ANÁLISIS ESTÁTICO SIMPLIFICADO DE … · muy simple calcular las fuerzas tangenciales T y radiales H, ambas en función de la reacción vertical previamente obtenida. Para otro

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

1

ANÁLISIS ESTÁTICO SIMPLIFICADO DE PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS Y ELÍPTICOS

Diego Miramontes De León 1,2

RESUMEN

Para el análisis riguroso de cascarones, actualmente se aplican métodos modernos basados en elementos

finitos, mientras que, para un análisis preliminar, puede aplicarse la teoría de la membrana. Sin embargo, aún

bajo hipótesis simplificadoras, el estudio de estas estructuras bajo cargas verticales sigue siendo laborioso y

poco práctico. Con el propósito de ofrecer un método sencillo para resolver el equilibrio y el estado de

esfuerzos de algunas estructuras laminares, se proponen nuevas ecuaciones para un análisis manual. Las

ecuaciones propuestas reducen significativamente el trabajo numérico comparado con el de algunas obras

clásicas sin desventaja en la aproximación de los resultados.

ABSTRACT

For a rigorous shells analysis, nowadays, modern methods based on finite elements are applied, whereas that,

for a preliminary analysis, the membrane theory can be used. However, even under simplified hypotheses, the

study of these structures under vertical weight remains unpractical and laborious. With the only purpose of

offering a simple method to determine equilibrium and strength states for some of these shell structures, new

equations for a manual analysis are proposed. Those equations significantly reduce the numeric work

compared to some classical works without disadvantages on the accuracy of the results.

INTRODUCCIÓN

Las estructuras laminares, pueden definirse a partir de dos grandes características; a) Por su geometría, en

donde el espesor es muy pequeño comparado con sus dimensiones ancho-largo, b) Por la forma en la que se

distribuyen las cargas hacia los apoyos, provocando esencialmente esfuerzos de compresión y tensión sobre la

estructura. En cuanto a su geometría, también pueden identificarse a partir del índice de Gauss como; 1)

estructuras con índice positivo, en donde se encuentran las cúpulas y los paraboloides elípticos; 2) estructuras

con índice negativo, en donde se encuentran las paraboloides hiperbólicos y, por último, 3) estructuras con

índice nulo, en donde se tienen las bóvedas de cañón, sean cilíndricas o curvas (figura 1).

Figura 1 Índice de Gauss K, positivo, negativo y nulo

1 Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Zacatecas, Av. López Velarde No. 801, CP 98000, Col.

Centro. Zacatecas, Zac. Teléfono: (492)923-9407; [email protected] 2 Ingeniería Civil, Universidad Autónoma de Durango, Campus Zacatecas, Czda. Héroes de Chapultepec,

No. 1401, La Escondida, Zacatecas, Zac. Tel. 492 924 9000.

mailto:[email protected]

XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.

2

Para el análisis simplificado de los cascarones, se ha utilizado, por lo general, la teoría de la membrana, en la

cual se incluyen algunas hipótesis fuertes con las que se ignora la presencia de esfuerzos de flexión y cortante,

dejando como esfuerzos principales sólo los de compresión y tensión. Lo anterior se considera aceptable

debido al espesor pequeño de la membrana, así como a la geometría funicular de la estructura. En base a esas

hipótesis, se proponen aquí, nuevas ecuaciones para resolver el equilibrio de paraboloides hiperbólicos y

elípticos, sin recurrir a ecuaciones previamente desarrolladas en trabajos presentados en el período de auge de

estas estructuras (Canals y Guerin, 1976), (Olvera, 1985). Tampoco se sigue el planteamiento clásico de

Bouguer o Poleni durante el siglo XVIII (López, 2000), (Huerta, 2004).

Para el análisis y diseño de láminas y cascarones, se pueden citar, según Olvera (1985), varios métodos, entre

ellos :

Teoría de la membrana

Teoría de la viga

Teoría de la ruptura

Método de interacción

Método analítico

Empleo de modelos

El primero de ellos, revisa el equilibrio de un segmento del cascarón, asumiendo que los esfuerzos se

presentan sólo en la dirección de la membrana. Es usual proyectar todos los esfuerzos a un plano ortogonal

para plantear posteriormente las ecuaciones de equilibrio. En la teoría de la ruptura se hace uso del concepto

de la resistencia a compresión de una sección de concreto reforzado, por lo que la resistencia dependerá de la

cantidad de acero para resistir la tensión. En el método de interacción se procede en forma similar al método

de distribución de momentos. En el método analítico, se aplican en forma directa las ecuaciones de equilibrio

y de elasticidad, además, en la actualidad puede hacerse un análisis detallado a través de programas del

método de los elementos finitos (MEF). Para una introducción a este método se sugiere revisar el libro de De

la Colina (2008). Por último, los modelos son pruebas experimentales de estructuras a escala reducida o

natural, en donde se mide la respuesta ante diferentes solicitaciones. Para un estudio detallado de esas teorías

se recomienda consultar la obra clásica de Timoshenko (Timoshenko y Woinowsky-Krieger, 1959). Por otro

lado, también es posible encontrar una gran cantidad de documentos a nivel introductorio (Calderón y

Montes, 2009), (Rosales, 2004) o a nivel especializado (Batoz y Dhatt, 1990), (Dhatt y Touzot, 1984).

OBJETIVOS

Los objetivos generales de este trabajo son :

1.- Resolver el equilibrio y estado de esfuerzos en bóvedas y cascarones basado en consideraciones puramente

estáticas.

2.- Ofrecer un procedimiento simple en donde se retome el estudio de las estructuras laminares en base a

principios elementales del análisis estructural.

Para lograr el primer objetivo, se proponen algunas ecuaciones sencillas que no requieren de herramientas de

cálculo sofisticadas, mientras que para el segundo, se plantea el equilibrio vertical convencional de una parte

o toda la estructura. Como objetivos particulares, se pueden citar :

Resolver el equilibrio de paraboloides hiperbólicos y elípticos bajo cargas gravitacionales a partir de

los principios de la estática.

Reducir el trabajo numérico con la ayuda de nuevas ecuaciones sin pérdida importante en la

aproximación.


3

ALCANCES

El método propuesto, permite resolver estructuras laminares como bóvedas de cañón, cúpulas y paraboloides

por medio de expresiones sencillas, aunque aquí se dé énfasis a los paraboloides. Las cargas a considerar son

el peso propio más cargas sobre-impuestas verticales uniformemente distribuidas. El análisis, puramente

estático, se llevará a cabo con ayuda de una calculadora científica.

METODOLOGÍA

EQUILIBRIO ESTÁTICO

Para cualquier estructura tipo cascarón, se asumirá aquí que toda porción de la misma deberá estar soportada

por una reacción vertical V igual al peso total. Para ello, se muestran dos tipos comunes de bóveda y cúpula

en la figura 2. En la figura 3, se muestra un corte a cualquier altura y para uno y otro caso, en donde se

considera que la reacción vertical V, debe igualar el peso correspondiente a la sección cortada.

Figura 2 Bóveda de cañón y cúpula esférica

De ambos casos, puede verse que el primer requisito para resolver el equilibrio será el calcular el área

expuesta a la carga distribuida, incluyendo su peso propio. En las figuras, se han supuesto, también en ambos

casos, geometrías circulares, por lo cual se agrega el parámetro R. Conocida la geometría de la estructura, es

muy simple calcular las fuerzas tangenciales T y radiales H, ambas en función de la reacción vertical

previamente obtenida. Para otro tipo de cascarones, el cálculo del área puede exigir gran trabajo numérico

(Canals y Guerin, 1976), especialmente cuando se trata de paraboloides.

Atendiendo al principio antes citado, el cálculo de las fuerzas T y H se obtendrá considerando funciones de

arco, ya sea circular o parabólico. Además del área, se requieren determinar las propiedades geométricas de la

sección transversal, para así estimar la respuesta ya sea de arco o de viga y el refuerzo necesario.

Para el segmento de la bóveda de cañón, el área para una longitud L será :

LRRLAo

o

rad

18022

(1)

El casquete A (figura 3) puede calcularse a partir de la “ecuación 2”, y para ambos casos, el ángulo

(“ecuación 3”), sólo depende de la altura z a la que se desea el corte y del radio R. El peso a soportar por la

reacción vertical V está dado por el producto de la carga distribuida y el área correspondiente a cada caso

(“ecuaciones 1 y 2”) dividido entre la longitud de soporte. Para este tipo de geometría, el ángulo coincide

con el ángulo que forma la tangente al nivel del corte, por lo que las fuerzas T y H se obtienen con las

“ecuaciones 4 y 5”.


4

Figura 3 Cortes y equilibrio a una altura y

o

o

RA180

cos12 2 (2)

R

z1cos (3)

sen

VT (4)

cosTH (5)

Para otro tipo de funciones, se pueden plantear, sin mucha dificultad, las ecuaciones necesarias para calcular

el área expuesta, así como el ángulo que forma la tangente de la superficie con la horizontal. En este trabajo,

se presentan las ecuaciones para resolver el equilibrio de paraboloides siguiendo los mismos conceptos

descritos para estos dos casos simples.

PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS

HIPÓTESIS

Algunos ejemplos de cascarones de doble curvatura son los cascarones hiperbólicos, también conocidos como

silla de montar, por su índice de Gauss negativo. Se aplicarán además algunas hipótesis para el análisis, entre

ellas, que las vigas de borde son elementos rígidos en los que se apoya el cascarón, que el cascarón es

suficientemente delgado para ignorar la flexión, pero suficientemente rígido para considerar desplazamientos

pequeños. Para resolver el equilibrio, lo primero que se hará será calcular la superficie del cascarón y

multiplicarla por su espesor para incluir el peso propio. También se podrán agregar las cargas sobre-impuestas

en función del área. Las vigas de borde deben diseñarse para soportar su propio peso además del peso del

cascarón y las cargas que actúan sobre él. Lo primero depende sólo de su sección transversal y del material

del que estén hechas, mientras que para lo segundo, dependerá del peso que les transmite el cascarón. Las

vigas de borde se tratarán sólo como elementos rectos, lo que deberá considerarse como caso particular. Para

simplificar el análisis, se tomará sólo una de las superficies, la cual se muestra como imagen derecha de la

figura 4 (Canals y Guerin, 1976) y que corresponden a las áreas π1 y π2. Sobre esa misma imagen se han

añadido algunas características geométricas relevantes para su cálculo.


5

Se proponen dos aproximaciones perpendiculares a la variación parabólica longitudinal ; la primera como

arco circular y la segunda, como arco parabólico. La primera se desarrolló considerando que sería una

simplificación del cálculo de la superficie total, mientras que la segunda se planteó como una mejor

aproximación, ya que se sabe que el cascarón está formado por dos parábolas.

Figura 4 Paraboloide hiperbólico y segmentos de área (Canals y Guerin, 1976)

APROXIMACIÓN CIRCULAR

Supóngase que se toma uno de los segmentos mostrados en la figura 4 y que se reproduce en la figura 5, en

donde por geometría de la estructura, se conoce la flecha máxima h y la distancia lx. El cono que se forma

tiene una variación parabólica en su altura, mientras que los arcos se aproximarán a curvas circulares. Bajo

esas hipótesis, se requerirá calcular el arco S. El cono se corta en forma paralela al plano XZ , con lo que las

distancias x y z se harán depender de la distancia y, quien será la variable a integrar en el diferencial de área

dA. Existen dos pasos a resolver ; primero, conocidos h y lx, calcular la longitud de arco S y segundo, integrar

el diferencial de área de un arco cualquiera a la distancia y. La dimensión ly corresponde a la longitud del

paraboloide sobre el plano inclinado un ángulo α mostrado en la figura 4, mientras los arcos extremos

permanecen perpendiculares a un plano horizontal. Conviene agregar, que en general, no se conoce el radio

del círculo correspondiente al arco S de la figura 6.

Para calcular la longitud S, considérese el círculo de radio R, "quien no se conoce" (figura 5). Recuérdese que

los únicos datos disponibles deben ser h y r. Nótese también que aquí z es la altura a la que se encuentra la

cuerda del segmento de círculo. En referencia a la figura 5, se pueden establecer las siguientes relaciones :

rR sen (6)

zR cos (7)

Además,

Rhz (8)

Por lo que,

hRz (9)

Por la definición del círculo : 222 Rzr (10)

Si se substituye la ecuación 9 en la ecuación 10, se tiene :

0222 Rhhr (11)


6

Figura 5 Paraboloide hiperbólico

Figura 6 Segmento de arco sobre círculo de radio R

Para toda h≠0, se tiene que r≠0, por lo que se obtiene la ecuación para R :

h

hrR

2

22 (12)

Una vez conocido el radio R, de la “ecuación 6” se puede obtener . Recuérdese que los datos iniciales sólo

serían r y h y que la altura z de la figura 6 no se requiere. Ahora con y R conocidas, se puede obtener la

longitud del arco S con :

o

o

rad RRS180

22

(13)


7

Regresando a la figura 5, la media cuerda x y la altura z de un arco a cualquier distancia y se pueden obtener

por medio de las “ecuaciones 14 y 15”, con lo que la longitud de arco se obtendrá substituyendo r y h por x y

z respectivamente.

yal

lyx

y

x (14)

2kyz (15)

La nueva ecuación de R se transforma en :

z

zxR

2

22 (16)

Ahora es posible expresar R en función de y substituyendo las “ecuaciones 14 y 15” en la “ecuación 16”, de

donde resulta :

222

2

1yka

kR (17)

De igual forma, de la “ecuación 6”, el ángulo puede expresarse en función de y substituyendo en ella, las

“ecuaciones 14 y 17” :

222

11 2sensenyka

yka

R

x (18)

Ahora substituyendo las “ecuaciones 17 y 18” en la “ecuación 13”, el arco a cualquier distancia y es :

oyka

ykayka

kS

1802sen

1222

1222

(19)

Por lo anterior, el diferencial de área a cualquier distancia y es simplemente dA=Sdy, por lo que el área del

paraboloide de la figura 5 se obtendrá integrando de 0 a ly.

dyyka

kayyka

kA

yl

o

0 222

1222

180

2sen

1 (20)

APROXIMACIÓN PARABÓLICA

Una segunda alternativa para calcular el área del paraboloide hiperbólico es a partir de la longitud de arco de

una parábola. La ecuación general de la parábola estará dada por la “ecuación 21” y la longitud de arco por la

“ecuación 22”.


8

Figura 7 Parábola de eje vertical

2

2

4b

xhy (21)

2

3

81

22 e

bS (22)

Obsérvese que b=2x, además :

x

z

b

he

2 (23)

Los valores de x y z para cualquier distancia y están dados por las “ecuaciones 14 y 15”, así que aplicándolos

a la “ecuación 22” la nueva longitud de arco es :

2

22

3

212

a

ykayS (24)

Como en el caso de la primera aproximación, el diferencial de área se obtiene multiplicando la longitud por el

diferencial en y, de modo que el área resulta ser :

dya

ykayA

yl

0 2

22

3

212 (25)

La “ecuación 25” tiene dos grandes ventajas; la primera es que corresponde a una variación parabólica tanto

en el sentido longitudinal como en el transversal, lo que se considera como una mejor estimación del área del

paraboloide, aunque como se verá más adelante, ambas aproximaciones ofrecen resultados muy cercanos; la

segunda es que resulta mucho más simple que la circular, además de ser una integral cerrada, por lo que la

“ecuación 25” se puede escribir como :

a

ykayA

3

222

(26)

Como referencia al cálculo del área de un paraboloide hiperbólico, se agrega aquí la “ecuación 27” propuesta

para un cuarto o la “ecuación 28” para un octavo (Canals y Guerin, 1976), en donde se aprecia la diferencia

del trabajo numérico que exigiría comparado con las dos aproximaciones propuestas en este trabajo.


9

aaa

o

dxxKxdxxdxb0

222

0

sencoscos2

1

coslnsencoslnsen

0

22

0

2

KxKbxKdxKxKbK

aa

a

dxKxxKK

dx0

2222

cossenlnsen

a

dxKxxKxK0

22222 cossenlnsen (27)

2222222 sencos26

1xKxKxbbxK

K

a

o

cosln3sen 222 KbKxbKb

cossen

cosln3sen

222

222

KxxK

KxKbxKx

ax

xbxKxK

xKbxKtg

K

0

2222

22221

2

coscossen

sencoscossen2

(28)

En esas ecuaciones se han dejado las variables tal como aparecen en la referencia citada, en donde Ω

corresponde a la porción de área calculada. Para no saturar el texto, no se incluye aquí la descripción de las

demás variables de esas dos fórmulas, sugiriendo a los interesados consultarla.

PLANO INCLINADO

Es común que los paraboloides tengan aristas a diferente altura (figura 4), por lo que el plano quien contiene a

los puntos de apoyo de las vigas de borde tiene una inclinación con respecto a la horizontal. Por otro lado, la

altura h se mide en dirección vertical, por lo que el área de interés no debe calcularse con la integral sobre la

diagonal completa en ly sobre el plano inclinado (figura 5). En la figura 4 se mostró el ángulo que formaría el

plano con respecto a la horizontal, mientras que en la figura 8, se muestra ahora la distancia ly sobre la cual

debe calcularse el área promedio del paraboloide.

Para calcular correctamente el parámetro k de la parábola en el sentido longitudinal “ecuación 15”, es

necesario calcular la altura h’ así como la distancia ly’ de la figura 8. Esta última distancia se obtiene restando

a la diagonal total el valor de h proyectado sobre la diagonal. Mientras que para calcular la longitud a integrar

ly se restará a la diagonal total, un medio de la altura h proyectada sobre el plano inclinado. Para un valor de α

igual a cero, la longitud a integrar coincide con la diagonal total, es decir, con la distancia horizontal dh.


10

Figura 8 Longitud a integrar para el cálculo del área

PARABOLOIDES ELÍPTICOS

HIPÓTESIS

Se asumen las mismas hipótesis que en el caso de paraboloides hiperbólicos, aunque ahora se tendrá un índice

de Gauss positivo. Algunos ejemplos de cascarones de doble curvatura positiva son las bóvedas. En este

trabajo se presentan dos tipos; las bóvedas cerradas y las bóvedas abiertas, ambas con vigas de borde rectas

(figura 9).

Figura 9 Paraboloides elípticos; cerrado y abierto

Nuevamente se propondrán dos aproximaciones; en la primera se considerarán arcos generatrices parabólicos

perpendiculares al eje mayor. Este eje se llamará y y seguirá la dirección de la longitud l. La flecha de cada

arco estará determinada por un segundo arco parabólico generado en la dirección corta b. Como segunda

propuesta para los paraboloides elípticos, se procederá como en el caso de los paraboloides hiperbólicos, es

decir, se calculará un cuarto del área total y permitirá resolver las bóvedas de arista abiertas. Aunque se puede

utilizar en ambos casos una curva circular, sólo se presentan las ecuaciones para aproximaciones parabólicas.

Primera aproximación

En la primera propuesta se pueden utilizar dos ecuaciones diferentes para el arco, quien definirá la flecha h.

Una ecuación corresponde al sistema de referencia de la primera imagen de la figura 10. En ella se observa al


11

eje Z ubicado al centro del paraboloide. Una segunda ecuación se define para un sistema de referencia

partiendo de uno de los extremos en el sentido largo, es decir, segunda imagen de la figura 10.

Figura 10 Sistemas de referencia central y extremo

Para el primer caso, la flecha z a cualquier distancia y está dada por :

2

2

41l

yhz (29)

La longitud de arco S sigue estando determinada por la “ecuación 22”, por lo que aplicando la “ecuación 29”

se tiene :

2

2

2

2

2 41

3

81

l

y

b

hbS (30)

Por lo tanto, el área del paraboloide es :

dyl

y

b

hbA

y

y

l

l

2

2

2

2

2 41

3

81 (31)

Pero la “ecuación 30”, se puede resolver otra vez en forma cerrada y aplicando los límites superior e inferior,

resulta :

4

5

2

32

5

16

3

8

3

82

l

y

l

yy

b

hbyA (32)

Obsérvese que en la “ecuación 30”, y=ly. Para el segundo sistema de referencia, la ecuación para z es :

yll

hyz

2

4 (33)


12

Nuevamente, substituyendo la “ecuación 33” en la “ecuación 23” y después en la “ecuación22”, la longitud

de arco es :

2

42

22

3

1281 yl

lb

yhbS (34)

Entonces, el área del paraboloide es :

dyyllb

yhbA

yl

2

42

22

0 3

1281 (35)

Segunda aproximación

Como segunda propuesta para los paraboloides elípticos, se procederá como en el caso de los paraboloides

hiperbólicos, es decir, se calculará un cuarto del área total. Con ello, se ofrece una solución a las bóvedas

abiertas, como la de la imagen derecha de la figura 9. También se utilizará el parámetro a, es decir, la relación

entre las longitudes lx y ly. De igual forma, se usará la “ecuación 33” para definir la altura z, y la longitud de la

cuerda para cada arco será b=2ay. Con estos antecedentes, la longitud de arco resulta :

2

42

2

3

3212 yl

la

hayS (36)

Por lo tanto, el área para un cuarto de paraboloide es :

yl

dyylla

hayA

0

2

42

2

3

3212 (37)

Debido a que nuevamente las vigas de borde están sobre un plano inclinado, se aplica el mismo criterio para

definir la longitud a integrar. Todas las integrales propuestas para los paraboloides elípticos son cerradas, por

lo que se pueden integrar en forma directa.

FUERZAS DE MEMBRANA

GENERALIDADES

Se tienen dos elementos estructurales por analizar; las vigas de borde y la membrana. Es importante recordar

que inicialmente se supone que las vigas ofrecen un apoyo rígido. Sin embargo, esa suposición no

necesariamente debe mantenerse al calcular los elementos mecánicos sobre las vigas ni tampoco la flexión

sobre el cascarón en su dirección longitudinal. Sólo se conservará durante el cálculo de los esfuerzos sobre los

arcos del cascarón. Para calcular posteriormente, los esfuerzos que se producen en las vigas de borde o en

cualquier arco del paraboloide, se calculará el centro de gravedad del cascarón.

En la figura 11 se muestra una idealización de la distribución del peso del cascarón más el de las vigas de

borde apoyadas sobre tres puntos. Para calcular el valor de esas reacciones puede tomarse como referencia la

idealización plana en la figura 12. El peso total se proyectará sobre la perpendicular y tangencial al plano

inclinado en función del ángulo α. La figura 13 muestra la posición del centroide para cualquier corte y. La

distancia se requiere para plantear la ecuación de momento a la izquierda de cualquier corte en Y. Para la

aproximación parabólica del área se tendrá :

ySdyyA (38)


13

Figura 11 Peso del cascarón y vigas de borde sobre tres apoyos puntuales

Y por el teorema de Varignon, el centroide es :

a

yka

a

ykay

A

ySdyy

3

15

4

3

2

22

22

(39)

Si se integra en toda la longitud, la “ecuación 39” ofrece la posición de la resultante R´ desde el apoyo A de

la figura 12. Una vez definida esa posición, las reacciones en A y B se calculan por simple equilibrio y con

ello, el cortante y momento a lo largo del eje longitudinal del cascarón. Entonces se tiene :

y

Bl

yRR

'' (40)

BA RRR ''' (41)

wa

ykayRV Ay

3'

222

(42)

wa

yka

a

ykayyRM Ay

22223

15

4

3

2

3' (43)

Se mostrará más adelante, que la aproximación circular resulta en valores muy cercanos a la aproximación

parabólica, por lo que las propiedades de la sección transversal como arco circular para el análisis por la

teoría de la viga, pueden aplicarse con confianza. Por otra parte, en el sentido transversal, los esfuerzos se

calcularán a través del equilibrio de un arco. En la figura 13 se muestra un arco a cualquier distancia y desde

el origen de la parábola longitudinal. Debe recodarse que la longitud de arco S ha quedado completamente

definida para cualquier paraboloide hiperbólico o elíptico.


14

Figura 12 Idealización plana del segmento de paraboloide

Figura 13 Carga distribuida y reacciones sobre un arco del paraboloide

Para ofrecer las ecuaciones necesarias para calcular las fuerzas en la dirección longitudinal en flexión y la

longitud de arco a diferentes alturas z, se incluyen aquí las fórmulas deducidas para una sección transversal

como la mostrada en la figura 14. Para cualquier segmento de arco, se requerirá conocer el área

comprendida entre los dos ángulos y el momento de inercia centroidal Ixo. Como parte de la validación se

comprobó que la aproximación circular o parabólica de los arcos resulta prácticamente igual, por lo que

ahora se utilizará el círculo para calcular estas dos propiedades. Además, ahora debe incluirse el espesor del

cascarón, quien queda definido como t=R-r. Para =π/2 o medio arco, la “ecuación 46=ecuación 47”.


15

Figura 14 Segmento de arco

22 rRA (44)

3)(

)2(sen t

rR

rRrZ

(45)

cossen3)(

)2(

2

12

22

t

rR

rRrrRI x (46)

22

22 sen)cossen(

2

1

3)(

)2( t

rR

rRrrRI xo (47)

RESULTADOS

Para mostrar la aplicación de las ecuaciones propuestas, se analizarán algunos de los casos prácticos

resueltos por Canals y Guerin (1976). En una primera etapa, se compara el cálculo del área de paraboloides

hiperbólicos y uno elíptico. Para los primeros se incluyen dos paraboloides cuadrados y uno rectangular y

para el elíptico será rectangular. Después de esto, se calcularán los elementos mecánicos en un solo caso.

CASOS PRÁCTICOS

La figura 15 muestra una cubierta compuesta por siete paraboloides equiláteros (caso No 3). De la misma

figura se deduce que la flecha es de 1.25m y la diagonal en planta es de 6.1m. El ángulo que forma el plano

que contiene a las vigas de borde con la horizontal es :

º2856.221.6

5.2tg 1

La diagonal sobre el plano de las vigas de borde (línea roja figura 15) es :

mly 5924.61.65.2 22


16

Figura 15 Cubierta compuesta por siete paraboloides equiláteros (Canals y Guerin, 1976)

Entonces se integrará sobre :

mly 3554.6sen25.12

15924.6

Para obtener el valor de k, (ver figura 8), se tiene :

mllh yy 11839.6sen25.1';15663.1cos25.1'

Entonces :

030896.011839.6

15663.1'22

y

hk

Además :

9253.05924.6

1.6

y

x

l

la

Una vez definidos los dos parámetros k y a, se obtiene el área de medio paraboloide para cada una de las

aproximaciones propuestas :

Circular, (“ecuación 20”) :

23554.6

0 222

1222 92685.37180

2sen

1mdy

yka

kayyka

kA

o

Parabólica (“ecuación 26”) :

222

222

2 9349.37)9253.0(3

)3554.6(030896.09253.03554.6

3m

a

ykayA


17

Según Canals y Guerin (1976), medio paraboloide tiene un área de 38.23221m2. Esto implica que se tiene

una diferencia de -0.799% y -0.78% para las aproximaciones circular y parabólica, respectivamente. En la

figura 16 se muestran los casos 5, 6 y 4 y en la tabla 1 se comparan los resultados.

Figura 16 Casos 5, 6 y 4 de Canals y Guerin (1976)

La diferencia para los paraboloides hiperbólicos se mantiene en menos del 1%. Para el caso elíptico la

diferencia es menor al 5%, ya que se trata de bóvedas ligeramente diferentes. En este último caso, los

resultados obtenidos en este trabajo para un sistema de referencia central o de borde (ver figura 10), son

prácticamente iguales.

Tabla 1 Comparación de áreas con respecto a Canals y Guerin (1976)

Caso Referencia Aproximación circular

Diferencia % Aproximación parabólica

Diferencia %

Paraboloides hiperbólicos

No. 3 38.23221 37.92685 -0.79 37.9349 -0.78 No. 5 230.8929 229.1123 -0.77 229.1276 -0.76 No. 6 119.6180 119.2048 -0.35 119.44.74 -0.14

Paraboloide elíptico

Referencia central Referencia de borde

No. 4 97.164 93.338 -3.94 93.334 -3.94

FUERZAS DE MEMBRANA

Sentido transversal

Continuando con el caso 3, se analizarán las fuerzas sobre un arco, como el mostrado en la figura 13. En

todos los casos de la referencia citada, el peso sobre los cascarones fue de 200kg/m2. En este documento no

se tomará en cuenta la inclinación para mantener el valor de la carga. La longitud del arco se puede obtener

a partir de la “ecuación 13 o 22”. Es decir, como circular o parabólico. Usando esta segunda se tiene que :

mebS 5415.122.12

25.1

3

812.12

3

81

2

2

Por lo tanto, el peso total sobre esta porción es W’=200(12.5415)=2508.3kg/m, por lo que la reacción

vertical en cada extremo será V=1254kg/m. Dado que se conoce la función de la parábola (“ecuación 21”),

la pendiente se obtiene a través de su derivada, resultando :

xxb

hy

2.12

)25.1(88'

2

En x=6.1m, y’=0.4098, por lo tanto =22.2856º. Con este valor, se obtienen las reacciones T y H


18

(“ecuaciones 4 y 5”) mostradas en la figura 17. Obsérvese que los valores de V, T y H están en kg/m, ya que

corresponden a una sección sobre el eje y. También corresponden a un solo valor de x, en este caso, se trata

del extremo del arco. Se pueden evaluar tantos valores de V, T y H para todos los puntos deseados de y y x.

En la tabla 2 se muestran las fuerzas a diferentes alturas de un arco elegido a la distancia y. Variando la

longitud de la media cuerda x, se obtienen las fuerzas a nuevas alturas z. h es la altura de la flecha en el

sentido longitudinal, mientras z es la altura en el sentido transversal cuando se hace variar x. Para x=0, z=0.

mkgV

T /756.3306sen

mkgTH /123.3047cos

Figura 17 Reacciones en un arco bajo carga distribuida

Tabla 2 Fuerzas de arco a diferentes distancias y y x del caso 3

y

x

2kyh

2

2

4b

xhz

2

3

81

b

zbS

xb

hz

2

8'

)'(1 ztg

SwV2

1

sen

VT

cosTH

6.592 6.100 1.250 12.542 22.286 1254.150 3307.153 3060.126

4.067 0.556 8.235 15.282 823.461 3124.313 3013.843

2.033 0.139 4.079 7.779 407.935 3013.720 2985.983

3.178 2.940 0.312 5.925 11.982 592.470 2853.92 2791.763

1.960 0.139 3.934 8.053 393.350 2807.800 2780.105

0.980 0.035 1.962 4.047 196.180 2780.020 2773.090

Sentido longitudinal

Además, para el mismo segmento de paraboloide de la figura 13, se pueden evaluar las fuerzas en el sentido

longitudinal analizándolo como elemento viga. Tomando como referencia la figura 12, se calculará el

centroide del paraboloide (“ecuación 39”) por :


19

m

a

yka

a

ykay

y 2495.4

)9253.0(3

)3554.6)(030896.0(9253.0

9253.0

)3554.6)(030896.0(

15

4)9253.0(

3

23554.6

3

15

4

3

2

22

22

22

22

myyy 1059.2

Como se conoce ya el área del paraboloide, el peso total es WT=A(200kg/m2)=7586.98kg, por lo que las

reacciones en las vigas de borde (sin considerar su peso propio, ya que no se definen en este ejercicio) son :

kgRkgR BA 989.5072;991.25133554.6

)1059.2(98.7586

El cortante se obtiene por la “ecuación 42”, en donde y=6.3554m :

kga

ykayVy 99.5072200

3991.2513

222

El momento se obtiene a partir de la “ecuación 43” :

20015

4

3

2

3991.2513

22223

a

yka

a

ykayyM y

Ya que las vigas de borde se suponen como vigas simplemente apoyadas, el primer requisito que debe

cumplir la ecuación anterior es que para y=0 y y=6.3554, el momento debe ser nulo. Lo cual se verifica :

066.159774148.15977 yM

Para obtener el momento máximo, se resuelve la posición con Vy=0, de donde resulta y=3.6765m,

x=3.4019m, z=0.4176m y =13.9967º = 0.24429rad, de donde R=14.0653m. Aplicando este valor a My :

mkgM y 993.61676947.30746879.9242

Con las “ecuaciones 45, 47 y 48” se obtienen el centroide, el momento de segundo orden centroidal y el

esfuerzo a cualquier distancia deseada z, es decir :

xo

y

I

zM (48)

mrZ 8764.133

1.0

)9653.130653.14(

)9653.13)0653.14(2(sen

mzhz

mZRz

2287.0

1889.0

supinf

sup

401045.0"47ec." mI xo )/4988.13(Mpa3.1

)/1496.11(Mpa1.1;

01045.0

993.61672

inf

2

sup

cmkg

cmkgz

My representa el momento a la distancia y por ser el punto donde se evalúa, pero significa el momento

alrededor del eje x de la sección transversal de arco.


20

CONCLUSIONES

En este trabajo se han presentado nuevas ecuaciones para calcular la superficie de paraboloides hiperbólicos

y elípticos a partir de dos aproximaciones; una circular y otra parabólica. La diferencia de los resultados con

respecto a una de las referencias citadas no alcanza el 1% para los paraboloides hiperbólicos ni el 5% para

los elípticos, por ser éste último un problema ligeramente diferente. En este último caso, se proponen

ecuaciones para dos sistemas de referencia, resultando valores prácticamente iguales entre ellos.

Una vez definida la longitud de arco para cualquiera de las aproximaciones, se presenta un breve análisis

del equilibrio para uno de los casos estudiados. Este equilibrio se revisa en el sentido transversal a partir de

segmentos de arco y en el sentido longitudinal a partir del análisis de la flexión como viga con sección

transversal del mismo arco. Las propiedades geométricas como área y momento de segundo orden

centroidal con respecto a una sola variable longitudinal, permiten obtener las fuerzas en todos los puntos

deseados. Aquí sólo se han mostrado unos cuantos. La deducción de las ecuaciones se ha presentado en

forma minuciosa para su completa comprensión e inclusión en los primeros cursos de estructuras.

AGRADECIMIENTOS

Especial agradecimiento al Instituto Universitario de Estudios Superiores de México (UESM) SLP, por

brindarme la oportunidad de continuar en la docencia después de un impasse y en donde inicié este trabajo.

REFERENCIAS

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fundamentos del análisis estructural de placas”, Trabajo de graduación, Facultad de Ingeniería,

Universidad de San Carlos de Guatemala., Guatemala. 161pp.

Canals I., y Guerin R. (1976), “Cascarones parabolico hiperbólicos”, Ed. Limusa., 2ª Ed. México. 571pp.

De la Colina. J. (2008), “Introducción al método del elemento finito”, Universidad Autónoma del Estado de

México., 1ª Ed. Toluca, Méx. ISBN 978-607-422-020-9, 320pp.

Dhatt G. y Touzot G., (1984), “Une présentation de la méthode des éléments finis”, Maloine, S.A., 2ª Ed.,

Paris, France, ISBN 2.224-00924-0. 543pp.

Huerta S. (2004), “Arcos, bóvedas y cúpulas. Geometría y equilibrio en el cálculo tradicional de

estructuras de fábrica”. Escuela Superior Técnica de Arquitectura de Madrid, 637pp.

López Manzanares G., (2000), “La forma ideal de las cúpulas : el ensayo de Bouguer”. Actas del Tercer

Congreso Nacional de Historia de la Construcción, Sevilla, Eds. A. Graciani, S. Huerta, E. Rabasa, M.

Tabales, Madrid: I. Juan de Herrera, SEdHC, U. Sevilla, Junta Andalucía, COAAT Granada, CEHOPU.

Olvera A. (1985), “Análisis cálculo y diseño de las bóvedas de cáscara”, Ed. CECSA., 7ª Imp. México.

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Rosales R. E., (2004), “Guía teórica y práctica del curso Tipología estructural”, Trabajo de graduación,

Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Universidad Centroamericana José Simeón Cañas., Antiguo Cuscatlán,

El Salvador. 116pp.

Timoshenko S., y Woinowsky-Krieger S. (1959), “Theory of plates and shells”, McGraw Hill, 2nd

Ed.

Singapore , ISBN 0-07-085820-9, 611pp.

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ANÁLISIS ESTÁTICO SIMPLIFICADO DE … · muy simple calcular las fuerzas tangenciales T y radiales H, ambas en función de la reacción vertical previamente obtenida. Para otro