Análisis estadístico de datos de tiempos de fallo en R

Universidad de Granada

Departamento de Estadstica e I.O.

ANLISIS ESTADSTICO DE DATOS DE

TIEMPOS DE FALLO EN R

Ana Mara Hernndez Domnguez

Tutores: M.Luz Gmiz Prez y M.Dolores Martnez Miranda

Granada, 2010

NDICE GENERAL

CONTENIDOS DEL TRABAJO .......................................................................................................................1

CAPTULO I. INTRODUCCIN AL ANLISIS DE FIABILIDAD ...........................................................3

1. VARIABLE ALEATORIA TIEMPO DE VIDA .........................................................................................................4 2. ALGUNOS MODELO ALEATORIOS DE FIABILIDAD ......................................................................................6 3. TIPOS DE DATOS EN FIABILIDAD.............................................................................................................15 4. ESTIMACIN NO PARAMTRICA DE LAS CARACTERSTICAS DE FIABILIDAD ............................................19 5. COMPARACIN NO PARAMTRICA DE CURVAS ........................................................................................26 6. ESTIMACIN CON DATOS TRUNCADOS A LA IZQUIERDA Y CENSURADOS A LA DERECHA ..........................29 7. MODELOS SEMIPARMETRICOS .............................................................................................................31

CAPTULO II. ANLISIS COMPUTACIONAL DE DATOS DE TIEMPOS DE FALLOS.....................37

1. LA FUNCIN SURV ..................................................................................................................................38 2. LA FUNCIN SURVFIT ..............................................................................................................................41 3. LA FUNCIN SURVEXP .............................................................................................................................44 4. LA FUNCIN SURVDIFF ...........................................................................................................................48 5. LA FUNCIN SURVREG ............................................................................................................................51 6. LA FUNCIN COXPH................................................................................................................................55 7. LA FUNCIN SURVFIT.COXPH ..................................................................................................................57 8. LA FUNCIN BASEHAZ.............................................................................................................................60 9. LA FUNCIN RESIDUALS.COXPH .............................................................................................................61 10. LA FUNCIN COX.ZPH .............................................................................................................................62 11. LA FUNCIN STRATA................................................................................................................................65

CAPTULO III. APLICACIN REAL...........................................................................................................67

1. INTRODUCCIN ............................................................................................................................................67 2. ESTIMACIN DE LA FUNCIN DE FIABILIDAD...............................................................................................70 3. ESTUDIO DE LAS COVARIABLES. MODELOS ESTRATIFICADOS......................................................................72 4. MODELO DE COX .........................................................................................................................................75 5. CONCLUSIONES............................................................................................................................................85

BIBLIOGRAFA ...............................................................................................................................................87

1

CONTENIDOS DEL TRABAJO

El contenido de este trabajo est dividido claramente en tres partes.

El Captulo I, Introduccin al Anlisis de Fiabilidad, es sin lugar a dudas el

bloque ms importante de este trabajo. En l se exponen los modelos tericos ms

importantes del Anlisis de Fiabilidad como son: la distribucin Exponencial o la

Weibull para los modelos paramtricos; el Estimador de Kaplan-Meier para los no

paramtricos; o el Modelo de Cox dentro de los semiparamtricos.

Como la caracterstica principal en Fiabilidad es que la observacin completa de

la variables no es posible, veremos las causas principales de este problema que dan

lugar a los distintos tipos de datos en este anlisis.

El Captulo II, Anlisis computacional de datos en tiempos de fallo, es la parte

ms tcnica del trabajo. Tras estudiar en el primer bloque los modelos tericos ms

importantes en Fiabilidad, en este bloque vemos como esas funciones podran ser

calculadas de un modo computacional, y para ello, nosotros veremos algunas de las

funciones para este tipo de anlisis del lenguaje R.

El entorno de anlisis estadstico R tiene varias libreras que permiten el clculo

del anlisis de supervivencia, pero nosotros nos referiremos exclusivamente a la librera

Survival. As que explicaremos la sintaxis y sus argumentos para las funciones ms

importantes de esta librera.

El Captulo III, es una aplicacin real donde se puede ver como son empleados

algunos de los modelos que hemos visto en el primer bloque y su tratamiento

computacional usando algunas de las funciones del bloque II.

Para este estudio, se ha tomado una red de suministro de agua de una ciudad espaola

de la que se pretende obtener informacin y registro del verdadero estado de deterioro

de la red y su fiabilidad. Mediante tramos individuales de tubera se ha estudiado el

fallo teniendo en cuenta diversas caractersticas fsicas, y la fuerte censura y

truncamiento que presentan los datos. Por este motivo, veremos algunos de sus factores

y su impacto sobre el riesgo de fallo, y su efecto sobre la razn de fallo mediante el

Modelo de Riesgos Proporcionales de Cox (RPC).


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Anlisis estadstico de datos de tiempos de fallo en R

3

Captulo I

Introduccin al Anlisis de Fiabilidad

El Anlisis de Fiabilidad o Anlisis de Supervivencia es un conjunto de tcnicas que se

emplean para analizar los datos en los que la variable de inters es el tiempo que

transcurre desde un instante inicial bien definido, hasta la ocurrencia de un determinado

suceso o instante final. Es decir, obtener informacin sobre la variable tiempo de vida,

tiempo hasta la muerte o curacin, probabilidad de fallo en cada instante, riesgo de

fallo, etc.

Cuando hablamos de tiempo de vida nos estamos refiriendo a la longitud de tiempo

hasta la ocurrencia de un suceso de inters (que suele ser el fallo de una pieza, o la

muerte o recada de un paciente) desde un punto prefijado. En otras ocasiones, el

trmino tiempo de vida se usa en sentido figurado. Matemticamente, el tiempo de vida

es una variable aleatoria no negativa. Klein y Moeschberger (1997), Andersen, Borgan,

Gill y Keiding (1993), Cox y Oakes (1984), Lawless (1982).

En el tratamiento del conjunto de datos es de importancia la utilizacin de

modelos especficos paramtricos, modelos no paramtricos y semi-paramtricos que

describen bien el comportamiento del conjunto de datos.

Una de las caractersticas ms importantes en el anlisis de los datos en un estudio de

fiabilidad de un dispositivo es la presencia de censura, es decir, cuando el suceso de

inters no ha sido observado en ese sujeto. Esta peculiaridad, entre otras, de los datos en


4

anlisis de fiabilidad hace que los mtodos clsicos de estimacin tengan que ser

adaptados como veremos.

A continuacin, estudiaremos los modelos usados a menudo en estudios de

Fiabilidad y posteriormente los aplicaremos en un caso prctico.

1. Variable aleatoria Tiempo de vida Llamaremos T al tiempo hasta la ocurrencia de un suceso de inters (generalmente el

fallo de un mecanismo). Nos referimos a este tiempo como tiempo de fallo, tiempo de

vida o tiempo de supervivencia. Consideraremos T como una variable continua.

Adems, es una variable no negativa, T 0.

1.1. Funcin de Fiabilidad o de Supervivencia Se define como la probabilidad de que el dispositivo sobreviva ms all del instante t.

[ ]( ) 1 ( )S t P T t F t= > = donde F(t) es su funcin de distribucin, que asumimos es una funcin absolutamente

continua.

Esta funcin cuantifica la capacidad que tiene un dispositivo para cumplir con xito su

funcin, en un intervalo de tiempo (0,t].

Sus propiedades son:

Montona, decreciente y continua.

t(0) 1 y lim ( ) 0S S t

= =

( ) [ ] ( ) 0t

S t P T t f x dx t

= > = donde f es la funcin de densidad asociada a T.

1.2. Funcin de Riesgo La funcin de riesgo o tasa de fallo, denotada por r(t), se define como el cociente entre

la funcin de densidad y la funcin de supervivencia. Esta funcin tiene un inters

particular en aplicaciones de Supervivencia ya que indica la disposicin inmediata al

fallo en un intervalo de tiempo pequeo, como una funcin de la edad. Su expresin es:

( )( )

( )

f tr t

S t=

Desde esta expresin podemos dar una interpretacin del significado fsico de la

funcin de riesgo. Supongamos un individuo cuyo tiempo de vida viene dado por la

variable aleatoria T. Sea t pequeo, entonces


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( ) (aparezca un fallo en ( , ))( ) ( | )

( ) ( )

f t t P t t tr t t P t T t t T t

S t P T t

+ = = < + >>

As, r(t)t representa la probabilidad de fallo durante (t, t+t], dado que el sistema est funcionando en t.

En algunos casos, se interpreta tambin como la velocidad de degradacin del

dispositivo, o la intensidad con que se presentan los fallos en el dispositivo, justo en el

instante t. Por eso la estimacin de la funcin de riesgo se basa esencialmente en

consideraciones fsicas.

Cuando el fenmeno fsico que se est estudiando es la evolucin de un individuo,

se puede estimar esta funcin considerando una serie de individuos en condiciones

similares, de modo que si se quiere modelizar matemticamente el tiempo de vida, una

estimacin natural de la funcin de riesgo es el nmero de recadas por unidad de

tiempo ocurridos en cada intervalo de observacin. Siguiendo esta lnea, y con el fin de

elegir un modelo adecuado va la funcin de riesgo, conviene tener en cuenta la

existencia de tres tipos de "fallos" (sucesos en general) que presentan caractersticas

esencialmente temporales.

El primer tipo, llamado fallo inicial, se manifiesta al principio de la vida del

individuo y va desapareciendo conforme se desarrolla el periodo inicial. Un ejemplo de

este tipo puede observarse en las tablas de mortalidad humana, en las cuales se supone

que en la vida de un individuo hay presentes, al principio de la misma, ciertos

problemas de carcter hereditario que pueden provocar desenlaces fatales y que van

desapareciendo conforme el individuo crece, y aproximadamente estn presentes hasta

una edad de 10 aos.

El segundo tipo de fallo se llama fallo accidental, y ocurre durante el periodo en

el que el individuo presenta una funcin de riesgo constante, generalmente menor que la

que prevalece durante su periodo inicial. En las tablas de mortalidad humana, se supone

que las muertes ocurridas entre los 10 y 30 aos son debidas a accidentes.

El tercer tipo, llamado fallo de desgaste, se asocia con un deterioro gradual del

individuo. En las tablas de mortalidad humana hay, a partir de los 30 aos una

proporcin creciente de muertes atribuidas al envejecimiento del individuo.

Si en la evolucin de un individuo nicamente estuviesen presentes estos tres

tipos de fallo, el modelo seleccionado para representar matemticamente su tiempo de

funcionamiento debe tener una funcin de riesgo que por su forma es conocida con el

nombre de Curva de Baera, y se asemeja a la siguiente figura:


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Figura 1.1. Curva de Baera

1.3. Funcin de Riesgo Acumulada La Funcin de Riesgo Acumulada, R(t), se define como:

0( ) ( ) log ( )

tR t r u du S t= =

Esta funcin es importante en la medicin de la frecuencia con que ocurren los

fallos en el tiempo, en la construccin de papeles probabilsticos y en el anlisis de

residuos en el ajuste de algunos modelos.

Todas estas funciones f(t), F(t), S(t), r(t) y R(t) sirven para caracterizar la

distribucin de probabilidad de T y, adems, son equivalentes entre s, con lo que

conocida una de ellas, las restantes son fciles de obtener a travs de alguna de las

siguientes relaciones:

{ } ( )0

( ) ( )

( ) ln ( )

( ) exp ( )

( ) ln ( )

t R t

df t S t

dtd

r t S tdt

S t r u du e

R t S t

=

=

= =

=

2. Algunos modelo aleatorios de fiabilidad Existen numerosos modelos paramtricos que son usados en el anlisis de tiempo de

vida y en problemas relacionados con la modelizacin del envejecimiento y el proceso

de fallo. Entre los modelos univariantes, son unas pocas distribuciones las que toman un

papel fundamental dado su demostrada utilidad en casos prcticos. As se tiene, entre

otras, la exponencial, gamma, la Weibull, la normal y log-normal y la log-logstica.

El mtodo consiste en estimar, por mtodos robustos (mxima verosimilitud o

mnimos cuadrados), los parmetros caractersticos de la distribucin, y usar su


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normalidad asinttica para realizar la estimacin por intervalos y resolver contrastes de

hiptesis.

A continuacin, presentamos algunas de las distribuciones referidas

anteriormente.

2.1. Distribucin Exponencial La distribucin exponencial tiene un papel fundamental en el Anlisis de Fiabilidad ya

que se trata de la distribucin ms empleada en el anlisis de datos de tiempo de fallo.

Se suele utilizar para modelizar el tiempo transcurrido entre dos sucesos aleatorios

cuando la tasa de ocurrencia, , se supone constante.

En fiabilidad se usa para describir los tiempos de fallo de un dispositivo durante

su etapa de vida til, en la cual la tasa de fallo es aproximadamente constante, r(t) = .

Una tasa de fallo constante significa que, para un dispositivo que no haya fallado con

anterioridad, la probabilidad de fallar en el siguiente intervalo infinitesimal es

independiente de la edad del dispositivo.

La expresin de la funcin de densidad que sigue una distribucin exponencial

es:

( ) 0tf t e t = donde es la tasa de fallo, y es una constante positiva.

La funcin de distribucin es:

( ) 1 0tF t e t= La funcin de fiabilidad queda como:

( ) 1 ( ) 0tS t F t e t= = La funcin de riesgo es:

( )( ) t 0

( )

t

t

f t er t

S t e

= = =

Propiedad de no memoria

La distribucin exponencial se caracteriza por la propiedad de no memoria, y se enuncia

como sigue:

Sea X una variable aleatoria con distribucin exponencial entonces

{ } { }P X>x+t|X>t P X t= > para todo x, y 0.


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Es decir, si interpretamos X como el tiempo de vida de un individuo, esta

igualdad establece que la probabilidad de que el individuo sobreviva al tiempo x+t dado

que ha sobrevivido al tiempo x, es igual a la probabilidad de que sobreviva al tiempo t al

principio de su vida (o cuando est nuevo para el caso de un objeto).

La condicin anterior puede tambin escribirse en trminos de la funcin de

supervivencia

( ) ( ) ( )S x t S x S t+ =

Esta propiedad describe el proceso de vida sin envejecimiento, y caracteriza a la

funcin exponencial.

2.2. Distribucin Gamma Una generalizacin de la distribucin exponencial es la distribucin Gamma. Una

variable aleatoria de tiempo de vida se dice que se distribuye segn una Gamma de

parmetros y , G(,), cuando su funcin de densidad viene dada por 1

( ) t 0, , 0( )

ttf t e

= >

donde es el parmetro de forma, es el parmetro de escala y representa la funcin

gamma que se define

1

0( ) , para todo 0xx e dx

= >

y verifica que (n)=(n-1)!, para todo nN. Cuando =1, se tiene la distribucin

exponencial.

La funcin de riesgo es: 1

1

0

( )t

x

t er t

x e dx

=

es una funcin decreciente en t si 1.

Adems r(t) se aproxima asintticamente a 1/ cuando t, lo cual sugiere que

la distribucin Gamma puede ser til como un modelo de poblacin cuando los

individuos que sufren determinada enfermedad son sometidos a un programa de

seguimiento regular. La razn de fallo puede crecer o decrecer algo inicialmente, pero

despus de algn tiempo la enfermedad tiende a estabilizarse y a partir de ah la recada

es tan probable en un intervalo de tiempo como en otro de la misma amplitud.


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0 10 20 30 40

0.0

0.4

0.8

1.2

t

r(t)

G(0.5,0.5)G(1,0.5)G(3,0.5)

Figura 1.2. Funciones de riesgo de distintas distribuciones Gamma

2.3. Distribucin Weibull Un inconveniente de la distribucin exponencial es que no sirve como modelo para

tiempos de vida en los que la razn de fallo no es una funcin constante, sino que la

probabilidad condicional de fallo instantneo vara con el tiempo. Es decir, mientras que

la distribucin exponencial supone una razn de fallo constante, la familia de

distribuciones de Weibull incluyen razones de fallo crecientes y decrecientes. Como

muchos fallos que encontramos en la prctica presentan una tendencia creciente, debido

al envejecimiento o desgaste, esta distribucin es til para describir los patrones de este

tipo de fallo.

Definiremos la distribucin de Weibull a partir de su funcin razn de fallo, r(t).

Sea T una variable aleatoria tiempo de vida tal que la correspondiente razn de fallo

viene dada por: 1( ) ( )r t t =

con > 0, >0, t > 0; es el parmetro de forma y el de escala. Notamos a la

distribucin como W (, ). Cuando = 2, es conocida como distribucin de Rayleigh.

Grficamente, representamos las funciones de riesgo de distribuciones para

W(1, 1.5), W(1,1) y W(1,0.5).


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Figura 1.3. Funciones de riesgo de distribuciones W(1, 1.5), W(1,1) y W(1, 0.5)

Propiedades

Dada la importancia de la distribucin Weibull ya que es una familia ms amplia que

contiene como caso particular a la Exponencial y est formada por aquellas

distribuciones con funcin de riesgo de tipo potencial, vamos a ver algunas de sus

propiedades ms importantes:

Propiedad 1: Si T1,T2,...,Tn son n variables aleatorias independientes e idnticamente

distribuidas con distribucin comn Weibull, entonces T(1)= min{T1,T2,...,Tn} es tambin

Weibull. La funcin de supervivencia es

( ) ( ){ }(1) ( ) ( ) expnTS t S t n t = = y los parmetros pueden identificarse a partir de aqu fcilmente.

Propiedad 2: Si X tiene distribucin exp(), entonces T=Xp tiene distribucin Weibull,

W(p, 1/p).

De donde se deduce que la distribucin exponencial es un caso particular de la

distribucin Weibull para =1.

Propiedad 3: La funcin de riesgo es creciente para >1 y r(t) cuando t. Es

decreciente para


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Propiedad 4: Si (t)


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Figura 1.4. Razn de fallo de la distribucin N(0,1)

Cuando una variable aleatoria tiene distribucin normal pero con una cota

superior y/o inferior para los valores de la variable, la distribucin resultante se llama

distribucin normal truncada. Cuando slo hay una cota inferior (superior), la

distribucin se dice truncada a la izquierda (derecha), si existen las dos cotas se dice

doblemente truncada.

La distribucin normal truncada en 0 es a menudo usada como distribucin de

tiempo de vida.

2.5. Distribucin Lognormal La distribucin normal, sin duda la ms importante de las distribuciones estadsticas, no

resulta de mucho inters a la hora de modelar tiempos de fallo. Esto es debido al hecho

de que la distribucin normal admite valores negativos, lo cual contrasta con el hecho

de que los tiempos transcurridos hasta el fallo sean siempre valores positivos. Aunque

como hemos visto anteriormente, este problema se podra solucionar truncado la

distribucin Normal, otra forma de solventar esta dificultad, es recurrir a la distribucin

log-normal, derivada de la normal, que slo considera valores positivos.

Se dice que una variable aleatoria T tiene un comportamiento lognormal, de

parmetros y si su logaritmo es una variable aleatoria con distribucin Normal, es decir, si

( ) ,N)Tln( Si T sigue una distribucin lognormal se representa por T ~ LN(, ), donde y son

los parmetros de localizacin y dispersin de la distribucin de ln(T).


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Sus funciones de densidad y de distribucin vienen dadas respectivamente por:

( )2 2ln / 21( ) 02

tf t e tt

pi

=

ln( ) 0

tF t t

=

donde (z) representa la funcin de distribucin de una normal estndar, cuyo clculo

se obtiene con la integral

( ) ( )z

z u du

=

donde (u) es la funcin de densidad de una Normal (0,1). La funcin de fiabilidad S(t) y la funcin de riesgo r(t) dependen tambin de

(z), como se puede ver en la siguiente expresin

ln ln ln( ) ( ) 1 ( ) 1

T t tS t P T t F t P

= > = = > =

La funcin de riesgo r(t) = f(t) / S(t) tiene valor cero en t = 0, es creciente hasta

un mximo y despus decrece muy lentamente sin llegar a 0.

El modelo lognormal es muy fcil de utilizar si no hay censura (este concepto se

define en secciones posteriores), pero con censura los clculos y operaciones se

complican.

Figura 1.5. Razones de fallo de distribuciones lognormales

=0 y =1; y (II) =1 y =0.5

La distribucin lognormal se ajusta a ciertos tipos de fallos (fatiga de

componentes metlicos, vida de los aislamientos elctricos), procesos continuos

(procesos tcnicos) y puede ser una buena representacin de la distribucin de los


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tiempos de reparacin.

La distribucin lognormal es importante en la representacin de fenmenos de efectos

proporcionales, tales como aquellos en los que un cambio en la variable en cualquier

punto de un proceso es una proporcin aleatoria del valor previo de la variable.

2.6. Distribucin Log-Logstica La importancia de la distribucin log-logstica, al igual que la lognormal, est en que

proporcionan modelos para tiempos de vida que no tienen funcin de riesgo montona,

sino que pueden (segn cmo se elijan los parmetros) presentar diferentes formas. Las

funciones de riesgo de estas dos distribuciones con muy parecidas pero la de la log-

logstica es mucho ms manejable.

La funcin de supervivencia S(t) es

1( )

1 kS t

e t=

+

La funcin de riesgo es

1

( )1

k

k

e ktr t

e t

=

+

para t0. El siguiente grfico representa una funcin de riesgo para un modelo log-

logstico, que crece inicialmente y a partir de un momento determinado cambia de

sentido y decrece.

Figura 1.6. Funcin de riesgo de una log-logstica

Algunas de las ventajas de esta funcin con respecto a la lognormal, es que


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cuando t , la funcin de riesgo se aproxima a cero. Adems, la forma de su funcin

de riesgo es muy parecida a la lognormal pero algebraicamente es mucho ms

manejable.

3. Tipos de datos en Fiabilidad Un ensayo clsico de Fiabilidad consiste en observar a lo largo del tiempo una muestra

de dispositivos o piezas en funcionamiento. La variable de inters suele ser el tiempo de

fallo del dispositivo, pero existen ocasiones en las que no es posible la observacin

completa de esta variable porque no sea factible continuar el experimento hasta que

fallen todos los dispositivos. Las dos causas principales son la censura y el

truncamiento.

En la censura destacamos dos tipos: Censura Tipo I, en la cual los dispositivos son

observados hasta un tiempo determinado; y la Censura Tipo II, en la que los individuos

son observados hasta que ocurran un nmero determinado de fallos. La determinacin

del tiempo para el Tipo I y el nmero de fallos para el Tipo II deben establecerse antes

de iniciar el experimento, y no durante el transcurso del mismo.

Atendiendo a las causas que dan lugar a la censura o al truncamiento, se distinguen

los siguientes tipos.

Censura por la derecha Este tipo de censura se considera dentro de la Censura Tipo I. Se presenta cuando

finalizado el periodo de observacin de un determinado dispositivo, an no ha

ocurrido el evento que se desea observar (generalmente el fallo del dispositivo). Es

decir, puesto un dispositivo en funcionamiento y fijado un cierto valor Y (duracin

del seguimiento o periodo de observacin), se dice que una observacin T (tiempo

de vida del dispositivo) es censurada a la derecha si se desconoce el valor de T, y

slo se sabe que es mayor que Y.

Censura por la izquierda Se presenta cuando el evento que se desea observar ha ocurrido antes de que el

dispositivo o individuo se incluya en el estudio. Por tanto, se desconoce el valor

exacto de la observacin Ti.

Este tipo de censura suele confundirse con el truncamiento por la izquierda o la

entrada tarda.


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Censura doble Se presenta cuando los datos estn censurados tanto por la izquierda como por la

derecha.

Censura aleatoria Se produce cuando en el transcurso de un estudio, algunas unidades experimentan

otros sucesos independientes del de inters que provocan la salida del estudio.

Esto puede deberse fundamentalmente a varias razones: a que hasta el momento de

la finalizacin del estudio no haya ocurrido el evento (si es que el periodo de

seguimiento es finito), a que el individuo abandone el estudio, o en el caso de que

ocurra en el individuo o dispositivo otro evento que imposibilite la ocurrencia del

evento que se desea observar.

El modelo aleatorio de censura a la derecha se representa con el par (X; ),

donde:

{ } { } 1 si T Ymin , y 1 0 si T > YT YX T Y

= =

donde es la funcin aleatoria indicadora de censura. Cada valor de la muestra ser un par (xi, i), con i=1 cuando el valor observado de X corresponde con el tiempo

de fallo del dispositivo y i=0 cuando el valor registrado de X es un tiempo de

censura, es decir, no se ha observado el tiempo de fallo del dispositivo porque un

suceso aleatorio e independiente del fallo del mecanismo ha ocurrido en el tiempo

xi interrumpiendo la observacin de la vida del mecanismo hasta su fallo. En este

caso la informacin muestral que se registra acerca de la variable de inters es que

sta tomara un valor superior al tiempo registrado.

Truncamiento por la izquierda Sucede cuando los individuos entran en el estudio a edades aleatorias, por lo que el

origen del tiempo de vida precede al origen de estudio.

Para aquellos sujetos en los que el fallo tiene lugar antes del inicio del estudio

sern ignorados y no entrarn a formar parte del estudio. La informacin que se

registra se refiere por tanto no a la variable de inters tiempo de vida tal cual, sino a

esta variable condicionada a que el individuo sobrevivi para entrar en el estudio.

Truncamiento por la derecha Ocurre cuando slo los individuos que presentan el evento o fallo son incluidos en

el estudio. En este caso la informacin que se registra tambin corresponde a una


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variable condicionada a que el tiempo de fallo fue anterior a la finalizacin del

estudio. Individuos que no cumplen esta condicin son ignorados por el

experimento.

Modelo de truncamiento por la izquierda y censura por la derecha Este modelo terico se recoge en problemas que presentan datos que son truncados

y censurados al mismo tiempo.

Sea (X,T,C) un vector aleatorio, donde X es el tiempo de truncamiento, T es el

tiempo de fallo, y C es el tiempo de censura. Se supone que bajo un modelo de

truncamiento por la izquierda y censura a la derecha, las observaciones muestrales

sern observaciones del vector (X,Y,), donde Y =min{T,C} y es el indicador de

censura, es decir, = 1{TC} si T es un tiempo de fallo 0 si T es un tiempo de

censura. Si Y < X, no hay observaciones. Es decir, que la muestra est constituida

por n observaciones de tipo (xi, yi , i) en los que xi yi para todo i=1, 2, , n.

Las condiciones habituales en este modelo son:

T es independiente de (X,C)

X,T y C son mutuamente independientes.

3.2. Ejemplos de tipos de datos Para poder entender mejor los diferentes tipos de experimentos muestrales que hemos

descrito anteriormente, vamos a ver un ejemplo, que aunque no cubre todos los casos,

refleja los ms importantes.

EJEMPLO 1

Imaginemos un estudio en el que se quiere analizar la supervivencia en pacientes

con trasplante de corazn. El periodo de estudio son 52 semanas, donde el evento

de inters es la muerte del paciente, aunque no todos los pacientes tienen por qu

morir en ese periodo de tiempo. As que, el estudio lleva consigo el registro de

informacin muestral incompleta en uno u otro sentido.

En el siguiente grfico se ilustra mediante lneas de distinto tipo las

observaciones en 6 pacientes. La lnea gruesa indica el periodo de observacin del

individuo; el crculo grueso representa la observacin del evento; el recuadro indica

el tiempo de censura; y el crculo vaco representa la ocurrencia del evento pero que

no queda registrada en el estudio.


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Figura 1.7. Ejemplo de censura y truncamiento en 6 pacientes

a) El sujeto 1 entra en el estudio en el momento del trasplante y muere despus de

40 semanas. Por tanto, este dato no tiene censura, ya que el dato es observado

desde el comienzo hasta su muerte.

b) El sujeto 2 entra en el estudio en el momento del trasplante y sobrevive ms de

52 semanas, por lo que deja de ser observado. A las 90 semanas fallece, sin

embargo, esta observacin no es tenida en cuenta en el estudio ya que finaliz a

las 52 semanas.

ste es un ejemplo de censura a la derecha. La censura por la derecha

suele ocurrir cuando el estudio tiene una fecha determinada para la finalizacin.

c) El sujeto 3 entra en el estudio en el momento del trasplante, pero abandona el

estudio en la semana 30. Por lo tanto, este es un ejemplo de censura aleatoria a

la derecha.

Aunque el individuo fallece en la semana 50, el dato no es observado.

d) El sujeto 4 entra en el estudio en la semana 15 despus del trasplante y muere a

las 35 semanas. Estamos ante el caso de una entrada tarda al estudio. Se dice

que este dato presenta truncamiento a la izquierda.

e) El sujeto 5 entra en el estudio en la semana 30 despus de ser trasplantado, y a la

finalizacin del estudio en la semana 52 aun no ha experimentado el evento. Por

lo que es un dato que presenta truncamiento a la izquierda y censura a la


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derecha.

f) El sujeto 6 entra en el estudio en el momento del trasplante pero abandona el

estudio en la semana 10. La informacin se pierde hasta la semana 35 en la que

vuelve a entrar en el estudio, para finalmente fallecer en la semana 45. Por tanto,

este dato es un ejemplo de mltiples intervalos de observacin.

EJEMPLO 2

Un ejemplo de datos truncados por la derecha lo encontramos en los tiempos de

incubacin en enfermos de SIDA. Dado que slo se registran individuos que han

desarrollado SIDA, el tiempo de incubacin (T), que es el tiempo que transcurre

desde el diagnstico del VIH y SIDA, slo se tendr en cuenta individuos cuyo

tiempo de incubacin sea menor o igual que la duracin total del estudio (). Es

decir, slo entran en estudio aquellos individuos que cumplan T , por tanto las

observaciones son truncadas a la derecha. Un individuo que no haya desarrollado

SIDA cuando acabe el periodo de observacin no entra en la muestra, no se puede

registrar su tiempo de incubacin y por lo tanto es ignorada.

EJEMPLO 3

Para el caso de la censura a la izquierda se puede utilizar como ejemplo un estudio

en adolescentes que empiezan a fumar mariguana (Klein & Moeschberger, 1997).

Se selecciona una muestra de adolescentes con 16 aos que ya fuman mariguana y

se les pregunta a qu edad comenzaron. La variable de inters es el tiempo hasta

que fuman por primera vez (T). Algunos lo recuerdan con exactitud (a los 14 aos,

a los 15 aos, ) por lo que proporcionan informacin completa sobre la variable

en estudio. Sin embargo, hay otros jvenes que no recuerdan en qu momento

fumaron por primera vez, pero dado que ahora fuman y tienen 16 aos, la

informacin que aportan es un dato censurado a la izquierda, ya que se sabe que T

16.

4. Estimacin no paramtrica de las caractersticas de

fiabilidad Los modelos no paramtricos son mtodos analticos y grficos que permiten interpretar

los datos obtenidos sin asumir ningn tipo concreto de modelo probabilstico para los

tiempos de fallo y las funciones bsicas (riesgo, fiabilidad), por lo que se estiman

directamente de los datos. En ocasiones, esto puede resultar ventajoso pues no se


20

requieren de grandes supuestos previos sobre el modelo.

A continuacin, describiremos algunos de los mtodos no paramtricos empleados

en la estimacin de las caractersticas en fiabilidad:

Funcin de Fiabilidad Emprica

Estimador de Kaplan-Meier o Estimador Producto Lmite

Estimador de la funcin de riesgo acumulada: Estimador de Nelson-Aalen

4.1. Funcin de Fiabilidad Emprica Supongamos n tems que son observados hasta que ocurre el fallo, y tj el tiempo de

ocurrencia del fallo, por lo que tendremos t1 < t2 < < tk con k n; y sea dj el nmero

de fallos ocurridos en el tiempo tj, con j = 1, 2, , k.

Se define la funcin de fiabilidad emprica como

n de observaciones despus de t( )nS t n

=

es decir,

11( ) ,

j

ji

n j j

n dS t t t t

n=

+

=

para j = 0, 1, , k, siendo t0 = 0 y tk+1 = .

Propiedades

Es no creciente

Toma valor 0 en todo t menor que el primer tiempo de fallo observado, t1.

Toma valor 1 en todo t mayor que el ltimo tiempo de fallo observado, tk.

Es continua a la derecha. Permanece constante entre dos observaciones

consecutivas y presenta un salto de magnitud dj/n en la observacin j-sima.

Si F es la funcin de distribucin que describe la variable aleatoria T, tiempo de

vida del sistema en estudio, F = 1 - S, se tiene el conocido Teorema de Glivenko-

Cantelli, segn el cual, si

sup ( ) ( )n nt

D F t F t<


21

Sin embargo, la funcin de fiabilidad estimada tiende a subestimar la funcin de

fiabilidad, por lo que no es un buen estimador cuando en la muestra aparecen

observaciones censuradas. Esto es as, ya que estamos entendiendo que los tems en

cuestin fallan en el tiempo de censura, con lo cual estamos falseando la informacin

porque lo nico que sabemos es que hasta ese instante de censura el tem no haba

fallado, pero tras ese tiempo no se tiene informacin.

Si la muestra procede de un plan de ensayo en el que la duracin del test est

prefijada, es decir, es Tipo I, transcurrido un tiempo T0 no hay observaciones, por lo que

el estimador Sn est definido nicamente en el intervalo [0,T0]. Fuera de ese intervalo

no puede estimarse la funcin de fiabilidad ya que no hay informacin muestral.

Si en cambio, se lleva a cabo un plan de ensayo Tipo II, es decir, se observa la

muestra hasta la ocurrencia del r-simo fallo, construimos un estimador Sn hasta que

alcanza el valor (n-r)/n. De esta forma, estar definida en el intervalo [0,tr].

Cuando las muestras son multicensuradas, entonces se emplearn otros mtodos

ms sofisticados como el estimador de Kaplan-Meier que veremos a continuacin.

4.2. Estimador de Kaplan- Meier o Estimador Producto Lmite Las tcnicas de estimacin no paramtrica con datos censurados se inicia con los

aportes de Kaplan y Meier (1958), quienes publicaron algunos resultados obtenidos para

observaciones censuradas a la derecha y aaden un estudio de las propiedades bsicas

de un nuevo estimador que se conocer con el nombre de sus autores. A partir de

entonces, el Estimador de Kaplan-Meier o Estimador de Producto Lmite se

convierte en uno de lo mtodos no paramtricos ms utilizados para estimar la funcin

de fiabilidad con datos no agrupados en presencia de censura.

Definicin

El Estimador de Kaplan-Meier se define de la siguiente forma. Supongamos que se

observa una muestra de n piezas en funcionamiento, de forma que de cada pieza i se

registra o bien su tiempo de fallo o bien su tiempo de censura. El objetivo es

estimar la funcin de fiabilidad de la variable aleatoria T, tiempo de fallo.

Grficamente, la informacin de la muestra vendra dada en la forma:


22

Figura 1.8. Observacin de n piezas

Se supone que se registran un total de k (k n) distintos tiempos 0 = t0 < t1 < t2 <

< tk en los cuales ocurren los fallos. Por tanto, decimos que se registran k fallos, con

lo cual w = n k es el nmero de datos censurados. El mtodo de Kaplan-Meier estima

la probabilidad de supervivencia en el tiempo tj mediante el producto de la probabilidad

de supervivencia en el tiempo tj-1 por la probabilidad condicionada de sobrevivir al

tiempo tj si se ha sobrevivido hasta el tiempo tj-1. A continuacin, definimos las

siguientes cantidades:

dj : es el nmero de piezas que han fallado en el instante tj, si no hay empates,

dj = 1;

wj : es el nmero de piezas censuradas en el intervalo (tj, tj+1);

nj : es el nmero de piezas en riesgo inmediatamente antes del instante tj, y se

calcula de la forma:

n0 = n;

n1 = n w0;

n2 = n1 w1 d1;

........................

nj = nj-1 wj-1 dj-1;

........................

Dado que conocemos exactamente dnde ocurren los fallos, la probabilidad de

supervivencia permanecer constante entre dos fallos consecutivos. Las censuras deben

ser tenidas en cuenta a la hora de calcular el nmero de unidades en riesgo en cada

punto de estimacin.

As, el Estimador de Kaplan-Meier se define de la siguiente forma

: :

( ) 1j j

j j j

j t t j t tj j

n d dS t

n n

= =

Si el ltimo dato registrado es un tiempo de censura t*, quiere decir que no hemos

observado todos los fallos de las piezas en estudio, por tanto, la estimacin de la funcin

de supervivencia no vale cero en ningn momento, de modo que no podemos estimar

esta curva hasta +, ya que no sera una curva de supervivencia propiamente dicha. En

este caso, construimos el estimador slo hasta este tiempo de censura, t*. El ltimo

intervalo sera por tanto [tk, t*), y en este caso, 0kS > .


23

Propiedades

El estimador de Kaplan-Meier es el estimador no paramtrico mximo verosmil

de la funcin de fiabilidad por lo que presenta varias de las propiedades deseables

en un buen estimador.

Estas propiedades proporcionan facilidad de clculo y la ventaja de poder utilizarlo

en problemas con datos censurados a la derecha. Adems, cuando las estimaciones

de S(t) se hacen con datos en ausencia de censura, su expresin coincide con la del

estimador no paramtrico de la funcin de fiabilidad, es decir la funcin de

fiabilidad emprica definida anteriormente. Por lo tanto, este estimador tiene

muchas de las propiedades deseables en un estimador para muestras grandes. Sin

embargo, para muestras pequeas ya no son tan robustas. En particular, es sesgado

para muestras finitas y la magnitud del sesgo es inversamente proporcional al

tamao de la muestra. Por otro lado, la eficiencia asinttica del estimador de

Kaplan-Meier es inferior a la del estimador paramtrico de mxima verosimilitud si

el nivel de censura es alto o la supervivencia est prxima a cero.

Varianza del Estimador

El estimador de Kaplan-Meier de S(t) da una estimacin puntual o un nico valor

para esta funcin en cualquier instante t. Por lo tanto, si se desea tener una medida

de la precisin de este estimador en diferentes instantes de tiempo o sobre

diferentes muestras, es necesario contar con un buen estimador de su varianza, el

cual viene dado por la frmula de Greenwood (1926).

Para calcular la varianza usaremos la aproximacin por el mtodo delta (ver

Meeker y Escobar, 1998). El desarrollo en serie de Taylor hasta el primer sumando

para i, considerada como funcin de iq , nos dara:

( )1

( ) ( )

j

i

i i j jj j p

SS t S t p p

p=

= +

y, a partir de aqu, la varianza vendra dada, usando el mtodo delta, por

( ) ( )21 1

,

i ii i

i i i j kj k j k

S SVar S E S S Cov p p

p p= =

= =

Adems, cuando n es grande las q son incorreladas, esto es para ij,


24

( ) , 0j kCov p p = con lo cual

( )2

1

ii

i ij j

SVar S Var p

p=

=

y, sustituyendo, se obtiene la frmula de Greenwood para la estimacin de la

varianza

2 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

i ij j

i i ij jj j j j j

q dVar S t S t S t

p n n n d= =

=

Intervalos de confianza

A partir del estimador del error estndar que hemos obtenido anteriormente

podemos construir intervalos de confianza basndonos en que la distribucin de

( )

( ) ( )

i

i iS

S t

S t S tZ

EE

=

es asintticamente normal estndar, con lo que

[ ] 1 2 / 2( ) ( ); ( ) ( ) ii i i S tS t S t S t EE Z=

donde z/2 es el cuantil de orden 1/2 de la distribucin N(0,1).

Cuando el tamao muestral no es grande, la ley normal puede no ser una

aproximacin adecuada para la distribucin de SZ , particularmente en las colas de

la distribucin, por ejemplo, es posible que S1 (t) < 0 S2 (t) > 1, resultados que

estn fuera del rango de posibles valores de una funcin de fiabilidad. Podra

obtenerse una mejor aproximacin usando la transformacin logit, esto es:

log ( ) log1

pit p

p

=

y basndose en la distribucin de


25

[ ]log ( )

log ( )

log ( ) log ( )

i

i i

it S

it S t

it S t it S tZ

EE

=

Esta transformacin de ( )iS t , verifica

log ( )iit S t < <

con lo cual log ( )it SZ est ms prxima a una N(0,1). Con esto construimos el

intervalo de confianza

[ ] ( ) ( )1 2 ( ) ( )

( ); ( ) , ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) /

i ii i

i i i i

S t S tS t S t

S t S t w S t S t w

= + +

con

( ) ( )

/ 2

exp

( ) 1 ( )iS t

i i

EEw z

S t S t

= +

.

4.3. Estimador de la Funcin de Riesgo Acumulada: Estimador de

Nelson-Aalen Dado que la funcin de supervivencia se puede expresar en trminos de la funcin de

riesgo, R(t) = ln S(t), si se desea estimar la funcin de riesgo acumulada, entonces

se tiene que, )(ln)( tStR = donde (t) es el estimador de Kaplan-Meier de la funcin

de supervivencia.

Otro posible estimador de R(t) puede obtenerse mediante las sumas acumuladas de la

estimacin emprica de la funcin de riesgo

,

( ) ( )j

j

j t t j

dR t t

n= = % %

donde dj representa el nmero de fallos ocurridos en el instante tj; y nj es el nmero de

individuos en riesgo en tj (estas cantidades se definen del mismo modo que en el


26

estimador de Kaplan-Meier, ver Seccin 1.4.2.).

A este estimador se le llama Estimador de Nelson -Aalen y fue introducido por

primera vez por Nelson (1969, 1972). De un modo independiente, Altshules (1970)

redescubri el mismo estimador para procesos de conteo con animales. Posteriormente,

adoptando la formulacin del proceso de conteo, Aalen (1978) extendi sus usos ms

all de la superviviencia para estudiar sus propiedades usando martingalas.

El cociente dj/nj, proporciona una estimacin de la probabilidad condicionada de

que una unidad que sobrevive hasta el instante inmediatamente anterior a tj, falle en el

instante tj.

A partir de la relacin logartmica entre R(t) y S(t), se obtiene un estimador

alternativo )(~tS , de la funcin de supervivencia, conocido como estimador de Fleming-

Harrington, de la funcin de supervivencia, cuya relacin es:

,( )( )

j

jj j t

d

nR tS t e e

= =

%%

Este estimador es de gran utilidad en la construccin de grficas, para evaluar la

seleccin de una determinada familia paramtrica de distribuciones, cuando se trata de

modelizar la distribucin del tiempo de vida de una unidad y realizar unas primeras

estimaciones de los parmetros del modelo seleccionado.

Cuando T es una variable continua, )(~tS y )( tS , son estimadores asintticamente

equivalentes. En realidad, )(~tS es la aproximacin lineal de primer orden de la funcin

)( tS , ya que

, , ,

( ) ln(1 ) ( )j j j

jj j

j t t j t t j t t j

dR t q q R t

n = = = %

5. Comparacin no paramtrica de curvas Un problema tpico en fiabilidad consiste en comparar las funciones de supervivencia

de k ( 2) poblaciones que se diferencian en algn factor. Es decir, se trata de detectar

posibles diferencias, en cuanto a las funciones de supervivencia, que dicho factor

pudiese haber inducido. Aunque la representacin grfica de las curvas de supervivencia

alerte sobre posibles diferencias, sera interesante disponer de una prueba estadstica

que permita establecer diferencias significativas objetivas entre las curvas, lo que

indicara que el factor considerado es determinante en el riesgo de fallo.

Aunque existen numerosos tests no paramtricos, para comparar 2 o ms curvas


27

de supervivencia, nosotros estudiaremos el Test de Savage o Test de log-rank.

Vamos a aplicar el procedimiento a la comparacin de la supervivencia de dos

grupos de tems, G1 y G2, cuya funcin de supervivencia es respectivamente S1 y S2.

Este test est indicado, y en este caso es el ms potente, cuando el cociente de las

funciones de riesgo es aproximadamente constante, esto es, la hiptesis alternativa es la

de riesgos proporcionales.

Supongamos que disponemos de una muestra de cada poblacin, de tamaos

respectivos n1 y n2. De modo que n = n1 + n2 es el nmero total de datos en la muestra

combinada, para la que denotamos t1 < t2 < < tk, los tiempos de fallo distintos

observados y ordenados.

Formulamos la hiptesis nula de la siguiente forma:

1 2: ( ) ( ) oH S t S t t =

siendo el tiempo total de observacin de la muestra, es decir, sera el mximo de los tj.

El test consiste en comparar el nmero de fallos observados dentro de cada grupo

(G1 y G2) y el nmero de fallos esperado bajo la hiptesis nula.

Definimos las siguientes cantidades:

dj: el nmero total de fallos ocurridos en tj;

nj: el nmero total de tems en riesgo justo antes de tj;

dij, i =1, 2: el nmero de fallos ocurridos en el tiempo tj entre los individuos del

grupo i;

nij: i =1, 2: el nmero de tems en riesgo al principio de tj entre los individuos del

grupo i.

Si la hiptesis nula es cierta, la probabilidad condicional de fallo en tj es igual

para los dos grupos, j, por lo tanto, la distribucin de probabilidad (d1j, d2j) sera

( ) ( )2 21 1

1 1j ij j ijij ij

n d n dij ijd d

j j j ji iij ij

n n

d d

= =

=

A partir de aqu definimos, para cada i, el estadstico log-rank:

( )1

k

i ij ijj

U d e=

= ,


28

se tiene, por el teorema central del lmite, cuando k es suficientemente grande, que

( )1

1

1

(0,1)( )

( )

k

ij ijji

k

ijj

d nU

NVar U

Var d

=

=

=

y, por lo tanto

2

1

(1)( )iU

Var U .

Basndonos en estas dos distribuciones podemos construir tests equivalentes para

evaluar las diferencias entre los grupos.

Este test da la misma importancia a las diferencias observadas en todos los

tiempos de fallo, independientemente del nmero de tems en riesgo en cada caso. No

obstante, resulta ms apropiado considerar que las diferencias registradas al principio

del intervalo de observacin deben pesar ms en el estadstico que las diferencias que se

registran al final, ya que las primeras cuentan con ms casos. A partir de este

razonamiento se define una familia de tests cuyo estadstico tiene la siguiente forma:

( )( )

1

2

1

k

j ij ijj

k

j ijj

w d e

U

w d

=

=

=

donde w = (w1, w2, ,wk) es un vector de pesos que pondera las diferencias entre

fallos observados y fallos esperados a lo largo de los tiempos observados. Este

estadstico tiene, bajo la hiptesis nula, distribucin N(0,1). Considerando distintos

vectores peso, se obtienen diferentes tests, para w = 1 obtenemos el test de log-rank.

Test de Gehan, Breslow o de Wilcoxon generalizado: wj = nj.

Test de Tarone, Tarone-Ware: j jw n=

Test de Prentice: 1

1

1

ji i

ji i

n dw

n=

+=

+

El problema de este grupo de tests es que nicamente detectan diferencias en las

curvas de supervivencia cuando la situacin es una de las siguientes: S1(t) < S2(t)

S1(t) > S2(t) para todo t, en otro caso, el numerador de U sera una suma de trminos


29

positivos y negativos que podra resultar en un valor prximo a 0 y por tanto no sera

estadsticamente significativo. Es decir, este grupo de tests resulta especialmente eficaz

cuando la hiptesis alternativa se corresponde con la hiptesis de riesgos

proporcionales.

6. Estimacin con datos truncados a la izquierda y

censurados a la derecha En el caso de truncamiento a la izquierda y censura a la derecha, para el caso de la

funcin de supervivencia, se produce un importante sesgo debido a la subestimacin de

la supervivencia. Para poder entender mejor como sera un caso de este tipo, pongamos

un ejemplo.

Channing House es un centro de retiro de la localidad Palo Alto, California. Se

registraron datos correspondientes (Klein & Moeschberger, 1997) a las edades en el

momento de fallecimiento de 462 individuos que vivan en la residencia durante el

periodo de enero de 1964 a julio de 1975. Dado que un individuo debe sobrevivir un

tiempo suficiente (65 aos) para entrar en un centro de estas caractersticas, todos los

individuos que fallecieron a edades tempranas no entrarn en el centro y, por lo tanto,

quedan fuera del alcance de las investigaciones, es decir, tales individuos son excluidos

del estudio dado que no viven el tiempo suficiente para entrar en el centro. De modo

que si la informacin muestral se restringe a los habitantes de la residencia, no estamos

registrando informacin sobre la variable T = tiempo de vida de un individuo de Palo

Alto, sino de la variable T condicionada al suceso T 65.

Los datos con trocamiento a la izquierda y censura a la derecha se presentan de la

siguiente forma.

Sea (X,T,C) un vector aleatorio, donde X es el tiempo de truncamiento, T es el

tiempo de fallo, y C es el tiempo de censura. Se supone que bajo un modelo de

truncamiento por la izquierda y censura a la derecha, las observaciones muestrales

sern observaciones del vector (X,Y,), donde Y =min{T,C} y es el indicador de

censura, es decir, = 1{TC} si T es un tiempo de fallo 0 si T es un tiempo de censura.

Si Y < X, no hay observaciones. Es decir, que la muestra est constituida por n

observaciones de tipo (xi, yi , i) en los que xi yi para todo i=1, 2, , n.

Ahora, nuestro objetivo es obtener el estimador de la funcin de supervivencia

S(t) = P {T > t}. Este estimador fue propuesto por Turnbull (1976) y Tsai (1987) que

definen el estimador de la funcin de supervivencia para un modelo bajo truncamiento a

la izquierda y censura a la derecha (TICD) de la forma


30

{ }

{ }

, 1

1

1

1( ) 1 1

1

i i

i

j i j

nt t i

ni t t i

x t tj

dS t

n

=

=

=

= =

donde 1A es el indicador de la funcin definida por la condicin A; di denota el nmero

de fallos en yi; y ri el nmero de individuos en riesgo en yi.

Esta ltima expresin da el estimador no paramtrico de mxima verosimilitud de

la funcin de supervivencia bajo este supuesto. Se reduce al estimador de Kaplan-Meier

cuando no hay datos truncados y a la funcin de supervivencia (o fiabilidad) emprica

cuando no hay ni truncamiento ni censura. Adems, bajo ciertas condiciones, verifica

propiedades deseables tales como la consistencia y la convergencia a una ley normal.

Sin embargo, este estimador puede presentar serios problemas en caso de

pequeas muestras o muestras grandes con algunos datos truncados en los periodos

iniciales. En esta situacin, el estimador dado en la ltima ecuacin puede subestimar

severamente las probabilidades de supervivencia cerca del origen. Sea y1 < y2 < < yk,

podra ocurrir que di = ri para algn yi, con i < k. Si esta situacin ocurre, entonces

( ) 0S t = para algn t yi, incluso si hay supervivencias y fallos observados ms all de

yi. Esta situacin es en parte resuelta por Pan y Chappell (1998) que introducen el

estimador de Nelson extendido para la funcin de riesgo acumulada con datos truncados

a la izquierda y censurados a la derecha, y constituyen, basndose en ste, un estimador

no paramtrico para la funcin de supervivencia.

Bajo censura a la derecha, Nelson propuso el siguiente estimador de la funcin de riesgo

acumulada

( ) { }{ }

,1

1

i i

i j

n ny t 1 i

ni 1 i 1 i

y yj 1

dH t

r

=

= =

=

= =

%

%

Basndose en esta expresin, es posible estimar la funcin de supervivencia por medio

de ( ) ( )( )expS t H t= % % . Pan y Chappell (1998) extienden este estimador para datos truncados por la

izquierda. Para ello, redefinen algunas cantidades involucradas en la ltima.

Especficamente, ir% , esto es, el nmero de individuos en riesgo en el instante yi. Esta

cantidad es obtenida mediante { }1 j i jn

i x y yj 1

r

=

= . En consecuencia, el estimador de


31

Nelson-Aalen extendido, se expresa

( ) { }{ }

,1

1

i i

i

j i j

ny t 1 i

e ni 1 y t i

x y yj 1

dH t

r

=

=

=

= =

%

y, por tanto, el estimador de la funcin de supervivencia puede obtenerse

( ) ( )( )expe eS t H t= % % .

7. Modelos Semiparmetricos Hasta ahora, con los modelos descritos anteriormente, lo que hemos estado estudiando

ha sido la relacin entre la tasa de fallo (o la funcin de supervivencia) y el tiempo. Sin

embargo, los modelos semiparamtricos permiten realizar ese mismo estudio evaluando

el efecto de covariables sobre la funcin de riesgo. Uno de estos modelos es el Modelo

de Riesgos Proporcionales de Cox.

7.1. Modelo de Riesgos Proporcionales de Cox El modelo de riesgos proporcionales introducido por Cox (1972) es el modelo de

regresin ms utilizado en anlisis de fiabilidad, pero no es a partir del desarrollo del

enfoque basado en los procesos de recuento, que este modelo logra su completa

madurez, este enfoque ha permitido la verificacin de los supuestos de riesgos

proporcionales y el estudio de los residuos.

El modelo de riesgos proporcionales permite ver la posible relacin con diferentes

variables registradas para cada sujeto y no slo la relacin entre la tasa de fallo y el

tiempo. Por tanto, se trata de calcular la tasa de mortalidad o de fallo, como una funcin

del tiempo y de un determinado conjunto de variables explicativas o covariables.

7.1.1. El modelo de Cox El modelo de riesgos proporcionales de Cox, que es un tipo de modelo semiparamtrico,

en el que se asume la forma paramtrica nicamente para el efecto de las variables de

prediccin o de pronstico e incluye una funcin de riesgo arbitraria de referencia r0(t)

con forma sin especificar.

De esta forma, el modelo de riesgos proporcionales de Cox se presenta en su

forma ms habitual como:


32

ppT zbzbzbZb etretrZtr

+++==

...00

2211)()();(

donde t es la edad alcanzada por la unidad; y ZT = (z1, z2, , zp) es la traspuesta de un

vector de covariables y b es el vector de parmetros de regresin.

Asumiendo que r0(t) es la funcin de riesgo de una unidad con vector de

covariables Z=0 (nivel base), en el modelo de riesgos proporcionales de Cox, la funcin

de fiabilidad condicional para T, dado un vector de covariables Z, ser:

[ ]0 00 0 0( ; ) ( ) ( ) 0( , ) ( )Tb Z

t t tT Tb Z b Ze

r u z du r u e du r u du eS t Z e e e S t

= = = =

donde S0 es la funcin de fiabilidad base.

Como conclusin, cuando el objetivo es evaluar la influencia de covariables sobre

la funcin de riesgo, una buena alternativa es el modelo de Cox. Pero cuando lo que se

pretende es predecir futuros fallos dentro de un cierto horizonte de tiempo a largo plazo,

es conveniente hacer una hiptesis paramtrica sobre la forma de h0(t).

7.1.2. Modelo de Riesgos Proporcionales Estratificado Cuando se configuran grupos o estratos en funcin a algn criterio, en un conjunto de

datos, la formulacin ms general del modelo de Cox estratificado para la funcin de

riesgo de un sistema en el j-simo estrato (j = 1, , p), suele expresarse por

0( ; ) ( )Tb Z

j jh t Z h t e=

Donde:

las funciones de riesgo bsicas h0j(t) en cada uno de los j estratos son

arbitrarias y distintas.

el vector de coeficientes bT es el mismo en todos los estratos.

Si la hiptesis de proporcionalidad no se verifica en los p estratos de un factor, se

suele considerar este modelo. En este modelo se asume que las funciones de riesgo son

proporcionales dentro del mismo estrato, pero no necesariamente a travs de los p

estratos.


33

7.1.3. Residuos de Cox-Snell En este apartado y el siguiente, presentamos diversas tcnicas que permiten valorar la

bondad del ajuste del modelo de riesgos proporcionales a un conjunto de datos.

La primera tcnica que observamos est enfocada a valorar la bondad del ajuste del

modelo de Cox de manera global.

Los residuos generalizados de Cox-Snell se definen, para el caso de datos

completos, es decir, sin censura, por

( )ln ; ,i ie R t Z b= donde ei es el residuo i-simo para la unidad i de la muestra; y )

,;( bZtR i es la

fiabilidad estimada evaluada en ti con vector de covariables Z.

Si el modelo de Cox es correcto y los valores estimados de los parmetros de

regresin estn prximos a los reales, los residuos obtenidos deben ajustarse a una

distribucin exponencial de parmetro 1.

Estos residuos son utilizados si los parmetros de un modelo seleccionado han sido

estimados por el mtodo de la mxima verosimilitud con datos censurados, por lo que la

bondad del ajuste del modelo de Cox a los datos observados puede basarse en criterios

grficos utilizando residuos.

En observaciones con censura, Cox y Snell propusieron una correccin de primer

orden de estos residuos. Estos son los residuos ajustados de Cox -Snell, que son de la

forma:

ln ( ; , ) 1i ie R t Z b= +

7.1.4. Diagnsticos de Regresin A continuacin presentamos diversas tcnicas que permiten valorar la bondad del ajuste

del modelo de riesgos proporcionales a un conjunto de datos. Para esto vamos a

basarnos en anlisis de diferentes tipos de residuos generados en el ajuste.

Los residuos se pueden utilizar para:

1. Descubrir la forma funcional correcta de un predictor continuo.

2. Identificar los sujetos que estn pobremente predichos por el modelo.

3. Identificar los puntos o individuos de influencia.

4. Verificar el supuesto de riesgo proporcional.

Existen cuatro tipos de residuos de inters en el modelo de Cox: los residuos de

martingala, deviance, los de puntuaje (score) y los de Schoenfeld. De estos cuatro

residuos se pueden derivar otros dos: los residuos dfbetas y los residuos escalados de


34

Schoenfeld.

A continuacin explicamos brevemente cada uno de estos residuos.

Residuos de martingala

Los residuos de martingala se usan para estudiar la forma funcional con que una

covariable debera ser introducida en el modelo, y se definen como

' ( )00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )it Z s

i i i iM t N t E t N t Y s e dR s = =

donde ),(0 sR es el estimador del riesgo base de Breslow (o de Nelson y Aalen) definido como

10 0

' ( )

1

( ) ( , )

( ) i

n

iti

nZ s

ii

dN sR s

Y s e =

=

=

y estn basados en la martingala de un proceso de conteo para el i-simo individuo,

Mi(t) = Ni(t) Ei(t) , definida mediante:

' ( )00

( ) ( ) ( ) ( )it Z s

i i iM t N t Y s e r s ds

=

Los residuos de martingala son muy asimtricos y con una cola muy larga hacia la

derecha.

Residuos deviance

Los residuos de desvos se utilizan para la deteccin de valores atpicos (outliers).

Estos residuos se obtienen mediante una transformacin de normalizacin de los

desvos de martingala.

Los residuos de desvos se definen de la siguiente manera: si todas las covariables

son fijas en el tiempo, los residuos toman la forma:

( ) ( )( ) * log /i i i id signo M M N N M N=


35

Residuos de puntajes (scores)

Los residuos de puntajes se utilizan para verificar la influencia individual y para la

estimacin robusta de la varianza. Se definen como:

( ),ij ijU U =

donde Uij (,t), j = 1,...,p son las componentes del vector fila de longitud p obtenido

a travs del proceso de puntaje para el i-simo individuo:

( )0

( ) ( , ) ( )t

i i iU Z t Z t dN t =

Residuos de Schoenfeld

Los residuos de Schoenfeld son tiles para la verificacin del supuesto de riesgo

proporcional en el modelo de Cox, y se definen de la forma:

( ) ( )( ) ,ij ij i j is Z t Z t =

con una fila por individuo y una columna por covariable, donde i y ti son los

individuos y el tiempo de ocurrencia del evento respectivamente.

( )ln ; , 1i ie S t Z b= +


36


37

Captulo II

Anlisis Computacional de Datos de

Tiempos de Fallo

Una vez que hemos visto los modelos tericos ms importantes en Anlisis de

Fiabilidad, el siguiente paso es poder calcular esas funciones mediante mtodos

informticos que faciliten su clculo. Para ello, expondremos en este captulo las

principales herramientas para llevar a cabo un anlisis de tiempos de vida mediante el

uso del lenguaje de programacin R.

El Anlisis de Supervivencia en el entorno de programacin estadstica R puede

hacerse a travs de diferentes libreras especializadas aunque en nuestro caso nos

centraremos en el estudio de la librera survival, que es tal vez la principal para realizar

Anlisis de Supervivencia. Esta librera permite realizar un anlisis de datos que

presentan caractersticas habituales en contextos de Fiabilidad y Supervivencia como

son la censura y el truncamiento.

A continuacin, se presentan algunas de las funciones contenidas en la librera

survival, de las que describiremos los argumentos de su sintaxis, junto a algunos

ejemplos con sus salidas en R, que nos ayudarn a comprender mejor su empleo.


38

1. La funcin Surv

Definicin

La funcin Surv permite crear objetos de tipo survival, por lo general usando

como una variable respuesta en la frmula del modelo.

Sintaxis

Surv(time, time2, event,

type=c('right', 'left', 'interval', 'counting', 'interval2'),

origin=0)

is.Surv(x)

Descripcin de los argumentos

time. Representa el tiempo de inicio de la observacin. Para datos de

intervalo, el primer argumento es el extremo inicial del intervalo.

event. Representa el indicador de estado, normalmente 0 = vivo

(censurado), 1 = muerto (no censurado). Otras opciones son

VERDADERO/FALSO (VERDADERO = la muerte) o 1/2 (2 = muerto).

Para datos con censura de intervalo, el indicador de estado es 0 = censura

a la derecha, 1 = suceso ocurrido en time, 2 = censura a la izquierda, 3 =

censura de intervalo. Este indicador puede ser omitido en el caso de que

se asuma que todos los sujetos tienen el mismo estado.

time2. Representa el tiempo de finalizacin de la observacin para un

intervalo censurado o proceso de conteo. Se asume que los intervalos

estn abiertos a la izquierda y cerrados a la derecha, (el principio, el

final]. Para un proceso de recuento de datos event indica si un

acontecimiento ocurri al final del intervalo.

type. Es una cadena de caracteres que especifica el tipo de censura.

Valores posibles son "derecha", "izquierda", "conteo", "intervalo", o

"intervalo2". Por defecto, suele ser censura por la derecha o conteo,

dependiendo de si el argumento time2 est ausente o presente,

respectivamente.

origin. Es una utilidad que permite trabajar bajo el enfoque de los


39

procesos de recuento. Esta opcin es usada en un modelo que contiene

estratos dependientes del tiempo, para enumerar los sujetos

correctamente que cambian de un estrato a otro. En raras ocasiones se

suele emplear.

x. Cualquier objeto de R.

Ejemplo (1)

with(lung, Surv(time, status))

# cuando se observan longitudes de tiempo

Surv(heart$start, heart$stop, heart$event)

# cuando se registran tiempos de entrada y salida

El primer conjunto de datos usado en este ejemplo lung, hace referencia a la

superviencia de pacientes de cncer de pulmn procedentes del North Central Cancer

Treatment Group. El conjunto de datos contiene 228 registros, cada uno de los cuales

est compuesto por 10 variables, desde el cdigo del paciente en la institucin, el

tiempo de observacin de cada paciente, el estado al final del estudio (vivo o fallecido),

el sexo, la edad, el peso perdido en los ltimos 6 meses, as como cierta informacin

indicando el grado de satisfaccin con que el individuo realiza tareas cotidianas.

Figura 2.1. Datos de pacientes de cncer de pulmn (Loprinzi et al., 1994).

Tras ejecutar el cdigo anterior se crea el objeto de R representado en la

Figura 2.2, donde se indican los tiempos de participacin de cada individuo

resaltando con el smbolo + los datos censurados.


40

Figura 2.2. La funcin Surv para datos censurados a la derecha.

El segundo conjunto de datos usado como ejemplo en este caso es el conjunto

heart", contiene informacin sobre supervivencia de 172 pacientes en la lista de

espera del programa de transplantes de corazn del hospital de Standford. El registro

se muestra como sigue en la siguiente figura.

Figura 2.3. Datos de pacientes de corazn (Crowley y Hu, 1977).

En este caso cada individuo se incorpora al estudio en el instante que indica la

variable start, y abandona el estudio en el instante indicado por stop. Es decir los

pacientes entran en el estudio de manera escalonada, esta es la forma habitual en que

los individuos son incorporados en estudios de Supervivencia, a diferencia de en

estudios de Fiabilidad, donde todos los sujetos entran en estudio a la vez. No slo

estamos interesados en la longitud del intervalo que determina el tiempo de vida si

tambin de dnde est localizado. La variable event nos dice de cada individuo si

est vivo o falleci al final del estudio. Adems se incluye otro tipo de informacin

como la edad del individuo (age), si se le ha realizado un transplante o no

(transplant) y si ha recibido otro tipo de ciruga antes (surgery). Ahora el resultado

de la funcin Surv es el objeto que se muestra, en parte, a continuacin.

Figura 2.4. La funcin Surv con datos con entrada escalonada.


41

2. La funcin survfit

Definicin

Esta funcin permite crear curvas de supervivencia utilizando el mtodo de

Kaplan- Meier (opcin por defecto) o de Fleming y Harrington. Tambin permite

predecir la funcin de supervivencia para modelos de Cox, o un modelo de

tiempo de vida acelerada (ver Klein y Moeschberger (1997), por ejemplo).

Sintaxis

survfit(formula, ...)


formula. Objeto para la frmula.

data. Los datos se enmarcan para interpretar las variables llamadas en los

argumentos formula, subset y weights.

weights. Pesos del caso.

subset. Expresin que indica un subconjunto de las filas de data para ser

usado en la estimacin. Puede ser un vector lgico (de longitud igual al

nmero de observaciones), un vector numrico indicando el nmero de

observaciones que deben ser incluidas (o excluidas si es negativo), o un

vector de caracteres para incluir el nombre de las filas. Todas las

observaciones son incluidas por defecto.

na.action. Funcin para filtrar datos faltantes. Esto es aplicado al marco

modelo despus de que haya sido aplicado subset. Por defecto es options

() $na.action. Un posible valor para na.action es na.omit, que suprime las

observaciones que contienen uno o varios valores perdidos.

times. Vector de tiempos en el que la curva de supervivencia es evaluada.

Por defecto, el resultado ser evaluado en cada valor diferente del vector

de tiempos suministrados en formula.

type. Una cadena de caracteres que especifica el tipo de curva de


42

supervivencia. Los posibles valores son: "kaplan-meier", "fleming-

harrington" o "fh2" si se da una formula.

error. Una cadena de caracteres especificando el error del estimador.

Como valores posibles se tiene "greenwood" para la formula de

Greenwood o "tsiatis" para la frmula de Tsiatis, (es suficiente con el

primer carcter).

conf.type. Puede ser "none", "plain", "log" (por defecto), o "log-log". La

primera opcin no calcula intervalos de confianza. La segunda calcula

los intervalos estndar curve k *se(curve), donde k se determina

conf.int. La opcin log option calcula intervalos basados en la funcin de

riesgo acumulado o log(survival).

start.time. Valor numrico que especifica un instante de tiempo donde

empezar a calcular la informacin sobre la supervivencia. La curva

resultante es la curva de supervivencia condicional a sobrevivir por

encima de start.time.

conf.int. El nivel para intervalos de confianza bilaterales. Por defecto es

0.95.

se.fit. Un valor lgico indicando si los errores estndar deben ser

calculados. Por defecto es TRUE.

Resultados

El resultado es un objeto de clase survfit conteniendo una o varias curvas de

supervivencia. Adems proporciona la informacin siguiente.

n nmero total de sujetos en cada curva.

time Los instantes temporales en que la curva salta.

n.risk Nmero de sujetos en riesgo en cada tiempo t.

n.event Nmero de sucesos ocurridos en cada tiempo t.

n.enter Para datos de procesos de recuento solo, el nmero de sujetos que entran en el tiempo t.

n.censor Para procesos de recuento solo, el nmero de sujetos que salen del conjunto de riesgo, sin sufrir el suceso, en el tiempo t.

surv La supervivencia estimada en el tiempo t+0.


43

std.err El error estndar de la funcin de riesgo acumulado.

upper Lmite superior de confianza para la curva de supervivencia.

lower Lmite inferior de confianza para la curva de supervivencia.

strata Si hay mltiples curvas, esta componente da el nmero de elementos de time, etc. correspondientes a la primera curva, las segunda curva etc. Los nombres de los elementos son etiquetas para las curvas.

Ejemplo (2)

leukemia.surv


44

como en los 50 primeros meses de tratamiento de la enfermedad con

quimioterapia, la supervivencia de estos pacientes aumentaba progresivamente,

hasta mantenerse casi estable a partir de ese tiempo.

0 50 100 150

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Months

Cum

ula

tive

H

aza

rd

Figura 2.5. Curva de supervivencia del Ejemplo (2)

3. La funcin survexp

Definicin

Devuelve la supervivencia esperada de una cohorte de sujetos, o la supervivencia

esperada para cada sujeto de forma individual.

Sintaxis

survexp(formula, data, weights, subset, na.action, times, cohort=TRUE,

conditional=FALSE, ratetable=survexp.us, scale=1, npoints,

se.fit, model=FALSE, x=FALSE, y=FALSE)


Formula. Frmula o modelo antes descrito.

. Otros argumentos al mtodo especfico.

Ejemplo (3.1)

# Estimador de la supervivencia condicional


45

survexp(futime ~ ratetable(sex="male", year=accept.dt,

age=(accept.dt-birth.dt)), conditional=TRUE, data=jasa)

El conjunto de datos empleados en este ejemplo, llamado jasa, hace tambin

referencia a la supervivencia en pacientes que estn en lista de espera en el

programa de transplante de corazn en Stanford. Las variables principales

incluidas en este conjunto de datos son:

birth.dt: fecha de nacimiento

accept.dt: aceptacin en programa

tx.date: fecha de trasplante

fu.date: final de seguimiento del paciente

fustat: estado al finalizar el seguimiento (muerto o vivo)

surgery: ciruga previa

age: edad (en das)

futime: tiempo de seguimiento

wait.time: tiempo de espera hasta el trasplante

trasplant: indicador de trasplante

Resultado

Call:

survexp(formula = futime ~ ratetable(sex = "male", year = accept.dt,

age = (accept.dt - birth.dt)), data = jasa, conditional = TRUE)

age ranges from 8.8 to 64.4 years

male: 103 female: 0

date of entry from 1967-09-13 to 1974-03-22

Time n.risk survival

0 102 1.000

1 102 1.000

2 99 1.000

4 96 1.000

5 94 1.000

1321 7 0.974


46

1386 6 0.972

1400 5 0.972

1407 4 0.972

1571 3 0.969

1586 2 0.969

1799 1 0.967

Ejemplo (3.2)

# Estimador de la supervivencia condicional estratificada a priori

survexp(futime ~ surgery + ratetable(sex="male", year=accept.dt,

age=(accept.dt-birth.dt)), conditional=TRUE, data=jasa)

Resultado

Call:

survexp(formula = futime ~ surgery + ratetable(sex = "male",

year = accept.dt, age = (accept.dt - birth.dt)), data = jasa,

conditional = TRUE)

age ranges from 8.8 to 64.4 years

male: 103 female: 0

date of entry from 1967-09-13 to 1974-03-22

surgery=0


0 87 1.000

1 87 1.000

2 85 1.000

4 82 1.000

5 80 1.000

1400 4 0.972

1407 3 0.972

1571 3 0.969

1586 2 0.969

1799 1 0.967


47

surgery=1


0 15 1.000

1 15 1.000

2 14 1.000

4 14 1.000

5 14 1.000

1400 1 0.971

1407 1 0.971

1571 0 0.971

1586 0 0.971

1799 0 0.971

Ejemplo (3.3)

#Comparacin de las curvas de supervivencia para el modelo estimado

de #Cox

pfit 0) ~ trt + log(bili) + log(protime) + age +

platelet, data=pbc)

plot(survfit(Surv(time, status>0) ~ trt, data=pbc))

lines(survexp( ~ trt, ratetable=pfit, data=pbc), col='purple')

Resultado

0 1000 2000 3000 4000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 2.6. Curva de Supervivencia para el Ejemplo (3)


48

El grfico muestra como a medida que pasa el tiempo, la supervivencia de los

pacientes que estn esperando un transplante disminuye.

4. La funcin survdiff

Definicin

Esta funcin permite realizar contrastes de hiptesis para verificar si hay

diferencia entre dos o ms curvas de supervivencia basadas en las familias de

pruebas G de Harrington y Fleming (1982), o para una sola curva contra una

alternativa conocida.

Sintaxis

survdiff(formula, data, subset, na.action, rho=0)


formula. Expresin de la frmula como para otros modelos de

supervivencia, de la forma Surv (time, status) ~ predictors. Para el test de

una muestra, los predictores deben consistir en un solo trmino offset

(sp), donde sp es un vector que da la probabilidad de supervivencia de

cada sujeto. Para el test de k-muestas, una combinacin nica de

predictores definidas para un subgrupo. Un trmino strata debe ser usado

para producir una prueba estratificada. En el caso de valores perdidos en

las estimaciones deben ser tratados como un grupo separado, ms bien

que omitidos, usa la funcin strata con su argumento na.group=T.

subset. Esta expresin indica el subconjunto de filas de datos que deben

ser usadas en la estimacin.

rho. Parmetro escalar que controla el tipo del test.

Resultados

n. Nmero de sujetos en cada grupo.

obs. Nmero observado de acontecimientos en cada grupo. Si hay

estratos, esto ser una matriz con una columna por estrato.


49

exp. Nmero esperado de acontecimientos en cada grupo. Si hay estratos,

esto ser una matriz con una columna por estrato.

chisq. Estadstico chis.cuadrado para una prueba de igualdad.

var. Matriz de varianzas de la prueba.

strata. Nmero de sujetos contenido en cada estrato.

Ejemplo (4.1)

# Test para dos muestras

survdiff(Surv(futime, fustat) ~ rx,data=ovarian)

El conjunto de datos empleados en este ejemplo, llamado ovarian, compara la

supervivencia en 2 grupos de pacientes con cncer de ovarios que siguen

tratamientos diferentes. Las variables de este conjunto de datos son

futime fustat age resid.ds rx ecog.ps

1 59 1 72.3315 2 1 1

2 115 1 74.4932 2 1 1

3 156 1 66.4658 2 1 2

4 421 0 53.3644 2 2 1

5 431 1 50.3397 2 1 1

22 268 1 74.5041 2 1 2

23 329 1 43.1370 2 1 1

24 353 1 63.2192 1 2 2

25 365 1 64.4247 2 2 1

26 377 0 58.3096 1 2 1

futime: tiempo de supervivencia o censura.

fustat: estado (censura o muerte)

age: aos

rx: grupo de tratamiento


50

Resultado

Call:

survdiff(formula = Surv(futime, fustat) ~ rx, data = ovarian)

N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V

rx=1 13 7 5.23 0.596 1.06

rx=2 13 5 6.77 0.461 1.06

Chisq= 1.1 on 1 degrees of freedom, p= 0.303

Ejemplo (4.2)

# Test para 7 muestras estratificadas

survdiff(Surv(time, status) ~ pat.karno + strata(inst), data=lung)

Resultado

Call:

survdiff(formula = Surv(time, status) ~ pat.karno + strata(inst),

data = lung)

n=224, 4 observations deleted due to missingness.

N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V

pat.karno=30 2 1 0.692 0.1372 0.15752

pat.karno=40 2 1 1.099 0.0089 0.00973

pat.karno=50 4 4 1.166 6.8831 7.45359

pat.karno=60 30 27 16.298 7.0279 9.57333

pat.karno=70 41 31 26.358 0.8174 1.14774

pat.karno=80 50 38 41.938 0.3698 0.60032

pat.karno=90 60 38 47.242 1.8080 3.23078

pat.karno=100 35 21 26.207 1.0345 1.44067

Chisq= 21.4 on 7 degrees of freedom, p= 0.00326


51

Ejemplo (4.3)

# Expectativas de supervivencia en pacientes de transplante de corazn

expect


52

na.action. Esta funcin, usada despus de subset, filtra los valores

perdidos. Por defecto es opcions()$na.action.

dist. Distribucin asumida para la variable y. Si el argumento es una

cadena de caracteres, entonces se asume que llama a un elemento de

survreg.distributions. Estos incluyen "weibull", "exponencial", "normal",

"logstico", "lognormal" y "loglogistica".

parms. Contiene una lista de parmetros fijos. Por ejemplo, para la

distribucin de t de Student, indica los grados de libertad. La mayora de

las distribuciones no tienen ningunos parmetros.

INIT. Vec

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Análisis estadístico de datos de tiempos de fallo en R