto que la inclusión cid arco (X¡, x1) conduce a la aparición del contorno x,, x~. x,, x,, que 110 es ha111il1011i:1110. El resultado se presenta en la fig. 6.15 a.

F) Todas las filas y columnas de la matriz expuesta en la fig. 6.15 o conriencn ceros.

G) Por consiguiente, para el vértice Q,~nQs1 tenemos una frontera in- ferior igual a 66.

1-1) Se ha obtenido la matriz de orden 3. Pasarnos a L). 1) El vértice pendiente de frontera inferior mínima es QnnQSJ. J) El vértice Q,5 n QH se ha obtenido con ayuda de la propiedad Psi.

Pasamox a C). C) Culculnmos 'l' parn lodos lo~ ck11u.·11h" nulos de l;t 111at riz c~~¡rncsta

en la fig. 6.15 a: -y(x2, x,) = 23: -y(x.1, .~1) = 22: ,.(x., x,) = I; -y(x,, x2) =O. De aquí (:) = -y(Xi, x,) = 23.

D) Construimos el vértice Q1~()QqnQ2•, cuya [routcta inferior es igual a r.6 + 23 = 8•>.

!:.) Construimos el vértice Q1) () Qq n Q24. Suprimimos en la matriz ex­ puesta en la rig. 6.15 a la fila x2 y la columna x,, sustituyendo el valor en la célula (4, 2) pur eo , Obtenemos una matriz que se expone en la fig. 6.15 b.

F) Cada fila y coda columna de la matriz obtenida conriene ceros, G) La frontera inferior para el vértice Q1j n Q5311 º2• es igual a 66. H) Se ha obtenido la matriz de orden 2. Pasamos a 1). l)- La frontera inferior mínima la tiene el vértice pendiente

Qu n Q$1(){?24. J) El vértice Q1s () QH n Q2• se ha obtenido con ayuda de la propiedad

p14. Por eso, pasamos a C). C) Calculamos: -y(X), X2) = co ; -y(k •• k1) = 00, Quiere decir, El = -y(X1,

X2) =" OO. O) Construimos el vértice Qu n QH n Q2• n Qn. La frontera para dicho

vértice es igual al infinito (oo). E) Construimos el vértice Qu n Q53 () º2· n Qn- Suprimimos la fila XJ

y la columna x2. Obtenernos la matriz expuesta en la fig. 6.15 c.

178

x, "' ,11 47 20 0 ~ ce IJ 0 o

26 ~ 00 40 5

rm 21 29 00 3

17 18 [!i] 16 ., '·' .,

Fig 6.lli. "• b

F) Es obvio que en la matri¿ obtenida no hay necesidad de sustraer nada.

G) La frontera inferior para el vértice en E) es igual: a 66 + O= 66. H) La matriz obtenida es de orden I, y el vértice Qis n Qn () º2• n QJi

tiene una frontera inferior mínima entre todos los vértices pendientes del bisárbol. Agregando el arco (X•, x1), obtenernos el contorno hamiltoniano buscado de longitud 66: (x,, xs, X.i, xz, x,, X1). La solución hallada está representada en lu Iig. 6.16 o y b.

No es difícil modificar el algoritmo de Llutc para resolver los problemas referentes a la búsqueda del contorno hamiltonlano de valor máximo. No obstante, al cambiar un tanto las condiciones, reduzcamos el problema al tipo ya analizado.

Agreguemos el símbolo ( - co) a todos los pares de vértices (.>:1. x1), para los cuales en el grafo G = (X. U) no hay arco (x1, ..1¡). Sea lcijl una matriz. de valores del grafo G = (X, U), IXI = 11. Construyamos una matriz nueva cuyos elementos los h.ill.uuos por la fórmula

e/¡= C - <'u (i, j = I, 2, ... , 11), donde C = máx e,¡. i.)

Apliquemos ahora a 111 matriz lcúf el algoritmo de Littlc para determinar los contornos harniltonianos mínimos. La solución mínima obtenida nos ofrece la solución máxima para la matriz lc1;!.

6.3. MÉTODOS HEURÍSTlCOS

Los métodos exactos de optimización mencionados más arriba re­ quieren. por regla general, unos cálculos muy volununosos, Por eso, tiene gran Importancia práctico la creación de métodos sencillos que aseguran la obtención de soluciones, que son bastante próximas a las óptimas. Los métodos que no preven la estimación de la proximidad de las soluciones obtenidas a las óp1ima.~ suelen llamarse heuristicos. Un método se llama aproximado; si admite Ja posibilidad de estimar la desviación de una solu­ ción de la óptima. Naturalmente, el método heurístico puede pasar al orden de aproximado tras un exitoso análisis teórico.

12• 179

En los métodos hcuristicos con mayor Irccucncia se emplea Ja llamada optimización local.

Sea un conjunto de combinaciones P = \ 1f 1, ir2, ••• , 1fN 1; se plantea el problema de calcular el mínimo de la función F, definida en este conjun- 10, y buscar las combinacíoncs sobre las cuales dicho mínimo se alcanza. El método de optimización local consiste en lo siguiente,

Para cada combinación T, E P definamos un conjunto Q, de combina­ clones que se llamm áu vecinas de .,,.,. r.n el Icngunje de la rcoria de tos grafos esto siguificur« lo sii:uicnlc: a cad:1 cuml-iunciún 1f, se le hace co­ rresponder cierto véu icc del ¡;raro e;_ l.M vérrlccs vecinos 11", y r¡ del grafo G se unen con arco U. j) (11"1 E Q,). El grafo obtenido se denominad grafo de vecindad de las combinaciones. L!n el grafo G puede haber una totalidad Z de su' vértices, en la cual

F(1f,) = /o'(1f1), siempre que x», K; E Z; F(7í1) < F(11;), siempre que , x¡ E Z; 1rj ~ Z; (i, j) E U

donde U es el conjunto de arcos del grafo de vecindad. Tal conjunto Z se llama aislado. Este conjunto puede estar compuesto, por supuesto, de un solo vértice.

El primer paso del acceso local, del cual se trata aquí, consiste en que, al elegir una combinación arbitrnr ia "J";, hallar para ella el grafo de vecin­ dud, después de lo cual dcrcuuinar c11 e'le g1af<• lo• valores de F(111) para cualquier 7fj E Q;.

La segunda ctnp« consiste en una operación a la que se acoxturnbra llamar descenso. En.:ontmmos ?r¡. E Q; de tal manera que

F(ll";.) = mín F(?r1), ... ~v. y si F(7r1,) < F(11",), pasamos a la combinación 'lfj.·

Procediendo de esta manera, llegaremos a un conjunto aislado Iras un número íinito de pasos. Sin embargo, ya encontrándonos en un conjunto aislado, no podemos estar seguros de que se· ha alcanzado precisamente un extremo local (minimo, en el caso dado), y no el general. Por eso tenemos que continuar las "pruebas" locales. Uno de los métodos de con­ tinuación de la búsqueda puede ser la elección de una nueva combinación admisible y Ja rcpcnción <le la operación de descenso en el antiguo grafo de vecindad. Son posibles también otros métodos. Definamos, pur ejemplo, una sucesión de grafos de vecindad '11, G2, .... O, (grafos de 1-, 2-, . - ., s-vccindad). Después de caer en G, sobre un conjunto aislado de vértices Z, pasamos al grafo G2 partiendo de un vértice arbitratio m E Z. Si Z queda aislado también en Ci, pasamos a Gi, etc. Si resulta posible el descenso del vértice 11"1 al conjunto aislado z,, entonces, <11 pasar a algún vértice .,.1 E Z1, volveremos a·I grafo 01 y repetiremos el proceso, partiendo esta vez del vértice ?r¡.

En el procedimiento descrito hay muchas cosas indeterminadas. Sobre

180

todo no está claro cómo se deben construir los grafos de vecindad y por qué dicha construcción es mejor que la elección alcatorla de las combina­ ciones. La experiencia muestra, no obstante, que Ja obtención de las com­ binaciones vecinas es, a veces, más fácil que construir las sucesiones aleatorias. El análisis de un problema concreto lleva frecuentemente al método de determinación de las combinaciones vecinas que asegura el descenso eficaz hacia una solución óptima o, en Lodo caso, bastante buena.

Veamos algunos ejemplos de determinación de la vecindad. l. Si las combinaciones son simplemente permutaciones, entonces las

combinaciones vecinas se definen como obtenidas por conmutación de los elementos próximos. Llamemos combinaciones l-vecinas aquellas que se obtienen por conmutación de dos elementos vecinos; combinaciones 2-vecinas, aquellas que se obricnen por conmutación de dos elementos que ocupan los lugares pares o Impares. etc. Por ejemplo, una permutación ir1 = {!, 2, 3, 4) tiene cuatro combinaciones l-vccinas: .,,.2 = (2, 1, 3, 4), .,,.3 = (1, 3, 2, 4}, .,.., = (l, 2, 4, 3) y irs = {4, 2, 3, 1) {Jos elementos 1 y 4 también se consideran vecinos) y dos combiuacioucs 2-vecina~: 'll'6 = (3, 2, 1, 4), .,,., = (1, 4, 3, 2). Con rnl definición las combinaciones 3-vecinas y l-vecinas coinciden.

En el caso general, las combinaciones 2-veciiws se defineu del modo siguiente: 'll'/ es una combinación 2-vecina para ?rJ, si existe .,,k ral que .,,., es una combinación l-vccina para ?rt, y 1f" es una combinación l-vecina para .,,.,. Análogamente se introducen las combinaciones 3-vecinas, etc.

2. En los problemas l y 6 del § 6.1 se ha estudiado la cucsrióu sobre el nombramiento ópt i1110 y sobre la parada mínima de una línea de montaje. En dichos prt.>hlc111a, el v:1lor de F estnba definido corno máx /·~ para cada tramo del transportador. Los tramos, para los cuales Fi = máx fj se llamarán crüícos. En tal caso resulta natural definir las combinaciones vecinas del moclo siguiente: la combinación x¡ es l-vccina para ... , si puede obtenerse de .,,.1 por counuuacióu de dos operaciones, una de las cuales está designada parn i:I tra1110 1:1 üico y (a t>I r;i, no.

Veamos, por ejemplo, el esquema del problema ó (fig. 6.2) una vez más. Para In solución R'1 = (1, 2, 3; 4, S, 6; 7, 8, 9) obtendremos: F1 = 21; h. = 16; F1 = 14; P = 21. Resultó ser crítico el primer tramo. Las permuta­ ciones son admisibles SOIO entre las Operaciones de los tramos primero y segundo. Tenemos: Rl = (1, 2, 4; 3, 5. 6; 7. 8, ')); F1 = !7; Fi = 20; F> = 14; F"' 20; R1 = (1, :i. 4; 2, 5. (1; 7, 8. 9); , .. 1 - 19; Fz = 11\; r, "' 14: f.'= 19; u' {I. .1, 6; 2, .1, S: 7, x, '}): /' 22; h 1,: F¡ 14; ¡: = 22; = ·1 - :. = !?" = (2. 3, 6; 1, 4, 5~ 7, 8, 9): ,.., - 21; l'i = lh; I') = 14: ¡: = 21.

En Ja solución R2 el primer tramo quedó crítico pero el análisis de las solu­ cienes vecinas no mejora la sil uación, pues son admisibles sólo las permuta·

181

cioncs de los dos primeros tramos, mientras que el segundo tramo tiene el tiempo de trabajo Fi = 18, próximo al tiempo critico F .. 19. Para disminuir F2. estudiemos las permutaciones admisibles de las operaciones destinadas para los tramos segundo y tercero.

Se tienen dos permutaciones admisibles de las operaciones 6, 7 y de las 5, 7. Las combinaciones correspondientes son: /?) = (l. 3, 4; 2, 5, 7; 6, 8, 9); F1 = 19; F1 = 14; Fl = 18; F = 19; /?6 = (l. 3, 4; 2, 6, 7; s. 8, 9); r, = 19; l·i = 16; F'1 = 16; p ... 19.

En 0111bas soluciones, U' y U1', el valor de 1-i tli.~mi1111yó. Realicemos la siguiente etapa del descenso, al tomar, por ejemplo, In solución R~. L.1s soluciones vecinas de la misma son: R1 "' (l. 2. J; 4. 6, 7; 5, K, 9); , .. , .... 21; /·i ~ t4: F¡= 16; P= 21; R8 =(l. 2, 4; s, 6, 7· 5, 8, 9); F1 = 17; F1 = 18; fj = 16; F= 18; R9"" (1, 3, 6; 2, 4, 7: 5, 8, 9): F1 = 22; Pi = D; /'J = 16; p .. 22.

Demostremos que la solución R6 es óptima. Con este fin veamos la aplicación del método de ramiñcacioucs y restricciones al problema 6b del § 6.1. Definamos el proceso de ramiñcacioncs del modo siguiente, Supongamos predestinadas tas operaciones para k tramos, es decir, están definidos R1, Ri, ...• R4 conjuntos. 1 la memos el co11ju1110 R. , , admisible, si: 1) la designación del conjunto de operaciones R, , 1 en el (k t 1)-ésimo tramo 110 perturba la sucesión del 111011tajc: 2) L: t; ~ C (Ces la du-

•<H ••• ración prefijada del delo); 3) no existe un conj111110 R' tal. que u •• , ~ R ', que sati~faga las condiciones 1 y 2. La estimación desde abajo del número de 1ran111s para cualquier subconjunto de soluciones tiene la forma: op(R1, ... ,

Rk) ~ J. + b ~ 1,, donde R(k) es el conjunto de operaciones por ahora

''"ª no designadas. 'lomemos en nuestro ejemplo C = 17. Para ta designación de las opera­

ciones en el primer tramo h:iy cinco posibilidades: R ' 37 3 3 Rl •(I, 4, 7); op( 1)= 1 +-17 = -¡7:

Rl• (1, 2, 4); op(R~) s- 1 ~ Jil r );

17

Rl • (1, 3); V>(llh = ' + 36 = 3 2 l7 17 •

R1 • (3, 6); V'(Rt) = l + 36 .,. 3 2 . 17 17.

Rf = (2, 3); io<Rh = 1 37 3 . + T7- = 317'

182

Elegimos r~i = (!, 2, 4). Admitamos las siguientes designaciones para el segundo tramo:

R i (J - R2 , 18 1 2 = .. ); 7); tp( t , R2> = 2 + -¡1 = 3 rrj

, R' R1 19 3 2 Ri = (3, 6); 11>( r , 2) = 2 + l'f = J7· De a·quf concluimos que para C = 17 no son suñcientes tres tramos, lo que confirma el carácter óptimo de la solución elegida R1 del problema 6a.

Ejrrci(lo. Mué.<l<CSC que si e ~ 17. en d probkma 6b <'S Ll¡>IÍlll3 la designación de lu operaciones para 4 trarnos. Hállense dicha-e; designaciones.

Veamos cómo se aplica la optimización local al problema del viajante de comercio. 'tenemos un conjunto A = (01, ..•. ·a,,) de ciudades y la matriz etc valores C'"' lc,11 del traslado de una ciudad a, a otra dudad a1. En cada paso del algoril mo const ruiremos una rula A, = (a;,, ... , 01.) a base del z-subconjumo del conjunto A; r = l, 2, ... , n, Además -con­ sidcrarnos que tiene lugar el traslado de la ciudad a¿ a la ciudad o; .... k = I, 2, ... , r - I, y de l;1 ciudad at,., a la a.; Tomamos para r = 1: A, =(a,) (la ruta const a de 1111a ciudad arbitrariamente elegida a,). Si A, está construido, buscamos c11 el siguiente paso la ciudad a¡ E (A -, A,) tal que e(a;, A,) = míu 11(a¡, A,), donde con Q(a;, 11,) se denota l;1 "distan-

""'"' .. '4.) cia" desde a; hasta A,: Q(Ui. ,4,) = mín 1cii1 la; E A, J. En este caso, si Q(O;, x:z) = C1,,, para a., E A,, entonces se toma A,., =(a;., ... , ac, a., 01, .. ,

... , a;.). El algoritmo consrruido se denomina algoritmo de inclusión de la ciudad más próxima.

Ejcrddt•. M1rc$tn:s1: tltl\~ cJ aJ~lHllnu> de i11du.si<\11 de l~t d•Hl1uJ más nr<hi111a puede ser n.:-,lil'.OJdo 1n~i.,.n1c un numero tic oncrucroues f'ruporc.-1011al u 111•

Teorema l. Supongamos que la (11 x n)-malriz de valores C en el pro­ blema del viajante de comercio es suuérrica y satisface la desigualdad triangular: <'1t + CJu ~ <'1j (i. j, k ~ l , ... , n). Entonces

11 .. 1 «: 2 10 .. 1 ...

donde 1. es la rura prefijada por el algoritmo de inclusión de la ciudad más próxima; O,,, la ruta ópt ima; j/,,I y IO,.I) son sus valores sumarios.

Demostración. Su pongamos que las ciudades a,, a2, .... a; están enumeradas de un modo tal que en el i-ésimo paso del algoritmo se le agrcgn a 1:1 ruta la ciudad ai. Demostraremos el teorema estableciendo una correspondencia hiunivocu curre la' ciudades ai, .... a; y rodas las aristas en 0,, (a excepción de 1:1 ari,1:i nuryor) de 1111 modo rat que el valor de i11clus16n de l;i ciudad /I~ cnl re 111 y llJ, es decir, c« + Ckj - e,¡ (para que el primer paso sea correcto, tomamos c.; = O), no sobrepase el valor duplicado de la arista c11 O,., que corresponde a a«. Obtendremos en realidad una estimación más fuerte que Ja indicada en la formulación: 11 .. 1 .,;; 2(jO .. I - 11.,.-.1). donde ''""' es la arista de mayor longitud en O«.

183

O-·· -0-00---·-0 l'ig.6.17.

Estudiemos en cada paso del algoritmo no sólo la ruta corriente 111. ai, 1 ~ t ~ 11, sino también algunas aristas ndicionalcs <le

O¿ -, 1 /mu) que unen las ciudades 11, , , , a,, 2 •••• , o; con el itinerario corriente. En el primer paso el irincrar io convra ele la ciudad a, e incluye todas las aristas en O,,, a excepción de la /1110, (véase fig. 6.17).

Supóngase que en el (k - tj-ésiiuo poso tenemos 1:1 ruta av, ... , a,,_, (en la fig. 6.111 se indica ~011 1111<1 linea gruesa) c011 ciudades agregadas a ella ae, ... , a; con ayuda de las "piernas" (:m~ra~ dibujadas en línea 110 gruesa); una construcción <le esta iudolc se llamará arácuca,

Admitamos que la ciudad a«, que ha de sc1 incluida en la ruta en el k-ésimo paso, es In más próxima o 1;1 ciudad a; perteneciente a la ruta (véase Iig. 6.lB). El valor de inclusión de a~ entre a,,, y la sigulente-ciudad 01, es igual a c1k + 1·k.,. - <'1.,,. Sea a .• un punte> de In ruta al cual se une la pierna que incluye ae, y sea (a,, a,.) la primera arista de dicha pierna (puede ser que a,, = ak). Por cuanto ak es una ciudad próxima a la rula, tenemos

(1)

Según la desigualdad triangular, tenemos (2)

De (1) y (2) obtenemos (J)

Al adicionar (1) y (3) y al hacer uso de la simetría de la matriz C. obtenemos

lo que ··~ equivalente a In desigualdad C/k ... ('km - <'tm ~ 2<\, ..

es decir, la inclusión de ak entre 01 y a,,, cuesta 2<:_,. como máximo. Incluida Ok, suprímimos la arista (a.,, a_,) de la configurnclón (la construcción sigue siendo arácnea). A la ciudad a~ se le hace corresponder la arista (a,, a,,). Después que el algoritmo pasa por rodas las ciudades as, ... , a •• se establece. la correspondencia requerida entre ( llJ. •.••• ''• l y O; ' 11,..,1, \,

lo que demuestra el teorema. Mostremos ahora que se tiene un problema del viajante e.le comercio

con n ciudades (n ~ (1), para el cual el algoritmo de inclusión de la ciudad más próxima proporciona una ruta que es dos veces mayor que la óptima. Veamos la siguiente matriz de valores C: C1j "' C¡; = mínU - i, n - j + i), es decir e;¡ es la longitud <le la ruta más corta de i a J, que va por las aristas del tipo (k, (k + 1 (mod n)). Para n = 8, esta configuración viene expuesta en Ja fig. 6.19.

184

Fig.(i.18 . Fíg.lí.J9.

. Demostremos que la ruta T,, compuesta por las aristas (1, 2), (i7 - l, n) y (i, í + 2) para 1 ~ i ~-n - 2 (en la fig. 6.20 se muestra la ruta T1), puede obtenerse como resultado de aplicar el algoritmo de inclusión de la ciudad más próxima. Observemos que el algoritmo puede aplicarse a partir de la ciudad 1, luego se agrega a ésta la ciudad 2, la ciudad 3, etc. Sea 7ir, 3 ~ k ~ n la ruta obtenida con ayuda de este algoritmo después de ta inclusión de la ciudad k, Mostremos por inducción que Tk consta de las aristas (!, 2), (k - 1, k) y (i, i + 2) para 1 ~ i ~ k - 2. Cuando k = 3, esto es evidente. Suponiendo que esto es cierto para 3 ~ i ~ k, ob­ servemos que Tk + 1 se obtiene de Tk por inclusión de la ciudad k + 1 entre las ciudades k - 1 y k,

La longitud de la ruta T» es igual a 211 - 2, mientras que la ruta óptima O,,, compuesta por las aristas (1, 11) y (i, i + t), l ~ i e; 11 - l. tiene una longitud igual a 11. Por eso tenemos

¡r,,¡ = 2(1 - 1-). 10.1 11

Esta relación es la máxima que se admite por el teorema, puesto que ''"'~.1 = l. La investigación teórica de la optimización local se realiza también con ayuda de los métodos teórico-probabilísticos. Con este fin en el conjunto de problemas que se resuelven por el algoritmo local dado se introduce una medida probabilística y se demuestra que con el crecimiento de la dimensión del problema, la medida de los problemas cuyas soluciones se desvían de Ja solución óptima en 111111 magnitud superior a 1;, tiende a O. cuando la dimensión del problema crece. Tal comportamiento de las solu­ ciones lleva el nombre de optimalidad asintótica. La optimalidad asintótica está demostrada para muchos algoritmos de solución del problema del via­ jante de comercio, en particular, para el más sencillo de ellos, cuando en cada paso se supone ir a la ciudad que está más próxima a aquella, en la que el viajante de comercio se encuentra en el momento dado. El lector puede encontrar una información más completa en [26J.

185

Fig.6.20.

Un tipo más de algoritmos hcunsticos de optimización está relacionado con la elección aleatoria de las combinucioncs conforme a cierta distribuc­ ción probabilística que se elige a partir de los razonamientos de obtención más probable de las combinaciones deseables. Para datos más detallados véase [8l}.

"Algoritmo sivido", Veamos un conjunto finito S, a cada elemento del cual s está asignado cierto numero no negativo w(s), llamado peso de s. El peso del subconjunto A ~ S se determina como suma de pesos de todos los elementos de A. Sea Í'·una familia de subconjuntos del conjunto S.

Varios problemas de la opümización combinatoria se reducen al pro­ blema siguiente: hallar en la familia .'/-un subconjunto de peso máximo. Por ejemplo, a este tipo de problemas se reduce el problema de hallar el esqueleto (o el bosque) de peso máximo en un grafo ponderado O, si .<J· C5 un juego de todos los esqueletos (bosques) del grafo G.

Para resolver este problema resulta nat urnl aplicar el siguiente algoritmo que se denomina "ávido" (gn:cdy. en inglés). Este es como sigue:

Paso l. Se elige un elemento 51 tal que !s1 l E'/; y w(s1) ;;;¡: w(s) para iodos aquellos s que 1s1 E '/ Si tal s1 no existe, entonces tenemos una parada (indisponibilidad).

Paso 2. Se elige un elemento Si 1 al que 1 si, s2 l E.'/'; y w(s2) ~ w(s) para todos aquellos s ;ié s1 que (si, s1 } E ·/. Si tal si no existe, entonces tenemos una parada.

Paso k. Se elige tal elemento s«, distinto de s1, si, ...• S1c-1, que (s,, Si, ...• , s« _ 1, Sk l E.'l,- y w(st) sea máximo entre todos los s de este tipo. Si tal s" no existe, tenemos una parada.

Es obvio que el algoritmo "ávido" finaliza su trabajo al obtener un sub­ conjunto de la familia./quc sea máximo por inclusión. Sin embargo. dicho subconjuuto puede tener en './un peso no máximo. En efecto, si S = ta, b, e, d l , w(u) = 4, w(h) = 3. w(c) = 2, w(tf} = 2, y.'/= 1 (u}. 1 a. e l. 1 b, e, d J, l IJ, el l l. entonces, srrviéndonos del algori: 1110 "ávido", obtendremos el subconjunto t 11. e 1 cuyo peso es igual a 6, aunque el subconjunto <le peso máximo es t b, e, d 1 y el peso de éste es igual a 7. Al mismo tiempo, si cambiamos los pesos, poniendo w(o) = 6, w(b) = 3, w(c) = 2, w(d) = 2, el algoritmo "ávido" nos ofrece de nuevo el subconjunto {o, el <le peso 9, que esta vez ya es un subconjunto de peso máximo. 186

El algoritmo "ávido" merece, obviamente, su nombre. Tiene una cons­ tante aspiración de incluir en un subconjunto de la familia.'./ el elemento de peso máximo posible. No lo hace sólo en el caso en que, al agregar tal elemento, el subconjunto se hace inadmisible, es decir, no pertenecerá a 7.

Estudiemos la correlación existente entre ía solución obtenida por el algorfrmo "ávido" y la estructura de la familia .z-

Un par (S •. '7} se llama sistema de conjuntos, si partiendo de que A E.'/'~ A 1 !.:; A se deduce que A' E .'X Los elementos de la familia ,';/se denominan en este caso co11j11111os iruiependicnte».

Se puede comprobar que con ayuda del .algoritruo "ávido" se puede hallar en un grafo ponderado el bosque de peso máximo, Al mismo tiempo. el algoritmo "ávido" no trabaja nara el problema sobre una combinación de pares máxima para el grafo. ~11 efecto, el algoriuuo "áviclo", aplicado a un grafo ponderado G:

s, 4 s,

{=--:=13 s, 1 s,

dada la combinación de pares 1 (s1, S4), {.~. S)) I, mientras que la combina· ción de pares máxima ponderada c11 G c.• [{s1 •• 1~). (s1, .1:,)\.

El análisis ele los sistemas de conjuntos que son di~1inios por su natura· lcza y origen, pero que poseen In propiedad de que el algoritmo "ávido" resuelve los correspondientes problemas combinatorios de la optimización nos conduce a la siguiente definición.

Un sistema de conjuntos M "' (S, .'1) se denomina matroide, si el algorit­ mo "ávido" resuelve correctamente cualquier problema combinatorio con· creto referente a la optimizacióu para el sistema M.

Teorema 2. Sea M = (S • .'/) un sistema de conjuntos. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1) M es un matroide; 2) si F,, Pi E .7, donde IPd = p, y 1111 = p ·I· 1, existe un. elemento

sEF2 - P1 tal que F1U\s} E.'r, 3) si A 1 y A1 son subconjuntos independientes. 111áx111tos por inclusión,

del conjunto A, entonces ¡.'1 d = IAzl. Dcmos1rnció11. (l) => (2). Sea M un matroide, pero se supone que la aíir­

maciórr 2 del teorema no se cumple, es decir, existen dos subconjuntos in­ dependientes F1, F2 E .'l tales que !Fil = p. W2! = p + 1, y ~1 subconjunto F1 U ( s 1 f7, cualquiera que sea SE F2 - F1. Supongamos que l:i función ponderal sobre el conjunto S viene dada del modo siguieurc:

w(s) "' {~ : ~: :: O. si

sEF1; sEF1 - F1;

sf r, Ufi. 187

Entonces, el conjunto independiente F1 no es óptimo, es decir, no posee máximo, Efectivamente, w(P1) ~ (p + 1)2 > p(p + 2) "" w(F1). El algorít­ rno "ávido" para este problema concreto empezará por la elección de todos los elementos del conjunto Fi. puesto que estos elementos son de peso má­ ximo. A continuación, el algoritmo "ávido" no podrá aumentar el peso total, ya que para todos Jos elementos restantes s o bien F1 U 1 s l E Y. si s E F2. '' bien w(s) .. O. Por consiguiente, el algoritmo "ávido" da una solución no ópt ima de F1, por lo cual M no es un mntroide, lo que contradice nuestra. suposición. Por lo ca1110, la afirmación 2 se cumple y la implicación en cousidernción queda demostrada.

(2) .,. (3). Supongamos que Ja añrmucíón 2 del teorema se cumple y sean A 1 y lh dos subconjuntos independientes, máximos por inclusión, del conjunto A !;: S. Admitamos que IA d < JAil- Rechacemos JA1l < JA d - l elementos del conjunto A2. entonces, por ser el sistema .Vcerrado respecto de la i11du~1611, obtendremos un subconjunto independiente A3 G A tal que IAJI = IA il + l. En virtud de la afirmación 2 del teorema, existe un elemen­ to sEAi - A1 tal que A1U{s) E.Y. Por consiguiente, el subconjunto A, no es 1111 subconjunto indcpcndtcntc, máximo por inclusión, del conjunto A. La conrrndicción obtenida demuestra la irnplicnción requerida.

(3) ... (1) Supongamos que llene lugar la afirmación 3 del teorema. Mosircmos que en este caso el algoritmo "ávido" resuelve el problema de In optimización combinarorra sobre el sistema de conjuntos M. Admitamos que esto no es ast, es decir, para cierto conjumo de pesos w(s), dondes ES, el algoritmo "ávido" lleva a un conjunto independiente P = ls1. Si. •.. , .~.), micnrrns que existe un conjunto I" = lsí. sí, ... , sjl tal que I\'(/• ') > w(F). S111 rcstrini;tr l.1 generalidad de los razonamientos podernos consulerar que Jos elementos de los conjuntos F y F' están ordenados de ttll modo que w(s1) ~ w(.s-l) ~ ... ;:;.: w(s,) y w(sí) ;;¡: w(sí) ~ ... ;;. ~ ll'(Sj). Podemos considerar evidcruerncntc, que F' es un subconjunto in· dependiente, máximo por inclusión, del conjunto S. Segun la construcción, el subconjunto Fes también subconjunto del conjunto S, máximo por in­ clusión. Por eso, en virtud de la afirmación 3 del teorema, para A = S obtenemos que i = j. Demostremos que para todos los 111 = 1, 2, ... , í se verifica ta desigualdad w(s,,,) ;;:>- w(s,:,) lo que contradirá la suposición de que w(f") > w(F), con Jo que quedará por terminada la demostración de nuestra implicación.

Realicemos la demostración por inducción respecto de 111. Para m = 1 In afirmación es evidente. Supongamos ahora que w(s,,,) < w(s,~) para cier­ to m > 1, y que 11•(s,,) ;;i: ll'(x,:) para p e: 1, 2, ... , m - 1. Veamos un conjun­ to A= lseS: 11•(s) ~ ll'(s,;,)I. Elconj111110 ls1, ...• sm-1) es subconjunto iudcpcndicntc, máxituo por inclusión, del conjunto A, puesto que si {s1, .r: •.... s,,, - 1, .t l E.'/; y w(s) ?- ll'(S,~) > w(sm). entonces el algoritmo "ávido" deberla elegir s, en Jugar de s«. a tftulo del siguiente elemento del conjunto F1. Esto contradice la afirmación 3 del teorema, por cuanto 11<8

tsí, sí .... , sl; l es otro subconjunto tudependieutc del conjunto A 1k mayor potencia. Con esto termina la inducción y toda la demostración del teorema.

En el teorema 2 se ha demostrado en realidad la equivalencia existente corre el concepto de matroide (introducido aquí) como sistema de conjun­ tos sobre los cuales el algoritmo "ávido" da soluciones óptimas y otras definiciones de los rnatriodcs que se consideran en el capitulo 8. En et pá­ rrafo 8.4 se aducirán diferentes ejemplos de los mruroidcs, sobre los cuales el algoritmo "ávido" es siempre cficuz.

6.4. OPTIMIZACIÓN EN LOS CHAFOS

En los párrafos antecedentes de este capítulo ya se han examinado pro· blernas combinatorios cxtrcmalcs, relacionados con la optimización en los grafos (véase el problema del viajante de comercio). C:n el presente párrnfo estudiaremos una serie más de problemas del mismo tipo.

Al principio nos dedicaremos al estudio de los grafos orientados C = (X, I') que no tienen coutoruos. Introduzcamos para ellos la noción de función ordinal. Asi se denomina una función O(x;) definida sobre u11 conjunto de vértices X = (x; 1, que toma valores de números enteros. Ei1

este caso, si x¡ E T'{x,). entonces O(x;) > O(x;). Dicho de 01 ro -modo, .\! el vért ice x¡ sigue tras el vórtice .\;, entonces el valor de la rundún ordinal en el ventee x1 es superior a su valor en el vén ice x,. 1 .a magnitud O(x;) se llamará nivel del vértice xi.

Las funciones ordinales para un grafo concreto G = (X, T') pueden cous­ truirsc mcdiante métodos diferentes. He aquí uno de éstos. Veamos los subcon­ juntos de los vértices No, N1, ... , N, definidos del modo siguiente:

No = !.r,¡.\'í E B: r- 1(.\·1) = 01; N1 = (x;lx; E E'- N"; r-1(x1) E Nu l:

r- 1 r - &

N, = !x;lx; E (E'- U Nk); I' - •(x;) E U Nt 1. k ""'º "-o

Es fácil ver que los conjuntos N11. Ni, ... , N, fnn11:111 una pm 1 ición X. y la función O, que loma el valor k sobre el conjunto Nk (k =O, 1, ... , r) es una función ordinal del grafo G. En la fig. 6.21 l'(N,) = 0, está ex· puesto un grafo cuyo conjunto de vértices cslá partido en subconjuntos No, Ni, ... , N,.

A la par con la función ordinal sobre el conjunto de vértices del grafo se define también una función numérica op. Por medio <le esta función se determinan las características numéricas <le los problemas, que han de ser optimizadas. Supongamos que (xi, xi, ... , x.) es un camino en el grafo G, es decir, Xi. x2, ... , Xn E X; x, +,E J'(x1) (i = 1, 2, ... , 11 - 1). Llamemos

189

®/º----~º 0 9

N,. N, N,

F1~.<· zr. Fif, 6.22

valor de ('$IC camino a 1111 número A= .p(x1) + <p(x2) + ... + .p(x,.). A veces la función numérica .p se define 110 sobre los vértices, sino sobre

los orcos. En tal caso se llama valor del camino (xi. xi .... , Xn) a un número A =- <P(Xo •• xi} + <P(X>, XJ} + ... + \f'(X,, - ,, x,,).

Muchos problemas de optiuuzación tienen la siguiente formulación: hallar entre cierto conjunto de caminos P el mínimo (o el máximo), es decir. un camino que posca el valor mínimo (o el máximo) de A. Como" conjunto P podemos elegir, por ejemplo, el conjunto de todos los caminos hamiltonlanos. En esta sección analizaremos el problema de hallar un camino mínimo y máxlmo entre todas los caminos que unen dos vértices fijos.

Teorema 3 (de optimalidurl). Supongamos que un cierto camino que une el vértice ,. de nivel 111 y el vért ice x ' de nivel s. es mínimo (máximo). Eutouccs, su subcamino entre el vértice y de nivel k y el vértice y' de nivel p (111 ~ k < /1 ~ .1·) e~ también minimo (máximo).

Dcmostracián. Sea el camino (x, ... , y, ... , y', ... , x') mínimo. Si su subcaruino (J', ... , y') no es mínimo, existe, entonces, otro camino de y a y' de menor valor. Susrituyamos el subcamino anterior en el camino (.\', ... , x') por uno nuevo, y obtendremos, como resultado, el nuevo camino desde x hasta x' de menor valor, lo que lleva a una contradicción,

El teorema alegado yace en la base del método para hallar los caminos minimos en un grafo sin comernos. Este método fue propuesto por Bcllrnan y obtuvo el nombre de método de programación dinámica.

Expliquemos la esencia de este método con un ejemplo. Sea dado un grafo G = (X, U) (Iig. 6.22); Ja función numérica viene dada en los arcos. Buscaremos el camino de M a A con el valor mínimo.

La función ordinal O{x) adqmcrc los siguientes valores: O(M) ~ O; 0(1)) = 0(1\) ~ l. O(l/) "" O(C} = 2; O(A) .,. 3.

Examinamos sucesivamente, a partir de A, todos los vértices del grafo en el orden de decrecimiento de su función ordinal y asignamos a todo vértice un número igual al valor mí11i1110 del camino que separa dicho vértice de A.

Para buscar los caminos minimos en los grafos que tienen contornos t90

existen rambién métodos dilcrcutcs. Puede ocurrir que en rules grafos 110 haya caminos máximos.

Al¡:orihno de Forcl. Supongamos que una fuucióu numérica / viene dada sobre los arcos del grafo G que no tiene contornos. Podemos con­ siderar que I toma sólo valores posuivcs (de lo contrario, esto puede cou­ seguirse con facilidad agregando un número suficientemente grande a todos los /(x1, x¡)). Se requiere hallar el camino mínimo que lleva desde Xu hasta .\;,, /\ lodo vértice x¡ le a~ii;narcn1os ~hnbolos de acuerdo con el siguiente algoritmo:

1) pongamos >., -- oo en cada vérucc S;, xalvn >.., .. O; 2) buscamos un arco (x,, .\j) tal que X, - >.; > l(x;, ~j) y sustituimos A.,

por X, + /(xi, x,) < >.,, procedemos de csrc modo hasta que se haga posible encontrar un meo que disminuya por lo menos 1111 solo valor.

Demostremos que el número >.,., hallado según In regla cituda, será el valor del camino mínimo de .10 a x .. (si An = CX), tal camino no existe).

Se puede indicar un vérttcc .\r, tal que con ayuda del arco (x,,. .\"n) se haya disminuido el valor de >..,, por In última vez, y

>.,, = x., -t- /(,.\",, x,.).

Análogamente, existe un vértice x,, tal que >v, = >.,, + l(x,. x,,),

c11·. La sucesión ll,,, >.,,. >.,,, . c.~ es1 ri1·1a111c1llc decreciente. Poi· con- siguiente, para cierto k obtenemos A,,., = O, es decir, x,,,, = .1¡,,

Demostremos que el irincrano (x0, x,,. x,1, ••• , x,,) es 111i11imo (su valor es igual a >.,,). Tomemos u11 camino arbitrario que lleva de X<> n x,.; (x11, x,.,, x,,,, ... , x1 ••• 11.). Son v~\lida~ l:1s siguientes corrctncioncs

ll,., - O~ /(xo. x.,,); ll,., - JI,., ~ l(x11,. x,,1);

>.,, - >..,_ i;:;; l(x,,_, x,,).

Al sumar termino a término estas desigualdades, obtendremos An ~ l(xo, X11,) + l(xv,. x,.) + ... + l(xv •• x,,),

lo que se trataba de demostrar, Observemos que el algor it 1110 de Fonl puede empicarse para buscar el

camino máximo en los grafos sin contornos. En este caso se debe poner >., = O para todos los ven ices sin excepción alguna, y luego sust ituir >.¡ por >.; = >.; + /(x,, Xj), si Aj> )..io hasta que se pueda aumentar >..,.

Mencionemos, por fin, el algoritmo de 13ellman-Kalaba. Este último emplea el llamado principio de optimalidad: "cualquier subcamino del camino mínimo es un camino mínimo entre los vértices correspondientes".

Sea un grafo orientado G "' (X. U); !XI = n + l. Numeremos todos los vértices de O hasta 11.

191

Sea 11; un valor que se le asignn al arco (x1, x¡) (!;¡ = eo , sí (x;, x;) 1 U; lu = O, si i = j). Buscaremos un camino (xo, x,,, ... , X;., x,,) tal que el valor del camino lo,;, + /,,,. + ... + 11, ... sea mínimo.

Examinemos el sistema de ecuaciones U; = mín (1.~ ·I J,,); i = O, 1, 2, ... , 11 - I;

Í"' j =o. 1, 2, ... , 11.

Entonces, las solucloncs ti, de este sistema son valores de los caminos mínimos de x¡ a .x,.: i = O, t •... , 11 - l. El hecho de que los valores de los caminos mínimos satisfacen el sistema mencionado se deduce del prin­ cipio de optimalidad. La afirmación recíproca de que las soluciones del sistema son valores de los caminos óptimos se deducirá del algoritmo que· se usa para hallar U;.

Pongamos u~º>= /;,,: , = O. 1. 2, ... , n - 1; u~O) = O

Calculamos succsivnuicntc: ul'1 = mín(v}"> + 1,1); 1, ¡ = O. l, 2, .... 11 - !;

J~i

ulll = 111ín(t1t · 11 + 11¡); t'~•k) = o.

Los cálculos se realizan hasta que se cumpla el sistema de igualdades vlk¡ = vfk - ll; i = O, l. 2, .... 11.

Dd proccdi111ic1110 que se usa p;1ra el cálculo se deduce que ul'"' c., el camino minuuo del vé1ticc x, al vértice .l.;, entre lodos los caminos que pasan no 111ás que por 111 arcos. Por consiguiente, para hallar la solución del sistema son suficientes n - \ iteraciones.

Ha tic noturse que el ulgoriuno de IJcllman-Kalaba puede ser aplicado para la búsqueda del camino máximo en un grafo sin contornos. Para ello es suficiente sólo sustituir en todas las correlaciones mín por rnáx y poncí 1,1 ígual a - oo, si el arco (x1, X¡) no se contiene en el grafo.

6.5. fWJOS EN LAS REDES

Al resolver los problemas extrcmales se empica a menudo su interpreta· ción en términos de los flujos en las redes. Se denomina red a un grafo orientado conexo G = (X. U) con un conjunto de vértices X y un conjuntó de arcos U, donde a lodo arco (.r;,x1) E U se le asigna una característica numérica no negativa e(:<¡, x¡) que se llauia capacidad de paso. En G se distinguen dos vértices fijos: s y t: s se denomina entrada (también se cono· ce como fuente), e se denomina salida (también se llama, a veces, vertedero) y los restantes vértices son intermedios. ··

192

Se llama flujo estacionario de valor u desde s a t de la red G = (X, U) = (X. I') a una función numérica/, definida en el conjunto de arcos U, que satisface las siguientes ecuaciones lineales y desigualdades:

{

ti X= s. L; f(x. y) - ~ /(y, x) = o: x ~ s. t;

Y•rt>) J·1r· '¡,¡ - U, X = t; (1)

O ~ f(x, y) ~ c(x, y) para cualesquiera (x, y) E U (2)

Introduzcamos las stguienrcs designaciones con el fin de simplificar las notaciones de las correlaciones de flujo.

Sean X, Y ciertos conjuntos; entonces, por (X, Y) se entenderá elcon­ junco de todos los pares (~~ y); X E X. y E Y.

Pongamos para cierta función g(x, y) y h(x):

g(X. Y) = L; g(x, y); (.•·, y)<IX, 1·)

h(X) = L;IÍ(x). x<X

El problema del flujo máximo estacionario es el problema de maximiza­ ción de la variable u que obedece a las restricciones de flujo (1) y (2).

Se denomina corte L en !!_red (X, U), que ~cpara los vértices s v.i. a un conjunto de arcos (Y, Y). donde Y\;; X, Y ~ X - Y, s E Y, t E Y.

El número c(Y. Y) lleva el nombre de capacidad de paso del corre (Y, Y). Señalemos que cualquier camino de s a t contiene al menos un arco

del corte (Y. Y}. Por eso, si de la red se excluyen los arcos de tal o cual corte, en la red nueva no quedará ningún camino de s a t, y el valor del ílujo máximo por la citada red será igual a cero. Se pone claro in­ tuitivamerue que el valor u de un flujo arbitrario f no sobrepasa la capacidad de paso de cualquier corte. Demostremos que esta afirmación es cierra.

Lema l. Sea/un flujo desaten la red (X, I') <le valor u; supongamos que (Y. Y) es un corte que separas de t. Entonces

u = j( l'. Y) - f( Y. Y) ~ e( Y, Y}. Demostracion. Reescribamos las relaciones ( 1) en una forma más

compacta: .f(s, X) - f(X, s) "" u;

/(r, X) - /(X, x) = 0; X ;X s. t; j~t. X) - f(X, () = - 11.

Sumemos término a término aquellas de estas relaciones que se refieren a x E Y. Teniendo en cuenta que s E Y. y t E Y, obtenemos

u ::. /(Y. X) - /(X, Y);

t93

"• 1/X,. X,J

I I

/

/ /.J ¡ (XD• X0) I

"·' haciendo uso de la relación X= YU Y, obtenemos

u =f(Y, YUY)-/(YU Y, Y}= =/(Y. Y) +/(Y. Y> -/(Y. Y) -/(f. Y)=

,.. /(Y, Y) - ¡(Y, Y).

Resta por observar que /(-Y: Y) ~ O;}( Y. Y) ~e( Y, Y), con lo que queda demostrado el tema.

Et corte ele capacidad de paso mínima (el cual siempre existe, puesto que el conjunto de todos los cortes es finito) se denomina mínimo. De lo demostrado más arriba se deduce que la intensidad del flujo máximo no sobrepasa la capacidad de paso del corte mínimo.

Veamos la red expuesta en Ja fig. 6.2J, donde el primer número en el arco es igual a su capacidad de paso mientras que el segundo numero, ul valor de la función 11. Entonces, (X,,, Xu) y (X,, X1), donde X.i = [~; x,, xi, XJ l y X, = Is, Xi l. son cortes mínimos de Ja red con una capacidad de paso igual a 4. Observemos, además, que en dicha red fluye el flujo rnáxhno cuya magnitud es también igual a 4.

El siguiente teorema sobre el flujo máximo y el corte mínimo es el resultado principal referente al flujo estacionario máximo en la red.

Teorema 1. En cualquier red el valor máximo de un (lujo de s a t es igual a la capacidad de paso mínima del corte que separa s de t.

Detnostracián. Del lema 1 se deduce que resulta suficiente comprobar la existencia del flujo f y del corte (Y, Y), para los cuales el valor del flujo y la capacidad de paso del corte son iguales. En este caso el flujo será máximo y el corte, mínimo.

Tomemos el flujo máximo f (tal flujo existe, evidentemente, aunque pueden haber varios <le ellos) y definamos de una manera recurrente algún corte:

a) s E Y,' b) Si x E Y, y f(x, y) < c(x, y), entonces y E Y; si x E Y, y /(y, x) > O,

entonces y E Y. Demostremos que el conjunto obtenido (Y, 2'.) es un corte en Ja red

G = (X, U). Para ello basta demostrar que t E Y. Supongamos que esto no es así. Entonces, de la definición del conjunto

194

Y se desprende que existe un camino de s a I (s, X1, xi, •.. , Xn, t) que posee la propiedad de que para todos los arcos (x1. X;+ 1) del camino citado tiene lugar o bien

f(x;, x1.1) < c(x¡, X1+1), (3)

o bien

Itx. + 1, X¡) > 0. (4)

Sea t1 el mínimo de la diferencia e - f, calculada en aquellos arcos del camino (s. x,. ... , x,., 1), para los cuales se vcri fica la desigualdad (3), y sea c2 el mínimo de f en iodos los arcos· inversos, en los que se verifica la desigualdad (4). Pongamos 1: = mín l c1, e2 J > O. Modifiquemos ahora el flujo f del modo siguiente: aumentemos f en la magnitud ten los arcos del camino (s, Xi, .•• , x,., t), sobre los cuales se verifican las desigualdades (3) y disminuyamos/en la magnitud ten los arcos inversos, sobre los cuales se verifica (4). Una función, definida de este modo, será, evidentemente, el flujo en la red des a 1, cuyo valor es igual a u + c. Mas, esto contradice la suposición de que el flujo fes máximo. Por consiguiente, t E Y, y el conjunto (Y. Y) es el corte que separa s de t.

Oc la definición tic Y se deduce: /(x, i) = c{x, i) para (x, x) E ( l~ Y);

/(x. x) = O para (.\-, x) E (Y. Y).

Por consiguiente, 11 .; .{( Y, Y) - /( Y. }') -= <'( Y, Y).

El teorema está demostrado. Del lema demostrado 1 y del teorema 4 pueden deducirse algunos

corolarios. Diremos que cierto itinerario de s a t aumenta el flujo /, si para cada

arco U o bien /(U) < c(U), o \Jic11 f > O en el arco inverso de U. Corotarto l .. CI ílujo fes máximo, cuando y sólo cuando no existe

ningún itinerario que aumente el Ilujo /. · El arco (x, y) se llamará saturado de flujo f, si f(x, y) = c(x. y), y libre

del flujo, si/(.\¡ y) = O. Corolario 2. Un corte (Y. 'Y) es mínimo, si y sólo si cada flujo máximo

f satura todos los arcos del corte (Y. -Y) y deja libres todos los arcos pertene­ cientes a (Y." Y).

El siguiente teorema demuestra que el corte mínimo (Y. Y) construido en el teorema 4 110 depende, en realidad, de cómo se elige el ílujo máximo/.

Teorema S. Supongamos que (Z, i) es un corte mlnimo arbitrario;/, cierto flujo máximo y (Y. Y), un corte construido por el flujo f en el teorema 4. Entonces

r s z. 13• 195

Demostración. Sea y f;Z; enronccs y E z e Y. Demostremos la siguiente afirmación: (YnZ, YnZ) es también un corte mlnimo. Para la demostración hagamos uso del corolario 2. Sca x E Y() Z, y x E Yn Z. Por consiguiente, x E Y,' x E Z; x E ZU Y. y, por tanto, (x, 1) pertenece por lo menos a uno de los corles: o bien u (Y. Y), o bien n (Z. Z) y entonces, de acuerdo con el corolario 2, el flujo máximo satura el arco (x, x). Análogamente se puede demostrar que el flujo máximo arbitrario f deja libre el arco (1, x). Por consiguiente, (Y() Z, ·y n 7,) es un corte .mínirno.

Supongamos que el vértice x E Y, y x q Yn 7.. l\nronce.~. x ;<! s, y existe un camino des a x, digamos. (s = Xi, .n .... , x., ~ x) tal que cada uno de sus arcos o bien está saturado de flujo/, o bien el arco inverso no es libre del flujo. Por cuanto sE YnZ, y xE Yni, se encontrará un par (xi, x1•1), en el que X1 E Y(l Z y X;+ 1 E Yn Z. Demostrado el hecho de que (Ynz, ·rnZ) es el corte mínimo, podemos concluir, de acuerdo con el corolario 2, que todos los arcos rectos de él están saturados de flujo /, y todos los arcos inversos de él son libres del flujo/. Hemos llegado, pues, a una contradicción y, por lo tanto, Y s; Z. El teorema está demostrado.

Varias entradas y salidas. Supongamos que el conjunto de vértices x de la red (X, U) está partido en tres conjuntos:

S es un conjunto de entradas, T, un conjunto ele salidas, R, un conjunto de vértices intermedios. Por flujó de S n Tw: entiende una f11111:i(111 111111H:ric11/ que es!¡\ definida

en U y sarisfacc las condiciones: f(x, X) - j(X, X) = 0; x E/?;

/(S. X) - j~X. S) = u; /(T. X) - !(X, 1) = -11;

O ~ f(x, y) ~ c(x, y).

Ensanchemos la red (X, U), agregando dos vértices s" y t • y todos los arcos (s~ S) y (T, t•). Obtendremos una nueva red (X~ U"). Definamos adicionalmente la función de la capacidad de paso e en U", poniendo

c•(S~ X)= oo; xES; c•(x. t~) = oo; x ET;

c•(x, y) = c(x, y); (x, y) E U. Es fácil ver- que el estrechamiento f de cualquier flujo/• de s" a r • en la red (X~ U*) representa el flujo de S a Ten la red (X, Y). Y viceversa, cualquier flujo f de S a Ten la red (X, U) continúa como el ílujo I" de s• a t• en la red (X~ U•):

r(s~ x) = /(x, X) - f(X, x); :<ES; j"(x, / •) = J(X, X) - f(x, X); X E T,

f"(x, y) = f(x, y) en todos los demás casos.

196

Por consiguiente, el problema del flujo máximo de S a Ten la red (X, iJ) es equivalente al del flujo máximo en una red ensanchada con una en­ trada y una salida.

Método de rnarcaclén p1m1 resolver problemas del flujo máximo. Ex­ isten varios algoritmos para hallar el flujo máximo. No obstante, enrabase de la mayoría de ellos yace el llamado "método de marcación". Apoyán­ donos en la demostración del teorema 1 y de sus corolarios, damos a con­ ocer este método eficaz de construcción del flujo máximo y del corte mínimo.

Para asegurar la terminación del proceso, convengamos e11 considerar que la función de la capacidad de paso e toma sólo valores de números enteros. En la práctica esto no es una restricción sustancial .• puesto que las capacidades de paso racionales pueden reducirse a los números enteros a cuenta del cambio de la escala.

Sea dado un flujo f de números enteros en la red (X, IJ). (En el instante inicial el Ilujo f puede ser nulo). Asignemos a los vértices de la red dada unas marcas que pueden tener la forma (x •, e) ó (x "; e), donde x E X, y e es un número natural, o bien eo , Al realizarse la operación A. pueden ser posibles tres estados de un vértice: a) el vértice no está marcado; b) el vértice está marcado, pero no observado; e) el vértice está marcado y observado.

Operación A (marcación). La entrada S recibe la marca (- oo), es decir, c(S) = eo , Ahora la entrada está marcada, pero no observada, mientras que todos los demás vértices no están marcados. En general, elijamos cual­ quier vcrricc x que está marcado, pero no observado. Supongamos que tiene la marca (z"-. i:(x)). Entonces, a todos los vértices y, que 110 están mar­ cados y para los cuales f(x, y) < c(x, y), les asignamos la marca (x +, c(y)), donde

c(y) = min(c(x). t·(x, y) - f(x. y)J.

Ahora los vértices y están marcados, pero no observados. A los vértices que después de esto quedan no marcados, pero para los cuales f(x. y) > O, les asignamos la marca (x-, e(y)), donde

e(y) = mín[~(x), /(x. y)].

f.iies vértices y están ahora marcados y no observados, y el vértice x está marcado y observado. Esta operación se repite hasta que resulte mar­ cada la salida 1, o bien hasta que 110 sea posible marcar ningún vértice. mientras que la salida quede no marcada. En el último caso el proceso de construcción tic f se considera terminado. En el primer caso pasamos a la operación B.

Opcraclón 8 (cambio del flujo). Supongamos que la salida t tiene la marca (y• , t(I)); entonces /(y, t) se sustituye por n» t) + e(t); en cambio, si t está marcado con (y-, r.(t)), entonces f(t, y) se sustituye por f(t, y} - c(t}. Luego, en cualquiera de estos casos pasamos al vértice y. En

197

s

Fig.6.24.

general, si y tiene la muren (x•, r.(y)), c11(<>11cc.~ /(x. y) se ~11.~ci111yc por f(x, y} t- c(I}, y si el vértice y cslü marcado w11 (.\' , r.(y)), entonces f(y, x) se sustituye por /(x. y) - 1:(1}, 1.h:sp11és de lo cual se pasa al vértice x. Conseguida fa entrada s, el cambio del flujo se da por terminado. Se borran todas las marcas y de nuevo se pasa a la operación /\ para el nuevo aumento del flujo,

En el proceso de marcación, si pasamos de la operación A a la B, esto quiere decir que hemos encontrado el camino de s a t, que aumenta el flujo f. En cambio, si la operación A está tcrminadn, mientras que Ja salida, no marcada, entonces el flujo fue máximo y el conjunto de arcos que unen los vértices marcados con los no marcados, forman el corte mlnimo.

Veamos ahora un ejemplo que ilustra la aplicación del método de mar­ cación para resolver los problemas de flujo máximo. Sea una red expuesta en la fii;. 6.24 con la cut rnda .1· y Ja :;ali da t. Las capacidades de puso de los arcos vienen indicadas también en c.Jiclrn fii;ura. Se requiere hallar el flujo máximo de s a t.

Operación A. Asignemos al vértice s una murca ( - oo), El conjunto de vértices (xJIA) E f'(s), f(s, .\'j) < c(s, x¡),) X¡ no está

marcado J es l X1, x.1 J , al vértice x, se le asigna la marca (s • ; mín ( =. 14-0 )), es decir, (s ", 14); al vérticc x, se le asigna Ja marca (s+; mín] oo, 23-01 }, es decir, (s • , 23}.

El conjunto (xh:; E r- •cs).J(x¡; s) > O, x; no están marcados l es vacío. Asl pues, el vértices está marcado y observado; los vértices x1 y XJ están marcados y no observados, y todos los demás vértices, no marcados.

Observemos ahora el vértice x, 1 xJlx¡ E T(x1 ), /(xi. x¡) < c(xi. XJ), XJ no está marcado) a t xi), para x2 de marca sirve (x t; mín ( 14, 10-0 l) = (x t; IO). {xAx1Er-1(x1). f(x;, xi) > O, x1 no está marcada 1 = 0. Ahora los vértices s y x1 están marcudos y observados. mientras que los xi y X¡, mar­ cados, pero no observados.

Al tornar para la observación el vérliccx2, obtenemos las siguientes mar­ cas: (x2'; 10) para x;¡ y ({x2+; 10), para x-,

Al lomar para la observación x,, llegarnos a que no se puede poner ninguna marca. Al continuar la observación desde el vértice .14, obten­ dremos las siguientes marcas: ((xt; 10) para ,\'5, ((.d; 4) para X6 y (x6•; 4), para l.

Operación B. Aquí obtenemos: x: = t; j(X6, /) = o + 4 = 4; x: = X6;

198

(Sº. 141 t«; 10} (xpOJ x¡ 104 "' 18 "'

1-, ooJS t fKS '4}

V •4 "1 ., "• Fig.6.25. (S •• 23} ("'-,,10} fx;,4)

f(x., X6) = O + 4 = 4; x: = x.; f(x2, X..)= O+ 4 = 4; x: =xi; f(>ú, X~) = 0 + 4 = 4, X = X¡;

La forma del flujo al final de la operación By las marcas de los vértices antes de que ellas quedan borradas se muestran en la fig, 6.25, donde el primer número en el arco indica la capacidad de paso, y el segundo, el valor de la función /.

Borrando las marcas de los vértices y volviendo a la operación A para Ja segunda pasada. obtendremos nuevas marcas de los vértices {los vértices marcados, pero no observados, los observaremos cu el orden de crecimiento de sus números ordinales).

Operacién A. la marca paras será ( - , <0); para x,, (s •, 10), y para XJ, (s • , 23; ahora el vértice s está marcado y observado. La marca para xi será (Xi~ 6) y el vértice x, queda marcado y observado. La marca para .\:a será (xz~ 6) y para x,, (xz•. 6). Ahora el vértice x2 está marcado y obscr­ vado, igual que el vértice .~J. La marca para Xs scJ<Í (x;,', 6) y el vértice x. se hace marcado y observado. l .a marca para x6 será (xs•, 6) , después ele lo cual el vértice xs será marcado y observado. Por último, la marca para r será (x¿'; 6).

Operación B. El nuevo flujo ha aumentado del modo siguiente: f(XG, r) = 4 + 6 '" 10; Ji»; -~~) = o + (Í = 6; j(X4, .\'5) = o + 6 = 6;

/(x2. x.) = 4 + 6 = JO; ftx«, X2) = 4 + 6 = 10; f(s, xi)= 4 + 6 = 10. Todos los demás valores de la r11m.:ión/q11cda11 los mismos. La forma nueva del flujo y las marcas de los ven ices se muestran en la íig. 6.26.

Conriuuando el proceso, obtenernos tras cada paso del algoritmo, los flujos y las marcas que se muestran sucesivamente en las figs. 6.27-6.29.

El algoritmo finaliza su trabajo cuando ningún vértice puede ser mar­ cado, como tampoco la sahda t: las marcas "finales" se muestran en la fig. 6.30. El flujo expuesto c11 la fig. 6.30 es, por eso, el máximo del valor 29, nucntras que el correspondiente corte rnínimo en este dibujo está representado con una Iíucu punteada.

f::jN<f<iC>s. t Hállese, empleando d mc1nJo de mnrcación. el llujo nt~•imo de I« entrada s a la

salida I CI\ fUS rC(IC~ C.~(HJCSla~ en f~S fl~S.. 6.JI 0 y 6.}lb. Junio a los QfCQS ('U la rJ&. 6.JI ~e 11H.hc:u\ IM c:l¡>ac1~1:u.k<. de paso y h•"i vHlvres comentes lk la fondón del OuJo J

199

rs·.101 {x',, 61 (x;,lil

[r-, -1 s e (x6. 6)

V~ 10

"J 26.0 x, {S~ 23) fx",. 61 "•

[x; •• GI

ts-, 4J (x;. 11)) fx;, 101

t-, _, s

18

c(xi;. 1)

V~ 11 x3 26,1

(S ', 231 Fig.6.27.

ts-. 4J ta, tot (x',, 101

(-.-IS

18.10 I<¡

c(x;, 10)

V• 21

"J 26,11 x,

'""· 22) Fig.6.28.

(S',4) {1<;, 81

t-, •)S

18,10

fx;, 81 x,

20, 18

t(x;. 8)

V •29

x, 26.19 x, 4. 4 (S •,121 fx;, 121 fig.6.29.

200

(S ', 4) 10,10 • x, 18,10

fip,.6.JO. x,

(S',4) x, 4,4 (xj. 41

••

2. Hillcsc el corte mínimo que scpara lo entrada s de la salida 1 para la& redes del cjcn:icio l. ¿Sa1111ará el ílujo máximo iodos los arcos de este corre?

3. Enúnciense las condiciones, bajo las cuales en una red arbicrarfa existe un camino. que aumenta el ílujo, de 13 entrada s a la salida 1. que sea compuesto (megrameme de arcos inversos (arcos rectos).

Del algoritmo de marcación se deduce que si el flujo original era de números enteros (es decir, /(u) representaba números enteros para cualquier 11 E U), entonces iodos los flujos que siguen después de los aumentos resultarán ser de números enteros. Por consiguiente, es licito el

Teorema 6. Si Ja función de Ja capacidad de paso e es de números enteros, existe un flujo máximo que también es de números enteros.

Restricciones inferiores de los flujos de arco, En la definición de flujo, en lugar de Ja desigualdad (2) podemos hacer

l(x, y) ~ f(x, y) ~ e (x. y), (.5)

donde l(x, y) es una función real definida sobre los arcos del conjunto U, y O ~ lix, y) ~ c(x, y). .

El proceso de marcación se extiende inmediatamente a este caso con algunas variaciones insignificantes. Siendo vigentes las restricciones (S), se demuestra con facilidad el análogo del teorema básico 4.

Teorema 7. Si existe una función f que satisface, para cierto u, las desigualdades (S) y ecuaciones (1), entonces el valor máximo del flujo de s a fes igual al mlnimo de la diferencia c(Y. Y) - r(Y. Y) lomado en lodos los cortes (Y, Y) de la red.

Más abajo se demostrarán los teoremas que proporcionan las condi-

., x, J.I

4.2 s s x,

., a b

201

rig.6.31.

cienes necesarias y suficientes para Ja existencia de los flujos en las redes, las cuales satisfacen diferentes desigualdades lineales.

Teorema de demanda y oferta. Sea C ~ (X. U) una red arbitraria con la capacidad de paso e = e(..\~ y), donde (x, y) E U, y X está partido en tres conjuntos: X = SUR U 7: S son las entradas, R son los vértices in· termedios, T son las salidas. A todo vértice x E S se le asigna un número a(x}, y a cada vértice y ET se le asigna el número b(y); a(x) ~O, x ES; b(y) ? O, y E T. El número a(x) puede entenderse como oferta de la mer­ cancía en la entrada x; b(y), como la demanda de la mcrcancia en la salida y. Surge el siguiente problema: ¿cu<\h:s son las condiciones necesarias y suficientes. bajo las cuales la demanda en las salidas puede ser satisfecha por la oferta en 1<1s entradas? En el lenguaje algebraico esto puede ex· prcsarsc así:

/(.l.; X) - /(X, X) ('. n(x); X E S; /(x, X) - /(X, x) "' O; x E R; f(X, X) - /(x, X) ~ b(x); X E T.

O ,¡;; /(.>.; y) ,¡;; c(x, y),

Teurcma 8. Las rcstuccioncs (6). donde a(x) ~ O y ó(x) ~ O son ad· misiblcs cuando y sólo cuando para· cada subconjunto Y s;; X·

(6)

urr. ñ - a(Sn Yi ~ c(Y. Y). (7)

Oentostracion. Demostremos al principio la necesidad de la desigualdad (7). Supongamos que cxrste un flujo f que satisface las condiciones (6). Al sumar estas desigunldudcs respecto de todos los vértices x E Y, obt cuernos 1111a dcsiguald ad

urt, °Y) - a(Sn h ~/(X. Y) -/(Y, X).

X== YU-)'~ por lo cual (8) puede ser transformada:

urr. Y) - "(.rn Y ~/(Y. l') - f<Y. n Haciendo uso del resultado del lema 1, demostramos la necesidad de la condición 7.

Demostremos ahora la suficiencia de la condición (7). Hagamos en­ sanchar la red C = (X, U), uniendo la entrada ficticia s, la salida t y los arcos (s. S) y (T, t). Obtendremos una red nueva K, tr: La función que curactcriz« la capacidad de paso sobre u· Ju definimos según las fórmulas:

(8)

<_.(s. x) = "(x); .\'E S; c'(x. t) = b(x); xE T,

e" (x, y) "" c(x, y); (.Y. y)€ U.

t.a validez de la desigualdad (7) significa que el corte (T. 1} en la red (X', U') es mínimo. Demos: rémoslo. Sea (y'), l'') un corte arbitrario que separa

2()2

s de t. Pongamos Y= y' 's. X= x: ' t, entonces c'(Y', Y) - c0(T, t) = c'(Y. t) + c'(s, Y)+

+ c'(Y, Y) - c'(7; 1) = b(T() Y)+ n(S() Y)+ c(Y, Y) - b(7) = ~ -b(Tn ·9) + a(Síl Y) + c(Y, Y).

Aplicando el teorema de flu]o máximo y corte mínimo, llegamos a que el cumplimiento de la condición (7) tiene por resultado la existencia del flu]o .f des a t en la red (X'. U') que satura todos los arcos del corte (T. 1). En tal caso el flujo f que representa 1111 cst rcchamicnro del ñu]o .( en In red (X, U) satisface las condiciones (6), puesto que

a(x} ~ .r (s. x) = .r (x. X) - .r (X, X} = f(x, X) - /(X, x): X ES; b(x) = .( (x: 1) =.((X, x) y / (x. X) =/(X, x) - f(x, X); x E T.

El teorema está, demostrado. Teorema de circulación. Demostremos un teorema más, en el cual se

trata de la existencia de las circulaciones, es decir, de los ílujos que están privados de entradas y salidas y que están limitados en los arcos por las fronteras superiores e inferiores prefijadas.

Supongamos que para la red (X, U) están prefijadas I y e, es decir, las funciones de frontera inferior y superior, respectivamente, en U. La cir­ colación admisible en In red (X, Y) es], que está definida sobre U y que satisface las condiciones:

f(x, X) - /(X, X) =O; X E,'(;

O ~ l(x, y) ~ f(x. y) ~ c(x, y); (x. y} E U. (9)

(10)

Teorema 9. Para que las rcstríccíoncs (9) y (10) sean admisibles, es nece­ sario y suficiente que para cualquier Y s; X se cumpla la d~sigualdad

c( i: -Y¡ ~ /( >: Y).

Demostracián. Hagamos ensanchar !a red (X, U) añadiendo dos vértices· s y t, y un conjunto de arcos (s, X) y (X, r). En la nueva red (X~ U•) ' definamos una función que tiene una capacidad de paso según las fórmulas:

c•(x, y) es c(x, y) - l(x, y); (x, y} E U; c •(s, x) =- /(X, x}; x E X; e •ex. 1) = J(x. X); x E X.

Si en Ja red (X, U) existe una circulación admisible f, entonces ésta engendra el flujo/~ des a t en la red (X~ U•):

¡•ex. y) = /(x, y) - l(x, y); (x. y) E U: j*(s, x) = /(X, x); x E X; f"(x, 1) = u»: >-1; x E X.

203

Al contrario. si en la red (X~ u•) existe un flujo J•(x, y), entonces en la red (X, U) puede determinarse In circulación f(x, y) al poner;

t(x. y) = f*(x, y) + l(x. y) para (x, y} E V.

Se comprueba con facilidad el cumplimiento de las relaciones (9) y (10). Así pues, el problema se ha reducido a la cuestión sobre la existencia

del flujo des a 1 en la red (X~ u•) de valor /(X, X). La condición necesaria y suficiente para la existencia del flujo citado de s a t de valor l(X, X) consiste en que las capacidades de paso ele todos los cortes sean no menos de «x, X).

Sea (Y. -Y•) un corte que separa s ele ten Ja red (X~ U•). Definamos el conjunto Y !: X del modo siguiente:

Y = Y• -, s; Y = Y• <, 1.

Entonces: c•(Y~ Y-)= c•(YUs, YUt) = c•o~ Y)+ c•(s. Y)+ c•(Y. t)"'

=·e( Y. Y) - /(Y. °f) + /(X, Y) + /(Y, X) = e( Y. Y) + + 1p: Y) + /(Y. .X) = e( Y. Y) + /(X, X) - f( Y. Y).

Por consiguiente, c•(Y~ Y*) ~ to: X) cuando y sólo cuando e( Y, Y) ~ /()~ Y).

Con ello queda dcmosrrado el teorema. Por úlruno demostremos el análogo del teorema ele Konig (véase§ 4.1),

ilustrando de este modo su conexión con el teorema sobre el flujo máximo y el corle mínimo.

Sea G = G(SU T; U) un grafo bipar tido arbitrario sobre un con111010 ele vértices SU Tcon un conjunto de arcos U, cuyos arcos están todos oricn­ tados de Sen T. Se denomina combinación de pares en el grafo G un sub· conjunto E de aristas, de las cuales ningún par tiene vértices comunes. Un conjunto de vértices se denomina (S. 1)-sepnrador, si la eliminación en el grafo de los citados vértices junio con los arcos incidentes con ellos rompe iodos los caminos que van desde los vértices del conjunto S a los vértices del coniunro T.

Teorema 10. Sea G = G(SU T. U) un grafo bipartido. Entonces, el número máximo de arcos ele la combinación de pares en el grafo Ges igual al número mínimo de vértices en el conjunto (S. 1)-separaclor.

Demostracion. Juntemos al grafo en consideración O dos vértices s y t, y también los arcos (s. S) y ( T; 1), y para lodos los x E Se y E T definamos las capacidades de paso de los arcos del grafo:

c(s. x) = I; XE S; c(x, t) = I; xE T. (11)

c(x, y) = =: (x, y) E U.

204

Sea f un flujo máximo arbitrario de s a 1, que se mide en números enteros, y sea (Y. Y) cierto corte mínimo que separas de 1. Teniendo presente (11), concluimos que los arcos del conjunto f = ((x, y) E U; j(x. y).,, 1 l no tienen vértices comunes de dos en dos. El conjunto D = (S n Y) V (Tn Y) es (S. T)-scparador, con la particularidad de que D se encuentra en una correspondencia biunívoca con los arcos del corte míni­ mo (Y, Y). Al hacer uso del teorema sobre el flujo máximo y el corte mini­ mo; llegamos a que si 11 .cs el valor del flujo máximo f. entonces 111 = 1.01 = v. Por otra parte, el número máximo de arcos del grafo G que no tienen vértices comunes tic dos en dos no es, obviamente, superior al número mínimo de vértices en cualquier conjunto (S, 7)-separador. El 'te­ orema está demostrado.

A las relaciones existentes entre el teorema sobre el flujo máximo y el corte mínimo y otros problemas combinatorios ext remates volveremos una vez más en el § 8.1.

El dominio de los problemas cxtrernalcs de carácter discreto es enorme. Los esfuerzos de muchos matemáticos están dirigidos a resolverlos. Han sido elaborados algoritmos para la resolución de algunas clases de pro­ blemas. No obstante, no existe todavía una teoría integra y única en dicho dominio.

CAPÍTULO 7 M~:TODOS I>RODAllILÍSTICOS EN EL ANÁLISIS COMBINATORIO

7.1. EJEMPLOS DI~ APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS l'UOllAnlLÍSTICOS

En el § 2.4 se han estudiado las aplicaciones del aparato combinatorio de funciones generatrices a los problemas de la teoría de las probabilidades (para 1111 conocimiento más detallado de esta última se recomienda el libro (82}). En el presente capitulo el planteamiento del problema será inverso. Daremos a conocer 1111 método (o, incluso, un grupo de métodos) de resolu­ ción de los problemas combinntorios por medios ele carácter probabilístico. La esencia del método consiste en que los objetos combinatorios que se investigan se interpretan como sucesos en cierto espacio probabilístico discreto. Se demuestra que en este espacio la probabilidad de que un objeto, poseedor de las propiedades dadas, se realice es positiva. De este modo se demuestra la existencia de tal objeto, aunque dicho objeto no se cons­ truye explícitamente. El método no es perfecto por su carácter no construc­ tivo, sin embargo, en muchos problemas combinatorios resulta suficiente establecer el propio hecho de existencia de un objeto. El método que se describe emplea el aparato desarrollado ele la teoría de las probabilidades, lo que permite simplificar razonamientos engorrosos.

Expliquemos la esencia del método con ejemplos concretos. Estimaciones tic los números de Rainscy, Enunciemos el teorema de

H;1111scy del p;\1 raro 3.J ¡lara 1111 casn particular en que r = ( "' 2, l/l :: </1 ,.. k.. - . -

Teorema l. Existe un número natural mínimo n - R(k) tal que para cualquier coloración en dos colores de las aristas de un grafo no orientado completo de 11 vértices se cucontrara un subgrafo completo de k vértices, cuyas aristas están coloreadas de un mismo color.

Demostremos por el método probabillstico la estimación inferior para los números de Ramsey R(k).

Teorema 2.

R(k) ;;¡, k·2ui. (· ~--- + o(I)) para k _, eo , v2c

Demostracion. Analicemos 1111 grafo completo con un conjumo de vfr­ tices X, donde IX! = 11. A título de espacio probabilístico elijamos el con­ junto de tocias las colorucioues lle sus aristns en 2 colores: rojo y azul. Todas las colcrncioncs son cquiprobablcs, es decir, cada arista se colorea, independientemente de las otras, tic color rojo con una probabilidad igual a 1/2, y de color ami, con una probabilidad de 112. Examinemos un k­ subconjuruo Y i; X. La probabilidad de que todas las aristas del subgrafo

206

generado por Y estén coloreadas de rojo será igual a 2 - (~). Para el color azul esta probabilidad es la misma. Por eso, la probabilidad de que el sub­ conjunto dado de los vértices Y genere un subgrafo monocromático es igu::il

a 2·2 - (~) = 21 - (~). El conjunto Y puede ser elegido por (~) métodos.

Por eso, la probabilidad de la existencia del k-subconjunto Y, que genera

un subgrafo monocromático no es superior a (;) · 21 - (~). Por consíguien-

tc, si los números n y k son de tal género que (~) ·21 - C) < J, cn1t~n;cs

el suceso se realiza con la probabilidad positiva p = 1 - (Z) -2 (i). cuando ningún subgrafo generado de k vértices es monocromático. En vir­ tud de la finitud del conjunto de coloraciones esto quiere decir que existe una coloración, para Ja cual 110 existen subgrafos completos monocromáti-

cos de k vértices. Así pues, de G) < 2 (~) - 1

se deduce: 11 < R(k}. Por

consiguiente,

(R(k)) .,, (~) - 1

k V 2 •

Haciendo uso del desarrollo de Stirling k! = kke-~-,/'i;f<.(I + O(J)) para k - oo, obtendremos

R(k)'~k! c~k)) ~f.:!·2(~)-1•

(

.~tL~ 1¡ _ 1) t kl!

R(k) ;;;¡, f.:1<e-k·,hKk ·2 2

-, (1·1-2(1)) =·\~·e ·(I + O(I)),

lo que se requerfa demostrar Propiedad SiJ (véase la definición en el § 1.5). Designemos con m(k)

el número mínimo de miembros en el sistema de k-subconjuntos que no poseen Ja propiedad til. Es fácil ver que el sistema de todos los k­ subconjuntos del (2k - l)-conj1111to no posee Ja propiedad .•.rl, por lo cual

m(k) ~ (<2k; 1)) . La cst imación de debajo para m(k) la obtendremos por el método ele los primeros momentos.

Teorema 3. m(k)~2k-•.

Demostración. Veamos un conjunto V y un sistema A == ! s,, S2 ••••• Sm l de sus k-subconjuntos que no posee Ja propiedad ."11, donde m "' 111(k).

207

Sea C = (V,. V2) una partición del conjunto V, es decir, V "" V, U Y2, Vi n Vi = 0. Pongamos

fv(C) "' p, si Si s;; V;, lo. si S1 <./;Vi.

donde i = l, 2; j = 1, 2 •... , m . Entonces Jll 2

{J(C) = ¿:; ¿; f;;(C) Jr;;;:. t ,., 1

es el número de miembros del sistema A que están íntegramente contenidos en u na de las panes de la partición C.

Sea ahora <:;una partición accidental. donde cada elemento del conjun­ to V pertenece con la probabilidad l/2, independientemente de los otros. elementos, a la primera parte de la partición, y con la misma probabilidad 1/2, a la segunda parte. Entonces, cuando i = 1, 2 para cualquier subcon­ junto S1 de k elementos. tenemos:

Mfv(C) = P!fv(C) = l l = z-k. Calculemos la esperanza matemática ,(.l(C):

"' 2 m 1 M.(.l(C) = ¿; ¿; Mj¡(C) = ¿; L; .:' = m·21 - *.

ja J i• 1 J:w l ;.,. 1

Por cuanto A no posee la propiedad :tl, entonces ,(.l(C) ;;;¡: l para cualquier partición e y, por lo tamo,

M(J(C) ~ l.

/\si pucx, ,,,.2•-~ ;;;¡: 1, lo que se t ratuba de demostrar. Problema sobre la cnutidnd máxima de números cuyas sumas son todas

diferentes. Designemos con g(n) la cantidad máxima k de números natura· les a1, ••• , ae, no superiores a n, cuyas sumas L; a, son todas diferentes

iu para diferentes SS ( I, ... , k \. Está claro que los números l. 2, 4 ... , 2~-1 satisfacen esta condición cuando k ,¡;; 1 +login, por lo cual

g(11) ~ 1 + (Jog2 n].

Por otra parte, cualquiera de las sumas no sobrepasa k11. Si k = g(n), se tienen en rotal 2"1"l sumas diferentes y rodas ellas están encerradas entre O y ng(11), ele donde 2xt•> ~ ng(n). Por consiguiente

sv» ,¡; log2 11 + log2 g(11) ~ 10¡;2 11 ·~ log2(log2 11 + Jog211(11)) = = log211 ~· logi (logi 11) + o(l).

Esta estimación superior puede ser mejorada, si hacernos uso del método tcórico-probabillsuco de los segundos momentos.

Teorema 4.

g(11) ~ log211 + i log2(log211) + O(l) para n - eo ,

Demostracián. Supongamos que los números as, ... , Ok satisfacen las condiciones del problema. Examinemos una magnitud aleatoria g » ~a;,

«s donde Ses un subconjunto elegido al azar del conjunto l 1, ... , k). Cada uno de los elementos de dicho conjunto integra S independientemente de los otros elementos con una probabilidad igual a 112. Por eso,

" " Mf"' b PliES)·a;.,.} ~a;.

i• J , .. l

Cada par de elementos 1 i, j), donde 1 ,;;;; i < j,;;;; le, integra el subconjunto S con la probabilidad igual a 1/4. Por eso,

k

Mf2 =u(~ a;)2 = ~ P(iES)·ar+ ~ P(i, jE5)·2a;a1= itS 1 ~ 1 1 :< 1 <J s lt

k

m = M~2 - (M~)i "" i ~ af. ,_ l

Emplearemos la desigualdad de Chébishev (o > 0): k

DE; 1 """' kn2 P{IE - M~I <al~ 1 - --~z- = 1 - 4<i1L.Ja1~1 - -47· ;~ r

Por cuanto todas las sumas }: a; son distintas, el número de subconjuntos

S s; ¡ 1, ... , k), que sa1isfa~~·:1 la condición 1 ¿; CI; - M~1 <o, no sobre­ .. s

pasa 2c. Por consiguiente,

Pll~ - M~I < oJ,;;;; 2a· GY y

1 - Á'll: ~ (7·2' -k 4v

Al poner o== nVk. obtenemos que ~ ·2k .:;; nVk, de donde encontramos:

k ~ log2 n + {- log2 (log2 n) + o(I) para n .... oo, lo que se requería demostrar.

14-61)1~ 209

7.2. l'ROULltMAS DE l'LANU:ICAClC)N lfüL EXl'ERIMl!:NTO

Examinemos el siguiente modelo matcmárlco del problema de CJC· pcrimentos de rechazo. En un conjunto X = 1 x,, ... , Xn), compuesto de n elementos, hay que hallar s elementos fijos, desconocidos de antemano (llamémoslos defectuosos). Concretamente estos pueden ser los problemas siguientes: búsqueda de tas monedas falsas, determinación de los defectos en un televisor, comprobación de 1111 cable telefónico por medio de un tester, localizucióu de un hombre enfermo en 1111 numeroso gnq'lo (le gente con ayuda del análisis de la sangre, etc,

Los experimentos se llevan a cabo del modo siguiente. Se roma cierto subconjunto Y!:;; X. Como resultado ele las pruebas (test) obtenemos una información que se interpreta según el planteamiento del problema. Por ejemplo, podemos determinar si pertenece al conjunto Y por lo menos uno de los s elementos defectuosos o bien cuántos, precisamente, elementos defectuosos se contienen en Y.

GI juego de conjuntos Y; (i = 1, 2, ... , N) se llama plan de experimen­ tos. Partiendo de los resultados de N experimentos se necesita hallar unívocamente todos los s elementos defectuosos, con la particularidad de que en Ja elección de Y;<;; X (1 = 1, 2, . _ ., N) pueden imponerse algunas restricciones.

Resulta natural dividir el problema ele plauiñcación de los experimentos en dos clases. A la primera clase se refiere la plani ficación estática, donde la elección del i-csi1110 conjunto Y1 no depende de los resultados de los i - l experimentos anteriores. U\ segunda clase es la planificación sucesiva, donde los resultados de las comprobaciones anteriores influyen en el planteamiento del experimento <le rumo. Vcrunos pr imcramcnte el pro­ blema de búsqueda de un elemento defectuoso.

Seas = 1, es decir, entre los elementos del conjunto X = (x1, ••• , ..\;,, 1 hay exactamente un elemento defectuoso. Supongamos, además, que está prefijado el plan estático de los experimentos, es decir, el juego de conjun­ tos Y1 <;; X. i = 1, .•. , N. Basándose en dicho juego se construye la matriz A = laul de dimensión N x n:

(1, Si XjE Y1,

ou = O, si X¡~ Y¡ (1 ~ j ,;;,_ 11; 1 :;;;_ i ~ N).

A la inversa, a base de esta matriz se restablecen unívocamente los con· juntos Y1 (i = I, 2, ... , N).

Lema l. Seas= l. Los experimentos construidos con arreglo a la matriz A = laul restablecen unívocamente el elemento defectuoso cuando y sólo cuando todas las columnas de la matriz A son diferentes.

Demostración. Supongamos que en la matriz A la k-ésima columna es igual a la columna /-ésima. En este caso no podremos distinguir cuál de los elementos es defectuoso: Xk ó xi, puesto que dichos elementos o bien

2t0

pertenecen símuíráneameure al conjunto Ym (1 ~ m ~ N), o bien no lo pertenecen, razón por la cual todas las columnas de la matriz A han de ser diferentes.

A( contrario, sea e; el resultado de la i-ésima comprobación, es decir, e; "' 1, si el elemento defectuoso pertenece al conjunto Yi del plan eje ex­ perimentos construido a base de Ja matriz A = faul, y e1 = O, en el caso contrario. Así pues, realizadas N comprobaciones, obtendremos un vector de resultados e= (e:, e2, ... , eNl (Tes una operación de transposíción). Si el elemento Xk es defectuoso, entonces e coincide con la k-ésima columna de la matriz A = laijl. Por consiguiente, si todas las columnas de la matriz A son distintas, entonces partiendo del vector de los resultados restableceremos unívocamente el elemento defectuoso. La demostración está terminada.

Así pues, el problema de planificación estática consiste ·en hallar la matriz A, compuesta de ceros y unidades, tal que todas las 11 columnas suyas sean distintas dos a dos y el número de filas, mínimo. Este número se denotará con ~~~-

Teorema 5. En el caso de un elemento defectuoso ~::,"" l log2n r.

Demostración. Si todas las 11 columnas de una (0, Ij-rnatriz A, com­ puesta de N filas, son distintas dos a dos, entonces su cantidad no sobrepasa la cantidad de todas las palabras binarias de longitud N, es decir, n ~ 2N. Teniendo presente que N es un número entero y suponiendo N = ,V:!~. obtendremos; N~::, ~ l log2 11 Í.

La validez de la desigualdad reciproca se deduce de que la (O, 1)-matriz, cuyas columnas representan la notación de los números naturales 1, 2, ... , 11 en el sistema binario de numeración, contiene l log1 n r filas. El teorema queda demostrado.

Analicemos ahora un caso en que se trata de dos elementos defectuosos. Si paras = 1 tenemos la fórmula exacta de ,v:;~. entonces cuando s = 2, las estimaciones superior e inferior obtenidas no coinciden. Ya en este caso se manifiestan dificultades de los problemas de búsqueda en la planifica­ ción del experimento para s grandes.

Al igual que paras= 1, al plan estático corresponderá unívocamente una matriz A ~ la11I·

En el modelo lineal de la planiflcación estática obtendremos, como resultado del i-ésimo experimento. una información referente al número de elementos defectuosos que están contenidos en el conjunto Y,. De este modo, el vector de los resultados será una palabra de longitud N sobre el alfabeto [O, 1, 2J.

Lema 2. Una matriz A = laul es el plan estático para s = 2, es decir, restablece unívocamente el par de elementos defectuosos cuando y sólo cuando son diferentes todas las sumas de columnas suyas tomadas de dos en dos.

211

Las sumas de las columnas se entienden como sumas tomadas por com­ ponentes. mientras que la sumación será. habitual:

o + o :::: o, o + 1 = 1 + o = 1, 1 + 1 = 2.

La demostración del lema 2 es igual a la del lema l. La única diferencia consiste en que esta vez el vector de los resultados es una suma de las colum­ nas i-ésima y j-ésima, si (x¡, X¡) es el par de elementos defectuosos.

Teo~cma 6_- En el caso de· dos elementos defectuosos • ··•

N~:~ ~ log, (;). (I)

Demostración. Supongamos que la (0, l)-matri7.. A es de tal género que todas las sumas de las columnas suyas tomadas de dos en dos son diferen-

tes. Por cuanto se pueden comparar en total (~) sumas de las columnas

tomadas de dos en dos y cada una de dicha suma es una palabra de longitud N sobre el alfabeto {O, 1, 2 l. donde N es el número de filas en A, entonces resulta válida la desigualdad

G) ~ 3N

Al poner N = N::~. obtendremos Ja afirmación del teorema. En adelante demostraremos una estimación más fuerte para iv.::,. y por

ahora pasaremos a las estimaciones superiores para N~~:,. Con el fin de obtener estimaciones superiores hagamos uso del método

de construcción aleatoria de la matriz del plan estático. Supongamos que la matriz A = la1JI está construida del modo siguiente:

P[au = 11 = p ~ º· P(Oij = 01 = (J ~ º· p + q = I;

(i = 1, ...• N; j = 1, ...• n).

y que todas las magnitudes aleatorias a;; son independientes en su totalidad. Veamos un vector columna f"' (zi •... , z,,) r de longitud n, compuesto

de 2 unidades y n - 2 ceros. Este vector se denominará vector de des­ arreglo. En términos de los vectores de desarreglo el lema 2 puede enunciar­ se del modo siguiente,

lema l'. La matriz A = laul es el plan cstatico. cuando y sólo cuando para cualquier par de diferentes vectores de desarreglo 'i y ii se vcri fica Ja desigualdad: Ai' ;ié Aii.

La matriz A se multiplica por el vector de un modo habitual. Veamos dos vectores de desarreglo i' y ii tales que ambas unidades del

vector i.' y las unidades del vector ii ocupan cuatro posiciones diferentes. Calculemos la probabilidad de que Af = Aii. Calculemos con anterioridad cuál es la probabilidad de que las i-ésimas componentes de las columnas Ai' y A ii sean iguales (i = I, ... , N).

212

Revisando todos los casos posibles, obtenemos

P((Ai)1 =(AV),) = p4 + 4p2q1 + q•.

Por cuanto los elementos de la matriz. son magnitudes aleatorias indepen­ dientes, entonces

PIAi"" Aii] "' (p4 + 4p2q2 + q4t. Veamos ahora un par de vectores de desarreglo a7 y w, en los cuales una componente unitaria coincide. y las segundas son diferentes. Por analogía con el primer caso obtendremos

p \ ¡1 Ü = A¡¡,} = (pl + ql)N.

Estimemos ahora la probabilidad de existencia de los vectores ii y i1 tales que Aii "'Aii:'

Pl3i1, i?: Ai1 = Aii) ~ M,(p4 + 4p2q1 + q•)N + M2(p2+ q2)"_

donde M1 es el número de pares de vectores de primer tipo, y M2, el número de pares de vectores de segundo tipo.

Los razonamientos combinatorios sencillos conducen a las siguientes igualdades:

De este modo,

P(3Zi, f2:Af1 = Aii 1 ~ 3 G) (¡14 + 4p2q2 + q4)N + 3 G) (¡12 + q1)N.

Supongamos que para ciertos p y q (¡J, q ;;i: O, p + q = 1) el número Ñ = Ñ(11) es tal que

3 G) (Ji' + 4p2q! + q•)Ñ + 3 (~) (pl + ql)Ñ < l. (2)

De esto se deducirá que con la probabilidad superior a cero existe una matriz A de dimensión Ñ x 11, para la cual la desigualdad

;lf;z! Aü

se verifica para cualesquiera dos diferentes vectores de desarreglo f y ü. Así pues, la matriz A corresponderá al plan estático.

Por consiguiente, ~:: • .;; Ñ. Como probabilidades p y l/ podemos elegir cualesquiera números no

negativos cales que p + q L~ l. Sin emburgo, resulta más' ventajoso lomar ~alcs J!,Y 1¡ con los que las expresiones p4 + 4p2q1 + l y p2 + q2 sean las más pequeñas posibles. Las búsquedas no complejas de los valores extre­ males conducen a los siguientes resultados:

mín (p' + 4p2q2 + q4) = l. y se consigue para p = q = -21 . P·~"O 8 p+q••

213

mln p,q1'.0

p+q • 1 (p2 + q2) = } y se consigue para p "' Q = ~ .

Pongamos, por eso, p -= q = ± y reescribamos la relación (2):

3(~) Gr+ 3G) Gr< J. (l)

Si se verifican simultáneamente dos desigunldarlcx:

1 (") ())"' 1 . 4 ¡¡ < 2'

3(;) Gr<; la desigualdad (3) también se cumplirá. No es difícil comprobar que las desigualdades (4) son válidas para Ñ = 1 3 logi 11 I". De este modo, hemos demostrado el teorema siguiente.

Teorema 7. En el caso de dos elementos defectuosos ~~~ ~ l 3 log1n r.

Observación. El resultado aducido se ha obtenido de una manera que no puede considerarse constructiva, pues no hemos construido una matrlz, concreta del plan cst:itico <le dimensión 1 J log111 1 x 11, si110 que sólo de­ mostrarnos la existencia de la 111i~111a.

Ha de notarse, sin embargo, que en dicho prohlcum la victoria queda por el lado de los "construcrivistas", El plan extático con el número de filas 2· l log1 n r (véase {831), coustruiclo con ayudu de los códigos de Bosc nos da la siguiente cstimución:

N~~~ ~ 2 l lo¡;:i 11 1 . No obstante, para s grandes de construcción nlcatoria de una matrír

del plan estadístico proporciona resultados cousidcrablemcnte mejores que el método de los "constructivistas" (véase (84]).

Empicando métodos análogos podemos obtener también estimaciones superiores de la longitud del plan estadfstico para el llamado modelo dis­ yuntivo, en el cual tenemos, como resultado de la i-4sima comprobación¡ sólo información referente a la presencia ele por lo menos 11n elemento éle· fectuoso en el conjunto Y1.

7.3. MÉl'ODO DE ENTROPÍA

Este método· permite mejorar la estimación (1) obtenida en el teorema 6. Recordemos previamente la definición y propiedades prlncipales rir' la entropía.

Sea una distribución finita de las probabilidades .9 = {p1 •... , Pm h 214

m

L: p; = 1, p¡ ~O, i = J, ... , m, Se denominará entropía de la distribu- lol m ción :Jib a la magnitud H(:Y') = - L: p;logzp;. Además, si alguna p; es

l• I nula, entonces, en lugar de un sumando indeterminado - p¡ logzp; se pone en la suma el cero (lo que es natural, puesto que llm x log2 x = O).

x~o Examinemos las propiedades principales del concepto introducido.

Propiedad l. Se verifica la desigualdad H(')") ;;:i: O,

donde la igualdad se consigue cuando y sólo cuando una de las probabilida­ des pi es igual a la unidad, y las demás, a cero.

Pruplcdad 2: Se verifica ta desigualdad: H(·.?') ~ log1 m, (5)

en la cual la igualdad se consigue cuando y sólo cuando J)1 = ... = = Pm = 1/m.

En efecto, m m

Hi•r) - Jog2111 = ~ p, los2(l/p;111) ~ log2 e ~ p¡ (-1- - 1) = o. p¡ 111

i• 1 te l

Aquí se ha aprovechado la desigualdad log2 x ,.:; (x - J)log2 e, en Ja cual el signo de igualdad se consigue sólo para x = l. Por consiguiente, la igual­ dad en (5) tiene lugar cuando y sólo cuando p1 ..... = p,,. = l/m.

Veamos la cuestión sobre Ja entropía de la distribución compleja de las probabilidades.:!'= lp,¡I. i = 1, .•. , 1111; j"" I, ... , 1112; p¡¡;;;. O, L: PIJ = L Formemos dos distribuciones simples de las probabilidades g¡ l.)

y •"1 del modo siguiente:

"'· -'?1 = lvJ2> l. p}21 = L; PIJ, j = 1, ... , mz; ,_ 1

Está claro que :;1 y. >"i son realmente distribuciones (le las probabilidades, "'• es decir. pf11;;;. O, pj21 ;;;. O, i"" 1, ... , 1111; j = 1, ... , 1112; ¿; pj'> = 1,

111t l•I ¿:; /1}21 = l. l.a propicd;1d siguiente se refiere a la relación existente entre

J. 1

'las magnitudes H(·°?"), H(,')<j) y H~.fi). Propiedad 3 (subaditividad de la entropía). Se verifica la desigualdad:

H(-?") ~ H(:Jll) + H(!?'i),

215

donde el signo de igualdad tiene lugar cuando y sólo 'cuando las-distribu­ ciones :'1 y §1 son independientes, es decir, para cualesquiera i. j se cumple la relación: p1¡ .. pi-p).

~

p<1lp(2l En efecto, H~Y') - H~;r',) - H(:?''i} = p1, log, -' -1-·-. Aplican- µ··

i,j IJ

do Ja desigualdad logz x :¡:;; (x - l)logz e, obtenemos para cada termino de la suma en el segundo miembro la siguiente csrimacióu:

pfH¡,)21 ( ¡i}l'¡i(!l ) PI} log2 - ~Pi.; ' • 1 los2 (',

p¡¡ J);;

con la particularidad lle que la igualdad tiene htg.ar cuando y sólo cuando P1; = p}1'·p)2>. Por consiguicruc,

H(·r) - 11(9'1) - H~·,fi¡ :s; log¡ e (- ¿; J};¡ + ¿; Pl''p~21) =O, l.} l,j

lo que se trataba de demostrar. Hemos de notar que la propiedad de snbaditividad de la entropía puede

extenderse con facilidad a un número arbitrar io <le distribuciones Jl, .J'l, ..... ~.

Ejemplo. Sea 1:¡:;;k~11/2, /J(p) = -p logzp - (1 - p}log2(l - p). k

Demostremos que b (~) :¡:;; 2•1•(k/"1•

l•O

Hagamos p = k/11. 'lcucmos (" 7 ')e~ 1)-I = .!.~_!. -~ p

'-, -- (~.-1 (TI-,. ')) Por consiguiente, D ·-o

para i = O, ... , k - 1. k

(~ (~))-'<p. Sea i¡E [O, 1).) = 1,. · ., n, l•O

n

o, si ~ij>k, j,., l

P1 ...... 1~ = " " (b G')r'. ~ si i; ~ k,

l=O J•I

[ ¡;, sí i, = 1 p., ... , ., i;•, ...•• =

1 - p, si iJ = O, así que

P• •... , •, i¡•, ... , Í:: p;,, . , ., In. 1 .... '11~ •... ,. e , • ,i.

216

Aprovechando la propiedad de sobaditividad de la entropía, obtenemos k

los1 ~ (;') • - ~ p,,. ... , t; log2 µ,,, l•O

, •. , in :;;:s:

.,. ··~ "' .., fl((p;,. ... , i.l) !(.- ~ H((P· .... •, &.· .... •)) =

j•I

= 11h(1i) < 11/¡(p) (1111n1<> que ti < 11 ~ ~).

lo que se requería dcmost rur, Volvamos ni problema de cxpcruucutos de rechazo, Examinemos el caso

de un modelo lineal del plnn estático en que se tienen dos elementos defectuosos.

Teorema 8. ,v.:~~ (1 + o(l))·~ log2 n.

Demostración. Sea f11n vector columna ele dcsnrrcgto c¡ue contiene dos unidades y (11 - 2) ceros, y sea e una columna de resultados de los experi­ mentos, mientras que A representa una matriz del plan estático. Entonces

e= Ai Introduzcamos en el conjunto íl de vectores de desarreglo una distribu­

ción uniformeo": P(i) ~ (~) - 1•

Siendo In aplicación A: íl - A (íl) biuní­

voca, en el conjunto A(íl) se induce la distribución uniforme de probabili­ dades Q:

(")-1 (1/) P(e) = 2 y H(Q) = 11(:7") = 10¡:1 2 .

Supongamos que en la i·ésima fila de la matriz A se tienen 11~ ceros y n~ unidades. La distribución :?induce en el conjunto 1 O, 1, 2 IN distribu­ clones Q. que se determinan del modo siguiente:

(11~>) (")- 1 ng>.ng> - 1) p~I) = p ( e; = 0 1 .. 2 2 "' ( 1) • 11· 11-

1) _ _ ("I{>) ("\ll). o 1 = 211~·>.n\;_> P\ • P(e1- 1) 1 1 2 11·(11 - I)'

(111'') '(11)- 1 = 11\11·11\j) - 1) ' p~ll = P(e, = 21 = 2 2 11·(11- 1)

Está claro que "51) = ¿: P(é). Recurriendo a la propiedad de suba- ·;, ,,1111·,, • r ( ) ,.,

ditividad de la entropía, obtenemos: log2 211 = H(Q) ~ ¿: H(Q¡). Nos

1-1

217

convencemos inmediatamente de que N(Q1) = '1'(X1)·(l + o(J)), donde 11~')

x; = --, 11 __, oo, y op(x) = -x1 log1x2 - 2x(I - x)Jog2x(l - x) - n - (l - x)1 log2 (1 - x)2• Por cuanto

máxl"(x) = V' (-21) = -23 y ...-qo,11

,,. ~ H(Q;) ~ (1 + o(l))N rnáx \ó(X),

X((0.I( ie.l

cm onces log2 G)

4 N ~ --m""":l,_x_<(J..,.(x--:)-·(l + o(l)) = (1 + o(l))·y log2n . .r{IO.I)

el teorema está demostrado, Haciendo uso de las ideas análogas (pero en otro lenguaje matemático)

y aplicando adicionalmente razonamientos combinatorios más finos, Lindstrüm l85) obtuvo una cstimacióu más fuerte:

· ~:~ ~ (1 + o(t))·} log211.

7.4. MltTODO DE IlALANCg ALEATORIO

En los párrafos antecedentes se analizaba el modelo matemático del problema ele experimentos de rechazo, en el que se necesitaba hallar s ele­ mentos fijos, pero desconocidos ele antemano, en un conjunto X cornpucstc de 11 elementos. Ahora suponemos que :1 todo elemento x E X se le ha hecho corresponder cieno número real w(x), llamado peso del elemento citado, y entre los elementos del conjunto X sólo algunos, que no se conocen de antemano y cuya cantidad es igual as ~ 2, poseen peso no nulo. Se requiere separar estos s elementos del conjunto X y determinar los pesos de ellos. Se permite en cada experimento elegir cierto subconjunto Y!;; X y dcterrni­ nar la suma de pesos de los elementos pertenecientes a Y (es decir, "ponde­ rar" Jos elementos de Y). Hace falta planificar los experimentos de una manera tal que a base de sus resultados se puedan determinar los pesos WJ "" w(.l)) de los elementos, pertenecientes a X U = 1, 2, ... , n).

En Jo que sigue nos adheriremos a Ja siguiente terminología: los pesos. w,, .... w,, de los elementos x,, ... , x; se llamarán factores: el factor "'i se denominará signiflcotivo, si "'J ~ O. El números de factores significati· YOS se supone pequeño cu comparación con el número total de factores 11.

Partiendo de 1:1 reunión de los subconjuntos Y; s; X (i = 1, ... , N) construynmos una (N x 11)·111a1riz. de los experimentos A = la1¡), donde a1; = 1, siempre que XJ E Y;, y a/j = O, en el caso contrario. Así pues, en

" cada i·ésimo experimento (i = 1, ... , N) se halla la magnitud e,= ¿; auw1, I» 1

218

La matriz de los experimentos 11 = laul se denomina, además, plan tic los experimentos. El plan ha de satisfacer los siguientes requisitos principales: sencillez en la realización y ecouomicidad. El cumplimiento de las condi­ ciones mencionadas conduce a la necesidad de minimizar el número N <le experimentos en el plan.

En el párrafo anterior se ha considerado el caso cuando s = 2 y lodos los factores significativos son iguales a uno. En camoio, si el números de factores significativos es arbitrario, no será difícil mostrar que para su sepa­ ración unívoca del muncro lotal de factores 11 harñn folia 110 menos de

log, + 1 ("\ - -1-s-· logi 11 experimentos (s ~ 11). L. D. Mcshalkin fue el s) og¡S primero en acentuar que los factores significativos son diferentes en la prác­ tica e, incluso, poseen cierto carácter de inconmensurabilidad (véase [86j). Esta circunstancia hace posible construir Jos planes que permiten determi­ nar con eficacia dichos [actores en el transcurso de log2 11 experimentos, lo que es considerablemente inferior a la estimación inferior aducida.

Definición. Los factores wc •.•• , w,, se llaman i11cn11111e11s111ubles sobre n

el conjunto h \:;; Z (donde O E A), sr de la condición ¿; >..;w; = O, donde · ja l

>'i E A, se deduce que >..;w; =O para cualesquiera j = 1, ... , 11, es decir, '>') = O para lodos los fuctorcs signiñcntivos w;.

El problema planteado se resolverá para h ~ Z, por el método de balan­ ce aleatorio. lle aquí el csquciuu que debe seguirse. Se elabora u 11 al~oril­ mo, para el cual de los datos de parüdn sirve una (O, l)-mnlri7. A = lo,;I que contiene N filas y 11 columnas, y, además, un vector columna i! = (<'1, - •• , <'fol)T En"' (Tes la operación de transposición). Si la marriz y el vector i' poseen ciertas propiedades, las cuales l rruarcmos 111<\s abajo, el algoritmo elabora el vector w' E R"; de lo contrario el algoritmo 11<1 nos da nada. Este algoritmo resulta ser de lal índole que de i/ = Ai:i se deduce: w' = w. Se demuestra que para lodo PE JO; 1( se puede indicar 1;il número N = N(11, s, /3) que la matriz A, construida al azar, y el vector e= Aw posean las propiedades indispensables con la probabilidad no inferior a 1 - {J.

Ha de indicarse que el números de factores signiñcativos no es obligato­ riamcntc conocido de antemano y puede determinarse en el transcurso de los experimentos.

Teorema 9. Supongamos que los factores w 1 •••• , w,, son Incoumcnsu­ rablcs sobre el conjunto Z, y el plan de los experimentos A = laul se cons­ truye de un modo aleatorio:

P[a;¡=O) == Pla11= 1) =i; ¡,.. 1, ... , Ni I= l, ... , 11.

Entonces, sis es el número desconocido de factores significativos, y 8. un número real, con la particularidad de que O < p < 1, entonces para

N > s + 1032 (11 - s + 1) - log2 .8 2(9

podemos determinar, con la probabilidad no inferior a 1 - {J, todos Jos factores significativos y su número s. En este caso el error en la determina­ ción de los Iactorcs está excluido.

Observemos que si el números de factores significativos no sobrepasa cierto número conocido de antemano k: s t;¡; k <C n, el teorema citado lija ta Ironrera para el número de experimentos que han de ser realizados, para que el plan aleatorio construido determine los factores significativos con una probabilidad no inferior a la prefijada.

Previamente a la demostración del teorema aduzcamos el siguiente lema de L. D. Meshalkin.

Lema 3. Cualquier plnno /-dimcnsio11al en un espacio real n­ dimensional (2 ~ 11; I ~ 11) contiene no más de 21 vértices de un cubo 11-dimensional.

La demostración se realizará por inducción respecto de n, Cuando n .. 2 /puede igualarse a 1 6 a 2, y la afirmación del lema resulta evidente. Supongamos que dicha afinnación ya está demostrada para todos los nú­ meros 11' < 11, donde 11 ;;i: 3. Dcmostrémosla también para n' = 11.

Etijmnos 1111 sistema de coordenadas en el espado U" de un modo t al que el cubo 11-dimcnsional dado se haga unitario. es decir, que las coordena­ das de sus vértices sean iguales a O 6 l. Es1á claro que si l - n, cada plano /-dimcnsionnl puede contener no más de 21 vértices del cubo (número total de todos los vértices suyos). Si I = 1, entonces la recta x(I) = ii + (li - Q)t, que pasa por diferentes VCftÍCCS ff = ((la. , .. , a.)T y [j = (bi, ... , bn)T (a,. ú1 E (0, 1). i .. 1, __ ., 11), no puede contener ningún otro vértice más. En efecto, sea i tal que a, ~ b1. Entonces, x,(O) = x1(l), y x,(0), x,(I) E 1 O, 1 J. Por consiguiente, para todos los t ;o! O, 1:

X;(I) e 11; + b, - a,)I ~ (0, 1 J. Sea ahora/ tal que 1 < I < n. Denotemos R7 = (X' E Rn:x. = i l. i = O,

l. Si un ptano /-dimensional Les paralelo n R~ o a It7 y 110 yace en estos últimos, entonces el plano no contiene ningún vértice del cubo. En cambio, si L está situado en uno de los hipcrplanos R~ 6 R1. la afirmación del lema se cumplirá por la hipótesis de In inducción. Rcst:i analizar un caso en que L interseca ambos hiperplanos. Designemos L1 = LnRí', J"" O, l. Está claro que las dimensiones de los plnnos lo y L1 son iguales a I - L Los vértices del cubo, situados en cada uno de los hiperplanos R~ (i = O, 1). forman un cubo (11 - 1)-dimensioniil y, por consiguiente, por hipótesis de la inducción, el pl:1110 L1 contiene 21 • 1 tales vértices a lo sumo. Por eso, el plano L contiene no más tic 2'-' + 21-1 "'21 vértices del cubo n­ dlmcusional dado. El lema queda demostrado.

Demostrucián dei teorema 9. lntroduzcarnos las siguientes designa--· ciones: ii; es la J-ésima columna de la matriz A .. lovl; L(O¡,, ••.• ii).) es la cápsula lineal de los vectores iÍj ..••. , ñi •. Diremos que la matriz A y el vector e poseen la propiedad S, si en A existen columnas linealmente

220

independientes Ü¡, ••.• , á~ •• cuya cápsula lineal no contiene niuguna otra columna y el sistema de ecuaciones

e= L: aj,x, (6) rcJ

tiene una única solución. Si Ja matriz A y el vector e poseen la propiedad S, entonces, al resolver el sistema (6), formamos un vector w' = (wí .... , w:,)r, haciendo

, [Si, paru j = j, (r == l, ... , 111 ). WJ = O para j~(j,, ... , j,,.I,

donde (..\',, ... , ..\'.,,) es la solución del sistema (6). Observemos qué si el juego de números de fas columnas j¡, ... , j,,, en la propiedad S se define de una manera no univoca, entonces puede elegirse arbitrariamente. Por consiguiente, el vector construido w' es precisamente vector buscado· w, si e= Aw. Para demostrar esto, basta comprobar que los números de todos los factores significativos w¡ pertenecen ar conjunto (j,, ... , j111 J. En· efecto, si esto no es así, se encontraría un juego ( ª'· ... , t11} de números de las columnas que no está íntegramente contenido en el conjunto citado y que satisface el sistema de ecuaciones:

I

é. = L; º'"·w"·' r= 1

donde w..,,, ... , w,,. son todos factores significativos. Veamos un sistema de ecuaciones

'" I ~ ¡,~;'(, - ~ {t;,,y, = o (7) ,. t r~ l

con las incógnitas Xi. .•• , Xm, Yi. , )'1. De la definición de la propiedad S y de la elección del juego [ ª'• , a¡) ,(j,, ... , j,,,) se deduce que el rango del sistema no es inferior a m + l. Por consiguiente, haciendo uso del procedimiento de Gauss, podemos excluir de dicho sistema de ecua­ ciones las variables X1 •••• , x .. , y obtener por lo menos una ecuación que contenga sólo las variables y, (r = 1, ... , /):

1 1 o = ¿; b.y., ¡:; b; ;>! o. (8)

, ... 1 l°J 1

Los cocficicurcs de las incógnitas en el sis1cnrn (7) eran enteros, razón por la cual pueden considerarse enteros también los cocñcicntcs b, en (8). El sistema de ecuaciones (7) tiene la solución: x, =.V:,, r = 1, ... , 111; y,= w ... , r - 1, ... , l. Por eso, el juego w.,., ... , w,., forma la solución de la ecuación (8), lo que contradícc la condición de inconmcsurabilidad de los factores significativos w.,,. ... , w,,,.

Se ha mostrado, pues, que si la matriz A y el vector e poseen la pro­ piedad S, entonces el vector desconocido w queda unívocameritc definido. Estimemos la probabilidad P de que construyendo al azar un plan con el

221

número de experimentos igual a N > s + log2(11 - s + 1) - log2 /3, el pal' (A, e) poseerá la propiedad S, donde if = Aw.

Designemos mediante j,, ... , I, los números desconocidos de los fac­ rores significativos. Estudiemos los sucesos:

X = 1 dim L(ii;,, ... , aj.) = s),

Y¡ = (aj~ tC~ .• · · .. a,.)!, j q lk ... , is J. Y = n Y, z = xn Y.

)i.ilJ, •. J1I

E.slá claro que la aparición del suceso Z lleva consigo el que cl par (A, e), donde e'= Aw, posee la propiedad S. Por consiguiente, P ~ P(Z). Estimemos la probabilidad del suceso :.C. Tenemos

P(Z) = P(X() Y)= P(X)·P(YjX).

Ciertos razonamientos combinatorios no complejos con la aplicación del lema 3 nos conducen a una desigualdad

P(YjX)~(I -2-N••r-•.

Para poder cst irnar la probabilidad de! suceso X analicemos los siguientes sucesos:

Xo = ¡dimL(ii;,) = JJ, X2 = (dimf.(Üj,, i{;J = 2J, x,_, = [dim t.(a;,, ... , aj, .) = s - T J,

X, = 1 ñ'.d L(iij,) J, X2 = 1 éi¡, ~ us.: ñj,) l. x,_, = 1~.q1.c;1~ ...... a~ ... >J.

Al hacer uso del lt.:111:1 3, un e~ di l ici! notar que f>(X1) = 1 -2-N, P(X,¡X,) ;>.: 1 -2-N", r= 1, ... , s- l.

s- t , _ J

Por eso, f>(X) =- l'(X1) n l'(X,¡X,) ;;¡: n (1 - 2 - N + ') ~ 1 - 2 - N H , a; l r ... o

paras ~ 2. La demostración de la ultima desigualdad en esta cadena puede fácilmente obtenerse por inducción respecto 'de s. Así pues, P(Z) ;;:?- (1 - -2-"'+•r-s+1> 1-(n-s+ 1)2-N+s para N>s, puesto que para

O < a < 1 es válida la desigualdad; (1 - o)" > 1 - ma, Por consiguiente •. para N > s + log2(11 - s + 1) - log2 /3 se verifica la desigualdad: P(Z) > 1 - (~1 - s + 1)2-N•·• > 1 - (3, lo que finaliza la dcrnostración del teorema.

M. 13. Muljú1ov y M. S. Pínskcr [871 han estudiado el problema aducido p;m1 las condiciones más generales, cuando los factores w1, .•. , w,. se suponen inconmensurables sobre el co11ju1110 A = ( -1, O, J J (los ex" pcrimcutos se realizan en este caso no de un modo aleatorio, sino sucesivamente, o sea, tornando en consideración los resultados anteriores. Con ellos se ha demostrado el teorema siguiente.

Teorema 10. Supongamos que los Iactores wr, ... , w. son inconrnen- 212

surables sobre el conjunto A ea l - 1, O, 1 l; y seas un número desconocido de Iactores significativos. Existe, entonces, un método no aleatorio de realizar los experimentos que permite determinar ciertamente todos los fac­ tores en el transcurso de no más de s log2 s + log2 n experimentos. El número s se halla en este caso en el proceso de los experimentos.

Demostración. Con ayuda del primer experimento determinamos n

e1 = L; w1. Los experimentos ulteriores se realizan de un modo inductivo. I» 1

Supongnrnos que tras cierta cauudad de experimentos el co11J111110 de todos los factores haya resultado partido en r,,. + 1 xubcoujuntos o;", i = O, 1, ... , r,,, (1 ~ r,,, ~ s), con la particularidad de que e,~· no contiene factores significativos, mientras que lodos los Cf" restantes contienen cada uno por lo menos un factor significativo, y se conocen las sumas o'¡" = L; w;.

w(G"' i = 1, ... , r,,,. En el experimento siguiente partiremos cada uno de lo~ s~b­ conjuntos Gf' (i = 1, .... r.,) en partes aproximadamente iguales: o:n"" G?óVGfí. Gí'QnGí'l = 0. 10:\\I - IGYfl ~),y hallaremos la suma

e = I; I: , w1• Si <!E ( I; lJ,cr;¡c, E 1 O, 11] , entonces, haciendo uso de l 11111 J ~¡{C: l 1 • 1 _

la condición de inconmensurabilidad de los factores. llegamos a la conclu­ sión de que cada uno de los subconjuntos o;~ contiene sólo factores insignificarivos. Entonces, ¡\I elegir G'/' • 1 = o;~.' oj" ... 1 = oi"(i :L l , ... ,

r,,,), r.s ; 1 = r,«, Gü" 1 = (.ú o:~.) VG11"'. donde C; = (C; + 1) mod 2 .• ru 1

continuaremos los experimentos según el esquema citado hasta que queden determinados lodos los factores significarlvos, es decir, hasta que r,,, no se haga igual as, y cada uno de los subconjuntos Gl"no se componga de

un único factor significativo. Gn cambio, si e E [ ~ E;oí1E; E l O, t J l, I• 1 j

tendremos que realizar un ciclo de experimentos para determinar las sumas a;:•= Í:: Wj de )OS factores significativos en todas las mitades o;~,

j€c':;

i = 1 •... , r.,,; e= O, l. Con este rin realicemos un cxpcrimcnro y dctcrmi- 1, ... 121

nemes la suma L; .,.:;:. Aclaremos si dicha suma pertenece al co11j1111t<> cr1e1oí"lc; E (O, 1~;].

Si la respuesta resulta posuiva, llegamos a uua

c~~~lusión de que cada uno de los subconjuntos G,,,. i = 1, ... , [ !i:··] contiene sólo factores Insignificarivos. De lo contrario, realizamos un expc-

\1,..141 rimento más y determinamos la suma L; oí~, cte. Indiquemos que en este

I• 1

223

caso las sumas complementarias, tales como f; o7ó. se determinan 4'.-.l'..illJ• l

automáticamente y en adelante han de tratarse análogamente, dividiendo, si es necesario, el conjunto en el que viene definido el índice de sumacion, aproximadameutc por la mitad. Así pues. como resultado de tal ciclo de· experimentos, determinamos todas las sumas u"'= .L; w1, i = 1, ... , r-;

" fiGQ

t: = O, 1, y aclaramos cuáles de los subconjuntos G';; se componen ín­ tegramente sólo de los factores significativos. Al relacionar todos estos sub· conjuntos, junto con los subconjuntos G()', al subconjunto 001 • 1 y al rcenumerar todos los subconjuntos nuevamente mediante los símbolos Gí" + 1, ••• , O~~:. 1, donde r,. + 1 > r,.,, llegamos a la misma situación que teníamos al principio de nuestros razonamientos.

Estimemos el número de experimentos del plan construido sucesivamente. No es difícil notar que en cada ciclo el número de ex­ perimentos no sobrepasa de (r,,, , 1 - rnr)(I + log2 r,,,). Cada uno de Jos demás experimentos que no integran tos ciclos disminuye el número de rae­ lores, que se supone son significativos, en dos veces (con una corrección evidente por el hecho de que este número puede no dividirse por 2). Por consiguiente, el número tola! N de experimentos del plan no sobrepasa s log2 s + log2 11:

N ~ 1 + log211 + L; (r,,. + , - r,,.).(I + log2 r,..) ~ 1 + m

s - 1 + log2 11 + ¿; ¿; (1 + log2 i) ee 1 + log2 11 + ¿; (1 +

m i:r,..:-¡1 <.''-·• ic 1

+ log2i) (puesto que l = r1 < ri < ... < r,,, < rm + , < ... < rp = s).

Por consiguiente, s + 1

N ~ s+log211 + .L; log2 i ~ s + log211 + logzxdx ~ s logis+ log2 n. ••2 El teorema queda demostrado.

7.5. SISTEMAS SEPAUADOltES DE SUBCONJUNTOS

Recordemos que el sistema de subconjuntos { Y1, Y2, •••• Y,,,I de un conjunto finito X lleva el nombre de sistema separador, si en él para cuales· quiera dos elementos distintos ¡Je- X existe Y, (1 ~ i ~ N) que comicne un solo elemento de los dos mencionados (véase § 1.5). Pongamos n = IXI. En este pi\rrnfo se analiza el problema de buscar un sistema de separación mínimo. es decir, un sistema compuesto de un número mínimo posible N = Ntn, k) de subconjuntos, a condición de que cada subconjunto con· tiene exactamente k elementos. Nos será de interés también un sistema separador mínimo, cada subconjunto del cual se compone de no más k

224

elementos. La cantidad de subconjuntos de tal sistema la designamos con N (11, ~k).

Al concepto de sistema separador llevan algunos problemas de planificación de los experimentos de rechazo (véase § 7.2). Supongamos que en nuestra disposición se tiene una balanza analítica, con ayuda de la cual se pueden determinar los pesos de los subconjuntos del conjunto X, que contiene 11 monedas. Se conoce que en el proceso de un solo ex­ perimento pueden pesarse simultáneamente no más de k monedas. Todas las monedas de X son iguales, a excepción de una moneda que es falsa y difiere de las demás por el peso. Se requiere ofrecer un algoritmo estático de la búsqueda, que en un número mínimo posible de experimentos revele la moneda falsa.

Convengamos en considerar, para mayor precisión, que los pesos de las monedas auténticas son iguales a O, y el de la moneda falsa, a la unidad. Supongamos que en el i-ésimo experimento (i = I, ... , N) se determina el peso 'sumario de los subconjuntos de monedas Y1 !;;; X. IY1I ~ k, Está claro que el sistema 1 Y1, ••. , Y N J de los subconjuntos de X representa la estrategia estática de la búsqueda, si y sólo si este sistema es separador. El problema se ha reducido, pues, a la construcción de un sistema separador mínimo, cada subconjunto del cual contiene no más de k elementos.

Designaremos con un mismo símbolo X¡ la j-ésima moneda y el peso de la misma; j = 1, .... 11. Igual que antes, construyamos, a base del juego de subconjuntos 1 Y1, ••• , Y N J, una (N x n)-matriz de los experimentos A = la1J!, al hacer au = 1, si x, E Y1, y 01¡ =O, en el caso contrario. Observemos que cndn fiht de la m:itrii A contiene no más de K unidades, con ta part icularidud de que el sistema 1 Y1, ... , Y,.,¡ es separador, si y sólo si todas las columnas de la matriz A son diferentes. Tul (O, 1)-matriz A lleva el nombre de F(11, ~k)·plan. En este caso, si todas las filas de A contienen exactamente k unidudcs, la malrizA se dcnominaF(n. k)·plan. No es dificil ver que las cantidades mínimas de filas en F(n, k) y, correspon­ dientemente, en F(11, ~k)-plan son iguales a N(11, k) y N(11, ~k).

Procedamos a estudiar escas magnitudes y construir los planes · correspondientes.

Teorema 1 l. Son válidas las siguientes afirmaciones: 1) N(11, k) = N(n, 11 - k), 2) N(11, k) = N(11. ~k) para n ~ 2k.

Demostraciún. La validez de la primera afirmación se deduce de que iodo Fin, k)-pl:in se rrausforrua, por inversión de O y 1, en F(n, n - k)-plan. Demostremos 2). Por cuauto tocio Ftn, k)-plnn es, a la vez, el F(11, ~k)­ plan, entonces Ntn; ~ k) ~ N(11, k). La desigualdad inversa para n ~ 2k se deduce del algoritmo que convierte el F(11, ~k)-plan en Fin, k)-plan. En efecto, veamos una fila arbitraria del F(11, ~k)-plan y denotemos con 111 el número de unidades en ella. Coustdcremos las columnas del plan que

15-661~ 225

en la [ila elegida contienen cero. Está claro que entre estas 11 - 111 columnas pueden elegirse no menos de (11 - m) - 111 = 11 - 2111 tales columnas que la sustitución en ellas del elemento nulo destacado por la unidad conserve intacta la propiedad de distinguibilidad de las columnas del plan. Aprovechando esta circunstancia, completemos en cada fila el número de unidades del F(n, :>;;k)-plan que faltan para obtener k unidades y, de este modo, transformémosto en Ftn, k)-plan.

Los resultados de los siguientes dos teoremas los obtuvo el matemático húngaro Katona (371.

'Ieurcma ll.

l 2(n - 1) k+I

Demostracián, Por definición del Ftn, ~k)-plan, la cantidad iota! de unidades en el plan no sobrepasa de Nk. Sea 11, el número de columnas del plan que contienen l unidades. Por cuanto 1111 ~ 1, 111 ~ N, tenemos

N N Nk ;;;¡: ¿; in¡ ;;;¡: n1 + 2 l:; 111 = 111 + 2(11 - 111 - 110) ~ 2(11 - 1) - N.

l•O iw2

de donde se desprende precisamente Ja estimación inferior. Para demostrar

la estimación superior, pongamos N = máx [l 2~'!-~ -? J · k J y

mostremos que existe un F(11, ~k)-plan de dimensión N x n. Examinaremos diferentes columnas binarias de altura N. Dos columnas

de este género, a= (oo, ... , "N-1)" y lJ = (ho, ... , bN-1)r se llamarán semejantes, si o;= b(1+J?onodN para cierto j natural y para todo i"" O, ... , N - l. El conjunto de todas las columnas se divide en clases de equivalen­ cia con relación a la semejanza. Está claro que la potencia de cada clase de este género será un divisor del número N. Cualesquiera dos columnas semejantes contienen un número igual de unidades. Una matriz compuesta por todas las columnas de una misma clase ele equivalencia se denominará bloque.

Veamos un bloque de dimensión N x N, generado por una columna cuyos primeros m <· N lugares están ocupados por unidades, y los demás lugares, por ceros. No es difícil notar que para cualquier número natural r, O < r < N, pueden elegirse r columnas de este bloque tic un modo H1I que el número de unidades en cualesquiera dos fila~ de la matriz, formada por dichas columnas, se diferenciará no más que en l. La matriz formada por las citadas r columnas se denominará bloque incompleto.

El Fin, ~k)-plan se construirá ahora del modo siguiente. Contiene una columna compuesta sólo por ceros y N columnas, cada una de las cuales contiene un solo elemento unidad. Las demás columnas contienen cada una dos elementos unidad. Estos se disponen en el plan en bloques. El 226

ultimo bloque puede ser incompleto. La cantidad total de columnas que contienen no más de dos unidades no es inferior a n:

N(N - 1) N(N + 1) 2(11 - 1) k + 1 l + N + --i-- = 1 + ··-·-2-- ;;i, k-:¡:-¡- --2-- = n.

Por consiguiente, al construir el plan, podemos en realidad servirnos sólo de tales columnas. En el plan construido la cantidad de unidades en cada fila no es superior a k, Efectivamente, la cantidad total de unidades en el plan es igual a 211 - N - 2. Por cuanto la cantidad de unidades .en cualesquiera dos filas se diferencia no más que en 1, cada fila, entonces,

. á d l 2(n - l) - N í . á conucnc no m s e N___ ~ k unidades. El teorema est

demostrado.

Corolario. N(n, k) = l "!~--:-/l- í para 11 ;;:. k(k 2+ 1L + l.

Teorema 13. Se verifica la siguiente desigualdad: log2n

N(n, k} ~ ·1i(k7i"i)

donde h(p) = -p log1p - (1 - p) log1 (1 - p). Demostración. Hagamos uso de la propiedad de subaditividad de la

entropía para obtener la estimación inferior de la magnitud N(n, k). Supongamos que J;1 (N x n)-malriz A = fa1¡I, donde N = N(n, k), a;¡ E 1 O, 1 J, es el F(11, k)-pla11. En este caso 11 aplica el conjunto B~ de todas las sucesiones de longitud 11, q111: se componen de una sola unidad y ceros, biuntvocamciuc sobre cierto subconjunto del conjunto BN de todas las (O, !)-sucesiones de longitud N:

e= /\X, X= (x,, ...• x,,)rE B~. é= (ei •... , eN)TEBN­

Introduzcamos sobre el conjunto B~ una distribución uniforme :,?"; P(X) = l/n, x E B!,. Debido a ello, sobre el conjunto A(B!) ~ BN se induce una distribución uniforme que se designará con la misma letra .9; P(é) = lln, donde eE A(B~). La entropía H(::.Y') de distribución de las pro­ babilidades .-;/'es igual, como es fácil de notar, a log2 11. Por otra parte, la distribución de la~ probabilidades :J" en A (B~) forma N distribuciones simples de probabilidades .1'/, definidas sobre las coordenadas de los vec­ tores de IJ,.,: l'(e, '· l J = k/n, !'(e;= O] = 1 - k/11, i"' 1, ... , N. Al calcular lns últimas probabilidades se ha utilizado el hecho de que cada fila de la matriz/\ coiuicnc exactamente k unidades. Al aplicar la propiedad

N de subaditividad de la cntropia, obtenemos: log211 "' 1-/~<fb) ~ 2; H(.91 )=

;. (

= Nh(p). donde fl = k/11, h(p) = -p log2 p - (1 - p) log2(l - p) es la login

entropía de Shcnnon. Por consiguiente, --/J(p) ~ N"' N(11, k).

227

Corolario. Sea 11 - oo, k = k(n) = l p11 1 , donde el número p no , depende den, y O < p < 112. Entonces resulta válida la siguiente fórmula - asintótica:

log211 N(11, k) = h(p) (1 + o(I))_

Demostración. Construyamos un Fin, k)-plan concreto de longitud loR2 n . N ~ h{P) (1 + o(!)). Por cuanto cada f(N, ... k)-plan puede ser trans-

formado, para 11 ~ 2k, en un F(11. k)-plan de la misma longitud será sufi­ ciente construir el correspondiente 1'"(11. ~k)-plan_ Elijamos N mínimo na-

tural, para el cual se verifica la desigualdad ( (¡~J ) ;;;i 11. Hallando por

logaritmos esta desigualdad y empicando la fórmula de Stirling para los factoriales, no es difícil de concluir que para tal N es lícita la fórmula asin-

tótica: N == 1~~;

(1 + o(l)). El plan se construye a partir de las colum­

nas de altura N, cada una de las cuales contiene exactamente [pN} _ unidades. Las columnas en el plan se disponen por bloques, empleando en caso de necesidad al final el bloque incompleto. Merced a tal disposición se asegura la diferencia entre el numero de unidades en las filas del plan

en no más de l. La desigualdad ( (j;J ) ~ 11 garantiza que al construir

el plan nos será suficiente la reserva de columnas, con la ca111 idad de unida­ des indicada en cada una de ellas. Por cuanto la parte de las unidades en cada columna del plan no es superior a p, micnt ras que la cantidad de unidades en cualesquiera dos filas se diferencia en uo más de 1, cada fila contiene no más de k = lpn r unidades, es decir. dicho plan es realmente Ftn, ;;a.k)--plan. El teorema queda así demostrado.

Aduzcamos una estimación superior para la magnitud N(n, ~k), la cual es próxima a la estimación inferior obtenida en el teorema anterior por el método de entropla (véase [88 y 89)). Observemos que es un tanto mejor que la estimación superior de Katona de (37).

'Ieorerna 14. Se verifica la desigualdad

l log111 N(n, t::;_k) ~ --- n log1 k

íl ~-l Í· La demostración está basada en la construcción del N(n, t:;;_k)-plan,

partiendo del código binario de Radcmajer. Así llamaremos una (0, 1)­ matriz de dimensión J iog1 n f X n, Cuyas columnas son todas diferentes, Para obtener algún código de Rademajer es suficiente tomar una potencia del número 2, la más próxima a n superiormente, y, al elegir cualesquiera

228

11 números inferiores a la citada potencia, escribirlos en columnas conforme al sistema de numeración con base 2.

Sea n = 3. Construyamos para este caso todos los códigos de Radema­ jer equivalentes con una exactitud de hasta una permutación de las columnas:

001 010

o o 1 o 1 1

o 1 1 o o 1 1 o l o 1 1

Nos hará falla la siguiente identidad sencilla, válida para cualquier número real x y natural 11:

l J_~[ 1 l ~ I· (9)

Demostración del teorema. Sean R = R(k) un código arbitrario de Radcmajer de longitud k, 1, un número natural y So, ••• , S1- ,, números arbitrarios del con junio (o, 11. Partiendo de R, construyamos otro código de Radernajcr R,., ... , s, _ 1 del modo siguiente. Tomemos cada fila con número i E ( i, ... , l log2 k 1 1 y sustituyamos en ella cada número I E 1 O, 1 J por el número (/ + Sc1- 11mn~r)mod 2.

Escribamos arbitrariamente uno tras otro todos los 21 códigos R,,, ... , s. : 1 y obtendremos una matriz M de dimensión 1 Jog2 k Í x 2'k. Esta matriz se divide en AO = ·1 t - 1 l log2 k r· r = 11- 1 Jog2 k r submutrices Mx, A = 1, ... , >.u (véase (9)). Las suburaericcs Mx están formadas, para X ~>-o. por t filas de la matriz M con los números i =- t(A - l) + 1, /(A - 1) + 2, _ ..• tA. La submauiz M~. cst.i formada por las íilas con los 11í1111cros i == t(>..11 - 1) + 1, t(Ao - I) -l- 2, ... , i log2 k r y puede tener menos de t filas.

No es diflcil notar que cualquier submatriz Mx contiene, para A ?! >-o. cada una de las 2' columnas binarias de altura t exactamente k veces. Designemos el número de filas de la submatriz M>.. con -r, Análogamente. M...., contiene cada una de h1s 2' columnas binarias de altura T exac­ tamente 2' - '· k veces.

Denotemos con L,, una matriz compuesta ele k columnas iguales de altura t que representa una notación en columna del númeroµ E ¡O, 1, ... , 2' - 1 1 con arreglo al sistema binario de numeración. Escribamos sucesivamente, una tras otra, todas las 2' matrices L~; designemos con Mo la matriz obtenida. Agreguemos superiormente a la matriz M la matriz Mo y designemos con M el resultado,

La matriz M contiene I t ·11og2 k r filas y 2'·k columnas que son disti11tas dos a dos. Por consiguiente M es el código de Radcmajcr,

La demostración del teorema se basa en la construcción de un Fin, ~k)·plan, partiendo del código M, donde el número natural t se determina univocarncnte de la condlcióu 2' - 1 < n/k ~ 2'. Para cada X = O, ... , Ao - - 1 construyamos la rnatrrz NI~ compuesta de 11 columnas lle altura

229

l I l. - l. En cada columna todos los elementos son nulos, a cxccp­

ción, quizás, de un elemento igual a 1, y en Mí. cada columna no nula figura no más de k veces. En este caso dos columnas en M). son iguales cuando y sólo cuando lo son las columnas con los números correspon­ dientes en M«. Observemos que mediante dichas propiedades la matriz M' se define no unívocamente, Para nosotros tiene importancia el hecho de que cal matriz siempre existe, Está claro que cada fila de M~ contiene no más de k unidades.

Oc un modo análogo construyamos la ma1ri1 M; .. fata consta de 11

columnas de altura l f 1 - 21 •• •. Cada una de estas columnas es

o bien Integramerue nula, o bien contiene una sola unidad. Cada columna no nula figura en M~. no más de k veces, mientras que la columna nula, no más de 21-'·k veces. Las columnas en M;, se disponen de un modo tal que de la condición de igualdad de dos columnas en M", se deduce la igualdad de las columnas correspondientes en M{.... Cada fila de M>., contiene también no más de k unidades.

Escribamos sucesivamente, una debajo de la otra, las matrices Mó, Mí • . . . , M~. y designemos el resultado con M'. Todas las columnas en M', y, por tanto, en M' son distintas de dos en dos. Cada fila de M' contiene k unidades a lo sumo. Por consiguiente, 111' es 1111 Hn, ~k)·rl:rn. Estimemos su longitud N:

~1

N = Ao (l ¡ 1 - 1) + (l I r - r ·) ~ (Ao + l) X

X (l ¡ 1 - 1) = l I + log1 k 1 (l I 1 - l) ~

11 ~~~ J = l logi;; 11 _n_; k logi ¡¿

1 log2k + --- n log2¡

El teorema está demostrado. Ilustremos la construcción del F(n, ~k)-plan con un ejemplo en que

n = 20 y k = 5. Tenemos: r == l log1]¡ 1 "' 2. Veamos el código de Rademajcr R de longitud 5: 1

1 1 1 o o R: 1 l O 1 O

1 o 1 1 o 230

l 1 1 o o Roo: 1 1 O 1 O;

1 o 1 1 o o o o 1 1

R11: O O 1 O I; o J o o 1

1 1 1 o o Ro1:00l01;

1 o l lo

o o o o o '-()= o o o o o;

o o o l 1 R10: 1 1 O 1 O;

o 1 o o 1

o o o o o L,: 1 1 1 1 1 ;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Lz: o o o o o; LJ: 1 1 1 1 1 ·

Las construcciones ulteriores del código M y del F(20, S)-plnn se ven del diagrama siguiente.

Código M: M·OOOOO 00000 11111 111

O· 0 0 0 Q 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 J 1

[

[. 11100 11100 00011 00011

M,: 11010 00101 11010 00101 M: Mz: ( !01 IO 10110 01001 00101

f.('20, 5)-plan

ººººº ººººº 11111 ººººº ººººº 111(1

[

1 1 ( l 1 M,;: O O O O O

o o o o o

[

1 1 o o o Mo': O O 1 O O

o o o 1 o Mlf!OllO

·looooo

o o o o o o o o o o o o o o o

o o 1 o o 11000 o o o o 1

10100 o o o 1 o

00001 o o o 1 o 00100

o o o o o o 1 o o 1

o o o 1 o 00001 1 1 o o o

o o o o o o 1 o o 1

De los teoremas 13 y 14 se deduce un Corolario. Sea n r+ oo, k "' k(11) = 0(11). En este caso es válida la fór­

mula asintótica:

N(11, k) = ." logi 11 (l + o(I)). 11

k logz k

231

CAPÍTULO 8 ANÁLISIS COMBINATORIO gN LOS CONJUNTOS PAUCIA LMENTE ORDENADOS

En los cap(tulos 2 ... 7 de este lihm se han dcscruo sist cmáticamcnte los métodos de resolución de los prohlcruax corubiuarorios. Sio embargo, se hace cada vez. 111;'1s evidente (c11 purticulur, cuuudu se lrala de resolver problemas de tipo ext rcmal) la necesidad imncrioxa de analizar 111<is pro fuu­ damentc la estructura de los conjuntos discretos. De esto depende dircc­ lamente la posibilidad del desarrollo ulterior de la rcoría combinatoria general, como también, sobre lodo, tic las aplicaciones de la misma. GI objetivo de este caph ulo consiste en introducir al lector en el dominio tic las tentativas modernas de extender el in;ílisis combinatorio a los conjuntos de naturaleza más general. Las principales de tns propiedades estructurales de: los conjuntos, que estudiaremos aquí, son lus de ordenación y de independencia.

El capítulo comienza por la descripción ele los conjuntos discretos con ordenaciones parciales definidas sobre los mismos. /\ continuación se analizan más detalladamente los rctfculos que rcprc~i:nl:rn una clase tic ~·011· juntos más estrecha, pero muy importante para el an:ilisis combinatorio. Para poder operar con conjuntos parclahncurc ordcn.ulns se introducen las álgebras <le incidencia. U na atención especia I se pres la en este caso a la operación ele inversión y a la rundún de Mochius relacionada con dicha operación. Por fin, en el capitulo han siclo incluidos los (undamcntos de la teoría de los matroidcs la cual representa amplius generalizaciones, que permiten ligar las bases de la teoría combinatoria con toda una serie de ramas de las matemáticas, en primer lugar, con el álgebra moderna y con la topologta.

8.1. CONJUNTOS PARCIALMENTE OIU>ENADOS Sea (/1, ~) un conjunto ordenado p:1rcíalnu:111,· . .Si 1 /1 1 < «>, el con­

junto parcialmente ordenado se dcnomi1111/i11it11. Si 11 y !1 son elementos del conjunto parcialmente ordenado 11 y si, además, 11 ~h. entonces el conj111110

[a, b] = (xi at:;x~l1)

lleva el nombre de intervalo. El conjunto parcinlmcntc ordenado (A·.-·~) es tocalmente finito, siempre que l la, bl 1 < «>, cualesquiera que sean a, bEA. Los conjuntos parcialmente ordenados (11, ~)y (/l. ~)se llaman isomorfos y se designan (A, ~)=(B. ~).si existe tal aplicación biunívoca e del con· junto A sobre el D que la expresión a, ~ a1 tiene lugar cuando y sólo cuando

'Hl

<p(a1) ~ ip(ai). Indiquemos que la biunivocidad de la aplicación <p puede de­ ducirse de Ja última condición.

Recordemos que los elementos a y b se llaman comparables, si a~ b, o bien b s;«. De lo contrario, a y b se llaman incomparables y se designan: ollb. As! pues, la cadena es un conjunto parcialmente ordenado, en el cual no hay elementos incomparables. Se denomina anticadena a un conjunto parcialmente ordenado, en el cual allb para todo a ;.! b,

Sea (A, ~)un conjunto ordenado parcialmente, y sea IJ un subconjunto no vacío del conjunto citado. r.r11ti11ccs, en U existe 11n orden natural pn~dnl i:; 11 inducido por Ja relación i:;. Llamemos (/J. i:; n) s111Jco11)1111to pardal· mente ordenado del conjunto (A, io;).

Antes de introducir definiciones nuevas, veamos una serie de ejemplos importantes de los conjuntos pnrcinlmcntc ordenados que 1105 harán Ialtn en la exposición ulterior de la materia.

l!lllMVLO 1. Un conjunto trivial parcialmente ordenado (o una nnticadc­ na), es decir, un conjunto en el que a~ /J, si y sólo si a = b.

1;.Jf.MP1.o 2. Un conjunto N de todos los números naturales de orden corriente, es decir, 11~111 cuando y sólo cuando m - 11 es no ncgat ivo. El conjunto (N, ~) es linealmente ordenado y locanncntc Cínico.

EJEMrLOJ. Un conjunto de números reales con orden corriente. Es linc­ almcntc ordenado, pero no es parcialmente ordenado y localmente finito.

l;JEMl'l(". Un conjunto :>"(S) de todos los subconiuntos del conjunto S, ordenado por inclusión, es decir, si /1, /JE :Y' (S), entonces A s.;; IJ cu ::>"(S) cuando y sólo cuando 11 SIJ(A es un subconjunto del conjunto /1). El con­ junto ( .r(S), s;;) no es lineal menee ordenado; por ejemplo, los subconjun­ tos arbitrarios de un solo elemento no son comparables. Si 1 S 1 < =. en­ tonces (::i"(S), ~)es también finito. De lo contrario, (:i'(S), ~)ni siquiera será conjunto localmente finito.

EJCM~LO s. Un conjunto Z de números enteros ordenados por divisibili­ ciad, es decir, a~ b cuando y sólo cuando a 1 b (a divide a b). El conjunto (Z, 1) es localmente finito, pero no es linealmente ordenado.

EJEMPLO 6. Un conjunto D(n) de todos los divisores de un número ente· ro n ordenado por divisibilidad. Este conjunto es un subconjunto parcial­ mente ordenado del conjunto (Z. 1 ).

HJl!Mt•t.o7. Un conjunto ?(11) de particiones de un número nntural 11 (se denomina partición <le un número natural n a toda sucesión finita no ere- , ciente de números naturales A.1, >-i •.•. , >.,, para la cual ¿; 'A¡ = 11; los nú-

' q 1 meros >.1 suelen llamarse partes de la partición), ordenadas de un modo tal que s·i >., ¡1EP(11), entonces>.~µ cuando y sólo cuando al sumar las parces separadas de la partición X, puede obtenerse la partición ¡1. Por ejemplo, 3 + 1 + 1 = (11, 3); 4 + J = (1, 4); J + 2 = (2, 3) son particiones del mí· mero 5, y, además, (12. 3)s.;;(l, 4) y (12, 3)~(2, 3}, mientras que (J, 4) y (2, 3) son incomparables en P(5).

2.U

l!Jt:Ml'L(l s. Se denomina partición no ordenada ele un conjunto finito S _ a la colección 'll' = 111'1, 71'2, .•• ] tic sus subconjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, cuya unión es igual a S; los subconjuntos 11'/ llevan el nombre de bloques de la partición. Veamos un conjunto ll(S~) de (odas las particiones: no ordenadas del conjunto S,,, compuesto por n elementos y ordenados conforme a la unión de bloques, es decir, 11'~ r cuando y sólo cuando cada bloque ?r;, perteneciente a 11'. está contenido en cierto bloque T;, pertene­ ciente a r (o bien, dicho de otro modo, cada bloque r¡ se obtiene «pegando'> ciertos bloques de 11').

r:rnMr1.o 9. Un conjunto de todos los subespacios del espacio vectorial 1Hlimcnsional V,,(q) sobre un campo de q elementos ordenados por inclu­ sión, es decir, si U y V son los subcspacios de v.(q), entonces U~ V cuando y sólo cuando U es un subcspncio de V.

~Jc;/1.11•1.o 10. Un conjunto de todas las caras de un poliedro convexo d­ dimensional (por poliedro convexo d-dirncnsional se entiende un conjunto acotado d-dimcnsional de p11111os del espacio euclídeo que puede ser rcpre­ sentado como una intersección de un número Finito de scmicspacios), ordc­ nadas por inclusión.

Los conjuntos parcialmente ordenados mencionados en los ejemplos 6 ... 10 son finitos.

Se llnmn cudena C en 1111 conjunto parcialmente ordenado (A, ~) su subconjunto 110 vacío el cual, siendo parcialmente ordenado, constituye una cadena. Recibe el nombre de anticadena en un conjunto parcialmente orde­ nado un subconjunto no vacío suyo el cual, siendo parcialmente ordenado, constituye una auticadcna. La lv11¡;it11d f(C) de una cadena finita Ces un número igual a 1 C 1 - l. Se dice que el conjunto parcialmente ordenado /I es de tongltud 11 (la designación es /(A) '= n), si en A existe una cadena de longitud 11 y todas las demás cadenas en A tienen una longitud no supe­ rior a 11. Diremos que el conjunto parcialmente ordenado A tiene una longi­ tud finica, si su longitud es igual a 11, y 11 ~ eo , Diremos que la 011c/111ro de un conjunto parcialmente ordenado A es igual a 11, si existe en A una antica­ dcna compuesta de 11 elementos, mientras que todas las anticadenas restan­ tes de A contienen no más de 11 elementos. Observemos que la longitud de un coniunto lincalrncnrc ordenado A es igual a 1 A 1 - 1, y la anchura, a l.

Sea S un conjunto de 11 elementos. Hallemos la anchura del booleano 9'(S). es decir del conjunto parcialmente ordenado del ejemplo 4. La res­ puesta a esta pregunta la da el teorema siguiente que se debe a Spcrner.

Teorema l. Sea . .:1'(S) un booleano, 1S1 = 11. entonces, la anchura de

'/'(S) ~~igual ;1 (l~J) . duudc lvl c.~ 1111:1 parte entera de x.

La demostración del teorema se desprende directamente del siguiente lema.

l.c111:1 l. Sea (A 1, /12, •..• A,,,} una ant icadcna arbitraria en .·J"(S), donde

2.14

1S1 = n, En este caso se verifica la desigualdad

~ 7-·· :¡ ·)- ~ l. i~' \ 1 Ad

Demostracián del lema. Examinemos en .Y(S) las cadenas 0 = /J0c e 81 e ... e B; =S. tales que 1ll*1 = k para k = 1, 2, ... , 11. El número de todas estas cadenas en .'.r'(.'í) es igual a 11!. Veamos entre dichax cadenas aquellas que «pasan» por el xubcoujuuto A1. i = 1, 2, ... , 111. Sea

1A;1 "" r. Entonces, las cadenas cundas tienen la forma siguiente: BoCD1C ... cR,-1CA1Cll,, 1C ... en,,.

El número de subcadcnas /Ju e /J1 e ... e IJ, _ 1 es igual a 1 A; 1 ! = r!, mientras que el numero de subcadenas IJ, ... 1 e ... e IJ,, es igual a (n - - 1 A; 1 )! = (11 - r)I. Por consiguiente, el número toral de cadenas que tienen la longitud 11 y que pasan por A, es igual a 1 A11 !(n - 1 A, 1 )!.

Cuando i ?! j, las cadenas que pasan por A; y Aj son diferentes. Efccti­ vamcrue, supongamos que Ai. AJ (i ;..! j) pertenecen a una misma cadena. Existen, pues, tales elementos IJJc y 81 de la cadena que A1 = /J" y A; = 81. Pero, en este caso, o bien A1CA;, lo que contradice la suposición sobre la lncomparabltldad de 11; y 111.

Oc aquí, el número toral de cadenas de Iongit ud 11 que pasa 11 por todos los subconjuntos de In ant icadcna es ignal a

"' ~ j 11, j !(11 - 1 A1 i )! i ~ 1

Mas esta magnitud 110 sobrepasa el uümcro rotal de rodas las cadenas de longitud 11, por lo cual

2: IA,l!(n- IA1l)!~11!. •• 1

De aqui proviene la desigualdad'>

~-(-J. ¡., 1 1 ;:;¡)

lo que se trataba de demostrar. Demostracián del teorema J. Sea (81, ... , Dk) una familia de todos los

subconjuntos del conjunto S, compuestos de [ i J elementos. Entonces,

~ t,

'' M\Jy a menudo eu '" Hlcratura esta desigualdad se denomina de Lubel, quren J;' de· mostré <11 1966. Sin embargo, fue o~tcn1dn con anterioridad, mdcpendlemcmeruc, por V.una· moto (1954) y L. Meshalkin (1963),

235

cvidcnrcmcntc, esta Iarui lia, siendo un subconjunto de .'1/.'(S) será una ami­

cadena Y k = ( [~]) , Demostremos ahora que todas las demás antica­

dcnns en .r (S) 110 son superiores en potencia a k, Efcct ivarnentc, sea (A 1, ••• , A.,,) una anticadcna arbitraria ele .<:r'(S). En­

tonces, en virtud del lema 1 >' la desigualdad evidente

tenemos

Por consiguiente, 111,.;, ([iJ) = k, lo que se requería de demostrar. De­

sempeña un papel importante el principio siguiente referente a los conjun­ tos Iiniros parcialmente ordenados. Dicho principio confirma la existencia ele una numeración concordada con el orden.

Teorema 2. Sea (A. <) 1111 conjunto Iinito parcialmente ordenado. En este caso los elementos de A p\1Cdc11 numerarse de un modo tal: A = [ne. ui. ... , a; 1 que de a,< "1 se deduzca i <t.

Dcmostracion. Po u gamos X,,. = t b1, úi •... , b.; J, donde la numeración primaria A = ! bi, /;¿, .•.• b; l está elegida de una manera cualquiera. Construyamos una sucesión de aplicaciones biunívocas ip,.. de los conjuntos 11, 2, ..• , 111 J sobre si mismo, tal que cada subconjunto X.,,, numerado por medio de ip.,,:X.,, = (aí~ ...• a:::1. donde a:"= b.,~<•1· satisfaga la afirma­ ción enunciada en el teorema. de n!'l:::aJ'se deduce que i « j.

Cuando 111 = J, la aplicación biuntvoca ~· se construye unívocamente, Supongamos que una aplicación biunívoca

"'" - 1 : [ 1, 2, . . .• n - 1 l _. f l, 2, . . . , n - 1 1 con In propiedad requerida ya está construida, Designemos con k el número menor de aquellos mí meros i que poseen la propiedad o.; <ni'- 1• Constru­ yamos una aplicación biuuivoca '{),,: ( l , ... , 11 - 1. n) ..... f 1, ... , n - 1, 11) del modo siguiente:

[

i, <p,.(i) = 11,

i + (,

si i «:k ; si i = k; si i>k.

En otras palabras, introduzcamos b,. entre aZ: l y~ - 1• Comprobemos que

236

V'• posee las propiedades requeridas. Si ol'< aJ, y (al~ oJI ex._ 1. entonces, por hipótesis de la inducción, i <j. Si b; == a; <oJ, entonces k <] por cons­ trucción. En fin, si al'<ot ""b,,, entonces aí'<a;<a;. 1, de donde af< a~+ 1. por ser transitiva la relación de orden, y por fin, i < k + 1 por hi­ pótesis de la inducción, puesto que (a!', a:+ 1 1 e X._ 1• Por consiguiente, también aquí i <k (el caso de i = k es imposible); Ja demostración del teore­ ma queda terminada.

En los conjuntos parcialmente ordenados resulta 1ítil resaltar los ele­ mentes de ciertos tipos especiales. El clc111e1110 M del co11j11n10 parcialmente ordenado A se denomina 11uíxi1110 (último elemento), si en A no existe un elemento o «mayor» que M, es decir, a-;;: M no se verifica, cualquiera que sea aEA, distinto de M. Por analogía, un elemento mEA se denomina míni­ mo (primer elemento), si en A no existe 1111 elemento aEA, distinto de 111, y tal que a~ m. El ·elemento aeA se llama maximal si para cada cEA : e e a. El elemento bEA se llama mínima/ si para cada cEA : e'-;;: b. Para los ele­ mentos maximal -y minimal de un conjunto parcialmente ordenado se usa­ rán también las designaciones 1 (unidad) y O (cero), respectivamente. Es fá­ cil comprobar que todo elemento máxima! es máximo y todo elemento mi· nirnal es mínimo. La afirmacióu recíproca, hablando en general, no t icnc lugar. Asl, por ejemplo, en un conjunto trivial parcialmente ordenado todo elemento es tantomáximo, como mínimo. Otro ejemplo de elementos mini· mos pero no minlmalcs nos lo dan los números primos en el conjunto de números positivos enteros ( 2, 3. 4, S, 6, ... J, ordenado por divisibilidad igual que en el ejemplo S. El cero en el conjunto P(n) del ejemplo 7 será (1 "): en el booleano .'.?'(S), el conjunto vacío 0, y en bclliano ll(S,.), la parti­ ción ( 01 J, ( a2 I, ... , (a,, J. Las unidades en estos conjuntos parcialmente ordenados también existen y son iguales a 11, S y S.,, respectivamente,

Observemos que la definición de elemento minirnal se obtiene de Ja dcfi· nición de elemento maxirnal sustituyendo simplemente el símbolo ~ por ;:: . De este mismo modo están relacionados Jos conceptos de elementos má­ ximo y mínimo. en general, al disponer <le una afirmación referente a un conjunto parcialmente ordenado y al sustituir ~ por '-;;:, obtenemos una afirmación nueva. Las afirmaciones relacionadas entres{ mediante el modo citado se llaman duales.

Sea (A, ~)un conjunto parcialmente ordenado, La rclución '-;;: (donde a~ b significa que b~ a) es tnmhicn relación de orden sobre A. De este mo­ do, (A. ~) es también un conjunto parcialmente ordenado que se llama dual respecto del conjunto parcialmente ordenado (A, ~ ). Ahora, si cf> es una afirmación referente a los conjuntos parcialmente ordenados, entonces, al sustituir todos los signos ~ por ;;¡,., obtendremos una afirmación dual respecto de la afirmación •I•.

Principio de dualidad. Si una afirmación <!•es cierta para todos los con­ juntos parcialmente ordenados, la afirmación dual respecto a •J> también se­ rá lícita para todos los conjuntos parcialmente ordenados.

2)7

Este principio es válido por la sim; ple razón de que <P tiene Jugar· 'éihtl' conjunto parcialmente ordenado (A.­ ~) cuando y sólo cuando la afirma­ ción dual respecto de <!! tiene lugar-en el conjunto parcialmente ordenarlo (A, ~).

Sea (A, ~) un conjunto parcial. mente ordenado. Diremos que un ~le: mento aEA cubre el demento beS~:o bien b se cubre por el elemento a (la.de. srgnación es: u>-b, o bien b -<o), si 11 > b y no existe cEA, tal que se veriñ- que 11> e> b. El elemento o se llan'!a á101110, si a>- O, y codtomo, si a -< L Para el caso en que a cubre b o coincis de con éste, la designación ser? 11 :;;..=/J.

Se denomina diagrama de Hasse de un conjunto parcialmente ordenado 11 a un grafo orientado, cuyos vértices son los elementos del conjunto A, mientras que el arco (a, b) está presente cuando y sólo cuando a cu!>re·6 en el conjunto parcialmente ordenado A. Se acost umbra a representar los arcos en este gra ro en dirección hacia abajo. En la fig. 8.1 se muestra ci diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado P(5) del ejemplo:~,.

Los coáromos en P(5) son (l. 4) y (2, 3); el átomo es (lJ, 2). En P(Sj se ucuen en totnl 7 elementos. Los valores de l !'(11) 1 crecen muy rápitla; mente a medida que aumente 11; por ejemplo: 1 P(6) 1 = 11, -f'(IO) 1 = 42;

1P(20)1 = 627, j P(50) i = 204 226, 1 P(IOO) j = 190 569 292. . LO$ diagramas ele H assc para el booleano .Y'(S), donde S = ( 1, 2, 3, 41.

y para el conjunto parcialmente ordenado D(20) del ejemplo 6 se aducen en las figs. 8.2 y 8.3, respectivamcuie. En el primer conjunto los átomos son todos Jos subconjuntos de un solo elemento, a saber, { 1 ) , ( 2 J ,. { 3 J, ("4 )-. y en el segundo, los números 2 y 5.

Sea A un conjunto finito parcialmente ordenado. Entonces su diagrama de Hasse es un grafo orientado sin contornos. Por analogía con la teoría de los grafos, se denomina matriz de adyacencia del diagrama de Hasse de un co11ju1110 parcialmente ordenado A a la matriz cuadrada llk;1Y de orden

l 11 1 , en la que ku = 1, si (a;, 111) es un arco en el diagrama de Hassc (o bien, lo que es equivalente, ";-< 11, en A), y k;¡ = O. en el caso contrario Esta matriz coincide con 1;1 mal riz Je la f1111d611 de recubrimiento del ál gcbra estándar de incidencia S(A) (véase más abajo el párrafo 8.3).

Detengámonos brevemente en los métodos de numeración, concordada con el orden, cuya existencia se garantiza por el teorema 2. Diremos que el elemento a es un ascendiente del elemento b, o que b es un descendiente <le a, siempre que 11 > b en /l.

( 1,41~ = 4. 1

• ~211.· :; 2•2~1

111.21- • 2+1•1 .. t

r r'J = 1·,.1~1+1

Fig.8.1.

s

12

70

34 10

f'ig.8.2.

/5 1

l>i¡¡.8.J.

Veamos el problema siguiente que es de imnortnncia en las aplicaciones: Divídanse lodos elementos de 1111 co11}111110 parcialmente ordenado A en

capas de un modo tal que: a) lodos los elementos de una capa Liada no tengan descendientes en Ja

capa siguiente: b) los elementos de la primera capa 110 tengan descendientes, y los de

la capa última no tengan ascendientes; e) cada capa constituya una anticadcna en A. He aquí uno de Jos métodos de resolución de este problema. Sea K una

matriz de adyacencia del diagrama de Hassc de un conjunto parcialmente ordenado A. Denotemos con ii, li Jos vectores columna de esta ruarríz. Cal­ culemos el vector a, = :E o, y agrcguémoslo a la 1n<1Cri7. K escribiéndolo

ttt..1

a la derecha. Designemos con 111 un subconjunto del conjunto A, a cuyos elementos en el vector colu mua i'i1 corresponden ceros. Estos ceros signifi­ can que los elementos del conjunto 111 no tienen descendientes. Por eso el conjunto Ar forma la primera capa.

Calculemos ahora el vector ch = ii, - :L: a. A los ceros ele este vector oEA,

columna 02 corresponden los elementos del conjunto Az que forman la se­ gunda capa. Calculemos el vector llJ = iii - L.: u, y consideremos los ele-

meneos del conju nto 11,, correspondientes a los ceros del vector col1111111:1, ubicados en la tercer capa. Seguiremos con los cálculos hasta que se obten­ ga un vector columna compuesto exclusivamente por ceros. Consideremos todos los elementos restantes del conjunto A situados en la última capa. Pa­ ra demostrar que la partición obtenida es la buscada, observemos que en cada etapa del cálculo hallamos los elementos del conjunto sin descendien­ tes.

Ilustremos este método con un ejemplo concreto. Sea A un conjunto

239

4

3

1

f) b l'ig.8.4. Fig.8.l.

parcialmente ordenado cuyo diagrama de Hasse se expone en Ja fig. 8.4. To­ dos los cálculos para la resolución del problema se aducen en la tabla. El diagrama de Hassc se da en Ja fig. ll.5.

Tabla 8.1

a b e d t I I h 1 j * Ao A, A1 A,

o o o o J o 1 o o o o o 2 2 o X b o o o o o o o o o o o o X X X e o o o o o o 1 o o o o 1 o X X d o 1 o o o o o o o o o 1 o X X e o o o o o o o o o o 1 1 1 1 o r o o o o o o 1 o o o o 1 o X X s o o o o o o o o o o o o X X X h o 1 o o o o o o o o o 1 o x X i 1 o o 1 o o o o o o l 3 J 2 o j l o o o o o o o o o o 1 1 1 o k o o 1 o o o o 1 o o o 2 l o X

Ca¡m l 2 ) 4

C:lc1ucntos b, t c. d, a, k t, /, /.h j

Observacián, Al realizar el método examinado de partición en capas con ayuda de un ordenador, hace falla agregar a la matriz K la matriz

E= [g.JJ.::J ]· o o o ... 1

240

con el Iin de distinguir los ceros (0) y lugares vacíos (X). En este caso los ceros se harán unidades, y las X, ceros.

Al numerar arbitrariamente los elementos de un conjunto parcialmente ordenado A dentro de la capa 1, luego, dentro de la capa 2, etc., obtendre­ mos una numeración concordada con el orden del conjunto A. Por ejemplo, los elementos de un conjunto parcialmente ordenado cuyo diagra­ ma de Hassc se expone en la fig. 8.4, podemos numerarlos así: bghcdfkaeij, o bien gbcdhfakeji, o bien bgfdchakjie, etc. Hemos de notar que, aceptada tal numeración de los elementos, K será una matriz triangular superior.

Es prácticamente imposible numerar, con ayuda del método aducido, todas las permutaciones de los elementos del conjunto parcialmente orde­ nado A concordadas con el orden de A. Por eso, recomendamos que el mis­ mo lector elabore, a título de ejercicio, el método de numeración de las per­ mutaciones de los elementos de un conjunto parcialmente ordenado con­ cordadas con el orden del mismo, mas dicha recomendación ha de realizarse después de estudiar el material del § 8.3.

Una cadena, en la que cada subconjunto no vado posee un elemento mínimo, se llama bien ordenada, Un conjunto bien ordenado constituye una cadena finita. Un conjunto de números naturales, ordenado de un mo­ do n~~ural, es también bien ordenado. Un conjunto de todos los números enteros no está bienordenado con relación al orden natural, puesto que no tiene el elemento mínimo. Si11 embargo, se hace bien ordenado, si el orden se establece del modo slguicntc:

1<2<3<4< ... <0<-l<-2<-3<-4< .... donde todos los números positivos preceden a los restantes. Otro ejemplo de una cadena que: no está bien ordenada es el segmento (O, IJ, pues, por

ejemplo, el lntcrvnlo (}. 1) no contiene el elemento minimal.

La importancia de los coniuntos bien ordenados consiste en la posibili­ dad de aplicar el método de inducción, o sea de la llamada inducción trans­ finita que se conoce por los conjuntos numerables y finitos en el caso de los conjuntos bien ordenados. La esencia de este método consiste en lo si­ guiente: sea Puna afirmación concerniente a los elementos de un conjunto bien ordenado A. Si P se cumple para el elemento mlnimal (o «primero») del conjunto A, y de la validez de la afirmación P para todo x«; a se deduce su validez para el elemento a, entonces la afirmación P se cumple para to­ dos los elementos del conjunto bien ordenado A.

En efecto, supong:unos cumplidas tas premisas de ta condición de in­ ducción. Veamos un subconjunto B de todos los elementos de A. para los cuales no se cumple la afirrn:1eión P. Si la conclusión de la inducción no tiene lugar, entonces 8 es no vacío. Por cuanto A es bien ordenado, en B se tiene el elemento mínimo a. Según In condición, este elemento no puede ser elemento n;inimal del conjunto A. Si x «; a, entonces xEB, y, por lo tan-

l(¡-(\1)1.\ 241

to, para x es válida la afirmación P según la condición. Mas en este caso para a es válida la afirmación P. Hemos llegado a una contradicción. Esto quiere decir, que el conjunto Bes vacío y la afirmación Pes válida para to­ do bEA.

Se dice que un conjunto parcialmente ordenado A satisface la condición de mtnimo (de máximo, respectivamente), si cada subconjunto no vacío del conjunto A es un conjunto parcialmente ordenado que contiene elementos minimales (maximalcs).

Cualquier conjunto bien ordenado A satisface la condicióu <le miuimu], y el conjunto A•, dual respecto de /l, satisface la condición de mnximal. Como ejemplo de tal conjunto interviene el conjunto de números naturales de orden corriente que satisface la condición del mínimo, pero no satisface la del máximo.

Diremos que un conjunto parcialmente ordenado satisface la condición de rotura de las cadenas decrecientes (la condición de rotura de fas cadenas crecientes, respectivamente), si para una sucesión numerable arbitraria [a. 1 n = 1, 2, ... 1 de elementos de A tal que «1 ~ai~ ... ~a.~ ... (a1~a1~ •.. ~a.~ ... , respectivamente) existe un número k, tal queª"= = 01< para todo n ';J;k.

Teorema 3. En un conjunto parcialmente ordenado A la condición de mfnimo (de máximo, respectivamente) es equivalente a la condición de rotu­ ra de las cadenas decrecientes (crecientes).

Demostracián, Supongamos que se cumple l;1 condición de minimo y que a1~a2;;:: •.• ;;:.a .. ~ ... es una cadena numerable de elementos de 11. Sea a el elemento mínimo en un subconjunto 1 a,. l n "' 1, 2, ... } clel con­ junto A. Entonces, a = Uk para cieno k, y, por consiguiente, a., = a = Ot para todo n;;i.k.

Al contrario, supongamos que se cumple la condición de rotura de las cadenas decrecientes y que n es un subconj unto no vacío del conjunto A. En este caso B contiene el elememo a1, y si e, no es mínimo en 8, existe un elemento 02.EB tal que a1 > ai. Supongamos que existen tales a1, ... , a,,EB que·i71 >a2> ... »o.; En este caso, o bien a11 es mínimo en B, o bien existe un elemento an + 1 EB tal que a.>ª"+ 1• De aquí concluimos que o bien B tiene un elemento mínimo, o bien existe una cadena infinita a, > a2 > ... >a,,> ... de elementos de 8. Por hipótesis, es posible sólo el primer caso.

De un modo dual se establece la validez. de la parte restante del teorema, el cual queda, pues, completamente demostrado.

EJ•rckfo. Demuéstrese que l. SI una cadena C y otra cadena, dual respecto de C. en un conjunto dual parcialmente

ordenado e$tán bien Ordenadas, entonces C comlene un numero finito de elementos. l. Si un conjunto parcialmente ordenado no contiene ni cadenas infinitas ni anttcadenas

Infinitas, es finito. 3. Un conjunto finico satisface tas condiciones de mínimo y de máximo.

242

4. Si una cadena no es bien ordenada, contiene una subcadene que es dual respecto de una serle natural.

S. Un conjunto ordenado local finito parcialmente satisface la condición dd miniroo.

Si A es un conjunto parcialmente ordenado, entonces el conjunto de to· das las cadenas será parcialmente ordenado de por sí con ayuda de una inclusión teórico-multiplicativa. Los elementos máximos de este último conjunto, si existen, se denominan cadenas máximas del conjunto A. En otras palabras, una. cadena C del conjunto parcialmente ordenado A sella­ rna cadena máxima, si para todo elemento a de A, no perteneciente a C, el subconjunto C U (·a 1 ya no es una cadena.

Al .estudiar los conjuntos infinitos hemos de emplear frecuentemente el siguiente axioma de elección:

Dado un conjunto A, existe una función rp que a todo conjunto no vacío JJ de A le hace corresponder un elemento determinado rp(B) de este subconjunto.

Dicho de otro modo, la función ip marca el único elemento en cada uno de los subconjuntos no vacíos del conjunto A.

Las numerosas investigaciones matemáticas se apoyan en el axioma de elección. La cuestión sobre las bases lógicas de este axioma y la legitimidad de su empleo pertenece a los problemas más difíciles y discutibles en la ar­ gumentación de Ja teoría de conjuntos. En la exposición ulterior que viene más adelante el axioma de elección se supondrá válido. Para los conjuntos numerables el axioma de elección puede ser fácilmente demostrado. En erecto, si los elementos del conjunto A están numerados con números natu­ rales, obtenemos la 1'1111ció11 requerida <11 marcar en cada subconjunto J) de A aquel elemento suyo que lleva el número rninimal.

Sea A un conjunto en el que vienen definidas dos relaciones de orden parcial: ~ y=. . Diremos que el ordcn ee es una prolongación del orden ,¡;, si para cualesquiera a, bEA la relación a~b lleva consigo la correlación a=eb.

Teorema 4. Sea A un conjunto parcialmente ordenado que satisface la condición de mínimo. Entonces, su orden parcial puede prolongarse hasta. el orden que transforma A en un conjunto bien ordenado.

Antes de pasar a la demostración del teorema, demos a conocer algunas definiciones. Se denomina segmento de cierto conjunto bien ordenado A a todo subconjunto suyo lJ que contiene, junto con cualquier elemento suyo b, todos los xEA, tales que .n~ b, lJn conjunto de elementos que preceden cstrtctamentc a cierto elemento a de A es un segmento auténtico del conjun- 10 A, es decir, un segmento, distinto del propio A, con el cual se agotan to· dos los segmentos auténticos: si fJ es un segmento de tal {ndolc, él se corn­ pone de Lodos los elementos que preceden estrictamente al elemento míni­ mo del complemento A 'B, es decir, 8 se define por dicho elemento. Con­ vengamos en considerar un subconjunto vacío como segmento auténtico del

1c,• 243

conjunto A; éste se determina por el elemento mínimo del conjunto citado. Demostración de( teorema 4. Sea A un conjunto parcialmente ordenado

que satisface la condición de mínimo. Marquemos en cada subconjunto su­ yo no vacío B un solo elemento rp(B), al poner rp(B) igual a uno de sus ele­ mentos mínimos. Esto siempre puede realizarse en virtud de la condición de mfnimo y del axioma de elección. Llamaremos marcado al subconjunto no vado B de A, si el orden inducido de 8 puede ser prolongado hasta el orden que lo conviene en un conjunto bien ordenado y, además, de una ma­ nera tal que para todo aEB tenernos: a=: <p(/1' //'}.donde /J' es un seg­ mento del conjunto IJ en la ordenación total citada que se define por el ele­ mento a. Los conjuntos marcados existen en A; tal es, por ejemplo, un sub­ conjunto [<p(A)). puesto que frp(A)I' = 0. y V'(/1)= rp(A'-0).

Sean B y C dos subconjuntos marcados, para 105 cuales están elegidas las ordenaciones totales que poseen la propiedad indicada en el parágrafo antecedente. Entonces, ambos subconjuntos mencionados tienen <p(A) en calidad de primer elemento, razón por la cual poseen segmentos coinciden­ tes no vacíos. La reunión D de todos los segmentos coincidentes de estos dos subconjuntos será, evidentemente, un segmento en cada uno de ellos; este es el segmento mayor entre los segmentos coincidentes. Si el segmento D fuese distinto tanto de B. como de C, entonces, de conformidad con la definición de subconjunto marcado, el segmento D se definiría en B y en C por el elemento <p(A 'D), y en este caso n y C posccrlan un segmento coincidente mayor que D, el cual couxtu de /)y del elemento op(A <, D). Esta contradicción con la definición de D demuestra que uno de los dos subcon­ juntos marcados B y C es un segmento del otro.

De aquí se desprende que la reunión S de lodos los subconjuntos marca­ dos de A será marcada también. En efecto, si b y e de S pertenecen a los subconjuntos marcados By C, respectivamente, entonces ambos yacen en el mayor de los subconjuntos citados, por ejemplo, en B. Suponiendo b'";!:.c en S, si b?;;c en este A, obtendremos en S una ordenación lineal, la cual será, incluso, ordenación total: toda cadena decreciente de elementos en S está contenida íntegramente en cierto subconjunto marcado B, por lo cual ha de romperse. Por fin, si beS, entonces b está contenido en cierto subcon­ junto marcado By define tanto en S, como en B un mismo segmento B', con la particularidad de que b = <p(A '8 '). Con ello queda demostrado el hecho de que S está marcada.

Para finalizar la demostración del teorema 1101> resta señalar que si S fuese distinto de A, entonces en la contradicción con la definición de S ob­ tendríamos un subconjunto marcado superior a S. agregando a Sel elemen­ to rp(A 'S) .y considerando este elemento el siguiente tras todos los elemen­ tos de S. El teorema queda demostrado.

Del teorema 4 se deduce inmediatamente el Teorema S (Zermelo). En todo conjunto no vacío puede definirse un or­

den que lo convierte en un conjunto bien ordenado.

244

Más aún, del teorema 5 proviene el axioma de elección. En efecto, si A es cierto conjunto no vacío, entonces, conforme al teorema 5, puede consl­ derarse bien ordenado. Si Bes un subconjunto no vacío del conjunto A, en­ tonces, al designar con <p(B) el elemento mínima! del conjunto 8, nos con­ vencemos de que <p(B) satisface al Mioma de elección. De este modo, se ha demostrado la equivalencia del teorema 4, del axioma de elección y del teo­ rema de Zermelo.

Véanse (33, 90, 91} para familiarizarse más detalladamente con el axioma de elección y los teoremas equivalentes a él.

Veamos un sistema (A,. 1 aEL) de conjuntos parcialmente ordenados, suponiendo que el conjunto L es también parcialmente ordenado. Conven­ gamos en considerar que los diferentes conjuntos del sistema a examinar no tienen puntos comunes. Esto, sin embargo, no impide que algunos de.ellos sean diferentes ejemplares de un mismo conjunto. Denotemos con A una reunión tcórlco-rnulnplicariva de conjuntos de este sistema y con P, el pro· dueto directo de los conjuntos del sistema (A., 1 a<:.L), es decir, el conjunto de funciones " que a todo conjunto A~ le hace corresponder un elemento o.,EA.,. Las funciones a pueden concebirse como una fila (a,.), donde cr re­ corre el conjunto L. La existencia de tales funciones se desprende de la apli­ cación del axioma de elección a U A.,. Por consiguiente, el producto dircc-

a({.

lo de cualquier sistema de conjuntos no vados es no vacío. Definamos sobre Puna relación <, haciendo a « b, si de o,.(b,., para cierto aEL se deduce que existe tal #EL que f3<0t, y OtJ<b¡¡.

Teorema 6. Si un conjunto parcialmente ordenado L satisface la condi­ ción del mínimo, In relación < en P, definida por la condición

o< b, si a = b, o bien a « b,

es un orden. Demostración. La reílexividad de la relación < es obvia. Supongamos

que a< by b <a, pero a r! b, Entonces, existe tal Indice aU, que e, {;,b,.; y a11<b11 para cierro f3<a. Pero, b¡ti;µ¡¡ y b <a. Por consiguiente, se en·' contrará f31<a tal que b111<ap,. De aquí, Ofl,(b/l., y a Cb, Por eso, existe {Ji <f31 tal que ao,<b;J,. Continuando este proceso, obtendremos una suce­ sión decreciente infinita

cr>f3>fJ1>fh> ... de elementos de L, mas esto contradice la condición del mínimo de L (véase teorema 3). Es10 quiere decir que u = by et carácter antlslrnétrlco de la rela­ ción < está demostrado.

Comprobemos ahora Ja transitividad de nuestra relación. Supongamos que a< b y b < c. Si a = b ó b = e, la transitividad es obvia. En cambio, si a< b y b <e, pero no que a< e, se encontrará tal Indice aEL que a.,~ e; y 1113 >i, en para todos los tJ < o. De aquí se deduce que a,. ( b«, o bien b,. ~

245

e,.. Pongamos cx1 "' ex, y supongamos están elegidos los índices

de un modo tal que para cada 0t1 (i-= I, 2, ... , n) tiene lugar º"•i, b,.,. o bien bo,( Co,. Si, por ejemplo, a.,.( b.,., entonces para cierto (3<a. debe ser ap<bp. Si b0~cp, entonces op<c8. Por cuanto (3 <a.< <:l, esto contradi­ ce Ja elección de o, Por consiguiente, ba ;( co, lo que nos permite poner ª• + 1 = {J. As! pues, se ha obtenido tic nuevo una sucesión decreciente infi­ nlta de elementos dc Z; a1 >a2>·. 1·. > ª" > ... , lo que contradice la con­ dición de mlnimo de l. Por lo tanto, la transitividad de la relación < está demostrada y 'ia demostración del teorema queda terminada.

El producto directo P, dotado de un orden descrito en el teorema 6 lleva el nombre de producto ordenado de los conjuntos parcialmente ordenados A,..

Determinemos también sobre el conjunto 11 la relación < , poniendo o< b, cuando y sólo cuando a, b€A.,, y a'!;,b en A,., o bien a€A ... b€A1J y a<(j en L. Comprobemos que la relación < es un orden en A = U 11.,.

' u(L

Bfectivamente, es obvio que < es una relación rcñcxiva. Si o< b y b <o, es evidente que a, bEA .. para cierto aEL, y, por lo tanto, a = b, Si a< /J y b < e, entonces o EA .. , bEAo, cEA~. y la desigualdad a<. e se establece mediante un examen no complejo de los siguientes cuatro casos:

l)a = (J, fJ ='Y; 2) 0t = (J, fJ<'Y: 3) «<B, ¡J<.-y; 4) rt<(J. (J ='Y· De modo que (A, < ) es realmente un conjunto parcialmente ordenado, el cual se llama sumo ordenada de los conjuntos parcialmente ordenados A,..

Si Les una anücadcna, entonces la suma ordenada recibe el nombre de sumo cardinal y el producto ordenado, de producto directo. En el caso de un producto directo es evidente que o( b, cuando y sólo cuando 00 ~b., en A .. para todo a€L. Si Les una cadena, Ja suma ordenada de los conjuntos parcialmente ordenados. se llama suma ordinal. Un producto ordenado, en el caso cuando Les un conjunto bien ordenado, se denomina texicográfico.

Una suma ordenada A contiene naturalmente sus sumandos en calidad de subconjuntos. Esto nos permite decir que A se descompone en uno suma ordenada de sus subconjuntos. Un conjunto parcialmente ordenado, que no puede ser representado en íorma de una suma ordinal (cardinal, respectiva­ mente) de sus propios subconjuntos, se denomina ordinalmcnre (cardinal­ mente) tndescomponibte.

Al contrario, los factores A .. de Jos productos ordenados P no admiten interpretación tan natural como sus subconjuntos. Verdad es que A .. se en· cajan en el producto ordenado P, mas son muchos tales encajes.

Una información más detallada sobre las sumas y los productos ordena­ dos puede sacarse de [33]. Enunciemos aquí, en forma de ejercicios, una se­ rie de sus propiedades.

246

EJcrclclos. Demuéstrese que 6. Cada conjunto parcialmente ordenado es una suma cardinal (ordin:il, respectivamente)

de sus subconjuntos cerdinatmente (ordinalmente) Indescomponíbles. 7. Cad;i conjunto parcil\Jmente ordenado es una sumi ordenada de conjuntos de un solo

elemento, 8. Un conjunto parcialmente ordenado u una suma cardinal (ordi11al, respectlvameme)

de conluntos de un solo elemento, cuando y sólo cuando es una antlcadene (cadena), 9. La adición ordinal es no conmutativa. JO. Una suma ordenada de los conjuntos bien ordenados (A. I aEL) es bien ordenada,

si, y sólo si, L es un conjunto bien ordenado. J 1. Una suma ordenada de los conjuntos parclalmente ordenados (A.ja El] .1atisface

la condición de mínimo si y sólo si esca condición la sa1bracen L y todos los A •• 12. Un producto ordenado de una familia finita.de conjuntos parcialmente erdenados A.

sarlstace la condición del mfnimo si y sólo si esta cond!cl~n la utisfacen toc;los los A •. 13. Un producto lcJticogrMico de la.s cadenas es 11na cadena. 14. Un produdo l~ico¡tráfico de una ínmilia finita de conjuntos bién orüenados es bien

ordenado.

Al concluir este párrafo detengámonos en algunos resultados referentes a los conjuntos parcialmente ordenados, donde la atención principal se presta a las cadenas y anticadcnas. Para tal análisis resulta tlpico el proble­ ma de búsqueda del número mínimo de cadenas, en el que puede partirse un conjunto finito parcialmente ordenado. La respuesta la da el siguiente teorema que se debe a Dilworth,

Teorema 7. Sea P un conjunto finito parcialmente ordenado. El número mínimo de cadenas disjuntas, que contienen todos los elementos de P, es igual a la anchura de /~

Demostracián. Supongamos que d(P) es el número mfnimo de cadenas disjuntas que contienen todos los elementos del conjunto parcialmente or­ denado P; U(P) es la familia de todas las antlcadenas en P, y s(P), la anchura del conjunto parcialmente ordenado P, es decir, s(P) = = má.x 1 A I · En estas condiciones el teorema afirma que d(P) = s(P).

A(U(P)

Dcmost rérnoslo. Es evidente que d(P) ~ s(P), puesto que no existe ninguna cadena que

contenga más de un elemento de la antlcadena, La desigualdad inversa se demuestra por inducción según el número de elementos del conjunto par· cialrnentc ordenado P, es decir, 1P1 . Si 1P1 = 1, la afirmación es cierta. Supongamos que es cierta para todos los conjuntos parcialmente ordenados Q tales que 1 Q 1 < J P 1 . Pongamos s(P) "' n y examinemos dos casos.

Caso J. Sen una anticadcna AEU(P), 1A1 = n, que no contiene ni la anticadena A.,., de iodos los elementos mínimos de P, ni tampoco la anti­ cadena A •• .i. rlc todos los elementos máximos de P. Definamos dos conjuntos:

e: = (xEP 1 ólrrEA : x~al; r: = [xEP l 3aEA : x~a).

De conformidad con las suposiciones referentes a la anticadena A tenemos:

247

p+rvr =A, p+up- = P, p+ ?! P, y P" r. P. Por consiguiente, 1 »: J < l P 1 Y J p+ 1 < J P J . Entonces, con arreglo a la suposición de inducción, tenemos d(P-) ~s(P - ) = 11, y d(P • ) ~ s(P • ) = 11, es decir, ca­ da uno delos dos conjuntos parcialmente ordenados P" y p+ puede ser representado en forma de una reunión de n cadenas disjuntas:

• p+ :; u ql) ,_, y n r: = u q21.

1~ 1

Cada elemento a de la nnticadcna 11 es, a la vc·1., 1111 elemento mlnimo en p+ y máximo, en P>, Pegando las cadenas Gi1> y c,12>, que contienen el elemento a, obtenemos una cadena c •. l'or cuando todo elemento a de la anticadena A, siendo mlnimo en P + y máximo en P>, es rnaximal para una de las cadenas C11' y mínima! para una de l:is cadenas Cf2>, entonces, pegando las'cadenas de recubrimiento de P" y P ·• por Jos elementos comu­ nes de la antlcadena A, llegamos a que P = P" U/>+ = U Ca: 1 A 1 = 11,

•(A es decir, existe un recubrimiento del conjunto parcialmente ordenado P me­ diante las n cadenas.

Caso 2. Cada anricadcna de potencian del conjunto parcialmente orde­ nado P contiene o bien lodos suselementos máximos o bien todos-sus ele­ mentos mínimos. Por consiguiente. existen, como máximo, dos anticadenas de esta fndole: una que contiene todos los elementos máximos, y la otra que contiene todos los elemento mlnimos. Tomemos al azar un elemento aEAm1n y elijamos bEAm1a de un modo t<1I que (1 ?- u (fJ puede ser igual a a). Sea Q = P -, la, b). Es evidente que 1 Q 1 < ! P 1 . Por consiguiente, según la hipótesis de inducción, Q puede descomponerse en s(Q) cadenas, mas s(Q) = n - 1, en virtud de la hipótesis. De aquí, al agregar a dichas cade­ nas una cadena {a, ú), obtendremos una descomposición de P en 11 cade­ nas. Por consecuencia, en este caso d(P) ~" "' s(/I). La demostración del teorema queda establecida.

Es Hcila también la afirmación dual. Teorema 8. Sea P un conjunto finito parcialmente ordenado, Entonces,

elnúmero mayor de elementos en la cadena deP'es igual al número mlnimo de antlcadenas disjuntas que contienen todos los elementos del conjunto P.

Demostracián. Sea l(P) e[ número mínimo de anticadenas disjuntas que cubren todos los elementos del conjunto finito parcialmente ordenado P; C(P) es una familia de todas las cndcnas en P, y m{P) "" máx 1 C 1 • Se ne­

C(C(PJ cesita demostrar que t(P) = m(P) para todo P.

. Es obvio que m(P) ~/(P), puesto que ninguna anticadena contiene más de un elemento de la cadena. Por inducción respecto de m = m(P) de­ mostremos la desigualdad inversa. Cuando m = 1 ella, evidentemente, se verifica. Sea t(Q)~m(Q) para todos los conjuntos parcialmente ordenados Q tales que m = m(Q)<n. Entonces, si m(P) = n, analicemos la antlcadc­ na A que incluye lodos los elementos máximos de P. Eslá claro que

248

A ;-!. 0, puesto que el elemento máximo de cada cadena máxima está con­ tenido en A. Veamos un conjunto parcialmente ordenado P'-A. Es fácil mostrar que m(P'-A)"" n - J. En efecto, sea X1 <x1 < ... <x. una cadena de potencian en (P'-A). Puesto que m(P) = 11, esta cadena es máxima y, por lo tanto, XnEA, lo que contradice la suposición; x.E(P'-A). Entonces, en (P'- A) no hay cadenas de n elementos, y, por hipótesis de inducción, llegamos a que f(P'-A)~m(P'-11) = 11 - l. Oc aquí, l(P)~m(P) y el teorema queda demostrado.

El teorema 7 fue enunciado por primera vez por Dilwor th (921 en 1950 y demostrado con motivo del análixix de los retículos distributivo.~ (véase § 8.2). Sin embargo, muy pronto se comprendió que este teorema tiene un campo de aplicación mucho más amplio. Más aún, el teorema resultó ser equivalente a varios teoremas de mlni-rnáx del análisis combinatorio, por ejemplo, al teorema de P. Hall sobre el sistema de representantes distintos (§ 3.2), al de Ford y Fulkcrson sobre el Ilujo máximo expresado en números enteros y el corte mlnimo (§ 6.4), al de Menger sobre fa separación de los vértices y a otros. Merced a las numerosas interpretaciones, los razonamien­ tos aducidos más arriba ocupan en el análisis combinatorio uno de los luga­ res "centrales.

Enunciemos ahora una serie de teoremas y, a continuación, interpretán­ dolos de tal o cual modo, demostremos la equivalencia entre algunos de ellos.

Recordemos que se denomina-grafo bipartido a un grafo O= O(V. /:.'), en el cual el conjunto de vértices V == SVT se divide en dos conjuntos dis­ juntos S y T de un modo lal que cada arista (a, b) une cierto vértice af:S con el vértice bET. El grafo Ges bipartido cuando y sólo cuando todos los ciclos simples de él tienen longitud par.

Cualquier relación binaria R s;; S X T sobre los conjuntos finitos S y T puede considerarse como un grafo orientado bipartido 0(5\JT, R), en el que todas las aristas están orientadas de S a T, con In particularidad de que (a, b) es un arco en G, si y sólo si a ES, bE T, y (a, b)eR, y viceversa. Por eso, en adelante no distinguiremos la relación binaria R <;; S X T y el grafo bi­ partido correspondiente G(SUT, R), empleándolos como entes intercarn­ biables. Cualquier familia ( A1 1 iE TI de subconjuntos del conjunto S en· gcndra una relación binaria R s;;S x T, a saber, (a, l)ER cuando y sólo cuando aEAt y cualquier relación binaria puede, obviamente, considerarse en este sentido como un sistema de conjuntos.

Sea G(S\JT, R) un grafo bipartido. Se llama combinación de pares en el grafo G a un conjunto E de aristas, de las cuales no hay ningún par que tengan vértices comúnes. Denotemos con S(E) y T(E) los conjuntos de vér­ tices de la combinación de pares E, situados en los conjuntos S y T, rcspcc­ tivamente. Un subconjunto As; S se denomina transversa/ parcial en S, si existe tal combinación de pares E que A = S(E). Del modo análogo se dcfi­ oc también la transversal parcial para B<;; T.

249

Dicho de otro modo, el conjunto A <;;.Ses una transversal parcial del grafo O(SvT, R) cuando y sólo cuando existe un encaje v>: A-> T tal que (a, \O(a))ER, cualquiera que sea a EA.

El teorema de P. Hall sobre el sistema de representantes distintos (véase § 3.2) puede ahora enunciarse en términos de los grafos bipartidos.

Teorema 9. Sea O(&JT, R) un grafo bipartido con conjuntos finitos de vértices S y. T. Entonces, A<;;. S será una transversal parcial, si, y sólo si,

1 B l :::;; 1R(B)1 para todo ll!;;A, donde R(IJ) =·U (yETI (a, y)ER}.

•ED

Efectivamente, sea (A11 iE TJ una familia finita de subconjuntos del· conjunto S; aquí, los subconjuntos A1 no son forzosamente distintos. Deñ­ narnos una relación binaria:

{i, a)ER, siempre que aEA1.

Entonces, R(J) = LJA¡ para lodo J<;;. T; ahora, del teorema 9 obtenernos }lT

el teorema de P. Hall del § J.2: ·reorcrna 10 (P. Hall). U11:1 familia de conjuntos !Ar 1 iETI tiene trans­

versal (o bien un sistema de representantes distintos) cuando y sólo cuando

1 UA1I ~J para iodo J<;;. T. J!J

Recordemos la formulación del teorema sobre el Flujo máximo y el corte mínimo (véase teorema 4 del § 6.5).

Teorema 11 (Ford, Fulkcrson). Para cualquier red con una capacidad de paso expresada en números enteros, el valor máximo de un flu]o de la entra­ das a la salida 1 es igual a la capacidad de paso mínima del corte que separa s de t.

En el § 6.4 se ha deducido, del teorema sobre el flujo máximo y corte mínimo, el teorema de Konig, a saber:

Teorema 12. Sea O = G(&JT, R) un grafo bipartido arbitrario. Enton­ ces, el número máximo de aristas de la combinación de pares en el grafo O es igual a la potencia mínima del conjunto (S, T)-separador de los vérti­ ces del grafo O.

Recordemos que el conjunto de vértices en un grafo arbitrario O( V. E) recibe el nombre de conjunto (S, Ti-seporador de vértices, donde S, Ts; V y snT = 0, si al eliminar estos vértices del grafo, junto con las aristas inci­ dentes (o con los arcos) se rompen todas las cadenas (o caminos) que llevan de los vértices del conjunto S a los del conjunto T. Oiremos que dos cade­ nas (o dos caminos) del vértice a al vértice b del grafo G no tienen vértices comunes, si ellas tienen de común sólo los vértices o y b. Llamemos conjun­ to (S, T)-scparador de aristas (o de arcos) a tal familia de aristas (o de arcos) del grafo G, cuya eliminación de O rompe todas las cadenas (caminos) que llevan de los vértices del conjunto S a los del conjunto T. 250

Interpretemos ahora el teorema de Konig en términos de las matrices, Sea A ,,. llaua una matriz rectangular arbitraria con elementos reales. Nos será de interés sólo una cuestión: ~es igual o no a cero el elemento de la matriz? Llamemos líneas de Ja matriz tanto sus filas, como las columnas. El conjunto de elementos de Ja matriz distintos de cero se llamará transver­ sa/ de la matriz, si ningún par de ellos yace en una línea. Diremos que el conjunto M de lineas cubre todos los elementos no nulos, si cada elemento no nulo de la matriz A yace por lo menos en una línea de M. A la matriz A se le hace corresponder un grafo bípart ido, tomando como vértice el con· junto de filas y el de columnas de la mal riz ll y haciendo (b1, c1)ER ¡;ua11ú11 y sólo cuando au ;t O. Aquí, con b; y e¡ están designadas la i-ésima columna y j-ésima fila, respectivamente, de la matrlz zt , Entonces, del teorema 12 ob­ tenemos el teorema de Konig del § 4.1.

Teorema 13. La potencia mayor de la transversal en una matriz es igual al número mínimo de Iíncas que cubren lodos Jos elementos distintos de cero.

En el § 4.1 hemos demostrado Ja equivalencia de los teoremas 10 y 13. Así pues, los teoremas 9, 10, 12 y 13 son equivalentes. Demostremos que les son equivalentes también los teoremas 7, 8. Con este fin deduzcamos el teorema de Dilworth del teorema de Konig, y luego, viceversa. Mas, rccnun­ ciemos con anterioridad el teorema de Dilworth en términos de los grafos.

Recordemos que el diagrama de Hassc de cualquier conj111110 finito par­ cíalrnente ordenado representa un grafo orientado sin contornos. Sea G un grafo orientado sin contornos. La descomposición del grafo en cadenas es tal partición del conjunto de vértices y arcos del grafo G, que cada vértice de G pertenece a una y sólo una cadena. La descomposición con un número mínimo de cadenas se denomina mínima. Diremos que a es mayor que b, si se tiene una cadena orientada de a a b, Dos vértices de un grafo orientado sin contornos se llaman incomparables (o indcpcndicutcs), si no se verifican las desigualdades a c b y b « a,

Ahora el teorema 7 puede enunciarse del modo siguiente: Teorema 14. El número rnáxirno de vértices recíprocamente incompa­

rables en un grafo orientado sin contornos es igual al número de cadenas en la descomposición mínima del grafo.

Los teoremas 7 y 12 son equivalentes. Demostremos que del teorema de Konig se deduce el de Oilworth. Sea />un conjunto finito pnrcinlmeutc or­ denado. Construyamos un grafo bipartido G(PJP', R) sobre el conjunto de vértices NP', donde P' es un ejemplar más del conjunto P. Además, los vértices x e y', donde y' es la copia de y en P', los unimos con una arista solamente en el caso. cuando x<y en el conjunto parcialmente orde­ nado P.

Lema 2. Para toda combinación de pares M en el grafo G(NP', U) existe una descomposición D del conjunto parcialmente ordenado P en ca­ denas, para la cual 1M1 + 1D1 = n, donde 11 = 1 P l .

2SI

Demostrocián. Sea M = 1 (x1, xi), (x3, x.é), ... , (xik - 1, xú) J, entonces x1 <xz, X) <X4, ... , Xzk - 1 <xu en P, y sea que podemos agrupar diferentes elementos del conjunto (xi, ,n, ... , X2k- i. X.t J en cadenas de un modo !al que cada una de éstas contenga dos o más elementos. Las cadenas cons­ truidas son disjuntas dos a dos, puesto que Mes una combinación de pares en el grafo G. Agregando a ellas como cadenas de un solo elemento todos los elementos del conjunto P, que no figuran en las cadenas construidas, obtendremos la descomposición D del conjunto P en cadenas. Si el número de elementos del conjunto P que integran la i-ésima cadena de Des igual

l~ i:!t a /;, entonces n = 1 P 1 "' L..;/¡ = ¿,; (/1 - 1) + 1 D 1 = 1 M 1 + 1 D 1 , i• J 1 al

puesto que{¡ - 1 es igual al número de aristas ele la combinación de pares M clcl grnfo bipartido G que participan en la formación de la i-ésima cade­ na de D.

lema 3. Sea X t:il conjunto de vértices, que cubren todas las aristas del grafo C, que ya ninguno de sus subconjuntos cubre todas las aristas del gra­ fo G. Entonces, existe en el conjunto parcialmente ordenado Puna cadena A, tal que 1X1 + 1 A 1 = 11, donde 11 = 1 P 1 .

Demostración. Sea X = ( x,, ... , X;, »: ... , yfJ un conjunto mínimo de vértices del grafo G que cubre todas las aristas. Entonces, x, ~ y1, cuales­ quiera que sean i y j. Demostremos esto por reducción al absurdo. Sea, por ejemplo, x, = y,. Puesto que X es el conjunto mínimo de vértices que cubre todas las aristas del grnfo G, existen las aristas (x, yf), donde x<f.X, y (x1,

y'), donde y'~ X. Mas, en virtud ele la propiedad de transitividad para la relación del orden en P, y de la construcción del grafo bipartido G, llega- 111os a que (x, y') es una arista en el grafo G, lo que contradice la suposición de que X cubre rodas las aristas del grafo G. Por consiguiente, todos los ele­ mentos en el conjunto r X1 •••• , X;, )'i. ..• , )'¡ l son distintos. Por cuanto X cubre todas las nrlstas del grafo G, entonces A = P'-X será una antica­ dcna en P. Además, 1X1 + 1 A 1 = 1P1 "' n. El lema queda demostrado.

Supongamos ahora que Mes una cornbinacion de pares máxima en el grafo G(P U P'. R), y X es el recubrimiento de vértice mínimo de las aristas del grafo G. Entonces, en virtud del teorema 12, tenemos 1J\.f1 = 1X1. De aquí, considerando los lemas 2 y 3, 1 D 1 = 1 A 1 , puesto que 1 D 1 -= 11 -

- 1M1 • y l A 1 ° 11 - J X 1 . Pero, 1 A 1 ~ 1 D 1 para cualesquiera A, D'=P, puesto que ningún par de elementos incomparables pueden yacer en una misma cadena. Por consiguiente, rnáx 1 A 1 = min 1D1 , es decir, la ele-

" D ducción del teorema 7 a pntlir del rcorcrna 12 queda establecida. Para demostrar la afirmación inversa de que el teorema 7 tiene por resul­

tado el teorema 12, es suficiente al grafo blpartido G(S V T. R) hacerle corresponder el conjunto parcialmente ordenado SU T con la relación del orden parcial < :x<y cuando y sólo cuando (x, y)ER. La implicación re-

252

querida se desprende ahora de las siguientes dos afirmaciones que se comprueban con facilidad:

1) Para cualquier descomposicíón D del conjunto SU Ten cadenas exis­ te una combinación de pares M en el grafo G(S U T. R). para la cual 1D1 + 1 MI ~ 1 SU TI (a título de M hace falta tomar un conjunto de

todas las cadenas de D compuestas por dos elementos). 2) Para toda anticadena A de un conjunto parcialmente ordenado SU

Tcxiste un recubrimiento de vértice X de las aristas dct grato G, para el cu11I 1 A 1 + 1 X 1 ~ 1 SU T 1 , puesto que el complemento a la ant icadcna A en

el conjunto SU T contiene el recubrimiento de vértice X de las aristas del grafo G. De este modo queda establecida la equivalencia de los teoremas 7 y 12.

Ejercicio 15. Sea G( V. E) un grafo orientado tal que paras y /E Ve.~ váli­ da la igualdad

k~ IP(s)I -1r-1(s)I = ¡r-'(t)l - lr<t)I. y para cualquier ve V - {s, t l. la igualdad

lf'(v)I = 1r-1(v)I.

Demuéstrese que en el grafo G hay k caminos del vértice s al vértice 1 que no se intersecao por arcos.

Sea D(G) un grafo orientado obtenido del ~mfo no or icnrudo G sustitu­ yendo en éste cada arista por un par de arcos inversamente orientados que son incidentes respecto de los mismos vértices. Señálese que

16. Existe una correspondencia biunívoca entre las cadenas en el grafo O y los caminos en D(G).

17. Para cualesquiera dos vértices s y t, el número mínimo de aristas, cu­ ya supresión en el grafo G rompe todas las cadenas des a t. es igual al nú­ mero mínimo de arcos cuya eliminación rompe todos los caminos des a 1 en el grafo D(G).

Continuamos la deducción y la demostración de los resultados combi­ natorios equivalentes.

Lema 4. Sea G( V, E) una red de entrada s y salida t. a cada arco de la cual se le asigna una capacidad especifica de paso. En este caso-son válidas las siguientes igualdades:

l) el valor del ílujo máximo en la red O es igual al número máximo ele caminos de s a t que no se intersccan por los arcos;

2) la capacidad de paso del corte mínimo en la red Ges igual al número mínimo de arcos, cuya eliminación rompe todos los caminos de s a t.

Demostración. 1) Sea u cierto flujo máximo en la red G, y seo G• un grafo orientado obtenido de G por eliminación de todos los arcos libres del flujo v. Por cuanto las capacidades de paso de todos los arcos de la red G son iguales a 1, entonces para todos los arcos e de la red e• tenemos; f(e} = l. De aquí, en virtud de la definición de flujo en una red (véase

2SJ

§ 6.4), para todos los arcos f en la red G•, distintos de S y t . tenernos. j l'(C!) 1 = l r- 1(C!) 1 ' mientras que para la entrada s y la salida t,

u = l l'(s) 1 - ¡ r : 1(s) 1 = 1 r- '(t) l - / f'(f) /. Pero, en virtud de Ja afirmación citada en el ejercicio 15, en Ja red G•, y, por lo tanto, en Ja red G existen u caminos <les a t que no se intcrsecan por los arcos. De aquí lle· g<1111os a que el valor u del rlu]o máximo cu Ja red G no es superior a k (el número máximo de caminos de s a I que no se intersecan por Jos arcos).

Supongamos ahora que P1, P!, ... , P,, es nn juego de un número máxi­ mo de caminos des u ten la red G que no se intersccan por Jos arcos. Defi­ namos en (J el flujo f del modo siguieurc:

/(e) = [ I, ,¡ existe tal i que CE/·>;; O. en el caso contrario.

E~ cvrdcnic que el valor de tal ttujo es igual a k , y el valor del flujo máxi­ mo no es Inferior a k . Por con.siguiente, v:t;,k, y, debido a la desigualdad antecedente, v;::.k. Oc csr c modo, i• = k, y la primera afirmación del lema q ucda dcmost rad;i.

2. Eliminemos en tu red G lodos Jos arcos c.lel corte minimo que separa la cnt radu s de l<l salida /. P.nl<>nccs, en el grafo orientado obtenido no hal.J1á ningúu camino des a 1. Por eso, la potencia ele este corte no es infe­ rior al 11ú111cro mlnimo de arcos cuya cli111i11aci611 rompe lodos los caminos eles a 1. Para Iiualizar la demostracióu de Ja segunda afirmación del lema, demostremos que es cierta t ambién In rctación inversa. En efecto, sea T un conjunto de arcos cuya eliminación rompe todos los caminos des a ten Ja red G. y sea S un conjunto de vért in~s que pueden ser a lcnnzados partiendo de la cnl radas, l·m1 ayuda de Iox l·m11i110~ que no couucncn 1111 arco del con­ junto T. Es1ú claro que (S, V'-S) es un corte en la red G. Además, (S, V' S) S T. Por eso, la potencia cid corre mínimo no sobrepasa 1 (S, V' S) 1 y, por consiguiente, 1 T 1 . El lema está demostrado.

Enunciemos ahora una serie de teoremas de Menger y dcmostrémoslos t;11110 para los grafos oricnrndos, como no orientados, haciendo uso del reo­ rema 11 sobre el flujo múximo y el corte mínimo.

Teorema 15. Sean s y t dos vértices en un grafo orientado O. 131 número nuixiruo de caminos de .1· a t, en G que no se intersecan por los arcos es igual a 111 potencia, mi11i111a del conjunto (s, !)-separador de arcos del grafo G.

Dentostracion. Vamos a considerar el grafo G como una red de entrada s y salida 1, a iodo arco del cual le esta asignada la capacidad de paso unira­ ria. Entonces, el teorema cu conxrdcración es un corolario del lema 4 y <lct teorema 11.

S11po11¡;:11nos que pum un grato 110 orrcntudo G existe el grafo orientado D(G), obtenido de G sustituyendo cada arista de éste por un par de arcos inversamente orientados, que son incidentes respecto de los mismos vérti­ ces. Entonces, en virtud de los ejercicios 16 y 17, se deduce la validez del teorema l.S para el grafo no orientado.

25-1

u V' u" ... y"

s 1 s

G' z· r" Fig.8.6. G z

Tcurcmn 1<>. Sean s y 1 dos véu ices de 1111 ¡'.tml\l no oricntadu G. 1:1 111í­ mero máximo de cadenas en G que van de s a 1 y no se intcrsecan por las aristas es igual a la potencia mínima del conjunto (s, !)·separador de arístns del grafo C.

Formulemos los análogos de los teoremas 15 y 16 p:irn los vértices. Teorema 17. Sean s y 1 dos vértices no adyacentes en un grafo orientado

G. Entonces, Ja potencia 111[1111na del conjunto (s, !)-separador de vértices en el grafo Ces igual al número máximo de caminos que van des n 1 y que no tienen vértices comunes.

Con el fin de demostrar el teorema 17 consrruynrnos un grafo oricnu«lo G' a partir del grafo orientado G(V, E) con dos vértices no adyacentes s y l. Dividamos para ello los vértices us; V'\ (s, 11 en dos nuevos vértices u' y u·, uniéndolos con un arco (u'. 1.1" ). Luego, susli111y¡rnms cada arco del grafo G con el vé1 rice terminal 11E V'\ (s. 1 ( por 1111 arco nuevo que tiene v' en calidad de vértice terminal; sustit uyamos, además, cada arco con el vértice inicial vE V'\ (S, ti por un arco que tiene 1.1" en calidad de vértice inicial. El grafo G y el G', construido a parrir de G, se rcprcscnran en la fig. 8.6.

Ejercicios. Demuéstrese que para los grafos construidos m<i~ arribu: 18. Todo camino des a t en el grafo G' corresponde al camino des a

ten el grafo G que se obtiene por contracción ele iodos los arcos del tipo (u', v• ), y viceversa, cada camino des a t en el grafo G corresponde al ca­ mino des ar en el grafo G' obtenido por división de lodos los vértices del camino. distintos des y 1.

19. El número máximo de caminos que van desaten el grafo G' y que no se lntersecan por las arcos es igual al número máximo de caminos de s a 1 que no tienen vértices comunes.

20. Dos caminos dcr a t en el grafo G' no se intcrsccau por los arcos, cuando y sólo cuando los caminos que les corresponden c11 el grafo G no se intcrsccan por vériíccs.

21. La potencia mínima de un co11j111110 (s, /)-separador de arcos en el grafo G' es igual a la potcncin minimn del conjunto (s, f)·sepnrador ele vér­ tices del grafo G.

La validez del teorema 17 se deduce de las afirmaciones, fácilmente comprobables, enunciadas en los ejercicios 18 ... 21.

Teorema 18. Sean s y t dos vértices no adyacentes de un grafo no oricn-

2SS

tado G. Entonces, la potencia uiinima del conjunto (r, 1)-separador de vérti­ ces en el grafo G es igual al número máximo <le cadenas que van de s a 1 y que no tienen vértices comunes.

Demostración. Es suficiente aplicar el teorema 17 al grafo D(G). Los teoremas 17 y 18 se generalizan fi\ci!mente. Teorema 19. Sea G( V. E} un grafo orientado y supongamos que S,

Te;. V. Entonces, la potencia mínima del conjunto (S, T)-scparador de vertí­ ces es igual al número máximo de caminos que van de los vértices del con­ junto S a los del conjunto T y que no tienen vértices comúnes.

Demostración. Agreguemos al grafo G dos vértices nuevos s• y t•, como también todos los arcos del tipo (s•. s), donde sES, y todos los arcos del tipo (f, r•), donde IE T. Del teorema 17, aplicado al nuevo grafo construido, se deduce el teorema l 9.

Razonando análogruncnte, del teorema 18 obtenemos el siguiente resultado,

Teorema 20 (Menger). Sea G( V, E) un grafo no orientado y S, Ts V. Entonces, la potencia mínima del conjunto {S, T)-separador de vértices es igual al número máximo de cadenas que van <le los vértices del conjunto S a los del conjunto T y que no tienen vértices comunes.

Es obvio que si en los teoremas 19 y 20 suponemos que S = (s), T"" l f 1. es decir. que S y T son conjuntos tic un solo elemento, obtendré­ mos las afirmaciones de los teoremas 17 y 18.

Deduzcamos ahora el teorema 11 sobre el flujo máximo expresado en números enteros y el corte 1111í1i1110, basándonos e11 los teoremas de tipo de Menger: Sea G(V. E) una red de entradas y salida 1, en cuyos arcos vienen dadas las ca pacidadcs de paso que se expresan en números enteros. Cons­ truyamos una red nueva G' sobre el mismo conjunto de vértices, sustituyen­ do cada arco eEE con una capacidad tic paso c(e) por c{e) <le los arcos igualmente orientados y borrando todos los arcos con capacidades de paso nulas. La red C y la red nueva G', construida a partir de G, están represen· tudas en la fig. 8.7, donde los números en los arcos del grafo G expresan sus capacidades de paso.

Sean R y R' los cortes que separan la entradas de la salida I en las redes G y G', respectivamente, y que están definidas por un mismo conjunto de vért ices. Entonces

1R'1 = L:;c(c), «c«

donde e son las capacldadcs de paso ele los arcos de la red G. Asi pues, al poner N"' mín L.;c(e), lle¡;amo~ a que 1 R' I ";:.N. Entonces, en virtud del

J< d.l<

teorema 15, existen N (y este número es máxuno) caminos desaten la red C' que no se uuersccan por los arcos.

Sea /(e) el número de arcos paralelos ni arco e c11 la red G', ocupados por dichos caminos. En este caso /(e) es el flujo de s a r de magnitud N

256

G':

w J

1 i~.8.7 b

en la red O( V. E) (aquí se h:111 empicado también los resultados del lema 4). La implicación requerida cs1:\ demostrada.

Demostremos que ele/ teorau« 20 (de Menger) se deduce In vatidet: de! teorema 12 (<le l\011ig). Sea G(SV T. U) un grafo bipartido sobre el conjunto de vértices S V T. S n T = 0. Obviamente, el conjunto ele vértices A cubre tocias las nrtstas del grafo O, cuando y sólo cuando A es un conjunto (S. 7)-scp:irador de vértices del grafo G. Para toda combinación de pares de 11 aristas en el graf<l G pueden elegirse 11 cadenas que van de los vértices del conjunto S a los del conjunto T, y viceversa, k cadenas de S a T, que 110 tienen vértices comúnes y contienen k aristas del grafo G que no se intcrsc­ can por las vért ices. Por consiguiente, el número máximo de cadenas de S -:i T, {J11c no 1ic11c11 vértices comúnes, es igu¡1l al numero máximo 'de aristas de la ccmbinnciéu de pares en el grafo G. Pero, en virtud del teorema 20, el número máximo de cadenas que van de los vértices del conjunto S a los del conjunto Ty que no tienen vértices comúnes, es igual a la potencia mini· 111:1 del conjunto (S, Tj-scpnrador de vértices. Por consiguiente, el teorema 12 queda demostrado.

Todas las implicaciones establecidas en el libro, entre los teoremas de •. Mcn&cr, Koni¡:, P. l lall, Dilworlh y el de f".ord-f'ulkerson sobre el Flujo má­ ximo expresado en números enteros y el corle mínimo están reunidas en el grafo orientado (véase fig. 8.8). en el cual los vértices corresponden a los teoremas, y el arco (11, /J) está presente en el grafo cuando y sólo cuando queda demostrado que el teorema n se deduce del teorema 11. Según pode· mo~ ver en el a;rafo que se ruucstm en la íig. 11.8, para Iinalizar la dcrnostra­ c1ó11 de la equivalencia entre les teoremas citados es sifuciente, por ejemplo, deducir uno tk los teoremas de Mcugcr n partir del teorema de Konig,

Deduzcamos el teorema IR (de Mens:er) del teorema 12 (de Konig), re· curricndo al método de inducción matemática. La idea de tal demostración surge de las obras \134, 135). Con ello acabemos la comprobación de la equivalencia entre los teoremas de Ford-Fulkerson, Mcngcr, Kónig, P. Hall y Dilworth y también ilustramos con un ejemplo concreto la idea de la de·

17-MU 257

Teo<tma de Ford y Flukor$0n sobre<! llujo mJidmo eKpre~do en n•imetos ~1\IC'tos v ef

eorte minino (1eor~ma l t)

Te0tcmn' 1f1tl tf110 ele P. Jt;all solm> tislt!h111s ·•~ 11.1¡1t~SOOlftnlO$ <fi•t~111tlt

f toorttn•s !) v 1 O)

l1~•l1'11i.1" ¡f;i U1lw1Hth \1tJ11n fil. 101-11101:1 ''" lutt:OOJtllllll\ f)Att:Jl'\I

n1w\l(I tuctcnaclm: ( ll~<.HCU\M 1 y U)

Hg.llK.

mostración de los teoremas de Meugcr por el método de inducción matemática.

Lema S. Supongamos que G(V. E) es un grafo no orientado arbitrnno, en el que se distinguen dos vértices no adyacentes s. tE V, y que X~ V es un conjunto mínimo (s, (}-separador <le vérlit't's del grafo G, tal que

1X1 "" k. Entonces, en G( V,/:.) existen k cadenas des ar que no se intcrsc­ can por los vértices.

Dentostrucián. Un vértice del ~ra(() O. tlisrinlo <le.~ y t, y no adyacente a ni11g1111<1 de ellos, redile el 1111111hre de vért icc 11\ICI ior del gr:tf<l u. De· mostremos el lema por induccióu respecto de 11 (el número de vértices iruc­ rieres del grafo G). Sea 11 =O, es decir, en G no hay vértices interiores. En­ t onccs, él grafo e t icnc lu ronua mostrada en la íig. 8.9. Sean x,, X2, ••• , Xp los vértices del grafo O que 5011 adyacentes 1:11110 a s, como a t, simultá­ ncarucntc, Es evidente que x,, xi, ... , x,,~ X. Por eso, cuando p -= k, el sis le­ ma buscado de k cadenas que no se iutcrsccan por los vértices se halla en seguida. Si p « k, construyamos u11 subgrafo G ', del grafo. G, sur,r!miendo Lodos los vértices x1, x2, ••• , x,, junto con fas aristas incidentes. Ahora, para demostrar el lema, hasta con encontrar en el subgrafo G', k - p cadenas de s a t, que no se intcrsecan por vértices,

Así pues, sea p «:«, y sean A y Te;; V' lxi. :<z .... , x,, l los conjuntos de-vértices del subgrafo G', adyacentes ¡l los vértices s y 1, respectivamente. Examinemos un grafo bipartido auxiliar G•(.SUT, R) sobre el conjunto de vértices .SUT, snr = 0, en el cual (x, y)ER cuando y sólo cuando xES, yET, y (x, y)f.E (fig. 8.10).

En el grafo G" (.~UT. R) se encontrará una combinación de pares con k - p aristas. Demostrémoslo por reducción al absurdo. Supongamos que en el grafo G• (SVT. R) no hay combinaciones de pares con k - p aristas, es decir, la potencia máxima· de las combinaciones <le pares del grafo G• es inferior a k - p. Entonces, en virtud del teorema 12 (de Konig), en G•(.SUT. R) existe un conjunto (S, 7)-separador Xos;; SUT, cuyo número de vértices

2~8

,¡~¡. F1g 8.~. Fig.8.IO.

es menos de k - µ.Pero XoU(x,, ... , .1¡,J sera, evidentemente, un conjunto (s, 1)-separado1 de ven ices en el grafo G con un numero de vért ices inferior a k . Hemos llegado, pues, a 1111a contradicción con la hipótesis del lema. De este modo, en G•(.SVT, R) existe tina combinación de pares con k - p aristas, y e11 el grafo e;, k cudcuas de .1· u t que no se intcrsecan por los vérri­ ces, El lema está dernost rado parn iodos los grafos sin vértices interiores.

Adunnunos que d lc111:1 cs1~í dcmost rado para rodos los grafos con un número de vért ices interiores interior a n.,> O. Vc¡1111os un grafo arbitrario G( V, E) con un número de vértices interiores igual a 110 y un conjunto míni­ mo (s. 1)-separndor de los vértices X, donde 1X1 = k . Sea x1 uno de los vértices interiores de este grafo. En el grn fo O', obtenido de G por elimina­ ción de! vértice X1 junto con las aiis1 as incidentes. las condiciones del lema se cumplen como antes. Pero, c:11 el grafo G' el número de vértices interiores ya es inferior a no, y, por lo tanto, en virtud de la hipótesis de inducción, se encontrarán k cadenas des a 1, que no se intcrsccan por los vértices, en G'. y por consiguiente, en el grafo G. l?.I incumplimiento de las condiciones del lema significa que x1EX. Supongamos que Go es un subgrafo del grafo G engendrado por el conjunto de vértices V'-.X; V, es el conjunto de vérti­ ces del suhgrafo G11 u11idu, con el vért ice .v cn G0, y V, = (V' X)'- V,. Sean G, y G, los subgrafos cid grafo G cugcndrados por los conjuntos de vértices V,VX y V,UX, respectivamente. Sobre el conjunto ele vértices V. = V,UX\JI t ' J construyamos un grafo G1. a partir del grafo G,, adi­ cionando un nuevo vértice t: y todas las aristas del tipo (x, t '), donde xEX. Además, sobre el conjunto de vértices Vi = V,UX\Jls' I construyamos el grafo G2, a partir del grafo G,, juntando un nuevo vértices' y agregando todas kas aristas del tipo (s ', v), donde xEX. Los grafos G y G,. G2. cons-

17• 259

G.

s

X

G,·

s s·

.. X l'lj!l<.ll. X

rruidos a partir de G, se exponen en la f'ig. 8.11. Por cnnstrucción, e11 el gra­ fo G1 se tiene un conjunto mínimo (s. I' )-separndor de k vértices, y en el grafo 01. un conjunto mínimo {s •, f)-separn<lor de k vértices, puesto que es precisamente tal, por ejemplo, el propio conjunto X.

En el grafo G1 los vértices s y 1' no son adyacentes, puesto que s~ X. Además, cada vértice interior de e, es también interior en G, pero, al mis­ mo tiempo X1, siendo vértice interior en G; no Jo es en 01• Por eso el núme­ ro de vértices. interiores del grafo G1 es inferior a no. Mas en este caso, por Ja hipótesis ·de inducción, se encontrarán k cadenas des a t' en el grafo 01, las cuales no se inrersecan por los vértices. De un modo análogo mostramos que se encontrarán k cadenas des' a 1 en el grafo G», las cuales no se intcr­ secan por los vértices. De la const rucción de Jos grafos G1 y G2 obtenemos autornáncarncnte k cadenas desaten el grafo G, las cuales no se intcrsccan por los vértices. De este modo, el lema queda demostrado.

Si en el grafo C con dos vértices no adyacentes s y t se tiene un sistema de k cadenas des a t que no se intcrsccan por los vértices, entonces el con­ junto (s, /)-separador de vértices ha de contener por lo menos un vértice de cada cadena, o bien, dicho de otro modo, la potencia de cada conjunto (s. t)-separador de vértices del grafo O no debe ser inferior a k . De aquí y del

260

G;

Fii.8.12.

1) b e d e fJ

lema 5 obtenemos directamente el teorema IS. Así pues, 1:1 implicación cs1:i demostrada y, por consiguiente, queda establecida 1:\ equivalencia de los te· cremas de Ford-Fulkerston, Konig, P. Hall, Mcngcr y Dilworth.

Es ele interés el problema de buscar (las demostraciones ele} todas las implicaciones entre Jos teoremas recién citados del análisis combinatorio. Proponemos que el mismo lector halle las implicaciones que [alt an. En otras palabras, proponemos que el lector 1cr111i11e de construir et ¡¡r:ifo mostrado en la fig. 8.8, hasta que se obtcngn un grafo orientado completo sin lazos. Una parte de las implicaciones que faltan o las demostraciones nuevas de las implicaciones ya cvrablccidus pueden encontrarse en las obras [I, (cap. 8, § 1), 8, 25 (caps 7 y l 2), 28, 114 (cap. 5), 120, 122, 123 (§ 15. 7). 124 (cap. JV, § 4) y 133, 135). As], por ejemplo, en (1221 Harary obtuvo, par­ tiendo del teorema original de Mcngcr [ 119] (véase el teorema 18), diferentes teoremas de tipo de Menger, incluidos teoremas sobre el flujo máximo expresado en números enteros y el corte mínimo, de Konig, P. H11ll, Dil­ worth y otros. En [120] se da un resumen de los teoremas de tipo de P.Hall sobre el sistema de representantes distintos (véase el teorema 10). Ford y Fulkerson 128] obtuvieron, basándose en su teorema sobre el Iluio máximo de números enteros y el corte 111i11imo, los teoremas de Konig, Mcngcr, Dil­ worth y P. Hall (véanse las teoremas 4.1. 1:.2, cap. 11, § 8 y teorema HU [28J). En (121) el teorema sobre el flujo máximo y el corle mínimo se deduce del teorema de Mengcr, y en (251 se exponen detalladamente las correla­ ciones entre los teoremas de Mcngcr y ele Konig sobre las combinaciones de pares para los grafos bipartidos.

Sea G(V, E) un grafo orientado finito y supongamos que S. Tr;; V son tales que 1 S 1 = 1 T 1 = k. Construyamos un grafo bipartido G' {V U V', E') sobre un conjunto de vértices V U V', donde V' es un ejemplar más del conjunto V. Con u' E V' denotemos el vértice que corresponde al vértice uf: V, y con T' s; V', el conjunto correspondiente a Tr;; V. El conjunto de aristas E' en el grafo biparrido G' se define mediante Ja relación

E' = ((11, 11')11•(1'1lJ({1•.11')!(11.11)ET:I.

El ¡¡rato(; y el G', construido a parur ele (i, cstáu rcprescntado« en la l'i¡;. 8.12.

261

l.cmu ''· Sea (i( J~ /.:.') 1111 grafo 01 icuuulo finito y S. T<;; V, toles que 1 S 1 = j T 1 = k, En el grafo G huy k caminos de S a T, que no se interse­

cun por los vértices, cuando y sólo cuando existe en el grafo G • una combi­ nación de pares M = [(11, x;), ... , (y •• x,:)) tal que {x1, xz •... , x,I = V"- T. (Ya. y2, ... , y.l = V"-S.

Demostracián. Sea Pi, Pi, ... , P1; una familia de caminos de S a T que no se intersecan por los vértices, donde 1 S 1 = 1 T 1 = k, Definamos cp: V' 'T' - V"- S. haciendo

( ') _ (u, si ufP; para todo i, i = 1, ... , k; "'

11 - l 11. si 11E P;, y 11 sigue Iras 11 en P1.

Es evidente que "' es una aplicación biunívoca y que para todo 11 ·E v· ' T' tenemos (cp(u • ), u' )E/:.''. De este modo, M = ( (<P(11 '), 11 ') l 11' E V'°" T' l es una combinación de pares y { cp(u') ! 11' E V'"- T' J = .., V"-S.

Demostremos la afirmación inversa. Sea M = {(y1, xi), ... , {.yn, x,;)} u na combinación de pares en el grafo C', donde [y1, ... , y., l = V"- S, y \X1, •.. , x,,) .. V"- T. La aplicación isomorfa cp: V'' T' - V"- S se define de una 111a11era evidente, a saber: y; = cp(xl) para cualquier x1E V'- T. Defi­ numos, para cada sES, el camino P, en el grafo C que va del vértices a uno de los vértices del conjunto T. Si sES()T, entonces P, .. {a). Si s~ST, en­ tonces s~T. Por eso siempre existe un vértice s'EJl'"-T' tal que \P(Y') = U¡ E V' s. Si 111 E T, suponernos q ue P, "' {s. 111 ) • Si 111 ~T. entonces, por ser "' inyectiva, se encontrará un vértice u1 = .p(uí)E V,S, tal que "-' ?! 11,. Si 111E T, suponemos P, "' (s. 111, 111). Si 111~T. entonces, por ser .p inyectiva, se encontrará un vértice 111 ., .p(112') "" V"- S, tal que u1 ;lé 112. Co11ti1111:1111os este proceso hasm que se encuentre por primera vez. el vértice 11,E T, y cntouccx suponemos P, ~- (.1. 11., 111, ••• , 11)). Por ser la aplicación .., inyectiva, deducimos que los caminos P,, construidos para diferentes ses, no se intersccan por los vértices. De este modo queda demostrado el lema.

Para el grafo e (expuesto en la fig. 8.12) conS = 1 a, f. g 1 y T = 1 e, d, /1 se tienen tres itinerarios que no se intersecan por los vértices: Po = (a. e 1. P¡"' l/l, P, = ( g, e, d 1 que van de los vértices. de conjunto S a los del conjunto T, y a estos caminos les corresponde, según el lema 6, una combi­ nación de pares M -= l(b, b' ). (e, a+), (d, e '), (e, g '), tal que ( b, e, d, el= V"-S, y (b', a', e', g'I = V'"-T'.

El lema 6 se emplea para generalizar los matroides transversales con los ¡¡rnfos bipnrtidos G(~UT. R) (véase § K.4, como también el concepto de gnnunoide en (1)).

f'.Juckios U. lkd1'w:.ilL'<C In.• ll'Clr<m;u; 17 y 19 2 1>ar1ir <lcl km• 6 y del teorema 12. lJ. Oc1n\1~)lfi"\'C d teorema 17 por el méfod,, ti" 111dut..·dón ma1cmditic.i scglm rJ n,·11ncro

d~ ventees IUh.:riun:a 1.h:-I ¡:.r-Jío.

262

8.2. RITTÍCUWS

Sea (A, ~) un conjunto arbitrario parcialmente ordenado, y sea /) un subconjunto no vacío del conjunto citado. El elemento aEA se denomina cota superior exacta (supremo) del conjunto 11, siempre que a~IJ parn todo bEB, y si de la validez de la relación u~b para todo ben se deduce que v~a. Oc un modo dual se define la cota inferior exacta (fnjimo) del conjun­ to B: el elemento aEA se llama cota inferior exacta, si a~b para todo bEE, y si de la condición u~ b para todo <'EB se deduce que u ~a. Las cotas exac­ tas superior e inferior del conjunto Ben el conjunto parcialmente ordenado (A. ~)las designaremos con los símbolos SHPAB y inf,,D, respectivamente. A veces, sin embargo, el Indice A se omitirá. Directamente de las defini­ ciones se desprende la validez de las siguientes afirmaciones:

a) Si a~b, entonces sup fa, bl = b, e inf(o, bl =-a. b) Sea Br;;;.C. Si existen sup ll y sup C (í11í lJ e inf C, respectivamente),

entonces sup B ~ sup C (inf JJ;>- inf C. rcspcctivumcnrc). e) Si A s;.•Y'(S), entonces sup 11 coincide con la unión de todos los sub·

conjuntos de. la familia A, e inf A, con su intersección. Se propone que el lector mismo compruebe la validez d~ estas

afirmaciones. Un conjunto parcialmente ordenado (A, ~) se denomina reticuto (o

estructura), si para cualesquiera o, bEA existen sup (a, /J 1 e inf (a, b J. El retículo no tiene que tener obligatoriamente O y 1. Son retículo toda cadena, un conjunto de todos los conjuntos ordenado por inclusión (véase el ejemplo 4 del§ 8.1) y algunos otros conjuntos parcialmente ordenados Cl1- yos ejemplos se darán a conocer más abajo.

Si un conjunto parcialmente ordenado (A, ~)es un retículo, entonces el conjunto parcialmente ordenado (A, ;;, ). dual respecto del primero. es también un retículo. Así pues, el principio de dualidad es npllcable para los retículos.

Emplearemos las siguientes dcsignncroncs: ol\(} = inf{a, h). aV/1 - snp\u, /J}

denominando 1\ intersección y v, 1111ió11. Los simbolos A y V en Jos retículos representan operaciones binarias que poseen las siguientes propiedades:

a) arca = a, ova = o (idempotcncia); b) ar.b = b/\o, avb = bv a (conmutatividnd); e) (al\b)l\c = al\(bl\c), (avb)Vc =- aV(INc) (asociatividad); d) o/\(aVb) = u, aV(Ol\b) = a (absorción).

La relación de orden ~ en los rcrículos puede ser caracterizada con ayuda de las operaciones /\ y V. /\ saber,

(/ i;;,, ,., ª"" = (1,

261

o bien

u~/J~11Vb::: b.

Tules caracteristlcas permiten considerar los retículos como conjuntos con dos operaciones binarías /\ y V, las cuales satisfacen las propiedades de idemporencia, conmutatividad, asociatividad y absorción.

Observemos que el requisito de idempotencia no es obligatorio, puesto que la idempoteucia de las operaciones es un corolario de ambas propieda­ des de absorción. En efecto, usando sucesivamente diferentes propiedades de absorción, llegamos a que avo = ov(afl(aVa)) = a, y afia = afl(av(a/l 1\11)) = a.

Teorema 2l. Sea .A un conjunto con dos operaciones binarias 1\ y v, la! cuales son idempctenrcs, conmutativas. asociarivas y satisfacen las pro. piedades de absorción. Supongamos que n~b significa que avb"' b, En· ronces. la relación ~ es relación <le orden en et conjunto A, y un conjunto parcialrncntc ordenado que surge resulta ser un retículo, con la particulari­ dad de que

avb = supfu, bJ ar.b = inf{a, bl.

Demostracián. La reflexividad de In relación ~ se desprende de Ja ídem­ potencia de la unión. Si ll~b. y b e;«, es decir, QVb = b, y bv a =a, enton­ ces, en virtud de la connunauvidad, u = b, es decir, la relación ~ resulta annsimétrica. Si av b = b, y bv c = e, entonces, en virtud de la asociativi­ dad, tenemos

ave = av(bVc) = (av/J)Vc = bv c ee e, lu que demuestra la transinvidad de la relación ~. Por consiguiente, la rela­ ción ,.; es una relación de orden parcial cu el conjunto A. Luego, 11V(t1V/J) = (av11)vb = <tVh (aquí se han empicado sucesivamente las pro· piedades de nsociurividad e idcmpotcncia) y

bv(tNb) = ovibvo; = (bvb)va = bv a - avo

(se han aprovechado sucesivamente las propiedades de conmutativídad, asociatividad, idernpoteucia y, de nuevo, la propiedad de conmutarívidad). De aquí, ax ovb y b~ovb. Si a~u y b~u. entonces, haciendo uso de la idcmpoteucia, conmutaüvidad y asociauvídad de la operación de unión, te­ nemos: (al\b)Vu = av(bvu) = av o = v, es decir, avb c u. Recordando la definición de la cota superior exacta, nos convencemos de que avb = = sup 111, b l. Por fin, de las propiedades de conmutarividad y absorción tenernos

(111\l>)Vll .: aV(lll\(J} = (1

(11/\b)Vb = bV(111\b) = bV(b/\a) ~ b,

264

o Fig.8.1).

o

hs 814 Fig 8.15.

es decir, u11b~a. y u/lb~b. Si u~11 y ut;;.b, entonces, en virtud de las pro­ piedades de asociatividad y absorcion y por definicion de la relación ~, obtenemos

1111(011/;) = (ul\11)11/J = (1111(11Va))11b = urcb = 1111(uv/;) ~ 11.

De aquí, en virtud de las propiedades de conmutatividad y absorción, se de­ duce que

uV(Ol\b) = (1111(a/\b))v(a11b) = (a11b)V((a11b)1111) = (a11b),

es decir, a11b;:.11. De este modo, a/lb-= inf(u. bl y el teorema queda demostrado.

Observemos que los razonamientos duales permiten llegar a las mismas deducciones que se obtienen al definir Ja relación ~ por la condición « !ó,b, si ar.b = a.

Así pues, cualquier rericulo finito siempre puede ser descrito con ayuda de una rabla de intcrwccrones/uuicncs o del diagrama de Hussc, Por ejemplo, sea A = 1 o. a. /1, I) cuyo d111¡;ra111a de Hasse viene expuesto en In fig. 8.13. Entonces, d rericulo A se define completamente mediante la si­ guiente tabla de interscccroues/uuioues:

Tubfa 11.2

~/I o b b

11 b b

1 o o

o b

Los valores en la diagonat están omitidos en esta tabla, ya que xv x = x, y xrcx = x para todos los x~A. Además, en virtud de la conrnutatividad de las operaciones 11 y v, esta tabla dcfiuc por completo el retículo. Para con­ vencerse de esto, basta comprobar sólo las identidades de asociatividad y absorción. r:t mismo lc.:l<ll puede hacerlo.

Al describir los rcticuluv, emplearemos los métodos que combinan am­ bos métodos citados. Dc~..:1 íbamos, como ejemplo, dos retículos en un con­ junto de cinco elementos O, a. b, e, 1, cuyos diagramas de Hassc están ex-

265

puestos en las figs 8.14 }' 8.15. El rctícnlo c.~p11e.~10 cu 1:1 fíg. 8.14, con b c.a, cvb .. l , y ar.e = O, recibe el nombre de pe11tlÍ¡:o1111. l .a descripción aduci­ da del pentágono es completa, pues tocias las demás relaciones del pcntágo­ no se deducen de las aducidas. El rcticulo cxpucsrn en la fig. 8.15, con nAb = nAI..'"' br.c ~ O, y avb =ave= /Jvc~ 1, se llama diamante. El sub. conjunto 1) del rctícuto A se denominará ransbién pentágono o diamante, si es un subretículo que, al ser un conjunto parcialmcmc ordenado, es iso­ morfo al pentágono o diamante, rcspcctivarneutc, De este modo, al afirmar que B = 1 br, bi, bJ, b4, bs l es un pentágono (diamante, respectivamente), suponemos que la aplicación e: 11, -.o, bi +a, br• b, Iu=- c; bs-• I es un iso­ morfismo del retículo /J sobre el rcticulo que se muestra en la fig. 8.14 (en 8.15, respectivamente).

Precisemos el concepto de isomorfismo de los rcrículos. Corricntemen­ le, para los retículos se in! reducen dos conceptos equivalentes de isomurfismo,

l. Los retículos (L.,, ~)y(/,,, ~)se clc110111i11;111 isoruorfos, si son iso­ morfos como conjuntos parcinlmcnrc ordenados, Y:i hemos empicado esta definición de isomorfismo de los retículos.

2. Los retículos (lo; A, V) y (L,; A, V) se dcnonunun isomorfos, si existe' un isomor ñsmo 'P del conjunto Lo sobre el 1,,, tal que para cualesquiera a, bEl<t:

<P(al\b) = .p(o)A.p(b); 'P(aVb) = '{J(fi)V<,<>(Ú).

Pese a Ja equivalencia de estas dcñnicroncs, en lo que sigue adelante se distinguirán estos dos conceptos de isomorfismo de los rcriculos con el fin de evitar toda clase de con Iuslón al generalizarlos.

Renunciaremos también a las designaciones (f,; !\, v) y (D, ~) para los retículos y conjuntos parcinlmcntc ordenados y escribiremos simplemente letras mayúsculas, indicando los conjuntos principales, a excepción de loS casos en que esto sea necesario para una mejor asimilación del texto.

El isomorfismo de los conluntos parcinlmcntc ordenados se generaliza del modo siguiente.

Una aplicación 'P: Ao-A 1 se llama isátona (o bien conservadora del or­ den) de un conjunto parclalmcntc ordenado Ao en otro conjunto parcial· mente ordenado A1, siempre que 11,¡;;_b en An lleva consigo cp(a} ~ <r.(b) en A 1. Un ejemplo de aplicación isótona '{): L.1- L1 se aduce en .la fig. 8.16, donde v>(O) = O, <p(a) = 'P(b) = e, <P(I) = l.

Se llama homomorfismo del retículo (Lo;/\, V) en el rcuculo {L1; /\,V) la aplicación 'P; Lo-Li que satisface las condiciones

'{J(avl>) = op(n)V<p(/J); <P(aAh) : op(11)A.p(/J),

cualesquiera que sean, a, úE tu.

2<>6

·<2~~~~~j, o o

Fig.8.16.

En la fig. 8.17 se expone el ejemplo del homomorfismo ¡p: Lo-L1•

Tudo homomorfísmo de los retículos es una aplicación isótonu. En efec­ to. si .p: Lo- L1 es un homomorfisruo, entonces ¡p(aVb) = cp(a)V<P(b) para cualesquiera a, bEJ...,. Sea x, YE lo, y x~y en Lo. Entonces, y= xvy, y por consiguiente, .p{y) "" \O(.\ v y) "" .p(x)V.p{y), es decir, <,o(x) ~ ¡p{y) en L1. As! pues, el homomorfismo .p es también una aplicación isótona.

Lo recíproco 110 es cierro, Por ejemplo, 111 aplicación isótona ¡p: Lo~ L, expuesta en la fig. 8.16 no es un isomorfismo, puesto que

rp(avb) = .,o{I) ,., 1 ?! e oz cv c = .p(a)Vcp(b)

Recordemos que llamamos producto directo P x Q de los conjuntos parcialmente ordenados P y Q al conjunto de lodos los pares del tipo (x. y), donde xEP. yEQ, con la particularidad de que (x,, y,) ~(x2, J'l) en P x Q cuando y sólo cuando xi 'xi en J? y, ~.Yl en Q (véase § 8.1).

Teorema 22. El producto directo P x Q de cualesquiera dos retículos P y Q es un retículo.

Demostracián. Sean ( \1. )'1) y (x2, Y2) elementos arbitrarios del conjunto parcialmente ordenado I' x Q. Por cuanto P y Q son retículos, para todo elemento (x1Vx2, )'1V)'2) del conjunto parcialmente ordenado P x Q rene- 111os: (x1VX2, J1Vn);;::(.\1, 1·1) y (x1VXi. y,Vy1);;::(x2. )'1). Sea (u, u);;i.(x2,yz), o bien, lo que es equivalente, 11-;;i:x, en P, 't u~y. en Q, siendo i.., 1, 2. De aquí, en virtud de la dctimción de cola superior exacta, u;;ix,Vx1, y u~y1V)'l, a~í que (11, u)~(x1Vxi. J1V.Yz) en P x Q. Esto demuestra que

(X1Vx2. YNYú = (x,, Y1)V(x2. J':t).

De aquí se desprende que la unión situada en el segundo miembro existe. Mediante los razonamlcutos duales llegarnos a que

(x11\xi. Y•"r..) = (x,, Y1)A( .. n. J'l),

por Jo cual P x Q es 1111 rct iculo y el teorema queda demostrado. Un retículo que satisface la idcmidad

(<11\h)V(u/\e) = t11\(bV(u/'\C))

o bien (lo que es equivalente) la condición siguiente: a~b. lleva consigo (al\c)Vb = arabvc¡ y se llama modular: Un ejemplo importante de reucu­ los modulares e s el de subcspacios de un espacio lineal (véase el ejemplo 9

267

en el§ 8.1). En efecto, si A, /J, C son subcspacios x » A 2 IJ. entonces, cví­ dcntcmcnrc, (8 + CJ(Vt 21J + (AnC). Viccvcrsn, si el vector a se dispone en (lJ + C)(lA, entonces a= IJ +c. donde bEIJ y cc:C. De aquí. c(o - b)E(CT\A ), es decir. aE(/l + (A nen y. por lo uuuo, (IJ + C)(\'1 s; O + (Are). De un modo ;mjlo)l<> "{º comprueba que tam­ bién son modulares los reticulos de los divisores normales de un grupo ar­ bitrario, de los ideales de un anillo y ele los submódulos del módulo. Un ejemplo típico de un retículo no modular es el diagrama que se expone en la fig. 8.14.

Demos a conocer ahora una representación intuitiva de un «retículo más general» que cs1á engendrado por cierto conjunto de elementos y que satis­ face ciertas correlaciones. Los «retículos más generales» se denominaran en adelante libres. Estos retículos se construirán por formación sucesiva de ele­ mentes «nuevos» con ayuda de lns operaciones de unión e intersección has­ la que se obtenga 1111 retículo. Además, los elementos «nuevos» se idcntifi­ caran con los «antiguos», si y sólo si las igu<1l<ladc~ e111 re ellos pueden dcdu­ cirsc o bien <le las identidades del retículo, o bien tic la~ correlaciones prefi­ jadas. Ilustremos lo dicho con un ejemplo de consrrucción de 110 «retículo más general» que está cngcndt ado por los elementos 11, b, e: y que satisface la relación b «;a. Formemos, ante todo. las u11ic111c~ e Intersecciones ave, IJVc, ar«, br«: Ha de notarse que avbv c = (av/J)Vc: = ave, puesto que ovb "" a; análogamente, ar-br«: = br«. Demostremos ahora que los siete elementos a, b, e, ave, bvc, ar.e y bree, de los que ya disponemos, son dis­ tintos dos n dos. Recordemos que dos de ellos serían iguales, si la igualdad entre ellos se dcduciera de la relación b c a y de los axiomas del retículo. Por eso, para mostrar que cualesquiera dos de los elementos citados son dis­ tintos, 11115!<1 encontrar un rctlculo con los elementos a, b, e que sarlsfaga la relación b <a. en la que estos do~ elementos son dbtiuros. Por ejemplo, para mostrar que a~ ave, tomcmo-, un rcrícuto: 1 n. l. 2 J, donde 0< 1 <2, y pongamos: b = O, a = 1, e= 2, b = 0< 1 = a. Entonces, a = l ?! 2 = 1 V2 = ave. El pMO siguiente consiste en In formación, a base de estos elementos, de las nuevas uniones e intct secciones, tales corno bvtar«), (bVc)l\n. Es fácil notar que todas las demás uniones e intersec­ ciones son iguales a uno de los elementos introducidos, por ejemplo, bl\(al\c) = br«, av(al\c) = a, Demostremos ahora que los nueve elementos a, b, e, aje, bvc, ar.e, br«, bv(al\c) y a/\(bvc} forman un retículo. Con este íín hace falta demostrar que de estos nueve elementos ya no obtendremos elementos nuevos con ayuda de las operaciones de unión e intersección. To-

das las (~) = 36 uniones y el mismo número de intersecciones, que han de ser comprobadas, se calculan de un modo 1 rivial. Por ejemplo, av(bV(111\ /\e)) = (oVb)V{n/\c) ... a en virtud de la propiedad de nbsorción, y puesto que avb = a; análogamente, cl\(nl\(l>Vc)) -= (cl\11)1\(INc) = arce, puesto

26R

que <·f\a$(,bVc. El «rcuculo mas gcncr.il» obtenido se muestra en la fig. B.18.

Se llama diversidad de retículos a 1111:1 clase de todos los retículos, cada uno de los cuales satisface cierto juego de idcnri­ dades prefijado. La clase de todos los re­ tículos o la clase de todos los rctfculos mo­ dulares son ejemplos de la tliver~idad tk' 1ctk11Jo~.

l)~llltl~ ahora a conocer );1 tld lllÍl'IÓll csrricrn de «retículo 111:\s general» o tic re­ ticulo libre respecto a .:icrta <11vcrsitt:ld de retículos.

ave

e

Sea A un conjunto parcialmente ordenado y sea K cierta diversidad di: retículos. Un retículo fx(A) se denomina libre en la diversidad K, engendra­ da por el conjunto parcialmente ordenado A. si se cumplen las siguientes cond iciones:

a) fr(A)EK; b) A~ F11(A) y paru cualesqurcru a, /), cEI\: ínf,, ( o, b 1 = e (SllPA 1 a,

b 1 = e) cuando y sólo cuando ar-b =e en F.dA) (avb =e en F~(A), res­ pectivamente);

e] A e~ el conjunto ~c11~1atlor tld 1~1ic11lo /·~(A), d) Sen L.EK y¡<>: A-• L., una uplicuciou tsótoun 1:il que si a, IJ, cE11e111f.,

1 a, b 1 "' <" (~UPA 1 u, /J 1 = e, rcspcctivruucmc), c1110111;e~ ¡<>(<1)11.¡>(I>) "' .p(c) en L (ip11)V.p(b) = ip(c) en L, respectivamente). Entonces la aplicación puede ser prolongada ha~tn que se obrcngu un homomorñsmo reticular 'lt· f."x(A )~L. es decir, un isomorfismo ral que \O(a) = 'i'(a} para iodo aEI\.

El retículo F...-(A) se llama también rcrlculo K-librc sobre el conjunto parcialmente ordenado A.

Cuando K coincide con la diversidad de codos los rcucuíos, ominrcmos el índice K y al retículo libre sobre A lo llamaremos F(A). Si A es 1111:1 n111i­ cadena y 1 Al - n, denotaremos Fl(n) 6 F(11) y llamaremos este retículo K-líbre o, simplemente, libre de 11 elementos generadores. En J 900 Dedckind mostró que un retículo modular libre FM(3) de tres elementos generadores tiene 28 elementos y su diagrama tiene la forma expresada en In fig. !U9, donde los elementos generadores están designados con x, Y. l. mientras que

(1 = (XVy)/\(yVz)A(..lVl), "= (Xfl)')V(>•Az)v(xAz). Xr = (Xfla)Vb, Yt = (yM1)Vb, Zi = ('!.l\O)Vb.

En el teorema que sigue se da una cnractcrizacióu muy útil de los rerícu­ los modulares.

Teorema 23. Un retículo L es modular, si y ~ólo si no contiene peruagonos.

269

xvyvz

.... ~ 8.19.

Demostracián. Si l. es un retículo modular, también es modular todó subrctículo suyo, Por cuanto el pentágono no es un retículo modular, no puede encajarse en L. La necesidad esta demostrada.

A la inversa, sea L un retículo no modular. En este caso existen los ele· mentes a, b, cEL, tales que b ~a y (nAc)vb ?! aA(cAb). El rctícuto libre que está engendrado por Jos elementos a, b, e, y que satisface la relación b«;« se muestra en la fig. 8.18. Un subretículo en L, engendrado por los clemcn­ tos 11. /J, e, debe ser una imagen homornorfa de este rcuculo libre. Los s~ guicntcs cinco elementos del rct!culo libre: ar.e, bV(al\c), uA(bVc), e y bv« forman uu pentágono y no pueden identificarse para un homomorfismo correspondiente, pues lo que al rdcnti ficar cualesquiera dos ele los elemento! citados, serán idc1HiJ'icndos también los elementos bV((l/\C) y a/l.(cVb), lo que ccntradicc nuestra suposición. El teorema queda pues demostrado.

Un fcliculo que sal isface una de las siguientes identidades equivalentes! (al\.b)V(Mc') = al\(bVc); (11V/l)A(aVc) = aV(bAc),

270

xvyvz

l'lg.8.20.

se denomina distributivo. Es evidente que un rcuculo, dual respecto del rcri­ culo distributivo, estambién distr ibnuvo. Un ejemplo muy importante de un retículo distributivo es el booleano, es decir el retículo .-.0'(S) de todos los subconjuntos de 1111 conj111110 arbitrario S. Gs uunbicn retículo distribu­ tivo cualquier cadena. Cabe notar que cualquier retículo distribut ívo es mo­ dular. Sin embargo, no todo retículo modular es distributivo. Por ejemplo, un retículo modular de todos los subespacios del espacio lineal no es distri­ butivo. Los retículos cuyos diagrarnas se dun en las figs. 8.14 y 8.1.5 no son dlstriburivos. Una familia de lodos los rctlculos distributivos forma una di· vcrsidad de retículos. Un rcuculo distr ihutivo libre F,,(3) de tres elementos generadores tiene 18 elementos y su diagrama se expone en la [ig. 8.20. No es difícil ver que el diagrama Fo(3) se obtiene del diagrama FM(J) (véase fíg. 8.19) «pegando»

xv(y11z) con con con

(cv y)11(xvz); (xVy)ll(yV:¡;); (xV:¡;)ll(.yV:¡;);

Xi\(yVz) con (xlly)V(.\'llz); yV(XllZ) .¡;V(Xlly)

yll(XVZ) zi\(xVy}

COJI

i.:on (xAy)V(yi\z); (x11z)V(y11Z)

271

(estos pares de elementos coinciden debido a la distributividad). Al realizar­ se rnl «pegado», los elementos a, x1, y,, z1 y b del retículo modular libre. t ambién «SC pegan» íonnaudo 1111 elemento. Así pues, en el rctítulo ·, distributivo

(xVy)/\(..i;Vz)/\(yVz) = (x/\y)V(X/\~)V(y/\z).

El mismo lector puede convencerse de esto. Teorema 24. Un retículo modular Les distributivo, si y sólo si no con­

t icne c!i amantes. Demostracián. Si Les un rcuculo distributivo, todo subrcticulo suyo se­

rá también distributivo. Por cuanto el dimnan!c no es un retículo distributi­ vo, a él no se le puede encajar en L. La necesidad esto\ demostrada.

Viceversa, sea C un retículo modular, pero no distributivo. Entonces, se encontrarán tales elementos x, y, zr:,L que x/\(yVz) ~ (.\·Ay)V(x/\z). Un rerí­ culo modular libre engendrado por \',y, z cstá representado en la fig. 8.19. Del uiagr:im:1 ele este retículo se ve que sus elementos a, b, x1. y,, z1 forman 1111 diamuntc. Por eso, en cualquier retículo modular dichos cinco elementos forman 1111 subrcrículo que es isomorfo :i Ja irnagén homomorfa del dramuutc. Pero; el diamante tiene sólo dos imágenes hornomorf'as: el propio diamante y el retículo de un solo elemento. En el primer caso la suficiencia del teorema está demostrada. Al tratar el segundo caso, observemos que ni pegar los elementos a y /J, se pcr;.an también los elementos Xl\(yVz) y (.\/\y)v(.\"/\Z), lo que contradice nuestra suposición. Por consecuencia, todo rcuculo no distr iburivo cont icuc un diamante y el teorema queda ucmostrado.

De ll1.s tcorcmns 23 y 2•1 obtenemos las ~11:11icnrcs carnctcrizacioncs útiles de los rcuculos distributivos y modulares:

Tco rcm a 25. U11 rcuculo /,es distribut ivo cuando y sólo cuando no con­ ricuc pentágonos 11i tampoco dinm.mtcs.

Corolario l. a) El retículo Les distributivo cuando y sólo cuando para cuulcsquicro o, b. i.:EL de las relaciones ar«: = bl\c y ave = bv c se deduce. · que a= b,

b) El retículo L es modular cuando y sólo cuando para todos los a, b, cEL de ras relaciones b";;:a, or.c » br«: y av c = bv c se deduce que a= /J.

L11 propiedad más importante de la modularidad se expresa por J11 si­ guiente af'irmación.

Teorema 26. Si e y b son elementos ele 1111 retículo modular L, los inter­ valos (al\b, a) y [/J, aVúJ son isomorfos. En este caso el isomorfismo se rcali­ za mediante las nplicucioncs:

\O(x) = xvb Y,(y) = (11\)'

(Ol\b ~X~ u) (b~y~tiVb).

De111os1rnci611. está claro que \O y Y, son aplicaciones isótonas, con la particularidad de que .P(oP(X}) = ul\(xvb) = xv(nl\b) = x (en virtud dela

272

identidad de la modularidad y merced a In condición x;i:_c11\/J) y .p(.f,(y)) = (al\y)vb = (aVb)vy = y (en virtud de la identidad de la modula· ridad y merced a la condición y~ avb). Por consiguiente, "'y.¡, son isomor­ fismos, lo que se tratuba de demostrar.

Dos intervalos [x, y) y [x', y' 1 del retículo l se denominan transpuestos, si (x. y) = (a, oVbl y tx', y') = (al\b, b) para ciertos a, bEL. Diremos que los intervalos [x, y] y [x", y'J son proyectivos (la designación es (x. y]-(x', y']), si existe una sucesión finita de intervalos

[X, yJ, (X1, yi), ... , (X,,, 1•.,j, (X', y'),

en la cual cualesquiera dos intervalos vecinos son transpuestos, Ejercicio l. Sea .9(S) un booleano. Demuéstrese que dos intervalos (A,

BJ y [C DI del retículo de Boolc;.f'(S) son proyectivos cuando y sólo cuando 8-A =D-C,dondcA, D, C D~S.

Directamente del teorema 26 se desprende que en 1111 rct ículo modular los intervalos proyectivos son isomorfos. De aquí se deduce el siguiente resultado.

Teorema 27 (de Jordan-Hokter para rcucutos modnlares}. Cualesquiera <los cadenas máximas que unen los elementos maximal y minirnal de un re­ tículo modular finito son de longitud igual. Si ae, a1, ••• , a.,_,, a.,. y bo "" ao, b1, ... , bn - 1, b; ee a., representan un par de tales cadenas máxi­ mas, existe una permutación o de índices ( I, 2, ... , 11) 1 tal que (a;-1, a;J - [bo<il- 1. bo<t>l para i = 1, 2, ... , 11. Además, si el retículo en considera­ ción es distributivo, la permutación 11 está unívocamente definida.

Así pues, una familia .Y-= ! (171- 1, a,) í ~ 1, ..• , 111 de intervalos de la cadena máxima a0, a1, ••• , a.,_" 17n de un retículo distributivo finito es uni­ voca con una exactitud de hasta una proycctividnd. Sobre .'l"puccle introdu­ cirse una relación de orden ~:para (x. y¡ y lz, w)E.'.íclircmos que l.v, J'I ~ f::. w], si para cualquier cadena rn:ixima no, 111 •••• , a.,_,, a,. existen ¡1 y q, tales que p~q y {o,,, 01,. il-[x, y¡, [11.,, u,,. d- [::. w].

Del teorema 27 obtenemos Corolario 2. Supongamos que Se~ 1111 conjunto finito; L, 1111 subrcticuto

del retículo de Doolc.')"(S); s-, el elemento minima! y S' , un complemento en S del elemento maxirnal del retículo L. Si Ao = S.>, A., ...• Ah= S - S" es la cadena máxima en L y .'/r. [A; - 11;- 1 j; i = 1, ... . . . , n l. entonces

es-. [F; FE.'/), s.) es una partición del conjunto S, la cual no depende de la elección de la ca­ dena máxima. Además, los conjuntos S." y S" pueden ser vacíos, y todos los Fe.7, no vacíos.

Cabe notar que F~P', donde /·; I·" (;.'/, 1:11:1ndo y .~1\ln c11;111do para 1nd1• A EL de P' e; A se deduce que P~ A.

Un conjunto parcialmente ordenado A se llama rcticulo completo. si ca-

27J

1la subconjunto suyo no vacío IJ tiene sup,tlJ e islÍ,¡ll, Los retículos comple­ tvs sou: el segmento [O, l J <le orden corriente; el conjunto de todos los sub­ conjuntos de cierto conjunto ordenado por inclusión; toda cadena finita. Un retículo completo lo constituye también un conjunto parcialmente orde­ nado JJ(S,,) de todas las particiones no ordenadas del conjunto finitos~ (vé­ ase el ejemplo 8 del § 8.1). Está claro que cualquier retículo completo ha de tener O y l. Por eso, un retículo de números enteros de orden corriente no es un retículo completo.

Por una particíón dada 1r se puede determinar la relación de equivalen­ cia c. suponiendo aeb cuando y sólo cuando a y b se contienen en un mis- 1110 bloque de la purticióu e. Viceversa, si e es una relación de equivalencia, entonces la familia de clases contiguas de equivalencia e en el conjunto A {se llama clase contigua de equivalencia Q. definida por el elemento aEA. al subconjunto [xE/I j .\"(!ll 1) ex la partición del conjunto A. Así pues, existe una cortcxpondcnci« hiunívoca entre las particiones y las relaciones de cquivulcucia. Por to tanto, el conjunto de todas las relaciones de equivalen­ cia, definidas sobre el conjunto 11 y ordenado del modo siguiente: Q ~ r, si 11el>, lleva consigo arb, y forma un retículo completo.

Ejercicios. Compruébese que 2. El rnn)11111u lle todus las p>1 ucioncs o.kl conjunto A, ordenado scgün la reunión de los

Moques. C$ un rea ículo compíero, J. Una suma ordenada de retículos compk1os l A .. l uE L 1. donde Les un retículo comple­

ro, C) f~tÍ1,,'\ll~ complete. 4. Un produi.:tc-. directo de los rctic:ulo) completos es reuculo completo. S. IJn 1oroduc10 ordenado de rc1kulo>s compl<tu., ¡,t .. l aEL 1. donde L es un reucuto

"°''11'\lkio que sausface I;\ coudicióu Je uummo, es un rc:tkulo completo.

Un retículo L se denomina retiento con comptemcntos relativos, si para iodo clcmcnro e perteneciente a cualquier intervalo (o, /J) existe un elemento ti, wl que cv d ""' IJ. )' ''"" =- 11. Este elemento d recibe el nombre de comple- 1111!11/v del demento e en el intervalo (11. /J). El complemento se define de una manera no univoca. l'or ejemplo, en el rcuculo expuesto en la fi¡¡. 8.21 los elementos e y ti son complementos del elemento ben el intervalo [s, J]. No obstante, los elementos a y s sirven uno para otro de únicos complernen­ tos en el intervalo (a, b). Un retículo con O y 1 se denomina reticulo con complemeutos, si cada uno de sus elementos tiene complemento en el ínter­ vaío [O. I]. Los complementos en el intervalo [O, I} se llaman simplemente compiententos. Debido al corolario 1, en cualquier intervalo dado [a, b) del retículo distributivo L el elemento e puede tener, como máximo, un único complemento rotativo. Cada retículo modular L con complementos es un retículo con complementos relativos. El pentágono (véase fig. 8.14) es un re- 1 ículo no modular con complemcutcs, siendo estos, sin embargo, no relativos.

Se denomina retiento de Boote un retículo distriburivo con complementos,

Teorema 28. En un retículo de Doolc L cualquier elemento x tiene uno

274

y sólo 1111 complemento x. Adc111;\s, para cuulcsquicrn \, yEJ, tienen lugar las rclnciuues:

a) xrcx = O, xv x = l (de cotnplcrucutartcdad); b) X = x (lle iuvotución): e) -~/\y~ xv;~ xvy ~· \/\_)'(leyes de Moq.:au) Dcmostrocián. Por ser d1s1 rihut ivo el ret ículo tic •

Boolc L. la correspondencia x-·• .v es n11ív111.:a. Pero, en vista de que el concepto de co111pknu:1110 es simótrico. x es un complemento para:\', ele donde x "° .'i en virtud de Ja unicidad de los complcmcmos en L. La propiedad de involución queda dcmosrrada. Por cousiguicntc, la correspondencia x-« .X es hiunívoca.

Demostremos ahora que (•) Xl\a = 0. mando y ~ÓI<' cuando x~ <Í.

En e recio, si x~ii. cntoncc-, .\1\0!;,or,,1" O, y~; xrc« ·O, 1cndrc1111" .v - "" xr; 1 "'xl\(aVa) = (dchido a 1;1 distrib111ividad}"" (.r/\a)v(x/\o) -= OV(_,./\ l\Ú) = Xl\a. De este modo c•) qucdn dcmostrad«.

Si a s; h. entonces hl\a :s;; bl\b = O y por lo tanto, en virt 11<.l de (•). h ,¡;;a. Dicho de otro modo, la coi rcspouucncia hi1111ívoc:1 x-•x invierte el orden. Por cuanto la correspondencia x-·.1· t.unhiún invierte el orden. entonces x-x es un isomorfismo autodual, lo que demuestran las leyes ele Morgan.

Del teorema 28 se deduce que cada rctícuto de Bootc es autcduul (es de­ cir, es isomorfo respecto de un retículo dual hacía sí rnismo). Por cu;i1110 los complementos en el retículo de Boolc son únicos, éste puede conside­ rarlo como un algebra con dos opcracioncx binarias v. /\, una operación de complcmentaricdad - y Jos elementos marcados: O y 1. Se ll:ima ríl­ gebra de Boo!e a un álgebra con fas operaciones v, /\y dos fronlcr;i< univer­ sales: O y 1, que sarisfuccu fas propiedades tic: itlc:mpotcucia, n)1111111ra1ivi .. dad, asociatividad, absorción (véase la dcfiniclón tic rct iculo), modularidad (rcuculo modular), dixtr ibutividac! (rcticulo distribuüvo). froutcras univcr­ sales (1 et ícuto con O y r ), complc111cnl;1rictl;1d (rt:1ii:11lo cou complementos), involución y leyes tic Morg:111 (retiento de Boolc) (véase§ 2.1). Por ejemplo, el conjunto !1'(S) de todos los subconjuntos del conjunto S (booleano) es un álgebra de Boolc, Luego, cualquier subálgcbra de un álgebra de Boolc es de por si un álgebra de Doolc. Las álgebras de Boolc son 1111 producto directo de las álgebras de Boolc y los intervalos de las álgebras de Boolc.

Ejercidos. Demuéstrese que (.). Un conjunto de núrncros enteros 110 nc,;llivo\, onlcn:ldo respecto de l;l Jivi;(íbilitfotl

(véase el ejemplo S del § 8.1) es un retículo cfütrilmti''' (consideramos que O divide n O: aquí. sup 1a. o 1 es ti mínimo común múltiplo de los 111imc1<•S a y /1: infl o, b 1 es el máximo comun divisor de los números a y h).

7. Un rciículo de: Uoolc finilo es i~nu1nrín ar rc-lilnlo de rotJns l<l~ suh<·onj1111lO.\ tic un c ir-r- 10 conjuurn finiro.

lt. Cunlquicr retículo t.listrihutiv'' li.\.' cm.aja en un n.:lkulo tk llo,,h: ?. Todo rcrlculo modular con ccuu1llc111c11to,. l•nH.lS es uu rclk\llV de Honlc:.

275

Teorema 29. C:11 1111 rctfculo L de longitud Iinita y complementos rclari­ ''US, cuda elemento a es una unión de aromos contenidos en él.

Demostración. Si a> O, entonces o bien a es un átomo, o bien a> b » O rara cierto bEL. Sea e un complemento relativo del elemento b en el inter­ valo (0, al. Por inducción 11 lo largo del intervalo [O, a] se demuestra que los elementos by e son ambos una unión de átomos. Pero, en tal caso, esto es licito también para a "' bvc. El teorema está demostrado.

Colorado 3. En un retículo modular de longitud finita con complemen­ tas cada elemento es una unión de átomos contenidos en el.

Se dice que un retículo L satisface la condición de recubrimiento por arriba, si para cualesquiera sus elementos a, b (a -;t. b) las condiciones uAb-< by ar.b=«:» llevan consigo o=c uvb, y b-<.avb. La condición de recubrimiento por debajo se define de un modo dual: el retículo L satisface la condición de recubrimiento por debajo, si para cualesquiera a, bEL (11 ~ b) lus condiciones a-<.11Vb y o=cav» traen consigo al\b-<.C1 y "Ab-< b. Del teorema 26 se deduce que el retículo modular posee las con­ diciones de recubrimiento tanto por arriba, como por debajo.

Un retículo L se llama se111i111od11/t1r, si satisface la condición de recubri­ miento por arriba, o bien (lo que es equivalente) si para cualesquiera a, b. ~·EL la condición a-<b trae consigo ov c=c bv c, o bien ave= bv c, Son ejemplos de retículos sernimodulares los retículos modulares y algunos retí­ culos importantes que aparecen en las geometrías (véase § 8.4). Dos ejemplos más de retículos semimodulares se exponen en la fig. 8.22.

Sea A un conjunto parcialmente ordenado con O. Definamos en él una /i111ció11 ele altura (o de rango) del modo siguiente: r(a) es igual a la longitud de la cadena 111:\s lar¡¡a en el intervalo [O, 11] (si tal cadena no existe, supone­ mos r(n) = ec ). Si A es un conjunto parcialmente ordenado de longitud fl- 11i1a N, entonces, O~r(a)~N para cualquier elemento aEA. En un retículo scmimodular de longitud t'iuita el rango r(11) coincide con la longitud de la cadena máxima arbitraria en el intervalo (O, o). Esto se deduce del siguiente teorema muy importante.

Teorema JO (condición de Jordan-HO!der). En un retículo semimodu­ lar L de longitud ñuita, cualesquiera dos cadenas máximas entre a, bEL ar- 1i·¡1 rarios, tales que a!';, b, son de longitud igual.

Demostracián. Sea a= a0-<a1-< ... -<a • ., b una cadena máxima de longitud 11 en [a, b). Demostremos, por inducción respecto de n, que cualquier otra cadena máxima es de longi111d 11. Para 11 = O, la afirmación es obvia. Si 11 = I, entonces n-< b, y por lo tanto, la cadena máxima ..:11 la, b} es única. Supongamos que nuestro rcorcma es lícito para todos los subrcriculos la, b) de longitud inferior a n, donde n ;;¡, 2. Sea a :: = ú1-</)).-< ... -<.b,., = b otra cndena máxima en [a, b}. Si a,= b1, en-

1<1111:c~ c11 el retículo sciuirnodular !111, /JI 1:1 cadena máxima 01-< ... . . . -< ª• = bes de una longitud igual a 11 - I; por consiguiente, la cadena máxima 111-< b1-< ... -<.b,.. = b ha de tener una longitud igual a n - l;

216

l'ir,.l!.23. Fig.8.22.

por eso 11 = 111. Si 111 " /J, (vé:1~<: f'i¡:. li.23). entonces c.x;1111i11c1110~ una vade- 11r1 máxima de longitud k en lr1,VIJ1. 11]. Por ser el retículo scmimodular, le· ncmos (n1Vb1)>-n1 y (n1VIJ1)>-b1. Por consiguiente, n1-<(a1V/Ji)-< -<c:1-<C2-< ... -<c .. = bes la cadena máximu de longitud J.; 4 1 c:11 [ai. bJ, y o1-< 02-< ... -<o,, e /J es también una cadena 111{1xin111, pero de longitud 11 - 1 en 101, bj. De este: modo, en virtud ele la suposición induct i· va, k + 1 = 11 - l. Análogamente, k + 1 ~ 111 - 1, por lo cual 11 ee m, El teorema está demostrado.

De un modo dual se demuestra que en tocio rcuculo L ele longitud fin ira, que satisface la condición de recubrimiento por debajo, cualesquiera dos cadenas máximas entre los elementos arbitrarios o, i>EL tienen igual longi­ rud, es decir, se cumple la condición de Jordnn-e-Holdcr para cadenas.

l·;j errkio~. lJcmuCstrc~c que IO. Si en un c:onjuuto pan:ialm..:ntl· 011.k11:uto ;f t·ou 0.<1.: n1111pk ):\ tOIHh\'n\n de Ju1tl.111-~

B{)l( .lcr \>('r;\ <.':ulcn:l~. '.'011 fu1al'itln <h.· 1a11~0 r(n), dC'lilli<l:t 1•~11·a todo ''EA. "·ulsí:u.:c l:o: ~1J?11ic11h:s condlcloucs:

a) r(O) "O; h) de u-</¡ se deduce que r(/11 r(11l 1 l 11. Si en un conjunto pMCÍ~l111rn1c onknadn /1 c,.t:\ cldimt,a un:' lunc.:i~'m r, 1;,I que

r(O) e: O y tic n-< b se dcdm.:t 11u~ r(b} = r(11) t t. cmonccs A sa1bfricc l:t t.'<ln<fü.i{ln de Jo1t.lnn-} (óldcr p3r:l 1:-.~ C~tknn,_ y C~I:\ l'undt)lt coincide C0r1 su íundOn de rango,

L:1 modutaridad y la scrnimodularklad pueden caracterizarse en térmi­ nos de función de rango.

Teorema 31. Sea L un rcuculo de longitud finita con O. El retículo Les semimodular cuando y sólo cuando satisface la condición de Jordan­ Holder para cadenas y para lodos los a, /JEL tiene lugar la desigualdad

r(a) + r(/J) ;¡: r(oA.b) + r(av IJ),

donde res la Iuucióu de ra11i;11 del 1c1fc:11l11 i.. /Jl.'1110.1·1raci<í11. Por ser l .. scruiinodular cu el rcuculo l. se cumple ln con-

277

dición de Jordan-Hi.iltlcr parn las cuclcnus. Sea a/\b = c0-<c1-< ... . . . -< e, = b una cadena máxima en el intervalo [af\b, b]. De acuerdo con la condición <le Jordau-e-Holdcr, la longitud de esta cadena es igual a r(li) - rturvb). Teniendo presente 1;1 condición de recubrimiento por arriba par;i los rct ículos scmimodularcs, llegamos a que para L

11V(at-.b) = 11 = (nVcu)=<(aVc·,)~ ... ~(ave,)= av b

•'S 1a111bic11 una cadena máxima, pero en el intervalo (a, avb). La longitud dc esta cadena no sobrepasa la de k1 primera cadena (algunos elementos pueden coincidir), es decir, no es superior al número: r(b) - r(at-.b). Por 01r:1 parte, de acuerdo con la condición de Jordan-c-Holdcr, la longitud de ,.,, .. cadena es igual a r("Vb) - r(a). Por eso, r(ú) - r(al\b) ~r(aVb) - - r(11}. La necesidad está demostrada.

Demostremos ahora la suficicncin. Scnn u, bel. tales que n>--(al\l>), I• .> ·-(af\/J) y a :"- Ir, 1\1111111.:cs, en vh uul de la condiciún tic Jordun-e-Holder (véase: ejercicio 10): r(a) = r(b) = r(t1f\b) + J. Sustituyamos estas igualda­ <kS en la dcsigu<iltlad mencionada en la hipótesis del teorema y obtendré­ mo~: r(1Nl>)t;;;r(11) + 1, r(uVb),;;;.r({J) .¡ l. De aquí se desprende directa­ mente que (uV/J)';;!?:=a, y (nVb)=t;;;b. Demostremos que ovb se «, Por re­ ducción al absurdo tenemos: sea avb = 11. Entonces, n> by ar.b = b; mas esto conrrudicc u que b>--(of\b). Por consiguiente, (aVb)>-a. Análoga­ mente: se comprueba que (uvb) >-b. El teorema está demostrado.

Del teorema 31 y de In dualidad tic tas condiciones de recubrimiento por :in ih:i y por debajo obtenemos el sir;ucntc resultado:

Corolario 4. Si en un retículo l. de longitud finita con O se cumple la coudicióu de recubrimiento por debajo, entonces para cualesquiera a, b~L 1i,·11c lu¡:ar la desigualdad: 1'(11) 1· r(/•)~r(11f\/1) -l- r(aVb).

01 ru apli<:a<:iún del teuremu JI "·' la sí¡;uicntc ;11in11:1ció11: C11roh1rio 5. Parn un retícuto t. di: lougitud finita son equivalentes las

,j¡;11il!n1cs afirmaclones: a) L es un retículo modular; b) el retículo L satisface las condiciones de recubrimiento tanto por arri­

ba, como por debajo: e) l. 110 courienc pentágonos: d) para cualesquiera ti, bE L se: verifica la igualdad

r(a) + r(/1) ~ r(111\/1) 1- r(11v/1).

()c-1111)s/rad1í11. Va se hn establecido q11~ a) trae consigo b). El teorema 11 y el corolario 4 est ipuluu que de h) se deduce d). Ln equivalencia entre a) y e) está demostrada en el teorema 23. Para l'inali:t.11r la demostración del ,·nrolario dcrnosi remos que <le el) se deduce e). Por reducción al absurdo: '11ponu:11110~ que el rctícnlo ¿ cout icnc 1111 pr111:'1gono { ll, a, b, e, 11 (véase t ig. ll.14) y pura este rcriculo se cumple la condición d). Entonces

'2111

r(11) 1 r(c·) = l(nVd I· r(nl\l') ,., r(I) - 1(0)

.. 1(/Jvc) 1 r(/1/\.-) 1(/1) 1 1(1·).

De donde, 1'(11) s- 1 (/1), h> (f\11• 1 < impo,ihk. J'lll'~l<I que /1 ,. ti. rl C<llOl.11 io esta demostrado,

Sen l. uu reí iculo c<>n O. 1,1 '11hcnr1j111110 I del co11i111Hn t.>: 1O1 'C dcuo­ mina indeuendiente, si para cualcsqurcra subconjuntos 1i1111os11 y 11 vuyos es válida la igualdad

inf 1 ~11p 11, sur /J 1 ... ~1111 (/1nlJ).

Teorema 32. U11 subconjunto finito I del rcticulo l. es independiente cuando y sólo cuando In aplicación .¡>: 11- '"I, /I, clcfinicfa para todos los A E.?'(/), es un isomorfismo entre el retículo del booleano .>"(/)y el subrcrl­ culo del retículo l, generado 1101 el conjunto l.

Dcntostrucián. Tenemos .~upf sup /I, s11p UJ = sup ] /l\Jll J, y flc>I' l''º· <Í el conj111110 I es inclcpl·ndkr111· (<'' d1:.:i1. <i in l l-"'I' /\ •. wp // 1 ~ <1111 l ;lf'lll l. entonces op es un h11n1t1moríi;111n de "'~ n:1il.:11l11~. Si la ;1plicaci,;11 op no ex bumivoca, entonces rnp A = ~llJ' JI p:ira al~ttll(IS vubconjuuu», 11 s; l. lit;;, l. 11 ~ ll Sea, por ejemplo, /I f:y 11f(/I '11) l'ntuncc<. 11 e;; ~up /J. nif//: p111 eso,,,= infla, sup 81 ""illf¡.,np !al. .rnr 111 = .rnp (!111nm = s11p0 = O, lo que es imposible. Por con~iguicntc op es un 1rn111oríis1110.

Dejemos al lector la dcmostrnción de la ufirmacióu reciproca, Es evidente que el subconjunto de un elemento (al es siempre indcpcn­

diente, Un subconjunto 1 a. b 1 e~ independiente cuando y sólo cuando al\b = O (11, bE(L' 1O1)." ;t /J). Parn que ~c:t indcpcndicurc 1111 suhconjun­ to la, b. e l. donde a, h. cE(L' 1 O)) y todos los elementos o. b, ,. ~on di~I in­ tos dos a dos, es necesario oci¡~ir que se verifiquen las \Í!.!11e111c.; igunldadcs:

fll\(l!Vc) ~ Cl: /1/\(11Vd ~ 0, C'l\(l(V/J) ~ (),

(11V/1)/\(t1VC') = ri: (ltVd/\(/)Vu) e- h; (cvu)/\(<'V/J) = e,

En 111.' rcuculos 111od11l.11cs y w111in1otl11la11's p11dc1111" li111i1:111111\ a t111 111·1- mero menor tic rclacioues,

Tcoremu :\J. Si le' 1111rc1kult•111od11la1 n111 (ero O, entonces 1111 ~11hco11- ju1110tic11 elementos J 111 ..... 11. Je;; L - 1O1 e~ iudcpcudicntc cuando y \O· lo cuando (a,v ... va,)/\a,+1 - o para todo; a t, 2, ..• 11 - l.

Demostrocián. La necesidad ele las voudlcioucs del teorema se ol>1c11dr;I al suponer A = (a1o .... a; l. n = 1111, 1 l. S11po11g:imm ahora que el sub­ conjunto l a1 •••• , a,. 1 satisface la~ condiciones del teorema. Sea 11. 11<;; 1 "'· ... , a; 1, A('\8 = 0. Entonces, inf [xup 11. ~up /J 1 = O. Efcctivamcutc. ~ca ukEAUlJ con el Indice máximo k . Sen, por ejemplo, 11kEll. En C5tC cuso, por ser el rcuculo l. moclul,u p~1a c11ak~1¡11ic1:1 \,y. zet, tcucmox .\/\(r·v~) = X/\((yfl(.\'V~))Vz). Al Ml\IÍt11i1 Cll l:a 111!i111:1 igualll:ul v "º' ~1111 /!. y por

279

as • Y ~ por sup(ll - 1ilA·1 ), obtenemos inflsup A, sup B) = sup Al\(akvsup(B- (atl)) =

= sup A l\({'1kll(sup AVsup(ll - l ak ))) V sup(B - r a,¡.)) = "°' sup AAsup(B - (ak)) = inf(sup A. sup(B- (ak)).

puesto que akl\(sup AVsnp(B - lok!))~(fl1V. _ .vak_.,)l\ak,.. O. Procediendo de este modo, podemos eliminar todos los elementos a; que

figuran en el conjunto A U B, y obtener, como resultado, !a igualdad inf'[sup A, sup B) ""sup0 =O.

En el caso general, en virtud de la modularidad y de la condición A n (XIJ - A)= 0. tenemos

""X11\(.Y1V(bl\{XlVY2))] = X1/\[J•1V(bAla,./\(X2V)'l)))) = ;: X11\[y,V((u,vc12V ... va,._ 1)/\fl,.l\(XzV.V2})) = X11\(y¡V(Ol\(X2V)'¡))I

lo 411c se trillaba de demos! rar. ~:jrn:klos 11. Oc11111cstr<se que In :11'1rn1ttci(>11 ,1<1 1oorcin:1 l3 es lici1a para los rcrtculos

,;r:mimocJul:uc:s \'OH e, Se;\ L uu rceiculo 1Hut.lular con O. Dcmúcstresc que IJ. Si m1'.b;. t1¡, b;E~ i = l. 2, ... , 11, }' b1o bi •.•.• l>H ~11 independiernes. eruonces o,,

111 ••.• , "• 1011 tan1biCn ;udep-cntlicntcs. J..a. Si "•· "J •••• , au son elementos ludepcudierues del rcticulo L y a, = 011va1,v ...

. vu,,. donde u.,. (l¡t• •••• n¡¡son t:lcmcu{OS indepcndieures Ud reuculo Le i e J. 2, ..• "· entonces los elcmenros a11 ••• ·~ ttu:1• tJ11 ••••• nu, .... , u_. .. son independientes.

Teorema 34. Si n., ... , a; son clc111.:111os independientes ele un retículo modular l con cero O, entonces un subrctículo H del retículo L generado por los irucrvalos (0, a,], donde i = 1, _ ..• 11, es isomorfo al producto dircc­ ro ro. at} X f0, 111) X ••• X 10, a,.j.

OC!1110~·1mciú11. Si:a 11' 1111 subrcticulo del rcuculo /,generado por los in­ rcrv.ilos 10, (ti), • , ., ro, a. -1J. b = (l¡V(l¿V ••• v a; - ¡, y

M= (x,Vx2lx1El/',x2~a,,(.

l'or cuanto [O, a1) ~ 10, bl para i-= 1, 2, ... , 11, entonces H' ~(O, b], por lo que X11\b = x, para todo X1E/-J '. Hucicudo uso de la independencia de los elementos a,, 01, ••• , a; y de la ley modular, obtenemos para cuales­ quiera .\·1. )'1Efl' 't X¿, Y2E[O, a.,J:

= .\'11\(>'1V.\W)'2) = (X11\Ú)l\Ú'1V.\'¡V_1'2) = X1AlbA(y1V(.\iV)'2))1 = = Xi/\!)•, V(bl\(x2 V )'2))1 = x, /\{y1V(bl\ ¡a,,l\(..\WY2)l)) =

=.r11\(y,v((111V(l2V .•. va,,_ i)/\u,,/\(X2V)'2))J "'X1AIY1V(Ot\(XiVYi)))"" = X11\(.Y1VOJ = X11\Y1

y X21\(y¡VX1VY2).:: (xz/\11,.)1\(y¡Vx,vyJ "'X21\[a,,l\((x1VY1)Vy2)l"'

= Xll\ [ylV(a,,l\(Xt V Y1 ))) = X11\(y1V(a,,l\(b/\(X1VY1 })l =

2l!O

.,. X1/\{y2Y[a,,A(a,Va2V ... Van-1)1\(x,vy,)JI = ~ X2/\{y2Y(O/\(X1V)'2})1 = X2/\(nVO) = Xll\)'2.

Sirviéndonos de la ley modular, de estas igualdades deducirnos que (X1VX2)/\(y1V)'2) = (X¡VX2)/\((y1YX2V)'2)/\(y¡VYz)) =

= ((x1VX2)/\(y¡VX2Y)'z})/\(y1V)'2) = (x2V[X1/\(y1VX2Y)'2))J/\(y¡V)'2) = = [x1V(x1/\)'1))A(y1V)?.) = (X1/\)'¡)V(X1A(y¡V)'2)) =

= (X1/\)'1)V(x2A((y¡Vy2)/\(y¡VX¡V)'2)ll = = (X¡I\)'¡ )V{(y1VYz)A(Xz/\(y1 YX1 VY2))) = (X1/\)'1)V((y1 V J12)A(X1l\yi}) =

= (X¡ l\y¡ )V(X2/\Y2).

Así pues, el conjunto M queda cerrado también respecto de la intersec­ ción y, por lo tanto, coincide con el subreuculo H. Más aún, la última igual­ dad, junto con Ja igu;\ld;i(I evidente

(x1VX2)V(y1V)'2) = (X1V)'1)Y(,nV)'2)

señalan que cp(X, y) =XV)'

es un homomorfismo reticular del producto directo H' x {O, a,,) sobre H. Si x1Yx2 "')'1V)'2, entonces, por cuanto

x2/\(a,v ... v a .. -1),,;.a,.A(a1v ... va,,_ 1) =O y

)'21\(a¡V ... v11.-i}~a,,/\((l¡V .•. VG-111) =o, con ayuda de Ja ley modular obtenemos:

Xi= .\"¡fl.(X¡VA))/\(11,v V(I,,_ ,} = X¡l\(y¡Vy1)1\(a,v ..• va,.-1)"' = X¡l\{(y,Vyz)l\(o,V Vll,,-1)) = X1/\IY1Y()'2/\(a1V ... V0,,-1))) ~

= X1/\(J11VOJ = .\11\)'1 = )'11\X1 = )'1/\(X1VO) = = )'1/\IX1V(x1/\(a1 v ... v o; - ,))J = )'1/\[(X1VX2)/\(a1V .•. Van- 1)) "'

= )'1/\()'1 V )'2)A(a1 v ... va,._ ¡) = y,.

De un modo análogo se establece que .n = )'2. De este modo, V' resulta ser un isomorfismo. Aprovechando Ja suposición de inducción, llegamos a que

H=:H' x 10, 11,,J=:[O, oi) x ... x[O, fl11-d x {O, a,,). El teorema está demostrado.

Ejercicios. Sea L u11 rt1i<-ulo 111ollulnr, a, b, cE/. .. Demuéstrese que IS. (Von J. Ncum~n11 Jll~ll U11 suhrcuculo en l geucr ado por los elementos a, b, c(L.

es distributivo cuando y sólo ~tMmlo - uA(hvr) ~ (11A/J)v(ul\t0),

16. (Dirkl1off 11151). Sean c •. e, ta~ cadenas en l. l.!nronc<S, un subre1fculo en l generado por el conjunto c. u e, <S disrnburivu,

281

17. \Jo "uhrr,flu1o cu l. p,cnc:1-:u'H l'h11' ltrl\/J. al U lnV/J. '1) t'~ i"nmmfo :.1 rct ic uln ful\b, f/) '( 1((11/i. /JI

IR. ('ompruthc~t que un ~utm.;1h:1ilr• l!c·n,;r:ulo f)c\r Jt1Ah. 1111 J luAh. '11 ttu \.nim:itlc ._,,,1 )t11\IJ. av/11 l>cmuéM1csc 'IUC fHtr"a la \;111111.:h.lcni.:1:1 e" sufi1.:il'"l'"' '-'·~•~ir ciuc el rcuculo L se" di..:11ih111iv••

M:is abajo señalaremos que lo~ rcsultaclo s, furn11d:idos en los ejercidos 15 ... 17. M: empican parn resolver In.< problcuurs cnmbinatorios de opt inu­ zación. Si se encuentran di íicultadcs en la resolución de los ejercicios, rece- 111cnd:1111os referirse al libro de Grat ier (véase cap. 4, § 1 (321).

Teorema JS. Sea /J un retículo scmirnodulnr con O y con una función de rango r. El conjunto ele átomos I = (111, o¡ •...• a.! del retículo Les independiente cuando y sólo cuando

1(a,v ... va.}= 11.

Dcmostracinn. Supongauiox que (a,v ... V"1}/\i11 .• , = O para todo i = 1, 2 •... , 11 ·- 1. l)cmt1strc1111" pnr 1111l11.:.:iú11 respecto ch: 1 que r(a1v ... . • • V111) • i, Para i"" 1 l:i :1fir111;11:ii\11 C\ v;'Jlida. Si 1(111V Va,)"" i, c1110n- <:c.~. por ser el rct ículu xeruimodular, lc11<:111ox (<11 v va,)--< ("1 v ... . . . vn,v111, ¡) y por eso r(o,v ... V(l¡V(f,, 1) ~· r(<1,V Vtr,} + 1 = i 1- l. Con esto queda dcmostruda la 11ccc~idad.

Para demostrar la suficiencia nmstrcmos que el conjunto de átomos I satisface la coudición del teorema J2.. De la condición r(a1v .. ,va.)= 11 le­ ncrnos r(sup A) = 1A1 para cualquier subconjunto A~/, de modo que la nplicación .,o:l1-•s11p A es biunívoca Es evidente que la aplicación \O con­ serva las uniones. Tomemos ahora A,/)<;;!, y sea a= inftsup A, sup 8), l> "' sup 1 A U fJ J. Enlonccs "?- b, y ele la condición de scmimodularldad tenemos

r(sup /1) + r(~11p 11) .<:- r(11) + r(~11p 1 /1 U IJ )), de 11H1dn que 1 A 1 1- l 111 ~r(r1) ·t 1 /( U 11 I . 1 ><· aquí t.011d111111os que

r(a) ~ i A 1 ·I· l tJ 1 -- 1 A U IJ 1 • 1 ;1 () IJ 1 .

(>or otro lado, r(11) ;;J!r{fi) = 1 A n 11 I, por .:1111~i¡:11ic11tc, r(a} = 1(/1), y (1 =: /J, es decir, i11fls11p /1, Sii() /lj ~ Sllp(/I fl /1) (k uqui proviene que \O es 1111 isomorflsmo, y, en virtud del rcorcmn 32, el conjunto de átomos J es independiente. El teorema csl;i demostrado.

Un retículo scmimodular :i16111ico completo (ex decir. cualquier elemen­ to lo representarnos en forma de 1111:1 reunión ele átomos) sin cadenas infini­ tas se llama geométrico o matroidat.

Demos a conocer algunas dcfuucioncs. Sea .'Y' (S) un conjunto de todos los subconjuntos de S. Diremos que

sobre el conjunto S está dado el operador de clausnra, si a todo elemento de A E.'"l''(.'i) J'C la hace corresponde: unívoc.uncutc 1111 1k1l·r111i11a<lo elemento de /IE:Y'(S}, llnmado da11s111a de /1, con la pa1111:11lari1lml de que dicha corrcvpondcncin satisfncc, para todos lus A. 11~. ,.., (S). la~ condiciones

282

siguientes: l.A~A; 2. Si A~ B, entonces A~ B (propiedad e.le conservación del orden); 3. A= A (íderupotencin). El conjunto A se llama cerrado. si coincide con su clausura .

. Se denomina pregeometrta (u 111atroitle) G(S) a un conjunto S con un operador de la clausura -. que satisface las propiedades:

_a) de~stitución: para l'nak:squi~e!-rl.ES y para todo A E.~ (S), de pEA U [q) y py¡ se deduce que ({EA U lp);

b) de base finita: para todo A E:Y'(S) existe un subconjunto finito A¡~A tal que A¡= A.

Se denomina geometria combinutoria (c11 adelante, siempre geometría) a una pregeomctría en la que lodos los subconjuntos de un soro elemento, como también el conjunto vado, son cerrados.

La definición ch: 11n:1 t~,·0111dria sobre el conjunto S se diferencia de la definición de una topotogiu sobre Sen que no se requiere el cumplimiento de la condición AUD = ;.1üii para todos los /\, BE.<?' (S), pero subsiste Ja propiedad ele sustitución, ta cual, en general, puede no cumplirse para la clausura de Ja topología.

Llamemos superficie a lodo conjunto cerrado de una geometría. Las su­ perficies de una geomerrtu C, ordenadas por inclusión, forman un retículo completo L(G) con operaciones binarias V y A: Al\B = Al"\B. Avn = AUB, donde A y 11 son las superficies ele la geometría C.

Teorema 36. Sea G = (S. -) una geometría. Entonces, el retículo L(G) es geométrico. Viceversa. si l. es un retículo geométrico, S, un conjunto de átomos del retículo L, y el conjunto 1aES1a~supA1 es la clausura ;1 de cualquier subconjunto A e;; S, entonces G = (S.-) es una geometría y el rctt­ culo ele ella t. es isomo. fu :1 /.(G).

Demostracián. Sea G (.~~ ) una gcomctr íu. El hecho de que el rerícu- lo L(G) es completo, sin cadenas infinitas y atómico se comprueba sin difi­ cultad alguna. Por eso proponernos que el lector mismo !o haga individual· mente a tüulo de ejercicio. Demostremos que L(G) es un retículo sernimo­ dular. Supongamos que ;l. BEL(G), IJ = AU(p 1 y p~A. Afirmamos que en este caso A-<D. En efecto, si CEL(O) y A CC~B. entonces existe un ele­ mento qE(C'-A)_y qECt;; 1.1 ~ AU{iJ'f; por cs<?.i_~~ In propiedad de susti­ tución, pEAUlq J ~C. Pur consiguiente, 8 "' AU{p 1 ~C. Resulta ~.1e lJ = = C; de aquí, A-< /J. St:.1 all<m1 DE/.{G). E1Ho11ces, 8VD = JJLJD = = AU.DV\ p 1 y Av D = ,.1UD; de aqui, o bien pEAUD y, por eso, Av D ,,. ""DvD, o bien pt/AUD, y c11 este caso, AVD-<BVD. El teorema queda demostrado en una dirección,

Al contrario, sea L 1111 1l·ticulo geométrico; S, un conjunto de átomos en L y A = l 11ES 1 11 ~sup '' 1 para todo A~ S. Está claro que A-+ /t es un operador de clausura. Errnivamenti;, sea (!EA, Para cada A s:;S se cumple la desigualdad n~sup ,.1. P.1.- lo tanto, A~A. Si ASB para A, IJSS, y

283

hb('(/ "' -.g

" <> á

:¡ 1: ~ b e d

0 b IJ

1·1i.8.24. Vi¡\.~ 2~.

aE/I, cm onces o~ Slip B, De H(J UI, vup /I ~.Slip IJ. y, por consíguicruc, 11 s /).

La definición de retículo geométrico ascgur« el .:11111pli111icn10 de tas condiciones de base finita y de carácter cerrado de los subconjuntos de un solo elemento y del conjunto vado. Comprobemos el cumplimiento de la· propiedad de sustitución. Sea p~/iüf(¡j y p~ /1. Por cuant o 1 ql es un áto­ mo, entonces, por ser el retículo scmirnodular AUlq) "'(AV!q))-< A, por lo que de ACAV!JJI sliu{(,1 se deduce /1u1úl = iiDT1/T; de este modo qEAUIµ 1. Con ello queda establecido que (S, -¡ es tina geometría.

Demostremos ahora que los rcuculos son isomorfos. Denotemos con e la aplicación A-sup A, donde AS S. A EL(G). Entonces ella aplica, pues, L(G} en /J. Por cuanto cada elemento del retículo /,es una reunión de ato­ mos. entonces la inclusión 11 S IJ es equivalente a la desigualdad A ~~up 8, Por eso V' es la aplicación brunivoca «xohrc», y ambas nplicncioncs '(1 y 'P - I son monótonas. Por consiguiente, <Pes un iscmorfismo. El teorema cs1á demostrado.

Así pues. el rcl il:ulo de 1111 xubcxpucio del inc por .:0111 plcro una gco­ mct ría, y viceversa. Los diagramax de los rcl iculox gcométr icos son, por regla general, muy engorrosos para que puedan utilizarse, Sin embargo, a menudo se presta la posibilidad de dibujar la gcomctr ía, asociando el dib11-· jo con el retículo. Los elementos de rango k (k:;::: O) se denominarán k-. superficies. En la) caso las l-supcrficics se Hamar;i11 ¡n1111os; 2-superficics,' rectas; 3-superficies, planos, cte. Observemos que un pl<1110 es una unión re·. tieular de cualquier recta suya y un punto suyo 110 dispuesto en dicha recta, etc. Lo último puede formularse del modo siguiente:

( .. )toda k-superficie y una l-supcrficic, no situada en la primera, yacen en la única (k + l)-s(1perficic.

Al representar las gcotuctrtas, t;i~ recias se ll1h111ar1 l·11 ltu ma ele ~..:gmcn- 10.s (o las curvas). Dibujaremos sólo aquellas k-s111>crl'idcs, que no pueden

284

aocdo

e

Ol>C cd• /) d

a

0 l'ig,H.26. b

ser restablecidas untvocumcurc según el dibujo, si sólo se emplea la pro· piedad(•). Aclaremos cslo 1:<H1 1111 ejemplo. En Ja Jig. 8.24 está representada una gcometrta de rango 3 con 1111 conjunto de puntos ( ci, o. c. d. e, f. g), con la particularidad de que las rectas ad, ae, ag, bd, be, bf. bg, cf. cg, df, dg, eg y los planos abcg, afg. cdeg, efg, adg, aeg, bdg. beg, bfg, cfg. dfg no están trazados, puesta que pueden obtenerse con ayuda de Ja propiedad ( .. ).

En las Iigs. 8.2Sa ... 8.2~a están representadas las geometr ías, y en las figs. 8.25b .. - 8.28b, los diagramas ele sus retículos, respectivamente.

Hemos de notar que lus rcprcscnracioucs de las geometrías son mucho más sencillas en comparación con los diagramas complejos de sus re! ículos.

los mat roidcs (o geomctrtas) surgen en gran cantidad, sobre todo c11 el álgebra, teoría de los grufus, geomctrla, teoría de las transversales, análisis cornblnutcrio, etc. El estudio de ellos comenzó por el conocido problema de los siete puentes de l.:ü11ig~hcrg resuello 11<>r Euler hace 200 años. La ex­ posición de la tcortu de lm uiatroiclcs la courinuarcmos en el § 8.4, donde daremos a conocer 01 ros ejemplos de nuuroides y de sus aplicaciones.

Detengámonos brevemente en los resultados referentes a la anchura de los retículos geométricos enunciados a tenor con el teorema 1 (de Sperncr).

Sea L un retículo geométrico finito. Designemos con E(i) el conjunto g fil···· -'1~ \~!"'~~;:;¡~~

a IJ r

Fis.8.21. 0 b

285

fig.8.28. ,.

de iodos Jos elementos del rcrículo l. de ran¡;o 1, y .\l';1

IV¡ ~ l t:\i) 1 .

Obscr vc111<1~ que el cn11j111110 /:'(i) e' 1111a ;1111ka1k11a 1kl 1cf kulo L. Tcorcmn 37. Sc<1/,1111 rct ículo ¡~l'0111c1rio.:P finilo en d cual lodo clcrucn­

lo a de rango i se cubre por k, elementos y cubre ru, clcmcutos (los números k, y 111, sólo dependen del rnngo i). Entonces. la unchu ra ele L es igual a

111áJi H'¡. u~;.::;,(¡)

Dcntostracián. Supongamos que 11 = r(L) y máx IV; = Wk. En este· o s r s «

caso E(k} es una anricadcna con Wk elementos. Resta por demostrar que si A es una anticadena arbitraria en z., entonces 1 /I 1 -~ Wk. Para cualquier aEL designemos mediante s(n) el número de todas las cadenas máximas que pasan por a. Es evidente que si r(n) = i, tendremos s(11) = m an¡ ... 1111k1 ••• , ... k. - 1. Por consiguien le, s(a) depende solamente del rango i. Por cua1110· cado cadena máxima tiene cxncramcutc 1111 solo elemento de ra11110 i , el mi· mero S de todas las cadenas 111<himas en l. s<·r;í igual a \(a) W;. De aquí,

la dcsigunldad W1~ Wk nos dicla que .1(0) ~ ,·\~ ~ 1·~ . l'or íin, cada f; 'k

cadena máxima pasa por un clc111c1110 a lo st1111n de la .uu icadcnn A. l'or consiguen te,

es decir, 1 A 1 ~ Wk, Jo que se untaba ele demostrar; Un retículo geométrico finito l de rango 11 se llama tmimodal, si para

cierto número k se verifican las desigualdades W1 ~ ••• ~ Wk _ 1 ~ w. y. Wk;;;: Wk .. 1 ~ ... ~ w. _ , . Sean 11 y IJ unos subconjuntos del retículo L. Diremos que entre A y 8 existe una paridad, si existe una aplicación biuui­ voca ip: ¡¡ ... 8 (o bien ip; !J-• 11, .~i 1 11 1 :;;:. l 11 I ). t.1! une p;tra lodo aE11 ÍI"'· ra iodo a<dJ, respectivamente) son t:omparahh:.\ In, dl·111c11fos a y .¡>(u).

Teorema 31!. Ses t, un n:I knlo l\<"!lntét rico i"r11ito dv rango 11. Si/. es uui.

28(1

modal y existe paridad entre E(i) y é(i + 1) para todo i c;n, entonces Ja anchura de L es igual a Wk, donde

W1~ ... ~Wk, Wk~· .. ;;i.Wn-1.

Demostractán. Para cualquier subconjunto A ~l el número d(A) = rnáx (r(a) - r(b))

o.bEA

se denominará diámetro del subconjunto A. Sea A una anticadena del reu­ culo L. La desigualdad 1 A 1 ~ Wk se demostrará por inducción respecto del diámetro d(A ). Si d(A) .. O, entonces A~ E(i) para cieno l. De aquí, 1A1 ~ W;~ Wk. Supongamos ahora que d(A)>O, y la desigualdad es váli­

da para las anticadenas de menor diámetro. Por cuanto d(A):;::.. O, en la anti· cadena A siempre existe 1111 elemento a, tnl que r(a) ~ k; admitamos, para concretar, r(ú)<k. Sea i'"' min r(<1), y A = Ao U Ai. donde A1 "'

•fA =A () E(i) y 110 =A '111• Por hipótesis, i-c k , por eso 1E(i)1 ~ 1 E(i + 1) 1 , y, por lo tanto, existe una paridad e» E(i)-E(i + 1). Hagamos A' = AoUp(A,). Los conjuntos Ao y <p(A1) no se intersecan. En efecto, si aE(Ao{),o(A1)), es decir, a= 'P(b) para cierto bEAi. entonces a, bf.A, ar! b, y a, b son comparables, lo que es imposible, puesto que A es una anticadena. Por consiguiente, 1 A ' 1 = 1 A 1 . Además, A' es una an­ ticadena. En efecto, si a, /JEA i, a ~ b y a, b son comparables, entonces aEAo y b =- <p(A1), es decir, b = .,o(c) para cierto cEA1. Por cuanto r(b) = = í + 1, resulta que r(b) <r{a). Por consecuencia, b <a, pero esto contradi­ ce Ja condición de que e s; by cUa. Esto quiere decir que A ' es una anticadc­ na. Pero, d(A ') = d(A) - 1, por lo que, en virtud de la suposición de in­ ducción, 1 A 1 .. 1 A' 1 ~ IV.1¡. El teorema está demostrado.

Aduzcamos siu deinosu ación algunos resultados 111:\s sobre los 11\1111cros Wk Cll los retÍCUIOS geoméuicos.

Teorema 39. Sea /J 1111 retículo geométrico finito tic rango 11. Entonces J.Y1 ,¡;; W, para t = 2, 3, ... , n - 1

y W1 + ... + Wk~ W.,_,,. + ... + Wn-1 para k • 1, 2, ... , n - 2.

Teorema 40. Sea L un retículo geométrico finito de rango n. Entonces, cualquiera que sea k = 1, ...• 11 - 2, la igualdad

W1 + ... + W.t = WA - k + ... + Wn - 1

se verifica cuando y sólo cuando el retículo L es modular. Teorema 41. Sea L un retículo geométrico modular finito de rango n.

Entonces, para cualesquiera O~k ~11 se verifica Ja igualdad lf/k=IV,,-t.

Ejercicios 19. Dcmuéslro< el l(omnn 1, londcndc> uso del a) teorema 37; b) teorema 38. :20. Generatíeese el reoremu )7 n lo~ conjuntos parcialmente ordenados.

287

l'íg.8.2?. e

Fig.8.30.

En el capítulo 5 se ha analizado el espacio proyectivo como un par (A, L), donde A es un conjunto de puntos, y L, una familia de rectas, para la cual se cumplen las siguientes condiciones:

a) una recta IEL tiene no menos de dos puntos: b) para cualesquiera dos puntos a, b<:A existe sólo una recta tel. tal que

a, bel; c) para cualesquiera 11u111os a, b, e, d, l'EA y rectas t,, l2El, que satisfa­

cen las condiciones: o, b. dEl1, y b, e, l!E/2, existe un punto JEA y las rectas li. /4EL, tales que a, e, JEIJ, y d, e, /Ele.

Detengámonos ahora brevemente en la descripción del espacio proyecti­ vo por medio de sus subcspacios lineales. Para cualesquiera a, bEA (donde a ;o! b) designemos con a + b una recta que contiene los puntos a y b. Un subconjunto B!:iA se denomina subespacto lineal del espacio proyectivo, si junto con cualesquiera dos puntos de O, le pertenece también una recta de­ finida por los puntos citados. Dicho de otro modo, 8 es un espacio lineal, si a, be lJ lleva consigo a + b<;; B. Sean IJ, C subespacios lineales. Pongamos O+ C igual a la unión ele tocias las rectas b + e, 1~11cs que bE!I, cEC

Lcm11 7. Para cualesquiera subcspacios lineales IJ y Cdc un espacio pro­ yectivo el conjunto B + C es un subcspacio lineal.

Demostración. Tomemos Jos puntos a, b y e, tales que cEn + b, y a, bEO + C. Demostremos que cEO + C. Si a, l>EIJ, 6 o, bEC, tenemos: cE&JCt;;;B + C, puesto que B, C son subcspacios lineales. Si a E By b E E C(o bien, viceversa), entonces por derinición de D + e; cEB + C. De este modo, podemos suponer que a~ IJJC, por lo que existen los puntos a' EB y a" EC, tales que a Ea' + a": Son posibles dos casos. En el primero be&JC; sea, para concretar, bEB. Veamos las recias b +a', b + a, a+ a' y e + a" (véase fig. 8.29). Convengamos en considerar que todos los puntos b, a, a', a" y e son dinstintos. Esto quiere decir que la recta e + a" tiene un punto que yace tanto en b +a, como en a + o "; Por consiguiente, en virtud del punto e) en la definición de espacio proyectivo, existe un punto deD, tal que dEb +o ", y dEc + a ": Sí d = ar , entonces aEJJ, lo que es im­ posible. De aquí, d ~ a", y por eso. ced + a" EIJ -l- C.

288

En el segundo cuso b~ INC. Aprovechemos ahora la condición e) para las rectas a + a', a + b, a' + /) y o" + e· (véase fig. 8.30), Existe un punto aeo: + b, tal que cE.d + a "; Por analogía con el primer caso tenemos <IEB + C, y, por lo tanto, cE!) + C. El lema está demostrado.

Teorema 42. Los subcspacios lineales del espacio lineal forman 1111 rcrí­ culo geométrico modular,

Demostración. Por cuanto la intersección de cualquier número de subes­ pacios lineales es un subcspacio lineal, tenemos un espacio de clausuras (A, "). La clausura X del subconjunto Xs;;/{ se describe del modo siguiente: x· es UX1o donde Xo =X, X,= X+ X, .... X""' X._,+ X.-i. ....

¡

De aquí se deduce que (A, -) es un espacio de clausuras con las propiedades de una base finita. Por eso, sus subcspacios lineales forman un retículo completo y para cualesquiera subespacios lineales X y Y queda válida la si­ guiente igualdad: XVY = XVY.

Si X, Y. Z son subcspacios lineales y X;;;¡ Z, entonces, evidentemente, XI\( Yv Z) 2 (XI\ Y)V Z. Mostremos que es vúlida también la inclusión inver­ sa. Sea pE YV Z, es decir, pEX y {JE YVZ. Por cuanto pE Yv Z "'- Y + Z, exis­ ten Jos puntos p ' E Y y p " EZ, tales que pep ' + p •. De la inclusión X;;;¡ Z proviene que p, (p N EX. Si p = µ ·, entonces pEZ, por lo que pE(XI\ Y)vZ. Si p ;11! p •, entonces, p 'Ep + p • s; X. Por consiguiente, p' EX 1\ Y y p • EZ; de aqul se desprende que pE(XA Y)vZ, con lo que queda demostrada lamo­ dularidad del retículo. Las propiedades restantes de la definición de prcgco­ metría (matroide) o ya están comprobadas, o bien son triviales. La pro­ piedad de sustitución se deduce de la modularidad. El teorema está demostrado.

Por consiguiente, los espacios proyectivos ofrecen ejemplos de matroides modulares y, de hecho. incluso de geometrías cornhinatorias modulares.

Dos elementos a y b de un retículo con complementos L se denominan perspectivos, si disponen de un complemento común, es decir, ave ~ bv c = 1, y ar.e ~ br«: = O para cic1~i> elemento cE L. El elemento e recibe el nombre de eje de la perspectiva.

Sea L un retículo modular con complementos, a, bEL. Si a y b son pers­ pectivos, el empico sucesivo de las aplicaciones mencionadas en el teorema 26,

[O, a]= [al\c, a)-•lc, ave)= [e, bvc]-+[/>Ac, bJ = (O, b),

permite establecer un isomorfismo entre los intervalos f0, a) y [O, bJ, el cual se llama aplicación perspectiva con el eje de la perspectiva e y se designa con P(a-+b; e). No es difícil comprender que Pta= b; c) aplica un elemento xE [O, a] sobre otro elemento y = (xvc)l\bE [O, b). Si L es un retículo com­ puesto por un conjunto vacío, Jos puntos y la~ rectas del plano proyectivo y por el propio plano, la aplicación perspectiva P(a-+/J; e) pone en corres­ pendencia al punto x en la recta a y al punto y en la recta b (fig. 8.31 ). Prcci-

19-M\3 2&9

Fig.8.31. Í'Íg.8.32.

sarncntc a esta circunstancia se debe: la denominación. Además, se ha es­ rublccido aquí que los intervalos ¡o, a) y [O, bl son proyectivos. Por eso, por analogía con la proyectividad de los intervalos, emplearemos, para la nota­ ción de los elementos perspectivos a y b, la designación a=b.

Lema 8. Sean u y b los puntos distintos (átomos) del retículo geométrico modular L. Entonces, avb contiene el tercer punto e cuando y sólo cuando a y b son perspectivos.

Demostración. Cualquier tercer punto en avb es un complemento relati­ vo común para a y b en el intervalo [O, avb]. En este caso, el elemento cV(aVb} = x será complemento común para a y b, cualquiera que sea el complemento (aVb) del elemento ovb,

Viceversa, sean a y b perspectivos. Entonces, 1 = av x = bvx cubre x. J>on¡;:unos e: = (avb)Ax. Tendremos

r(c) "'r(uvb) + (r(x) - r(aVbVx)) = 2 - 1 "" I,

puesto que: avbv» = 1 cubre x. Quiere decir que d~avb es un punto, y ade­ más, distinto de a y b, puesto que d~x. y ar;x = brcx = O. Este es precisa­ mente el tercer punto en avb. El lema eslá demostrado.

Lema 9. En un retículo geométrico modular L la perspectividad es una relación de .equivalcncia.

Demostración. Es evidente que en cada retículo CQn complementos Ja pcrspectividad es una relación reflexiva y simétrica. Demostremos que en los retículos geométricos modulares la relación de perspcctividad es tarn­ llién trnnshiva. En efecto, en virtud del lema 8, si a-by b-c, entonces (a excepción de un caso trivial en que a = b ó b = e) existen los puntos den avb y e en bv c, tales que se forma una configuración expuesta en la fig. 8.32. Construyamos ahora una «recta» dv e, Es evidente que

r((tlvc)l\(t1Vc)) = rutve¡ + r(ovc) - rtdv ev avc¡ ~ 2 + 2 - 3 • l,

puesto que avevovc covovc. Esto significa que dve y ave tienen un punto común/. Pero, está claro que la recta dv e no puede contener a, de lo

290

contrario ella contendría aV<I, y, por consiguiente, el punto h, y j111110 con éste punto, bvc, y, por lo tauro, c. de donde se obtendría r(avbvc) "' r(dve) = 2. De un modo análogo llegamos a que dv e no puede contener c. Por eso, fes el tercer punto en ave, y, de este modo, según el lema, tenemos a - e, lo que se trataba de demostrar.

De aquí se desprende que en cualquier retículo geométrico modular L la relación de perspectividad parte el conjunto de todos los puntos (átomos) del retículo en clases de equivalencia E1, tales que para afiB1 y bEE1 se cumple la condición a-b, cuando y sólo cuando i = j.

Sean ahora E1, Ei, ... , Ek las clases de equivalencia que se componen de puntos recíprocamente perspectivos, y a1"' sup E1. para i = 1, e« , , k.

Lema 10. En un retículo modular de dimensión finita con complemen­ tos Jos elementos ·a;, que acabamos de encontrar, son Independientes.

Demostración. Para demostrar la igualdad (a1V ... Vtrn-1)1\a., =O, 11 a 2, 3, ... , k

es suficiente observar que ningún punto de a; puede contenerse en a1V ••• . . . Van- 1, puesto que E1 no .se intcrsccan, y que iodo elemento x>O con­ tiene un punto del retículo. El lema queda demostrado.

De los teoremas 29 y 34, como también del lema 10, obtenemos el si­ guiente resultado importante.

Teorema 43. Cualquier retículo modulai de longitud finita con comple­ mentos es un producto directo [O, n;), donde m = sup E;, y E; son diferentes clases de relación de pcrspectividad de los puntos del retículo L.

F,jerddos. Demuéstrese que 21. Todo retículo geométrico es i<omorfo al producto directo de retículos gcomélrkus di­

reciamente indescomponlblcs. 22. Un retfculo geométrico es d11cttan1cn1e irulcscomJ)o11ible cuando y sólo cuando

cualesquiera dos :i1onios JU)'O~ son p<"rspcc;fivos. 23. l!n un rcclculo r,comérrico la rdocitln de p(r<pcclivid0<I de lo< t111111tu (ó11111m•) es

trausitiva, 24. l.»s reuculos gconoétricos Ji.rrohuhvos 'º" álitchra• de Ooolc, y sólo álgebras de uoo­

le, de rango íini<o. lS. La clase de rc:lkulos gcom~l rico~ modulares <·~1:\ form~da por ílroductoJ directos de

los retlculos de espacios r>roycctlvos y sólo t>or éslO"-

Las afirmaciones de los ejercicios 21. .. 23 caracterizan las propiedades estructurales de los rcrículos geométricos. Fueron obtenidas por primera vez por F.Maeda (1J7), y, en una (orma más estricta, por Sasaki U. y Fujiwara S. (118). Los resultados de los ejercicios 24 ... 25 son características comple­ tas de las clases de retículos geométricos distributivos y de los retículos geo­ métricos modulares (se obtienen con facilidad de los ejercicios 21. .. 23). Las demostraciones de la mayoría de dichos resultados pueden hallarse en (1, 31, 32 y 116).

Los retículos L que para cunlcsquicra es, o., 01, bu. b1, lhEL satisfacen la desigualdad

(a0V bo)/\(a, V b1)A{a1V lh) ~((evo, )Mo)V((cVb1 )Abo),

291

,1.111dc (' - ((1111V"1 )ll(/>t1V I>, ))11(((11uVt11}1\(boV lli))V((l/1 W1i)ll(b1 Vbi))). se llaman orguesanos. Esta desigualdad representa una forma teórico-reticular del teorema de Dcsargues (véase teorema en el cap. 5). Efectivamente, tiene lugar el siguiente resultado:

Tcurenm 44. Un retículo geométrico modular Les arguesano cuando y sólo cuando en la geometría proyectiva, asociada con el retículo, es lícito el teorema de Desargues.

La demostración del teorema citado no es difícil, por Jo cual se omite aquí. Los que desean, pueden encontrarla en {32). En la misma obra se adu­ ce In demosrracién del sigucnte resultado que representa el teorema bien co­ nocido de la geometria.

Teorema 45. Sea L un rericulo geométrico modular y supongamos que la geometría proyectiva, asociada con L, es regular (es decir, cada recta

1 Íl"llc no menos de ! res ru1110.~). Si el rango cid rcrícuto l no es inferior a .1, d retiente sed argucsano.

l·:jet(h:los. Demuéstrese que 2G. L3 arguesidad de un retlculo predctcrnuua su modularidad. 21. Un ~onjun10 pnrcialmente ordenado B(S.) (véase ejemplo 8 <11 el § 8.1) de todas las

¡1"rridouc> no ord~nadas del 11 ~ conlunre s. es un retlcuío geornérricc, Es1c reuculo se Jlania, ;1 menudo, bclJiano.

28. Un belltano B(S.) es modular, si y sólo si 11 ~3. 29. Cualquier rcucuto distributivo ílnilo es <11cajoblc en un belliano.

Se denomina representacián del retículo L a un encaje <le dicho retículo en cierto belliauo. Las representaciones de los rerículos finitos es uno de los n1ás antiguos problemas 110 resuellos por completo en la teoría de los rctícu­ tos. Sólo para clases particulares de los rcllculos existen actualmente res­ uucstas a este problema. El ejercicio 29. como también los teoremas 44 y ·15. sirve» de ilusrractón pura algunos resultados en este sentido.

Hc111os aclarado aquí sólo algunos de los aspectos de Ja rcorta de los re­ uculos. Para un estudio ulterior de esta teoría recomendamos los libros IJI. .. 33J.

En conclusión de este párrafo detengámonos en las propiedades estruc­ r urulcs de resolución de algunos problemas <le Ja optimización combinato­ ria. En el § 6.3, al analizar el algoritmo «ávido», hemos mostrado que él es correcto, es decir, resuelve correctamente cualquier problema concreto de optimización combinatoria sobre el sistema de conjuntos .y-;- cuando y sólo cuando .s-cs un marroidc, o bien, dicho de otro modo, forma un retículo geométrico (véanse los teoremas 2 del § 6.3 y 60 del § 8.4). Resuíta que tam­ bién muchos otros problemas de oprimización combinatoria poseen pro· piedades estructurales muy Interesantes, Mostremos esto, pero ante todo es­ ruhlczcamos.cl teorema de tiro de Jordan-e-Holdcr rara las funciones sub- 111nd ulures en los rcticulos dlstriluuivos.

Sen K un retículo distributivo con cero O y unidad l. Recordemos que un boolcuno:.>"(S), es decir, un conjunto de iodos los subconjuntos de cierto coniuuto finito S. forma un retículo distriburivo en el que el cero O está

2'>2

representado por un conjunto vacío 0. y la unidad 1, por todo el conjunto S. Una función real 11, definida en 1\, se denomina submodular, si para to· dos los x, yEK se cumple la desigualdad

µ(x) + 1•(Y)~1•(xvy) + ¡t(x/\y).

Si para lodos los x, yEK es válida la igualdad µ(X) + µ(y) == ¡<(xVy) + ¡t(x/\y),

la función ¡1 se denomina modular. Son funciones submodularcs, por ejemplo, las dimensiones de los subcspacios en espacios vccrorialcs y en las geometrías proyectivas, las funciones de rango en los marroidcs y poli. matroidcs [128 .. .132J, la potencia de los subconjuntos u otras. Más aún, las funciones de dimensión de los subcspacios en los espacios vectoriales y en las geometrías proyectivas son funciones modulares.

Supongamos que 1• es 110<1 función submodular sobre un retículo clistri­ butivo K con cero O y unidad I; l., 1111 subrcuculo del retículo K con demen­ to minimal a - y elemento maximal u ', y que

.'/:: \(a;, U;., d 1i=1, 2, ... , 11 - 1 ),

donde a - .. "1, 172, ..• , ª•- i. ª• = u ' es una cadena máxima nrbu rari;1 que en el subrctículo L va <le a" a o " . I;n cada uno de los intervalos de la familia .'.!"definamos, para todo xEla1, a;+¡) y i == 1, 2, ... , JI - l , una función µ;, al poner

¡i,(X) == µ(X) - ¡t(17¡).

Además, si los intervalos \O. a- J y'"+, 1) no son conjuntos vacíos, enton­ ces, pongamos, para xE(O, rr "], ,.-(.\º) == 1•(X), y para xE(17+. I], ¡.¡ + (x) = ¡t(x) - p.(a + ).

Elijamos ahora en l alguna otra cadena máxima que va de a - a a " por ejemplo, a - = u], 17Í, ... , a,:. , , a; = «r , y definamos, para todo xE(a1: oi+ ¡), i = 1, 2 •. , ., 11 - l, una función

¡<1\X) = p.(X) - 11(0¡).

Resulta fácil comprobar que las funciones ¡11 y 1•/, definidas más arriba, son submodularcs.

En virtud del teorema 27, existe una permutación 1 de índices 11. 2, ... , n - 1 J, definida unívocamente, tal que para todo i, i = 1, 2, ... , JI - 1, tiene lugar la correlación {a;, ai ; 1)- (a:(il• ":v, + 1].

Sea 'lf¡; [a1, a¡+ 1]-> [o;1,), a:v) + 11 un isomorfismo natural condicionado por la proyectividad de los intervalos de Ja cadena del retículo. Diremos que para una función submodular 11 sobre K se cumple lo condición(•••), si pa­ ra cualesquiera dos cadenas máximas de o - a a• del subretículo L, a saber: 0- = ª" a2, •.. 1 a,._., a; := o " y a- = ala], , a~_., a~ = a+, se verifi- ca, para todo xE[o1, a;+ i), donde i = I, 2, , 11 - 1, la igualdad

¡t;(x) = ¡1(x) - ¡1(<11) "'¡1(7r,{x)) - µ(";<;¡) = µ;(l)('ll';(x)).

29J

Lln otras palabras, Ju condición (•••) siguillca que Ja definición de una «nueva» función submodular µ1 no depende en cierto sentido de la elección de la cadena máxima en un subretlculo del retículo distributivo K.

Lcm11 11. Sean a, b unos elementos arbitrarios del subrct(culo L, tales que µ(u) + µ(b) = µ(aVb) + µ(al\b), donde u es una función submodular sobre el retículo distributivo K. Entonces, para todo xE{ai\b, aVb] se verifi­ can las desigualdades:

1) µ(x) + ¡<(a) = 1<(xva) + µ(xi\a); 2) µ(x) + 1•(b) = µ(xvb) + µ(xl\b);

3) µ(X/\a) + µ(XllU) o= µ(X) + ¡t(OAb); 4) µ(xVa) + 1<(xvb) = µ(avb) + µ(x);

Drmostracián. Por ser la f1111d1\11 ¡< submodular, tenemos µ(x110) + ¡1(xi\b) ~¡<((xi\O)V(xi\b)) + µ((x/la)A(xAb))

µ(xVa) + µ(XVb)~µ((xva)v(xvb)} + ¡1((xva)A(xvb)).

Por cuanto xE(ai\b, avb), entonces (xlla)V(xl\b) = xi\(avb) = x; (xva)A(xVb) = xv(aAb) e> x (aquí se han aprovechado la propiedad de distributividad de las operaciones reticulares y el hecho de que x~avb, y x~ai\b) y (xl\a)ll(xllb) .,. Xll(tli\b) = ar.l», (xva)v(xvb) "'xV(aVb) = = avb (nqui se han aprovechado las propiedades de asociatividad, conmu­

ratividad e idemporencia de las operaciones reticulares y el hecho de que x ';;: ard), y x~ llVI>). Por consiguiente,

J<(Xl\lt) -l· ¡1(Xi\Ú) ';;:¡•(X) + ¡t(lli\l> ), ¡1(XV11} ~- ¡1(xV'1) ~1<(t7Vb) -} µ(x).

Adcm:\s, por ser submcdular ¡•, rcncmos: ¡1(x) + ¡<(a)~p(xVn) + ¡<(Xi\u) ¡•(X)+ µ(b)~µ(xvb) + ¡c(xllb).

Sumemos las últimas cuatro desigualdades y obtendremos µ(ll) + µ(b)~11(aVb) + µ(aAb),

pero, por hipótesis del lema, µ(a) + µ(b) "' µ(aVb) + 1•(ai\b). Por consi­ guiente, en todas las cuatro desigualdades los segundos miembros son iguales a los primeros. Bl lema está demostrado.

Leruu 12. Sea L un subrctículo del retículo distriburivo finito L, tal que para iodos los a. llEL se verifica la igualdad

¡<(ll) ·I ¡<(fl) ..: ¡c(11V/J) -I /<(UA/J).

entonces, para todo par de intervalos proyectivos (a, a') y (b, b'J, don­ de u, a', b, b 'EL, y para cada xE(a, a'] resuha válida la igualdad ¡t(x) -

294

- ¡1("°(x)) = ¡t(rr) - 11((>) ""' 11(11 ') - ¡1(/1 'l, donde 1f ('S un isomnrfism« na· toral de fa, a'I en lh. b'I condicionado por la proycctividad de los intervalos.

Demostracián. Si demostrarnos la validez del lema para los intervalo' transpuestos, entonces, en virtud de 1<1 definición de intervalos proyectivos. el lema será válido también para cualquier p;ir de iurcrvnios. Por eso, de­ mostremos el lema para los intervalos transpuestos. Sea a, llEL. En virtud del teorema 26, Ja aplicación op(x) = xr.o = y, definida para todo xE(b. oVb], prefija una aplicación isomorfa del intervalo \(1, oVb} en [!11\/J, 11). De­ bido a Ja igualdad 3), del lema 11 tenemos, para tocio xE(/1, uvb]:

µ(Ol\/J) + µ(X) = ¡t(XM) + ¡1(.'(/\/J) ,.. µ(<p(X)) + ¡.1{/J).

De aquí, µ(x) - µ('P(x)) = ¡1(b) - 11(al\b} = ¡1(avb) - ¡1(0). De este modo, el lema es lícito para cualesquiera intervalos transpuestos [b. aVlll y (aA/J. a). Con ello queda demostrado el lema.

Directamente del lema 12 y del teorema 27 obtcncnu« el ~i¡:11ktlll' rcxul­ tado importante.

Teorema 46 (del tipo di! .lorr/011--1/tilth:r pura /1111no11es sulnnottulmvs sobre 11n reticuto dtstrtbuttvcñ. Sea l. un subrcuculo del retículo di~I rib111 ivo finito K, y seaµ. una función submodular sobre K. l..a condición (•••) par:t la función subrnodular µ tiene lugar cuando y sólo c11:111do para todos los o, bEL $C verifica la igualdad

¡<(a) + µ(IJ) = ¡1(11/\/1) ~ ¡i(oV/J)

El subrctículo L del retlculo distributivo K se denomina 11-csquefl'fo •. ~i la función submodular ¡<, definida sobre K, es modular en L, es decir, si para todos los o, bEL se cumple la igualdad

¡t(O) + ¡t(h) = ¡1(11Vh) ·I· ¡1(11/\b),

De este modo, el leo rema 46 arir111a que lu.coudicióu ( ... )para \111'1 Iun­ ción submoduiar ¡1 se cumple cuando y sólo ~11a1Hlo d suhrcriculu l. es u11 wesquelelo.

Supongamos que Ses un conjunto l'iuito; ¡•, una Iunción submodular definida sobre :?°(S); t., 1111 ¡1-csq11clc10 del booleano :1''(S}; (S-, 1F1 FE.'r 1. S • ), una partición del conjunto S (véase el corolario 2) que no depende de la elección de la cadena máxima des- "S - S" en el subrctículo L, donde S - es el elemento minimal, y S - S • , el elemento rnaxirnal del subrctículo L. Entonces, en virtud del teorema 46, cada cadena máximas- = 11,, A2, ... , A._ 1, A. = S - S • en L prefija un mismo conjunto f 1• - , ( ,, F 1 PE.'/l, µ • 1 de funciones submodularcs, donde

µ-(X)= i•<X) para xs;;s-: MF(X) = ¡i(X\J11;) - ¡1(11,) rara x~11 •• , - 11, =FE'/: donde

i"' l. .... n - \; J' •(X)= µ(XU(S - s' )) - 1,(s · s•) para xc.;s ",

2<JS

l>c uqul llegamos al siguiente Coro/arfo 6. Seaµ una función submodular sobre el booleano Y(S). Si

Les un wesqueleto, entonces la familia {µ - , {µ111 FEY.l, µ"')de funciones subrnodulares no depende de la elección de las cadenas máximas en el subreuculo L.

Las propiedades de los µ-esqueletos de retículos distributivos se exami­ nan en (l28J. No vamos a detenernos en ellas y pasemos al análisis de los problemas de optimización combinatoria enunciados en términos de mini­ mización de la f11nci611 submodular 11 sobre el retículo distributivo K:

µ(X) = L.: C¡µ¡(X), ,.,., dnndc ¡1,(x) es una (unción submodular sobre el retículo distributivo K, y 1·,, \llll•~ coeficientes reales pus11ivu.~. í .:,; l, 2, ... , 111.

Pro1iosición l. Sea 111in [ µ(x) 1 xEK j = w, µ(y,) = µ(J>i) "' w. Entonces, ¡1(y1 V .Y2) ~ µ(y1 l\Y2) "' w.

"' Demostracián. Tenemos 2w = µ,(yi) + µ(yi) = L; C;µ1(y1)+ L.: c;µ;{y2)= m l• 1 ¡,.,..¡

= L; c;(µ1(y1) + µ,(y2)) ~ (por ser las funciones u¡ submodulares) ~ ¡.,,, M m

~ 2:: q{µ,CJ'IVYi) + µ1(y1Ay2)) = L; '11•;ú'iVY2) + L: c,µ;(.Y11\J2) = µ(y,vyi) + , ~ 1 ¡:;; l '~ 1

+ ¡•(Y1AJ'1) ~ (puesto que w es el valor mínimo de µ(x)) ~ w + w = 2w. Por C'UHn(O 1•CY1 VJ12) + µ(y,/\)'2) = 211~ 1•(Y1 Vyz) ~ w, y µ(yi, .Y2) ~ IY, en­

ronces, µ()'1VY2) = 1•()'11\.Yz) = rv, De la desigualdad

m 2..: 1·,(¡1,(yi) + ¡11(y~)) = L.; 1·,(¡i1(y1 Vyz) + µ;(y1 Ay2)),

p:: 1 1~1

tenernos (en virtud de que para todo i = 1, 2, ...• m, los coeficientes c¡» O): µ;(y1) + µ1CY2) = µ;(y, V y2) + 1•1CY11\)12).

Llegamos, pues, al Corolario 7. Una familia L de todos los elementos del retículo distribu­

tivo K, sobre los cuales la función submodular ¡.(x} alcanza su valor míni­ mo, forma un µ-esqueleto del retículo K. Más aún, el subrctículo L es tarn­ bién µ;-esqueleto del retículo K para todo i = J, 2, ... , m.

El (µ1, ... , µ.,)-esquele10 L del rcrícuío K obtenido, depende, evidente­ mente, no sólo de las funciones submodularcs µ1, sino también de los coefi­ cientes positivos c.. Por eso, el esqueleto L del retículo K se denotará rarn­ hiéu cun /.(c1, ... , 1¡.,), subrayando su dependencia de c1, ~ •••• , e, •.

1 is obvio que p<1ra t odo ).. >O tc11c1110~ Ia ígnal<.lad L(>.c,, >.c2, ... , >.e,,,) = L(c1, ci. ••.. , e,,.).

Veamos u11 símplice (m - 1 )-dimc:nsional S'" - 1 ( 124], e11 el cual cada 296

punto tiene las coordenadas e~ ~ , ... , ~) , donde Co = C1 + ... Co Cu Co

+ c«. Entonces, el esqueleto L del retículo K puede considerarse como fun­ ción en el símplice S'" - 1 con valores en la familia de todos los subretículos del retículo distributivo K. Observemos que en este caso el conjunto de pun­ tos en S"' - 1, a los cuales corresponde un retículo fijo del retículo K, forma un poliedro convexo (124). Además, si los poliedros, correspondientes a los esqueletos L1 y L1, tienen una arista común en S" - 1, entonces el subretícu­ lo generado por los elementos de L1UL2 es el esqueleto del retículo K corres­ pondiente a dicha arista común. Así pues, el strnpllce (m - 1)-dimensional S'"- 1 está dotado de la estructura del complejo poliédrico.

Si algunas de las funciones submodulares µ.¡_(x) son monótonas, la estructura del complejo potiédríco puede caracterizarse de un modo aún más detallado.

En efecto, supongamos que µ.1, /42, ••• , µ.p son funciones submodulares no decrecientes, y µ.p + i. ¡•p. 2, ••• , µ.q, funciones subrnodulares no crecien­ tes sobre un retículo distributivo K. Veamos dos vértices (es decir, aristas O-dimensionales) del complejo, cuyas coordenadas (c1, "1, •.. , e,,.) y (e{, cí, •.• , e,;.) son de tal género que

C;~c,'

C;"c,' <t=c{

pura i = J, 2, , p; parn 1 = p + l, , q; pura i = q + J, , m.

Sea w = mín [ ~ c,¡1,(X) 1 xE KJ, y w' = mín [ f: c1p1(x) 1 xEKJ . Je 1 /• J

Proposición 2. Si yEL(c1, ... , c..,) e y' El(cí, ... , e,;,), entonces y Ay' E l.(<:1' ...• c.,,), yVy' E l(cí, ...• e,:.)

y para todo i, i = 1, ... , m, se verifican las igualdades µ.1(y) +µ,(y')= µ,(yVy') + ¡t¡(yAy').

Demostración. SiyEL(c,, ... , e,,,) ey'El(cí, ... , e,;,), entonces 111 rn l:;c1µ,(y) ~ w y L;c,¡.,(y') = w'.

1~1 1~t

m "' P Por consiguiente, w + w' = ¿; c,µ;(y) + ¿; C'1p1(y')"' ¿;!(e; - c0µ.1(y)+

11 ¡ .... ¡ i• L l• l m + c;{µ1(y) +µ;(y'))) -t- L; [c;(µ.;(y) + µ;(y'))+ (c/-c;)µ¡(y')I + L;

, ,J,, .. l ' .. q 1'" l

" c1(µ,(y) + µ.1(y'));;¡,(por ser subrnodulares las funciones µr(x));;¡: L; [(e, - '1 , _ 1

-c¡)µ¡(y) + c)(µ¡(yVy') + µ¡(yAy')} + ¿; (c¡(µ.¡(yVy') +µ.;()'Ay'))+ m l•P-+ t

+(e/- c,)µ;(y')] + L; c,(µ,(yvy') + µ;(yAy')} =(sumemos y reste- ;e,1"'1

297

V

mos de las sumas obtenidas I; <'1J11(1•1\y') y ,_, q

L; c1íu(yVy' )) = /"""'JI+ 1 m m 11

" ¿; C¡µ;(y 1\ Y') + ¿; C;Í<;Ú' V Y') + ):; l(C; - {',')¡1;ú•) + C1Íi1(yl\y') - i= 1 ,_ 1 , _ 1

q

- ''IJ•;(y 1\ y')] + L; [(e,' - e, )1,,(y') + c111;(y v y') - c;í11(y v y' )J >= i .. ,, ... L

m m p

= L: <W1ú1 1\ y') + L: c;'µ¡(y v y') + 2:; (c1 - c;)(¡11(y) - µ;(y !\ y')) + i• I i• I i= 1

q

+ L: (e/- c;)(µ1(y') - µ1(yVy');;:.(en virtud de que para i = 1, 2, ... i~p+'

... , p se verifican las desigualdades e; - c(';!tO. y ¡11(y) - 1•1{yl\y')';!tO, puesto que µ1 es una función submodular no decreciente e y;::yl\y' en el retículo K; y para i = p + J, .••• Q se verifican las desigualdades <'( - C; ;;?-0, y µi(.y') - 111(yvy ');;:.O, puesto que I'' son funciones submo­ dulares no crecientes e y' !{,yVy' en el retículo K, y, por consigucnte, en vir­ tud de que la segunda y tercera sumas en la última expresión son no ne-

'" ttJ gativas) ';it ¿; c;¡11(yl\y') + 2: c;í•;(yvy' ),;;¡. w + w', puesto que w =

',.1 i-d

= mín [ i; C;¡.t¡(X) 1 xEKJ '/ w' = mln [ I;,,í,;(X) 1 XEKJ. ' ... J , ; 1

De aquí, por cuanto las expresiones primera y última son iguales, tenemos '" "' Í:Ciµ1(yl\y') + L:c;íu()'Vy')" IV+ w'. 1-1 ¡. 1

Por consiguiente, puesto que

IV = min) ~ C1¡.t1(x) 1 XE K} y w' .. mhJ '~ C1Í<1(X) 1 XE K] . ~-1 m l1-· I

llegamos a que 2:c1µ1(yl\y') = w, y .L:cú1;(yVy') = w'. De este modo, ,_ l , .. 1

hemos establecido queyl\y' EL(c,, ... , e,,,) e yv y 'EL(c{, ... , e,;,). Además, queda demostrado que

nr m m "' ¿; C1µ1(y) + ¿; c,µ,(y ') ,... ¿; C;µ;(yl\y,) + ¿; c/¡¡¡(yVy.) I • 1 i• J /• I i-s 1

y también p q

2:c;(¡•1(J') + µ1(y')) + .L: c1(µ1(y) + NV')) + L: c;{µ1(y) + I•) l•p+l loq+t

q .L: C¡ (µ;(yV )'') +

p

+¡<;(y')),... .L; C;(µ¡(yVy') + ¡¡¡(yl\y')) + l•I

'" + µ¡(y/\.y')) + 2:; f¡¡11(yVy') + ¡1()'1\y')). l•tt..t· I

298

'lcnicndo presente la úl1i11111. igualdad, la submodularidad de las funciones µ1(X) y el hecho de que e·;> O, et» O, llegamos a que para todos los i, i = 1, 2, .... 111 son válidas las igualdades

¡11()') i ¡1,(.Y') = ¡¡¡(.YVy') + µ;(.Yl\y').

La proposición está demostrada. Directamente de la proposición 2 se deduce el Corolario 8. El conjunto L(ci. ... , c,,.)UL(ct, ... , e,;,) constituye un(µ,,

... , ¡1,,,)-esquclcto del retículo K. Al demostrar la proposición 2. se ha csrablecido que

,. ~(e, - l',)1¡1.(y) - µ,(y/\)'' )1 = O,

1. 1 ., L.: (e,'- c;}[¡t;(y') - ¡1;(yVy')) "'0.

, .. ,, .. 1

De aquí, en virtud de que para todo i, i = 1, 2, ... ,p, C1~c(y µ¡son fun­ ciones submodularcs no uccrccicntcs y de que para todo i, i = p + 1, •.. , q, C; ~ cí y µ; son funciones submodulares no crecientes, tenemos

(e; - c¡/(11,(,1') - ¡1;(.Yl\y ') para i = l, 2, , p, (e/- c;)(¡1;(y') -11;(.YVy')) para i = p + I, , q.

Si para i = 1, 2, ... , fJ ponemos e> et. obtendremos que ¡i;(y) = µ;(yl\y'). /\nált1ga111c111c, si para i = p + l, ... , q ponemos ctz-c; resultará que ¡1;(y') = 11,(yVy '). De este modo, para i = J, 2, . · .. , p, si c,» c¡'y ¡11 son l'uucicncs ~11h1no<l11larcs cstr ictnmcnte decrecientes, rcnemos y= rr-:', y nara i = fJ I· I, ... , q, si ,·/>e, y ¡<1 son funciones submodula­ res csuiciamcntc crecientes, entonces y' = yvy•. En otras palabras, esto quiere decir que todos los elementos del esqueleto L(c1, •..• e,,.) son infe­ riores o iguales a los ctcrncuros del esqueleto L(c{, ... , e,;,) respecto del or­ den del retículo K.

Así pues, la proposición 2 y el corolario 8 permiten obtener, a partir de las soluciones ya conocidas ele dos diferentes problemas de optimización, nuevas soluciones para cada uno de los mismos. Si µ1(x) son funciones sub­ modulares en el booleano . .t'(S), el conjunto ele soluciones del problema ele

"' minimización de la f1111ció11 ¡1(x) = ¿; c;¡1;(x), donde c,» O, forma un sub re- , _ J

ticulo L del booleano ::i"(S) (corolario 7). Coda cadena máxima que une los elementos minirnal y 111;1~i111al de l, prefija las particiones del conjunto S (corolario 2) y de l;1 f\lrn:ió11 suhmodular µ(x) (corolario 6), las cuales no dependen de la elección de la cadena máxima. Esto resulta ser útil <11 resol­ ver problemas prácticos (véanse [128 .. 132 y 1361).

299

8.3. FUNCIONES DE INCIDENCIA E INVEHSIÚN DF. MOElllUS.

Sea P un conjunto parcialmente ordenado y locahncmc finito y sea K, un campo de característica O (comúnmente, el crunpo de números reales). Estudiemos la clase A (P) de funcioucs f(:<, y) que 10111:111 valores en el cam­ po K y que están definidas para todos los x, yEf'. Exijamos quef(x, y)= O, si no se cumple la condición x ~y. La suma de tales dos funciones, CO!llO también Ja multiplicación por los escalares, se definirán del modo siguiente:

(/ + g)(x, y) = .f(x, y) + g(.\~ y);

(u·f)(x, y) = cr-f(.\~ y);

y el producto (o convolución) r-«. del modo siguicn:«:

(f •g)(x, Y) = ¿; f(x, Z)K(Z. y). t .. r-$: s.•·

El producto citado está definido corrccramcutc, pucxro q11c por ser el con· junto P localmente fi11i10, el número ele wmamlos c11 el segundo niicmbrc es finito y (/•g)(x, y) = O cnda vez que xf0'.

Un conjunto A{P) con operaciones de adición. uurluplicución (o convo­ lución) y multiplicación por escalares recibe el nombre de álgebra de inci­ dencia del conjunto parcialmente 01 dcnado P sobre 1\, mientras que los ele· mentes de dicho conjunto se llaman funciones de incidencia del conjunto P.

No es clifícul notar que la muhiplicación de las funciones de incidencia es asociativa y distributiva, mientras que de elemento neutro con relación a la multiplicación (convolución) sirve la función de Kroncckcr (o función delta):

Ó( ) = [ 1, .~j X ee y; .r, y O, en el caso contrario.

Demostremos, por ejemplo, que la opcrncióu de mult iplicación (convolu­ ción) es asociativa. Sea f. g, hEA (/'). Entonces,

(f•(g•h))= 2:: f(x, z)(g•/J)(z. Y)= L: /(x . z) ( L: x(z. r)h(r. y~= z:xsz.:t.y ::r:<;t:<y t.z s r s » ~

= L: ( 2:: /(x, z)g(z, 1~ fl(t, y) = L: (f•g)(x, t)h(t, y) = r:1$(Sy t:X:$t$)' ') 1.~x:(.IS,)'

= ((f •g)•h)(x, y).

En vista de las observaciones citadas, se ve que el álgebra de incidencia es realmente un álgebra asociativa sobre el campo X. Además, A (P) es conmu­ tativa cuando y sólo cuando el conjunto parcialmente ordenado P es una anticadcna, es decir, cuando dicho conjunto está ordenado de un modo trivial.

Teorema 47. Una función de incidencia/en A(P) tiene funciones invcr-

300

sas tanto izquierda, 0:011111 derecha, cuando y sólo cuando f(x, x) ;1' O para todo xEP. Más aún, las funciones inversas derecha e izquierda coinciden.

Demos/roción. Sea

¿; f(x, i)g(i:. y} = 5(x, y). t:Z$ ($)1

Por cuanto 1 = 6(x. x) = j(x, x)g(x. x) para todo x de P, la condición/(x, x) ;>!O para todo xEP será, evidentemente, necesaria.

Viceversa, sea /(x. x) ;>! O para todo xEP. Entonces, g(x, x) = !(;, x)

para todo xEP. Hallemos, ahora, g(x, y) para x c.y, Supongamos, sin restringir la generalidadde los razonamientos, que ya tenemos los valores de g(:r. y) para todos los z tales que x < z ~y. Para x<y tenemos

(/•g)(x, y) ... h(x, y) = O = }":; f(x, z)g(:r. y),

y, por consiguiente, - f(x, x)c(x, y) = ¿; f(x, z)c(z y).

~ ..... < t '$)'

De aquí podemos hallar g(x, y}, puesto que/(x. x) ;JI! O, y todos los suman· dos de la suma finita en el segundo miembro de la última igualdad son co­ nocidos. Así pues, no sólo hemos demostrado que f tiene función inversa derecha, sino que obtuvimos también la fórmula recurrente para su cálculo.

Análogamente, de la relación (g •f)(x, y) = li(x, y) obtenemos la fórmula recurrente para determinar la función inversa izquierda para/.

Supongamos ahora que ¡:, y g1 son funciones inversas para f de A (P), derecha e izquierda, respectivamente, es decir,/ •g1 .. gi•f = o. Por ser aso­ ciativa Ja multiplicación de las fu11cio11cs de incidencia, gi = g1•6 = - K2•(/•g1) = (g2•f)•g1 = o•g1 = g1,es decir, las funciones inversas izquier­ da y derecha coinciden. La demostración queda terminada.

Una función, inversa de f. se denotará con ]":", Introduzcamos, ade­ más, las siguientes designaciones: ..f = ó, r =L J2 = f •J. F .. J•.f, ... , r =!·/'-', ... v r: = <F')k.

Además de la función ele Kroncckcr 6(x, y), ya analizada, se destacan u menudo, entre otras funciones de incidencia en A (P), las siguientes:

zeta-función r(x, ) = [1• si x~y; . Y O, en el caso contrario;

lambda-función }.(.\',y)= (1, si x =y, o bien y.cubre x; l O. en el caso contrario; fu11.:ió11 de cadenas (eta-función)

>1( v, y) ~ r<x. y) - ó(x. y); función de recubrimiento (kappa-función)

)((X, y) = >.(x. y) - O(X, y); 301

función de Mocbius (111y-f1111ción) ¡1(x. y) = f- 1(x, y);

función de longitud (rho-Iuución) e(x, y) = ltx, y), donde /(x, y) es la longitud del intervalo [x. yJ en P.

Las razones, por las que se destacan dichas funciones y sus denominaciones se harán claras, si estudiamos las propiedades de escas funciones de inciden­ cia. La delinición de la función de Moebius 11(x. y), corno función inversa de Ja zcta-funclon t(x, y) de A (P) es correcta. En cícero, t(x, x) = 1 ;.! O para todo xEP. Por eso, en virtud del teorema 47, 1 tiene su inversa µ. la cual es para 1 tanto la inversa izquierda, como la derecha. Más <1ú11, en vir­ tud del teorema 47, la función <le Moebius ¡t(X, y) del conjunto finito local parcialmente ordenado P puede ser calculada pura x, yEI' fijos, tales que x-cy de un modo recurrente con ayuda de las fórmulas

¡¡(X, y) = - Í:: ¡i(X, Z) .: - ¿: ¡1(:¡;, y) (I}

tomándose en consideración lns condiciones tic que ¡t(X, x) = para cual­ quier xEP.

Sea /H un conjunto parcialmente ordenado. dual respecto a P. Enton­ ces, si 1(x, y)EA (P), y t•(x, y)Ell (J>•), tendremos ,;-•(x, y) = 1(x, y) para cualesquiera x, y de P. Es evidente que las igualdades análogas tienen lugar para las lambda-funciones, las funciones ele Kroncckcr, de cadenas. de re· cubrimiento y de longitud; además, en virtud elcl teorema 47 y la propiedad análoga de Ja zeta-función, también son válidas para las funciones de Moe­ bius. De este modo, las funciones de incidencia mencionadas no cambian, si en lugar de P examinamos p+.

Para comprender mejor el sentido de las definiciones introducidas, ana­ licemos las representaciones mal riciales de lns Iuncioncs de incidencia. Con este fin prolonguemos al principio 1:1 relación {le orden parcial ~ sobre el conjunto ordenado y localmente firuto P, hasta que se obtenga una relación de orden < , que convierte P en un conjunto bien ordenado (esto es siempre realizable en virtud del teorema 4), Juego hagamos uso del conjunto bien ordenado para marcar con índices los elementos del conjunto P. Resultará en este caso que si x, ~xn, entonces a< (J. Ahora, a coda función de inci­ dencia /(x, y) de A(P) se le hace corresponder una matriz: F = llf.,11U con elementos del campo K, en la cual las filas y las columnas cstan concorda­ das con los índices del conjunto I', a saber, Ion = n»; x11}. Hablando en general, Ja matriz obtenida puede ser también de orden infinito. En el caso de un conjunto finito parcialmente ordenado P las matrices de funciones de incidencia serán de orden 1 P 1 • mientras que como conjunto de indices en este caso pueden elegirse los números naturales de J a 1 P 1 (véase teore­ ma 2).

La matriz de las funciones de incidenciaf(x, y)EA(l'), obtenida de este modo, es, obviamente, una matriz triangular superior, es decir, en Ja que de­ bajo de la diagonal principal solamente hay ceros. 302

Veamos unos cuantos ejemplos. Sea Z una matriz de la zeta-función de A (P). Si P = .'?' (S), donde S = ( a, b, e). entonces

0 a b e ab be acabe 1 1 l 1 1 1 1 1 0 o 1 o o 1 o 1 1 a o o 1 o 1 l o 1 b

Z= o o o 1 o 1 1 1 e o o o o 1 o o 1 ab o o o o o l o 1 be o o o o o o 1 1 ae o o o o o o o 1 abe

Si P es una cadena do 5 :l~m(fl '~Ti) Si p es una anticadena ·~ : '(Tr~ Tr)"

o o o o 1

Sean F,,. Df.,trd y G = W>: .. 1,n matrices de las funciones de incidencia/y g de A (P}, respectivamente. de cuyos índices sirven los elementos del conjun­ to bien ordenado (P. < ). Entonces, si h(x. y) = f(x, y) + g(x. y), t(x, y) = = a-ft», y) y p(x. y) = (f•g)(x. y), tendremos fl = F + G, T = a-F, y P = F·G. Las primeras dos igualdades son evidentes. Comprobemos que P = F·G, es decir, P .. 11 = 'f,!,,Yg)b· Efectivamente, ..,

LJ',...,g,,n = LJ'(x.,, x,,)g(x.,., Xi!) = L f(x,,, XJ)g(x¡, XtJ) = -y y j:a(J(ft

= (aprovechemos el hecho de que, para -y< a, /(x ... x.,.) "" O, y, para

fJ <-y, st»; xp) = O) = ~ f(x,., x))g(x..,. XtJ) .,. p(x,., XtJ) = p.,fl. z\'..T. 'S z, :s. x.

De aquí, si Pes un conjunto finito parcialmente ordenado, A (P) puede considerarse como una subalacbra del álgebra de todas las matrices triangu­ lares superiores de orden 1 P j . Las representaciones matriciales facilitan considerablemente el estudio de los conjuntos parcialmente ordenados y In comprensión de la esencia de introducción de las álgebras de incidencia sobre ellos.

303

Inmediatamente de las definiciones de las funciones de incidencia se de­ ducen las siguientes identidades:

a)f=f•I) = ó•f; b) bk = ók-l = ... = ó, . . e) tn(x, y) = 2..:: C? 'l1(X, y); •¡"(x, y) = I:< - 1 )" _, CJ t'(x, y);

,_o i=t)

d) >."(x. y) = t C? x1(.).~ y); xn(x. y) = t< - , r · t) >-'(x. y); , _o , _o

e) (x•t)(x, y) = al número de todos los átomos en el intervalo ((x, y)] de P. f) (t•,,)(x, y) = al número de todos los coátomos en el intervalo [x, y} de P.

Para obtener las identidades e) y d) hace fnlta servirse también del binomio de Newton:

• (o+ b)" = ~C')n"-;11'.

1- o Comprobemos la validez de In identidad e). 'tenemos (x•t)(x, y) =

L; x(x. z)t(z. y) = (por cuanto x(x, z) ~ O sólo cuando x-< z) = ur s x s:»

.L; x(x, z)r(z, y) = (puesto que f(z. y) = 1 para todo z~y) =

L; x(x, z), Pero si x(x, e) ?! O, entonces x(x, z) = l. La identidad .t.'.("-<tS)'

e) queda demostrada. la identidad 1) se obtiene de e) de un modo dual. Además,

.f(x, y)= (/+f)(x, y) = L; /(x, <1)/(z1, y);

/'(x, y) = (/•f)(x, y) = (/•(/•/))(x. y) = = L; f(x, <1) ( L; /(1.1. Zi.l/(z2. y))

t.: .. $,, :r., t.·t. !( ,, '!!.)'

= L;J(x, z1lf(z1, z1)/(z2. y).

Ahora, por inducción obtenemos la identidad g) /'(x, y) = L: f(x. z1l!(z1. z2) .. .f(7.k- 1. y).

Directamente de g) y de las definiciones de las funciones de incidencia f, 'lo X del conjunto parcialmente Ordenado y localmente finito p obtene­ mos las identidades:

h) ,l(x, y) = al número de todas las cadenas de longitud k entre x e y en P (puesto que 'l(x, z1)i¡(z1, 7.2) ... l){k- 1, y) = 1 cuando y sólo cuando x<z1 <z2 < ... < Zt- 1 <y);

304

i) xk(x, y) = al número de tocias las cadenas máximas <le longitud k entre X e y en P (puesto que x(x, z1 )N(Z1, z1) , •• x(..:~ _ 1. y) = 1 cuando y sólo cuando x-<z1-<z2-< ... Z•-1-<Y );

j) t2(x. y) = 1 [x, y) 1 (puesto que t(x. z)t(z. y) "' 1 cuando y sólo cuando x ~ z ~y).

Introduzcamos las designaciones especiales para algunos elementos más del álgebra de incidencia A (P). Sea x, y, 11, uEP. Pongamos

( ) [l, SÍ U = V = X,

e, u, u = O, en el caso contrario;

6 (u u) = [I, si u = x, u= y, '·l ' O, en el caso contrario.

Ejercicios. Sea /EA(P). Demuéstrese q11e

l. Si g = 6,,,.•J. entonces ;;(11, u) ª (º· si 11 ;o! _x, f(u, u), s1 11 = x.

u) ,,. fo, si 11 ?! w; l/(11. z), si u = w 2. Si g ""/•6,,w, entonces g(u,

3. Si g = óxy•f •6,, ... entonces g(11, v) = fo, si 11 ~ x Y v ;>! "'· V<Y, z), s1 11 = x y u == w.

Es evidente que ó •ó = [Ó,,y, si Y = u; s, r "· • O, .~i y ~ 11.

Observemos que e, = b,. x- De aquí, e~ = e,, es decir, e, son idcmpotcn­ tes en A(P).

Haciendo uso de las luncioncs introducidns, podemos escribir

¡.. ¿:; j(x, y)hr, .•·· s.J'El':rsy

Esta igualdad puede entenderse de tal manera, que para todos los 11, ue P se tiene

/(11, u) = l.; f(x, y)Ór. y(11, 11) .Y.)•,P:x:<)' .

(cualesquiera que sean 11 y 11, la suma en el segundo miembro contiene un solo sumando no nulo). Mostremos que e,•f•e,. = f(x, y)6r. r- En efecto,

Cx• I; /(11, v)Óu,.•Cy = I; f(11, 11)6,,,•6,,,.•Óy,)' = f(x, y)ó,,,.. 11.etE.P;u .:C" "•UE)>-,11 $U

Recordemos algunos resultados y definiciones que nos harán falta a continuación, Se denomina ideal derecho a un subgrupo l del grupo aditivo de un anillo R si, junto con cualquier elemento nEI y cualquier xER, el ele­ mento ax también está contenido en I, Si, en las mismas condiciones. xa

305 211--(1,rd.l

se contiene en l, entonces l recibe d nombre de ideal izquierdo. El subcon­ junto 1 del anillo R, que es ideal izquierdo y derecho simultáneamente, se denomina ideal biluterul. Un elemento x del anillo Res casi regular a la de­ recha, si existe un elemento yER tal que x +y - xy.,. O. Cabe notar que en un anillo con la unidad 1 el elemento x es casi regular a la derecha cuan­ do y sólo cuando 1 - x es invertible a la derecha. Efectivamente, x + y - - xy = Oe> 1 - (x +y - xy) = 1 ~(I - x)(I -y)= l. Un ideal derecho será casi regular, si todos los elementos suyos son casi regulares a la derecha. Se llama radical de Jacobson del anillo R (se denota rad R) al ideal maximal derecho casi regular del anillo R. El radical de Jacobson del anillo Res un ideal bilateral. En el anillo R con In unidad 1 el elemento xErad R cuando y sólo cuando para todos los a, bER el elemento 1 - axb es invertible {137].

Ejercicio 4. Demuéstrese que un idcrnpotentc casi regular a la derecha de cualquier anillo es igual a cero.

Proposición 3. El radical de Jacobson de un álgebra de incidencia A(P) del conjunto parcialmente ordenado y localmente finito P sobre el campo K contiene todas las funciones/EA(P) tales que/(x, x) =O para todo xEP.

Demostración. El elemento/EA(P) es casi regular cuando y sólo cuando 1 - fes invertible en A(P). En virtud del teorema 47, el elemento 1 - fes

invertible cuando y sólo cuando para todos los xEP tiene lugar (1 - /)(x, x) ;-! O, o bien f(x, x) ~ l. El álgebra de incidencia es un anillo con la uni­ dad 1 (la función delta es un elemento unidad). Por cso,/EradA(P) en aquel y sólo en aquel caso cuando para iodos los g, llEA(P) el elemento 1 - g"f•h es invertible, o bien, que es lo mismo, g•f•h es casi regular. En particular, para g = h = e, tenemos e,•f<e, e f(x, x)e,Erad A(P). De aquí, para todo xE P, f(x, x) "" O, puesto que en el radical no hay idcmpoterucs, salvo O (vé­ ase ejercicio 4). La proposición cst:\ dcrnosrrnda.

Observemos que las álgebras de incidencia de dos conjuntos parcialmen­ lc ordenados son isomorfas como anillos, cuando y sólo cuando son iso­ morfos los propios conjuntos parcialmenre ordenados. En una dirección es­ ta afirmación es evidente. Dernostrémosla en la otra dirección.

Teorérna 48 (Stanley). Sean P y Q los conjuntos parcialmente ordenados y localmente finitos, y sea K un campo. Entonces, del isomorfismo de las álgebras de incidencia A11(P) y A.o;(Q) se desprende que P y Q son isomorfos como conjuntos parcialmente ordenados.

Demostracián. Demostremos cómo se puede restablecer unívocamente el conjunto parcialmente ordenado P, a partir del anillo A(P). Al factorizar .it(P) según el conjunto de elementos de la forma l::>-.r.1ó,,,. = radA(P),

x<y

obtendremos D,.,,ó,·.• + rad A (P). X

De este mudo, los elementos A (l')/ratlA (P) tienen por expresión J =~>...,.,e,. Una aplicación 'f': ~>.,e,.-(>,,),<P es un isomorfismo A(P) =

.xEP .1(P

= 1l(P)/radA(P)-Il Kx (producto directo de ejemplares del campo K = UP

306

= K,, por uno para cada x de !'). /\sí pues, A (P)/rad A (P) a: l"f K .• y se \(I'

genera por los idernporcntcs I!, que son ortogonales (e. ·e,. = O para x ;! y) y mínimos (es decir, son mínimos los ideales izquierdos generados por el­ los). Demostremos que otros idcrnpotcntes mínimos b A(P) no existen. Enel producto Il K, e,. = (0, ... 1 ... 0). Si r·ex"' (O ... >.. •.• O) es un

xEP potente, entonces ), 2 = >.. De aquí, >.. "" O 6 a l. El ideal generado por e,, tie­ ne Ja forma (O ••. >-. ••• O). Por consiguiente, el. ju ego de e, se define unívoca­ mente por el álgebra A (P), puesto que si dos álgebras de incidencia A (P) y A(Q) son isomorfas, en las álgebras A(P) y A(Q) los idempotentcs mínimos corresponden uno al otro.

Sea un conjunto h de idcmpotcntes mínimos a la derecha y a la izquier­ da en A (P) tales que],. = e, .. Introduzcamos en el conjunto fx un orden, su­ ,Poniendo que /, !!J,., cuando y sólo cuando f,,•A (P)•J,. ;.e. O. El teorema quedará demostrado, si mostramos quc.fx~J,. cuando y sólo cuando x~y. Tenemos: /, = e, + ¿; )l,,,,.ó,..... & f;kil mostrar que 11 ~x ~

~u, de lo contrario no tendremos el mínimo. En efecto, dc.fx podemos ob­ tener e,•f,. (multiplicando a Ja izquierda), mientras que de c,.•f,, (si u~x) no se puede obtener j'y. Por consiguiente, el ideal izquierdo j, no es mínimo. Así pues, u ~x. De un modo análogo se demuestra que u ;;;.x, cualquiera que sea v (siempre que "··· ?! O).

Sea x~y. Mostremos que en este caso fx•A (P)•J,. ;! O. Con este fin bas- ta comprobar que f,•ó,,,.•J,. ;o! O. Efectivamente, f,.•ó,,,.•J,. ~ (e, +

¿; >..u,..Óu,.) •ó,,,.. (e,. + ¿; µ.,,,0,,1) = c,•o,,y•e,. + ... "' 6,,,. + ... ) ;<! M'S.t:'.<U 15)''$1

u<" $<f ;itM,,y. Por cuanto 6,.>. puede obtenerse después de abrir los paréntesis de un solo modo: c,•ó,,,..~ .... este s11111a11do 110 puede reducirse junio .:1111 los otros. Por eso, el segundo nucmbro no es igual a O.

Sea x~ y. Mostremos que en este caso f,,•A (P)•J,., donde /, = :E >-.,,,...S ••• y J,. = :E 1•,,10,,1• Con este fin basta demostrar que para to-

"~.r!f.J' S$)'Sl

dos los p, q tiene lugar la relación /,•ó1,,q•J,. "' O, puesto que todo elemento fEA(P) puede ser representado en la forma :E Ap,ql>p,q. Scah•'>.p.q•f,. ;<!O.

p,;q . Entonces, sólo un sumando es distinto de cero: 6 •.• •óp,4•6,.1 ;! O (aquí se omite el coeficiente). Pero, 6,.,.•op.q•Ó,,1 ;><! O, si y sólo si u ~x~ v = = p~q = s~y~.t. es decir, cuando x~y. Hemos llegado a una contradic­ ción con eso de que x ~y. Por consiguiente fx•Ó.,,q•f,. = O. El teorema está demostrado.

Ocurre a menudo que en las aplicaciones se examina no todo el álgebra de incidencias A(P) en su integridad, sino sólo determinadas subálgcbras

20' 307

de ésta, exigiendo de las funciones de incidencia, o bien valores constantes sobre los intervalos isomorfos del conjunto parcialmente ordenado P, o bien la llamada multiplicatividad.

Sea A(P) un álgebra de incidencia del conjunto parcialmente ordenado localmente finito P. Veamos un subconjunto de todas las funciones de inci­ dencia /EA(P), para las cuales del isomorfismo de todos los intervalos [x, y¡ y (o, b) en P se deduce: f(x, y) =/(o, b). Denotemos este subconjunto con S(P). Es evidente que S(P) es un subálgebra del álgebra de incidencia ll(P) que se llama álgebra estándar del conjunto parcialmente ordenado P. En efecto, si f, gEA(P), y 'Pes cierto isomorfismo del intervalo (x, y) en [o, 111. entonces

(! + g)(x, y) "'f(x, y) + g(x. y) = f(a, b) + g(a, b) = (! + g)(o, b); (c<./)(x, y) = rrJ(.\~ y) .,. cif(a, b) = (aj)(a, b);

(f•g)(x, y) = ~ f(x, z)g(x, y) = ¿: f(l()(X), tp(Z))g(l()(Z), <¡>{y)) =

= ¿; f(a = tp(x), l()(z))g(.,..,(z), b = cp(y)) = (f•g)(o, b). t.•11 • .,{,t) .:' to(t) s. W'Ú'). b

Directamente del teorema 47 obtenemos el sigueinte resultado: Corolario 9. Sea S(P) un álgebra estándar del conjunto parcialmente or­

denado P. Si la función de incidencia pertenece a S(P} y es invertible en A(P), será invertible también en S(P).

Es fácil comprobar que las funciones Q' ó, r. >-. lJ, X. definidas más arri­ ba, yacen en S(P) y, en virtud del corolario 9, la función de Moebius p. tam­ bién está situada en S(P).

Sea J' un retículo. La función de incidencia /EA (P} se llama multiplica- 1iv11, si para todos Jos x, yEP de la condición

(xl\Y, xVy);;; [xl\y, xi x (xl\y, y)

se deduce que f(xl\y, xvy) = f(xl\y, x)f(xl\y, y).

Son ejemplos de funciones multiplicativas de incidencia para los retículos las funciones Ó, r y r2 (véase la identidad j)).

Corolario 10. Sea f una función invertible multiplicativa de A (P). En­ ronces, j(x. x) = 1 para todo xEP.

Demostracion. De (Xl\X, xvx) = [Xl\x, x) x [xl\x, x) tenemos: f(x, .r) = f(x, xl{(x, x). Debido a la invertibilidad, /(x, x) ?! O para todo xEP. Por consiguiente, /(x, x) = l.

Teurcma 4?. Sea P un rcriculo. Entonces, rodas las funciones invcrslbles rnulriplicutivas pertenecientes a S(I'), forman un grupo con relación a la operación ·de multiplicación (convolución).

Demostracián. Sean/ y glas funciones inversibles multiplicativas de in­ cidencia del álgebra estándar S(P). Comprobemos que la función/•g tam-

308

bién será multiplicativa. Admitamos que [xl\y, xv y¡= J.xAy, xi x (x/\y, y).

En este caso (f•g)(xl\y, xvy) = )_; f(xl\y, .t)g(z. xvy) = (puesto t.'lfl.)' :$ ~$xVy

que [xl\y, ti= (x/\y, zl\x)J x [xl\y, z/\y), [<:. xvy] ==(t. zv.x)I x [t. zvy) >' f, g son funciones multiplicativas) = _¿; f(.x/\y, zl\x)f(xl\)\ tAy)g(z. zvx) x

t.:xl\)' ~ t ~ ,rV;• Xg(z. zvy) =(puesto que lz, zvx) =[<:Ax, x), lt. zvy] a [zl\y, yl y f. gES(P))= .E (f(x/\y, zl\X)g(zl\X, x))(f(xl\y, zl\y)g(zl\Y, y)) "' (denotemos

t,.'Kl\Y ~ l! :; XVy

zr;» y zl\y con 11 y v respectivamente; entonces, x/\y~ INi;X y xl\y~ u~ ~y. puesto que Xl\(x/\y) = xl\y, yA(x/\y) = (x/\y), x/\(xvy) .= x, yl\(xVy) "" =y) = .E f(xl\y, u)g(11, x) .E f(xl\y, v)g(u, y) = (f•g)(xl\y, x)(f•g)(xl\y,

u:xl\y :s:u ~~ rK#\)''!C u$.)'

y), es decir, f•g es una función multipllcariva, Comprobemos que¡- 1 es (ambióu uua función multiplicat iva. De­

mostremos por inducción respecto de I qu<' la condición de mult iplicat ivi­ dad se cumple para todos los intervalos de longitud no superior ti l, Para 1 = O, esto es evidente. Supongamos que la afirmación dada es ~lid;1 para I - I; demostremos su validez para t, Anuliccmos cierto intervalo ¡.\'/\)', xvy) de longitud l. Tenemos, pues,

O = o(xl\y, xvy) = (!- 1•/)(xl\y , xvy) = ¿; J" 1(xl\y, z)(f(z, xvy) =

¿; 1- 1(x/\y, z)f(i. xvy} + I" '(xl\y, xvy)f(xvy, xvy) = t XI\)' S t ;S,xVy

(en virtud de la hipótesis de inducción, y teniendo presente que f(xvy, xvy) = 1) = ¿ ¡- 1(xl\y, <:Ax)/- '(xl\y, Z/\y)/(<. zvx)/(z. zvy) +

t:.C'l\l' ~ t SA\iy

+ ¡- '(xl\y, xvy) = (en virtud de 411c lz. zvx];;;; [z/\x, x), lt, <:Vyl E! (;,Ay, y) y J. r: 1ES(P)) = ¿; /: 1(xl\y. Z/\X)/(zl\X. »v: 1(X/\J~ zl\y)/(ZI\)~ y) +

t:.KVS..t sxvy + ¡- '(xl\y, xVy) "" (denotemos ;./\X y zl\y, con 11 y u, respectivamente, te­ niendo presente que (x/\y, xVyj;;; (xl\y, x] X [xAy, y] y f(x, x) "" 1 para Lodo XEP) = ¿; F 1(xl\y, 11)/(11, X) ¿; J" 1(x/\;~ ulftv. y) + J" 1(Xl\Y, X) X

~.'XI\)' :S U < Z KXf\.\• S to" <y

X L I" 1(xl\y, x)/(u, y) + I" 1(XI\)~ y) 1; ¡- 1(Xl\y, 11)/(11, X) + v.'Xf\J•Su<)' f':Xt\}'$JJ<y

+ ¡-1(xlly, y) 2:; ¡- 1(Xl\Y, 11)/(11, X) + f-1(.Xl\Y, xvy) = (en virtud de las u:rft\)ls.11<.x

fórmulas del teorema 47 y de la igualdad /(x, x) = l para todo XEP) = ( =I" 1(Xl\y, !x))( -¡- 1(xl\y, y)) + ¡- 1(xl\y, x}( -¡- 1(Xl\y,

y)) + ¡- 1(xl\y, y)(-¡- 1(xlly, x)) + ¡- 1(xA_V. xvy). De este modo, llegamos a que

¡- 1(.xlly, xvy) - r: 1(xM. :r}r '(xl\y, y) = o.

3()<)

Por consiguienre, J" 1(x/\y, xvy) = I" 1(xf\y, x}f- 1(xf\y, y)

y la demostración del teorema queda establecida. Calculemos la función de Moebíus para algunos conjuntos parcialmente

ordenados aducidos en el § 8.1. EJl!MP1..0 1. Sea A un conjunto parcialmente ordenado trivial. Es obvio

que (a b) _ (1, si a = b;

µ ' - O, en el caso contrarío.

Ell!Ml't..o 1. Sea N = t O, 1, 2, ... , k l un subconjunto de números ente­ ros con orden ordinario. En virtud del corolario 10, ¡1(n, 11) = 1 para todo 11(N. Aprovechemos lus Iórmulus (1) y obtcugumos que ¡c(ll, 11 + 1) = -1, y µ(11, 11 + k) = O, cualesquiera que sean 11, kEN y k";1'2. De este modo,

[

1, sin= m; p.(11, 111) = -1, sí 111 - 11 = l;

O, en los casos restantes. UJEMl'LO ). Sea~ (Sn) un booleano (véase ejemplo 4 del § 8.1), donde

S" = {s1, Si •... , s,. J. Veamos una familia de todos los binarios n­ dimensionales (i = ((11, .•• , a.) con una relación de orden: a~ b cuando y sólo cuando 01 ~ b, para todo i = 1, 2, ... , n. Designemos este conjunto parcialmente ordenado con :i:: •• No es ditfcil comprobar que

:Y' (S,.) ar:,, En efecto, sí x~s ... definamos tp(X) ={X¡, •.. , x,,), donde

(O, sí S¡f X; xi= t 1. si s,ex.

Es f:\cil ver que \Pes un isomorfismo. Más aún, ~~sl:1 X :C1 X .•• X I:1.

En virtud del ejemplo 2, para D, e f~x tenemos µ(x, y)"' (-1y-x, puesto que existen solamente dos posibilidades: x =y, o bien x .. O e y = l. Sea xi;. Y!;S n , .p(,'() = (x1, ... , x,.) y <¡>(Y)= <Yi. ... , y.) en el isomorfis­ mo :J"(S~)aE, x ... x D1• Entonces,

n µ(X, Y) = µ((x1, ... , x.,), (yi, ... , Yn)) = II ¡1(X1, y;) =

la 1

2:.•· ¿; ,, =(-1)'"' ••• = (-l)IYl-~'°1,

mt.:M~LO•. Sea D(11) un conjunto de codos los divisores del número natu­ ral 11, ordenado respecto de la divisibilidad (véase ejemplo 6 del § 8.1). De 310

acuerdo con el teorema sobre In unicidad de la descomposición de un núme­ ro en factores primos,

D(!I):: /J(pj'•) X D(p'i.•) X .•• X ou:» Por consiguiente, es suficiente calcular la función de Moebius para D(p"), donde pes un número primo, y °'• 1111 número entero. Pero, el conjunto par­ cialmente ordenado D(P") es una cadena 1 1 p 1 p1 1 ... 1 p" isomorfa al subconjunto de números enteros 1 O, 1, 2, ... a) con orden ordinario, cuya función de Moebius se ha calculado en el ejemplo 2. Por eso

[

J, si i =. j; µ(p1, pi) = -1, si j - 1 = I;

O, en todos los casos restantes. En virtud del teorema 49,

[

1, si t =i 111

µ(I, m) = (-1)·', si j' = 111p2 ... JI,., donde l'i. p», ...• p, son números primos distintos dos a dos:

O, en todos los demás casos.

La forma clásica de ln función de Mocbius

[

1, si d = I;

µ(d) = (-·1)', si d"' /11Pl· .. p., donde Pi, pz, ... , p .• son números enteros distintos dos a dos;

O, si d = r2 t, d ;t! 1,

hallada por Moebius aproximadamente en 11!32 y utilizada en la teoría de los números, está ligada con la función de Mocbius de un conjunto pardal· mente ordenado D(11) del modo siguicnfc

(111) m µ(l. m) -= ¡< 1 , donde d = 1 E N.

Esta relación explica el origen de la clc110111i11acit~11 de Ja función de Moebius.

Continuemos la exposición de los métodos que se empican en el cálculo de las funciones de Mocbius para conjuntos parcialmente ordenados ar­ bitrarios. Sean P y L dos conjuntos parcialmente ordenados con las fun­ ciones de Moebius µp y µe,, respectivamente, y sea f:P-t L una aplicación del conjunto P en el L que conserva el orden. Veamos cómo se puede hallar µ1, con ayuda de las µ.1• y f conocidas y discutamos dos tipos de aplicaciones: los operadores de clausura y la corrcspoudcncín de Galois,

Generalicemos Ja noción Je operador <le clausura. introducida para el booleano en el§ 8.2, sobre el conjunto nrhilrario parcinlrucntc ordenado P.

La aplicación rp: P-+ P se llama operador de clausura sobre el conjunto P, si para cualesquiera elementos a, bEP se cumplen las siguientes condiciones:

a) a~rp(a); b) si a~b, entonces rp(u)~rp{b); c) rp(rp(a)) = <p{a).

Los ejemplos de operadores de clausura son numerosos. Así, por ejemplo, en el retículo completo de los subespacios de un espacio topológi­ co servirá de operador de clausura una aplicación que a todo subespacio le asigna su clausura. En un conjunto parcialmente ordenado P con la uni­ dad 1, a titulo de operador de clausura interviene la aplicación rp(x) = 1 pa­ ra todo xEP.

Si rp es un operador de clausura. entonces rp(x) se llamará e-ctausura del elemento x. Un elemento que coincide con su rp-clausura se denomina <(>"Cl!rr(ldü.

'Ieorcmu SO. Si 'Pes el operador de clausura sobre un conjunto parcial­ mente ordenado P, el subconjunto A <;;.P se compone de elementos .p­ cerrados y si a = inf A existe, entonces a será también un elemento l"-ccHado.

Demostracián. Por cuanto a ~x para todo xEA, entonces <p(u).;;; rp(x) = x para todos los xEA. y, por lo tanto, rp(a),,; a. La desigualdad inversa se desprende de In definición de operador de clausura. El teorema queda demostrado.

Teorema SI. Si 'P es un operador de clausura en un retículo completo P, entonces, un conjunto parcialmente ordenado Q de todos los elementos .p-cerrados, considerado como subconjuruo del conjunto parcialmente or­ denado P, es también un retículo completo. Además, para todo subconjun­ to no vado A del conjunto Q tienen lugar las correlaciones:

inr(!,1 = iuf,./I y SU)l(!A ,.. .p(SUppA).

El conjunto Q recibe el nombre de factor del conjunto parcialmente or­ denado con relación al operador de clausura <p.

Demostración. Sea 1 la unidad de un rerículo completo P. Por cuanto <P(l);;;o 1 ~<¡>(!),entonces 1 pertenece a Q, y, obviamente, es la unidad de este conjunto parcialmente ordenado. Luego, si A es un subconjunto no vacío del conjunto Q, el elemento 11 = inf "A es, con arreglo al teorema 50, vr cerrado. Por supuesto, a~x para todo xEA. Si uEQ y u~x para todo xEA, entonces u,,;;a. Así que, a= infQA. y, por consiguiente, Q es un retículo completo, Luego, sea b = sup,.A y sea h = supQA. Está claro que bEQ. y b;;;ob. puesto que b?:x para lodo x ,.;;A. Oc aquí: b - tp(b)~<p(b). La des­ igualdad li:;;; <P(b) es lfcíta, ya que <P(b);;.: rp(x) "" x para todo xEA. Por eso. iJ "' <P(b), lo que se trataba de demostrar.

Sea "'d operador de clausura sobre P y sea Q el factor de un conjunto parcialmente ordenado con relación a 'I'· Consideremos álgebra de inciden­ cin A (Q) como subconjunto del álgebra A (P), al definir adicionalmente pa-

312

ra toda /EA(Q): n». y)= 0, si X~ Q óy' Q.

Denotemos con u y M2 las funciones de Mocbius para los conjuntos parcial­ mente ordenados P y Q, respectivamente. Definamos de un modo análogo también f.fo y 6, 6Q.

'Ieorema 52 (de Rola). Sea P un conjunto parcialmente ordenado y lo­ calmente finito, y sea <p el operador de clausura sobre P con el factor Q. Entonces, para todos los x, yEP se verifica la correlación:

L µ(X, z) e f µQ(<p(X), <p(y)), s~ X - <p(X) tEP: .. (r). 'l'{r) l o. SI x« <p(X).

Demostración.

L; µ(x. z) = L;11(.\', ;:)6Q(<p(z), <p(y)) = rEP:._(d • ~(v) t

I; µ(x, z)fQ(<p(Z), <p(w)}µQ(cp(w), <p(y)) -= .. w ... c .. >

L; µ(x, ;:)r(z. <i>(w))1•Q(.P(W), <p{y)) = I; 6(x, <p(w))µQ('P(w), <p(y)) t,,.(w) .,l,..)EQ

(aquí hemos aprovechado I!! hecho de que z ~ <p(w) cuando y sólo cuando <p(z) ~ <p(w). El teorema está demostrado.

l::jercicios. S. Calcúlense las funciones de Moebiu~ parn los conjunlo• parcialmente ord<11ados aduei­

dos en Jos cjc1nplos 7, 8. 9 y IU en § 8.L 6. Sea ,. uoa fuudón de Mocbous del retfculo ícnil<) P, y suponK3mos que x, y, t~P. D<·

muéstrense l:as si¡uent(S af11'11M\.tuucs: a) (P. Hall). Si x<.y e y no.-. u11a umón J< clc111cn1os que cubren x, entonces ¡.(.r. y) º O.

b) (Wdsncr} Si "'"Y"'· '"''"""'' } • C • ) _ r¡;~i:, y), si t = x;

1;Qi'.,.11~\*I - 0, J&t;<X.

i. Dcmué>trcsc que 13 fu11<·1611 de Modnus,. de 1111 rnículo dismbuuvo (inico P se define del modo s1gulcn1c:

(O, si y no es una unión de elemenres que cubren x; ¡.(x, y) • l (-1)", ,¡y es ignol a la unión den elernentcs dis­

tintos t(ut cubren x,

3. Sea ,. una runeióo de M0<bius de un rellculo geométrico ílni10 P y supon~4mos que x. yEP. x~y. Ocn1u~slrcsc <1ll< i•b, y) i" O. Mukcrcse. &de~. que el v:1lor dc¡;(x. y) es posici­ vo, si el número r(y) - r(x} ,.,. par, y negative, so es inop.or. Aqul res la íuncióo de r.•nao de P.

9. (Crapo), Su P un ralculu fuoito, aEJ> y aJ., un conjunlodc complemcnlos :11 elemento u en P. Pe111ulstrc.\e que par., h1do 11{/';

¡.(O. 1) ~ 2; µ(0, b)f(/J, c)¡t(c, 1). u.c,.J.

JO. Sea P un rc<iculo fin110 Demuéstrense las 1i;uiemcs afirmaciones: a) si P es un rerkulo sin conoplemcncos, entonces l'(O, f) • O.

313

b) Si I' es un rcilcnlo modular, <n1011ccs 1•(0, 1) p 1•(0, •1 ¿; 1•(0, e) para 1odu O(P, - tf..t1

e) Si Pe< un retículo semirnodulnr, entonces 1•(0, l) ~ 1,¡o, tt) }.; (O, r) para iodos los elemenrcs modulares af P. :h'l

Analicemos ahora la conexión de Galois. Sean P y L unos conjuntos parcialmente ordenados. Un par {o, -r) de aplicaciones o: P-L se denomina correspondencia de Galois entre P y L, si para todos los x, yEP y todos los a, bEL se cumplen las condiciones siguientes:

a) Si x ~y en P, entonces e1(x);;;: o(y) en L; b) Si a~b en L, entonces r(a)~r(f>) cn P;

e) x~ rn(x) para todo x<:.P y a~ or{a) para lodo a EL

No es difícil comprobar que ro y or son operadores de clausura en los conjuntos P y L, respectivamente.

El concepto citado tiene por origen Ia teoría de Galois para las ecuaciones algebraicas, donde se examina la ccrrcspondcncia de Galois entre los subcarnpos de la ampliación algebraica J< del campo dado Ko y los subgrupos de los grupos de todos aquellos automorfisruos de la ampliación K que dejan Ko fijo por elementos. Rora y sus discípulos contribuyeron con­ siderablemente (utilizando la correspondencia de Galois) a! avance de Ja teoría de las funciones de Moebius (véase. por ejemplo, [IJ).

Demos a conocer sin demostración un resultado muy importante que se debe a Rola.

Teorema SJ. Supongamos que (o, r] es una correspondencia entre los conjuntos parcialmente ordenados y localmente finitos P y L, y sea Q el factor del conjunto P con relación al operador de clausura 10. Entonces, para todos los xEP. yEL:

L; ¡<r{X, z) = L: 1•1 (¡1, 11) : ¡u,,>(x, ry). t(f'i:o(O •JI 11EJ_·"<tJ) •.a·

La ventaja principal del concepto de correspondencia de Galois consiste en que se puede calcular la función de Moebius µ1. de un retículo L, anali­ zando un subconjunto arbitrario P y 11n álgebra de Boole .'J'(P) generada por el .subconjunto P.

Veamos ahora algunos problemas combinatorios en cuya resolución se emplean funciones de Moebius. Comencemos por exponer la inversión de Moebius, La inversión de las series finitas es uno de los instrumentos más útiles en el análisis combinatorio y en Ja ceorla de las probabilidades. Su ca­ so particular es el principio clásico de inclusiones-exclusiones (véase § 3.1). Aunque varios problemas de inversión pueden expresarse en términos de inclusiones-exclusiones, tal procedimiento parece, a menudo, artificial. Co­ munmcntc resulta posible cierta ordenación «natural» de los objetos en consideración. Esto constituye la base para la técnica de inversión de Mocbius. 314

Teorema 54 (l" fórmula de inversión de Moebius). Sean g y f las fun­ ciones definidas en un conjunto finito parcialmente ordenado P con valores sobre el conjunto de números reales, y

g(x) = L: j(y) para todo xEP. y:ysr

Entonces f(x) ea L: g(y)µ(y, x) para todo xEP.

y;y :s:x

Demostracián. Fijemos x y estudiemos una suma

S = ,]~ .• g(y)µ(y, X)= y;r~< (..~¡(z~µ(y, X).

Aquí en lugar de g(y) hemos sustituido su valor expresado ea términos de f(z). Cambiemos ahora el orden de la surnación y obtengamos

S = :E f(z) :E ¡1(.y, x) = L:/(4)SCz. y) :E µ(y, x) = t.'t='Y )':)':S:X t Y·"Y:SE

= D(z) L: r<z. y)µ(y, x) = L:/(z)ó(z. x) = f(x), Jl:t$)'$.(

es decir, el teorema queda demostrado. Observación l. La suposición de que las funciones g y f son.reales en

la formulación del teorema 54 puede omitirse, exigiendo, en vez de esto, que tomen valores en un campo de característica O.

Observación 2. El teorema 54 es lícito también para los conjuntos par­ cialmente ordenados y localmente finitos. En este caso, para garantizar el carácter finito de hu s11111as se exige que exista un elemento mEP, tal que g(y) =O para cualquier y;Jm. En este caso la función g está correctamente definida. En efecto,

g(x) = 2:: f(y) = 2:: /(y), JI,)'.:>~ )'.llt~)'':íX

donde el número de sumandos es finito para todo conjunto parcialmente ordenado y localmente ñníro.

Observación 3. Por ahora no se han establecido las condiciones, bajo las cuales serían admisibles las sumas infinitas.

Teorema 55 (2" fórmulu de inversión de Moebius). Sean g y f las fun­ ciones definidas en un conjunto parcialmente ordenado local finito P con valores sobre un conj111110 de números reales, y

.dxl '"" L: f(y) para todo xEP. y,)' 2.X

Entonces /(x) .= ~ 14(x, y)g(y) para todo xEP.,.

)'.')'~Z

31$

La demostración es plenamente análoga a la del teorema 54 y por eso se omite aquí.

Veamos unos cuantos ejemplos. EJEMrr.os. Sea/una función dcfinída sobre el conjunto de números po­

sitivos enteros de orden ordinario, y

g(n) = 'E f(m)

Entonces, en virtud del teorema 54 y del ejemplo 2, tenemos /(11) = g(11) - g(11 - 1).

EJEMrl.O 6. Sea ~ (S,,) un booleano, g(!J) = L.; j(A ), y /J(B) "' ¿; f A:A I;; 11 A:A ;;10

(A), donde 8€.~(S.,). Entonces, en virtud de los teoremas 54 y 55 y del ejemplo 3, tenemos

f(/J) = ¿_; (-1¡1111-1-'l¡:(/l) A·A~ll

y /(ll) = L; (-J)l111- IAl/J(A)

A:A;?/I

Suponiendo 1 JJ 1 = 11 y sumando separadamente en el segundo miembro de Ja igualdad

/(8) = L; r-t)llll- lAlg(A) A'ASll

los sumandos con 1 A 1 = n, 11 - 1, .. -· 1, O, obtenemos:

f(B) = g(lJ) - L; g(A) -] L; g(A) - ... + A:ACD;¡AI ... -1 A:ACll;l"J •n-2

+ Í: (-l)*x{/1) + ... + {-1)" L; g(A). A--ACll:)AJ •n-k "·"' 11:¡,1¡-o

Oc la última fórmula pueden obtenerse diferentes variantes del método· de inclusiones-exclusiones. Estas variantes utilizan la noción de conjunto fi., nito. Sobre un conjunto finito S. n dcfinnmos una rundún poudcrantc w(x), xESn, que toma valores de cierto anillo conmutativo K. Haciendo uso de. esta función w(x), definamos Ja función de medida sobre el boolcano.9"(S.,), la cual se denotará también con w. Para cualquier AE.~(Sn) pongamos

(A) [ O, si A = 0; w "' ¿; w(x), si A ;é 0.

x(A

Sea K el conjunto de números reales. Entonces. si w(x) "' l para todo xES.,, tendremos w(/I) "' 1 A 1 , 1IE:1"(S,.), es decir, la medida coincide ron la potencia del conjunto. Si w(x);;?O para lodo xcs .. y l.:w(x) = 1, la

··t.\·..,

316

medida se denominará distribución probabilistica. En este caso los elemen­ tos de .9 (S.) se llaman sucesos y se tiene: w(A) + w(A) = w(Sn). donde A = S; '-A, AE.9(Sn}.

Haciendo uso de las leyes de Morgan, obtenemos w(AUB) = w(Af\8); w(Af\8} = w(AUB).

Sea ahora un conjunto s."' lx1, ••• , x.) cuyos elementos pueden po­ seer o no poseer cada una de las propiedades E1, E2, .•. , E,. En el booleano .9(S.) está definida cierta medida w. Convengamos en considerar que un elemento x;ES. posee Ja Q-propíedad, si posee las propiedades cuyos índices pertenecen al conjunto Q<;,N = 11, 2, ... , (l. Sea QJQ.;. N, Q(lQ = 0, y /(Q) la medida del subconjunto de elementos de s. que poseen la Q· propiedad, y sea g(Q) la medida del conjunto de elementos de S,, que po­ seen la Q-propiedad y, quizás, otras propiedades cuyos números pertenecen a Q. En este caso es evidente la igualdad

g(Q) = L.: j(B). lklli;;Q

Aplícando las fórmulas de inversión, obtenemos para Q = N:

j(N)= 2; (-1)1Qt-1Ylg(8)=w(S.)- L; g(D)+ ... + B•Jlf,;N ll:BCN;¡DI •l-1

+ (-1)" ¿: g(D} + ... + (-1)' L.; g(D). 8.·DCN,¡llj •l-k Jl:DCN;IBI uG

Observemos que/(N) es la medida del conjunto de elementos de S., que no poseen ninguna de la~ propiedades E.,, Ei •... , EN; g(B) es la medida del conjunto de elementos q110.: poseen todas las propiedades con los números de N' B, y, quizás, algunas de las propiedades con los números de B; g(N) "' w(Sn).

Es cómodo designar con la misma letra E;, i"' 1, 2, ... , t, el conjunto de elementos de S,, que poseen la propiedad E1. En tal caso podemos escribir

J<M = w(nB). 1(N

g(lJ) = l <o(S.), s'. B = N; "' ( n E;) . s1 n ¡.! N. t(/Á/I

Entonces, w(ne.) = ¿; (-l)l"'1-1n1w( () E1). i<·N • IJ.l/~N IEN'-D

De aquí proviene que

w(n&) = ¿:; (-l)'º'w(()E;). jfN nn~N IED

317

Suponiendo M(O) = w (neo), Ao •= w(S,,). UN

A~ = ¿; w ( nB,), donde k = 1, '.!, ... , 1, B:Bs;N;l(JI • 4\1<11

obtenemos la fórmula de Sylvcster , M{O) = ¿; ( -r AA.

k~O

que representa una de las fórmulas del método de inclusiones-exclusiones. La medida del conjunto de elementos de S», que poseen al menos una

de la propiedades E,, E1, ... , E,, se escribirá en este caso así:

M(I) = w(UL:;). <EN

En virtud de la igualdad evidente M(I) = w(S.,) - M(O) y de la fórmula etc Sylvcstcr, obtenemos ,

M(l):: ¿: (-l)k'-IAk, k ft 1

w(UEr) = z (-J)l"l-1w(nr:1) IEN IJ:D<;; N,D >' 0 /(/1

Aplicando a la últi~a relación la fórmula ele inversión, obtenemos

w (ne,) ... ¿; c-1)1°1- 1w (u E1). IEN n:8S::N,fl-,t.0 ;En

Al aprovechar las designaciones

A[k] = L; w(UE1), donde k = l. 2, ... , 1, B:B5iN;IDl •A IEO

obtenemos

Denotemos ahora con M(r) In medida del conjunto de elementos de S« que poseen exactamente r propiedades de la totalidad E1, E2, ... , E,. Ha­ ciendo uso de.la designación E1 como conjunto de elementos que poseen la propiedad E1, podemos escribir

M(r) == :¿; w(nE1nEi). C:C5i8;JC1 e r IHi ¡a;

donde r "" O, 1, ... , t, y C = N' C. Suponiendo S. = ne1, de la fórmula obtenida más arriba.

«e w(nl'1) = 2.:: (-1)l'llw(nc1)

/EN /llr<;.N IHI

318

llegamos a que

w(llE;()E;) = l:; (-1) 1 ªI w (nE1()E1). Id: l(C 8:8!D~ uc /(8

De aquí se deduce que

w(()E1) nE1) "' I; (-l)IDI - JClw(()E1). IEC jEC D:DSN;IY2C IED

De las últimas tres fórmulas cenemos

M(r}= L; I; (-1)1°1-'w(()E1). C:C!DN;Jq •r D:D!DN;U;iG IED

Cambiemos el orden de la surnación en el segundo miembro de la última igualdad y obtengamos

M(r) = ¿; (-1)1V1 _,{,J (nE1) :E l. D:D!DN;JO! "' IEP C:CS:D;¡q •r

De aquí se deduce

M(r} = L; ( -1} 1 ° 1 - r ( 1 D J ) w ( () Ei) . O:O!DN,ID\ "" r IED

Haciendo 1 D 1 = k y usando las mismas designaciones que figuran en la fórmula de Sylvester, obtenemos en definitiva

I

M(r) = ~{ -1 )k - '(~) Ak, k ~· donde r = O, I, ... , t. .

l!JUMN.O '· Sea D(n) un conjunto de codos los divisores de un número natural 11, ordenados respecto de la divisibilidad, y

g(11) = "f,j(k). k:kl"

donde k J 11 significa que k divide a n. En virtud del teorema 54 y del ejemplo 4,

f(n) = ~µ(k. n)g(k) "'2=µ(¡)c(k), k:kJn k:ft•

es decir, obtenemos la fórmula de inversión de Moebius bien conocida de la teoría de los números.

Veamos algunas aplicaciones de la fórmula obtenida. Función de E11/er. La función de Euler 'l'(n) se define como un número

de números enteros positivos, inferiores a 11 y recíprocamente primos con él. Si la descomposición canónica de 11 tiene la forma: n = p7•p'i.• .•. p':•, entonces

~(n) = (n) ~ - *) ~ - ~) ... ~ -. ~, )'. 319

Obtengamos esta fórmula por el método ele inclusioncs-cxctnsloncr. A título de elementos tornemos los números O, 1, 2, ... , 11 - l. Diremos que un elemento posee la propiedad E1, si se divide por el numero p;, i = l, 2, ... , r, Es obvio Que <p(n) es igual ~J número de elementos que no poseen ninguna de las propiedades E1, !Ji •... , E,. El número de elementos que po­ seen las propiedades dadas Ei., E¡ ..... , E1,, l ~j, < ... <jk ~ r, es igual a

M(ej,. E~ ..... , 10.) = ---1-1-·- • f}j,{>¡, • . • p¡,

Aplicando la fórmula de Svlvcstcr, obtenemos r

\t'{ll) = fl + 2:)-l)k k e 1

____ n = nIT J}¡,p¡, ... p,.

l ~J, < ,. <» Sr i .. 1

De aquí se desprende el carácter multiplicativo ele Ja í1111ció11 ,,.,(11), a saber: si 111 y 11 son rcclprocamcruc pri111u~. c111011cc.~ or(11111) - v>(J11)y>(11).

Denotemos con v>.i(n) el 111'11ncr\l de 111'1111crn~ cntc11>~ po.~itivos que son inferiores a n y que tienen con 11 el 111;\xi1110 común divisor itwal :1 d. Enton­ ces es obvio que 'P1(11) = v>(11).

Supongamos que d1• di .... , d~ son todos l(ls divisores del número 11, y sean dí, dí, ... , d; sus divisores complcmcnturios, es decir, tales que d/d¡ = 11, i"" 1, 2, ... , k. Entonces,

<p(d¡) = ~' (~) = '(>d.(11).

Evidentemente, k k

2:: <p(d;) "' ¿; .p.t.(11) = 11. /e 1 l• I

De aquí ol'.tcncmos la fór11111Jn de! Gauss:

11 = ¿; <p(d). •l'"I•

Aplicando la fórmula de inversión de Mocbius, obtenemos

<P(ll) "'~11(d, ll)cl = ~d/t(~). d.-.fj• tkdl"

Cálculo de los coitares. Supongamos que se tiene una reserva ilimitada de cuentas (abalorias) de k diferentes colores. ¿Cuántos son los collares compuestos de n cuentas? Convengamos en considerar iguales aquellos collares que se obtienen 'uno del otro por el desplazamiento cíclico de las cuentas.

Al desplazar todas las 11 cuentas «en círculo», descubriremos que, rcali­ zado un número determinado ele desplazamientos. digamos. tras d despla­ zamientos, la «configuración de colores» inicial se repirin\ y, además, d será

320

el divisor del número n. Llamaremos período a un número minimo de desplazamientos que conducen a la configuración inicial. Así, por ejemplo,

bckbck:-r k!Jckbc-+ ckbcktr-« Irckhck,

es decir, el período de esta cadena es igual a 3. Supongamos que tenemos una cadena de longitud n y período d. Al realizar los desplazamientos, ob­ tenemos d diferentes cadenas, incluida la inicial. Uniendo los extremos de cada una de dichas cadenas, tenemos un mismo collar. Más aún, solamente tales cadenas nos dan este collar. De aquí, si designamos con M(11) el núme­ ro de collares de longitud n y con m(d), el número de cadenas de período d, llegamos a que

M(11) = ~ ¿ m(d). tfatl"

Por cuánto se usan las cuentas de k diferentes colores, el número de todas las cadenas de longitud 11 es igual a k" y, por consiguiente,

k" = ~ ~ 111(d).

'"''J" Haciendo uso de la inversión de Mocbius, obtenemos

m(d) = 2=µ(~)k'. x·x1''

De aqul encontramos que

M(n) = ~ ~ ~µ(~)/é = * ~\O(~)kd, d!d!• ...... j<f d:d!•

donde \O(~) es Ja función de Eulcr. Wl!Ml'l..0 "· Coloración de los mapns. rn mapa es \111:1 totalidad finil a de

dominios conexos en un plano. limitados con curvas suaves. Dos paises, separados por cierta curva (por más de un punto). se llaman contiguos (limítrofes). Si los paises están pintados de un modo tal que no haya dos países limítrofes pintados de un mismo color, la coloración se considera correcta. Sea G un mapa y Me;{>.) el número de sus coloraciones correctas en X colores. Un submapa G' del mapa G se obtiene de G, borrando ciertas fronteras entre los paises. Cualquier mapa puede ser colorado empicando >-.1°1 métodos, donde 1 G 1 es el número de paises en el mapa G. Cada cual de estas coloraciones es correcta para un solo submapa. (Hace folla borrar las fronteras entre Jos países pintados de un mismo color). La relación «0' es un submapa de G» convierte el conjunto de todos los subrnapas del mapa O en un conjunto parcialmente ordenado y

>-. <GJ = ¿; Me;.(>-.). <··:n·~o

21 -Ml.l 321

Aplicando la inversión de Mocbius, llegamos a la fórmula

Ma(>-.) = I; >-.lº'l11(G', G). a·.c·s;(i

Por razones evidentes, Mo(>--) se denomina polinomio cromático del mapa C. Si no disponemos de un método sencillo para calcular los valores deµ., la búsqueda del polinomio Mo() .. ) se hace un problema bastante dificil. Los polinomios cromáticos fueron introducidos por Birkhoff al analizar el problema de cuatro colores.

Sea P un conjunto finito parcialmente ordenado con cero O, uno 1 y una función de rango r. El polinomio

x(P; x) :.: 2: ¡1(0, o)x'< '' -1(•> uE-f•

be llama polinomio caructeristico del co11¡1il11U parcialmente ordenado P. Es evidente, que él es una generalización del polinomio cromático para un con­ junto parcialmente ordenado. Directamente del teorema 49 puede deducirse el siguiente resultado:

Teorema 56. Sea P t111 conjunto fiuito parcialmente ordenado con O y 1, q uc posee una función de rango. Si P = P, x P2, entonces

x(P; x) = ;x(P,; ,Y)x(P2; X).

t-:j-.•n:kius. l l. C'mupruC:b~:\C que cr (lohnum(o '-~ar:lClc:rÍ!.lico x(.J"'(S .. I; X} tld booleano .,.(.'>.) o 'igual "(.< - I)".

12. •rauc..·111t1: lus 1•ol111omrns .. ·aral.'.h:1 i:.tii:o~ I''-'"' los coniumos p~rciahncme ordenados 111,-m:il)u;ufo' <U 10< <i<•tnpl<>S 7, ff y ') dd § X.1

Al utilizar l;1 inversión ele Mocbius .:01110 u11 medio principal, Crapo y l{ora 111us1rar1111 que el problcmu de cuatro colores y el esrudio del los poliuouiios cuructcrtsticos y cromaricos son casos particulares de un pro­ blema mas general, ¡¡ saber, del problema critico para geometrías corn­ binutortas. El problema citado que consiste en la búsqueda de los conjuntos mínimos de los hiperplanos separadores para un conjunto de puntos en los espacios proyccrívos finitos incluye, co1110 casos particulares, algunos pro­ blcrnas de la teoría de codificación y los resultados de Segre, relacionados con la caracterización de los conjuntos independientes en un espacio pro­ ycciivo. Además, quedan establecidas las relaciones entre las álgebras de in­ cideucia y las funciones generatrices que permiten pasar de la resolución de ciertos problemas mencionados a Ju búsqueda de determinadas funciones de incidencia.

Sea S(P) un álgebra csráudur de incidencia del conjunto parcialmente ordenado J>. La relación de equivalencia - . definida en los segmentos del conjunto finito parciaJmcntc local P, se denomina compatible, si de la con­ dición/(x. y) : /(u. u); g(.\~ y) ee et« u) para todos los pares de segmentos, tales que: [x, yj - [u, u), f. gES(P). se deduce que (f•g)(x. y) = (f•g)(u, u). Por ejemplo, para cualquier conjunto parcialmente ordenado P la relación

322

de isomorfismo es, desde luego, compatible. Precisamente esta afirmación se demuestra en el corolario 9.

Fijemos una relación de equivalencia cornpat lhle, Las clases de equivalencia de los segmentos se llamarán tipos. Examillemos mi conjunto de funciones definidas en un conjunto de los tipos a. fJ, y .•.•. , con la par. ticularidad de que Ja multiplicación de las funcioncsf•g = J¡ las definimos del modo siguiente:

h(cr) = ~ (13~ 'Y]fi.B)g(-y).

La sumación se realiza respecto de todos los pares de tipos. El símbolo [a~ 'Y] es igual al número de diferentes elementos zdcl segmento (A; y]

del cipo a, tales que [X, .<:) es un segmento del tipo (j y (<. y], del tipo -y. Este símbolo recibe el nombre tic coeficiente de incidencia. Sen ll&ES(P) y

1 (. ) _ (1, si lx, y) es del tipo '5; '• .\, Y - l O, en el caso contrario;

entonces,

("IJ·,,,)(11. u) = Lt 'YJ. Por cuanto - es una relación compatible, el primer miembro de la última igualdad no depende de la elección concreta del intervalo [11, u) del tipo <Y.

Un conjunto de todas las funciones dcfinldas en los tipos forma un álgebra reducida de incidencia R(P), la cual es isomorfa al álgebra de series de potencias formales.

En efecto, un elemento de R(P) se define de un modo único por la suce­ sión [nn] de números reales, si ponemos j(i, j} = Oj- /, i «).

El producto de elementos se define por la igualdad:

h(i,J)= ¿; f(i,k)g(k,J)= ¿:; ª1<-1b1-k· k:/,.k$j k:l,.k$j

Al hacer r = k - i, n = j - i, obtenemos n

h(i, J) = 2::; a.b«: r = Cn. rwO

De aquí se deduce que la aplicación del conjunto de series de potencias en R(P), definida del modo siguiente:

~ F(t) = L; aot"-J(I, J) -= Oj-t, j~i,

n•O

es un isomorfismo. Nos hemos detenido muy brevemente en las principales direcciones

combinatorias del desarrollo de las álgebras de incidencia. Para el estudio ulterior de ellas se recomiendan las obras {\, 3, 12 y 93].

8.4. MATROIDES

La teoría de los matroides tuvo su inicio en los años 30 de nuestro siglo. En 1930 D.L. Van der Waerdcn examinó en su libro «Algebra moderna» una dependencia algebraica, a la par con la dependencia lineal. En 1935 H.Whit­ ncy introdujo por primera vez, deseando generalizar el concepto de grafo dual, una noción abstracta de matroide. En 1936 M. Mac Lane di6 una in­ terpretación del matroide en términos de la geometría proyectiva, lo que sir­ vió de base para que los matroides se denominen geometrías combinatorias, y G. Birkhoff introdujo el concepto de M-cstructura (retículo matroidal) y notó que las geometrías proyectivas constituyen precisamente M-estructuras (cada elemento es una unión de puntos).

En 1942 R. Rndo generalizó el teorema de P.Hall sobre el sistema de representantes distintos y mostró que los problemas combinatorios extrc­ males pueden expresarse en términos de una estructura abstracta de inde­ pendencia. En 1965 Edmonds y Fulkerson descubrieron que para el sistema dado de subconjuntos de un conjunto finito, la totalidad de todas las trans­ versales parciales es una totalidad de subconjuntos independientes de cierto rnatroide que se denominó matroide transversal. Tul conexión despertó gran atención hacia los sistemas de representantes, pues muy pronto se puso de manifiesto que varios espacios de independencia, que se estudiaban con gran esmero, pueden ser representados en forma de espacios transversales.

Estos resultados, como también los obtenidos más tarde, aclararon una vinculación estrecha entre la teoría de los matroides y la teoría algebraica de retículos, con lo que se hizo posible trasladar a la teoría de los matroides los conceptos e imágenes de la gcometrla proyectiva, en particular, el con· cepto de dimensión de un espacio lineal. Merced a esta circunstancia se re­ veló una.semejanza, bastanteinesperada, entre.íos resultados de las diferen­ tes ramas de la matcmátlca discreta (teoría de los grafos, teoría de las trans­ versales, teoría de codificación, etc.).

Los matroides, como retículos geométricos, ya se han considerado en el § 8.2. Por eso, nos limitamos aquí a recordar algunas definiciones del matroide y del retículo que le corresponde.

Se llama pregeometria (o matroidet G a un conjunto finito S con opera­ dor de clausura I-) que satisface la propiedad de sustitución: para cuales­ quiera elementos p. qES y para todo subconjunto ASS, de pEAU(qj, p~ A se deduce qEAU(p). Una pregeomctría se llama geometrta, si el con­ junio vacío y todos los subconjuntos de un solo elemento son cerrados.

En la definición de la pregeometrla O la condición de finitud del con­ junto S se sustituye. a menudo, por la condición de base finita: para todo A SS existe un subconjunto finito AJSA tal que Af"' A.

J24

Los subconjuntos cerrados de una geometría se denominan superficies. Un conjunto de todas las superficies de la geometría. ordenado por inclu­ sión (en el sentido tcórlco-conjuntista), forma un retículo geométrico, el cual define la geometría G con una exactitud de hasta un isomorfismo (vé­ ase teorema 36).

Sea l{G) un retículo de la geometrla G = (S, -). Se llama rango r de la superficie A a la longitud de la cadena máxima desde el elemento nulo hasta A en l(G) (véase teorema 30) y se llama rango del conjunto A al ran­ go de su clausura en L(G), es decir, r(A) = r{A) para todo A !::S. Por consi­ guiente, en virtud del teorema 31, para la función de rango r queda cumpli­ da Ja propiedad principal

r(AUB) + r{AnB)~r(A) + r(B),

cualesquiera que sean A, B<;;.S. Dicha propiedad generaliza la propiedad correspondiente de la función de dimensión de los subcspacios lineales de un espacio proyectivo (donde tiene lugar In igualdad}. Además. 1'(0} "' O y r(A)~r(AU(pl)~r(A) + J, cualesquiera que sean A<;;.S y p(¡;S. Si r(A) = 1A1, donde 1A1 es la potencia del subconjunto A !:OS, A será in­ dependiente (véase teorema 35). Oc lo contrario, r(A) < 1 A 1 , y A es de­ pendiente. El conjunto A <;;.S se denomina generador para la geometría G, si A = S. Los conjuntos generadores independientes de una gcornctría se denominan base. Los conjuntos dependientes mínimos (por inclusión) de una geometría se llaman ciclos.

Los términos «conjuntos dependientes e independientes», «bases» y «conjuntos generadores» son bien conocidos del álgebra lineal. La denomi­ nación «ciclo» se ha tomado de la teoría de los grafos, en cuyos márgenes, segun veremos, los ciclos de un matroidc corresponden plenamente a los del grafo.

Demos ahora una serie de otras definiciones del rnatroide a través del rango, conjuntos independientes, bases y ciclos, respectivamente, y luego demostremos la equivalencia de ellos.

Sea S un conjunto finito y sea runa función de números enteros sobre el conjunto .<r(S). Un par (S, r) se llamo matroide M' (S, r), y r(A ), rango de A ¡;; S, si para todos los A, 8 ~ S se cumplen las siguientes condiciones:

Rl) O~r(A)~ j A 1; R2), si AS B, entonces r(A) ~ r(B) (monotonía);

R3) r(AUB) + r(AnB) ~r(A) + r(B) (semimodularidad). Sea S un conjunto finito y r, una función de números enteros sobre el

conjunto .9'(S). Un par (S, r) se llama matroide M' (S, r), y r(A ). rango de AS S, si para cualesquiera A~ S y a, bES son lícitas las siguientes condiciones: t· '

R4) ~0) =O; R5) r(A)~r(AU(a))~r(A) + I;

R6) si r(A) = r(AU(al)"' r(AU(bl), entonces r(AU¡a. bl) "'r(A)

325

Sea (S. r) un matroide M(S, r) y S' -= 1 aES 1 r( (al) = O). Entonces, r(A) = r(A 'S') para todo A !;S, y, por lo tanto, (S'-S', r) es un matroide que tiene, de hecho, la misma construcción que (S. r). Para a, bES suponga­ mos a a b, cuando y sólo cuando r( (a, b}) = l. En tai caso, z es la rela­ ción de equivalencia, y si [a,], ... , (an] son clases contiguas, entonces r(la, IU ••. U(un)) = r( ( a1, ... , On)) no depende de cómo se eligen los repre­ sentantes. Por consiguiente, podemos identificar los elementos correspon­ dientes sin perder la generalidad de nuestros razonamientos. Suponiendo hecha tal identificación, pongamos para cualquier A~ S:

A= (aESI r(AU(al) = r(A)).

Obtenemos una geometría, con la particularidad de que su rango se deter­ mina par la definición de él sobre Jos conjuntos cerrados. Quiere decir que la construcción de un rnatroide puede determinarse partiendo del retículo de las superficies de la geornetría asociada con el matroide citado.

Sea S un conjunto finito y sea F una familia no vacía de subconjuntos del conjunto S. Entonces, el par (S, F} se Itama matroide M(S, F), y los ele­ mentos de la familia F, conjuntos independientes M(S, F), si se cumplen las siguientes condiciones:

PI) 0EF; F2) si A<.;~ BEF, entonces AEF;

F3) si A1 y A2 son subconjuntos independientes máximos del conjunto A, entonces 1A11 = 1 A2 I .

Cabe notar que el axioma Fl) se deduce, de hecho, de F2). Sea S un conjunto finito y sea C, una familia de sus subconjuntos

(ciclos) no vacíos. Entonces el par (S, C) se denomina matroide M(S, C), si se cumplen las siguientes condiciones;

CJ) ninguno de los ciclos es un subconjunto propio de otro ciclo; C2) si e, y C2 son ciclos diferentes, y nEC1nC2, existe un ciclo C3EC,

tal que C3<.;(C1 U Ci)' {a]. Sea S un conjunto finito .y sea B una familia de sus subconjuntos (bases)

no vacíos. Entonces el par (S, B) se denomina matroide M(S, 8), si se cumplen las siguientes condiciones:

Bl) para todos los A, B1 s;S, si A GB1, A ;é B, y B1EB, entonces A~ B; 82) para cualesquiera bases B1 y 82 y para todo nEB1 existe bEfü, tal

que (JJ1)' [a])U{b)EB. Dos matroides, (Si. -) y (S2,). se llaman isomorfos, si existe tal aplica­

ción bíunívoca e: Sv+ Si, que a EA cuando y sólo cuando <p(a)E.p(A), donde As;S,.

Teorema 57. Supongamos que (S, ·) es un matroide sobre el conjunto finito S; r, una función de rango; y F. C. B, familias de conjuntos indepen­ dientes, de ciclos y de bases del matroide (S, -). respectivamente. Entonces, en (S, -) se cumplen:

a) las condiciones R1)-R6) de Jos rnatroides M(S, r) y M'(S, r);

326

b) las condiciones f1)-FJ) del rnatroidc M(S, F); e) las condiciones CI) y C2) del matroide M(S, C); d) las condiciones 81 y /J2) del rnatroidc M(S, IJ);

o bien. lo que es equivalente, cada mntroidc (S. · ) es matroidc M(S, r), M' (S, r), M(S, F), M(S, C) y M(S, B) simultáneamente.

Demostración. La validez de las condiciones RJ), R4) y R5) en (S, -) ya quedó comprobada. Obtengamos las demás condiciones de las tres men­ cionadas, mediante una cadena de afirmaciones más sencillas.

l. Las condiciones R4) y R5) traen consigo R l}y R2). Demostremos pri­ mero la siguiente afirmación.

Lema 13. Para todos los A, O<;; S, si AS B. entonces O~r(B) - r(/I)~ l B'-A I ·

Demostración del lema. Si A = B, la afirmación del lema es evidente. Sea A ~ B y B '-A == ( 01, .. _, ª"J. Entonces, en virtud de la propiedad /?5), tenemos:

O..;r(AUl111 I) - r(A)~ I; Ot;;r(AU(a1, <til) - r(/IU(u1 l)t;;; I;

O~r(/IU!a1, ai. u,)) - r(AU{11a. a,,J)~I; O~r(fl)- r(B'-.lakl)~I.

Sumemos todas estas desigualdades y obtengamos la desigualdad requeri­ da: Ot;;r(B) - r(A)~ 1fl'-A1. El lema está demostrado.

Directamente del lema se desprende la validez de la condición R2) y de la R 1), pero en el último caso es necesario sustituir en la desigualdad A = 0 y hacer uso de la propiedad R4).

2. Las condiciones R2) y R3) traen consigo R6). Sea r(A) = = r(AU{ a 1) = r(AU( b l), donde A<;; S: a, /JES. Se pide demostrar que r(AU( a, b l) = r(A). Si a = b, la afirmación es evidente. Si a ;:.! 1), enton­ ces, en virtud de la condición de scmimodularldad R3), podemos escribir

2r(A) = r(AU(a)) + r(/1Ullil)~r{AU!a. úl) I· r(/I),

de donde tenemos: r(AU{ a, b J) ~r(A). Pero, A\;;; 11U( a, b J, y, en virtud ele R2): r(A) ~ r(AUI a, b l ). Quiere decir que r(AU{ a, b J) = r(A ). La implica­ ción está demostrada y, de este modo, la comprobación de las condiciones del punto a) se da por terminado.

Comprobemos la validez en (S, -) de las condiciones Fl)-F3). Eviden­ temente, la condición R4) trae consigo Fl)

3. La condición RS) trae consigo F2). Demostrémoslo por reducción al absurdo. Sea A~ B y BEF, pero A es dependiente. Entonces, r(A) < 1 A 1 . En virtud del lema 13, tenemos

r(B)~r(A)+ !B'-Al<IAI + IB'-AI"' IBl- Por consiguiente, B es dependiente y, por lo tanto, n; F. Hemos llegado a una contradicción. Por eso, A EF, lo que se trataba <le demostrar.

327

4. La condición R6) trae consigo la condición F3). Sea A, B<;; S. Directa­ mente de R6) se desprende que si r(AUI al) = r(A) para todo aE8, entonces r(AU8) = r(A). Aprovechemos este hecho para demostrar nuestra implica­ ción. Sean A1 y A2 los subconjuntos independientes máximos del conjunto A. Es evidente que A, $;A2, es decir, A1 '-A2 ;.! 0. Más aún, para todo aE(A1 '-A2) queda válida la igualdad r(A2U[a)) = r(A2). Por consiguiente,

r(A 1UA2) = r(A2U(A 1 \. A2}) = r(A2}.

Análogamente, r(A1VA2) = r(A1). De aquí, r(A1) == r(A2), es decir, 1 A1 J = J A21 y la validez de la condición F3) y, junto con ella, del punto b) queda establecida.

S. Las condiciones Rl)-R3) traen las condiciones Cl) y C2). Directa­ mente de la definición del ciclo y de la condición de monotonía R2) obtene­ mos que un subconjunto A~ Ses un ciclo cuando y sólo cuando para todo elemento aEA se verifica la igualdad

r(A -, la 1) = J A 1 - l.

De aquí se deduce la validez de Ja condición CI), a saber, ningún ciclo es subconiuruo propio de otro ciclo.

Luego, sean C1 y C1 unos ciclos arbitrarios de un rnatroide, tales que e, ;r! C2 y aE(C1f\C2). Entonces, C¡()C2 ;r! C1, y por consiguiente, (C1nC1)E El". En virtud de las condiciones de monotonía R2) y de semimodulariclad 10), obtenemos

r((C1VC2)'- (al ~r(C1UC2),,;;r(C1) + r(C2) - r(C1t'1C2) = = ( 1 C, J - 1) + ( 1 C2 I - 1) - l C1UC21 ..,

= 1 C1VC2 I - 2~ 1 (C1VC2)'- ta! 1. Por consiguiente, ((C1UC1)'- {al)q F. Por eso, existe tal ciclo CJ que C1~((C1UC2)'- (al. La validez. de la condición C2) queda establecida.

6, Las condiciones f.2) y F3) traen las condiciones BI) y 82). Sean B, y 82 las bases de un rnatroide, Está claro que B1 y B2EF. Sea 81 \;;; Bz, pero 111 ?! 82. Bntonces, en virtud de la condición F3)., en 81 existe un elemento "~ D,, tal que B1U(a)EF. Esto contradice el hecho de que B1 es una base del matroide, Quiere decir que 82~ B, y la validez de la condiciónBJ)queda establecida.

Sea ahora aEB1. Es evidente que (81' 1 a l)EF. Se sabe que 1 81 J = = l Bz 1. De aquí, 182 I = 181' ta} I + l. Debido a la condición F3), en 82 existe un elemento bE(lJ1" la!), tal que ((.81' ta))U(bl)EF. Pero, por cuanto J (81 -, (a l)UI b 1 1 = J 81 J = J 82 1 , entonces ((B, -, (a )U Ut{>l)EB, y, por tanto, la condición 82) se cumple. El teorema está demostrado.

Demostrando el teorema 57, hemos establecido, de hecho, la validez de las siguientes afirmaciones.

Corolario 11. Cada matroide M(S. r) es a la vez un rnatroide M(S, C).

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Cada matroide M' (S, r) es a la vez un matroide M(S, F) y un matroide M(S, 8). Cada matroide M(S, F) es un matroíde M(S, B).

Seguimos demostrando la equivalencia de las definiciones del matroide, Proposición 4. Cada marroide M(S, r) es un matroide M' (S, r). Demostración. Ya hemos demostrado que las condiciones R2) y R3) tra-

en consigo R6). La condición R4) se deduce obviamente de R 1). Comprobe­ mos que las condiciones R2) y R3) traen consigo RS) y, de este modo, tendremos demostrada Ja sugestión. En efecto, si aEA, entonces r(AUI a 1) = r(A). Si, en cambio, aE(S'-A), entonces, en virtud de las con­ diciones R2) y R3),

r(A) + 1 ~r(A) + r((al)~r(AU(al) + r(0) = r(AU(al)~r(A).

Por consiguiente, r(A) ~r(AU(a J)~r(A) + 1 para todo A SS y todo aES, lo que se trataba de demostrar.

Teorema 58. Cada matroide M(S, F) es también un matroide (S. -) con la familia F de conjuntos independientes.

Demostración. Sea una familia F de conjuntos independientes que satis­ tacen los axiomas Fl)-F3). Llamemos rango de A a la potencia total de los subconjuntos independientes máximos del conjunto A y denotémoslo con r(A). Definamos la aplicación A-A. al poner aEA cuando y sólo cuando aEA, o bien cuando existe un subconjunto Bs;;A, tal que BEF y (BUI a))9 F. Demostremos que la aplicación A-A. definida de este modo, es un operador de clausura con la propiedad de sustitución.

Las propiedades «As;;~:¡·;> y «si A <;;B, entonces A <;;8» se cumplen evi­ dentemente. Con el fin de demosuar la propiedad de idempotencia A= A, mostremos al principio que r(A°) = r(A) para todo As;; S. Supongamos lo contrario. Sea que existen los conjuntos A 1. A2EF, tales que A 1 s;;A, A2 !;A, y 1 A1 1 = r(A) <r(A) = 1 A2 I • Entonces, en virtud de la condición F3), existe un elemento aEA2 que satisface la condición A 1U( a) EF, con la parti­ cularidad de que aE(X' 11) porque el conjunto A 1 es máximo. Elijamos un subconjunto máximo A · <;A, tal que A' EF y (A 'UI a} H F. En este caso, r(A) = 1 A' 1 < 1A,1UI11 J 1, de don~s en virtud deF3), (A 'Ula l)EF, lo que es imposible. Por consiguiente, r(A) = r(A) para todo A s;;S.

Ahora, sea A ;é A~ ti bien, lo que es equivalente, bE(A'-A). En este ca­ so, (A1U(b})EFµara todos los A1EP, Air;;;A, y obtenemos

r(A}~ m:h 1A,U(b)1 = r(A) + 1 = r(A) + 1, A1EF.A1t11".4

lo <!!!e contradice el hecho que acabamos de demostrar. Así pues, A'-A = 0. y la idernpotcncia está establecida.

Nos resta mostrar que la aplicación A ..... A S!tisface la propiedad de sus­ titución. Supongamos que a, bES. Ar;;; S y a~ A', aE(AUl b j. De la defini­ ción de clausura se deduce la existencia de tal conjunto A1E~ A1!;(AU(bl), que (A1U!111)~ F. Por cuando ª'A, tenemos bEA1 y A2 =((A,"- (bl)U{al)EF. De aqui,

329

A2U{b) = ((Ai -, (bl)U(a))V(b\ = (ll1U{a))f F.

Por consiguiente, con arreglo a la definición de aplicación A -A, tenemos bEAUf áj. De este modo, el axioma de sustitución queda demostrado.

Por fin, es obvio que A E(': cuando y sólo cuando "~A '\. {a) para todo aEA, es decir, el matroidc (S, ) cuenta con una totalidad de conjuntos inde­ pendientes, tal que coincide exactamente con la familia Fdcl matroide M(S, F). El teorema está demostrado.

Sea M(S, C) un rnatroide, Un subconjunto A e;; S se llama independien­ te, si no contiene ciclos. Denotemos con F una familia de conjuntos inde­ pendientes del rnatroide M(S, C). Está claro que C1EC cuando y sólo cuan­ do C1 f F y si de A~ C1 y A ;>:! C1 se deduce que A EF.

Proposición 5. Supongamos que As;S y aES. Entonces, si AEF y (AU[ a 1)9 F, existe el único ciclo C1 del matroidc, lal que C1 s:; (AU[ a J ). Además, es obvio que aeC1.

Demostrocián. Supongamos que existen dos victos C1 y Cz tales que C1 rt C1,-aEC1 c;;;(AU( al) y aEC2 c;;;(AUf a J ). Entonces, en virtud de la con­ dición C2), existe un ciclo C3, donde C3 s;;; ((C1UC2) -, 1 u})~ A EF, Jo que es imposible. Por consiguiente, no existen tales dos ciclos y la proposición queda demostrada.

Teorema 59. El matroidc M(S, C) es a la ver. matroidc M(S, F). Demostración. Es evidente que las condiciones Pl) y !'2) se cumplen.

Comprobemos la condición FJ). Sean A 1 y A2 subconjuntos independientes máximos diferentes de A. Entonces, A,'- A2 = 0, y A2 '\.A, = 0. Supon· gamos aE (Az '\.A 1). Entonces, (A rU{ a J)~ F, y, por lo tanto, existe un ciclo C1 tal que aEC1 s;;;(A1 U (al). Más aún, C1()(A1 'Ai) 11'- 0, de lo contrario C1 !;;; A2. Supongamos que bE(C1(XA r '-.A2)) y A 1 = (A 1 <, { b ])U [a). Ob­ servemos que I AJ 1 ee 1 A1 j.

Demostremos ahora que A3EF. Efccttvamcntc, es obvio que (A 1 -, 1b1 )EF. Supongamos que A)1 F. en CS(C c:iso existe 1111 ciclo C2, tal q1.1caEC'z.S.A3f;(A1U~a)). Además, C2 ~ C1. puesto que b~ C2. Hemos lle­ gado a la contradicción con la condición. Quiere decir que AiEF.

El 'conjunto ;4, es un subconjunto independiente máximo del conjunto A. Demostrérnoslo. Supongamos que A' es un subconjunto independiente máximo del conjunto A, tal que A,s;;A ', y 1A11 < 1A'1. El elemento bf A', pues de lo contrario serla A, ~A' y 1A1 1 < 1 A' 1 . Entonces, (A 'U( b ))f F. Por consiguiente, existe un ciclo C' tal que beC' e;; (A 'U( b )) y, más aún, C'()(A' '-A1) ?! 0, puesto que de Jo contrario C' s;;A1. Sea cE(C'()(A' '\.A1)). Entonces, ((A''\. (cl)U(b)EF. Esto se establece por re­ ducción al absurdo, al igual que hemos demostrado que A¡EF. Pero, A1 s;((A ''\. (cJU(bl) y 1A,1 < 1 (A''- {cl)U{bl = 1 A'!; hemos llega­ do a una contradicción. Por consiguiente. A3 es u11 subconjunto indepen­ diente máximo del conjunto A.

Así pues, A1 y A2 son subconjuntos independientes máximos del con-

330

junto A. Si A3 = A2. entonces 1A11 = 1 A2 I. Si AJ ;o! A2, observaremos que 1 A3M2 I < 1A,t:.A21 • donde AAB es la diferencia simétrica de los conjuntos.

Al repetir de manera análoga a A3 el proceso de construcción de los con­ juntos independientes A11( 1 An I = I A1 I ), (A,.6A2 I < I An-1M2 I; 11 -= 4, 5, ... ), llegaremos, tras un número finito de pasos, a un subconjun­ to independiente máximo A. del conjunto A, tal. que An = A2, y, por consi­ guiente, demostremos que 1Aa1 = 1 A2 I. El teorema está demostrado.

Sea M(S, lJ) un mutroidc, Un subconjunto A r;;,S se llama 'independien­ te, si existe una base 81, tal queASB1. Denotemos con Funa familia de conjuntos independientes del matroide M(S, B). E, evidente que las bases del matroide M(S, B) son conjuntos independientes máximos del matroide M(S, B).

Proposición 6. Para cualesquiera bases B1 y B2 del matroide M(S, B) se verifica la igualdad l B1 1 = 1 82 I .

Demostración. Supongamos que B1 ;é 82. En tal caso B, '82 ?! 0, y B2' 81 71- 0. en virtud del axioma BI). Sea aE(B1'82). Entonces, según el axioma B2), existe un elemento bE(B2 '-81), tal que B3 "" ((81 -, ! a ))UI b !)E U. Observemos que 1 B3 1 = 1 B1 1 . Si 83 r;;.B2, en­ tonces 83 = 82 respecto del axioma Bl). Si B3 '* B2, observaremos l JJ3A82 1 < 1 B1AB2 1 . Repitiendo el proceso de construcción de las bases,

igual que se hizo más arr iba, llegaremos. tras un número finito de pasos, a una base B«, tal que lJ.s;;Bz, es decir, B,. = Bz, y, por consiguiente, ob­ tendremos 1 81 1 = 1 B1 1 .

Teorema 60. Cada matroide M(S, B) es un matroide M(S, F). Demostración. Es evidente que las condiciones Fl) y F2) se cumplen.

Demostremos la validez de la condición F.3). Sean A, y Az subconjuntos in­ dependientes máximos dilcrentes del conjunto A. Entonces, existe una base B1 tal que A; = Brvt, donde i = I, 2, Supongamos que 1A11 < 1 A2 I . Observemos que (81 -, /J¿) 'A "' 0. En efecto, supongamos que esto no es asi y B, s;; AUDi. Entonces, 1 A1'A1 i = 1 (82 <, B1Y'IA \ ~ 1 82 -, B1 1 = = 1 81 'B2 1 = ( en virtud de la proposición 6) = 1 (81 'B2)í'\A 1 = = l A1 'A2 I. lo que .. ontradice la suposición de que 1A11 < 1 A2 l - Quiere decir que (B1 '/h) 'A "" 0. Ahora hagamos uso de la condición Di), sustituyendo por turno cada elemento de (81 'B2) "-A por los elemen­ tos de .IJ¡' 81, y, de este modo, determinando la base B', donde A1s;;B'í'\A, y, B'()(Az 'A1) ~ 0. Si j A1 j < 1 A2 I. entonces 1 (B1' -, BzY'IA 1 = 1 A1 'Az 1 < 1 A1 'Ad = l (82 "-B1Y'\A 1, de donde obte­ nemos: 1 (81 'Bz)'A 1>1 (Ui. 'll,)'A ¡.Por consiguiente, A1 ~ B'í'\A. Pero, esto contradice el h .. -cho de que A 1 es un conjunto independiente má­ ximo del conjunto A. Por consiguiente, 1 A1 1 = 1Ai1 , y el teorema está demostrado.

Con el teorema 60 se Finaliza la demostración de equivalencia de Jas de­ finiciones del matroidc.

331

F, F, F,, F, Fig.8.33.

En el§ 6.3 se han aducido ejemplos ele los matroidcs como sistemas de conjuntos sobre los cuales se resuelven correctamente, con ayuda del algo­ ritmo «avido», los problemas de optimoación combinatoria. Veamos otros ejemplos de los matroidcs. La comprobación del cumplimiento de los axiomas del matroide se omitirá a menudo en la exposición que sigue, quedándose ello a cargo del lector.

Ejemplos de los motroides. l. Matrotdes libres. Un rnatroide sin ciclos sobre el n-conjunto S se denomina iibre y se denota Fn. Es obvio que e! matroide libre es un matroide en el cual cada conjunto está cerrado. Es fácil ver que el retículo de superficies del matroidc libre F. es isomorfo al retículo de todos los subconjuntos del 11-conjunto. En la l'ig. 8.33 están expuestos los matroides libres F1. fi, F} y F,.

2. Matroides homogéneos. Un matroidc sobre el n-conjunto S, de cuyas bases sirven todos los k-subconjuntos y de ciclos, todos los (k + 1)­ subconjuntos, recibe el nombre de rnatroidc homogéneo y se designa Uk{n).

3. n-particiones del conjunto. Llamemos n-particián tal recubrimiento de un conjunto, donde cada subconjunto de n elementos está contenido en uno y sólo un subconjunto que integra el recubrimiento. A toda n-partición le corresponde un rnatroide, en el cual serán conjuntos cerrados:

a) lodos los subconjuntos que se componencn no menos que de 11 elementos;

b) todos los miembros del recubrimiento; e) el propio conjunto.

Para un subconjunto arbitrario As;; S la clausura /Í se define aquí del modo siguiente:

[

A, si A contiene menos de n elementos; A= B, si A contiene no menos de n elementos, y A está

contenido en el miembro del recubrimiento B; S, en el caso contrario.

4. Geometría de Wllle de orden 11. Supongamos que un conjunto de puntos S satisface, junto con los conjuntos de los subconjuntos K y F (de curvas y de superficies, respectivamente) las condiciones:

a) cualesquiera n + 1 puntos distintos yacen en la única curva, y cada curva contiene no menos de n + 1 puntos distintos;

b) cualesquiera n + 2 puntos distintos, que no están situados en una misma curva, yacen en la única superficie, y cada superficie contiene por lo menos n + 2 puntos distintos que no están en una misma curva;

332

e) junto con cualesquiera 11 + J puntos distintos pertenece también a Ja superficie toda la curva definida por los puntos;

d) si dos superficies están situadas en la clausura de un sobconjunto S de (11 + 3) elementos, la intersección de dichas superficies contiene por lo menos n + 1 puntos distintos.

La geometría dada se denomina geometria de Witle de orden 11. El sub­ conjunto A!;;;; S está cerrado en esta geometría, si y sólo si contiene todas las curvas y todas las superficies que pasan por sus puntos. La relación de clausura sobre Sen esta geometría se define como A-+ A, donde .A es Ja in­ tersección de todos los subconjuntos cerrados que contienen A.

Si n = 1, la geometría de Wille representa Ja geometría proyectiva clásica.

5. Matroides lineales. Sea S un subconjunto finito·del espacio vectorial V. Supongamos que el conjunto de vectores A = ( u1, ••. , Ok} s:;; S pertene­ ce a F cuando y sólo cuando los vectores a1, ••• , ak son linealmente inde­ pendientes en V. En este caso se comprueba con facilidad que Fes una fa­ milia de conjuntos independientes de cierto matroide M. La función de ran­ go r de este matroidc coincide con Ja dimensión del subespacio tendido sobre dichos vectores. Todo matroide isomorfo al matroide descrito M se denomina lineal.

6. Matroides algebraicos. Sea F un campo, y K, su ampliación. Diremos que el conjunto ( ª" 02, ••• , ak l de elementos de K es algebraicarnente de­ pendiente, si los elementos a,, a2, ...• ak satisfacen la ecuación polinomial de la forma/(a1, ai, ... , <tk) = O, donde los coeficientes de/ son elementos del campo F. En el caso contrario, a,, ai, ... , ak son algebraicamente inde­ pendientes sobre el campo F.

Proposición 7. Sea S un subconjunto finito de ampliación del campo F; el subconjunto A~ S pertenece a F cuando y sólo cuando los elementos del conjunto A son algebraicamcntc independientes sobre el campo F. En este caso Fes una familia de conjuntos independientes de cierto matroide sobre el conjunto S.

La demostración de este resultado no ofrece grandes dificultades, por lo cual se omite aquí,

7. Matroides ciclicos de los grafos. Sea G = (X. S) un grafo no orienta­ do sin lazos, con un conjunto de vértices X y un conjunto de aristas S. Defi­ namos ahora sobre el conjunto S un rnatroide M(G) llamado de arista (poli· gonal o cíclico) del grafo G)) del modo siguiente. Si a, bEX y A!;; S, enton­ ces la arista (a, b)EA, si y sólo si los vértices a y b son A-conexos, es decir, si existe tal sucesión de aristas (ao, u,), (a1, a2), ... , (a.~., an) del conjunto A, que O()= a, y a. = b.

Teorema 61. El par (S, -), donde S es un conjunto de aristas del grafo O = (X. S). es un matroidc.

Demostración. Todas las propiedades del rnatroide son evidentes, salvo, quizás, la de sustitución. Supongamos que los vértices a y b son A-conexos.

333

Entonces, existe una sucesión conexiva ele aristas (no. 01), ... , (a,,_ 1, a,,), para la cual el número n es mínimo. Afirmamos que no hay arista que se encuentre dos veces en esta sucesión. En efecto, sea O,.;;.i<j~n - 1, y (a;, Ut+ 1) = (a¡, a;+ 1). Ahora, si a¡ = o,, y a;+ 1 = aj, ..:111011ccs, suprimiendo las aristas (01+ 1, a1H), ... , (a¡, ª1+ 1) en la sucesión, obtenemos una sucesión concxiva más corta. Si 01 = 01 ... i. y a1+ 1 "' 01, podemos suprimir todas las aristas (a1, 01+ 1), ••• , (aba¡+ i). Demostremos ahora la propiedad de susti­ tución para el operador de clausura. Sea pEAÜTQT. donde p = (a. b) y Q = (e, d). Supongamos que so, ••. , s.; - 1E(AUI q J) es la sucesión más corta de aristas que une a y b, Por cuanto pf A, entonces, una de las aristas So, .•. , s,. - 1 ha de coincidir con q, De conformidad con la observación hecha más ariba, sólo una de las aristas So, ss, ... , s,, _ 1. digamos, sr, es igual a la arista q. Mas, en este caso, la sucesión st + 1, .•• , Sn -1, q, so, ... , S1-1 unirá los vértices e y d. De aquí, qEA.U(pj. El teorema está demostrado.

Un matroide M sobre el conjunto S se llama gráfico, si es isomorfo al matroidc cíclico de algún grafo.

Propo~klón 8. Sea M(G) 1111 matroidc ctclico <.kl ¡;rnfo G = (X. S). Re­ sultan válidas las suguicntes afirmncioucs:

a) el subconjunto de aristas A ~S es un co11j111Ho independiente del rnatroidc M(O) cuando y sólo cuando el subgrafo de esqueleto G =(X, A) es un bosque;

b) el subconjunto B<;;. Ses una base del matroidc M(G) cuando, y sólo cuando el sub grafo de esqueleto G = (X, A) es un bosque con el mismo nú­ mero del componente conexo que tiene el grafo G = (X, S);

e) el subconjunto C~S es un ciclo del rnatroide M(G) cuando y sólo cuando Ces un conjunto de aristas del ciclo simple en el grafo G = (X, S);

d) r(A) "" 1X1 - k(A), donde k(A) es el número <le componente cone­ xo en el grafo de esqueleto G = (X, A).

Demostración. El conjunto de aristas A de cualquier bosque es un con­ junto independiente en M(G), puesto que la supresión de cualquier arista sEA divide el componente conexo, que contiene s, en dos partes, es decir, sEA '\. (s). Por otro lado, si el subgrafo G =(X, A) contiene un ciclo (SO, s1, ••• , s.1:), entonces, por definición de la clausura, SoE {s1, ••. , s1c); de aquí se deduce que A es el conjunto dependiente. Esto demuestra las afirma­ ciones a), b) y e). Más aún, este hecho demuestra que el rango del conjunto A es igual al número de aristas en el bosque de esqueleto del subgrafo G = (X, A), con el número del componente conexo igual al número del componente conexo del subgrafo G = (X, A). En cada bosque el número de aristas es en una unidad inferior al número de vértices. Por consiguiente, si X1, ••• , X1cCA> es un conjunto de vértices del componente conexo del subgrafo G = (X. A), entonces

kCA) r(A)= í::(IXd - I)= jXI --k(A).

1-1

334

La demostración de la proposición queda establecida. 8. Grupos abeüanos sin torsión. Recordemos que si todos los elementos

del grupo A, salvo el cero, tienen un orden infinito, A se denomina grupo sin torsión. Sea A un grupo abcliano sin torsión. Diremos que un elemento aEA es dependiente en el conjunto B!:;A, si a pertenece a un subgrupo del grupo A generado por el conjunto B. Un subconjunto Cs;;A es indepen­ diente. si ningún elemento a de Ces dependiente sobre C' (a J. Entonces, si Bes un subconjunto finito del grupo abeliano A sin torsión, los subcon­ juntos independientes del conjunto B forman un rnatroide M. Los conjun­ tos cerrados del matroide M son todos los subgrupos H del grupo A, para los cuales el factor-grupo A I H es un grupo sin torsión.

9. Matroides transversales. Sean los conjuntos A1, A1, .•. , Am. Recor­ demos que un subcónjuruo A ~S = Ai U A2 U ... U A,,. se llama transver­ sa! parcial, si existe una aplicación biunívoca e: A-> ( 1, i, ... , m) tal que aEA.,<•> para todo aEA. Sea F una familia de todas las transversales par­ ciales del conjunto S. Entonces, et par (S, F) forma un matroide sobre el conjunto S. De aquí se deduce directamente, por ejemplo, que todas las transversales parciales máximas son de igual potencia.

Introducidos los entes matemáticos, se despierta interés, comúnmente, por los métodos constructivos, es decir, cómo se pueden construir entes nuevos sobre los dados. Pasemos a la exposición de las principales construc­ ciones de este tipo.

Sea (S, -) un matroidc sobre un conjunto finito S y A, Bc;; S. Definamos para todo CS 8 '-A una aplicación

11.4. 111:C-(C U A()B)' A. Proposición 9. l .;1 aplkacíón !¡.•. 111 es un operador de clausura sobre el

conjunto lJ '-A. Demos/ración. Es evidente que Cc;;lcA.111(C) y que de Cc;;D proviene

l¡A,s¡(C)SltA.sJ(D) para todos los C, DS(B'-A). Queda por demostrar la idempotencia: ft.<.BJ(/(.u11(C)) = /¡.<, IJJ(C) para cualquier CS (8 '-A). Efectivamente,

!¡A, s¡l¡A, s¡( C) == [I( C U A (18) '- A) U A llB) '-A = = ({Cu AnB) u AllB] '-A = l(C u A u A) n (B V A) n BJ 'A =

=(CU A()(B U A) n B'-A.

De la relación e u A()(IJ u A)S e u A se desprende que e Ú"A n-(BU A)sc U A = C-u A. ---- De aquí, Cu A()(B U A) n B<;;,C U AnB. Por consiguiente,

(CU A()(B U A) n 8) '-A S(C U AllB) '-A = ltA . .1<¡(C),

es decir, cenemos: l1..i.1JJU!A,s¡(C))c;;JjA,sJ{C). Pero, l¡..u¡(l¡,.,BI (C)) 2 2 ltA.sJ{C). De aquí, /cA.BJ(lt.u11(C)) = ltA.Bl(C), lo que se trataba de demostrar.

.335

Proposición .JO. Sea M"' (~ -) un matroide sobre el conjunto finito S y supongamos ~e B~S. Entonces, el conjunto ll forma, junto con la apli­ cación In: C_,.C n B def'inida para todo C~ IJ. d matroidc (8, lo).

Demostración. Si en el operador de clausura l¡.u11(C) de la proposi­ ción 9 ponemos A "' 0, obtendremos: f11(C) = 110. m(C) = C n B. Quiere decir que la aplicación C-+ l11(C) es el operador de clausura. Evidentemente, Ja propiedad de sustitución también tiene lugar. En efecto, sea aEln(C U Vlbl), a~ l11(C). En este caso, aE(C'U lb} n IJ). pero n1 (C n IJ). Por consiguiente, aEC U( /J), pero a~ C. De aquí, por la propiedad de sustitu­ ción para el rnatroide M tenemos: bECDiñT Por lo tanto, bECUf al ns, puesto que a. bEB. La proposición esta demostrada

Denotemos con M 1 Bel matroidc (B, Is) y llamárnoslo submatroide del matroide M. Evidentemente, si Fes una familia de todos los conjuntos in­ dependientes del matroide M, entonces (A 1 A ~B. AEF) es una familia de conjuntos independientes del subrnatroide M l !J. Además, el retículo L(B) de superficies del subrnatroidc M 1 B del matroidc M se obtiene a partir del retículo L(S) de superficies del matroidc M, al formar en el interior de L(S) los supremos de todos los subconjuntos del conjunto IJ que se considera co­ mo conjunto de átomos en L(S). En este caso. los supremos en l(D) y en L(S) coinciden, lo que no siempre tiene lugar para IM ínfimos. En particu­ lar, si lJ es una superficie del matroidc M, el retículo f.(/J) es isomorfo al intervalo [O, BJ en L(S).

Proposición 11. Sea M "' (S, -) un mal rolde y sea que A~ S. El conjun­ to S"- A, dorado para todo C~ S'- A de una aplicación

IM1A:C-+(C UA '\.A,

forma el matroide (S'-A, IM1,¡). Demostración. Si en el operador de clausura /¡11.11¡(C) de proposición

ponemos B .. S. obtendremos: hu11(C) = l1A.s¡(C) "'CU A '-A. Quiere decir que C-+lM1A(C) es un operador de clausura. Queda por comprobar la proplcdad de sustitución, es dcclr, que para cu.iícsquicra a, bE(S'-A) y para todo C~(S'\.A) de a E IMIA(C V {bl), a~ lwA(9.~ deduce: b E E hr1A(CU (a}). En efecto, sea aE(CU 1bl)UA'-11), nHCVA '-A). Es evi­ dente que a, b~ A. De aquí, aEC u A u ( b T. ª' cO"ii. ~~ virllld ~la pro­ piedad de sustitución, para el matroidc M tenemos: bEC U A U (a J. Pero, b' A. Por consiguiente, bE(C U A V {al '-A)= lw11(C U (a)), lo que se trataba de demostrar.

Denotemos con MIA el matroide (S'-A, lu1A) y llamémoslo contrac­ ción del matroide M por medio del rnatroidc A. Observemos que si L(S'\.A) es un retículo de superficies del matroide MIA, entonces él será isomorfo al intervalo [A, !) en el retículo de superficies del matroidc M = (S, -).

Designemos con M.A. la contracción del matroidc M = (S. -) por me­ dio del conjunto S'. A. Ese:\ claro que si P es una fnmífi:i de conjuntos indc-

336

pendients del rnatroide M, entonces la familia de subconjuntos B~ A, para los cuales en M existen subconjuntos independientes máximos C de S 'A, donde (8 U C)EF, es exactamente la familia de conjuntos independientes de contracción M.A.

Proponemos que el lector demuestre, a titulo de ejercicios no complejos, las siguientes dos proposiciones.

Proposición 12. Sea M un matroidc sobre el conjunto finito S; M l IJ, su submatroide, y r. r11. las funciones de rango para M y M 1 8, respectiva­ mente. Entonces, para todo A!; B serán lícitas las siguientes afirmaciones:

a) A es independiente en M l B. cuando y sólo cuando A es indepen­ diente en M;

b) A es una base del matroide M 1 8, si y sólo si A es un subconjunto independiente máximo del conjunto 8 en M;

e) A es un ciclo en M 1 8, si y sólo si A es un ciclo en M; d) rB = r(A). Proposición 13. Sea M un mal roide sobre el conjunto Iinito S; MIA. su

contracción por medio del conjunto A, y r. r.~,A, funciones de rango para M y MIA, respectivamente. En este caso para todos los 8 ~ S'\. A son lícitas las siguientes afirmaciones:

a) Bes independiente en MIA, si y sólo si B V Ces independiente en M para todos los subconjuntos independientes Cc;;A;

b) B es una base del matroídc MIA, si y sólo si BU Ces la base del rnatroide M = (S, -) para todos los subconjuntos independientes máximos C del conjunto A;

c) 8 es un ciclo en MIA, si y sólo si B = C'\.A = 0. donde Ces un ciclo en M, y B es un conjunto minimo con tal propiedad;

d) rs,A(B) = r(B u A) - r(A). Supongamos que (S, -) es un matroide y A, BES. El par (S. 1i ... n1) se

denomina menor del matroide (S, -). El fácil ver que cada menor del matroide es, a su ver; un matroidc, puesto que puede obtenerse como sub­ matroide ele contracción del matroidc, o bien, lo que es equivalente, como contracción de un submatroide del matroidc,

Sea M = (S, -) un matroide. El subrnatroídc M 1 (S'\. {al), donde oES. se denota a menudo, para ta comodidad con M - a, y se dice que dicho submatroide se ha obtenido a partir del matroide M por exclusión del ele­ mento o. Por analogía, un submatroidc M 1 (S'\. A) del matroide M = (S, -) se denota con M - A. Es natural, en este caso, llamar menor del matroide a una sucesión arbitraria de contracciones y exclusiones del rnatroidc.

Proposición 14. Sea (S, -) un matroide en el conjunto finito S, y A, Br;; S. Si A es un subconjunto independiente máximo del conjunto /J, en­ tonces, A = B.

Demostracián. Si A "' 8, ta afirmación es obvia. Supongamos que A ~ B, es decir, que A CB. En virtud de las propiedades del operador de clausura, A-<,;;B. Sea, ahora, nE(B'-.A). Entonces, (AV(al)f F. Por consi-

337 22-6(113

guientc, cxi~~~ un elemento bE(AU( a)), tal que bEA U{ a) '\. ( b). Si a = b, tenernos aEA. En cambio, sí a ;>! l.J, entonces bEA y bf A -, ( b), puesto que AEF. Por eso, b' A'\. ( b) y bE(AUla) <, ( bl., De aquí, conforme~_la pro­ piedad de sustitución, tenemos otra ve: aEA. De este modo, Bs;A, y, por consiguiente, Bs;:A~ Quiere decir que A= B, y la proposición queda demostrada.

Inmediatamente de la proposición 14 se deduce que cada base de un matroide es, a la vez, un conjunto independiente máximo y un conjunto ge­ nerador mínimo. Precisamente esta correlación sirvió de fuente para la introducción de la noción de matroíde dual. La idea de dualidad es uno de los instrumentos más porerues en la teoría de los matroides y tiene impor­ tantes aplicaciones en muchas ramas del análisis combinatorio, en particu­ lar, en la teoría de los grafos.

Teorc11111 6l. Supongamos que M = (S, - ) es un matroíde en el conjunto finito S. Bes la familia de sus bases y B" = IA1s;;S 1 A;= S'\.B;, donde 81EB), es decir, B• es una familia de complementos de las bases del mairoide M en S. Entonces, un par (S. B*) satisface Jos axiomas 81) y 82) y es, por lo tanto, el matroide M• = 114(S. B•).

El matroide M• se llama dual respecto del matroide M, y los elementos tic la familia lJ• se denominan cobases de! matroide M.

Demostracián. En el rnatroide M = (S, -), para cualquier A ~S y para codo 8,en tiene lugar la siguiente implicación: si B1 s;;A y 81 ro! A, entonces A' J:J, o bien, lo que es equivalente, para cualquier A1t;;.S y para todo A2 E B•, si A 1 !;;;' A2 y A 1 ;>! A1. tenemos: A 1 ~ B•. Así pues, el par (S, B•) satis­ face e! axioma 81).

Supongamos ahora que A 1. 1l2EB". A 1 ;e A1, y oE(A 1 '\. A2)- Demostre­ mos que en este caso existe un demento bEA2, tal que ((A1 '\.(.a ])U( b l)eB•. De este modo se establecerá la validez del axioma 82). Por cuanto a~ (S' A 1)E8 y aE(A1 '\. A2), entonces, en virtud de la sugestión 5, existe el úni­ co ciclo C1 del matroide M, tal que aEC1 ~((S'\.A1)U( a J). Es evidente que C1 \;;; (S '\.A2), puesto que (S'\. A1)EB. Elijamos bE(C1 -, (S'\.A2)), entonces, evidentemente, be(A2()(S'\.A1)). Comprobemos que D = ((S'\.A1)'- (bl)U U( al es la base del matroide M. En efecto, sea D dependiente. Existe. pues, i.m ciclo C2 tal que C1t;;.D y aEC2• En virtud de la proposición 5, tenemos e, = C2. Mas, esto es imposible, puesto que bEC1 y bf C1 .. Esto significa que el conjunto D es independiente. Además, 1D1 = 1 S'-A1 J. y (S'\. A1)E.8- Por consiguiente, DEB. De aquí, (S'\. D)EB•- Pero, S'- D = (A 1 -, 1al)UIb1. lo que se trataba de demostrar.

Teorema 63. Sea M un matroide en el conjunto finito S, A !:S. y sea M• un matroide dual respecto de M. Resultan válidas las siguientes afirmaciones:

a) A es un conjunto independiente del rnatroide M• cuando y sólo cuan­ do S '\.A es un conjunto generador del matroide M;

338

b) ,..(A) = 1 A 1 - r(S) + r(S'-A), donde r• es una función de rango del matroide M'°; en particular, r(S) + r•(S) = l S 1 ;

e) M .. "'M. Demostraclán. a) En virtud del teorema 62, el conjunto A es indepen­

diente en M• cuando y sólo cuando, A contiene Ja base del matroidc M•, o bien, lo que es equivalente, cuando y sólo cuando S' A contiene la base del matroidc M, o bien, cuando y sólo cuando S'-A genera el matroidc M. Así pues, si Pes una familia de conjuntos independientes del matroidc M•, entonces, F- = (AsSj S'-A es un conjunto generador en MJ = IASS 1 y existe una base B1ED, tal que 81SS'-A 1 = (As;SI r(S'-A) = r(S).).

b) Para todos los AS S: r•(A) = máx 1 1 AnA' 1 1 A' EP 1. Elijamos A 'EP, entonces, en virtud de a), existe tal base 81 del rnatroide M que B1SS'-A', es decir, A'!;S'-B1. De este modo, IAnA' 1 ~ IA()(S'­ '-B1) J = 1A1 - 1AnB11. Pero, r(S'-A);;ir((S'-A)nD,)= 1 (S'-A)n nn, 1 = 1 81 1 - I AnB1 1 . Por consiguiente, 1 Arvt ' 1 ~ 1 A 1 - 1 81 1 + +r(S'-A)= IAJ-r(S)+r(S'-11). Así pues, r•(A)~IAl-r(S)+ + r(S 'A). Por otra parte, existe 1111:1 base /h del matroidc M, tal que r(S'-A) = l{S'-A)n/)i 1 = l n, '-A 1. y, por lo tuuro, (S'- //z)E/· -, l'or consiguiente. r•(A);)l IAll{S'-/h)I ~ IAl-IAnl.lzl"" IA-(llJzJ­ - 1 Dz 'A 1 ) = 1 A 1 - r(S) + r(S' A). Quiere decir que r•(A) = 1 A 1 - - r(S) + r(S'- A).

e) Se deduce obviamente de la definición del matroidc M•. La demostra­ ción queda establecida.

Sea G(X, S) un grafo no orientado sin lazos con el conjunto de vértices X y el conjunto de aristas S, y sea M(G) un matroidc.ciclico del grafo G. Un matroide M•(G), dual respecto de M(C), se denomina matroide coc/cti­ co del grafo O. Un matroide se llama cogrofico, si es isomorfo al matroidc cocíclico de cierto grafo.

Para ilustrar las aplicaciones de la dualidad demos a conocer sin de­ mostración el siguiente resultado conocido.

Tcorcme 64 (de Whitncy). Un grafo es plannrio cuando, y sólo cuando, su matroidc cíclico es cográfico, o bien, lo que es equivalente, cuando su matroidc cociclico es gráfico.

Teniendo presente el teorema 64, se llama Irccucntcmentc planario 1111

matroide que es a la vez tanto gráfico, como cográfico. Sean Mi = (S1, /1) los matroides con operadores de clausura [¡, i = l, 2 .

. . . , n, tales que Sf\SJ "' 0 para i ?! j. Entonces, un par (S, 1), donde n n S = U Si y /(A) "' U (A(lS¡) para cualesquiera A~ S, forma, cvidcnterncn-

,.. l•i te un matroide llamado producto de los matroidcs M1 (i = 1, 2, ...• n) y

" denotado con TI M1. 1-1

Teorema 65. Para todo A~ S son válidas las siguientes n firmacioncs:

339

" a) A es un conjunto Independiente del matroide TI M; cuando y sólo 1-1

cuando (Aí\S'1) sea un conjunto independiente del matroide M1 para cual· quier i;

• b) A es una base del matroide TI M,. cuando y sólo cuando (Ar\S1) es

I• 1 In base del matroide M; para cualquier i;

" e) A es un ciclo del matroide TI M1 cuando y sólo cuando existe un fndi- 1• I

ce i, tal que (Ar\S1) .. A, y (Ar\S1) = 0, para cualquier j ;x! i; " d) r(A) = I; r1(Ar\S;), donde n es una función de rango del matroide

hl

M;. La demostración del teorema es obvia, por eso proponemos que el mis­

mo lector la restablezca. n

Los matroides M1 en M = I1 M1 se denominan/actores del rnatroidc M. i•J

Un matroíde que no puede ser descompuesto en un producto de rnatroides menores se llama conexo.

Proposición 15. Sea f una función semimodular de números enteros y monótona creciente, definida sobre un conjunto 9(S) de todos los subcon­ juntos del conjunto finito S; además, .lt0) =O y F= {As;s¡ VlJ!;;;A:

l 11 1 ~/(IJ). Entonces, el par (S, F) es un matroide, y su función de rango r para un subconjunto arbitrario A ~S se calcula por la fórmula

r(A) = mln tf(IJ) + 1 A 'IJ f 1. ll!iA

Démostracián. Veamos una familia K = IA s;;s lf(A)< 1 Al l y de· mostremos que sus elementos mínimos son ciclos de cierto macroide, es de­ cir, satisfacen las condiciones CJ} y C2). La condición Cl) se cumple, evi­ dentemente, por construcción.

Supongamos que C1 ~ C2 son conjuntos mínimos de la familia K, y que oE(Cif')Ci). Entonces 1 C1 1 ~ 2, y, por consiguiente, 1 C1 1 - 1 "" 1 C1' 'lol l ~/{C,' lol)~f(C1)<(C1), es decir, /(C1)"" 1C11 - 1, y

/(IJ) ~ 1 D 1 para todo Be e,. De un modo análogo llegamos a que /(Ci} = 1C11 - !. En particular, tenemos 1C1()Cz1 ~/(C1nC2) y, de este modo, por ser la función f monótona y semimodular, obtenemos

/((C,UC2)' {ol)~f(C1UC2)<f(C1) + /(C2) -/(C1nC1)~ l c. 1 - - 1 + ICd-1- ¡c,ncij < IC1UC1l-2~ l(C1UC2)'laJ I·

El conjunto (C1UC1)' 1 o) pertenece a la familia K y, por lo tanto, contiene su conjunto mínimo. La condición C2) está comprobada.

Así pues, la familia F define el matroidc M. Resta por demostrar que

340

la función r(A) = mín IJ(B) + l A 'B l ) ,

R1;;A

definida para todos los A s;S, es la función de rango del matroidc M. Con este fin es suficiente comprobar que r satisface las condiciones R 1)-R3). Directamente de la definición de r se deduce que O~ r(A) ~ 1 A 1 para iodo A ~S. y que r(A) ~ r(D) para A~[), es decir, las condiciones R 1) y R2) se cumplen. Ahora, para todos los subconjuntos A 1 ~A y 81 ~ 8 se verifica la igualdad

IA'-Ail + IB'Bil = l(AU8)'(A1U81)l + l(AnB)'-(A1nB1)I.

Por consiguiente, por ser la función f scmirnodular, tenemos (f(A1) + 1A'-A11) + ({(81) + 18'81 ( )~j(A1UB1) +

+ l(AUB)'-(A1UB1)I +/(A1nB1)+ l(AnB)'-(A¡l"'l.81)1.

De este modo,

r(A)+r(B)= mín(/(A1)+ IA'-A1I +f(B1)+ IB'-B1l l~ A,<S;A 8,<;;8

~ mín l/(C1) + 1 {AUn)' C, 1 + /(Ci) + 1 (J\n!J)' Cij l = C,IOAUIJ C1!0An8 = r(AUIJ) + r(A{).8),

De este modo queda establecida la validez de R3), y la proposición queda demostrada.

Teorema 66. Supongamos que M, "" (S, r1) es un matroidc en el con junio finito S; ri, una función de rango, y F(M1), una familia de conjuntos indc­ pendientes del rnatroide M1 (i = 1, 2, ... , 11). Entonces, el par (S, F), donde

F = {A ~S 1 A -= A1UA1U ... UA,,; A1EF(M;),

es un matroidc cuya función de rango r se define por la correlación

r(A) = mín [ f, r,(B) + 1 A -, 8 1 ] . RCA •• l .

Demostración. Sea j(A) = L.: r,(A) para todo A~ 8. En este caso fes In 1

una función sernimodular monótona creciente de números enteros, ya que tales son las funciones de rango ri de los rnatroidcs M1. Por consiguiente, en virtud de la proposición 15, la familia

P =' (.4SS1vB~A:1B1 ~j(B)I

define el matroide M(S, r), donde

r(A) = mln {/(B) + 1A'-B1 } = mín [ i: r,(8) + 1A'-111]. sS:A ni;A 1 • t

)41

Luego, sea Bs;A, A €F, y B = U B;, donde ll;!:;;A1 para todo i = l, 2, ... , 1-1

11. Entonces,

IBI = 1 LJB;1~.± IBd = ±r(B1)~ 'f.r1(B), ,., 'ª 1 )•J 1•1

puesto que B1EF(M1) para todo i = 1, 2, ... , n. Por consiguiente, AEF". Es evidente que la afirmación recíproca es también cierta, a saber, si AEF"', en­ tonces A EF. Quiere decir que F = F"', y el teorema queda demostrado.

El matroide (S, J·), citado en la formulación del teorema 66, recibe el ,, nombre de u11id11 de los matroides M1, ••• , M; y se denota U M1.

1~ 1

Se denomina extensión unipuntual del matroidc M "' (S, -) mediante un punto pfS a tal marroide M = (S U fp J, - ), donde r(M') = r(M), y 1\4 = M' - p.

Proposlclón ·1(1. Cada marroide cuenta con una extensión unipuruual. Demostntcián. Sea M = (S. ·)un matroide, Construyamos su extensión

uuipuntunl M' = (~\J(p), /), tomando por operador de clausura la aplica­ ción A-•l(A), donde

[ ;¡-, si p~ A y A~ S;

/(/1) = /1 '- IPJU(µ l. si pEA y r(/1'.fpj') = r(S) - !; S\Jlp l , si A= S, o bien PEA y r(A '- [p 1) = r(S) - l.

Comprobemos la propiedad de sustitución. Sea uH(AUI b 1 I: u, b~ J(A). l!111011ccs son posibles dos casos: 11 = pE.l(AU[bJ) y a ;.e p, aEl(AUfbl). Eu el primer caso tenemos o bien b = p, o bien r(A) = r(S) - l. De aquí, bE/(AU( a J ). En el segundo caso, si p~ A, entonces b€l(AV(a }); si, en cam­ \Jio~_p_E1! _;:11 .. !.~mces uE/(AUI b )) ~ (A'-.-¡p l)UI b )U(p). de donde aE E(A -, lp])Vlbl. y, por consiguiente. en virtud de Ja propiedad de sustitu­ ción, para el matroíde M tenernos bE(A ;;:-fjJT)ufa}. La igualdad r(M') = = r(M) se cumple por construcciéu. La proposición está demostrada.

Se dice que dos conjuntos A. B<;:;S del matroidc M = (S, -) forman un pur modular, si

r(A/"'\B) + r(AUB) .., r(A) + r(B).

Se llamaji//ro modular del matroide M _,, (S.-) a una familia cJ• de sub- conjuntos del conjunto S, mi que

>t} si AE•I• y A t;;.IJ, entonces BE•I•, b) ,;i ,.1, /l(<I•, y (A. IJ) e~ UH par modular, c111011ces A(\LJ = •I•. t>ro¡wsicil•n 17. Sea M -= (.5Vlp J. 1) u11 marroidc sobre el conjunto

.)U ( p 1, p~ S, con operador de clausura / y función de rango r. Entonces, el conjunto 4> = {A f;S 1 pEl(A) J es un filtro modular del matroideM - p.

De1110s1radó11. Es evidente que <l> es un filtro. La condición AE<I> es equivalente a la igualdad r(AU(p 1) = r(A). Por consiguiente, si A, BE<l>, y

]42

(A, B) es un par modular en M - p, entonces, r((AnB)V¡p J) ~r(AUlp 1 )+ + r(BV{pl) - r(AUBV[pl) = r(A) + r(B) - r(AUB) = r(Aí'IB). De este modo, AnBE<I:-. La proposición está demostrada.

Proposición 18. Sea 4> un filtro modular del matroide M = (S. -). En­ tonces existe una única extensión unipuntual M' = (S U(pJ, 1) del matroideM, tal que et>= [As;Slpel(A)}.

Demostrocián. Sea r la función de rango del matroidc M. Definamos una función de valores enteros r• para todos los subconjuntos As; S U(p 1 del modo siguiente:

r•(A) = r(A), si A s;;S; r*(AU(pl) = r(/I) + 1, si As;S y A~ 4>; r•(AU{pl) = r(A), si As;S y AE<I>.

Comprobemos que r• es la función de rango de cierto matroidc, Con este fin mostremos que ella satisface los axiomas .Rl)-fO). con lo cuat establez­ camos también la unicidad de la extensión.

Está claro que r* satisface los axiomas R I} y R2). Para comprobar RJ), hace falta examinar dos casos: un par AU!p J. 8, y otro par AU(p), /JU[ pl, donde A, 11<;; S, p' S. En el primer caso, para cualesquiera A, /Jt;;, S tenernos r*(AlJll\J(pl) - r•(AUn)~(AUlpl) - r•(A). Observemos que c:I primer miembro de la desigualdad es siempre inferior o igual a I, :iclem•í~ es igual a l sólo cuando AUñ~ <l>. De este modo, Alj •!>,puesto que en tal caso r*(AU{p]) - r•(A) también debe ser igual a l. De aquí se deduce que r•(AUBU(pl) - r•(AU{p))~r•(AUB) - r•(A) = r(AUB) - r(A ~r(ll - - r(AílB) = r•(B) - r*(AnB), con lo cual queda establecido en el caso da­ do el carácter sernirnodular de la función. En el segundo caso mostremos que ~((AnB)V_JpJ.2 + r*(AUBVtp)):;;;r•(AUlpl) + r•(BV!pl). Si AUB~ ~ <I>, entonces A, 8 y AnD tampoco se disponen en <l> y, por consiguiente. r'"(XUlpl) = r(X) + 1, cuando X= A, fl, AVB y AnH. Así pues. nuestra desigualdad se verifica, puesto que coincide en este caso con la condición de semimodularidad para la función de rango r del matroide M. En cambio, si AUBE•l>, esto puede tener lugar sólo cuando AE<I> y BE<!>. Además, (A, B) es un par modular en M. Es fácil probar que en este caso cll: 8) es tam­ bién un par modular y, por lo tanto, 117i8 = (AflB)E<l>. De aquí, r•(XV U{p)) = r(X) cuando X= A. B, AUB y Ann. De este modo, la desigual­ dad está demostrada, puesto que en este caso también ella coincide exacta­ mente con la condición de scmirnodularidad para r. La sugestión queda demostrada.

Directamente de Ja proposición 18 se deduce el siguiente resollado que se debe a Crapo:

Corolario J.2. Sea <l> un Iih ro modular del matroide M = (S ... ) y sea M' = (..SU{p 1. 1) la extensión del matrolde M construida con ayuda de <l•. Entonces son superficies en M' todos los subconjuntos .SV(pl de los tipos siguientes:

343

a) AUI p l. si A es una superficie <ld matroide M y A E<I>; b) A, si A es una superficie del matroide M y A t 4>; e) AV(p 1. si A es una superficie del matroide M; A no se dispone en

<J> y no se cubre en M por ninguna superficie de <J>. No hay otras superficies en M",

Cabe notar, además, que las extensiones unipuntuales del matroide M = (S, -). ordenadas por inclusión de sus filtros modulares en M, forman un retículo.

Definamos dos construcciones más: acortamiento e incremento. Teoremu 67. Sean M un matroide sobre el conjunto finito S; F. una fa­

milia de sus conjuntos independientes; r, Ja función de rango; k , un número posit ivo entero tnl que k ""'r(S). Entonces, la familia

Fk = (ASSIAEF, y IA' ""'kl es una familia de conjuntos independientes del matroide Mk sobre el con­ junto S con la función de rango r1.(A) = mín l k, r(A) [. El retículo de super­ ficies del matroide Mk se obtiene del retículo L(M) de superficies del nuuroidc M, eliminando todas las superficies <le rango ";iJ:k sustituyéndolas por un nuevo elemento maximat del retículo.

La demostración del teorema no es difícil y se recomienda al lector a tí­ tulo de ejercicio.

El matroidc M" citado en la formulación del teorema 67 se denomina k-acortamiento del matroide M.

Si el matroide M sobre el conjunto S es isomorfo al (r - I)· ac:or1a111ic1110 del nuu roidc 11 sobre el conjunto S, suele decirse que el uuuroidc 11 es u11 incremento del tuutruide M. Sin restringir la generalidad ele nuestros razonamientos, podemos considerar que el retículo del matroide H se obtiene a partir del retículo del matroide M por inclusión del nivel de nuevos coatomos, el cual yace más arriba que Jos coátomos iniciales y debajo del elemento unidad del retículo.

No nos detendremos detalladamente en la construcción del incremento, sino que daremos a conocer sin demostración algunos resultados.

Teorc111:1 68 (de Crupo), Una familia H de subconjuntos no vacíos del conjunto Ses un conjunto de coaromos en el retículo de incremento del matroide M = (S, -) cuando y sólo cuando se cumplen Ias siguientes tres condiciones:

a) JI es una anticudcua en el booleano . J" (S); b) para lodo A ett, si B~A y l IJ 1 = r - 1, entonces H!;;A; e) pum toda base JJ, existe el único elemento A 1 EH. tal que B, ~A•· Sean N y T dos anticadcnas pertenecientes al booleano !"1"(S); se dice

que la antícadcna Hes inferior a la anticadena T, si para todo AEH existe 1111 ele memo BE T tal que As B. En caso de que tal elemento BE Tsea único, suele decirse que Trompe la anticadena H. Toda clase de incrementos (más exactamente, las familias de coátomos en el retículo del incremento) del

344

rnatrcide M sobre el conjunto finito S, ordcnaqos como anticadenas del bo­ oleano .9(S), forman el reuculo completo, en el que el elemento minimal se denomina incremento libre del matroide M. Si el incremento libre del matroide M se conoce, todos Jos demás incrementos de dicho matroide pueden obtenerse por partición del incremento libre.

La demostración de las afirmaciones aducidas y de otras, referentes a las extensiones e incrementos de los matroides se da en las obras [94, 95).

La construcción del incremento libre se expone en (96, 97). Ejcrdclus. 1. Sea M = (S. -} un matrokíe, /J~A SS. ¿Se vcrlricarán las Igualdades

siguierues: 3) (MJA) J 8 =MI JJ; b) M.B = (M.11).8; e) (M J A).H • (M.(S' (11'IJ}l}J11, d) (M_A) J B • (M 1 (S' (A' B)))JJ; e) (MlA)• • M'l(S'A); n (M/A)• = M• I (S'A)? 1. Cerciórese de la vaHdL"2 de las siguientes afirmaciones: a) todo menor de un t1H1ln.lidc cráfH:o es gr:\f1co; b) iodo submatroide de \111 mntroide transversal es transversal: e) la suma de los matro1<k• transversales es un matrotde transversal, 3, ¿Pcxlrá contar un matroide gmlíco M con Incrementos y k-acor1arnientos no ¡¡raílcos?

Si puede, dénse ejemplos.

Se llama aplicación dé/1il de un retículo geométrico P en el retículo geo- métrico L a la aplicación o; P-> L, para la cual

a) a(x) = sup ( a(a) 1 x ~a, a~O; b) r(o(x)) ~ r(x). Se llama uplicució» )111·r1c• del reticulo geométrico P en el retículo gco-

métrico L a la aplicación u: P-+ L, para la cual a) 11(s11p A) = sup l o(x) 1 xEA} para todos los A t;; P; b) de y-;==x en P se deduce que o(y) ;;-a(x) en L. Se llama apticacián fuerte (débil, respectivamente) de la geometría

O = (S, -) en la geomctnu 11 = (T. -) a la función inyectiva /:su 101~ru 101.

donde O es un conjunto vacío, tal que f(O) = O, y la preimagen de un sub­ conjunto cerrado independiente, (respectivamente arbitrario) de Ja geo­ metría H es cerrada (independiente respectivamente) en G. Cada aplica­ ción fuerte es débil, lo reciproco 110 es cieno.

Ni las aplicaciones fuertes ni tampoco las débiles, forman por separado categorías bastante bucuus. 1i:ira que puedan emplearse en plena medida las ideas de la teoría de calq:1>1 Íilli. Sm embargo, siendo analizadas en conjun­ to, se obtienen ciertos resultados del tipo canónico, por cuanto los entes en la categoría de matroides y las aplicaciones fuertes tienden a ser canónicos con respecto a los entes de la categoría de matroides y las aplicaciones débi­ les. La razón de esto radica, por lo visto, en que las aplicaciones fuertes que conservan el rango son iM)l\H>rfismos, no obstante se encuentran, a rncnu-

345

3

fig.8.J4. 6

do. varios rnatroides de un mismo rango que sntisfnccn cierto diagrama pre­ fijado de las aplicaciones fuertes ligadas entre sí precisamente por las apli­ caciones débiles.

Para ponerse en contacto con los resultados principales de las aplica­ ciones débiles y fuertes de Jos matroidcs recomendamos las obras (98-102 y 138-140].

Como conclusión de nuestra breve lntroduccíón a la teoría de los rnatroidcs, discutamos algunos problemas. Uno de los problemas más anti­ guos de Ja teoría de rnatroidcs, que hasta el momento no ha sido resuelto totalmente, es el problema de rcprcscntnción del ru.uroidc dado mediante los vectores con coordenadas de un campo (problema de coordcnatlzación).

Un rnatroide M = (S; -) se llama representable sobre el campo F, si exis­ te un espacio lineal V sobre F y una aplicación .p: S-• V, para Ja cual A ~S es independiente en M cuando y sólo cuando e es biunívoca en A, y <P(A) es linealmente independiente en V.

Es obvio que un rnatroidc representable sobre F se describe por una matriz de dimensión r x n, de cuyas columnas sirven las imágenes de los elementos de S, al realizarse la aplicación "' (si 1 S 1 = n y r(S) = r). El problema de representación consiste en determinar si es representable o no el matroíde dado M sobre el campo (cuerpo) darlo F.

Por ejemplo, los rnatroldcs, representables sobre el campo G(F(2), se de­ nominan binarios.

He aquí los resultados más caractcrfsticos concernientes a la representa­ dón de los matroides:

a) un matr~ide M = (S, -) es binario cuando y sólo cuando no tiene un menor que sea isomorfo aJ matroide homogéneo Ui(4), o bien, lo que es equivalente, cuando y sólo cuando la diferencia simétrica entre dos cuales­ quiera ciclos distintos del rnatroide Mes una unión de los ciclos disjuntos;

b) un matroide M es ternario, es decir, representable sobre el campo G.F(J), si y sólo si no tiene menores isomorfos al matroíde homogéneo Ui(S), al de Fano (fig. 8.34) o a los mal roí des duales respecto de los mencionados;

e) si un matroíde M sin lazos y puentes es representable sobre el campo GF(2) y sobre algún otro campo, cuya caracterlsrica es distinta de 2, cnton-

346

ces, M es representable sobre lodos Jos campos a la vez, con ayuda de una matriz bien unimodular (es decir, de una matriz cuyos menores son todos iguales a O, :t:l).

Los matroides representables sobre cualquier campo se llaman regula­ res. Un matroide M = (a, - ) se denomina lazo, si r(a) = O, y puente, si r•(a) =O.

Teorema 69. Si un matroidc M en el conjunto S es representable sobre cierto campo F. el maircidc M•, dual de M, es también representable sobre R

Demostración. Sea M un matroide de rango r en el conjunto -S, 1S1 = n , y sea A 1111:1 1ua1 rir. de orden r x " que representa .el matroide

M sobre elcampo F. Supongamos que X es el conjunto de todos los vecto­ res columnas x, para los cuales Ax"' O. El conjunto x es un subespaclo de dimensión n - r_ Elijamos en X una familia den - r vectores columnas li­ nealmerue índependieutcs )' formemos, a base de dichos vectores (empleán­ dolos como columnas) una matriz B de orden " x (11 - r). Observemos que AB =0.

Mostremos que la matriz tt", transpuesta a B, es una representación sobre el campo F del matroidc dual M•. Con este fin demostremos que r columnas arbitrarias de la matriz 11 son linealmente independientes, cuan­ do y sólo cuando el conjunto complcmcntador de n - r columnas es BT­ Iincalrnentc indcpcndicnrc. Sin restringir la generalidad, se pueden tomar las primeras r columnas de la matriz A.

Las primeras r columuu-, tic la matriz A son linealmente dependientes cuando y sólo cuando ~·111~h: 1111 ve .. ~lor columna no nulo x, x' "' (x1, xi •... , xi, O, ... , O) perteneciente a X. Tal vector xEX existe, a su vez, cuando y sólo cuando existe un vector columna no nulo>' de dimensión 11 - r tal que

x = By. Representemos ahoru la matriz nen la forma (~:), donde B, es

una subrnmriz de orden r x (n - r), y 82, una submatriz de orden (n - r) x (11 - r). Entonces, es fácil ver que B,y = O. Por cuanto y ji! O, lle­ gamos a que D2 es una 111,11 riz regular. De este modo, las filas de la matriz B: y, por consiguiente, las úlrimas 11 - r columnas de la matriz BT son de­ pendientes. El Leo rema queda demos: rudo.

Supongamos que 11,, ,,,_ .. _, 11 .. E Y'(S), donde .'?'(S) es el conjunto de 11

lodos los subconjuntos clvl conjunto S. Dcl'inumos la s11111a ¿A, S('g1ir1 e! 1=1

modut» 2. como 1111 <:011.i1111Ju 1xf:S1 .v q11<: se contiene en el número. impar de sumandos A1J. !fo p;111i<11la1, ,1, 1 th es, según el módulo 2, ll1tl.A11

o sea, la diferencia sim.!1111:<1 ele los conjuntos A 1 y A2. F.jcrcicío 4. Sea M un matroidc, Demuéstrese que son equivalentes las

siguientes a Iirmacioncs: a) para cualesquiera cictos C y un cociclo e• del matroide Mes cierto

que 1 ene- 1 es par;

347

b) Una suma según el módulo 2 de cualquier familia de ciclos del matroidc Mes igual a la unión de los ciclos disjuntos del mismo rnatroide,

e) para una base !J y un ciclo C arbitrarios del matroide M tenemos: C= L; C(e;) según el módulo 2, donde C(e1) es un ciclo del matroide M,

.,,EC'B tal que C(e1)~BV{ e;).

d) M es un mat.roidc binario, A Ja par con el problema de representación, un gran interés práctico des·

picrtan los problemas de descripción de las clases de matroidcs: binarios, gráficos, cográficos, regulares, transversales y otros;

d) un rnatroidc Mes gráfico, si y sólo si es binario y no contiene menores isomorfos a los matroidcs cocíclicos de los grafos de Kuratowski K3, 3 y Ks, al matroidc de Fano y al dual de este último.

e) un matroide Mes cográfico, si y soto si es binario y no contiene me­ nores isomorfos a los matroidcs cíclicos de los grafos de Kuratowski K3•3 y K«, al matroidc de rano y al dual de este último;

f) un matroidc binario es regular, si y sólo si no contiene menores iso­ morfos al matroidc de Fano y al dual de este último.

Para ilustrar la importancia de los problemas de caracterización, dire­ mos que casi todos los métodos conocidos de hi xintcsis topológica decir­ cuitos eléctricos y de esquemas combinatorios de conmutación están basa­ dos en el cm pico de las propiedades que poseen los matroides cíclico y co­ cíclico del grafo del esquema y también en la siguiente propiedad notable: la matriz de incidencia de un rnatroide cocíclico del grafo del esquema (la matriz de cortes de un esquema eléctrico) puede ser reducida mediante las opcacioncs de filas elementales a una matriz de incidencia A del esquema eléctrico (dicho de otro modo, el rnatroidc, correspondiente a la matriz de incidencia A sobre GR.2), es isomorfo al matroidc de cortes del grafo del esquema). Cada matroide gráfico. al igual que cada matroide cográñco, es binario, pero no cada matroidc binario es gráfico. Por ejemplo, el rnatroide de Fano es binario, mas no es gráfico; más aún, su matriz de representación sobre GF(2)

(1 o o o 1 l ') o 1 o 1 o 1 1 o o 1 1 1 o 1

no puede ser reducida, mediante las transformaciones elementales de filas, a las matriz de incidencia de ningún grafo del esquema. Por eso, desempe­ ñan un papel de importancia excepcional en Ja síntesis topológica de los es­ quemas eléctricos las caracterizaciones mencionadas más arriba de Jos matroides gráficos y cográficos, como también las siguientes circunstancias;

- al orientar la arista de un grafo, el matroidc cíclico del grafo se hace también orientado;

- del carácter orientado de un matroidc se desprende el carácter orienta­ do del matroide dual;

~48

- un matroide orientado tiene representación lineal sobre todos los cam­ pos, es decir, es regular y representable por una matriz. modular.

Entre las caracicrizucioucs aducidas están ausentes prácticamente las constructivas, por cuanto seleccionar todos los menores del matroide y, con mayor razón, establecer su isomorfismo respecto de otros matroides resulta difícil incluso para los matroides «pequeños». Tanto más valiosa es la ca­ racterización constructiva de los rnatroides regulares recién obtenida por Seymour [103). Demos a conocer sin demostración su resultaoo.

Sean M1 = (S1, - ) y Mi = (S2, - } los matroides binarios, con la particu­ laridad de que S1 y S2 pueden intersecarse, En tal caso el matroide M1t.M2 sobre el conjunto S11H2 = (Si 'S2)U(S2 'S1), los ciclos de los cuales son los subconjuntos del conjunto S1él.S2 del tipo C1'1Ci (donde C1 son ciclosdel matroide M,, i <= l,. 2), es binario. Supongamos que 1 S1 1 , 1 S2 1 < < 1S1AS21 . Entonces, el rnatroide M1iiM2 lleva el nombre de J-suma (2-suma y 3-suma, respectivamente) de los rnatroides M1 y M2, si S1ru2 = 0 ( 1 S1í\S2 1 = 1, y S1í\S2 = f e l , respectivamente, donde z no es ni lazo ni colazo de los ruatroidcs M1 y M2; 1 S1ru2 l = 3 y S1í\Si = Z, donde Z es un ciclo que no contiene ningún cociclo de los matroides M1

y M1). en 1975 Brilavski demostró que las l-suma, 2-snma y 3-suma de dos

matroides regulares son regulares. Sea dada una matriz

(~ 1 ! ~ ~ o o o o 1

-1 1 o o

1 -1

o 1

o o j) l

o o

-1 1 o

1 -1

Denotemos con R10 el matroide, que tiene como elementos las columnas de la matriz y como bases sus conjuntos linealmente independientes máximos en un espacio lineal sobre GF(2).

Teorema 70 (de Seyrnour). Cada matroidc regular M puede ser cons­ triudo mediante las l-suma, 2-suma y 3-suma de matroides, cada uno de los cuales es isomorfo a los menores del marroidc M y es o bien gráfico, o bien cografico, o isomorfo al mntroide R10.

Detengamos también en otras aplicaciones de los matroides. Se denomi­ na coloración correcta de un grafo C tal atribución de los colores a sus vér­ tices que ningún par de vértices adyacentes está pintado de igual color. Se denomina k-cotoracion del grafo e una cotoración correcta del grafo e en la que se usan k colores o menos. Dos k-coloraeiones del grafo G se consi­ derarán diferentes, si atribuyen diferentes colores por lo menos a un vértice. El número cromático x(G} del grafo C se define como el menor k, para el cual el grafo G tiene k-eoloración. Es fácil determinar el número cromático

349

··x·, ''•

·'r -~''• Fig.8Jj.

para ciertos grafos conocidos, nor ejemplo: y(/•;,,) "' JI; x(K ••.• ) = 2, y x(T) = 2 para cualquier árbol no trivia] T.

Sea P(G; }..) el número de diferentes }..-col11r;1rio11cs del grafo G. Si }.. ~ x(G), entonces, naturalmente, f'(G; }..) = O. El menor de los número na. rurales }.., para el cual P(G; }..)>O. será, evidentemente, el número cromático del grafo. La hipótesis bien sabida tle cuatro colores (cuya validez fue de­ mostrada no hace mucho tiempo) afirma que si G es un grafo planario, en­ tonces P(O; 4)>0.

Es evidente que para todo grafo completo K,, tenernos

P(K.; }..) = }..('>- - !) ... (>- - 11 1 1),

puesto que cualquier vértice dado del grafo completo K. ruede ~ci pintado por .A métodos; para el segundo vértice pucck uritivarsc malquiera de (>- - 1) colores restantes, etc. l'or fin, el último vértice se pinta empicando (}.. - n + 1) métodos. El vértice central ao del !.'.rafo K1 ... (fíg. 8.~5) puede ser pintado dc ), modos, mientras que cualquiera 11\: los vértices pendientes, de X - 1 modos. Por eso, P(K1,4; }..) = }..(}.. - ir'.

Teorema 71. Supongamos que Ges un grafo sin lazos y aristas paralelas (múltiples) y sea a una arista del grafo O. Entonces

P(G; }..) : P(G - a;}..) - P(Cln; .A), donde G - a y Ola son los grafos obtenidos ele G por eliminación o contracción, respectivamente, ele la arista o.

Demostracián. La igualdad requerida se desprende dirccramcruc del hecho de que el conjunto de x-coloracioncs correctas del grafo G - a puede partirse en dos subconjuntos: coloraciones, en las que los vértices extremos de la arista a están pintados de colores distintos, y aquéllas, en las que los vértices citados están pintados de un mismo color. l.a potencia del primer subconjunto es igual, obviamente. al número de X-cotoracioncs del grafo G, es decir, a P(G, '>-). y Ja potencia del segundo subconjunto, al número de .A-coloraciones del grafo Ola, es decir, a P(Gla; }..). El teorema queda demostrado.

En todos los ejemplos aducidos P(G; }..) es un polinomio de la variable >.. Esto es siempre así, de lo que nos convencemos ahora mismo.

Sea G un grafo incompleto arbitrario sobre n vértices. Es evidente que este grafo puede obtenersea partir de! grafo K. eliminando sucesivamente las aristas que no pertenecen al grafo G. Designemos estas aristas, para concretar, mediante m, •.. , as, Introduzcamos las siguientes designaciones: 350

€) ~ $ a,

Fig.8.36. Fig.8.37. Fig.8.38. Fig.8.39.

G, = K,. - a,; G2 = C, - a2; . . .• Ok = Gk-1 - ak, G' = K.101; G2 = G,la2, ...• Gk = O, _ ilak. Entonces, en virtud del teorema 71, rene­

k

mos: P(Kn; >.) = P(Gk; >.) - 2:: P(01, >..), pero Gk = O. Por consiguiente, l~ 1

k P(G; }..) = P(K,.; >..) + L; P(G1; }..).

ru 1

Cada uno de los grafos 01, donde i = !, .... k, contiene (n - l) vértices y la función del grafo, P(G'; X), puede ser expresada a través de las fun­ ciones del grafo completo sobre (11 - 1) vértices y de los grafos sobre (n - 2) vértices. Por consiguiente, P(G; >.)puede representarse en forma de la suma P(K1, >.), puesto que, contrayendo las aristas, siempre podemos lle­ gar a los grafos completos, por ejemplo, K1• Pero, P(K1; >-.) = >.. •.. (>. - i + !) son polinomios. Por lo tanto, P(G; >..) es un polino­ mio de la variable >.. para cualquier grafo G.

La función P(G; }..) se llama por esta razón polinomio cromático del gra­ fo G (véase el ejemplo 8 del § 8.3).

Ilustremos lo dicho ~011 un ejemplo y hallemos el polinomio cromático del grafo G expuesto en la fig. 8.36. Denotemos con a,, a2 y a1 las aristas del grafo completo K, que no pertenecen al grafo G (véase fig. 8.37). En tal caso, G1 = K.; 01 = 1\,, y el grafo GJ. representado en la fig. 8.38, se obtiene a partir del grafo completo K«, eliminando en él la arista b (véase fig. 8.39}. Además, K,llJ = K,. Oc aquí,

P(Ks; x) = P(G; >.) - 2P(K.; >..} - P(G3; >..); P(K,; >-.} = P(G3; >.) - P(K1; >.).

Por consiguiente. P(G; >..) = P(Ks; >..) + 3P(K,; >..) + P(K1; },.) = >..(>.. - 1}(>. - 2)(>. - 3)(>. - 4} + }..(},. - 1)(>. - 2)().. - 3) + >..(>.. - l)(>. - 2) =

= },. 5 - ?>. 4 + 18}..1 - 20>- 2 + 8>... En particular, el grafo G puede ser pinta­

do de tres colores, por cuanto P(G; J) = 6>0.

He aquí algunas pronicdadcs del polinomio cromático P(G; >.) que se desprenden directamente del teorema 71.

Teorema 72. Sea G = (X. S) un grafo sin lazos y aristas paralelas (múl­ tiples) con un conjunto de vértices X, un conjunto de aristas S y con k com­ ponentes de conexión G1, G2, ... , G«. Entonces:

a) P(G; >..) es un polinomio de la variable }.. de grado 1 X 1 ;

351

b) el coeficiente de }..JXI en P(G; >-.)e~ igual a 1: e) el cocflciente de ).,JXI- 1 en P(G; )..) es igual n - 1 S 1 , d) el término independiente del polinomio P((;. x) es igual a O;

" e) P(G; >..) - Il J>(C,; >..); l• I

f) el índice m!nimo en las peteneras de Ja var iabtc x que figuran en P(G, }..) con coeficientes no nulos es igual a k,

Teorema 73. El grafo G con n vértices es un árbol cuando y sólo cuando P(O; }..) =A.(}.. - 1)"-1•

Demostración. Probemos. por inducción respecto del número de vérti­ ces, que el polinomio cromático de cualquier árbol marcado con n vértices es igual a >-.(>. - 1)"-1. Cuando n = 1 y 11 = 2, el resultado es evidente. Su­ pongamos que el polinomio cromarico de iodos los árboles con n - 1 vérti­ ces tiene la forma A.(A. - l)" · 2• Sea x un vértice pendiente del árbol T, y sea a su arista incidente con relación al vértice x. Por hipótesis de inducción, el polinomio cromático del árbol T - a es }..(}.. - 1 )" - 1• El vértice x puede ser pintado de cualquier color distinto del color de 111111 vértice terminal de la arista a, de modo que x puede pintarse empicando }.. - 1 métodos. /\si pues, P(T; x) • (}.. - 1) X P(T - a; }..) = )..(}.. - 1 )". 1•

Viceversa, sea G un grafo, en el que />(G; }..) = }..().. - 1)"-1. Por cuanto el coeficiente de ), en P(G; }..) no es igual a O. y el de ;1.n-' es igual a (rr - 1), entonces, en virtud del teorema 72, el grafo Ge~ conexo y tiene (n - 1) aris­ tas, es decir, tiene en una unidad menos aristas que vértices. Por consiguien­ te, G es un árbol. El teorema está demostrado.

Aduzcamos sin demostración algunos resultados más sobre los polino­ mios cromáticos.

Teorema 74. Sea P(C; ).) .. ~a,}..' un polinomio crornatico clcl grafo ;21

G = (X, S). En este caso: a) la sucesión a1, «2, •.. , «,.. ,, "" = 1 es de ~1r1111 allc1 nativo; b) si U es un grafo conexo, entonces

1 (1, 1 ~ (1 ~ ~ ~ l) ; e) ak = ~ (-1)1mki, donde 1111j es el número de subgrafos generados del

J•O grafo O con k componentes de conexión y j aristas.

Entre los problemas referentes a los polinomios cromáticos quedan no resueltos los de descripción de los grafos que tienen un mismo polinomio cromático y el problema de hallar las condiciones necesarias y suficientes para que un polinomio sea cromático.

Sea G un grafo sin lazos y aristas paralelas (múltiples) y sea L un retícu­ lo geométrico definido por el matroide cíclico M(G) del grafo. Para cual­ quier coloración cr de las vértices del grafo G, denotemos con A(cr) el con-

3.S2

junto de aquellas aristas del grafo que tienen ambos vértices terminales igualmente pintados en o.

Proposición 19. Para cualquier coloración a, el conjunto de aristas A(o;) es una superficie en M(G).

Demostración. Supongamos que esto no es asl. Sea bE(A(cr)' A(a)). Entonces, existe un ciclo 1 b, ª'• ... , 01<] del grafo C, tal que ( a1, •••••• ,

ai,) s=A(o-), y bf;A(o-). Pero, esto es imposible. Quiere decir que dos vértices terminales de la arista b están igualmente pintados para cr, y, por lo tanto, bEA(a:). De aquí, A(c:r)'A(cr) = 0. y A(a} = A(c:r). La proposición está demostrada.

Para un número positivo entero arbitrario >. y para cualquier superficie A de un matroidc cíclico M(G) del grafo O, denotemos con Q(>.; A) y fl.>.·; A). respectivamente, el número de coloraciones cr de>. colores del grafo G, tales que A(cr) =A y A(cr)2A, respectivamente, Entonces

F(),; A) = ,L: Q(>.; B). D:lJ~Acnl.,

De acuerdo con la fórmula de inversión de Moebius (véase teorema 55), tenemos

Q('>-; A)= ,L; 11(1!, n)F(>.; 11). IJ.:IJ~Acnl ..

En particular, cuando A = 0: Q(>.; 0) = L; µ(O, B)F(>.; B),

8.8): Ocnl

donde /J son las superficies del matroidc cíclico M(G). Pero, Q(>.; 0) coin­ cide con el número de coloraciones correctas en >- colores, es decir, con el número de X-colcraciones del grafo Gel cual es igual a P(G; x). Por otra parte, para cualquier superficie BEL. o más bien para un subgrafo del grafo G, definido por el conjunto de aristas B,

F('>-; B)"' >,*<º>>,JXI-"',

donde m es el número de vértices y k(B). el número de componentes cene­ xas en el subgrafo definido por D. Quiere decir que

F()..; B) = ¡..1·"1- '"+ k(l1l = >,JXI - ''ºl,

donde res la función de rango del matroíde clclico M(G), puesto que, en virtud de la proposición 8, r(B) = m - k(B).

De este modo queda demostrado el siguiente resultado: Teorema 75. Para un grafo arbitrario G = (X. S) con k componentes de

conexión y para cualquier número positivo entero >-:

P(G; A}= V''I }:>. -r(B)p(O, B)"" >." .L:>-'(S)-r(D)µ(O, B), ML ~L

2J-.(o()l.1

c.londe JL es la función de Moebius del retículo geométrico L del matroide cíclico M(O) del grafo G, y la suma se toma respecto de todas las superficies B del matroide <'f(O).

Sea M = (S, -~ un rnatroide y r. su función de rango. Se llama polino­ mio característico P(M; >-.) del matroide M al polinomio característico del retículo de superficies L, es decir,

P(M; k) = 2:;µ(0, A)).'<s>-r<A>. AH.

De este modo, si O = (X, S) es un grafo sin lazos y aristas múltiples, enton­ ces, en virtud del teorema 75,

>.kP(M(G); >.) = P(G; >-.), donde M(G) es el matroide cíclico del grafo G. El número cromático x(M) del matroide M se define como). natural mínimo, para el cual P(M; >-)>O. Por cuanto P(G; >-)>O cuando y sólo cuando P(M(G); >.)>O, entonces los números cromáticos del grafo G y de su matroide cíclíco M(O) son iguales. Más aún, de aquí proviene en seguida que si los grafos G1 y Oi tienen matroides cíclicos isomorfos, sus números cromáticos son iguales.

El polinomio característico P(M; )..) del matroide M = (S, -) tiene muchas propiedades comúnes con el polinomio cromático del grafo G. Por ejemplo:

a) si a no es ni lazo ni puente, entonces P(M; ).) = P(M - u, ).) - P(Mlu); ).);

b) si M tiene lazos, entonces P(M; ).) "' O; e) si M se descompone en las componentes M., ... , M», entonces

k P(M, >-.) = Il P(M;; >-.);

1-1

d) la sucesión de los coeficientes de P(M; >-.) es de signo alternativo. Sea K una clase de matroide cerrado respecto de las sumas directas

(uniones) y la formación de menores. Veamos las funciones/, definidas sobre íos elementos de la clase K con valores en un anillo conmutativo con la unidad, que toman valores iguales en los matroides isomorfos, tales que para codos los M, Mi y M2EK:

a) /~M1 + M2) = /(M1)/(M2); b) /(M) = f(M - a) + f(Mla), si a 110 es ni lazo ni puente. Las funciones f que poseen las propiedades citadas llevan el nombre de

invariantes de Tutte-Grothendieck. Sea K una clase de todos los matroides. }>ongamosf1(M) y h.(M) iguales

al número de bases y al número de conjuntos independientes, respectiva­ mente, del matroide M. Es fácil ver que /1 y /2 son invariantes de Tutte­ Grothendieck. Se puede mostrar también que si P(M; >-.)es el polinomio ca·

354

racterístico del matroide M, entonces (-l)'(Mlp(M; >.)es también un inva­ riante de llttte-Grothcndieck.

Se llama funcián de rango generatizada del matroidc M = (S, -) a un polinomio

R(M, X, y)= ¿; x'(S)-rCA)yr•(.~)-r'(.hA),

A~S

donde r y r" son funciones de rango de los matroidcs M y W, respectiva. mente. Haciendo uso de las relaciones entre r y r•, podemos escribir que

R(M; X, y) = ¿; x'(S)- r(A)y!Al-r(A)0

A<;;S

Directamente de la definición obtenernos: R(M; x, y) = R(M•; y, x);

R(M; x, y) = 1 + y, si Mes un lazo: R(M; x, y) = 1 + x, si Mes un puente.

Se propone que a titulo de ejercicio se demuestre el siguiente teorema: Teorema 76. El polinomio R(M; x, y) es un invariante de 'Tiltte­

Grothcndicck para cualquier clase de rnatroidcs K. El polinomio T(M; x, y)= R(M; x - 1, y - 1) para matroidcs gráficos

fue estudiado por Tutte y por eso lleva el nombre polinomio de Tutte. Resultó que todos los invariantes de 1l11tc-Grothendicck de una clase

arbitraria K podían ser obtenidos del polinomio de 'Tutte. Por ejemplo: a) T(M; 2, 2) =- 21·~1; b) T(M; 1, 1) es igual al número de bases del rnatroidc M; e) T(M; 2, 1) es igual al número de conjuntos independientes del

matroide M; d) T(M; 1, 2) es igual al número de conjuntos generadores del matroidc

M; e) T(M; O, O) =O; f) T(M; I, O),,. (-Jy<5>µ(0, 1), donde ¡1 es la función de Moebius del re­

tículo de superficies del matroidc M. Más aún, a través del polinomio de Tulle se expresa el polinomio carac­

terístico P(M; >..) del matroide M: P(M; >.) = (-l)'<S>T(M; 1 - x, 0).

Sin embargo, incluso matroidcs no isomorfos pueden poseer un mismo polinomio de Tutte. Por ejemplo, los rnatroidcs M1 y M1 de rango 3 sobre el conjunto S = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l. expuestos en la fig. 8.40, son precisa­ mente de esta clase.

T(M,; x, y)= T(M2; x, y)~ x3 + 3x1 + x1y + 2y + Sxy + 2xy1 + + 2y + 4y2 + 3yJ + y•.

23• 355

16. 71

Fig.8.40.

L , 1 3 4

M,

No obstante, M1 se diferencia de M2 en una cantidad distinta de delos, su­ perficies y coátomos.

Los rnatroides de Tutte realizan una conexión de los marroidcs con los códigos y empaques lineales, debido a lo cual toda una serie de problemas de la teoría de codificación se reduce a los problemas de la teoría de matroides. Veamos, por ejemplo, el problema de cálculo de la distribución de los pesos de un código.

Sea A una matriz de orden k X 11 con coeficientes de GF(q). Vincule­ mos con cada tal matriz de rango k los siguientes dos objetos: U, que repre­ senta el código lineal sobre OF(q), es decir, el espacio de filas de la matriz A; M, que es el matroide de las columnas de la matriz A. Sea uE U. Se deno­ mina peso w(u) del vector u al número de sus componentes no nulas. Un polinomio

" A(U. z) = 2;zw<~l = 2:;A1z1, NEU ,. J

donde A1 es el número de vectores 11EU con w(u) = i y lleva el nombre de 1111111erador ponderal del código U.

Teorema 77. La función/, definida para todas las (k x n)-matrices A sobre GF(q) por medio de

1 /(A)= (l _ dz"-·"- A(U,· z),

es un invariante de 'Iutte-e-Grothendieck. Más aún,

/(A) = T~; 1 + l(q_ -Z 1);; , ~) •

donde T(M, x, y) es el polinomio de Tuue. A título de ilustración de la relación recíproca entre los códigos y

marroides puede deducirse la fórmula de Mac Williams (que relaciona el numerador ponderal con el numerador ponderal del código que el es dual) basándose en Ja dualidad correspondiente del polinomio de Tutte.

Problema crflico. Sea V(n, q) un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo finito GF(q), y sea S un subconjunto del espacio V(11, q) que no contiene vector nulo. El subespacio de V(11. q) de dimensión n - 1 recibe el nombre de hiperplano. El problema crítico para el conjunto S consiste en la búsqueda de tal número positivo entero mínimo k, para el cual se en-

356

centrarán k hiperplanos Ha. H¡ •... , H,, tales que H1Nf2() ... , Nf1r.ro = = 0; dicho de otro modo, para lodo pES existe por lo menos un solo hi­ perplano H1, tal que p~ H;.

Por cuanto para cada hiperplano H¡ del espacio V(n, q) existe tal fun­ cional lineal L1 sobre V(11, q) con valores en GF(q), tales que H1 = L¡- 1(0), entonces el problema critico puede enunciarse de otro modo. Diremos que una sucesión (f.,, L2, ...• /,~) de funcionales lineales distingue' el conjunto S, si para lodo pES existe un Indice i(i = I, 2, ... , k) lal que L;(p) ;t O. Un número positivo entero mínimo k , para el cual IR sucesión (L1, L2 ••.. ,L1t) de funcionales lineales distingue el subconjunto S de V{n, q), se denomina exponente crítico del conjunto S. Entonces el problema crítico consiste pre-, cisamente en la búsqueda del exponente crítico.

Si S consta de un solo vector nulo, su exponente critico es ig11:1I a l. En el caso cuando S consta de todos los vectores no nulos del espacio V(11, q), su exponente crítico es igual, por lo visto, a n.

Teorema 78. Sea M un matroidc lineal generado por un subconjunto S de V(n, q) (véase el ejemplo 5 en el § 8.4) y sea P(M; >.)su polinomio carac­ terístico, Entonces, el número de sucesiones ordenadas (L1, .... Le} de fun­ cionales lineales sobre V(n, q), que distinguen el subconjunto S. es igual a f>(M, qk).

Demostración. Supongamos que As;; S y que g1t(A) es el nümci o de su· cesiones ordenadas (J.,, Li •... , Lk) de funcionales lineales sobre V(n. q)

k tales que A~ n L¡-1(0). Sea /k(ll) el número de sucesiones (JJ,, Li, ...

l·l ... , L1t} para las cuales A es exactamente igual a la intersección de los

k

núcleos, es decir, A = n Li- 1(0). Entonces, CA-(A) = Í:,/4(8) y, en virtud i-1 B:A.<;;./t

de la fórmula de inversión de Mocbius (véase teorema 55), tenemos

/1t(A) = 2:; ¡•(A, B)gx(B). ll·A.!;8

Sea Wa una cápsula lineal de los vectores de B en V(n, q). Entonces, WB es un subespacio del espacio V(n, q) y dim B ~ r(B), donde res la fun­ ción de rango del matroide M. Observemos que Kk{B) es igual al número de sucesiones ordenadas (L1. L1, ... , L1c) de funcionales lineales sobre el factor-espacio V(n, q)/Wn. Por cuanto dim V(n, q)/Wn,,. r(S) - r(B), entonces

g1c(B) = q<rCS) - rCB))k.

Por consiguiente, fx(A) = L, µ(11, B)''<S>- ''ª»". Al poner A • 0, obtc- 0;·;1;;¡

¡;;3 nemos

fk(0) = Í:, µ(O, B)q\r(S)-f{B))lt = P(M; q"), B:8s;;S

351

donde /i.(0) es precisamente el número de sucesiones ordenadas (Li, L2, ... , Lk) de las funcionales lineales sobre V(n, q) que distinguen S. El leo· rema está demostrado.

Corolario 13. Sea M un matroide generado por el subconjunto S de vec­ tores no nulos del espacio V(n, q) de dimensión n sobre el campo GF(q). Entonces, el polinomio caractertstíco P(M; >..) del matroide M posee la siguiente propiedad:

P(M; qk) =O para k = O, I, ... , e - I; P(M; q")>O para k~c:,

el onde e es la exponente crlticn del conjunto S. Además, c;i;;, n para todos los subconjuntos S de V(n. q).

Crapo y Rota suponen que el problema critico es «el problema central en la teoría combinatoria extremal» (véase [104]). En efecto, toda una serie de problemas combinatorios se enuncia adecuadamente en términos de esta teoría. Por ejemplo, la hipótesis de cuatro colores, mencionada más arriba, se enuncia así: si Mes un matroide cíclico de un simple grafo planario, ten· dremos para lQS exponentes criticas: c(M; 2) ~ 2, y c(M; 4) ~l. Sin embargo, se han obtenido muy pocos resultados generales concernientes al problema critico. Se ha demostrado, por ejemplo, que

a) la exponente critica de una geometría lineal finita sobre GF(q) es igual a l, cuando y sólo cuando dicha geometría es isomorfa al submatroide de la geometría afín AG(n, q);

b) las raíces del polinomio característico P(G; >..) de una geometría superrcsolublc O son números positivos iguales a j A1 + 1 'A11 (Ja geome­ tría combinatoria G = (S, -) se denomina superresoluble, si existen superfi­ cics modulares Ao~A, s; ... ~A,. = S, tales que r(A1) = i. La superficie A de la geometría O se denomina modular; si forma un par modular con todas las demás superficies de la geometría G).

Ejercich>$. s. Se:;., s un conjunto nnuo y sea n ie ( sv, S:, .... S11 J una pnrtic1ÓH dél con­ jynto S. Oiremos que un subconjunto As= Ses independierue, sl ninallu par de elementos de /l yace cu 1111 mis1110 bloque de 111parlición11, u decir, 1Af\S11 .;; l. i • 1, 2 •••. , n. Muéstre­ se que el pur (S •. '?, donde .9cs una .familia de todos los subconjuntos índepcndien1es del con­ jun10 ~'. representa un matroide llain;tdo matroide ele purtlcion.

6. sea C( V. E) un 11rnfo orientado finíw ~i11 Iazos, y S. T~ V. Diremos que un subconjun­ ou ;I SS es iudepcudienlc, si existe 1 A 1 cu minos que van de los v~rticct del conjunto A a los del couiuruo Ten el grafo C y que no se intcrsecan por los vértices. Mutunosc que el par (S. ,.). dunll~ !Yes un:' f:u\\ili:\ de 1~os los sul>conju1U\\S independientes del conjunto S. represen ..

fa un m;1troidc deuomiundo J:Ummoltlt: (imJic:.u:ión: h:\kLa.se uso tlcl lema 6 del ¡ 8.l) 1. l)\!11111~s11csc que euda matroidc transversal es un gammoide, ¿Es cierta la afirmación

1t1vcrloa? 8. tv1uC:strc~~ que un matroide es g:unmoid1,: cuaudo y sólo cuando su contracción es un

marroutc transversul, El resumen de los resultados referentes a los gamrnoides se da en [141). Una peculiaridad de In estructura rnarroidal consiste en que cualquier

conjunto independiente máximo por inclusión es también máximo por el

358

s. .. r 1,

s, s, r, S, ª• r,

l'ig.8.41. s, r,

número de elementos. El problema de hallar los subconjuntos.indcpendíen, tes máximos por inclusión del lllill rolde cs. trivial; bastn añadir los dc111c11-. tos hasta que .sea posible. En esto precisamente está basado el algoritmo «ávido» (véase § 6.3).

EJ•rciclo. 9. Muéstrese que si el algoritmo «n•idon elige k elementos, CM" tienen 1111 peso máximo entré codos los conjuntos indcpcnc.licnlcs compuestos de k o menos etememos,

JO. Supongamos que se tiene un conjunto de rareas cuyo cumplimiento con ayuda de 1111 ordenador requiere un lapso de riem110 igual. Además, se conoce el plazo extrcrunl de cu111pli· miento de cada larca. Muéstrese que el íuc¡:o de todos los subconjuntos de lMcns, <!lle pueden realizarse según un horario. forma el conjunto de todos los eonjuntos indcrc11dirn1c• de cierto rnatroide,

u. Supongamos que en el eiercíclo 10 se pa¡ta una mulla por cndn tarea no reahzada. ¿En qué orden han de rc:t.li7..at'SC li\$ rareas para QHt ta muit~ C(l(nl sea miuirna?

12. Supongamos que n 11>dos los ckmculo.< lkl ruarroide M les hn11 sido :i<i~11:11h>s In.< 1"-'· 1'()$ no nc~alívo5. Demuéstrese que

a) f'):U:t todo x pcrtenecícnre a I~ hase Jd 111:lcruitlc M. no (')l;l'ih: un i.:u.:lo C". 1al qu~ .\C:C: y x posea d menor p<:.10 entre rodos los J'EC':

b) para cada elemento x de peso máximo, pcr tcnccicnrc a la base, existe por lo menos un cocicto e', lal que xEC", y X tenga el mayor peso curre iodos los clcmcnlos tic C'.

13. Sea M matroide sobre el conjunto S. a cuyos elementos les lrnu .<i<lo nsi&natlo< pesos no ncgali•os. y sea B une fomílla de todas las bases, mientras quc C" es una familia rle IO<I<>$ los eocicíos del marrolde M. Muéstrese que en este caso

mín máx w(x) ~ niáx 111ln w(x).

Veamos un grafo bipartido G(SUT, E) (fig. 8.41). Un subconjunto { ei. e., e9) ~E es una combinación de pares máxima por inclusión del grafo G, el cual no es máximo por el número de elementos. Por consiguiente, el par (E, .~. donde .qlJes una familia de combinaciones de pares, no es matroide, Sin embargo, la familia de combinaciones de pares :?'cid grafo posee una estructura bastante buena: es una intcrscccióu de dos matroidcs, es decir, pueden encontrarse dos tales matroidcs, (E, .'.1¡") y (E, .";lí) sobre el conjunto E de aristas del grafo con familias de conjuntos independientes .'.lf y .'tf, res­ pectivamente, que&= -'Yin~. Por ejemplo, definamos para el grafo cxpucs­ to en la Iig. 8.41 dos rnatroidcs ce partición (E,.';.)) y (e, .7}) (véase ejercicio 5}, poniendo n. cs 1 r e1). r e«, e1, e9 J. l e1, e1 J. (e., es J. re, 1 J. y 11"2 = = ( l t"J, e,). [ e1, e., e&}. lea, e,). { Cl, et) ) . No es dificil notar que el sub­ conjunto A <;;E es una combinación de pares en el grafo G(SUT, E) cuando y sólo cuando A es independiente tanto en C?I matroidc (E. .9;) (ningún par de aristas de A tiene vértice común en S), como también en el matroidc (E,

359

.~) (ningún par de aristas de A tiene vértice común en 1). Por consiguiente,

.-)> = Sf n .~~. De este modo, el problema sobre una combinación de pares en un grafo bipartido puede considerarse como un problema de búsqueda del subconjunto máximo del conjunto E que sea independiente en dos matroides a la vez.

Ejercicio 14. Sea S un conjunto finito y Y= {Si. ... , S" j una familia de subconjuntos de] conjunto S. Se pregunta si existe o no tal subconjunto fl~S que I H 1 == 11 y j HílS; l = 1 para i = 1, ... , n. Enúnciese este problema como un problema de intersección de un matroide transversal (ejemplo 9} y de un matroide de partición (véase ejercicio 5).

Sean dos matroides, M1(S, Sü y M2 = (S, .51) sobre el conjunto S, a ca­ da elemento del cual Je está asignado el peso w(s), donde ses. Se requiere encontrar un subconjunto IE.91 n Si° tal que la suma .L;w(s} sea máxima.

JE/ Teorema 79 (de Edmonds). El problema de intersección ponderada de

los matroides es equivalente al problema de programación lineal

máx (2:: w(s)·x(s)) >ES

a condición de que para lodo A <;;;,S

L;x(s)~l'i\1,(A) y 2;x(s)~rM,(A). dA ffA

donde rM, es la función de rango del ruatroide ru; i = 1, 2; x(s) es una función binari« sobre el conjunto S.

La· relación existente entre la teoría de los matroides y la optimización combinatoria fue revelada por primera vez en (142). En la misma obra Ed­ monds anunció la solución polinomial del problema sobre la intersección de matroides, cuyo algoritmo de resolución puede encontrarse en [143, 144). Los algorhmos y su argumentación para los problemas de optimización combinatorio de estructura matroidal están bien descritos en [145].

Solamente hemos hecho un breve resumen de las tendencias principales de la teoría de los matroidcs. Para el estudio utierior del problema se reco­ miendan las obras (1, 34, 104 .. .109, l 38 y l 45J.

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366

Índice alfabético de materias

Álgcbr• 16,41 • de lloolo 27S • de funcione• ¡e:ncr~cricu a· poncttcla!cs "6 • de h,Cld(M'a 300 • f1Ullltt4d<>ra 42 Ál¡cbru 1«m1orfas 41 Al¡oriuno •vido 116 · (Je llcllman·Kal•ba l91 • de tlccclón de un .$i$tc.m• Je reprcsenc1nct1o dia.1in101 tliO • de FO<d 191 • de Unlc 169, 174, 119 Árbol UI, IH . de uqucltil.) 1 S2

Bloquc·t~Qucma 10l • complc10 10.1 • •fK'Oropkto JOl •• cqu1Ubrat10 (818) 10.1 • .. pa1dalntcotc c,,.uilibrado (P818) IOS - sir~trieo IOó Bou¡oe ISI

Combio•<ión 17 ConOauradoo 8 - tic Oc1o•r1vu lll • de r .. ,.., 1)9 • de l'appus l ll, IH Conc de un 1rafo US Cuadrado larln<> 9l, 96, 97

Kn«je (lnrne"lón) 10 l!.AIKC" de h.u gtUP()I (01up­ pcntn1n&) 7l Espacio con n1ttric.1 111 • de Mlnkowski 117 • PfO)'Cctivo clúico llS

f\indón ele •hura (ele ran10) 276 • S.Cf\t'Ulfi-t )9 •• de Olrlthlel SO • • de distrib\Jc1ón de tas pro· babdadea 6.1 •• aponene1•I 46, 47 • de un1 masnítud alearofi1 bi· dimcn"io111t 63 ... de momc.nto.s ccn1raJu 6~ •• de mome'ntos íaetorialu 6l •• de momcruos ordinlríos 6S • - onfinana "l • n1odular 119 • de ranao acncralitada lH - de 1ttub1i.nut'nco )01

. submodulu 295

Ceometrf• ptO)<Cliva IJ2, 135 Orafo 14<1, 145 • b1panldo 146. 149

t'Omplcto 146 .. tUlcti&flU J~9 • de Fer rcn )O

t.111mhoruano UO Uraf<> de kurauw.s.kl l41 . 110 ortcni•t.Ju I•.) · oucotado 14• • orientado •In c:onlomos 2$1

pl<lnano 1•6, HO • iimp!t 14'

i1n luo 144

Jtomornoríb1no de yn in•po IS

d-e un rttfculo 21.c>

J11ver.sf6n de Mocblus JOO. )U. l?I 1 . .i.>mottisu\o dt lo¡ gr:.íos J44

M.1tnz de adyacenti.2 t .. 6. 231 • - de un iraío 146 b1~0 indc,componiblc 121 hln~ma 87 Jt los CH.10.1 tunaamc:n.falcs

116 («>n1urnos) de \U\ 1r..ro '"~

• de co11¡rnc:n(1;t Je üos en 4.Jo• 9() - l"Onniulilbtc 19 - de los corto (und¡¡n1cnc•k.1 136 • cnocá1uc.a 91 • • 1>0r coh11nn1Ls 91

. '"" ria. 91 • de lbd•mlld 90 ••. normatiuda 90. 111

J1: nu.:idcnc1:a 87. 1 .. 8 Ma'"~ min1miudora llt

lltl plan a1a11co 212. 217 • pardalmt11'tc dC:S<'omponlbte 121 - Jos veces u1oct11ka 91, 121

•• tninimJutton 12' • (0,1) 111. 126, 211 Matroide 324, l26 • algcbrako ll) .. b1111no )-16 • clclico de losarafos ll3, )35 • coelcl1co 3l9 • coir¡r«o JJ9

• conao 140 • d11&1 ll l, 346 ·de Fano 346 • ¡1mmoidc JS7 • artrko 334, us • homo¡ineo 332, 346 • i1omorío 326 • libre 332 • llne1I 33J • orknlado 349 • de partición 3.17 • rc¡11l111 3•7 • ffS)f CicbCablc l'6 • tcrft&rio 346 • trlUUYen.aJ )Z,C., JJj Moduluidad ll Muuua J7

Nunl<TO de B<1110<rlli 59 . clclomi1ico 1$.1 - <O<rclomiuco 154 • de: cumbin~ionc• 19 • • • (on ttpcrk16n 10 • cr0tt1itico l.lO • <le Oc Morau SJ - de discnbucloncr 24 • de l'lbonaccl ·s6 - de pcrmu1•donc. \'.On repetl­ ción 11 • • • JJn repetición n - de R111nk)' Sd • de S1Jrling de I" atncro $4, 6S ••• de 2· sfoero 27. 54. 65

Plrtlá6n 2l • au1oeo11ju1ada JO - eortiua•da ~2 - de un eonj .. n10 12 • de un n..:onJW110 29. 31 • de números Dllllttka D Pcm1ancntc 93, 11). u.­ Pcrn\UhlCfotl<'s con rcpctici6n 18 • dn reperlclón 18 Poh1>0nuo <rom.t1tco l22 •• de un srdo 3$1 Ptl1t1cra fótmU1t d~ invus!ó.n de M<>cblu• JU, Prillclpio de dualldod 137 Problema de empaques JS • de Eulu 98 • de ~pcri1ucrt1os de rechazo 117 • de un• m0<hlla 1'4

J67

.. rcoblcm:t de riombramlt-ntos 1$9 • de i>at1k1ón de C<'lnjyntos Sl • de planific:tci6n del Cl((>tfl· mento lSO • de rtC't'ubin,¡cntos H. 162 • sobre los rnbconju.ncos que se in1usrun J.a • de v.n der W..ucl<n 116 • de un viAJnncc de (omcrc1o 16<1

Rccto\ngu1o IMlno normalltaOo 9• ll«l~niutos la1tnos cquivakn· la 94 R<1kulo 26l • ar1ucs3ru> 292 • de boolc (b<'ol .. no) 271, 27l, '774 • con complctncn1os. ttb.tiYOs 27• • <omplcto 273 .. d1.am.an1t Ui6 • d1J1tib\l11vo 249, 271, 29.S • ñnlto 26S - gcom~trko (1n1ornldal) 181. 2~}. 237 • libre 26!

l6~

• n••lro1dal lU, )24 • mnJula.1 Zlt7. 279 .. sc-mifttoeiul:u ?76, 119 .. 11nun0di\l 286

ÑJUnda (~rmuln de lll~rsión ck Mocbtus. JU S•JT10Jhu.1 tn S1ucl'ru\ de rerrrscntanlC\ C'<'- 1nuncs Al • • • d1s1tn10,: 1R • de lcnms de Klrkni.ln 101 • • • de S1•io<r 101 Sub¡nifo oe <'J.q11clc10 (grafo r•retnl) l"<' · ,en.,.do 146 Su(liluc.611 11 Tcor<'m~ b1non1ml JC';I • Je nlr~hMí 92 • de cl.rcufM~n 20) • de Cr~pu 144 • ck dcm~n-tJa y ofert3 2()t • de lXS4tll•tC3 1)4 • de Dilwuh U6. 261 .. de EdmondJ JJ4 • d< J'Qrd 249, 230, 2~1 • de F'ulkC'r~~n 249, 250~ 2~1

. de r. H•ll 79, 88. m. 2•9. 2<0 • Jord;m-ltóldcr p:u.l rcllc11\<'Ji "1C'HJUIJre& 27) • d< Ko11lg 8&, 121, 20<) • ti< Mcng<r 249. H•. 2)~ 261

ti< op<im>lid~d 190 • rf< l'¡ppus IJ4, IJ6

,le l'olr.\ 69 de R01m~cy )6., 84, 1)1

h:t,,cnrn de R<>tft JlJ • d< S<rm1>11r 234, 28$, 149 • dt Sr><rner 234, 2BS

de SylYC$1tt 117 de Tuylcv 60

• rk Wbo!ncy 339 • de Zcrrnclu :Z.49, 2$0, 261 IC'orl:\ de los d1icrintin;1ntt-$ tnlJtto~ 117 • ~. R..muy 8) • de Rcdlicld·l'ol)'ll 66. U4 rcm.\i de ~irktnM 101 • de Sr.;.,., 101, 11 l rbrolog.ia «trnb!nt1othl IJ2 Tran1i11v1J2d 24.S n"M~nal de UP~ ma1r-i7. 9f, 114, 2SI