Análisis de La Respuesta de Sistemas Vibratorios

Anlisis de la Respuesta de SistemasVibratorios

Proyecto terminal en Ingeniera Mecnica

Presenta: Uri Parra Lpez (200201323)Asesor: Benjamn Vzquez Gonzlez

Mxico D.F.

Abril del 2006

ndice general

Resumen V

Introduccin VII

Lista de smbolos IX

1. Vibraciones aleatorias 11.1. Espectro de potencia y densidad espectral de potencia . . . . . . . . . . . . . 11.2. Funcin de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Distribucin de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Anlisis de Fourier 112.1. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Transformada de Fourier continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Transformadas de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Transformada de Fourier discreta (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Efecto de solapamiento (aliasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Transformada rpida de Fourier (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6. Resolucin de la FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Adquisicin de seales 233.1. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. El acelermetro piezoelctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Tarjeta PCI NI-4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. LabView . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1. Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.2. Ventaneado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Desarrollo experimental y anlisis de resultados 354.1. Modelo de un sistema mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Funcin de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Respuesta a una excitacin singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

iii

iv NDICE GENERAL

5. Conclusiones 47

Resumen

Para entender el comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad someti-do a una excitacin aleatoria, es necesario determinar las caractersticas frecuenciales de laexcitacin, as como el comportamiento del sistema vibratorio en el dominio de la frecuencia.En este proyecto terminal, se estudia un sistema vibratorio de un grado de libertad sometidoa una excitacin aleatoria, para predecir su respuesta como una probabilidad de que el sis-tema sobrepase una aceleracin especificada. Para probar las ecuaciones obtenidas, se diseoy construy un prototipo de una estructura simple. El modelo fue validado experimental-mente, excitando al sistema y tomando mediciones de la respuesta del mismo. Para esto sedescribe el proceso que se tiene en la adquisicin y anlisis de seales mecnicas. Finalmentese obtiene la probabilidad de que el sistema alcance una aceleracin especfica empleando lafuncin de distribucin de probabilidad de Gauss.

v

vi RESUMEN

Introduccin

En el estudio de las vibraciones mecnicas, generalmente hay expresiones que describen elcomportamiento de una funcin de excitacin para todo tiempo, de tal forma que podemospredecir el valor de dicha funcin para cualquier instante. Sin embargo en un gran nmerode aplicaciones en el diseo de estructuras y maquinaria dicha funcin de excitacin nopuede conocerse, pero pueden describirse estadsticamente. Este tipo de funciones se llamanfunciones aleatorias del tiempo, y en particular en este trabajo trataremos con las funcionesaleatorias que sean estacionarias y ergdicas.

Antecedentes

La medicin de vibraciones mecnicas, el registro y la interpretacin de los datos obtenidosa partir de las mediciones, no son habilidades sencillas, pero son la base para entender losefectos que se producen por las fuerzas internas en sistemas vibratorios, donde un sistemavibratorio, se define como un ensamble de dispositivos elsticos e inerciales, que puedencontener amortiguamiento.La interpretacin de las mediciones tiene varios objetivos en el estudio de los sistemas;

obtener un diagnstico, predecir una falla en el tiempo, alargar la vida til o slo, describirla causa de una vibracin o de ruido producida por sta.El potencial de un analizador de espectros, basado en la FFT (Transformada Rpida de

Fourier) en el monitoreo de la respuesta de un sistema, es su capacidad para mostrar losdatos de las vibraciones de ste, en el dominio de la frecuencia, como un espectro.En el despliegue de la informacin se tienen tres caractersticas que hacen til el proceso

de monitoreo:

1. Cada pico del espectro se puede asociar a un desperfecto especfico.2. El espectro registrado no vara mucho, si el estado del sistema no cambia demasiado,

lo que equivale a que grandes cambios en el desempeo del sistema, ocasionados por fallas omal funcionamiento, producen un espectro con grandes cambios.3. El espectro puede contener una gran cantidad de mediciones y stas se pueden asociar

a un comportamiento particular.

Fourier encontr que todas las seales armnicas por complejas que sean, se puedendescomponer en series de funciones simples de senos o csenos, que por lo general de manera

vii

viii INTRODUCCIN

individual, se constituyen de amplitudes y frecuencias distintas. Cuando stas funciones sesuman se logra reconstruir la seal armnica compleja inicial.La presentacin de los datos adquiridos sobre el desempeo de un sistema por la medi-

cin de sus vibraciones, se realiza en el dominio de la frecuencia, siendo sta una poderosaherramienta para el anlisis de su estado. Por otro lado, cuando se construyen funcionesque relacionan el comportamiento frecuencial, a partir de seales de excitacin de procesosaleatorios, es posible establecer la probabilidad de obtener determinada respuesta, ante dichaseal aleatoria.

Objetivo General

Analizar el comportamiento de un sistema mecnico vibratorio, de un grado de libertad,en el dominio de la frecuencia.

Objetivos Especficos

1. Aplicar el proceso de la transformada de Fourier para examinar la respuesta de sistemasante excitaciones simples.2. Describir y explicar las fases que se tienen en el proceso de la adquisicin de seales

de un sistema vibratorio.3. Analizar las respuestas medidas de un sistema vibratorio para predecir la probabilidad

de alcanzar una respuesta especfica.4. Aplicar las propiedades de los procesos aleatorios en la evaluacin de la respuesta de

un sistema de un grado de libertad.

Lista de smbolos

c Constante de amortiguamiento viscoso, en ( kg/ s).Cn Coeficientes de la DFT.E [x (t)] Valor esperado de x (t).fs Frecuencia de Muestreo, en (Hz).fn Frecuencia natural, en (Hz).g Aceleracin de la gravedad, en (m/ s2).G (fn) Espectro de Potencia, en (g2).H () Funcin de respuesta en frecuencia, adimensional.k Constante elstica de resorte, en (N/m).m Masa, en ( kg).n (x) Funcin de distribucin de probabilidad (fdp) de Gauss.N (x;, ) Funcin de distribucin acumulativa de probabilidad de Gauss.p (x) Funcin de densidad de probabilidad.S (fn) Densidad espectral de potencia, en (g2/Hz).T Periodo, en ( s).x Posicin, en (m).x Velocidad, en (m/ s).x Aceleracin, en (m/ s2).x Valor medio de una funcin temporal.x2 Valor medio cuadrado de una funcin temporal.x (t), y (t) Serie temporal continua, en (m).X (f) , Y (f) Transformadas de Fourier de x (t) y y (t).nat Frecuencia angular natural no amortiguada, en ( rad/ s). Frecuencia angular de excitacin, en ( rad/ s).2 Varianza. Factor de amortiguamiento, adimensional.f Resolucin de la FFT, en (Hz) Intervalo de frecuencias, en ( rad/ s)

ix

x LISTA DE SMBOLOS

Captulo 1

Vibraciones aleatorias

En este captulo presentamos y desarrollamos las ecuaciones bsicas que describen larelacin que existe entre las caractersticas espectrales de una funcin de excitacin y suefecto sobre un sistema mecnico de un grado de libertad. Se ilustran los conceptos deespectro de potencia y densidad espectral de potencia. Adems se menciona el concepto defuncin de respuesta en frecuencia (FRF), para un sistema mecnico de un grado de libertadcon movimiento en su base. En este captulo slo nos interesa estudiar como se relacionanla seal que excita al sistema y el sistema mismo, para obtener una respuesta descrita porparmetros estadsticos a saber, la media y la desviacin estndar. Una vez obtenidos estosparmetros, es posible obtener la respuesta del sistema como una probabilidad, obtenida apartir de una distribucin conocida, en este trabajo se utiliza una distribucin normal. Sinembargo, no se presenta aqu la forma de obtener las caractersticas espectrales de la seal,este anlisis se hace en el captulo dos ya que requiere de especial atencin.Los resultados obtenidos se emplean en el captulo 3, para analizar un sistema vibratorio

real.

1.1. Espectro de potencia y densidad espectral de po-tencia

J. Fourier demostr que una funcin peridica puede ser representada como una sumainfinita de funciones senos y cosenos relacionados armnicamente, esto es la base del anlisisen el dominio de la frecuencia. Prcticamente se acepta que toda funcin peridica puedeser representada por una serie de Fourier1.Por ejemplo, si x (t) es una funcin peridica del tiempo t, con perodo T , la serie

1Dicho sea de paso, durante muchos aos no hubo tan unnime acuerdo entre los matemticos, se dice quehombres tan famosos como Euler, dAlembert y Lagrange sostenan que no era posible representar funcionescualesquiera mediante series trigonomtricas.

1

2 CAPTULO 1. VIBRACIONES ALEATORIAS

trigonomtrica de Fourier tiene la siguiente forma

x (t) =a02+ a1 cos1t+ a2 cos2t+ ...+ b1 sin1t+ b2 sin2t+ ... (1.1)

Donde

1 =2T

n = n1

o en forma ms compacta

x (t) =a02+

Xn=1

(an cosnt+ bn sinnt)

La serie de Fourier tambin puede expresarse en trminos de la funcin exponencial me-diante la frmula de Euler

eint = cosnt+ i sinnt (1.2)

De esta relacin se pueden obtener expresiones para las funciones cosnt y sinnt en tr-minos de la funcin exponencial compleja, esto nos permite condensar gran cantidad deinformacin en una expresin mucho ms simple y que es fcil de manipular y operar. Esfcil demostrar que la serie (1.1) puede ser representada por la siguiente ecuacin

x (t) =X

n=cneint (1.3)

A esta forma de expresar la serie trigonomtrica de Fourier se la llama serie de Fouriercompleja. Los coeficientes cn estn definidos como

cn =1

2(an ibn) (1.4)

Debe notarse que los coeficientes definidos por (1.4) son nmeros complejos, por lo quecumplen las relaciones ya conocidas para los nmeros complejos2. Pero an no sabemoscomo se calculan dichos coeficientes, pero es fcil encontrar una expresin para obtenerlos,la siguiente frmula [1] es til en el clculo de los coeficientes (1.4)

cn =1

T

Z T/2T/2

x (t) eintdt donde n 0

Adems se debe observar quecn = cn

2cn =12 (an + ibn)

cncn = |cn|2

1.1. ESPECTRO DE POTENCIA Y DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA 3

La serie (1.3), que es una funcin real, involucra una suma sobre frecuencias positivas ynegativas. Sin embargo las medidas reales se hacen sobre frecuencias positivas, por lo que laparte real de la serie (1.3) est dada por

x (t) = ReX

n=Cneint =

1

2

Xn=1

Cneint + Cne

int (1.5)donde

Cn = 2cn = an ibnAhora se va a definir un operador en cual es til en el clculo de las caractersticas

espectrales de una seal. El operador es el promedio en el tiempo de la variable sobre la queopera, y se define como

{} = lmT

Z T0

dt (1.6)

Este operador puede aplicarse a cualesquiera variables, tales como x (t), x (t) y (t) o x2 (t).Cuando se opera sobre una funcin temporal de periodo T , definida por x (t), el resultadoes el valor medio de la funcin, el cual es igual al valor esperado de la misma

{x (t)} = x (t) = E [x (t)] = lmT

Z T0

x (t) dt (1.7)

Es de especial inters operar sobre la cantidad x2 (t), ya que est relacionada con lacantidad de energa contenida en la seal3. As el resultado de la operacin es el valor mediocuadrado o valor eficaz de la seal4

x2 (t)

= x2 (t) = E

x2 (t)

= lm

T

Z T0

x2 (t) dt (1.8)

El valor medio cuadrado o valor eficaz de una funcin peridica, con periodo T , se obtieneaplicando (1.6) sobre la serie (1.5). El resultado de tomar el lmite despus de la integracines

x2 (t) =Xn=1

1

2CnCn =

Xn=1

1

2|Cn|2 = C2n (1.9)

As el valor medio cuadrado o valor eficaz de una funcin peridica es simplemente lasuma de los valores medios cuadrados de cada componente armnica presente.Supongamos ahora que queremos obtener las caractersticas espectrales de una funcin no

peridica, que ahora es aleatoria en el tiempo, o con un amplio contenido frecuencial. Ya quelas ecuaciones obtenidas anteriormente funcionan para funciones peridicas, no podremosaplicarlas directamente sobre estas. Sin embargo, an podemos valernos de la misma idea.

3Esto se debe a que en nuestro caso, la funcin x (t) expresa un desplazamiento dado en [m], por lo quex2 (t) estar en [m2], que est relacionado con la energa.

4 x2 6= (x)2


Pensemos en una perturbacin aleatoria en el tiempo, por ejemplo, que proviene de unsistema fsico real, est seal estar definida para cierto intervalo de tiempo de duracinfinito y entonces la perturbacin en el mejor de los casos cesar. La funcin no es peridica,sin embargo podemos considerar que el tiempo de duracin de la seal es su periodo, esdecir que si la seal continuara en el tiempo se repetira idnticamente igual a la registrada aintervalos de tiempo regulares, que en este caso es el periodo, que puede ser tan largo comodure la perturbacin. As podemos pensar que una funcin aleatoria es peridica de periodoinfinito. El tipo de funciones aleatorias que analizaremos son estacionarias y ergdicas, estoquiere decir que tienen caractersticas estadsticas constantes y que se repiten de la mismaforma en cada ocurrencia. Esto no es realidad cierto, pero da una buena aproximacin afunciones con amplio contenido frecuencial.La composicin en frecuencia de una funcin aleatoria puede ser descrita en trminos de

la densidad espectral, del valor medio cuadrado o valor eficaz. Encontramos que el valormedio cuadrado de una funcin peridica en el tiempo es

x2 (t) =Xn=1

1

2CnCn

As x2 (t) est compuesta de contribuciones discretas en cada intervalo de frecuencias f .Ahora definiremos la contribucin al valor medio cuadrado en el intervalo de frecuencia

f como el espectro de potencia G (fn)

G (fn) =1

2CnCn (1.10)

El valor medio cuadrado es entonces

x2 (t) =Xn=1

G (fn)

Definiremos tambin la densidad espectral de potencia S (fn)5 como el espectro de poten-cia dividido por el intervalo de frecuencia f

S (fn) =G (fn)f

=CnCn2f

(1.11)

El valor medio cuadrado puede entonces escribirse como

x2 (t) =Xn=1

S (fn)f

Ahora veremos como se relacionan estas cantidades con la respuesta de un sistema mecni-co, antes tendremos que desarrollar el concepto de funcin de respuesta de frecuencia.

5La definicin de S (fn) est relacionada con la densidad de energa de la seal, ya que toma la formabsica de definicin de energa, por ejemplo Ecin = 12mv

2.

1.2. FUNCIN DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 5

1.2. Funcin de respuesta en frecuencia

En cualquier sistema lineal hay una relacin directa entre la entrada y la salida del mismo.En el dominio del tiempo, la respuesta del sistema puede determinarse en trminos de larespuesta al impulso h (t) mediante la integral de convolucin [1]

y (t) =Z t0

x ()h (t ) d

Sin embargo, una relacin ms simple est disponible en el dominio de la frecuencia entrminos de la funcin de respuesta en frecuencia H (), que es realmente la transformadade Fourier de la funcin de respuesta al impulso.La transformada de Fourier6 se define como

X (f) =Z

x (t) ei2ftdt

Que es un operador lineal que expresa una funcin del tiempo en el dominio de la fre-cuencia.El teorema de Perseval es una herramienta til para convertir una integracin con respecto

al tiempo, en integracin con respecto a la frecuencia. Si X1 (f) y X2 (f) son transformadasde Fourier de funciones del tiempo real x1 (t) y x2 (t) respectivamente, el teorema de Parseval[1] establece queZ

x1 (t)x2 (t) dt =

Z

X1 (f)X2 (f) df =

Z

X1 (f)X2 (f) df (1.12)

Tambin se puede definir la funcin de respuesta en frecuencia como la razn de la salidaa la entrada, bajo condiciones de estado estacionario, con la entrada igual a una funcinarmnica del tiempo de amplitud unitaria.Aplicando esta definicin a un sistema de un grado de libertad

mx+ cx+ kx = y (t) (1.13)

La entrada es y (t) = eit, la salida de estado estacionario ser entonces x = H () eit,en donde H () es una funcin compleja. Sustituyndola en la ecuacin diferencial (1.13)obtenemos

H () =1

k1

1

n

2+ i2

n

(1.14)H () es una funcin compleja de n y con factor de amortiguacin . La funcin H ()

puede ser representada en trminos de su valor absoluto y su fase como

H () = |H ()| ()6El tema de la transforma de Fourier se desarrolla en el capitulo dos.


Para obtener la funcin de respuesta de frecuencia, experimentalmente se pueden hacermediciones de x (t) y y (t) en dos puntos diferentes del sistema, cuya funcin de respuesta defrecuencia se desea. La funcin de respuesta de frecuencia para estos puntos, puede obtenersetomando la transformada de Fourier de la entrada y la salida. La cantidad H () es entonces

H () =Y ()X ()

(1.15)

En donde X () y Y () son las transformadas de Fourier de x (t) y y (t).Una relacin til puede encontrarse multiplicando H () por su conjugado H (), el

resultado es

H ()H () =Y ()Y ()X ()X ()

(1.16)

oY ()Y () = |H ()|2X ()X () (1.17)

as el espectro de potencia de salida es igual al cuadrado de la funcin de transferencia delsistema, multiplicada por el espectro de potencia de la entrada.El valor medio cuadrado tambin puede ser expresado en trminos de la frecuencia, apli-

cando el teorema de Perseval. Haciendo x1 (t) = x2 (t) = x (t) en la ecuacin (1.12) ypromediando sobre T , obtenemos

x2 (t) = lmT

1

T

Z T/2T/2

x2 (t) dt =Z

lmT

1

TX (f)X (f) df

con lo que obtenemos la siguiente relacin

S (f) = lmT

1

TX (f)X (f) (1.18)

Deseamos ahora calcular el valor medio cuadrado de la respuesta. De la ecuacin (1.18)el valor medio cuadrado de la entrada x (t) es

x2 =Z

Sx (f) df =Z

lmT

1

TX (f)X (f)

El valor medio cuadrado de la salida es

y2 =Z

Sy (f) df =Z

lmT

1

TY (f)Y (f) (1.19)

Sustituyendo (1.17) en (1.19) obtenemos

y2 =Z

Sy (f) df =Z |H (f)|2

lmT

1

TX (f)X (f)

1.3. DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD 7

y2 =Z |H (f)|2 Sx (f) df (1.20)

que corresponde con el valor medio cuadrado de la respuesta en trminos de la funcin derespuesta del sistema y de la densidad espectral de la entrada. En estas expresiones, S (f)representa las funciones de densidad espectral tanto sobre frecuencias positivas y negativas.En la prctica es deseable trabajar con densidades espectrales sobre frecuencias positivas.La ecuacin entonces (1.20) puede escribirse como

y2 =Z 0

|H (f)|2 Sx (f+) df (1.21)

En la prctica se trabaja con valores discretos, en este caso la ecuacin (1.21) se expresacomo

y2 =Xi

|H (f)|2 Sx (fi)fi (1.22)

1.3. Distribucin de probabilidad

Se ha encontrado que el valor medio cuadrado de la respuesta del sistema, en trminos dela funcin de respuesta en frecuencia y de la densidad espectral de la excitacin, est dadopor la ecuacin (1.22), en esta seccin veremos como relacionar el valor que resulta de estaecuacin con una distribucin de probabilidad.La probabilidad de que una funcin en el tiempo tome valores menores a alguno especifi-

cado, digamos x1, es el la suma de los tiempos ti en los que la funcin es menor que x1, lasuma de estos tiempos dividida entre el tiempo total, representa la fraccin del tiempo totalen que x (t) es menor que x1, que es la probabilidad de que ocurra un x (t) menor que x1,esto es [1]

P (x1) = Pr [x (t) < x1]

= lmt

1

t

Xti

Si se escoge un valor grande negativo de x1, ninguna porcin de la funcin se extendernegativamente ms all de x1 y, por lo tanto, P (x1 ) = 0. Cuando x, todos losx (t) yacern en la regin menor que x = , y la probabilidad de que x (t) sea menor quex = tiene una certeza o, P (x1 ) = 1. As, la curva P (x) que es acumulativa hacia xpositiva, debe crecer montonamente desde cero en x = , hasta 1 en x = +. La curvaes llamada la funcin de distribucin acumulativa de probabilidad P (x).Si deseamos determinar la probabilidad de que x (t) se presente entre los valores x1 y

x1 + x, todo lo que tenemos que hacer es restar P (x1) de P (x1 +x), que tambin esproporcional al tiempo ocupado por x (t) en la zona de x1 a x1 +x.


Definimos ahora la funcin de densidad de probabilidad como [1]

p (x) = lmx0

P (x+x) P (x)x

=dP (x)dx

Es evidente que p (x) es la pendiente de la funcin acumulativa de probabilidad P (x).El rea bajo la curva de la funcin de densidad de probabilidad p (x) entre dos valores de

x, representa la probabilidad de que la variable est en ese intervalo. Como la probabilidadde que x (t) est entre x = es una certeza, tenemos

P () =Z +

p (x) dx = 1

y el rea total bajo la curva p (x) debe ser la unidad.El valor medio y el valor medio cuadrado definidos anteriormente en trminos del promedio

en el tiempo, estn relacionados con la funcin de densidad de probabilidad. El valor mediox coincide con el centroide del rea bajo la curva p (x), puede por tanto, ser determinadopor el primer momento

x =Z +

xp (x) dx

Anlogamente, el valor medio cuadrado es determinado por el segundo momento

x2 =Z +

x2p (x) dx

Es a menudo deseable considerar la serie de tiempo en trminos de la media y sus fluc-tuaciones a partir de ella. Una propiedad de importancia que describe la fluctuacin, es lavarianza 2, que es valor medio cuadrado con respecto a la media, y est dado por la ecuacin

2 = lmT

1

T

Z T0

(x x)2 dx (1.23)

Desarrollando la ecuacin (1.23) se ve fcilmente que

2 = x2 (x)2

La varianza es igual al valor medio cuadrado menos el cuadrado de la media. Si consider-amos media cero, entonces

= x

Es decir la varianza es igual a la raz cuadrada del valor medio cuadrado.Ciertas distribuciones que ocurren con frecuencia en la naturaleza, pueden ser modeladas

matemticamente. La distribucin de Gauss es una curva en forma de campana, simtricacon respecto al valor medio, con la siguiente ecuacin

n (x) =1

2

e(x)222 (1.24)

1.3. DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD 9

Si suponemos valor medio nulo = 0, la distribucin es entonces

n (x) =1

2

ex2

22

La grfica (1.1) muestra la forma de campana de la funcin de distribucin probabilidadde Gauss, para diferentes valores de .

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

n(x)

-4 -2 0 2 4 x

Figura 1.1: Distribucin normal

Los parmetros y deben satisfacer las condiciones < < y > 0. Ladesviacin estndar es una medida de la dispersin alrededor del valor medio, un valorpequeo de indica una curva estrecha de p (x).La distribucin normal sirve como una aproximacin excelente a una gran cantidad de

distribuciones que tienen mucha importancia prctica.La probabilidad de que ocurra un evento, corresponde con el rea bajo la curva de la

funcin de densidad de probabilidad con media y desviacin estndar , y est dada porla funcin de distribucin acumulativa que est definida por la integral [5]

N (x;, ) =1

2

Z x

e(u)222 du

Si suponemos valor medio nulo = 0, entonces

N (x;) =1

2

Z x

eu2

22 du (1.25)

Captulo 2

Anlisis de Fourier

En la seccin anterior nos ocupamos de conocer la relacin que existe entre un sistemamecnico y las caractersticas espectrales de una seal, es esta seccin nos ocuparemos depresentar las ecuaciones para el clculo de los coeficientes Cn, a partir de una serie de valoresdiscretos en el tiempo.El anlisis de Fourier es una herramienta matemtica desarrollada para expresar una

funcin del tiempo en el dominio de la frecuencia. Primero se deben conocer los fundamentosde esta herramienta matemtica, para posteriormente obtener expresiones tiles para nuestropropsito. El tipo de seales con las que trabajamos son peridicas en el tiempo.

2.1. Series de Fourier

Deseamos representar una funcin peridica del tiempo en el dominio de la frecuencia,para ello se requiere de un conjunto de funciones que sean ortogonales entre s, esto nospermite crear un espacio de funciones base con las que podamos representar la funcindeseada. Si esto se cumple, entonces la funcin se puede representar por [2]

f (t) =Xi=0

R ba f (t)n (t) dt

kn (t)k2n (t) (2.1)

Donde n (t) es un conjunto de funciones ortogonales entre s, es decir se satisface larelacin

hm (t) , n (t)i =Z bam (t)n (t) dt = 0, m 6= n (2.2)

Se puede crear un conjunto de funciones base con polinomios, por ejemplo los polinomiosde Legendre. Tambin se pueden utilizar las funciones armnicas sin 2nT t y cos

2mT t.

Si utilizamos funciones armnicas en nuestra representacin de f (t), se sabe que la serieas obtenida es la serie trigonomtrica de Fourier, esto es

x (t) =a02+ a1 cos1t+ a2 cos2t+ ...+ b1 sin1t+ b2 sin2t+ ... (2.3)

11

12 CAPTULO 2. ANLISIS DE FOURIER

donde los coeficientes an y bn son constantes a determinar y estn dados por

an =2

T

Z T/2T/2

x (t) cosntdt (2.4)

bn =2

T

Z T/2T/2

x (t) sinntdt (2.5)

2.2. Transformada de Fourier continua

Con la serie trigonomtrica de Fourier se puede representar funciones peridicas, sin em-bargo, si la funcin no es peridica no podremos representarla con una serie de Fourier. Tales el caso de funciones definidas slo en un intervalo de tiempo. Sin embargo an podremosservirnos del concepto de la serie de Fourier, aunque en este caso para periodos ms grandes.En esta seccin desarrollaremos una manera de obtener un operador lineal llamado trans-formada de Fourier, que nos permite lograr esto. Para ello pensemos que el periodo de lafuncin tiene al infinito. En el primer captulo encontramos que la serie de Fourier de senosy cosenos de la funcin x (t), puede representarse como

x (t) =X

n=cneint

donde

cn =1

T

Z T/2T/2

x (t) eintdt donde n 0 (2.6)

y

1 =2T

n = n1

donde 1 se denomina frecuencia fundamentalLuego

n =2nT

Es decir, entre cada frecuencia n hay una diferencia de

=2T

entonces2

=1

T(2.7)

2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER CONTINUA 13

Por el momento cambiaremos la variable t de la ecuacin (2.6) para no confundir trminos,sin que esto altere los clculos desarrollados. Sustituyendo (2.6) y (2.7)en (1.3) se obtiene

x (t) =X

n=

1

T

Z T/2T/2

x (s) einsds

!eint

Luego

x (t) =X

n=

1

2eint

Z T/2T/2

x (s) einsds

!

Ahora definimos

F () =1

2eint

Z T/2T/2

x (s) einsds (2.8)

entonces

x (t) =X

n=F (n)

En el lmite cuando 0 obtenemos

x (t) = lm0

Xn=

F (n) =Z

F () d

ya que cuando 0, 0 entonces podemos expresar x (t) como

x (t) =Z

F () d =Z

1

2

Z

x (s) eisdseitd

de donde obtenemos la definicin de la transformada de Fourier

X () =1

2

Z

x (t) eitdt (2.9)

Aunque la deduccin que hemos expuesto est lejos de ser completa1, el ltimo resultadoconstituye realmente una representacin vlida de la funcin lmite no peridica f (t), siempreque, en todos los intervalos finitos, f (t) cumpla las condiciones de Dirichlet y que exista laintegral impropia Z

|f (t)| dt

1Realmente la situacin no es tan simple como lo hemos hecho parecer, ya que, como indica (2.8), lafuncin F () no solo depende de sino tambin de T . por consiguiente al aumentar T , la funcin queestamos calculando vara y la teora elemental de las integrales definidas no es estrictamente aplicable.Adems el hecho de que la suma se extienda a un intervalo infinito obliga a un estudio adicional del procesodel lmite. Las modificaciones que se requieren para una justificacin rigurosa de nuestras conclusiones sepueden encontrar en textos superiores, como R. V. Churchill, Series de Fourier y problemas de contorno, 2a

ed. pgs. 113-117, McGraw-Hill Book company, New York, 1966.


2.2.1. Transformadas de derivadas

Hemos obtenido el par de transformadas

x (t) =Z

X () eitd (2.10)

y

X () =1

2

Z

x (t) eitdt

donde X () es la transformada de Fourier (FT) de x (t).Si diferenciamos (2.10) con respecto a t obtenemos

x (t) =Z [iX ()] eitd

Por lo tanto

iX () =Z

x (t) eitd

As, la FT de una derivada es simplemente la FT de la funcin multiplicada por i

FT [x (t)] = iFT [x (t)]

Diferenciando nuevamente, obtenemos

FT [x (t)] = 2FT [x (t)]

2.3. Transformada de Fourier discreta (DFT)

La serie de Fourier y la transformada de Fourier continua que hemos estudiado hasta estemomento, se obtuvieron a partir de funciones continuas en el tiempo. Sin embargo, en loscasos de inters para este trabajo, debemos de conformarnos slo con valores discretos dela seal original en el tiempo. Esto se debe a que los datos obtenidos con los sistemas deadquisicin es en general un proceso digital, esto es, se lleva acabo una discretizacin en eltiempo y a intervalos regulares, en los que para cada tiempo determinado se obtiene un valorde la variable de inters, el cual proviene de un transductor que puede ser de voltaje o decorriente.Esta discretizacin se debe tambin, en parte al uso de la computadora para el anlisis

de datos, en realidad las computadoras trabajan con valores discretos y son finitas en larepresentacin de nmeros en magnitud (no podemos representar nmeros tan grandes o tanpequeos como queramos).

2.3. TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA (DFT) 15

Entonces ser necesario expresar la transformada de Fourier de manera que nos permitaanalizar datos discretos de una cierta seal muestreada en el tiempo. Adems debemosconsiderar la prdida de informacin en el proceso de discretizacin, as como los casos enque los resultados obtenidos de la aplicacin de una tcnica digital produzcan resultadoserrneos. Ahora se presentar el proceso de discretizacin.Si el intervalo de muestreo de una seal continua es y es constante, entonces el valor

discreto de x (t) en el instante t = r, se representa por xr. La Figura (2.1) ilustra estasituacin.

Figura 2.1: Discretizacin de una seal temporal

Anteriormente obtuvimos que una funcin peridica puede ser representada como

x (t) =X

n=cneint

donde

cn =1

T

Z T/2T/2

x (t) eintdt

ya que la integral se hace sobre un periodo completo, entonces tambin es vlido escribir

cn =1

T

Z T0

x (t) eintdt (2.11)

que equivale a un corrimiento en el tiempo.Sustituyendo n = n1 = 2nT en la ecuacin (2.11) obtenemos

cn =1

T

Z T0

x (t) ei(2n/)tdt


Ms adelante esto nos permitir obtener los coeficientes cn para periodos arbitrarios oms generales.Consideremos ahora, que muestreamos durante el tiempo completo de un periodo una

funcin peridica de periodo T , dividido en N intervalos de tiempo regulares y de longitud, entonces

=TN

(2.12)

El conjunto de valores que corresponden a la funcin para cada valor del tiempo es {xr} ,r = 0, 1, 2, .., N 1 donde t = r.Entonces el clculo de los coeficientes los coeficientes cn puede ser aproximado por [4]

cn =1

T

Z T0

x (t) ei(2n/)tdt 1N

N1Xr=0

xr cos2nrN

iN

N1Xr=0

xr sin2nrN

1N

N1Xr=0

xr

cos

2nrN

i sin

2nrN

=1

N

N1Xr=0

xrei(2nr/N)

de donde obtenemos la definicin de la Transformada Discreta de Fourier DFT (DiscreteFourier Transform), donde Xn es la aproximacin de los coeficientes cn

Xn =1

N

N1Xr=0

xrei(2nr/N) (2.13)

La frmula inversa est dada por

xr =N1Xn=0

Xnei(2nr/N) (2.14)

2.4. Efecto de solapamiento (aliasing)

Como veremos en esta seccin, los coeficientes calculados por la ecuacin (2.13) son per-idicos. El aliasing es el efecto en el que los coeficientes cn se reflejan alrededor de un eje acierta frecuencia definida por el valor de N , dando como resultado una repeticin del espec-tro verdadero. Ahora veremos como ocurre esto con el propsito de evitarlo en el clculo delos coeficientes cn de los datos obtenidos de nuestras mediciones.La transformada discreta de Fourier definida por

Xn =1

N

N1Xr=0

xrei(2nr/N)

se evala para valores de n = 0, 1, 2, ..., N 1. Para valores de n mayores a N 1, el valorde los coeficientes se repite, esto se puede ver si calculamos el valor de los coeficientes para

2.4. EFECTO DE SOLAPAMIENTO (ALIASING) 17

n = N + l. Sustituyendo n = N + l en (2.13), se tiene

XN+l =1

N

N1Xr=0

xrei(2rl/N)ei2r

como ei2r = cos 2r sin 2r = 1 para cualquier valor de r, entonces

XN+l =1

N

N1Xr=0

xrei(2rl/N) = Xl

Ahora bien, puesto queXN+l = Xl (2.15)

es decir, los coeficientes se repiten para valores de n > (N 1).Tambin se puede observar de la definicin de la DFT que

Xn =1

N

N1Xr=0

xrei(2nr/N) =1

N

N1Xr=0

xr

cos

2nrN

+ i sin2nrN

= Xn

y comoXn = X

n

entonces|Xn| = |Xn| (2.16)

Es decir, de (2.15) y (2.16) se puede deducir que la grfica de la DFT es simtrica conrespecto al eje de las ordenadas, pero adems que cuando el valor de n > (N 1) loscoeficientes se repiten, entonces slo es necesario calcular los coeficientes para las frecuencias

n =2N

N2=

ya que n = 0, 1, 2, .., N 1 por lo que se calculan N coeficientes.A frecuencias superiores se encuentran coeficientes que son repeticiones de frecuencias

menores a .Un resultado inmediato de este lmite de frecuencias en el clculo de los coeficientes es el

teorema de muestreo de Nyquist [4]. Supongamos que la mxima componente de frecuenciaen la seal es f0, sabiendo que = 2f , por lo que 0 > , sustituyendo 0 = 2f0 seobtiene

2f0 >

f0 >1

2


Figura 2.2: Muestreo pobre de una seal

donde f0 es la frecuencia de Nyquist, que corresponde con la mxima frecuencia que se puededetectar, despus del proceso de discretizacin de una seal que fue muestreada a intervalosregulares . El efecto de un muestreo que no cumple con el criterio de Nyquist se observaen la Figura (2.2), el resultado es una seal distinta a la que se quiere analizar.Cuando existen frecuencias superiores a la definida por el criterio de Nyquist, entonces

los coeficientes calculados para frecuencias menores se vern distorsionados por la presenciade dichas frecuencias mayores.

2.5. Transformada rpida de Fourier (FFT)

La transforma rpida de Fourier (FFT) [4] es un algoritmo numrico empleado para elclculo de la DFT de forma ms eficiente.Para obtener la DFT de una sucesin de valores discretos es necesario hacer N multipli-

caciones de la forma xr ei(2nr)/N por lo que se deben llevar a cabo N2 multiplicaciones,esto en la prctica consume gran cantidad de recursos de memoria en una computadora.La FFT parte una sucesin de valores en otro conjunto de sucesiones ms cortas, por

lo que es ms fcil calcular la DFT de cada sucesin, despus la DFT de cada sucesin escompuesta para obtener la DFT de la sucesin original pero de manera ms eficiente.Supongamos que deseamos calcular la DFT de una sucesin de un slo trmino, por

ejemplo x, por definicin N = 1, luego

X0 =1

N

N1Xr=0

xrei(2nr/N) =0X

r=0

xei(0) = x

2.5. TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER (FFT) 19

es decir la DFT de una sucesin de un slo trmino es, l mismo.De esta manera la idea de la FFT es descomponer la sucesin original en sucesiones de

un slo trmino y calcular la DFT de cada trmino (que es el mismo trmino), para despuscomponerlos y formar la DFT de la sucesin original.Supongamos que xr = 0, 1, 2, ..., N1 es una sucesin que es potencia de 2, esto esN = 2n,

esto nos permitir descomponer de manera adecuada la sucesin original en sub-series mssencillas hasta llegar exactamente a N series de un slo trmino.Supongamos que partimos la sucesin xr en dos ms cortas, dadas por

yr = x2rzr = x2r+1

r = 0, 1, 2, ..., (N/2 1)

Ahora calculemos la DFT de las sucesiones yr y zr

Yn =1

N/2

N/21Xr=0

yrei 2nr

(N/2) ; n = 0, 1, ..., (N/2 1) (2.17)

Zn =1

N/2

N/21Xr=0

zrei 2nr

(N/2) ; n = 0, 1, ..., (N/2 1) (2.18)

Nuestro objetivo ahora es reordenar la DFT de la sucesin original xr de manera queaparezcan las DFT de las dos sucesiones ms cortas (2.17) y (2.18). Para esto reordenamosla definicin original de la DFT

Xn =1

N

N1Xr=0

xrei(2nr/N)

Xn =1

N

N/21Xr=0

x2rei2n(2r)

N +

N/21Xr=0

x2r+1ei2n(2r+1)

N

Xn =1

N

N/21Xr=0

yrei 2nrN/2 + ei

2nN

N/21Xr=0

zrei 2nrN/2

sustituyendo (2.17) y (2.18) en (2.13) encontramos que

Xn =1

2

nYn + ei

2nN Zn

o(2.19)

para n = 0, 1, ..., (N/2 1).De esta forma la DFT de una sucesin puede ser obtenida a partir de las DFT de las dos

sucesiones ms cortas segn la ecuacin (2.19). La ecuacin (2.19) es la base del algoritmo


FFT, ya que suponemos que N es una potencia de 2, entonces se pueden dividir estassucesiones hasta llegar a sucesiones de un slo trmino2.La ecuacin (2.19) es aplicable para valores de n = 0, 1, ..., (N/2 1), sin embargo, la DFT

requiere del clculo para valores de n = 0, 1, ..., N 1, entonces ser necesario completar laecuacin (2.19) para los valores de n restantes.Como se obtuvo anteriormente, la DFT es simtrica y peridica en n, esto puede verse en

las siguientes ecuaciones

|Xn| = |Xn|XN+l = Xl

en consecuencia

YnN/2 = YnZnN/2 = Zn

Por lo que la frmula completa para el clculo de la DFT mediante el algoritmo FFT es

Xn =1

2

nYn + ei

2nN Zn

opara n = 0, 1, ..., (N/2 1)

Xn =1

2

nYnN/2 + e

i 2nN ZnN/2opara n = N/2, (N/2 + 1) , ..., (N 1)

Si se requiere que n vare de entre 0 y N/2, una forma alternativa es definir

Xn =1

2

nYn + ei

2nN Zn

oy

Xn+N/2 =1

2

nYn ei

2nN Zn

opara k = 0, 1, 2, ..., (N/2 1).Ahora si definimos una variable compleja como

W = ei(2/N) (2.20)

resulta finalmenteXn =

1

2{Yn +W nZn} (2.21)

2En este captulo slo hemos considerado la denominada FFT de base dos, para la cual la longitud de lasucesin, N, tiene que ser una potencia de dos; este requisito hace posible la particin reiterada de la sucesinoriginal. Si N no es una potencia de dos, pero contiene otros factores, las mismas ideas son aplicables si semodifican adecuadamente las frmulas. Por ejemplo, si N = 15, la sucesin original se puede partir en tressubsucesiones de cinco trminos cada una, o e cinco subsucesiones de tres trminos cada una, y se puedendisear las frmulas que relacionan las DFT de las subsucesiones con la DFT de la sucesin original.

2.6. RESOLUCIN DE LA FFT 21

y

Xn+N/2 =1

2{Yn WnZn} (2.22)

para k = 0, 1, 2, ..., (N/2 1).Con esta descomposicin entonces solo es necesario hacer aproximadamente N log2N

multiplicaciones. Por ejemplo, si N = 215, N2 ' 1.1109, mientas que N log2N = 4.9105,lo que representa reducir el trabajo en 10000 veces. Adems, como ventaja adicional, semejora la precisin de los clculos pues, al tener que realizar menos operaciones, se reducenlos errores de redondeo debido a la limitacin del tamao de las palabras (nmero limitadode dgitos disponibles) de la computadora.

2.6. Resolucin de la FFT

Hay que hacer una distincin importante en el clculo de la FFT de un conjunto devalores muestreados de una seal. En general el proceso de la transformada tiene dos etapas.La primera etapa consiste en la discretizacin de la seal, como se vio en secciones anterioresel nmero de muestras obtenidas debe ser potencia de 2. La segunda etapa consiste endefinir cuantos de los valores muestreados toma la FFT, para el clculo de las caractersticasespectrales. La frecuencia de muestreo la designamos como fs y el nmero de puntos quetoma la FFT lo designamos como N . Entonces la resolucin de la FFT es

f =fsN

(2.23)

la cual tiene unidades de Hz. La ecuacin (2.23) expresa que si la FFT toma el mismonmero de valores que el muestreo, entonces la resolucin ser de f = 1Hz, y el espectrode frecuencias se calcula a cada segundo. Si N es mayor que fs, entonces la resolucin serf < 1Hz y el espectro de frecuencias de calcula a cada 1/f segundos. Por ejemplo siN = 10 fs la resolucin ser f = 0.1Hz y el espectro de frecuencias se calcula cada 10 s.El efecto de la resolucin en mediciones reales es importante, ya que si la seal que

medimos contiene frecuencias que no pueden ser detectadas por la FFT, debido a una malaeleccin de la resolucin, entonces el resultado es un espectro deformado.Es importante mencionar que si la resolucin es pequea, y las mediciones se hacen en

tiempo real, entonces la FFT, tardar 1/f segundos en devolver un resultado, en efecto laFFT debe esperar a que el numero de puntos que toma sea completado por el muestreo yno se ajusta al nmero de muestras obtenidas en un tiempo menor a 1/f .

Captulo 3

Adquisicin de seales

En este captulo se presenta el esquema bsico de como obtener informacin (datos) de unavibracin mecnica, as como el proceso que se realiza en la adquisicin de seales mecnicas.En los captulos anteriores se encontraron expresiones que relacionan la respuesta de un

sistema con la excitacin. Tambin se encontraron ecuaciones tiles para el clculo de lascaractersticas espectrales y se present el concepto de funcin de respuesta en frecuencia. Lasecuaciones presentadas anteriormente operan sobre datos discretos y los relacionan con otrosdatos. Los datos obtenidos describen el comportamiento del sistema ante una excitacin.El proceso de adquisicin de una seal consiste en convertir las variables fsicas manifes-

tadas en un fenmeno, en un conjunto de datos que puedan ser usados por un sistema deadquisicin. El proceso tiene diversos pasos, el primero consiste en usar un transductor quepermita convertir un tipo de variable fsica a otro, en este caso la variable fsica a medir esla aceleracin que experimenta una masa en movimiento, y representa el fenmeno fsico enestudio. En este trabajo se utilizaron un par de acelermetros piezoelctricos marca Klistermodelo 8636C1. Esta parte de la adquisicin de la seal es muy importante ya que requiereconocer el comportamiento del acelermetro en el momento de la medicin, es decir, debecalibrarse. Adems se debe elegir cual es el mtodo de sujecin ms adecuado para unaaplicacin en particular y conocer los parmetros fsicos que definen su comportamiento. Unacelermetro piezoelctrico entregar una seal, ya sea de voltaje o corriente. El segundopaso consiste en acondicionar la seal elctrica que entrega el acelermetro, despus, la sealse muestrea mediante una tarjeta de adquisicin de datos. La tarjeta que se utiliz paraeste propsito fue la DSA PCI-4552 de National Instruments. Una ves que se ha logradoacondicionar y registrar la seal que proviene del acelermetro mediante el muestreo, estlista para ser visualizada y analizada, el software utilizado para el anlisis fue LabView 7 deNational Instruments. El anlisis de la seal implica tambin varios pasos. El primer pasoen el anlisis de la seal consiste en tratar la seal de tal forma que la informacin sea loms clara posible para su anlisis. As, la seal se deber amplificar, si esta es muy dbil;filtrar si contiene ruido que proviene de la influencia de otros medios, en general en estaetapa se requiere la seal lista para ser analizada. La Figura (3.1) ejemplifica el proceso deadquisicin de seales descrito.

23

24 CAPTULO 3. ADQUISICIN DE SEALES

Figura 3.1: Esquema de adquisicin de seales

3.1. Vibraciones forzadas

El fenmeno fsico que nos interesa estudiar es la respuesta forzada de un sistema mecnicode un grado de libertad. Por supuesto se requiere de una fuente que suministre la energanecesaria para excitar al sistema que transforma esta energa. La energa suministrada alsistema es, en este caso, una vibracin mecnica manifestada por el desplazamiento de unelemento mecnico. El sistema que disipa la energa es un sistema vibratorio de un grado delibertad.La fuente de energa mecnica utilizada en este trabajo fue un excitador electromecnico

conocido como "Shaker"marca TIRA Vib modelo TV51075. El funcionamiento bsico deeste dispositivo se muestra en la Figura (3.2).

Figura 3.2: Generacin de vibraciones controladas

La tabla (3.1) muestra las especificaciones ms importantes del excitador mecnico uti-lizado en este trabajo.

Tabla 3.1: Especificaciones del excitador mecnico del sistema TV 51075.

Una seal elctrica de baja potencia y de caractersticas especficas es generada por ungenerador de seales. El tipo de seal que se puede generar depende del tipo de generadorque se utilice, se pueden generar seales sinusoidales, cuadradas, triangulares, rampas, ruidoy seales programadas por el usuario. Los parmetros susceptibles de modificar en esta etapason la forma de de seal, frecuencia y amplitud. En este trabajo se utiliz un generador defunciones arbitrarias marca Tektronic modelo AFG320, con el cual se pueden generar sealessenoidal, triangular, rampa, pulso y seales programadas por el usuario.El amplificador toma la seal generada, la amplifica y la enva al excitador mecnico, este

tiene la caracterstica de suministrar la potencia suficiente para accionar al excitador. Losparmetros a variar en este caso son el voltaje y corriente consumida por el excitador paraun tipo de seal y frecuencia especfica. Es este trabajo se utiliz un amplificador marca

3.2. EL ACELERMETRO PIEZOELCTRICO 25

TIRA Vib modelo TV 51075. La tabla (3.2) muestra las especificaciones ms importantesdel amplificador empleado.

Tabla 3.2: Especificaciones del amplificador del sistema TV 51075.

El excitador toma la seal elctrica que sale del amplificador y la transforma en unmovimiento mecnico. La amplitud del movimiento depende de la potencia suministradapor el amplificador.

3.2. El acelermetro piezoelctrico

Un acelermetro es un transductor que transforma la energa del movimiento en energaelctrica. Algunos de sus usos son la medicin de vibraciones e impactos, monitoreo devibraciones, anlisis modal y estructural, control de vibraciones y control de calidad.El acelermetro piezoelctrico es utilizado como un buen transductor disponible para la

medicin de vibraciones, este es un resultado directo de las siguientes caractersticas:1. Apropiado sobre un gran rango de frecuencias.2. Excelente linealidad sobre un gran rango de respuestas dinmicas.3. La seal de aceleracin puede ser integrada para obtener datos de la velocidad y la

posicin.4. La medicin de vibraciones puede ser posible para diversas condiciones ambientales,

manteniendo su exactitud.5. No necesita fuentes de poder externas, ya que genera su propia seal.6. No tiene partes removibles, lo que lo hace durable.7. Es compacto y de gran sensibilidad.

Figura 3.3: Unidad Ssmica


La representacin bsica de muchos instrumentos medidores de vibraciones, se muestra enla Figura (3.3). Dependiendo del rango de frecuencia utilizado, desplazamiento, velocidad oaceleracin, estn indicados por el movimiento relativo de la masa suspendida, con respectoa la base.Para el sistema de la Figura (3.3) el desplazamiento relativo entre la masa y la base se

define por z = x y, y la solucin en estado estacionario est dada por

z = Z sin (t+ ) (3.1)

donde

Z =Y

n

2s

1

n

22+h2 n

i2 (3.2)y

tan =2 n

1

n

2Los parmetros involucrados son el cociente de frecuencias /n y la razn de amor-

tiguamiento .Un acelermetro es un instrumento de alta frecuencia natural, cuando la frecuencia natural

del instrumento es alta comparada con la de la vibracin que se va a medir, el instrumentoindica aceleracin. De la ecuacin (3.2) el factorvuut"1

n

2#2+

2

n

2(3.3)

tiende a la unidad cuando /n 0, de modo que el numerador de la ecuacin (3.4) es unaaceleracin, as que Z se vuelve proporcional a la aceleracin del movimiento que se va amedir, con una factor de 1/2n,

Z = Yn

2=

Y 2

2n(3.4)

esto puede verse en la figura (3.4)La grfica de la Figura (3.5) muestra el comportamiento del inverso de la ecuacin (3.3)

para valores de = 0, 0.6, 0.65, 0.7 y 0.75, que aparecen de izquierda a derecha. En lagrfica se observa que el rango de frecuencias til del acelermetro no amortiguado estlimitado. Sin embargo, con = 0.7, el rango de frecuencia til es 0 /n < 0.2 con unerror mximo del 0.01%.Si el cociente de frecuencias es pequeo, entonces la ecuacin (3.3) tiende a la unidad,

siendo la respuesta del acelermetro proporcional a la aceleracin del movimiento,

3.2. EL ACELERMETRO PIEZOELCTRICO 27

0.996

0.998

1

1.002

1.004

1/A

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 w/wn

Figura 3.4: Rango de operacin de un acelermetro

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1/A

0 0.2 0.4 0.6 0.8 w/wn

Figura 3.5: Rango de operacin de un acelermetro


Un acelermetro de cristal piezoelctrico tiene amortiguacin casi nula y opera sin distor-sin hasta frecuencias de 0.06fn. Las propiedades piezoelctricas de los cristales de cuarzoo titanio de bario, son utilizadas en acelermetros para mediciones de alta frecuencia. Loscristales estn montados de tal manera que, bajo aceleracin, se comprimen o deflectan paragenerar carga elctrica. La Figura (3.6) muestra el esquema de un acelermetro de cristalpiezoelctrico. La frecuencia natural de estos instrumentos puede ser del orden de kHz. Lasensibilidad del acelermetro de cristales est dada en trminos de carga pC/g o en trminosde voltaje mV/g.

Figura 3.6: Esquema de un acelermetro

En ente trabajo se utilizaron 2 acelermetros marca Klister modelo 8636C10. La tabla(3.3) muestra las especificaciones ms importantes de los acelermetros empleados.

Tabla 3.3: Especificaciones de los acelermetros Klister modelo 8636C10.

La seal que proviene del acelermetro es enviada a una tarjeta de adquisicin de datosmediante un cable conector entre el acelermetro y la tarjeta. Sin embargo la conexin no esdirecta, existe una interfase entre el acelermetro y la tarjeta, esta interfase es un accesorioBNC 2140. El cable que se utiliz para los acelermetros es marca Klister modelo 1761Bsp.Este cable es de uso general y de baja impedancia para sensores de voltaje.

3.3. Tarjeta PCI NI-4552

La tarea fundamental de todos los sistemas de medicin es la medicin y/o generacin deseales fsicas del mundo real. Los dispositivos de medicin ayudan a adquirir, analizar y pre-sentar las mediciones que son adquiridas. Estos, muestrean seales analgicas y las discretizanpara que puedan ser analizadas mediante tcnicas digitales. Una tarjeta de adquisicin dedatos funciona como un convertidor analgico digital.

3.3. TARJETA PCI NI-4552 29

A travs de la adquisicin se registran y convierten seales fsicas, tales como voltaje, cor-riente, presin y temperatura, en formato digital que son transferidos hacia la computadora.A travs del anlisis de datos, se pueden transformar los datos originales en informacin

significativa por medio del ajuste de curvas, anlisis estadstico, respuesta en frecuencia uotras operaciones numricas.En la presentacin de datos, se muestran grficas, termmetros, tablas u otras representa-

ciones visuales.Los dispositivos dinmicos de adquisicin de seales (DSA) son usados en una gran var-

iedad de aplicaciones que requieren anlisis en frecuencia. National Instruments ofrece unaserie de dispositivos DSA los cuales proporcionan las caractersticas necesarias para el anlisisdinmico de seales en combinacin con avanzada tecnologa de cmputo, como es flexibili-dad, modularidad y rpida razn de transferencia a disco. Los dispositivos DSA son idealespara aplicaciones como sonido y acstica, pruebas de ruido ambiental, anlisis de vibraciones,monitoreo de mquinas, evaluacin de mquinas rotativas y caracterizacin de sistemas.Los dispositivos de National Instruments NI 455X son analizadores dinmicos de seales,

cuentan con una tarjeta DSP ms todo el hardware necesario para tomar mediciones precisasde tiempo y frecuencia. Todo el procesamiento es desarrollado en el procesador de la com-putadora. Usando dispositivos DSA de National Instruments se pueden construir sistemasde medicin que operan de 10 a 100 veces ms rpido que los sistemas con analizadoresdinmicos de seales GPIB.Los dispositivos de adquisicin dinmica de seales registran seales que varan en el tiem-

po y analizan su contenido frecuencial por diferentes mtodos, dependiendo de la aplicacin.Los dispositivos DSA pueden desempear anlisis como son FFT, barrido senoidal y anlisisde octavas.En este trabajo se utiliz la tarjeta DSA NI 4552 de National Instruments. La tabla (3.4),

muestra las principales caractersticas de la tarjeta empleada.

Tabla 3.4: Especificaciones de la tarjeta DSA NI 4552.

El accesorio BNC 2140 DSA es una interfase entre la tarjeta y el acelermetro, este tienela funcin de acondicionamiento de la seal y cuenta con las conexiones apropiadas paralos acelermetros usados en este trabajo. El accesorio BNC 2140 DSA est especficamentediseado para conexiones de voltaje y acelermetros ICP (Integrated Circuit Piezoelectric)para la tarjeta NI 4552. Este accesorio integra 4 canales de adquisicin y condicionamientode seales, reduciendo el equipo necesario para la adquisicin. Las conexiones de entradadel BNC 2140 son usadas para ambas opciones, de voltaje o sensores ICP. Este accesorio esconfigurado manualmente con dos interruptores por canal. Un interruptor est para habilitar


o deshabilitar el control ICP y el otro interruptor configura el canal para seales referenciadasa tierra o flotando.El accesorio BNC 2140 DSA en conjunto con la tarjeta DSA NI4552 y el software Lab-

VIEW son los elementos necesarios para adquirir, acondicionar y analizar una seal queproviene de un acelermetro. El accesorio BNC 2140 DSA implementa un filtro antialiasingpor defecto, por lo que no fue necesario agregar un filtro antialiasing a nuestro programa enLabVIEW.

3.4. LabView

LabView es un lenguaje de programacin orientado a objetos utilizado en el anlisis deseales y control de procesos. Implementa una interfase de programacin grfica, medianteel uso de funciones y controles que estn representadas por iconos. As, se pueden crearinstrumentos virtuales (multmetros, osciloscopios, analizadores de espectros, etc.) usandolas funciones y controles que LabView implementa por defecto. Esta programacin se hacecomo diagrama de bloques, en los que disea los pasos que han de realizarse para analizaruna seal.Cuando se desea crear un nuevo instrumento virtual LabView tiene dos presentaciones

para este propsito, el panel frontal y el diagrama de bloques. En el panel frontal se presentanlos controles con los que el usuario podr interactuar, es decir, introducir y visualizar datos,el panel frontal del instrumento virtual (V.I.) desarrollado en este trabajo se muestra enla Figura (3.7). En el diagrama de bloques se disea el programa rutina que se pretendautilizar. Cualquier modificacin en el panel frontal, ocasiona modificaciones en el diagramade bloques, el diagrama a bloques del V.I. desarrollado en este trabajo se muestra en laFigura (3.8).En el panel frontal, se pueden ver los controles con los que el usuario puede interactuar,

y al mismo tiempo, observar las modificaciones que producen los cambios hechos.En el diagrama de bloques, se puede ver el programa en s, en el que se usan las funciones

para el desarrollo de la aplicacin.Las funciones y controles que se utilizan para disear los programas, se obtienen de las

paletas de funciones y controles que LabView implementa por defecto.Un programa bsico de adquisicin de seales consta de las siguientes etapas:1. Configuracin: En esta etapa se reconoce la tarjeta de adquisicin de datos con la que se

cuenta, se configura el canal que recibe la seal del acelermetro y se definen los parmetrosdel muestreo fs.2. Lectura: En esta etapa se leen los datos obtenidos del canal y se indexan en un arreglo

de dos dimensiones. Aqu se define el nmero de puntos N que tomar la FFT, la eleccinde fs y N se hace segn el criterio de Nyquist y la resolucin requerida.3. Anlisis: Una ves que se ha logrado guardar los datos en un arreglo, estn listos para

ser analizados, en este caso LabView implementa un icono que calcula la FFT del conjuntode valores muestreado.

3.4. LABVIEW 31

Figura 3.7: Panel frontal de un V.I.

4. Presentacin: El conjunto de datos muestreados en el tiempo, as como el resultadode la FFT de los datos, se visualiza mediante grficas en dos dimensiones. Estas se escalanautomticamente segn el rango de valores que tomen los datos y los valores definidos parafs y N .5. Estructura repetitiva: Un ciclo While permite obtener los datos de forma continua,

hasta que la condicin de paro sea verdadera u ocurra un error durante la adquisicin.

Figura 3.8: Diagrama a bloques de un V. I.

3.4.1. Filtrado

El filtrado es el proceso por el cual el contenido de frecuencias de la seal es modificado.Se asume que la seal de inters puede ser separada de la seal original. Los filtros linealesclsicos asumen que el contenido frecuencial de la seal de inters es distinto al resto de laseal. El filtrado es una de las etapas ms usadas el procesamiento de seales [7].


Los filtros alteran o remueven frecuencias no buscadas, dependiendo del rango de frecuen-cias buscado pueden ser de paso o de atenuacin o rechazo. Pueden ser clasificados dentrode los siguientes tipos:1. Pasa bajas (Lowpass): Permite el paso de frecuencias bajas (Menores a una frecuencia

de corte fc especificada) pero atena frecuencias altas.2. Filtro pasa altas (Highpass): Permite el paso de frecuencias altas (Mayores a una

frecuencia de corte fc especificada) pero atena frecuencias bajas.3. Filtro pasa bandas (Bandpass): Permite el paso de cierto ancho de frecuencias (Especi-

ficado por una frecuencia de corte bajo fc1 y una frecuencia corte alta fc2).4. Filtro supresor de bandas (Bandstop): Corta cierto ancho de frecuencias (Especificado

por una frecuencia de corte bajo fc1 y una frecuencia corte alta fc2).La Figura (3.9) muestra la respuesta en frecuencia de los diferentes tipos de filtros ideales.

Figura 3.9: Filtros ideales

La Figura (3.10) muestra la respuesta en frecuencia de los diferentes tipos de filtros, eneste caso reales.

Figura 3.10: Filtros reales

Cada tipo de filtro puede clasificarse de acuerdo a su tipologa y a su orden [7]. Lastipologas pueden ser Butterworth, Chebyshev, Inverse Chebyshev, Elliptic o Bessel depen-

3.4. LABVIEW 33

diendo del algoritmo usado en el proceso del filtrado. El orden de los filtros indica la rigurosi-dad del filtro y es nmero entero mayor que 1. La Figura (3.11) muestra el comportamientodel filtro Butterworth de ordenes diferentes.

Figura 3.11: Respuesta del filtro Butterworth

El tipo de filtro, tipologa y orden se eligen de acuerdo a la aplicacin. Si el orden del filtroes muy alto, sucede un retraso en el tiempo de la seal, as que en aplicaciones de tiemporeal no es recomendable utilizar un nmero de orden alto1.En este trabajo no se utiliz ningn filtro, ya que el tipo de seales medidas son deter-

ministas y con un contenido frecuencial controlado de manera precisa.

3.4.2. Ventaneado

En aplicaciones prcticas se obtienen slo un nmero finito de muestras de la seal, la FFTasume que la seal se repite. Si se tiene un nmero entero de ciclos en la seal, las repeticionessern suaves o sin discontinuidades en las fronteras. Sin embargo, en aplicaciones prcticas,usualmente se tiene nmeros de ciclos no enteros, en este caso resultan discontinuidades en lasfronteras de las repeticiones de la seal como se ve en la Figura (3.12). Estas discontinuidadesno estabas originalmente en la seal y resultan en fluctuaciones de energa a otras frecuencias.El fenmeno es conocido como fuga espectral (spectral leakage). La cantidad de fuga dependedel tamao de la discontinuidad, a mayor discontinuidad mayor fuga de energa.Una seal peridica en el tiempo est compuesta por sumas de funciones senoidales con

un nmero entero de ciclos. Como la funcin es perfectamente peridica la seal tiene unespectro de energa que contiene exactamente las frecuencias correctas.Ya que la cantidad de fuga de energa depende de la amplitud de la discontinuidad en

las fronteras, se usan las ventanas para reducir el tamao de la discontinuidad y por lotanto reducir la fuga de energa. El ventaneado consiste en multiplicar la seal en el dominiodel tiempo por otra funcin en el tiempo conocida como ventana. Esta tiende a cero de

1Es como filtrar el contenido de una taza de caf con un gran nmero de filtros, el caf tomara tiempoen caer en la taza, si esto ocurre.


Figura 3.12: Seal peridica muestreada

manera suave hasta las fronteras. El resultado es una seal ventaneada con pequeas onulas discontinuidades en sus fronteras y por lo tanto se reduce la fuga espectral. Se puedenseleccionar diferentes tipos de ventanas, la seleccin depende del tipo de aplicacin y delconocimiento del tipo de seal que se va a medir. La tabla (3.6) muestra algunos tipos deventanas disponibles en LabVIIEW con sus caractersticas ms importantes.

Tabla 3.6: Caractersticas de las principales ventanas.

En este trabajo se utiliz una ventana Hanning, que es implementada por el algoritmoFFT de LabVIEW.

Captulo 4

Desarrollo experimental y anlisis deresultados

En esta seccin se obtiene la respuesta de un sistema mecnico de un grado de liber-tad determinando la probabilidad de alcanzar determinado valor cuando es sometido a unaexcitacin en su base.Primero se obtienen las ecuaciones que describen un sistema mecnico, despus se presenta

una forma en la que se puede obtener la funcin de respuesta de frecuencia y finamente, larespuesta de un sistema ante una excitacin particular.

4.1. Modelo de un sistema mecnico

Con el propsito de poner a prueba las ecuaciones obtenidas en el anlisis terico, seconstruy el modelo del sistema mostrado en la Figura (4.1)

Figura 4.1: Modelo de una estructura simple

35

36 CAPTULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y ANLISIS DE RESULTADOS

El modelo consiste en dos masas concentradas, acopladas por 4 resortes. Las masas soniguales y tienen masa m , los resortes son iguales y tienen constante de restitucin elsticak y amortiguamiento c.En general el sistema es de dos grados de libertad, sin embargo, bajo ciertas restricciones

de la aplicacin de la fuerza F (t), se le puede modelar como un sistema de un grado delibertad. Para lograr obtener este modelo, hay que hacer una distincin importante en laforma en la que acta F (t) sobre la masa. En este caso la fuerza de excitacin est referidaa un sistema de referencia fijo y fuera de la influencia de las fuerzas inerciales causadas porla masa en la que est siendo aplicada. Bajo esta condicin, entonces el sistema se comportacomo un sistema de un grado de libertad con movimiento en su base, es decir la fuerza eslo suficientemente robusta como para superar la influencia del sistema sobre esta. En estascondiciones se supone que la coordenada que describe el movimiento de la masa m es x (t)y el movimiento de la base donde est aplicada F (t) es y (t), como se muestra en la Figura(4.2)

Figura 4.2: Modelo forzado de un grado de libertad

Aplicando la segunda ley de Newton, la ecuacin diferencial que describe el movimientoes

mx+ c (x y) + k (x y) = 0 (4.1)En nuestro caso nos interesa obtener el cociente de amplitudes en el estado estacionario,

esto se debe a que nos interesa obtener la funcin de respuesta de frecuencia como

H () =X ()Y ()

=FT {x (t)}FT {y (t)} =

2FT {x (t)}2FT {y (t)} =

FT {x (t)}FT {y (t)} =

X ()Y ()

En donde |x| y |y| son las amplitudes de las aceleraciones hechas con un par de acelermet-ros. El primer acelermetro mide la aceleracin de la base |y| y el segundo la aceleracin dela masa |x|.Resolviendo la ecuacin diferencial (4.1) y haciendo el cociente de amplitudes se obtiene

XY

=

vuuuut 1 +2 nat

2h1

nat

i2+2 nat

2 (4.2)

4.1. MODELO DE UN SISTEMA MECNICO 37

La Figura (4.3) muestra el comportamiento de la ecuacin (4.2) para distintos valores de. Esta representa el factor con que es amplificada o atenuada la entrada o excitacin y (t)al sistema.

0

2

4

6

8

10

X/Y

2 4 6 8 10w/wn

Figura 4.3: Factor de amplificacin

Para obtener los parmetros que definen el sistema, es decir nat y se tom parte de laestructura como se muestra en la Figura (4.4).

Figura 4.4: Sistema de un grado de libertad

En estas condiciones, se midi la respuesta libre del sistema en aceleracin expresada eng. El resultado se muestra en la grfica de la Figura (4.5). En la grfica se observa que elmovimiento se amortigua con el tiempo y la amplitud disminuye con una razn de cadaentre cada pico muy pequea, esto indica un factor de amortiguamiento pequeo.Para obtener el valor de la frecuencia natural se obtuvo la FFT de la respuesta libre, el

resultado se muestra en la grfica de la Figura (4.6).


0 20 40 60 80 100 120 140

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

Ace

lera

cin

(g)

Tiempo (s)

Respuesta Libre

Figura 4.5: Vibraciones libres amortiguadas

0 5 10 15 20 25 300.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Ace

lera

cin

(g)

Frecuencia (Hz)

Respuesta Libre

Figura 4.6: Espectro de frecuencias del movimiento libre

4.1. MODELO DE UN SISTEMA MECNICO 39

Se puede observar que el espectro de frecuencias tiene un pico en 3.7Hz, por lo tanto lafrecuencia natural de movimiento es

nat = 3.7Hz

El factor de amortiguacin , se determina a partir de la funcin de respuesta en frecuencia,en el punto donde el sistema entra en resonancia1, en este punto

XY

=

p1 + 42

2(4.3)

El valor del cociente en este punto es XY

= 72.6 (4.4)

Despejando de la ecuacin (4.3) y sustituyendo (4.4) se obtiene

= 6. 887 7 103

Ya que < 1, el movimiento es subamortiguado, como puede verse en la Figura (4.5).Hay que mencionar que este valor de es solo una aproximacin, ya que se supone

que el amortiguamiento es viscoso y esto en realidad nos es cierto, sin embargo ya que elamortiguamiento del sistema es pequeo se obtiene una muy buena aproximacin al com-portamiento del sistema, esto puede verificarse comparando las grficas de las Figuras (4.7)y (4.9). Esta forma de modelar el sistema es fcil y da una muy buena aproximacin de larealidad siempre que sea pequeo.En la grfica de la Figura (4.7) se muestra la FRF terica de la ecuacin (4.2).

0

10

20

30

40

50

60

70

X/Y

5 10 15 20 25 30w

Figura 4.7: FRF Terica

1La funcin de respuesta de frecuencia se obtiene en la siguiente seccin, aqu solo se usan los resultados.


4.2. Funcin de respuesta en frecuencia

Segn la ecuacin obtenida para la relacinXY

podemos ver que depende de un cociente

de frecuencias, la de excitacin y la natural no amortiguada del sistema n, y del factor deamortiguamiento . Para obtener experimentalmente la funcin de respuesta en frecuencia, seaplica una funcin de excitacin senoidal en la base del sistema y se mide tanto el movimientode la base como de la masa, esto se realiza para diferentes frecuencias de la fuerza F (t). Estemtodo se ejemplifica en la Figura (4.8).

Figura 4.8: Funcin de respuesta en frecuencia

En nuestro caso nos interesa obtener la funcin de respuesta en frecuencia de aceleraciones,es decir, aplicamos una fuerza F (t) a la base del sistema y medimos tanto la aceleracin dela base, como de la masa y posteriormente obtenemos la cantidad

XY

Esto se realiza para diferentes valores de frecuencia. En este caso, el rango de frecuenciasfue de 0 a 32 Hz en incrementos de 0.1Hz. El resultado de este experimento se muestra enla grfica de la Figura (4.9).Comparando la grfica (4.9) con la grfica (4.7), se observa una gran similitud entre ambas,

esto significa que el modelo propuesto del sistema fsico se aproxima al comportamiento realdel sistema.

4.3. Respuesta a una excitacin singular

En el captulo 1 se obtuvo la relacin existente entre un sistema mecnico y una excitacinque lo perturba. Se obtuvo que las caractersticas del sistema estn dadas por la funcin derespuesta en frecuencia, la cual nos indica el comportamiento del sistema en trminos de lafrecuencia, cuando este es sometido a una aceleracin de amplitud unitaria. La ecuacin quedescribe la funcin de respuesta de frecuencia es

H () =X ()Y ()

(4.5)

4.3. RESPUESTA A UNA EXCITACIN SINGULAR 41

0 5 10 15 20 25 30

0

10

20

30

40

50

60

70

80

ax/a

y (g

/g)

Frecuencia (Hz)

Funcin de respuesta de frecuencia

Figura 4.9: FRF experimental

Por otro lado las caractersticas de la perturbacin estn dadas por la densidad espectralde potencia

S (fn) =CnCn2f

(4.6)

El valor medio cuadrado de la respuesta para valores discretos, en trminos de la excitacines

y2 =Xi

|H (f)|2 Sx (fi)fi (4.7)

Y la forma de calcular los coeficientes Cn est dada por la DFT

Cn =1

N

N1Xr=0

xrei(2nr/N) (4.8)

Se determin que una forma ms prctica y eficiente de calcular los coeficientes de la DFTes mediante el algoritmo FFT.La probabilidad de que ocurra un evento est definida por la expresin [5] (suponiendo

valor medio nulo = 0):

N (x, ) =1

2

Z x

eu2

22 du (4.9)

que corresponde con la distribucin de Gauss.


A continuacin se presenta una descripcin del ensamble utilizado para probar una es-tructura simple, y usar las ecuaciones (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) y (4.9) para describir el com-portamiento del sistema. La configuracin bsica del equipo se muestra en la fotografa dela Figura (4.10).

Figura 4.10: Configuacin elctrica y mecnica

En el centro de la foto se muestra el sistema mecnico modelado, este consiste de un parde masas de aluminio conectadas por dos lminas que hacen la funcin de resortes. La masainferior hace la funcin de entrada y (t), por medio de esta masa se suministra el movimientopara la masa superior, que es la salida x (t).Etapa 1: A la izquierda de cada masa se colocaron los acelermetros. El primer

acelermetro (1) se coloc en la masa inferior, este mide la aceleracin de entrada al sistemaay. El segundo acelermetro (2) se coloc en la masa superior, este mide la aceleracin a lasalida ax. La relacin entre ax y ay est dada por la FRF H ().Etapa 2: Los cables de cada acelermetro se conectaron al conector BNC 2140 que se

observa en la parte inferior a lado derecho de la estructura. El acelermetro 1 se conect enel canal 0 (CH0) y el acelermetro 2 se conect en el canal 1 (CH1). El cable del conectorBNC 2140 se conecta a la tarjeta DSA NI 4552, que se encuentra alojada en la CPU de lacomputadora.Etapa 3: En la parte derecha de la Foto se muestra el excitador mecnico, el movimien-

to mecnico generado por este, est unido rgidamente a la masa inferior a travs de unacoplamiento rgido conocido como stringer, de este modo el movimiento de la masa inferiores exactamente igual2 al movimiento del excitador mecnico. La alimentacin de potencia alexcitador se hace mediante un cable que se conecta al amplificador de seales.Etapa 4: En la Figura (4.11) se muestra una fotografa del equipo de generacin de la

seal mecnica y la PC que hace la funcin de adquisicin y anlisis de la seal mecnicamediante LabView. En la parte izquierda de la foto se muestra la CPU y el monitor, en

2En estado estacionario.


el monitor se observa el resultado de la FFT calculada para la seal medida. En la partederecha de la foto se muestra el generador de funciones y el amplificador de seales. Conel generador de funciones se programa la seal elctrica que ser la ley de movimiento delexcitador. El amplificador proporciona la potencia para el funcionamiento del excitador.

Figura 4.11: Configuracin elctrica y mecnica

Para excitar al sistema se program una funcin cuadrada de 3Hz y se midi al mismotiempo la aceleracin de entrada y la aceleracin de salida en cada masa.En la grfica de la Figura (4.12) se muestra la aceleracin en la entrada3 ay en el tiempo

para un lapso de 10 s.

0 5 10

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

ay (g

)

t (s)

Exitacin

Figura 4.12: Respuesta en el tiempo

En la grfica de la Figura (4.13) se muestra la respuesta en el tiempo ante la excitacindel sistema para un lapso de 10 s. Se observa una aceleracin mxima de 0.09 g.

3Las medidas hechas por el acelermetro son de aceleracin en g, por lo que no se espera observar unafuncin cuadrada en la respuesta medida.


0 5 10-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

ax (g

)

t (s)

Respuesta Forzada

Figura 4.13: Respuesta en el tiempo

En la grfica de la figura (4.14) se muestra La FFT de la excitacin. A partir de estagrfica se pueden determinar los valores de los coeficientes |Cn| calculados con la ecuacin(4.8) mediante el algoritmo de la FFT calculado por LabView.

0 5 10 15 20 25 300.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

ay (g

)

f (Hz)

FFT de la Exitacin

Figura 4.14: FFT de la funcin de excitacin

La grfica de la Figura (4.15) muestra la PSD de la excitacin calculada mediante laecuacin (4.6).Aplicando la ecuacin (4.7) con la PSD y la FRF obtenidas experimentalmente, la

aceleracin media cuadrada de la respuesta es

a2x = 0.003946622 g2

Por lo tanto la desviacin estndar es


0 5 10 15 20 25 300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

S y (g

2 /Hz)

f (Hz)

PSD de la Exitacin

Figura 4.15: Densidad espectral de potencia de la excitacin

pa2x = = 0.062822144 g

Deseamos conocer la probabilidad de que la aceleracin de ax sea mayor que a = 0.05g,que es un valor cercano . Usando la distribucin de probabilidad dada por la ecuacin (4.9)se obtienen las probabilidades que se muestran en la tabla 4.1.

Tabla 4.1

a N (, ) Pr (ax 0.05) Pr(0 ax 0.05) Pr (ax 0.05) Ordenada a a = 0.050.05 N (0, 0.0628) 0.78695 0.28695 0.21305 4.6264

El valor de cada probabilidad, indica el porcentaje del tiempo total en el que la aceleracinax, se encuentra en dicho intervalo de aceleraciones.

Por ejemplo, la probabilidad Pr (ax 0.05) = 0.78695 representa el porcentaje del tiempototal en el que la aceleracin ax es menor que a = 0.05g, de la misma forma Pr (ax 0.05) =0.21305 representa el porcentaje del tiempo total en el que la aceleracin ax es mayor que elvalor a = 0.05g. Estos resultados pueden verificarse en la Figura (4.13).

Deseamos ahora saber la probabilidad de que la aceleracin ax sea mayor que a = 0.1g,que es valor lejano de . Usando la distribucin de probabilidad dada por la ecuacin (4.9)


se obtienen las probabilidades que se muestran en la tabla 4.2.

Tabla 4.2

a N (, ) Pr (ax 0.1) Pr(0 ax 0.1) Pr (ax 0.1) Ordenada a a = 0.10.1 N (0, 0.0628) 0.94428 0.44428 5.5715 102 1.7889

La probabilidad Pr (ax 0.1) = 0.94428 representa el porcentaje del tiempo total en el quela aceleracin ax es menor que a = 0.1g, de la misma forma Pr (ax 0.1) = 5.5715 102representa el porcentaje del tiempo total en el que la aceleracin ax es mayor que el valora = 0.1g. Estos resultados pueden verificarse en la figura (4.13).

Captulo 5

Conclusiones

La respuesta de un sistema vibratorio forzado de un grado de libertad, pude describirseestadsticamente, conociendo las caractersticas frecuenciales de la fuerza de excitacin yel comportamiento del sistema en el dominio de la frecuencia. La respuesta del sistema seexpresa en trminos del valor absoluto de la funcin de respuesta en frecuencia (FRF) y de ladensidad espectral de potencia (PSD) de la excitacin, para obtener el valor medio cuadradode la respuesta de aceleracin ax en trminos de la excitacin de aceleracin ay, siempre quela fuerza que excita al sistema sea estacionaria y ergdica.Las caractersticas frecuenciales de una seal se pueden conocer a travs de su contenido

de energa, ste se describe en el dominio de la frecuencia mediante la densidad espectral depotencia (PSD) y el clculo de los coeficientes de la PSD se hace mediante la transformadadiscreta de Fourier (DFT) usando el algoritmo de la transformada rpida de Fourier (FFT).El anlisis de Fourier es una herramienta matemtica con la que se puede expresar una

funcin del tiempo, continua o discreta, en otra funcin de la frecuencia, con la cual se puedeextraer informacin til para analizar la respuesta de un sistema.En el caso discreto, los coeficientes que definen la PSD estn dados por la DFT y se

calculan mediante al algoritmo de la FFT, ya que reduce la cantidad de operaciones realizadasy disminuye el error en los clculos.En este caso el sistema que se construy model a un sistema mecnico de dos grados de

libertad no forzado, pero tambin se pudo configurar como un sistema de un grado de libertadforzado, siendo que uno de los grados de libertad acta como entrada para el otro, esto esposible si la fuerza de excitacin est referida a un sistema inercial fijo y es lo suficientementerobusta como para superar los efectos inerciales del sistema sobre esta.Se comprob que la la funcin de respuesta en frecuencia coincide con la funcin de

transferencia que expresa el comportamiento de un sistema vibratorio en el dominio de lafrecuencia, la cual est definida como el cociente entre la transformada de Fourier de la salidax y la entrada y, en el estado estableFinalmente en este trabajo tambin se verifico que una medida de la probabilidad de que

la respuesta del sistema vibratorio se encuentre en un rango determinado, se obtiene comola ocurrencia de una aceleracin en ciertos instantes de tiempo, mediante la distribucin de

47

48 CAPTULO 5. CONCLUSIONES

probabilidad de Gauss. Y debido al comportamiento asinttico de dicha distribucin, habrsiempre una probabilidad de que el sistema rebase un valor especificado.El proceso de adquisicin y anlisis de seales, consiste en: transformar la variable fsica

en estudio en una seal de voltaje o de corriente a travs de un transductor; muestrear yacondicionar la seal elctrica, por medio de una tarjeta de adquisicin de datos y analizarlas seales adquiridas por medio de algn software usando ventanas y filtros de tipo virtualy con esto se obtienen las caractersticas espectrales descritas por la PSD de una seal.

Bibliografa

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49

50 BIBLIOGRAFA

Documents

Análisis de La Respuesta de Sistemas Vibratorios