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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INGENIERÍA DE CONTROL M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ
1
Análisis del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) o Método de Evans La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia la cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto. Sea el siguiente sistema de control
La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son
( )( )4
KG s
s s=
+
( )( ) 2 4
C s K
R s s s K=
+ +
La ecuación característica de lazo cerrado
2 4 0s s K+ + =
Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son
1 2, 2 4s s K= − ± −
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2
K 1s 2s
0 -4 0
1 -3.732 -0.267
2 -3.414 -0.585
3 -3 -1
4 -2 -2
5 -2-i -2+i
8 -2-2i -2+2i
13 -2-3i -2+3i
Lugar geométrico de las raíces
De la grafica: El sistema es estable si 0K > , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo
del plano s .
Respuesta transitoria
1. Sobreamortiguada ( )1ζ > (Polos reales y diferentes)
0 4K< <
2. Críticamente amortiguada ( )1ζ = (Polos reales e iguales)
4K =
3. Subamortiguada ( )0 1ζ< < (Polos complejos conjugados)
4K >
4. Sin amortiguamiento ( )0ζ = (Polos imaginarios)
No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.
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3
Gráfica del lugar geométrico de las raíces Considere el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es
( )( )
( )( ) ( )1
C s G s
R s G s H s=
+
La ecuación característica de este sistema es
( ) ( )1 0G s H s+ =
o bien
( ) ( ) 1G s H s = −
El término ( ) ( )G s H s es un cociente de polinomios en s .
Como ( ) ( )G s H s es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo
Condición de ángulo
( ) ( ) ( ) ( )180º 2 1 0,1, 2,G s H s k k∠ = ± + = K
Condición de magnitud
( ) ( ) 1G s H s =
Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud. Magnitud y Ángulo en el plano s.
Por ejemplo Si ( ) ( )G s H s es
( ) ( )( )
( )( )( )( )1
1 2 3 4
K s zG s H s
s p s p s p s p
+=
+ + + +
en donde 2 3p y p− − son polos complejos conjugados, el ángulo de ( ) ( )G s H s es
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 4G s H s s z s p s p s p s p∠ = ∠ + − ∠ + − ∠ + − ∠ + − ∠ +
( ) ( ) 1 1 2 3 4G s H s φ θ θ θ θ∠ = − − − −
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4
La magnitud de ( ) ( )G s H s para este sistema es
( ) ( ) 1
1 2 3 4
K s zG s H s
s p s p s p s p
+=
+ + + +
( ) ( ) 1
1 2 3 4
K BG s H s
A A A A=
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5
Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. 1 Inicio y final de las trayectorias
Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto
( ) ( )G s H s con 0K = y terminan en los ceros de ( ) ( )G s H s o en el infinito (ceros finitos o
ceros en infinitos) con K = ∞ . 2 Trayectorias sobre el eje real:
Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Existen trayectorias sobre el eje real si la cantidad total
de polos y ceros reales de ( ) ( )G s H s a la derecha de un punto de prueba es impar.
3 Ubicación de los ceros infinitos:
Cuando el lugar geométrico de las raíces tiende a infinito ( )s → ∞ lo hace en forma
asintótica (en línea recta).
a Número de asíntotas ( )As#
zp nnAs −=#
donde:
=pn Número de polos de ( ) ( )sHsG
=zn Número de ceros finitos de ( ) ( )sHsG
b Centroide de las asíntotas ( )oσ
zp
iio
nn
ZP
−
∑−∑=σ
donde:
=∑ iP Suma de valores de los polos
=∑ iZ Suma de valores de los ceros
c Angulo de las asíntotas ( )As∠
( ) ( )K
o
,2,1,012180
=−
+±=∠ k
nn
kAs
zp
4 Puntos de quiebre o de ruptura ( )qS
a Cuando existen trayectorias entre dos polos o dos ceros reales, existe puntos de ruptura en el cuál el lugar de las raíces deja el eje real.
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Procedimientos para determinar los puntos de quiebre
i) De la ecuación característica, despejar K ii) Derivar una vez con respecto a s e igualar a cero la ecuación resultante.
iii) Obtener las raíces de la ecuación obtenidas en el inciso (ii) , seleccionar el o los puntos de quiebre del sistema.
Si ( ) ( ) ( )( )sB
sKAsHsG =
La ec. característica sería ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) 011 =+=+=+ sKAsBsB
sKAsHsG
Despejando K ( )( )sA
sBK −=
Los puntos de ruptura se determinan resolviendo la siguiente ecuación.
0=ds
dK
5. Ganancia de quiebre ( )qK
Es el valor de K en el punto de quiebre.
Se obtiene utilizando la condición de magnitud en el punto qS
6. Ganancia Critica ( )cK
Es el valor de K que hace que el sistema se encuentre en el límite de estabilidad. Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica, se establece
el rango de valores de K para que el sistema sea estable. Los límites de ese rango
definirán los cK .
7. Frecuencia Critica ( )cω
El valor de los raíces (polos) cuando se cruza el eje imaginario; esto es cuando cKK =
Se obtiene sustituyendo cK en el polinomio auxiliar de la tabla de Routh.
8. Pertenencia de un punto a la trayectoria del L.G.R.
Para que un punto s pertenezca a la trayectoria del L.G.R. debe cumplir la condición de
ángulo:
( ) ( ) ( ) ( )K,2,1,012º180 =+±=∠ kksHsG
( ) ( )( )12180
)()()()(+±=
∑−
∑k
spuntoalsHsGdel
poloslosdeanguloslosde
spuntoalsHsGdefinitos
ceroslosdeanguloslosdeo
9. Cálculo de K para cualquier punto s del L.G.R.
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Si un punto s pertenece al L.G.R. se puede obtener la ganancia K que permite tener ese
punto.
( )[ ]( )[ ])()(
)()(
SHsGdeceroslosyspuntoelentrelongitudeslasdeproducto
SHsGdepoloslosyspuntoelentrelongitudeslasdeproductoK =
10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un
polo complejo (un cero complejo) Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Ángulo de salida desde un polo complejo = 180° - (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos) + (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros) Ángulo de llegada a un cero complejo = 180° - (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otros ceros) + (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)
Ejemplo 1 Considere el sistema de la figura.
( ) ( )( )( )21 ++
=sss
KsHsG
Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de
amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea
0.5. Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )K,1,012º1802121
=+±=+∠−+∠−−∠=++
∠=∠ kkssssss
KsHsG
La condición de magnitud es
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8
( ) ( )( )( )
121
=++
=sss
KsHsG 21 ++= sssK
1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto ( )21,0 −− y con 0=K , y terminan en el infinito con ∞=K
2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los
polos ( )10 −y y de ( )∞−− a2 .
3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden a
infinito son 3, ya que no existen ceros finitos.
303# =−=−= zp nnAs
( ) ( )1
3
02100 −=
−−−=
−
∑−∑=
zp
i
nn
ZiPσ
( ) ( ) ( ) °±°±=+°±=+°±
=−
+°±=∠ 180,601260
3
1218012180k
k
nn
kAs
zp
4. Puntos de quiebre o de ruptura ( )qS . Como existe lugar de las raíces entre dos polos (0 y
-1), entonces existe un punto de quiebre.
De la ecuación característica despejamos K
( )( )0
211 =
+++
sss
K
( )sssK 23 23 ++−=
derivando K respecto a s e igualando a ceros
( ) 0263 2 =++−= ssds
dK
0263 2 =++ ss
resolviendo
422.0−=s 577.1−=s
Como el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces el punto sería
422.0−=qs
5. Ganancia de quiebre ( )qK Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de
quiebre con la condición de magnitud
( )( ) 385.0)578.1)(578.0)(422.0(21 ==++=qS
sssK
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6. Ganancia Critica ( )cK : Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación
característica
La ecuación característica es 023 23 =+++ Ksss
La tabla de Routh es
P(s) Auxiliar Polinomio
Ks
Ks
Ks
s
←−
0
1
2
3
03
63
21
La ganancia crítica se obtiene de
03
6=
− cK 6=cK
7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar
03 2 =+ cc Ks 063 2 =+cs jsc 414.1±=
Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento
5.0=ζ
Primero se determina el punto s, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de
amortiguamiento 5.0=ζ
Se determina la ecuación de la recta de 5.0=ζ
( ) º605.0coscos 11 === −− ζβ
( ) xxy 732.1º120tan −==
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con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y
el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR
yjxs += ( )s∠− ( )1+∠− s ( )2+∠− s = -180°
-0.4+j0.693 -120º -49.11º -23.42º -192.53º
-0.3+j0.52 -120º -36.61º -17º -173.61º
-0.333+j0.577 -120° -40.86° -19.09° -179.95°
El punto que cumple con las dos condiciones es 577.0333.0 js +−=
Aplicando la condición de magnitud
( )( )( ) 036.1764.1882.0666.021577.0333.0
==++=+−= js
sssK
La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 5.0=ζ es
036.1=K
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Ejemplo 2 Considere el sistema de la figura.
( ) ( )( )( )21
)5(
++
+=
sss
sKsHsG
Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de
amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea
0.6. Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en
( ) °±=+∠−+∠−∠−+∠=++
+∠=∠ 180)2()1()()5(
)2)(1(
)5()( ssss
sss
sKsHsG
La condición de magnitud es
( ) 1)2)(1(
)5()( =
++
+=
sss
sKsHsG
5
21
+
++=
s
sssK
1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto ( )21,0 −− y con 0=K , y terminan, una en ( )5− y dos en el infinito con ∞=K
2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los
polos ( )10 −y y de ( )52 −− a .
3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden a
infinito son 2, ya que solo existe un cero finito.
213# =−=−= zp nnAs
( ) ( )1
2
52100 =
−−−−=
−
∑−∑=
zp
i
nn
ZiPσ
( ) ( )°±=
+°±=
−
+°±=∠ 90
2
1218012180 k
nn
kAs
zp
4. Puntos de quiebre o de ruptura (qS ). Como existe lugar de las raíces entre dos polos
( )10 −y , entonces existe un punto de quiebre.
De la ecuación característica despejamos K
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( )( ))5(
21
+
++−=
s
sssK
derivando K respecto a s e igualando a ceros
( )( )
05
515922
23
=+
+++−=
s
sss
ds
dK
05159 23 =+++ sss
Resolviendo
447.0−=s 609.1−=s 943.6−=s
Como el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces el punto sería
447.0−=qs
5. Ganancia de quiebre ( qK ) Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de
quiebre con la condición de magnitud
( )( )084.0
553.4
)553.1)(553.0)(447.0(
5
21
)5(
21
447.0
=+
++=
+
++=
−=sSs
sss
s
sssK
q
6. Ganancia Critica ( cK ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación
característica
La ecuación característica es 05)2(3 23 =++++ KsKss
La tabla de Routh es
P(s)Auxiliar Polinomio
5
03
2653
21
0
1
2
3
←−
+
Ks
Ks
Ks
Ks
La ganancia crítica se obtiene de
03
26=
− cK 3=cK
7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar
053 2 =+ cc Ks 0153 2 =+cs jsc 236.2±=
Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento
6.0=ζ
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Primero se determina el punto s, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de
amortiguamiento 6.0=ζ
Se determinan los puntos que estén sobre la recta de 6.0=ζ
( ) °=== −− 13.536.0coscos 11ζβ
( ) xxy 333.187.126tan −=°=
con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y
el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR
yjxs += ( )5+∠ s ( )s∠− ( )1+∠− s ( )2+∠− s = -180°
-0.4+0.533j 6.61º -126.89º -41.61º -18.42º = -180.31º
-0.398+0.532j 6.59º -126.8º -41.46º -18.37º = -180.04º
El punto que cumple con las dos condiciones es js 532.0398.0 +−=
Aplicando la condición de magnitud
( )( )( )( )
194.0632.4
688.1803.0664.0
5
21
532.0398.0
==+
++=
+−= jss
sssK
La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 6.0=ζ es
194.0=K
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Ejemplo 3 Considere el sistema de la figura.
( ) ( )( )842 ++
=sss
KsHsG
( ) ( )( )( )jsjss
KsHsG
2222 −+++=
Para el sistema determinado, la condición de ángulo es
( )( )( )
°±=−+∠−++∠−−∠=−+++
∠=∠ 180)22()22()(2222
)( jsjssjsjss
KsHsG
La condición de magnitud es
( )( )( )
12222
)( =−+++
=jsjss
KsHsG jsjssK 2222 −+++=
1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto ( )jyj 2222,0 +−−− con 0=K , y terminan, en el infinito con ∞=K . 2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre
∞−y0 .
3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden a
infinito son 3, ya que no existen ceros finitos.
303# =−=−= zp nnAs
( )333.1
3
222200 −=
−−+−=
−
∑−∑=
jj
nn
ZiP
zp
iσ
( ) ( )º180,60
3
1218012180°±=
+°±=
−
+°±=∠
k
nn
kAs
zp
4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): No existe punto de quiebre.
5. Ganancia de quiebre (qK ): No existe ganancia de quiebre
6. Ganancia Critica ( cK ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación
característica
La ecuación característica es 084 23 =+++ Ksss
La tabla de Routh es
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P(s) Auxiliar Polinomio
Ks
Ks
Ks
s
←−
0
1
2
3
04
324
81
La ganancia crítica se obtiene de
04
32=
− cK 32=cK
7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar
04 2 =+ cc Ks 0324 2 =+cs jsc 828.2±=
10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo
complejo (un cero complejo)
Se toma como polo complejo js 22+−=
Ángulo de salida = ( ) ( )( ) ( ) °−=°+°−°=++∠+∠−° 459013518022180 jss
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Ejemplo 4 Considere el sistema de la figura.
( ) ( ) ( )( )134
42 ++
+=
ss
sKsHsG
( ) ( )( )
( )( )4
2 3 2 3
K sG s H s
s j s j
+=
+ + + −
Para el sistema determinado, la condición de ángulo es
( ) ( )( )( )
( ) °±=−+∠−++∠−+∠=−+++
+∠=∠ 180)32()32(4
3232
4)( jsjss
jsjs
sKsHsG
La condición de magnitud es
( ) ( )( )( )
13232
4)( =
−+++
+=
jsjs
sKsHsG
4
3232
+
−+++=
s
jsjsK
1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto ( )jyj 3232 −−+− con 0=K , y terminan, una en el cero ( )4− y la otra en el
infinito con ∞=K 2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre
( )∞−− y4 .
3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden a
infinito es 1, ya que solo existe un cero finito.
112# =−=−= zp nnAs
( )4
1
32320 −=
−−+−=
−
∑−∑=
jj
nn
ZiP
zp
iσ
( ) ( )°±=
+°±=
−
+°±=∠ 180
1
1218012180 k
nn
kAs
zp
4. Puntos de quiebre o de ruptura (qS ): Como existe lugar de las raíces entre un cero y el
infinito ( )∞−− y4 , entonces existe un punto de quiebre.
De la ecuación característica despejamos K
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18
( )( ))4(
3232
+
−+++−=
s
jsjsK
derivando K respecto a s e igualando a ceros
( )0
)4(
382
2
=+
++−=
s
ss
ds
dK
0382 =++ ss
resolviendo
394.0−=s 605.7−=s
Como el punto de ruptura debe estar entre ( )∞−− y4 entonces el punto sería
605.7−=qs
5. Ganancia de quiebre ( qK ): Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de
quiebre con la condición de magnitud
( )( )211.11
605.3
)357.6)(357.6(
4
3232
)4(
3232
605.7
=+
−+++=
+
−+++=
−=sSs
jsjs
s
jsjsK
q
6. Ganancia Critica ( )cK : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario
7. El punto crítico ( )cs : No existe punto crítico
10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo
complejo (un cero complejo)
Se toma como polo complejo js 32+−=
Ángulo de salida = ( ) ( ) °=°+°−°=+∠+++∠−° 31.14631.5690180432180 sjs
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Ejemplo 4 Considere el sistema de la figura.
( ) ( ) ( )( )( )( )12
43
+−
++=
ss
ssKsHsG
Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en
( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) °±=+∠−−∠−+∠++∠=+−
++∠=∠ 180)1()2(43
12
43)( ssss
ss
ssKsHsG
La condición de magnitud es
( ) ( )( )( )( )
112
43)( =
+−
++=
ss
ssKsHsG
43
12
++
+−=
ss
ssK
1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo
abierto ( )12 −y con 0=K , y terminan, en los ceros ( )43 −− y con ∞=K .
2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre
( )12 −y ( )43 −− y .
3. Ubicación de los ceros infinitos: No existen trayectorias del L.G.R. que tiendan a infinito.
4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): Como existe lugar de las raíces entre ( )12 −y y el
infinito ( )∞−− y4 , entonces existe un punto de quiebre.
De la ecuación característica despejamos K
( )( ))4)(3(
12
++
+−−=
ss
ssK
derivando K respecto a s e igualando a cero
( )( ) ( )0
)4()3(
2288
)4)(3(
1222
2
=++
++−=
++
+−−
ss
ss
ss
ss
ds
d
02288 2 =++ ss
resolviendo
073.0−=s 427.3−=s
Los dos puntos son puntos de ruptura ya que están entre ( )12 −y y ( )∞−− y4
073.01 −=qs 427.32 −=qs
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5. Ganancia de quiebre ( qK ): Utilizando los puntos de quiebre 21 qq sys , calculamos las
ganancias de quiebre con la condición de magnitud
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
833.53573.0427.0
427.2427.5
43
12
)4)(3(
12
167.0927.3927.3
927.0073.2
43
12
)4)(3(
12
427.3
2
073.0
1
22
11
==++
+−=
++
+−=
==++
+−=
++
+−=
−=
−=
SS
q
SS
q
ss
ss
ss
ssK
ss
ss
ss
ssK
6. Ganancia Critica ( )cK : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario
7. Punto crítico ( )cs : No existe punto crítico
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3=K
4=K
8=K
13=K
20=K
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( ) ( )( )( )21 ++
=sss
KsHsG
05.0=K
2.0=K
3849.0=K
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5.2=K
5.5=K
6=K
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9=K
K Mp Tp Ts
.05 151
.2 33.7
.3849 14.3
1.036 16 5.96 12.4
2.5 48 3.69 17.8
5.5 86 2.64 164
6
9
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K=0.05
K=0.2
K=0.3849
K=1.036
K=2.5
K=5.5 K=6 K=9
( ) ( )( )( )21 ++
=sss
KsHsG