1UNACHESTRUCTURAS ISOSTATICAS

INVESTIGACION DE ARCOS

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ÍNDICEUnidad: Estructuras de eje curvo3.1 Definición de arco………………………………………………………………………33.1.1 Clasificación de los arcos según los apoyos, la carga que soportan y sus articulaciones internas……………………………………………………………………...43.2 Análisis y graficas de los elementos mecánicos en arcos circulares…………….7

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3.1 DEFINICÓN DE ARCO

Un arco es el elemento constructivo de directriz en forma da o poligonal, que salva el

espacio abierto entre dos pilares o muros transmitiendo toda la carga que soporta a los

apoyos, mediante una fuerza oblicua que se denomina empuje. Pueden usarse para

reducir los momentos de flexión en las estructuras con claros amplios. Un arco funciona

como un cable invertido, por lo que generalmente recibe carga en compresión, aunque

debido a su rigidez, también debe resistir algunas fuerzas de flexión y de cortante

dependiendo de cómo este cargado y cuál sea su forma. Si el arco tiene una forma

parabólica y se somete a una carga vertical uniformemente distribuida de manera

horizontal, entonces a partir del análisis de los cables se deduce que el arco sólo resistirá

fuerzas de compresión. En estas condiciones, la forma de arco se denomina arco

funicular, porque dentro de él no se producen fuerzas de flexión ni fuerzas cortantes.

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3.1.1 Clasificación de los arcos según sus apoyosEn la figura se muestra un arco típico, que especifica alguna de la nomenclatura que se

usa para definir su geometría.

Un arco fijo, suele hacerse de concreto reforzado, aun que su construcción puede requerir

menos material que la de otros tipos de arcos, debe tener pilas de cimentación solidas,

puesto que es indeterminado de tercer grado y, en consecuencia puede introducirse

tensiones adicionales al arco.

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Arco de dos articulaciones, se hace comúnmente de madera o de metal. Es indeterminado

de primer grado y aun que no es tan rígido como una arco fijo, es algo insensible al

asentamiento.

Un arco de tres articulaciones que también se hace de metal o de madera, es

estáticamente determinados, no le afecta los cambios en el asentamiento o temperatura.

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Un arco atirantado permite que la estructura se comporte como una unidad rígida, puesto

que el tirante soporta la componente horizontal de empuje en los soportes además,

tampoco le afecta el asentamiento relativo de los soportes.

Arcos de tres articulaciones

Con el fin de obtener una idea de la forma en que los arcos transmiten las cargas, se

considera el análisis de un arco de tres articulaciones, como el que muestra en la figura.

En este caso, la tercera articulación se encuentra en la corona y los soportes están a

diferentes alturas. Si se desea determinar las reacciones en los soportes, el arco debe

desmontarse para hacer el diagrama de cuerpo libre de cada elemento.

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3.2 Análisis y graficas de los elementos mecánicos en arcos circulares

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

La deducción de las funciones de los elementos mecánicos se realizara bajo el cumplimiento de los siguientes pasos:PRIMERO.- A partir de la estructura planteada, se construye un diagrama de cuerpo libre para identificar:

El sistema de fuerzas.- Dado que se analizan estructuras planas, el sistema de fuerzas en su conjunto podrá ser un sistema de fuerzas paralelo o un sistema de fuerzas generales en el plano.

Las condiciones de isostaticidad.- Identificado el número de las incógnitas y el número de las ecuaciones de equilibrio estático que contiene el sistema en su conjunto, se tendrán elementos de análisis para abordar estructuras cuando las condiciones de isostaticidad sean iguales; esto es: I = E.El tipo de estructura.- Con el resultado anterior, estaremos en condiciones para abordarel análisis de una estructura que se define como Isostática.

SEGUNDO.- Aplicando las condiciones de equilibrio sobre el diagrama de cuerpo libre, se determinan las reacciones para encontrar el equilibrio externo.

TERCERO.- Analizando la estructura de izquierda a derecha o viceversa según sea el caso se identifican los tramos que presenten cambios de forma en la carga externa, para que, sobre cada uno de ellos, se construya un diagrama de cuerpo libre indicando la acción de las cargas externas (que actúan sobre la porción que se analice) las que se habrán de equilibrar con un resultante interno, identificando en éste, las componentes que definen a los elementos mecánicos que actúan en el tramo respectivo.

CUARTO.- Aplicando las condiciones del equilibrio estático se deducen las funciones de los elementos mecánicos que se presentan en cada tramo, y al sustituir en éstas los parámetros de variación de la distancia angular “ϕ”, previa descomposición de los elementos de la carga externa obteniendo las magnitudes respectivas.

QUINTO.- Con el resultado del punto anterior se procederá a trazar el diagrama de variación para cada elemento mecánico considerando:Línea base de la fuerza normal, fuerza cortante o momento flexionante: A partir de un marco de referencia, mismo que será de forma del arco en análisis (circular o parabólico) por el cual se traza la línea base, sobre la que se indicarán los parámetros de variación de la distancia angular “ϕ”; que se relacionarán sobre la línea base, en el que se localizarán las magnitudes de los elementos mecánicos respectivos (normal, cortante o momento flexionante).

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Trazo de la variación de los elementos mecánicos.- Con los puntos encontrados del resultado anterior, se une punto a punto obteniéndose la variación de esfuerzos que estará definida por las funciones de los elementos mecánicos hallados según la variación de la distancia angular correspondiente al arco.

Ejercicio # 11

Determinar y graficar los elementos internos del siguiente arco.

1 t/m

2 t

C

A B

G = 4 - 3 – 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICAPaso 1) Cálculo de reacciones de apoyo.

H A

R=3 t1,5

2 t

C

HB

V VA B

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∑ H = 0 ⇒ HA + HB − 2 = 0 ⇒ HB = −HA + 2 t

∑M A = 0 ⇒ 3(1.5) − 2(3) − 6 ⋅VB = 0 ⇒ VB = −0.25 t

∑M B = 0 ⇒ 6(VA ) − 3(4.5) − 2(3) = 0 ⇒ VA =3.25 t∑ M C

DER = 0 ⇒ −8 − 0.25)3 − 3 ⋅ H B = 0 ⇒ H B = 0.25 t⇒ H A = 1.75 t

CONTROL ∑V = 0 ⇒ 3.25 − 3 − 0.25 =0

Paso 2) Obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos

1 t/m

2 t

C

1.75 t 0.25 t

3.25 t 0.25 t

En los arcos circulares es preferible utilizar ángulos para definir las secciones.

TRAMO A-C

Sabemos que:

d = 3 − 3⋅ cosϕ d1 = 3⋅ cosϕ

d2 = 3⋅ senϕR =1⋅ (3 − 3⋅ cosϕ)

Sabemos también que de la descomposición de fuerzas resulta:

F1 = 3.25⋅ senϕF2 = 3.25⋅ cosϕF3 = 1.75⋅ senϕF4 =1.75⋅ cosϕF5 = (3 − 3cosϕ) ⋅ cosϕF6 = (3− 3cosϕ) ⋅ senϕ

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R

1 t/m

NM

Q

1.75 t ϕ

3.25 t

d1

F2

F1

3.25 t

F4

1.75 t

F3

F5

F6

3−3cosϕ

DOMINIO ⇔

0 < ϕ < 90º

Normal ⇔ ∑ FN = 0 ⇒ N + F2 + F3 − F5 = 0

∴ N = −0.25cosϕ −1.75senϕ − 3cos2 ϕ

Cortante ⇔ ∑FQ = 0 ⇒ Q − F1 + F4 + F6 = 0

∴ Q = 0.25senϕ −1.75cosϕ + 3senϕ cosϕ

Momento ⇔ ∑MS = 0 ⇒ M − 3.25⋅ d +1.75⋅ d2 + R ⋅d = 02

∴ M = 3.25(3 − 3cosϕ) −1.75(3senϕ) − (3

−

3cosϕ)2

2

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En la siguiente tabla mostramos la variación de valores que existen a lo largo del tramo A-C

(se recomienda una variación cada 15º)

Normal “N” Cortante “Q” Momento “M”

[t] [t] [t_m]

0º -3.25 -1.75 0

15º -3.49 -0.88 -1.03

30º -3.34 -0.09 -1.40

45º -2.91 0.44 -1.24

60º -2.39 0.64 -0.80

75º -1.95 0.54 -0.32

90º -1.75 0.25 0

TRAMO B-D

DOMINIO ⇔

0 < ϕ 1 < 90ºN

M

Q

ϕ1

F1

F2

t

F3

0.25 t

F4

0.25 t 0.25 t

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Sabemos que:

F1 = 0.25⋅ cosϕ1

F2 = 0.25⋅ senϕ1

F3 = 0.25⋅ senϕ1

F4 = 0.25⋅ cosϕ1

Normal ⇔ ∑ FN = 0 ⇒ N − F1 − F3 = 0

∴ N = 0.25cosϕ1 + 0.25senϕ1

Cortante ⇔ ∑ FQ = 0 ⇒ Q − F2 + F4 = 0

∴ Q = 0.25senϕ1 − 0.25cosϕ1

Momento ⇔ ∑MS = 0 ⇒ M + 0.25(3 − 3⋅ cosϕ1 ) − 0.25(3⋅ senϕ1 ) =0

∴ M = −0.25(3 − 3⋅ cosϕ1) + 0.25(3senϕ1)

En la siguiente tabla

mostramos la variación de

valores que existen a lo

largo del tramo B-C (se

recomienda una variación

cada 15º)

Normal “N” Cortante “Q” Momento “M”

[t] [t] [t_m]

0º 0.25 0.25 0

15º 0.31 0.18 0.17

30º 0.34 0.09 0.27

45º 0.35 0 0.31

60º 0.35 -0.09 0.27

75º 0.35 -0.18 0.17

90º 0.25 -0.25 0

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ESFUERZO NORMAL

60°

30°1.967 t

15°

0°

75°60°

0.31 t

45°0.35 t

0.35 t

( 30°+

)0.34 t

15°0.31 t

0.25 t 0°

ESFUERZO CORTANTE

15°

0°

90° 75°60°

0.25 t

(-) 45°0.25 t 0.18 t

0.09 t

0 t 30°

0.09 t

15°0.18 t

0.25 t 0°

DIAGRAMA DE MOMENTOS

30°

15°

0°

75°60°

0.17 t.m 45°0.27 t.m

0.31 t.m( 30°

-

)

0.27 t.m

15°0.17 t.m

0 t.m 0°

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