Análisis de la Respuesta Transitoria y estacionaria de Sistemas Dinámicos

Matemáticas en Todo y Para Todos

Noviembre 5 de 2012

NOTA: Las figuras utilizadas en esta presentación son utilizadas para fines didácticos, y no de lucro.A través de “google figuras”, se han obtenidos dichas gráficas desde diferentes websites.

Dr. Francisco Palomera PalaciosDepto de Mecatrónica y AutomatizaciónITESM Campus Monterreyfpalomera@itesm.mx

Agenda

1) Introducción

2) Importancia de la respuesta transitoria y de estado estacionario.

3) Análisis intuitivo de ambas respuestas.

4) Dos modelos de interés de ecuaciones diferenciales lineales para el estudio de sistemas dinámicos (primer y segundo orden).

5) La Transformada de Laplace en el análisis y solución de las ecuaciones diferenciales c.c.c.(La función de transferencia y la función respuesta)

5) Teoremas básicos: del Valor inicial y del valor final.

6) Controlando el comportamiento deseado de la respuesta transitoria y de estado estacionario de un sistema de control.

7) Conclusiones.

A qué nos referimos cuando mencionamos “ respuesta transitoria y de estado estacionario”.

Aunque sabemos que al subir de un piso a otro por un elevador, la altura aumenta, ¿cómo graficamos ese comportamiento en el dominio del tiempo hasta alcanzar la altura (piso) deseada?

t0

Análisis del comportamiento de la respuesta de sistemas físicos.

Comportamientos en el tiempo de la temperatura cuando al ser modificada dentro de una incubadora

Comportamiento del movimiento de los ejes “X”, “Y”, “Z”, de un brazo manipulador que guía un rayo laser para realizar cortes en una pieza.

Posicionamiento de una plataforma utilizada para abordar/descender pasajeros de un avión.

Comportamiento del corazón a través de un Electrocardiograma

Perfil de temperaturas en un horno de tratamiento térmico.

Ejemplo 1: ¿Dónde empieza y termina una respuesta transitoria y una en estado estacionario en una gráfica en el dominio del

tiempo? (interpretación intuitiva)

Tiempo de la respuesta transitoria Estado estacionario

Ejemplo 2: ¿Dónde empieza y termina una respuesta transitoria y una en estado estacionario en una gráfica en el dominio del

tiempo? (respuesta oscilatoria)

Tiempo de la respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario

Pero ¿Por qué la importancia de conocer y analizar la respuesta transitoria y de estado estacionario de un sistema?

Comportamientos en el tiempo de la temperatura cuando al ser modificada dentro de una incubadora

Comportamiento del movimiento de los ejes “X”, “Y”, “Z”, de un brazo manipulador que guía un rayo laser para realizar cortes en una pieza.

Comportamientos del posicionamiento de una plataforma utilizada para abordar/descender pasajero de un avión.

Para cada uno de los casos mostrados, ¿cuál de las tres respuestas sería un comportamiento deseable?

R = conocer qué tan rápido se alcanza el valor deseado de la respuesta, y qué comportamiento ocurre en ese inter de tiempo.

La transformada de Laplace en el análisis y solución de ecuaciones diferenciales lineales c.c.c.

𝑑2 𝑦 (𝑡)𝑑 𝑡2 +5

𝑑𝑦 (𝑡)𝑑𝑡

+6 𝑦 (𝑡 )=18𝑚 (𝑡 ) ;𝑐𝑜𝑛𝒄 .𝒊 .𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 ,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑢𝑛𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝒎(𝒕 )

Aplicar la transformada de Laplace a cada término

i) Considero que las c. i. 0.ii) No sustituyo la expresión para M(s)

Obtengo la Función de Transferencia: G(s)

i) Sustituyo las c. i. dadas.ii) Sustituyo la expresión equivalente para M(s)

Obtengo la Función Respuesta: Y(s)Y(s)

;y(0) = 2y’(0)=0

Modelado de sistemas físicos mediante ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Dos tipos de ecuaciones diferenciales lineales son muy utilizados para analizar y describir el comportamiento de sistemas físicos:

.

Para cada uno de los dos modelos de ecuación diferencial lineal, el valor de sus parámetros, nos permiten conocer el comportamiento de su respuesta transitoria y de estacionario ante señales forzantes conocidas.

Para un sistema que es modelado con un ecuación diferencial lineal de Primer Orden

+ y(t) = 2 u(t); y(0) = 1.4; u(t) es una entrada escalón de magnitud 4.

Análisis: = = + ;

1] ¿Por qué y(0) = 1.4?

2] ¿Cómo podemos evaluar y()?

i) A partir de y(t)ii) A partir de Y(s)

Ambas por el teorema del Valor Final

Para un sistema que es modelado con un ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

Si un sistema físico es representado por la ecuación diferencial + y(t) = 2 u(t); y(0) = 1.4; u(t) es una entrada escalón de magnitud 4.

Obtener la solución de la ecuación diferencial, y(t).

Solución:Utilizando el operador “D” para la homogénea: 5D + 1 = 0; D= -1/5 = -0.2

Utilizando la Transformada de Laplace:] + L[y(t)] = L[1.4 u(t)] = 1.4 [ ] = ;5s Y(s) – 5y(0) + Y(s) = Y(s) [5s + 1] = + 5(1.4) = = = +

Mediante esta expresión evaluamos la magnitud de la respuesta en estado transitorio y en estado estacionario.

¿En el dominio del tiempo o Laplace?

i) ¿Cuál respuesta de los tres sistemas crece más rápido en el tiempo?

ii) ¿En cuánto se aumenta el valor de la magnitud de la respuesta cada vez que transcurre un valor de tiempo t = ?

iii) ¿Cuál respuesta alcanzará el mayor valor en estado estacionario?

(1)

…………. (2)

……….. (3)

𝑆𝑖𝒎 (𝒕 )𝑒𝑠𝑢𝑛𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙 ó𝑛𝑑𝑒𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑨

Análisis de la Respuesta Transitoria de un sistema de primer orden ante una entrada escalón.

t y(t) Comentario

t = 0 y(t) no ha aumentado y permanece en su valor inicial.

t = y(t) incrementa su valor en 0.632 del valor total AK.

t=2 y(t) incrementa su valor en 0.864 del valor total AK

t= 3 y(t) incrementa su valor en 0.9502 del valor total AK

t= 4 y(t) incrementa su valor en 0.982 del valor total AK

t= 5 y(t) incrementa su valor en 0.9932 del valor total AK

... ...

t = AK y(t) alcanza su máximo valor de estado estable que es AK.

-0AK[1- ] = AK[1- 1] = 0e

-τ τ -1AK[1- ] = AK[1- ] = 0.632 AKe e

-2τ τ -2AK[1- ] = AK[1- ] = 0.864 AKe e

AK[1 ] AK[1 ] 0.9502 AK-3 τ -1

e e

-4τ τ -4AK[1- ] = AK[1- ] = 0.982 AKe e

-5τ τ -5AK[1- ] = AK[1- ] = 0.9932 AKe e

Si analizamos que y(t = ) alcanza el 0.632 de AK, el valor que le falta para alcanzar su valor de estado estable es (1-0.632) de AK. Consideramos ahora que en t = 2, la respuesta y(t) se incrementa: (1-0.632)(0.632)AK = (0.368)(0.632) AK = 0.2325 AK. Si sumamos este valor al obtenido en y(t = ), obtenemos que: 0.632AK + 0.2325 AK = 0.8645 AK, que corresponde al valor alcanzado por y(t = 2). Siguiendo un razonamiento similar al anterior se pude comprobar el crecimiento de y(t) de acuerdo a los valores obtenidos en la Tabla .

Teoremas de evaluación de una función: valor inicial y del valor final

Donde: Y(s) = L[y(t)]

Análisis del efecto del valor de los parámetros K y en los sistemas modelados como primer orden, en su respuesta

transitoria y de estado estacionario.

𝐺3 (𝑠 )= 21.2𝑠+1

𝐺2 (𝑠 )= 43.6 𝑠+1 𝐺1 (𝑠 )= 4

1.2𝑠+1G

Análisis del efecto del valor de los parámetros en los sistemas modelados como segundo orden en su respuesta transitoria y de estado estacionario.

; efecto del valor de la razón de amortiguamiento

> 1 = 1

0 < < 1

Analogía de Sistemas Físicos

Comportamiento de carga y descarga de un circuito RC eléctrico

Cuya analogía con otros sistemas térmico, hidráulico, fisiológico,…puede ser aplicada para su análisis.

Control automático de la altura de una plataforma de abordaje/descenso

Powersupply drive

Controladorde posición

posición: p(t)

Entrada/salidade pasajeros

SP: r(t)

De las tres gráficas de respuesta en el tiempo, ¿Cuál sería la respuesta deseable, y por qué?

Algunas conclusiones

i) La respuesta transitoria de un sistema contiene información relevante antes de tomar su valor en estado estacionario, ignorarla, es como no ver la película completa.

ii) Se puede modificar la forma y magnitud de la respuesta transitoria de un sistema de manera natural o mediante un controlador.

iii) En procesos de producción entre más pronto se alcance y se mantenga el estado estacionario, la producción inicia más pronto y con una mejor calidad de producción.

iv) La respuesta transitoria puede mostrar el efecto del valor de los parámetros, como en el caso de los sistemas de primer orden ante una entrada escalón.

v) Los sistemas de primer y segundo orden, son dos modelos muy utilizados en la representación de sistemas dinámicos.

vi) ….

Respuesta transitoria y de estado estacionario de sistemas dinámicos.

Hay un dicho: “Después de la tempestad viene la calma”

Será que también se puede parafrasear como:

¿después del estado transitorio viene el estado estacionario?

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