ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG RELATIVISTIK PADA

KASUS SPIN SIMETRI DAN PSEUDOSPIN SIMETRI UNTUK

POTENSIAL ECKART DAN POTENSIAL MANNING

ROSEN TRIGONOMETRI MENGGUNAKAN

ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)

TESIS

Disusun untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh

RESITA ARUM SARI

S911402003

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2015

i

ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG RELATIVISTIK PADA

KASUS SPIN SIMETRI DAN PSEUDOSPIN SIMETRI UNTUK

POTENSIAL ECKART DAN POTENSIAL MANNING

ROSEN TRIGONOMETRI MENGGUNAKAN

ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)

TESIS

Disusun untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh

RESITA ARUM SARI

S911402003

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2015

iv

PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS

Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa :

1. Tesis yang berjudul “ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG

RELATIVISTIK PADA KASUS SPIN SIMETRI DAN PSEUDOSPIN

SIMETRI UNTUK POTENSIAL ECKART DAN POTENSIAL

MANNING ROSEN TRIGONOMETRI MENGGUNAKAN

ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)” ini adalah karya penelitian

saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain

untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat

yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis

digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disbutkan dalam sumber acuan

serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini

tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan

perundang-undangan (Permendiknas No. 17, Tahun 2010)

2. Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum

ilmiah lain harus seijin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan

PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu

semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi

dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak

mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu

Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan

publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang

berlaku.

Surakarta, 20 Oktober 2015

Mahasiswa, Resita Arum Sari S911402003

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah hirobbil alamin puji syukur kehadirat Allah SWT atas

limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan laporan

tesis yang berjudul, “Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Relativistik pada

Kasus Spin Simetri dan Pseudospin Simetri untuk Potensial Eckart Dan Potensial

Manning Rosen Trigonometri menggunakan Asymptotic Iteration Method

(AIM)”. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan

guna memperoleh gelar Magister pada Program Studi Ilmu Fisika Program

Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.

Penulis menyadari bahwa dalam penelitian dan penyusunan laporan tesis

ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan

rasa tulus ikhlas dan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya penulis ucapkan

kepada :

1. Prof. Dr. M. Furqon Hidayatullah, M.Pd, selaku Direktur Program

Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.

2. Prof. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Kepala Program Studi Ilmu Fisika

Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai

Pembimbing II yang telah banyak memberikan banyak bimbingan dan arahan

serta motivasi kepada penulis sehingga mampu menyelesaikan tesis ini.

3. Prof. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing I yang dengan sabar

membimbing dan mengajari penulis, serta memberikan dana dalam

vi

pembiayaan untuk penelitian melalui Hibah Pasca UNS tahun 2015 No.

698/UN27.11/PN/2015.

4. Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas

Sebelas Maret Surakarta yang telah memberikan banyak ilmu tentang fisika.

5. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

6. Keluarga tercinta dirumah yang terus memberikan semangat dan motivasi,

sehingga penulis dapat menyelesaian tesis ini.

Semoga Allah SWT memberikan balasan yang sebaik-baiknya atas kebaikan

dan bantuan yang telah diberikan. Semoga laporan penelitian ini dapat memberi

manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca pada umumnya.

Surakarta, Oktober 2015

Penulis

vii

Resita Arum Sari. S911402003.“Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Relativistik pada Kasus Spin Simetri dan Pseudospin Simetri untuk Potensial Eckart dan Potensial Manning Rosen Trigonometri menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM)”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (1). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D (2). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D

ABSTRAK

Persamaan Dirac untuk kombinasi potensial Eckart dan potensial Manning Rosen trigonometri pada kasus spin simetri dan pseudospin simetri dapat diselesaikan dengan menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM). Kombinasi dari dua potensial disubstitusikan ke persamaan Dirac, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi bagian radial dan polar.

Penyelesaian persamaan Dirac dengan menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM) dapat dilakukan dengan mereduksi persamaan differensial orde dua menjadi persamaan differensial tipe Hipergeometri dengan melakukan subtitusi variabel. Energi relativistik sistem dihitung menggunakan software Matlab 2011. Penelitian ini dibatasi untuk kasus spin simetri dan pseudospin simetri. Dengan Asymptotic Iteration Method (AIM), spektrum energi dari persamaan relativistik dan persamaan bilangan kuantum orbital pada kasus spin simetri dapat diperoleh, dimana keduanya saling terkait dengan bilangan kuantum anguler. Sedangkan, spektrum energi dari persamaan relativistik dan persamaan bilangan kuantum pseudospin orbital pada kasus pseudospin simetri dapat diperoleh, dimana keduanya saling terkait dengan bilangan kuantum anguler pseudospin. Spektrum energi numerik juga diselesaikan dengan menggunakan software Matlab 2011, dimana peningkatan bilangan kuantum radial menyebabkan penurunan spektrum energi.

Kata Kunci: persamaan Dirac, potensial Eckart, potensial Manning Rosen

Trigonometri, Asymptotic Iteration Method (AIM), spin simetri, dan pseudospin simetri.

viii

Resita Arum Sari. S911402003. “Analysis of Relativistic Energy and Wave

Function for Spin Symmetric and Pseudospin Symmetric Case with Eckart Potential and Trigonometric Manning Rosen Potential using Asymptotic Iteration Method (AIM)”. Thesis: Physics Department Postgraduate, Sebelas Maret Surakarta University. Advisor: (1). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D (2). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D

ABSTRACT

The Dirac equation for Eckart potential and trigonometric Manning Rosen potential with spin symmetric and pseudospin symmetric case of radial is exactly solved using Asymptotic Iteration Method (AIM). The combination of the two potential is substituted into the Dirac equation, then the separation of variables into radial and polar parts.

Solution of the Dirac equation using an Asymptotic Iteration Method (AIM) can be reducing the second order differential equation into a differential equation with substitution variables of type Hypergeometry. The relativistic energy calculated using Matlab 2011. This study is limited to the case of spin symmetry. With the Asymptotic Iteration Method (AIM), the energy spectrum of the relativistic equations and equations of orbital quantum number can be obtained, where both are interrelated between angular quantum numbers. Whereas, energy spectrum of the relativistic equations and quantum number of pseudospin orbital can be obtained, where both are interrelated between angular quantum numbers pseudospin. Energy spectrum also numerically solved using Matlab software, where the increase in the radial quantum number causes decrease in the energy spectrum.

Keyword : Dirac equation, Eckart potential, trigonometric Manning Rosen

potential, Asymptotic Iteration Method (AIM), spin symmetry and pseudospin symmetry.

ix

MOTO DAN PERSEMBAHAN

Motto

Jangan katakan menyerah sebelum mencoba, karena berhenti sebelum memulai hanya akan menimbulkan penyesalan.

Jangan pernah menyerah atas impianmu, rintangan memang kadang menjatuhkanmu, namun kamu harus terus bangkit

dan terus melangkah.

PERSEMBAHAN

Tesis ini kupersembahkan kepada :

Kedua orang tua tercinta, terima kasih untuk semua

pengorbanan, doa, nasehat, dan kasih sayang tiada henti.

Kakakku, yang selalu mendukung dan mendoakan cita-cita

adiknya. Saudara kembarku, sebagai sosok yang senantiasa

mendukung dan memberi semangat.

x

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ..................................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii

SURAT PERNYATAAN.. ............................................................................. iv

KATA PENGANTAR .................................................................................... v

HALAMAN ABSTRAK ................................................................................ vii

HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN .......................................... ix

DARTAR ISI .................................................................................................. x

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xiv

DAFTAR SIMBOL ........................................................................................ xv

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................. xvi

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah .............................................................. 1

B. Rumusan Masalah ....................................................................... 4

C. Tujuan Penelitian ....................................................................... 5

D. Batasan Masalah.......................................................................... 5

E. Manfaat Penelitian ...................................................................... 6

BAB II TINJAUAN PUSTAKA .................................................................. 7

A. Kajian Teori ................................................................................ 7

1. Persamaan Dirac...................................................................... 7

1.1. Persamaan Dirac untuk kasus Spin Simetri ..................... 11

1.2. Persamaan Dirac untuk kasus Pseudospin Simetri .......... 14

2. Asymptotic Iteration Method (AIM)………….…………….. 15

3. Potensial Eckart plus Manning Rosen Trigonometri .............. 18

4. Persamaan Dirac untuk Kombinasi Potensial Eckart plus

Manning Rosen Trigonometri ................................................ 19

B. Penelitian yang Relevan .............................................................. 23

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ................................................... 27

A. Waktu dan Tempat Penelitian ..................................................... 27

B. Objek Penelitian .......................................................................... 27

C. Instrumen Penelitian.................................................................... 28

D. Prosedur Penelitian ..................................................................... 28

xi

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ............................. 30

A. Pendahuluan ............................................................................... 30

B. Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Radial Kasus Spin Simetri

untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Manning Rosen

Trigonometri .............................................................................. 31

C. Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Radial Kasus Pseudospin

Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Manning Rosen

Trigonometri .............................................................................. 37

D. Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Polar Kasus Spin Simetri

untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Manning Rosen

Trigonometri .............................................................................. 45

E. Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Polar Kasus Pseudospin

Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Manning Rosen

Trigonometri .............................................................................. 55

F. Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Azimut untuk Kombinasi

Potensial Eckart plus Potensial Manning Rosen Trigonometri... 65

G. Visualisasi Tingkat Energi Relativistik Persamaan Dirac pada

Kasus Spin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus

Potensial Manning Rosen Trigonometri ..................................... 66

H. Visualisasi Tingkat Energi Relativistik Persamaan Dirac pada

Kasus Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart

plus Potensial Manning Rosen Trigonometri .............................. 69

I. Visualisasi Fungsi Gelombang Persamaan Dirac Bagian Radial

pada Kasus Spin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus

Potensial Manning Rosen Trigonometri ..................................... 73

J. Visualisasi Fungsi Gelombang Persamaan Dirac Bagian Radial

pada Kasus Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial

Eckart plus Potensial Manning Rosen Trigonometri .................. 75

K. Visualisasi Fungsi Gelombang Persamaan Dirac Bagian Polar

pada Kasus Spin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus

Potensial Manning Rosen Trigonometri ..................................... 77

L. Visualisasi Fungsi Gelombang Persamaan Dirac Bagian Polar

pada Kasus Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial

Eckart plus Potensial Manning Rosen Trigonometri .................. 80

xii

BAB V PENUTUP ........................................................................................ 83

5.1. Kesimpulan ................................................................................ 83

5.2. Saran ........................................................................................... 84

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 86

LAMPIRAN

xiii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 Tingkat energi dari parameter yang dipengaruhi oleh

kombinasi Potensial Eckart plus Potensial Manning Rosen

Trigonometri Kasus Spin Simetri untuk variasi ………… 67

Tabel 4.2 Nilai energi dari kombinasi Potensial Eckart plus Potensial

Manning Rosen Trigonometri Kasus Spin Simetri untuk

variasi V0 dan V1 …………………………………………….. 68

Tabel 4.3 Tingkat energi dari parameter yang dipengaruhi oleh

kombinasi Potensial Eckart plus Potensial Manning Rosen

Trigonometri Kasus Pseudospin Simetri untuk variasi …… 70

Tabel 4.4 Nilai energi dari kombinasi Potensial Eckart plus Potensial

Manning Rosen Trigonometri Kasus Psudospin Simetri

untuk variasi V0 dan V1 ........................................................... 71

Tabel 4.5 Fungsi Gelombang bagian radial pada Kasus Spin Simetri

untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Potensial Manning

Rosen Trigonometri dengan variasi nr …..…………………. 73

Tabel 4.6 Fungsi Gelombang bagian radial pada Kasus Pseudospin

Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Potensial

Manning Rosen Trigonometri dengan variasi nr …..……… 75

Tabel 4.7 Fungsi Gelombang bagian polar kombinasi Potensial Eckart

plus Potensial Manning Rosen Trigonometri Kasus Spin

Simetri dengan variasi …..……………………………….. 78

Tabel 4.8 Fungsi Gelombang bagian polar kombinasi Potensial Eckart

plus Potensial Manning Rosen Trigonometri Kasus

Pseudospin Simetri dengan variasi …..………………… 80

xiv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1 Bagan Prosedur Penelitian ………………………………….. 28

Gambar 4.1 Grafik nilai energi persamaan Dirac kombinasi Potensial

Eckart plus Potensial Manning Rosen Trigonometri Kasus

Spin Simetri untuk variasi V0 dan V1……………………....... 68

Gambar 4.2 Grafik nilai energi persamaan Dirac kombinasi Potensial

Eckart plus Potensial Manning Rosen Trigonometri Kasus

Pseudospin Simetri untuk variasi V0 dan V1 ………………... 72

Gambar 4.3 Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi pada

Kasus Spin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus

Potensial Manning Rosen Trigonometri dengan variasi nr .... 74

Gambar 4.4 Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi pada

Kasus Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart

plus Potensial Manning Rosen Trigonometri dengan variasi

nr …..………………………………………………………... 76

Gambar 4.5 Fungsi Gelombang bagian polar kombinasi Potensial Eckart

plus Potensial Manning Rosen Trigonometri Kasus Spin

Simetri dengan variasi …..……………………………….. 78

Gambar 4.6 Fungsi Gelombang bagian polar kombinasi Potensial Eckart

plus Potensial Manning Rosen Trigonometri Kasus

Pseudospin Simetri dengan variasi …..………………… 81

xv

DAFTAR SIMBOL

= fungsi gelombang

= fungsi gelombang upper

= fungsi gelombang lower

= massa partikel relativistik

= matriks pauli

= komponen spin Dirac

= komponen pseudospin Dirac

= energi relativistik

= potensial vektor

= potensial skalar

= kecepatan cahaya di ruang hampa ( m/s)

= operator momentum tiga dimensi

= parameter lebar untuk potensial Manning Rosen Trigonometri

= parameter kedalaman untuk potensial Eckart

= bilangan spin orbital

= bilangan kuantum utama

= bilangan kuantum radial

= bilangan kuantum anguler

= bilangan kuantum anguler pseudospin

= bilangan kuantum orbital

= bilangan kuantum psudo-orbital

= bilangan imajiner

= nabla

= laplacian

=

merupakan konstanta Plank

= selisih potensial skalar dan potensial vektor

= jumlah potensial skalar dan potensial vektor

xvi

= matrik identitas

= vektor momentum anguler total

= hamiltonian

= vektor momentum anguler

= spin bola harmonik

= pseudospin bola harmonic

m = proyeksi momentum anguler pada sumbu z.

= konstanta normalisasi

= fungsi hipergeometri

xvi

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Penyelesaian Persamaan Dirac…………………………….. 89

Lampiran 2 Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Radial Kasus Spin

Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Potensial

Manning Rosen Trigonometri ……………………................. 99

Lampiran 3 Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Radial Kasus

Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus

Potensial Manning Rosen Trigonometri ………………......... 120

Lampiran 4 Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Polar Kasus Spin

Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Potensial

Manning Rosen Trigonometri ................................................. 140

Lampiran 5 Penyelesaian Persamaan Dirac Bagian Polar Kasus

Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus

Potensial Manning Rosen Trigonometri …..………………... 161

Lampiran 6 Pubilkasi …..………………………………………………… 182