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Trabajo Fin de Máster:

“Análisis de inversiones mediante opciones

reales: análisis metodológico y aplicado”

Autor: Santiago Huidobro Ariza

Tutor: Pablo Cortés Achedad

Sevilla, 2016

Universidad de Sevilla

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis

metodológico y aplicado”

1

ÍNDICE GENERAL

1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3

2. OBJETIVOS DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER ........................................................................ 6

3. ANÁLISIS TRADICIONAL DE INVERSIONES ......................................................................... 8

3.1 Conceptos básicos ..................................................................................................... 8

3.1.1 Flujos de caja de un proyecto ............................................................................ 8

3.1.2 Valor temporal del dinero ................................................................................. 8

3.1.3 Valor actual de un proyecto .............................................................................. 9

3.2 Evaluación tradicional de un proyecto mediante VAN ............................................ 10

4. OPCIONES FINANCIERAS ................................................................................................. 11

4.1 Definición de opción financiera............................................................................... 11

4.2 Clasificación de opciones financieras ...................................................................... 11

4.2.1 Opción de compra (call) ......................................................................................... 11

4.2.3 Opciones europeas y opciones americanas ............................................................ 14

4.2.4 Opciones exóticas .................................................................................................. 15

4.3 Valor de las opciones financieras ............................................................................ 15

4.3.1 Variables en las opciones ................................................................................ 15

4.3.2 Métodos de valoración de opciones ................................................................ 19

5. OPCIONES REALES .......................................................................................................... 28

5.1 Opciones financieras y opciones reales ................................................................... 28

5.2 Clasificación de las opciones reales ......................................................................... 29

5.2.1 Diferir un proyecto................................................................................................. 29

5.2.2 Ampliar un proyecto .............................................................................................. 29

5.2.3 Abandonar un proyecto ......................................................................................... 30

5.3 Variables en las opciones reales.............................................................................. 30

5.3.1 Valor actual del activo subyacente real (𝑺𝟎) .......................................................... 30

5.3.2 Inversión necesaria para acometer el proyecto (X) ................................................ 31



2

5.3.3 Tiempo de vencimiento (T) .................................................................................... 31

5.3.4 Tasa de interés libre de riesgo (𝑹𝒇) ....................................................................... 31

5.3.5 Volatilidad (𝝈) ........................................................................................................ 31

5.3.6 Dividendos (D) ....................................................................................................... 32

5.4 Analogía entre parámetros ..................................................................................... 32

6. COMPARACIÓN DE ANÁLISIS DE INVERSIONES MEDIANTE LA TÉCNICA DEL VALOR

ACTUAL NETO Y OPCIONES REALES ........................................................................................ 33

6.1 Método tradicional. Valor Actual Neto ................................................................... 33

6.1.1 Estimación de los ingresos futuros .................................................................. 36

6.1.2 Estimación de los costes futuros ..................................................................... 39

6.1.3 Cálculo del Valor Actual de los ingresos .......................................................... 40

6.1.4 Cálculo del Valor Actual de los costes.............................................................. 41

6.1.5 VAN del proyecto ............................................................................................ 42

6.1.6 Influencia de la tasa de descuento .................................................................. 42

6.2 Método de valoración de inversiones con opciones reales ..................................... 43

6.2.1 Opción diferir .................................................................................................. 43

6.2.2 Opción ampliar ................................................................................................ 56

7. CONCLUSIONES............................................................................................................... 62

8. REFERENCIAS .................................................................................................................. 66

ANEXO I. Desarrollo de la fórmula de Black-Scholes .............................................................. 67

ANEXO II: Opciones financieras. Aplicación práctica. ............................................................. 69

ANEXO III. Ejemplo portfolio correlado .................................................................................. 96

ANEXO IV. Descripción de las funciones de Excel utilizadas ................................................. 100



3

1. INTRODUCCIÓN

En el mundo empresarial es común asistir al nacimiento, ampliación, reducción o incluso

abandono de multitud de planes de inversión por una u otra causa. El contexto en el que

se plantea una inversión es de una complejidad muy elevada y en él entran en juego

numerosas variables. Algo que parece tan sencillo en cualquier actividad diaria como

variar el modo en que se realiza o simplemente dejar de hacerla, resulta difícil de

plasmar cuando se trata de una inversión empresarial.

No obstante, esta flexibilidad existe y por tanto debe ser recogida en modelos

matemáticos. Los contextos en los que tienen lugar las inversiones son más complejos

que lo que a simple vista parecen. En ellos aparecen multitud de variables que no

siempre desarrollan el mismo papel o que, incluso, la intensidad de su aparición hace

necesario tratar de manera diferente el escenario previamente dibujado. En este juego

de interdependencias se debe identificar cuál de las variables puede influir en mayor

medida en la postura que se tome definitivamente. No es por tanto extraño que ante

los problemas complejos que se plantean en dichos escenarios sea necesario actuar

formulando soluciones que no sean sencillas. Para ello es de vital importancia poseer las

herramientas apropiadas que permitan abordar con seguridad estos desafíos.

El primer punto a estudiar en el proyecto será el análisis tradicional de inversiones. Éste

se basa en el estudio de los flujos de caja futuros para el cálculo de un valor numérico,

el Valor Actual Neto (VAN), que determine si el proyecto es factible o no. Esta

metodología no contempla la complejidad real que se mencionaba previamente, la cual

incluye la posibilidad de cambiar el rumbo de un proyecto mientras el mismo se está

llevando a cabo. No permite reflejar, por ejemplo, que los flujos de caja planteados a día

de hoy varíen enormemente en el futuro, bien porque los ingresos o los costes variables

de la empresa se han disparado. Ante esta situación, los directivos de una empresa no

tendrían más remedio que ampliar o reducir su participación en el negocio y para

facilitar sus decisiones se debe contar con modelos complejos.

Todas estas circunstancias conducen al segundo punto importante en el trabajo: las

opciones reales. Éstas permiten estudiar todas las posibilidades del negocio y dar valores



4

numéricos a las decisiones nacidas durante el desarrollo del mismo. Su utilidad se basa

en un análisis totalmente objetivo, evitando en cualquier caso criterios subjetivos o

intuiciones.

Para concebir tanto las características de cada método como, sobre todo, para ver las

diferencias que conllevan la elección de uno u otro se presentará un caso práctico. En

primer lugar se analizará la posible inversión desde el punto de vista tradicional (se

aportan los conceptos y herramientas necesarios para la evaluación de un proyecto de

inversión mediante el método tradicional de los flujos de caja descontados) para más

adelante descubrir cómo las posibilidades son mucho más amplias con las opciones

reales. Tanta es la diferencia que proyectos cuyo VAN tradicional es negativo, es decir,

que no deben ser emprendidos, pueden tornarse en inversiones fructíferas si se

posponen o amplían.

Todo este conocimiento ofrece una ventaja al inversionista, en otras palabras, otorga un

cierto valor al conocimiento y uso de las opciones reales. Esto puede verse reflejado de

un modo cualitativo en la Figura 1 (Lamothe Fernández, P. et al (2003)):

Figura 1. Aumento del valor con Opciones Reales



5

Además, se ha incluido una parte teórica (punto 4) y práctica (Anexo) de las opciones

financieras, se explica lo que son y se describen algunas de ellas. Las opciones financieras

sirven de puente entre el análisis tradicional de inversiones y el estudio mediante

Opciones Reales. Para entender bien el funcionamiento de estas últimas es

imprescindible la asimilación de los conocimientos concernientes a las opciones

financieras.

De este modo, la estructura del proyecto puede resumirse de la siguiente manera:

En primer lugar se presenta el estudio tradicional de las inversiones, basado en

el Valor Actual Neto (VAN).

A continuación y a modo de nexo se estudian las opciones financieras,

descubriendo así un nuevo abanico de posibilidades en lo concerniente al

desarrollo de una inversión.

En tercer lugar se muestran las opciones reales como visión alternativa y

mejorada al análisis tradicional de inversiones.

Esta ventaja de las opciones reales sobre el VAN se demostrará numéricamente

con dos casos prácticos, uno basado en posponer un negocio y otro en ampliarlo.

En último lugar, se concluye el proyecto con una valoración de los resultados

obtenidos y se proponen algunas directrices para investigaciones venideras.



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2. OBJETIVOS DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER

El objetivo de este Trabajo Fin de Máster es el desarrollo y comprensión de una

metodología objetiva para el análisis de inversiones, gestionando de esta forma las

distintas posibilidades que puedan existir.

Se estudiará una inversión haciendo uso de diferentes herramientas. En primer lugar se

analizará desde el punto de vista tradicional, esto es, calculando el valor del proyecto a

partir del VAN (Valor Actual Neto). A continuación se examinará bajo las posibilidades

que introducen las opciones reales, en concreto, “Diferir el proyecto” o “Ampliar el

proyecto”.

De este modo se pueden resumir las metodologías utilizadas para determinar el valor

de un proyecto en:

- Método tradicional.

Valor Actual Neto (VAN): permite calcular el valor presente de un número

de flujos de caja futuros cuya cuantía está definida desde el principio y

no puede variar.

- Método de las Opciones Reales: permite la variación del rumbo de un proyecto

durante la realización del mismo. Para calcular el nuevo valor del proyecto se

hará uso de tres técnicas:

Fórmula de Black-Scholes: es una ecuación utilizada para determinar el

valor de determinados activos financieros y que puede extrapolarse al

uso de inversiones reales (no financieras). El modelo matemático debe su

nombre a Fisher Black y Myron Scholes y su uso por parte de Robert C.

Merton le valió el Premio Nobel de Economía en 1997 (Merton, R.C.

(1997)).

Método Binomial: es un método de valoración de opciones desarrollado

por John C. Cox, Stephen Ross y Mark Rubinstein en 1979 cuya principal



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ventaja reside en, además de ser intuitivo, utilizar una matemática muy

sencilla. (Cox, J. et al. (1979)).

Simulación Montecarlo: es un método numérico utilizado para aproximar

expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.

Los orígenes de esta técnica están ligados al trabajo desarrollado por Stan

Ulam y John Von Neumann a final de los años cuarenta cuando

investigaban el movimiento aleatorio de los neutrones. En años

posteriores, la simulación de Montecarlo se ha venido aplicando a una

infinidad de ámbitos, entre ellos las opciones reales.

Más adelante, se desarrollarán detalladamente los modelos planteados y se resolverán.

De este modo, se comprueba la fiabilidad y la necesidad de los mismos al aplicarlos en

inversiones empresariales.



8

3. ANÁLISIS TRADICIONAL DE INVERSIONES

A lo largo de este apartado se presentarán los conceptos básicos necesarios para la

comprensión del análisis clásico de las inversiones.

3.1 Conceptos básicos

El análisis tradicional de inversiones se basa en el cálculo del Valor Actual Neto (VAN).

Para ello se actualizan al presente todos los flujos de caja (o cash-flow en inglés) futuros,

tanto los ingresos como los gastos. De un modo intuitivo, si el VAN es positivo, es decir

si los ingresos resultan mayores que los gastos, el proyecto puede ser acometido.

Adicionalmente, a mayor VAN, mayor interés en el proyecto.

3.1.1 Flujos de caja de un proyecto

Como se ha comentado en el párrafo previo los flujos de caja pueden ser clasificados en

dos tipos:

- Ingresos recibidos durante el desarrollo del proyecto

- Gastos del mismo, donde se incluye tanto el desembolso inicial como los gastos

(fijos y variables) que deben afrontarse a lo largo del intervalo temporal que dure

el proyecto.

Para que la valoración de la inversión sea lo más precisa posible es necesaria una

correcta estimación de todos estos flujos de caja y la determinación de su valor actual.

Esto se calcula mediante una tasa de descuento que representa una inversión sin riesgo

y que generalmente se denomina k.

3.1.2 Valor temporal del dinero

El valor del dinero no permanece constante a lo largo del tiempo. Un euro de hoy vale

más que un euro de mañana, o lo que es lo mismo, con una misma cantidad monetaria

se pueden comprar menos cosas a medida que pasa el tiempo.



9

La Figura 2 muestra cómo el poder adquisitivo del dólar (se ha elegido la moneda

americana pues el euro es demasiado reciente como para mostrar una evolución tan

clara) desciende a medida que el número de dólares en circulación aumenta.

Figura 2. Depreciación histórica del dólar

3.1.3 Valor actual de un proyecto

Una vez se ha comprendido que el valor del dinero no es constante a lo largo del tiempo

resulta evidente la necesidad de una comparación de ingresos y gastos en un mismo

instante temporal. Este momento elegido es, por criterio común, el instante actual. Así,

a partir de la tasa de descuento k comentada antes, un flujo de caja se convierte a su

valor actual a través de la siguiente fórmula:

𝑉𝐴𝑛 =𝑉𝐹

(1 + 𝑘)𝑛 (1)

Donde VA es el valor actual, VF el valor futuro, k la tasa de descuento y n el periodo

temporal.



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Cuando se desean convertir al valor actual un número superior de flujos de caja no hay

más que transformar dicha fórmula en un sumatorio tal que:

𝑉𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑉𝐴𝑖

𝑁

𝑖=1

= ∑𝐹𝐶𝑖

(1 + 𝑘)𝑖

𝑁

𝑖=1

(2)

3.2 Evaluación tradicional de un proyecto mediante VAN

Como se ha comentado con anterioridad, el criterio más usual para evaluar y comparar

inversiones es el Valor Actual Neto (VAN). Éste indica cuánto aumentará o disminuirá el

valor de la empresa si se acomete un determinado proyecto. La fórmula para calcular el

VAN no es sino la aplicación de la Ecuación 2 a los flujos de caja de ingresos menos los

flujos de caja de costes:

𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠) − 𝑉𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠) (3)

Cuando los ingresos sean mayores que los gastos (todo ello actualizado a su valor

presente mediante la tasa de descuento k), esto es, el VAN sea positivo el proyecto es

realizable. En caso contrario, cuando el VAN es negativo, es desaconsejable continuar

con el proyecto.



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4. OPCIONES FINANCIERAS

En este apartado se muestra qué es una opción financiera, qué tipos existen y cuáles son

los métodos más utilizados para determinar su valor. Esto se incluye por la necesaria

conexión entre las opciones financieras y reales, puesto que el desarrollo metodológico

de las segundas se basa en las primeras.

Asimismo, este apartado se ve complementado con el Anexo II el cual presenta un caso

práctico de aplicación de opciones financieras.

4.1 Definición de opción financiera

Una opción es un contrato entre dos partes por el cual una de ellas adquiere sobre la

otra el derecho, pero no la obligación, de comprarle o de venderle una cantidad

determinada de un activo (el activo subyacente, que pueden ser acciones, bonos, índices

bursátiles, etc.) a un cierto precio (precio de ejercicio o strike) y en un momento futuro

(fecha de vencimiento) (Broyles, J. (2007)).

4.2 Clasificación de opciones financieras

Las opciones financieras más importantes pueden ser clasificadas del siguiente modo.

4.2.1 Opción de compra (call)

Una opción de compra da a su poseedor el derecho pero no la obligación de comprar un

activo financiero (por lo general una acción) en un momento futuro T a un precio de

ejercicio X. De este modo si al llegar al instante T el precio del activo es S > X, el poseedor

de la opción ejercerá su derecho a compra y obtendrá un beneficio (payoff) de S – X tras

venderla en el mercado. Si por el contrario, en el instante T resulta que S < X, la opción

de compra no se lleva a cabo y el beneficio es 0.

Los contratos de opciones pueden ser clasificados por la diferencia entre su precio de

ejercicio y el valor del activo subyacente al vencimiento (precio de ejercicio, X) en tres



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categorías: en el dinero, dentro del dinero y fuera del dinero. Para las opciones call la

clasificación se rige según:

- En el dinero (“At the money”)

Una opción (tanto call como put) está at-the-money cuando su precio de ejercicio, es

decir, el precio que el poseedor debe pagar para ejercer su derecho, es el mismo que el

precio del subyacente sobre el que la opción está basada.

- Fuera de dinero (Out of the money)

Una opción está out-of-the-money si no tiene valor intrínseco; sería el caso de una

opción call para la que el precio del activo subyacente es menor que el precio de ejercicio

de la opción.

- Dentro del dinero (In the money)

Una opción in-the-money, por el contrario, tiene valor intrínseco; por ejemplo en el caso

de una opción de compra cuyo precio del activo subyacente es mayor que el precio de

ejercicio de la opción.

Todo esto puede mostrarse de un modo gráfico tal y como lo hace la Figura 3:

Figura 3. Beneficio de una opción de compra (call)

https://es.wikipedia.org/wiki/Opciones_financieras



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El valor de una opción call (C) en el instante de vencimiento será el máximo entre las

dos posibilidades comentadas previamente (Mascareñas, J. (2010)). Es decir,

𝐶 = 𝑚𝑎𝑥(𝑆𝑇 − 𝑋, 0) (4)

4.2.2 Opción de venta (put)

Una opción de venta da a su poseedor el derecho pero no la obligación de vender un

activo financiero en un momento futuro T a un precio de ejercicio X. De modo similar a

la opción de compra, si en el instante T el precio de la acción es S < X, el dueño de la

opción la ejerce, es decir vende el activo a precio X obteniendo un beneficio de X – S. Al

contrario, si S > X, la opción no se ejerce y el valor de la misma es cero.

La misma clasificación de “en el dinero, fuera del dinero o dentro del dinero” puede

hacerse para opciones de venta put solo que las condiciones cambiarán:

- En el dinero (“At the money”)

Como se ha comentado, una opción está en el dinero cuando su precio de ejercicio es el

mismo que el precio del subyacente.

- Fuera de dinero (Out of the money)

Una opción fuera del dinero es la que carece de valor intrínseco; por ejemplo una opción

put cuyo precio del activo subyacente es menor que el precio de ejercicio de la opción.

- Dentro del dinero (In the money)

Una opción de venta in-the-money será aquella que posea valor intrínseco; por ejemplo

una con el precio del activo subyacente mayor que el precio de ejercicio.

La Figura 4 muestra gráficamente estas situaciones:



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Figura 4. Beneficio de una opción de venta (put)

Así, el valor de una opción de venta put al vencimiento será el máximo entre 0 y la

diferencia entre el precio de ejercicio (X) y el valor de la acción (S) (Mascareñas, J.

(2010)):

𝑃 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋 − 𝑆𝑇 , 0) (5)

4.2.3 Opciones europeas y opciones americanas

Siguiendo un criterio temporal, las opciones financieras se pueden clasificar según el

instante en que pueden ser ejercidas:

- Opciones europeas: el poseedor de la opción solo puede ejercer su derecho de

compra o venta en el instante de vencimiento (T).

- Opciones americanas: el derecho sobre estas acciones puede ser ejercido en

cualquier momento entre la compra de las mismas y la fecha de vencimiento.

Esto supone una clara ventaja frente a las acciones europeas.



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4.2.4 Opciones exóticas

Si bien las opciones más utilizadas son las europeas y americanas, existen otro tipo de

opciones nacidas para adaptarse a las necesidades de sus clientes (riesgo que quieren

asumir, rendimiento exigido, coberturas que precisan, etc.). Se las conoce como

“opciones exóticas” y entre ellas destacan: opciones asiáticas, opciones “look-back”,

opciones barrera, opciones rusas…

Sin entrar en demasiado detalle, pues no es el objetivo de este proyecto, se exponen a

continuación dos de las más conocidas:

- Opciones asiáticas: Son aquellas opciones para las que el precio del activo

subyacente en el vencimiento se determina como la media de las cotizaciones

del mismo durante un período de tiempo.

- Opciones “look-back”: Son opciones que proporcionan a sus propietarios pagos

basados en el precio del subyacente alcanzado durante la vida de la opción que

les resulte más favorable. Dicho precio es el que se toma como precio de

ejercicio.

4.3 Valor de las opciones financieras

Como se ha visto antes, una opción financiera otorga a su poseedor la capacidad de

comprar/vender una opción a otro individuo. Para que este sea un trato en el que ambas

partes puedan salir beneficiadas debe establecerse una prima. A lo largo de este

apartado se estudiarán los métodos existentes para determinar de la manera más

precisa posible su valor.

4.3.1 Variables en las opciones

El valor de la prima debe depender de las características de la acción: de su precio actual,

de las posibilidades de que su valor varíe, del tiempo que se tenga para ejercer el

derecho… Todas estas variables se resumen seguidamente.



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El valor del activo subyacente (S)

Es el precio que posee en el instante actual el activo cuya opción se piensa adquirir. Es

un dato observable en los mercados bursátiles y cuyo valor no alberga ningún tipo de

duda.

Para opciones call, resulta beneficioso un aumento del valor de la acción pues

incrementará la diferencia entre dicho valor y el precio de ejercicio X, es decir, el

beneficio.

Para opciones put la casuística es justo al revés, resulta beneficioso que el precio del

activo subyacente descienda.

El precio de ejercicio (X)

Es el precio acordado en el contrato para ejercer la compraventa en la fecha de ejercicio,

o sea, precio al que el comprador de una opción puede comprar (caso de haber

adquirido una opción call) o vender (si hubiera adquirido una opción put) el activo

subyacente.

Para el propietario opciones call, una subida del precio de ejercicio resulta desfavorable

por lo que sus opciones perderán valor.

En el caso de ser propietario de opciones de venta put una subida del precio de strike

repercutiría positivamente en el valor de dichas opciones.

Tiempo de vencimiento

Es el tiempo durante el cual (en el caso de opciones americanas) o la fecha en la cual (en

el caso de opciones europeas) el propietario de una opción puede ejercer su derecho de

compra/venta. Cuanto mayor sea el tiempo de vencimiento más flexibilidad tiene el

poseedor para hacer uso de la opción, con lo que el valor de ésta aumenta.



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Tasa de interés sin riesgo (𝑹𝒇)

La tasa de interés sin riesgo (𝑅𝑓 por su nombre en inglés, Risk Free Rate) es la tasa

recibida por el accionista en caso de invertir en una entidad la cual puede considerarse

que carece de riesgo.

Una subida en esta tasa repercute positivamente en el valor de opciones call y

negativamente en el valor de opciones put.

Si se tiene una opción call, que ya se ha adquirido a un precio pactado, una subida de la

tasa de interés sin riesgo (aproximadamente el rendimiento de los bonos USA o

Alemania menos el coste de asegurar su cobro) significa que el rendimiento de la

inversión segura aumenta, y lo mismo ha de ocurrir con el resto de alternativas de

inversión, que se ven obligadas a aumentar su rendimiento. Por ejemplo, si los bonos

alemanes suben de rendimiento, los bonos españoles han de hacer lo mismo para que

se mantenga la prima de riesgo exigida por el inversor y por tanto, al ejercitar la opción

call el inversor compraría un activo con mayor rendimiento que el que determinó el

precio de la opción inicialmente, por lo que se encontraría con una rentabilidad superior

a la esperada en el momento de adquirir la opción y consecuentemente el valor de ésta

aumenta.

Si la opción es de tipo put, el comprador obtiene el derecho de vender el activo al precio

de ejercicio pactado. En el caso de subida de la Risk Free Rate, se tiene que el precio de

venta pactado en la opción put se ha fijado en base a un rendimiento inferior y será por

tanto inferior al que tenga el mismo activo después de aumentar su rendimiento, luego

al vender, el inversor estaría obteniendo el mismo precio (el de la opción put) por un

activo que vale más al haber aumentado su rentabilidad, como consecuencia el valor de

la opción put desciende.

En el caso de descenso de la tasa libre de riesgo los razonamientos serían análogos pero

de sentido contrario.



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A pesar de todo, la influencia de las variaciones de los tipos de interés sobre el precio de

las opciones no tiene un gran impacto.

Volatilidad (σ)

La volatilidad representa la facilidad o dificultad con la que varía el precio del activo

subyacente en el mercado. Una variación elevada, es decir, una volatilidad alta indica

que el precio del activo puede variar ampliamente desde la fecha actual a la del

vencimiento con lo cual resulta muy interesante estar en posesión de opciones del

mismo (es decir, aumenta el valor de las opciones).

Dividendos (D)

Es el dinero que aportaría el activo subyacente si se estuviera en posesión de éste

mientras se posee la opción y no se ejerce. Si los dividendos son altos el valor de la

opción call disminuye, mientras que en el caso de opción de compra put aumenta.

A continuación se recogen en la Tabla 1 todos los impactos comentados con

anterioridad.

Tabla 1: Influencia de las distintas variables sobre el valor de las opciones

Aumento de la variable CALL PUT

S Aumenta Disminuye

X Disminuye Aumenta

T Aumenta Aumenta

𝑹𝒇 Aumenta Disminuye

σ Aumenta Aumenta

D Disminuye Aumenta



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4.3.2 Métodos de valoración de opciones

Haciendo uso de las variables presentadas pueden construirse diferentes métodos de

valoración de las opciones financieras (y de las opciones reales como se verá en capítulos

posteriores).

Los métodos de los que se hará uso en este proyecto para valorar opciones financieras

son los siguientes:

- Método de Black-Scholes.

- Método Binomial.

- Método de Montecarlo.

Seguidamente se presentan con mayor detalle los tres métodos.

Método de Black-Scholes

El método de Black-Scholes se basa en el uso de las siguientes fórmulas para el cálculo

del valor de opciones call y put (Hull, J.C. (2012)):

𝐶 = 𝑁(𝑑1)𝑆0 − 𝑁(𝑑2)𝑋𝑒𝑅𝑓𝑇 (6)

𝑃 = 𝑁(−𝑑2)𝑋𝑒−𝑅𝑓𝑇 − 𝑁(−𝑑1)𝑆 (7)

donde C es el valor de la opción call, P es el valor de la opción put, 𝑆0 es el valor actual

del activo subyacente, X es el precio de ejercicio, 𝑅𝑓 es la tasa libre de riesgo, T es el

tiempo de vencimiento y N(𝑑1) y N(𝑑2) son los valores de la distribución normal estándar

(media 0 y desviación 1). Los parámetros 𝑑1 y 𝑑2 se corresponden con las ecuaciones

que siguen :

𝑑1 =𝑙𝑛

𝑆0

𝑋 + (𝑅𝑓 + 0.5σ2)𝑇

σ√𝑇 (8)



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𝑑2 = 𝑑1 − σ√𝑇 (9)

Donde σ es la volatilidad del activo subyacente.

Una explicación más detallada de este modelo se encuentra en el Anexo 7.1.

Los parámetros 𝑆0, T, X y 𝑅𝑓 son fácilmente determinables por lo que la fórmula de

Black-Scholes resulta ser la manera más sencilla de hallar el valor de una opción. Si bien

la volatilidad σresulta más complicada de determinar, más adelante se expondrá una

forma de calcularla a partir del histórico de la cotización del activo subyacente.

Método Binomial

Al contrario que el método anterior, en este se requiere un esfuerzo superior al de

sustituir valores en una fórmula. No obstante, al estar basado en un álgebra sencilla su

ejecución resulta más intuitiva.

La elaboración del método Binomial puede resumirse en la Figura 5 (Lamothe

Fernández, P. (2013)):

Figura 5: Modelo Binomial



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𝑆0 es el valor inicial del activo subyacente. Tras el primer paso temporal, ese número

inicial puede tornarse en dos posibles valores: uno superior que 𝑆0 (𝑆0 ∗ 𝑢, con u>1) y

otro inferior que 𝑆0 (𝑆0 ∗ 𝑑, con d<1). Los factores multiplicativos toman su nombre del

inglés up y down y guardan la relación u=1/d. Los valores exactos dependen de la

volatilidad del activo subyacente.

Para hacer uso del Método Binomial se utilizará la teoría del portfolio réplica, la cual

consiste en crear una cartera perfectamente correlada al valor de la opción.

La teoría del portfolio réplica usa una cartera formada por un conjunto de acciones y

bonos que correlan con el valor de la opción (en el Anexo 7.3 se muestra un ejemplo de

ello). Debido a esto, el valor de la opción call se calcula como el valor del porfolio

mencionado.

Así, puede irse calculando para cada instante o salto temporal el valor C de la opción.

Como se ha dicho, en el segundo periodo el precio del activo subyacente puede subir a

𝑆0 ∗ 𝑢 (en adelante 𝑆𝑢) o bajar a 𝑆0 ∗ 𝑑 (en adelante 𝑆𝑑). Si se denomina como X al precio

de ejercicio, el valor de la opción de compra puede ser 𝐶𝑢 o 𝐶𝑑:

𝐶𝑢 = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑆𝑢 − 𝑋) (10)

𝐶𝑑 = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑆𝑑 − 𝑋) (11)

Si la cartera réplica está formado por m acciones del activo subyacente y B bonos libres

de riesgo, se tienen dos valores posibles para el portfolio (𝑃𝑢 y 𝑃𝑑) tal que:

𝑃𝑢 = 𝑚𝑆𝑢 + 𝐵(1 + 𝑅𝑓) (12)

𝑃𝑑 = 𝑚𝑆𝑑 + 𝐵(1 + 𝑅𝑓) (13)



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Siendo 𝑅𝑓 la tasa libre de riesgo. Como se ha comentado previamente, el valor de la

cartera coincide con el de la opción, de ahí que pueda afirmarse que tanto para los casos

Siendo 𝑅𝑓 la tasa libre de riesgo. Como se ha comentado previamente, el valor de la

cartera coincide con el de la opción, de ahí que pueda afirmarse que tanto para los casos

up como para los casos down el valor del portfolio (P) puede igualarse al de la opción

(C):

𝑃𝑢 = 𝐶𝑢 (14)

𝑃𝑑 = 𝐶𝑑 (15)

De este modo el valor de la opción (C) puede igualarse a la definición del porfolio réplica,

es decir al conjunto de B bonos libres de riesgo y m acciones:

𝐶𝑢 = 𝑚𝑆𝑢 + 𝐵(1 + 𝑅𝑓) (16)

𝐶𝑑 = 𝑚𝑆𝑑 + 𝐵(1 + 𝑅𝑓) (17)

De estas ecuaciones pueden despejarse m y B:

𝑚 =𝐶𝑢 − 𝐶𝑑

𝑆𝑢 − 𝑆𝑑 (18)

𝐵 =𝑆𝑢𝐶𝑑 − 𝑆𝑑𝐶𝑢

(𝑆𝑢 − 𝑆𝑑)(1 + 𝑅𝑓) (19)

Siendo cierto que la evolución del activo subyacente sigue un proceso binomial tal que:

𝑆𝑢 = 𝑆 ∗ 𝑢 (20)



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𝑆𝑑 = 𝑆 ∗ 𝑑 (21)

Se pueden sustituir estos valores en las ecuaciones de m y B. Se saca factor común S y

se obtienen las siguientes expresiones:

𝑚 =𝐶𝑢 − 𝐶𝑑

𝑆(𝑢 − 𝑑) (22)

𝐵 =𝑢𝐶𝑑 − 𝑑𝐶𝑢

(𝑢 − 𝑑)(1 + 𝑅𝑓) (23)

Para calcular el valor de la opción call no queda más que sustituir estos valores de m y B

en la ecuación de C:

𝐶 = 𝑚𝑆 + 𝐵 (24)

𝐶 =𝐶𝑢 − 𝐶𝑑

𝑢 − 𝑑+

𝑢𝐶𝑑 − 𝑑𝐶𝑢

(𝑢 − 𝑑)(1 + 𝑅𝑓) (25)

Esta última expresión puede simplificarse:

𝐶 =𝑝𝐶𝑢 + (1 − 𝑝)𝐶𝑑

1 + 𝑅𝑓 (26)

Se define además una nueva variable p, la probabilidad neutral al riesgo, y su

complementaria q. Las variables p y q pueden ser interpretadas como las probabilidades

riesgo-neutral de movimientos al alza o a la baja, respectivamente.



24

Figura 5: Evolución del valor de la opción

Las respectivas ecuaciones para el cálculo de estas variables son:

𝑝 =(1 + 𝑅𝑓) − 𝑑

𝑢 − 𝑑 (27)

𝑞 = 1 − 𝑝 =𝑢 − (1 + 𝑅𝑓)

𝑢 − 𝑑 (28)

Simulación Monte Carlo

Este método suele ser usado cuando se carece de modelos matemáticos que sean

capaces de valorar el caso específico que en un determinado momento se esté

analizando. Se basa en la simulación de un rango muy elevado de procesos estocásticos.

La base matemática del modelo reside en que el activo subyacente sigue un proceso

geométrico browniano, esto es, un proceso aleatorio que describe el comportamiento

de ciertas variables aleatorias a medida que se desplazan en el tiempo. Este proceso se

utiliza frecuentemente en los modelos financieros para describir la evolución de los

precios a lo largo del tiempo. Cuando se aplica a éstos, el movimiento browniano da por

supuesto que el cambio de un período de tiempo al siguiente no está relacionado ni con

𝐶𝑢

𝐶𝑑

𝐶



25

el nivel de precios ni con las series pasadas de cambios de precio. Es decir, cada cambio

de precio es independiente de los cambios de precio anteriores y la volatilidad de los

cambios de precio es constante.

La fórmula que recoge dicho comportamiento es la siguiente:

𝑆 + 𝑑𝑠 = 𝑆 ∗ 𝑒𝑥 𝑝 [(𝜇 −𝜎2

2) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑧] (29)

Donde S es el valor del activo subyacente, 𝜇 es la tasa de retorno de éste (en el Anexo

7.4 se explica con más detalle), σ es su volatilidad histórica y dz es un proceso de Wiener

con desviación típica 1 y media 0. En matemáticas, un proceso de Wiener es un tipo de

proceso estocástico con tiempo continuo, frecuentemente se les denomina movimiento

browniano estándar.

La Teoría del Arbitraje, en inglés Arbitrage Pricing Theory (APT), afirma que la tasa de

retorno esperada de un activo financiero se puede modelar como una función lineal de

varios factores macroeconómicos, donde la sensibilidad a cambios en cada factor es

representada por un factor específico, el coeficiente beta. Si APT se cumple, entonces el

retorno de un activo debe satisfacer la siguiente relación (Harrington, D. (2003)):

𝐸(𝑟𝑗) = 𝑟𝑓 + 𝑏𝑗1𝐹1 + 𝑏𝑗2𝐹2 + ⋯ + 𝑏𝑗𝑛𝐹𝑛 + 𝜀𝑗 (30)

Donde:

- 𝐸(𝑟𝑗) es la tasa de retorno esperada del activo,

- 𝑟𝑓 es el retorno esperado de un activo libre de riesgo,

- 𝐹𝑘 es el factor macroeconómico,

- 𝑏𝑗𝑘 es la sensibilidad del activo al factor 𝑘,

- 𝜀𝑗 es el término de error de media cero del activo de riesgo.

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coeficiente_beta&action=edit&redlink=1



26

Para simplificar el desarrollo del proyecto, se decide suprimir los factores

macroeconómicos y asumir que la tasa de retorno es igual a la tasa de interés libre de

riesgo (𝜇 = 𝑟𝑓).

Esta ecuación diferencial se transforma a tiempo discreto, es decir, se analiza para saltos

temporales Δt. De esta forma, el precio del activo puede estimarse según:

𝑆(𝑇−1) = 𝑆𝑇 ∗ 𝑒𝑥 𝑝 [(𝑅𝑓 −𝜎2

2) 𝛥𝑡 + 𝜎√𝛥𝑡 𝑥] (31)

Donde 𝑆𝑇 es el precio del activo subyacente, 𝑅𝑓 es la tasa de interés libre de riesgo, σ es

la volatilidad, x es una variable aleatoria normal de distribución N(0,1) y 𝛥𝑡 es el

vencimiento de la opción (en años) dividido entre el número de periodos.

Para cada escenario simulado (en el cual 𝑆𝑇 tomará un valor diferente) se debe calcular

el payoff de la opción:

𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 = 𝑚𝑎 𝑥(0, 𝑆𝑇 − 𝑋) (32)

Donde X es el precio de ejercicio. A continuación debe calcularse la esperanza del payoff

para todas las simulaciones realizadas, 𝐸[𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓(𝑆)] (si los escenarios son

equiprobables se trataría de la media de valores). El valor obtenido debe ser

multiplicado por el factor 𝑒(−𝑅𝑓(𝑇−𝑡)) para encontrar el valor actual de la opción. De este

modo:

𝐶 = 𝑒(−𝑅𝑓(𝑇−𝑡)) ∗ 𝐸[𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓(𝑆)] (33)

En resumen, la metodología a seguir para realizar una Simulación Monte Carlo es:



27

1) Simular la variación del activo subyacente desde su valor inicial 𝑆0 hasta 𝑆𝑇.

2) Para dicha simulación, calcular el payoff de la opción.

3) Repetir este proceso, por lo general se considera adecuado hacerlo unas 10.000

veces.

4) Calcular el payoff promedio, 𝐸[𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓(𝑆)].

5) El valor presente del payoff promedio será el valor de la opción (C).



28

5. OPCIONES REALES

Como se comentó al inicio de este proyecto, el enfoque tradicional del análisis de

inversiones reside en el cálculo del Valor Actual Neto (VAN), el cual recomienda

acometer un proyecto si su valor es positivo o no hacerlo en caso contrario. La principal

restricción de este punto de vista es que no permite incluir la infinidad de opciones que

suelen estar presentes en las inversiones reales.

5.1 Opciones financieras y opciones reales

Las definiciones de opción financiera y opción real están altamente ligadas, no obstante

difieren en el ámbito en el que son aplicadas, esto es, mundo financiero o proyectos

reales (Amran, M. et al. (2000)).

- Opción financiera: es un instrumento financiero que otorga a su poseedor el

derecho pero no la obligación a comprar o vender valores financieros (acciones,

bonos, índices bursátiles…) a un precio determinado (o precio de strike) en una

fecha establecida (fecha de vencimiento).

- Opción real: es el derecho pero no la obligación de realizar una acción (posponer,

ampliar, reducir, abandonar…) sobre un activo subyacente real (proyecto de

inversión) con un coste establecido.

En resumen, si el activo subyacente es un activo financiero (acciones, bonos, etc.)

entonces se habla de opción financiera. Por otro lado, si el activo subyacente es un

activo real como puede serlo un proyecto de inversión entonces se habla de opción real.

Además, las opciones financieras son siempre un contrato entre dos partes mientras

que en opciones reales no tiene porqué ser así.



29

Asimismo, las opciones financieras y reales pueden ser indistintamente europeas o

americanas, es decir, ser ejercidas en una fecha futura concreta o a lo largo de un

periodo de tiempo.

5.2 Clasificación de las opciones reales

Se ha mencionado que las opciones reales más comunes en un proyecto son posponerlo

(o diferirlo), ampliarlo, etc. A continuación se detalla cada una de estas posibilidades.

5.2.1 Diferir un proyecto

La opción de diferir, posponer o esperar representa la flexibilidad que posee la dirección

de la empresa para acometer la inversión en el momento en que esta resulta más

favorable. La opción de diferir puede verse como una opción call ya que representa la

posibilidad de acometer un proyecto (comprar un activo, en el símil financiero) pero no

en el momento actual sino tras un cierto periodo temporal (en una fecha de

vencimiento).

Diferir la entrada en un proyecto ofrece ciertas ventajas e inconvenientes que hay que

analizar cuidadosamente para saber si vale la pena o no. Por una parte añade valor al

proyecto pues se dispone de más tiempo para evaluar información y estudiar el

movimiento de las variables más determinantes. Sin embargo, debe tenerse en cuenta

que durante el tiempo el que un proyecto no se está llevando a cabo hay una serie de

flujos de caja que no se están ingresando.

5.2.2 Ampliar un proyecto

Esta opción recoge el derecho de expandir un proyecto de inversión incluyendo, por

ejemplo, introducir nuevos servicios o productos, adquirir otras empresas, incrementar

los presupuestos en ciertos departamentos, etc. Todo esto se equipara financieramente

a una opción call, ya que de nuevo permite realizar una inversión (en este caso concreto

ampliarla) en un momento futuro si ésta resulta ser más conveniente.



30

De este modo, un proyecto de inversión con un VAN muy pequeño, o incluso negativo,

pero con opciones de crecimiento y alta incertidumbre del mercado puede tornarse

interesante a través de una opción de expansión. Es decir, se podría aceptar un proyecto

con un VAN negativo a corto plazo pero con un elevado potencial de crecimiento en el

futuro.

5.2.3 Abandonar un proyecto

Esta opción proporciona la posibilidad de suspender un proyecto vendiendo o

liquidando el mismo, lo que se correspondería con una opción financiera de venta (put).

Cuando un proyecto no se sostiene económicamente debe ser abandonado para

disminuir en lo posible las pérdidas.

En concreto, se estaría hablando de una opción de venta americana con un precio de

ejercicio correspondiente al valor de venta del proyecto. De este modo, en cada periodo

temporal se toma la decisión de continuar o abandonar el proyecto. De hecho, puede

darse el caso de que el proyecto esté avanzando con un VAN positivo pero que el valor

de abandono supere al valor presente de los flujos de caja futuros.

5.3 Variables en las opciones reales

Del mismo modo que en las opciones financieras se presentaron una serie de variables

que afectaban al valor de las mismas, a continuación se hará lo propio con las opciones

reales.

5.3.1 Valor actual del activo subyacente real (𝑺𝟎)

El valor actual del activo real se corresponde con el valor actual del proyecto de

inversión, es decir, hace referencia a los flujos de caja netos (ingresos netos) que el

proyecto generará. Además de sobre proyectos de inversión, pueden existir opciones

reales sobre patentes, inmuebles, etc.



31

5.3.2 Inversión necesaria para acometer el proyecto (X)

Esta variable es la equivalente al precio de ejercicio o precio de strike en las opciones

financieras.

Para toda aquella opción real con un equivalente financiero de opción de compra call

(se mencionaron opción de ampliar o de diferir) el valor de la opción real es

inversamente proporcional al de la inversión. Esto es, si en un momento T la inversión

necesaria para acometer el proyecto aumenta, el valor de la opción disminuye. Si por el

contrario la inversión disminuye, el valor de la opción aumenta.

Para las opciones reales cuya equivalencia financiera está en opciones de venta put (por

ejemplo abandonar el proyecto), el aumento o disminución del valor de la opción va

acorde al de la inversión.

5.3.3 Tiempo de vencimiento (T)

Es el espacio temporal que posee el propietario de la opción para ejercer su derecho. Si

este valor aumenta, se tiene una mayor flexibilidad para ejercerlo con lo que el valor de

la opción sube. Por ejemplo, si suceden acontecimientos poco afortunados, el poseedor

de la opción renuncia a su derecho pudiendo así limitar sus pérdidas. De este modo, el

valor de una opción aumenta al hacerlo el tiempo de vencimiento T.

5.3.4 Tasa de interés libre de riesgo (𝑹𝒇)

Ya que esta tasa refleja el valor temporal del dinero, se tiene que una subida de la misma

repercutirá en subida del valor de opciones de compra y en bajadas en el valor de

opciones venta.

5.3.5 Volatilidad (𝝈)

La volatilidad representa la incertidumbre alrededor del proyecto, la variabilidad del

valor futuro del activo subyacente real.



32

Si la volatilidad es alta existirá una mayor incertidumbre en el mercado, con lo que se

hace interesante estar en posesión de una opción real. Es decir, un aumento de la

volatilidad se transforma en un aumento del valor de las opciones.

5.3.6 Dividendos (D)

Es el dinero que el activo subyacente proporcionaría si se estuviese en posesión del

mismo y no de una opción.

Si el activo entrega unos dividendos altos, el valor de la opción de compra cae mientras

que el de la opción de venta aumenta.

5.4 Analogía entre parámetros

Para poder aprovechar el conocimiento de las opciones financieras en las opciones

reales deben definirse los elementos equivalentes entre ambas, es decir, determinar

una analogía entre los parámetros de ambas.

A continuación, la Tabla 2 refleja la analogía entre las variables existentes en opciones

financieras y reales:

Tabla 2: Analogía entre opción call y opción real

Opción call Opción real

Precio acción Valor Actual (Cash-flows)

Precio ejercicio Coste de inversión

Vencimiento Plazo hasta que la oportunidad se va

Incertidumbre precio acción Incertidumbre valor del proyecto

Tipo de interés libre de riesgo Tipo de interés libre de riesgo



33

6. COMPARACIÓN DE ANÁLISIS DE INVERSIONES MEDIANTE LA TÉCNICA DEL

VALOR ACTUAL NETO Y OPCIONES REALES

A lo largo de este apartado se presentarán las dos formas de analizar un proyecto de

inversión que se han ido mencionando a lo largo del proyecto.

En primer lugar se estudiará el método tradicional, esto es el cálculo Valor Actual Neto

(VAN) cuyo resultado indica si la inversión debe llevarse a cabo o no. Se mencionó que

un valor positivo del VAN hace factible el negocio mientras que un valor negativo lo

desaconseja.

Tras ello, se presentarán las alternativas que las opciones reales introducen en un

proyecto y cómo pueden mejorar los resultados del mismo. En concreto, las dos

opciones nuevas que se plantearán serán:

- Posponer el inicio del proyecto durante un periodo de tiempo (durante el cual

puede recabarse más información)

- Ampliar la inversión si el desarrollo del negocio está resultando favorable y se

cree que los beneficios pueden resultar aún mayores.

6.1 Método tradicional. Valor Actual Neto

Para comprobar la practicidad de esta metodología se aplicará a un caso de estudio que

pasa a detallarse a continuación. En él se calculará el valor actual de los ingresos y los

costes (los cuales deben obtenerse previamente) para poder deducir el Valor Actual

Neto. Éste permite decidir si el negocio se lleva a cabo o se desprecia, de acuerdo con el

criterio tradicional de análisis de inversiones.



34

Presentación del caso práctico. AUTODREAM El caso de estudio comprende una empresa de alquiler de automóviles, AUTODREAM, con

más de diez años de experiencia en el sector. Dicha compañía está analizando la posibilidad

de expandir su negocio a un nuevo país con el fin de aumentar su público potencial. Se

desea averiguar si el proyecto resultaría rentable económicamente por lo que debe

realizarse un estudio de viabilidad. Para ello es necesario estimar de la manera más precisa

posible los datos de ingresos y gastos futuros.

Automóviles

La empresa de alquiler pone

a disposición de sus clientes

un conjunto de coches que

pueden ser agrupados en

cuatro categorías:

- Utilitarios

- Todoterreno

- Lujo

- Deportivos

Tarifas

El cliente puede acceder a estos vehículos a través

de cinco diferentes tarifas. Cada una de ellas ofrece

un mayor número de servicios:

- Tarifa 1: es la más básica y con ella solo se

adquiere el coche.

- Tarifa 2: añade a éste un sistema de

navegación portátil.

- Tarifa 3: la tercera ofrece un seguro de

asistencia en carretera 24h.

- Tarifa 4: permite al cliente aparcar el coche

en cualquier lugar de su destino sin

necesidad de acudir a uno de los

establecimientos de la empresa.

- Tarifa 5: por último la quinta ofrece un

servicio de chófer.



35

Precios

La siguiente tabla todos los posibles precios por día del alquiler de los vehículos en

función del tipo de coche y tarifa elegida por el cliente:

Precio (€) Tarifa 1 Tarifa 2 Tarifa 3 Tarifa 4 Tarifa 5

Utilitario 21 28 39 45 63

Todoterreno 25 32 43 49 67

Lujo 30 37 48 54 72

Deportivo 35 42 53 59 77



36

6.1.1 Estimación de los ingresos futuros

Los ingresos que se esperan generar dependerán del número de clientes que contraten

los servicios de la empresa así como del tipo de automóvil y tarifa que elijan. Para poder

estimar esto suele realizarse un estudio de mercado determinando la probabilidad de

que un usuario elija un plan u otro. La Tabla 3 refleja las probabilidades mencionadas

para cada combinación coche-tarifa.

Tabla 3: Probabilidades de cada plan

Precio (€) Tarifa 1 Tarifa 2 Tarifa 3 Tarifa 4 Tarifa 5

Utilitario 0,05 0,06 0,04 0,06 0,01

Todoterreno 0,07 0,06 0,04 0,06 0,02

Lujo 0,07 0,05 0,06 0,08 0,04

Deportivo 0,04 0,05 0,05 0,07 0,02

La suma de todas las probabilidades es igual a 1, como no podría ser de otra manera. Si

se multiplican los valores de la Tabla 2 (precios por día) y la Tabla 3 (probabilidades) y se

suman todos los valores se obtiene el ingreso medio diario de cada vehículo en plantilla,

que resulta ser 43,14€. La empresa tiene calculado de su operación en otros países que

el porcentaje de uso de los coches es de un 25%. Es decir, solo el 25% del tiempo los

automóviles están alquilados, el resto del tiempo se encuentran en el garaje. Por tanto,

el ingreso diario de cada vehículo resulta ser de 10,78€. Al multiplicar por 365 días que

tiene un año se obtiene un ingreso medio anual por coche de 3936,52€:

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 ∗ % 𝑢𝑠𝑜 ∗ 𝑛º 𝑑í𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 (33)

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 43,14 ∗ 0,25 ∗ 365 = 3936,52 € (34)



37

A continuación debe estimarse también el número de clientes del negocio durante el

periodo a estudio, cinco años. Para ello, se plantearán tres escenarios diferentes:

pesimista, prudente y optimista. En cada uno de ellos se partirá de una cantidad de

clientes y se preverá un crecimiento anual determinado. Todo esto se recoge en la Tabla

4:

Tabla 4: Escenarios posibles

Escenario Probabilidad Clientes Año 1 Crecimiento anual (%)

Optimista 0,35 14290 15%

Prudente 0,40 12074 8%

Pesimista 0,25 4744 0%

A partir de la Tabla 4 es sencillo calcular el número de clientes de los cinco años

venideros, sin más que partir de la estimación del primer periodo y multiplicar por

(1+Crecimiento anual):

Tabla 5: Estimación de los clientes anuales futuros

Escenario Clientes 1 Clientes 2 Clientes 3 Clientes 4 Clientes 5

Optimista 14290 16433,50 18898,52 21733,30 24993,29

Prudente 12047 13039,92 14083,11 15209,76 16426,54

Pesimista 4744 4744 4744 4744 4744

Ponderación 11017,10 12153,69 13433,73 14876,56 16504,27

La última fila se corresponde al valor “medio”, es decir el valor obtenido al ponderar con

la probabilidad de cada escenario. Si ahora se multiplica cada uno de esos valores por el



38

ingreso medio anual calculado previamente (3936,52€) se obtendrán los diferentes

flujos de caja:

Tabla 6: Flujos de caja

Escenario FC1(M€) FC2(M€) FC3(M€) FC4(M€) FC5(M€) Probabilidad

Optimista 56,25 64,69 74,39 85,55 98,38 0,35

Prudente 47,53 51,33 55,43 59,87 64,66 0,40

Pesimista 18,67 18,67 18,67 18,67 18,67 0,25

A primera vista se observa una disparidad en los posibles ingresos de la inversión.

Tomando como ejemplo los valores del cuarto año, es decir 85,55 – 59,87 – 18,67

millones de euros, resulta evidente que existe una alta incertidumbre en el proyecto.

Finalmente, se multiplican en cada columna cada uno de los valores por su probabilidad

(último número de su fila) y se suman los productos, obteniendo así los flujos de caja de

cada periodo temporal:

Tabla 7: Flujos de caja estimados

FC1 (M€) 43,37

FC2 (M€) 47,14

FC3 (M€) 51,97

FC4 (M€) 57,43

FC5 (M€) 63,60



39

6.1.2 Estimación de los costes futuros

Tras presentar las hipótesis que han llevado al cálculo de los ingresos, se hace ahora lo

propio para los costes. De inicio, es decir en el Año 0, la empresa decide instaurar 350

establecimientos y a partir de ahí, incrementar esta cifra según el número de clientes

nuevos que lleguen año tras año (el cual se ha presentado en la Tabla 5). Se ha calculado

que cada establecimiento o tienda puede tratar con alrededor de 25 clientes al mismo

tiempo (básicamente por la limitación de mantener 25 coches en la misma zona

geográfica). De este modo, puede calcularse que el primer año aumentará el número de

establecimientos en 11017,1 / 25 = 440,68 -> 441 (se divide el número de clientes

nuevos estimados entre la capacidad de cada sucursal). El resultado obtenido se

redondea al alza con la función redondear de Microsoft Excel la cual se describe en el

Anexo 7.5:

Haciendo lo propio para los demás años se obtienen los datos de la Tabla 8:

Tabla 8: Número de establecimientos anuales

Año 0 1 2 3 4 5

Establecimientos 350 441 487 538 596 661

ΔEstablecimientos 91 46 51 58 65

La tercera fila muestra los nuevos establecimientos que deben construirse de un año

para otro.

Los costes anuales pueden clasificarse en dos tipos: costes por creación de nuevos

establecimientos (compra del local, material de oficina, aparcamientos, etc.) cuyo

desembolso se estima en 130,000€ y costes por mantenimiento de locales (sueldo de

los empleados, reparaciones de los coches, etc.) cuyo gasto asciende a 62,000€.

Teniendo en cuenta el número de entidades que van a existir cada año, el coste anual

total asciende a:



40

Tabla 9: Costes anuales

Año 0 1 2 3 4 5

Coste (M€) 45,5 39,17 36,17 39,98 44,49 49,43

6.1.3 Cálculo del Valor Actual de los ingresos

La fórmula necesaria para calcular el valor actual de una serie de flujos de caja fue

explicada con anterioridad. A continuación se hará uso de la misma aplicándola a los

cash flow de los ingresos.

𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = ∑𝐹𝐶𝑖

(1 + 𝑘)𝑖

𝑁

𝑖=1

(35)

El número de años considerados a estudio son cinco, los flujos de caja aparecen en la

Tabla 8 y como tasa de descuento se tomará un valor del 10%, es decir k=0,10. Este valor

puede resultar a primera vista muy elevado, no obstante la situación actual del país no

es del todo estable por lo que cualquier inversión posee un riesgo añadido. Sustituyendo

los valores se obtiene un Valor Actual de los Ingresos de:

𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = 196,16 𝑀€ (36)

La Figura 6 muestra el procedimiento a seguir para el cálculo, que no es más que el uso

de la función VNA de Microsoft Excel que se describe con más detalle en el Anexo IV:



41

Figura 6: Cálculo de Valor Actual de los ingresos

6.1.4 Cálculo del Valor Actual de los costes

Para este cálculo se procederá de forma similar a la metodología para el valor actual de

los ingresos. No obstante debe tenerse en cuenta que para el Año 0 (Inversión inicial)

no debe aplicarse la tasa de descuento. Realizando toda la operativa se obtiene un valor

de:

𝑉𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 = 200,27 𝑀€ (37)

A continuación, la Figura 7 recoge los pasos necesarios para el cálculo en Excel:

Figura 7: Cálculo del VA de los costes



42

6.1.5 VAN del proyecto

Una vez han sido calculados el Valor Actual de los ingresos y de los costes, el cálculo del

Valor Actual del proyecto no requiere más que una simple resta:

𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝑉𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 (38)

𝑉𝐴𝑁 = 196,16 − 200,27 = −4.11 𝑀€ (39)

Debido a que el resultado del VAN es negativo, la inversión no debe ser acometida. Esto

es, no obstante, siguiendo el criterio tradicional de análisis de inversiones. Más adelante

se demostrará cómo el uso de las opciones financieras pueden alterar estos resultados

numéricos y por tanto el desarrollo de la inversión.

6.1.6 Influencia de la tasa de descuento

En los cálculos previos se ha elegido una tasa de descuento del 10% (k=0.10). No

obstante, la elección de otros valores habría influido en los resultados de los valores

actuales de ingresos y costes. Para comprobarlo se han calculado éstos para valores de

k que van desde 5% hasta 13%. Representándolos en la Figura 8 se obtiene lo siguiente:

Figura 8: Influencia de k en el VAN

(€50.000.000,00)

€0,00

€50.000.000,00

€100.000.000,00

€150.000.000,00

€200.000.000,00

€250.000.000,00

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13

Títu

lo d

el e

je

Influencia de k en el VAN

VAN proyecto

VA Costes

VA Ingresos



43

Puede apreciarse que el valor de la tasa de descuento influye en mayor medida en los

Ingresos. Esto es así puesto que el valor de los Costes incluye un desembolso inicial muy

fuerte (en el Año 0) que no se ve influido por k, de ahí que logre mantener unos valores

más constantes. Se observa que a partir de un valor de, aproximadamente, k=9% (como

era el caso estudiado, k=10%) el VAN es negativo.

6.2 Método de valoración de inversiones con opciones reales

En este apartado van a presentarse los casos más comunes de opciones reales, esto es,

la opción de diferir y de ampliar el proyecto. Cada uno de ellos se resolverá aplicando

los métodos que se han presentado en este proyecto: Black-Scholes, Binomial y Monte

Carlo.

6.2.1 Opción diferir

La empresa tiene la posibilidad de establecerse en un país dentro de un año y durante

este tiempo recabar información sobre el mismo.

Según los especialistas de AUTODREAM, la situación económica del país será más idónea

para el negocio pasado este tiempo. Por tanto, debe estudiarse la posibilidad de diferir

el proyecto un año, teniendo en cuenta el coste de no percibir ingresos durante ese

periodo.

Esta posibilidad de posponer el proyecto tiene su equivalente financiero en una opción

de compra. Tal y como se vio con anterioridad, el cálculo del valor de una opción call

requiere el conocimiento de una serie de parámetros como son: 𝑆0, X, T, 𝑅𝑓 y σ. Las dos

primeras variables fueron calculadas en el apartado anterior y se corresponden con el

Valor Actual de los ingresos y de los costes:

𝑆0 = 𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = 196,16 𝑀€ (40)



44

𝑋 = 𝑉𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 = 200,27 𝑀€ (41)

El intervalo temporal T es ahora un año (tiempo que se pospondría el proyecto), la tasa

libre de riesgo 𝑅𝑓 puede suponerse 7%.

La variable que falta por determinarse es la volatilidad. Si bien en el ejemplo práctico de

opciones financieras se pudo estimar la volatilidad histórica a partir de las cotizaciones

de una empresa, aquí no puede realizarse lo mismo. Dando la vuelta a la ecuación de

Black-Scholes puede utilizarse el valor del subyacente, el precio de ejercicio, el tiempo

hasta el vencimiento, el tipo de interés libre de riesgo hasta el vencimiento y el precio

de mercado de la opción, para calcular la volatilidad. Esta volatilidad se denomina

volatilidad implícita.

Estimación de la volatilidad implícita

A lo largo de este apartado se expondrán los pasos para determinar esta variable. En

primer lugar debe establecerse según conveniencia la probabilidad mínima de que el

valor actual del proyecto de dentro de un año sea mayor que el desembolso inicial: 𝑃0 =

𝑃(𝑆𝑇 > 𝑋) con T=1 año. Esto es equivalente a decir que el VAN sea positivo de aquí a

un año.

Para ello debe considerarse una variable aleatoria logarítmica normal, r, que refleje la

variación temporal del valor del proyecto (Lamothe Fernández, P et al. (2010)):

𝑆𝑇

𝑆0= 𝑒𝑟 (42)

Al mismo tiempo, r depende de la volatilidad σ que se está buscando según la ecuación:

𝑟 = (𝑅𝑓 −1

2∗ 𝜎2) ∗ 𝑇 + 𝜎√𝑇 ∗ 𝑥 (43)



45

Esta variable gaussiana r (o normal) tiene dos sumandos: el primero de ellos es una

componente determinista (no hay influencia del riesgo) y el segundo es una

componente aleatoria con distribución normal de media 0 y desviación típica √𝑇 ∗ 𝑥,

siendo x una variable aleatoria con distribución N(0,1).

El objetivo ahora es expresar la probabilidad de que el valor actual del proyecto sea

superior a la inversión, esto es, 𝑃0 = 𝑃(𝑆𝑇 > 𝑋), en función de Q(x). Esta función

expresa la probabilidad de cola de una distribución normal estándar (debido a que se

busca un valor “mayor que (>)” y no “menor que (<)”). Ya se ha comentado que 𝑃0 será

establecerá a conveniencia, luego si se expresa esto en función de Q(x) podrá despejarse

de ahí la volatilidad.

Como r es una variable aleatoria log-normal y se desea utilizar la función Q(x), ha de

transformarse en variable aleatoria normal (o gaussiana). En primer lugar se aplicará

logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad:

𝑃0 = 𝑃(𝑆𝑇 > 𝑋) = 𝑃 (𝑙𝑛𝑆𝑇

𝑆0> 𝑙𝑛

𝑋

𝑆0) = 𝑃 (𝑟 > 𝑙𝑛

𝑋

𝑆0) (44)

A continuación se normalizará la variable r, es decir, se transformará en una variable

aleatoria normal con media 0 y varianza 1. La esperanza y la varianza de r son:

𝐸(𝑟) = (𝑅𝑓 −1

2𝜎2) 𝑇 (45)

𝑉(𝑟) = 𝜎2𝑇 (46)

Por tanto, la normalización será:

𝑃 (𝑟 − 𝐸(𝑟)

𝑉(𝑟)>

𝑙𝑛𝑋𝑆0

− 𝐸(𝑟)

𝑉(𝑟)) = 𝑄 (

𝑙𝑛𝑋𝑆0

− 𝐸(𝑟)

𝑉(𝑟)) = 𝑃0 (47)



46

Aplicando 𝑄−1(𝑥) en ambos lados se tiene:

𝑙𝑛𝑋𝑆0

− 𝐸(𝑟)

𝑉(𝑟)= 𝑄−1(𝑃0) (48)

Sustituyendo en esta ecuación las definiciones de 𝐸(𝑟) y 𝑉(𝑟) y despejando la

volatilidad se queda lo siguiente:

𝜎 = √𝑙𝑛

𝑋𝑆0

− 𝑅𝑓𝑇

𝑇 ∗ [𝑄−1(𝑃0) −12]

(49)

El objetivo era fijar a conveniencia una probabilidad de que el valor del proyecto fuese

mayor que la inversión, en otras palabras, fijar un valor de 𝑃0 y obtener la volatilidad

correspondiente. Para una probabilidad de 0,9, la volatilidad toma un valor de:

𝜎 = 0,167641 (50)

6.2.1.1 Fórmula de Black-Scholes

Tras el cálculo de la volatilidad, se tienen todos los parámetros que exige la fórmula de

Black-Scholes para obtener el valor de la opción. La Figura 9 muestra el proceso seguido

para el cálculo, idéntico al de las opciones financieras. En primer lugar deben calcularse

𝑑1 y 𝑑2, obtener N(𝑑1) y N(𝑑2) y sustituir junto con las variables 𝑆0, X, T, 𝑅𝑓 y σ en la

ecuación de C (valor de la opción).



47

Figura 9: Cálculo del valor de la opción real mediante Black-Scholes

El valor de la opción real resulta ser de 19,15 millones de euros. No obstante, el hecho

de posponer el inicio del negocio tiene un coste que viene representado por los flujos

de caja que se dejan de percibir durante el aplazamiento (en este caso un año). Los cash

flow perdidos durante el primer año coinciden con los ingresos menos la inversión,

actualizados al periodo actual (ver Apartado 6.1).

De este modo, tiene que comprobarse si el VAN del proyecto es ahora positivo o si sigue

siendo menor que cero. Para ello se sumará el VAN obtenido del modo tradicional con

el valor de la opción y se descontarán los costes.

𝑉𝐴𝑁𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟 = 𝑉𝐴𝑁𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 (51)

Para los valores concretos del proyecto:

𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖𝑜𝑛𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝐵𝑙𝑎𝑐𝑘−𝑆𝑐ℎ𝑜𝑙𝑒𝑠 = −4,11 + 19,15 − 11,39 = 3,65 𝑀€ (52)



48

El VAN del proyecto calculado primeramente era negativo, lo que indicaba que no

resulta rentable acometer el proyecto. Sin embargo, el valor obtenido con la opción de

diferir revela que la inversión puede ser atractiva si se espera un año, es decir, el valor

de esperar es mayor que el coste.

6.2.1.2 Método Binomial

En este apartado se valorará la opción de diferir el comienzo del proyecto un año

utilizando otra metodología. El Método Binomial se basa en dividir el periodo de tiempo

a estudio en diferentes sub-periodos o nodos en los cuales los ingresos pueden tomar

distintos valores.

Esta metodología requiere los valores correspondientes a la tasa libre de riesgo, 𝑅𝑓, la

volatilidad, σ, el periodo de tiempo a diferir, T, el Valor Actual del proyecto, 𝑆0 y el

desembolso para llevar a cabo el proyecto, X. En el caso concreto a estudio el árbol

binomial constará de seis iteraciones (n=6) por lo que cada sub-periodo coincide con 1/6

años (es decir, dos meses), 𝛥𝑡 = T/n = 0,1666 años.

Se ha tomado un valor se seis iteraciones pues resulta práctico y representativo. Elegir

un número superior de iteraciones (por ejemplo doce, una por mes) no supondría una

mejor comprensión del método y sin embargo sí dificultaría la presentación de

resultados. Debe comprenderse que el Método Binomial tiende a una convergencia

hacia el valor de Black-Scholes al aumentar el número de iteraciones debido a que, al

aumentar el número de ellas en la construcción del árbol binomial, la distribución

binomial se aproxima a una distribución normal (que es la base de Black-Scholes).

A continuación, es necesario establecer los parámetros u y d que permiten la

construcción del árbol binomial. Sus expresiones son:

𝑢 = 𝑒(σ∗√Δt) = 1,07083 (53)



49

𝑑 = 1𝑢⁄ = 0,93385 (54)

Con dichas variables ya puede empezar a construirse el árbol. Se parte del valor actual

del proyecto (ingresos esperados), 𝑆0 = 196,16 𝑀€, y se van creando los valores

crecientes o decrecientes con los factores u y d respectivamente. La Figura 10 muestra

el proceso a seguir:

Figura 10: Árbol binomial de los valores del proyecto

Los valores, por ejemplo, del primer sub-periodo se obtienen de la siguiente manera:

𝑉𝐴𝑡=11 = 𝑆0 ∗ 𝑢 = 196,16 ∗ 1,0708 = 210,01 𝑀€ (55)

𝑉𝐴𝑡=12 = 𝑆0 ∗ 𝑑 = 196,16 ∗ 0,933 = 183,18 𝑀€ (56)

Procediendo de igual manera en cada nodo se llega hasta los valores de la derecha del

todo, los siete posibles valores del valor del proyecto al cabo de un año.



50

Una vez calculados los valores del proyecto deben calcularse los respectivos valores de

la opción. Para aquellos casos en los que 𝑆𝑇 (para T=1 año) sea mayor que X, o sea, el

valor del proyecto sea superior a la inversión necesaria para ejercerlo, el valor de la

opción es 𝐶 = 𝑆𝑇 − 𝑋. En caso contrario, el valor de la opción es cero pues no será

ejercida. Por tanto, la expresión para el cálculo del valor de la opción es:

𝐶 = max (𝑆𝑇 − 𝑋, 0) (57)

Aplicando esta ecuación para los siete últimos valores, teniendo en cuenta que 𝑋 =

200,27 𝑀€, se descubre que la opción de posponer el proyecto solo se realizaría para

tres casos (los tres primeros). Haciendo uso de una comparativa financiera, en los otros

cuatro casos el precio de mercado (𝑆𝑇) estaría por debajo del precio de ejercicio (X) por

lo que no resultaría interesante ejercer el derecho de compra y el valor de la opción pasa

automáticamente a ser cero:

𝐶4 = 196,16 − 200,27 = −4,11 𝑀€ (58)

𝐶5 = 171,06 − 200,27 = −29,20 𝑀€ (59)

𝐶6 = 149,18 − 200,27 = −51,08 𝑀€ (60)

𝐶7 = 130,10 − 200,27 = −70,17 𝑀€ (61)

El último paso es obtener el valor actual de la opción. Para ello debe ir construyéndose

el árbol de valores de la opción de derecha a izquierda, o sea, de la última columna cuya

construcción acaba de explicarse hasta la primera celda. Este proceso se denomina

“backward induction” y requiere de dos parámetros, llamados probabilidades neutrales

al riesgo, cuyas ecuaciones son:



51

𝑝 =1 + 𝑅𝑓 − 𝑑

𝑢 − 𝑑= 0,5413 (62)

𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,4587 (63)

Con estos valores se va dando forma al árbol, cada valor de la opción seguirá la ecuación

siguiente:

𝐶 =𝑝 ∗ 𝐶𝑢 + (1 − 𝑝) ∗ 𝐶𝑑

1 + 𝑅𝑓 (64)

La Figura 11 muestra el árbol completo:

Figura 11: Árbol binomial de los valores de la opción

Por ejemplo, el valor de la casilla 85,20M€ de la Figura X se ha calculado así:



52

𝐶 =𝑝 ∗ 103,24 + (1 − 𝑝) ∗ 65,409

1 + 𝑅𝑓 (65)

El primero de los valores es el valor actual de la opción, 𝐶 = 18,82 𝑀€. Es algo menor

que el obtenido por el método de Black-Scholes pero del mismo orden de magnitud.

Para obtener el VAN de la opción esperar no hay más que sumar el VAN original al valor

de la opción y restarle los cash-flow no ingresados en el primer año:

𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝑀. 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 = −4,11 + 18,82 − 11,39 = 3,31 𝑀€ (66)

Como sucedía en el Método de Black-Scholes, se percibe que la opción de esperar puede

resultar muy beneficiosa ya que se pasa de un VAN negativo a obtener beneficios.

6.2.1.3 Simulación Monte Carlo

Esta metodología es, en cierto punto, similar a la binomial. También se basa en simular

diferentes escenarios, es decir, diferentes valores de 𝑆𝑇, solo que aquí el número de

éstos asciende a millares. Para calcular los posibles valores del proyecto se considera

que dicha variable sigue el mismo movimiento que en opciones financieras, esto es, un

movimiento geométrico browniano (Hull, J.C. (2012)):

𝑆𝑇 = 𝑆0 ∗ 𝑒𝑟 = 𝑆0 ∗ 𝑒((𝜇−

12

∗σ2)∗𝑇+σ∗√𝑇∗𝑥) (67)

Siendo 𝑆𝑇 el valor del proyecto en el instante T (para el caso a estudio, T=1 año), 𝑆0 es

el valor actual del proyecto, 𝜇 coincide con la tasa libre de riesgo 𝑅𝑓 y finalmente σ es la

volatilidad.



53

El número de simulaciones a realizar puede ser tan grande como se desee, por lo general

a partir de mil se considera un ensayo correcto y esta es la cifra que se toma para este

ejemplo. A cada uno de los escenarios se le asignará la misma probabilidad de

ocurrencia, es decir, 1/1000. Las variables 𝑆0, X, T, 𝑅𝑓 y σ se fijan desde el inicio para

todas las simulaciones, lo que marcará la variación de un escenario a otro es el valor de

x, que será una variable aleatoria normal N(0,1).

Del mismo modo que se hizo en el Método Binomial, para el instante T (1 año) habrá

valores del proyecto superiores al coste de inversión, esto es 𝑆𝑇 > 𝑋, y otros inferiores,

𝑆𝑇 < 𝑋. En el primer caso el beneficio o payoff será 𝑆𝑇 − 𝑋 y en el segundo será 0 pues

el proyecto no se llevará a cabo. Por último, se calculará un valor promedio de estos

beneficios de entre las mil simulaciones realizadas.

En este punto se tienen todas las variables de la fórmula de 𝑆𝑇 mostrada salvo la variable

aleatoria normal, x. Para su estimación no hay más que generar una serie de números al

azar entre 0 y 1 con la función “ALEATORIO” de Excel y calcular las distintas

probabilidades con la función “DISTR.NORM.ESTAND.INV(probabilidad)” donde

“probabilidad” es los distintos valores de x. Estas funciones de Excel se describen a

continuación:

Ahora sí es posible simular tantos valores de 𝑆𝑇 como se deseen. A continuación se

muestra el proceso seguido, incluyendo el cálculo previo de la variable aleatoria x. Debe

tenerse en cuenta que la Figura 12 solamente muestra las primeras simulaciones pues

mostrar las mil no sería cómodo ni aportaría valor.



54

Figura 12: Simulación de distintos valores de 𝑆𝑇

A continuación se calcularán los diferentes payoff. Para ello se hará uso de la función

“SI(prueba_lógica; [valor_si_verdadero]; [valor_si_falso]”. La “prueba lógica” será

comprobar si los distintos valores de 𝑆𝑇 (columna F) son mayores que X (celda B7), es

decir 𝑆𝑇 > 𝑋. El “valor_si_verdadero” será la diferencia entre ambos valores, 𝑆𝑇 − 𝑋, y

el “valor_si_falso” será cero, pues en dicho caso el proyecto no se llevaría a cabo.

El siguiente paso es obtener el promedio de todos los payoff obtenidos, para ello se

suman todos los valores con la función “SUMA(número1; [número2]; …)” y se divide

entre mil. El resultado es el mostrado en la Figura 13:



55

Figura 13: Cálculo del promedio de los payoff

El valor de la celda H3, es decir 19,82 millones de euros, se corresponde con el valor de

la opción dentro de un año, en el instante T. No obstante, el valor que se necesita para

poder calcular el VAN de la opción diferir es el del instante actual. Para ello se multiplica

el promedio obtenido por el factor 𝑒(−𝑅𝑓∗𝑇).

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 = 19,819 ∗ 𝑒(−0.08∗1) = 18,295 𝑀€ (68)

Finalmente se tienen todos los datos necesarios para calcular el VAN que se obtiene si

se pospone el inicio del proyecto un año. Procediendo de manera similar al Método de

Black-Scholes y Binomial:

𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝑀𝑜𝑛𝑡𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜 = −4,11 + 18,29 − 11,39 = 2,79 𝑀€ (69)



56

6.2.2 Opción ampliar

La opción de ampliar recoge la posibilidad de generar un crecimiento de la inversión

adquiriendo, a cierto coste, otra parte del proyecto. A primera vista, aumentar la

participación en el negocio cuando no se posee una seguridad total en él puede parecer

poco recomendable. Sin embargo, en este apartado se demostrará cómo las opciones

reales permiten sacar partido a dicha situación y obtener beneficios.

Desde una perspectiva financiera, la opción de ampliar el proyecto se asemeja a una

opción de compra call, en la cual el activo subyacente 𝑆0 es el valor actual de los cash-

flow que se estima que el proyecto adicional generaría. El desembolso necesario para

desarrollar la inversión adicional se corresponde con el precio de ejercicio X.

La empresa AUTODREAM se muestra dubitativa en relación a su entrada en un

determinado país. Por dicha razón se baraja la posibilidad de realizar una incursión

piloto durante cuatro años, con un desembolso mucho menor. Si tras este periodo, la

prueba en el país resulta exitosa se ampliaría el negocio en el quinto año a través de una

fuerte inversión (mucho mayor que la de los años previos). Dicha ampliación se espera

que genere un valor actual cinco veces superior al valor del cuarto año.

La empresa se ha dedicado a estimar los parámetros relativos al negocio. A través de un

estudio de mercado se ha analizado la situación de empresas similares del sector que se

han introducido en este mercado. A pesar de la confidencialidad de sus datos se ha

deducido que la inversión piloto conlleva un desembolso de 5 millones de euros. El valor

actual de los ingresos netos se estima en 4 millones de euros teniendo en cuenta

distintos escenarios optimistas y pesimistas. Los valores de la volatilidad y la tasa libre

de riesgo se suponen 30% y 8%, respectivamente.

Lógicamente el proyecto no sería interesante desde un punto de vista tradicional pues

resulta un VAN negativo:

𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝑉𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 = 4 − 5 = −1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 (70)



57

Lo interesante es estudiar el valor de la inversión si esta se ampliase al pasar cuatro años.

Dicha ampliación exige un desembolso adicional de 15 millones de euros y se estima que

establecería un valor del negocio cinco veces superior al que se tenía en el año cuarto.

6.2.2.1 Método de Black-Scholes

Debido a las características propias del Método de Black-Scholes que se han descubierto

previamente se deduce que esta metodología no es factible para la casuística

presentada en la opción de ampliar el proyecto. Esto es así pues Black-Scholes permite

ciertamente obtener el valor de una opción real para un tiempo futuro pero no admite

la creación de casos especiales como el de multiplicar por cinco el valor del negocio y/o

aumentar el desembolso exigido. Por esta razón, el caso concreto que se plantea solo

podrá analizarse desde la perspectiva del Método Binomial y de la Simulación

Montecarlo.

6.2.2.2 Método Binomial

Cuando todos los parámetros han sido estimados pueden calcularse las variables

necesarias para la construcción del árbol binomial, es decir, los parámetros u y d que ya

fueron usados en la opción diferir.

𝑢 = 𝑒(𝜎∗√𝛥𝑡) = 𝑒0,3 = 1.16 (71)

𝑑 = 1 𝑢⁄ = 0.86 (72)

A continuación pasa a construirse el árbol. Se utilizará un intervalos temporal de un año

(𝑇 = 1 año) para el periodo de prueba o piloto. La Figura 14 muestra el procedimiento

seguido:



58

Figura 14: Construcción del árbol binomial

Llegado a este punto, la directiva de la empresa calcula los VAN que se obtendrían de

llevar a cabo la ampliación. Para ello debe tenerse en cuenta el factor de expansión del

valor del negocio (que se estableció en cinco) y el desembolso exigido para ampliar:

𝑉𝐴𝑁1 = (5 ∗ 7,28) − 15 = 46 𝑀€ (73)

𝑉𝐴𝑁2 = (5 ∗ 5,39) − 15 = 16,4 𝑀€ (74)

𝑉𝐴𝑁3 = (5 ∗ 4) − 15 = 5 𝑀€ (75)

𝑉𝐴𝑁4 = (5 ∗ 2,96) − 15 = −0,18 𝑀€ (76)

𝑉𝐴𝑁5 = (5 ∗ 2,19) − 15 = −4,02 𝑀€ (77)

De las cinco posibilidades que aparecen, el proyecto solo se llevaría a cabo en los tres

primeros casos que es donde el valor de ampliar el proyecto supera al valor de no

hacerlo. En los otros dos casos, el proyecto se mantendría sin ampliar y mantendría los

valores que aparecen en la última columna del árbol binomial.



59

Seguidamente, debe construirse el árbol de valores de la opción avanzando de derecha

a izquierda (“backward induction”) a través de las probabilidades neutrales al riesgo, p

y q (Hull, J.C. (2012)):

𝑝 =1 + 𝑅𝑓 − 𝑑

𝑢 − 𝑑=

1 + 0,08 − 0,86

1,16 − 0,86= 0,49 (78)

𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,51 (79)

De este modo, cada valor de la opción en un sub-periodo se obtendrá según la fórmula:

𝐶 =𝑝 ∗ 𝐶𝑢 + (1 − 𝑝) ∗ 𝐶𝑑

1 + 𝑅𝑓 (80)

Si se realiza este proceso a lo largo de todo el árbol se obtiene lo que muestra la Figura

15:

Figura 15: Backward induction

Finalmente y una vez obtenido el valor de la opción ampliar, puede calcularse el nuevo

VAN del negocio (recuérdese que el inicial era -1M€):



60

𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑟𝑀. 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 = 4,97 − 1 = 3,97 𝑀€ (81)

Este resultado demuestra cómo un proyecto que a primera vista resultaba poco

interesante puede llegar a ser una inversión muy beneficiosa si se hace uso de las

oportunidades que presentan las opciones reales.

6.2.2.3 Simulación Montecarlo

A continuación se valorará la opción de ampliar el proyecto a través de la Simulación

Montecarlo. La simulación de los distintos escenarios, es decir, de los distintos valores

alcanzables por el proyecto es idéntica a la ejecutada en la opción de posponer por lo

que no es necesario profundizar en ello.

Una vez se han encontrado dichos valores (columna F) debe comprobarse si la opción

ampliar es rentable o no. Para ello deben cumplirse dos requisitos, que el VAN de

ampliar sea positivo y además que este sea superior al caso de no ampliar (puede que

ampliar salga rentable pero menos que no hacerlo). Para visualizar mejor dichas

condiciones se han separado en dos columnas, la G y la H. En la primera se comprueba

si el VAN de ampliar es positivo a través de la función “SI(prueba_lógica;

[valor_si_verdadero]; [valor_si_falso]”, en concreto “SI(ValorColumnaF*5-

15.000.000>0; ValorColumnaF*5-15.000.000; ValorColumnaF)”. En la columna H se

comprueba si éste valor (ampliando) es mayor o menor que el previo (sin ampliar), de

ser menor no se lleva a cabo la opción. Esto se realiza con la función

“=SI(ValorColumnaG<ValorColumnaF; ValorColumnaF; ValorColumnaG)”.

Finalmente se calcula el promedio de los valores calculados y se actualizan al instante

temporal actual mediante el factor 𝑒(−𝑅𝑓∗𝑇). La Figura 16 muestra el proceso completo

de la Simulación Montecarlo:



61

Figura 16: Desarrollo de la Simulación Montecarlo

El valor de la opción ampliar es, según esta metodología, 𝐶 = 5,34 𝑀€. Con este dato

puede calcularse el VAN del proyecto con la opción ampliar tal que:

𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑟𝑆. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑙𝑜 = 5,34 − 1 = 4,34 𝑀€ (82)

El valor arrojado por la Simulación Montecarlo es muy similar al del Método Binomial,

la deducción de ambos es que el uso de las opciones reales (en este caso ampliar la

inversión) puede transformar un proyecto poco interesante en otro beneficioso.



62

7. CONCLUSIONES

A lo largo del proyecto se ha tenido la oportunidad de estudiar el análisis de inversiones

desde diferentes enfoques, dando lugar a una estructura que puede resumirse del

siguiente modo:

En primer lugar se presentó el análisis tradicional del Valor Actual Neto, el menos

sofisticado de los métodos. El VAN puede resultar útil para inversiones que no

impliquen demasiado riesgo (lo que no es muy común) o como primera toma de

contacto con el análisis de inversiones.

Seguidamente se introdujeron las opciones financieras. Si bien el tema principal

del trabajo son las opciones reales, éstas últimas no pueden comprenderse sin

conocer las primeras. Efectivamente, las opciones reales no son más que una

extrapolación de las financieras al mundo real, la aplicación de la misma teoría a

proyectos reales en vez de a activos bursátiles.

A continuación se estudiaron las opciones reales, mostrando las nuevas

posibilidades que se pueden encarar durante un proyecto real y cómo éstos son

elementos dinámicos, sujetos a infinidad de cambios.

Como se acaba de decir, al inicio de este trabajo se exponían las limitaciones que

conlleva el análisis tradicional de las inversiones, es decir, el que utiliza como base para

su cálculo el Valor Actual Neto. Si en un proyecto existe una cierta flexibilidad operativa,

el VAN es incapaz de incluirla y dará siempre por hecho que una vez iniciada la inversión

no puede verse alterada.

En la vida real, el abanico de modificaciones en los que puede verse afectado un

proyecto es casi siempre tan amplio como se desee. Por ello, todo parece indicar que el

uso del análisis tradicional no tiene verdadero sentido salvo en un ámbito académico o

en proyectos con una incertidumbre realmente baja (cosa que no es muy común).

En la mayoría de entornos de inversión existe un riesgo o incertidumbre (una volatilidad

en los flujos de caja) y es ahí donde las opciones reales se convierten en una herramienta

casi indispensable. Estas fluctuaciones son las que hacen que la inversión que se está



63

llevando a cabo pase a ser más interesante aún, a ser totalmente inapropiada, etc. y que

los directivos deban modificar el rumbo del proyecto.

En la parte práctica del proyecto se ha demostrado cómo un proyecto que no es rentable

y que bajo el punto de vista tradicional debería ser desechado, puede tornarse en una

inversión muy interesante si se hace uso de las opciones reales. En concreto se han

planteado dos casuísticas:

La opción de diferir un proyecto: permite adquirir información extra durante el

tiempo de espera y utilizarla de un modo tal que aumente el valor del proyecto.

No obstante debe realizarse un análisis correcto de la situación y tener en cuenta

que durante este intervalo temporal de posposición se están dejando de ingresar

flujos de caja.

La opción de ampliar un proyecto: resulta muy interesante ya que establece la

posibilidad de multiplicar los beneficios si en futuro la inversión resulta rentable,

pero sin acometer en el presente un desembolso monetario demasiado elevado

(evitando también los respectivos riesgos).

Estos casos han sido resueltos por tres metodologías diferentes (salvo la opción de

ampliar la inversión, que se ha hecho con dos):

- Método de Black-Scholes,

- Método Binomial

- Simulación Montecarlo.

Se ha llegado a la conclusión de que la más sencilla de aplicar es la de Black-Scholes pues

su uso se limita a la sustitución de una serie de valores (muchos de los cuales se obtienen

sin necesidad de ningún tipo de cálculo) en una fórmula. No obstante este preciso

hecho, el que el cálculo se realice a partir de una ecuación limita en gran medida la

flexibilidad del modelo y la posibilidad de aplicarlo a las diferentes casuísticas que



64

afronte cada empresa. Para el caso concreto de ampliar un negocio que se ha estudiado

en este proyecto, la fórmula de Black-Scholes resultaba imposible de aplicar pues no

permitía satisfacer las condiciones impuestas por la inversión. Se estimó que los ingresos

podían resultar cinco veces superiores en el último año de inversión si se hacía un

desembolso extra en el negocio. La fórmula de Black-Scholes no consiente estas

condiciones por lo que resulta inútil en según qué casos. Por otro lado, las metodologías

Binomial y Montecarlo, a pesar de resultar más tediosas de aplicar permiten incluir casi

cualquier opción. Esto es así porque su aplicación es más “paso a paso”, en lugar de

utilizar directamente una fórmula como en Black-Scholes. En ambos se van mostrando

todas las opciones posibles que va tomando el negocio (ya sea en las ramas del árbol

binomial o en los distintos valores futuros en la simulación Montecarlo) lo que permite

realizar ciertas modificaciones sobre dichos valores según los valores que van tomando.

En otro orden de cosas, resulta interesante aclarar el concepto “valor de la opción” pues

se ha venido utilizando continuamente en el proyecto. Cuando se habla de opciones

financieras ese valor es real, es decir, es un precio que se debe pagar si se desea estar

en posesión de la opción. No obstante, cuando se trata de opciones reales y por tanto

de proyectos reales, el valor pasa a ser algo conceptual. Evidentemente, si una empresa

está estudiando un proyecto y decide, por ejemplo, diferir el inicio del mismo un año no

va a recibir la cantidad monetaria que cualquiera de los métodos (Black-Scholes,

Binomial o Montecarlo) indica que vale esa opción. Lo que sucede realmente es que se

calculan que para ese momento (momento consecuencia de esperar) los resultados de

la inversión y se comparan con los obtenidos si se hiciese en el momento actual. De este

modo, la opción de esperar puede analizarse numéricamente o valorarse.

Por otro lado, el proyecto presenta una serie de líneas de estudio que sería deseable

ampliar en el futuro. Sería muy interesante extrapolar los casos analizados al uso de

opciones americanas, pues en el trabajo solo se han estudiado las europeas. Estas

opciones americanas presentarían una mayor versatilidad frente a cambios en el



65

desarrollo del proyecto de inversión pues permiten variar su progreso en cualquier

instante. Ello refleja de mejor manera la flexibilidad que se ha querido buscar a lo largo

de todo el proyecto y por la cual se ha rechazado el enfoque tradicional del Valor Actual

Neto.



66

8. REFERENCIAS

- Hull, J.C. (2012). “Options, Futures and Other Derivatives”. Pearson

- Mascareñas, J. (2010). “Opciones reales: Introducción”. Universidad

Complutense de Madrid.

- Mascareñas, J. (2010). “Opciones reales: Valoración por el método binomial”.

Universidad Complutense de Madrid.

- Lamothe Fernández, P. (2013). “Opciones reales: Métodos de simulación y

valoración”. Ecobook: editorial del economista

- Lamothe Fernández, P. & Pérez Somalo, M. (2003). “Opciones Financieras y

Productos Estructurados”. McGraw Hill.

- Amran, M. & Kulatilaka, N. (2000). “Opciones reales: evaluación de inversiones

en un mundo incierto”. Gestión 2000.

- Harrington, D. (2003) “Modern Portfolio Theory, the Capital Asset Pricing

Model, and Arbitrage Pricing Theory: A User's Guide”. Springer.

- Broyles, J. (2007) “Financial Management and Real Options”. Atlantic Publishers

- Chriss, N. A. (2013) “Black-Scholes and Beyond. Option Pricing Models”

- Valoración de opciones reales: dificultades, problemas y errores

http://www.iese.edu/research/pdfs/di-0760.pdf

- Valoración de opciones reales

https://www.slb.com/~/media/Files/resources/oilfield_review/spanish04/spr04/p4_1

9.pdf

- Cálculos básicos de volatilidad

http://ibexvolatility.blogspot.sk/p/que-es-la-volatilidad.html

- Aproximación a la Simulación Montecarlo

http://www.barrhibb.com/documents/downloads/Least_Squares_Monte_Carlo_Appr

oach_to_Liability_Proxy_Modelling_and_Capital_Calculation.pdf

http://www.iese.edu/research/pdfs/di-0760.pdf

https://www.slb.com/~/media/Files/resources/oilfield_review/spanish04/spr04/p4_19.pdf

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http://ibexvolatility.blogspot.sk/p/que-es-la-volatilidad.html

http://www.barrhibb.com/documents/downloads/Least_Squares_Monte_Carlo_Approach_to_Liability_Proxy_Modelling_and_Capital_Calculation.pdf

http://www.barrhibb.com/documents/downloads/Least_Squares_Monte_Carlo_Approach_to_Liability_Proxy_Modelling_and_Capital_Calculation.pdf



67

ANEXO I. Desarrollo de la fórmula de Black-Scholes

Este anexo sirve de complemento a los apartados cuatro y cinco (Opciones Financieras

y opciones Reales, respectivamente) pues permite comprender mejor de dónde nace la

fórmula de Black-Scholes y cuál es su justificación matemática.

La ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial, la cual describe el

precio de una opción a lo largo del tiempo. Dicha ecuación es (Chriss, N. A. (2013)):

∂𝑉

∂𝑡+

1

2𝜎2𝑆2

∂2𝑉

∂𝑆2+ 𝑟𝑆

∂𝑉

∂𝑆− 𝑟𝑉 = 0 (83)

Donde los respectivos términos se corresponden con:

- 𝑆 es el precio de mercado de la acción, el cual será a veces una variable aleatoria

y otras una fija según el contexto.

- 𝑉(𝑆, 𝑡) es el precio de un derivado como función del tiempo y de precio de

mercado.

- 𝐶(𝑆, 𝑡) es el precio de una opción de compra y 𝑃(𝑆, 𝑡) el precio de una opción de

venta europea.

- 𝐾 es el precio de ejercicio de la acción.

- 𝑟 rd la tasa anual libre de riesgo.

- 𝜇 es el cambio relativo del valor de la acción, anualizado.

- 𝜎 es la desviación estándar de los rendimientos de las acciones.

- 𝑡 es el tiempo expresado en años. Por lo general se utiliza t=0 para el momento

actual y t=T para el momento de expiración.

La clave de esta ecuación es que uno puede analizar perfectamente la opción que se

posee y comprar y vender el activo subyacente de la mejor forma posible y en el

momento más preciso. De este modo, solo existe un precio correcto para la opción, que

es el que otorga la fórmula de Black-Scholes.



68

La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de opciones europeas tanto de compra

como de venta resolviendo la ecuación anterior para unas condiciones de contorno

determinadas.

El valor de una opción de compra (call) que no ofrezca dividendos en términos

de los parámetros de Black-Scholes es:

𝐶(𝑆, 𝑇) = 𝑁(𝑑1)𝑆0 − 𝑁(𝑑2)𝑋𝑒𝑅𝑓𝑇 (84)

𝑑1 =𝑙𝑛

𝑆0

𝑋+ (𝑅𝑓 + 0.5σ2)𝑇

σ√𝑇 (85)

𝑑2 = 𝑑1 − σ√𝑇 (86)

El precio correspondiente a una opción de venta (put) es:

𝑃(𝑆, 𝑇) = 𝑋𝑒−𝑅𝑓𝑇 − 𝑆 + 𝐶(𝑆, 𝑇) = 𝑁(−𝑑2)𝑋𝑒−𝑅𝑓𝑇 − 𝑁(−𝑑1)𝑆 (87)

Para ambas ecuaciones las variables se corresponden con:

- 𝑁(∗) es el valor de la distribución normal estándar

- 𝑇 − 𝑡 es el tiempo hasta vencimiento

- 𝑆 es el precio del active subyacente

- 𝐾 es el precio de ejercicio

- 𝑟 es la tasa libre de riesgo anual

- 𝜎 es la volatilidad del active subyacente



69

ANEXO II: Opciones financieras. Aplicación práctica.

En este anexo se presentará un caso práctico de aplicación de los métodos de Black-

Scholes, Binomial y Montecarlo para el cálculo del valor de opciones financiera de

compra (call) y de venta (put). Con ello se complementa la parte práctica presentada en

el Apartado 4 (Opciones Financieras).

El proceso a seguir es altamente parecido para ambos casos por lo que el desarrollo será

algo más profundo para el primer caso analizado, opciones call, y se asume una

extrapolación de los pasos a seguir para el segundo, opciones put.

Además del cálculo en sí del valor de las opciones se analizará el beneficio obtenido en

función del precio de mercado en la fecha de vencimiento (𝑆𝑇) y la influencia que tienen

las distintas variables (la volatilidad, σ , el valor actual de la acción, 𝑆0, el periodo

temporal, T, el precio de strike, X y el tipo de interés, 𝑅𝑓) en la valoración final de la

opción. Cabe decir que este análisis se presentará solo para el caso de opciones call ya

que mostrarlo también para opciones put resultaría tedioso y no aportaría demasiado

valor añadido al proyecto.

La empresa AUTODREAM presentada con anterioridad suele realizar inversiones en

bolsa con el fin de aumentar sus ingresos y así poder financiar nuevos proyectos.

En esta ocasión, se está valorando la adquisición de opciones (primero se estudiará el

caso call y a continuación put) de la empresa RENTCAR en la cual se prevén amplios

movimientos en un futuro cercano. En concreto desean adquirirse los derechos sobre

2000 acciones en un plazo de seis meses. Para que este acuerdo resulte rentable es

necesario establecer un precio justo por las opciones (la prima) con lo que se hará uso

de las diferentes metodologías presentadas.

La empresa RENTCAR pasa a presentarse a continuación:



70

Empresa RENTCAR La compañía RENTCAR es una empresa de reciente creación dedicada al alquiler de

automóviles. Durante sus primeros años de vida ha sido capaz de mantener un crecimiento

continuo revalorizándose periodo tras periodo.

La empresa, además, participa en bolsa por lo que resulta altamente atractiva para muchos

accionistas.

Actividad de RENTCAR

La empresa se decida al alquiler de coches.

Evolución

Como se ha comentado, la continua progresión de la empresa la hace muy interesante para

los inversores. A modo de ejemplo se muestra la evolución de las cotizaciones durante el

mes de enero: la línea de tendencia prueba esta propensión al crecimiento

12,20

12,40

12,60

12,80

13,00

13,20

13,40

13,60

Evolución cotización RENTCAR



71

Cálculo de parámetros

Los parámetros que serán requeridos son 𝑆𝑜, 𝑅𝑓, X, T y σ. Se fijará un precio de strike de

13€; T se ha dicho que es seis meses, utilizando años como unidad se tiene T=0.5; 𝑅𝑓 se

tomará 7%.

Los otros dos elementos, 𝑆𝑜 y σ, pueden deducirse de las valoraciones históricas de las

acciones de la empresa, las cuales son conocidas. El primero de ellos, 𝑆𝑜, se obtiene de

forma elemental viendo el precio de la acción a día de hoy y el segundo se calcula a

continuación.

Cálculo de la volatilidad histórica

Para calcular la volatilidad histórica de la empresa RENTCAR se hará uso de su cotización

durante el pasado mes de enero. Como se comentó, las valoraciones de las acciones son

de dominio público y fáciles de obtener.

Para la generación de estos valores se ha hecho uso de la función ALEATORIO (para un

mayor conocimiento de las funciones puede verse el Anexo IV) de Excel y de dos

parámetros “a” y “b” que determinan los límites. Existe también una función

ALEATORIO.ENTRE(valor1; valor2) pero no permite la generación de números con

decimales. De este modo los valores han sido desarrollados mediante la siguiente

fórmula:

a + ALEATORIO() * (b-a)

La Figura 17 recoge parte de estos valores:



72

Figura 17: Cotización histórica de RENTCAR

Inmediatamente puede establecerse el valor de la cotización actual como 𝑆0 =

13,21€.

A continuación se calculará la volatilidad histórica, primero la diaria y a continuación

la anual. Para la medida de ésta es necesario que la media de la variable sea estable.

A fin de obviar el efecto de la tendencia se hace uso de los rendimientos (r) y no de

los precios de cierre. La fórmula de los rendimientos es:



73

𝑟 = ln (𝑆𝑡

𝑆(𝑡−1)) (88)

Cuando r tiene un valor positivo significa que el precio de hoy es más grande que el

de ayer y viceversa.

La fórmula de la volatilidad es la siguiente:

σ = √1

𝑛 − 1∑(𝑟𝑡 − 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)2

𝑛

𝑡=1

(89)

No obstante, Excel permite su cálculo rápidamente con la función

“DESVEST(número1; [número2]; …)”.

Al haberse utilizado datos diarios, la volatilidad obtenida es diaria. Generalmente

este valor se expresa en términos anuales por lo que debe anualizarse. Para ello se

utiliza la siguiente ecuación:

σ𝑇𝑑𝑖𝑎𝑠 = σ𝑑𝑖𝑎1 ∗ √𝑇 (90)

El número de días es 252, los días hábiles que tiene un año. Como la raíz de este

número es prácticamente 16 suele multiplicarse por dicha cantidad. Así se tiene una

volatilidad anual de:

σ = 0,15894 (91)

Expresado en términos porcentuales, se tiene σ = 15,89%. La Figura 18 muestra el

valor de los rendimientos, de la volatilidad diaria y de la volatilidad anual.



74

Figura 18: Volatilidad histórica anual de RENTCAR

Opciones call

En este apartado se calculará el valor de una opción de compra call mediante las

metodologías presentadas en los apartados previos.

Fórmula de Black-Scholes

A continuación, se aplica la fórmula de Black-Scholes presentada con anterioridad sin

más que sustituir los valores que ya se poseen en ella. Debe tenerse en cuenta que el

valor de T es 0,5 pues se expresa en años. La Figura 19 muestra el cálculo realizado en

Excel:



75

Figura 19: Cálculo del valor de la opción

El valor de la opción es, por tanto, C=0.96409€. Esto quiere decir que pagando una prima

de 0.96409€/acción, el portador de la misma tiene la opción de comprar acciones a un

precio de 13€/acción en una fecha de seis meses.

Payoff de la opción

De este modo, pasados seis meses las acciones serán compradas si su precio de mercado

es superior a 13€, o sea S(T = 6 meses) > X = 13€. Inmediatamente serían vendidas

en el mercado obteniendo un beneficio o payoff de:

𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 (€) = 𝑁º𝑜𝑝𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∗ [𝑆(6𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) − 𝑋 − 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎] (92)

Que en el caso particular de estudio es:



76

𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 (€) = 2000 ∗ [𝑆(6𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) − 13.96] (93)

Para el caso opuesto, S(T = 6 meses) < X = 13€, las acciones no serían compradas y

se sufrirían unas pérdidas equivalentes al precio de la prima, 2000 ∗ 0,9641 =

1928,2 €.

Se hace necesario ahora suponer diferentes valores de S(T=6 meses) y ver su influencia

en el payoff de la opción. Para ello se simulará el cálculo de éste con valores de S entre

10 y 18€ con un paso de 5 céntimos. La Figura 20 muestra los valores simulados de S

(columna C) así como sus correspondientes valores del beneficio (columna D). Téngase

en cuenta que se muestran solo los valores alrededor de S=13€ ya que es donde se

produce la variación en los valores del payoff:

Figura 20: Simulación de los valores de S y cálculo del payoff



77

Asimismo, la Figura 21 muestra gráficamente esta relación entre S y el beneficio

englobando todos los valores simulados del activo subyacente.

Figura 21: Payoff de la opción en función de S

La Figura 21 refleja las posibilidades mencionadas previamente. Si el valor de la acción

es inferior a 13€ se perderá el dinero de la prima. En caso contrario el beneficio será

tanto mayor cuanto mayor sea el valor de la acción.

Punto de equilibrio

El punto de equilibrio es el valor de S a partir del cual se obtienen beneficios reales, es

decir, los beneficios obtenidos ya han cubierto el coste de la prima. Este valor de S es

13,96€, que se corresponde a la suma X + Prima.

Impacto de las distintas variables

Como se expuso al explicar el Método de Black-Scholes, el valor de la opción depende

de distintos parámetros: la volatilidad, σ , el valor actual de la acción, 𝑆0, el periodo

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

10

10,3

10,6

10,9

11,2

11,5

11,8

12,1

12,4

12,7 13

13,3

13,6

13,9

14,2

14,5

14,8

15,1

15,4

15,7 16

16,3

16,6

16,9

17,2

17,5

17,8

Payoff de la opción



78

temporal, T, el precio de strike, X y el tipo de interés, 𝑅𝑓. Para algunos de ellos se

determinó primeramente un valor, lo cual ha influido en el valor C obtenido. A

continuación se pretende analizar cómo afectan cada una de estas variables al valor de

opción.

Impacto de la volatilidad, 𝛔

La Figura 22 muestra cómo se ha realizado el estudio del impacto de la volatilidad

(segunda columna) modificando su valor entre 0,1 y 0,5 manteniendo el resto de

parámetros constantes.

Figura 22: Impacto de la volatilidad en el valor de la opción

Esta influencia puede verse más fácilmente si se representan el precio de la opción (eje

de ordenadas) frente a la volatilidad (eje de abscisas) tal y como lo hace la Figura 23:



79

Figura 23: Impacto de la volatilidad en el valor de la opción (II)

Como era de esperar y ya se explicó con anterioridad, el valor de la opción aumenta a la

par que la volatilidad.

Impacto del precio inicial, 𝑺𝟎

Para comprobar la influencia de este parámetro se procede de forma similar al anterior.

Se variará el valor de 𝑆0 desde 10 hasta 14€ en saltos de 50 céntimos. Las Figuras 24 y

25 muestran el resultado:

Figura 24: Impacto del precio inicial en el valor de la opción

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

C

σ

Valor de la opción call



80

Figura 25: Impacto del precio inicial en el valor de la opción (II)

Puede apreciarse que el precio inicial de la acción influye positivamente en el valor de

la opción ya que aumenta el beneficio (𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 = S − X).

Impacto del tiempo de vencimiento, T

A continuación se analiza este parámetro haciéndolo variar desde un mes (T=1/12 años)

hasta un año (T=1). El resultado es el que muestra la Figura 26:

Figura 26: Impacto de T en el valor de la opción

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

13,21 13,21 13,21 13,21 13,21 13,21 13,21 13,21

C

So




81

Desde un punto de vista gráfico el resultado es el que muestra la Figura 27:

Figura 27: Impacto de T en el valor de la opción (II)

Se comprueba que el valor aumenta para un tiempo de vencimiento más lejano.

Impacto del precio de strike, X

De modo similar, se hace variar el precio de ejercicio desde 11 hasta 15€ en saltos de

0,5€ con el resultado mostrado por la Figura 28 y la Figura 29:

Figura 28: Impacto de X en el valor de la opción

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

C

T




82

Figura 29: Impacto de X en el valor de la opción (II)

Teniendo en cuenta que se está analizando una opción de compra (call) un aumento del

precio de ejercicio hace disminuir el valor de la opción

Impacto de la tasa libre de riesgo, 𝑹𝒇

Se hace variar esta tasa entre valores de 1 a 10% en pasos de 1%, observándose la

siguiente influencia en la Figura 30:

Figura 30: Impacto de 𝑅𝑓 en el valor de la opción

Representando gráficamente los resultados se obtiene lo presentado por la Figura 31:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 15

C

X




83

Figura 31: Impacto de 𝑅𝑓 en el valor de la opción (II)

El precio de la opción de compra aumenta al hacerlo la tasa libre de riesgo, como ya se

había razonado previamente.

Método Binomial

A lo largo de este apartado se calculará el valor de la opción financiera call mediante el

Método Binomial. Para ello se dividirá el periodo temporal hasta el vencimiento en seis

sub-periodos (n=6) durante los cuales el valor de la acción puede subir o bajar.

En primer lugar se calcularán los parámetros “u” y “d” necesarios para construir el árbol

del modo siguiente:

𝑢 = 𝑒(σ∗√Δt) = 1,0469 (94)

𝑑 = 1𝑢⁄ = 0,9551 (95)

Partiendo de la cotización actual del activo (𝑆 = 13,21€) van construyéndose las ramas

del árbol a partir de los valores crecientes y decrecientes. La Figura 32 muestra la

construcción del árbol:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

C

Rf




84

Figura 32: Árbol binomial de los valores de la acción

Una vez construido éste, se calculan los valores de la opción partiendo de los valores de

la derecha del todo. Se deberá tener en cuenta que si el valor de la acción es menor que

el precio de ejercicio el derecho de compra no se ejercerá y por tanto el valor de la

opción es cero. Matemáticamente esto se expresa como:

𝐶 = max (𝑆𝑇 − 𝑋, 0) (96)

De este modo, las tres últimas posibilidades no se llevarían a cabo puesto que la

cotización tras los seis meses es menor que el precio de strike. El siguiente paso es

calcular todos los valores de la opción hasta el momento inicial. Para ello se sigue el

proceso backward induction utilizando las probabilidades neutrales p y q:

𝑝 =1 + 𝑅𝑓 − 𝑑

𝑢 − 𝑑= 0,5648 (97)

𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,4351 (98)

Así, cada valor de la opción se calcula como:

𝐶 =𝑝 ∗ 𝐶𝑢 + (1 − 𝑝) ∗ 𝐶𝑑

1 + 𝑅𝑓 (99)



85

La Figura 33 muestra el resultado completo de construcción del árbol de valores de la

opción.

Figura 33: Árbol binomial de valores de la opción

De este modo la casilla L9 representa el valor de la opción de compra call:

𝐶 = 1,0199€ (100)

Simulación Montecarlo

A continuación se calculará el valor de la opción de compra utilizando la metodología

Montecarlo. Para mil simulaciones diferentes se calculará el valor de la acción tras el

paso de seis meses y el respectivo valor de la acción. Se recuerda que la fórmula que

describe la cotización en un instante futuro T es:

𝑆𝑇 = 𝑆0 ∗ 𝑒𝑟 = 𝑆0 ∗ 𝑒((𝜇−

12

∗σ2)∗𝑇+σ∗√𝑇∗𝑥) (101)



86

Del mismo modo que se ha expuesto antes, si la cotización de la acción en el instante de

vencimiento es superior al precio de ejercicio se ejercerá el derecho de compra (𝐶 =

𝑆𝑇 − 𝑋) y en caso contrario no se hará (𝐶 = 0).Todos estos valores podrán resumirse

en un promedio del valor de la opción que será actualizado al instante actual mediante

el factor 𝑒(−𝑅𝑓∗𝑇).

La Figura 34 muestra el proceso seguido. En primer lugar se simulan mil valores distintos

de la variable x, o sea la probabilidad (columna E) y para cada uno de ellos se calcula una

cotización futura diferente (columna F). Si ésta es mayor que el precio de ejercicio el

valor de la opción será 𝐶 = 𝑆𝑇 − 𝑋 y en caso contrario 𝐶 = 0 (columna G). por último

se calcula el valor promedio de ellos y se actualiza al momento actual (columnas H e I,

respectivamente).

Figura 34: Cálculo del valor de la opción mediante Simulación Montecarlo

La celda I2 representa el valor actual de la opción de compra:

𝐶 = 1,0505€ (102)



87

Opción put

A lo largo de este apartado se calculará el valor de una opción de venta (put) bajo las

mismas condiciones mencionadas con anterioridad y utilizadas en la opción de compra.

Esto es, un precio de ejercicio de 13€, un periodo de vencimiento de seis meses, una

tasa de interés libre de riesgo del 7%, una cotización inicial del activo de 13,21€ y una

volatilidad histórica de 15,89%.

Método Black-Scholes

Los pasos del Método Black-Scholes para el cálculo del valor de una opción de venta no

distan mucho de los de la opción de compra. De nuevo es necesario sustituir una serie

de valores (presentados en el párrafo anterior) en una fórmula que, eso sí, difiere del

caso de opción call:

𝑃(𝑆, 𝑇) = 𝑁(−𝑑2)𝑋𝑒−𝑅𝑓𝑇 − 𝑁(−𝑑1)𝑆 (103)

La Figura 35 muestra el proceso seguido para el cálculo del valor de la opción put.

Figura 35: Cálculo del valor de la opción put.



88

De este modo, el Método de Black-Scholes arroja un valor de C=0,307€ como el precio

a pagar por la adquisición del derecho de venta de las acciones.

Impacto de las distintas variables

Del mismo modo que se hizo en las call, se va a analizar y demostrar el impacto de las

variables en el valor de la opción.

Impacto de la volatilidad, σ

Esta variable se ha modificado para valores entre 0,1 y 0,5 con pasos de 0,05. La Figura

36 muestra el proceso seguido en Excel:

Figura 36: Influencia de la volatilidad en el valor de la opción put

Este impacto puede notarse más fácilmente si se representa de modo gráfico tal y como

lo hace la Figura 37:



89

Figura 37: Influencia de la volatilidad en el valor de la opción put (II)

Como se había explicado previamente, el valor de la opción put aumenta si lo hace la

volatilidad.

Impacto del precio inicial, 𝑺𝟎

A continuación se estudiará la influencia del precio inicial del activo subyacente. Para

ello, se modifica el valor de este desde 10 a 14€ en saltos de 0,5€. La Figura 38 muestra

la modificación del valor de P:

Figura 38: Influencia del precio inicial en el valor de la opción put



90

Gráficamente puede representarse la relación 𝑃 − 𝑆0 como lo hace la Figura 39:

Figura 39: Influencia del precio inicial en el valor de la opción put (II)

Ya era sabido que un aumento del precio inicial afectaría negativamente al valor de la

opción pues se disminuye el beneficio en caso de ejercer el derecho de venta

(𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑋 − 𝑆).

Impacto del tiempo de vencimiento, T

En tercer lugar se estudiará la influencia del tiempo de vencimiento en la valoración de

la opción put, se hará variar éste desde un mes (T=1/12 años) hasta un año (T=1). La

Figura 40 muestra la variación del parámetro P según varía T:



91

Figura 40: Influencia del tiempo de vencimiento en el valor de la opción put

La Figura 41 muestra de un modo gráfico la relación entre el valor de la opción put y el

tiempo de vencimiento:

Figura 41: Influencia del tiempo de vencimiento en el valor de la opción put (II)

Al aumentar el tiempo de vencimiento el valor de la opción sube pues se posee un

intervalo temporal más amplio para que la situación se torne favorable.



92

Impacto del precio de strike, X

La influencia del precio de ejercicio o strike (X) en el valor de la opción de venta ha sido

comprobada en la Figura 42:

Figura 42: Influencia del precio de ejercicio en el valor de la opción put

Y puede representarse gráficamente tal y como lo hace la Figura 43:

Figura 43: Influencia del precio de ejercicio en el valor de la opción put (II)



93

Como era de esperar si el precio de ejercicio es más alto el valor de la opción de venta

es superior pues se estaría aumentando el beneficio obtenido por la venta de la opción

(𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑋 − 𝑆).

Impacto de la tasa libre de riesgo, 𝑹𝒇

Finalmente se comprobará la influencia de la tasa libre de riesgo sobre el valor de la

opción de venta (put) como muestra la Figura 44:

Figura 44: Influencia de la tasa libre de riesgo en el valor de la opción put

La Figura 45 representa de un modo gráfico la influencia de la tasa libre de riesgo en el

valor de la opción put:

Figura 45: Influencia de la tasa libre de riesgo en el valor de la opción put (II)



94

Como ya se razonó con anterioridad, una subida de la tasa libre de riesgo perjudica el

valor de la opción put.

Método Binomial

La primera parte del Método Binomial, esto es la construcción del árbol, es idéntica al

caso de opción de compra y por ello se obviará en este apartado. La diferencia reside en

la condición necesaria para ejercer o no el derecho de compra. En este caso, si el precio

de mercado es superior al precio de ejercicio fijado resultará interesante utilizar la

opción put y en caso contrario, no. Así, el valor de dicha opción en el primer caso será

𝐶 = 𝑋 − 𝑆𝑇 y en el segundo caso 𝐶 = 0 pues la opción no se ejercerá.

Tras realizar el proceso de backward induction (de modo idéntico al caso call) el valor

que se obtiene es el que muestra la Figura 46.

Figura 46: Backward induction para opción put

De esta manera, el valor de la opción de venta put se fija en C=0,277€.



95

Simulación Montecarlo

Como se ha comentado en el Método de Black-Scholes y en el Método Binomial, el

proceso a seguir para calcular el valor de la opción put es prácticamente idéntico al de

la opción call. Por este motivo pasará a mostrarse directamente la Figura 47, en la cual

aparece todo el proceso a seguir para el cálculo de dicho valor:

Figura 47: Cálculo del valor de la opción put

Por tanto, el valor de la opción put calculado a través de la Simulación Montecarlo es

C=0,2878€.



96

ANEXO III. Ejemplo de un portfolio correlado

Este anexo es un complemento al Apartado 4.3.2 donde se afirma que la base para el

desarrollo teórico del Método Binomial (que conduce a la obtención de la fórmula para

calcular el valor de la opción) reside en utilizar un portfolio correlado. A continuación se

presenta un ejemplo sencillo del mismo para facilitar su entendimiento.

La base de esta metodología es replicar la remuneración que aportan las opciones

usando otros títulos financieros. Así, si las remuneraciones finales son las mismas el

valor inicial de estos títulos y de la opción debe ser el mismo. De este modo se pueden

entender las opciones como:

– Opción call: comprar una acción con dinero prestado

– Opción put: vender una acción con dinero prestado

La clave es encontrar los títulos exactos de réplica que pueden ser evaluados

directamente. Para el ejemplo de una opción call: si ésta se ejerce el dueño está

efectivamente en posesión de una acción cuyo pago se retrasa hasta el ejercicio de la

opción (y un pago retrasado es esencialmente un préstamo).

A continuación se ejemplificará el cálculo del valor de una opción call a partir de un

portfolio réplica.

Se tiene una acción tal que:

- El precio actual es 100€

- El precio al final del ejercicio será 80 ó 125€

Se tiene una opción call tal que:

- El precio de ejercicio es 110€

Se supondrá que los fondos pueden ser prestados a una tasa sin riesgo del 10%



97

Con estos datos deben identificarse las condiciones donde las remuneraciones al final

del periodo son iguales tanto comprando acciones y prestándose dinero como

comprando opciones call y así se conseguirá que los valores iniciales deban ser iguales

(y se obtendrá el valor de la opción).

Opción call

Se pagarán C euros (C es lo que se calculará finalmente) para adquirir la opción.

Si S>K la remuneración de la opción es S-K

Si S<K la remuneración de la opción es 0.

Tabla 10: Casuística opción call

Inicio

(Stock/Mercado=100)

Final 1

(Stock = 80)

Final 2

(Stock = 125)

Comprar call -C 0 125 – 110 = 15

Comprar acciones y préstamo

Se comprarán acciones y se pedirá dinero prestado tal que se consiga una remuneración

igual que la de la opción call.

Si S>K, la acción y el pago de deuda hacen un retorno positivo. Se encontrará una

cociente para que acción y pagos sea iguales a los retornos de la opción.

Si S<K, la acción y el pago deben dar cero (como la opción)



98

Tabla 11: Casuística comprando acción con préstamo

Inicio

(Stock = 100)

Final 1

(Stock = 80)

Final 2

(Stock = 125)

Comprar acción -100 80 125

Pedir préstamo 80/(1+r) -80 -80

Neto -100+80/(1+r) 0 45

A continuación se comparan los costos y las remuneraciones:

Si S>K, la acción y su préstamo rinden más que la opción call. En este caso el

cociente de retorno es 3:1.

Si S<K, los retornos deberán ser iguales. Comprar tres call debe igualar las

remuneraciones.

Tabla 12: Comparación de costos y remuneraciones

Inicio

(Stock = 100)

Final 1

(Stock = 80)

Final 2

(Stock = 125)

Comprar call -C 0 125 - 110 = 15

Inicio

(Stock = 100)

Final 1

(Stock = 80)

Final 2

(Stock = 125)

Comprar acción y

pedir préstamo -100+80/(1+r) 0 45

Finalmente se igualan las remuneraciones sugiriendo que los costes iniciales deben ser

también iguales.



99

Tabla 13: Remuneración para el caso de opción call

Inicio

(Stock = 100)

Final 1

(Stock = 80)

Final 2

(Stock = 125)

Comprar 3 call -3C 3*0=0 3*(125-110)=45

Tabla 14: Remuneración para el caso de comprar acciones con préstamo

Inicio

(Stock = 100)

Final 1

(Stock = 80)

Final 2

(Stock = 125)

Comprar acción y

pedir préstamo 100+80/(1,1) 0 45

Igualando los costes iniciales se puede despejar el valor de la opción tal que:

3𝐶 = −100 +80

1,1→ 𝐶 = 9.09€ (104)



100

ANEXO IV. Descripción de las funciones de Excel utilizadas

En este apartado se presentará el funcionamiento de las funciones de Excel que han sido

utilizadas a lo largo de todo el proyecto.

1. REDONDEAR.MAS

Descripción

Redondea un número hacia arriba, en dirección contraria a cero.

Sintaxis

REDONDEAR.MAS(número; núm_decimales)

La sintaxis de la función REDONDEAR.MAS tiene los siguientes argumentos:

Número: parámetro obligatorio. Cualquier número real que se desea redondear

hacia arriba.

Núm_decimales: parámetro obligatorio. El número de dígitos al que se desea

redondear el número.

Observaciones

La función REDONDEAR.MAS es similar a la función REDONDEAR, excepto que

siempre redondea al número superior más próximo, alejándolo de cero.

Si el argumento núm_decimales es mayor que 0 (cero), el número se redondea

al valor superior (inferior para los números negativos) más próximo que

contenga el número de lugares decimales especificado.

Si núm_decimales es 0, número se redondeará hacia arriba al entero más

próximo.

Si el argumento núm_decimales es menor que 0, el número se redondea al valor

superior (inferior si es negativo) más próximo a partir de la izquierda de la coma

decimal.



101

2. VNA

Descripción

Calcula el valor neto presente de una inversión a partir de una tasa de descuento y una

serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores positivos).

Sintaxis

VNA(tasa;valor1;[valor2];...)

La sintaxis de la función VNA tiene los siguientes argumentos:

Tasa Obligatorio. La tasa de descuento a lo largo de un período.

Valor1; valor2... Valor1 es obligatorio, los valores siguientes son opcionales.

o Valor1; valor2; ... deben tener la misma duración y ocurrir al final de cada

período.

o VNA usa el orden de valor1; valor2; ... para interpretar el orden de los flujos de

caja. Asegúrese de escribir los valores de los pagos y de los ingresos en el orden

adecuado.

o Los argumentos que son celdas vacías, valores lógicos o representaciones

textuales de números, valores de error o texto que no se pueden traducir a

números, se pasan por alto.

o Si un argumento es una matriz o una referencia, solo se considerarán los

números de esa matriz o referencia. Se pasan por alto las celdas vacías, valores

lógicos, texto o valores de error de la matriz o de la referencia.

Observaciones

La inversión VNA comienza un período antes de la fecha del flujo de caja de

valor1 y termina con el último flujo de caja de la lista. El cálculo VNA se basa en

flujos de caja futuros. Si el primer flujo de caja se produce al principio del primer

período, el primer valor se debe agregar al resultado VNA, que no se incluye en

los argumentos valores. Para obtener más información, vea los siguientes

ejemplos.



102

Si n es el número de flujos de caja de la lista de valores, la fórmula de VNA es:

𝑁𝑃𝑉 = ∑𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒𝑠𝑖

(1 + 𝑟𝑎𝑡𝑒)𝑖

𝑛

𝑖=1

(105)

VNA es similar a la función VA (valor actual). La principal diferencia entre VA y

VNA es que VA permite que los flujos de caja comiencen al final o al principio del

período. A diferencia de los valores variables de flujos de caja en VNA, los flujos

de caja en VA deben permanecer constantes durante la inversión. Para obtener

más información acerca de anualidades y funciones financieras, vea VA.

VNA también está relacionado con la función TIR (tasa interna de retorno). TIR

es la tasa para la cual VNA es igual a cero: VNA(TIR(...); ...) = 0.

3. ALEATORIO

Descripción

Devuelve un número real aleatorio mayor o igual que 0 y menor que 1, distribuido

uniformemente. Cada vez que calcula la hoja de cálculo, devuelve un número real

aleatorio nuevo.

Sintaxis

ALEATORIO

La sintaxis de la función ALEATORIO no tiene argumentos.

Observaciones

Para generar un número real aleatorio entre a y b, use:

ALEATORIO()*(b-a)+a



103

Si desea usar ALEATORIO para generar un número aleatorio pero no desea que los

números cambien cada vez que calcule la celda, puede escribir =ALEATORIO() en

la barra de fórmulas y presionar la tecla F9 para cambiar la fórmula a un número

aleatorio.

4. DISTR.NORM.ESTAND.INV

Devuelve el inverso de la distribución normal estándar acumulativa. La distribución tiene

una media de cero y una desviación estándar de uno.

Sintaxis

DISTR.NORM.ESTAND.INV(probabilidad)

La sintaxis de la función DISTR.NORM.ESTAND.INV tiene los siguientes argumento:

Probabilidad: parámetro obligatorio. Es una probabilidad correspondiente a la

distribución normal.

Observaciones

Si el argumento probabilidad no es numérico, DISTR.NORM.ESTAND.INV

devuelve el valor de error #¡VALOR!.

Si probabilidad <= 0 o si > 1, DISTR.NORM.ESTAND devuelve el valor de error

#¡NUM!.

Dado un valor de probabilidad, DISTR.NORM.ESTAND.INV busca dicho valor z de modo

que DISTR.NORM.ESTAND(z) = probabilidad. Así, la precisión de

DISTR.NORM.ESTAND.INV depende de la precisión de DISTR.NORM.ESTAND.

DISTR.NORM.ESTAND.INV usa una técnica de búsqueda iterativa. Si la búsqueda no

converge después de 100 iteraciones, la función devuelve el valor de error #N/A.



104

5. DESVEST

Sintaxis

DESVEST(número1,[número2],...)

La sintaxis de la función DESVEST tiene los siguientes argumentos:

Número1 Obligatorio. Es el primer argumento numérico correspondiente a

una muestra de una población.

Número2, ... Opcional. De 2 a 255 argumentos numéricos correspondientes a

una muestra de una población. También puede usar una matriz única o una

referencia de matriz en lugar de argumentos separados por comas.

Observaciones

DESVEST parte de la hipótesis de que los argumentos representan la muestra de una

población. Si los datos representan la población total, use DESVESTP para calcular la

desviación estándar.

La desviación estándar se calcula con el método "n-1".

Los argumentos pueden ser números o nombres, matrices o referencias que contengan

números.

Se tienen en cuenta los valores lógicos y las representaciones textuales de números

escritos directamente en la lista de argumentos.

Si un argumento es una matriz o una referencia, solo se considerarán los números de

esa matriz o referencia. Se pasan por alto las celdas vacías, valores lógicos, texto o

valores de error de la matriz o de la referencia.

Los argumentos que son valores de error o texto que no se pueden traducir a números

provocan errores.



105

Si desea incluir valores lógicos y representaciones textuales de números en una

referencia como parte del cálculo, use la función DESVESTA.

DESVEST usa la fórmula siguiente:

√∑(𝑥 − 𝑥𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)2

𝑛 − 1 (106)

Donde x es la media de muestra PROMEDIO(número1,número2,…) y n es el tamaño de

la muestra.

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