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MODELOS DE PRONOSTICOS
Anlisis de regresin mltiple
Segundo semestre 2012
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El modelo lineal de tres variables
El anlisis de regresin mltiple se usa para probar hiptesis acerca
de la relacin entre una variable dependiente Y, y dos o ms
variables independientes Xs. El modelo se escribe como:La suposicin
adicional (a la del modelo de regresin simple) es que no hay
relacin lineal exacta entre las XsA partir de las ecuaciones
normales se obtienen las siguientes expresiones
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El modelo lineal de tres variables
El estimador B2 mide el cambio en Y por variaciones unitarias en X1
mientras se mantiene constante X2, B3 se define anlogamente. Los
estimadores se llaman coeficientes de regresin parcial y son MELI
(mejores estimadores linealmente insesgados).Ejemplo:Considere la
siguiente tabla la cual nos entrega la relacin entre la cantidad de
maz Y explicado por la cantidad de fertilizante X1i y la cantidad
de insecticida
X2i.AoYX1X2yx1x2x1yx2yx1x2x12x2219714064-17-12-82041369614464197244104-13-8-8104104646464197346125-11-6-76677453649197448147-9-4-53645201625197550169-5-2-3101564919765818121000000019776022143421268164197868242011686688483664197974262117891361537264811980803224231412322276168196144n=10Sm=570Sm=280Sm=120Sm=0Sm=0Sm=0Sm=956Sm=900Sm=524Sm=576Sm=504
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El modelo lineal de tres variables
Con lo anterior se puede calcular:Finalmente la ecuacin de regresin
queda de la forma:
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Prueba de significacin de los estimadores de parmetros
Con el fin de probar la significacin estadstica de los estimadores
de parmetros de la regresin mltiple, se requiere conocer la
varianza de estos estimadoresComo vimos antes la varianza del error
es desconocida por lo tanto ocupamos una estimacin insesgada de
esta
Donde k es el nmero de parmetros estimados
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Prueba de significacin de los estimadores de parmetros
Luego las estimaciones insesgadas de la varianza son las
siguientesAplicando raz cuadrada a las cantidades anteriores se
obtienen los errores estndares de cada estimador
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Prueba de significacin de los estimadores de parmetros
EjemploConsideremos la tabla anterior acerca de la produccin de maz
considerando la cantidad de fertilizantes y la cantidad de
insecticida.AoYX1X2Y
estimadoee2y21971406440.32-0.320.102428919724410442.921.081.166416919734612545.330.670.448912119744814748.85-0.850.72258119755016952.37-0.370.136925197658181257.001.001.00001197760221461.82-1.823.31249197868242069.78-1.783.1684121197974262172.191.813.2761289198080322479.420.580.3364529n=10Sm=570Sm=280Sm=120Sm=0Sm=13.6704Sm=1634
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Prueba de significacin de los estimadores de parmetros
Usando los valores de ambas tablas presentadas se obtiene:Por lo
tanto
Puesto que ambos estadsticos de prueba exceden el valor de t los
estimadores son estadsticamente significativos
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Coeficiente de determinacin mltiple
El coeficiente de determinacin mltiple, R2, se define como la
proporcin de la variacin total de Y explicada por la regresin
mltiple de Y sobre X1 y X2, se puede calcular de la siguiente
forma:Considerando que el aumento de variables independientes o
explicativas probablemente incremente la SEC para una misma STC, lo
que implica un aumento de R2. Para tomar en cuenta esto, se calcula
un R2 ajustado
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Coeficiente de determinacin mltiple
EjemploEl R2 para el ejemplo de maz-fertilizante-insecticida
es:Entonces se debe corregir este valor, de la forma:
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Prueba de significacin global de regresin
La significacin global de la regresin se puede probar con la
relacin de la varianza explicada a la varianza no explicada, es
decir una relacin entre el origen de la varianza de la regresin y
la varianza del error.Esta sigue una distribucin F con k-1 y n-k
grados de libertad, donde n es el nmero de observaciones y k es el
nmero de parmetros estimados;Si la relacin F calculada excede el
valor tabulado de F a nivel especificado de significacin y grados
de libertad, se rechaza la hiptesis nula de que todos los parmetros
de la regresin son iguales a cero.
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Prueba de significacin global de regresin
EjemploPara probar la significacin global de la regresin estimada
al nivel de significacin, podemos usar R2=0.9916, es as que:Ya que
el valor de F calculado excede al valor de F tabulado se puede
rechazar la hiptesis de que los parmetros de estimacin B2 y B3, son
iguales a cero y se puede afirmar que R2 es significativamente
diferente a cero
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Coeficiente de correlacin parcial
El coeficiente de correlacin parcial mide la correlacin neta entre
la variable dependiente y una variable independiente despus de
excluir la influencia que sobre ellas dos ejercen las otras
variables independientes del modelo. Por ejemplo rYX1,X2 es la
correlacin parcial entre Y y X1, despues de eliminar la influencia
de X2 sobre Y y sobre X1Donde rYX1 es el coeficiente de correlacin
simple entre Y y X1, y rYX2, rX1X2 se definen en forma anloga. Los
coeficientes de correlacin parcial oscilan entre -1 y 1, tienen el
signo del parmetro estimado correspondiente, y se usan para
determinar la importancia relativa de las diferentes variables
explicativas en una regresin mltiple
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Coeficiente de correlacin parcial
EjemploConsiderando el problema maz-fertilizante-insecticida se
tiene:
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Coeficiente de correlacin parcial
Por lo tanto X2 es ms importante que X1 para explicar la variacin
en Y.Los resultado globales del ejemplo de
maz-fertilizante-insecticida se puede resumir como:
-
Resultados
-
Resultados
Hay alta significatividad conjunta en los coeficientes
-
Resultados
Todos los coeficientes son significativos (se comprueba con
intervalos de confianza positivos)
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Resultados
Correlacin parcial entre Y y X1 despus de eliminar la influencia
de X2 sobre Y y sobre X1
Correlacin simple entre Y y X1
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Resultados
Informacin sobre valores pronosticados y residuos
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Resultados
Los residuos no siguen una distribucin aproximadamente
normal
Se puede hacer prueba ks
-
Resultados
???
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Resultados
No hay homoscedasticidad (no hay relacin)
Se puede hacer prueba homoscedasticidad
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Resultados
Relacin fertilizante-rendimiento
-
Resultados
Relacin fertilizante- insecticida
-
Resultados
Valores pronosticados
Intervalo de confianza para la media
Intervalo de confianza para valores individuales
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