Análisis Estático de Estructuras_Lamar y Fortoul

8/18/2019 Análisis Estático de Estructuras_Lamar y Fortoul

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Simón Lamar

Celso Fortoul Padrón

ANÁLISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURASFormulación Matricial


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El Centro para la Innovación, el Desarrollo Tecnológico y del Conocimiento en

Ingeniería (CENTRO CITECI) es una organización creada a finales de 2006, en función de

incentivar procesos de generación y aprovechamiento social del conocimiento, de innovación y

desarrollo tecnológico en el país.

Orientada por criterios de responsabilidad social, CITECI es una iniciativa que busca

responder a las demandas del sector productivo venezolano, en función de apoyar su crecimiento

y competitividad a través de estrategias y programas que apuntan, al mismo tiempo, al

fortalecimiento y aprovechamiento del talento humano y de las capacidades nacionales en

ciencia y tecnología, y a la vinculación del sector empresarial con los sectores públicos,académicos y de investigación, así como con las comunidades y la sociedad en general, de cara a

los problemas prioritarios del país, y con el fin de contribuir con la mejora de la calidad de vida

de la población, y con el desarrollo social y económico de la nación.

El CENTRO CITECI inició sus actividades con los aportes de un grupo de empresas del

país, según los requerimientos de la Ley Orgánica de Ciencia, Tecnología e Innovación

promulgada en 2005, y de acuerdo con lo estipulado por el reglamento de la misma ley.

A través de CITECI, el sector empresarial contribuye efectivamente con el desarrollo de

la ciencia y la tecnología en el país.

Dentro de sus programas de acción, y en consonancia con estos objetivos, CITECI

presenta publicaciones destinadas a apoyar la generación, difusión y divulgación del

conocimiento en el país, con miras a su apropiación social

Ediciones CITECI incluye tres colecciones: Conocimiento e investigación compuesta

por obras de alto nivel científico y técnico, libros destinados a valorar y difundir la generación

del investigación efectuadas en el país, y a apoyar la formación del talento humano,

especialmente en cursos de pregrado y postgrado; Conocimiento y desarrollo, con monografías

y estudios orientados a contribuir con presentar propuestas, herramientas metodólogicas,

diferentes puntos de vista para el análisis y la discusión de temas de actualidad mundial y de

problemas prioritarios del país en diversos sectores de interés; y la colección Conocimiento y

aplicación con publicaciones de alto impacto social, en especial, cartillas de divulgación

destinadas a la difusión del conocimiento para su popularización y aplicación masiva,

primordialmente concebidas para que una gran parte de la población pueda tener acceso al

conocimiento y utilizarlo de manera práctica en la solución de algunos de sus problemas

específicos.


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ÁNALISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURASFormulación Matricial

AUTORES

Simón Lamar

Celso Fortoul Padrón

EDITORES

Marianela Lafuente

Carlos Genatios

Coordinación Editorial

Corporación RCKF1974

DiseñoMaría Luisa Contreras

Impresión y encuadernación

Fanarte C.A.

Depósito legal: if25220076101815ISBN: 978-980-7081-00-9

© Centro CITECIwww.citeci.com

www.ghella.com

[email protected]

Todos los derechos reservados.Ningún párafo o imagen contenidos en esta edicion puede ser reproducidos, almacenados, o transmitidos total o

parcialmente por medio alguno, sin la autorización expresa del Centro CITECI.

Con la Colaboración de Ghella Sogene C.A. y Ghella SpA

ÁNALISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURASFormulación Matricial

Se terminó de imprimir en el mes de mayo de 2007,en Caracas, con el cuidado de Fanarte C.A.El tiraje consta de 1.000 ejemplares


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SIMÓN LAMAR Y CELSO FORTOUL PADRÓN

Los Profesores Simón Lamar y Celso Fortoul Padrón han dedicado, cada uno, más de 50

años a la docencia del Análisis Estructural en la Universidad Central de Venezuela y la

Universidad Simón Bolívar; ahora usan su experiencia para producir esta obra, en donde tanto elestudiante como el ingeniero estructural en ejercicio encontrarán una valiosa y novedosa

exposición de la teoría del análisis estático de estructuras en su formulación matricial.

El Profesor Lamar obtuvo su título de Ingeniero Civil en la Universidad Central de

Venezuela en 1953; el Master of Science en la University of Michigan, y, el Doctorado en

Stanford University, ambas en los Estados Unidos. Es Individuo de Número de la Academia

Nacional de la Ingeniería y el Hábitat y en 2007 recibió el título de Doctor Honoris Causa de la

Universidad Central de Venezuela.

El Profesor Fortoul Padrón obtuvo su título de Ingeniero Civil en la Universidad Central

de Venezuela en 1948. Recibió en 1995 el Premio Simón Bolívar de la Asociación de Profesores

de la Universidad Simón Bolívar, y, en 2004 el Premio Francisco de Venanzi de la UniversidadCentral de Venezuela.


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ÍNDICE DE MATERIAS

Prólogo xi

Notación Principal xiii

I. SISTEMAS ESTRUCTURALES PLANOS 1

1. Nociones de Mecánica Analítica 3

1.1 Coordenadas Generalizadas 31.2 Sistemas Discretos y Continuos 41.3 Sistemas Discretos. Condiciones de Vínculo 41.4 Desplazamientos Virtuales. Grados de Libertad 71.5 Cargas Generalizadas 71.6 Sistemas Lineales 81.7 Un Caso de Geometría no Lineal 91.8 Caso de Geometría Lineal. Superposición de Desplazamientos y Fuerzas 111.9 Identificación de Coordenadas 141.10 Comentario Final 22

Bibliografía Recomendada 22Problemas 22

2. Discretización de Estructuras 272.1 Sistema Estructural 272.2 Discretización de Estructuras 282.3 Comentario Final 36

Problemas 36

3. Teoría de Barras Rectilíneas 373.1 Solicitación Longitudinal 373.2 Solicitación Transversal. Teoría de Timoshenko 383.3 Solicitación Transversal. Teoría de Euler-Bernouilli 403.4 Efecto no Lineal de la Fuerza Longitudinal 413.5 Torsión 423.5.1 Torsión de Barras de Paredes Delgadas de Sección Transversal

Abierta 44


4. Trabajo y Energía de Deformación 474.1 Trabajo y Trabajo Complementario 474.2 Energía de Deformación y Energía de Deformación Complementaria 484.3 Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamientos Virtuales 504.3.1 Formulación para un Elemento 504.3.2 Formulación para una Estructura 524.4 Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas Virtuales 56


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vi ÍNDICE DE MATERIAS

4.4.1 Formulación para un Elemento 564.4.2 Formulación para una Estructura 574.5 Teoremas de Castigliano 594.6 Caso de Comportamiento Lineal 604.6.1 Energía de Deformación 604.6.2 Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamiento Virtuales 614.6.3 Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas

Virtuales 614.6.4 Ley de Clapeyron 644.6.5 Ley de Betti 644.7 Comentario Final 65


5. Elemento Rectilíneo 675.1 Coordenadas Estáticas y Geométricas 675.2 Funciones de Forma Asociadas a las Coordenadas Estáticas 695.2.1 Elemento de Sección Constante 725.3 Matriz de Flexibilidad 755.3.1 Elemento de Sección Constante 765.4 Matriz de Flexibilidad por el Principio de las Fuerzas Virtuales 825.5 Matriz de Rigidez 875.5.1 Elemento de Sección Constante 885.6 Funciones de Forma Asociadas a las Coordenadas Geométricas 895.6.1 Elemento de Sección Constante 905.7 Elemento con Restricciones a su Deformación 925.8 Elemento Longitudinalmente Rígido 955.8.1 Elemento de Sección Constante 975.9 Elemento Transversalmente Rígido 975.9.1 Elemento de Sección Constante 985.10 Elemento Rígido 995.11 Interpretación de las Funciones de Forma como Líneas de Influencia 995.12 Comentario Final 102

Bibliografía Recomendada 102

Problemas 103

6. Matrices de Compatibilidad y Equilibrio 1056.1 Coordenadas y Matrices de Rigidez y Flexibilidad de los Elementos

sin Ensamblar 1056.2 Matrices A, B y C 1076.3 Determinación e Indeterminación Estática. Determinación e

Indeterminación Cinemática 1086.4 Estructuras con Juntas Complejas 1246.5 Elementos no Unidos Rígidamente a las Juntas 1266.6 Carga Externa Correspondiente a Carga Generalizada Nula 129


7. Matrices de Rigidez y Flexibilidad de Estructuras 1357.1 Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamientos Virtuales 1357.2 Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas Virtuales 1377.3 Compatibilidad en Términos de la Matriz de Equilibrio 1387.4 Equilibrio en Términos de la Matriz de Compatibilidad 1387.5 Relación entre las Fuerzas R y la Carga Generalizada Q 1397.6 Matriz de Flexibilidad en Términos de B y f 1407.6.1 Particionamiento de la Matriz B 1417.7 Matriz de Rigidez en Términos de A y k 1427.8 Energía de Deformación en Términos de K y F 143


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ÍNDICE DE MATERIAS vii

7.9 Comentario Final 144Bibliografía Recomendada 145Problemas 145

8. Transformación de Coordenadas 1498.1 Transformación en Elementos 1498.1.1 Transformación Estática 150

8.1.2 Transformación Geométrica 1548.2 Transformación en Estructuras 1608.2.1 Transformación Estática 1618.2.2 Transformación Geométrica 1638.3 Condiciones de Vínculo a Posteriori 165


9. Condensación de Coordenadas 1719.1 Condensación Estática en Estructuras 1729.1.1 Condensación Estática de la Matriz de Rigidez 1729.1.2 Condensación Estática de la Matriz de Flexibilidad 1799.2 Condensación Geométrica en Estructuras 1859.2.1 Condensación Geométrica de la Matriz de Flexibilidad 1859.2.2 Condensación Geométrica de la Matriz de Rigidez 1919.3 Condensación en Elementos 1939.4 Comentario Final 200


10. Ensamblaje Directo de la Matriz de Rigidez 20510.1 Particionamiento de A(i) por Columnas 20510.2 Inclusión de Desplazamiento como Cuerpo Rígido en las Coordenadas

de Elementos 20910.3 Ensamblaje Directo de K 21710.4 Caso de Rodillo Inclinado 22410.5 Caso de Cerchas 228

10.6 Ancho de Banda de la Matriz de Rigidez 23110.7 Algoritmo de Cuthill-McKee 23210.8 Elementos con Restricción a su Deformación 234


11. El Problema Fundamental del Análisis Estructural. Métodos de Cálculo 24311.1 El Problema Fundamental 24311.2 Métodos de Análisis Estructural 24511.2.1 Método de las Fuerzas 24511.2.2 Método de los Desplazamientos 24611.3 Comentario Final 248


Problemas 249

12. Método de los Desplazamientos 25112.1 Solución del Problema Fundamental 25112.1.1 Sistemas Cinemáticamente Determinados. Procedimiento Básico

de Cálculo 25112.1.2 Sistemas Cinemáticamente Determinados. Procedimientos Alternos

de Cálculo 26112.1.3 Sistemas Cinemáticamente Indeterminados 26512.1.4 Sistemas Cinemáticamente Indeterminados. Carga X no Nula 27012.2 Caso de Fuerzas en los Elementos 278


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viii ÍNDICE DE MATERIAS

12.2.1 Determinación de las Fuerzas de Empotramiento 27912.3 Comentario Final 297


13. Método de las Fuerzas 30513.1 Solución del Problema Fundamental 30513.1.1 Estructuras Isostáticas. Procedimiento Básico de Cálculo 30613.1.2 Estructuras Isostáticas. Procedimiento Alterno de Cálculo 31013.1.3 Estructuras Estáticamente Indeterminadas 31313.2 Caso de Fuerzas en los Elementos 32613.3 Cambio de Redundantes 33713.4 Comentario Final 346


14. Asentamiento de Apoyos 34914.1 Aplicación del Método de los Desplazamientos 34914.1.1 Solución en una sola Etapa de Cálculo 36714.2 Aplicación del Método de las Fuerzas 369


Problemas 376

15. Cambios de Temperatura y Errores de Fabricación y Montaje 37915.1 Relaciones Termoelásticas 37915.2 Aplicación del Método de los Desplazamientos 38415.3 Aplicación del Método de las Fuerzas 39015.4 Errores de Fabricación 39415.5 Errores de Montaje 396


16. Efecto no Lineal de la Fuerza Longitudinal 40116.1 Caso de Fuerza Axial de Compresión 401

16.2 Caso de Fuerza Axial de Tracción 40716.3 Análisis por el Método de los Desplazamientos 408Bibliografía Recomendada 413Problemas 414

17. Determinación Aproximada de la Matriz de Rigidez de Elementos 41717.1 Fuerza Axial y Momento en Términos de las Funciones de Forma 41717.2 Matriz de Rigidez en Función de D y E 41817.3 Efecto no Lineal de la Fuerza Axial. Matriz de Rigidez Geométrica 423

Comentario Final 429Bibliografía Recomendada 429Problemas 430

18. Elementos Curvos 431

18.1 Matrices de Flexibilidad y Rigidez 431Bibliografía Recomendada 441Problemas 442

19. Subestructuras 44519.1 Elementos Complejos 44619.2 Análisis por Subestructuras 45319.2.1 Análisis por el Método de los Desplazamientos 45419.2.2 Análisis por el Método de las Fuerzas 469



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ÍNDICE DE MATERIAS ix

II. SISTEMAS ESTRUCTURALES EN EL ESPACIO 485

20. Elemento Rectilíneo en el Espacio 48720.1 Matrices de Flexibilidad y Rigidez 48720.2 Elemento de Sección Constante 49020.3 Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales 495

20.3.1 Determinación de la Matriz de Rotación 49720.4 Matriz de Flexibilidad en Coordenadas Globales 50220.5 Casos Particulares de Solicitación del Elemento 50220.5.1 Elemento de Rejilla 50320.5.2 Elemento de Cercha 506


21. Análisis de Estructuras Espaciales 51121.1 Caso General de Análisis Tridimensional 51121.2 Análisis de Rejillas 52721.3 Análisis de Cerchas 546


22. Estructuras de Edificios Solicitadas por Fuerzas Horizontales 56122.1 Planteamiento del Problema 56222.2 Planteamiento en Ausencia de Dinteles 56222.2.1 Contribución de los Pórt icos 56322.2.2 Contribución de los Muros 56522.3 Muros Acoplados por Dinteles 58522.3.1 Matriz de Rigidez de Muros Acoplados por Dinteles 58622.4 Comentario Final 604


III. ELEMENTOS FINITOS 609

23. Introducción al Método del Elemento Finito 61123.1 Ecuaciones de la Teoría de Elasticidad 61223.2 Principio del Trabajo Virtual 61523.3 Análisis por Elementos Finitos 61623.4 Matriz de Rigidez de un Elemento 61723.5 Transformación de Direcciones Locales a Globales 62323.6 Comentario Final 629


IV. APÉNDICES 633

1. Álgebra de Matrices 635Definición de Matriz 635Diversos Tipos de Matrices 635Matrices Particionadas 636Operaciones Matriciales 636Resolución de un Sistema de Ecuaciones 639Formas Cuadráticas 639Bibliografía Recomendada 640


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x ÍNDICE DE MATERIAS

2. Integración Numérica 641Fórmula de los Trapecios 642Fórmula de Simpson 642Fórmulas de Newton-Cotes 642Fórmula de Gauss-Legendre 642Bibliografía Recomendada 644

3. Cálculo Numérico de Fuerzas de Sección y Elásticas 645Fuerza Longitudinal 645Fuerza de Corte y Momento 646Elástica Longitudinal 648Elástica Transversal 648Resultados Numéricos 648Bibliografía Recomendada 649

4. Geometría de Deformación de una Barra Rectilínea 651Barras Flexibles 651Barras con Restricción a su Deformación 653

5. Fuerzas de Empotramiento en Elementos Rectilíneos de Sección Constante 655Solicitación Transversal 655Solicitación Longitudinal 656Solicitación Torsional 657

6. Deformación en Elementos Rectilíneos Isostáticamente Apoyados 659Solicitación Transversal 659Solicitación Longitudinal 660Solicitación Torsional 661

Índice Alfabético 663


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PRÓLOGO

La presente obra recoge la experiencia que han tenido los autores en la enseñanza de la teoría

lineal de estructuras de barras, en su formulación matricial, en la Universidad Central de Venezuela y la

Universidad Simón Bolívar, ambas en Caracas; está dirigida tanto a la juventud estudiosa como a losingenieros estructurales en ejercicio de su profesión; el desarrollo de la obra supone que el lector posee

conocimientos elementales de estática, resistencia de materiales y matemáticas similares a los

impartidos en cursos universitarios de pregrado de Ingeniería.

El libro está dividido en cuatro partes; las Partes I y II estudian el análisis de estructuras planas y

tridimensionales, respectivamente, por el método de los desplazamientos y el de las fuerzas; las Partes III

y IV son una breve introducción al método de elementos finitos y seis apéndices, respectivamente; éstos

últimos versan sobre temas cuyo conocimiento es imprescindible para la cabal comprensión de las

primeras tres partes, las cuales constan, en conjunto, de 23 capítulos.

Los primeros 13 capítulos versan sobre el análisis de estructuras planas de elementos rectilíneos

solicitadas por cargas externas, y, constituyen la parte fundamental del libro; los principios estudiadosson universales y aplicables, por lo tanto, a todo tipo de estructuras, incluyendo las tridimensionales; no

debe omitirse la lectura de ninguno de ellos por el lector interesado en el tema. Los capítulos 14 y 15 son

extensiones del análisis a solicitaciones producidas por cambios de temperatura, asentamiento de apoyos

y errores de fabricación o montaje. El capítulo 16 trata el efecto no lineal de la fuerza axial en la

solicitación transversal del elemento rectilíneo, el cual puede ser interesante para algunos lectores. El

capítulo 18 estudia el elemento plano de directriz curvilínea y es, por lo tanto, una extensión del análisis

a estructuras que presentan este tipo de elementos. El capítulo 19 trata el tema del análisis usando el

concepto de subestructuras; este capítulo demanda mayor esfuerzo del lector para su total comprensión.

Los capítulos 20 y 21 comprenden el análisis de estructuras tridimensionales; son sólo una extensión de

lo estudiado para las estructuras planas y no presentan, por lo tanto, ningún principio fundamental

adicional a los estudiados previamente. El capítulo 22 trata un problema particular de mucho interés para

el ingeniero estructural como es el análisis de estructuras de edificios sometidas a fuerzas horizontales; es

tal vez el de más difícil lectura por la complejidad del problema. Los capítulos 17 y 23 presentan

procedimientos aproximados de análisis; el 17 trata sobre la determinación de la matriz de rigidez de

elementos rectilíneos, y, el 23 es una introducción muy corta del método del elemento finito aplicado a la

solución de problemas planos de teoría de elasticidad; el uso reiterado de ambos procedimientos en la

solución de un problema determinado conduce a un método adaptativo para mantener el error por debajo

de un límite previamente establecido.

A lo largo del desarrollo de la obra hay 144 ejercicios ilustrativos resueltos, la mayoría de los

cuales merecen que el lector los siga cuidadosamente ya que muchos de ellos presentan conceptos y


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xii PRÓLOGO

consideraciones adicionales que no aparecen en otra parte del texto; por ello los ejemplos ilustrativos son parte integral del libro, que sin los mismos pecaría de incompleto. Al final de cada capítulo se proponenuna serie de problemas para que el lector interesado los resuelva y pueda medir su grado deaprovechamiento; para la solución de los mismos es recomendable usar algún sistema de cálculo quefacilite las operaciones de álgebra matricial con el computador como son “Mathematica”, “Mathcad”,“Maple”, “Matlab”, etc..

El autor principal escribió la versión original de la obra, la cual fue revisada por el segundo,quien hizo sugerencias de modificación y algunas adiciones que al ser incorporadas a la versión finalmejoraron sustancialmente la presentación.

La formulación matricial del análisis estructural, después de los trabajos pioneros de Argyris yKelsey en la década de los 1950, está hoy en día bien establecida; por ello no se hace referencia explícitaa las fuentes originarias de la formulación actual; al final de cada capítulo se recomienda una corta bibliografía donde el interesado puede encontrar estudios más detallados y otros enfoques al temaestudiado en el correspondiente capítulo. Algunos de los conceptos y consideraciones que aparecen en eltexto son originales del autor principal y no han sido previamente publicados.


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NOTACIÓN PRINCIPAL

A matriz de conectividadA(i) submatriz de A correspondiente al elemento i A(i) submatriz A(i) al eliminar sus columnas nulasA, I área y momento de inerciaα coeficiente de dilatación térmica; ánguloB matriz de equilibrio

B(i) submatriz de B correspondiente al elemento i C matriz de compatibilidad entre r y q

CE(i) código de ensamblaje del elemento i E, G, ν módulos de elasticidad longitudinal, transversal y coeficiente de Poisson

δp, δP deformación virtual, fuerza virtualδq, δQ desplazamiento virtual, carga virtual

δr, δR desplazamiento virtual, carga virtualδW, δWc trabajo virtual, trabajo virtual complementario

f matriz de flexibilidad de elementoF matriz de flexibilidad de estructura

φi (x) funciones de forma asociadas a las coordenadas geométricasΦi (x) funciones de forma asociadas a las coordenadas estáticas

J, Γ constantes de rigidez a la torsión de Saint-Vénant y a la torsión por flexiónk matriz de rigidez de elementoK matriz de rigidez de estructura

N(x), V(x), M(x) fuerzas de sección, (longitudinal, transversal y momento)p, p(i) coordenadas geométricas de un elemento

P, P(i)

coordenadas estáticas de un elementoP-p sistema de coordenadas de un elemento o del conjunto de elementosq coordenadas geométricas de una estructura, coordenadas generalizadas

Q coordenadas es táticas de una estructura, carga generalizadaQ-q sistema de coordenadas de una estructura

r coordenadas geométricas de las juntas de una estructuraR coordenadas estáticas de las juntas de una estructura; matriz de rotación

R-r sistema de coordenadas de las junta de una estructuraσ, τ componentes de tensión longitudinal y transversal

T cambio de temperatura T matriz de transformación

U, Uc energía de deformación, energía de deformación complementariax, y, z direcciones o ejes locales de elemento

X, Y, Z direcciones o ejes globales de estructuraX(x), Y(x) intensidad de cargas longitudinal y transversal en elementoX-x coordenadas redundantes

u(x), v(x), w(x) componentes de desplazamiento según ejes x, y, zW, Wc trabajo, trabajo complementarioω(s) área sectorial principal


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Parte I

SISTEMAS ESTRUCTURALES PLANOS


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NOCIONES DE MECÁNICA ANALÍTICA 3

Capítulo 1

NOCIONES DE MECÁNICA ANALÍTICA

1.1 COORDENADAS GENERALIZADAS

La configuración geométrica de un sistema mecánico, en general, o de una estructura o sistemaestructural, en particular, puede definirse a través de coordenadas generalizadas; entenderemos por

coordenadas generalizadas un conjunto de parámetros, que son funciones del tiempo en dinámica ytoman valores constantes en el caso de estática, y los cuales tienen una interpretación geométrica talcomo longitud, área, volumen, ángulo, coordenadas cartesianas rectangulares, coordenadas cilíndricas,etc. En lo sucesivo, la denominación general de coordenadas la usaremos en el sentido más amplio,equivalente a coordenadas generalizadas. La Figura 1.1 muestra dos sistemas mecánicos constituidos por barras rígidas y resortes, con posibles sistemas de coordenadas generalizadas, respectivamente.

x

A B

A’ O

B’

O A’

A

Figura 1.1 Dos sistemas mecánicos compuestos por barras rígidas y coordenadas generalizadas posibles.

Conviene aclarar que también en la estática, las coordenadas dependen del tiempo. En estáticalas cargas externas se aplican gradualmente; la magnitud de las cargas varía desde cero, su valor inicial,hasta su valor final durante un lapso suficientemente largo para que las aceleraciones producidas sean pequeñas y se puedan despreciar, por lo tanto, las fuerzas de inercia. La ley de variación temporal de lascargas no es importante con tal de que sea gradual; el analista estático calcula el estado del sistemaestructural (fuerzas internas, desplazamientos, tensiones, deformaciones...) correspondiente al instantefinal de la aplicación de las cargas; el tiempo figura como un parámetro sin importancia y generalmentese dice, como lo hemos apuntado antes, que el fenómeno estático no depende del tiempo.


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4 NOCIONES DE MECÁNICA ANALÍTICA

1.2 SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

Sistemas discretos son aquéllos cuya configuración geométrica puede definirse a través de unnúmero finito de coordenadas generalizadas; tales son los sistemas que están constituidos porsubsistemas indeformables, es decir, por partículas y cuerpos rígidos, como los mostrados en laFigura 1.1.

Sistemas continuos, en cambio, son aquéllos cuya configuración geométrica no puede definirse por un número finito de coordenadas generalizadas; la característica principal de los sistemas continuoses la presencia en ellos de elementos deformables, en los cuales se hace necesario el uso de funciones dela posición y del tiempo o sólo de la posición, para definir la configuración deformada de taleselementos. La Figura 1.2 muestra un sistema continuo constituido por una barra flexible; la posición deun punto genérico S sobre el eje de la barra se define por su abscisa x en la configuración no deformadade la barra; en la configuración deformada la posición de S se define por las componentes u( x) y v( x) desu desplazamiento.

y, v

A’

S’

S v( x)O A x, u

x u( x)

Figura 1.2 Viga flexible como ejemplo de un sistema continuo. Los desplazamientos u( x) y v( x) dela sección genérica no pueden definirse a través de un número finito de coordenadas.

La estática de sistemas continuos se rige por ecuaciones diferenciales en donde las variablesindependientes son las coordenadas espaciales; tratándose de una sola variable, tendremos ecuaciones

diferenciales ordinarias; cuando hay más de una variable espacial, tendremos ecuaciones diferenciales aderivadas parciales. En la dinámica de sistemas continuos una variable independiente adicional es eltiempo y tales problemas se rigen siempre por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales.

En los sistemas discretos, por cuanto las coordenadas generalizadas ocurren en un número finito,la estática se rige por ecuaciones algebraicas y la dinámica por ecuaciones diferenciales ordinarias, endonde la variable independiente es el tiempo.

Los sistemas discretos no existen en el mundo físico real; son sólo un modelo abstracto que, enalgunos casos, pueden representar satisfactoria o convenientemente una situación real. Los sistemascontinuos modelan más satisfactoriamente la realidad física, pero aún es necesario introducir hipótesissimplificativas en las leyes que rigen su comportamiento para poder llegar a la formulación de un modelo

manejable matemáticamente.

1.3 SISTEMAS DISCRETOS. CONDICIONES DE VÍNCULO

Consideremos un sistema mecánico discreto y un sistema de coordenadas asociado de N coordenadas, las cuales designaremos por r 1, r 2, ... ..., r N ; o, más sencillamente, por r i, ( i = 1, 2, ..., N );se dice que tales coordenadas son independientes, cuando cada una de ellas puede tomar cualquier valordentro de un conjunto infinito de valores admisibles, independientemente de los valores de las restantes


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coordenadas. Si el conocimiento de los valores de las coordenadas r i, ( i = 1, 2, ... ..., N ), permiteconocer, haciendo uso de la geometría, la posición de cada uno de los puntos del sistema mecánico, sedice que el sistema de coordenadas es completo.

Si las coordenadas r i, (i = 1, 2, ... ..., N ), constituyen un sistema completo, pero noindependiente, las mismas deben cumplir ciertas relaciones o condiciones de vínculo, las cuales puedenescribirse como relaciones finitas de la forma dada por la ecuación (1.1).

mi

t r r r f N i

,......,2,1

0;,......,,21

(1.1)

También pueden existir condiciones de vínculo expresadas como relaciones infinitésimas nointegrables de la forma:

si

dt t r r r g dr t r r r g N i j

N

j

N ij

,......,2,1

0;,......,,;,......,, 211

21

(1.2)

en donde f i, g ij, g i son funciones; t es el tiempo.

Las relaciones (1.1) se llaman condiciones de vínculo holónomas y las (1.2), no holónomas;característica de estas últimas es su no integrabilidad, ya que si ello fuera posible se pudieran poner bajola forma (1.1) y serían condiciones de vínculo holónomas. Las condiciones de vínculo no holónomasexisten, por lo general, cuando las mismas expresan relaciones en donde entran las velocidades de ciertos puntos del sistema.

Cuando todas las condiciones de vínculo son del tipo holonómico, se dice que el sistemamecánico es holónomo; la existencia de condiciones de vínculo no holónomas determina que el sistemasea no holónomo. Un sistema mecánico es esclerónomo si es holónomo y el tiempo no aparece en formaexplícita en las condiciones de vínculo.

Si de las m condiciones de vínculo (1.1) sólo m1, (m1 m), son linealmente independientes, sedice que hay m1 condiciones de vínculo efectivas; las restantes son condiciones aparentes de vínculo. Encuanto a las condiciones no holónomas de vínculo, también pueden separarse en s1 condiciones efectivasy s2 condiciones aparentes, ( s1 + s2 = s ).

Las m1 condiciones efectivas de vinculación holónomas permiten escoger n coordenadasgeneralizadas independientes qi, ( i = 1, 2, ... ... , n ); n = N - m1. Cada coordenada r i se puede expresar

como una función de las coordenadas generalizadas independientes y el tiempo

N i

t qqqhr nii

,......,2,1

;,......,, 21

(1.3)

Las condiciones de vínculo no holónomas no permiten reducir el número de coordenadasgeneralizadas porque tales condiciones no están expresadas en forma finita.


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Los casos de estática son, en general, holónomos ya que no existen velocidades importantes queson las magnitudes que entran en las condiciones no holónomas de vinculación. En nuestro caso, sólonos ocuparemos de sistemas holónomos.

Las coordenadas generalizadas q1, q2, q3, ... ..., qn las consideraremos como las componentes deun vector q en un espacio vectorial de dimensión n, el cual supondremos un vector columna, es decir,una matriz de n filas y una columna,

nq

q

q

.

.

.

2

1

q

el cual escribiremos algunas veces como una fila transpuesta para ahorrar espacio en la escritura:

t

nqqq ......21

q

Como vectores bases que generan el espacio vectorial de dimensión n podemos tomar a:

t

t

t

1......000

.

.

.

0......010

0......001

n

2

1

e

e

e

en donde ei tiene todas sus componentes nulas, excepto la de orden i, la cual es igual a la unidad. Estosvectores bases son, por supuesto, linealmente independientes.

Cualquier vector V se puede expresar bien como:

t nn V V V V 121 ...... V

o como:

n21 eeeV nV V V ......21

según convenga.

La Figura 1.3 muestra otra vez los sistemas mecánicos de la Figura 1.1, usando la notación q para las coordenadas generalizadas y un modo más sencillo para su representación. La flecha rectarepresenta la componente ortogonal, en la dirección y sentido de la flecha, del desplazamiento lineal(traslación) correspondiente; la flecha curva representa el giro o rotación alrededor del eje perpendicularal plano del dibujo. La representación se hace en la configuración inicial, no deformada, del sistema.Para mayor simplicidad, cada flecha se identifica sólo con el índice correspondiente de la coordenada q.Tal esquema de representación de las coordenadas lo usaremos cuando no presente ninguna confusión.


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1 A B2

O 1

O A

Figura 1.3 Sistemas mecánicos de la Figura 1.1 con una representación más sencillay más usual de las coordenadas generalizadas q.

1.4 DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES. GRADOS DE LIBERTAD

Si un sistema mecánico tiene en un instante dado una configuración definida por las coordenadasgeneralizadas ),...,...,2,1(, niqi un desplazamiento virtual es aquél que puede ocurrir para llevar el

sistema de su configuración instantánea, real, a una configuración virtual definida por unas nuevascoordenadas ),...,...,2,1(, niqq ii en donde )...,...,2,1(, niqi , son variaciones virtuales de lascoordenadas, las cuales supondremos infinitésimas. El tiempo se supone congelado en un desplazamientovirtual, es decir, t = 0, lo cual es de importancia en sistemas no esclerónomos por aparecer el tiempo enforma explícita en las condiciones de vínculo.

Característica importante de las variaciones virtuales de las coordenadas y del desplazamientovirtual correspondiente es su total independencia de los desplazamientos reales; entre losdesplazamientos virtuales y los reales no existe ninguna relación.

Tomaremos siempre desplazamientos virtuales compatibles con las condiciones de vínculo. Lascondiciones holonómicas de vinculación quedan automáticamente satisfechas al definir undesplazamiento virtual mediante una variación virtual de las coordenadas generalizadas, no así lascondiciones no holonómicas, ya que éstas no influyen en el número de coordenadas independientes.

Se define como grados de libertad de un sistema mecánico o, con más precisión, número degrados de libertad, al número de variaciones virtuales independientes de las coordenadas generalizadasque definen el desplazamiento virtual más general del sistema.

En los sistemas holónomos los grados de libertad coinciden con el número de coordenadasgeneralizadas independientes; no así en los sistemas no holónomos ya que las variaciones virtuales de lascoordenadas generalizadas deben satisfacer las condiciones de vínculo no holónomas. En los sistemas noholónomos el número de grados de libertad es, por lo tanto, igual al número de coordenadasindependientes menos el número de condiciones efectivas de vínculo no holónomas.

1.5 CARGAS GENERALIZADAS

En general, en un sistema mecánico de tipo holonómico de n grados de libertad, la configuracióndeformada puede definirse a través de un sistema de coordenadas generalizadas ),...,...,2,1(, niqi de n

componentes. El desplazamiento virtual más general se define por una variación virtual de lascoordenadas generalizadas, es decir, )....,...,2,1(, niqi Supondremos que el desplazamiento virtual es

infinitésimo, aún cuando podrían considerarse desplazamientos virtuales de magnitud finita. El trabajo


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realizado por las fuerzas externas en un desplazamiento virtual se le llama trabajo virtual, el cual puedeexpresarse como:

nn qQqQqQW ......2211

en donde los términos )...,...,2,1(, niQi dependen de las fuerzas externas que actúan en el sistema y

también de la geometría; tales términos reciben el nombre de cargas generalizadas. Las cargasgeneralizadas representan o miden las fuerzas externas actuantes; a cada coordenada qi corresponde unacarga generalizada Qi. Las coordenadas qi miden o representan la geometría deformada del sistema, soncoordenadas geométricas; análogamente, las cargas generalizadas son coordenadas que representan omiden el sistema de fuerzas externas, son coordenadas de fuerza o estáticas en tal sentido. Según loanterior, el sistema de coordenadas generalizadas es doble, comprende tanto las coordenadas geométricasqi como las coordenadas estáticas Qi, por ello lo llamaremos en lo sucesivo, sistema de coordenadas Q-q.

Las coordenadas )...,...,2,1(, niqi son independientes, por cuanto en su selección se toma en

cuenta todas las condiciones de vínculo. Las coordenadas estáticas )...,...,2,1(, niQi también son

independientes si la estructura es geométricamente estable, es decir, que cualquier desplazamiento o

cambio de configuración geométrica que tenga la posibilidad de experimentar la estructura implique ladeformación de algunos de sus elementos constitutivos; si la estructura es geométricamente inestable lascoordenadas Qi no serían independientes ya que tendrían forzosamente que cumplir las condiciones deequilibrio correspondientes al trabajo virtual en aquellos desplazamientos como cuerpo rígido de laestructura o de alguna de sus partes. Cuando se trata el caso de análisis de una estructurageométricamente inestable pero en estado de equilibrio, se recurre generalmente al artificio de suponer laexistencia de vínculos adicionales que estabilizan la estructura y que no generan reacciones.

1.6 SISTEMAS LINEALES

Una estructura es un sistema lineal cuando las ecuaciones que rigen su comportamiento general

son lineales. La linealidad comprende tanto el comportamiento físico del material constituyente desde el punto de vista de las relaciones tensión-deformación como la influencia de la geometría de deformaciónen las ecuaciones que rigen el comportamiento de la estructura.

El material de Hooke es el prototipo de material elástico lineal, en el cual las relaciones tensión-deformación se expresan a través de relaciones lineales que comprenden los módulos de elasticidad; loscoeficientes o módulos de elasticidad independientes son dos para el material isotrópico y aumentancuando el material exhibe alguna anisotropía. La mayoría de los materiales de construcción (acero,aluminio, madera, ...) satisfacen aproximadamente la ley de Hooke hasta ciertos niveles de tensión.Algunos materiales (concreto, caucho, polímeros, ...) exhiben un comportamiento no lineal e inelástico ala vez.

Si las deformaciones que experimenta una estructura y los desplazamientos correspondientes son pequeños comparados con las dimensiones de la misma, se puede despreciar la influencia de losdesplazamientos en las ecuaciones de equilibrio de la estructura, es decir, se puede usar la geometríainicial, no deformada, de la estructura para plantear las ecuaciones de equilibrio; esto es lo que constituyela geometría lineal. Si por el contrario, las ecuaciones de equilibrio se plantean tomando en cuenta laconfiguración deformada de la estructura, estaríamos en presencia de una geometría no lineal, como es elcaso del estudio de la estabilidad elástica del equilibrio de columnas y vigas-columnas.

En esta obra supondremos, salvo que expresemos lo contrario, que el material es linealmenteelástico, isotrópico, que obedece la ley de Hooke y que los desplazamientos y deformaciones son


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infinitésimos y no influyen, por lo tanto, en las ecuaciones de equilibrio. Todo esto conduce a una teoríalineal de estructuras, la cual es manejable matemáticamente y para la cual rige el principio desuperposición. El caso no lineal no es manejable cómodamente, sino en casos muy sencillos; es necesariorecurrir a métodos aproximados de análisis numérico que la mayor de las veces suponen que la estructurase carga a intervalos de tiempo y que en cada intervalo el comportamiento es lineal para la carga aplicadaen el mismo intervalo, pero que la ley de comportamiento puede variar de un intervalo a otro.

1.7 UN CASO DE GEOMETRÍA NO LINEAL

A fin de ilustrar el concepto de linealidad geométrica, consideraremos el sistema mostrado enla Figura 1.4, el cual está constituido por dos barras rígidas de igual longitud, articuladas entre sí yrestringidas por dos resortes de torsión y el apoyo fijo en el extremo A; el sistema está solicitado porcuatro fuerzas externas, como se muestra en la figura.

y, v

W 2 W 4

k 1 k 2 W 3 x, u A B W1 C

L L

Figura 1.4. Sistema constituido por dos barras rígidas.

Para definir la configuración más general del sistema hacen falta dos coordenadas generalizadasindependientes, que hemos tomado como los ángulos que forman cada una de las barras con el eje deabscisas, como se muestra en la Figura 1.5.

W 2 W 4

y, v C ’ W 3 q2

W 1 B’

q1

A B C

Figura 1.5. Configuración deformada del sistema y coordenadas generalizadas.

Las componentes cartesianas del desplazamiento de un punto genérico, S ( x,0), del sistema seobtienen como:

L x Lq L xq L

L xq x xu

2)cos1()()cos1(

0)cos1()(

21

1

(1.4)

L x L senq L xq sen L

L xq sen x xv

2)(

0)(

21

1

x , u


31/47


en donde u( x) y v( x) corresponden a las componentes de desplazamiento según los ejes x e y,respectivamente. Las ecuaciones (1.4) han sido calculadas, suponiendo que los desplazamientos puedenalcanzar cualquier valor finito, es decir, no están restringidos a valores infinitésimos.

Consideremos ahora un desplazamiento virtual del sistema, el cual se puede definir en su formamás general como una variación virtual de las coordenadas generalizadas q1 y q2; tal variaciónvirtual y, como consecuencia, el desplazamiento virtual correspondiente son de magnitud infinitésima yocurren a partir de la configuración genérica definida por el valor de las coordenadas generalizadas,como se muestra en la Figura 1.6.

y, v

q2 q1

q2

q1 x, u

A B C

Figura 1.6. Desplazamiento virtual más general del sistema.

Por tratarse de valores infinitésimos, las componentes del desplazamiento virtual puedenobtenerse como las diferenciales de las ecuaciones (1.4), dando como resultado:

L x Lqq sen L xqq sen L

L xqq sen x xu

2)(

0)(

2211

11

(1.5)

L x Lqq L xqq L

L xqq x xv2cos)(cos

0cos)(2211

11

Particularizando las ecuaciones (1.5) para los puntos B y C , se tiene

2211

2211

11

11

coscos

cos

qq Lqq Lv

qq sen Lqq sen Lu

qq Lv

qq sen Lu

C

C

B

B

El trabajo virtual de las fuerzas externas en el desplazamiento virtual considerado es

)coscos()(cos 2211422113112111 qqqq LW qq senqq sen LW qq LW qq sen LW W

Agrupando los términos que multiplican a q1 y q2, esta última expresión puede escribirse como

24232

141312111

2211

cos

coscos

q LW q sen LW Q

q LW q sen LW q LW q sen LW Q

qQqQW

(1.6)


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en donde Q1 y Q2 son las cargas generalizadas. Estas cargas generalizadas dependen no sólo de lasfuerzas externas, sino también de las coordenadas q1 y q2, es decir, de la geometría deformada delsistema. Esto es característica de una teoría de desplazamientos finitos y que dificulta la obtención desoluciones, aún tratándose de situaciones físicas muy sencillas como el sistema de la Figura 1.4. Ladificultad se debe a la geometría no lineal, lo cual conduce a que el sistema se rija por ecuaciones nolineales, para cuya solución no existe una teoría que aborde el problema en forma general y sistemática.

1.8 CASO DE GEOMETRÍA LINEAL.SUPERPOSICIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS

A fin de obtener un modelo matemático que pueda ser manejado en forma sencilla, esimprescindible hacer simplificaciones que conduzcan a una teoría cuya validez no será general sinolimitada; tal es el caso de una teoría de desplazamientos infinitésimos o de primer orden, la cualanalizaremos a continuación para el caso específico del sistema físico de la Figura 1.4. Si en lasecuaciones (1.4) sustituimos el seno y coseno que allí aparecen por sus desarrollos en serie

(*)

se obtiene:

L x LOq

q L xq

q L

L xO

q

q x xv

L x LOq L x

q L

L xOq x

xu

2)5()6

()()6

(

0)5()6()(

2)4(22

0)4(2

)(

3

22

3

11

3

11

2

2

2

1

2

1

En una teoría de desplazamientos infinitésimos, se toma sólo hasta los términos de primer ordende estas últimas expresiones, es decir,

L x Lq L xq L

L xq x

xv

L x xu

2)(

0

)(

200)(

21

1

Ahora los desplazamientos son funciones lineales de las coordenadas y rige, por lo tanto, el principio de superposición para ellos.

(*) La expresión O(n) representa el orden de la suma de los términos que se omiten en el desarrollo; n es el ordende magnitud referido a u, supuesto de orden unidad.

)4(2

1cos

)5(62

3

Ou

u

Ouuu sen


33/47


Estamos en presencia de una geometría lineal, lo cual simplifica mucho la teoría(*). Siguiendocon el problema que estamos considerando, los desplazamientos virtuales correspondientes a B y C serían:

211

00

q Lq Lvq Lv

uu

C B

C B

y el trabajo virtual de las fuerzas externas:

)( 21412 qq LW q LW W

con lo cual las cargas generalizadas serían:

LW Q

LW LW Q

42

421

(1.7)

Conviene observar que en el caso de desplazamientos infinitésimos las cargas generalizadas nodependen de las fuerzas W 1 y W 3, las cuales sí intervienen en el caso de desplazamientos finitos.

Todo ocurre ahora en forma más sencilla. Como los desplazamientos virtuales no dependen delvalor de las coordenadas generalizadas, pueden ser representados suponiendo la configuración original,no deformada, del sistema, como se hace en la Figura 1.5; más aún, en virtud de la linealidad de losdesplazamientos con respecto a las coordenadas, y de los desplazamientos virtuales con respecto a lasvariaciones virtuales de las coordenadas, es posible y, más aún, conveniente, representar estados dedesplazamiento que corresponden a valor unidad de una coordenada específica y valor nulo de lasrestantes; tales estados de desplazamiento aparecen en la Figura 1.6 y los llamaremos estados dedesplazamiento elemental. El desplazamiento total, real o virtual, se obtiene superponiendo los estadosde desplazamiento elemental, multiplicado cada uno de ellos por el valor de la coordenadacorrespondiente si se trata de desplazamientos reales, o por el valor de la variación virtual de lacoordenada si se trata de desplazamientos virtuales.

y, v B’ C’

q2 L (q1 + q2 )

q1 x, u

A B C

Figura 1.5. Desplazamiento virtual más general del sistemaen una teoría de desplazamientos infinitésimos.

Conviene hacer notar que el valor unidad de la coordenada generalizada correspondiente a unestado de desplazamiento elemental debe considerarse como un valor infinitésimo y que los valores quetoman los desplazamientos correspondientes, son simples factores que hay que multiplicar por losvalores de las coordenadas o sus variaciones virtuales, según el caso, para obtener los desplazamientos,reales o virtuales. Sería un grave error considerar y tratar un estado de desplazamiento elemental como si

(*) Una teoría un poco más refinada sería una de segundo orden, en donde se toman en cuenta términos hasta desegundo orden.


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fuera de desplazamientos finitos. Los estados de desplazamiento de la Figura 1.6 son simplemente, elmismo diagrama de desplazamientos infinitésimos de la Figura 1.5, en donde se toma q1 = 1 y q2 = 0en un caso, y q1 = 0 y q2 = 1 en el otro.

y, v

B’ C’

1 L x, u

A B C

(a) Correspondiente a la coordenada q1

y, v

C’

1 L

x, u A B C(b) Correspondiente a la coordenada q2

Figura 1.6. Estados de desplazamiento elemental.

Si llamamos 1( x) y 2( x) las elásticas de desplazamiento v( x) correspondientes a los estados dedesplazamiento elemental, es decir,

L x L L x

L x x

L x L L

L x x x

2

00)(

2

0)(

2

1

la elástica correspondiente a valores genéricos, q1 y q2, de las coordenadas sería:

)()()( 2211 xq xq xv

No hemos hecho mención de la elástica de desplazamientos u( x), por cuanto es nula para elsistema de coordenadas cartesianas seleccionado, pero podría existir para otros ejes o para otro sistemamecánico. Las funciones 1( x) y 2( x) reciben el nombre de funciones de forma. Representan y definenla elástica o elásticas, según sea el caso, de los desplazamientos que ocurren en cada estado dedesplazamiento elemental.

De lo anterior se desprende que cuando queremos analizar un sistema mecánico y tomamos unsistema de coordenadas q1, q2, ... que definen el desplazamiento generalizado(*) de un número discreto de

puntos del sistema, existen funciones de forma asociadas a cada coordenada que en su conjunto, y conel valor de las coordenadas, definen el desplazamiento de todos los puntos del sistema.

En forma completamente análoga a los estados de desplazamiento elemental, se pueden construirsistemas de fuerzas externas que correspondan a valor unidad de una carga generalizada específica y

(*) La denominación desplazamiento generalizado corresponde a un desplazamiento absoluto o relativo, unacomponente de desplazamiento, una rotación o cualquier combinación de componentes de desplazamiento.


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valor nulo de las restantes; tales estados de solicitación los llamaremos estados de carga elemental yaparecen representados en la Figura 1.7 para el sistema mecánico que estamos considerando.

y

1/ L

x

A B C

(a) Correspondiente a la coordenada Q1

y

1/ L 1/ L

x

A B C

(b) Correspondiente a la coordenada Q2

Figura 1.7. Estados de carga elemental.

Los diagramas de carga elemental de la Figura 1.7 se construyen determinando las fuerzasexternas que corresponden a las cargas generalizadas del caso. Si de las ecuaciones (1.7) despejamos W 2 y W 4 en función de Q1 y Q2, se obtiene:

L

QW

L

QQW

24

212

=

−=

De estas ecuaciones se pueden obtener los valores de W 2 y W 4 que corresponden a cada caso decarga elemental, haciendo Q1 = 1 y Q2 = 0 para el primer caso y Q1 = 0 y Q2 = 1 para el segundo.

1.9 IDENTIFICACIÓN DE COORDENADAS

Consideremos una estructura cuya geometría deformada y estado de carga están representadosmediante un sistema de coordenadas Q-q. Si consideramos que, a partir de una posición genérica de laestructura, ocurre un desplazamiento virtual definido por una variación virtual δq de las coordenadasgeométricas, el trabajo virtual de las fuerzas externas, conforme con la definición de carga generalizada,es:

1 1 2 2 ... ...

δ

n n

t

W q Q q Q q Qδ δ δ δ = + + +

= q Q (1.8)


36/47


Si consideramos como desplazamiento virtual el estado de desplazamiento elementalcorrespondiente a la coordenada qm, es decir,

q = em qi = 0 i m

qm = 1

e introducimos estos valores en la ecuación (1.8), se obtiene como resultado:

W = Qm

es decir, el trabajo virtual de las fuerzas externas (fuerzas reales) en el desplazamiento virtual q = em esigual a la carga generalizada Qm.

En forma análoga, si consideramos un sistema de fuerzas virtuales representado por unavariación virtual Q de las coordenadas estáticas, se define como trabajo complementario, en este casovirtual, a la expresión

W

c

= Q1 q1 + Q2 q2 + ... ...+ Qn qn (1.9)W c = Q t q

Si consideramos como fuerzas virtuales al definido por el estado de carga elemental correspondiente a lacoordenada Qm, es decir,

Q = em Qi = 0 i m

Qm = 1

e introducimos estos valores en la ecuación (1.9), se obtiene como resultado:

W c = qm

es decir, el trabajo complementario virtual de las fuerzas que corresponden al estado de carga virtualQ = em en los desplazamientos reales de la estructura es igual a la coordenada geométrica qm.

Resumiendo lo anterior, podemos decir que el estado de desplazamiento elemental q = em sirve para identificar y expresar la componente de carga generalizada Qm en función de lasfuerzas externas mediante el trabajo virtual de tales fuerzas. Del mismo modo, el estado de cargaelemental Q = em sirve para identificar y expresar la componente de coordenada generalizada qm enfunción de los desplazamientos físicos de la estructura a través del trabajo complementario virtual detales fuerzas.

Como ejemplos sencillos, calculamos para el sistema mecánico de la Sección 1.8, que aparece enla Figura 1.4, el trabajo virtual de las fuerzas externas en el desplazamiento virtual correspondiente alestado de desplazamiento elemental q = e2 (ver la Figura 1.6); se obtiene como carga generalizada:

Q2 = W 4 L

Si ahora tomamos como sistema de fuerzas virtuales al estado de carga elemental Q = e2, (verla Figura 1.7), el trabajo complementario virtual de estas fuerzas en los desplazamientos reales delsistema da como resultado la coordenada geométrica correspondiente


37/47


L

vvv

Lv

Lq BC BC

112

que identifica a q2 como ángulo de giro de la barra BC del sistema considerado.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.1

El sistema mecánico de la Figura 1.8 está compuesto por tres barras rígidas vinculadas entre sí

y sustentadas por dos resortes y los apoyos mostrados. Seleccionar un sistema de coordenadas generalizadas Q-q , dibujar los estados de desplazamiento y carga elementales y expresar el

desplazamiento de B, C y D así como las rotaciones de las barras en función de las coordenadas

generalizadas.

C

4 L/5 k 2

A B D

k 1 L 3 L/5 3 L/5

Figura 1.8 Sistema Mecánico.

La Figura 1.9a muestra la deformación más general del sistema, la cual queda definida por losdos parámetros geométricos o coordenadas generalizadas señaladas en la figura; q1 es la rotación de la

barra AB y q2 , la componente horizontal del desplazamiento de C; la Figura 1.9b muestra en formaconvencional el sistema de coordenadas Q-q seleccionado. El sistema de coordenadas cartesianas Oxy

nos servirá de referencia para medir las componentes u y v de desplazamientos.

q2

C

2C’

y, v q1 B’ 1 A D D’

B

O x, u (a) Deformada (b) Sistema Q-q

Figura 1.9 Deformada del sistema y coordenadas Q-q.

La Figura 1.10a muestra el estado de desplazamiento elemental correspondiente a lacoordenada q1; la barra AB rota la unidad alrededor de A; la barra BC experimenta una traslación L en

la dirección del eje Oy; mientras que la barra CD rota 5/3 alrededor de E en sentido horario. La Figura 1.10b muestra los desplazamientos de B, C y D mediante flechas, convención que usaremos amenudo. La Figura 1.11 es similar a la 1.10, pero corresponde a la coordenada q2; en este estado la

barra AB no experimenta desplazamiento; la barra BC rota 5/4 L alrededor de B en sentido horario; y

la barra CD rota 5/4 L alrededor de F en sentido antihorario.


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C ’ L L

EC

L B’

1 L 4 L/3 A B D’ D

4 L/3

(a) Deformada (b) Desplazamientos

Figura 1.10 Estado de desplazamiento elemental q = e1.

F

1 4 L/5 3/4

C 13/4 C’

4 L/5

A D D’ B 2

2

(a) Deformada (b) Desplazamientos

Figura 1.11 Estado de desplazamiento elemental q = e2.

Por superposición de los estados de desplazamiento elemental, podemos expresar lascomponentes de desplazamiento y rotaciones pedidas:

1

1

(a) Q = e1 (b) Q = e2

Figura 1.12 Estados de carga elemental.

La Figura 1.12 muestra los dos estados de carga elemental, los cuales son obvios. Conviene

notar que las fuerzas externas correspondientes a los estados de carga elemental no son únicas; es muy

023

4

4

5

3

5

4

3

4

50

00

21

21212

21

1

D D

CDC C

BC B B

AB A A

vqq L

u

q L

qqq Lvqu

q L

q Lvu

qvu


39/47


sencillo determinar un estado de fuerzas externas que corresponda a determinados valores de la carga generalizada; si suponemos sólo fuerzas concentradas aplicadas en B, C y D en las direcciones de los

ejes Ox y Oy como muestra la Figura 1.13, determinaríamos estas fuerzas satisfaciendo las ecuaciones

que dan las magnitudes de las cargas generalizadas

W 4

W 3

W 2

W 5W 1

Figura 1.13 Régimen de carga externa.

Conocidas Q1 y Q2 , el sistema de dos ecuaciones (1.10) permite determinar las fuerzas W; podemos dar valores arbitrarios a W 1 , W 4 y W 5 , por ejemplo, y determinar W 2 y W 3 del sistema de

ecuaciones. A título de ejemplo, la Figura 1.14 muestra tres regímenes distintos de fuerzas externas,cada uno de los cuales representa el estado de carga elemental correspondiente a la coordenada q2 ,como puede comprobar el lector; estos tres estados de fuerzas externas son equivalentes en el sentido de

que corresponden a la misma carga generalizada, Q1 = 0 y Q2 = 1.

1 1

5 7/4 14 1 1/2

3 3/8

Figura 1.14 Tres representaciones distintas del estado de carga elemental Q = e2.


La Figura 1.15 muestra el mismo sistema mecánico considerado en el Ejemplo Ilustrativo 1.1 y

los estados de desplazamiento elemental que corresponden o, más bien, definen un sistema decoordenadas Q-q . Determinar los desplazamientos de B, C y D en términos de las coordenadas

generalizadas y, del resultado, identificar q1 y q2; determinar los estados de carga elemental.

5432

5421

243

3

4

W W W Q

W L

W LW LQ

(1.10)


40/47


4/3

C C’ C 4/3

B’ 1

y, v 1 A D D’ A B 4/3 D

B

4/3 x, u

O Deformada Desplazamientos de B, C , D

(a) Estado de desplazamiento elemental q = e1

2/3 1/2

1/2 C’ 2/3 C

C

1 B’

A 1 D A B D B

Deformada Desplazamientos de B, C , D

(b) Estado de desplazamiento elemental q = e2

Figura 1.15 Estados de desplazamiento elemental.

El sistema posee dos grados de libertad y los desplazamientos de B, C y D están definidos por

cuatro componentes de desplazamiento, v B , uC , vC y u D , las cuales no son independientes, deben cumplir

dos condiciones de restricción que corresponden a los cambios de longitud de las barras BC y CD, loscuales deben ser nulos. Para cada barra escribiremos estas condiciones, usando las expresiones

deducidas en el Apéndice 4.

El lector puede comprobar que los desplazamientos correspondientes a los estados q = e 1 y q = e 2 cumplen las ecuaciones (1.11); en caso contrario no serían compatibles por producir cambio delongitud de las barras, y no tendría sentido continuar el problema.

El desplazamiento de los puntos B, C y D se obtiene por superposición de los estados dedesplazamiento elemental

0cossen)(

0cos)(sen

C C DCD

BC C BC

vuu L

vvu L(1.11)


41/47


.,4

3

4

321 D B D uvquq −==

De estos resultados podemos despejar q1 y q2 en términos de las componentes físicas de

desplazamiento; existen varias posibilidades de hacerlo, una de ellas es:

otra posibilidad es

2

C C

A B 3/4 D A B D

(a) Q = e1 (b) Q = e2


De las ecuaciones (1.12) podemos determinar los estados de carga elemental, sabiendo que el

trabajo complementario virtual de las fuerzas del estado de carga virtual δ Q = ei , en los

desplazamientos reales del sistema, es igual a la coordenada q i. La Figura 1.16 muestra los dos estadosde carga elemental; existen, naturalmente, otras representaciones de los mismos con fuerzas diferentes,

que podríamos determinar con el mismo procedimiento usado en el Ejemplo Ilustrativo 1.1.


La Figura 1.17 da los estados de carga elemental que definen un sistema de coordenadas Q-q para el

mismo sistema mecánico considerado en los dos ejemplos ilustrativos anteriores. Determinar q 1 y q2 en

términos de los desplazamientos físicos de B, C y D y construir los estados de desplazamiento

elemental.

03

42

1

3

2

3

4

0

1

221

21

==

=+=

+==

D D

C C

B B

vqu

qvqqu

qqvu

C D vquq 24

321 == (1.12)


42/47


(1.13)

C 1 C 1

y, v 1

A B D A B D

0 x, u (a) Q = e1 (b) Q = e2


Las coordenadas generalizadas qi , son inmediatas, son iguales al trabajo complementario

virtual de las fuerzas del estado de carga virtual Q = e i en los desplazamientos del sistema

El estado de desplazamiento elemental q = e 1 lo determinamos usando las ecuaciones (1.13) y (1.11),

La solución de estas ecuaciones es:

Del mismo modo determinamos los desplazamientos correspondientes al estado q = e 2 ; la Figura 1.18 muestra ambos estados de desplazamiento elemental.

7/4 1

C 1 C

1 1

A B 10/3 D A B 4/3 D

(a) q = e1 (b) q = e2

Figura 1.18 Estados de desplazamiento elemental.

C BC uvquq 21

05

4

)(5

3

0)(5

4

5

3

0

1

C C D

BC C

C B

C

vuu

vvu

uv

u

3

10

4

711 DC C B uvuv


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1.10 COMENTARIO FINAL

Para finalizar este capítulo, diremos que una estructura cualquiera, cuando está solicitada porfuerzas, experimenta desplazamientos que la deforman. Para el análisis se recurre a un sistema de

coordenadas generalizadas Q-q; las coordenadas geométricas q constituyen una representaciónmatemática de los desplazamientos físicos que experimenta la estructura; las coordenadas estáticas Q constituyen, en forma análoga, una representación matemática del sistema de fuerzas externas que actúanen la estructura. Esto es de capital importancia en el análisis y conviene que el lector diferencie entre lascomponentes físicas de fuerzas y desplazamientos y las componentes de sus respectivas representacionesmatemáticas a través del sistema Q-q. En muchos casos las componentes físicas y matemáticascoinciden, es decir, son las mismas, pero en otros, como hemos visto en los ejemplos considerados, sondistintas; en el caso del sistema sencillo de la Sección 1.8, las coordenadas q1 y q2 son los giros físicos delas barras AB y BC , pero las cargas generalizadas Q1 y Q2 no coinciden con las fuerzas W 1 a W 4.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

CHOW, T. L., Classical Mechanics, John Wiley, Nueva York, 1995.

D’SOUZA, A. F. y V. K. GARG, Advanced Dynamics. Modeling and Analysis, Prentice-Hall,Englewood Cliffs, E. U. A., 1984.

GOLDSTEIN, H., Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, E. U. A., 1959.

GREENWOOD, D. T., Classical Dynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, E. U. A., 1977.

McCUSKEY, S. W., Introduction to Advanced Dynamics, Addison-Wesley, Reading, E. U. A., 1959.

PROBLEMAS

1.1 La Figura P1.1 muestra un sistema mecánico plano constituido por tres barras rígidas AB, BCD y EF ,vinculadas entre sí y con la lámina tierra mediante articulaciones y resortes de comportamientoelástico lineal; k 1, k 2 y k 3 son los coeficientes respectivos de rigidez. El sistema está solicitado por lascinco fuerzas mostradas.

(a) Dibujar una configuración deformada del sistema, lo más general posible, y definirla con

coordenadas generalizadas independientes.

(b) Dibujar los estados de desplazamiento elemental.

(c) Determinar y dibujar los estados de carga elemental.

(d) Expresar los desplazamientos de B, C , D y E así como las rotaciones de las barras AB, BCD y EF en función de las coordenadas generalizadas.

(e) Determinar el valor de la carga generalizada que corresponde a la solicitación externa dada.


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W1 A B

Ck 1 k 2

L

W 2 D W 3 F M 1 k 3

E

W 4 L L

Figura P1.1 Sistema de tres barras rígidas.

1.2 Los estados de desplazamiento de la Figura P1.2, en donde no mostramos el resorte k 3 para mayorclaridad, definen un sistema de coordenadas Q-q para el sistema mecánico del Problema P1.1.

(a) Determinar los desplazamientos de B, C , D y E en función de las coordenadas generalizadas.

(b) Determinar y dibujar los estados de carga elemental.

(c) Identificar las coordenadas generalizadas de tipo geométrico en términos de los desplazamientosfísicos del sistema.

(d) Determinar el valor de la carga generalizada para el estado de carga mostrado en la Figura P1.1.

C’ 1 2 B’

A 2C C B

A B D’

2

D D 1 F F

E E

(a) q = e1

A B C A B C

D D

F E’ 1 F E E

1

(b) q = e2

Figura P1.2 Estados de desplazamiento elemental (continúa).


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1 A B C’ A B

1C C

D’ 1

D D 1 F F E E

(c) q = e3

Figura P1.2 Estados de desplazamiento elemental (continuación).

1.3 La Figura P1.3 muestra los estados de carga elemental que definen un sistema de coordenadas Q-q para el mismo sistema físico considerado en los dos problemas anteriores.

(a) Identificar las coordenadas generalizadas de tipo geométrico en términos de los desplazamientosfísicos del sistema.

(b) Determinar y dibujar los estados de desplazamiento elemental.

(c) Expresar el desplazamiento de B, C , D y E así como las rotaciones de las barras AB, BCD y EF enfunción de las coordenadas generalizadas.

(d) Determinar los valores que toman las cargas generalizadas para las solicitaciones externasmostradas en la Figura P1.1.

A B 1

C

D

F E

(a) Q = e1

1 A B

C

D

F E 1

(b) Q = e2

Figura P1.3 Estados de carga elemental (continúa).


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1C

A B

F D

E1

(c) Q = e3

Figura P1.3 Estados de carga elemental (continuación).

1.4 La Figura P1.4 muestra el mismo sistema mecánico considerado en los problemas anteriores,solicitado esta vez por cargas concentradas y distribuidas. Determinar el valor que toma la cargageneralizada en cada uno de los sistemas Q-q usados en los Problemas 1.1 a 1.3.

W 1 W 2

C

A B

L/2

D w F

E W 3

W 4

Figura P1.4 Cargas externas que solicitan al sistema.


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Análisis Estático de Estructuras_Lamar y Fortoul