Tema 5Tema 5

ANALISIS DE TRANSITORI

CIRCUITS I COMPONENTS CIRCUITS I COMPONENTS ELECTRONICSELECTRONICS

2Ll. Ferrer

ÍndexÍndex

Condensadors i bobines. Equivalent sèrie i paral·lel de condensadors i bobines.Circuits RC i RL sense fonts (descarrega).Aplicació d’una tensió continua a circuits RC i RL (càrrega). Definició de transitori i estacionari.Resposta de circuits RC i RL davant de qualsevol tipus d’excitació.

3Ll. Ferrer

CondensadorCondensador

Definició de condensador(1):– Dispositiu format per dos plaques o làmines separades

per un dielèctric, que emmagatzema energia en forma de camp elèctric produït per la càrrega desplaçada en les plaques.

Definició de dielèctric :– Material aïllant en el interior del qual es pot establir un

camp elèctric sense pèrdua d’energia.

Estructura :+ + + + + +

- - - - - -

EDielèctric

Plaques + + + + + +

- - - - - -

E

Emmagatzema energia

4Ll. Ferrer

CondensadorCondensador

Definició de condensador(2):– Es un element passiu de dos terminals en que la

intensitat de corrent que el travessa és proporcional a la variació respecte el temps de la tensió entre els seus terminals.

ttvCti

∂∂⋅=

)()(i= intensitat (A).C = capacitat(Farads)v = tensió (V)t = temps(s)

i= intensitat (A).C = capacitat(Farads)v = tensió (V)t = temps(s)

(m.) plaques entredistancia )s(menfrontade plaquesarea A ||buit dela dielèctric Cte.

.dielèctric dela dielèctric . || F)capacitat(2

o

r

===

==

⋅⋅=

d

CteCdAC or

ε

ε

εεCapacitancia :

5Ll. Ferrer

CondensadorCondensador

Potència en el condensador :

dttvtvCtitvtp )()()()()( ∂

⋅⋅=⋅=

Energia en el condensador :

wvCvvCw

ttvvCttpw

=⋅⋅=∂⋅=

∂⋅∂∂⋅⋅=∂⋅=

∫∫∫

2

21

)(

Si v(t) >0 i ↑⇒ p>0

Si v(t) >0 i ↓⇒ p<0

Si v(t) >0 i ↑⇒ p>0

Si v(t) >0 i ↓⇒ p<0

No dissipa energia sols hi ha

transferència

No dissipa energia sols hi ha

transferència

Símbol : i(t)v(t)+

-

6Ll. Ferrer

Tipus de condensadorsTipus de condensadors

No polaritzats :– Paper impregnat.

– Plàstic.

– Ceràmica.

– Mica.

Polaritzats :– Elèctrolitics.

– De tantal.

7Ll. Ferrer

Característiques tècniquesCaracterístiques tècniques

Valor nominal.

Tensió màxima de funcionament.

Tensió de pic.

Tolerància (sol ser gran).

Coeficient de temperatura :

C. PPM/ºunitats en 106⋅∆⋅

∆=

TCCCT

8Ll. Ferrer

BobinaBobina

Definició de Bobina(1):– Dispositiu que emmagatzema energia en un camp

magnètic produït per el corrent que circula per ella.

Estructura :i(t)i(t) Secció=A

nucli

N = nº de voltes l

bobina(m.) longitudl )bobina(m secció A

espires.d' nº N aire. del perm.

nucli. del perm. (Henris)a inductanciL

2

o

r

2

==

====

⋅⋅⋅=

µµ

µµlANL or

InductanciaInductancia

9Ll. Ferrer

BobinaBobina

Definició de Bobina(2):– Es un element en que la tensió instantània entre els seus

terminals es directament proporcional a la variació de la intensitat que la travessa respecte el temps.

Llei de Faraday :– Un flux magnètic variable en el temps indueix una

tensió en una bobina.

ttiL

t

tiNL

Ntvti

NL

tNtv

∂∂⋅=

∂

⋅∂

⋅=⋅=Φ

∂Φ∂

⋅=)(

)()(

)(

)(

10Ll. Ferrer

BobinaBobina

Potència en la bobina :

dttitiLtitvtp )()()()()( ∂

⋅⋅=⋅=

Energia en la bobina :

wiLiiLw

ttiiLttpw

=⋅⋅=∂⋅=

∂⋅∂∂⋅⋅=∂⋅=

∫∫∫

2

21

)(

Si i(t) >0 i ↑⇒ p>0

Si i(t) >0 i ↓⇒ p<0

Si i(t) >0 i ↑⇒ p>0

Si i(t) >0 i ↓⇒ p<0

No dissipa energia sols hi ha

transferència

No dissipa energia sols hi ha

transferència

Símbol :+

i(t)v(t)

-

11Ll. Ferrer

Condensadors en sèrieCondensadors en sèrie

+

-

C1 V1

C2 V2

CN VN

i

V

+

+

+

Ci ....

....

1

122

11.

21

=∂∂

⇒=∂∂⋅=

∂∂⋅=

∂∂⋅=

+++=

tv

tvC

tvC

tvCi

vvvv

eq

N

tvC

tv

CCC

i

iCCCt

vtv

tv

eq

N

N

∂∂⋅=

∂∂⋅

+++=

⋅

+++=

∂∂

++∂∂

+∂∂

=∂∂

.

21

21

N21

1......... 111

1....11t

v .....

Neq CCCC1.....111

21.+++=

12Ll. Ferrer

Condensadors en Condensadors en paralparal··lellel

tvCi

tvCi

tvCi

iiii

eq

n

∂∂⋅=

∂∂⋅=

∂∂⋅=

+⋅⋅⋅⋅++=

2211

.

21

||

( )tvCCC

tvC

tvC

tvC

tvCi nneq ∂

∂⋅+⋅⋅⋅++=

∂∂⋅+⋅⋅⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂⋅= 2121.

( )neq CCCC +⋅⋅⋅++= 21.

+

-

C1 C2 CN

i

i1 i2 in

V

13Ll. Ferrer

Bobines en sèrieBobines en sèrie

-

+i

L1 V1

L2 V2

Ln Vn

V

+

+

+ ||

....

2211

21

tiLv

tiLv

tiLv

vvvv

eq

N

∂∂⋅=

∂∂⋅=

∂∂⋅=

+++=

( )tiLLLv

tiL

tiL

tiL

tiLv

n

neq

∂∂⋅+⋅⋅⋅++=

∂∂⋅+⋅⋅⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂⋅=

21

21.

( )neq LLLL +⋅⋅⋅++= 21.

14Ll. Ferrer

Bobines en Bobines en paralparal··lel lel

n

n

nn

n

Lv

ti

Lv

ti

Lv

ti

tiL

tiL

tiLv

iiii

=∂∂

=∂∂

=∂∂

∂∂⋅=

∂∂⋅=

∂∂⋅=

+⋅⋅⋅⋅++=

|| ||

2

2

1

1

.2

.21

.1

21

tiL

ti

LLL

v

vLLLt

iti

ti

eq

n

n

∂∂⋅=

∂∂⋅

+++=

⋅

+++=

∂∂

++∂∂

+∂∂

=∂∂

.

21

21

n21

1......... 111

1....11ti .....

neq LLLL1.....111

21.+++=

+

-

i

i1 i2 in

L1 L2 LnV

15Ll. Ferrer

Descàrrega d’un condensadorDescàrrega d’un condensador

-Ic

VcCRVcc

12

t=0

++

--

En el instant t=0 tanquem el interruptor i el condensador es descarrega a traves de la resistència

dtdVCRV

RIV

CC

CC

⋅⋅−=

⋅−=⇒ kirchoff Apliquem

KCRtV

KdtCRV

dVVdVdt

CR

C

C

C

C

C

+⋅

−=

+⋅

−=

=⋅

−

∫∫ln

1

1 integrem i s variableSeparem

CRt

C

C

c

eVV

VCRtV

KVVt

⋅−

⋅=

+⋅

−=

==⇒=

0

0

0

lnln

ln)0(ln0 Kde valor el treïeminicials condicions les De

CRt

C eVV ⋅−

⋅= 0

16Ll. Ferrer

Descàrrega d’un condensadorDescàrrega d’un condensador

La intensitat la trobem derivant la tensió del condensador respecte el temps.

RVeIe

CRVC

dtdVCI CR

tCRt

CC

000

0 I || −=⋅=⋅⋅

⋅−=⋅= ⋅−

⋅−

Es defineix Tau = R·C i te unitats de tempsEs defineix Tau = R·C i te unitats de temps

Forma de la tensió i la intensitat de

descarrega d’un condensador

Forma de la tensió i la intensitat de

descarrega d’un condensador

0CRt

C eII ⋅−

⋅=

17Ll. Ferrer

Càrrega d’un condensador a una Càrrega d’un condensador a una tensió constanttensió constant

En el instant t=0 tanquem el interruptor i el condensador es carrega a traves de la resistència

)( kirchoff Apliquem tuVVdtdVCR SC

C ⋅=+⋅⋅⇒

KtCR

VV

KdtCRVV

dV

CS

Cs

C

+⋅⋅

=−−

+⋅⋅

=− ∫∫

1)ln(

1integrem i s variableSeparem

Ic

VcC

R

Vs

12

t=0

+

-

+ -

CRt

SSC

CRt

SCS

SCS

SC

eVVV

eVVV

VCRtVV

VKVt

⋅−

⋅−

⋅−=

⋅=−

+⋅

−=−

−=⇒=⇒=

)ln()ln(

)ln(00 Kde valor el trobeminicials condicions les De

−= ⋅

−CRt

SC eVV 1

18Ll. Ferrer

Càrrega d’un condensador a una Càrrega d’un condensador a una tensió constanttensió constant

La intensitat la trobem derivant la tensió del condensador respecte el temps.

RVIeI

dtdVCI SCR

tC

C =⋅=⋅= ⋅−

00 || 0CRt

C eII ⋅−

⋅=

Forma de la tensió en el condensador

Forma del corrent de càrrega

19Ll. Ferrer

Definició de transitori i estacionariDefinició de transitori i estacionari

Definició de transitori :– Part de la resposta que tendeix a zero quan el temps

tendeix a infinit. Està determinat pel circuit.

Definició de estacionari o regim permanent :– Part de la resposta que no tendeix a zero quan el temps

tendeix a infinit. Està determinat per l'excitació.

−= ⋅

−CRt

SC eVV 1 CRt

S eV ⋅−

⋅− SV

Resposta Transitori Permanent

20Ll. Ferrer

Resposta de circuits RC davant de Resposta de circuits RC davant de qualsevol tipus d’excitacióqualsevol tipus d’excitació

Forma general de resoldre E.D.L. de primer ordre amb coeficients constants :

)()()( tfatVbdttdV

⋅=⋅+

+∂⋅⋅⋅⋅= ∫− KttfaeetV btbt )()(

E.D.L.

Solució general

Per qualsevol entrada f(t) sempre hi haurà un transitori : e-bt · K. Donat que b sempre és positiu.K és determinat per les condicions inicials del circuit.