Analisis Espectral de Señales

Captulo 2

Anlisis espectral de seales

Objetivos

1. Se pretende que el alumno repase las herramientas necesarias para el anlisis espectral de seales.

2. Que el alumno comprenda el concepto de espectro desde una perspectiva matemtica.

Contenido

1. Energa ypotencia

2. Seal energa y seal potencia

3. Ejemplo de seal energa

4. Ejemplo de seal potencia

5. Valor eficaz de una seal potencia peridica

6. La serie trigonomtrica de Fourier

7. Teorema de Parseval para seales potencia peridicas

8. Ejemplo de aplicacin del teorema de Parseval para seales potencia

9. Transformada de Fourier

10. Teorema de Parseval para seales energa

11. Ejemplo: clculo de la curva funcin densidad espectral de energa

12. Ejemplo de aplicacin del teorema de Parseval

13. Propiedades de la convolucin

14. Propiedades de la correlacin

Sistemas de Comunicaciones

Cap. 2 Anlisis espectral de seales

2

MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Ao 2011



3


El presente apunte no es un sustituto para la informacin ms completa que proporcionan autores como

B.P. Lathi o H. P. Hsu. El objetivo de este texto es agregar la terminologa que requieren los alumnos para el

curso de Sistemas de Comunicaciones.

Energa y potencia

A continuacin se desarrollan frmulas para el clculo de la energa requerida por una seal y de la potencia

o rapidez de consumo d energa. Adicionalmente, se realiza una anlisis dimensional o de unidades con lo

que se verifica la validez de las ecuaciones. Para nuestro caso particular, trabajamos con seales temporales

cuyas magnitudes se miden en volts, es decir Energa Media

El promedio de energa consumida por una seal durante un intervalo de tiempo se calcula como

(2.1)

Potencia Media

La rapidez promedio con la que se consume energa se define como la energa consumida, dividida por el

intervalo de consumo, es decir:

(2.2)

Sustituyendo la ecuacin 2.1 en la ecuacin 2.2 resulta:

(2.3)

=

=

= 1



4


Energa Media Total

La energa consumida por una seal cualquiera , durante un periodo infinito se calcula como:

(2.4)

Potencia Media Total

La rapidez de consumo de energa de una seal, durante un tiempo infinito se calcula como:

(2.5)

Sustituyendo la ecuacin 2.4 en la ecuacin 2.5 se logra

(2.6)

Seal energa y seal potencia

Seal energa

Se trata de una seal con las siguientes caractersticas

Energa media total finita, es decir requiere de un consumo finito de energa

(2.7)

Potencia media total cero

(2.8)

Son seales de duracin finita

Son seales de duracin infinita pero que concentran su energa en un pequeo intervalo.

=

=

< =

= 0

=



5


Seal potencia

Se trata de una seal con las siguientes caractersticas

Energa media total infinita, es decir, requiere de un consumo infinito de energa

(2.9)

Potencia media total finita

(2.10)

Las seales peridicas, las cuales son de duracin infinita

Las seales aleatorias, las cuales son de duracin infinita.

Ejemplo de seal energa

Sea la funcin exponencial unilateral

(2.11)

Energa media total

La energa promedio total de esta funcin se calcula sustituyendo la ecuacin 2.11 en la integral de la

ecuacin 2.4

!; > 1 = ! El intervalo de integracin va de 0 a infinito debido al escaln unitario.

= =

<

= ! > 0



6


!; > 1 = !&= 12) * !&= 12) + 12) &= 12)

As que el consumo total de energa de la seal exponencial unilateral es una cantidad medible dada por:

(2.12)

Potencia promedio total

La rapidez promedio del consumo de energa, durante un intervalo infinito de tiempo se calcula

sustituyendo la ecuacin 2.12 en la ecuacin 2.5:

! ; > 1 = 1 2) Entonces resulta que

(2.13)

Ejemplo de seal potencia

Sea la siguiente seal peridica

(2.14)

Teorema de potencia para seales peridicas

La potencia media total de una seal peridica es igual a la potencia de la misma seal en un periodo, es

decir

(2.15)

! ; > 0 = 12)

! ; > 1 = 0

= -./&

= =



7


Potencia media total

La potencia en un periodo de la seal senoidal se calcula sustituyendo la ecuacin 2.14 en la ecuacin 2.3

-./& = 1 -./& Entonces tendremos el siguiente desarrollo

./& = - 012 12 122/&3 = -2 12 122/&= -2 & 12 12/& .2/&&= -2 -24 12/& .2/& .0

/& = 24= -2 -24 12/& 0. 52 24 6 .03= -2 -24 12/& 0 0= -2

Por lo tanto, la potencia media total de una seal senoidal est dada por:

(2.16)

Energa media total

Vamos a trabajar un poco con la ecuacin 2.4 para definir una forma de calcular el promedio de energa

consumida en funcin de la potencia de la seal. As entonces se despeja la energa de la ecuacin 2.4

(2.17)

-./& = -2

=



8


Sustituyendo la ecuacin 2.14 en la ecuacin 2.15 tenemos

Entonces la energa media total es

(2.18)

Valor eficaz de una seal potencia peridica

Siendo una seal potencia peridica, el valor eficaz se calcula como

(2.19)

Sustituyendo la ecuacin 2.6 en la ecuacin 2.19 se logra

(2.20)

A continuacin se enlistan los valores eficaces para las seales tpicas de amplitud pico -:

Senoidal - sin/& - 2 Cuadrada - 1 Triangular - 3

-./& = -./&= 12

-./& =

=>? = @

=>? = A



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La serie trigonomtrica de Fourier

Teorema de descomposicin espectral para seales potencia peridicas

Cualquier seal peridica puede expresarse como una combinacin lineal de senos y cosenos. Es decir,

siendo una seal potencia peridica en , sta se puede expresar como:

(2.20)

En donde

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Cada trmino de esta serie tiene un nombre que se asocial con el manejo de seales. As

B& Es la componente de directa de la seal CD = B12/& + E./& = @B + E sin F/& + BG HIJIK Es la componente espectral

fundamental.

CD = B122/& + E.2/& = @B + E sin F2/& + BG HLJLK Es la componente espectral conocida como segunda armnica.

CDM = BM123/& + EM.3/& = @BM + EM sin F3/& + BG HNJNK Es la componente espectral conocida como tercera armnica.

y as sucesivamente.

= B& + O BC12./&CD + O EC../&

CD

B& = 1

BC = 2 12./&

EC = 2 ../&



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A continuacin se anexan algunas series de inters que pueden servir en sesiones de laboratorio.

Diente de sierra sin componente de directa (figura 1)

(2.24)

Seal cuadrada de simetra impar y sin componente de directa (figura 2)

(2.25)

= 2P4 5sin /& 12 sin 2/& + 13 sin 3/& 6

Figura 1

= 4P4 5sin /& + 13 sin 3/& + 15 sin 5/& 6

Figura 2.



11


Seal triangular de simetra par y sin componente de directa (figura 3)

(2.26)

Teorema de Parseval para seales potencia peridicas

Deduccin matemtica

Considere que la potencia media total para una seal potencia peridica se calcula, segn la ecuacin 2.15

como:

(2.24)

Sustituyendo una de las por su equivalente serie trigonomtrica, ecuacin 2.20, se tiene el siguiente desarrollo

(2.25)

= 1

&

= 1 TB& + O BC12./&CD + O EC../&

CD U

&

Figura 3.

= 8P4 5cos /& + 13 cos 3/& + 15 cos5 /& + 6



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Resolviendo la integral se llega a la expresin siguiente

(2.26)

En donde

B&: es la potencia de la componente de directa YBC 2 Z: Es la potencia de las componentes cosenoidales YEC 2 Z: es la potencia de las componentes senoidales

Enunciado del teorema de Parseval

En conclusin, el teorema de Parseval para seales potencia peridicas nos dice que la potencia media total

de una seal peridica es igual a la suma de las potencias de sus componentes espectrales. Estas potencias

se calcular a partir de los valores eficaces de las mismas.

Ejemplo de aplicacin del teorema de Parseval para seales

potencia

Para la onda cuadrada de la figura 1 calcule

a) La potencia media total

b) El valor eficaz de la misma

La STF de tal seal es:

Ahora se expresan en forma de vector los voltajes de cada componente senoidal (la razn de esto no es otra

que la simplicidad en el manejo de datos).

= B& + O 5BC26

CD + O 5EC26

CD

= 44 sin/& + 434 sin3/& + 454 sin5/& + 474 sin7/& + 494 sin9/&



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2B]^12 =_````à1.33330.44440.26670.19050.1481de

eeeef

Calculando los voltajes eficaces

2B]1B1 =_````à1.33330.44440.26670.19050.1481de

eeeef 12 =

_````à0.90030.30010.18010.12860.1000de

eeeef

Calculando las potencias

g2.1B 12^2..^1hB = 52B]1B16 =

_````à0.81060.09010.03240.01650.0100de

eeeef

Luego, la potencia media total es la suma de las potencias de las componentes espectrales:

= 0.9596

Finalmente, para calcular el voltaje eficaz de la seal cuadrada se aplica la ecuacin (2.19), es decir, el voltaje

eficaz se calcula como la raz cuadrada de la potencia media total.

Pijk = 0.9796P 1P

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier es una operacin mediante la cual se puede calcular el espectro de una seal

energa y slo es aplicable a este tipo de seales. Las excepciones a la regla son la seal senoidal, cosenoidal

y la exponencial compleja.

La ecuacin mediante la cual se calcula la transformada de Fourier de una seal energa es:

(2.27) = no! = p/



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Ntese que la integral de Fourier dicta el producto de una funcin real, de variable real, con una funcin

compleja, tambin de variable real. El resultado del producto y as de la integral es una funcin compleja de

variable real.

La ecuacin que nos permite aplicar la operacin inversa, es decir, calcular la funcin temporal a partir de su

funcin en frecuencia es:

(2.28)

Teorema de Parseval para seales energa

En [Lathi] pueden encontrarse el desarrollo de las ecuaciones que se revisarn a continuacin:

Deduccin del teorema de Parseval para seales energa

El clculo de la energa media total de una seal energa qued declarado en la ecuacin 2.4, misma que se

reproduce a continuacin en la forma

(2.29)

A su vez, sabemos que puede definirse mediante la transformada inversa de Fourier definida en la ecuacin 2.28. As que sustituyendo resulta

(2.30)

La primera integral puede meterse en la segunda, dado que sus variables son independientes.

(2.31)

p/ = 124 p/no!

/ =

=

= 124 p/no!

/

= 124 p/ no!

/



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La segunda integral corresponde con la transformada conjugada de Fourier, as entonces:

(2.31)

:

Observe que la ecuacin (2.31) nos indica que el clculo de la energa media total de una seal energa ha

quedado expresado como una operacin en el dominio de la frecuencia. Entonces podemos expresar que

El clculo de la energa media total, de una seal energa, en el dominio del tiempo es numricamente

igual al clculo de la energa media total en el dominio de la frecuencia. Esto queda expresado en la forma

(2.32)

Funcin densidad espectral de energa

La funcin densidad espectral de energa se define como el producto siguiente:

(2.33)

Este producto no tiene unidades de energa, es ms bien el clculo del rea bajo su curva lo que nos dar la

energa media total de la seal. En forma de ecuacin se tiene que

(2.34)

= 124 p/p//

= p/

rr/ = p/p/

p/ = 124 rr/

/



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Ejemplo: clculo de la curva funcin densidad espectral de

energa

Calcule y grafique la funcin densidad espectral de energa de la siguiente funcin exponencial bilateral.

(2.35)

La funcin temporal

La grfica de la exponencial bilateral se exhibe en la figura 4. Esta grfica fue generada en MATLAB con el

cdigo que se puede apreciar en la misma figura.

La transformada de Fourier

Aplicando la transformada de Fourier a la ecuacin (2.35), se logra

s|!|; = 0.460517018u = 2 + / ; = 0.460517018

= |!|; = 0.460517018

Figura 4. Grfica de la funcin exponencial bilateral para un = 0.460517018. A la derecha de la grfica puede apreciarse el cdigo en MABLAB que general tal grfica.

-10 -5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1 a=0.460517018; t=-10:0.1:10; ft=exp(-a*abs(t)); figure(1) plot(t,ft)



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Sustituyendo nmeros resulta en

(2.36)

La funcin densidad espectral de energa

La funcin densidad espectral de energa se obtiene aplicando la ecuacin (2.33) por lo cual resulta

(2.37)

La grfica de esta funcin y el cdigo v para MATLAB que general tal grfica pueden verse en la figura 5.

s|!|; = 0.460517018u = p/ = 0.92100.2121 + /

rr/ = 4 w+ 2 / + /w ; = 0.460517018

Figura 5. Funcin densidad espectral de energa de la exponencial bilateral para un = 0.460517018. -10 -5 0 5 100

5

10

15

20a=0.460517018; f=-10:0.01:10; w=2*pi*f; Fw=2*a./(a*a+w.*w); E_FFw=Fw.*conj(Fw); figure(2) plot(f,E_FFw)



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Ejemplo de aplicacin del teorema de Parseval

Calcule la energa media total de la seal exponencial unilateral siguiente en el dominio del tiempo y en el

dominio de la frecuencia.

(2.35)

Sustituyendo valores en la ecuacin 2.12, el clculo de la energa media total es:

(2.36)

Aplicando la transformada de Fourier a la ecuacin 2.33, logramos

(2.37)

Ahora se calcula la funcin densidad espectral de energa:

(2.38)

Calculando el rea bajo la curva de la funcin densidad espectral de energa se tiene que

(2.39)

= !x; = 0.460517018

12 = 1.08573

!x; = 0.460517018 = 1 +]/ = p/

yy/ = p/p/

= 1+ / H!zFoK

124 yy/

/ = 1.08573



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Propiedades de la convolucin

Conmutatividad G = G

Asociatividad G = YG Z = Y GZ

Impulso (identidad) | = | } = }

Distributividad o aditividad

G + = G +

Homogeneidad - G = -Y GZ ~G = ~Y GZ

- ~G = -~Y GZ

Linealidad: homogeneidad y aditividad

Y- + ~GZ = - + ~G

Invariancia temporal ) = ) =

) = )



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Propiedades de la correlacin

Sin conmutatividad

Suponga que se define la correlacin de con G de la forma que sigue G =

Si se invierte el orden de los operandos se tiene que:

G =

Asociatividad G = YG Z = Y GZ

Impulso | =

Distributividad G + = G +

Homogeneidad - G = -Y GZ ~G = ~Y GZ

- ~G = -~Y GZ

Linealidad: homogeneidad y aditividad Y- + ~GZ = - G + ~G

Simetra par

Si se define como la correlacin de la funcin con sigo misma: autocorrealcin =

Entonces se cumple que es funcin par, es decir: =



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Equivalencia con la conmutatividad

La equivalencia se expresa como:

G = G

Consideremos el siguiente desarrollo en el cual se desea conocer la convolucin con G evaluada en un tiempo }. El procedimiento se describe entonces como:

se mantiene fija G se refleja y retrasa en }, es decir cambia por }. Entonces la funcin queda como:

GY }Z = G } Las funciones se multiplican (punto a punto como en todo producto de funciones).

G } Se calcula el rea del producto.

(2.19)

La cual es la frmula de la correlacin entre y G evaluada en un tiempo }, es decir: G} = G}

Realizando el cambio de variable } podemos concluir que G = G

G} = G }

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