UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR(UNTELS)

ESTÁTICA Y DINÁMICA

Trabajo de investigación

CARRERA:

Ingeniería Mecánica y Eléctrica

TEMA:

“ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO USANDO EJES DE ROTACIÓN Y TRASLACIÓN”

INTEGRANTES:

Blas Galicia, JUAN. Carbajal Cabrera, DENIS. Ccanchi Santiago, JESSICA. Miniano Vásquez, JULL. Sinche Ccahuana, JAVIER. Yaya Rodríguez, ADONIS.

Villa el Salvador 2013Lima - Perú

1. INTRODUCCIÓN

Para poder analizar el movimiento relativo utilizando ejes, debemos estudiar la cinemática en el plano de un cuerpo rígido.

Cuando se estudia el movimiento de un único sólido rígido, se tiene la expresión general para el campo de velocidades

que nos dice que podemos conocer la velocidad de cada punto conocidos 6 datos: las 3 componentes del vector velocidad angular   y las 3 componentes de la velocidad de un punto arbitrario que tomamos como origen de coordenadas.

Sin embargo, en muchas situaciones, ni la velocidad angular ni la velocidad de O son datos inmediatos. Por ejemplo, consideremos el mecanismo sencillo de una biela y una manivela, como los que se encuentran dentro de un motor de explosión. Está formado por dos barras. Una, la manivela, gira en torno a uno de sus extremos, unido a un punto fijo. La segunda, la biela, tiene uno de sus extremos articulado al extremo móvil de la manivela, mientras que el otro está obligado a moverse en línea recta.

Es claro que, respecto a un sistema fijo, la manivela efectúa un movimiento de rotación, pero ¿qué movimiento realiza la biela en este mismo sistema? No es evidente de entrada, pues se desplaza a la vez que gira. Lo que sí sabemos es que, vista desde la manivela, la biela está girando respecto a su extremo.

Se trata entonces de hacer una composición de movimientos. El movimiento de la biela lo podemos describir como una rotación en torno a un extremo de la manivela, que a la vez gira en torno a su otro extremo respecto al sistema fijo.

Su estudio es importante para el diseño de engranes, levas y mecanismos empleados para diversas operaciones en máquinas, al analizar la cinemática de un cuerpo rígido es necesario aplicar las ecuaciones de movimiento que relacionan las fuerzas que actúan sobre el cuerpo con el movimiento del mismo.A continuación se explicará el movimiento relativo usando ejes de rotación y traslación.

2. OBJETIVOS

Dar a conocer la cinemática de un cuerpo rígido en dos y tres dimensiones.

Estudiar los diferentes tipos de movimiento que existen, así como también sus componentes tridimensionales.

Proporcionar un análisis de movimiento relativo usando ejes de rotación y traslación.

3. CINEMATICADE UN CUERPO

3.1 TIPOS DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

3.1.1 TRASLACIÓN

La traslación ocurre cuando todas las partículas que forman el cuerpo rígido se

mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Es decir cuando un segmento recto

entre dos puntos dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el

movimiento.

Traslación rectilínea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partículas

cualquiera del cuerpo forman líneas rectas equidistantes.

Traslación curvilínea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partículas

cualquiera del cuerpo forman líneas curvas equidistantes.

Figura 3.1 Traslación rectilínea

Figura 3.2 Traslación curvilínea.

3.1.2 ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

En este movimiento las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos a

través de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si el eje interseca al cuerpo

rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen velocidad cero, y aceleración

cero.

Figura 3.3 Rotación alrededor de un eje fijo

No confundir entre traslación curvilínea y rotación.

Traslación curvilínea Rotación

3.1.3. MOVIMIENTO PLANO GENERAL

Cualquier movimiento en el plano que no esté destinado a ser cualquiera de los

dos tipos de movimientos, ya sea traslación o rotación es determinado como

movimiento plano general.

En muchos casos el movimiento plano general se da cuando un cuerpo

experimenta una combinación de traslación y rotación. La traslación ocurre dentro

de un plano d referencia y la rotación sobre un eje perpendicular a dicho plano de

referencia. Por ejemplo el movimiento de rodadura, el desplazamiento de

varillas guiadas, movimientos de eslabones en mecanismos, etc.

Rodadura Deslizamiento de varillas

Movimientos en mecanismos

3.1.4 MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

En el análisis tridimensional generalmente ocurren dos tipos de movimientos.

Movimiento alrededor de un punto fijo ocurre cuando el cuerpo rígido rota

alrededor de un punto fijo.

Figura Movimiento con punto fijo

Cuando el movimiento de un cuerpo rígido no cae dentro de otras categorías,

éste es determinado como movimiento en el plano.

3.2 TR ASLA C I Ó N

Cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la

misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado. En el caso de

traslación curvilínea, la velocidad y aceleración cambian en dirección y en

magnitud.

Movimiento de traslación

Considerando los puntos A y B sobre el cuerpo rígido mostrado, se cumple la

siguiente relación entre las posiciones respecto a un sistema de coordenadas fijo:

Como el vector mantiene una dirección y magnitud constante durante la

traslación ya que A y B permanecen en el mismo cuerpo rígido, la derivada de

Por lo tanto:

En el caso de traslación rectilínea todas las partículas del cuerpo se mueven a lo

largo de líneas rectas paralelas y su velocidad y aceleración se mantienen en la

misma aceleración durante el tiempo completo.

3.3 ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

La relación entre velocidad, posición y aceleración para la rotación en un eje fijo

puede ser demostrada en términos tridimensionales, o un acontecimiento plano.

La presentación general proporciona un entorno fundamental para entender la

presentación plana.

3.3.1 Rotación de una placa representativa

La rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo puede definirse mediante

el movimiento de una placa representativa en un plano de referencia

perpendicular al eje de rotación. El plano xy es el plano de referencia, y el eje de

giro es el eje z perpendicular al plano xy.

El vector velocidad angular w tiene la dirección k en el eje z positivo cuando

gire en sentido anti horario.

Por definición la velocidad de cualquier punto de la placa, está dada por el

producto vectorial:

Puesto que r y k son perpendiculares, la magnitud de la velocidad v es:

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria que forma la partícula en

el movimiento de rotación. Es decir a 90° de la dirección del radio en el sentido de

movimiento.

De igual manera el vector velocidad angular α tiene la dirección k en el eje z

positivo cuando gire en sentido anti horario.

Por definición la aceleración tangencial de cualquier punto de la placa, está

dada por el producto vectorial:

Puesto que r y k son perpendiculares, la magnitud de la aceleración tangencial es:

La aceleración centrípeta o normal se define como el producto de:

El módulo de la aceleración normal es:

La dirección de la aceleración normal es siempre hacia el centro de rotación,

es decir opuesta a la dirección radial.

El vector aceleración total del movimiento de rotación es:

3.3.2 ECUACIONES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

Como un cuerpo rígido rota alrededor de algunos ejes fijos, la coordenada

angular cambia con el tiempo. La coordenada angular puede ser expresada

como una función del tiempo t. La relación entre la coordenada angular,

velocidad, aceleración y tiempo son:

Dos casos particulares de rotación en un eje fijo son frecuentemente encontrados:

Rotación Uniforme.- en caso de rotación uniforme la aceleración angular es

cero. Por lo tanto, solo una de las ecuaciones es aplicable.

Integrando resulta:

Rotación Uniformemente Acelerada.- en este caso la aceleración angular es constante.

Por lo tanto, tres ecuaciones pueden ser derivadas para dicho movimiento:

Recuerde que estas ecuaciones son solo aplicables cuando la aceleración

angular es constante. Para otras situaciones se tiene que integrar de las

anteriores.

Para el caso de cuerpos rígidos en tres dimensiones se deberá tomar en cuenta un análisis vectorial de las variables posición, velocidad y aceleración.

3.4 MOVIMIENTO PLANO GENERAL

El movimiento plano general es un movimiento que puede ser modelado como

una combinación de dos tipos de movimientos. El movimiento general en el plano

es la suma de la traslación pura y la rotación en un eje fijo.

3.4.1 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano

Según el análisis gráfico del movimiento plano que se presenta, se puede deducir que:

Donde r es la distancia de A a B.

P a ra el m o vi m i e n t o d e va r illa s :

Suponiendo que se conoce la velocidad se propone encontrar la velocidad

y la velocidad angular de la varilla, la longitud y el ángulo .

Se escoge al punto A como punto de referencia y se expresa que el movimiento

dado es equivalente a la traslación con A y una rotación simultanea alrededor de

A.

Tomemos en cuenta que se desconoce la dirección de pero se conoce la

dirección de , con lo que se puede completar el diagrama de velocidades del sistema.

Al despejar las magnitudes de y utilizando el triángulo de velocidades, se tiene:

El mismo resultado se consigue utilizando B como punto de referencia, de manera que:

Nota: La velocidad angular de un cuerpo rígido en movimiento plano es

independiente del punto de referencia.

Mecanismo con cremallera inferior fija

Movimiento plano

Movimiento de mecanismo biela - manivela

Movimiento de rotación

Movimiento plano

3.4.2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN

Los problemas generalmente se encuentran considerando las velocidades

absolutas y relativas que se requieren de ambas en el modelo, y resolver para

una o más incógnitas. Subsecuentemente se consideran sólo problemas en el

plano, pueden determinarse sólo dos incógnitas para un problema dado. Un

aspecto importante de tales problemas es reconocer que generalmente las

soluciones requeridas para un momento específico durante el movimiento del

cuerpo, o cuerpos conectados.

En estos instantes la geometría juega un papel importante

determinando la respuesta correcta. El sistema de barras

fijas mostrado está libre para girar. Durante el movimiento

existen cambios de posición del pasador B y C, así como en

la orientación de la barra BC. Durante el movimiento, y a

cualquier momento dado, cada barra puede tener una

velocidad angular única.

Al modelar el sistema definido por la declaración del problema, un diagrama es

esencial para observar la dirección de las velocidades en puntos discretos.

1. Identificar las incógnitas.

2. Determinar los tipos de movimiento involucrados en

el problema. Para este ejemplo, barras AB y DC

realizan rotación en un eje fijo. La barra BC tiene

movimiento plano general.

3. La velocidad angular de las barras es

explícitamente conocida de la declaración del

problema, o debe asumirse.

Si se asume una dirección incorrecta, la respuesta resultará negativa.

4. Indicar velocidades conocidas en el diagrama. Para este ejemplo las

velocidades absolutas a los puntos A y D son de cero. Ya que las barras AB y DC

realizan rotación sobre un eje fijo, las velocidades absolutas en los puntos B

y C se pueden encontrar.

Sus magnitudes y direcciones dependen de las longitudes de las barras AB y DC,

así como las velocidades angulares.

5. El modelo para la barra BC puede ahora ser usada para establecer las

relaciones entre las velocidades absolutas en los puntos B y C y la velocidad

relativa entre los dos puntos.

Pueden usarse dos posibles modelos. En cualquier modelo, el ángulo θ y la

longitud de BC son conocidos. Cualquier modelo puede usarse. Los dos rendirán

los mismos resultados. No más de dos incógnitas pueden determinarse.

3.5 CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN EN EL MOVIMIENTO PLANO

Considerando el movimiento plano general de una placa.

El movimiento plano general de una placa puede sustituirse como una

combinación de la traslación definida por el movimiento de un punto arbitrario A,

y la rotación sobre un eje fijo que pasa por A.

La traslación se caracteriza por la velocidad del punto de referencia A, y la rotación se caracteriza por la velocidad angular del cuerpo rígido que es independiente del punto de referencia que se escoja. Por lo tanto la velocidad y la velocidad angular definen por completo todas las demás velocidades de la placa.

Suponiendo que se conocen y , estas velocidades podrían obtenerse

dejando que la placa gire con la velocidad angular alrededor de un punto C

ubicado sobre la perpendicular a la velocidad a una distancia desde A.

Por lo tanto la placa parece girar alrededor del centro instantáneo C en ese

instante considerado.

E j e d e r o ta c i ó n i n s ta n t á n e o .- Eje perpendicular al plano sobre el punto C, sobre

el cual la velocidad de las diferentes partículas de la placa es la misma como que

si la placa girara alrededor de dicho eje.

Determinación del centro instantáneo de rotación:

a) Conociendo las direcciones de las velocidades absolutas de dos partículas A y

B, siendo estas diferentes, el centro instantáneo de rotación C se

obtiene dibujando perpendiculares a las velocidades y a través de los

puntos A y B respectivamente. El punto de intersección de estas rectas

perpendiculares determina el centro instantáneo de rotación C.

No ta: Si las velocidades y fueran paralelas, el centro instantáneo de

rotación C estaría a una distancia infinita y sería cero. Todos los puntos de la

placa tendrían la misma velocidad resultando un movimiento de traslación pura.

b) Si se conocen las magnitudes las velocidades y de los puntos A y B, y

éstas son perpendiculares a la línea AB, el centro instantáneo de rotación puede

encontrarse intersecando la línea AB con la línea que une los extremos de los

vectores y .

Nota: Si las velocidades y fueran iguales, el centro instantáneo de rotación

C estaría a una distancia infinita y sería cero. Todos los puntos de la placa

tendrían la misma velocidad resultando un movimiento de traslación pura.

NOTA: La velocidad en el punto C es cero. Debido a esto, el punto C a veces se

lo llama el centro instantáneo de velocidad cero.

Aplicando la teoría de centro instantáneo de rotación se puede analizar la

siguiente varilla conociendo la .

Mecanismo con cremallera inferior fija

En este método de cálculo solo intervienen las velocidades absolutas de los

puntos de interés.

Movimiento de mecanismo biela – manivela

3.6 ACELERACIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO

Vectorialmente:

Escalarmente:

Conociendo la velocidad y la aceleración , se determina la aceleración y la

aceleración angular de la varilla. Al elegir a A como punto de referencia, se expresa

que el movimiento dado es equivalente a una traslación con A y a una rotación

alrededor de A. La aceleración absoluta de B debe ser igual a la suma:

Dirigida hacia A

Perpendicular a AB

Si se conoce que se dirige hacia la derecha y hacia la derecha:

Si se conoce que se dirige hacia la izquierda y hacia la izquierda:

3.6.1 Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro

Para el mecanismo biela – manivela se tiene la velocidad angular constante de AB de 20000 rpm y se pide calcular la aceleración angular de la biela y la aceleración del pistón.

4. BIBLIOGRAFIA

Libros:

«Cinemática del cuerpo rígido» (pdf). Universidad de Buenos Aires: Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Física.

«Cuerpo rígido» (pdf). Universidad de Santiago de Chile: Departamento de Física.

Marion, Jerry B. (1996) (en español). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté.

Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004) (en inglés). Physics for Scientists and Engineers (6ª edición). Brooks/Cole.

Páginas Web:

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Movimiento_relativo_(G.I.T.I.)#Introducci.C3.B3n

http://prezi.com/1wwpqy1tazep/movimiento-relativo-utilizando-ejes-de-rotacion/

http://otakusigma.wordpress.com/2009/11/25/analisis-del-movimiento-relativo-en-tralacion-y-rotacion/